antologia investigacion de operaciones

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Misael García Vázquez Investigación de Operaciones

UNIVERSIDAD MICHOACANA DE SAN NICOLÁS DE HIDALGO

FACULTAD DE CONTADURÍA Y CIENCIAS ADMINISTRATIVAS

INVESTIGACIÓN DE OPERACIONESANTOLOGÍA DE LA MATERIA

Lic en Cs. Físico Matemáticas Misael García Vázquez

MORELIA, MICHOACÁN; 24 NOVIEMBRE DE 2010.

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Contenido

INTRODUCCIÓN A LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES.............................3Naturaleza de la Investigación de Operaciones (IO)...........................................................3Áreas en las que ha sido aplicada la IO:...................................................................................3Efecto de la Investigación de Operaciones.............................................................................3Fases usuales de un estudio de IO:............................................................................................4FASES DE UN ESTUDIO DE INVESTIGACION DE OPERACIONES........................................4Problemas de modelación algebraica......................................................................................6SISTEMAS DE ECUACIONES.......................................................................................................... 9SISTEMAS DE SOLUCIÓN PARA ECUACIONES LINEALES:...................................................9MÉTODO POR IGUALACIÓN......................................................................................................... 9MÉTODO POR SUSTITUCIÓN.....................................................................................................10MÉTODO POR REDUCCIÓN........................................................................................................ 11MÉTODO GRÁFICO........................................................................................................................12MÉTODO DE DETERMINANTES................................................................................................13

PROGRAMACIÓN LINEAL (PL)........................................................................................ 23Elementos de un modelo de optimización...........................................................................24Solución Gráfica............................................................................................................................ 33Introducción y ejemplos de modelamiento.........................................................................36

REDES..................................................................................................................................... 40

SISTEMA DE CONTROL DE INVENTARIOS...................................................................42TECNICAS DE CONTROL DE INVENTARIOS...........................................................................42EL MÉTODO ABC, EN LOS INVENTARIOS...............................................................................43DETERMINACIÓN DEL PUNTO DE REORDEN.......................................................................44Algunas herramientas de este control de inventarios son:...........................................44EXISTENCIAS DE RESERVA O SEGURIDAD DE INVENTARIOS.........................................44CONTROL DE INVENTARIOS JUSTO A TIEMPO....................................................................45ANÁLISIS INTEGRAL DEL COSTO-BENEFICIO......................................................................45Estrategias para reducir inventarios.....................................................................................45

TEORÍA DE JUEGOS............................................................................................................. 511.- INTRODUCCIÓN....................................................................................................................... 512.- CONCEPTO DE JUEGOS Y ESTRATEGIAS..........................................................................543.- JUEGOS ESTABLES.................................................................................................................. 564.- JUEGOS INESTABLES..............................................................................................................565.- SOLUCIÓN CON EL EMPLEO DE LA PROGRAMACIÓN LINEAL...................................576.- JUEGOS SUMA-CERO PARA DOS OPONENTES................................................................587.- JUEGOS CON ESTRATEGIAS MIXTAS.................................................................................598.- PUNTOS DE SILLA................................................................................................................... 599.- JUEGOS SUMA DIFERENTE DE CERO O METAJUEGOS.................................................60

BIBLIOGRAFÍA........................................................................................................................................ 62

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INTRODUCCIÓN A LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

Naturaleza de la Investigación de Operaciones (IO)

El Objetivo de esta disciplina es: “Investigar sobre las operaciones”; es decir la Problemática relacionada con la conducción y la coordinación de actividades en una Organización.

El principal objetivo de esta área de conocimientos consiste en formular y resolver diversos problemas orientados a la toma de decisiones.

La naturaleza de los problemas abordados puede ser determinística, como en los Modelos de Programación Matemática, donde la teoría de probabilidades no es necesaria, o bien de problemas donde la presencia de incertidumbre tiene un rol preponderante, como en los Modelos Probabilísticos.

Hoy en día, la toma de decisiones abarca una gran cantidad de problemas reales cada vez más complejos y especializados, que necesariamente requieren del uso de metodologías para la formulación matemática de estos problemas y, conjuntamente, de métodos y herramientas de resolución, como los que provee la Investigación de Operaciones.

Áreas en las que ha sido aplicada la IO:

- Manufactura- Transporte- Construcción- Telecomunicaciones- Planeación Financiera- Cuidado de la salud- Fuerzas Armadas- Servicios Públicos, etc.

Efecto de la Investigación de Operaciones

La IO ha tenido un efecto impresionante en el mejoramiento de la eficiencia de numerosas organizaciones de todo el mundo.

En el proceso, la IO ha contribuido de manera significativa al incremento de la productividad de la economía de varios países.

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La Investigación de Operaciones o Investigación Operativa, es una rama de las Matemáticas consistente en el uso de modelos matemáticos, estadística y algoritmos con objeto de realizar un proceso de toma de decisiones. ...

Fases usuales de un estudio de IO:

1. Definición del problema de interés y recolección de datos relevantes.2. Formulación de un modelo matemático que represente el problema.3. Desarrollo de un procedimiento basado en computadora o manual para

derivar una solución para el problema a partir del modelo.4. Prueba del modelo y mejoramiento de acuerdo con las necesidades.5. Preparación para la aplicación del modelo prescrito por la

administración.6. Implementación.

FASES DE UN ESTUDIO DE INVESTIGACION DE OPERACIONES

Para llevar a cabo el estudio de Investigación de Operaciones es necesario cumplir con una serie de etapas o fases. Las principales etapas o fases de las que hablamos son las siguientes:

1. Definición del problema.

Implica definir el alcance del problema que se investiga.

Es una función que se debe hacer entre todo el equipo de investigación de operaciones

Su resultado final será identificar tres elementos principales del problema de decisión.

2. Construcción del modelo. Modelos icónicos: Son imágenes a escala del sistema cuyo problema se quiere resolver.

Maquetas, Dibujos, Modelos a escala de barcos, automóviles, aviones.

Modelos analógicos: Se basan en la representación de las propiedades de un sistema, es decir, contiene apariencia distinta al original, pero con un comportamiento representativo.

Modelos simbólicos: Son conceptualizaciones abstractas del problema real a base del uso de letras, números, variables y ecuaciones. Éste tipo de métodos son los más económicos de construir y operar.

3. Solución del modelo.

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Resolver un modelo, consiste en encontrar los valores de las variables dependientes, asociadas a los componentes controlables al sistema a fin de optimizar, si es posible o en caso de no serlo, mejorar la eficiencia o efectividad del sistema.

El análisis matemático clásico se utiliza para obtener las soluciones de un modelo de IO en forma deductiva.

Cuando estas no son posibles de obtener en forma deductiva, se utiliza el análisis numérico a fin de resolver el modelo en forma inductiva.

4. Validación del modelo.

Es necesario probar la validez de todo modelo con cierta aproximación o exactitud. Los proyectos de investigación de operaciones, se aplican generalmente en Organizaciones que están operando y que por lo tanto, ya arrojan resultados.

Si los resultados se alejan bastante de los reales del sistema operativo, entonces, hay que tomar en cuenta lo siguiente:

A) Que el diseño de sistemas que se aplicó, en el estudio no ha omitido ningún componente controlable importante, y que no haya rechazado ninguna interacción que genere efectos de importancia.

B) Una vez que se cerciore la validez del diseño de sistemas que se efectúo, hay que corroborar las expresiones matemáticas que representan a los objetivos del grupo de toma de decisiones

C) Una vez que se cerciore la validez del modelo hay que corroborar ahora las técnicas que resuelven a este se apliquen de manera correcta y que los resultados del mismo se analicen e interpreten también de manera correcta.

D) Por ultimo, ahora hay que cerciorarse como se comunican los resultados, al grupo de toma de decisiones, utilizando el lenguaje que ellos entiendan.

5. Implantación de los resultados finales.

1) Primero, el equipo de Investigación de Operaciones da una cuidadosa explicación a la gerencia operativa sobre el nuevo sistema que se va a adoptar y su relación con la realidad operativa.

2) Estos dos grupos comparten la responsabilidad de desarrollar los procedimientos requeridos para poner este sistema en operación.

3) La gerencia operativa se encarga después de dar una capacitación detallada al personal que participa, y se inicia entonces el nuevo curso de acción.

4) Supervisa la experiencia inicial con la acción tomada para identificar cualquier modificación que tenga que hacerse en el futuro.

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Por su naturaleza, a la IO le concierne el bienestar de toda la organización, no sólo de algunos componentes.

Un estudio de IO trata de encontrar soluciones óptimas globales y no soluciones subóptimas aunque sea lo mejor para uno de los componentes de la Organización.

Cuando se trata de Organizaciones lucrativas, un enfoque posible para no caer en un problema de suboptimización es utilizar la maximización de la ganancia a largo plazo, considerando el valor del dinero en el tiempo como un objetivo único.

Sin embargo, en la práctica, muchas de estas Organizaciones adoptan la meta de ganancias satisfactorias combinada con otros objetivos, como puede ser la conservación de la estabilidad de las ganancias, aumentar o conservar la participación de mercado con que se cuenta, mantener precios estables, mejorar las condiciones y el ánimo de los trabajadores, etc.

Una vez que se define el problema, la siguiente etapa consiste en reformularlo de manera conveniente para su análisis.

La forma convencional en que la IO logra este objetivo es mediante la construcción de un modelo matemático que represente la esencia del problema.

Los modelos matemáticos también son representaciones idealizadas, pero están expresados en términos de símbolos y expresiones matemáticas. Por ejemplo: x1, x2, ..., xn ;

P = 3x1 + 2x2 + ... + 5xn ;x1 + 3x1x2 + 2x 2= 10

Problemas de modelación algebraica

1.- Encuéntrense tres números enteros consecutivos cuya suma sea 60.

Sean los números x , y, z enteros consecutivos tales que :

x + y + z = 60 Ecuación 1

Si establecemos 2 ecuaciones más en donde:

y = x + 1 Ecuación 2z = x + 2 Ecuación 3

Sustituimos los valores de y, z de las ecuaciones 2 y 3, en la ecuación 1:x + y + z = 60 Ecuación 1

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x + ( x + 1 ) + ( x + 2 ) = 60 x + x + 1 + x + 2 = 60 3x + 3 = 60 3x = 60 – 3

3x = 573 3 x = 19

Ahora bien, sustituimos el valor de x en la ecuación 2 para determinar el valor de y:

y = x + 1y = 19 + 1 y = 20

Y sustituimos el valor de x en la ecuación 3 para determinar el valor de z:z = x + 2z = 19 + 2z = 21

Sustituyendo los valores de x, y, z en la ecuación 1:

x + y + z = 60 19 + 20 + 21 = 60

60 = 60

2.- Dos hermanos ganaron $1300 durante sus vacaciones de verano el mayor ganó 1 ½ veces más que el otro. Determínese la ganancia de cada uno.

Determinando variables: G = ganancia del hermano mayor g = ganancia del hermano menor

El enunciado se plantea así:

G + g = 1300 ..... Ecuación A

G = 1.5 g ..... Ecuación B

Solución:

Sustituyendo la ecuación B en ecuación A

G + g = 1300 1.5 g + g = 1300 2.5 g = 1300 2.5 2.5 g = $520

Sustituyendo el valor de g en ecuación B G = 1.5g

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G = 1.5 ( $520) G = $ 780

Comprobando los valores de G y g en ecuación A G + g = 1300 780 + 520 = 1300 1300 = 1300

3.- En un grupo de 35 estudiantes había 10 hombres menos que el doble de mujeres. Determínese cuantos había de cada sexo.

Determinando variables:

M es el # de estudiantes del sexo masculinoF es el # de estudiantes del sexo femenino

Se debe cumplir que:

M + F = 35 Ecuación A

M = 2 F – 10 Ecuación B

Solución:

Sustituyendo ecuación B en ecuación A

M + F = 35 (2 F – 10) + F = 35 3F – 10 = 35 3F = 35 + 10 3F = 45 3 3

F = 15

Sustituyendo el valor de F en ecuación B

M = 2 F - 10 M = 2 (15) – 10 M = 30 – 10 M = 20

Comprobación de valores de M y F en ecuación A:

M + F = 35 20 + 15 = 35 35 = 35

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SISTEMAS DE ECUACIONES

Es un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas.

Solución de un sistema de ecuaciones es un grupo de valores de las incógnitas que satisface todas las ecuaciones del sistema. La solución del sistema Es la reunión de dos o más ecuaciones con dos o más incógnitas.Ejemplo:

2x + 3y = 13 4x - y = 5Un sistema de ecuaciones es posible o compatible cuando tiene solución y es imposible o incompatible cuando no tiene solución.

Un sistema compatible es determinado cuando tiene una sola solución e indeterminado cuando tiene infinitas soluciones.

SISTEMAS DE SOLUCIÓN PARA ECUACIONES LINEALES:

Para dar solución a un problema de programación, utilizamos los siguientes métodos:

Igualdad Sustitución Reducción (Suma o Resta) Gráfico Determinantes Matrices

MÉTODO POR IGUALACIÓN

Resolver el Sistema: 7x + 4y = 13 EC. 1 5x - 2y = 19 EC. 2

Despejemos cualquiera de las incógnitas; por ejemplo “x”, en ambas ecuaciones:

Despejando “x” en ecuación 1 : 7 x = 13 – 4 y x = 13 – 4y 7

Despejando “x” en ecuación 2 : 5 x = 19 + 2 y x = 19 + 2y

5

Ahora se igualan entre si los dos valores de “x” que hemos obtenido, tenemos:13 – 4y = 19 + 2y

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7 5

Y ya tenemos una sola ecuación con una incógnita; hemos eliminado la “x”. Resolviendo esta ecuación tenemos:

5 ( 13 – 4y) = 7 (19 + 2y) 65 – 20y = 133 + 14 y - 20y – 14y = 133 – 65 - 34y = 68 y = -2

Sustituyendo este valor de “y” en cualquiera de las ecuaciones dadas, por ejemplo en la ec. 1 (generalmente se sustituye en la más sencilla), se tiene:

7x + 4 y = 13 7 x + 4 ( - 2) = 13

7 x – 8 = 13 7x = 13 + 8 7 x = 21 x = 3

Verificación: sustituyendo x = 3 , y = -2 en las dos ecuaciones dadas, ambas se convierten en la identidad.

7x + 4y = 13 EC. 1 5x - 2y = 19 EC. 27(3) + 4(-2) = 13 5(3) – 2(-2) = 19 21 – 8 = 13 15 + 4 = 19 13 = 13 19 = 19

MÉTODO POR SUSTITUCIÓN

Resolver el Sistema: 7x + 4y = 13 ..... EC. 1 5x – 2y = 19 ..... EC. 2

Despejamos una de las incógnitas, por ejemplo “x” en una de las ecuaciones. Vamos a despejarla en la ecuación 1 y tendremos:

7x = 13 – 4y x = 13 – 4y 7

Este valor de “x” se sustituye en la ecuación 2:

5x – 2y = 19 5 ( 13 – 4 y ) – 2y = 19

7Y ya tenemos una ecuación con una incógnita; hemos eliminado la “x”, ahora resolvamos esta ecuación simplificando 5 y 7:

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5 ( 13 – 4 y ) – 2y = 19 7 7 65 - 20y - 14y = 133

-34y = 133 – 65 - 34y = 68 -34y = 68 -34 -34

y = -2

Sustituyendo y = -2 en cualquiera de las ecuaciones dadas, por ejemplo en ec. 1, se tiene:

7 x +4 ( -2) = 13 7x – 8 = 13

7x = 13 + 8 7x = 21 x = 21 7 x = 3

Verificación: sustituyendo x = 3 , y = -2 en las dos ecuaciones dadas , ambas se convierten en la identidad.

MÉTODO POR REDUCCIÓN

Resolver el Sistema: 7x + 4y = 13 ..... EC. 1 5x – 2y = 19 ..... EC. 2

En este método se hacen iguales los coeficientes de una de las incógnitas. Vamos a igualar los coeficientes de “y” en ambas ecuaciones, porque es lo más sencillo.

1 ( 7x + 4y = 13) 7x + 4y = 13 -2 ( 5x – 2y = 19) -10x + 4y = -38

Cambiando los signos de la ecuación 2 según la regla de la resta algebraica:

7x + 4y = 13 10x – 4y = 38

17x = 51 17 x = 51 17 17

x = 3

2


Sustituyendo “x” en la ecuación 2 tenemos:

5 ( 3) – 2y = 19

15 – 2y = 19

- 2y = 19 - 15

- 2y = 4

y = 4 - 2

y = -2


MÉTODO GRÁFICO

Resolver el Sistema: 7x + 4y = 13 EC. 1 5x – 2y = 19 EC. 2

Tomamos la ec. 1 y damos valores de 0 a “x” para determinar valor de “y”, luego damos valor de 0 a “y” para determinar valor de “x”.

7 x + 4 y = 13 5 x - 2 y = 19 0 + 4y = 13 0 - 2y = 19 4 4 - 2 - 2 y = 3.25 y = - 9.5

7x + 0 = 13 5x - 0 = 19 7x = 13 5x = 19 7 7 5 5 x = 1.86 x = 3.8

Ecuación 1 Ecuación 2

A C

B D

X Y

0 -9.5

3.8 0

X Y

0 3.25

1.86 0

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Graficando en un plano cartesiano los puntos determinados por las ecuaciones, tenemos dos líneas rectas que pueden o no cruzarse entre ellas. En este caso sí se cruzan y el punto de intersección entre ambas rectas es la solución del sistema de ecuaciones dadas.

Solución(punto de intersección)


MÉTODO DE DETERMINANTES

Para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas por determinantes debemos considerar lo siguiente:

1) El valor de “x” es una fracción cuyo denominador es el determinante formado con los coeficientes de “x” y “y” (determinante del sistema) y cuyo numerador es el determinante que se obtiene sustituyendo en el determinante del sistema la columna de los coeficientes de “x” por la columna de los términos independientes de las ecuaciones dadas.

Sea el sistema: a1x+ b1y = c1 ec.1 a2x+ b2y = c2 ec.2

y esta expresión es el desarrollo del determinante:

Y

A

X' 0 B D X

(3,-2)

CY'

Y

A

X' 0 B D X

(3,-2)

CY'

a1 b1

a2 b2

a1 b1

a2 b2

c1

c2

c1

c2

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Formada con los coeficientes de las incógnitas en las ecuaciones 1 y 2 este es el determinante del sistema:

La determinante para el numerador de “x” es:

c1 b2 – c2 b1

2) El valor de “y” es una fracción cuyo denominador es el determinante del sistema y cuyo numerador es el determinante que se obtiene sustituyendo en el determinante del sistema la columna de los coeficientes de “y” por la columna de los términos independientes de las ecuaciones dadas.

Formada con los coeficientes de las incógnitas en las ecuaciones 1 y 2 este es el determinante del sistema:

La determinante para el numerador de “y” es:

a1 c2 – a2 c1

Véase que ambas fracciones tanto para determinar valor de “x” como “y”, tienen el mismo denominador:

a1 b2 – a2 b1

La determinante para el denominador de ambas fracciones “x” y “y” es:

Por tanto, los valores de “X” y “Y”, igualdades 3 y 4 pueden escribirse con las siguientes determinantes:

c1 b1

c2 b2

c1 b1

c2 b2

a1 c1

a2 c2

a1 c1

a2 c2

a1 b1

a2 b2

a1 b1

a2 b2

2

c1 b1

X = c2 b2

a1 b1

a2 b2

c1 b1

X = c2 b2

a1 b1

a2 b2

13 4

X = 19 -2

7 4

5 -2

13 4

X = 19 -2

7 4

5 -2

(13) (-2) – (19) (4) (- 26) – (76) - 102 (7) (-2) – (5) (4) (- 14) – (20) - 34

= 3


Resolviendo este sistema por el método de determinantes, se tiene:

c1 b2 - c2 b1 a1 c2 - a2 c1 x = y = a1 b2 - a2 b1 a1 b2 - a2 b1

Resolver el Sistema: 7X + 4Y = 13 EC. 1 5X - 2Y = 19 EC. 2

Sustituyendo en las formas originales tenemos:

La determinante para “x” es:

La determinante para “y” es:

c1 b1

X = c2 b2

a1 b1

a2 b2

c1 b1

X = c2 b2

a1 b1

a2 b2

a1 c1

Y = a2 c2

a1 b1

a2 b2

a1 c1

Y = a2 c2

a1 b1

a2 b2

3 4

a1 b1 c1

7x + 4y = 135x - 2y = 19a2 b2 c2

a1 b1 c1

7x + 4y = 135x - 2y = 19a2 b2 c2

c1 b2 - c2 b1

a1 b2 - a2 b1X = ==

x = 3

a1 c1

Y = a2 c2

a1 b1

a2 b2

a1 c1

Y = a2 c2

a1 b1

a2 b2

7 13

Y = 5 19

7 4

5 -2

7 13

Y = 5 19

7 4

5 -2

2

= - 2 (7) (19) – (5) (13) (133) – (65) 68 (7) (-2) – (5) (4) (- 14) – (20) - 34



MÉTODO DE MATRICES

Matriz: Es un arreglo común que sirve para resumir y exhibir números o datos. Arreglo de elementos o números dispuestos en (m) renglones o filas y (n) columnas.

Representación:

Se acostumbra representar a las matrices por medio de las letras mayúsculas del abecedario (A, B, C, etc.) y sus elementos se representan con las letras minúsculas (a, b, c, ... etc.) Para determinar la posición de cada elemento, dentro de la matriz se escribe un subíndice a cada uno de ellos de la siguiente manera (aij) donde “i” indica el renglón y “j” la columna, además i =1,2,3,4...etc. y j = 1,2,3,4...etc.

Por ejemplo: a56 indica que su posición en la matriz es el renglón 5 y columna 6:

Renglones o filas

columnas

Dimensiones u orden de una matriz:

Si una matriz “a” contiene (m) renglones y (n) columnas, su dimensión se expresa como A(m,n) que quiere decir “matriz A de dimensión m,n”.

a) Suma de matrices: Para sumar dos matrices es necesario que ambas sean del mismo orden.

==

y = -2

a1 c2 - a2 c1 a1 b2 - a2 b1y =

y =

2


A (m,n) = aij B (m,n) = bij

A + B = aij + bij = cij

Sean las siguientes matrices:

A = B = A + B =

C =

b) Resta de matrices: Para restar dos matrices es necesario que ambas sean del mismo orden.

A - B = aij - bij = cij

Sean las siguientes matrices:

A = B = A - B =

C =

c) Multiplicación de matrices:

Vector fila por vector columna = Producto Interno

Se puede llevar a cabo siempre y cuando los vectores fila y columna tengan el mismo número de elementos.

3 2

-1 4

2 0

1 3

3+2 2+0

-1+1 4+3

5 2

0 7

3 -1

2 5

-1 4

-2 -3

3-(-1) -1-(4)

2-(-2) 5-(-3)

4 -5

4 8

A = a11 a12 a13 ... a1n

b11

b21

B = b31

...bm1

2


Matriz por vector columnaSe multiplica cada fila de la matriz por la columna dada, por lo cual obtenemos como resultado un vector columna.

A = 2 -1 3 4

2

0

B = 13

A . B = 2(2) -1(0) 3(1) 4(3)

AB = 4 0 3 12

C = 19

b11 b12 b13 . . . b1n

b21 b22 b23 . . . b2n Amn = b31 b32 b33 . . . b3n

. . . Bm1 bm2 bm3 . . . bmn

b11

b21

Bmn = b31

. . . bm1

2 1 3 0

0 2 1 3A =

5 1 4 2

3 1 0 1

2

-4 B =

3

5

2


Vector fila por MatrizLa fila dada se multiplica por cada una de las columnas de la matriz, obteniendo como resultado un vector fila.

A = 1 x 4

Matriz por Matriz

2(2) 1(-4) 3(3) 0(5)

0(2) 2(-4) 1(3) 3(5)A.B =

5(2) 1(-4) 4(3) 2(5)

3(2) 1(-4) 0(3) 1(5)

9

10 C =

28

12

2 3 5 1

1 0 4 2B = 8 7 6 3 4 5 8 9

B = 4 x 4

3 2 A =

-1 4

A = 2 -4 3 5

2(2) -4(1) 3(8) 5(4) 2(3) -4(0) 3(7) 5(5) A.B =

2(5) -4(4) 3(6) 5(8) 2(1) -4(2) 3(3) 5(9)

C = 44 52 52 48

A.B = (4 - 4 + 24 + 20) (6 – 0 + 21 + 25) (10 - 16 + 18 + 40) (2 – 8 + 9 + 45)

2 0 B =

1 3

2


Donde A = 2 x 2 B = 2 x 2

Matriz por Escalar

En donde escalar es un número real cualquiera.

Matriz por Escalar es igual a la multiplicación de cada elemento por el escalar.

Inversa de una Matriz o Matriz Inversa Multiplicativa

Una cantidad cualquiera, llámese “x”, por su recíproco 1/x es igual a 1. Ejemplo: Matriz por inversa de la misma es igual a 1.

A . A-1 = I

A-1 Denotación a la inversa multiplicativa de una matriz I Identidad/matriz identidad

Condiciones Importantes:

1. Para que una matriz tenga una inversa multiplicativa ella debe ser cuadrada.

3(2) 2(0) A.B =

-1(1) 4(3)

6 0 C =

-1 12

5 3

A = -2 1 . E(8)

0 4

5(8) 3(8)

A.8 = -2(8) 1(8)

0(8) 4(8)

40 24

C = -16 8

0 32

2


2. La inversa multiplicativa de “A” también será cuadrada y tendrá las mismas.

3. No todas las matrices cuadradas tienen una inversa multiplicativa.

Determinación de la Inversa de una Matriz:

Se puede determinar a través de los siguientes métodos:

a) Por el método de Co – factoresb) Por el método de Gauss-Jordan

Modelo base:

Método de Eliminación Gaussiana:

Para significar el procedimiento se emplea un tipo de notación abreviado para representar el sistema de ecuaciones.

Ejemplo:

a1x1 + b1x2 = c1

a2x1 + b2x2 = c1

El método elimina las variables y representa un sistema de ecuaciones empleando solamente los coeficientes de las incógnitas o variables y las constantes del miembro derecho.

La línea vertical se emplea para separar los miembros de la izquierda con los de la derecha de las ecuaciones.

Después se transforman los coeficientes columna por columna en (1 y 0) de la siguiente manera:

a1 1

a11 a12 a13 1 0 0

a21 a22 a23 0 1 0

a31 a32 a33 0 0 1

a1 b1 c1

a2 b2 c2

2


a2 0

b1 0

b2 1Quedándonos como resultado una diagonal:

a1 b1 1 0

a2 b2 0 1

En forma completa se tiene lo siguiente:

a1 b1 c1 1 0 V1

Por transformación a2 b2 c2 Gauss Jordan 0 1 V2

V1 y V2 son los valores del sistema que se trata.

En este sistema se habla de 2 ecuaciones con 2 incógnitas.

En el caso de 3 ecuaciones:

a1 b1 c1 1 0 0 V1

Por transformación a2 b2 c2 Gauss Jordan 0 1 0 V2

a3 b3 c3 0 0 1 V3

Nota: V1 , V2 y V3 son la solución del sistema.

Procedimiento de Eliminación Gaussiana:

1) Elimine las variables o incógnitas y elabore un arreglo que contenga los coeficientes de las incógnitas y las constantes del miembro derecho.

2) Transforme los coeficientes haciéndolo columna por columna.

3) En cualquier transformación de columna, primero obtenga la unidad y después los ceros.

4) Para determinar la unidad y el cero:

2


La unidad se obtiene dividiendo todo el renglón por el número que se requiere transformar a la unidad.

Para obtener el cero, el número que se desea transformar en 1 (uno), se multiplica con cambio de signo por el renglón donde se obtuvo la unidad y se le agrega el renglón donde ser requiere el cero.

Ejemplo:

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones empleando la transformación GAUSS-JORDAN.

2x + y = 43x + 4y = 1

2 1 4 1 0 V1

Por transformación 3 4 1 Gauss Jordan 0 1 V2

1 2 1 4 R1a

3 4 1 R2

PROGRAMACIÓN LINEAL (PL)

El desarrollo de la PL ha sido clasificado como uno de los avances científicos más importantes de mediados del siglo XX.

La PL es una de las herramientas más utilizadas en la Investigación Operativa ya que por su naturaleza se facilitan los cálculos y en general permite una buena aproximación de la realidad.

La PL utiliza un modelo matemático para describir el problema.

La palabra programación en esencia es sinónimo de planeación.

2


La PL involucra la planeación de actividades para obtener el mejor valor posible; esto es, el resultado que mejor alcance la meta especificada de acuerdo con el modelo matemático, entre todas las alternativas factibles.

Se llama PL al conjunto de técnicas matemáticas que pretenden resolver la siguiente situación: Optimizar (minimizar o maximizar) una función lineal, denominada función objetivo (F.O.), de tal forma que las variables de dicha función estén sujetas a una serie de restricciones que expresamos mediante un sistema de inecuaciones lineales.

Elementos de un modelo de optimización.

Supongamos que se dispone de determinadas piezas para la elaboración de dos productos finales. Se dispone de 8 “piezas pequeñas” y 6 “piezas grandes”, que son utilizadas para elaborar sillas (usando 2 piezas pequeñas y 1 pieza grande) y mesas (usando 2 piezas de cada tipo).

Interesa decidir cuántas sillas y mesas fabricar de modo de obtener la máxima utilidad, dado un beneficio neto de U$ 15 por cada silla y de U$20 por cada mesa fabricada.

Posibles soluciones factibles a considerar, esto es soluciones que respetan las restricciones del número de piezas disponibles, son por ejemplo, fabricar:

• 4 sillas, que reportan una utilidad de U$60• 1 sillas y 2 mesas , utilidad de U$55• 3 mesas, utilidad de U$60• 1 mesa y tres sillas, utilidad de U$65• 2 sillas y 2 mesas, utilidad de U$70• etc.

Un modelo matemático para hallar la mejor solución factible a este problema tiene tres componentes básicas:

Las variables de decisión, que consiste en definir cuáles son las decisiones que se debe tomar. En el ejemplo,

x: número de sillas elaboradas.y: número de mesas elaboradas.

La función objetivo del problema, que permita tener un criterio para decidir entre todas las soluciones factibles. En el ejemplo, maximizar la utilidad dada por:

z = f(x,y) = 15x + 20y

Restricciones del problema, que consiste en definir un conjunto de ecuaciones e inecuaciones que restringen los valores de las variables de decisión a aquellos considerados como factibles. En el ejemplo, respetar la disponibilidad de piezas para la fabricación de sillas y mesas:

2


Piezas pequeñas: 2x + 2y £ 8Piezas grandes : x + 2y £ 6

También se impone restricciones de no – negatividad:x,y ³ 0

En resumen: Max 15x + 20ysa: 2x + 2y £ 8

x + 2y £ 6x,y ³ 0

El ejemplo corresponde a un modelo de Programación Lineal. Si además restringimos los valores de x e y a números enteros, tendríamos un modelo de Programación Entera. Por otra parte, si hubiese retornos crecientes a escala, deberíamos emplear una función objetivo no lineal como f(x,y) = cxa + dyb con a,b >1, y tendríamos un modelo de Programación No Lineal.

En un problema de PL intervienen:

• F.O. que es necesario optimizar.• Las restricciones que deben ser Inecuaciones Lineales. Su número

depende del problema en cuestión. El carácter de desigualdad viene impuesto por las limitaciones o necesidades, que son: inferiores o iguales a... (≤), mayores o iguales a... (≥). Tanto si se trata de maximizar como de minimizar, las desigualdades pueden darse en cualquiera de los dos sentidos.

• Agregar las condiciones de no negatividad para las variables del problema.

• Región Factible. Conjunto de valores que verifican todas y cada una de las restricciones. Todo punto (vértice) de ese conjunto puede ser solución del problema.

• Solución Óptima. Será un par de valores (x,y) del conjunto factible que haga que f(x,y) tome el valor máximo o mínimo.

Pasos a seguir para resolver un problema de PL:

1. Elegir las incógnitas o variables a utilizar.2. Determinar la F.O. en función de los datos del problema.3. Determinar las restricciones en forma de sistema de inecuaciones.4. Agregar las condiciones de no negatividad para las variables del

problema.5. Averiguar el conjunto de soluciones factibles representando

gráficamente las restricciones.6. Calcular las coordenadas de los vértices del polígono determinado que

es nuestra región factible de soluciones posibles.7. Calcular el valor de la función objetivo en cada uno de los vértices para

ver en cual de ellos presenta el valor máximo o mínimo según pida el problema.

2


Resolución gráfica de problemas de PL.

Ejercicio: Bicicletas de Paseo y Montaña:Un herrero quiere fabricar bicicletas de paseo y montaña con 80 Kg. de Acero y 120 Kg. De Aluminio, mismos que quiere vender respectivamente en $2,000 y $1,500 para obtener el máximo beneficio.

En la elaboración de la bicicleta de Paseo empleará 1 Kg. de Acero y 3 Kg. de Aluminio y en la de Montaña 2 Kg. de cada metal.

¿Cuántas bicicletas de Paseo y de Montaña deberá vender el herrero para obtener el máximo beneficio?

1) Incógnitas: x = Núm. de bicicletas de Paseo. y = Núm. de bicicletas de Montaña.

Tipos # bicicletas Kg. Acero Kg. Aluminio De Paseo x x 3xDe Montaña y 2y 2y ≤80 ≤120

2) F.O. f(x,y) Max z = 2000x + 1500y

3) s.a. x + y 80 3x + 2y 120

4) x , y 0

5) Se tabula y construye la gráfica convirtiendo las restricciones en igualdades y determinando las rectas de cada restricción a través del método gráfico.

R1 x + 2y = 80 X Y y = 80/2 y = 40 0 40

x + 2y = 80 x = 80 80 0

R2 3x + 2y = 120 y = 120/2 y = 60 0 60

3x + 2y = 120 x = 120/3 x = 40 40 0

2


6 y 7) Calcular las coordenadas de los vértices y la F.O.:

Solución: Para obtener el máximo beneficio de $85,000 el herrero debe fabricar 20 bicicletas de Paseo y 30 de Montaña.

Ejercicio: Ganancia del Artesano de Mantas

Un artesano teje mantas de alpaca y algodón mensualmente, puede tejer desde 10 hasta 60 mantas de alpaca y un número de 120 mantas de algodón.

Alpaca x Algodón y 10 ≤ x ≤ 60 y ≤ 120

Si la ganancia por cada manta de alpaca es de $134 y por cada manta de algodón $20.¿Cuántas mantas de cada tipo debe tejer al menos para que maximice su ganancia?

Se sabe por experiencia propia que el artesano puede tejer mensualmente a lo más 160 mantas combinadas. x + y ≤ 160

1) Incógnitas: x = Núm. de mantas de alpaca. y = Núm. de mantas de algodón.

Mantas # bicicletas Producción Alpaca x 10 ≤ x ≤ 60 x + y ≤ 160Algodón y y ≤ 120

2) F.O. Max z = 134x + 20y

3) s.a. x 10

2

yR1 R2

160

B(10,120) C(40,120) R3

D(60,100)

REGION

FACTIBLE

xy' A(10,0) E(60,0) 160 R4

x'


x ≤ 60 y ≤ 120 x + y ≤ 160

4) x , y 0

5) Se tabula y construye la gráfica convirtiendo las restricciones en igualdades y determinando las rectas de cada restricción a través del método gráfico. X YR1 x = 10 10 ---

R2 x = 60 60 ---

R3 y = 120 --- 120

R4 x + y = 160 y = 160 0 160

x + y = 160 x = 160 160 0

Unos grandes almacenes encargan a un fabr icante pantalones y chaquetas deport ivas.

2


El fabr icante dispone para la confección de 1500 m de tej ido de algodón y 1000 m de tej ido de pol iéster. Cada pantalón precisa 2 m de algodón y 2 m de pol iéster. Para cada chaqueta se necesi tan 3 m de algodón y 1 m de pol iéster.

El precio del pantalón se f i ja en 50 dl ls y el de la chaqueta en 40 dl ls.

¿Qué número de pantalones y chaquetas debe suministrar el fabr icante a los almacenes para que éstos consigan una venta máxima?

1 Elección de las incógnitas .

x = número de pantalones

y = número de chaquetas

2 Función objetivo

f(x,y)= 50x + 40y

3 Restricciones

Para escribir las restricciones vamos a ayudarnos de una tabla:

pantalones chaquetas disponible

algodón 2 3 1500

poliéster 2 1 1000

2x+3y≤1500

2x + y ≤ 1000

Como el número de pantalones y chaquetas son números naturales, tendremos dos restr icciones más:

x ≥ 0

y ≥ 0

4 Hal lar el conjunto de soluciones factibles

2


Tenemos que representar gráf icamente las restr icciones.

Al ser x ≥ 0 e y ≥ 0, t rabajaremos en el pr imer cuadrante.

Representamos las rectas, a part i r de sus puntos de corte con los ejes.

Resolvemos gráf icamente la inecuación: 2x +3y ≤ 1500, para el lo tomamos un punto del plano, por ejemplo el (0,0).

2·0 + 3·0 ≤ 1 500

Como 0 ≤ 1 500 entonces el punto (0,0) se encuentra en el semiplano donde se cumple la desigualdad.

De modo análogo resolvemos 2x + y ≤ 1000.

2·0 + 0 ≤ 1 00

La zona de intersección de las soluciones de las inecuaciones sería la solución al s istema de inecuaciones, que const i tuye el conjunto de las soluciones fact ib les.

2


5 Calcular las coordenadas de los vért ices del recinto de las soluciones fact ib les.

La solución óptima , s i es única, se encuentra en un vért ice del recinto. éstos son las soluciones a los s istemas:

2x + 3y = 1500; x = 0 (0, 500)

2x + y = 1000; y = 0 (500, 0)

2x + 3y =1500; 2x + y = 1000 (375, 250)

6 Calcular el valor de la función objetivo

2


En la función objet ivo sust i tu imos cada uno de los vért ices.

f (x, y) = 50x + 40y

f(0, 500) = 50·0 + 40·500 = 20,000 dl ls

f(500, 0) = 50·500 + 40·0 = 25,000 dl ls

f(375, 250) = 50·375 + 40·250 = 28,750 dl ls Máximo

La solución ópt ima es fabr icar 375 pantalones y 250 chaquetas para obtener un beneficio de 28,750 dlls.

Ejercicio:El granjero López tiene 480 hectáreas en la que se puede sembrar ya sea trigo o maíz. El calcula que tiene 800 horas de trabajo disponible durante la estación crucial del verano. Dados márgenes de utilidad y los requerimientos laborales mostrados a la derecha, ¿Cuántas hectáreas de cada uno debe plantar para maximizar su utilidad? ¿Cuál es ésta utilidad máxima?

Maíz: Utilidad: $40 por hrs. Trabajo: 2hs por hrs. Trigo: Utilidad: $30 por hrs. Trabajo: 1hs por hrs.

Solución: Como primer paso para la formulación matemática de este problema, se tabula la información dada (Tabla 1). Si llamamos x a las hectáreas de maíz e y a las hectáreas de trigo. Entonces la ganancia total P, en dólares, está dada por:P=40x+30y Que es la función objetivo por maximizar.

Maíz TrigoElementos disponibles

Horas 2 1 800

Hectáreas 1 1 480

Utilidad por unidad $40 $30

La cantidad total de tiempo par hectáreas para sembrar maíz y trigo está dada por 2x+y horas que no debe exceder las 800 horas disponibles para el trabajo. Así se tiene la desigualdad:

2x+y<800

2


En forma análoga, la cantidad de hectáreas disponibles está dada por x+y, y ésta no puede exceder las hectáreas disponibles para el trabajo, lo que conduce a la desigualdad.

Por último, si no queremos tener pérdidas, x y y no pueden ser negativa, de modo que

x , y >0

En resumen, el problema en cuestión consiste en maximizar la función objetivo

P=40x+30y

sujeta a las desigualdades

2x+y<800 x+y <480 x, y >0

Solución Gráfica

Los problemas de programación lineal en dos variables tienen interpretaciones geométricas relativamente sencillas; por ejemplo, el sistema de restricciones lineales asociado con un problema de programación lineal bidimensional- si no es inconsistente- define una región plana cuya frontera está formada por segmentos de recta o semirrectas, por lo tanto es posible analizar tales problemas en forma gráfica.Si consideremos el problema del granjero López, es decir, de maximizar

P = 40x+ 30y s. a. 2x+y<800

x+y<480 x>0, y>0

El sistema de desigualdades define la región plana S que aparece en la siguiente figura. Cada punto de S es un candidato para resolver este problema y se conoce como solución factible. El conjunto S se conoce como conjunto factible. El objetivo es encontrar – entre todos los puntos del conjunto S- el punto o los puntos que optimicen la función objetivo P. Tal solución factible es una solución óptima y constituyen la solución del problema de programación lineal en cuestión.

2


Como ya se ha observado, cada punto P(x,y) en S es un candidato para la solución óptima del problema en cuestión, por ejemplo, es fácil ver que el punto (200, 150) está en S y, por lo tanto, entra en la competencia. El valor de la función objetivo P en el punto (200,150) está dado por P=40(200)+30(150)=12.500. Ahora si se pudiera calcular el valor de P correspondiente a cada punto de S, entonces el punto (o los puntos) en S que proporcione el valor máximo de P formará el conjunto solución buscado. Por desgracia, en la mayoría de los problemas, la cantidad de candidatos es demasiado grande o, como en este problema, es infinita. Así este método no es adecuado.

Es mejor cambiar de punto de vista: en vez de buscar el valor de la función objetivo P en un punto factible, se asignará un valor a la función P y se buscarán los puntos factibles que correspondieran a un valor dado de P. Para esto supóngase que se asigna a P el valor 6000. Entonces la función objetivo se convierte en 40x+ 30y = 6.000, una ecuación lineal en x e y; por lo tanto, tiene como gráfica una línea recta L1 en el plano.

Está claro que a cada punto del segmento de recta dado por la intersección de la línea recta L1 y el conjunto factible S corresponde el valor dado 6000 de P. Al repetir el proceso, pero ahora asignando a P el valor de 12.000, se obtiene la ecuación 40x+ 30y =12.000 y la recta L2 lo cual sugiere que existen puntos factibles que corresponden a un valor mayor de P. Obsérvese que la recta L2

es paralela a L1, pues ambas tienen una pendiente igual a –4/3. Esto se comprueba con facilidad escribiendo las ecuaciones en explícita de la recta.

En general, al asignar diversos valores a la función objetivo, se obtiene una familia de rectas paralelas, cada una con pendiente igual a –4/3. Además, una recta correspondiente a un valor mayor de P está más alejada del origen que una recta con un valor menor de P. El significado es claro. Para obtener las soluciones óptimas de este problema, se encuentra la recta perteneciente a esta familia que se encuentra más lejos del origen y que interseque al conjunto factible S. La recta requerida es aquella que pasa por el punto P(320,160) (Fig. 6), de modo que la solución de este problema está dado por x=320, y=160 ( es decir que el granjero López deberá sembrar 320 hectáreas de maíz y 160 hectáreas de trigo), lo que produce el valor máximo P=40(320)+30(160)=17.600.

No es casualidad que la solución óptima de este problema aparezca como vértice del conjunto factible S. De hecho, el resultado es consecuencia del siguiente teorema básico de la programación lineal, que se enuncia sin demostración.

2


En nuestro ejemplo los únicos vértice del conjunto factible S son los puntos coordenados: (0,0); (400,0); (320,160); (0,480), llamados también puntos esquinas. Un ejemplo en el que tendríamos infinitas soluciones, es:

VERTICE P=40x+40y

(0,0) 0

(0,480) 19.200

(320,160) 19.200

(400,0) 16.000

Supóngase que la utilidad por hectáreas es de $40 para ambos, maíz y trigo. La tabla para este caso muestra la misma utilidad total en los vértices(0,480) y (320,160). Esto significa que la línea de utilidad en movimiento abandona la región sombreada por el lado determinado por esos vértices (adyacentes) , así todo punto en ese lado da una utilidad máxima. Todavía es válido, sin embargo, que la utilidad máxima ocurre en un vértice.

EJERCICIOS

1) F.O. Max z = 6x1 + 4x2

s.a. x1 + x2 ≤ 12 x1 – 2x2 ≤ 6

x2 ≤ 8 x1 , x2 0 2) F.O. Max z = 50x1 + 80x2

s.a. x1 + 2x2 ≤ 120 x1 + x2 ≤ 90

x1 , x2 0

3) F.O. Max z = 15x + 20y

s.a. 2x + 2y ≤ 8 x +2y ≤ 8

x , y 0

4) F.O. Max z = 3x1 + 5x2

s.a. x1 ≤ 4 2x2 ≤ 12

3x1 + 2x2 ≤ 18 x1 , x2 0

2

Orígenes Destinos

Planta 1

Planta 2

C.D.2

C.D.1

C.D.3

X11

X12

X21 X22

X13

X23


5) F.O. Max z = 2x1 + x2

s.a. 6x1 + 5x2 ≤ 30 2x1 + 3x2 ≤ 12

3x1 + 12x2 ≤ 36 x1 , x2 0

Problema de Transporte . El problema consiste en decidir cuántas unidades trasladar desde ciertos puntos de origen (plantas, ciudades, etc.) a ciertos puntos de destino (centros de distribución, ciudades, etc..) de modo de minimizar los costos de transporte, dada la oferta y demanda en dichos puntos.Se suponen conocidos los costos unitarios de transporte, los requerimientos de demanda y la oferta disponible.

Introducción y ejemplos de modelamiento.

Por ejemplo, suponga que una empresa posee dos plantas que elaboran un determinado producto en cantidades de 250 y 450 unidades diarias, respectivamente. Dichas unidades deben ser trasladadas a tres centros de distribución con demandas diarias de 200, 200 y 250 unidades, respectivamente. Los costos de transporte (en $/unidad) son:

C.Dist. 1 C.Dist.2 C.Dist.3

Planta 1 21 25 15

Planta 2 28 13 19

Diagrama:

2


Orígenes Destinos

Introducción y ejemplos de modelamiento.

Variables de decisión:

xij = Unidades transportadas desde la planta i (i=1,2), hasta el centro de distribución j (j=1,2,3)

Función Objetivo:

Minimizar el costo total de transporte dado por la función:

21x11+25x12+15x13+28x21+13x22+19x23

Restricciones del problema:

1) No Negatividad: xij ³ 0

2) Demanda: CD1 : x11 +x21 = 200CD2 : x12 +x22 = 200CD3 : x13 + x23 = 250

3) Oferta :P1 : x11 + x12 + x13 £ 250 P2 : x21 + x22 + x23 £ 450

Las variables de decisión deben aceptar soluciones como números reales para tener un modelo de P.L.

Problema de la dieta: este consiste en determinar una dieta de manera eficiente, a partir de un conjunto dado de alimentos, de modo de satisfacer ciertos requerimientos nutricionales.Supongamos que se tiene la siguiente información:

Leche(galón)

Legumbre(1 porción)

Naranjas(unidad)

RequerimientosNutricionales

Niacina 3,2 4,9 0,8 13Tianina 1,12 1,3 0,19 15Vitamina C

32 0 93 45

Costo 2 0,2 0,25


2


x1 : galones de leche utilizados en la dieta.x2 : porciones de legumbre utilizadas en la dieta.x3 : unidades de naranja utilizadas en la dieta.

Función Objetivo:

Minimizar el costo total de la dieta, dado por: 2 x1 + 0.2 x2 + 0.25 x3


Requerimientos mínimos de los nutrientes considerados: 3.2 x1 + 4.9 x2 + 0.8 x3 ³ 13 1.12 x1+ 1.3 x2 + 0.19 x3 ³ 15 32 x1+ + 9 x3 ³ 45

x1 ³ 0 ; x2 ³ 0 ; x3 ³ 0

Problema de dimensionamiento de lotes: este consiste en hallar una política óptima de producción para satisfacer demandas fluctuantes en el tiempo, de modo de minimizar costos de producción e inventario, considerando la disponibilidad de diversos recursos escasos.

Supongamos que una fábrica puede elaborar hasta 150 unidades en cada uno de los 4 periodos en que se ha subdividido el horizonte de planificación y se tiene adicionalmente la siguiente información:

Periodos Demandas(unidades)

Costo Prod.(US$/unidad)

Costo de Inventario(US$/unidad)

1 130 6 22 80 4 13 125 8 2.54 195 9 3

Supuestos adicionales:

1) Existe un inventario inicial de 15 unidades.2) No se acepta demanda pendiente o faltante (es decir, se debe satisfacer toda la demanda del periodo).


xt : número de unidades elaboradas en el periodo t.It : número de unidades de inventario al final del periodo t.

2


Función objetivo:

Consiste en minimizar los costos de producción y el costo de mantenimiento de inventario.

6x1+ 4x2 + 8x3 + 9x4 + 2I1 + I2 + 2.5I3 + 3I4

Notar que en el óptimo I4 va a ser 0, así que incluso podríamos no incluirla, pero de todos modos la consideramos.


1) Restricciones de cotas, que reflejan la capacidad de producción. xt £150

Notar que en el óptimo I4 va a ser 0, así que incluso podríamos no incluirla, pero de todos modos la consideramos.


1) Restricciones de cotas, que reflejan la capacidad de producción. xt £150

Problema de planificación financiera:

Supongamos que un banco dispone de $250 millones para destinar a 4 tipos de créditos ofrecidos, los cuales tienen las siguientes, tasas de crédito:

• Primer crédito corriente :12%• Segundo crédito corriente :16%• Crédito para el hogar :16%• Crédito personal :10%

La asignación de estos créditos, debe satisfacer la siguiente política utilizada por la institución:

El monto asignado a los PCC, debe ser al menos, el 55% del monto asignado a los créditos corrientes, y al menos un 25% del total del dinero prestado.

El SCC, no puede exceder el 30% del total del dinero prestado, por políticas tributarias el interés recibido por el banco no debe exceder a un retorno del 14% sobre el capital prestado.

REDESRed matemáticaEn matemática, una red es la generalización del concepto de sucesión, de tal manera que no necesariamente tenga una cantidad numerable de elementos.

http://es.wikipedia.org/wiki/Numerable

http://es.wikipedia.org/wiki/Sucesi%C3%B3n

http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tica

2


Es el concepto más adecuado (o también su equivalente de filtro) para estudiar la convergencia en un espacio topológico.Definición. Conjunto dirigido.

Un conjunto dirigido es un par en el que D es un conjunto y es una relación en D que verifica las tres siguientes propiedades:

1. (propiedad reflexiva).

2. tales que e , se cumple entonces que (propiedad antisimetrica).

3. tales que e , se cumple entonces que (propiedad transitiva).

4. tal que e . Usualmente, la relación se lee como "menor igual" (en forma intuitiva).En particular, todo conjunto totalmente ordenado es un conjunto dirigido. Un

ejemplo importante de conjunto dirigido es , el conjunto de las vecindades de un punto x0 en un espacio topológico, dotado de la relación de inclusión, donde un conjunto se dirá "mayor" que otro si está incluido en él.

Red.

Una red en un conjunto X no es más que una aplicación

entre un conjunto dirigido y un conjunto X. Se suele representar por

, donde xd: = r(d).Subred Tal como en el contexto de sucesiones hay una noción de subsucesiones, en el concepto de redes también hay un concepto similar. Así, decimos que

es una subred de (donde D,E son conjuntos dirigidos) si y

solo si existe una función que verifica las siguientes dos propiedades:

1. tal que

2.La primera condición refleja la idea intuitiva de que la sub-red se "vaya a infinito" junto con la red, mientras que la segunda es simplemente pedir que los puntos que tome sean efectivamente puntos de la red.Es fácil ver que toda subred de una red es también una red.Convergencia. Límite de una red

Sea (X,T) un espacio topológico y una red en X. Se dice que

es un punto límite de la red si la red está eventualmente en cada entorno de x, es decir, si cualquiera que sea el entorno V de x (esto es, cualquiera que sea el conjunto V de forma que exista un abierto G tal que

) existe un de tal forma que para cada con

se cumple que .

http://es.wikipedia.org/wiki/Abierto

http://es.wikipedia.org/wiki/Entorno

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Eventualmente&action=edit&redlink=1

http://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADmite

http://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_topol%C3%B3gico

http://es.wikipedia.org/wiki/Si_y_solo_si

http://es.wikipedia.org/wiki/Si_y_solo_si

http://es.wikipedia.org/wiki/Aplicaci%C3%B3n_matem%C3%A1tica

http://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_Topol%C3%B3gico

http://es.wikipedia.org/wiki/Entorno_(topolog%C3%ADa)

http://es.wikipedia.org/wiki/Orden_total

http://es.wikipedia.org/wiki/Relaci%C3%B3n

http://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_topol%C3%B3gico

http://es.wikipedia.org/wiki/Convergencia

http://es.wikipedia.org/wiki/Filtro_(matem%C3%A1tica)

2


De la propia definición se desprenden de forma inmediata dos consecuencias:1. El límite de una red no siempre ha de existir. Existen redes que carecen

de límite. 2. En caso de existir, el límite de una red no necesariamente es un único

elemento, sino que es un conjunto de elementos. En el caso de espacios topológicos con la propiedad de Hausdorff (i.e., T2), el límite, si existe, se reduce a un único punto.

3. Toda sub-red de una red convergente converge al mismo límite que la red.

Punto de Acumulación

Bajo el mismo contexto anterior, se dice que una red tiene como punto de acumulación (o acumula en) si la red está frecuentemente en cada entorno de x, es decir, si para todo V entorno de x, y para todo

tal que .Es fácil ver que toda red convergente tiene a su límite como punto de acumulación. Se cumple además que x es punto de acumulación de una red si y solamente si existe una sub-red que converge a x. En este punto se encuentra la primera gran diferencia con sucesiones: una sucesión (que en particular es una red) tiene a como punto de acumulación si y solo si existe una sub-red que tienda a x, pero esta sub-red no tiene porqué ser una sucesión también.Aplicaciones Continuidad Así como en espacios métricos existe una caracterización de la continuidad mediante sucesiones, en espacios topólogicos generales esta caracterización

se hace mediante redes. Así, se cumple que si son dos espacios topológicos, será continua en el punto si y

solamente si para toda red , se cumple que

Compacidad

Así como en espacios métricos se tiene que es compacto si y solo si toda sucesión tiene un punto de acumulación, en espacios más generales se

tiene el mismo resultado, pero con redes, es decir, será compacto si y solo si toda red tiene un punto de acumulación.Notar que en espacios métricos, casi todo lo que se puede hacer con redes también se puede hacer con sucesiones, y como estas últimas son más fáciles de manipular, usualmente se trabaja con ellas. Sin embargo, en espacios topológicos generales, las redes pueden ser de gran utilidad.Ejemplos. El ejemplo más inmediato de red es el concepto de sucesión. En ellas, el conjunto dirigido es el conjunto de los números naturales con la relación de orden usual. Esto es así porque el conjunto de los números naturales con el orden usual es un conjunto totalmente ordenado.Otro ejemplo esencial es el de función de variable real. En efecto, como el conjunto de los números reales junto con el orden usual es un conjunto totalmente ordenado, una función de variable real es una red.Estos dos ejemplos son lo suficientemente importantes como para justificar el estudio de las redes.

http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_reales

http://es.wikipedia.org/wiki/Orden

http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_naturales

http://es.wikipedia.org/wiki/Sucesi%C3%B3n

http://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_compacto

http://es.wikipedia.org/wiki/Continuidad_(matem%C3%A1tica)

http://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_m%C3%A9trico

http://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_T2

http://es.wikipedia.org/wiki/Propiedad_de_Hausdorff

2


Representación de datosEl propósito de una red es transmitir información desde un equipo otro. Para lograr esto, primero se debe decidir cómo se van a codificar los datos que serán enviados. En otras palabras, la representación informática. Esta variará según el tipo de datos, los cuales pueden ser:

Datos de audio Datos de texto Datos gráficos Datos de video ...

La representación de datos puede dividirse en dos categorías: Por qué las redes son importantesUn equipo es una máquina que se usa para manipular datos. Los seres humanos, como seres comunicativos, comprendieron rápidamente porqué sería útil conectar equipos entre sí para intercambiar información.

SISTEMA DE CONTROL DE INVENTARIOS

El control de inventarios se utiliza para mostrar valores de cuánta mercancía se puede tener en cualquier momento, y cómo se puede seguir la línea de adquisición de inventario.Se aplica a cada elemento que se utiliza para producir un producto o servicio, a partir de materias primas a productos terminados. Abarca todos los valores de la etapa del proceso de producción, desde la compra hasta la entrega de mercancía.Un control de existencias eficiente permite tener la cantidad de mercancías en el lugar correcto al momento correcto. Se asegura de que el capital no está ligado de forma innecesaria, y protege a la producción en caso de que surjan problemas con la de la cadena de suministro.A continuación se explica como el control de existencias en sus diferentes métodos, haciendo énfasis en el método ABC que es el mas utilizado, muestra cómo configurar un control de inventarios adecuado.

TECNICAS DE CONTROL DE INVENTARIOSEl objetivo de la administración de inventarios, igual que el la administración de efectivo, tiene dos aspectos que se contraponen. Por una parte, se requiere minimizar la inversión del inventario, puesto que los recursos que no se destinan a ese fin se puede invertir en otros proyectos aceptables de otro modo no se podrían financiar. Por la otra, hay que asegurarse de que la empresa cuente con inventario suficiente para hacer frente a la demanda cuando se presente y para que las operaciones de producción y venta funcionen sin obstáculos, como se ve, los dos aspectos del objeto son conflictivos.Reduciendo el inventario se minimiza la inversión, pero se corre el riesgo de no poder satisfacer la demanda de obstaculizar las operaciones de las operaciones de la empresa. Si se tiene grandes cantidades de inventario se disminuyen las probabilidades de no poder hacer a la demanda y de interrumpir las operaciones de producción y venta, pero también se aumenta la inversión.

http://ads.us.e-planning.net/ei/3/29e9/cfa010f10016a577?rnd=0.6660894800443202&pb=a26841ae867b7e62&fi=d0e50240b21987dd&kw=hacer

http://www.monografias.com/trabajos12/pmbok/pmbok.shtml

http://www.monografias.com/trabajos4/refrec/refrec.shtml

http://www.monografias.com/trabajos12/cntbtres/cntbtres.shtml

http://ads.us.e-planning.net/ei/3/29e9/cfa010f10016a577?rnd=0.7654914418235421&pb=2a56a9540bfcae21&fi=d0e50240b21987dd&kw=administraci%C3%B3n

http://www.monografias.com/trabajos16/objetivos-educacion/objetivos-educacion.shtml

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Los inventarios forman un enlace entre la producción y la venta de un producto. Como sabemos existen tres tipos de éstos, los cuáles son el inventario de materia prima, de productos en proceso y el de productos terminados.

El inventario de materias primas proporciona la flexibilidad a la empresa en sus compras, el inventario de artículos terminados permite a la organización mayor flexibilidad en la programación de su producción y en su mercadotecnia.Los grandes inventarios permiten además, un servicio más eficiente a las demandas de los clientes. Si un producto se agota, se pueden perder ventas en el presente y también en el futuro.

El hecho de controlar el inventario de manera eficaz representa como todo, ventajas y desventajas, a continuación mencionaremos una ventaja:La empresa puede satisfacer las demandas de sus clientes con mayor rapidez.Algunas desventajas son:

Implica un costo generalmente alto (almacenamiento, manejo y rendimiento)

A continuación se explican diversos métodos de control de los inventarios:

EL MÉTODO ABC, EN LOS INVENTARIOSEste consiste en efectuar un análisis de los inventarios estableciendo capas de inversión o categorías con objeto de lograr un mayor control y atención sobre los inventarios, que por su número y monto merecen una vigilancia y atención permanente.

El análisis de loas inventarios es necesario para establecer 3 grupos el A, B y C. Los grupos deben establecerse con base al número de partidas y su valor. Generalmente el 80% del valor del inventario está representado por el 20% de los artículos y el 80% de los artículos representan el 20% de la inversión.

Los artículos A incluyen los inventarios que representa el 80% de la inversión y el 20% de los artículos, en el caso de una composición 80/20. Los artículos B, con un valor medio, abarcan un número menor de inventarios que los artículos C de este grupo y por último los artículos C, que tienen un valor reducido y serán un gran número de inventarios.

Este sistema permite administrar la inversión en 3 categorías o grupos para poner atención al manejo de los artículos A, que significan el 80% de la inversión en inventarios, para que a través de su estricto control y vigilancia, se mantenga o en algunos casos se llegue a reducir la inversión en inventarios, mediante una administración eficiente.

DETERMINACIÓN DEL PUNTO DE REORDEN.Como transcurre algún tiempo antes de recibirse el inventario ordenado, el director de finanzas debe hacer el pedido antes de que se agote el presente inventario considerando el número de días necesarios para que el proveedor

http://www.monografias.com/trabajos16/finanzas-operativas/finanzas-operativas.shtml

http://www.monografias.com/trabajos11/teosis/teosis.shtml

http://www.monografias.com/trabajos14/dinamica-grupos/dinamica-grupos.shtml

http://www.monografias.com/trabajos11/grupo/grupo.shtml

http://www.monografias.com/trabajos14/deficitsuperavit/deficitsuperavit.shtml

http://www.monografias.com/trabajos11/metods/metods.shtml#ANALIT

http://www.monografias.com/trabajos11/metods/metods.shtml

http://ads.us.e-planning.net/ei/3/29e9/cfa010f10016a577?rnd=0.7898180256597698&pb=e4a2b0fd4dec8875&fi=d0e50240b21987dd&kw=futuro

http://www.monografias.com/trabajos12/evintven/evintven.shtml

http://www.monografias.com/trabajos14/verific-servicios/verific-servicios.shtml

http://www.monografias.com/trabajos15/mercadotecnia/mercadotecnia.shtml

http://www.monografias.com/Computacion/Programacion/

http://www.monografias.com/trabajos6/napro/napro.shtml

http://www.monografias.com/trabajos5/elciclo/elciclo.shtml

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reciba y procese la solicitud, así como el tiempo en que los artículos estarán en transito.

El punto de reorden se acostumbra a manejar en las empresas industriales que consiste en la existencia de una señal al departamento encargado de colocar los pedidos, indicando que las existencias de determinado material o artículo ha llegado a cierto nivel y que debe hacerse un nuevo pedido.

Existen mucha s formas de marcar el punto de reorden, que van desde, que puede ser una señal, papel, una requisición colocada en los casilleros de existencias o en pilas de costales, etc. Mismas que indican, debe hacerse un nuevo pedido, hasta las forma más sofisticadas como son el llevarlo por programas de computadora.

Algunas herramientas de este control de inventarios son:La requisición viajera. El objetivo de esta es el ahorrar mucho trabajo administrativo, pues de antemano se fijaron puntos de control y aprobación para que por este medio se finquen nuevos pedidos de compras y que no lleguen a faltar materiales o artículos de los inventarios en las empresas.

Existen dos sistemas básicos que se usan la requisición viajera para reponer las existencias, éstos son:

Ordenes o pedidos fijos. En éste el objetivo es poner la orden cuando la cantidad en existencia es justamente suficiente para cubrir la demanda máxima que puede haber durante el tiempo que pasa en llegar el nuevo pedido al almacén.

Resurtidos periódicos. Este sistema es muy popular, en la mayoría de los casos cuando se tiene establecido el control de inventarios perpetuo. La idea principal de este sistema es conocer las existencias.

EXISTENCIAS DE RESERVA O SEGURIDAD DE INVENTARIOSLa mayoría de las empresas deben mantener ciertas existencias de seguridad para hacer frente a una demanda mayor que la esperada. Estas reservas se crean para amortiguar los choques o situaciones que se crean por cambios impredecibles en las demandas de los artículos.

Los inventarios de reserva a veces son mantenidos en forma de artículos semiterminados para balancear los requerimientos de producción de los diferentes procesos o departamentos de que consta la producción para poder ajustar las programaciones de la producción y surtir a tiempo.

Por lo regular es imposible poder anticipar todos los problemas y fluctuaciones que pueda tener la demanda, aunque es muy cierto que los negocios deben tener ciertas existencias de reserva si no quieren tener clientes insatisfechos.

http://www.monografias.com/trabajos15/plan-negocio/plan-negocio.shtml

http://www.monografias.com/trabajos15/calidad-serv/calidad-serv.shtml#PLANT

http://www.monografias.com/trabajos11/conin/conin.shtml

http://www.monografias.com/trabajos11/teosis/teosis.shtml

http://www.monografias.com/trabajos34/el-trabajo/el-trabajo.shtml

http://www.monografias.com/trabajos11/contrest/contrest.shtml

http://www.monografias.com/trabajos15/computadoras/computadoras.shtml

http://www.monografias.com/trabajos11/pila/pila.shtml

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La existencia de reserva de inventarios es un precio que pagan las empresas por la filosofía de servicio a la clientela que produce un incremento en la participación del mercado que se atiende.

CONTROL DE INVENTARIOS JUSTO A TIEMPOTal como se escucha el control de inventarios justo a tiempo, la idea es que se adquieren los inventarios y se insertan en la producción en el momento en que se necesitan. Esto requiere de compras muy eficientes, proveedores muy confiables y un sistema eficiente de manejo de inventarios.

Una compañía puede reducir su producción es proceso mediante una administración más eficiente, esto se refiere a factores internos. Se pueden reducir las materias primas necesarias gracias a una mayor eficiencia interna, pero esto se refiere mayormente a factores externos. Con un trabajo en equipo que incorpore proveedores de confianza, se puede rebajar la cantidad de materias primas, respecto a los artículos terminados, podemos decir que si se reabastecen con rapidez, se reduce el costo de quedarse sin existencias y de la misma manera se reduce los inventarios de éste tipo.

ANÁLISIS INTEGRAL DEL COSTO-BENEFICIOInversión necesaria o financiamiento. El inventario se considera una inversión en el sentido de que obliga a la empresa a darle uso racional a su dinero. La inversión promedio en inventarios puede calcularse el costo de ventas anual y la rotación anual de inventarios.

Inventario promedio = Costo de lo vendido / rotación del inventario

Estrategias para reducir inventariosJusto a tiempo: a través de este sistema los inventarios son reducidos al mínimo en virtud de que los inventarios son adquiridos e incorporados al almacén o producción justo en el momento en que se requieren. Con este método se ahorran cantidades de almacenaje, seguros, etc. Este sistema rompe con el concepto convencional de mantener grandes inventarios. Sin embargo para su implantación se requiere que la administración determine en forma rápida y veraz las cantidades a solicitar al proveedor y que requerirá para sus ventas o producción. También requiere de modificar los procedimientos, productos y equipo para reducir tiempo y costos de ensamble.

Aparte del control administrativo el proveedor debe ser capaz de brindar:

Sistema de distribución o reparto que permiten una secuencia de descarga predeterminado para facilitar ahorro en el tiempo, recepción y costos.

Producir artículos terminados o materia prima sin defectos con lo cual se puedan reducir o eliminar los costos de inspección.

Ejemplo del método ABC:

http://www.monografias.com/trabajos15/ahorro-inversion/ahorro-inversion.shtml

http://www.monografias.com/trabajos11/travent/travent.shtml

http://www.monografias.com/trabajos13/mapro/mapro.shtml

http://www.monografias.com/Administracion_y_Finanzas/index.shtml

http://www.monografias.com/trabajos10/teca/teca.shtml

http://www.monografias.com/trabajos5/segu/segu.shtml

http://www.monografias.com/trabajos16/marx-y-dinero/marx-y-dinero.shtml

http://www.monografias.com/trabajos15/financiamiento/financiamiento.shtml

http://www.monografias.com/trabajos10/tequip/tequip.shtml

http://www.monografias.com/trabajos11/veref/veref.shtml

http://www.monografias.com/trabajos6/juti/juti.shtml

http://www.monografias.com/trabajos13/mercado/mercado.shtml

http://www.monografias.com/trabajos910/en-torno-filosofia/en-torno-filosofia.shtml

http://www.monografias.com/trabajos16/fijacion-precios/fijacion-precios.shtml#ANTECED

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En este ejemplo se expresa como es que se lleva a cabo la clasificación de inventario de las 3 zonas; se pueden usar tantas zonas como sea posible y con las condiciones necesarias, en este caso solo se usarán 3:

Es una empresa, que tiene un inventario de 20 artículos:

Art.

Consumo anual

(unidades)Costo

unitario1 5.200,00 1,752 1.700,00 8,253 10.200,00 10,754 6.200,00 2,255 3.700,00 0,756 6.200,00 13,857 5.200,00 1,008 4.700,00 1,509 7.200,00 5,2510 3.200,00 2,2511 6.200,00 10,2512 2.200,00 15,2513 6.700,00 28,2514 9.500,00 31,2515 3.260,00 14,2516 3.377,00 4,2517 1.700,00 1,4518 2.162,00 8,2519 7.200,00 30,2520 1.446,00 15,25

Es una tabla donde muestra el número de artículo su consumo y el costo por unida, partir de ahí se generarán más tablas

Nº de Art.

% part. c/Art.

Consumo $ valorización

% del consumo total

1 5 9.100,00 0,762 5 14.025,00 1,173 5 109.650,00 9,164 5 13.950,00 1,175 5 2.775,00 0,236 5 85.870,00 7,177 5 5.200,00 0,438 5 7.050,00 0,599 5 37.800,00 3,1610 5 7.200,00 0,6011 5 63.550,00 5,3112 5 33.550,00 2,8013 5 189.275,00 15,81

2


14 5 296.875,00 24,8115 5 46.455,00 3,8816 5 14.352,25 1,2017 5 2.465,00 0,2118 5 17.836,50 1,4919 5 217.800,00 18,2020 5 22.051,50 1,84Total 100,00 1.196.830,25 100,00

El número de artículo se podría decir que es el nombre de artículo, el porcentaje de participación de cada artículo se obtiene de la siguiente forma: son 20 artículos que corresponden al 100% entonces que porcentaje tiene cada artículo:

(1*100)/20=5 Por eso en esa columna se tiene 5.

Hay una tercer columna que dice Consumo $ valorización que surge de la multiplicación del consumo anual con el costo unitario.

Y la cuarta columna % del consumo total que está representando cada una de las valorizaciones en el valor total del inventario:

(9100*100)/1.196.830,25= 0.76Después esa tabla se acomoda donde los porcentajes van de mayor a menor y en esa misma tabla se dan la clasificación ABC:

% part. c/Art.

Consumo $ valorización

% del consumo total

% particip acumulado

%valor. Acumulado

Clase

5 296.875,00 24,81 5 24,81 5 217.800,00 18,20 10 43,00 5 189.275,00 15,81 15 58,82 A5 109.650,00 9,16 20 67,98 5 85.870,00 7,17 25 75,15 5 63.550,00 5,31 30 80,46 5 46.455,00 3,88 35 84,35 B5 37.800,00 3,16 40 87,50 5 33.550,00 2,80 45 90,31 5 22.051,50 1,84 50 92,15 5 17.836,50 1,49 55 93,64 5 14.352,25 1,20 60 94,84 5 14.025,00 1,17 65 96,01 5 13.950,00 1,17 70 97,18 5 9.100,00 0,76 75 97,94 5 7.200,00 0,60 80 98,54 5 7.050,00 0,59 85 99,13 5 5.200,00 0,43 90 99,56

2


5 2.775,00 0,23 95 99,795 2.465,00 0,21 100 100,00 C 100 1.196.830,25 100,00

Esta tabla se decidió graficarse para hacer una representación de la clasificación; en esta clasificación se muestra que la clase A es la de más importancia ya que representa un gran cantidad de porcentaje en productos en relación con lo demás; como se muestra en la grafica un solo 15% de los productos es decir 3 artículos representan un 58.82% de todo el inventario es por eso que estos artículos tienen la clasificación A por que son los de mayor importancia; en la sección B un 20% es decir 4 artículos ocupan un 25.53% de todo el inventario ; y por último la sección C 65% de todos los productos es decir 13 productos (la mayoría de los artículos) están representados por un 15.65% del inventario general, esto quiere decir que no son artículos de mucha importancia por lo tanto no hay mucho porcentaje y es la razón por la que pertenecen a la clasificación C.

La línea horizontal representa el porcentaje a cumulado de la participación de cada artículo y la línea vertical representa el porcentaje del valor acumulado.

Es así como se debe tener en cuenta que sirve para saber que productos son importantes para la empresa y es necesario que se tengan en existencia y poder controlar todos los artículos.Ejemplo 2:Este ejemplo también se basa en la clasificación ABC, la diferencia es que el rango de porcentajes para hacer la clasificación cambia; se basa en el supuesto de que tenemos productos “A”, que componen al menos el 70% del valor total en dinero de la materia prima, productos “B” que componen

2


aproximadamente 20% del valor de nuestro inventario y “C” que son el 10% restante, aproximadamente.Se llevaría entonces a cabo la clasificación ABC. Como ejemplo podemos tener el caso de una coctelería, que tendría la siguiente composición, aquí ya se omiten algunos pasos que anteriormente y se tiene el supuesto de que se tienen los siguientes porcentajes; es importante mencionar que la suma del porcentaje de cada producto es de 100%, como se muestra a continuación:

PRODUCTO PORCENTAJECamarón gigante u13 25%Pulpo 20%Caracol 12%Pimienta 0,20%Jitomate 6%Cebolla 6%Café molido 0,40%Cilantro 0,40%Refrescos 15%Cervezas 15%SUMA 100%

Los productos que más valor tienen asignado en su inventario son prácticamente mariscos y bebidas, los cuales son también su producto principal.

Por lo tanto se decidió dar la siguiente clasificación:

PRODUCTO PORCENTAJE CLASIFICACIÓNCamarón gigante u13 25% APulpo 20% ACaracol 12% APimienta 0,20% CJitomate 6% BCebolla 6% BCafé molido 0,40% CCilantro 0,40% CRefrescos 15% ACervezas 15% ASUMA 100%

Atendiendo a lo anterior podemos decir que son los productos A (mariscos y bebidas) los que mayor utilidad le dan a la empresa y por lo tanto, deben ser los que tenemos que cuidar y controlar más.

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Los productos C pueden controlarse empíricamente o si se desea mediante hoja de cálculo, sin embargo, no es obligatorio un control estricto sobre ellos, pues esto aporta poco valor a la empresa y a sus utilidades y sí puede aumentar sus gastos operativos ya que aumenta el tiempo que el personal encargado tarde en realizar dicha labor.

Después de clasificar los productos en ABC, se debe proceder a clasificarlos por origen, es decir identificar donde se compra o como se obtiene:

PRODUCTO PROVEEDOR ORIGENCamarón gigante u13 Pescadería El marinero En su localPulpo Pescadería El marinero En su localCaracol Pescadería El marinero En su localRefrescos Pepsicola A domicilioCervezas Grupo Modelo A domicilio

Jitomate Mercado de AbastosEn el mercado

Cebolla Mercado de AbastosEn el mercado

Cilantro Mercado de AbastosEn el mercado

Café molido Mercado de AbastosEn el mercado

Es importante en este restaurante tener un registro, porque nos enseña los productos que deben estar siempre en el inventario para que pueda funcionar de una manera eficiente el negocio; y también es importante saber dónde y cómo se van a conseguir los artículos para no perder tiempo en casos de emergencia o en cualquier momento.

Una vez que hemos clasificado nuestro inventario por tipo y por origen podremos llevar a cabo una lista de control cuyo ejemplo mostramos a continuación:

PRODUCTO PRESENTACION CANTIDAD PU. IMPORTE

PROVEEDOR EL MARINERO INICIAL Camarón gigante u13

Marqueta de 2.2 Kg. 10 380 3800

Pulpo Kilogramo 10 60 600Caracol Kilogramo 10 40 400

PROVEEDORPEPSICOLA MEXICO

Pepsi Reja de 24 botellas 5 108 540Seven Up Reja de 24 botellas 5 108 540Manzanita Sol Reja de 24 botellas 5 108 540

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Mirinda Reja de 24 botellas 5 108 540 PROVEEDOR GRUPO MODELO

CoronaCartón de 24 botellas 8 168 1344

VictoriaCartón de 24 botellas 8 192 1536

Negra ModeloCartón de 24 botellas 8 192 1536

PROVEEDORMECADO DE ABASTOS

Jitomate Kilogramo 8 30 240Cebolla Kilogramo 8 30 240Cilantro Racimo 12 2,5 30Café molido Kilogramo 5 70 350

De aquí se pueden hacer otro tipo de clasificaciones identificando cada cuando se compran los artículos para tener presente fechas aproximadas de cuando se tienen que comprar artículos; y de esta manera llevar un mejor control de inventarios.

TEORÍA DE JUEGOS

1.- INTRODUCCIÓN

Dos o más individuos se encuentran en una situación de competitividad si el logro de los objetivos de uno de ellos implica la reducción de las posibilidades de los demás para alcanzar los suyos. Existe una teoría matemática que describe el comportamiento de los participantes; sin embargo, la serie de suposiciones que requiere le dan escasas aplicaciones prácticas.

El complemento a la competitividad es la cooperación; se define como una situación que envuelve a dos o más personas, tal que si una de ellas logra acercarse a sus objetivos, simultáneamente se incrementa la probabilidad de que los demás alcancen los suyos.

La competitividad puede verse desde tres puntos diferentes: Peleas (la situación de competitividad donde el objetivo es eliminar al

oponente). Juegos (la situación de competitividad donde el objetivo es ser más

astuto que el oponente, pero sin eliminarlo). Debates (la situación de competitividad donde el objetivo es convencer

al oponente).

2


La teoría clásica de Von Neumann y Morgenstern, aparecida en 1944, se ocupó de los juegos; los trabajos posteriores de Rapoport, se ocuparon de otras formas de competitividad.

La teoría de juegos sirvió para desarrollar la teoría estadística de decisión y ayudó al desarrollo de la programación lineal.La teoría de juegos considera la existencia de n decisores, donde n≥2. Cuando n=2, el juego se llama de dos personas; cuando n>2, se llama de n personas. Se supone que existe una serie de políticas (reglas de juegos) conocidas por los jugadores. Existe también una serie de condiciones que terminan la competitividad (por ejemplo: ganar, perder y empatar). Se conoce una serie de consecuencias asociadas con una decisión i de un jugador y una j, de otro. Estas consecuencias expresan por lo general en valores monetarios y se presentan en la forma de matrices de consecuencias. Precisamente estas suposiciones son las que limitan la utilidad práctica de la teoría de juegos. Por lo general un tomador de decisiones puede intuir, mas no necesariamente conocer con certeza lo que otro decisor hará bajo ciertas circunstancias. La construcción de una tabla de consecuencias no sólo es un proceso muy difícil, sino por lo general, imposible de realizar en la práctica.

Un ejemplo de lo anterior, es:

La Compañía Telefónica Nacional debe delinear una estrategia para argumentar la revisión del contrato colectivo de trabajo con su sindicato. La empresa supone, por diversas razones históricas que pueden ocurrir cuatro situaciones con el sindicato:

E1) Negociación difícilE2) Demandas exageradasE3) Demandas levesE4) Cambios extremos de posturas del sindicato durante las negociaciones.

Por su parte, el sindicato considera, también por razones históricas, promover algunas de las siguientes estrategias:

S1) Demandas extremadamente exageradasS2) Demandas exageradasS3) Demandas razonablesS4) Demandas leves, favorables a la empresa; no al sindicato.

A través de un intermediario que comunica a la empresa y al sindicato, previa la negociación, se puede (en teoría) diseñar una tabla de consecuencias. Por ejemplo, si la empresa adopta una estrategia E1 y el sindicato promueve una táctica S1, el aumento probable en el salario de un obrero será de $25/hora; en cambio la combinación E4-S1 puede generar un incremento de $32/hora. Suponga que a través de este intermediario, la empresa y el sindicato conocen la matriz de consecuencias, previa la negociación:

2


Construir estas tablas en la realidad son tareas casi imposibles de llevar a cabo, porque se requiere saber qué curso de acción tomará el oponente, como repuesta a una estrategia seleccionada por el otro. En otras palabras, por lo general no existen los “intermediarios de información”.

La teoría de juegos define estrategias que maximizan o minimizan una función objetivo (Por lo general, una función de utilidad construida con la tabla de consecuencias para cada jugador).La teoría de juego se divide en cuanto a:

Jugadores Juegos de dos personas Juegos de n personas

Número de estrategias disponibles a cada decisor: Juegos finitos Juegos infinitos

Objetivos del juego: Juegos suma-cero Juegos suma diferentes de cero ó Meta-juegos.

La teoría de juegos se ha desarrollado básicamente de acuerdo con el juego suma-cero para dos participantes. Existen algunos resultados muy limitados para juegos suma diferente de cero (para dos ó más participantes).

En cuanto a los métodos que utiliza la teoría de juegos para alcanzar el objetivo propuesto por los jugadores se tienen:

Técnicas de puntos de sillas. Conceptos de dominación. Métodos algebraicos o matriciales. Métodos gráficos.

2


Programación lineal.

2.- CONCEPTO DE JUEGOS Y ESTRATEGIAS

Un juego es una situación competitiva entre N personas y grupos, denominados jugadores, que se realiza bajo un conjunto de reglas previamente establecidas, con consecuencias conocidas. Las reglas definen las actividades elementales, o movimientos, del juego. Pueden permitirse diferentes movimientos para los distintos jugadores, pero cada jugador conoce los movimientos de que disponen los otros jugadores.

Si un jugador gana lo que otro jugador gana lo que otro jugador pierde, al juego se le denomina juego de suma 0. Un juego de dos personas es un juego que tiene solo dos jugadores.Una estrategia pura es un plan previamente determinado que establece la secuencia de movimientos y contramovimientos que un jugador realizará durante un juego completo.

En un juego matricial, cada jugador tiene un conjunto finito de estrategias puras, aun cuando el número de éstas pueda ser enorme.

El jugador I(II) conoce el conjunto del jugador II(I), pero no sabe por seguridad qué el elemento del conjunto ha seleccionado II(I) al inicio de un cierto encuentro del juego.

Así la matriz de consecuencias, tabla 16-1, proporciona caracterización completa del juego al que corresponde, en donde g ij es la cantidad ganada por el jugador I al jugador II, cuando I juega su i-ésima estrategia pura, AI, y II juega su j-ésima estrategia pura, Bj. (La matriz de consecuencias para el jugador II es la negativa de la matriz anterior).

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Ejemplo 16.1 Considérese un juego en el cual dos jugadores muestran simultáneamente 1,2 o 3 dedos uno al otro. Si la suma de los dedos mostrados es par, el jugador II paga al jugador I esta suma en dólares. Si la suma es non, el jugador I paga al jugador II esta suma en dólares.

Para este sencillo juego de dos personas suma cero, las estrategias puras pueden identificarse con los movimientos individuales. (Esto no podría hacerse para, por ejemplo, el juego de “gato” (ta,te,ti), en el cual la única estrategia pura podría ser: “Si él mueve primero hacia el centro, yo moveré hacia la esquina del lado derecho; si después el mueve hacia la esquina del lado derecho, yo…”J. Además, ambos jugadores tienen el mismo conjunto de estrategias puras, {1,2,3}. En la tabla 16-2 se da la matriz de consecuencias.

El objetivo en la teoría de jugados es determinar una estrategia “mejor” para un jugador dado, bajo la consideración de que el oponente es racional y realizará movimientos inteligentes en contra. En consecuencia, si un jugador siempre selecciona la misma estrategia pura o selecciona estrategias puras en un orden fijo, su oponente reconocerá a tiempo el patrón y tratará de vencerlo, si es posible. Por esto generalmente la estrategia más efectiva es una estrategia mixta, definida por una distribución probabilística sobre el conjunto de estrategias puras. Para el juego de la tabla 16-1, una estrategia mixta para el jugador I estará especificada por un vector probabilístico.

X≡[x1,x2,…,xm]T

Donde xi(i=…,m) en la proporción de veces (esto es, la frecuencia relativa o probabilidad) que Ai es seleccionada. Similarmente, una estrategia mixta para el jugador II estará designada por:

Y≡[y1,y2,…,yn]T

Donde yj (j=1,…, n) es la probabilidad de que B j sea seleccionada. Como probabilidades, xj,y,yj, son no negativas, con

m n

∑ xj = ∑ yj=1

i=1 j=1

Ejemplo 16.2 En el juego del ejemplo 16.1, si el jugador I siempre muestra 3 dedos, el jugador II puede vencer esta estrategia pura mostrando siempre 2 dedos. Si el jugador I adopta la secuencia fija de estrategias puras 3,3,2,3,3,2,3,3,2,…, el jugador II puede vencerla con la secuencia 2,2,3,2,2,3,2,2,3,…Si el jugador I adopta la estrategia mixta X= [1/6, 1/3, 1/2]T, entonces el jugador I planea mostrar un dedo 1/6 de las veces, 2 dedos 1/3 de las veces y 3 dedos la mitad de las veces. Para mejorar la estrategia, el jugador I podría arrojar un dado antes de cada encuentro. Si el dado mostrara 1 (que tiene una probabilidad de 1/6), él mostraría un dedo; si el dado mostrara 2 o 3 (que tiene una probabilidad de 2/6= 1/3), él mostraría dos dedos; si el dado mostrara 4, 5 o 6 (que tienen una probabilidad de 3/6= 1/2), él mostraría 3 dedos.

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3.- JUEGOS ESTABLES

Supóngase que los jugadores del juego definido a continuación están limitados al uso de estrategias puras. mI= valor máximo de la ganancia mínima del jugador I = máximo (mínimo {gij}) i = 1,……, m j = 1,……., n

mll = valor mínimo de la pérdida máxima del jugador II = mínimo (máximo {gij}) i = 1,……., n j = 1,……., m

Si el jugador I juega con la estrategia que rinde el máximo en la estrategia maximín, él está seguro de ganar, en el peor de los casos, una cantidad m I, mientras que juagando con otra estrategia, podría ganar menos de mI , de manera equivalente, bajo la estrategia maximin, el jugador I pierde, en el peor de los casos, mi. En forma análoga, si el jugador II juega la columna que rinde el mínimo en la estrategia minimax su pérdida segura, la cual es la ganancia de I, será en el peor de los casos mn, estas dos estrategias satisfacen el criterio minimax.Ahora por sus definiciones: mI < mn

Para cualquier juego matricial. Si mI = mn, entonces el jugador I sólo empeoraría su situación al apartarse de la estrategia maximin y el jugador II lo haría al apartarse de la estrategia minimax. Este juego es un juego estable, y las estrategias establecidas por el criterio máximo son estrategias óptimas para los dos jugadores. Además, ambos jugadores pueden ponerse de acuerdo en lo referente al valor de un encuentro del juego (para el jugador I); esto es, G = m I

= mn.

El número G se denomina valor del juego; es la cantidad pagada por el jugador II al jugador I cuando ambos jugadores han empleado sus estrategias óptimas.En suma cada juego estable tiene un valor único y una estrategia óptima (pura) para cualquiera de los jugadores (dándose cuenta que las estrategias óptimas no necesitan ser únicas).

4.- JUEGOS INESTABLESCuando se cumple la desigualdad, el juego es inestable y las estrategias puras dictadas por el criterio minimax ya no son optimas. El resultado fundamental e la teoría de los juegos matriciales es que cuando se admiten estrategias mixtas, los juegos inestables también tienen una solución esto es estrategias óptimas y un valor, siempre y cuando el pago aleatorio se sustituya por su valor esperado.Bajo estrategias mixtas (definidas por los vectores probabilísticos X para el jugador I y Y para el jugador II , el pago de II a I es una variable aleatoria con valor esperado.

E(x, y) m ∑ j=1 n gijXi YjEn forma similar escríbase:M1= Valor máxima de la ganancia mínima esperada del jugador I = max X (min Y E ( x, y)

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MII= valor minimo de la perdida máxima esperada del jugador II = min Y (max X E (X,Y))En las cuales X e Y respectivamente, corren a lo largo de todos los vectores probabilísticos de m dimensiones y todos los de n dimensiones .Entonces, se tienen elTEOREMA MINIMAX: Para cualquier juego matricial, existen estrategias optimas X* e Y * tales que E(X*,Y*)=MI=MII= G*En otras palabras, cualquier juego matricial tiene un valor. Obsérvese que los juegos estables también están cubiertos por el teorema minimax, ya que una estrategia mínima mixta especial que tiene un solo componente directamente de cero.

5.- SOLUCIÓN CON EL EMPLEO DE LA PROGRAMACIÓN LINEAL

Las técnicas de programación lineal sirven para resolver un juego de suma-cero de dos jugadores oponentes.

Las estrategias óptimas garantizadas por el teorema de minimax, así como el valor del juego, pueden calcularse mediante la programación lineal. La estrategia óptima para el jugador 2 se incorpora al la solución del siguiente programa lineal:

Maximícese: z= -yn+1

Con las condiciones: g11y1+g12y2+…+g1nyn-yn+1 ≤ 0 g21y1+g22y2+…+g2nyn-yn+1 ≤ 0 …………………………………………… gm1y1+gm2y2+…+gmnyn-yn+1 ≤ 0 Y1+ Y2+ … + Yn =1

Con: y1, y2, … yn no negativas

Aquí G*= y*n+1 y Y*=[y*1, y*2;…, y*n]T .incrementando inicialmente cada gij en la misma cantidad positiva ( esto deja sin cambio a la naturaleza del juego ) puede forzarse gij ≥0. Entonces, la ganancia esperada para el jugador 1 también es no negativa. Ya que esta cantidad está representada por yn+1 en el programa por lo que todas las variables pueden restringirse a valores no negativos bajo esas circunstancias. De manera equivalente, yn+1 puede reemplazarse por la diferencia de dos nuevas variables no negativas. La estrategia óptima para el jugador 1 es el vector probabilístico cuyos componentes son la solución dual.Siempre que el jugador tiene dos estrategias puras, la estrategia óptima para este jugador puede determinarse gráficamente. Si ambos jugadores tienen 2 estrategias puras, entonces las estrategias óptimas son:X*1= g22-g21 x*2= g11-g12

g11+g22-g12-g21 g11+g22-g12-g21

y*1= g22-g12 y*2= g11-g21

g11+g22-g12-g21 g11+g22-g12-g21

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G*= g11-g22 - g12-g21

g11+g22-g12-g21

6.- JUEGOS SUMA-CERO PARA DOS OPONENTES

Donde juegan dos oponentes los intereses de cada jugador son opuestos, esto quiere decir que la suma de las ganancias de uno es igual a la suma de la pérdida del otro. Por ejemplo:

Hay 2 competidores X y Y ambos son igual de capaces y conocedores de la matriz de consecuencias que se muestra de la siguiente forma:

Haciendo una suposición de que el jugador X gane mientras el otro pierde entonces;

El jugador X puede utilizar las estrategias 1 y 2 mientras que Y las estrategias 3 y 4

El jugador X utilizara la estrategia 1 que es la máxima sus ganancias como Y conoce la matriz de consecuencias e infiere que X jugará 1 entonces el querrá minimizar sus pérdidas y por lo tanto elegirá la estrategia 3.

El valor del juego es 5 porque x gana 5 y Y pierde 5 este juego ilustra la estrategia del juego suma- cero.

Valor de ganancias es aquel promedio de ganancias o pérdidas a lo largo de las múltiples jugadas. Los juegos anteriores se llaman finitos por para un jugador existen n estrategias y para el otro m pero tanto n como m son enteros finitos. Que aclarar que para cada combinación existen consecuencias.

7.- JUEGOS CON ESTRATEGIAS MIXTAS

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Cuando el juego no tenga punto silla la teoría de juegos aconseja a cada jugador asignar una distribución de probabilidades sobre un conjunto de estrategias y esto se expresa matemáticamente de la siguiente manera:Xi= probabilidad de que el jugador 1 use la estrategia i (i=1, 2,... , m)Y1= probabilidad de que le jugador 2 use la estrategia j( j 0,1, 2..., n)Don m y n son el número respectivos de estrategias disponibles, por lo general se hace referencia a estos planes ( x1, x2, …. , x m ) y ( y 1, y2, …… y n) con el nombre de estrategias mixtas, y las estrategias originales se llaman estrategias puras.El producto final de esta línea de razonamientos de esta línea de cada jugador es que cada jugador debe jugar de tal manera que minimice su pérdida máxima siempre que el resultado de su elección no pueda ser aprovechado por su oponente para mejorar su posición. Esto se conoce como criterio minimax y es un criterio estándar que propone la teoría de juegos para elegir una estrategia. En términos de la matriz de pagos implica que jugador 1 debe elegir aquella estrategia cuyo pago mínimo sea el mayor mientras el jugador 2 debe elegir aquella cuyo pago máximo el jugador 1 sea el menor. Este interesante hecho se debe que tal elemento por un lado, es el mínimo del reglón por el otro el máximo. Esta posición de un elemento se llama punto silla.Entonces esta es una solución estable (llamada solución de equilibrio) y cada jugador debe exclusivamente emplear sus respectivas estrategias maximin y minimax.

8.- PUNTOS DE SILLA

Se define como punto de silla a un elemento alfa i j de la matriz de consecuencias tal que a) alfa i j sea el mínimo de la fila i yb) el máximo de la columna j,

Si un juego tiene un punto de silla, por ejemplo la entrada (h, k), entonces el jugador A debe seleccionar la estrategia h y el B, la k. El valor del juego será alfa h k. Si existen dos o más puntos de silla, estos deben ser idénticos.

Cómo cada jugador hará su selección independiente del otro y la matriz es conocida por ambos, estos definirán las estrategias que garanticen mayor seguridad, es decir, maximicen su utilidad.Si A selecciona la estrategia:A1 el mínimo que puede obtener es 30A2 el mínimo que puede obtener es 35A3 el mínimo que puede obtener es 28

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A, que quiere maximizar las mínimas ganancias; en contrapartida, si B selecciona la estrategiaB1, el máximo que puede perder es 40 B 2, el máximo que puede perder es 35B 3, el máximo que puede perder es 37B 4, el máximo que puede perder es 38Por lo que B, que quiere minimizar la máxima pérdida seleccionará la estrategia B2.

9.- JUEGOS SUMA DIFERENTE DE CERO O METAJUEGOS

En los juegos cuya suma es diferente de cero, la ganancia de un jugador no necesariamente implica pérdida para el otro; por el contrario, puede implicar ganancia. Análogamente se tendría el caso para las perdidas.Estos juegos han sido estudiados matemáticamente, bajo el nombre de meta-juegos y su solución generalmente presenta un dilema. Un ejemplo de esto es el dilema del prisionero:El dilema del prisionero es exactamente igual a la situación que se presenta en el caso de agricultores organizados, comerciantes, e industriales que han pactado mantener un precio elevado de sus productos. Si todos aceptan en principio el pacto, es altamente productivo para cualquiera no respetarlo en la práctica y bajar sus precios.

En esta sección no se pretende mostrar las técnicas de solución de estos problemas. Por un lado, son modelos de poca aplicabilidad práctica (teóricamente pueden tener cierta utilidad).

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