UNIDAD: III APLICACIONES DE LA INTEGRAL3.1 reas.

1. La funcin es positiva

Si la funcin es positiva en un intervalo [a, b] entonces la grfica de la funcin est por encima del eje de abscisas. Elrea de la funcinviene dada por:

Para hallar el rea seguiremos los siguientes pasos:

1 Se calculan lospuntos de cortecon el eje OX, haciendo f(x) = 0 y resolviendo la ecuacin.

2 Elreaes igual a laintegral definida de la funcinque tiene como lmites de integracin los puntos de corte.

En primer lugar hallamos los puntos de corte con el eje OX para representar la curva y conocer los lmites de integracin.

En segudo lugar se calcula la integral:

Ejemplo: Hallar el rea limitada por la curva y = 4x x2y el eje OX.

2. La funcin es negativa

Si la funcin es negativa en un intervalo [a, b] entonces la grfica de la funcin est por debajo del eje de abscisas. Elrea de la funcinviene dada por:

Ejemplo: Hallar el rea limitada por la curva y = cos x y el eje Ox entre /2 y 3/2.

En ese caso del recinto tiene zonas por encima y por debajo del eje de abscisas. Para calcular elrea de la funcinseguiremos los siguientes pasos:

1 Se calculan los puntos de corte con el eje OX, haciendo f(x) = 0 y resolviendo la ecuacin.

2 Se ordenan de menor a mayor las races, que sern los lmites de integracin.

3 Elreaes igual a lasuma de las integrales definidasen valor absoluto de cada intervalo.3. La funcin toma valores positivos y negativos

El rea, por razones de simetra, se puede escribir:

Calcular el rea de las regiones del plano limitada por la curva f(x) = x3 6x2+ 8x y el eje OX.

Hallar el rea limitada por la recta x + y = 10, el eje OX y las ordenadas de x = 2 y x = 8.

Calcular el rea del recinto limitado por la curva y = 9 x2y el eje OX.

En primer lugar hallamos los puntos de corte con el eje OX para representar la curva y conocer los lmites de integracin.

Como la parbola es simtrica respecto al eje OY, el rea ser igual al doble del rea comprendida entre x = 0 y x = 3.

3.2 Longitud de curvasLa longitud de una curva plana se puede aproximar al sumar pequeos segmentos de recta que se ajusten a la curva, esta aproximacin ser ms ajustada entre ms segmentos sean y a la vez sean lo ms pequeo posible.Definicin:Si la primera derivada de una funcin es continua en[a,b]se dice que es suave y su grfica es unacurva suave.

Cuando la curva es suave, la longitud de cada pequeo segmentos de recta se puede calcular mediante el teorema de Pitgoras y(dL)2=(dx)2+(dy)2, de tal forma que sumando todos los diferenciales resulta:Definicin:Sifes suave en[a,b], la longitud de la curva def(x)desdeahastabes

EJEMPLOS DE LONGITUD DE CURVAS1. 2. 3. 4.

Calcular el rea de las siguientes funciones

Halle el rea encerrada por las curvas y=x2-4x e y=6x-x2Halle el rea limitada por la parbola y=x2-x y la recta que une los puntos P(1, 2) y Q(-3,-6)