Aplicacion Ecuaciones de Bessel Tambor

5/11/2018 Aplicacion Ecuaciones de Bessel Tambor - slidepdf.com

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Curso de Acústica 2011Instituto de Física de la Facultad de Ingeniería

Universidad de la República.Montevideo - Uruguay

UNA APLICACIÓN ACÚSTICA DE LAS FUNCIONES DE BESSEL DE

ORDEN ENTERO Y DE PRIMERA ESPECIE.

En muchos problemas de la Física que dan lugar a ecuaciones diferenciales en

derivadas parciales, de Laplace o de ondas en coordenadas cilíndricas, aparece una

ecuación diferencial ordinaria en la coordenada radial, de la forma

2 2 0d df

x x x n f xdx dx

, (1)

donde la variable x es proporcional a la coordenada radial y n es un entero.La ecuación (1) se conoce como ecuación de Bessel de orden n. Como es una ecuación

diferencial de segundo orden en las derivadas, su solución general está formada por dos

funciones linealmente independientes, que podemos escribir como

n n f x AJ x BY x , (2)

donde se llama función de Bessel de primera especie y de orden n, y la función

se llama función de Bessel de segunda especie y de orden n (o función de

Neumann o función de Weber ).

n J x

nY x

Estas funciones se obtienen proponiendo soluciones en desarrollo en serie de potencias para la ecuación (1), esto es, soluciones de la forma

0

k

k

k

f x x a x

. (3)

Al sustituir (3) en (1) e igualar los coeficientes correspondientes a los términos con la

misma potencia de x, se obtienen el valor del exponente y una relación de recurrencia

entre los valores de . Para la función de Bessel de primera especie estos coeficientes

proporcionan el desarrollo

k a

2

0

1 2

2 !

k k n

n

k

x x J x

k n k

!

n

(4)

De esta expresión se puede probar que

, (5) 1n

n J x J x

para todo entero n.

La función de Bessel (4) sigue siendo solución de la ecuación (1) aún si el número n no es un entero. En este caso la factorial que involucra a n en (4) se debe sustituir por la

1



función continua en la variable continua , donde si n entero, entonces

! 1 . En este caso, la solución de la ecuación de Bessel (1) para un valor de n

no entero se indica como . La relación J x

(5) no se cumple si n no es un entero.

La función de Neumann de orden entero n no se puede obtener de un desarrollo

en serie de potencias del estilo de n

Y x

(4). No obstante, se puede obtener haciendo uso de las

funciones de Bessel no enteras J x calculando el límite

coslim

sinn

n

J x J xY x

(6)

Para valores pequeños de x, la aproximación al primer término en el desarrollo (4) es

1

2 !

n

n

x J x n

, (7)

estando entonces definida en para todo n.0 x La funciones de Neumann n

Y x

0 x

, no obstante, se prueba que tienen un

comportamiento divergente para . Por lo tanto, si el dominio de la variable x en la

ecuación de Bessel (1) (con n entero) contiene el origen, solamente la función de Bessel

de primera especie es una solución aceptable. n J x

En las figuras 1 y 2 se muestran, respectivamente, las primeras funciones de Bessel de

orden entero y de Neumann.

Figura 1. Primeras funciones de Bessel de primera especie

2



Figura 2. Primeras funciones de Bessel de segunda especie (funciones de Neumann)

Como se observa en las gráficas de la figura 1, una función de Bessel de cualquier

orden n es oscilatoria y contiene infinidad de raíces. No obstante, estas raíces no están

periódicamente distribuidas en el eje x, y dos raíces cualesquiera correspondientes a

funciones de diferentes órdenes n no coinciden.

Para cada función de Bessel existe entonces un conjunto infinito de raíces

, tales que

n J

n nk 1 2 3, , ,n n n 0 J . El primer subíndice indica el orden n de la

función de Bessel y el segundo subíndice identifica una raíz correspondiente a ese

orden. Mediante el cálculo numérico se pueden obtener los valores aproximados de las

primeras raíces nk de cada orden n, como se muestra en la tabla I.

n k 1 2 3 4 50 2.4048 5.5201 8.6537 11.7915 14.9309

1 0 3.8317 7.0156 10.1735 13.3237

2 0 5.1356 8.4172 11.6198 14.7960

3 0 6.3802 9.7610 13.0152 16.2235

4 0 7.5883 11.0647 14.3725 17.6160

Tabla I. Primeras raíces de los primeros órdenes de las funciones de Bessel.

Ortogonalidad de la funciones de Bessel

En muchos problemas físicos se imponen condiciones de frontera que llevan a que, en

la dependencia radial de las coordenadas cilíndricas, la función f solución de (1) se

anule para cierto borde circular de radio a. Esta condición se asegura si la variable x se

pone como función de la coordenada radial r en la forma nk x r a , de manera que

n nk

r f x J

a

.

. (8)

Entonces, para cualquiera de las raíces de tendremos la condición de que la funciónse anula en

n J r a

3



Llamemos r a la variable adimensionada cuyos valores de interés están en el

intervalo 0 1 . En este intervalo definimos un producto interno entre dos funciones

reales integrables f , g , como

1

0

, f g f g d (9)

Construyamos la función

nu J , (10)

donde nk es una raíz k -ésima arbitraria de , esto esn J 0n J .

También formamos la función

nv J , (11)

donde es un número real positivo arbitrario.

Las funciones (10) y (11) satisfacen la ecuación diferencial (1), sustituyendo x

en un caso, y x en el otro caso. Resulta, respectivamente,

2 2 2 0d du

n ud d

, (12)

para la función u, y

2 2 2 0d dv

n vd d

, (13)

para la función v.

Dividiendo entre la variable podemos poner las ecuaciones (12) y (13) como

2

2 0d du n

ud d

, (14)

y

2

2 0d dv n

vd d

(15)

Multiplicamos ahora la ecuación (14) por v , la ecuación (15) por u , restamos

ambas e integramos el resultado respecto de entre 0 y 1. Resulta

4



11

2 2

00

0d du d dv

v u d u vd d d d

d

(16)

Cada término de la primera integral de (16) se puede efectuar por partes. Esto da

1 11

000

1

10

1

d du du du dvv d v

d d d d d

du du dvv d

d d d

d

, (17)

para el primer término de la integral y

1 1

100

1d dv dv du dv

u d ud d d d d

d

, (18)

para el segundo término de la primera integral de (16).

Si restamos (17) y (18) como se establece en la ecuación (16), obtenemos para ésta el

resultado

1

2 2

01 11 1

du dv

v u u vd d

d

(19)

Recordando las definiciones de las funciones u y v dadas en (10) y (11) tenemos que

, 1 0nu J 1 nv J , 1 ndu d J

, donde n n x

J dJ x dx

1.

Entonces el resultado (19) queda

1

2 2

0

n n n n J J J J d (20)

Obsérvese que si fuese otra raíz de diferente den J , entonces será en 0n J

(20), de la cual resulta que

1

0

0 sin n J J d , (21)

para dos raíces , cualesquiera de .n J

1

Las derivadas de las funciones de Bessel pueden expresarse como combinaciones de las propiasfunciones correspondientes a distintos órdenes. Así tenemos que 1

n n

n n

d x J x x J x

dx .

5



Es en este sentido que se dice que dos funciones de Bessel del mismo orden n, cuyos

factores de escala son raíces distintas de , son ortogonales con respecto al producto

interno definido en

n J

(9).

Si se trata de la misma raíz , no es aplicable directamente la (20), pero podemos

calcular el límite de esta expresión cuando el número real arbitrario tiende a la raíz

. Esto nos permite calcular la norma de con factor de escalan J respecto a este

producto interno.

Para ello ponemos y hacemos tender a cero la diferencia . Desarrollando

en serie hasta el primer orden tenemos que

n n n n J J J J , (22)

dado que por ser 0n J raíz de .n J

Además del resultado (22) podemos poner en (20) que

2 2 2 . (23)

Por lo que la expresión (20) resulta

1

2

0

1

2n n J J

2

d , (24)

siendo una raíz arbitraria de . Este resultadon J (24) complementa el resultado (21)

obtenido para dos raíces diferentes.En base a la ortogonalidad de las funciones n nk J en el intervalo 0 1 , donde

los números reales1 2, , ,n n nk son las raíces de , y a la aceptación de que estas

funciones forman una base del espacio de todas las funciones

n J

f que verifican la

condición de borde , podemos desarrollar en series de Fourier-Bessel estas

funciones en la forma

1 0 f

1

k n nk

k

f A J

. (25)

Dada la función f , los coeficientes se obtienen utilizando las relaciones de

ortogonalidad

k A

(21) y (24). Esta función será una solución general de la ecuación de

Bessel de orden entero n, que cumple con las condiciones de existencia en 0 y de

frontera . 1 0 f

Vibraciones de una membrana elástica circular con borde fijo (el tambor).

Una membrana elástica uniforme con densidad superficial de masa está sometida a

una tensión superficial también uniforme . La membrana en equilibrio se encuentra en

6



el plano Oxy, sobre . La vibración de los puntos de su superficie constituyen una

función que obedece a la ecuación de ondas

0 z

, , z x y t

2 2 22

2 2 2 2

1,

z z z c

x y c t

(26)

Analizaremos el caso de una membrana circular de radio a y fija en el borde. En este

caso, intentamos obtener la función en coordenadas polares , , z r t , por lo cual a las

derivadas espaciales de (26) (el laplaciano) lo expresamos en coordenadas polares. Esto

es

2 2

2 2 2 2

1 1 1 z z r

r r r r c t

z . (27)

Buscamos los modos normales de oscilación de la membrana, por lo que proponemosuna solución oscilatoria con frecuencia de la forma

, , , exp z r t F r j t . (28)

Al sustituir este resultado en (27) obtenemos la ecuación

2 2

2 2 2

1 1,

F F r

r r r r c

F r

(29)

Poniendo 2k 2 2c y multiplicando todo por obtenemos,2r

2

2 2

20

F F r r k r F

r r

(30)

Utilizando el método de separación de variables proponemos la solución

, F r R r , (31)

que al sustituirla en (30) y dividir todo por el producto R ésta resulta

22 2

2

10

r d dR d r k

R dr dr

r

(32)

Como el segundo término de (32) es solamente función de y los otros dos lo son

solamente de r , cada uno será una constante. Es decir,

22

2

1 d n

, (33)

7



donde, en principio, es cualquier número real o complejo. Lo escribimos de esta

forma por las condiciones que se impondrán a continuación.

2n

La solución general de la ecuación (33) está dada por las dos funciones independientes

de la forma

exp expa jn b jn (34)

La función debe de ser periódica, puesto que al barrer la coordenada un ángulo

completo llega al mismo lugar del espacio, de forma que 2 . Entonces

el número n introducido en (33) por la separación de variables debe de ser real y además

entero.

El resultado (34) también puede expresarse como combinación de seno y coseno, de la

forma

cos sin A n B n

(35)

Sustituyendo (33) en (32) obtenemos una ecuación para la función R r , que

podemos escribir como

2 2 2 0d dR

r r k r n Rdr dr

, (36)

siendo n un entero arbitrario. Haciendo el cambio de variable x kr vemos que la

ecuación (36) es la ecuación de Bessel de orden n que se introdujo en (1).

Por consiguiente, la solución aceptable que se mantiene finita en el origen es lafunción de Bessel de primera especie y de orden n. Esto es

n R r J kr (37)

siendo n un entero arbitrario. Haciendo el cambio de variable x kr vemos que la

ecuación (36) es la ecuación de Bessel de orden n que se introdujo en (1).

Por consiguiente, la solución aceptable que se mantiene finita en el origen es la

función de Bessel de primera especie y de orden n. Esto es

n R r J kr . (38)

Por otra parte, la condición de frontera fija de la membrana de radio a implica que

(39) 0 , 1n nq J ka ka q ,2,3

Esto significa que el producto ka debe de ser una raíz de , lo cual limita los posibles

valores de k y, por consiguiente, los valores posibles de las frecuencias

n J

ck de los

modos de oscilación de la membrana.

De (39) entonces resulta

8



,nq nq

nq nqk k ca a

(40)

Las posibles soluciones para R r pueden escribirse entonces como

n nq n nqr R r J k r J a

(41)

Cada modo de oscilación de la membrana se identifica por dos índices

correspondientes a una determinada frecuencia nq dada en (40). El movimiento de la

membrana en un modo dado resulta entonces de multiplicar las funciones introducidas

en la separación de variables: , , exp R r j t . Obtenemos entonces, luego de

tomar la parte real,

, , cos sin cosnq n nq nq nq nq nq

r z r t J A n B n t a

(42)

La solución más general para la vibración , , z r t de la membrana circular con borde

fijo en r involucra la suma de todos los modosa (42). Esto es

0 1

, , cos sin cosn nq nq nq nq nq

n q

r z r t J A n B n t

a

(43)

Los coeficientes y los ángulos de fase,nq nq A B nq

dependen de las condiciones

iniciales de la membrana.

Por ejemplo, supongamos que en el instante inicial la membrana se golpea (como en el

caso del tambor) partiendo de su posición de equilibrio 0 z y se proporciona el dato

de la velocidad inicial en cada punto: ,00

, ,v r z r .

Esto significa que en (43) debe de ser , ,0 0 , z r r , por lo tanto es necesario

que cos 0 ,nq n q , con lo que el resultado (43) contiene solamente funciones

senoidales del tiempo. Esto es,

0 1, , cos sin sinn nq nq nq nqn q

r

z r t J A n B n t a

(44)

Dada la velocidad inicial de los puntos de la membrana, la derivada temporal de (44) y

su evaluación en 0t arroja el resultado

0

0 1

, cosnq n nq nq nq

n q

r v r J A n B n

asin

. (45)

La sumatoria en n del resultado (45) se levanta utilizando las propiedades de las series

de Fourier en senos y cosenos. Esto determina que

9



2

0

10

, cos nq n nq nq

q

r v r n d J A

a

(46)

para los coeficientes nq A de los cosenos, y

2

0

10

, sinnq n nq nq

q

r v r n d J B

a

(47)

para los coeficientesnq

B .

Finalmente utilizamos la ortogonalidad de las funciones de Bessel (21) para factores de

escala con diferentes raíces de una misma . Hacemosn

J r a en (46), multiplicamos

ambos miembros por n np J e integramos en 0 1 . Resulta

1 2 1

0

10 0 0

, cosn np nq nq n nq n np

q

J v a n d d A J J

d

(48)

donde hemos puesto 0 0, ,v r v a .

De (21) sabemos que sinp nq

p q y la integral del segundo término de (48) se

anula. Entonces en la sumatoria sobre q solamente sobrevive el término en que p q ,

de forma que

1 2 1 2

0

0 0 0

, cosn np np np n np J v a n d d A J

d

(49)

Utilizando el resultado (24) en (49) tenemos la expresión final para el coeficiente

de la forma

np A

1 2

02

0 0

2, cosn np n

np n np

J v a n d d J

p A (50)

De la misma forma despejamos los coeficientes nq B de (47) resultando

1 2

02

0 0

2, sinn np n

np n np

J v a n d d J

p B (51)

Si el golpe de excitación se produce normalmente

a la membrana en un cierto punto 0 0,r , podemos elegir

00 y la velocidad inicial

impuesta a la membrana será simétrica con respecto a la coordenada angular. Esto es

0 0,v r v r , . Entonces la integral en el seno de (51) resulta nula, por lo que

10



serán nulos todos los coeficientesnq B . Solamente importan los coeficientes de los

cosenos en (50), y la vibración general se puede expresar simplificando la expresión

(44) de forma que resulta

0 1, , cos sin n nq nq

n q

r z r t n t a

nq A J (52)

Si el tambor es golpeado en el centro la velocidad inicial tendrá simetría circular, y no

dependerá del ángulo , es decir, 00 v r

n

, , z r . En este caso, la integral del coseno

en (50) se anula para todo n, excepto para 0 . La única función de Bessel

involucrada en la solución en este caso es , y los coeficientes en0

J 0 p A (50) resultan

1

0 0 0 0 02

0 0 0

4 p p

p p

J v a d A

J

(53)

La solución general (52) se simplifica aún más, resultando

0 0 0 0 sinq q q

q

r z r t J t

a

1

, A

J

, (54)

siendo las raíces de y0, 1, 2,3,q q 0 0q las frecuencias de los modos normales

simétricos (o circulares) que, de acuerdo con (40), son 0 0q q c a donde a es el radio

de la membrana circular. La constante c es, según (26), la velocidad de propagación delas ondas superficiales en la membrana c .

Según la nota al pie de la página 5, poniendo allí 0n , podemos expresar la derivada

de como0

J 0

J J 1

. De acuerdo con (5) resulta0

J 1

J , por lo que podemos escribir

(53) como

1

0 0 0 0 02

0 1 0

4 p p

p p

J v a d A J

(55)

Como ejemplo de aplicación supongamos que la membrana del tambor de radio a segolpea en su centro y adquiere un perfil de velocidades iniciales en forma parabólica.

Esto es,

2

2

r

a

2

0 0 01 1 , 0v r V V r a , (56)

donde es la velocidad inicial en el centro de la membrana.0

V

Sustituyendo esta expresión en (55) tenemos las integrales para los coeficientes del

desarrollo de Fourier-Bessel,

11



1

200 0 02

00 1 0

41 p p

p p

V A J

J

d

(57)

Las dos integrales que resultan en el segundo miembro de (57) se resuelven utilizandola relación

1

n n

n n

d x J x x J x

dx . (58)

Resulta

0

0 2

0 0 1 0

8 p

p p p

V A

J 2 0 p J

(59)

Por lo que la vibración de la membrana del tambor resultará, de acuerdo con (54),

2 0

0 0 021

0 0 1 0

, 8 sinq

q

qq q q

J r z r t V J t

a J

0q . (60)

Recordemos que01 02 03

, , , son las sucesivas raíces de , a es el radio del

tambor y

0 J

0 0q qc a son las frecuencias de los modos de vibración correspondientes

a las diferentes raíces de . La constante0 J c es la velocidad de propagación de

las ondas elásticas en la membrana, para la cual es su tensión superficial y su

densidad superficial de masa.

En el siguiente link se presenta una animación de la vibración de la membrana circular

con las condiciones iniciales proporcionadas en (56). El cálculo se hizo con el programa

tambor.m que utiliza las primeras 12 raíces de .0

J

12

http://www.fing.edu.uy/if/cursos/acustica/membrana%20circular/tambor.gif

http://www.fing.edu.uy/if/cursos/acustica/membrana%20circular/tambor.m

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