ECUACIÓN DE BESSEL Y SUS APLICACIONES 2222222222

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[ ] 12 de febrero de 2013

ECUACIÓN DE BESSEL Y SUS APLICACIONES

La función Bessel fue encontrada como solución de un problema de movimiento planetario por el matemático y astrónomo Friedrich Wilhem Bessel. La aplicación de las funciones Bessel (es más extensa que la de las funciones gamma) se extiende a los campos de ingeniería eléctrica, acústica, hidrodinámica, termodinámica, electricidad y mecánica celeste.

(1)Las funciones Bessel son soluciones particulares de la ecuación diferencial:

Que recibe el nombre de ecuación de Bessel de orden n, aunque por supuesto, la ecuación la ecuación diferencial es de orden 2; n es cualquier número real o complejo. La forma de la solución general depende del carácter de n. para cuando n es real positivo, usando el método de Frobenius, donde se postula que la solución es de la forma:

Ya que inmediatamente se ve que x0 = 0 es un punto singular regular de la ecuación (1).Entonces esta solución debe ser válida en ahora sigue hacer el cuadro correspondiente:

La ecuación inicial se encuentra a partir de los términos con menor exponente

Cuando 2n es igual a un entero positivo, se tiene la certeza de una solución de la forma (1), la cual corresponde a la raíz más grande, c1 = n

Del cuadro se encuentra:

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Por consiguiente:

Nótese que todas las aes con subíndice impar valen cero. Con las aes pares se construyen los coeficientes en términos de a0 :

Así:

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Por ende el término general de y1 es:

Recuerden que la función de Bessel es una solución particular de la ecuación diferencial (1), por ello es conveniente seleccionar a a0 para que este término general que se acaba de encontrar se simplifique. Se podria tomar a0 = 1; pero resulta mejor:

Porque de esta forma tanto el exponente de X como el de 2 se hacen iguales; además los factores (n + 1):::(n + k) se combinan con r(n + 1) para dar r(n + k + 1). Por consiguiente, la solución particular, y1, que se busca es:

Esta es la definición de la función Bessel de orden (n 0). La serie converge uniformemente en cualquier intervalo finito:

También hay convergencia absoluta para cualquier X finita, puesto que:

Para toda K y toda X. Esta es la prueba M de Weierstrass. Por consiguiente la serie que define a Jn(x) es uniformemente convergente.

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Funciones de Bessel de primera especie y orden arbitrario

Jº(x) ´ función de Bessel de primera especie y orden º (x; º 2 R).

Ejercicio: Comprobar que Jº(x) y J¡º(x) son soluciones de la ecuación de Bessel

Nota: La solución general de una ecuación diferencial lineal de segundo orden

Viene dada por:

Siendo C1 y C2 constantes arbitrarias, y1(x) e y2(x) soluciones linealmente independientes de la ecuación.En el caso de la ecuación diferencial de Bessel, no es complicado comprobar que las solucionesJº(x) y J¡º(x) son linealmente independientes siempre que , sin embargo para n = 1; 2; 3, ……………

Por lo que para , Jn(x) y J¡n(x) no son linealmente independientes. Este hecho motiva la búsqueda de otras soluciones de la ecuación diferencial de Bessel que sean linealmente independientes con Jº(x) incluso cuando

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Funciones de Bessel de segunda especie

Las funciones de Bessel de segunda especie y orden v, denotadas por Yº(x), vienen definidas por la formula

La función Yº(x) es solución de la ecuación de Bessel, ya que es combinación lineal de Jº(x) y J¡º(x) que son soluciones de la misma. Además Yº(x) es linealmente independiente con Jº(x) y con J¡º(x) (las tres juntas no lo son).Para garantizar la buena definición de Yn(x), basta garantizar la existencia del límite correspondiente. Para lo cual se usa la regla de L'Hopital.

Por último podremos expresar la solución general de la ecuación de Bessel de orden º como

Propiedades

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Funciones de Bessel esféricas

Consideremos ahora las funciones de Bessel de orden

Teniendo en cuenta

Con lo que se obtiene:

De forma similar

Haciendo uso de la relación

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Para las funciones de Bessel de segunda especie hay que tener en cuenta que:

Y a partir de aquí se actúa igual.

APLICACIONES EN LA INGENIERÍA

PRIMER PROBLEMA

Un cilindro macizo está limitado por las superficies r = a, z = O Y z = b .Se desea determinar la distribución de temperaturas estacionarias en el cilindro, si u = las dos primeras superficies y u = f(1') en z = b.En este caso, el problema de contorno a resolver es el siguiente:

Suponiendo: se tiene que:

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Luego:

Al igual que el ejemplo anterior:

Donde son raíces positivas de la ecuación

.Se obtiene las soluciones particulares

De esta manera la función:

es la solución del problema de contorno, supuesto que las C, sean tales que se satisfaga la condición u( r, b) = f (r), esto es.

De donde se deduce

Así finalmente

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Donde la suma es tomada sobre todas las raíces positivas de JO(Aa) = O.

SEGUNDO PROBLEMA

Considerar un péndulo simple, con la siguiente característica: su longitud 1 ahora crece con velocidad constante. Encontrar la ecuación de movimiento y la solución para osciladores pequeñas.

Entonces: La ecuación Lagrangiana de movimiento para la variable es:

Por consiguiente:

Sea l la longitud de la cuerda, en el tiempo t : l = l0 + vt, donde v es la constante de crecimiento, entonces: l = v Para el caso de oscilaciones pequeñas sen puede sustituirse por , por tanto:

Sea:

Entonces:

Entonces

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Esta última ecuación tiene la forma de la ecuación diferencial general con soluciones Funciones de Bessel.Por tanto:

Por ende:

Para simplificar la notación ponga:

Entonces por lo visto anteriormente se tiene

Usando la propiedad diferencial que se demostró se encuentra

Las constantes A y B se encuentran a partir de las condiciones iniciales; por ejemplo, cuando se estudió el péndulo simple clásico con oscilaciones pequeñas se puso:

Y se vio que la solución general es

En el problema bajo discusión se puede tomar estas mismas condiciones iniciales

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Entonces para t=0

Por la propiedad recursiva

Se puede probar que

Ahora use las relaciones de la recursión

Para obtener

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Por consiguiente

Entonces la solución general es

Esta ecuación puede simplificarse si se ajustan

En muchos problemas de la Física que dan lugar a ecuaciones diferenciales en derivadas parciales, de Laplace o de ondas en coordenadas cilíndricas, aparece una ecuación diferencial ordinaria en la coordenada radial, de la forma

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Donde la variable x es proporcional a la coordenada radial y n es un entero. La ecuación (1) se conoce como ecuación de Bessel de orden n. Como es una ecuación diferencial de segundo orden en las derivadas, su solución general está formada por dos funciones linealmente independientes, que podemos escribir como

Donde J n se llama función de Bessel de primera especie y de orden n, y la función se llama función de Bessel de segunda especie y de orden n (o función de Neumann o función de Weber).

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