TRABAJO COLABORATIVO 1

HERNAN DARIO SERRATO LOSADA

1081411410

WILLIAM DE JESUS MONTOYA HENAO

Tutor

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD

ECUACIONES DIFERENCIALES

2015-II

Problema 2:Un paracaidista de masa 100 Kg (incluyendo su equipo) se deja caer de un avión que vuela a una altura de 2000 m, y cae bajo la influencia de la gravedad y de la resistencia del aire. Supongamos que la resistencia del aire es proporcional a la velocidad del paracaidista en cada instante, con constante de proporcionalidad 30 N.s/m con el paracaídas cerrado, y 90 N.s/m con el paracaídas abierto. Si el paracaídas se abre a los diez segundos del lanzamiento, hallar el instante aproximado en el que el paracaidista llega al piso. ¿Cuál es su velocidad en ese instante? (Considere la gravedad como 10 m/sg2)

Si X 1 ( t )distancia decaida del paracaidista enT=sg;V 1=dX 1/dt , por lotanto

v0=0 ;m=100kg ;b1=30n sm; g=10m /s g2

v1 ( t )=m∗gb1

(1−ⅇ−(b1m) t); v1 (t )=100∗1030

(1−ⅇ−( 30100 )t)v1 (t )=33.333 (1−ⅇ−0.3 t )

x1 (t )=m∗gb1

t−(m )2∗g

(b1 )2(1−ⅇ−( 30100 )t)

x1 (t )=33.333 (1−ⅇ−0,3 t )

Por lo tanto cuando t=10 sg

v1 (10 )=33.333¿

v1 (10 )=31.6585 msg, cae aesta velocidad del avion

x1 (10 )=33.333 (10 )−111.111¿

x1 (10 )=227.8016m,hacaido hasta queabre el paracaidas

Por lo tanto si laaltura esde 4000m y hacaido 227.8016m≤quedaunadistancia por caerdespues de haber abiertoel paracaidasde1772.1984m y viajaraaunavelocidad de

31.6585m /sg .

Por lo tanto cuandoabre el paracaidas :

v0=31.6585 msg;m=100kg ;b2=90n . s

m; g=10m /s g2

x2 (T )=m∗gb2

T + mb2 (v 0−m∗g

b2 )(1−ⅇ−(b2m )T )

x2 (T )=100∗1090

T+ 10090 (31.6585−100∗1090 )(1−ⅇ−( 90100)T )

x2 (T )=11.111T+22.8302 (1−ⅇ−(0.9 )T )

Elmomento en queel paracaidista llegaal suelo ,hacemosa x 2 (T )1772.1984m

x2 (T )=11.111T+22.8302(1−ⅇ−(0.9 )T )

x2 (T )=11.111T+22.8302−22.8302ⅇ−(0.9 )T=1772.1984

x2 (T )=T−22.8302ⅇ−(0.9 )T=1772.1984−22.830211.111

x2 (T )=T−22.8302ⅇ−(0.9 )T=157.444

este valorⅇ−(0.9 )T esmuy pequeño paraT , po lotanto se despreciara por lotanto T=157.444 sg ,qe eltiempo enque golpea el suelo despues deabrir el paracaidas o

167.444 Sgdespues dehaberse arrojado del avion :

V . Impacto=m∗gb2

V . Impacto=100∗1090

V . Impacto=11.111 msg, con paracaidasabierto .

De acuerdo al enunciado comparto los resultados obtenidos, y estoy de acuerdo con los formulas planteadas del ejercicio, en este análisis presento más datos que no están en la solución del enunciadoAnalisis2Solucion: Por la segundaley denewtonma=F netam

dvdt

=mg+kves decir , dvdt

− kmv=g

Alresolver esta ecuacionlineal se obtiene .factor integrante

ⅇ ∫ kmdt=g

kem

t

que equivalea :ddt ( k

emt∗v)= k

gemt

Integradorepecto a t

kmⅇt v=

g∗mk

ekmt+C

v=g∗mk

+Cⅇ−km

t

Aplicandolas condiciones inicialesv (0 )=νo−mgk

Entonces laecuacion de la velocidad encualquier t es :

v (t )=mgk

+(νo−mgk )ⅇ(−km )t

teniendoencuenta que v ( t )=dxdt, y haciendo x (0 )=xo

dxdt

=mgk

+(νo−mgk )ⅇ(− k

m )t

Integrandorespecto a t

x=mgkt+

(ν o−mgk )∗−m

kⅇ

(−km )t+C

x=mgkt−νo−

mkⅇ

( km )t+m2g

k 2ⅇ

(−km )t+C

Entonces xo=

−νom

k+m

2 gk2

+c

C=xo+νom

k−m2g

k2

de donde

x (t )ⅇ( km )t

t−νom

kⅇ

(−km )t+m2 g

k2ⅇ

( km )t+xo+

νom

k−m2g

k 2

x (t )=mgkt+m

k (νoⅇ(mk )t+νo+

mgkⅇ

(−km )t−ⅇ

( km )t−mg

k )+xoReagrupando

x (t )=mgkt+m

k (νo−mgk )(1−ⅇ

( km )t)+x o

Considero la gravedad como g=10 mS2y laetapainicial dondeel paracaidas

estab cerrado ,donde xo=0 , v0=0 , k=30Nsm

v (t )=1003

−1003

ⅇ−310

t

x (t )=1003t+ 1000

9ⅇ

−310

t

Luegode10 segundos

v (10)≈31.6737 ms

Y ladistancia ecorrida por el paracaidistadurante los primeros10 segundoses aproximadamente

x (10 )≈338.8652m

Para la segundaetapa ,es decir , cuandoel paracaidas estaabierto , se toma

comominstante t=0 aquelen elque el paracaidas se abre yk=90N sm,con lo que setiene .

Entoncesxo≈338.8652m ,νo≈31.6737

mS

v (t )=1009

+20.5626e(−910 ) t+361.7125Entonces como tenemos x ( t )=2000

1009t−22.8473e (−910 ) t+361.7125=2000

Esdecir que

t=2.05625e (−910 ) t+147.4459El paracaidistademoraaproximadamente

t=147.4459+10 seg=157.4459

Lavelocidad con la que llegaal suelo es de

v=100 km9 s

=11.11 kms