Aportesenseñanzamatematicas

7/30/2019 Aportesenseñanzamatematicas

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Aportes para

la enseñanza

de la Matemática



Segundo Estudio

Regional Comparativoy Explicativo

Aportes para

la enseñanzade la Matemtica

Laboratorio Latinoamericano

de Evaluación de la Calidad

de la Educación



Esta es una publicación de la Oficina Regional deEducación de la UNESCO para América Latina y elCaribe (OREALC/UNESCO Santiago) y del LaboratorioLatinoamericano de Evaluación de la Calidad de laEducación - LLECE

Jorge SequeiraDirector

OREALC/UNESCO Santiago

Héctor ValdésCoordinador del LLECE

Carmen Gloria AcevedoSandra CarrilloMauricio CastroRoy CostillaSilvia OrtizErnesto TreviñoEquipo del LLECE

Marcelo Avilés Jefe Unidad de Comunicaciones y Publicaci ones

María Eugenia MezaEdición

Alejandro Urbn

Diseño portada

Gerardo PatiñoDiseño interior

Ximena MilosevicAna María BaraonaDiagramación

Los autores son responsables por la selección y presentación de los hechos contenidos en esta publicación, así como de las opinionesexpresadas en ella, que no son necesariamente el pensamiento de la UNESCO y no comprometen a la Organización. Las denominacionesempleadas y la presentación de los datos no implican, de parte de la UNESCO, ninguna toma de posición respecto al estatuto jurídico delos países, las ciudades, los territorios, las zonas y sus autoridades, ni respecto al trazado de sus fronteras o límites.

El uso de un lenguaje que no discrimine ni reproduzca esquemas discriminatorios entre hombres y mujeres es una de las preocupaciones

de nuestra Organización. Sin embargo, no hay acuerdo entre los lingüistas acerca de la manera de hacerlo en castellano. En tal sentido,y para evitar la sobrecarga grfica que supondría utilizar en español o/a; los/las y otras formas sensibles al género con el fin de marcarla presencia de ambos sexos, hemos optado por usar la forma masculina en su tradicional acepción genérica, en el entendido que esde utilidad para hacer referencia tanto a hombres y mujeres sin evitar la potencial ambigüedad que se derivaría de la opción de usarcualesquiera de las formas de modo genérico.

Permitida su reproducción total o parcial, así como su traducción a cualquier idioma siempre que se cite la fuente, y no se utilice con fineslucrativos.

ISBN 978-956-322-004-9

Impreso por Salesianos Impresores S.A.

Santiago, Chile; enero, 2009.



Aportes parala enseñanzade la Matemtica

Liliana BronzinaGraciela ChemelloMónica Agrasar



Índice

Pra ............................................................................................................................... 9

Prl ..................................................................................................................................... 11

1. A ............................................................................................................................. 13

El LLECE y el SERCE ........................................................................................................... 13

Las pruebas SERCE de matemtica ..................................................................................... 14

Marco conceptual de la prueba de matemtica .................................................................... 15

Qué evaluó el SERCE en el rea matemtica ........................................................................ 16

2. Rula la pruba aa ................................................................................. 19

Resultados generales por puntuaciones medias ................................................................... 19Resultados generales por dominios de contenido y procesos cognitivos .............................. 20

Resultados de la región en matemática para tercer grado básico .................................... 20

Resultados por país en matemática para tercer grado básico .......................................... 22

Resultados de la región en matemática para sexto grado básico ..................................... 25

Resultados por país en matemática para sexto grado básico ........................................... 28

3. Ra para la jra la pra paa ..................................................... 32

Evaluación y perspectiva de enseñanza ............................................................................... 32

La matemtica necesaria para el ciudadano y las habilidades para la vida ........................... 33

Cultura matemtica, aprendizaje a largo plazo .................................................................... 34

Selección de problemas y construcción de significados ....................................................... 36

Trabajo en clase y tipo de prctica matemtica ................................................................... 39

Estudiar matemtica en clase y fuera de ella ....................................................................... 40

4. La valua para la a la va ...................................................... 41

Niveles de desempeño y ejemplos de preguntas por nivel .................................................... 41

Anlisis de las producciones de los estudiantes de tercer y sexto grado

Alternativas de intervención docente ................................................................................... 49

5. Para ur rabaja l pr la ula ........................................................... 126

Bblrafa ............................................................................................................................. 129



AgRAdecimientos

Esta serie fue posible gracias a la gestión del Laboratorio

Latinoamericano de Evaluación de la Calidad de la Educación (LLECE)

de la OREALC/UNESCO Santiago, y a los aportes de muy diversos

especialistas comprometidos con el SERCE.

Las autoras agradecen el empuje, la contextualización y la coordinación

de la serie a Héctor Valdés; el trabajo sobre las bases de datos a

Mauricio Castro; los procesamientos de datos y la orientación para

plasmarlos de modo adecuado a Daniel Bogoya, Carlos Pardo y Andrés

Burga León; la lectura crítica de las especialistas Teresa León y SilviaPuig; el acompañamiento y aportes a Giuliana Espinosa y Lilia Toranzos;

y la fuente de inspiración respecto a la forma en que las evaluaciones

masivas pueden usarse en las escuelas, a Pedro Ravela.



9

Presentación

El Segundo Estudio Regional Comparativo y Explicativo (SERCE),

cuyo Primer Reporte fue publicado a mediados de 2008, ha aportado

importantes informaciones que constituyen insumos sustantivos para

la toma de decisiones en materia de políticas sociales y educativas

en los países de América Latina y el Caribe. El desafío que queda por

delante es realizar estudios ms específicos, que permitan contar con

información precisa sobre cómo optimizar el aprendizaje de los estu-

diantes, especialmente de aquellos que, por diferentes causas, estn

en desventaja social.

El presente texto es el segundo de la colección Aportes para la Ense-

ñanza, estando los anteriores dedicados a Lectura y Ciencias Natura-les. El objetivo de la serie es proporcionar a los docentes orientaciones

que los ayuden a mejorar sus prcticas pedagógicas en las reas

exploradas por el SERCE, para lograr que los estudiantes construyan

los aprendizajes necesarios para participar plenamente en la socie-

dad. Esta colección es coherente con una concepción de evaluación

de la calidad de la educación que no se limita a hacer diagnósticos

de situación, sino que proporciona, adems, elementos para favorecer

las prcticas educativas y avanzar hacia una educación de calidad sin

exclusiones.

La colección Aportes para la Enseñanza constituye sin lugar a dudas el

valor agregado ms importante del SERCE respecto de otras evalua-

ciones internacionales. Esfuerzos como los que este tipo de estudios

supone no pueden quedar reducidos al mbito del mundo académico,

o de quienes toman decisiones de política educativa: es imprescindible

que lleguen a las escuelas, porque son los docentes los verdaderos

autores de los cambios educativos.

PARticiPAntes:

AraBral

chl

clba

ca Ra

cuba

euar

el salvar

guaala

m

narauaPaa

Paraua

Prú

Rpúbla daa

Uruua

ea nuv L

(m)1

1 Nuevo León, fue el único de una serie de estados subnacionales –que desde 2004 se han inte-grado al LLECE– que siguió todos los procesos y requisitos para participar en esta evaluación.La idea del SERCE fue acoger a determinados estados que, disponiendo de cierta autonomía eneducación, gracias a la organización política de sus países, quisieron someterse a evaluacionesinternacionales referidas a la calidad de su educación. Con el tiempo sólo quedó Nuevo León,que participó de la experiencia como un país más.



10

Aportes para la Enseñanza de la Matemtica comienza con una

presentación general del estudio SERCE y de las pruebas de esta rea;

para luego dar a conocer los resultados de los estudiantes por dominio

curricular y por proceso cognitivo.

Otro apartado pone el acento en algunos aspectos de la enseñanza

actual de la matemtica y, por último, describe los desempeños de los

estudiantes, analizando aciertos y errores e incluyendo elementos para

su anlisis y propuestas de intervención docente.

Jr squraDirector

OREALC/UNESCO Santiago



11

Prólogo

“La matemática tiene las progresiones geométricas que elevan los números

a maravillosa altura, las sociedades tienen la educación”.

José Martí

Las pruebas de Matemtica utilizadas por el SERCE presentan una

progresión de niveles de desempeño definida a partir del anlisis de la

combinación adecuada entre procesos cognitivos y contenidos curricu-

lares, según niveles crecientes de dificultad. De esta manera, el Nivel IV

agrupa las preguntas de mayor demanda cognitiva.

En el caso de esta rea curricular, en dicho nivel superior de desempe-ño en el SERCE se ubica, aproximadamente, el 11% de los estudiantes

tanto de tercer como de sexto grado de bsica. Es decir, sólo ese

porcentaje de estudiantes de ambos grados puede responder correcta-

mente la mayoría de las preguntas de mayor demanda cognitiva de las

pruebas de Matemtica. Ello acusa un significativo déficit de calidad de

la educación en este campo que se est ofreciendo a los estudiantes de

primaria de América Latina y el Caribe.

Basta con ese dato para que la conciencia de nuestro profesorado se

movilice y promueva la búsqueda de las causas de tales deficiencias.

Ese es el propósito esencial del texto Aportes para la Enseñanza de la

Matemtica: movilizar la conciencia del magisterio de nuestra región,

con la finalidad de estudiar y encontrar qué factores estn influyendo

en que el aprendizaje de esta importante rea curricular no esté dando

los frutos esperados.

Cuando se habla de calidad de la educación matemtica de nuestros

estudiantes, la palabra de orden es “comprender” cules son las

herramientas necesarias para resolver ciertos problemas y distinguirlos

de otros, en cuya solución se emplean otras herramientas. Comprender

también que pueden variar los procedimientos y, sin embargo, ser v-lidos; que los problemas pueden presentar datos de ms, o de menos;

que pueden tener una, ninguna o varias soluciones posibles; que cada

uno tiene la posibilidad de buscar, crear y validar su propio procedi-

miento. Comprender, en definitiva, que no todo “est hecho”.

¿Quién podría decir que es una tarea fcil? Nadie, pues es exactamen-

te todo lo contrario: se trata de una tarea que se enfrenta a muchas

y variadas complejidades. Entre otras, a la complejidad proveniente

de la multiplicidad (lo que da origen al número, a la aritmética); la



12

complejidad que procede del espacio (lo que da lugar a la geometría);

la que proviene del símbolo (lgebra); la que est determinada por el

cambio y la causalidad determinística (clculo), la que proviene de la

incertidumbre en la causalidad múltiple incontrolable (probabilidad,

estadística), y la complejidad de la estructura formal del pensamiento

(lógica matemtica).

Pero tampoco es una tarea imposible de realizar. Sostengo que es posi-

ble elevar a planos muy superiores la calidad de la educación matemti-

ca que reciben los estudiantes de nuestra región. Para ello ser necesa-

rio que los docentes busquen y logren un continuo apoyo en la intuición

directa de lo concreto; un apoyo permanente en lo real; que centren la

educación matemtica en el desarrollo de los procesos de pensamiento

matemtico; que tengan muy en cuenta los impactos de la nueva tecno-

logía en la enseñanza de esta rea. Que reconozcan permanentemente

la importancia de la motivación de sus estudiantes por aprender estaciencia, pues una gran parte de los fracasos en esta disciplina científica

tienen su origen en un posicionamiento inicial afectivo totalmente des-

tructivo de sus propias potencialidades en este campo.

Al mismo tiempo, es muy útil reconocer la importancia de la historia

de la matemtica para elevar la motivación de los estudiantes a cono-

cerla con profundidad. La visión histórica transforma meros hechos y

destrezas sin alma en porciones de conocimiento buscadas ansiosa-

mente, en muchas ocasiones con genuina pasión, por seres humanos

de carne y hueso que se alegraron inmensamente cuando dieron conellas por primera vez.

Estamos seguros de que este texto ayudar al magisterio latinoameri-

cano y caribeño a comprender de qué manera podemos lograr que el

estudiante manipule adecuadamente los objetos matemticos, active

su propia capacidad mental, ejercite su creatividad y reflexione sobre

su propio proceso de pensamiento para mejorarlo conscientemente.

Todo lo anterior, con el fin de que los alumnos adquieran confianza en

sí mismos y se diviertan con su propia actividad mental.

Estos son los objetivos de una educación matemtica de alta calidadque, efectivamente, eleve el saber de nuestras sociedades a maravillosa

altura, así como lo hacen las progresiones geométrica a los números.

dr. c. Hr Val VlCoordinador del LLECE

OREALC / UNESCO Santiago



13

Antecedentes

LLece y seRce

El Laboratorio Latinoamericano de Evaluación de la Calidad de la

Educación (LLECE) es la red de sistemas de evaluación de la calidad de

la educación de América Latina, coordinado por la Oficina Regional de

Educación de la UNESCO para América Latina y el Caribe

(OREALC/UNESCO Santiago), con sede en Santiago de Chile.

Sus funciones estn centradas en:

• Producir información sobre logros de aprendizajes de los alum-

nos y analizar los factores asociados a dichos avances.

• Apoyar y asesorar a las unidades de medición y evaluación delos países.

• Ser foro de reflexión, debate e intercambio de nuevos enfoques

en evaluación educativa.

Conforme a sus objetivos, el Laboratorio desarrolló entre 2002 y 2006

el Segundo Estudio Regional Comparativo y Explicativo (SERCE), que

evalúa y compara el desempeño alcanzado por los estudiantes lati-

noamericanos de tercero y sexto grados de educación primaria en las

reas de lenguaje, matemtica y ciencias de la naturaleza.

El SERCE busca explicar sus resultados, a partir de distintos factores

escolares y de contexto. Pretende así generar conocimiento relevante

para la toma de decisiones de políticas educativas y para mejorar las

prcticas docentes y escolares y, con esto, promover una mayor equi-

dad en los aprendizajes.

En su diseño, implementación y anlisis participaron diversos equipos

de evaluadores, pedagogos, especialistas en currículo, expertos en

construcción de instrumentos de evaluación, técnicos y monitores de la

región.

Su amplia cobertura, que recoge información sobre los estudiantes y

sus familias; los docentes, los directores y las escuelas permite identifi-

car cules son los factores que tienen mayor incidencia en los desem-

peños de los estudiantes. El cumplimiento de altas exigencias teóricas

y de método, confieren al SERCE capacidad de generalización: lo que

el estudio informa sobre los estudiantes evaluados puede extenderse al

resto de los estudiantes de la región y del país.

e 1997, l LLece haba

rala l prr

h u br

luaj, aa

far aa rr

uar ra.

e pr br, pr

prra v, fra

parava br l

lr apraj l

alu l 13 pa

Ara Laa l carb

qu parpar.



14

Por todas estas características, es la evaluación de desempeños de es-

tudiantes ms importante y ambiciosa de las desarrolladas en América

Latina y el Caribe.

El estudio, comenzó en 2002, recogió la información en 2006, y publi-

có sus primeros resultados en 2008, con el Primer Reporte SERCE.

LAs PRUeBAs seRce de mAtemáticA

Para la evaluación de los aprendizajes de Matemtica, fueron cons-

truidas pruebas alineadas con un marco curricular común a los países

latinoamericanos participantes del estudio.

A fin de establecer dominios de contenidos y procesos cognitivoscomunes a los estudiantes de educación primaria de todos los países

participantes, fue identificado qué se enseña en esta rea en la región.

Este marco, consensuado y validado por el conjunto de países, fue

estructurado desde el enfoque de habilidades para la vida, cuyo foco

en matemtica est en la resolución de problemas.

Este enfoque asume que la alfabetización matemtica es un proceso

permanente a lo largo de la existencia, que incluye aquellos conoci-

mientos, destrezas, capacidades, habilidades, principios, valores y

actitudes necesarios de incluir en el currículo escolar del rea paraque los estudiantes latinoamericanos aprendan a desarrollar su

potencial, hagan frente a situaciones, tomen decisiones utilizando la

información disponible, resuelvan problemas, defiendan y argumen-

ten sus puntos de vista, entre tantos otros aspectos centrales que los

habilitan para la inserción en la sociedad como ciudadanos plenos,

críticos y responsables.

El LLECE invitó a los países a elaborar y enviar preguntas para integrar

la prueba. Equipos del LLECE seleccionaron este material y elabora-

ron pruebas que mandaron a todos los países para que estos hicieran

observaciones en cuanto a formulación, pertinencia con el currículumreal, contenido y proceso cognitivo. Cada país, adems, hizo sus adap-

taciones lingüísticas para que alguna palabra no fuera un obstculo

para los niños en la comprensión de la pregunta2.

La fra ra

a v pr l seRce

abara a 200 l

ua, 9 l aula

3 l ula.

el u aala l

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e a l ju

rfr b para l

u seRce fu fua ara uaa.

2 Por ejemplo, en un ítem para algunos países decía ‘la cometa’, mientras que otros usaron laspalabras ‘volantín’, ‘barrilete’, ‘piscucha’ o ‘papalote’.



15

Con los ítems, o preguntas, fue construida una prueba piloto, aplicada

en 2005. Luego de un procesamiento específico –de tipo estadístico y

pedagógico– para determinar la calidad de los ítems, el LLECE elaboró

la prueba definitiva para tercero y sexto grados.

Bsicamente, las preguntas son del tipo ‘opción múltiple’, con cuatro

alternativas de respuesta de las cuales una sola es correcta. Sin

embargo, para evaluar ciertos procedimientos matemticos fueron em-

pleadas preguntas de respuesta abierta, en las que el estudiante debe

exponer las estrategias utilizadas para responder.

Estructurado en seis (6) cuadernillos, el instrumento definido para eva-

luar el rea de matemtica en tercer grado contuvo 72 preguntas, de

las cuales 66 eran cerradas de opción múltiple y seis (6) de respuesta

abierta. Cada estudiante le correspondió responder un único cuaderni-

llo, asignado en forma aleatoria, con 24 preguntas en total.

Por su parte, el instrumento dirigido a evaluar el rea de matemtica

en sexto grado, también estructurado en seis (6) cuadernillos, fue di-

señado con 87 preguntas cerradas de opción múltiple y 9 de respuesta

abierta, haciendo un total de 96 preguntas. Cada estudiante respondió

un único cuadernillo, asignado en forma aleatoria, con 32 preguntas en

total.

mARco concePtUAL de LA PRUeBA de mAtemáticA

El marco conceptual de la evaluación de desempeños del SERCE est

formado por dos ejes conceptuales:

• El marco curricular de los países de América Latina. Su anlisis

supuso un esfuerzo de sistematización sobre qué se enseña

en la región, para llegar a establecer dominios de contenidos y

procesos cognitivos comunes a los estudiantes de enseñanza

primaria de todos los países participantes.

• El enfoque de habilidades para la vida. Es decir, aquello que losestudiantes de enseñanza primaria deberían aprender y desa-

rrollar para insertarse y desenvolverse en la sociedad.

Tomando en cuenta lo anterior, una educación matemtica de calidad

debe proporcionar a los estudiantes las herramientas que les permitan

actuar en una variedad de situaciones de la vida diaria. Hoy, el foco de

la enseñanza est puesto en la motivación y gestión del conocimiento

y en que el estudiante desarrolle la capacidad de utilizar conceptos,

representaciones y procedimientos matemticos para interpretar y

La pruba l seRce qu

valúa l p

rp a ua ruura

ru apla

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Apra ua fra

fr plara

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ll, b abarar r

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valr, pra

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rrpa la

a la va

aual.



16

comprender el mundo real. Es decir, ha dejado de estar centrada en

el aprendizaje de algoritmos y procedimientos de clculo, o en el uso

de la resolución de problemas sólo como elemento de control de lo

aprendido.

Cabe destacar que la resolución de problemas propicia el desarrollo

del pensamiento matemtico, puesto que exige poner en juego diferen-

tes tipos de razonamiento.

Se presta, adems, al desarrollo de habilidades para reconocer y utili-

zar conceptos y procedimientos matemticos con diferentes y crecien-

tes grados de dificultad.

Las habilidades matemticas deberían tener sentido también fuera de

un contexto exclusivamente escolar, ya que las habilidades de inter-

pretar, identificar, calcular, recodificar, graficar, comparar, resolver,optimizar, demostrar, aproximar, comunicar, entre otras, proporcionan

al estudiante la preparación para desenvolverse con éxito en la vida

social y para afrontar los retos del futuro en un mundo de cambio

permanente.

Atendiendo a este enfoque, la prueba de matemtica del SERCE evaluó

no sólo los saberes aprendidos por los estudiantes de tercero y sexto

grado de enseñanza primaria, sino el uso que pueden hacer de los

mismos para comprender e interpretar el mundo, en una variedad de

situaciones y contextos de la vida de todos los días. Asimismo tien-den a monitorear el desarrollo de las capacidades necesarias para un

protagonismo social activo.

QUé eVALUó eL seRce en eL áReA mAtemáticA

Para evaluar qué saben los estudiantes latinoamericanos en matemti-

ca fueron utilizadas dos dimensiones: los dominios de contenidos y los

procesos cognitivos.

d

El dominio de contenidos se refiere al campo semntico relacionado

con los saberes específicos de la matemtica para tercer y sexto grado;

es decir, al conjunto de conceptos, propiedades, procedimientos y rela-

ciones entre ellos, así como a los sistemas de representación, formas

de razonamiento y de comunicación, a las estrategias de estimación,

aproximación, clculo y a las situaciones problemticas asociadas.

e la auala, l fa

pu qu l

ua a la

pbla rprar

a, ablr rla,

pr ju p

a, aalar

rulara, ablr

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Para aa fur

abl ra

:numérico : úr

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gométrico : pa fra

d la mició : aa

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estaístico : l raa

la fra

Variacioal : u l

ab.



17

CUADRO 1 descRiPción de Los dominios de LA PRUeBA de mAtemáticA

dominios descRiPción

Numérico Abarca la comprensión del concepto de número y de la estructura del sistema de numeración;del significado de las operaciones en contextos diversos, sus propiedades y efecto; así comode las relaciones entre ellas y el uso de los números y de las operaciones en la resolución deproblemas diversos.

Geométrico Comprende los atributos y propiedades de figuras y objetos bidimensionales y tridimensiona-les; las nociones de horizontalidad, verticalidad, paralelismo y perpendicularidad; los diseñosy las construcciones con cuerpos y figuras geométricas; la construcción y manipulaciónde representaciones de objetos del espacio; el reconocimiento de ngulos y polígonos y suclasificación.

De la medida Implica la aprehensión de los conceptos de cada magnitud; de los procesos de conservación,las unidades de medida, la estimación de magnitudes y de rangos; la selección y el uso deunidades de medida y patrones, de sistemas monetarios y del sistema métrico decimal.

Estadístico o del tratamiento de lainformación

Est vinculado con la recolección, organización e interpretación de datos; la identificación yel uso de medidas de tendencia central (promedio, media y moda); y el empleo de diversasrepresentaciones de datos, para la resolución de problemas.

Variacional (del cambio) Referido al reconocimiento de regularidades y patrones; a la identificación de variables, ladescripción de fenómenos de cambio y dependencia; a la noción de función y a la proporciona-lidad (caso de la variación lineal) en contextos aritméticos y geométricos.

CUADRO 2 descRiPción de Los dominios PoR gRAdo de LA PRUeBA de mAtemáticA

dominios teRceR gRAdo edUcAción PRimARiA sexto gRAdo edUcAción PRimARiA

Numérico Números naturales: uso, funciones, orden, s ignifica-do de las operaciones, propiedades, clculo exacto,estimación. Sistema de numeración decimal.Números pares e impares. Resolución de problemasque involucran adición, sustracción y significado inicialde multiplicación y división.Significado inicial de la fracción como parte de untodo.

Números naturales: uso y orden.Sistema de numeración decimal, valor posicional yrelativo.Potenciación y radicación. Criterios de divisibilidad.Fracciones, relación parte-todo, equivalencia, fraccio-nes decimales. Representación en la recta.

Geométrico Local ización en el espacio. Transformaciones. Puntosde referencia. Formas geométricas (clasificación).Cuadrados y cubos.

Figuras planas. Polígonos. Sistemas de referencia.Ejes de simetría. Perpendicularidad. Paralelismo.Angulos y su clasificación. Cubo, prisma y cilindro.Transformaciones en el plano. Razones y proporciones.Proporcionalidad directa.

De la medida Uso de instrumentos de medida. Magnitudes l ineales,longitud y peso. Sistemas monetarios. Elección ycomparación de unidades. Estimación de medidas.Medidas convencionales y no convencionales.

Sistemas de unidades: longitud, peso (masa), perí-metro, rea, volumen, ngulos, tiempo. Cambio demoneda.

Estadístico o deltratamiento de lainformación

Recolección y organización de la información. Creaciónde registros personales. Técnicas de observación.Pictograma. Diagrama de barras.

Representación grfica. Promedio. Valor ms frecuen-te. Diagramas. Tabulación. Recopilación de datos.

Variacional(del cambio)

Secuencias y patrones. Patrones de formación. Proporcionalidad directa aso-ciada a situaciones aritméticas y geométricas.



18

Pr v

Los procesos cognitivos son las operaciones mentales que el sujeto

utiliza para establecer relaciones con y entre los objetos, situaciones

y fenómenos. Aquellos implicados en la evaluación del SERCE fueron

agrupados en los siguientes tres niveles:

• Reconocimiento de objetos y elementos: implica la identifica-

ción de hechos, conceptos, relaciones y propiedades matemti-

cas, expresados de manera directa y explícita en el enunciado.

• Solución de problemas simples: exige el uso de información

matemtica que est explícita en el enunciado, referida a una

sola variable; y el establecimiento de relaciones directas nece-

sarias para llegar a la solución.

• Solución de problemas complejos: requiere la reorganización

de la información matemtica presentada en el enunciado y

la estructuración de una propuesta de solución, a partir de

relaciones no explícitas, en las que est involucrada ms de unavariable.

tr vl pr

v fur pla

la valua seRce:

-R

bj l.

-slu prbla

pl.

-slu prbla

plj.

CUADRO 3 descRiPción de Los PRocesos mAtemáticos

PRocesos descRiPción

Reconocimiento de objetos y elementos Identificar objetos y elementos.Interpretar representaciones matemticas.Identificar relaciones y propiedades.

Solución de problemas simples Resolver un problema simple involucra:Interpretar la información explícita que se brinda.Representar la situación.

Establecer relaciones directas entre los datos.Planificar una estrategia de solución.Registrar el proceso de resolución utilizado.Analizar la razonabilidad del resultado.

Solución de problemas complejos Resolver un problema complejo involucra:Interpretar la información que se brinda.Reorganizar la información presentada en el enunciado.Seleccionar la información necesaria para resolver el problema.Representar la situación.Establecer relaciones explícitas y no explícitas entre los datos.Planificar una estrategia de solución.Registrar el proceso de resolución utilizado.Analizar la razonabilidad de los resultados.

Es posible considerar los ‘procesos cognitivos’ atendiendo solamente alcarcter generalizado de los procedimientos asociados, o a su proceso

de constitución, en estrecha relación con los ‘dominios de contenidos’

a los que se refieren. Al analizar los resultados de las pruebas, estas

dimensiones deben ser consideradas de forma articulada.



19

Resultados de las pruebasde matemtica

En este libro, el SERCE presenta los resultados de aprendizaje de dos

maneras. En primer lugar aparecen los resultados por puntuaciones

promedio para la región y por país.

La publicación también muestra los resultados agrupados en cuatro

niveles de desempeño, los que describen aquello que los estudiantes

saben y son capaces de hacer en cada grado evaluado. A continuación,

aparecen los resultados por puntuación promedio, para luego pasar a

los expresados en porcentajes de respuestas correctas para cada domi-

nio de contenido. Y, el capítulo 4 muestra los resultados por niveles dedesempeño.

ResULtAdos geneRALes PoR PUntUAciones mediAs

Los resultados que presentan los siguientes cuadros estn calculados

con una puntuación media de 500 puntos y una desviación estndar

de 100.

CUADRO 4 PRomedio de LAs PUntUAciones en mAtemáticA deestUdiAntes de teRceRo y sexto Básico en cAdA PAís

PAísPUntAJe PRomedio

Tercero bsico Sexto bsico

Argentina 505,36 513,03

Brasil 505,03 499,42

Chile 529,46 517,31

Colombia 499,35 492,71

Costa Rica 538,32 549,33

Cuba 647,93 637,47

Ecuador 473,07 459,50

El Salvador 482,75 471,94Guatemala 457,10 455,81

México 532,10 541,61

Nicaragua 472,78 457,93

Panam 463,04 451,60

Paraguay 485,60 468,31

Perú 473,94 489,98

R. Dominicana 395,65 415,64

Uruguay 538,53 578,42

Estado de Nuevo León 562,80 553,95

Promedio países 500,00 500,00

Total América Latina y Caribe 505,11 506,70

Fuente: SERCE, 2007

ea puua a ua

a 500 pu,

ua va ar

100 raa l pr

l pa aala.

ea ala arbrara

fa alu

r aprba

aprba.



20

ResULtAdos PoR dominios de contenidos y PRocesoscognitiVos

Rula la r aa para rr ra b

El Grfico 1, a continuación, muestra el porcentaje de estudiantes de la

región que respondió correctamente los ítems de cada proceso cogniti-

vo en la prueba SERCE de tercer grado de educación bsica o primaria.

El siguiente, por su parte, presenta el porcentaje de estudiantes que

respondió correctamente por dominio de contenidos evaluado. Los

resultados corresponden a la prueba aplicada y para su interpretación

es necesario tener en cuenta las limitaciones de la misma por el hecho

de ser una evaluación externa de gran escala.

GRáFICO 1 estUdiAntes QUe ResPondieRon coRRectAmente PARAcAdA PRoceso cognitiVo de mAtemáticA teRceR gRAdode PRimARiA (%)

Fuente: SERCE, 2007

GRáFICO 2 estUdiAntes QUe ResPondieRon coRRectAmente PARAcAdA dominio de contenidos de mAtemáticA teRceRgRAdo de PRimARiA (%)

Fuente: SERCE, 2007



21

En una lectura directa es posible observar que el dominio estadístico

–o tratamiento de la información– es el que obtuvo el mayor porcentaje

de estudiantes que respondieron correctamente. Sin embargo, esta

lectura se relativiza al mirar al interior de la prueba, ya que se trata de

preguntas que involucran la interpretación directa de la información

a partir de diferentes representaciones (grficos de barras, tablas o

cuadros) y todas presentaban apoyo grfico. Por ejemplo, varios ítems

requerían la lectura de un grfico de barras para interpretar cul es el

valor al que corresponde la mayor frecuencia3.

Si comparamos los valores obtenidos para geometría, no sería correcto

asegurar que los niños de tercer año bsico tienen ms conocimientos

geométricos que numéricos. Las preguntas del dominio geométrico

común a la región para tercer grado requieren de reconocimiento de

objetos y elementos, con diferentes propuestas; pero con una reitera-

ción de temas dentro del dominio geométrico. Con presentaciones muyhabituales en las escuelas, en todos los casos las preguntas requieren

el reconocimiento de figuras geométricas y cuerpos usuales, la iden-

tificación de elementos de las mismas, el reconocimiento y uso de la

congruencia de los lados de alguna figura bsica.

Sintetizando, son preguntas –todas con apoyo grfico– que evalúan

habilidades y conocimientos geométricos bsicos y escolarizados. Por

tratarse de una evaluación a gran escala, no hay ítems abiertos, que re-

quieran la construcción de alguna figura o el anlisis de alguna afirma-

ción sobre las propiedades de una figura, lo que permitiría caracterizarmejor cules son los conocimientos geométricos de los niños, ms all

del reconocimiento de algunos nombres y características.

En tercer grado, hubo un 45,54% de respuestas correctas para el do-

minio numérico. Este contenido abarca un amplio abanico de temas y

permite, ms que otros, el uso de preguntas formuladas para poner en

prctica los procesos cognitivos seleccionados por el estudio SERCE,

dando un mayor peso a los procesos de resolución de problemas.

Como este dominio de contenidos es el ms enseñado en las escue-

las de la región, podrían esperarse mejores resultados; es necesarioanalizar los resultados de manera minuciosa, para advertir algunas

posibles causas. Cabría preguntarse cul es la relación entre el 45,54%

de respuestas correctas con las estrategias de enseñanza utilizadas.

cab aar qu b

bua qu la valua

rpa a l j

, la aa

la ra ha pr

fava uhaula habual

qu l arrll

prpua qu rul

vrar af para l

.

el seRce valu l a

ura, l úr

aural, la uar

pra ba, la

rlu prbla qu

vlura la pra

a a u fr

, frpra ua

vara .

3 Como ejemplo del tipo de ítems, ver “Libros vendidos por mes” en páginas 42 y 106.



22

En cuanto al dominio de la medida, la prueba contempló 15 ítems de

los cuales sólo unos pocos tuvieron valores inferiores a la media, sien-

do el resto de dificultad media a difícil. Los conocimientos y habilida-

des evaluadas son comunes a la región y fueron chequeados mediante

preguntas de reconocimiento de las unidades de medidas de longitud

ms usuales para medir un atributo de un objeto, o de reconocimiento

del instrumento para medir un atributo. Algunas involucraron equi-

valencias usuales de medidas de longitud o tiempo y otras, adems,

requirieron una operación sencilla. Éstas son las que resultaron ms

difíciles y, en este sentido, tal vez la dificultad pudiera ser atribuida a la

necesidad de coordinar distintas informaciones, ms que a los conoci-

mientos específicos de medida.

Por último, el dominio variacional para tercer grado, presentó

preguntas con secuencias numéricas o grficas que involucraban

identificación de patrones. No resultaron fciles: los estudiantes quepudieron resolver estos ítems se ubican recién a partir del Nivel III de

desempeño.

Rula pr pa aa para rr ra

Los grficos que siguen muestran, por dominio de contenidos, los

porcentajes de estudiantes de tercer grado de primaria, de cada país

de la región (ms los de un estado de una nación), que respondieron

correctamente.

GRáFICO 3 PoRcentAJe de estUdiAntes con ResPUestAs coRRectAsPARA mAtemáticA de teRceR gRAdo, en eL dominionUméRico y PoR PAís

Fuente: SERCE, 2007

La lu l

l varaal

bua pr va

la a abrar l

al rla

p. Auqu l

u qu rala aa l pa

la r prp

l ubr

rulara par,

u pla la

para vara

p, a

par r abra

la uf frua

pr l , auqu ra u a a

var.



23

GRáFICO 4 PoRcentAJe de estUdiAntes con ResPUestAs coRRectAsPARA mAtemáticA de teRceR gRAdo, en eL dominiogeométRico y PoR PAís

Fuente: SERCE, 2007

GRáFICO 5 PoRcentAJe de estUdiAntes con ResPUestAs coRRectAsPARA mAtemáticA de teRceR gRAdo, en eL dominio de LAmedidA y PoR PAís

Fuente: SERCE, 2007



24

GRáFICO 6 PoRcentAJe de estUdiAntes con ResPUestAs coRRectAsPARA mAtemáticA de teRceR gRAdo, en eL dominio deestAdísticA y PoR PAís

Fuente: SERCE, 2007

GRáFICO 7 PoRcentAJe de estUdiAntes con ResPUestAs coRRectAsPARA mAtemáticA de teRceR gRAdo, en eL dominioVARiAcionAL y PoR PAís

Fuente: SERCE, 2007



25

Los porcentajes de estudiantes que respondieron correctamente, por

procesos cognitivos de matemtica de tercer grado, aparecen en el

siguiente cuadro.

CUADRO 5 PoRcentAJe de estUdiAntes con ResPUestAs coRRectAs PARA mAtemáticA de teRceR gRAdo,PoR PRoceso cognitiVo y PoR PAís

PAísReconocimiento de

oBJetos y eLementossoLUción de

PRoBLemAs simPLessoLUción de

PRoBLemAs comPLeJos

Argentina 54,.24 41,.89 40,.14

Brasil 53,56 44,62 38,55

Colombia 52,94 39,14 39,39

Costa Rica 64,36 49,37 50,84

Cuba 80,29 70,02 83,12

Chile 60,81 45,80 44,23

Ecuador 44,48 32,72 34,01

El Salvador 51.65 36.92 36,75

Guatemala 43,36 31,32 32,91

México 60,01 49,91 54,98Nicaragua 43,76 32,80 32,70

Panam 44,73 31,85 33,68

Paraguay 47,98 38,74 39,04

Perú 50,11 36,38 33,80

República Dominicana 27,29 21,11 18,95

Uruguay 56,16 47,73 49,14

Estado Nuevo León 65,57 54,92 57,95

Región 52,94 41,29 42,14

Fuente: SERCE, 2007

Una primera mirada sobre la última fila del cuadro podría dar lugar aconsiderar que los resultados son poco satisfactorios, si se atiende a

su relación con una expectativa del 100%. Sin embargo, resulta difícil

sostener esa apreciación sin considerar la complejidad y diversidad de

condiciones y proyectos de enseñanza en la región.

Rula la r aa para ra b

A continuación, el Grfico 8 muestra el porcentaje de estudiantes de la

región que respondió correctamente los ítems de cada proceso cogni-

tivo en la prueba SERCE de sexto grado de primaria; mientras que el

Grfico 9 presenta el porcentaje de estudiantes que respondió correcta-

mente por dominio de contenidos evaluado en el mismo instrumento.



26

GRáFICO 8 PoRcentAJe de estUdiAntes QUe ResPondieRoncoRRectAmente A cAdA PRoceso cognitiVo demAtemáticA de Los estUdiAntes de sexto gRAdo dePRimARiA de LA Región

Fuente: SERCE, 2007

GRáFICO 9 PoRcentAJe de estUdiAntes QUe ResPondieRoncoRRectAmente A cAdA dominio de contenidos demAtemáticA de Los estUdiAntes de sexto gRAdo dePRimARiA de LA Región

Fuente: SERCE, 2007



27

Es posible ver que el mayor porcentaje de estudiantes que respondió

correctamente lo hizo en el dominio de estadística o del tratamiento

de la información (53,66%); pero este resultado tiene relación con los

ítems utilizados: todas las preguntas que evalúan estadística tienen

apoyo grfico y la mitad requiere el reconocimiento de información di-

recta de grficos de barras, circulares, pictogramas, cuadros de doble

entrada o la identificación de una misma información representada de

dos formas diferentes.

La otra mitad de las preguntas de este dominio precisa que los estu-

diantes extraigan información de los grficos o cuadros y operen con

ella, la relacionen con porcentajes, calculen un promedio, etc. Es decir,

tal como ocurre con otros dominios de contenidos, las dificultades

aparecen cuando tienen que combinar la información con otros conoci-

mientos y efectuar otras acciones.

Muy próximo al anterior, est el dominio numérico que es respondido

correctamente por el 50,89% de los estudiantes. Ms de las dos terce-

ras partes de las preguntas que evalúan este dominio son problemas

simples y complejos y que, como todo problema, llevan consigo el

desafío de recurrir a los conocimientos y a desplegar una actividad

matemtica para resolverlos.

Resultaron fciles aquellas preguntas que requerían identificar el

número menor o mayor en referencia a otros, entre números naturales

o expresiones decimales; como también los problemas que impli-can una operación en el campo aditivo o multiplicativo. Las mayores

dificultades aparecieron en los ítems que involucran fracciones, ya sea

ordenndolas, operando o usando el concepto de la fracción como

parte de un todo.

De las preguntas que evalúan lo que los alumnos saben y son capaces

de hacer en el dominio de la medida, resultaron ms fciles las que

involucran el reconocimiento de la unidad de medida correspondiente

a un atributo o hacer una estimación de una medida y los problemas

que requieren equivalencia de tiempo o de longitud entre medidas

usuales. Con cierta dificultad fueron resueltos el clculo de duraciones,la equivalencia entre medidas de capacidad y los problemas de clculo

de rea y perímetro. Y aquellos que representaron mayor grado de

dificultad son los de equivalencia de figuras o de clculo de rea de

una figura compuesta.

Los estudiantes muestran dificultad en la resolución de problemas y,

sin embargo, estos constituyen la actividad matemtica fundamental,

que coincide con el enfoque de habilidades para la vida del SERCE.

Sólo el 41,86% de estudiantes resolvió correctamente este contenido.

La aa lúr raal ,

parular, la fra

pra ua plja

ua labra upa

u luar pra la

ula prara. e u

plj l

rula l fra.



28

Las preguntas que evalúan geometría fueron respondidas correcta-

mente por el 36,03% de los estudiantes de la región. Las dos terceras

partes de ellas contienen problemas, siendo el resto ítems de reconoci-

miento de figuras, cuerpos y propiedades, cuestiones que les resulta-

ron fciles.

Finalmente y tal como ocurrió en tercer grado, el dominio variacional

es el que tiene el menor porcentaje de estudiantes de la región con

respuestas correctas (33,68%). A los niños no les resultó difícil com-

pletar secuencias reconociendo el patrón de formación; a la inversa,

las mayores dificultades surgieron en los problemas que involucraban

proporcionalidad directa y en los que incluyeron el concepto y clculo

de porcentaje.

Rula pr pa aa para ra b

Los grficos que siguen muestran los porcentajes de estudiantes desexto grado de primaria de la región, evaluados por este instrumento,

que respondieron correctamente por dominio de contenidos.

GRáFICO 10 PoRcentAJe de ResPUestAs coRRectAs en mAtemáticAde sexto gRAdo en eL dominio nUméRico y PoR PAís

Fuente: SERCE, 2007

sabr ra qu

rr fura urp

pr u br: rlvr

prbla r

ap prpa

a fura

urp; ua

qu, ral,

raaa,

ra qu ua

ap rf.

su lu l qu a

a la aa

la ra ,

ala, ha aú

pa pra laaula.



29

GRáFICO 11 PoRcentAJe de ResPUestAs coRRectAs en mAtemáticAde sexto gRAdo en eL dominio geométRico y PoR PAís

Fuente: SERCE, 2007

GRáFICO 12 PoRcentAJe de ResPUestAs coRRectAs en mAtemáticAde sexto gRAdo en eL dominio de LA medidA y PoR PAís

Fuente: SERCE, 2007



30

GRáFICO 13 PoRcentAJe de ResPUestAs coRRectAs en mAtemáticAde sexto gRAdo en eL dominio estAdístico y PoR PAís

Fuente: SERCE, 2007

GRáFICO 14 PoRcentAJe de ResPUestAs coRRectAs en mAtemáticAde sexto gRAdo en eL dominio VARiAcionAL y PoR PAís

Fuente: SERCE, 2007



31

Los resultados de los estudiantes de sexto grado que responden

correctamente a las preguntas de matemtica por procesos cognitivos,

expresados en porcentajes, aparecen en el siguiente cuadro.

CUADRO 6 PoRcentAJe de estUdiAntes con ResPUestAs coRRectAs PARA mAtemáticA de sexto gRAdo,PoR PRoceso cognitiVo y PoR PAís

PAísReconocimiento de

oBJetos y eLementossoLUción de

PRoBLemAs simPLessoLUción de

PRoBLemAs comPLeJos

Argentina 60,33 43,12 35,37

Brasil 57,47 41,87 31,15

Colombia 56,75 37,89 29,89

Costa Rica 65,93 48,47 39,43

Cuba 74,57 65,17 53,50

Chile 61,21 40,72 32,42

Ecuador 47,28 33,22 23,80

El Salvador 53,33 35,66 28,01

Guatemala 47,88 32,88 23,58

México 64,45 49,18 40,85Nicaragua 46,24 32,70 24,94

Panam 49,11 32,49 23,27

Paraguay 49,46 36,59 25,12

Perú 55,70 40,51 31,13

República Dominicana 39,70 25,88 20,73

Uruguay 65,54 52,11 49,23

Estado Nuevo León 64,99 49,72 40,15

Región 56,60 41,16 32,70

Al comparar estos resultados con los de tercer grado, es posibleadvertir que aquí hay mayor diferencia entre los valores obtenidos en

Solución de Problemas Simples y Solución de Problemas Complejos.

Esto puede explicarse atendiendo a la complejización del contenido

matemtico propio de sexto grado, lo que permite plantear problemas

donde estos niveles estn ms diferenciados.



32

Recomendacionespara mejorar la prctica

pedagógicaeVALUAción y PeRsPectiVA de enseñAnzA

En este capítulo haremos énfasis en la idea de la evaluación como un

proceso que permite recoger información sobre el estado de los sabe-

res de los alumnos, y que orienta la toma de decisiones de enseñanza.

Las producciones de los niños brindan información acerca de lo que

aprendieron y de sus dificultades, a la vez que muestran resultadosderivados de las estrategias de enseñanza asumidas por sus maestros.

A veces, los llamados ‘errores’ develan un estado provisorio del saber

propio de un proceso de aprendizaje que, naturalmente, en cada etapa

toma en cuenta algunas características del conocimiento enseñado y

no otras.

Por ello es necesario analizar los ‘errores’, intentar comprender cómo

y por qué se producen y diseñar actividades de distinto tipo que permi-

tan revisar o ampliar lo ya conocido.

En caso de tratarse de cuestiones presentes en las producciones de

muchos alumnos del grupo, en principio habr que preguntarse en qué

medida las actividades propuestas como evaluación recuperan los con-

textos, las tareas, y las representaciones incluidas en las actividades

seleccionadas para presentar y desarrollar el tema. Muchas veces, la

aparición de una nueva representación, o de un contexto que involucra

un significado distinto para una operación deriva en la imposibilidad

de utilizar lo conocido, pues ese conocimiento, en el alumno, aún est

muy ligado a las representaciones y los contextos analizados previa-

mente.

Por ejemplo: cuando los niños piensan que “al multiplicar siempre se

obtiene un número mayor que cada factor ”, o que “0,6 es el siguiente de

0,5”, seguramente no han tenido oportunidad de cuestionarse aún que

algunos de estos conocimientos, vlidos para el conjunto de los núme-

ros naturales, no pueden extenderse a otros tipos de números.

Rara a a,

r qu aa

ar a

ara fu

aur ual

jural brrr parr.

m all u prr

paraa rupal b

al ralar ua valuaaa al l

a, l prr prbla

qu apar fr a

aa a pr r

alu l

l rup

rarl u

a para rar

labrar la plafa.



33

LA mAtemáticA necesARiA PARA eL ciUdAdAno y LAsHABiLidAdes PARA LA VidA

Hoy las expectativas sobre la educación indican que la escuela debe

contribuir al desarrollo de la capacidad de utilizar conceptos, represen-

taciones y procedimientos matemticos para interpretar y comprender

el mundo real, tanto en lo referido a la vida en el entorno social inme-

diato, como a los mbitos de trabajo y de estudio.

Muchos documentos curriculares plantean, de forma explícita, la

necesidad de formar un ciudadano autónomo, que pueda desplegar

prcticas matemticas adecuadas a distintas situaciones y justificar la

validez tanto de los procedimientos utilizados como de los resultados

obtenidos.

La actual tendencia a extender la obligatoriedad de la enseñanzarequiere pensar esta formación con una mayor diversidad en el capital

cultural de los estudiantes. Esto involucra diferentes relaciones con

el conocimiento y con el sentido que éste tiene en la formación de su

proyecto de vida. Cabe aquí señalar que las condiciones de vulnerabi-

lidad económica, social y cultural que afectan a un gran porcentaje de

estudiantes y de docentes configuran un escenario que parece desafiar

la posibilidad de una educación de calidad para todos. Así, hoy resulta

imprescindible la discusión en el mbito de la escuela acerca de qué

matemtica se enseña, para qué, y para quiénes.

Desde esta perspectiva, ya no es posible sostener una formación

matemtica que ponga el acento en la disponibilidad de un repertorio

de resultados y técnicas que, seguramente, podr ser modificado. Es

necesario buscar el desarrollo de capacidades, valores y actitudes que

permitan a los estudiantes hacer frente a distintas situaciones; tomar

decisiones utilizando la información disponible y resolver problemas,

pudiendo defender y argumentar sus puntos de vista.

Y para ello, hay que plantear una educación de calidad que abarque los

conocimientos de base, valores, comportamientos y habilidades que

correspondan a las necesidades de la vida actual. Lo anterior implica

extender la convicción de que todos pueden aprender esta ciencia y

asumir el compromiso de una enseñanza que los habilite a avanzar

desarrollando sus potencialidades y los prepare para enfrentar los

escenarios cada vez ms complejos y cambiantes que los interpelarn.

A la inversa, cuando la enseñanza apunta únicamente al dominio de

técnicas, algunos alumnos obtienen buenos resultados en sus evalua-

ciones si los instrumentos utilizados remiten directamente al uso de

esa(s) técnica(s) conocida(s). Sin embargo, esos mismos estudiantes

cua pa

frar uaa r,

qu pua parpar

ava ua

a ra,

ha fala apar qu

p r afrarur ua a

fuur , ua,

qu hrraa bra

brarl la ula.



34

fracasan cuando las situaciones que se les presentan son diferentes de

aquellas que abordaron en la escuela.

Por eso, no solo resultar necesario enriquecer los modos de pre-

sentación y la variedad de problemas a ser resueltos sino también, y

fundamentalmente, sostener un trabajo de reflexión sobre lo realizado

exigiendo siempre la explicitación, el reconocimiento y la sistematiza-

ción del conocimiento implicado en la resolución de los problemas, así

como de las formas de obtenerlo y validarlo.

cULtURA mAtemáticA: APRendizAJe A LARgo PLAzo

La enseñanza de la matemtica en la escuela bsica est condiciona-

da, fundamentalmente, por dos características esenciales que deter-minan sus funciones y objetivos: por un lado es enseñanza y, como tal,

parte del proceso de formación integral de los alumnos; es decir, parte

del proceso de educación que tiene lugar en las escuelas; por otro, es

enseñanza de la matemtica y por ello participa de los modos de hacer

y de pensar propios de esta ciencia.

Como ocurre con otras producciones culturales, el conocimiento

matemtico se transforma en su interacción con los distintos entornos

sociales. Así, la actividad de los matemticos est ligada fuertemente

a la resolución de problemas, y a un modo particular de razonar ycomunicar los resultados de esa tarea.

Resolver los problemas –del mundo natural, del social o de la misma

matemtica– implica construir modelos nuevos o utilizar modelos ma-

temticos conocidos, que permiten anticipar el resultado de algunas

acciones sin realizarlas efectivamente. En ambos casos, luego son

analizadas las conclusiones para determinar si responden o no a las

preguntas planteadas.

También forma parte de la acción de los matemticos mejorar los

modelos en uso y las formas de comunicar los resultados; así comorelacionar lo nuevo con lo ya conocido, articulando los conocimientos

en una estructura cada vez ms amplia y coherente.

Justamente esta forma de trabajar es la que buscamos sea desarro-

llada en las escuelas; con las restricciones necesarias e invitando a

los alumnos a entrar en el juego matemtico. Esto es, a hacerse cargo

de producir conocimientos nuevos (para ellos) frente a los proble-

mas que se les plantean, argumentando acerca de la validez de los

resultados y de los procedimientos usados, reconociendo luego –con

muha v la fra

aa ha ulaa

hrraa

l para ur

l ‘bu’ l ‘al’

alu , pr ll, uba

a uh jv ua

p lu.

n l fraaa u

valua lar,

au –a– qu

rula rva u prpa

“fala habla para la

aa”.



35

la ayuda del maestro– el lugar de esos saberes en una estructura ms

amplia.

Es posible sostener que estudiar matemtica es hacer matemtica en su

sentido ms amplio, porque requiere involucrarse en la resolución de un

problema, indagar las condiciones particulares y generales que implica,

generar conjeturas, identificar modelos con los que abordar el proble-

ma y reconocer el campo de validez de un cierto procedimiento o de

una afirmación producida en el marco de este proceso. El alumno que

sólo repite lo que le transmite el maestro se somete al aprendizaje de

técnicas sin conocer su sentido, o cree que es él quien no se lo encuen-

tra porque no es “bueno para la matemtica”. Claramente, este es un

proceso a largo plazo, en el que cada etapa aporta elementos diferentes.

Un aspecto central en este proceso es el desarrollo de la racionalidad

propia de la matemtica, a partir de los modos de los alumnos de con-cebir sus objetos y de elaborar justificaciones acerca de su naturaleza y

sus propiedades.

En los primeros grados de la escuela primaria, los niños se apoyan en

el uso de ejemplos o en comprobaciones empíricas con materiales4

para justificar los resultados que obtienen o los procedimientos que

eligen. Pero, al finalizar la escolaridad obligatoria tendrían que poder

argumentar usando propiedades. Por ejemplo, en geometría es posible

avanzar desde comprobar que las diagonales de un rectngulo son

iguales plegando y cortando para obtener dos recortes que coincidencuando se superponen, hasta explorar las relaciones entre rectngulos

inscriptos en circunferencias para determinar que un ngulo inscripto

en un semicírculo es recto.

FIGURA 1

Asimismo, la enseñanza de la matemtica es un mbito propicio para

contribuir a la formación de un ciudadano crítico y responsable, capaz

de debatir con otros defendiendo sus puntos de vista y respetando

aquellos de los dems; así como para desarrollar cualidades de la

personalidad que caracterizan al ser humano.

La aa la

aa b r

raaa fra al qu

l a la,

u raa lar,

rbua a arrllar ua

p la aa

ru para

r rafrar l

u , a la v,

u ap

bj, rla

fua prp.

irur a l la a a

fra rabajar l

prr ar l

a

pla para ularl

ru la

rlu prbla,

ab para frl

rrl bj

ua ulura.

4 Como contar objetos, plegar papeles o tomar medidas.



36

seLección de PRoBLemAs y constRUcción designiFicAdos

En la enseñanza, la centralidad de la resolución de problemas, así

como la reflexión y sistematización de procedimientos y resultados

respetando ciertas reglas, plantea el desafío de su selección. La pre-

gunta clave es ¿cuáles son los problemas que favorecen la construcción

de sentido de las nociones elegidas para la escolaridad obligatoria?

Cuando el conjunto de problemas elegidos para tratar una noción

matemtica en clase no es suficientemente representativo de la diver-

sidad abordable en el año escolar correspondiente, es probable que los

alumnos sólo puedan utilizarla en contextos limitados, haciendo uso de

representaciones estereotipadas, y en situaciones muy similares a las

que estudiaron en la escuela.

Esto puede derivar en que, cuando en una evaluación aparece alguna

modificación en el enunciado, el alumno no puede vincularlo con lo que

sabe. Por esta razón, es muy importante tener en cuenta cules son los

contextos, significados y representaciones que elegimos al planificar la

enseñanza de una noción. El término noción refiere aquí al estado del

saber de un alumno en relación a un concepto matemtico transpuesto

como objeto de enseñanza, y busca llamar la atención acerca de la

polisemia de su enunciación formal cuando se lo analiza en términos

de los procesos de los sujetos que estn aprendiendo.

Estos contextos pueden estar ligados a la información que aparece en

los medios de comunicación, a la vida cotidiana, o al mbito específico

de distintas disciplinas, incluyendo –claro– la misma matemtica. El uso

en distintos contextos, y el anlisis posterior de ese uso nombrando las

nociones del modo en que son empleadas en la disciplina, reformulando

las conclusiones con representaciones ms ajustadas a las convencio-

nales, permitir la progresiva generalización de la noción, ampliando el

campo de problemas que los alumnos pueden resolver con ella.

Al interactuar en su vida social, los niños aprenden las prcticas ha-

bituales de cada comunidad y construyen, entre otros, conocimientos

ligados a la matemtica, los que no siempre son recuperados por la

escuela. Por ejemplo, en algunos primeros grados únicamente se traba-

ja con los números hasta el 9 en la primera parte del año, sin tener en

cuenta que hay niños que ayudan a sus padres en la venta de distintos

productos y que realizan clculos sencillos aún siendo muy pequeños;

o se ‘presenta’ el 2000, sin advertir que es número ya conocido por los

niños. Otras veces, los enunciados de problemas escolares no requie-

ren ser leídos, pues basta descubrir que dice ‘total’ para decidir que es

necesario sumar.

Para aa

a ar pbl

rar fr

prbla l qu la

ualaa

‘fua’ hrraa

rlu a

parular.

Apar l

l

ral para qu pua

aprpar la ara qu

l prp. A,

al lr l prbla

ab al rvar

l ua, pu

uha v lua

prua vrl, qu

l ura rpua

l b la ula.



37

Al elegir los problemas, es esencial revisar los enunciados pues mu-

chas veces son incluidas preguntas inverosímiles y que sólo encuentran

respuesta en el mbito de la escuela. Por ejemplo, si se pide calcular la

cantidad ‘total’ de mosquitos que picaron a un perro, sabiendo cuntos

lo picaron en dos ocasiones diferentes, podríamos preguntarnos quién

contó los mosquitos y para qué, o quién necesita el resultado de tal

suma. Muchos niños, ‘suman por sumar’, sin preocuparse por el senti-

do de lo que hacen, guiados por indicios aparecidos en los enunciados

para orientar la operación que ‘hay que hacer’. Así basta descubrir que

dice ‘total’ para decidir que ‘hay que sumar’.

Entonces, para involucrar a los alumnos en la comprensión de un pro-

blema ser esencial proponer enunciados que requieran ser leídos una

o ms veces, para comprender la situación planteada e involucrarse en

su resolución, sin que el texto anticipe un único procedimiento.

En este sentido, los contextos de los problemas debern ser significati-

vos para los alumnos; es decir, implicar un desafío que puedan resolver

en el marco de sus posibilidades cognitivas y de sus experiencias

sociales y culturales previas. Cabe aclarar aquí que esto no significa

que todas sus experiencias deban referirse al entorno inmediato. Es

ms, el trabajo en contextos intramatemticos –al comparar y analizar

distintos procedimientos de clculo– es central para la explicitación y

sistematización de propiedades.

Hay que tener presente que un conjunto bien elegido de cuentaspresentadas para descubrir una estrategia de clculo mental, también

puede dar lugar a verdaderos problemas, ya sean dos afirmaciones

opuestas sobre las que hay que decidir su validez, una construcción

geométrica con determinados instrumentos o determinadas condicio-

nes, un juego numérico, o un interrogante que deba ser respondido a

partir de una información publicada en el diario o en la publicidad de

una revista.

Aparte de los distintos contextos, para cada noción matemtica es

posible encontrar distintos significados. Por ejemplo, los números

racionales pueden ser utilizados en situaciones referidas a la relaciónparte-todo, a la razón entre dos cantidades del mismo tipo o de distin-

to tipo, al resultado de una división, al de una transformación multi-

plicativa o de una probabilidad. Cada uno de estos significados exige

y pone en funcionamiento diversos aspectos del concepto, así como

distintos niveles de complejidad, lo que lleva a discutir y articular cómo

ser su abordaje en cada grado escolar.

En el conjunto de problemas seleccionado también es necesario

tener en cuenta las diferentes representaciones posibles de la noción



38

enseñada, ya que la posibilidad de avanzar en la comprensión de una

noción implica reconocerla en todas sus representaciones, pudiendo

elegir la ms conveniente y pasar de una a otra en función del proble-

ma a resolver.

Siguiendo con el ejemplo de los números racionales, existen expresio-

nes numéricas fracciones, decimales, porcentajes, grficos relativos a

reas de distintas figuras (frecuentemente rectngulos) y puntos en la

recta numérica, por lo que el uso predominante de una representación

rigidiza el sentido del conocimiento involucrado.

Durante la resolución de problemas debe esperarse que sean los

alumnos los que tomen decisiones acerca de las formas de registrar

y comunicar sus procedimientos, y que el debate posterior sobre la

pertinencia y economía de estas representaciones permita su articula-

ción con las representaciones convencionales. Así por ejemplo, en unaevaluación encontramos un dibujo de 3 —

4taza de harina realizado por

una alumna que así recupera su experiencia de representar fracciones

en rectngulos.

FIGURA 2

Este aprendizaje requiere de un proceso a largo plazo, ya que primero

son resueltos problemas que involucran un sentido particular de una

noción en un contexto, con alguna representación también ligada a ese

uso; luego, son incluidos otros contextos con la misma representación

o se presenta una nueva que resulte ms adecuada; ms tarde es

ampliado su uso a nuevos contextos, tanto extra como intramatemti-

cos, y se comparan y analizan los distintos procedimientos y represen-

taciones empleadas para explicitar sus características y reglas de uso

en cada registro (grfico, numérico, geométrico), avanzando así en unproceso de generalización de la noción.

Por otra parte, las situaciones trabajadas debieran ofrecer una

variedad de tipos de respuestas. Es frecuente que los niños piensen

que hay que usar todos los números que aparecen en un enunciado,

o que basta hacer una cuenta y que su resultado es la respuesta del

problema.

La fra

rpra

aa ua

pra, pu l

a a l bj

qu ua pr

lla , a la v,

lla a ab

u bj

u.

cr la a

pr qu ua la

aa para rprar

ua a a pr

farla

, ularla para

rlvr prbla ,

vual, abar a

ra rpra

habla pr

pr

uar la fra

fa.

Arular la a

rpra par

la ru aa

p, avaa

la pbla prar

aa rr u

bl rla haa la

paar u rr a r.



39

Es necesario tener presente que es posible dar lugar a verdaderos

problemas a partir ya sea de un conjunto bien elegido de cuentas

presentadas para descubrir una estrategia de clculo mental, de dos

afirmaciones opuestas sobre las que hay que decidir su validez, de una

construcción geométrica con determinados instrumentos o determina-

das condiciones, de un juego numérico, de un interrogante que deba

ser respondido a partir de una información publicada en el diario o en

la publicidad de una revista.

En la formación de un alumno que se enfrentar a la resolución de

problemas nuevos, diferentes, es fundamental incluir preguntas que

admitan ms de una respuesta, presentar información compleja que

es preciso analizar para decidir qué datos usar y/o variar los soportes

grficos para presentar esa información.

Los distintos significados y representaciones puestos en juego alresolver un conjunto bien elegido de problemas, a propósito de la ense-

ñanza de una noción, podrn sistematizarse en instancias de reflexión

sobre lo actuado, explicitando las relaciones entre ellos y avanzando en

el uso del lenguaje específico.

tRABAJo en cLAse y tiPo de PRácticA mAtemáticA

Desde la perspectiva propuesta, el trabajo de resolución de problemasrequiere de algunas condiciones para la gestión de la clase.

Al presentar un problema es necesario asegurarse de que todos hayan

comprendido cul es el desafío planteado, para que cada alumno acep-

te ocuparse de él, intentando resolver por sí solo, sin orientarlos acerca

de cómo deben hacerlo. Luego, habr que dar lugar a un intercambio

del que participen todos los alumnos y en el que el maestro vaya

explicando las diferentes aproximaciones al conocimiento que desea

enseñar, y debatir sobre ellas.

Al dar lugar a la presentación y explicación de los procedimientosutilizados por los alumnos, es necesario valorizar de igual modo todas

las producciones, ya sea que permitan o no arribar a una respuesta al

problema planteado; así como animar a los alumnos a dar las razones

de lo realizado, a explicar por qué lo hicieron de cierta forma, y a argu-

mentar sobre la validez de sus producciones. Esto les permitir volver

sobre lo que han pensado para analizar aciertos y errores y controlar,

de este modo, el trabajo.

La lav alar a hablar,

a parpar, a aqull

alu qu l ha

pa fa

rabajar up qu

pu prrar quva a fraaar.



40

Este trabajo incorpora a los alumnos en proceso de evaluación en un

lugar diferente del habitual, en que quedan a la espera de la palabra

del docente quien les ratifica de inmediato si lo que hicieron est

bien o mal. Pero, si han asumido como propia la tarea de resolución,

querrn saber si lo producido es o no una respuesta a la pregunta que

organizó el quehacer matemtico en el aula.

En el debate, el conjunto de la clase validar o no una respuesta, lo que

llevar a la modificación de los procedimientos que conducen a erro-

res; y, con la intervención del maestro, sern reconocidos y sistemati-

zados los saberes descubiertos por el grupo-curso.

Esta tarea de establecer relaciones entre las conclusiones de la clase

y el conocimiento matemtico al que se pretende llegar, introduciendo

las reglas y el lenguaje específicos, y entre los conocimientos ya cono-

cidos y los nuevos, es una tarea que est siempre a cargo del maestroy que resulta imprescindible para que los alumnos identifiquen qué han

aprendido.

estUdiAR mAtemáticA en cLAse y FUeRA de eLLA

Promover la diversidad de producciones es un modo de incluir a todos

en el aprendizaje, de generar confianza en las propias posibilidades de

aprender y de poner en evidencia la multiplicidad de formas de pensarfrente a una misma cuestión, así como la necesidad de acordar cules

son consideradas adecuadas en función de las reglas propias de la

matemtica.

Es así como es posible lograr que los niños vayan internalizando

progresivamente que la matemtica es una ciencia cuyos resultados y

avances son obtenidos como consecuencia necesaria de la aplicación

de ciertas relaciones y del debate entre quienes las plantean, y no

como una prctica de la adivinación o del azar o un saber que no sufre

transformaciones.

La revisión de las producciones realizadas para modificarlas, enrique-

cerlas, ajustar el vocabulario o sistematizar lo aprendido es fundamen-

tal para que los niños se involucren en su propio proceso de estudio.

e u pra alar

la ula la ara para qu l

a qu l rrr

l ar ur

fu l

qu rula la la:

r, qu pu r

u vala

aru pla.



41

La evalación parala ta de decisines y

para la investigación

N n n

La preba y el étd de prcesaient tilizad psibilitan btener

infración acerca de l qe ls alns saben y sn capaces de

hacer. A s vez, cbinand el criteri estadístic cn el cnceptal-

pedagógic, es psible encntrar características cnes en lsrendiients de ls alns, las qe periten agrpar ess des-

epeñs en niveles; es decir, en categrías de tareas qe identifican

grps de estdiantes cn ctas siilares de rendiient frente al

instrent.

En ateática es psible definir catr niveles de desepeñ para

cada grad evalad, ls qe sn descrits en ls cadrs sigientes.

Niveles de desempeño eN alumNos de tercer grado

El cadr descriptiv de ls niveles de desepeñ cprende, pr n

lad, na caracterización general de ls prcess cgnitivs de ls es-

tdiantes de tercer en cada nivel y, pr tr, el detalle de ésts, según

el instrent aplicad en esta prtnidad.

un n b

n n n n

nn n

, n

bb é,

n n

; , n

n.



42

CuADRo 7 Niveles de desempeño eN matemática de los estudiaNtes de tercer grado

NiveldescripcióN de los procesosrealizados por los estudiaNtes

descripcióN de los desempeñosde los alumNos

Nivel IV Reselven prbleas cplejs en ls distints diniscnceptales, cn estrategias basadas en el s de

dats, prpiedades y relacines n explícitas.

Identifican n eleent en n plan bidiensinal y lasprpiedades de ls lads de n cadrad rectángl

para reslver n prblea.Reselven sitacines prbleáticas en el capltiplicativ qe invlcran na incógnita en n dels factres, qe reqieren aplicar eqivalencia entreedidas sales de lngitd.

Recncen la regla de fración de na secencia né-rica e identifican s ennciad.

Nivel I II Recncen cncepts, relacines y prpiedades n expl í-citas en ls distints dinis cnceptales del SERCE.

Reselven prbleas siples qe invlcran el recn-ciient y s de na de las catr peracines básicas(adición, sstracción, ltiplicación división) .

Identifican eleents de figras geétricas n salese interpretan distints tips de gráfics para extraerinfración y reslver prbleas qe iplican perarcn ls dats.

Reselven prbleas en el cap ltiplicativ, qeinclyen na ecación aditiva reqieren ds peraci-nes.

Reselven prbleas en el cap aditiv cn nidadesde edida y ss eqivalencias, qe inclyen fraccinessales.

Recncen la regla de fración de na secencia gráfi-ca nérica aditiva para pder cntinarla.

Nivel I I Recncen hechs, cncepts, prpiedades y relacinesdirectas y explícitas, en ls distints dinis cncep-tales del arc del SERCE.

Reselven prbleas siples en cntexts failiares,qe invlcran el recnciient y s de na sla pe-ración básica (adición, sstracción ltiplicación).

Recncen la rganización decial y psicinal delsistea de neración y ls eleents de figrasgeétricas.

Identifican n recrrid en n plan y la nidad deedida el instrent ás aprpiad para edir natribt de n bjet cncid.

Interpretan tablas y cadrs para extraer infración ycparar dats.

Reselven prbleas en el cap aditiv qe reqieren

na ltiplicación cn sentid de prprcinalidad en elcap de ls núers natrales.

Nivel I Recncen hechs y cncepts bás ics de ls dinisnéric, geétric y del trataient de la infraciónen el arc cnceptal del SERCE.

Recncen la relación de rden entre núers natralesy figras geétricas sales de ds diensines endibjs siples.

Lcalizan psicines relativas de n bjet en na repre-sentación espacial.

Interpretan tablas y gráfics para extraer infracióndirecta.

En el Cadr 8 es psible ver, en prcentajes, el desepeñ de ls alns de tercer grad evalads pr el

SERCE, según ls niveles ya descrits.

CuADRo 8 Niveles de desempeño de tercer grado y porceNtaje de estudiaNtes por Nivel

Nivel iv

11,20%

Nivel iii

14,30%

Nivel ii

28,30%

Nivel i

34,00%

No alcaNzaNel Nivel i

10,20%



43

sn né

Grad Tercer grad debásica priaria

Acción tareaa realizar

Identificar la reglade fración dena secenciaaditiva pr sennciad

Respestacrrecta

C : Fernagregadas 300nidades cada vez

r serce

Prcentaje derespestascrrectas

30,45%

Prcentaje derespestas de lsdistractres

A : 24,95%B : 21,19%D : 15,98%

Prcentaje derespestasitidas inválidas

7,43%

e n n ( )

Nivel IV / Secuencia numérica

El íte reqiere qe el la estdiante identifiqe la regla de fración

de na secencia aditiva pr s ennciad. Para ell debe establecer,

en prier lgar, las relacines entre ls térins de esta secencia;es decir, có se pasa de n térin a tr y, en segnd lgar, si esa

relación peranece cnstante.

La elección de ls distractres está apyada en la psibilidad de elegir

tra peración qe aenta y en na incrrecta evalación de la

cnstante.

Nivel III / Tiempo de lectura

El prblea qe este íte presenta al estdiante es de estrctra

aditiva, qe invlcra la eqivalencia entre edidas sales de tiep:

hras y ints.

Ls distractres fern elegids pr la psibilidad de seleccinar na

peración incrrecta y de n hacer na eqivalencia en el sistea

sexagesial sin en el decial.

t Grad Tercer grad de

básica priaria


Reslver nprblea qereqiere nasstracción yeqivalencia entreedidas de tiep

Respestacrrecta

D : 15

r serce


43,09%

Prcentaje derespestas dels distractres

A : 13,66%B : 19,90%C : 19,10%


4,25%



44

Nivel II / Grupos y animales

Reslver el prblea spne interpretar el text de cada na de las

pcines para bicar la infración en la tabla y, leg, realizar las

cparacines pedidas; deterinand para cada na de ellas si esverdadera n.

En este cas, la elección de ls distractres tiene relación cn na

incrrecta interpretación de las relacines de rden y la dificltad para

bicar la infración en la tabla.

Nivel I / Libros vendidos por mes

El prblea reqiere cnsiderar qe cada clna representa ls

librs vendids en ese es asciand esa cantidad al núer ás alt

de la escala alcanzad pr la barra.

Calqiera de las tres pcines incrrectas iplica el descnciient

de có establecer esa relación.

g n



Reslver nprblea qeinvlcra la

interpretación dedats presentadsen na tabla cadr para scparación

Respestacrrecta

A : Las niñastienen ás perrsqe ls niñs

r serce


59,75%

Prcentaje de

respestas de lsdistractres

B : 10,02%

C : 16,28%D : 6,84%


7,11%

lb n



Interpretarinfracióndirecta presentadaen n gráfic debarras

Respestacrrecta

A : Ener

r serce


75,64%

Prcentaje de

respestas de lsdistractres

B : 9,01%

C : 6,16%D : 6,02%


3,17%



45

Niveles de desempeño eN alumNos de sexto grado

El cadr qe sige cprende, pr n lad, na caracterización general de ls prcess cgnitivs de ls

estdiantes de sext para cada nivel y, pr tr, la descripción de ls desepeñs, según el instrent

aplicad en esta prtnidad.

CuADRo 9 Niveles de desempeño eN matemática de los estudiaNtes de sexto grado

NiveldescripcióN de los procesosrealizados por los estudiaNtes

descripcióN de los desempeños de los alumNos

Nivel IV Reselven prbleas cplejs en lsdinis cnceptales del SERCE, cninfración n explícita y qe reqie-ren el s de relacines y cnexinesentre diferentes cncepts.

Calclan predis y reselven cálcls cbinand las catr peraci-nes básicas en el cap de ls núers natrales.

Identifican paralelis y perpendiclaridad en na sitación real y cncretay la representación gráfica de n prcentaje.

Reselven prbleas qe invlcran prpiedades de ls ángls detriángls y cadriláters, qe integran áreas de diferentes figras dsperacines entre núers deciales.

Reselven prbleas qe invlcran el cncept de fracción.Hacen generalizacines para cntinar na secencia gráfica qe respndea n patrón de fración cplej.

Nivel III Reselven prbleas en ls diniscnceptales del SERCE qe invl-cran el s de cncepts, relacines yprpiedades. Peden interpretar infr-ación de distintas representacines.

Cparan fraccines, san el cncept de prcentaje en el análisis de lainfración y en la reslción de prbleas qe reqieren calclarl.

Identifican perpendiclaridad y paralelis en el plan, c así tabiéncerps y ss eleents sin n apy gráfic.

Reselven prbleas qe reqieren interpretar ls eleents de na divi-sión eqivalencia de edidas.

Recncen ángls centrales y figras geétricas de s frecente, incl-yend el círcl, y recrren a ss prpiedades para reslver prbleas.

Reselven prbleas de áreas y/ períetrs de triángls y cadriláters.

Hacen generalizacines qe les periten cntinar na secencia gráfica hallar la regla de fración de na secencia nérica qe respnde a n

patrón alg cplej.

Nivel II Ls estdiantes recncen hechs,cncepts, prpiedades y relacinesen ls distints dinis cnceptalesdel SERCE.

Reselven prbleas qe reqierenestrategias siples, cn infraciónrelevante explícita, y qe invlcranna ds de las catr peracinesbásicas, en ls dinis cnceptalesdel SERCE.

Analizan e identifican la rganización del sistea de neración decialpsicinal; y estian pess (asas) expresándls en la nidad de edidapertinente al atribt a edir.

Recncen figras geétricas de s frecente, y ss prpiedades, parareslver prbleas.

Interpretan, cparan y peran cn infración presentada en diferentesrepresentacines gráficas.

Identifican la reglaridad de na secencia qe respnde a n patrónsiple.

Reselven prbleas referids al cap aditiv, en diferentes capsnérics (natrales y expresines deciales), inclyend fraccines enss ss frecentes eqivalencia de edidas.

Reselven prbleas qe reqieren ltiplicación división, ds peraci-

nes cn núers natrales, qe inclyen relacines de prprcinalidaddirecta.

Nivel I Recncen hechs, cncepts, rela-cines y prpiedades en ls distintsdinis cnceptales del SERCE, cnexcepción del variacinal.

Reselven prbleas siples deestrctra aditiva en el dininéric.

ordenan núers natrales de hasta cinc cifras y expresines decialesde hasta ilésis.

Recncen cerps geétrics sales y la nidad de edida pertinenteal atribt a edir.

Interpretan infración en representacines gráficas para cpararla ytradcirla a tra fra de representación.

Reselven prbleas qe reqieren na sla peración, en el cap aditivy en el cap de ls núers natrales.



46

El Cadr 10 estra, en prcentajes, el desepeñ de ls alns de sext grad evalads pr el

SERCE, según ls niveles recién descrits.

CuADRo 10 Niveles de desempeño de tercer grado y porceNtaje de estudiaNtes por Nivel

Nivel iv

11,44%

Nivel iii

32,33%

Nivel ii

40,82%

Nivel i

13,91%

No alcaNzaNel Nivel i

1,50%

e n n ( )

Nivel IV / Rueda que gira

De la secencia gráfica qe estra el íte ls y las estdiantes deben

inferir s patrón de fración para identificar la figra qe sige

en esa scesión, cnsiderand la variación entre cada eleent y el

sigiente. La regla de generación es de características aditivas; per de

razón n cnstante.

La dificltad está en n encntrar la regla qe en cada pas hace variar

la psición del pnt n sectr ás qe en la anterir.

r q

Grad Sext grad debásica priaria

Acción tarea arealizar

Cntinar nasecencia gráficaidentificand sreglaridad.

Respestacrrecta

C : Figra 3

r serce


29,48%


A : 33,67%B : 16,82%D : 16,89%


3,14%



47

Nivel III / Balanza

La prpesta de este íte es encntrar na terna de pesas qe eqili-

bren ls 8000 gras de la blsa de prts. Para hacerl, deben sar

eqivalencias de edidas sales de pes, y sar.

Ls distractres están relacinads cn errres al realizar las eqiva-lencias, c crre en el cas B. otra alternativa es cnsiderar qe es

psible sar núers enters cn deciales, cnsiderand el valr

abslt de las cifras, c crre en el cas A.

Bn



Reslver nprblea delcap aditiv

qe invlcraeqivalencia deedidas de pes(asa).

Respestacrrecta

D : 1 kg 5 kg 2 kg

r serce


50,20%


A : 16,19%B : 13,70%C : 15,56%


4,34%



48

Nivel II / Diferencia de estaturas

Aqí, el íte pide establecer la diferencia entre ds altras dadas en

etrs y, leg, hacer la eqivalencia expresándla en centíetrs, ala inversa. En tds ls cass, ls distractres están relacinads cn

dificltades para encntrar el resltad de la resta.

Nivel I / Tarro de pintura

En este cas, la pregnta pide la identificación de la nidad cnvenci-

nal para edir la capacidad. Ls distractres fern elegids prp-

niend nidades qe iden tras agnitdes.

dn



Reslver nprblea delcap aditiv

entre núersdecialesqe invlcraeqivalenciade edidas delngitd.

Respestacrrecta

B : 15 c

r serce


69,73%

Prcentaje derespestas de ls

distractres

A : 11,88%C : 9,52%

D : 7,32%Prcentaje derespestasitidas inválidas

1,55%

t n



Identificar naedida decapacidad.

Respestacrrecta

A : litrs

r serce


82,99%


B : 6,07%C : 6,22%D : 3,58%


1,14%



49

an n n .an nnn n

Ls análisis y alternativas de intervención presentads están rgani-zads en fnción de ls dinis de cntenids cnsiderads en las

prebas. Cabe aclarar qe ls ejepls de actividades prpestas,

anqe crrespnden a las prebas de n grad deterinad, sn

sgerencias qe el aestr pdría adaptar en fnción de ls cnci-

ients dispnibles de ss alns. Dichs ejepls se indicarán en

td el dcent cn letra en tr frat.

soBre el domiNio NumÉrico

Cnsiderares algns prbleas tads de las prebas de tercer

y sext grads.

PRoBLEmA 1Botellas coN jugo

Dad qe el íte es abiert, ls niñs pdían realizar dibjs y reslver

de y distintas aneras. En este cas, na sitación qe, aparente-

ente, debiera resltar sencilla arrja n prcentaje alt de respestas

incrrectas.

La respesta cnsiderada crrecta es aqella en qe el estdiante

cntestó ‘6’ ó ‘6 btellas’, strand algún prcediient crrect –ya

B n



Reslver nprblea qeinvlcra elcncept de

fracciónRespestacrrecta

6 btellas

r serce


13,93%

Prcentaje derespestasparcialentecrrectas

8,90%

Prcentaje derespestasincrrectas

61,41%

Prcentaje deisines

15,76%



50

sea aritétic gráfic– qe represente la respesta crrecta. C

interesa cncer el prcediient de reslción tilizad y ls cains

de explración, fern tadas en centa c respestas parcial-

ente crrectas aqellas en las qe el estdiante stró la elección de

n prcediient válid, anqe sin llegar al resltad crrect, ha-

biéndl encntrad n l expresó en la nidad crrecta (pr ejepl,

si planteó la división; per la reslvió erróneaente. o si respndió ‘6

litrs’, en lgar de ‘6 btellas’.



51

En tdas estas prdccines, qe llegan a la respesta crrecta, es

interesante bservar las distintas aprxiacines a la idea de itad.

En algns cass es explícita la división de la btella de 1 litr en dspartes; ientras qe en tras, el aln ase qe cn ds edis

litrs se fra 1 litr; sa ls edis hasta btener 3, peración

qe, prbableente, haya realizad reniend 1 — 2 +

1 — 2

= 1.

En ls priers añs de la escela, el abrdaje de las fraccines es

realizad, generalente, en cntexts de edida, recperand las

experiencias de ls niñs en la vida ctidiana.

La enseñanza de la lngitd, la capacidad, el pes la asa sele

rganizarse a partir de la realización de cparacines y edicinesdirectas cn distints instrents de s scial habital y nidades

n cnvencinales, qe inclyen la cnsideración del etr, el litr, el

kilgra y edis y carts de esas nidades. En este cntext es

psible establecer eqivalencias del tip:

Si compro 4 paquetes de 1 — 4

kg de galletitas compré 1 kg:

para comprar 3 — 4

kilos de galletitas puedo pedir un paquete de 1 — 2

kg

y uno de 1 — 4

kg; ó 3 paquetes de 1 — 4

kg.

Anqe n sean abrdads tdavía ls algrits, tabién es psible

deterinar, pr ejepl, cánt cprarn si tienen 3 — 4

kg de galleti-tas de n tip y 1 —

2kg de tr. Ls niñs peden pensar ls 3 —

4 c

1 — 2

ás 1 — 4

; renir 1 — 2

ás 1 — 2

, y leg agregar 1 — 4

ás; descpner3 — 4

c 1 — 4

+ 1 — 4

+ 1 — 4

, y 1 — 2

c 1 — 4

+ 1 — 4

, y despés renir 4 carts para

frar n enter.

Al analizar las respestas incrrectas para este prblea, aparecen

errres qe peden atribirse a distintas cestines. Pr ejepl:



52

Este niñ niña, segraente n pede atribir ningún significad

a la escritra 1 — 2

y cnsidera ls núers natrales qe aparecen en

el ennciad, respndiend a n ‘cntrat’ frecente para la resl-ción de prbleas en el ábit de la escela: “hay que usar todos los

números del enunciado y hacer alguna cuenta con ellos para obtener la

respuesta”. Esta idea, qe n es explicitada pr ls alns ni pr el

aestr, deriva de la presentación reiterada de ennciads en ls qe

–efectivaente– se san tds ls núers para reslver el prblea,

frecenteente en el rden en el qe aparecen.

otrs estdiantes, qe tapc peden atribir significad a la escri-

tra 1 — 2

, cbinan ls núers natrales qe aparecen en el enncia-

d, relacinándls cn tras peracines. Aqí velve el andat dehacer algna centa, n se sabe bien cál, sand ls núers.

a n n

nn

nú n,

b

n n

nn

n nú, n ,

q n nn q

.



53

La idea de “cntrat didáctic” reite a “na relación qe deterina

–explícitaente en na peqeña parte per sbre td iplícitaen-

te– l qe cada participante, el prfesr y el aln, tiene la respnsa-bilidad de hacer y de l cal será, de na tra anera, respnsable

frente al tr. Este sistea de bligacines recíprcas se parece a n

cntrat” (Brssea,1986).

Este cntrat está elabrad sbre l qe el aestr reprdce, cns-

cienteente n, en s práctica de enseñanza y ayda al aln a

decdificar l qe la escela espera de él.

Igalente este cncept perite advertir qe, adeás de ls prcess

cgnitivs individales, es psible interpretar el fracas de algns niñscnsiderand cndicinantes específics de las sitacines de enseñan-

za en la escela. Algns estdiantes interpretan las tareas prpestas

c actividades ritalizadas en las qe se repiten dels de acción.

Ls niñs pnen en evidencia este cntrat cand le pregntan a

la aestra al aestr “qé hay qe hacer” frente a na cnsigna;

cand afiran qe hacen alg de deterinada prqe “así se l ense-

ñarn”; cand, c en ls cass anterires, respnden tratand de

ajstarse a na cierta ‘regla’ qe, aún sin haber sid explicitada nnca,

regla el trabaj en la clase.

En térins específics, la cprensión de ls núers racinales, de

ss distints ss, representacines gráficas y pr edi de expresi-

nes fraccinarias y deciales, y de las fras de cálcl asciadas,

reqiere n prces de larg plaz. En particlar, en el cas de las

expresines fraccinarias es necesari tener en centa qe en la vida

ctidiana sól es sad n repertri liitad de fraccines, y así es

td n desafí crdinar ls distints significads cn prbleas

intraateátics para cpletar el estdi de esta nción.

l b n

n nn

n nn

n n

n nn,

n

nnn,

n n nn

b .cn n nn

n

h n

n n,

n q

n n

n n n

nn n n

.



54

A veces, estas diferencias n sn advertidas y derivan en ‘errres’ de

ls alns. Pr ejepl, en algnas evalacines de sext grad

frente al sigiente prblea, aparenteente y sencill, es psible

bservar n prcentaje de alrededr de n 50% de respestas inc-

rrectas:

PRoBLEmA 2mesas de colores

La respesta cnsiderada crrecta es aqella qe indica c resl-

tad 120 esas verdes y 240 azles, strand n prcediient

válid, n presentándl.

C parcialente crrectas fern tadas aqellas en qe el prce-

diient de reslción fe adecad, per el aln cetió errres

en ls cálcls, al interpretar la respesta; y aqellas en qe el est-

diante calcló las esas de n sl clr, realizand n prcediient

incplet.

En este cas, hay qe encntrar la tercera parte de na cantidad de

bjets y n de na trta de n chclate; y, anqe sepan calclar

360 ÷ 3 =120, tal vez n pedan descpner ese ttal e identificar1 — 3

de esa cantidad (120 esas) y 2 — 3

(240 esas) si n trabajarn

antes cn sitacines de ese tip.

Al abrdar las fraccines, la idea de “parte” n siepre está vincla-

da explícitaente cn la división. Apyarse en ls cnciients qe

ls niñs tienen sbre ella perite iniciar el trabaj cn fraccines y

ligarlas al resltad exact de na división entre núers natrales,

m



Reslver nprblea qeinvlcra elcncept defracción

Respestacrrecta

120 esas verdes240 esas azles

r sercePrcentaje derespestascrrectas

14,89%


15,28%


50,88%

Prcentaje deisines

18,94%



55

presentand sitacines en las qe las fraccines expresan el resltad

de n repart; pr ejepl, cand 4 niñs deciden cpartir 3 ch-

clates. Est tabién perite trabajar a la vez cn fraccines ayres

qe n.

e 1

Ls prbleas de repart, en ls qe tiene sentid indagar na

sitación de partes eqitativas, peden dar lgar a na diversidad de

prcediients.

Ls niñs peden recrrir a distintas fras de repartir y distribir

prcines y disctir acerca de la nción de eqivalencia de las partes.

En una mesa de un bar se sientan 4 personas y piden, para compartir, tres

pizzas chicas. En otra mesa, piden 4 pizzas chicas pero son 5 comensales.

¿En qué mesa come más cada persona?

Est tabién pede dar lgar cnsiderar la relación entre las pizzas

repartidas y el núer de censales, así c el taañ y núer

de las partes. más adelante, esta reflexión será n pnt de apy para

interpretar a — b

c el resltad del cciente entre el núer a y el

núer b.

Para el cas de las expresines fraccinarias, es frecente qe el

trabaj cience sand la idea de partes de n td dividid en pr-cines igales: est perite abrdar las relacines entre el taañ y el

núer de las partes cn fraccines enres qe n; pasar leg a la

sa y a la resta cn fraccines del is deninadr y, despés, a

las de distint deninadr.

En ls prbleas en cntexts de edida esta prgresión es prescin-

dible, ya qe el s de eqivalencias y de estrategias de cálcl ental

perite reslver, sin cncer ls algrits para perar cn fraccines

de distint deninadr.

e 2

Tal c fe señalad, es psible calclar 3 — 4

l + 1 — 2

l, pensand de3 — 4

l eqivale a 1 — 2

l + 1 — 4

l; a 3 veces 1 — 4

l, y qe 1 — 2

litr sn ds carts

litrs, teniend cntrl sbre el resltad. Es ás, incls se peden

presentar sitacines prbleáticas qe invlcran distintas pera-

cines y/ diferentes significads de las isas, cn el bjet de

analizar ls líites de la tilización de cada na de ellas.

t n

q nn

, n

nn nú n

n

b q n

nnn n

q n n n nú

n.



56

En una panadería quedaron 4 bolsas de 1 — 2

kg de pan y 9 bolsitas de 1 — 4

kg.

El pan que sobra es envasado en bolsas de 5 kg para secar y usar en otras

preparaciones. ¿Alcanza con lo que tienen o necesitan más para llenar una

bolsa de 5 kg?

Otro día, habían quedado del día anterior 7 bolsas de 3 — 4

kg, ¿les alcanza

para completar los 5 kg?

El ayudante que arma las bolsas tiene una bolsa de 3 — 4

kg, otra de 1 — 2

kg, otra

de 1 kg y una chiquita de 1 — 4

kg. ¿Cuánto le falta para completar los 5 kilos?

En ests cass, es psible reslver apyándse en la sa, y retar

n significad de la ltiplicación cn el qe ls alns ya están

failiarizads, para ir cnstryend ls priers prcediients de

cálcl de dbles itades, triples, etc.

Tabién habrá qe cnsiderar sitacines de partición en las qe,

dad el valr de cada parte es necesari averigar la cantidad de par-

tes en las qe pede sbdividirse el ttal; c, pr ejepl, cand

hay qe deterinar cántas btellas de 3 — 4

litrs peden llenarse cn 5

litrs.

e 3

En un almacén se vende aceite que viene de bidones de 5 litros, fraccionán-

dolo en botellas de 3 — 4

litros. ¿Cuántas botellas se deberán utilizar por cada

bidón?

Tabién es psible presentar varias pregntas qe reqieran cnside-

rar nevas fraccines y expresines deciales.

En un establecimiento en el que producen aceite de oliva hay un tanque con

35 litros de aceite. Para su venta, se decide usar distintos envases.

¿Cuántos son necesarios para envasar esa cantidad de aceite si usan enva-

ses de 3 — 4

litros, de 1 — 2

litro, de 1 — 4

litro o de 0,2 litro?

Reslta interesante cnsiderar cn ls alns qé cálcls cnvienerealizar antes qe trs, para apyarse en ls resltads btenids, l

qe perite explicitar relacines entre fraccines entre fraccines y

expresines deciales.

La apliación del trabaj sbre la edida cn actividades qe reqie-

ran edir cnstrir segents y cn prpestas en las qe haya qe

trabajar sbre la recta nérica, y el estdi de sitacines en las qe

las fraccines expresen cnstantes de prprcinalidad, peritirá ir

cnciend la ltiplicidad de significads del núer racinal. Dad



57

qe ests significads n peden ser abrdads al is tiep,

será iprtante articlar el trataient de ls iss en ls distints

grads de la escela.

e 4

Peden ser prpestas actividades qe invlcran edicines de

lngitdes y de áreas, en las qe la cantidad elegida c nidad n

esté cntenida n núer enter de veces en la cantidad a edir, l

qe lleva a explicitar la insficiencia de ls núers natrales para

expresar ls resltads.

Si el segmento AB es la unidad que se usa para medir, ¿cuál es la medida de

CD y de MN?

A B

C D

M N

Dibujar segmentos cuyas medidas resulten:

a. 2 y 1 — 4

de AB. b. 1 y 5 — 4

de AB.

Dibujar el segmento unidad, sabiendo que el segmento BC mide 1 — 3

de la

unidad;

B C

Dibujar el segmento unidad, sabiendo que el segmento BC mide 2 y 1 — 2

de

la unidad

B C

Marcar en la recta numérica 1 — 3

, 1 — 2

, 1 — 4

, 3 — 4

, 1 1 — 2

.

0 1 2

¿A qué número corresponde A? ¿y B y C?

0 B A C 1

Al reslver ests prbleas ls alns selen edir cn la regla, sin

tener en centa qe, en algns cass, es psible btener la nidad

repitiend la parte cncida c dat, y sin cncer s lngitd.



58

Al trabajar cn actividades dnde l pedid es representar en la recta

nérica, hay qe tener en centa si la lngitd del segent nidad

(ya sea en c en ‘cadradits’, en cas de sar papel cadriclad)

es n últipl de ls deninadres de las fraccines qe se qiere

representar, y si están dadas las psicines del 0 y el 1, ó del 0 y tr

núer, ya qe la dificltad pdría ser y distinta en n cas tr.

PRoBLEmA 3caja coN dulces/caramelos

Fe cnsiderada crrecta la respesta del estdiante qe cntestó ‘20

caraels’ slaente ‘20’, y stró n prcediient válid para s

reslción, anqe pd haber llegad al resltad crrect efectan-

d cálcls entales dad qe ls núers del prblea l periten.

Si el aln stró n prcediient ateátic adecad per

llegó a n resltad incrrect pr errres en el cálcl hiz el

trataient crrect slaente de na parte de la tarea y di na

respesta parcial n di respesta, s cntestación fe cnsiderada

parcialente crrecta.

La pregnta peritía distintas fras de reslción, cn cálcls

sencills qe peden hacerse entalente. Las sigientes sn tdas

respestas crrectas:

c n /



Reslver nprblea en elcap aditiv yentre núersnatrales.

Respestacrrecta

20 dlces de va

r serce


25,96%


3,82%


58,63%

Prcentaje deisines

11,58%



59

Sin ebarg, c pede verse en la ficha de este íte, llaa la aten-

ción el alt prcentaje de respestas incrrectas, dad qe la sitación

está en n cntext y failiar para ls niñs y tiene núers qe

n debieran presentar bstácls en tercer grad. Cabe pregntarse,

entnces, ¿cál es la dificltad?

En algns cass, ls alns cprenden el ennciad per ceten

errres de cálcl c este:

50 35

– 25 – 25

35 30

otras prdccines inclyen respestas parciales, l qe pdría

atribirse a la falta de failiaridad cn prbleas cya reslción

invlcre ás de n pas, ás de na peración.

En tras, ls niñs san tds ls núers qe aparecen en el enn-

ciad, bscand “el ttal”, sin distingir si se trata de caraels/dl-

ces de n gst de tr, de la clase genérica caraels /dlces.



60

Frente a la sigiente sa algns niñs, qe debieran pder reslver

entalente asciand, pr ejepl, 25 ás 5, se eqivcan candenclnan:

La presentación teprana de la sas en clna frece dificltades

a chs niñs qe aún n dinan la estrctra del sistea de

neración. Si prier san “sin llevar / sin dificltad / sin agrpa-

ients”, y rganizan la centa enclnand, n hay diferencia entre

sar núers de na de ás cifras.

Si bien esta rganización en clnas es necesaria para núers de

ás cifras, es iprtante qe ls niñs dispngan de distintas estrate-

gias de cálcl.

123 1 2 3

+ 211 es como sumar +2 + 1 + 1

334 3 3 4



61

Así, es frecente qe ls niñs n ten cnciencia de las cantida-

des invlcradas, y n tengan cntrl sbre ls resltads. Al pder

anejar, en fnción de ls núers invlcrads, distintas estrategias

apyadas en distintas descpsicines y en el s de las prpiedades

de las peracines, sn frtalecidas las habilidades de cálcl ental.

Pr ejepl:

25 + 35 = 10 + 50 = 60 17 + 25 = 15 + 25 + 2

5 + 5 + 20 + 30 17 + 3 + 22

25 + 25 + 10 10 + 20 + 5 + 5 + 2

Del is d, para calclar 200 + 600 ó 200 + 60 n hace falta

enclnar. Es psible sar entalente, tand en centa ls

nbres de ls núers –dscients ás seiscients, chcients;

dscients ás sesenta, dscients sesenta– y registrar la centa cn

n cálcl:

200 + 600 = 800 200 + 60 = 260

Adeás de ls prbleas ligads a la sa en clnas, hay aqí

n tea interesante para indagar en relación cn el ennciad y ls

significads qe peden atribir ls niñs al s de la sa y de la

resta, ya qe cada nción ateática reselve n ciert cnjnt de

prbleas; per n tiene el is significad en tds ls cass.

Este prblea presenta cantidades de tres clases distintas –carae-ls de naranja, caraels de lión y caraels de va– renids en

tra clase: caraels. Si pensas en tilizar na sa (20 + 5 ás

cánt da 50) sas la sa cn sentid de renir; y si pensas en

na resta (50 – 30) se trata de na diferencia.

Sin ebarg, es frecente qe en las alas y en ls texts esclares

aparezcan prbleas qe alden a trs significads para intrdcir

y ejercitar sas y restas. En general, el trabaj está apyad en a-

ents y disincines de cantidades, ligads a las ideas de agregar

y qitar:

Tenía 25 caramelos y me regalaron 5, ¿cuántos tengo ahora?

Tenía 30 caramelos y regalé 5, ¿cuántos me quedaron?

En ests cass hay n estad inicial, na transfración (psitiva

negativa) y n estad final; per siepre dentr del is tip de

cantidades (X caraels + X caraels = X caraels). La transfra-

ción da centa de na dificación de la cantidad, la qe crre en n

ciert tiep (hay n antes y n despés) y hay palabras qe referzan

este del (tenía, teng, regalé, e qedarn).

a n nn

n

n

n

n n n n ,

bnn n

n n n

b q

bnn.



62

En cabi, en el prblea del íte ‘n crre nada’ ni hay ‘palabras

clave’: existe na sitación descripta en térins de relacines de

inclsión entre clases de distints bjets la qe, tal vez, n haya sid

sficienteente explrada antes pr ls niñs.

En trs ítes cn la isa estrctra en qe la resta es sada para

averigar n cpleent dads la cantidad de eleents de la

clase ttal y la cantidad de eleents de na sbclase, sl la tercera

parte de ls niñs respndió crrectaente, anqe en ns cass ls

núers sn de ds cifras, terinads en 0 ó 5; y en trs sn de tres

cifras. Sin ebarg en n íte qe pregnta cánts pnts ‘le faltan’

a n jgadr para alcanzar a tr, casi el 70% respndió crrecta-

ente, anqe el cálcl presentaba ás dificltad qe en ls cass

anterires.

En trs cass, en ls qe es precis sar la sa para averigar nttal qe reslta de renir las figritas qe tienen distints niñs, en

n cntext saente failiar e indicand qe ‘se jntan tdas’, hay

n prcentaje significativ de respestas crrectas (59,2%) y ls trs

prcentajes sn atribibles a errres en la peración. Sól hay n 3%

de isines qe pdría n haber detectad qe se trataba de sar

para respnder.

e 1

A partir de na isa sitación inicial es factible prpner distintaspregntas:

En una caja se juntan los lápices que se pierden en el aula. Ahora hay 12 lá-

pices negros de distintos tamaños y formas y 15 lápices de colores, ¿cuántos

lápices hay en la caja?

Si 6 chicos sacan 1 lápiz negro y uno de color cada uno, ¿cuántos quedan de

cada tipo?

Ahora hay 27 lápices: si 15 son de colores y el resto son negros, ¿alcanzan

los lápices negros para dar uno a cada uno de los 17 alumnos de la clase?

Había 15 lápices de distintos tamaños y formas y hoy se agregaron 12 más,

¿cuántos lápices hay ahora en la caja?

En el primer recreo, la maestra recogió 4 lápices que estaban en el suelo y

luego se juntaron 2 más. Si al final del día había 15 lápices, ¿cuántos habían

quedado el día anterior?

e n n n

b q n

n n,

hn b

n q ,

n, n,

n n q

n b .



63

un aprte iprtante para la cprensión de esta variedad de signi-

ficads, tant para el cap aditiv c para el ltiplicativ, es el

qe hace Vergnad (1990) a partir del desarrll de la tería de ls

caps cnceptales.

Esta tería plantea na explicación sbre el d en qe ls

alns establecen relacines ateáticas al interactar cn la

realidad, en diferentes cntexts. Denina ‘cap cnceptal’

al cnjnt de sitacines qe reqieren para s reslción na

isa nción, na cbinación de ncines asciadas a ella, y

c ‘tareas ateáticas’ al cnjnt de cncepts y tereas qe

periten analizarlas.

Pr ejepl, el ‘cap cnceptal’ de las estrctras aditivas inclye

el cnjnt de sitacines qe reqieren na adición, na sstracción

na cbinación de dichas peracines. Sn eleents cnstittivsde las estrctras aditivas ls cncepts de cardinal y de edida, de

transfración tepral pr aent disinción (perder gastar 5

nedas), de relación de cparación cantificada (tener 3 bbnes

3 añs ás), de cpsición binaria de edidas (¿cánt en ttal?),

de cpsición de transfracines y de relacines, de peración

nitaria, de inversión, de núer natral y núer relativ, de abscisa,

desplazaient rientad y cantidad.

e 2Aún anteniend el is significad, pr ejepl el de qitar, es

psible cplejizar las sitacines haciend tras pregntas:

El salón de actos de una escuela tiene 160 localidades. Se prepara el acto

de egresados para los alumnos de séptimo grado y las entradas vendidas irán

en beneficio de la Cooperadora. Si por la mañana hay vendidas 45 entradas,

¿cuántas entradas es posible vender antes del acto?

Aqí se trata de averigar la cantidad final leg de na transfra-

ción qe, en este cas, es negativa. Entnces, es n prblea dnde la

resta es sada cn significad de qitar.

Per tabién es psible pregntar pr el estad inicial, cnciend la

transfración negativa y el estad final:

Sabiendo que están reservadas 45 entradas y que aún hay 115 para vender.

¿Es posible averiguar cuántas localidades tiene el salón de actos?

en n nn

b,

n

nn, nn

‘ n’

n n nq b

n

n, q

n

n b.

a, n

b n

nn n

n, n

n n b

. d

, b nn

n ,

n nn

n nn n

.



64

otra dificación pdría ser la qe sige, cya slción cnsiste en

bscar el valr de la transfración:

En el salón hay 160 localidades y al mediodía aún hay 115 entradas sin

vender ¿Cuántas se vendieron durante la mañana?

Tabién es psible presentar trs prbleas cn ds transfraci-

nes, para analizar ss diferencias. Ests prbleas n aparecen cn

frecencia y peden resltar difíciles aún para alns de qint

sext grad enfrentads a ells pr priera vez.

e 3

En un juego de cartas, Andrés pierde 123 puntos en la primera ronda y gana

64 puntos en la segunda ronda. ¿Con qué puntaje terminó en el juego?

Analía pierde en la primera ronda 123 puntos, y dice que entre esa ronda y la

segunda perdió en total 70 puntos ¿Qué le pasó en la segunda ronda?

En el prier prblea hay qe averigar el resltad de la cpsi-

ción de ds transfracines: na es negativa (pierde 123); y la tra,

psitiva (gana 64).

Para cpner las ds es psible pensar en 123 – 64 ó 64 – 123.

En el segnd prblea, aparece el resltad de ds transfracinescpestas (perdió en ttal 70 pnts) y el de na de ellas (perdió

123 en la priera rnda) y hay qe averigar cál es la tra transfr-

ación (qé pasó en la segnda rnda). Si l qe perdió en ttal es

ens qe l qe perdió en la priera rnda es prqe en la segnda

tv qe ganar, y para saber cánts pnts btv pensas en

123 – 70.

e 4

Para ganar a un juego de cartas se necesita llegar a 1000. Si tengo 850

puntos, ¿cuántos me faltan para ganar?

Ls alns peden reslver n prblea de este tip sand pr-

cediients distints: algns peden pensar cánt le falta a 850

para llegar a 1000 calcland entalente, pr ejepl, 850 + 50 =

900; 900 + 100 = 1000; y trs peden restar. Per si ls núers n

terinaran en cers, es prbable qe ás decidan restar.

en n q

n n

b n n

n,

n b

, b

n n n

n

. s

b n

n n,

n n

b h n

.



65

otras sitacines peden ser útiles para pner en evidencia las rela-

cines entre sa y ltiplicación. mchas veces hay prbleas qe

se peden reslver cn na sa na ltiplicación; per, en trs

cass, la ltiplicación n pede pensarse c sa de sands

igales.

e 5

Adeás de pedir reslver prbleas, es psible prpner sitacines

para analizar.

La maestra de Julián le pidió inventar un problema que se resolviera calcu-

lando 4 x 4. Julián escribió este problema: “Mi papá tiene 4 destornilladores,

4 martillos, 4 sierras y 4 pinzas. ¿Cuántas herramientas tiene mi papá?”

¿Responde a lo que le pidió su maestra?

Este niñ, segraente, reselve 4 x 4 haciend 4 + 4 + 4 + 4; per

cand se sa cn significad de renir, n tiene sentid expresar

esa sa c ltiplicación, anqe ls sands sean igales.

Este es n ejepl interesante qe estra algns bstácls deriva-

ds de la enseñanza de la ltiplicación a partir de sas descntex-

talizadas de sands igales y n de la presentación de prbleas

asciads a la prprcinalidad.

Al planificar la enseñanza de las peracines n hay qe perder de

vista ls distints ss de las isas. Pr na parte, hay qe decidircó ir intrdciend ls distints significads5 para frecer n aba-

nic cada vez ás apli de psibilidades; y, pr tra, será necesari

asegrarse qe ls prbleas cn ls qe se evalará reten ss

ya vists, para n srprender a ls alns cn na sitación qe n

pdrían recncer.

Asiis habría qe tener presente qe el trabaj de reslción de

prbleas iplica n prces de delización, frente a na sitación

qe –en principi– aparece c cpleja y de reslción n inedia-

ta para ls alns.

Frente a n prblea es necesari analizar la infración dispnible

para identificar, en fnción de la pregnta qe es necesari respnder,

cáles sn ls dats qe se sarán y qé del perite relacinarls

para elabrar n prcediient.

5 Para ampliar estas ideas es posible consultar: Broitman, Claudia. Las operaciones en el primer ciclo. Novedades Educativas. Buenos Aires, 2000.Ponce, Héctor. Enseñar y aprender matemática. Propuestas para el segundo ciclo. NovedadesEducativas. Buenos Aires, 2000.



66

Leg, habrá qe analizar tant la adecación de la respesta bteni-

da, en relación cn el prblea, c la pertinencia y ecnía del

del tilizad.

Pr ejepl, frente a n prblea en qe se bsca saber –haciend

la centa entalente– cánt hay qe cbrar a tres persnas qe

van jntas a cer a n restarante y cnsen l is, leg de

identificar ls precis sería psible sar distints dels:

• sar ls precis de tds ls plats y bebidas cnsids,

• sar l qe cnse cada n y ltiplicar pr tres,

• ltiplicar pr tres el valr de cada cida, el valr de cada

bebida y sar ls sbttales.

El prier prcediient sa sól n del aditiv, ientras qe en

ls trs aplica sa y ltiplicación. Elegir n tr de ls prce-

diients pertinentes depende tant de ls núers pests en jegc de ls cnciients de qien realiza el cálcl.



67

soBre el domiNio geomÉtrico

Al igal qe en el cas anterir, en relación cn ls cntenids de este

dini cnsiderares prbleas de abs grads.

PRoBLEmA 1miramos uNa lata de piNtura

El prblea de la representación, en ds diensines, de bjets de

tres diensines es td n desafí para ls niñs peqeñs, ya qe

para ells tdavía es difícil distingir entre dibjar l qe saben de n

cerp y l qe efectivaente ven desde na psición deterinada.

Asiis reslta difícil interpretar representacines planas de bjets

tridiensinales cand n ha sid explrad antes có ‘se ve’ n

cerp desde diferentes pnts de vista y cáles de las características

bservadas periten recncer el bjet.

El 35,50% de ls estdiantes de tercer respndió crrectaente; perel 49% eligió la pción D. A ests niñs les ha resltad y difícil

pensar en el cerp del qe se trata, en las fras del is y en

lgrar despegarse de l qe “ven” bicándse de frente a él.

m n n

Grad Tercer grad depriaria básica


Interpretar larepresentaciónplana de n bjettridiensinal

Respestacrrecta

B : Figra 2

r serce


35,50%


A : 7,73%C : 5,58%D : 48,79%v


2,39%



68

Es prbable qe ls niñs qe n reselven bien el íte n hayan par-

ticipad de sficientes experiencias en las qe es descrit represen-

tad n bjet desde distints pnts de vista. Asiis, las ils-

tracines en ls librs de text habitalente presentan ls cerps

y las figras en psicines y vistas ‘clásicas’, y anteniend ciertas

prprcines entre ss eleents.

Así pr ejepl para n cilindr, n es frecente encntrarse cn iá-

genes c las sigientes:

FIGuRA 3

Del is d ls cadrads, frecenteente, aparecen cn ss

lads paralels a ls brdes de la hja; ls triángls isósceles, cn el

lad enr hrizntal sbre n renglón; y ls triángls rectángls,

cn n catet hrizntal.

FIGuRA 4

Pr esta razón, chs niñs qe n han independizad las prpie-

dades de na figra de la psición de ls dibjs qe las representan

dicen, pr ejepl, qe:

FIGuRA 5 “Es un rombo” (sin estar refiriéndsea la inclsión de qe td cadrades n rb)

FIGuRA 6 “Es un triángulo acutángulo”, pesnnca han vist al ángl rect en esapsición.



69

Vlviend al cas de las representacines planas de bjets tridien-

sinales, prpner a ls niñs dibjar desde distints pnts de vista

na cnstrcción realizada cn blqes de adera, na caja n

del de adera de n cerp geétric, perite disctir frente a

prdccines realizadas pr qé ls dibjs sn distints anqe sean

del is bjet, y analizar si el dibj brinda sficiente infración

sbre las características del is.

En el cas de ls pliedrs, adeás de las explracines realizadas

sbre bjets reales, en la clase sn tilizads librs de text cn

representacines qe respnden a las reglas de la perspectiva y qe

deben ser interpretadas pr alns qe las descncen.

Así, retand l dich, l qe ‘se ve’ en el dibj n respnde a las

características del cerp.

FIGuRA 7

Pr ejepl, en este dibj qe representa n cb las caras n sn

tdas cadradas.

En el cas del íte analizad (tarr de pintra), el aestr pdría

prpner a ls niñs qe disctieran si la sigiente figra pdría ser

na respesta adecada y pr qé.

FIGuRA 8

otras actividades qe cntribyen a este cnciient sn las qe

invlcran anticipar qé recrtes de papel (cánts y de qé fras)

sn necesaris para frrar na caja de cartón diseñar ls ldes de

cartón para cnstrir dels de tres diensines anticipand qé

características debería tener ese lde.

r n

b nn b, n

qé nn b

b n

n

n

nn,

nn

é.



70

e 1

Margarita tiene que forrar un cubo y tiene estos recortes de papel, ¿cuáles

puede usar?

Leg, es psible cparar diseñs, analizarls y argentar acerca

de s pertinencia.

e 2Margarita pegó los papeles antes de forrar el cubo pero no pudo armarlo,

¿Por qué?

¿De qué otras formas podría haberlos pegado?

Es psible realizar las prieras experiencias cn cajas de cartón cn

fras de prisas cn base rectanglar cadrada y cbs, y leg

analizar qé se debe edir cand las caras n sn tdas cadradas

rectanglares trabajand, pr ejepl, cn cilindrs, prisas de base

trianglar piráides.

Frecenteente, ls dcentes liitan la variedad de cerps qe

presentan a aqells sbre ls qe qieren fcalizar la atención. Sin

ebarg, la psibilidad de caracterizarls reqiere de ls cntrastes ya

qe, pr ejepl, es difícil advertir có varían la fra y la cantidad

de caras laterales de ls prisas si n se explra dels cn distin-

tas bases.



71

e 3

Es psible hacer n jeg en el qe el aestr clca n del de

adera en na blsa paca, sin qe ls niñs vean s fra.

FIGuRA 9

Leg, le pasa la blsa a n aln para qe pr edi del tact y

de la afiración negación respnda las pregntas qe hacen ss

cpañers, qienes deben descbrir qé cerp está escndid.

De anera siilar para las figras, ls dcentes chas veces sl

presentan rectángls, cadrads y triángls eqiláters. Sin ebar-

g, para recncer ls ángls rects en el cadrad y en el rectángl

es necesari cpararls cn cadriláters qe n ls psean, anqe

el estdi en prfndidad de la clase de ls paralelgras se haga

ás adelante.

e 4

El is jeg de adivinanza pede ser hech cn na clección de

figras c la sigiente.

FIGuRA 10

Algns aestrs señalan qe ls alns n cncen ls nbres de

estas figras; per ebarg ls niñs tilizan espntáneaente expre-

sines qe les periten identificarls: ‘parece n barrilete6’, ‘tiene las

6 Cometa, volantín, entre otras acepciones.



72

pntas estiradas’, etc., las qe peden ser sadas prqe el vcabla-

ri específic está reservad para n repertri ás actad.

Las actividades qe reselvan ls niñs gracias al s de dels

debieran apntar n sól a na explración epírica de las caracterís-

ticas de cerps y figras sin qe tabién debiera ser prvid el

estableciient de nevas cnclsines a partir de la reflexión sbre

ls resltads de esas explracines.

e 5

Prpner a ls niñs qe aren cadriláters cbinand pares de

triángls. Ls aestrs peden frecer ls triángls recrtads en

papel, de d qe haya sficiente cantidad de cada n.

¿Cuántos cuadriláteros distintos es posible armar combinando dos de estos

triángulos?

Despés de arar tds ls cadriláters psibles cbinand ds

triángls, y de disctir qé cadriláters se fran y pr qé, se

pdría pregntar, pr ejepl, si es psible arar n cadrad sandtriángls qe tienen ss tres lads igales y deterinar qe las diag-

nales de n cadrad iden ‘n pc ás’ qe ls lads.

e 6

Copiar las siguientes figuras y registrar qué datos tuvieron en cuenta al

hacerlo.

En este cas, ls dats cnsiderads peden variar al sar papel ca-

driclad y regla, papel lis y escadra transprtadr.

El apy del papel cadriclad perite qe al cnstrir n rectángl

se atienda a la cngrencia n de lads y a las relacines de paralelis-

perpendiclaridad, sin qe la cnstrcción de ls ángls rects

aparezca c n ipedient; sin ebarg, si esta cnstrcción sie-

a

n b

n n

q n

n b, n

n

n n

q é n n (,

, b n

b n)

nn

h.



73

pre es realizada así, ás qe las prpiedades de na figra ls niñs

aprenden las características de n dibj, ligadas perceptivaente a una

psición y a una única fra de representar. Pr ejepl, algns niñs

tienen dificltades para recncer qe la figra 11 es n rectángl.

FIGuRA 11

Estas dificltades se reiteran, aún en sext grad, al pedir dibjar

sbre papel lis, y sand na escadra, n rectángl ABCD, dada la

diagnal AC, cand n reslta blica en relación cn ls brdes de lahja en s.

Así en lgar de na cnstrcción c la (1) aparecen prdccines

c la (2), tal c estra la figra 12.

FIGuRA 12

Cabe aclarar aqí qe chs de ls alns qe realizan la cnstrc-

ción (1) n advierten qe el rectángl qe dibjan n es el únic p-

sible, ya qe habitalente tilizan na prprción 2:3 2:4 entre ls

lads. Es precis td n trabaj intencinal para descbrir qe, dada

la diagnal, es psible cnstrir tants rectángls distints c se

desee.

FIGuRA 13

otras actividades pnen en jeg las prpiedades de las figras, para

analizar si es psible n cnstrir na ás figras a partir de

cierts dats.

en n q

n nn

nn

n n ,

n nn

n nn

b.



74

e 7

a) Decidir, para cada uno de los siguientes casos, si a partir de la informa-

ción disponible, se pueden construir varios, uno o ninguno de los rectángulos

pedidos:

I. un rectángulo que tenga un lado de 4 cm.

II. un rectángulo que tenga dos lados de 4 cm.

III. un rectángulo que tenga una diagonal de 8 cm.

IV. un rectángulo cuyo perímetro mida 16 cm.

V. un rectángulo con diagonales perpendiculares

b) En los casos en que sea posible construir más de una figura, modificar los

datos para que sea posible construir una única figura.

Esta actividad exige qe, a partir de las cndicines dadas, ls al-

ns anticipen las cnstrccines psibles y, sbre td, deterinen si

se trata de na única figra n. Será iprtante prver n sól laanticipación, sin la jstificación de ss afiracines. Despés de na

pesta en cún es psible registrar las prpiedades del rectángl

pestas en jeg.

PRoBLEmA 2círculo y rectáNgulo

Este íte pne en jeg las relacines entre el radi del círcl, s

diáetr y la lngitd de ls lads de ds rectángls.

El prcentaje de respestas crrectas (casi 40%) n reslta del td

satisfactri ya qe sól se trata de identificar la lngitd del segent

AE c la diferencia entre la lngitd de ls segents AD y ED. un

prcentaje de casi el 30% de ls niñs cnsidera qe el valr a restar

es el qe aparece en el ennciad, sin tener en centa qe es el valr

del radi y n del diáetr, – cnfnden radi cn diáetr– ya qe

eligen la respesta D.

c n



Reslver nprbleageétric qe

reqiere sarprpiedades delrectángl y delcírcl.

Respestacrrecta

C : 6 c

r serce


39,26 %


A : 12,73 %B : 16,64%D : 26,70 %


4,68 %



75

Si bien el trataient del círcl cienza en ls priers añs de la

escela, y es inclid prácticaente en tds ls añs, este trabaj n

siepre deriva en el cnciient de ss prpiedades. Pr tra parte,

chas actividades qe figran en ls texts esclares sól reiten a

clcar nbres de eleents y a relacinar nbres de figras cn

dibjs, l qe n cntribye a prbleatizar las prpiedades.

Cand ls niñs ingresan en la escela, cnsideran las figras c

dibjs c bjets de deterinada fra. Es decir, s recnci-

ient está basad en la percepción, es de fra glbal y n distin-

gen las prpiedades qe las caracterizan.

Pr ejepl, ls niñs recncen al círcl y dicen “es n redndel (

na redndela)”, “parece na reda”, “es c na neda”, “tiene la

fra de na tapa”, “es c n anill” y n diferencian, en principi,

el círcl de la circnferencia. Tabién peden distingir n cadradde n rectángl, per tal vez frente a n rb y a n rbide digan

qe “tienen fra de barrilete” (ceta).

Las prieras prpiedades de las figras aparecen asciadas a ss

dibjs, a partir de n trabaj apyad, fndaentalente, en la

percepción y en las explracines cn ateriales y n cn la genera-

lidad de n cnjnt de cndicines qe las deterinan. Ls niñs

peden diferenciar na figra de tra; per n sn capaces, entre tras

características, de cprender la inclsión del cadrad entre ls

rectángls.

Las actividades prpestas aqí bscan qe ls niñs pedan avanzar

desde el recnciient perceptiv de las fras hacia la explicitación

de las prpiedades de ls eleents qe caracterizan esas fras (pr

ejepl, tener lads rects crvs) y de las relacines entre ells

(tener pr l ens n par de lads cngrentes, pr ejepl).

Tabién es interesante destacar qe, c señalas al analizar el

íte de tercer grad, ls alns atribyen a las figras prpiedades

n cnstittivas del bjet geétric per qe están asciadas al

dibj qe están analizand. Pr ejepl, n cadrad “trcid”, dejade ser cadrad.

FIGuRA 14

“Este es un cuadrado” “Este es un rombo”

dn b

é

nn

b q

qbn q ‘ ’,

q n n n

b

nn q .



76

e 1

Si trazas las diagonales de un cuadrado, copias uno de los triángulos en que

queda dividido y armas un cuadrilátero con dos de esos triángulos, tal como

muestra el dibujo…

¿Puedes asegurar que la figura que obtuviste es un cuadrado? ¿Por qué?

Si ahora partes de un rectángulo, ¿qué cuadriláteros obtienes? ¿Por qué?

¿Y si partes de un rombo?

Esta actividad tiene c prpósit sar las prpiedades de las diag-

nales para argentar sbre las características de las figras bteni-

das: s perpendiclaridad, igaldad, si sn crtadas n en el pnt

edi. Pr ejepl, en el prier cas es psible afirar qe ds

ángls de la figra sn rects, prqe las diagnales del cadrad snperpendiclares; ls trs ds tabién sn rects, pes se btienen de

la sa de ds ángls de 45º.

Si bien en ls priers añs de la escela el trataient de las figras

c dibjs es prepnderante, reslta iprtante qe ls alns

tengan prtnidad de enfrentarse prgresivaente a sitacines qe

les exijan hacer anticipacines, sin recrrir a la experiencia de edir y

tar decisines basándse en las prpiedades ya cncidas, anqe

tdavía n tengan sficientes eleents para argentar dedctiva-

ente.

En ese prces, las cnstrccines periten plantear prbleas en

ls cales ls dats qe respnden a ss cndicines teóricas pe-

den tener diferencias cn aqells apyads en la percepción. Ests

prbleas plantean n desafí al aestr en relación cn el s de

ls instrents, ya qe elegir n tr difica las cndicines del

prblea, pes pnen en jeg diferentes relacines entre ls eleen-

ts de las figras.

e n n n

n q, n ,

n n n b n

n bn –n b n

b n n –,

n q n

n b n

.

s bn b q

n nn n n n

hb nn, n n n

n q n n

b

n

b,

nn q

n, n bn

n n

.



77

e 2

a) Construir un rombo con escuadra, sabiendo que sus diagonales miden

4 cm y 1,5 cm.

b) Construir un rombo con compás, sabiendo que sus lados miden 5 cm y

una de las diagonales mide 3 cm.

c) Si algún alumno afirma que el rombo construido en (a) es igual al resultan-

te en (b) ¿estaría en lo cierto? ¿Por qué?

d) Para dibujar un rombo de 4 cm de lado, ¿qué procedimiento conviene

usar?

En el cas particlar del círcl y la circnferencia, será central el tra-

baj qe se realice cn el cpás. Descbrir la eqidistancia al centr

de ls pnts de la circnferencia y la relación radi-diáetr reqiere

de n prces bien articlad y de cy resltad depende, en bena

edida, la psibilidad de avanzar en chs cnciients sbre lasfigras.

Sin l anterir n será psible cprender, pr ejepl, ls prcedi-

ients para cnstrir triángls para trazar la ediatriz de n seg-

ent la bisectriz de n ángl. De tr d, ls alns pdrán

repetir secencias de pass cn el cpás, a d de na cregrafía

sbre el papel, sin advertir las relacines entre distancias qe están

pestas en jeg.

Hacer una marca arriba, buscar puntos que están a 3 cm,

otra abajo,… a 4 cm, y a 5 cm de A y de B.



78

El trabaj sbre circnferencia pede ser iniciad en cart qint

grad, cn actividades qe invlcren la discsión sbre la lcalización

de bjets en el espaci, en relación cn na referencia fija. Pr eje-

pl, disctir dónde se pede bicar bebeders para aniales en na

chacra a deterinada distancia de na fente de aga.

e 3

Dos personas quedaron de encontrarse en la plaza, en un banco que está

a unos diez pasos del monumento. En el dibujo siguiente, marquen dónde

podrían haberse encontrado, sabiendo que, en la realidad, diez pasos corres-

ponden a 3 cm en el plano.

Tabién es psible prpner sitacines en la pantalla de n c-

ptadr en el cntext de n jeg. En ests priers pass bastará

cn descbrir qe hay ás de na respesta, para avanzar leg en laexplración exhastiva de tdas las lcalizacines psibles.

e 4

Peden plantearse sitacines en las qe para regar na herta es

necesari ver n regadr para cbrir tda la sperficie. Ls alns

deberán advertir las regines qe se van jand cn ls scesivs

cabis.

FIGuRA 15

Leg será necesari pasar al s del cpás, para deterinar la

lcalización de pnts en el plan qe están a na distancia dada de

tr pnt.



79

Explrar las psibilidades, n, de cnstrir n triángl dadas las

distancias entre ss vértices reslta tabién na prpesta desafiante

para ls alns y de la qe peden desprenderse leg cnstrcci-

nes de cadriláters.

e 5

Construir, si es posible, las siguientes figuras:

a) Un triángulo con lados que midan 4 cm, 5 cm y 3 cm.

b) Un triángulo con lados que midan 9 cm, 6 cm y 3 cm.

c) Un triángulo con lados de 3 cm.

d) Un paralelogramo con una diagonal de 9 cm, un lado de 6 cm y otro de 3 cm.

e) Un rombo con una diagonal de 3 cm y lados de 3 cm.

f) Un rombo con una diagonal de 3 cm y lados de 5 cm.

Dibujar un segmento AB de 5 cm de longitud y responder:

a) ¿Es posible encontrar un punto P, que esté a 4 cm de A y también de B? ¿Y

un punto Q, que esté a 4 cm de A y a 3 cm de B?

b) ¿Cuántos puntos cumplen las condiciones expresadas en(a)?

c) Si trazan los segmentos AP y BP, ¿qué tipo de triángulo determinan con

AB?

d) ¿Cuáles habrían sido las respuestas anteriores si AB hubiera medido 7 cm?

¿Y si hubiera medido 4 cm?

e 6Dibujar un cuadrilátero cuyas diagonales midan 3 cm y 5 cm y que cada una

corte a la otra en el punto medio.

a) ¿Es posible asegurar que la figura dibujada va a coincidir con la que dibujó

otro compañero a partir de los mismos datos? ¿Por qué?

¿Cuál de los siguientes mensajes permite construir esta figura?

a) Las diagonales son perpendiculares, una mide 5 cm y la otra 3 cm.

b) Los lados son iguales dos a dos, y las diagonales son perpendiculares.

c) Una diagonal mide 5 cm y la otra 3 cm La mayor corta a la menor por la

mitad.

Dibujar un rombo y escribir el procedimiento usado para que un compañero

pueda realizar la misma figura.



80

Un alumno dice que es posible usar el procedimiento para construir la me-

diatriz de un segmento para dibujar un rombo. ¿Es cierto lo que afirma?

Es iprtante tener en centa qe se reqiere n trabaj específic

sbre la caracterización de ls bjets geétrics, ás allá de las

frecentes actividades realizadas en ls distints grads de la escela

priaria dnde las prpiedades de las figras están pestas en jeg

en la reslción de prbleas de cparación y cálcl de edidas,

en especial aqellas ligadas al períetr y al área. De tr d, ls

alns peden aplicar, pr ejepl, las fórlas ‘base x altra / 2

ó π x r2’ cand sn dads ls dats en fra explícita, per tienen

prbleas para identificar a qé llaan base radi.

soBre el domiNio de la medida

En relación cn ls cntenids de este dini, cnsiderares ls

prbleas de períetr, área y vlen, de las prebas de sext

grad.

La selección bedece al criteri de cnsiderarls del is cap –el

de las edidas espaciales– es decir, aqells en ls qe las edidas

están referidas a agnitdes ligadas a las fras y edidas de las

figras y cerps geétrics y, pr ell, peden cnsiderarse fran-

d parte de n is cnjnt. En las evalacines hes analizad

prbleas qe invlcran tant la nción de períetr c las de

área y de vlen.

En prier lgar, aparecen ls prbleas cerrads llaads Rectán-

gulo 1 y Rectángulo 2 y, leg, ls prbleas abierts deninads

Cajas y Patio.

Cada prblea presenta n análisis individal de ls cnciients

invlcrads en ss psibles reslcines, segid de n análisis de

cnjnt, qe aprta nevas cnclsines.

rn 1 rn 2

Pr ser presentads en ítes cerrads, en ests prbleas es psible

analizar ls cnciients ligads a cada na de las alternativas de

respesta.

Las alternativas cnsideradas, en general, tienen relación cn el d

en qe ls alns anejan la infración del prblea y, en algns

cass, cn ls errres ás cncids.

l n

nn

–, ,

nn

– n

n n

q hn n n

nn

n

b

.



81

El prblea sigiente, llaad Rectángulo 1, pide averigar el períe-

tr de esta figra, e inclye en s ennciad el dibj y las edidas

de ss lads escrits sbre cada n de ells, en núers enters y

en centíetrs. Para reslverl, ls alns n necesitan cncer na

fórla per sí saber qe el períetr es la sa de ls lads. Para el

cálcl, las alternativas de reslción dependen slaente del s de

sas, de sas y prdcts pr 2.

Ls alns evalads pdrían sar ls lads ayr y enr, qe

sn dats, y leg ltiplicar pr 2 (Prcediient A), ltiplicar

cada n pr 2 y leg sar (Prcediient B); sar ls catr

lads (Prcediient C) y btener 120 c.

Las deás alternativas sn psibles de btener al sar ls dats y

n ltiplicar pr 2 (60 c) l qe pdría iplicar el descnciient

de la nción de períetr; sar sól las edidas de ls lads áslargs (96 c); ltiplicar abas edidas pr cnfsión cn el área

(576 c).

En tr prblea siilar, Rectángulo 2, hay qe averigar la edida

de n de ls lads de esta figra, dads s períetr y la edida

del tr lad; en abs cass, en núers enters y en centíetrs.

Tapc aqí ls alns necesitan saber la fórla; per sí cncer

la nción de períetr para interpretar el ennciad.

Para calclar el lad pdrían ltiplicar pr 2 la edida del lad qe

es dat, y restarla al períetr, para leg dividir pr 2 (PrcediientA); restar ds veces el lad, para leg dividir pr 2 (Prcediient B);

dividir pr 2 y restar el lad al seiperíetr (Prcediient C) y

btener el lad.

La cparación de ls resltads ayda, en prier lgar, a la c-

prensión de las dificltades relativas de calclar n períetr dads

ls lads dad el períetr y n lad para calclar el tr. Tabién

al aprte qe significa inclir el dibj de la figra en el ennciad.

a



Reslver nprblea qereqiere elcncept deperíetr

Respestacrrecta

C : 120 c

r serce


39,79%


A : 37,10 %B : 8,42%D : 12,41 %


2,28 %



82

El análisis de ls resltads pdría cntribir a la cprensión de

cánt peden ls alns diferenciar las agnitdes períetr y

área.

c p

Al ser ítes abierts, ls prbleas qe hes deninad Cajas y

Patio periten analizar ls diferentes prcediients de reslción

qe hiciern ls alns.

PRoBLEmA 1cajas

Este prblea pide averigar la cantidad de cbs qe caben en na

caja cn fra de prisa rectanglar, y prprcina c infración

n dibj de abs cerps y, en el text, las diensines de cada

n de ells, expresadas cn núers natrales y en centíetrs.

Si el estdiante respnde ‘6 cbs’ ó ‘6’, strand n prcediient

válid, s respesta es crrecta. Asiis pede btener 6 cbs

calcland entalente, prqe ls núers sn peqeñs y l

periten. Es así c peden elegir n prcediient basad en el

cálcl de ls vlúenes de abas cajas, y la división entre ells; n

c



Reslver nprblea qeinvlcra elcncept de

vlenRespestacrrecta

6 cbs

r serce


15,46%


1,03%


66,18%

Prcentaje deisines

17,33%



83

prcediient basad en el dibj de ls cbs peqeñs dentr de la

caja y dar la respesta ‘6 cbs’.

Pr tra parte, sn cnsideradas respestas parcialente crrectas

aqellas en las qe ls alns eligen prcediients ateátics

adecads, per llegan a resltads incrrects pr errres en ls

cálcls; hacen n prcediient parcial y iten el rest.

Procedimientos encontrados

Para reslverl es psible calclar cada vlen y despés dividir (Pr-

cediient A); calclar cántas veces es psible transprtar el cb

sbre cada arista del prisa y leg ltiplicar (Prcediient B).

Al cnsiderar las reslcines de ls alns a abs prbleas

abierts, hes encntrad prcediients acertads de ds tips,

cn na variedad de representacines asciadas qe dan lgar a pen-sar en el s de diferentes cnciients.

C ejepl del Prcediient A, encinas el de n aln qe

dibjó abs cerps (cpió ls qe fran parte del ennciad) e

hiz líneas en la caja qe arcan, en perspectiva, ls cbs qe entran

en cada arista.

Ls dats del prblea diern lgar a n núer natral en ls tres

cass. De allí, pd cntar y llegar a la respesta crrecta, qe es

6. Sin ebarg, leg escribió ds divisines entre cada na de lasedidas de la caja y la de la arista del cb, tal vez para asegrarse

de l qe había hech cn n prcediient qe cnsideró ás válid

para na evalación de ateática: hacer centas. Esta interpretación

se deriva del cntrat didáctic qe circla en las escelas priarias

frecenteente acerca de l qe se pede n hacer en clase de a-

teática. Pr ejepl, en este cas “siepre hay qe calclar para dar

na respesta”.



84

N fern encntrads cass en qe ls alns ltiplicaran ls

tres núers btenids en las divisines, l qe pareciera derivar de

la psibilidad de cntar ls cbits hacer la centa de ltiplicar

entalente.

C ejepl del Prcediient B, encntras el de n niñ qe es-

cribió na fórla para el cálcl del vlen de la caja (v = a x b x c)

y reeplazó cada letra pr n dat cn núer y nidad (c en cada

cas), anqe leg en el prdct escribió 48, sin nidades.

Despés, escribió la fórla para el cb y reeplazó pr núers

sin nidades (a = 23 = 8) y, pr últi, dividió 48 pr 8, cn resltad

crrect y deninación de cantidad.

otrs niñs sarn este prcediient per sin fórlas, inclyend

prdcts parciales tant para el prisa (2 x 4 = 8 y 8 x 6 = 48) c

para el cb (2 x 2 = 4 y 4 x 2 = 8), para leg dividir abs reslta-

ds, encntrand la respesta. Este últi prcediient da centa

de la necesidad, al calclar n vlen, de cnstitir prier na cara

del cerp y leg aplicar el peradr crrespndiente a la tercera

diensión.

El estdi de ls prbleas de aritética eleental y de ls prce-diients de reslción qe ls niñs prdcen para reslverls ha

cndcid a analizar ess prcediients e interpretarls (Vergnad,

1978). Este análisis ha peritid ver qe, para calclar el vlen, ls

niñs peden sar tant n del ltiplicativ c n aditiv

dels ixts. Así aparecen slcines en las qe se ltiplican las

tres diensines, c las ya encinadas (tip vlen); tras en

las qe se sa (tip períetr); algnas en las qe se ltiplican de

a pares y se san (tip sperficie), y tras ixtas. Hes encntrad

en la estra analizada ejepls de tip períetr y de tip ixt.



85

un ejepl de prcediient ‘tip períetr’ es el sigiente: el niñ

niña hiz centas qe le peritiern saber cánts cbs es psi-ble clcar para cada diensión (6 : 2, 2 : 2; y 4 : 2); sin ebarg,

interpretó ests resltads de anera independiente de s bicación

espacial, c si feran tdas aristas clcadas na a cntinación de

tra, y só ls tres resltads btenids. En este cas, pr ls dats

del prblea reslta na respesta igal a la crrecta y, de n ser

n íte abiert, esta respesta hbiera pasad pr bena ya qe n

cncerías el d en qe fe btenida.

otra estra de este tip es la respesta de n aln qe realizó na

centa de sar en la qe ls sands sn tds ls dats: ls tresde la caja (6, 4, y 2) y el del cb (2), bteniend c resltad 14 y

escribiend est is c respesta.

En cant a ls ejepls de prcediients de ‘tip ixt’, hb

cass en qe alns cenzarn calcland el vlen de la caja;

per leg dividiern 48 pr 2, la arista del cb.



86

Entre ls prcediients incrrects existen tabién cass en qe

el aln, en el transcrs de la reslción, ‘pierde’ la pregnta y

respnde cn n dat, ya qe leg de calclar 6 x 4 x 2 y btener 48,

da c respesta na parte del ennciad: “se debe llenar la caja cn

cbs de 2 c de arista”.

Tabién hb cass en ls qe, anqe el aln alna respndió

bien, escribió varis cálcls de ltiplicar en fra vertical:

2 x 2 x 6 = 24; 24 x 6 = 144; 6 x 4 x 2 = 48, 2 x 4 x 2 = 16 y 2 x 6 x 2 = 24,

ls qe n cndcen a la respesta. Pdría pensarse qe cntó cán-

ts cbs entran en na representación n dibjada y leg inclyó

centas para ‘respnder al cntrat’.

Cn respect al s de las nidades, hes encntrad tant s

asencia c s eple eqivcad, inclyend cass en ls qe el

vlen está expresad en 2 en c. Sin ebarg, est n incide en

errres de cálcl. Pareciera qe las nidades sn sadas sin cpren-

der s significad, c etiqetas intercabiables.

Ls errres de cálcl n sn chs, ya qe ls núers de ls dats

sn peqeñs, anqe en algún cas se cnsigne 2 x 2 x 2 = 6.



87

PRoBLEmA 2patio

Aqí se pide calclar la cantidad de baldsas necesarias para cbrir n

pis rectanglar. Ls dats sn la edida del larg y el anch de la ha-

bitación en etrs y cn núers deciales; y el lad de las baldsas

a sar en centíetrs y cn n núer natral.

Calqiera qe sea el prcediient elegid es necesari cnsiderar

tdas las edidas en la isa nidad, l qe reqiere cncer y tili-

zar la eqivalencia entre etrs y centíetrs.

Si el estdiante stró n prcediient de reslción válid y cn-

testó ‘96 baldsas’ ó ‘96’ di na respesta crrecta. En cabi, si el

prcediient fe crrect, per cn errr en ls cálcls y/ en laseqivalencias entre las edidas de lngitd; si hiz n trataient

crrect de na parte de la tarea y itió el rest del trabaj, la reali-

zó cn errres, s respesta fe cnsiderada parcialente crrecta.

Procedimientos encontrados

Ls prcediients sads, al igal qe en el prblea anterir, pe-

den ser agrpads en A y B.

p

Grad Sext de básica priaria


Reslver nprblea qeinvlcra el

cncept de áreaRespestacrrecta

96 baldsas

r serce


1,97%


10,32%

Prcentaje derespestas

incrrectas

67,66%

Prcentaje deisines

20,04%



88

El Prcediient A, basad en calclar cada área, cnsidera tant

cass dnde está inclid el dibj del pati y las baldsas, y fern

antadas las edidas sbre cada n de ls catr lads; c aqe-

lls dnde ls alns n hiciern dibjs.

Ls cálcls de las áreas respndiern a na variedad en relación cn

el s adecad de las nidades. Algn las calcló en la nidad dada

(bteniend 3,84 2 y 400 c2), reslvió la eqivalencia (0,042) y

leg dividió abas edidas.

otr, antes de calclar, transfró td en c, indicó bien ls cálc-

ls; per n llegó al resltad crrect pr hacer al la centa (en 240x 160 btiene 16.800, al n respetar la bicación de las cifras en el

tercer renglón).

Entre ls errres derivads de na eqivalencia incrrecta, apareció

el de n aln qe calcló cada área en la nidad dada; per indicó

abs resltads cn nidades lineales, pr l qe transfró según

la eqivalencia 100 c = 1 , en lgar de 1 2 = 10000 c2.



89

En n cas diferente, el aln alna calcló bien el área del pati

en 2 y dividió pr la edida del lad de la baldsa en c, sin hacer

la eqivalencia. obtv c resltad 19,02; per respndió 109,

pes las edidas periten estiar qe na sla línea de baldsas re-

qiere de 12 de 8 y entnces cn 19 n alcanza para cbrir el pati.

Tabién hb alns qe tilizarn n prcediient erróne qe

da centa de na dificltad para sstener la idea cn qe se inicia la

reslción, pes al cienz el niñ niña calcló el área del pati,

per leg ltiplicó pr la edida del lad de la lseta.

El Prcediient B, basad en calclar el núer de baldsas pr

lad, inclye el dibj. En algns cass apareció el registr de datsnérics sbre ls lads; algns antan 12 al lad de 2,4, y 8 al

lad de 1,6; es decir, el núer de baldsas de 20 c qe se peden

bicar sbre el lad, para leg ltiplicar 12 b x 8 b, l qe da c

resltad 96 baldsas.

un cas interesante es el de n aln qe, adeás, explicó crrecta-

ente l qe hiz, pas a pas.



90

Hb qien dibjó el pati, cadriclad cn na cantidad de baldsas

pr lad la qe respnde a ls dats, y escribió 8 y 12 sbre cada n;

para leg respnder 96. Per n es psible saber si calcló 12 x 8

cntó.

Tabién algns calclarn 12 y 8; per leg sarn 12 + 8 = 20.

Sin ebarg respndiern 200 baldsas, pes sabían qe na sla

línea de baldsas reqiere de 12 de 8 y qe, entnces, 20 n cbren

el pati.

Y está qien cenzó sand ls 4 lads cn n prcediient ‘tip

períetr’; anqe indicó ls valres cn núers deciales, n psla ca en el resltad y escribió 80. Leg, só 12 + 8 = 20; y, pr

últi, só 80 + 20 respndiend qe sn necesarias 100 baldsas.

Análisis comparativo

En principi, pdes decir qe ls prbleas abierts Cajas y Patio

sn siilares en ds y tres diensines, respectivaente, ya qe en

abs hay na cierta nidad qe entra n núer exact de veces

en l qe hay qe edir. Ss diferencias están en las diensines

invlcradas, el taañ de ls núers y la necesidad, n, de hacer

n cabi de nidades.

Abs prbleas tienen n prcentaje cercan al 20% de isines y

n alt prcentaje de respestas incrrectas (66,18% cajas y 67,66%

pati). En este sentid, al cnsiderar las prpestas en el próxi

apartad veres qe es psible explicar est pr el tip de trabaj en

clase realizad para enseñar estas ncines.

Sin ebarg, reslta ntable qe ientras Cajas tv n 15,46% de

respestas crrectas, Patio lgró el 10% de respestas parcialente

crrectas. Es psible inferir de est qe para ls alns el hech



91

de trabajar en tres diensines, en lgar de en ds, n reslta tan

cplej c perar cn núers de ayr taañ y cnsiderar las

eqivalencias de edidas escritas en diferentes nidades.

Pr tra parte, en Cajas el dibj es n apy sable, pes al tener

núers peqeñs hay qe dibjar ns pcs cbits; en cabi,

en Patio, dibjar 96 baldsas n reslta n recrs valrad pr ls

alns.

Sería interesante disctir cn ls niñs el is prblea cn trs

dats. Pr ejepl, si la caja tviera 7 c de altra, 3 c de anch

y 2 c de prfndidad, habría qe plantear si sól es psible cntar

cbits enters se pdrían “crtar” y pensar en edis cbits para

cpletar la caja.

Tabién sería interesante cnsiderar entre ls prcediients de tipA y B, ls prcentajes de cada n de ells, así c de ls diferentes

tips de prcediients parcialente crrects.

En el estdi encinad antes, Gerard Vergnad señala qe vale la

pena tener en centa qe el vlen es n cncept ltiplicativ y

cplej; es decir, qe las dificltades de aprpiación sn frecentes,

iprtantes y draderas. En la escela priaria, antes de analizar las

prpiedades del trilinealis – c el prdct de na sperficie

pr na lngitd– es psible abrdar s estdi c na agnitd

física ensrable, qe se presta a cparacines, edicines yestiacines en actividades de trasvasaient aplicadas a sitacines

varias de la vida ctidiana de ls niñs.

Del is d, tabién el área es na agnitd físic-geétrica

qe pede dar lgar a actividades de sperpsición y cálcl estiad

qe n reqieren del s de fórlas.

Pr tra parte, el trataient esclar de las agnitdes espaciales

sele hacerse tand cada na de ellas pr separad, sin cnside-

rar en na isa sitación –y para na isa figra– s área y s

períetr , para n is cerp, s sperficie y vlen, así clas variacines de na agnitd cand la tra es cnstante. Est cn-

dce a dificltades para s diferenciación (Dady, área) y pdría ser el

rigen de tilizar ls prcediients de sa de aristas.

A cntinación presentas algnas cnsideracines qe rientan el

diseñ y gestión de prbleas esclares y qe apntan a na enseñan-

za speradra de las dificltades bservadas en las prebas, tilizadas

en el análisis, y qe tan en centa ls señalaients realizads en

las cnclsines de ls estdis didáctics encinads.

l nn q

n n n

nn

nnn

bnn , nn n,

q

n n

n

bn bn

b n ,

n .



92

El estdi de las agnitdes, y de s edición, ha cnstitid y cnsti-

tye na parte iprescindible del prgraa de ls priers añs de la

esclaridad. Fndaentalente pr la necesidad y el recnciient

qe tiene la práctica de la edida c cnciient de base para el

desenvlviient scial de ls sjets.

Generalente, el aprendizaje de ests cncepts está identificad cn

el dini y cnciient de ls distints sisteas de nidades qe

cpnen el Sistea métric Decial, y ls prpósits de s enseñan-

za sn alcanzads cand ls alns peden efectar pasajes de na

nidad a tra, cn rapidez y segridad.

Sin ebarg, a pesar del tiep y de la dedicación qe habitalente

se invierten en estas tareas, es bastante frecente encntrar niñs cn

esclaridad avanzada, y tabién chs adlts, cn iprtantes di-

ficltades en relación a estas ncines; y, aún ás, cn pc ningúnsentid de la estiación en relación a las isas.

Per tabién existe na prbleática específica qe la escela debe

tratar: la realización de edicines de diferentes agnitdes, ya qe

“comprender la medida implica comprender el proceso de medir, la inexac-

titud de los resultados, el concepto de error de medición y a qué puede ser

atribuible, y la importancia en la selección de la unidad y del instrumento

adecuado para lograr la precisión requerida por la situación planteada”7.

Desde ls priers añs de la esclaridad, la idea es enfrentar a lsniñs a prbleas reales de edición, qe les peritan cnstrir na

representación interna del significad de cada na de las agnitdes

estdiadas y elabrar na apreciación de ls diferentes órdenes de

cada agnitd qe rienten la psibilidad de estiar y el s de las

nidades cnvencinales (¿cánt es 1 ? ¿y 1 c? ¿y 1 k?).

Ests prbleas tabién dan la prtnidad para debatir en el ala

sbre tras cestines, c pr ejepl el carácter cnvencinal

de la nidad de edida y la iprtancia de s deterinación: ya qe

edir es cparar cn na nidad, pr l tant el resltad de la

edición depende de la nidad elegida. Tabién periten explicitarls errres cetids en la edición, debids a ls prcediients

epleads a la elección de la nidad.

Asiis, frente a la necesidad de cabiar nidades, ests prbleas

dan lgar a plantear la relación existente entre las transfracines

m n

, q n

n n

b

b .

mh bn n n

nbn n

nú n

nnn

n

é .

7 Bressan y Gysin en Contenidos Básicos Comunes para la Educación General Básica. Ministeriode Cultura y Educación de la Nación, Argentina, 1995.



93

de la nidad y las edidas crrespndientes. Cabe recrdar qe si la

nidad sada es la itad qe la epleada anterirente, la edida

será el dble; y si cn na cierta nidad el is bjet ide na

cantidad deterinada y cn tra nidad, la tercera parte, es prqe

esta segnda nidad es tres veces ayr qe la priera.

Gracias a este tip de prbleas es psible, tabién, efectar cálcls

siples de edidas y expresar de anera aprpiada el resltad de

na edición, de n cálcl de na estiación cn n núer y na

nidad, epleand nidades adecadas y, según el cas, tilizand

na expresión cpesta, na escritra racinal n encadraient.

Tradicinalente, en la escela priaria se realizan algnas cpa-

racines calitativas y edicines cn nidades n cnvencinales

para la lngitd. Este inici, qe intenta recperar de algún d el

prces históric, descida en casines el hech de qe ls niñs yacncen y san las nidades cnvencinales. En este sentid, y si bien

es iprtante diferenciar ls distints tips de nidades, es necesari

presentar sitacines qe reqieran realizar edicines, evalar qé

instrents están dispnibles y cál es el tip de infración qe

pede btenerse.

Pr ejepl, algns texts esclares prpnen, para el cas de la ln-

gitd, edir el larg del banc de n libr, sand gas lápices,

cn el prpósit de descbrir qe las edidas btenidas sn distintas

y cprender la necesidad de la existencia de la cnvención. En estecas, cabría pregntarns ¿es versíil esa sitación?, ¿qién necesita

ese dat y para qé?

En cabi, si l pedid es deterinar la psibilidad de deliitar na

cancha para realizar n deprte en el pati en el terren de la esce-

la, cabría la necesidad de realizar algnas edicines para analizar la

pertinencia, en ese cas específic, de las edidas qe figran en ls

reglaents.

En este cas, ls alns enfrentads al prblea de edir qizá

recrran espntáneaente a na cinta étrica, qe tal vez cnzcanpr el s scial. Si es así, cnvendría realizar las edicines avanzan-

d sbre las dificltades prdcidas en el s del instrent; leg

se pdría disctir có reslver el prblea sin la cinta, aprtand

incls algna infración histórica acerca de nidades antigas c

el cd, el pie, la lega, la vara, etc.

otra psibilidad es qe n estén dispnibles ls instrents necesa-

ris se descnzca s s, y entnces será el cnjnt de la clase,

cn la ayda del dcente, el qe decidirá có reslver el prblea.



94

El itinerari qe prpnes para ser recrrid pr ls alns cn el

fin de cnstrir las fórlas para calclar, pr ejepl el área de na

figra, parte de la idea de qe la sisteatización de las isas debe

darse a partir de n trabaj de recperación de ls prcediients

prdcids pr ls alns frente a la reslción de n prblea ade-

cad. Est iplica qe, en n prier ent, el aestr necesita

entender dichs prcediients, para pder hacerns carg del prce-

s de evlción de ls iss, hasta llegar al prcediient expert.

La tilización de cabis reglares en el sistea decial de edidas

es, precisaente l qe l aseeja al sistea de neración y la es-

critra de la edida tiene s eqivalente en l qe refiere a la desc-

psición de n núer en nidades, decenas y centenas, etc.

Cprender el significad de edir en el tea de áreas es n cn-

cept cplej y difícil para ls niñs. Entender qe la nidad deedida es na prción de sperficie y qe esta pede entrar na cierta

cantidad de veces entera en fracción en tra dada, sól es psible si

ls alns participan activaente en el prces de ‘cbrir’ cn esa

nidad la sperficie dada. Pr esta razón, ns parece qe las prieras

aprxiacines a este estdi deben estar rientadas en este sentid.

e 1

Para estiar áreas y edir cn nidades n cnvencinales, en na

sitación de cntext extraateátic, es psible prpner, pr eje-pl, qe ls chics realicen estiacines y edicines de sperficies

cn nidades elegidas pr ells, planteand na actividad c la

sigiente:

Se quiere saber, de manera aproximada, si 20 bancos con sus respectivas

sillas y el escritorio de la maestra podrán entrar en un aula de 4 m x 7 m.

En este tip de sitacines, ls niñs pdrían tilizar c nidad

de edida n banc cn s respectiva esa y, a partir de allí, pensar

en hileras de bancs para cbrir ls 7 de larg y ls 4 de anch.

Tabién pdrían cparar directaente cn na hilera de bancs des salón. Sabiend qe hay 10 bancs en na parte de n salón qe

tiene 2 pr 6 , deberán estiar para las edidas del tr salón l

qe pdría sceder.

e 2

Para edir áreas cn nidades n cnvencinales, en na sitación de

cntext intraateátic, el aestr pdría presentar na secencia

de actividades qe peritan intrdcir estas discsines:

l n

n nú n

nn

n nn

nn

n n

n ,

n, b n

b q

n bn n

n

nn

n

n n

n ,

nn nn

n n n.



95

Determina, aproximadamente, el área de cada una de las siguientes figuras,

utilizando la unidad de medida propuesta. Usa papel de calcar.

unidad de medida

Martina dice que si la unidad de medida fuera un cuadradito como el siguien-

te, para determinar el área de las figuras del problema anterior no haría falta

poner esta nueva unidad dentro de las figuras para determinar cuántas veces

entra.

a) ¿Es verdad lo que dice Martina? ¿Por qué?

b) ¿Cuál sería el área de cada figura con esta unidad?

Utilizando como unidad de área el triangulito del problema anterior, dibuja

dos figuras que tengan un área de 8 unidades.

Utilizando como unidad de área el cuadradito del problema 2, dibuja dos

figuras que tengan un área de 4 1 — 2

unidades.

Para resolver el problema, tres niños armaron las siguientes figuras. Controla

si cumplen con la consigna, o no, y explica por qué.

e 3

Para edir áreas cn nidades cnvencinales, en na sitación decntext extraateátic, el trabaj qe prpnes cienza cn la

edición estiación de espacis qe ls alns cncen, c s

ala, el pati de la escela, la bibliteca, sand ls 2 y ls c2.

En relación cn el etr cadrad, hay qe tener en centa la disc-

sión acerca de s fra. Es pc habital cnsiderar qe es psible

hacerla variar y antener s edida: así, n rectángl de 1 — 2

x 2

de lad tabién ide 12.



96

Es fndaental qe ls niñs pedan realizar las prieras expe-

riencias cn n cadrad de n etr de lad cnstrid cn papel,

prqe est habilita la psibilidad de qe entiendan la edida, ás

allá de s aspect néric, y la recnzcan tabién c n espaci

cbiert pr esa cantidad. En este cas, pdrán bscar estrategias cn

el fin de deterinar cánts de ess cadrads sn necesaris para

cbrir td el espaci slicitad. Pr ejepl, el aestr pede pedir a

ls alns qe realicen na actividad c la qe sige:

Estimen las medidas de los lados del aula (aproximarlas a números natura-

les) y piensen cuántos m2 (mostrarles en el piso o en el techo, lo que sería un

metro cuadrado) entran.

e 4

Para edir áreas cn nidades cnvencinales, en na sitación decntext extraateátic, es psible plantear, pr ejepl:

Calcula el área de las siguientes aulas:

Es bastante psible qe, para reslver, ls alns bsqen reprdcir

el is tip de prcediient qe venían sand qe, en este cas,

sería cbrir cn cadrits tda la sperficie para deterinar la can-

tidad qe entra en esas alas. Tabién es bastante psible qe sen

cadradits de 1 2.



97

Pr ejepl, para el ala de 6 x 4,5 , si bien la lngitd de n de

ss lads es n núer decial, el hech de qe sea 4,5 y qe el tr

lad sea n núer par, perite qe cn el recrs de cadriclar la

figra, ls alns deterinen fácilente qe cn la últia fila aran

3 cadradits ás, prqe cada n es 1 —

2

de n etr cadrad.

En el cas del ala de 6,5 x 5,5, si bien sige siend válid el recr-

s anterir, frece ayr dificltad para ls alns prqe al realizar

las relacines entre las prcines de cadradits se cpletan 30 2,

qedan 11 itades de cadradit (5 1 — 2

2 ) y la itad de la itad de n

cadradit ( 1 — 4

2 ) pr l qe es necesari sar e interpretar ese valr

en 2 (30 + 5 + 1 — 2

+ 1 — 4

) dnde 3 — 4

de 2 se pede expresar c

0,75 2, para pder dar c resltad 35,75 2.

Para reslver, adeás de cbrir cn cadradits, ls alns pdrán

sar diferentes fras de calclar (cntar ls cadradits qe entran,sar las filas de cadradits, ltiplicar), l qe psibilita la cpara-

ción de étds y sean establecidas relacines entre ells qe lleven a

pner de anifiest aqellas qe n tds ls alns tienen en centa.

Ls dcentes peden plantear pregntas c ¿de qué medida eligieron

hacer los cuadraditos?, ¿por qué? y tras qe lleven a cparar el pr-

cediient cnsistente en na sa reiterada cn el qe epleó na

ltiplicación.

Este tip de discsines psibilita pner en cún herraientas qesan ns alns y qe n necesariaente están dispnibles para

trs. Si bien el hech de disctirl na vez n garantiza qe aqells

qienes cntarn sarn vayan a ltiplicar en n próxi prble-

a, ls pne en ejres cndicines tant para la reslción de tr pr-

blea siilar c para la cprensión de las discsines psterires.

e 5

Para avanzar en la sisteatización de trs prcediients para el

cálcl de áreas de figras diferentes a ls cadrads y rectángls,

es necesari qe ls alns pedan realizar n trabaj de búsqedade áreas eqivalentes, dbles itades, ya qe las transfracines

de nas figras en tras de áreas eqivalentes periten el cálcl de

áreas de trs plígns.

Pr ejepl, para el cas del paralelgra el aestr pede prp-

nen, en n sext grad, la sigiente actividad:



98

Dado un rectángulo de 4 cm de largo por 1,5 cm de alto y un paralelogramo

de igual base y altura a los lados del rectángulo, ¿es posible utilizar lo que

sabes del área del rectángulo para calcular el área del paralelogramo?

Algns alns realizarn la trasfración del paralelgra al

rectángl, encntrand qe es psible calclar l pedid, y ‘idiern’

ls lads del nev rectángl, c estra el sigiente dibj, para

leg ltiplicar ls lads del paralelgra, 4 c y 2 c, cya área

les da 8 c2.

otrs idiern ls lads del paralelgra y, en algns cass, hicie-rn el cnte de ls c2 y de ls 1 —

2c2 1 —

4c2. Prcediients erró-

nes c el encinad darán casión de disctir la relación entre la

edida de ls lads del rectángl y la de ls lads del paralelgra,

l qe peritirá a ls alns cprender pr qé la expresión base

pr altra anch pr alt es útil para calclar el área del paralelgra.

e 6

La psibilidad de generalizar n prcediient para establecer fór-

las para na isa clase de figras, c pr ejepl ls triángls,an cand tengan distintas prpiedades (isósceles n, btsáng-

ls, rectángls actángls) reqiere de na explración bastante

intensa sbre cass particlares.

Tabién reqiere de la discsión, a partir de intervencines específicas

del dcente, sbre la psibilidad de sar na isa estrategia para

figras de distinta fra. Asiis, habrá qe variar las edidas, ti-

lizand prier valres qe peritan establecer relacines fácilente

para, leg, avanzar cn tras expresines.



99

El sigiente es n prblea en ds fases. La priera plantea la

sigiente cnsigna y estra varias reslcines, entre ellas las del

gráfic.

Calcular el área de un triángulo isósceles de 4 cm de altura y 3 cm de base.

Solución A Solución B Solución C

En la segnda fase, la aestra el aestr seleccina ls tres prcedi-

ients qe sigen y prpne:

Escriban un instructivo para describir el procedimiento. Luego pásenlo a otro

grupo para calcular el área de MNP, sin nuevos dibujos o recortes.

MP = 1,8 cmON = 3,5 cm

Este sistea perite cprbar la eqivalencia entre l realizad

pr cada grp de niñs y psibilita qe srjan diferentes prdc-

cines; c, pr ejepl, altra del triángl x 1 — 2

de la base del

triángl; bien, base del triángl x altra del triángl, dividid 2;

c así tabién 1 — 2

de base del triángl x dble de la altra del

triángl ÷ 2.

Para cntinar, el dcente pdría retar ls instrctivs recienteen-te elabrads pr ls grps, y prpner na discsión sbre cáles

sirven cand el triángl n es isósceles cand se dan trs dats.

un aspect a tener en centa es el significad qe dan ls alns a

las expresines ‘base’ y ‘altra’, ya qe cand ls dibjs aparecen

siepre en la isa psición est lleva a asciar la base cn n seg-

ent hrizntal; y la altra, cn n vertical. Igalente habrá qe

descbrir qe en n is triángl es psible identificar tres pares

de dats qe periten calclar el área.



100

Así c para el área, na parte del trabaj sbre períetr estará

dedicada a las edicines efectivas; tra parte a la cnstrcción de

fórlas; y tra a la diferenciación entre períetr y área.

e 7

Para qe las actividades de edición efectiva de períetrs cn

nidades cnvencinales reslten n verdader desafí es necesari

presentar, para s cparación, ds plígns irreglares dibjads en

hja lisa de, pr ejepl, 8 y 10 lads, y cys períetrs estén entre

45 c y 55 c.

¿Cuál de los siguientes polígonos tiene mayor perímetro?

En na pesta en cún, psterir a las edicines efectivas, es psi-

ble registrar ls resltads btenids en el pizarrón y disctir respect

de las fras de expresar las lngitdes (en c y , en cn

escritras cn ca, etc.). Tabién cnvendrá debatir sbre las psi-

bles raznes de las diferencias entre las edidas: en el cas de qe ellarg del segent n peda leerse en n núer enter de , ¿qé

pasa si elij siepre la raya de atrás? ¿ siepre la de adelante? ¿có

hacer para eqilibrar las faltas ls excess?

Tabién pdrán ser analizadas las distintas fras de deterinar el

períetr, cnsiderand ventajas y bstácls. Pr ejepl, si hay

segents qe n han sid edids, ¿có hacer para n lvidarse

de ningn?; al bicar de anera incrrecta la regla sbre el segent

edid, ¿desde dónde epezar a cntar para leer crrectaente?; si

hay errres de cálcl en la sa de lngitdes, ¿pr qé n pensar en

tilizar la calcladra para cntrlar?

Es interesante analizar el valr áxi btenid para cada períetr,

así c el valr íni y deterinar si algn de ells n reslta

raznable en fnción de la precisión del instrent qe ha sid

sad. A partir de cnsiderar estas cestines lgrares encntrar

n interval qe inclya las respestas raznables encntradas pr ls

alns y n na “respesta crrecta”, encadrand el resltad de la

edición. Pr ejepl, el períetr está entre 48,5 c y 49 c. Y pr

qé n pensar en na escritra del tip 46,9 c < períetr de la fig-



101

ra 1< 50,7c, dnde ls valres planteads sn el áxi y íni

raznables encntrads pr ls alns.

L dich pne de relieve la iprtancia de la preparación incisa y

previa, pr parte de ls aestrs, de las actividades a realizar y de las

cndicines qe las isas exigen para el lgr de ss bjetivs.

Prpnes vinclar el estdi del períetr cn l enseñad en ge-

etría sbre lads de las figras; pr ejepl, al analizar có varía

el períetr a partir de la intrdcción de dificacines a na figra

patrón.

e 8

Sitacines c las sigientes, qe evitan el cálcl, sn y cnve-

nientes prqe pnen en jeg el cncept de períetr, qe cnstit-ye la base para pensar, leg, la vinclación cn el área.

¿Es posible saber, sin medir, si una de estas figuras tiene mayor perímetro

que otra o no, o si son iguales?

¿Qué otras variaciones podrían ser realizadas en la Figura 1 para que resulte

en la segunda un perímetro mayor y qué variaciones para que resulte uno

menor?

Fig. 1 Fig. 2 Fig. 3

Fig. 4 Fig. 5 Fig. 6

El bjetiv de esta actividad es qe ls alns, a partir de la infr-

ación del rectángl y sin edir, pedan establecer relacines entre

las figras para analizar qé scede cn el períetr en las distintas

variacines.

Pr ejepl, peden averigar qe el períetr de la Figra 2 será

ayr qe el del rectángl de la Figra 1 y qe ls lads qe fran

la pnta representan na lngitd ayr qe la del lad del rectángl.

l

n n

n ,

n,

nnn n n

b: nn

nn

n n n

n;

nn

n n;

b n n

n

nn; b

n, .



102

una discsión interesante pdría presentarse a raíz de la cparación

entre el rectángl y la Figra 5, en qe para ás de n aln será

na srpresa qe ls períetrs sean igales.

Para el cálcl del períetr habrá qe segir n cain siilar al

plantead para el área, hasta el arrib a la fórla de períetr de

rectángls y de cadrads. Pr tra parte, es iprtante tabién pre-

sentar tras alternativas qe pngan el acent en cáles sn ls dats

necesaris para calclar el períetr de distintas figras.

e 9

Ls sigientes sn ejepls dnde se reqiere n análisis de la in-

fración frecida, para inferir ls dats necesaris y, así, reslver la

sitación planteada.

Doña Juana tiene que alambrar su terreno, que es rectangular. La Municipa-

lidad ya alambró los 20 metros de frente que están sobre la ruta. En total, le

falta alambrar 70 metros. Para mayor protección, doña Juana quiere poner

alambre de púa solamente en los costados del terreno. ¿Cuántos metros de

alambre de púa tendrá que comprar?

Alicia está haciendo un almohadón cuadrado de 50 cm de lado. Para

adornarlo, quiere coser en una de sus caras una puntilla colocada a 5 cm del

borde formando otro cuadrado. ¿Cuánta puntilla necesita?

Generalente, na dificltad qe tienen ls niñs frente a la reslción

de prbleas es qe sól peden aplicar ss cnciients si pseen

tda la infración dada en fra directa; es decir dada c dat.

Pr este tiv, presentar prbleas en ls cales sea necesari

analizar el ennciad y bservar si la infración es sficiente, n,

para btener la respesta bscada – si hay dats qe n sn necesa-

ris– a la vez qe intrdce na prbleática ligada al trataient de

la infración, plantea la necesidad de analizar las prpiedades de la

figra dada y relacinarla cn ls dats prprcinads.

Hes plantead qe algnas dificltades qe chs alns pre-sentan para diferenciar períetr y área peden atribirse, al ens

en parte, a n trataient esclar pc articlad. Es frecente qe en

tercer cart grad se calclen períetrs, y áreas en qint sext;

per sin establecer sitacines qe peritan vinclar estas edidas,

disctir si n aent en el períetr deriva necesariaente en n

aent del área, sitación qe sl pede generalizarse para el cas

de plígns reglares.

e n

n nn

, q

h n n bq .

s n

nnn

n

q qn n

n n

b nn

n . e

n n n

q n

n n nnn, n

n n b

nn n ,

q b n

nn n.



103

una idea intitiva y cún en ls alns, es qe las ds ag-

nitdes varían de la isa anera: si na aenta, la tra tabién

l hace; y si na se antiene cnstante la tra actúa de la isa

anera.

e 10

A cntinación, presentas n jeg cy prier bjetiv es pner

en evidencia para ls alns qe hay diferentes figras qe tienen la

isa área, del is d qe hay diferentes figras qe tienen el

is períetr.

Se necesitan 60 cadradits de igal taañ en cartlina plástic,

10 tarjetas qe digan área, cn ls sigientes núers: 4, 5, 6, 7, 8,

9, 10, 11, 12, 13; y tras 10 tarjetas qe digan perímetro, cn ests

núers: 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30. La clase se rganizade d qe haya grps frads pr ds persnas en cada n.

Ls cadradits sn pests en el centr de la esa cn las tarjetas

neradas, reveltas, y pestas bca abaj. Pr trn, n de ls

jgadres levanta na tarjeta y la lee en vz alta. El jeg cnsiste en

frar –cn ls cadradits– cnfigracines en las qe ests estén

nids pr n lad cplet, y qe tengan las áreas períetrs es-

tipladas en las tarjetas. La nidad de edida para el períetr es el

lad de ls cadradits; y la nidad de edida para la sperficie, cada

n de ls cadradits.

Drante n tiep estiplad previaente, cada grp trata de arar la

ayr cantidad de cnfigracines qe respeten la cndición dada pr

la tarjeta, tilizand ls cadradits qe están en el centr de la esa.

Pasad el tiep, sn expestas las cnfigracines y se adjdica 1

pnt a cada cnfigración crrecta y 0 pntaje a las incrrectas; ls

cadradits velven al centr de la esa para la próxia jgada. El

jeg terina cand algn de ls grps alcanza 15 pnts.

Leg de n prier ent de jeg, es recendable realizar nacnfrntación en la qe sean analizads ls diferentes prcediien-

ts y respestas de ls alns. Este prier debate debería peritir

pner en cún y, en algns cass sisteatizar, prcediients y

estrategias de ls alns para btener las figras. Así c tabién

analizar cáles les resltarn ás difíciles de lgrar y pr qé.

Despés, el aestr pede presentar prbleas sbre la isa ces-

tión qe peritirán pner en práctica las cnclsines btenidas en el

jeg, en la línea de ests ejepls:



104

Marisa dijo que cuando a su grupo le tocó la tarjeta ‘área 10’, armaron 6

figuras, ¿cuáles pudieron haber sido esas figuras?

El grupo de Hernán armó las siguientes figuras a partir de la tarjeta ‘períme-

tro 18’, ¿cuáles van a obtener puntaje?

otra actividad rientada en el is sentid de ls prbleas anteri-

res y qe, si se prpne leg de ells, pede cntribir a la prfndi-

zación de las reflexines iniciadas, es la sigiente:

e 11

En ellas aparecen algnas fras qe n sn psibles de cnstrir a

partir de ls ateriales del jeg.

Cuando sea posible, transforma (agregándoles o sacándoles algo) las

siguientes figuras, para obtener otras que tengan:

a) un área mayor, pero que conserven el mismo perímetro.

b) un área menor y un perímetro mayor.

Estas ds últias cnsignas piden a ls alns qe aniplen

figras para btener tras qe antengan ciertas cndicines, y qe

adeás evalúen la psibilidad de realización de dichas variacines.



105

En la priera, en ds de las figras n es psible btener tra qe

tenga ayr área e igal períetr: pest qe sn cnvexas, cal-

qier variación qe ipliqe aentar el área, aentará, a la vez,

el períetr. En el segnd cas, en cabi, sí es psible realizar las

transfracines necesarias para calqiera de las figras dadas, ya

qe al qitar na sección a la figra, disinye el área y aenta el

períetr.

Habitalente, el térin ‘cantidad’ es tilizad para indicar el valr

qe ta na agnitd en n bjet particlar. Pr ejepl, el larg

de na varilla; per esa lngitd tabién hace referencia a calqier

bjet qe peda sperpnerse exactaente cn el larg de esa varilla.

Pr es, para cnicar cantidades sin necesidad de tener a la vista

las nidades sadas para edir fe cread n sistea de nidades. Si

bien calqier sistea pdría ser válid y cód para expresar las

edicines, hay raznes qe jstifican el s de n sistea reglarcún acrdad niversalente.

En la actalidad, el de s ás extendid es el sistea étric deci-

al, qe realiza ls cabis de diez en diez en las agnitdes lineales

y según las ptencias de diez en las tras agnitdes.

El dini de las escritras de cantidades a partir de n sistea reg-

lar de edidas sele ser bjet de trabaj en sext grad. El prblea

de las escritras eqivalentes es cplej, ya qe s cprensión

invlcra trs cncepts: pr ejepl, el valr de psición y la ipr-tancia del cer. A ls prbleas relativs a ls núers deciales hay

qe añadir aqells prpis de la edida, en l referente a escritras

cn diferentes nidades. Ls alns selen ceter errres para

pasar de la lectra a la escritra de cantidades cand éstas tienen

cers.

e 12

La sigiente actividad debe presentarse teniend en centa las nida-

des ya cncidas pr el grp. Estas pdrían ser las qe inclyen el

ejepl tras.

El prpósit de este prblea es favrecer en ls alns el estableci-

ient de relacines entre ls distints órdenes de agnitd.

Dadas las siguientes cantidades, agrúpalas según sean mayores que un

metro o menores que un metro. Justifica tus respuestas.

0,1 km 900 cm 86000 mm

750 dm 1,6 hm 12 dam

l n b

, n,

q

nn. en b

n nn

n n

n nn

b

né. l

n

qn n q

n n nú n n,

n nn, .



106

Algns alns afiran qe tdas las cantidades sn ayres qe

n etr; per dicen qe 0,1 k es enr qe hay tres enres

(señaland 900 c, 86000 y 750 d). Entre las jstificacines

dadas pr ells, aparece qe algns cnsideran la edida sin tener

en centa la nidad, pr ejepl 0,1 km es enr qe n etr pr-

qe 0,1 es enr qe 1. otrs tienen presente la nidad de edida

independienteente de la edida: 0,1 km es ayr qe el etr

prqe tiene el k y agrpan c enres qe el etr las edi-

das 900 cm, 86000 mm, 750 dm. Para el cas del 1,6 h, en general

aparece c ayr qe el etr, ya sea prqe cnsiderarn la

nidad de edida la edida.

Para segir trabajand cn estas relacines, es psible pedirles qe

rdenen de ayr a enr las cantidades anterires. En este cas, n

es sficiente cpararlas cn n etr para encntrar la respesta,

deberán cparar las cantidades entre ellas.

Es psible qe la ayría de ls alns expresen las cantidades en

etr y leg las rdenen. En este cas, na intervención psible es

pregntar: “si n niñ expresa tdas las cantidades en tra nidad,

¿van a qedar rdenadas de igal anera n?”. Tabién es psible

pedirles qe anticipen có será el taañ de ls núers, en fnción

de la nidad elegida: “¿si pasamos todos a hm o dm ¿en qué caso los

números serán más grandes?”

Tabién esta ateria perite prpner algnas transfracines paraanalizar:

Un niño leyó ‘la décima parte de un kilómetro’ y escribió 0,1 km 1/10 de

1000 m = 100 m ¿es correcto?

O bien: Un niño para 1,6 hm dijo: ‘1hm es una cuadra, es decir 100 metros,

entonces 1,6 son 106 metros’ ¿están de acuerdo?

A partir de esta actividad el aestr pede cnclir qe: para rdenar

cantidades, cpararlas, es cnveniente siepre expresarlas en na

sla nidad de edida, la qe n tiene pr qé ser siepre el etr,pede ser tra.

e 13

Para avanzar en las relacines qe explicitarn ls alns, en relación

a qe cánt ás chica es la nidad de edida, ayr es la edida;

y viceversa, pdres plantear sitacines dnde entren en jeg las

eqivalencias entre cantidades y sean explicitadas las relacines entre

edidas y nidades de edidas, c en la sigiente:



107

Teniendo en cuenta lo discutido sobre unidades y medidas, responde:

a) ¿Será verdad que si elegimos unidades mayores, el valor de la medida

será menor? ¿Por qué?

b) ¿En qué unidad expresarías 86 m; sin variar la cantidad, para que la

medida sea mayor que la dada?

c) Se quiere expresar la siguiente cantidad –25 cm– en una unidad de

medida 100 veces mayor. ¿Cuál es la unidad? ¿Cuántas veces más pequeña

es la medida?

d) ¿En que unidad expresarías la cantidad 86000 mm para que la medida (el

número) sea más pequeño y no varíe la longitud?

En estas actividades veres qe ls alns pndrán en jeg

algnas relacines y cnciients qe han aprendid anterirente

c, pr ejepl, aqellas entre últipls y sbúltipls en relación

específica cn el etr: 1=100 c, 1 = 1/10 da; , desde lctidian, la relación 1 cadra igal a 100 etrs y ascian c si

feran sinónis la cadra y el hectóetr; la regla del ala tiene

100 centíetrs y las crrespndencias entre la neración hablada y

las escritras fraccinarias y deciales de ls núers y las relacines

1/2 0,5 etr eqivalen a 50 centíetrs; 1 cadra es n hectóe-

tr, 100 etrs; 1/2 cadra eqivale a 50 etrs; 1/4 de cadra a 25

etrs, ds cadras y edia sn 250 etrs (2,5 h = 250).

En tds ests cass es iprtante la reflexión peranente sbre las

eqivalencias de cantidades de diferentes agnitdes tilizand nida-

des n cnvencinales y cnvencinales, cn las relacines de décias,

centésias, etc. De fra siilar pdes prpner actividades c

la presentada aqí para pner en jeg las relacines qe se estable-

cen en el Sistea Legal de edidas.

e 14

Completa para que las expresiones resulten equivalentes:

10 cm =..... m 10 cm = .....0,1.....

10..... = 0,1 m .....cm = 0,1.....

Si bien ls ejepls anterires han sid desarrllads teniend en

centa la lngitd, qe es la agnitd qe cn ayr frecencia abr-

da el trataient esclar y perite cprbacines epíricas y

accesibles, el is tip de trabaj pede plantearse para sitacines

referidas a capacidades pess.

Cabe advertir qe para ls alns n es directa la generalización: si

1 kilóetr eqivale a 1000 etrs, kl eqivale a il litrs y kilgra

a il gras, qe si para expresar na isa cantidad la nidad se



108

redce a la décia parte, la edida reslta 10 veces ayr, tant para

lngitdes c para capacidades y pess. En este sentid, n basta

cn trabajar en prfndidad la lngitd para pasar leg a sisteatizar

las relacines entre nidades para tras agnitdes sin desarrllar

antes actividades específicas al respect.

soBre el domiNio de estadística o del tratamieNtode la iNformacióN

En relación cn ls cntenids de este dini cnsiderares el

prblea Libros vendidos, presentad en tercer grad.

Este íte, cn n alt prcentaje de respestas crrectas, reite a

na interpretación directa del gráfic qe n necesita la cnsideración

de ls valres qe tan las variables. Basta cn identificar cál es la

clna ás alta.

Sin ebarg en tr íte, cn características siilares per en el qe

la pregnta reqiere renir ls valres crrespndientes a ds de lasvariables, el prcentaje de respestas crrectas desciende al 12%;

ientras qe para la pción dnde se reúne las ds variables cn

ayres valres, el prcentaje es del 44%. Ls niñs cnsideran ls

valres qe crrespnden a las clnas ás altas y ls san, sin

tener en centa qe la pregnta n está referida a esas variables.

lb n Grad Tercer grad de

básica priaria


Interpretarinfracióndirecta de ngráfic de barras.

Nivel dedesepeñ

Nivel I

Respestacrrecta

A : Ener

r serce

Prcentaje de

respestascrrectas

75,64%


B : 9,01 %C : 6,16 %D : 6,02 %


3,17%



109

Para segir trabajand en clase, en el cas de la venta de librs p-

drían presentarse tras pregntas c:

e 1

¿Cuántos libros fueron vendidos en los cuatro meses?

¿Es cierto que en abril se vendió el triple de libros que en febrero?

En mayo, el librero espera vender más libros que en abril pero menos que en

enero, ¿cuántos libros espera vender?

¿Cuál es la diferencia entre las ventas de enero y las de febrero? ¿Y entre

febrero y marzo?

Si cada 4 meses el librero vendiera aproximadamente la misma cantidad de

libros, ¿cuántos libros podría vender en el año?

Al trabajar sbre la interpretación de gráfics, es frecente qe lsaestrs n adviertan la necesidad de variar las pregntas y de qe

éstas tengan n prpósit. Pr ell las pregntas respnden ás a n

‘interés esclar’ qe a na verdadera necesidad.

En este sentid es y útil qe ls gráfics analizads tengan relación

cn algún cntenid de Ciencias Sciales Natrales en crs, y qe

s análisis aprte infración para el tea en estdi. De tr d

es difícil advertir si las cnclsines a las qe ls alns llegan sn

raznables n, y cáles serían las cnsecencias de tar esa infr-

ación c válida.

La presentación esclar para ejercicis de reslción de prbleas

aritétics, generalente, es hecha pr edi de n ennciad. N

es frecente qe ls aestrs sen diferentes prtadres e inclyan

ás infración qe la iprescindible para reslverl. Sin ebarg,

cand enfrentas n prblea fera del cntext esclar, chas

veces es necesari bscar y rganizar la infración necesaria para

slcinarl y tar decisines acerca de qé dats sar. Tal c

señalábas en relación cn la idea de cntrat didáctic, chs

niñs piensan qe n prblea es n ennciad cn dats qe deben

ser sads en n ás cálcls y cy resltad es la respesta a lapregnta planteada.

Este trabaj pdrá cenzar cn actividades de interpretación de

tablas y avanzar leg en la rganización de dats recgids frente a

algna investigación.

Dad qe, en chs cass, ls gráfics invlcran relacines de pr-

prcinalidad, es psible vinclar esta tarea cn prbleas ltiplica-

tivs. Ya sea para hacer barras pictgraas, ás adelante gráfics

l b

serce, n b,

n n n

n q nn

bn

n n bén

. s

n

n n

é n ,nn n n

n n,

nb

n

hb

n n

nn n n

n .



110

de sectres, se san escalas qe cnservan la prprcinalidad entre

las cantidades intervinientes en la sitación.

e 2

A la salida de una biblioteca escolar está publicado el siguiente gráfico:

¿Qué leen los niños?

Pedidos a la biblioteca de la escuela

Cuentos Poesías Teatro Historieta Informativos

10 libros

¿Cuáles fueron los libros más pedidos?

¿Cuántos libros se prestaron en lo que va del año?

Si quisieran comprar nuevos libros, ¿les sirve la información del gráfico para

decidir la compra?¿Cómo?

Tabién sn interesantes aqellas sitacines en las qe sea necesari

pasar la infración de na fra de presentación a tra, ya qe –ade-

ás de analizarla– interesa disctir qé tip de presentación resltaás adecada para las necesidades de qien la rganiza.

e 3

Se realizó una encuesta a 1000 alumnos de escuelas primarias acerca de

la cantidad de horas que ven televisión por día. Los siguientes fueron los

resultados:

Cantidad de horas de TV Cantidad de personas

1 500

2 1003 50

4 50

5 o más 300

Al bservar ls valres, pdes plantear la psibilidad de qe ls

alns realicen n infre escrit acerca de las características de

esta pblación, qé es bservable acerca de ls valres extres, etc.;

para leg prpner qe descbran cál es el gráfic qe crrespnde



111

a esta tabla; qe argenten acerca de s afiración y cpleten cn

ls valres crrespndientes.

una vez descbiert cál es el gráfic crrect, el prfesr pede

prpner qe ls alns cnfeccinen na tabla cn ls valres qe

crrespnden al tr. Así estares creand na sitación de rever-

sibilidad respect del análisis de la infración entre tabla y gráfic,previa a la prdcción de ls iss pr parte de ls alns.

más adelante el dcente pdría trabajar dificand las escalas y

deterinand cál es la intención del qe presenta el gráfic. una

isa infración strada en gráfics cn distintas escalas pede

dar lgar, para el lectr pc atent, a interpretacines erróneas.

La elabración de gráfics invlcra decidir n sl el tip de gráfic

qe se desee sar, sin tabién la escala, en fnción de ls dats

dispnibles y de la sitación en estdi.

e 4

El dueño de un negocio encargó a dos empleados que le trajeran información

sobre los clientes atendidos durante el año. Uno de ellos aseguró que el

gráfico del otro estaba mal, ya que el suyo mostraba, claramente, que había

más clientes. ¿Es cierto lo que dice?



112

En relación cn el trataient de la infración, tabién hay qe tener

en centa la necesidad de entregar prbleas en ls qe se varíe la

fra de presentación de ls ennciads –cn text, cn tablas, cn grá-

fics, cn prtadres sciales de infración c enús, hraris de

icrs, listas de precis–, dificand las pregntas para qe aparez-

can algnas qe pedan ser cntestadas cn n dat, tras qe n seapsible respnder y algnas qe tengan ás de na respesta psible.

Igalente es recendable plantear a ls niñs na diversidad de

tareas. Entre tras, inventar n ennciad, prdcir n prcediient,

analizar el prcediient de tr, escribir có pensó para llegar

al resltad, frlar n instrctiv para qe tr reselva c él,

jstificar pr qé l reslvió de cierta fra, y/ analizar argents

de trs niñs.



113

soBre el domiNio de variacioNes o del estudiodel camBio

En relación cn ls cntenids de este dini, cnsiderares ls

prbleas presentads en sext grad, sbre las ncines de pr-

prcinalidad (cas de la variación lineal) y prcentaje, c cas

particlar de cnstante de prprcinalidad.

Presentas a cntinación ls prbleas de íte deninads

Jugo y Canilla y leg ls prbleas en ls qe interviene la nción de

prcentaje, qe hes llaad scesivaente Reforestación, Deportes,

Cultivos y Ciclismo. Para cada n desarrllares, prier, n análi-

sis individal de ls cnciients invlcrads en ss psibles resl-

cines y, leg, n análisis cnjnt qe aprte nevas cnclsines.

El análisis individal inclye ls psibles prcediients de reslciónpara desarrllar ls cnciients qe periten respnder adecada-

ente, y tabién las dificltades psibles qe explicarían las deás

alternativas de respesta.

caNilla y jugo

Abs prbleas prpnen pregntas a partir de ennciads en ls

qe intervienen agnitdes directaente prprcinales y difieren en

ls cntexts elegids, el tip de agnitdes prpestas, el tip de

dats y s fra de presentación.

El prblea Canilla (llave de aga) prpne averigar el tiep de

llenad de na cantidad de btellas y prprcina n ennciad qe

inclye n text y na tabla cn pares de dats crrespndientes a las

ds agnitdes, qe sn directaente prprcinales. En el ennciad

está indicad qe el cadal es cnstante, para señalar qe el tiep

cn



Reslver nprblea qereqiere

Respestacrrecta

B : 4 ints yedi

r serce


56,36%


A : 22,49 %C : 7,84 %D : 11,51 %


1,80 %



114

de llenad es igal para tdas las btellas anqe el térin ‘cadal’

pede ser descncid para ls niñs.

El núer de btellas es na cantidad discreta y, pr l tant, expre-

sada cn núers natrales; y el tiep es na cantidad cntina

expresada, en cada cas, cn núer y nidad. En efect, la parte

entera está expesta en fra nérica; per la fracción del enter

inclid ( 1 — 2

) está indicada cn la palabra “edi”, así c la nidad

tilizada, int.

Ls prcediients crrects qe pdrían sar ls alns para resl-

ver están explicads pr las prpiedades de las relacines de prpr-

cinalidad directa. Así pr ejepl, es psible analizar las diferencias

cnstantes de 1 y 1 — 2

en cada clna, qe a 2 de diferencia en la

cantidad de btellas crrespnde 1 int de diferencia en el tiep

de llenad (Prcediient A). Pr tra parte, si a 5 btellas le crres-pnden 2 ints y 1 —

2; y a 4, 2 ints, entnces, a 9 btellas le van

a crrespnder 4 ints y 1 — 2

(Prcediient B).

Tabién es psible sar la “prpiedad escalar”. Pr ejepl, entre

ls pares (2 ; 1) y (4 ; 2) “al dble de btellas crrespnde el dble de

tiep de llenad” (Prcediient B) y de allí calclar qe c 9 es

el triple de 3 btellas le crrespnde el triple de 1 int y edi. El

triple, adeás, se pdría calclar ltiplicand sand.

Asiis la prpiedad de la sa de pares y la sa de ss crres-

pndientes (Prcediient C), pr ejepl, a la sa de 2 + 3 le

crrespnde la sa de 1 int + 1 int y edi.



115

otra alternativa sería averigar la cnstante de prprcinalidad; en

este cas, el tiep de llenad de na btella (Prcediient D). De

ese d, para 9 btellas habría qe calclar 1 — 2

int x 9 sar 9

veces 1 — 2

int.

Finalente, pdrían tar calqier par de dats crrespndientes y

escribir na prprción n plante para averigar el cart prpr-

cinal; es decir, sar la cncida “regla de tres” (Prcediient E): si

para 6 btellas, 3 ints, para 9 btellas X ints.

6 botellas -------------- 3 minutos

9 botellas-------------- X minutos

Entonces 6 — 9

= 3 — x

x = = 4 1 — 2

Las alternativas de respestas erróneas iplicarn cnsiderar sól la

reglaridad de aentar edi en la serie de ls tieps (D: 3 in-ts y edi, respesta del 11,51 % de ls niñs) sin advertir qe 9 n

es el sigiente de 6. Tabién spsiern qe c 9 está bastante

lejs de 6 hay qe pner la cantidad ayr sar tds ls núers

de la clna de ls tieps, sin tar en centa ls edis ya qe

están escrits cn palabras (A: 5 ints, respesta del 22,49 % de

ls niñs). otra respesta partió de la base qe 9 es ás qe 1 de

diferencia cn 6 y, pr es, va el sbsigiente en la serie de ls tieps

(4 ints, respesta del 7,84 % de ls niñs).

Pr s parte, el prblea Jugo prps averigar la cantidad de

kilgras de anzanas necesaris para prdcir na cantidad dadade litrs de jg, y prprcinó n text en el qe aparece n dat de

cada na de las ds agnitdes relacinadas, qe sn directaente

prprcinales. Ls núers sn natrales, de 2 y 3 cifras.

Al cnsiderar, pr ejepl, n prblea siilar en qe se slicita

calclar cánts kilgras de dlce pede fabricar n prdctr

artesanal qe dispne de 220 kilgras de frta sabiend qe cn

55 kg peden hacerse 100 kilgras de dlce, ls prcediients de

reslción pdrían ser ls enerads anterirente.

+ +



116

Es psible qe ls alns qe dinen el cálcl ental adviertan

qe 220 es el cádrple de 55 y ltipliqen 100 x 4 bteniend

fácilente el resltad (400).

Tabién peden hacerl en ds pass calcland dbles:

55 100

110 200

220 400

otrs peden calclar el valr qe crrespnde a 1kg de frta haciend

100 ÷ 55 y, c este resltad es 1,8181818181… si cnsideran

1,81 y l ltiplican pr 220 el resltad btenid es 398,2 y n 400

l qe pede llevar a n interesante análisis en la clase.

Tabién scede qe existen alns qe rganizan na prprción:55 : 100 :: 220 : X. Igalente pdría sarse na estrategia de cálcl

aprxiad para cntrlar el resltad, raznand qe c la canti-

dad de kils de dlce es n pc ens qe el dble de kilgras de

frta, el resltad tendrá qe ser n pc ens qe 440.

Ls errres ás frecentes de ls alns en ls prbleas de pr-

prcinalidad, en relación cn el del en el qe piensan, devienen

del s de dels aditivs qe les hacen pensar, para este cas, qe

si a 55 kilgras hay qe agregarle 165 para tener 220, entnces

a 100 kils hay qe agregarle tabién 165 y pdrían decir qe larespesta es 265 kils.

El cntext elegid para el prblea Canilla favrece la cprensión

del ennciad, ya qe refiere a la actividad de llenad de btellas

anqe n la han realizad, la han pdid ver en ss hgares. La

presentación de dats en lengaje clqial favrece s interpretación,

ya qe esta fracción tiene n s scial extendid y pr l tant ls

alns peden darle sentid, an cand n hayan trabajad el tea

en la escela. Pr tra parte, s presentación en na tabla favrece

el estableciient de reglaridades en abas clnas. Así, btiene

ás de 56% de respestas crrectas.

Anqe el prblea Jugo presenta n cntext cprensible, y la

infración está presentada en el rden en qe se pdría escribir n

plante para sar la “regla de tres”; c ya hes analizad, n

presenta apys para sar trs prcediients, pr l qe disinye

el prcentaje de acierts respect del prblea “canilla”, bteniend

sól n 35 % de respestas crrectas.



117

Es psible qe, en enr edida, la disinción esté tabién rela-

cinada cn el taañ de ls núers qe, en este cas, sn de ds

y de tres cifras en lgar de ser de sól na cifra, c crre cn el

prblea Canilla.

Para abs prbleas, la respesta elegida c crrecta en segnd

lgar es la qe cnsidera n trataient de ls dats qe n ta

en centa las relacines en jeg (sa tds ls núers de na

clna).

porceNtaje

Ls prbleas qe analizas prpnen pregntas a partir de enn-

ciads textales y sól en n cas inclyen n gráfic. En ells difieren

las agnitdes invlcradas, el taañ y tip de núers y la tarea

prpesta a ls alns.

El prblea qe deninas Reforestación da ds cantidades y pide

calclar qé prcentaje es na de la tra. Sn ds áreas expresadas

cn núer natrales peqeñs: 15 y 3.

C en td prblea de prprcinalidad, ls prcediients de

reslción ya encinads para ls prbleas anterires, iplican el

s de ss prpiedades. En este cas, es psible asciar el prcentaje

a la idea de parte de n td, y bscar na ás fraccines eqivalen-

tes para expresar esa parte: entnces, 3 — 15

es eqivalente a 1 — 5

y tabién a

20/100 (Prcediient A).

La respesta crrecta fe elegida pr el 27,20 % de ls estdiantes.Las alternativas de respestas erróneas iplican qe ls alns

cnsiderarn na aniplación inadecada de ls dats. Pr ejepl,

la resta de ls dats (A: 12 % cn 29,18 % de niñs) el prdct de

ls dats (D: 45 % cn 27,24 % de ls niñs).

El prblea qe deninas Cultivos tabién da ds cantidades, y

pide calclar qé prcentaje es na de la tra. Sn ds áreas expresa-

das cn núers natrales ás grandes: 1200 y 6000. un 30,7 % de

ls niñs entregarn la respesta crrecta (C: 20 %) y las alternativas

rn



Reslver nprblea qereqiere calclarn prcentaje

Respestacrrecta

B : 20 %

r serce


27,20 %


A : 29,18 %C : 12,40 %D : 27,24 %

Prcentaje derespestas

itidas inválidas

3,98 %



118

de respestas erróneas tabién iplicarn cnsiderar na anipla-

ción inadecada de ls dats. Pr ejepl, la resta de ls dats y la

eliinación de ds cers (D: 48 % cn 29,4 % de niñs) el cciente

de ls dats (A: 5 % cn 13,6 % de ls niñs).

Deportes es n prblea qe pide recncer, en n gráfic, el sectr

qe representa el 25%, qe crrespnde al básqetbl. El prcenta-

je está asciad cn n de ls priers prcentajes qe se sele

enseñar, pr crrespnder a 1 — 4, qe es fácil de arcar en el gráfic de

trta. Pese a ell, sól respnde en fra crrecta 28,92 % de niñs,

ientras qe el ayr prcentaje (46,64 %) respndió en fra

inadecada, indicand qe era el fútbl. Pdes inferir qe eligen esa

respesta pes este deprte tiene n ayr núer de adepts.

En cant al prblea Ciclismo, éste pide calclar el prcentaje, sien-

d ls dats y el prcentaje núers natrales.

Hay errres frecentes qe debieran ser tenids en centa para disctir

sbre ells y cestinarls. Tal es el cas de cnsiderar en sitacines

dnde hay n creciient prprcinal qe éste es aditiv y, entnces,

si el aestr da n par de eleents crrespndientes de la relación

y pide bscar trs pares, intentan sar siepre la diferencia entre

ls eleents del par dad. Este errr se traslada leg a sitacines

c



Reslver nprblea qeinvlcra elcncept deprcentaje

Respestacrrecta

B : 81

r serce


38,03 %


A : 26,07 %C : 11,45 %D : 20,95 %


3,51 %

d



Reslver nprblea qereqiere tilizarel cnceptde prcentajeasciad afracción.

Respestacrrecta

C : Básqetbl

r serce


28,92 %


A : 13,53%B : 9,10 %D : 46,64 %


1,71%



119

ás generales y lleva, en ls inicis del álgebra, a dar pr crrecta la

eliinación del térin b en la sigiente ecación:

(a + b)/c = (d + b)/c

El cap de prbleas qe peden ser reselts sand la nción de

prprcinalidad es y apli y, drante la esclaridad priaria,

cienza cn el estdi de aqells en ls qe intervienen agnitdes

directa e inversaente prprcinales.

Desde ls priers añs de esclaridad, ls niñs sn enfrentads

a prbleas qe invlcran la nción de prprcinalidad en ls

qe aparece el valr nitari. Pr ejepl: “si 1 carael cesta 10

centavs, ¿cánt cestan 8 caraels?”; dnde se pregnta “si 5

caraels cestan 50 centavs, ¿cánt cesta n carael?”.

Para cntinar este trabaj, es psible plantear prbleas sin infrar

cál es el valr nitari, para qe ls niñs sen, en fra iplícita,

ds de las prpiedades qe caracterizan a las relacines de prpr-

cinalidad directa: al dble de na cantidad le crrespnde el dble

de la tra; y a la sa de ds cantidades le crrespnde la sa de

las cantidades crrespndientes. Tabién sn útiles las sitacines

dnde deben analizar si se cplen n las prpiedades qe periten

afirar qe están en presencia de na relación de este tip.

más adelante, el desafí será frecer a ls alns la prtnidadde avanzar en ls prcediients de reslción de ls prbleas

dnde intervienen agnitdes directa e inversaente prprcinales,

tilizand cnstantes de prprcinalidad cn diferentes significads y

cparand cnstantes.

En tds ls cass, leg de reslver habrá qe prpner el análisis

de esas estrategias para separarlas del prblea, cn el prpósit de

qe pedan reinvertirlas en tras sitacines. Reflexinar sbre las

prpiedades qe actúan c instrents de reslción en ls pr-

bleas de prprcinalidad y dinarlas para decidir cál sar según

ls núers qe aparecen, significará para ls alns cntar cnherraientas cada vez ejres. Asiis, les peritirá avanzar en la

cnceptalización de la prprcinalidad.

Cabe destacar qe n aydará a ls alns cnicar y strar

có fncina la “regla de tres” para reslver este tip de prbleas,

esperand qe leg ells la apliqen, sin qe la tarea de ls aes-

trs será generar sitacines dnde sea psible pner en jeg dichas

estrategias.

l nn n

n

n

. d

n q

n n nn

q

n nn,

nn n

nn n,

n

, ú,

nn.

e b

n n

n n

n

n n :

q n nn

n n

n, q nnqn n n

, q nn

nn,

n

, n, q n

q n b

n,

n

n n

n nn

n nnn.



120

e 1

Si prpnes este tip de prbleas cn las cantidades presentadas

en tablas, facilitas el estableciient de las relacines “al dble, el

dble” y “a la sa, la sa”, c en el sigiente cas:

Manuel es el encargado de la boletería de pasajes de mediana y larga dis-

tancia, y necesita calcular rápidamente el precio de distintas cantidades de

boletos, sobre todo cuando, durante las vacaciones, llegan muchos clientes

juntos. Para ahorrar tiempo, y no hacer la cuenta cada vez, armó esta tabla

para los pasajes que llevan al pueblo más cercano.

Núer de pasajers 2 3 5 7

Preci de ls blets 24 36 60 72

-¿Cómo podría utilizar Manuel su tabla para calcular el valor de 4 boletos? ¿Y

si fueran 6? ¿Y si suben 8 personas juntas? ¿Y si fueran 12?

-¿Por qué se le habrá ocurrido poner estas cantidades en su tabla?

Leg de qe ls alns reselvan esta sitación, el aestr pede

centrar la discsión en có llegarn a ls resltads, reflexinand

sbre las fras de btener el preci de 4 blets el de 6, cncien-

d el de 2 blets. Tabién sbre có calclar el preci de 5 8

blets cnciend ls precis de 2 y de 3.

Es habital qe, al iniciarse en el trabaj de prprcinalidad, tdas

las sitacines presentadas sean directaente prprcinales. En el

trabaj ateátic cn na nción es necesari cncer en qé cass

es psible sarla para reslver, y tabién cncer ss líites; es decir

en qé prbleas n es psible sarla. Pr ell tabién cnvendrá pre-

sentar prbleas dnde sea necesari analizar ls dats de distintas

sitacines, para ver si presentan n na reglaridad qe cpla cn

las prpiedades de la prprcinalidad directa.

e 2

Entre ls cntexts qe ns periten prpner este trabaj, pde-

s cnsiderar el cálcl de cantidades en na receta, del cst lacapacidad de distints envases, el análisis de distintas fertas. Pr

ejepl:

Indica si cada una de las siguientes afirmaciones es verdadera o falsa:

a) Para hacer una torta de manzana necesito 3 huevos; para hacer 3 tortas

de manzana necesitaré el triple.

b) Para embaldosar dos aulas iguales necesito 238 baldosas; para embaldo-

sar solo una, necesito 119.

c) Si, al año, Ema pesa 12 kg, a los 10 años pesará 120 kg.



121

d) Si con 24 baldosones cubro un piso de 3 m por 2 m, con 48 baldosones

cubro un piso de 6 m por 4 m.

otr cntext qe favrece la discsión sbre la tilidad del del

de prprcinalidad es el de las fertas. Tabién aqí el análisis de

la cnstante reslta na herraienta útil para decidir si existe n

prprcinalidad.

Lorena fue a comprar 3 — 4

kg de helados y en la lista figuraban los siguientes

precios:

1 kg ---- - $ 10

1 — 2

kg ---- $ 6

1 — 4

kg ---- $ 4

Lorena pensaba pagar $ 7,50 y el heladero le dijo que debía pagar $ 10.

a) ¿Por qué pensó Lorena que debía pagar $ 7,50?

b) ¿Cómo habría explicado el heladero como calculó el valor de $ 10?

c) Modifica el enunciado de la situación para evitar confusiones.

En esta actividad, ls chics peden respnder qe Lrena pensó en el

preci nitari y calcló el valr de ls 3 — 4

kg tilizand la prprcinali-

dad; en tant qe el helader só ls precis de 1 — 2

kg ás 1 — 4

kg

($6 + $4), independienteente de calqier relación de prprcinalidad.

Reslta interesante prver la discsión acerca de qe, en ls dats

de la lista de precis, cand la cantidad del helad es enr, el cstes enr; per el is n disinye en la isa relación. Pr tra

parte, el preci pr cada kil n representa la cnstante qe peritirá

deterinar ls valres de 1 — 2

y 1 — 4

. De ls dats, reslta qe para 3 — 4

kg

hay 3 precis psibles: $12, $10 y $7,50. Adeás, si la relación fera

de prprcinalidad, cnsiderand el cst nitari, el 1 — 2

kil debería

valer $5 y el 1 — 4

kil $2,50. Pr últi, en la lista de precis pdrías

agregar algna inscripción, c oferta: ¡lleve 1 kg y page sl $10!

El análisis de ls precis de diferentes artícls presentads en dis-

tints taañs (gasesas, aceites, jabón en plv, yerba, etc.) en las

góndlas de ls sperercads favrecerá la lectra inteligente de la

infración y la ta de decisines respect de la presencia n de

fertas.

Las actividades en las qe hay qe pasar de na fra a tra de

representación de la relación de prprcinalidad tabién aprtan a la

cnstrcción de sentid. Pr ejepl, se pede presentar na sitación

en n text qe dé lgar a cnfeccinar na tabla.



122

Tabién es iprtante tener en centa qe es psible incrprar

nevas representacines de las relacines de prprcinalidad, a las ya

cncidas de ennciad textal y de tabla; c pr ejepl algns

gráfics estadístics de barras pictgraas, c deestra el

prblea de ls librs prestads pr la bibliteca qe expsis en el

apartad relativ al trataient de la infración. Habrá qe cnsi-

derar, leg, la presentación de prbleas qe peritan a ls niñs

avanzar hacia la prpiedad de la cnstante de prprcinalidad.

e 3

Ls dcentes peden expner n prblea qe ls niñs cenzarían

a reslver sand prpiedades de la prprcinalidad ya cncidas (y

qe estra có, en chs cass, n tiene sentid el pasaje pr

la nidad) y les cnvenga leg avanzar al s de la cnstante. Pr

ejepl:

Calcula el costo de las cantidades de fotocopias que aparecen en la tabla.

Cantidad de fotocopias 15 60 10 5 1 27

Precio ($) 1,5

Ds tips de estrategias pdrían ser sadas pr ls niñs para llegar

al preci de las 27 ftcpias: haciend ds pass, dividiend prier

pr 15 para saber el preci de na ftcpia y leg ltiplicand pr27 para calclar el cst ttal; advirtiend qe, para tds ls pares

de valres de la tabla, la relación entre la cantidad de ftcpias y el

preci es 1/10; es decir, dándse centa de qe si ltiplican pr

1/10 la cantidad de ftcpias, btendrán el preci.

El prier prcediient iplica el pas pr la nidad búsqeda del

valr nitari; ientras qe el segnd invlcra el s de la pr-

piedad: en na relación de prprcinalidad directa, se cple qe

el cciente entre ls pares de cantidades crrespndientes a abas

agnitdes es cnstante. Pdes pensar el segnd prcediient

c na generalización del prier, pes n bsca la relación entreds cantidades (15 ftcpias y $ 1,5); y, en el tr, la relación entre

tds ls pares de cantidades.

C estra el ejepl, al cabiar ls dats se difican ls

cnciients necesaris para reslverl. De este d, el is

prblea perite, cn ns dats, revisar prpiedades cncidas y,

cn trs, dar lgar al s de nevas.

cn b n

b n q

nn n n

n,

n n q n

n

h b

b b. l hb

n n én

n n

nn n.

l nn n

n n

n nn

n

n.



123

e 4

Veas ds ejepls dnde la cnstante de prprcinalidad repre-

senta n índice cparativ de cantidades de la isa agnitd.

Para hacer jugo de frutilla, Juana pone 3 litros de agua en 1 jarra donde

previamente colocó 2 cucharadas de jugo concentrado. Para la fiesta de

su hermana, Juana necesita calcular cantidades mayores, y decide hacer

una tabla como la siguiente para saber cuánta agua necesita para que con

las siguientes cantidades de jugo concentrado obtenga el mismo sabor.

Completa la tabla.

Cantidad de cucharadas de jugo 2 4 6 12 20

Cantidad de litros de agua 3

Necesitamos achicar un plano. Hagan 3 cm por cada 4 cm.

10 cm

6 cm

En el prier prblea aparece el cncept de eqivalencia asciad a

la cnservación de la prprción entre las partes de jg cncentrady aga, y n a la cnservación de la cantidad de jg. Ls pares de

núers qe aparecen en la tabla sn fraccines eqivalentes, cy

significad está asciad ahra a la cncentración del jg a la

ezcla entre las jarras de jg y las de aga. Siend esta relación la

cnstante de prprcinalidad 3 — 2

(1,5 de aga pr cada jarra de jg),

l qe se explicita cand es necesari deterinar el valr qe se

crrespnde cn el 1 (en este ejepl, expresa la cantidad de jarras de

aga pr cada jarra de jg).

El segnd prblea iplica trabajar cn escalas. En este cas, las

fraccines sn n índice cparativ de na isa agnitd. Al re-

slver prbleas de escalas de apas, apliacines redccines, es

interesante analizar el significad del valr de la cnstante en relación

a l qe s aplicación prdce: si es enr qe la nidad, se vincla

a na redcción; y si es ayr qe la nidad, da c resltad na

apliación.

En algns prbleas, la cnstante de prprcinalidad está expresa-

da cn fraccines y representan n índice cparativ qe vincla ds

agnitdes diferentes.



124

e 5

Veas n cas en qe la cnstante es na neva agnitd, la velci-

dad.

Un caminante recorre 5 km en 2 horas. Suponiendo que mantiene la veloci-

dad de la marcha, completa la tabla que sigue:

Tiempo de marcha del caminante en h 2 4 6 3/4

Distancia recorrida en km 5

La cnstante de prprcinalidad 5 — 2

perite pasar de tiep a dis-

tancia. Este prblea pne en jeg el cncept de fracción y, en el

cas de saber la distancia qe recrre n atóvil en 3 — 4

de hra, da

sentid a la ltiplicación de fraccines. Si bien ls alns aún n

han sisteatizad la ltiplicación de fraccines, estarán en cndi-cines de averigar dicha distancia tilizand las prpiedades de la

prprcinalidad directa.

En el cas del prcentaje aparece nevaente la fracción c índice

cparativ cnstante de prprcinalidad.

e 6

Al tratar de interpretar el 50% de 20, estas cparand las partes

cn el td. Así, bscas vinclar la relación 50 pr cada 100 cnna fracción eqivalente de deninadr 20.

En una ciudad, se realizaron los juegos deportivos interescolares en los que

participaron 80 alumnos. De acuerdo a las diferentes categorías y juegos,

lograron estos premios:

- 3 alumnos obtuvieron el primer puesto en salto en largo y 5 alumnos el

primer puesto en velocidad,

- 2 equipos de fútbol (22 alumnos) lograron el segundo puesto y

- 15 alumnos obtuvieron los terceros puestos en diferentes juegos.

Decide, haciendo cálculos mentales, cuáles de las siguientes afirmaciones

de los chicos son ciertas:

1. Más del 50% de los alumnos trajeron premios.

2. El 10% logró estar en los dos primeros puestos.

3. Más del 25% de los alumnos alcanzó el segundo puesto.

Este prblea inclye prcentajes calclables entalente en fra

sencilla, si se ascia el 50% cn 1 — 2

, el 25% cn 1 — 4

y el 10% cn la

décia parte.



125

En cant a ls prbleas dnde intervienen agnitdes inversaente

prprcinales, es necesari plantear prier s reslción para leg

cnsiderar el análisis de las relacines invlcradas. Ls prbleas de

fraccinaient y envasad de prdcts prprcinan n cntext

qe perite trgarles significad.

e 7

Una pequeña bodega decidió fraccionar en envases de menor capacidad el

contenido de 80 damajuanas de 5 litros cada una. Averigua qué cantidad

de cada tipo envases sería necesaria según las capacidades que aparecen

indicadas en la tabla.

Capacidad del envase (litros) 5 2 1 1/2 3/4

Cantidad de envases 80

A partir del prier par, es psible hallar el crrespndiente de 1 litr

pensand qe, si el envase tiene 5 veces ens capacidad, serán nece-

sarias 5 veces ás nidades, pr l qe habrá qe hacer

80 x 5 = 140. En este cas, hay qe sar na relación escalar, es decir,

ltiplicar na cantidad y dividir tra (en abs cass, pr el núer

5, sin nidades). Tds ls deás pares pdrán ser cpletads tili-

zand relacines escalares y advirtiend qe, para saber el crrespn-

diente de 3 — 4

, cnvendrá calclar prier el de 1 — 4

.

Tabién se pdría reslver calcland la cnstante de prprci-nalidad. En este cas, la cnstante representa la cantidad ttal de

litrs a envasar, y es psible de btener haciend 5 litrs pr envase

x 80 envases = 400 litrs. Esta es na relación fncinal, qe vincla

agnitdes diferentes: la capacidad de cada envase cn el núer de

envases necesaris.

La últia sitación estra qe entre las agnitdes inversaente

prprcinales es psible establecer ds tips de relacines: na entre

cantidades de na isa agnitd; es decir, na relación escalar; y

na relación fncinal qe vincla agnitdes diferentes y refleja el

sentid de la nidad de razón la cnstante de prprcinalidad.



126

Para segir trabajandcn el pryect en las

escelasEste libr, especialente destinad a ls y las dcentes, presenta el

Segnd Estdi Reginal Cparativ y Explicativ (SERCE). Se trata

del estdi de desepeñs de ls estdiantes ás iprtante llevad

a cab en la región, y fe realizad en dieciséis países de Aérica

Latina y el Caribe, ás el estad exican de Neva León.

Si bien en cada país las decisines de prción y acreditación

respnden a distints criteris y paráetrs, en tds ls cass es i-prtante señalar qe la evalación perite recger infración sbre

el estad de ls saberes de ls alns para rientar la enseñanza.

Frente a ls errres descbierts, es necesari cprender có y

pr qé se prdcen; y elabrar leg actividades de distint tip para

rerientar la enseñanza. mchas veces, c dcentes, prcras

anticipar ls errres de nestrs alns para acrtar el prces de

aprendizaje, per est n es psible. Ls errres sn parte del prces

de aprendizaje y srgen en fnción de ls cnciients qe circlan

en la clase y n de la ‘falta de habilidad para la ateática’ de algún

estdiante.

Desde esta perspectiva, niñas y niñs van internalizand prgresiva-

ente qe la ateática es na ciencia qe sfre transfracines,

cys resltads y prgress se btienen c cnsecencia necesaria

de la aplicación de ciertas relacines y del debate entre qienes las

plantean, y n c na práctica dnde es tr qien deterina la

validez de l qe se discte.

Este trabaj incrpra a ls alns en el prces de evalación en n

lgar diferente del habital, dnde qedan a la espera de la palabra deldcente qe les ratifica de inediat si l qe hiciern está n bien.

Así fern analizads y sintetizads ls lgrs y las dificltades qe

estran ls estdiantes al respnder las pregntas del estdi, cn

el fin de acercar a ls dcentes algnas prpestas para interpretar ls

resltads de las prebas y las prdccines de ls alns.



127

Pr tra parte, en cncrdancia cn ls del Labratri Latinaenri-

can de Evalación de la Calidad de la Edcación (LLECE), el bjetiv

ha sid prprcinar a ls dcentes algnas sgerencias para trabajar

en clase. S s dependerá de decisines en base a ls pryects insti-

tcinales y a las particlaridades de cada grp de alns.

Las prpestas inclidas sn sl na variedad de alternativas, entre

las chas psibles. En este sentid, esperas qe s lectra y

discsión cn trs clegas derive n en la ‘aplicación’ de ls ejepls

desarrllads, sin en nevas prpestas adaptadas tant a ls cnci-

ients particlares de cada grp de alns c a ls pryects

de cada institción. Sería saente interesante sisteatizar tdas

las prpestas qe srjan en este prces.

Al desarrllar el enfqe para llevar adelante el trabaj en las cla-

ses de ateática, fe destacada la iprtancia de la reslciónde prbleas, de s secenciación y ds de presentación de ls

iss; c tabién la tarea dcente de alentar la reflexión sbre

l realizad, y de incentivar a niñs y niñas para qe cniqen ss

prdccines y fndaente ss eleccines. Td est atendiend a qe

la escela debe prprcinar las herraientas para frar cidadans

plens, crítics y respnsables qe pedan participar activaente en

la sciedad.



129

Bibligrafía

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mateática. Grp Editrial Iberaerican. Bgtá,1995.

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Didactique des Mathèmatiques, Vl. 10, nº 2, 1990, pp. 133-170.



¿Cómo resuelven nuestros estudiantes las actividades matemáticas?

¿Qué procedimientos utilizan para resolver los problemas? ¿Qué

factores pueden incidir en la dicultad o facilidad con que resuelven las

tareas matemáticas?

Estas son algunas preguntas a las que responde un grupo de

especialistas en evaluación y en didáctica de la matemática convocado

por el Laboratorio Latinoamericano de Evaluación de la Calidad de laEducación (LLECE) en Aportes para la enseñanza de la Matemática.

Basado en los resultados que arrojó el Segundo Estudio Regional

Comparativo y Explicativo (SERCE), realizado en dieciséis países

y un estado mexicano, este libro analiza y sintetiza los logros y las

dicultades de los niños de Latinoamérica y el Caribe en relación con

esta asignatura.

En concordancia con los objetivos del LLECE, que apoya a los países

de la región para mejorar la calidad de la educación, y con un lenguajeaccesible y propuestas claras, las autoras explican los elementos

teóricos y prácticos que pueden ayudar a los docentes a profundizar

y mejorar sus prácticas de enseñanza para lograr buenos aprendizajes

en matemática.

See Aoes aa a Eseñaza

• Aportes para la enseñanza de la Matemática

Aportes para la enseñanza de la Lectura

OtrAS publicAciOnES dEl SErcE

See reoes

• Primer Reporte de los resultados del SERCE

Los aprendizajes de los estudiantes

deAméricaLatinayelCaribe

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