APORTE DE KIRMAN CAÑAR

Ejercicio 6

Halle el volumen de un sólido generado al rotar sobre el eje x = -1 la región encerrada por la parábola x = y2 y la recta x = 2y.

Por el método de arandelas.

Volumen del solido= volumen del disco grande- volumen del disco pequeño

V=π∫a

b

R( y )2−R( y)2

Para encontramos los limites igualamos las ecuaciones

y2 = 2y

y ( y−2 )=0

Los límites del solido serian: y=0, y=2

Remplazamos con las ecuaciones dadas.

V=π∫0

2

(2 y+1)2−( y2+1)2dx

V=π∫0

2

4 y2+4 y+1− y4−2 y2−1dx

V=π∫0

2

2 y2+4 y− y4+dx

Integramos

V=π [ 6 y3

3+

4 y2

2−y5

5 ]Se realiza el límite:

V=π [ 6∗23

3+

4∗22

2−

25

5 ]=π [16+8−6,4 ]=17,6 π

Volumen del solido = 17,6 π .unidades3

Ejercicio 10

Una fuerza de 40Nw se requiere para detener un resorte que esta estirado desde su longitud natural de 10 cm a una longitud de 15cm. ¿Cuánto trabajo se hace al estirar el resorte de 15 a 18 cm?

Aplicamos la ley de Hooke.

F ( x )=kX

Para encontrar la constante del resorte

40Nw=k (0,05)

40Nw= ¿(0,05)

=k ¿

k=800

F ( x )=800 x

Aplicamos la integral para trabajo. Para los límites es necesario restar la distancias de 15 y 18 cm los 10cm que es la longitud natural del resorte

W=∫0.05

0.08

800 xdx

Integramos y evaluamos en los límites

W=800 x2

2=400 x2=400 (0,08 )2−400 (0,05 )2

W=1,56 julios

R/ El trabajo que se hace para estirar el resorte d 15 a 18 cm es de 1,56 julios