Embed Size (px)
Citation preview
0
MÓDULO:
MECANISMOS
FACULTAD DE INGENIERIA EN SISTEMAS ELECTRÓNICA E INDUSTRIAL LUIS ALBERTO MORALES PERRAZO INGENIERO MECÁNICO
|
CARRERA DE INGENIERIA
INDUSTRIAL EN PROCESOS DE
AUTOMATIZACIÓN
CICLO ACADÉMICO: Séptimo
UNIVERSIDAD TÉCNICA DE AMBATO
1
Contenido
INTRODUCCIÓN A LOS MECANISMOS............................................................................................... 1
Clasificación de la Ciencia de los Mecanismos........................................................................................... 3
TERMINOLOGIA DE MECANISMOS. ................................................................................................... 3
MOVILIDAD (M). ..................................................................................................................................... 9
TRANSFORMACIÓN DE ESLABONAMIENTOS. ............................................................................... 15
INVERSIÓN CENEMÁTICA. ................................................................................................................. 17
TIPOS DE MECANISMOS...................................................................................................................... 18
ANALISIS. ............................................................................................................................................... 23
ANALISIS PARA CUALQUIER PUNTO. .............................................................................................. 35
ÁNGULO DE TRANSMISIÓN Y POSICIÓN DE AGARROTAMIENTO ............................................ 38
RELACIÓN DE VELOCIDAD ................................................................................................................ 41
VENTAJA MECÁNICA .......................................................................................................................... 41
SÍNTESIS DE MECANISMOS ................................................................................................................ 45
2
INTRODUCCIÓN A LOS MECANISMOS.
MECANISMOS:
Una de las ramas de la Ingeniería Mecánica que está relacionada con el diseño de máquinas es la
Ciencia de los Mecanismos la misma que se encarga del diseño y análisis de los mecanismos que
conforman las máquinas, existen varias definiciones de la teoría de los mecanismos entre estas
se describen las siguientes:
MÁQUINA.
1.-) Conjunto deelementos quegeneranmovimiento.
2.-) Ciencia queestudia larelaciona entregeometría ymovimiento.
3.-) Conjunto deelementos opartes mecánicosque generanmovimiento sinmucha potencia.
Sistema: conjunto de elementos relacionados para alcanzar un objetivo común.
Eléctricos.
Electrónicos.
Sub-Sistema: Neumáticos.
Hidráulicos.
Mecanismos.
Trabajo útil.
Trabajo Potencia Mecanismos Fuerza
Energía
Máquina
3
Clasificación de la Ciencia de los Mecanismos.
Se divide en dos tópicos:
Síntesis y;
Análisis.
1.-) Análisis.- consiste en encontrar parámetros matemáticos que definan la geometría y el movimiento de un mecanismo, es decir realizar el análisis para obtener:
Ángulos
Desplazamiento.
Aceleración
Velocidad
Fuerza.
2.-) Síntesis.- es el proceso creativo que se realiza para generar un mecanismo.
TERMINOLOGIA DE MECANISMOS.
1. Movilidad.
La movilidad de un sistema mecánico se puede clasificar de acuerdo con el número de grados de libertad (GDL) que posee.
GDL: parámetros independientes que sirven para determinar la posición de un mecanismo en base a un sistema de referencia.
2. Tipos de Movimiento.
2.1. Rotación Pura.
El cuerpo posee un punto (centro de rotación) que no tiene movimiento con respecto al
marco de referencia “estacionario”. Todos los demás puntos del cuerpo describen arcos
alrededor del centro. Una línea de referencia trazada en el cuerpo a través del centro
cambia sólo su orientación angular.
4
2.2. Traslación Pura.
Todos los puntos del cuerpo describen trayectorias paralelas (curvilíneas o rectilíneas). Una línea de referencia trazada en el cuerpo cambia su posición lineal pero no su orientación angular.
2.3. Movimiento Complejo.
Corresponde a una combinación simultánea de rotación y traslación. Cualquier línea de referencia trazada en el cuerpo cambiará tanto su posición lineal como su orientación angular. Los puntos en el cuerpo recorrerán trayectorias no paralelas, y habrá, en todo instante, un centro de rotación, el cual cambiará continuamente de ubicación.
5
3. Partes de los Mecanismos.
Eslabonamiento: conjunto formado por un eslabón + una junta.
Eslabón: cuerpo rígido indeformable (idealmente).
Tipos de Eslabones:
Binarios.- dos puntos de conexión, 2 juntas.
Ternarios.- 3 juntas.
Cuaternarios.- 4 juntas.
Eslabones según su rigidez.
Semirrígidos: banda, resorte, ballesta, amortiguador.
No rígidos, Materiales: fluidos, aceites, agua, campos de energía.
Junta: conocido también como par cinemático, es la conexión entre dos o más eslabones que
conforman un mecanismo.
6
Tipos de Juntas.
1.-) Por el tipo de cierre:
Juntas con cierre de forma: se mantiene unida o cerrada por su geometría.
Juntas con cierre de fuerza: requieren alguna fuerza externa para mantenerlas en
contacto o cerradas, generalmente esta fuerza es generada por una resorte.
2.-) Por el número de GDL: hace referencia al número de movimientos que permite realizar el
par cinemático.
3.-) Por el tipo de contacto:
Punto: generado por un par superior.
Línea: generado por un par superior.
Superficie: generado por un par inferior.
4.-) Por el número de eslabones conectados: esta clasificación hace referencia al orden de la
junta, la cual se determina mediante la siguiente expresión:
𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑗𝑢𝑛𝑡𝑎 = 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑙𝑎𝑏𝑜𝑛𝑒𝑠 − 1
Mecanismos Planos.
Tabla de Pares Inferiores
Par Representación Parámetro de
Variación GDL Movimiento
Revoluta R ∆ϴ 1 Circular
Prismático P ∆x 1 Lineal
Helicoidal H ∆ϴ o ∆x 1 Helicoidal (circular o lineal)
Cilíndrica C ∆ϴ y ∆x 2 Circular y Lineal
Esférica S ∆ϴx, ∆ϴy,∆ϴz 3 Circular en los tres ejes
Plana F ∆ϴ, ∆x, ∆y 3 Circular, Lineal en x y Lineal
en y.
7
Ilustración 1: Tipos de Juntas. Fuente: R. Norton, Diseño de Maquinaria Cuarta Edición, México D F , Mc Graw Hill,2009.Pag.30.
4. Cadena Cinemática.
Se define como un ensamble de eslabones y juntas interconectados de modo que
produzcan un movimiento controlado en respuesta a un movimiento suministrado, si
forman un lazo cerrado es una cadena cinemática cerrada y si no forma un circuito
cerrado es una cadena cinemática abierta.
8
Cadena Cinemática Abierta: cuando por lo menos una junta queda suelta (brazo
robótico, pala retroexcavadora), además realizan movimientos complejos difíciles
de controlar.
Cadena Cinemática Abierta: todas las juntas están conectadas, realizan
movimientos fáciles de controlar.
5. Términos Especiales.
Manivela: eslabón que realiza una revolución completa y está pivotada a la bancada. Balancín: eslabón que tiene rotación oscilatoria (de vaivén) y está pivotado a la
bancada. Bastidor: eslabón o eslabones que están fijos (inmóviles) con respecto al marco de
referencia. Acoplador: eslabón que tiene movimiento complejo y no está pivotado a la bancada.
6. Diagrama Cinemático.
Se define como una representación gráfica lo más sencilla posible de un determinado
mecanismo, para ello se utiliza las siguientes notaciones esquemáticas:
9
Ilustración 2: Notación esquemática para diagramas cinemáticos. Fuente: R. Norton, Diseño de Maquinaria Cuarta Edición, México D F, Mc Graw Hill, 2009.Pag.32.
MOVILIDAD (M).
También conocido como determinación del grado de libertad, el cual hace referencia al número de parámetros de control de un mecanismo. Calculo de Movilidad.
Condición de Gruebler.
Cualquier eslabón en un plano tiene tres GDL. Por consiguiente, un sistema de L eslabones no conectados en el mismo plano tendrá 3L GDL, como se muestra en la figura a.
Cuando los eslabones están conectados por una junta completa, esto elimina dos GDL y dejando cuatro, tal como se muestra en la figura b.
10
1 Ecuación de Gruebler.
𝑴 = 3𝐿 − 2𝐽 − 3𝐺
𝑴 = 3𝐿 − 2𝐽 − 3
𝑴 = 3(𝐿 − 1) − 2𝐽
Condición de Kutzbach.
La semijunta elimina solo un GDL del sistema (porque una semijunta tiene dos GDL) y deja
el sistema de dos eslabones conectados por una semijunta con un total de cinco GDL.
Ecuación de Kutzbach.
Esta ecuación es la que se utiliza para el cálculo de movilidad de cualquier mecanismo, la
cual se expresa mediante la siguiente ecuación:
𝑴 = 3(𝐿 − 1) − 2𝐽1 − 𝐽2
Dónde:
M= movilidad
L= número de eslabones
J1= junta completa
J2= semijunta
Posibilidades para determinar el ensamble de eslabones.
1.-) Si M ≥ 1 será un mecanismo.
2.-) Si M = 0 será una estructura.
3.-) Si M ≤ 0 será una estructura precargada o superestructura.
11
Ejercicios:
Determinar el grado de libertad de los siguientes mecanismos.
1.-) Diagrama Cinemático. Datos
L= 7
J1= 8
J2= 1
𝑴 = 3(𝐿 − 1) − 2𝐽1 − 𝐽2
𝑴 = 3(7 − 1) − 2(8) − 1
𝑴 = 1 es un mecanismo.
2.-) Diagrama Cinemático. Datos
L= 4
J1= 4
J2= 0
𝑴 = 3(𝐿 − 1) − 2𝐽1 − 𝐽2
𝑴 = 3(4 − 1) − 2(4) − 0
𝑴 = 1 es un mecanismo.
12
3.-) Diagrama Cinemático. Datos
L= 3
J1= 3
J2= 0
𝑴 = 3(𝐿 − 1) − 2𝐽1 − 𝐽2
𝑴 = 3(3 − 1) − 2(3) − 0
𝑴 = 0 es una estructura.
4.-) Diagrama Cinemático. Datos
L= 3
J1= 2
J2= 1
𝑴 = 3(𝐿 − 1) − 2𝐽1 − 𝐽2
𝑴 = 3(3 − 1) − 2(2) − 1
𝑴 = 1 es un mecanismo.
13
5.-) Diagrama Cinemático. Datos
L= 5
J1= 5
J2= 0
𝑴 = 3(𝐿 − 1) − 2𝐽1 − 𝐽2
𝑴 = 3(5 − 1) − 2(5) − 0
𝑴 = 2 es un mecanismo.
6.-) Diagrama Cinemático. Datos
L= 9
J1= 11
J2= 0
𝑴 = 3(𝐿 − 1) − 2𝐽1 − 𝐽2
𝑴 = 3(9 − 1) − 2(11) − 0
𝑴 = 2 es un mecanismo.
14
7.-) Diagrama Cinemático. Datos
L= 6
J1= 8
J2= 0
𝑴 = 3(𝐿 − 1) − 2𝐽1 − 𝐽2
𝑴 = 3(6 − 1) − 2(8) − 0
𝑴 = -1 es una superestructura.
8.-) Diagrama Cinemático. Datos
L= 4
J1= 4
J2= 0
𝑴 = 3(𝐿 − 1) − 2𝐽1 − 𝐽2
𝑴 = 3(4 − 1) − 2(4) − 0
𝑴 = 1 es un mecanismo.
15
9.-) Diagrama Cinemático. Datos
L= 4
J1= 3
J2= 1
𝑴 = 3(𝐿 − 1) − 2𝐽1 − 𝐽2
𝑴 = 3(4 − 1) − 2(3) − 1
𝑴 = 2 es un mecanismo.
TRANSFORMACIÓN DE ESLABONAMIENTOS.
1.- Si en un mecanismo las juntas revolutas se cambian por juntas prismáticas se mantienen los
GDL, siempre que por lo menos dos juntas revolutas permanezcan en el lazo.
2.- Cualquier junta completa se puede reemplazar por una semijunta, pero esto incrementa en
1GDL.
3.- La eliminación de un eslabón reduce en 1 GDL al mecanismo.
16
4.- La combinación del segundo y tercer caso mantiene l mismo grado de libertad.
5.- Cualquier eslabón ternario o de mayor orden puede ser parcialmente contraído a un eslabón
de menor orden mediante coalición de nodos, esto creara una junta múltiple pero no cambiara
los GDL del mecanismo.
6.- La contracción total de un eslabón de orden alto equivale a su eliminación, se creara una
junta múltiple y su GDL disminuirá.
17
INVERSIÓN CINEMÁTICA.
Una inversión es creada por la conexión a tierra de un eslabón diferente en la cadena
cinemática.
Ilustración 3: Inversión cinemática de un mecanismo de cuatro barras.
Ilustración 4: Inversión cinemática de un mecanismo de manivela corredera de 4 barras.
18
TIPOS DE MECANISMOS.
MECANISMOS DE CUATRO BARRAS.
Este mecanismo es considerado como el mecanismo base para el resto de mecanismos. Es un
mecanismo formado por tres barras móviles y una cuarta barra fija, unidas mediante nudos
articulados, su configuración puede ser abierta o cruzada.
Ley de Grashof.
La Ley de Grashof es una fórmula utilizada para analizar el tipo de movimiento que hará el
mecanismo de cuatro barras: para que exista un movimiento continuo entre las barras, la suma
de la barra más corta y la barra más larga no puede ser mayor que la suma de las barras restantes.
Condición de Grashof I.
"Si s + l < p + q, entonces, al menos una barra del mecanismo podrá realizar giros completos"
Condición de Grashof II.
Si S + L > P + Q, entonces todas las inversiones serán balancines triples, en los que ningún eslabón
puede girar por completo.
19
Condición de Grashof III.
Si S + L = P + Q: Conocida como caso especial de Grashof, todas las inversiones serán dobles-
manivelas o manivela-balancín.
Aplicaciones: playo de presión, capot, amortiguador…
MECANISMO BIELA – MANIVELA – CORREDERA.
Mecanismo compuesto por una manivela que al girar desplaza una biela unida a un pistón que
realiza un movimiento lineal alternativo.
20
MECANISMO DE RETORNO RAPIDO.
Estos mecanismos se emplean en máquinas herramientas que tienen una carrera lenta de corte
y una carrera rápida de retorno para una velocidad angular constante de la manivela motriz. Son
una combinación simple de eslabones como el mecanismo de cuatro barras o el biela - manivela.
PANTOGRAFO.
Permite obtener directamente figuras homotéticas, por tanto, semejantes, por lo cual se utiliza
para ampliar y reducir dibujos.
MECANISMO DE PALANCA.
Los mecanismos de palanca aprovechan la ventaja mecánica “con una pequeña fuerza generar
una gran fuerza.
21
MECANISMOS DE LINEA RECTA.
Estos mecanismos están diseñados de tal manera que un punto de los eslabones se mueve en
línea recta. Dependiendo del mecanismo esta línea puede ser una recta aproximada o una recta
teóricamente correcta. Ejemplo: mecanismo de Watt en el cual el punto P genera una línea recta
aproximada.
22
MECANISMO DE LEVAS.
Son mecanismos que consisten en una rueda excéntrica o leva que al girar desplazan en
movimiento lineal alternativo a un seguidor.
MECANISMO DE TRANSMISIÓN DE MOVIMIENTO.
Los mecanismos de transmisión de movimiento son elementos que transmiten el movimiento sin
transformarlo, es decir el elemento motriz se mueve con movimiento circular y transmite ese
movimiento circular a otro elemento con el que se encuentra en contacto.
MECANISMO DE TRANSFORMACIÓN DE MOVIMIENTO.
Los mecanismos de transformación son aquellos que cambian el tipo de movimiento:
De movimiento circular a lineal (piñón, cremallera, tornillo-tuerca)
De movimiento circular a lineal alternativo (leva, excéntrica, biela-manivela y
cigüeñal).
23
MECANISMO DE MOVIMIENTO INTERMITENTE.
El movimiento intermitente es una secuencia de movimientos y detenciones. Una detención es
un período en el cual es eslabón de salida permanece inmóvil mientras que el de entrada
continúa moviéndose.
ANALISIS.
El análisis consiste en encontrar parámetros que permitan definir el movimiento de un
mecanismo dichos parámetros en cuestión son: Posición, Velocidad, Aceleración.
Además para el análisis de estos parámetros es necesario conocer ciertos elementos que
forman parte de dicho análisis siendo los siguientes aspectos a saber:
Sistemas de Referencia
Posición.
Ecuación de Cierre.
Eslabón en rotación pura.
Sistemas de Referencia.
Corresponde a un Sistema Cartesiano normal en el que se define la localización de un punto de
interés.
24
Tipos de Sistemas de Referencia.
Sistema de Referencia Global (SRG).- conocido también como sistema de referencia
absoluto (X, Y), este se fija al bastidor (idealmente).
Sistema de Referencia Local no Rotatorio ( SRLNR).- sistema auxiliar para realizar el
análisis de un mecanismo. Permanece paralelo al SRG.
Sistema de Referencia Local Rotatorio (SRLR). - sistema auxiliar para el análisis
de movimiento de un punto, este gira respecto al SRG.
25
Posición Relativa de un Punto.
El desplazamiento de un punto es el cambio en su posición y se define como la distancia en línea
recta entre la posición inicial y final de un punto que se ha movido en el marco de referencia.
𝑅𝐵𝐴 = 𝑅𝐴 − 𝑅𝐵
Tipos de Movimiento.
Traslación Pura.- todos los puntos del cuerpo tienen los mismos desplazamientos.
26
Rotación Pura.- existen desplazamientos diferentes debido al punto fijo, por lo tanto, existe una diferencia de desplazamiento entre dos puntos cualesquiera elegidos.
Teorema de Euler:
El desplazamiento general de un cuerpo rígido con un punto fijo es rotación alrededor del mismo eje.
Movimiento Complejo.- es la suma de los componentes de traslación y rotación pura.
Teorema de Chasles:
Cualquier desplazamiento de un cuerpo rígido equivale a la suma de una traslación de cualquier punto en él y una rotación alrededor de un eje que pasa por ese punto.
Ecuación de Cierre.
También conocida como Ecuación Vectorial de Cierre, esta ecuación al sumar o restar vectores su valor debe ser igual a cero.
27
RC= RB+RCB
RC= RBA+RA+RCB
RD= RA+ RDA
RD= RC+ RDC
RD= RBA+RA+RCB+RDC
RA+RDA= RBA+RA+RCB+RDC
RDA= RBA +RCB+RDC
0 = RBA +RCB+RDC- RDA
0 = RBA +RCB+RDC- RDA
𝑎𝑒𝑖𝜃2 + 𝑏𝑒𝑖𝜃3 + 𝑐𝑒𝑖𝜃4 − 𝑑𝑒𝑖𝜃1 = 0
Eslabón en Rotación Pura.
Posición.
𝑅𝐴 = 𝑎𝑒𝑖𝜃
𝑅𝐴 = 𝑎(cos 𝜃 + 𝑖 sin 𝜃)
Parte Real: 𝑅𝐴𝑥 = 𝑎 cos 𝜃
Parte Imaginaria: 𝑅𝐴 = 𝑎 sin 𝜃
Velocidad.
C𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠: 𝑎 𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒: 𝜃
𝑅𝐴 = 𝑉𝐴
𝑅𝐴 = 𝑎𝑒𝑖𝜃
𝑅�̇� = 𝑎𝑒𝑖𝜃 ∗ 𝑖�̇�
𝑅�̇� = 𝑎𝜔𝑖𝑒𝑖𝜃
28
𝑅�̇� = 𝑎𝜔(− sin 𝜃 + 𝑖 cos 𝜃)
𝑅�̇�𝑥 = 𝑎𝜔 sin 𝜃 = 𝑉𝐴𝑥 𝑅�̇�𝑦 = 𝑎𝜔 cos 𝜃 = 𝑉𝐴𝑦
Aceleración.
𝑅�̇� = 𝑎𝑒𝑖𝜃 ∗ 𝑖�̇�
C𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠: 𝑎, 𝑖, е 𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒: 𝜃, �̇�
𝑅�̈� = 𝑎𝑖 (𝑒𝑖𝜃�̈� + �̇�𝑒𝑖𝜃𝑖�̇�)
𝑅�̈� = 𝑎𝑖{𝛼𝑒𝑖𝜃 + 𝑎𝑖𝜔2𝑒𝑖𝜃}
𝑅�̈� = 𝑎𝑖𝛼𝑒𝑖𝜃 − 𝑎𝜔2𝑒𝑖𝜃
𝐴𝐴 = 𝑎𝛼{− sin 𝜃 + 𝑖 cos 𝜃} − 𝑎𝜔2{cos 𝜃 + 𝑖 sin 𝜃}
𝐴𝐴𝑥 = −𝑎𝜔2 cos 𝜃 − 𝑎𝛼 sin 𝜃 𝐴𝐴𝑦 = −𝑎𝜔2 sin 𝜃 + 𝑎𝛼 cos 𝜃
Análisis Cinemático para un Mecanismo de Cuatro Barras.
CÁLCULO DE POSICIÓN.
ECUACION DE CIERRE.
𝑅2 + 𝑅3 − 𝑅1 − 𝑅4 = 0
𝑎𝑒𝑖𝜃2 + 𝑏𝑒𝑖𝜃3 − 𝑑𝑒𝑖𝜃1 − 𝑐𝑒𝑖𝜃4 = 0
ANALISIS DE POSICION
29
1
𝑅2 + 𝑅3 − 𝑅1 − 𝑅4 = 0
𝑎𝑒𝑖𝜃2 + 𝑏𝑒𝑖𝜃3 − 𝑑𝑒𝑖𝜃1 − 𝑐𝑒𝑖𝜃4 = 0
𝑎{cos 𝜃2 + 𝑖 sin 𝜃2} + 𝑏{cos 𝜃3 + 𝑖 sin 𝜃3} − 𝑑{cos 𝜃1 + 𝑖 sin 𝜃1} − 𝑐{cos 𝜃4 + 𝑖 sin 𝜃4} = 0
Parte real: a cos θ2 + b cos θ3 −𝑑 cos θ1 − c cos θ4 = 0 Parte imaginaria: a sen θ2 + b sin θ3 −d sen θ1 − c sin θ4 = 0
Como 𝜽𝟏 = 𝟎 entonces:
Parte real: a cos θ2 + b cos θ3 −𝑑 − c cos θ4 = 0 Parte imaginaria: a sen θ2 + b sin θ3 − c sin θ4 = 0
Para encontrar 𝜽𝟑:
a cos θ2 + b cos θ3 −𝑑 − c cos θ4 = 0 a sen θ2 + b sin θ3 c − c sin θ4 = 0
(c cos θ4)2 = (a cos θ2 + b cos θ3 − 𝑑)2
(c sin θ4)2 = (a sen θ2 + b sin θ3) 2
c2 cos2 θ4 = (a cos θ2 + b cos θ3)2 − 2𝑑(a cos θ2 + b cos θ3) + 𝑑2
c2 sin2 θ4 = 𝑎2 sin2 θ2 + 2𝑎𝑏 sin θ2 ∗ sin θ3 + b2 sin2 θ′3
c2(cos2 θ4 + sin2 θ4 ) = a2 cos2 θ2 + 2𝑎𝑏 cos θ2 ∗ cos θ3 + b2 cos2 θ3 − 2𝑎𝑑 cos θ2 −2bd cos θ3 + 𝑑2 + a2 sin2 θ2 + 2𝑎𝑏 sin θ2 ∗ sin θ3 + b2 sin2 θ3
c2 = a2 + b2 + 𝑑2 + 2𝑎𝑏 cos θ2 ∗ cos θ3 − 2𝑎𝑑 cos θ2 − 2bd cos θ3 + 2𝑎𝑏 sin θ2 ∗ sin θ3
0 = a2 + b2 − c2 + 𝑑2 − 2𝑎𝑑 cos θ2 − 2bd cos θ3 + 2𝑎𝑏( cos θ2 ∗ cos θ3 + sin θ2 ∗ sin θ3)
0 =a2 + b2 − c2 + 𝑑2
2𝑎𝑏 −
2𝑎𝑑 cos θ2
2𝑎𝑏−
2bd cos θ3
2𝑎𝑏+
2𝑎𝑏( cos θ2 ∗ cos θ3 + sin θ2 ∗ sin θ3)
2𝑎𝑏
Parámetros conocidos Parámetros desconocidos
𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, θ2. θ1 θ3, θ4
1
1
30
k1 =𝑑
𝑏 k2 =
𝑑
𝑎 k3 =
a2+b2−c2+𝑑2
2𝑎𝑏
0 = 𝑘3 − 𝑘1 cos θ2 − 𝑘2 cos θ3 + ( cos θ2 ∗ cos θ3 + sin θ2 ∗ sin θ3)
Identidades Trigonométricas a aplicar:
sin 𝜃 =2 tan(
𝜃
2)
1+tan2(𝜃
2) cos 𝜃 =
1−tan2(𝜃
2)
1+tan2(𝜃
2) tan
𝜃
2= 𝑥 𝜃 = 2 tan−1 𝑥
0 = 𝑘3 − 𝑘1 cos θ2 − 𝑘2 (1 − 𝑥2
1 + 𝑥2) + cos θ2 (
1 − 𝑥2
1 + 𝑥2) + sin θ2 (
2𝑥
1 + 𝑥2)
0 =𝑘3(1 + 𝑥2) − 𝑘1 cos θ2(1 + 𝑥2) − 𝑘2(1 − 𝑥2) + cos θ2(1 − 𝑥2) + 2𝑥 sin θ2
1 + 𝑥2
0 = 𝑘3 + 𝑘3𝑥2 − 𝑘1 cos θ2 − 𝑘1𝑥2 cos θ2 − 𝑘2 + 𝑘2𝑥2 + cos θ2 − 𝑥2 cos θ2 + 2𝑥 sin θ2
0 = 𝑥2(𝑘3 − 𝑘1 cos θ2 + 𝑘2 − cos θ2) + 𝑥(2 sin θ2) + (𝑘3 − 𝑘2 + cos θ2 − 𝑘1 cos θ2)
A𝑥2 + 𝐵𝑥 + 𝐶 = 0
𝑥 = −𝐵 + √𝐵2 − 4𝐴𝐶
2𝐴
θ3 = 2 tan−1 [−𝐵 + √𝐵2 − 4𝐴𝐶
2𝐴]
Para encontrar 𝜽𝟒:
Parte real: a cos θ2 + b cos θ3 −𝑑 − c cos θ4 = 0 Parte imaginaria: a sen θ2 + b sin θ3 − c sin θ4 = 0
A B C
31
a cos θ2 + b cos θ3 −𝑑 − c cos θ4 = 0 a sen θ2 + b sin θ3 c − c sin θ4 = 0
(b cos θ3)2 = (d + c cos θ4 − a cos θ2 )2
(b sin θ3)2 = (c sen θ4 − a sin θ2) 2
b2 cos2 θ3 = (d + c cos θ4)2 − 2(d + c cos θ4) ∗ a cos θ2 + 𝑎2 cos2 θ2
b2 sin2 θ3 = 𝑐2 sin2 θ4 − 2𝑎𝑐 sin θ4 ∗ sin θ2 + a2 sin2 θ2
1
𝑏2(cos2 θ3 + sin2 θ3 ) = d2 + 2𝑐𝑑 cos θ4 + 𝑐2 cos2 θ4 − 2𝑎𝑑 cos θ2
−2ac cos θ2 ∗ cos θ4 + a2 cos2 θ2 + c2 sin2 θ4 − 2𝑎𝑐 sin θ4 ∗ sin θ2 + a2 sin2 θ2
b2 = d2 + 2𝑐𝑑 cos θ4 + 𝑐2 − 2𝑎𝑑 cos θ2 − 2𝑎𝑐(cos θ2 ∗ cos θ4 + sin θ2 ∗ sin θ3) + 𝑎2
0 = a2 − b2 + c2 + 𝑑2 + 2𝑐𝑑 cos θ4 − 2𝑎𝑑 cos θ2 − 2𝑎𝑐(cos θ2 ∗ cos θ4 + sin θ2 ∗ sin θ3)
0 =a2 − b2 + c2 + 𝑑2
2𝑎𝑐+
2𝑐𝑑 cos θ4
2𝑎𝑐−
2𝑎𝑑 cos θ2
2𝑎𝑐−
2𝑎𝑐( cos θ2 ∗ cos θ4 + sin θ2 ∗ sin θ4)
2𝑎𝑐
k1 =𝑑
𝑎 k2 =
𝑑
𝑐 k3 =
a2+b2−c2+𝑑2
2𝑎𝑏
0 = 𝑘3 + 𝑘1 cos θ4 − 𝑘2 cos θ2 − ( cos θ2 ∗ cos θ4 + sin θ2 ∗ sin θ4)
Identidades Trigonométricas a aplicar:
sin 𝜃 =2 tan(
𝜃
2)
1+tan2(𝜃
2) cos 𝜃 =
1−tan2(𝜃
2)
1+tan2(𝜃
2) tan
𝜃
2= 𝑥 𝜃 = 2 tan−1 𝑥
0 = 𝑘3 + 𝑘1 (1 − 𝑥2
1 + 𝑥2) − 𝑘2 cos θ2 − cos θ2 (
1 − 𝑥2
1 + 𝑥2) − sin θ2 (
2𝑥
1 + 𝑥2)
32
0 =𝑘3(1 + 𝑥2) − 𝑘2 cos θ4(1 + 𝑥2) + 𝑘1(1 − 𝑥2) − cos θ2(1 − 𝑥2) − 2𝑥 sin θ2
1 + 𝑥2
0 = 𝑘3 + 𝑘3𝑥2 − 𝑘2 cos θ2 − 𝑘2𝑥2 cos θ2 + 𝑘1 − 𝑘1𝑥2 − cos θ2 + 𝑥2 cos θ2 − 2𝑥 sin θ2
0 = 𝑥2(𝑘3 − 𝑘2 cos θ2 − 𝑘1 + cos θ2) + 𝑥(2 sin θ2) + (𝑘3 + 𝑘1 − cos θ2 − 𝑘2 cos θ2)
A𝑥2 + 𝐵𝑥 + 𝐶 = 0
𝑥 = −𝐵 + √𝐵2 − 4𝐴𝐶
2𝐴
θ4 = 2 tan−1 [−𝐵 + √𝐵2 − 4𝐴𝐶
2𝐴]
ANALISIS DE VELOCIDAD.
𝑅2 + 𝑅3 − 𝑅1 − 𝑅4 = 0
𝑎𝑒𝑖𝜃2 + 𝑏𝑒𝑖𝜃3 − 𝑑𝑒𝑖𝜃1 − 𝑐𝑒𝑖𝜃4 = 0
𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠: 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, е, 𝑖, 𝜃1
𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠: 𝜃2, 𝜃3, 𝜃4
𝑎𝑒𝑖𝜃2 + 𝑏𝑒𝑖𝜃3 − 𝑑𝑒𝑖𝜃1 − 𝑐𝑒𝑖𝜃4 = 0
𝑎𝑒𝑖𝜃2 ∗ 𝑖�̇�2 + 𝑏𝑒𝑖𝜃3 ∗ 𝑖�̇�3 − 0 − 𝑐𝑒𝑖𝜃4 ∗ 𝑖�̇�4 = 0
𝑎𝜔2𝑖𝑒𝑖𝜃2 + 𝑏𝜔3𝑖𝑒𝑖𝜃3 − 𝑐𝜔4𝑖𝑒𝑖𝜃4 = 0
𝑎𝜔2[− 𝑠𝑖𝑛 𝜃2 + 𝑖 cos 𝜃2] + 𝑏𝜔3[− 𝑠𝑖𝑛 𝜃3 + 𝑖 cos 𝜃3] − 𝑐𝜔4[− 𝑠𝑖𝑛 𝜃3 + 𝑖 cos 𝜃3] = 0
Parte real: −𝑎𝜔2 𝑠𝑖𝑛 𝜃2 − 𝑏𝜔3 𝑠𝑖𝑛 𝜃3 + 𝑐𝜔4 𝑠𝑖𝑛 𝜃4 = 0
Parte imaginaria: 𝑎 𝜔2cos 𝜃2 + 𝑏 𝜔3cos 𝜃3 − 𝑐 𝜔4cos 𝜃4 = 0
A B C
0
Parámetros conocidos Parámetros desconocidos
𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, θ2. θ1, 𝜔2 𝜔3, 𝜔4
θ3, θ4
33
Para obtener 𝝎𝟑:
−𝑎𝜔2 𝑠𝑖𝑛 𝜃2 − 𝑏𝜔3 𝑠𝑖𝑛 𝜃3 + 𝑐𝜔4 𝑠𝑖𝑛 𝜃4 = 0 [cos 𝜃4]
𝑎 𝜔2cos 𝜃2 + 𝑏 𝜔3cos 𝜃3 − 𝑐 𝜔4cos 𝜃4 = 0 [𝑠𝑖𝑛 𝜃4]
−𝑎𝜔2 𝑠𝑖𝑛 𝜃2 ∗ cos 𝜃4 − 𝑏𝜔3 𝑠𝑖𝑛 𝜃3 ∗ cos 𝜃4 + 𝑐𝜔4 𝑠𝑖𝑛 𝜃4 ∗ cos 𝜃4 = 0
𝑎 𝜔2cos 𝜃2 ∗ 𝑠𝑖𝑛 𝜃4 + 𝑏 𝜔3cos 𝜃3 ∗ 𝑠𝑖𝑛 𝜃4 − 𝑐 𝜔4cos 𝜃4 ∗ 𝑠𝑖𝑛 𝜃4 = 0
𝑎𝜔2(cos 𝜃2 ∗ 𝑠𝑖𝑛 𝜃4 − 𝑠𝑖𝑛 𝜃2 ∗ cos 𝜃4) − 𝑏𝜔3(𝑠𝑖𝑛 𝜃3 ∗ cos 𝜃4 − cos 𝜃3 ∗ 𝑠𝑖𝑛 𝜃4) = 0
𝑎𝜔2 sin(𝜃4 − 𝜃2) − 𝑏𝜔3 sin(𝜃3 − 𝜃4) = 0
𝜔3 =𝑎𝜔2 sin(𝜃4 − 𝜃2)
𝑏 sin(𝜃3 − 𝜃4)
Para obtener 𝝎𝟒:
−𝑎𝜔2 𝑠𝑖𝑛 𝜃2 − 𝑏𝜔3 𝑠𝑖𝑛 𝜃3 + 𝑐𝜔4 𝑠𝑖𝑛 𝜃4 = 0 [cos 𝜃3]
𝑎 𝜔2cos 𝜃2 + 𝑏 𝜔3cos 𝜃3 − 𝑐 𝜔4cos 𝜃4 = 0 [𝑠𝑖𝑛 𝜃3]
−𝑎𝜔2 𝑠𝑖𝑛 𝜃2 ∗ cos 𝜃3 − 𝑏𝜔3 𝑠𝑖𝑛 𝜃3 ∗ cos 𝜃3 + 𝑐𝜔4 𝑠𝑖𝑛 𝜃4 ∗ cos 𝜃3 = 0
𝑎 𝜔2cos 𝜃2 ∗ 𝑠𝑖𝑛 𝜃3 + 𝑏 𝜔3cos 𝜃3 ∗ 𝑠𝑖𝑛 𝜃3 − 𝑐 𝜔4cos 𝜃4 ∗ 𝑠𝑖𝑛 𝜃3 = 0
𝑎𝜔2(cos 𝜃2 ∗ 𝑠𝑖𝑛 𝜃3 − 𝑠𝑖𝑛 𝜃2 ∗ cos 𝜃3) − 𝑐𝜔4(𝑠𝑖𝑛 𝜃3 ∗ cos 𝜃4 − cos 𝜃3 ∗ 𝑠𝑖𝑛 𝜃4) = 0
𝑎𝜔2 sin(𝜃3 − 𝜃2) − 𝑐𝜔4 sin(𝜃3 − 𝜃4) = 0
𝜔4 =𝑎𝜔2 sin(𝜃3 − 𝜃2)
𝑐 sin(𝜃3 − 𝜃4)
ANALISIS DE ACELERACIÓN
𝑎𝑒𝑖𝜃2 ∗ 𝑖�̇�2 + 𝑏𝑒𝑖𝜃3 ∗ 𝑖�̇�3 − 𝑐𝑒𝑖𝜃4 ∗ 𝑖�̇�4 = 0
𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠: 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, е, 𝑖, 𝜃1
34
𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠: 𝜃2, 𝜃3, 𝜃4, 𝜔2, 𝜔3, 𝜔4
𝑎𝑒𝑖𝜃2 ∗ 𝑖�̇�2 + 𝑏𝑒𝑖𝜃3 ∗ 𝑖�̇�3 − 𝑐𝑒𝑖𝜃4 ∗ 𝑖�̇�4 = 0
𝑎𝑖 (𝑒𝑖𝜃2�̈�2 + �̇�2𝑒𝑖𝜃2𝑖�̇�2) + 𝑏𝑖 (𝑒𝑖𝜃3�̈�3 + �̇�3𝑒𝑖𝜃3𝑖�̇�3) − 𝑐𝑖 (𝑒𝑖𝜃4�̈�4 + �̇�4𝑒𝑖𝜃4𝑖�̇�4) = 0
𝑎𝑖𝛼2𝑒𝑖𝜃2 − 𝑎𝜔22𝑒𝑖𝜃2 + 𝑏𝑖𝛼3𝑒𝑖𝜃3 − 𝑏𝜔32𝑒𝑖𝜃3 − 𝑐𝑖𝛼4𝑒𝑖𝜃4 + 𝑐𝜔42𝑒𝑖𝜃4 = 0
𝑎𝛼2{− sin 𝜃2 + 𝑖 cos 𝜃2} − 𝑎𝜔22{cos 𝜃2 + 𝑖 sin 𝜃2} + 𝑏𝛼3{− sin 𝜃3 + 𝑖 cos 𝜃3}
− 𝑏𝜔32{cos 𝜃3 + 𝑖 sin 𝜃3} − 𝑐𝛼4{− sin 𝜃4 + 𝑖 cos 𝜃4}
+ 𝑐𝜔42{cos 𝜃4 + 𝑖 sin 𝜃4} = 0
Parte real:
−𝑎𝛼2 sin 𝜃2 − 𝑎𝜔22 cos 𝜃2 − 𝑏𝛼3 sin 𝜃3 − 𝑏𝜔32 cos 𝜃3 + 𝑐𝛼4 sin 𝜃4 + 𝑐𝜔42 cos 𝜃4 = 0
Parte imaginaria: 𝑎𝛼2 cos 𝜃2 − 𝑎𝜔22 sin 𝜃2 + 𝑏𝛼3 cos 𝜃3 − 𝑏𝜔32 sin 𝜃3 − 𝑐𝛼4 cos 𝜃4 +
𝑐𝜔42 sin 𝜃4 = 0
Para obtener 𝜶𝟑:
−𝑎𝛼2 sin 𝜃2 − 𝑎𝜔22 cos 𝜃2 − 𝑏𝛼3 sin 𝜃3 − 𝑏𝜔32 cos 𝜃3 + 𝑐𝛼4 sin 𝜃4 + 𝑐𝜔42 cos 𝜃4 = 0
𝑎𝛼2 cos 𝜃2 − 𝑎𝜔22 sin 𝜃2 + 𝑏𝛼3 cos 𝜃3 − 𝑏𝜔32 sin 𝜃3 − 𝑐𝛼4 cos 𝜃4 + 𝑐𝜔42 sin 𝜃4 = 0
𝑀𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑜 𝑝𝑜𝑟: [cos 𝜃4] 𝑦 [sin 𝜃4] 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒.
−𝑎𝛼2 sin 𝜃2 ∗ cos 𝜃4 − 𝑎𝜔22 cos 𝜃2 ∗ cos 𝜃4 − 𝑏𝛼3 sin 𝜃3 ∗ cos 𝜃4 − 𝑏𝜔32 cos 𝜃3 ∗ cos 𝜃4
+ 𝑐𝛼4 sin 𝜃4 ∗ cos 𝜃4 + 𝑐𝜔42 cos2 𝜃4 = 0
𝑎𝛼2 cos 𝜃2 ∗ sin 𝜃4 − 𝑎𝜔22 sin 𝜃2 ∗ sin 𝜃4 + 𝑏𝛼3 cos 𝜃3 ∗ sin 𝜃4 − 𝑏𝜔32 sin 𝜃3 ∗ sin 𝜃4 −
𝑐𝛼4 cos 𝜃4 ∗ sin 𝜃4 + 𝑐𝜔42 sin2 𝜃4 = 0
−𝑎𝜔22{cos 𝜃2 ∗ cos 𝜃4 + sin 𝜃2 ∗ sin 𝜃4} + 𝑎𝛼2{sin 𝜃4 cos 𝜃2 − cos 𝜃4 sin 𝜃2}
− 𝑏𝜔32{cos 𝜃3 ∗ cos 𝜃4 + sin 𝜃3 ∗ sin 𝜃4}
+ 𝑏𝛼3{sin 𝜃4 cos 𝜃3 − cos 𝜃4 sin 𝜃3} + 𝑐𝜔42 = 0
−𝑎𝜔22 cos(𝜃2 − 𝜃4) + 𝑎𝛼2 sin(𝜃4 − 𝜃2) − 𝑏𝜔32 cos(𝜃3 − 𝜃4) + 𝑏𝛼3 sin(𝜃4 − 𝜃3) + 𝑐𝜔42
= 0
Parámetros conocidos Parámetros desconocidos
𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, θ2. θ1, 𝜔2 𝛼3, 𝛼3
θ3, θ4, θ2, 𝜔3, 𝜔4
35
𝛼3 =𝑎𝜔22 cos(𝜃2 − 𝜃4) + 𝑏𝜔32 cos(𝜃3 − 𝜃4) − 𝑎𝛼2 sin(𝜃4 − 𝜃2) − 𝑐𝜔42
𝑏 sin(𝜃4 − 𝜃3)
Para obtener 𝜶𝟒:
−𝑎𝛼2 sin 𝜃2 − 𝑎𝜔22 cos 𝜃2 − 𝑏𝛼3 sin 𝜃3 − 𝑏𝜔32 cos 𝜃3 + 𝑐𝛼4 sin 𝜃4 + 𝑐𝜔42 cos 𝜃4 = 0
𝑎𝛼2 cos 𝜃2 − 𝑎𝜔22 sin 𝜃2 + 𝑏𝛼3 cos 𝜃3 − 𝑏𝜔32 sin 𝜃3 − 𝑐𝛼4 cos 𝜃4 + 𝑐𝜔42 sin 𝜃4 = 0
𝑀𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑜 𝑝𝑜𝑟: [cos 𝜃3] 𝑦 [sin 𝜃3] 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒.
−𝑎𝛼2 sin 𝜃2 ∗ cos 𝜃3 − 𝑎𝜔22 cos 𝜃2 ∗ cos 𝜃3 − 𝑏𝛼3 sin 𝜃3 ∗ cos 𝜃3 − 𝑏𝜔32 cos2 𝜃3
+ 𝑐𝛼4 sin 𝜃4 ∗ cos 𝜃3 + 𝑐𝜔42 cos 𝜃4 ∗ cos 𝜃3 = 0
𝑎𝛼2 cos 𝜃2 ∗ sin 𝜃3 − 𝑎𝜔22 sin 𝜃2 ∗ sin 𝜃3 + 𝑏𝛼3 cos 𝜃3 ∗ sin 𝜃3 − 𝑏𝜔32 sin2 𝜃3 −
𝑐𝛼4 cos 𝜃4 ∗ sin 𝜃3 + 𝑐𝜔42 sin 𝜃4 ∗ sin 𝜃3 = 0
𝑎𝛼2{sin 𝜃3 cos 𝜃2 − cos 𝜃3 sin 𝜃2} − 𝑎𝜔22{cos 𝜃2 ∗ cos 𝜃3 + sin 𝜃2 ∗ sin 𝜃3} − 𝑏𝜔32
− 𝑐𝛼4{sin 𝜃3 cos 𝜃4 − cos 𝜃3 sin 𝜃4} + 𝑐𝜔42{cos 𝜃4 ∗ cos 𝜃3 + sin 𝜃4 ∗ sin 𝜃3}
= 0
𝑎𝛼2 sin(𝜃3 − 𝜃2) − 𝑎𝜔22 cos(𝜃2 − 𝜃3) − 𝑏𝜔32 − 𝑐𝛼4 sin(𝜃3 − 𝜃4) + 𝑐𝜔42 cos(𝜃4 − 𝜃3)
= 0
𝛼4 =−𝑎𝜔22 cos(𝜃2 − 𝜃3) − 𝑏𝜔32 +𝑎𝛼2 sin(𝜃3 − 𝜃2) + 𝑐𝜔42 cos(𝜃4 − 𝜃3)
𝑐 sin(𝜃3 − 𝜃4)
ANALISIS PARA CUALQUIER PUNTO.
Una vez que se encuentran los ángulos de todos los eslabones, es simple definir y calcular la
posición de cualquier punto en cualquier eslabón para cualquier posición de entrada del
mecanismo.
36
Ecuación de cierre
𝑅2 + 𝑅𝑃1𝐴 = 𝑅𝑃1
𝑎𝑒𝑖𝜃2 + 𝑓𝑒𝑖(𝜃3+𝛼) = 𝑅𝑃1
Análisis de posición.
𝑎𝑒𝑖𝜃2 + 𝑓𝑒𝑖(𝜃3+𝛼) = 𝑅𝑃1
𝑅𝑃1 = 𝑎{cos 𝜃2 + 𝑖 sin 𝜃2} + 𝑓{cos(𝜃3 + 𝛼) + 𝑖 sin(𝜃3 + 𝛼)}
𝑅𝑃1𝑥 = 𝑎 cos 𝜃2 + 𝑥 cos(𝜃3 + 𝛼)
𝑅𝑃1𝑦 = 𝑎 sin 𝜃2 + 𝑥 sin(𝜃3 + 𝛼)
Parámetros conocidos: 𝜃1 = 0, 𝜃2 = 0 … 360°, 𝜃3
Parámetros desconocidos: 𝑓, 𝑅𝑃1.
Análisis de velocidad.
𝑅𝑃1̇ = 𝑎𝑒𝑖𝜃2𝑖𝜃2̇ + 𝑓̇̇ 𝑒𝑖(𝜃3+𝛼)𝑖𝜃3̇
𝑅𝑃1̇ = 𝑎𝜔2𝑖𝑒𝑖𝜃2 + 𝑓̇𝜔3𝑒𝑖(𝜃3+𝛼)
𝑅𝑃1̇ = 𝑎𝜔2(− sin 𝜃2 + 𝑖 cos 𝜃2) + 𝑓𝜔3{− sin(𝜃3 + 𝛼) + 𝑖 cos(𝜃3 + 𝛼)}
𝑅𝑃1̇ 𝑥 = −𝑎𝜔2 sin 𝜃2 − 𝑓𝜔3 sin(𝜃3 + 𝛼)
37
𝑅𝑃1̇ 𝑦 = 𝑎𝜔2 cos 𝜃2 + 𝑓𝜔3 sin(𝜃3 + 𝛼)
Parámetros conocidos: 𝜃1 = 0, 𝜃2 = 0 … 360°, 𝑎, 𝑓, 𝑅𝑃1
Parámetros desconocidos: 𝜔3
Análisis de aceleración.
𝑅�̇�1 = 𝑎𝑒𝑖𝜃2𝑖𝜃2̇ + 𝑓̇ 𝑒𝑖(𝜃3+𝛼)𝑖𝜃3̇
𝑅𝑃1̈ = 𝑎𝑖 (𝑒𝑖𝜃2𝜃2̈ + 𝜃2̇𝑒𝑖𝜃2𝑖𝜃2̇) + 𝑓𝑖 {𝑒𝑖(𝜃3+𝛼)𝜃3 + 𝜃3𝑒𝑖(𝜃3+𝛼)𝑖𝜃3̇̇̈
}
𝑅�̈�1 = 𝑎 𝛼2𝑖 𝑒𝑖𝜃2 − 𝑎 𝜔22𝑒𝑖𝜃2 + 𝑓 𝛼3𝑖𝑒𝑖(𝜃3+𝛼) − 𝑓𝜔3
2𝑒𝑖(𝜃3+𝛼)
𝑅𝑃1̈ = 𝑎 𝛼2(− sin 𝜃2 + 𝑖 cos 𝜃2) − 𝑎 𝜔22(cos 𝜃2 + 𝑖 sin 𝜃2)
+ 𝑓 𝛼3{− sin(𝜃3 + 𝛼) + 𝑖 cos(𝜃3 + 𝛼)} − 𝑓𝜔32{cos(𝜃3 + 𝛼) + 𝑖 sin(𝜃3 + 𝛼)}
Parámetros conocidos: 𝜃1 = 0, 𝜃2 = 0 … 360°, 𝑎, 𝑓 , 𝛼2 , 𝜔2, 𝜔3
Parámetros desconocidos: 𝛼3,
Parte real:
−𝑎𝛼2 𝑠𝑖𝑛 𝜃2 − 𝑎𝜔22 𝑐𝑜𝑠 𝜃2 − 𝑓𝛼3 sin(𝜃3 + 𝛼) − 𝑓𝜔3
2 cos(𝜃3 + 𝛼) = 0
Parte imaginaria:
𝑎𝛼2 𝑐𝑜𝑠 𝜃2 − 𝑎𝜔22 𝑠𝑖𝑛 𝜃2 + 𝑓 𝛼3 cos(𝜃3 + 𝛼) − 𝑓𝜔3
2 sin(𝜃3 + 𝛼) = 0
38
ÁNGULO DE TRANSMISIÓN Y POSICIÓN DE AGARROTAMIENTO
Ángulo de Transmisión
El ángulo de transmisión esta entre un acoplador y un seguidor.
(𝑎 + 𝑑)2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2𝑏 ∗ 𝑐 ∗ cos 𝜇
cos 𝜇 =𝑏2 + 𝑐2 − (𝑎 + 𝑑)2
2𝑏𝑐
𝜇 = cos−1 [𝑏2 + 𝑐2 − (𝑎 + 𝑑)2
2𝑏𝑐]
39
No Grashof.
𝜇𝑣
} = 0° = 180°
(𝑑 − 𝑎)2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2𝑏 ∗ 𝑐 ∗ cos 𝜇
cos 𝜇 =𝑏2 + 𝑐2 − (𝑑 − 𝑎)2
2𝑏𝑐
𝜇 = cos−1 [𝑏2 + 𝑐2 − (𝑑 − 𝑎)2
2𝑏𝑐]
𝐼 𝐶𝑎𝑠𝑜
𝐼𝐼 𝐶𝑎𝑠𝑜
𝑣 = 180° 𝜇 = 180°
Δ𝑂2𝐴𝑂4
ℎ2 = 𝑎2 + 𝑑2 − 2𝑎𝑑 cos(𝜃2)
Δ𝐴𝑂4𝐵
ℎ2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2𝑏𝑐 cos(𝜇)
1
2
40
Determinando el ángulos de agarrotamiento
1 = 2
𝑎2 + 𝑑2 − 2𝑎𝑑 cos(𝜃2) = 𝑏2 + 𝑐2 − 2𝑏𝑐 cos(𝜇)
−cos 𝜇 =𝑎2 + 𝑑2 − 𝑏2 − 𝑐2
2𝑏𝑐−
2𝑎𝑑 cos(𝜃2)
2𝑏𝑐
𝑑𝜃
𝑑𝜇= 0
= − (−sin(𝜇) ∗ 𝑑𝜇
𝑑𝜇) =
−𝑎𝑑
𝑏𝑐(− sin(𝜃2)) ∗
𝑑𝜃2
𝑑𝜇
= sin(𝜇) =𝑎𝑑
𝑏𝑐(sin(𝜃2)) ∗
𝑑𝜃2
𝑑𝜇
𝑑𝜃2
𝑑𝜇=
𝑎𝑑
𝑏𝑐∗
(sin(𝜇))
(sin(𝜃2))
𝑏𝑐
𝑎𝑑∗
sin(𝜇)
sin(𝜃2))= 0
cos(0°, 180°) =
𝑏2 + 𝑐2 − 𝑎2 − 𝑑2
2𝑏𝑐∙
𝑎𝑑
𝑏𝑐cos( 𝜃2)
1−+ =
𝑏2 + 𝑐2 − 𝑎2 − 𝑑2
2𝑏𝑐∙
𝑎𝑑
𝑏𝑐cos( 𝜃2)
𝑎𝑑
𝑏𝑐cos( 𝜃2) =
𝑎2 + 𝑑2 − 𝑏2 − 𝑐2
2𝑏𝑐 1−
+
𝜃2 = cos−1 [𝑏𝑐
𝑎𝑑(𝑎2 + 𝑑2 − 𝑏2 − 𝑐2
2𝑏𝑐)]
41
RELACIÓN DE VELOCIDAD
𝑀𝑅 =𝜔 𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎
𝜔 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎
sin(𝑣) =𝑂2𝐴′̅̅ ̅̅ ̅̅
𝑂2𝐴̅̅ ̅̅ ̅
𝑂2𝐴′̅̅ ̅̅ ̅̅ = 𝑂2𝐴̅̅ ̅̅ ̅ ∙ sin(𝑣)
𝜔 𝐸𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 ∙ 𝑂2𝐴̅̅ ̅̅ ̅ ∙ sin(𝑣) = 𝜔 𝑆𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎 ∙ 𝑂4𝐵̅̅ ̅̅ ̅ ∙ sin(𝜇)
𝑀2 =𝜔 𝑆𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎
𝜔 𝐸𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎=
𝑂2𝐴̅̅ ̅̅ ̅ ∙ sin(𝑣)
𝑂4𝐵̅̅ ̅̅ ̅ ∙ sin(𝜇)
VENTAJA MECÁNICA
Relaciona fuerzas
Pequeña fuerza de entrada genera gran fuerza de salida, el cual depende de la distancia
sobre el cual se aplica la fuerza y a la geometría del mecanismo.
𝑇 = 𝐹 ∙ 𝑅
𝑃𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 = 𝐹 ∙ 𝑣 → 𝑀𝑜𝑣𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝐿𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙
𝑃𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 = 𝑇 ∙ 𝑣 → 𝑀𝑜𝑣𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝐶𝑖𝑟𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟
Eslabones Efectivos: par de eslabones
paralelos entre sí.
𝑉𝐴′ = 𝑉𝐵′
𝜔 𝐸𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 ∙ 𝑂2𝐴′̅̅ ̅̅ ̅̅ = 𝜔 𝑆𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎 ∙ 𝑂4𝐵′̅̅ ̅̅ ̅̅
𝑂4𝐵′̅̅ ̅̅ ̅̅ = 𝑂4𝐵̅̅ ̅̅ ̅ ∙ sin(𝜇)
Y
x
𝑉𝐵′
𝑉𝐴′
𝜔 𝐸𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎
𝜔 𝑆𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎
𝐸𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 =𝑃. 𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎
𝑃. 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎≤ 1
42
𝑃. 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 = 𝑃. 𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎 + 𝑃𝑒𝑟𝑑𝑖𝑑𝑎𝑠
𝑃. 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 = 𝑃. 𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎 + [𝐼𝑑𝑒𝑎𝑙𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒]
𝑇𝐸𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 ∙ 𝜔 𝐸𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 = 𝑇𝑆𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎 ∙ 𝜔 𝑆𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎
𝑇𝑆𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎
𝑇𝐸𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎=
𝜔 𝐸𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎
𝜔 𝑆𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎
𝑇 = 𝐹 ∙ 𝑑
𝐹𝑆𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎 ∙ 𝑅 𝑆𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎
𝐹𝐸𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 ∙ 𝑅 𝐸𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎=
1
𝑀𝑅
𝐹𝑠 ∙ 𝑟𝑠
𝐹𝑒 ∙ 𝑟𝑒=
1
𝑂2𝐴̅̅ ̅̅ ̅ ∙ sin(𝑣)
𝑂4𝐵̅̅ ̅̅ ̅ ∙ sin(𝜇)
𝐹𝑠 ∙ 𝑟𝑠
𝐹𝑒 ∙ 𝑟𝑒=
𝑂4𝐵̅̅ ̅̅ ̅ ∙ sin(𝜇)
𝑂2𝐴̅̅ ̅̅ ̅ ∙ sin(𝑣)
Ventaja Mecánica
𝑀𝑣 =𝐹𝑠
𝐹𝑒=
[𝑂4𝐵̅̅ ̅̅ ̅ ∙ sin(𝜇)] ∙ (𝑟 𝑒𝑛𝑡𝑟. )
[𝑂2𝐴̅̅ ̅̅ ̅ ∙ sin(𝑣)] ∙ (𝑟 𝑠𝑎𝑙. )
Ejercicio:
La figura es una herramienta plegadora, calcular la ventaja mecánica en la posición que se
muestra. F entrada =10 lbf.
43
Velocidad Deslizante
Un vector que varía en modulo y dirección.
Eje de transmisión → solo aquí se transmite la fuerza
ℎ = √(0.8)2 + (2.4)2 − 2(0.8)(2.4) cos(49)
ℎ = 1.97 ≅ 2
𝜇 = cos−1 [(1.23)2 + (1.55)2
2(1.23)(1.55)]
𝜇 = 88.7°
2
sin(49)=
2.4
sin(𝛼)
𝛼 = sen−1 [2.4 sin(49)
2]
𝛼 = 64.91
𝑀𝑣 =1.55 sin(88.7)
0.8 sin(64.3)∙
4.26
1
𝑀𝑣 = 9.2
𝐹𝑠 = (10𝑙𝑏𝑓)(9.2)
𝐹𝑠 = 92 𝑙𝑏𝑓
𝛾 = sen−1 [1.50 sin(88.7)
2]
𝛾 = 50.8
𝛼 + 𝛾 = 115.7°
𝑣 = 180° − 115.7°
𝑣 = 64.3°
44
Aceleración de Coriolis
𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒
𝑉𝐿 = 𝑉𝐴4 𝑑𝑒𝑠𝑙 = 𝑟 ∙ 𝜔
ECUACIÓN DE CIERRE
𝑅𝑃 = 𝑝 𝑒𝑖𝜃2
𝐷𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑝 𝑦 𝜃
𝑅�̇� = 𝑝 ∙ 𝑒𝑖𝜃2 ∙ 𝑖𝜃2̇ + 𝑒𝑖𝜃2 ∙ �̇�
𝜃2̇ = 𝜔 𝜃2̈ = 𝛼
�̇� = 𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝐷𝑒𝑠𝑙𝑖𝑧𝑎𝑛𝑡𝑒
�̈� = 𝐴𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝐷𝑒𝑠𝑙𝑖𝑧𝑎𝑛𝑡𝑒
𝑅�̈� = 𝑖(𝑝(𝑒𝑖𝜃2 ∙ 𝜃2̈ + 𝜃2̇ ∙ 𝑒𝑖𝜃2 ∙ 𝑖𝜃2̇) + 𝑒𝑖𝜃2 ∙ 𝑖𝜃2̇ ∙ �̇�) + 𝑝 ∙ 𝑒𝑖𝜃2 ∙ �̈� + �̇� ∙ 𝑒𝑖𝜃2 ∙ 𝑖𝜃2̇
𝑅�̈� = 𝑖𝑝(𝛼 ∙ 𝑒𝑖𝜃2 + 𝑖𝜔2 ∙ 𝑒𝑖𝜃2) + 𝑉𝑃𝑑𝑒𝑠𝑙. ∙ 𝜔 ∙ 𝑖𝑒𝑖𝜃2 + 𝑎𝑑𝑒𝑠𝑙. ∙ 𝑒𝑖𝜃2 + 𝑉𝑃𝑑𝑒𝑠𝑙. ∙ 𝜔 ∙ 𝑖𝑒𝑖𝜃2
𝑅�̈� = 𝑝 ∙ 𝛼 ∙ 𝑖𝑒𝑖𝜃2 − 𝜔2 ∙ 𝑝 ∙ 𝑒𝑖𝜃2 + 2𝑉𝑃𝑑𝑒𝑠𝑙. ∙ 𝜔 ∙ 𝑖 ∙ 𝑒𝑖𝜃2 + 𝑎𝑃𝑑𝑒𝑠𝑙. ∙ 𝑒𝑖𝜃2
Ac.Tangen. Ac.Centrip. Ac.Coriolis Ac.Dezl.
45
SÍNTESIS DE MECANISMOS
Proceso creativo: Crear o generar mecanismos
Síntesis de Gráfica (Función) Síntesis de Gráfica (Función)
Generación de Función
Generación de Trayectoria
Generación de Movimiento
Cualitativa: No necesita de algoritmos matemáticos que definan los parámetros
Cuantitativa: Algoritmo programable q define los parámetros de un mecanismo.
Tipo: Partes de mecanismos coexistentes que escoge una en base a las condiciones.
46
Síntesis mecanismos 2 posiciones gráfica y analíticamente.
SINTESIS GRÁFICA DEL MECANISMO
Figura 1. Mecanismo de descarga de “eslabón en V” de una transportadora de rodillos de papel.
El mecanismo mostrado en la figura 1 muestra un mecanismo transportado de rollos de papel
el cual traslada los rollos de papel de una posición inicial a una final. Para la síntesis de un
mecanismo que reemplace el cilindro motriz mostrado se utilizara una síntesis gráfica de
función debido a que el eslabón en “V” rota 90° y se lo puede considerar como el eslabón
seguidor de un mecanismo de cuatro barras que a continuación se diseñara.
Pasos para la síntesis del mecanismo de cuatro barras.
1. Dicho el eslabón seguidor del mecanismo girara de P1 a P2 un ángulo β en este caso 90°.
Figura 2. Puntos de control del mecanismo.
47
2. Mediante el software AutoCAD se señala el desplazamiento lineal que tendrá el
mecanismo y obtenemos la mitad de dicho segmento.
Figura 3. Desplazamiento lineal de P1 a P2.
3. Aleatoriamente se traza una línea aleatoria y se extiende el segmento P21 hasta que
cruce con dicha línea, el punto de cruce de dichas líneas será considerado como el punto
O2 del mecanismo.
Figura 4. Punto O2 del mecanismo.
4. Se mueve el segmento P2 M hacia el punto O2 el cual será la manivela del mecanismo
posteriormente se traza una línea del final de la manivela hacia el punto P1 el cual será
el acoplador del mecanismo.
48
Figura 5. Obtención manivela y acoplador del mecanismo.
5. Se dibuja todos los eslabones del mecanismo el cual será simulado para probar su
validez.
Figura 6. Mecanismo de 4 barras.
SINTESIS ANALÍTICA DEL MECANISMO
Diada 1.
𝜔2 + 𝑧2 − 𝑝21 − 𝑧1 − 𝜔1 = 0
𝜔𝑒𝑖(𝜃+𝛽2) + 𝑧𝑒𝑖(𝜑+𝛼2) − 𝑝21𝑒𝑖(𝛿2) − 𝑧𝑒𝑖(𝜑) − 𝜔𝑒𝑖(𝜃) = 0
𝜔𝑒𝑖(𝜃). 𝑒𝑖(𝛽2) + 𝑧𝑒𝑖(𝜑). 𝑒𝑖(𝛼2) − 𝑝21𝑒𝑖(𝛿2) − 𝑧𝑒𝑖(𝜑) − 𝜔𝑒𝑖(𝜃) = 0
𝜔𝑒𝑖(𝜃)(𝑒𝑖(𝛽2) − 1) + 𝑧𝑒𝑖(𝜑)(𝑒𝑖(𝛼2) − 1) − 𝑝21𝑒𝑖(𝛿2) = 0
𝜔{𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛𝜃}{cos 𝛽2 + 𝑖𝑠𝑒𝑛 𝛽2 − 1} + 𝑧{𝑐𝑜𝑠𝜑 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛𝜑}{𝑐𝑜𝑠𝛼2 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 𝛼2 −
1} − 𝑝21 {cos 𝛿2 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 𝛿2} = 0
𝜔{𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛𝜃} cos 𝛽2 + 𝜔𝑖 {𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛𝜃}𝑠𝑒𝑛𝛽2 − 𝜔{𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛𝜃} +
𝑧{𝑐𝑜𝑠𝜑 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛𝜑} cos 𝛼2 + 𝑧𝑖 {𝑐𝑜𝑠𝜑 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛𝜑}𝑠𝑒𝑛𝛼2 − 𝑧 {𝑐𝑜𝑠𝜑 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛𝜑} −
𝑝21 cos 𝛿2 − 𝑝21 𝑖 𝑠𝑒𝑛 𝛿2 = 0
𝜔 𝑐𝑜𝑠𝜃 cos 𝛽2 + 𝑖𝜔 𝑠𝑒𝑛𝜃 cos 𝛽2 + 𝑖𝜔 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑠𝑒𝑛𝛽2 − 𝜔 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑠𝑒𝑛𝛽2 − 𝜔𝑐𝑜𝑠𝜃 −
𝑖𝜔 𝑠𝑒𝑛𝜃 + 𝑧 𝑐𝑜𝑠𝜑 cos 𝛼2 + 𝑖𝑧 𝑠𝑒𝑛𝜑 cos 𝛼2 + 𝑖𝑧 𝑐𝑜𝑠𝜑 𝑠𝑒𝑛𝛼2 − 𝑧 𝑠𝑒𝑛𝜑 𝑠𝑒𝑛𝛼2 −
𝑧 cos 𝜑 + 𝑖𝑧 𝑠𝑒𝑛𝜑 − 𝑝21 cos 𝛿2 − 𝑖𝑝21 𝑠𝑒𝑛 𝛿2 = 0
P. REAL: 𝜔 𝑐𝑜𝑠𝜃 cos 𝛽2 − 𝜔 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑠𝑒𝑛𝛽2 − 𝜔𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑧 𝑐𝑜𝑠𝜑 cos 𝛼2 − 𝑧 𝑠𝑒𝑛𝜑 𝑠𝑒𝑛𝛼2 −
𝑧 cos 𝜑 − − 𝑝21 cos 𝛿2 = 0
P. IMAGINARIA: 𝜔 𝑠𝑒𝑛𝜃 cos 𝛽2 + 𝜔 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑠𝑒𝑛𝛽2 − 𝜔 𝑠𝑒𝑛𝜃 + 𝑧 𝑠𝑒𝑛𝜑 cos 𝛼2 +
𝑧 𝑐𝑜𝑠𝜑 𝑠𝑒𝑛𝛼2 + 𝑧 𝑠𝑒𝑛𝜑 − 𝑝21 𝑠𝑒𝑛 𝛿2 = 0
Ecuación 1.
𝜔 𝑐𝑜𝑠𝜃 {cos 𝛽2 − 1} − 𝜔 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑠𝑒𝑛𝛽2 + 𝑧 𝑐𝑜𝑠𝜑 {cos 𝛼2 − 1} − 𝑧 𝑠𝑒𝑛𝜑 𝑠𝑒𝑛𝛼2 − 𝑝21 cos 𝛿2
= 0
Ecuación 2.
𝜔 𝑠𝑒𝑛𝜃 {cos 𝛽2 − 1} + 𝜔 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑠𝑒𝑛𝛽2 + 𝑧 𝑠𝑒𝑛𝜑 {cos 𝛼2 − 1} + 𝑧 𝑐𝑜𝑠𝜑 𝑠𝑒𝑛𝛼2 −
𝑝21 𝑠𝑒𝑛 𝛿2 =0
A= 𝑐𝑜𝑠𝜃
B= cos 𝛽2 − 1
C= 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑠𝑒𝑛𝛽2
D= 𝑐𝑜𝑠𝜑
E= cos 𝛼2 − 1
F= 𝑠𝑒𝑛𝜑 𝑠𝑒𝑛𝛼2
G= 𝑝21 cos 𝛿2
H= 𝑠𝑒𝑛𝜃
I= 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑠𝑒𝑛𝛽2
J= 𝑠𝑒𝑛𝜑
K= 𝑐𝑜𝑠𝜑 𝑠𝑒𝑛𝛼2
𝐿 = 𝑝21 𝑠𝑒𝑛 𝛿2
1. ABω – Cω + ED z - Fz –G=0
ω(AB-C) + z (ED- F) – G=0
2. HB ω + I ω + EJ z +K z-L=0
ω (HB+I) +z(EJ+K)- L=0
[𝐴𝐵 − 𝐶 𝐸𝐷 − 𝐹𝐻𝐵 + 1 𝐸𝐽 + 𝐾
] ∗ [ω 𝑧
] = [𝐺𝐿
]
N=𝑀−1 ∗ 𝑂
M * N = O
Diada 2.
𝑢2 + 𝑠2 − 𝑝21 − 𝑧1 − 𝑢1 = 0
𝑢𝑒𝑖(𝜎+𝛾2) + 𝑠𝑒𝑖(𝜓+𝛼2) − 𝑝21𝑒𝑖(𝛿2) − 𝑠𝑒𝑖(𝜓) − 𝑢𝑒𝑖(𝜎) = 0
𝑢𝑒𝑖(𝜎). 𝑒𝑖(𝛾2) + 𝑠𝑒𝑖(𝜓). 𝑒𝑖(𝛼2) − 𝑝21𝑒𝑖(𝛿2) − 𝑠𝑒𝑖(𝜓) − 𝑢𝑒𝑖(𝜎) = 0
𝑢𝑒𝑖(𝜎)(𝑒𝑖(𝛾2) − 1) + 𝑠𝑒𝑖(𝜓)(𝑒𝑖(𝛼2) − 1) − 𝑝21𝑒𝑖(𝛿2) = 0
𝑢{𝑐𝑜𝑠𝜎 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛𝜎}{cos 𝛾2 + 𝑖𝑠𝑒𝑛 𝛾2 − 1} + 𝑠{𝑐𝑜𝑠𝜓 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛𝜓}{𝑐𝑜𝑠𝛼2 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 𝛼2 − 1} −
𝑝21 {cos 𝛿2 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 𝛿2} = 0
𝑢{𝑐𝑜𝑠𝜎 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛𝜎} cos 𝛾2 + 𝑢𝑖 {𝑐𝑜𝑠𝜎 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛𝜎}𝑠𝑒𝑛𝛾2 − 𝑢{𝑐𝑜𝑠𝜎 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛𝜎} + 𝑠{𝑐𝑜𝑠𝜓 +
𝑖 𝑠𝑒𝑛𝜓} cos 𝛼2 + 𝑠𝑖 {𝑐𝑜𝑠𝜓 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛𝜓}𝑠𝑒𝑛𝛼2 − 𝑠 {𝑐𝑜𝑠𝜓 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛𝜓} − 𝑝21 cos 𝛿2 −
𝑝21 𝑖 𝑠𝑒𝑛 𝛿2 = 0
𝑢 𝑐𝑜𝑠𝜎 cos 𝛾2 + 𝑖𝑢 𝑠𝑒𝑛𝜎 cos 𝛾2 + 𝑖𝑢 𝑐𝑜𝑠𝜎 𝑠𝑒𝑛𝛾2 − 𝑢 𝑠𝑒𝑛𝜎 𝑠𝑒𝑛𝛾2 − 𝑢𝑐𝑜𝑠𝜎 − 𝑖𝑢 𝑠𝑒𝑛𝜎 +
𝑠 𝑐𝑜𝑠𝜓 cos 𝛼2 + 𝑖𝑠 𝑠𝑒𝑛𝜓 cos 𝛼2 + 𝑖𝑠 𝑐𝑜𝑠𝜓 𝑠𝑒𝑛𝛼2 − 𝑠 𝑠𝑒𝑛𝜓 𝑠𝑒𝑛𝛼2 − 𝑠 cos 𝜓 + 𝑖𝑠 𝑠𝑒𝑛𝜓 −
𝑝21 cos 𝛿2 − 𝑖𝑝21 𝑠𝑒𝑛 𝛿2 = 0
P. REAL: 𝑢 𝑐𝑜𝑠𝜎 cos 𝛾2 − 𝑢 𝑠𝑒𝑛𝜎 𝑠𝑒𝑛𝛾2 − 𝑢𝑐𝑜𝑠𝜎 + 𝑠 𝑐𝑜𝑠𝜓 cos 𝛼2 − 𝑠 𝑠𝑒𝑛𝜓 𝑠𝑒𝑛𝛼2 − 𝑠 cos 𝜓 −
− 𝑝21 cos 𝛿2 = 0
P. IMAGINARIA: 𝑢 𝑠𝑒𝑛𝜎 cos 𝛾2 + 𝑢 𝑐𝑜𝑠𝜎 𝑠𝑒𝑛𝛾2 − 𝑢 𝑠𝑒𝑛𝜎 + 𝑠 𝑠𝑒𝑛𝜓 cos 𝛼2 + 𝑠 𝑐𝑜𝑠𝜓 𝑠𝑒𝑛𝛼2 +
𝑧 𝑠𝑒𝑛𝜓 − 𝑝21 𝑠𝑒𝑛 𝛿2 = 0
Ecuación 1.
𝑢 𝑐𝑜𝑠𝜎 {cos 𝛾2 − 1} − 𝑢 𝑠𝑒𝑛𝜎 𝑠𝑒𝑛𝛾2 + 𝑠 𝑐𝑜𝑠𝜓 {cos 𝛼2 − 1} − 𝑠 𝑠𝑒𝑛𝜓 𝑠𝑒𝑛𝛼2 − 𝑝21 cos 𝛿2 = 0
Ecuación 2.
𝑢 𝑠𝑒𝑛𝜎 {cos 𝛾2 − 1} + 𝑢 𝑐𝑜𝑠𝜎 𝑠𝑒𝑛𝛾2 + 𝑠 𝑠𝑒𝑛𝜓 {cos 𝛼2 − 1} + 𝑠 𝑐𝑜𝑠𝜓 𝑠𝑒𝑛𝛼2 − 𝑝21 𝑠𝑒𝑛 𝛿2 = 0
A= 𝑐𝑜𝑠𝜎
B= cos 𝛾2 − 1
C= 𝑠𝑒𝑛𝜎 𝑠𝑒𝑛𝛾2
D= 𝑐𝑜𝑠𝜓
E= cos 𝛼2 − 1
F= 𝑠𝑒𝑛𝜓 𝑠𝑒𝑛𝛼2
G= 𝑝21 cos 𝛿2
H= 𝑠𝑒𝑛𝜎
I= 𝑐𝑜𝑠𝜎 𝑠𝑒𝑛𝛾2
J= 𝑠𝑒𝑛𝜓
K= 𝑐𝑜𝑠𝜓 𝑠𝑒𝑛𝛼2
L= 𝑝21 𝑠𝑒𝑛 𝛿2
1. ABu – Cu + ED s - Fs –G=0
u(AB-C) + s (ED- F) – G=0
2. HB u + I u + EJ s +K s-L=0
u (HB+I) + s(EJ+K)- L=0
M * N = O [𝐴𝐵 − 𝐶 𝐸𝐷 − 𝐹𝐻𝐵 + 1 𝐸𝐽 + 𝐾
] ∗ [u 𝑠
] = [𝐺𝐿
]
N=𝑀−1 ∗ 𝑂
Figura 7. Mecanismo diseñado por síntesis analítica
