Fundamentos Matematicos para la Arquitectura II.

(Prof. Gladys Narbona Reina)

Tema 1. Ecuaciones diferenciales de primer orden.

Aplicacion al estudio de la temperatura en edificios.

Vamos a estudiar un modelo que describe la evolucion de la temperaturaen el interior de un edificio. Para ello, denotamos por T (t) la temperatura en elinstante de tiempo t. Supondremos que las variaciones de temperatura dependen detres factores: la temperatura exterior, el calor generado en el interior del edificio y elefecto del sistema de calefaccion o de aire acondicionado. Daremos una notacion paraincluir cada uno de estos efectos en la ecuacion:

Efecto de la temperatura exterior Te(t) sobre el edificio. A partir de pruebasexperimentales se demuestra que este efecto puede modelizarse mediante la ley delenfriamiento de Newton, que establece que el ritmo de cambio de la temperaturaT (t) es proporcional a la diferencia entre la temperatura exterior Te(t) y la interiorT (t).

El calor producido en el interior del edificio por las personas, luces, maquinaria,etc. causan un incremento de la temperatura que denotaremos por H(t), siendoesta funcion no negativa.

Las variaciones de temperatura producidas por el sistema de caleccion/refrigeracionse representan mediante una funcion U(t), que sera positiva para la calefacciony negativa para el aire acondicionado.

Teniendo en cuenta todos estos efectos, podemos considerar la siguiente ecuaciondiferencial de primer orden para modelizar la evolucion de la temperatura:

dT

dt= k(Te(t)− T (t)) + C(H(t) + U(t)) (1)

Mediante la derivada en tiempo dTdt

expresamos el cambio en la temperatura. La cons-tante k se supone positiva y depende de las propiedades fısicas del edificio, como elnumero de puertas y ventanas, aislamiento, etc. La constante C es la capacidad ca-lorıfica del edificio. De hecho, el valor K = 1

kse llama “tiempo de transferencia de

calor” entre el edificio y el exterior, que depende a su vez de la capacidad calorıficay la resistencia termica. Ası, el valor de esta constante K sera menor si se mantienenabiertas los cierres del edificio y mayor si el edificio esta bien aislado.En general, podemos asumir que cuanto mayor sea el espacio, menor sera el valor de C,y mientras mejor aislado este el edificio mayor sera el valor de K, y en consecuencia,menor sera k.

Unidades de medida: En cualquier relacion fısica debe existir una coherenciaentre las unidades de medida de las variables que intervienen en una ecuacion (launidad de medida debe coincidir en ambos miembros de una ecuacion). En nuestrocaso, supondremos que la temperatura (T , Te) se mide en grados Celsius oC, el tiempo(t) en horas h, por tanto el termino a la izquierda de la ecuacion se mide en oC/h. Laconstante k se mide en h−1 y la constante C en oC/kcal. Las funciones U(t) y H(t) seexpresan en terminos de energıa por unidad de tiempo, kcal/h. Luego tambien tenemosque el termino de la derecha en la ecuacion se mide en oC/h, con lo que nuestra relacionesta bien planteada en este sentido. �

Vamos a plantear un problema de condicion inicial para calcular la evolucion de latemperatura en un edificio:{

dT

dt= k(Te(t)− T (t)) + C(H(t) + U(t)); t ∈ [0, 48]

T (0) = T0(2)

siendo T0 la temperatura en el instante inicial t = 0.

Ejercicio: Consideramos la ecuacion (1) y el problema de valor inicial (2), se pide:

1. (A mano) Resolver la ecuacion (1) utilizando el metodo de variacion de la cons-tante.

Consideramos a partir de ahora el problema (2) con los siguientes datos:

k = π12h−1, luego el tiempo de transferencia del edificio es aproximadamente

de 4 horas.

La capacidad calorıfica es C = 12oC/kcal.

La temperatura inicial es T0 = 20 oC.

Suponemos un ritmo de calor adicional constante, H(t) = π24

oC/h.

Suponemos que no se usa calefaccion ni aire acondicionado, luego U(t) = 0.

La temperatura exterior viene dada por la siguiente funcion

Te(t) = 23− 7 cos(π

12t).

Definida ası la temperatura exterior, sigue una forma sinusoidal con un perıodode 24 horas, alcanzando el mınimo en t = 0 (medianoche) y el maximo en t = 12(mediodıa), su grafica para 2 dıas corresponde a la figura siguiente:

Esta situacion podrıa corresponder a la primavera, cuando la variacion de latemperatura es suave y no usamos ni la calefaccion ni el aire acondicionado.

2. (A mano) Escribir la solucion obtenida en el apartado 1 con estos datos particu-lares.

3. (A mano) Calcular la solucion del problema de condicion inicial.

4. Resolver el problema con Maple y comprobar el resultado.

p Recordar la sintaxis para introducir una funcion en Maple, por ejemplo, paradefinir la funcion H(t) = π

24, escribiremos:

H:=t->Pi/24; y

5. Dibujar en una misma grafica la solucion del problema y la temperatura exteriorpara t ∈ [0, 48]. Comentar el resultado.

6. Supongamos ahora una temperatura exterior mas baja:

Te(t) = 15− 7 cos(π

12t).

y una condicion inicial T (0) = 10.

6.1) Resolver el problema con Maple y dibujar la solucion junto con la tempera-tura exterior.

6.2) Introducir el efecto de calefaccion mediante la funcion U(t) = π y vuelve acalcular la solucion.

6.3) Dibujar en una misma grafica los resultados obtenidos en los apartados 6.1y 6.2. ¿Ha tenido alguna influencia la incorporacion de la calefaccion? ¿Como haafectado a la solucion?. Comentar los resultados.

7. Proponer una temperatura exterior y una condicion inicial apropiada para elverano. Repetir los pasos del apartado 6, pero incorporando esta vez una funcionU(t) correspondiente a aire acondicionado.

NOTA: ¿Como introducir funciones a trozos?Supongamos que queremos definir la funcionH(t) que depende del horario de ocupaciondel edificio. Por ejemplo, pongamos que se trata de una oficina con horario de 8 a 17hdonde existe el aporte de calor producido por las personas, ordenadores. . . .Para 48h tendrıamos que definir la siguiente funcion:

H(t) =

0 1 < t < 8π24

8 < t < 170 17 < t < 32π24

32 < t < 410 41 < t < 48

En Maple la sintaxis serıa como sigue:

H:=t->piecewise(t<8, 0, t<17, Pi/24, t<32, 0, t<41, Pi/24, t<48, 0)