APLICACIONES DE LA FISICA A LA MATEMATICA

La física es una ciencia que necesariamente necesita de las matemáticas para existir, si queremos analizar un fenómeno físico, necesitamos traducirlo de algún modo a una expresión matemática, como una ecuación. Isaac Newton se dio cuenta que sin matemáticas el no podría estudiar física, entonces tubo que desarrollar el cálculo infinitesimal

La física utiliza las matemáticas como método de resolución y de cálculo, sin embargo las matemáticas no utilizan a la física, las matemáticas estudian por una parte la geometría analíticamente y por otra los métodos de cálculos, es decir las funciones.

Las matemáticas son una forma de expresar los hechos de una manera entendible para todos (universal). La relación de la física con las matemáticas es la misma que con las otras ciencias. Dependen de ella para poder hacer sus demostraciones y expresar los problemas y soluciones. Sin ella, ¿cómo le haríamos?

¿Por qué se utilizan tantas matemáticas en la física?

La primera razón de la irrupción de las matemáticas en la Física, en los inicios de ambas, es la necesidad de incluir mediciones cuantitativas, además de las cualitativas, para permitir mejorar la capacidad de predicción de las primeras teorías. En un primer momento, tan sólo se utilizaron las operaciones con números más elementales de la aritmética. Desde los tiempos de Newton, sin embargo, se vio la gran utilidad de partes de la matemática más abstractas, como la teoría de funciones y el cálculo infinitesimal.

Posteriormente, se observó que esta progresiva formalización de la Física tenia otra ventaja de gran importancia, tanta o más como la comentada en el párrafo anterior. Ésta se deriva de la propia naturaleza de las matemáticas, que consiste en el estudio de los sistemas formales: es decir, se sientan un conjunto de principios (axiomas) que son elegidos ad hoc, y se extraen todas las consecuencias (proposiciones, lemas, teoremas, etc.) que se pueden deducir de ellos a partir de procedimientos lógicos. De esta forma, las teorías matemáticas (que no son más que sistemas formales diseñados para afrontar problemas concretos) son internamente coherentes y consistentes.

La coherencia interna de la teoría es una de las tres condiciones básicas que debe cumplir toda teoría Física. Hemos visto que las otras dos condiciones, robustez y

correspondencia, se mejoran progresivamente a medida que progresa la investigación,

pero no habíamos comentado como se asegura la coherencia de la teoría. Ésto se hace, pues, convirtiendo desde un principio la teoría Física en un sistema formal matemático. Así, pues, el progreso en la Física Teórica se reduce a la búsqueda del conjunto de axiomas (que llamamos Principios) que generan el sistema formal a partir del cual podemos obtener consecuencias (predicciones) que correspondan con la realidad medible y que, además, se pueda aplicar a una gran cantidad de fenómenos (es decir, que sea robusto).

En algunas ocasiones, se ha encontrado útil aprovechar alguna teoría matemática previamente existente para fundamentar parte de la teoría Física. Un ejemplo de ésto es la utilización de la geometría diferencial (o geometría de Riemman) en la Teoría de la Relatividad General de Einstein. Sin embargo, ésto es cada vez menos frecuente, dado que el interés de los matemáticos suele estar lejos de la Física y, por lo tanto, los físicos deben encargarse de dessarrollar nuevos sistemas formales des de el principio. Un ejemplo de esto es el cálculo infinitesimal (en época de Newton y Leibnitz); y más modernamente, de la integral de caminos de Feynman.

Todo ésto no significa que la única forma de realizar teorías científicas sea la utilización de las matemáticas, es más, en multitud de ocasiones para llegar a la comprensión visceral de la teoría es necesario dejar de lado, momentáneamente, las matemáticas involucradas, centrándose en los concepos físicos. No obstante, las matemáticas es la mejor herramienta que la humanidad ha encontrado para desarrollar las teorías científicas. Naturalmente, no tenemos ninguna razón lógica para suponer que no existen herramientas más eficaces que puedan ser desarrolladas en el futuro, poca gente confía en esta posibilidad.

Por último, debemos comentar los inconvenientes que tiene el uso de las matemáticas en la Física. Es frecuente que los sistemas formales utilizados contengan entidades matemáticas que, si bien son útiles para fundamentar la teoría y, por lo tanto, para la explicación de la realidad, no tiene por que corresponder a la realidad Física. Ésto ocurre si dichas entidades no son directamente medibles. Un ejemplo paradigmático es el concepto de campo, utilizado en numerosas teorías Físicas como el electromagnetismo de Maxwell o la gravedad de Newton. Estos campos no tienen una existencia física, pero son útiles para el desarrollo de la teoría. En este caso, la magnitud medible es la fuerza aplicada que, si bien se define matemáticamente como proporcional al campo, es conceptualmente muy diferente. De hecho, ésto suele causar gran confusión en el

personal no especializado, ya que la literatura fantástica acostumbra a usar estos conceptos como si realmente existieran, además de sacarlos de contexto.

En algunos casos, puede resultar muy difícil diferenciar que entidades matemáticas tienen una correspondencia física con la realidad y cuales no. Es más, ha ocurrido que conceptos que se introdujeron como artimañas científicas resultaron poderse interpretar físicamente (por ejemplo, la teoría de quarks). El caso inverso es menos frecuente.

Las matemáticas y la física

“El libro del Universo está escrito en lengua matemática y sus caracteres son triángulos, círculos y otras figuras geométricas sin cuya mediación es humanamente imposible comprender ni una palabra” (Galileo Galilei). La existencia de una relación particular entre la física y las matemáticas goza de un reconocimiento universal. A través de la historia de la física abundan los testimonios explícitos en ese sentido, empezando por la célebre afirmación de Galileo: "La filosofía está escrita en ese inmenso libro siempre abierto ante nuestros ojos (el Universo), pero no se la puede comprender si no se aprende primeramente a conocer la lengua y los caracteres en que está escrito. Está escrito en lengua matemática y sus caracteres son triángulos, círculos y otras figuras geométricas sin cuya mediación es humanamente imposible comprender ni una palabra.” Tres siglos después, el astrofísico Jeans escribió: “El Gran Arquitecto parece ser matemático.” Podría recopilarse una verdadera antología de citas de este estilo. Y cualquier capítulo de la física parece bueno como ejemplo para tales afirmaciones. La física utiliza con éxito las matemáticas. No obstante este enunciado, lejos de ser como aparenta una estricta constatación, está cargado de presupuestos, aunque resuma una visión inmediata de la situación. Pero lleva directamente a preguntarse por las causas de ese éxito. ¿Cómo puede ser que las matemáticas, reputadas en general como estudio de abstracciones puras, “funcionen” en física, considerada como la ciencia de lo concreto por excelencia? Los propios físicos dan fe a menudo, con una sorpresa ingenua o en términos de una confesión incómoda, de que esta adecuación plantea un problema: “Sin embargo, es notable que ninguna de las construcciones abstractas que la matemática realiza, teniendo exclusivamente como guía su necesidad de perfección lógica y de generalidad creciente, parezca que haya de permanecer sin utilidad para el físico. Por una singular armonía, las necesidades del pensamiento, preocupado por construir una representación adecuada de la realidad, parecen haber sido previstas y anticipadas por el análisis lógico y la estética abstracta del matemático” (P. Langevin). “La idea de que las matemáticas podían adaptarse, de algún modo, a los objetos de nuestra experiencia me parecía extraordinaria y

apasionante” (W. Heisenberg). Las matemáticas constituyen el lenguaje de la física. Al texto citado de Galileo se le pueden añadir dos citas: “Todas las leyes se extraen de la experiencia, pero para enunciarlas se precisa de una lengua especial; el lenguaje ordinario es demasiado pobre, y es además demasiado vago, para expresar relaciones tan delicadas, tan ricas y tan precisas. Esta es la razón por la que el físico no puede prescindir de las matemáticas; éstas le proporcionan la única lengua en la que puede hablar” (H. Poincaré). “Las matemáticas constituyen, por decirlo así, el lenguaje por medio del cual puede plantearse y resolverse una pregunta” (W. Heisenberg).

Esta concepción de las matemáticas como lenguaje de la física puede, no obstante, interpretarse de varias maneras, según que dicho lenguaje se piense como el de la naturaleza, y que el individuo que la estudia deberá esforzarse por asimilar; o bien que se le conciba a la inversa, como el lenguaje del individuo, al cual habrán de traducirse los hechos de la naturaleza para que resulten comprensibles. La primera posición parece ser la de Galileo, también es la de Einstein: “ De acuerdo con nuestra experiencia hasta el momento, tenemos derecho a estar convencidos de que la naturaleza es la realización del ideal de la simplicidad matemática. La construcción puramente matemática nos permite encontrar esos conceptos, y los principios que los relacionan, que nos dan la clave para comprender los fenómenos naturales.” El segundo punto de vista es el de Heisenberg: “ Las fórmulas matemáticas ya no representan la naturaleza, sino el conocimiento que de ella poseemos”. Sin embargo, ambas actitudes, lejos de oponerse, no son sino los puntos extremos de un espectro continuo, y de lo que se trata es de encontrar un punto de equilibrio en el interior de una estructura que se apoya sobre los pares de nociones opuestas naturaleza-hombre, experiencia-teoría, concreto-abstracto, hechos científicos-leyes científicas. Para el gran físico-matemático Roger Penrose, en cierta forma, la mente parece tener “acceso” al mundo de las ideas al que se refería Platón. Repasando alguna de las afirmaciones que hace en su libro “ La nueva mente del emperador”: Hasta qué punto son "reales" los objetos del mundo del matemático?. Desde un cierto punto de vista parece que no puede haber nada real en ellos. Los objetos matemáticos son sólo conceptos; son idealizaciones mentales que hacen los matemáticos, a menudo estimulados por el orden aparente de ciertos aspectos del mundo que nos rodea, pero idealizaciones mentales en cualquier caso. ¿Pueden ser algo más que meras construcciones arbitrarias de la mente humana? Al mismo tiempo parece que existe alguna realidad profunda en estos conceptos matemáticos que va más allá de las elucubraciones mentales de un matemático particular. En lugar de ello, es como si el pensamiento matemático estuviese siendo guiado hacia alguna verdad exterior —una verdad que tiene realidad por sí misma y que sólo se nos revela parcialmente a alguno de nosotros.