Problema 1. DistanciaUtilice el mtodo de los multiplicadores de Lagrange para calcular la mxima y mnima distancia del punto (2, 1,-2) a la esfera cuya ecuacin es (por supuesto, la respuesta se podra obtener ms fcilmente utilizando un argumento geomtrico simple).Como la principal cuestin es la distancia del punto (2, 1,-1) a la esfera, se establece como ecuacin principal la ecuacin de distancia

La restriccin es que este punto (2, 1, -1) no se encuentre dentro de la esfera, entonces la restriccin es

Se deriva a (1) con respecto a: x, y, z

Se deriva a (2) con respecto a: x, y, z

Utilizando el mtodo de las multiplicaciones de Lagrange, se tiene que:

Se despeja a Se despeja a Se despeja a

Se sustituye en (2), por lo tanto

Se despeja

Se sustituye

Quedando

Ahora se sustituyen estos valores en (1)Primero se sustituyen los mximos (positivos, en este caso), quedando:

Ahora se sustituyen los mnimos (negativos, en este caso), quedando:

Por lo tanto la distancia mxima del punto a la esfera es 4 unidades y la distancia mnima del unto a la esfera es de 2 unidades.

Problema 2. DistanciaUtilice el mtodo los multiplicadores de Lagrange para calcular la mnima distancia entre las rectas x= y= z y x= -y, z= 2 (existen, por supuesto, formas mucho ms sencillas de obtener la respuesta. Esto es un ejemplo de matar moscas a caonazos).Ecuacin principal

Ecuacin Restrictiva

Se obtienen las derivadas de la ecuacin Principal

Se obtienen las derivadas de la restriccin

Se sustituyen , y en

Se despeja a y , obtenindose

Se iguala a cero y se sustituye

De la igualdad de a cero, se obtiene

Se sustituye los valores de z=2, y=0, x=2/3, en la ecuacin principal

Por lo tanto la distancia mnima entre las rectas es de unidades