LUZ E ILUMINACIN OBJETIVOS Despus de completar el estudio se este tema podr usted: 1.Analizar la investigacin histrica acerca de la naturaleza de la luz y explicar porque la luz a veces se comporta como onda y otras veces como partculas. 2.Describirlasgrandesclasificacionesenelespectroelectromagnticoquesebasanenla frecuencia, la longitud de onda o la energa. 3.Escribir y aplicar formulas para mostrar la relacin entre la velocidad, la longitud de onda y la frecuencia; y entre la energa y la frecuencia, en el caso de la radiacin electromagntica. 4.Describirlosdiversosexperimentosquepermitenhacerunaestimacinrazonabledela velocidad de la luz. 5.Ilustrarcondibujossucomprensindelaformacindesombras,diferenciandoumbra (sombra) y penumbra. 6.Demostrarquehacomprendidolosconceptosdeflujoluminoso,intensidadluminosae iluminacin. Una barra de hierro en reposo sobre una mesa se encuentra en equilibrio trmico con todo lo queestasualrededor.Porsuaparienciaexternaunojamssospecharaqueinternamenteesta activa. Todos los objetos continuamente emiten energa trmica radiante que esta relacionada con su temperatura. La barra esta en equilibrio trmico tan slo porque irradia y absorbe energa con la misma rapidez. Si se rompe el equilibrio al poner un extremo de la barra en contacto con una llama.labarrasevuelvemsactivaensuinterioryemiteenergatrmicaconmayorrapidez. Mientraselcalentamientocontinahastaalcanzarmsomenos600C.Partedelaradiacin emitida desde la barra se vuelve visible. lo cual significa que afecta nuestro sentido de la vista. El color de la barra se torna rojo claro y se va volviendo ms brillante a medida que se le suministra ms calor. La energa radiante emitida por este objeto, antes de que dicho efecto se haga visible, consiste enondaselectromagnticasdelongitudes de onda mayores que la correspondiente a la luz roja. Las ondas de ese tipo se conocen como rayos infrarrojos, lo cual significa "por debajo del rojo". Silatemperatura.delabarraseincrementahastaaproximadamente3000C,seponealrojo blanco, lo que indica una extensin an ms amplia de la energa radiante en la regin visible. Este ejemplo establece las bases para nuestro estudio sobre la luz. La naturaleza de la luz no es fundamentalmentedistintadelanaturalezadeotrostiposderadiacioneselectromagnticas,por ejemplo, el calor, las ondas de radio, o la radiacin ultravioleta. La caracterstica que distingue a la luz de otras radiaciones es su energa. La luz es radiacin electromagntica capaz de afectar el sentido de la vista. El contenido de energa de la luz visible vara de aproximadamente de 2.8 X 10 19J a casi 5.0 x 10-19 J. LUZEILUMINACIN -1QUE ES LA LUZ? La respuesta a esta pregunta ha sido en extremo huidiza a travs de la historia de la ciencia. La larga bsqueda realizada para encontrar tal respuesta es un ejemplo que nos sirve de modelo a fin de ilustrar el procedimiento cientfico aplicable en la resolucin de un problema. Cada una de las hiptesis que surgieron con miras a explicar la naturaleza de la luz se puso a prueba, tanto lgica como experimentalmente. La afirmacin de los filsofos de la antigedad acerca de que los rayos visuales eran emitidos por el ojo hasta llegar al objeto percibido, fracas desde el punto de vista lgico y tambin en el plano experimental. A fines del siglo XVII se propusieron dos teoras para explicar la naturaleza de la luz, la teora de partculas (corpuscular) y la teora ondulatoria. El principal defensor de la teora corpuscular fue Sir Isaac Newton. La teora ondulatoria era apoyada por Christan Huygens (1629-1695), que eraunmatemticoycientficoholands,13aosmayorqueNewton.Cadaunadeesasteoras intentabaexplicarlascaractersticasdelaluzobservadasenesapoca.Lastrescaractersticas principalesse resumen a continuacin: 1. Propagacin rectilnea: La luz viaja en lnea recta. 2. Reflexin: Cuando la luz incide en una superficie lisa, regresa a su medio original. 3.Refraccin: La trayectoria de la luz cambia cuando penetra en un medio transparente. Deacuerdoconlateoracorpuscular,laspartculasmuypequeas,demasainsignificante, eran emitidas por fuentes luminosas tales como el sol o una llama. Estas partculas viajaban hacia afuera de la fuente en lneas rectas a enormes velocidades. Cuando las partculas entraban al ojo, se estimulaba el sentido de la vista. La propagacin rectilnea se explicaba fcilmente en trminos departculas.Enrealidad,unodelosmsfuertesargumentosafavordelateoracorpusculrsebasenestapropiedad.Sepensabaquelaspartculasproducansombrasconcontornosbien definidos como se muestra en la figura 1(a), mientras que las ondas pueden flexionarse alrededor de los bordes. Dicha flexin de las ondas, como muestra la figura 1(b)se llama difraccin. Figura 1. Un poderoso argumento en apoyo de la teora corpuscular de la materia es la formacin de sombras ntidas. Se sabe que las ondas se flexionan cuandoencuentran obstculos en su trayectoria. Las sombras ntidas que se forman bajo los rayos luminosos hicieron pensar a Newton que la luz tena que consistir en partculas. Huygens, por otra parte, explic que la flexin de las ondas LUZEILUMINACIN -2acuticasylasondassonorasalrededordelosobstculosseapreciabafcilmentedebidoasus grandeslongitudesdeonda.Elrazonabaquesilaluzeraenrealidadunaseriedeondascuya longitud de onda era corta, dara lugar a una sombra bien definida. puesto que el grado de flexin sera pequeo. Eradifcilexplicarporqulaspartculasqueviajabanenlneasrectasprovenientesdegran nmero de direcciones podan cruzarse sin estorbarse entre s. En un trabajo publicado en 1690, Huygens escribi: Si,msan,prestamosatencinyvaloramoslaextraordinariavelocidadconquelaluzsepropagaentodasdirecciones,tomandoencuentaelhechodequeprovienededirecciones diferenteseinclusoopuestas,losrayossepenetransinobstaculizarse.porloquepodemos entender que siempre que veamos un objeto luminoso, esto no puede deberse a la transmisin de materia que nos llega desde el objeto, como si fuera un proyectil o una flecha volando atravs del aire.

Huygens explic la propagacin de la luz en trminos del movimiento de una perturbacin a travs de la distancia entre una fuente y el ojo. Bas su argumento en un sencillo principio que es tilanenlaactualidadparadescribirlapropagacindelaluz.supongaquesedejacaeruna piedra en un estanque de agua en reposo. Se produce as una perturbacin que se mueve en una seriedeondasconcntricas,alejndosedellugardelimpacto.Laperturbacincontinaincluso despusdequelapiedratocaelfondodelestanque.EsetipodeejemploindujoaHuygensa postularquelasperturbacionesqueseproducenentodoslospuntosalolargodeunfrentede ondas en movimiento en un instante determinado, pueden considerarse como fuentes de onda enel siguiente instante. El principio de Huygens establece: Cadapuntodeunfrentedeondaqueavanzapuedeconsiderarseunafuentedeondas secundariasllamadaspequeasondas.Lanuevaposicindelfrentedeondaenvuelvealas pequeas ondas emitidas desde todos los puntos del frentede onda en su posicin previa.

La aplicacin de este principio se ilustra en la figura 2 para los casos frecuentes de una onda plana y de una onda circular. Figura 2. Principio de Huygens (a) para una onda esfrica y (b) para una onda plana. El principio de Huygens tuvo un particular xito para explicar la reflexin y la refraccin. La figura 3 muestra cmo se puede utilizar este principio para explicar la flexin de la luz al pasar delairealagua.Cuandolasondasplanasgolpeanlasuperficiedelaguaconciertongulo,los LUZEILUMINACIN -3puntos A, C y E se vuelven las fuentes de nuevas ondas pequeas. La envoltura de estas pequeas ondas secundarias indica un cambio en la direccin. Se puede elaborar una construccin similar para explicar la reflexin. La reflexin y la refraccin se explicaron fcilmente en trminos de la teora corpuscular. Las figuras4y5ilustranlosmodelosquesepuedenusarparaexplicarlareflexinylarefraccin sobrelabasedecorpsculosminsculos.Laexistenciadepartculasperfectamenteelsticasde masa insignificante que rebotan en una superficie elstica podran explicar la reflexin regular de la luz en superficies lisas. La refraccin puede ser anloga al cambio de direccin de una pelota queruedaalencontrarseunapendiente.Estaexplicacinrequeraquelaspartculasdeluz viajaran ms rpido en el medio de refraccin, mientras que la teora ondulatoria necesitaba que la luz viajara ms despacio en el medio de refraccin. Newton acept que si se pudiera demostrar quelaluzviajamslentamenteenunmediomaterialdeloquetardaenelaire,tendraque abandonar la teora corpuscular. No fue sino hasta mediados del siglo XIX cuando Jean Foucault demostr en forma convincente que la luz viaja ms lentamente en el agua que en el aire. Figura 3. Explicacin de Huygens acerca de la refraccin en trminos de la teora ondulatoria. Figura 4. Explicacin de la reflexin en trminos de la teora corpuscular de la luz. LUZEILUMINACIN -4 Figura5. La refraccin de la luz cuando pasa del aire a otro medio explicada por medio de un ejemplo mecnico. PROPAGACION DE LA LUZ Eldescubrimientodelainterferenciayladifraccinen1801yen1816inclinoeldebateal apoyofirmedelateoraondulatoriadeHuygens.Sinduda,lainterferenciayladifraccinse podanexplicarnicamenteentrminosdelateoraondulatoria.Sinembargo,anquedabaun problemasinresolver:secreaquetodoslosfenmenosondulatoriosrequeranlaexistenciade un medio de transmisin. As, por ejemplo, podan viajar las ondas a travs del vaco si no haba nadaque"vibrara"?Adems,cmopodralaluzllegaralaTierradesdeelSolodesdeotras estrellasatravsdemillonesdemillasdeespaciovaco?Paraevitarestacontradiccin,los fsicospostularonlaexistenciadeuntertransportadordeluz.Sepensqueestemedio universal,quelopenetrabatodo,llenabatodoelespacioentretodosloscuerposmaterialesy dentrodeellos.Pero,culeslanaturalezadeeseeter?Conseguridadnopodaserungas,un slidoounliquidoqueobedecieralasleyesfsicasconocidasenesetiempo.Sinembargo,no podadesecharselateoraondulatoriatomandoencuentalaspruebasdelainterferenciayla difraccin. No pareca haber opcin posible salvo definir el ter como "el que transporta luz". En1865,unfsicoescocs,JamesClerkMaxwell,emprendilatareadedeterminarlas propiedades de un medio que pudiera transportar luz y adems tomar parte en la transmisin del calorylaenergaelctrica.Sutrabajodemostrqueunacargaaceleradapuederadiarondas electromagnticas en el espacio. Maxwell explic que la energa en una onda electromagntica se divideporigualentreloscamposelctricosymagnticosquesonperpendicularesentres. Amboscampososcilanenformaperpendicularaladireccindepropagacindelaonda,como muestra la figura 6. Por lo tanto, una onda luminosa no tendra que depender de una materia que vibrara.Sepropagaramediantecampososcilatoriostransversales.Unaondadeesetipo "surgira" de los alrededores de una carga acelerada y cruzara el espacio con la velocidad de la luz. Las ecuaciones de Maxwell predijeron que el calor y la accin elctrica, al igual que la luz, se propagaban ala velocidad de la luz como perturbaciones electromagnticas. LaconfirmacinexperimentaldelateoradeMaxwellfuelogradaen1885porH.R.Hertz, quien prob que la radiacin de la energa electromagntica puede ocurrir a cualquier frecuencia. Es decir, la luz, la radiacin trmica y las ondas de radio son de la misma naturaleza, y todas ellas LUZEILUMINACIN -5viajan a la velocidad de la luz (3 X 108 m/s). Todos los tipos de radiacin pueden ser reflejados, enfocadosmediantelentes,polarizados,etctera.Parecaquelanaturalezaondulatoriadelaluz no poda ya ser puesta en duda. Laconfirmacindelateoraelectromagnticadespejelcaminoparalacadadelpostulado del "ter transportador de luz". En 1887, A. A. Michelson, un fsico estadounidense, demostr en formacontundentequelavelocidaddelaluzesconstante,independientementedelmovimiento delafuente.Nopudoencontrarningunadiferenciaentrelavelocidaddelaluzalviajaren direccin al movimiento de la Tierra y al viajar en direccin opuesta a dicho movimiento. Figura 6. La teora electromagntica sostiene que la luz se propaga como campos transversales oscilatorios. La energa se divide por igual entre las campos elctrico E y magntico B, que son perpendiculares entre s. ESPECTRO ELECTROMAGNTICO Actualmente se sabe que el intervalo de frecuencias del espectro electromagntico es enorme. Enlafigura7sepresentaunesquemade dicho espectro. La longitud de onda de la radiacin electromagntica esta relacionada con su frecuenciaf mediante la ecuacin general: c = f donde c es la velocidad de la luz (3 X 108 m/s). LUZEILUMINACIN -6 Figura 7. Espectro electromagntico. Debidoalaspequeaslongitudesdeondadelaradiacinluminosa,esmsconveniente definir unidades de medida menores. La unidad del SI es el nanmetro (nm). Un nanmetro (1 nm) se define como la milmillonsima parte de un metro. 1 nm = 10-9 m = 10-7 cm. Lareginvisibledelespectroelectromagntico se extiende desde 400 nm para la luz violeta hasta aproximadamente 700 nm para la luz roja. Otras antiguas unidades son el milimicrn (m), LUZEILUMINACIN -7que es igual al nanmetro, y el angstrom (), que es igual a 0.1 nm. EJEMPLO 1 . La longitud de onda de la luz amarilla de una llama de sodio es de 589 nm. Calcule su frecuencia. Solucin La frecuencia se calcula a partir de la ecuacin c = f f = c/ =3x 10 8/ 589 x 10-9 m = 5.09 x 1014 Hz Newton fue el primero en estudiar detalladamente la regin visible dispersando la "luz blanca" atravsdeunprisma.Enordendelongitudesdeondacreciente,loscoloresdelespectroson: violeta ( 450 nm), azul ( 480 nm), verde (520 nm), amarillo (580 nm) anaranjado (600 nm) y rojo (640 nm). Quien haya visto un arco iris se ha dado cuenta de los efectos que tienen las diferentes longitudes de onda de la luz sobre el ojo humano.

Figura 8. Parte visible del espectro electromagnetico. El espectro electromagntico es continuo; no hay separaciones entre una forma de radiacin y otra.Loslmitesestablecidossontansloarbitrarios,dependiendodenuestracapacidadpara percibirdirectamenteunapequeaporcinyparadescubrirymedirlasporcionesquequedan fuera de la regin visible. Elprimerdescubrimientoderadiacinconlongitudesdeondamayoresquelas correspondientesalaluzrojafuerondescubiertasporWilliamHerschelen1800.Estasondas actualmente se conocen como radiacin trmica y se les llama ondas infrarrojas. Poco despus del descubrimiento de las ondas infrarrojas, se observ tambin la radiacin de longitudesdeondamscortasquelaluzvisible.Estasondas,ahoraconocidascomoondas ultravioletas,sedescubrieronporsurelacinconelefectoquetienensobreciertasreacciones qumicas. Laextensindelaregininfrarrojahaciamayoreslongitudesdeondanoseconocienla mayor parte del siglo XIX. Por fortuna, la teora electromagntica de Maxwell abri la puerta al descubrimientodemuchasotrasclasificacionesderadiacin.Elespectrodelasondas electromagnticas en la actualidad se ha dividido por conveniencia en ocho regiones principales queaparecenenlafigura7:(1)ondaslargasderadio,(2)ondascortasderadio,(3)laregin infrarroja,(4)lareginvisible,(5)lareginultravioleta,(6)rayosX,(7)rayosgammay(8) fotones cosmicos. LUZEILUMINACIN -8 LA TEORA CUNTICA LostrabajosdeMaxwellydeHertzrespectoalestablecimientodelanaturaleza electromagntica de las ondas de luz, fue en realidad uno de los hechos ms trascendentes en la historia de la ciencia. No slo explicaron la naturaleza de luz, sino que dieron paso a un enorme intervalo de ondas electromagnticas. Resulta sorprendente que tan slo dos aos despus de que HertzverificaralasecuacionesdeondadeMaxwell,lateoraondulatoriadelaluzhayatenido queenfrentarunnuevoreto.En1887,Hertzobservqueunachispaelctricapodasaltar fcilmenteentredosesferascargadascuandosussuperficiesestabaniluminadaporlaluzque provenadeotrachispa.Estefenmeno,conocidocomoefectofotoelctrico,sedemostr medianteelaparatoquesemuestraenlafigura9.Unhazdeluzincidesobrelasuperficie metlica A en un tubo al vaco. Los electrones emitidos por la luz son enviados al colector B por mediodebaterasexternas.Elflujodeelectronessedetectamedianteundispositivollamado ampermetro.Elefectofotoelctricoesundesafoparalaexplicacinentrminosdelateora ondulatoria. En realidad, la emisin de electrones puede explicarse ms fcilmente a travs de la antiguateoracorpuscular.Sinembargo,tampocoquedabandudasacercadelaspropiedades ondulatorias. La ciencia se enfrent a una paradoja sorprendente. Figura 9. Efecto fotoelctrico. Elefectofotoelctrico,juntoconotrosexperimentosqueincluanlaemisinyabsorcinde energaradiante,nopodaexplicarsenicamentemediantelateoradeondaselectromagnticas de Maxwell. En un esfuerzo por lograr observaciones experimentales que apoyaran la teora, Max Planck,unfsicoalemnpublicsuhiptesiscunticaen1901.lencontrquelosproblemas con la teora de la radiacin se basaban en la suposicin de que la energa era radiada en forma continua. Se postul que la energa electromagntica se absorba o emita en paquetes discretos, o cuantos.Elcontenidodeenergadeestoscuantos,ofotones,comofueronllamados,es proporcional a la frecuencia de la radiacin. La ecuacin de Planck se puede escribir como: E = hf donde E = energa del fotn f = frecuencia del fotn LUZEILUMINACIN -9h = factor de proporcionalidad llamado constante de Planck (6.626 X 10-34 Js) En 1905, Einstein ampli la idea propuesta por Planck y postul que la energa en un haz de luz no se difunde en forma continua a travs del espacio. Al suponer que la energa luminosa est concentrada en pequeos paquetes (fotones) cuyo contenido de energa est dado por la ecuacin dePlanck,Einsteinfuecapazdepredecirelefectofotoelctricomatemticamente.Porfin,la teora se reconcili con la observacin experimental. Porconsiguiente,talparecequelaluzesdual.Lateoraondulatoriaseconserva,yaquese consideraqueelfotntieneunafrecuenciayunaenergaproporcionalalafrecuencia.Enla prctica actual se utiliza la teora ondulatoria cuando se estudia la propagacin de la luz. Por otra parte,lateoracorpuscularesnecesariaparadescribirlainteraccindelaluzconlamateria. Podemospensarenlaluzcomoenergaradiantetransportadaporfotonesytransmitidaporun campo ondulatorio. El origen de los fotones de luz no se comprendi sino hasta que Niels Bohr en 1913 propuso un modelo para el tomo basndose en ideas cunticas. Bohr postulo que los electrones se pueden moveralrededordelncleodeuntomonicamenteenciertasrbitasonivelesdeenerga discretos,comoseapreciaenlafigura10.Sedijoquelostomosestabancuantizados.Sien alguna forma se les suministra energa a los tomos, por ejemplo en forma de calor, los electrones orbitalespuedensaltaraunarbitasuperior.Algntiempodespus,estoselectronesexcitados caern de nuevo a su nivel original, liberando tantos fotones de energa como los que hayan sido absorbidosoriginalmente.AunqueelmodelodeBohrnoescorrectoensentidoestricto, estableci las bases para comprender la emisin y la absorcin de radiacin electromagntica en unidades cunticas. Figura 10. Teora del tomo de Bohr. VELOCIDAD DE LA LUZ Quizslavelocidaddelaluzeslaconstantemasimportanteutilizadaenlafsicaysu determinacinexactarepresentaunade las mediciones ms precisas que ha 1ogrado el hombre. Sumagnitudestangrande(aproximadamente186000mi/s)quelasmedicionesexperimentales fueron totalmente infructuosas hasta finales del siglo XVII. Era una creencia generalizada que la transmisin de la luz deba ser instantnea. Los primeros intentos por medir experimentalmente la velocidad de la luz los realiz Galileo LUZEILUMINACIN -10en1667.Enformaresumida,estemtodoconsistaenubicaradosobservadoresendostorres separadasporunadistanciaconocida.Durantelanocheseenviabansealesconlinternas.El segundoexperimentadordescubrasulinternaencuantopercibalasealdeluzhechaporel primerexperimentador.Deestemodo,lavelocidaddelaluzpodadeterminarseapartirdel tiempo requerido por la luz para viajar entre las dos torres. El experimento no fue concluyente y Galileosimplementesesumalaopiningeneralizadadequelatransmisindelaluzera instantnea.Dichoexperimentoactualmente nos parece ingenuo debido a que ahora conocemos la verdadera magnitud de la velocidad de la luz. Ochoaosdespus,elastrnomodansOlausRoemerrealizlaprimeramedicindela velocidad de la luz. l bas sus clculos en las irregularidades en la prediccin de los eclipses de unadelaslunasdelplanetaJpiter.Roemerhabamedidoelintervalodetiempoentreeclipses sucesivos durante varios aos. Observ una variacin uniforme en sus clculos cuando llevaba a cabosusmedicionesdesdediferentesporcionesdelarbitaterrestrealrededordelSol.Roemer sac la conclusin correcta de que las irregularidades en sus mediciones se deban a la distancia quetenaquerecorrerlaluzparallegaralaTierra.Basndoseensusmedicionesbastante inexactas, Roemer calcul que la velocidad de la luz era de 140000 mi/s. LaprimeramedicinterrestreconfiabledelavelocidaddelaluzfuerealizadaporA.H.L. Fizeau, un cientfico francs. En 1849, su experimento implic simplemente el clculo del tiempo necesario para que la luz recorriera una distancia conocida. Un diagrama esquemtico del aparato se muestra en la figura 11. Una rueda dentada giratoria W permite que la luz que proviene de la fuenteseainterrumpida,produciendounaseriededestelloscortos.Supongamosqueprimerola rueda est inmvil y que la luz pasa a travs de una de las aberturas entre los dientes. La luz que proviene de la fuente S es reflejada por la placa de vidrio semiplateada P a travs de la abertura delaruedayenunespejoplanoMlocalizadoapocasmillasdedistancia.Laluzreflejada retorna, pasa por una de las aberturas ya travs del vidrio P, para llegar as al observador O. Figura 11. Aparato de Fizeau para medir la velocidad de la luz. Ahorasupongaquelaruedadentadaestgirandoaunafrecuenciaconstante.Laluzdela fuente pasar a travs de la abertura A al espejo situado a cierta distancia y luego regresar a la rueda.Lafrecuenciarotacionaldelaruedaseajustadetalmodoquelaluzqueregresapase justamente por la abertura E. En estas condiciones, la luz de la fuente pasa por el borde 1 hacia el espejo y regresa a travs del borde 2. Por lo tanto, el tiempo requerido por la luz para recorrer la distancia conocida es el mismo que la rueda necesita para girar el ancho del hueco y de un diente. O sea que la velocidad de la luz es una funcin de la frecuencia conocida de rotacin de la rueda, y puede calcularse. Si la frecuencia se incrementa gradualmente, la luz ser interceptada de nuevo LUZEILUMINACIN -11hasta que reaparezca pasando por el borde 3. La velocidad de la luz calculada por Fizeau fue de 3.13 x 108 m/s.El error se atribuye a medidas inexactas. En1850,FoucaultrefinelaparatodesarrolladoporFizeaureemplazandolaruedadentada por un espejo giratorio. l es recordado sobre todo por sus mediciones de la velocidad de la luz en agua. Ofreci la primera prueba concluyente de que la luz viaja ms lentamente en el agua que en el aire. Probablemente ningn otro cientfico es ms recordado por sus trabajos acerca de la medicin delavelocidaddelaluzqueAlbertA.Michelson(1852-1931).Utilizandoelmtodode Foucault,fuecapazdeobtenermedicionesquefueronextremadamenteprecisas.Undiagrama esquemticodesuaparatosemuestraenlafigura12.Lafuentedeluz,unespejogiratoriode ocho lados, y el telescopio, se colocaron en el monte Wilson, California. Los espejos reflejantes secolocaronaunas22millasdelacimadelmonteSanAntonio.Apartirdelasdistancias conocidas y del tiempo requerido, Michelson determin que la velocidad de la luz en el aire es de 2.997x108m/s.Estevalorescomounadelasmedicionesmasprecisasquesebasanenel principio de Foucult. Figura 12. Mtodo de Michelson para medir la velocidad de la luz en el aire. Las investigaciones acerca de la velocidad de la luz han continuado hasta fechas recientes, en que las tcnicas lser han dado por resultado el valorc = 2.99792457 x 108 m/s quetieneunaexactituddeaproximadamente12partesen100millones.Estacifrasebasa,sin embargo,enlaviejadefinicindelmetroentrminosdelalongituddeondadelcriptn.El segundo se puede medir en la actualidad con una incertidumbre de slo una parte en 10 billones.Elmetrofueredefinidoen1983enfuncindelaunidaddetiempo.Paramayorprecisin,el metroquedestablecidocomoladistanciaquerecorrelaluzenuntiempode1/299792458s, medidoconunrelojdecesio.Estadecisindejestablecidaladefinicindelavelocidaddela luz como: c= 2.99792458 X 108 m/s (exactamente). LUZEILUMINACIN -12 Aproximacionestilesson3X108m/sy186000mi/s.Estosvaloressepuedenusarenla mayora de los clculos fsicos sin temor de cometer un error significativo. RAYOS DE LUZ Y SOMBRAS Una de las primeras propiedades de la luz que se estudiaron fue la propagacin rectilnea y la formacindesombras.Instintivamente,confiamosmuchoenestapropiedadparaestimar distancias, direcciones y formas. La formacin de sombras ntidas se aprovecha en un reloj solar paramedireltiempo.Enestaseccinestudiaremoscmopodemospredecirlaformacinde sombras. DeacuerdoconelprincipiodeHuygens,cadapuntoenunfrentedeondaenmovimiento puedeconsiderarsecomounafuentedepequeasondassecundarias.Elfrentedeondaen cualquierinstanteeslaenvolturadeestaspequeasondas.Porlotanto,laluzemitidaentodas direccionespormediodelafuentepuntualdeluzenlafigura13,puederepresentarseconuna serie de frentes de onda esfricos que se mueven alejndose de la fuente a la velocidad de la luzFigura 13. Un rayo es una lnea imaginaria trazada perpendicularmente a los frentes de onda que avanzan, lo que indica la direccin de la propagacin de la luz.. Paranuestrospropsitos,unafuentepuntualdeluzesaquellacuyasdimensionesson pequeas en comparacin con las distancias estudiadas. Observe que los frentes de onda esfricos sevuelvenprcticamentefrentesdeondaplanosencualquierdireccinespecficaadistancias muy alejadas de la fuente. Una lnea recta imaginaria trazada perpendicularmente a los frentes de ondaenladireccindelosfrentesdeondaenmovimientosellamarayo.Porsupuesto,hayun nmero infinito de rayos que parten de la fuente puntual. Cualquierobjetodecoloroscuroabsorbeluz,perounonegroabsorbecasitodalaluzque recibe. La luz que no es absorbida cuando golpea un objeto, es reflejada o transmitida. Si toda la luz que incide sobre un objeto se refleja o se absorbe, se dice que el objeto es opaco. Puesto que la luz no puede pasar a travs de un cuerpo opaco, se producir una sombra en el espacio situado atrsdelobjeto.Lasombraformadaporunafuentepuntualdeluzseilustraenlafigura14. Puesto que la luz se propaga en lneas rectas, los rayos que emergen de la fuente y pasan por los bordesdelobjetoopacoformandounasombrantidaproporcionalalaformadelobjeto.Esa regin en la cual no penetra la luz se llama umbral o sombra. Silafuentedeluzesdetipoextendidoynopuntual,lasombraconsistirendosporciones, comomuestralafigura15.Laporcininteriornorecibeluzdelafuenteyporlotantoesla umbra. La porcin exterior se denomina penumbra. Un observador dentro de la penumbra podra LUZEILUMINACIN -13verunaporcindelafuenteperonotodalafuente.Unobservadorsituadofueradeambas regionespodravertodalafuente.Loseclipsessolaresylunarespuedenestudiarsemediante construcciones de sombra similares. Figura 14. Sombra formada por una fuente puntual de luz. Figura 15. Sombras formadas por una fuente de luz extendida. FLUJO LUMINOSO Lamayoradelasfuentesdeluzemitenenergaelectromagnticadistribuidaenmltiples longitudesdeonda.Sesuministraenergaelctricaaunalmpara,lacualemiteradiacin.Esta energaradianteemitidaporlalmparaporunidaddetiemposellamapotenciaradianteo flujo radiante. Slo una pequea porcin de esta potencia radiante se encuentra en la regin visible: en la regin entre 400 y 700 nm. El sentido de la vista depende tan slo de la energa radiada visible o luminosa por unidad de tiempo. El flujo luminoso F es la parte de la potencia radiante total emitida por una .fuente de luz que es capaz de afectar el sentido de la vista. Enunalmparacomndeluzincandescente,sloaproximadamenteell0porcientodela energa radiante es flujo luminoso. La mayor parte de la potencia radiante no es luminosa. LUZEILUMINACIN -14 Elojohumanonoesigualmentesensibleatodosloscolores.Enotraspalabras,iguales potenciasradiantesdediferenteslongitudesdeondanoproducenlamismabrillantez.Una lmpara de luz verde de 40 W se ve ms brillante que una lmpara de luz azul de 40 W. La figura 16 muestra una grfica que indica la respuesta del ojo a diversas longitudes de onda. Observe que lacurvadesensibilidadtieneformadecampanacentradaaproximadamenteenlareginmedia delespectrovisible.Encondicionesnormales,el ojoesmssensiblealaluzverde-amarillade longituddeondade555nm.Lasensibilidaddecaerpidamenteparalongitudesdeondams largas y ms cortas. Figura 16. Curva de sensibilidad del ojo humano. Si la unidad elegida para el flujo luminoso debe corresponder a la respuesta sensitiva del ojo humano,esprecisodefinirunanuevaunidad.Elwatt(W)noessuficientedebidoaquelas sensaciones visuales no son las mismas para colores diferentes. Lo que se necesita es una unidad que mida la brillantez. Dicha unidad es el lumen (lm), el cual se determina por comparacin con una fuente patrn. Figura 17. Definicin de ngulo plano e expresado en radianes. Para comprender la definicin de un lumen en trminos de la fuente patrn, debemos primero desarrollarelconceptodeunnguloslido.Unnguloslidoenestereorradianes(sr)sedefine enlamismaformaqueunnguloplanosedefineenradianes.Enlafigura17elnguloen radianes es: LUZEILUMINACIN -15RS= rad donde S es la longitud del arco y R es el radio. En forma similar se define el ngulo slido en la figura 18. ste puede imaginarse como la abertura del extremo de un cono subtendido por un segmento de rea sobre la superficie esfrica. Un estereorradin (sr) es el ngulo slido subtendido en el centro de una esfera por un rea A sobre su superficie que es igual al cuadrado de su radio R. Figura 18. Definicin de ngulo slido en estereorradianes. En general, el ngulo slido en estereorradianes est dado por : 2RA= sr El estereorradin, al igual que el radin, es una cantidad adimencional. Igual que hay2 rad en un circulo completo, se puede demostrar con la ecuacin anterior que hay4 sr en una esfera completa. EJEMPLO 2. Qu ngulo slido se subtiende en el centro de una esfera de 8 m de dimetro por medio de un rea de 1.5 m2 sobre su superficie? Solucin De la ecuacin 2RA= ( )0938 . 045 . 122= = mm sr Ahoraestamosencondicionesdeaclararladefinicindeunaunidadquemideelflujo luminoso.Ellumensedefineporcomparacinconunafuentepatrnreconocida internacionalmente. LUZEILUMINACIN -16Un lumen (lm) es el flujo luminoso (o potencia radiante visible) emitido desde una abertura de 1/60 cm2 de una fuente patrn e incluido dentro de un ngulo slido de 1 sr. Lafuentepatrnconsisteenunrecipientehuecoquesemantienealatemperaturade solidificacindelplatino,aproximadamente1773C.Enlaprcticaesmsconvenienteusar lmparasincandescentesestndarquehansidocalibradasporcomparacinconunalmpara patrn. Otra definicin conveniente de lumen utiliza la curva de sensibilidad del ojo como base para establecer el flujo luminoso. Relacionndola con la fuente patrn, un1m se define en trminos de la potencia radiante de la luz verde-amarilla. Un lumen es equivalente a 1/680 W de luz verde-amarilla de 555 nm de longitud de onda. Para determinar el flujo luminoso emitido por luz de diferente longitud de onda, debe usarse la curva de luminosidad a fin de compensar la sensibilidad visual. EJEMPLO3.Unafuentedeluzrojamonocromtica(600nm)produceunapotenciaradiante visible de 4 W Cul es el flujo luminoso en lmenes? Solucin Si la luz fuera verde-amarilla (555 nm) en vez de roja, tendra un flujo luminoso F dado por: F = (680 lm/W)(4 W) = 2720 lm Apartirdelacurvadesensibilidad,laluzrojatieneunalongituddeondade600nmy produce aproximadamente el 59 por ciento de la respuesta obtenida con la luz verde-amarilla. As pues, el flujo luminoso que emana de la fuente de luz roja es: F= (0.59)(2720 lm) = 1600 lm El flujo luminoso con frecuencia se calcula en el laboratorio determinando la iluminacin que produce sobre un rea de superficie conocida. INTENSIDAD LUMINOSA Laluzviajaradialmentehaciaafueraenlneasrectasdesdeunafuentequeespequeaen comparacinconsusalrededores.Paraunafuente de luz de ese tipo, el flujo luminoso incluido enunnguloslidopermaneceigualacualquierdistanciadelafuente.Porlotanto,con frecuenciaesmstilhablardelflujoporunidaddenguloslidoquehablarsimplementedel flujo total. La cantidad fsica que expresa esta relacin se llama intensidad luminosa. La intensidad luminosa I de una fuente de luz es el flujo luminoso F emitido por unidad de ngulo slido . =FI LUZEILUMINACIN -17 La unidad de intensidad es el lumen por estereorradin (lm/sr), llamada candela. La candela o buja,comoavecesselellama,seorigincuandoelpatrninternacionalqueddefinidoen trminosdelacantidaddeluzemitidaporlallamadeciertabuja.Estepatrnnoresult adecuado y se reemplaz finalmente por el patrn de platino. EJEMPLO4.Lamayoradelasfuentesdeluztienendiferentesintensidadesluminosasen diferentesdirecciones.Unafuenteisotrpicaesaquellaqueemiteuniformementeluzentodas direcciones. Cul es el flujo luminoso total emitido por una fuente isotrpica de intensidad I? Solucin A partir de la ecuacin anterior, el flujo est dado por: F = I El ngulo slido total para una fuente isotrpica es 4 sr. Por lo tanto, F = 4I EJEMPLO 5. Un proyector de luz est equipado con una lmpara de 40 cd que concentra un haz deluzsobreunaparedvertical.Elhazcubreunreade9m2delapared,yelproyectorest situado a 20 m de dicha pared. Calcule la intensidad luminosa del proyector. Solucin El flujo total emitido por la lmpara de 40 cd es: F = 4I = (4)(40 cd) = 160 lm Este flujo total se concentra por medio de reflectores y lentes en un ngulo slido dado por: ( )srmmRA0225 . 0209222= = = La intensidad del haz se encuentra a partir de la ecuacin I = F/ : cd xsrlm FI410 23 . 20225 . 0160= == Observe que las unidades de intensidad ( cd) y las unidades de flujo (lm) son iguales desde el puntodevistadimensional.Estosucededebidoaqueelnguloslidoenestereorradianeses adimensional. ILUMINACION Si la intensidad de la fuente aumenta, el flujo luminoso transmitido a cada unidad de rea en la vecindad de la fuente tambin aumenta. La superficie aparece ms brillante. En la medicin de la eficiencialuminosa,elingenieroseinteresaenladensidaddelflujoluminososobreuna superficie. Esto nos lleva entonces a analizar la iluminaci6n de una superficie. LUZEILUMINACIN -18 La iluminacin E de una superficie A se define como el flujo luminoso F por unidad de rea. AFE = Cuando el flujo F se mide en lumenes y el rea A en metros cuadrados, la iluminacin E tiene las unidades de lumenes por metro cuadrado o lux (lx). Cuando A se expresa en pies cuadrados, E se da en lmenes por pies cuadrados. Al lumen por 1 pie cuadrado a veces se le denomina buja-pie.Laaplicacindirectadelaecuacinrequiereunconocimientodelflujoluminosoqueincide en una superficie dada. Desafortunadamente, el flujo de las fuentes de luz comunes es difcil de determinar. Por esta razn, la ecuacin se usa con ms frecuencia para calcular el flujo cuando A se conoce, y E se calcula , a partir de la intensidad medida. Para entender la relacin entre intensidad e iluminacin, consideremos una superficie A a una distancia R de una fuente puntual de intensidad I, como muestra la figura 19. El ngulo slido subtendido por la superficie en la fuente es: 2RA= donde el rea A es perpendicular a la luz emitida. Figura 19. Clculo de la iluminacin de una superficie perpendicular al flujo luminoso incidente. Si el flujo luminoso forma un ngulo con la normal a la superficie, como muestra la figura 24-19, debemos considerar el rea proyectada A cos . sta representa el rea efectiva que el flujo "ve". Por lo tanto, el ngulo slido, en general, se puede determinar a partir de: 2cosRA = LUZEILUMINACIN -19 Despejando el flujo luminoso F en la ecuacin =FI , obtenemos: 2cosRIAI F= = Ahora ya es posible expresar la iluminacin como una funcin de la intensidad. Sustituyendo la ecuacin anterior en la ecuacin que define la iluminacin nos queda: 2cosARIAAFE= = o bien; 2cosRIE= Para el caso especial en el que la superficie es normal al flujo, = 0, y la ecuacin anterior se simplifica quedando: 2RIE = Debeverificarquelasunidadesdecandelapormetrocuadradoseanequivalentes dimensionalmente a las unidades de lmenes por metro cuadrado o lux. Figura 20. Cuando una superficie forma un ngulo con el flujo luminoso incidente, la .iluminacin E es proporcional a la componente A cos de la superficie perpendicular al flujo luminoso. LUZEILUMINACIN -20 EJEMPLO6.Unalmparaincandescentede100Wtieneunaintensidadluminosade125cd. Cul es la iluminacin de una superficie situada a 3 ft abajo de la lmpara? Solucin Sustituyendo directamente en la ecuacin 2RIE =, obtenemos: ( )22 29 . 133125ftlmftcdRIE = = = EJEMPLO 7.Una lmpara de filamento de tungsteno cuya intensidad es de 300 cd est situada a 2.0mdeunasuperficiede0.25m2derea.Elflujoluminosoformaunngulode30conla normalalasuperficie.(a)Culeslailuminacin?(b)Culeselflujoluminosoquechoca contra la superficie? (Consulte la figura 20). Solucin (a) La iluminacin se encuentra directamente a partir de la ecuacin 2cosRIE= . ( )( )( )lxmcdRIEo65230 cos 300 cos22= = = Solucin (b) ElflujoqueincideenlasuperficiesedeterminadespejandoFdelaecuacinAFE = .De modo que: F = EA = (65 lx)(0.25 m2) = 16.2 lm. Lasecuacionesanterioresqueincluyenlailuminacinyladensidadluminosason formulacionesmatemticasdelaleydelrecprocodelcuadrado.quepuedeenunciarseenla siguiente forma: La iluminacin de una superficie es proporcional a la intensidad luminosa de una fuente de luz puntual y es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia. Si la luz que ilumina una superficie se eleva el doble de su altura original. la iluminacin ser solamentelacuartapartedeltotal.Sisetriplicaladistanciadelalmpara,lailuminacinse reduceaunanovenapartedeltotal.Enlafigura21seilustraestarelacindelrecprocodel cuadrado. LUZEILUMINACIN -21 Figura 21. La intensidad luminosa I es constante para un ngulo slido dado . Sin embargo, la iluminacin E (flujo por unidad de rea) disminuye en proporcin al cuadrado de la distancia a la fuente de luz. LUZEILUMINACIN -22REFLEXION Y ESPEJOS OBJETIVOS Despus de completar el estudio de este temapodr usted: 1.Demostrar,mediantedefinicioneseilustraciones,quehacomprendidolossiguientes trminos:imgenesvirtuales,imgenesreales,espejoconvergente,espejodivergente, amplificacin, longitud focal y aberracin esfrica. 2.Usar tcnicas de trazado de rayos para construir imgenes formadas por espejos esfricos. 3.Predecir matemticamente la naturaleza, el tamao y la ubicaci6n de imgenes formadas por espejos esfricos. 4.Determinarlaamplificaciny/olalongitudfocaldeespejosesfricosmediantemtodos matemticos y experimentales. El ojo responde a la luz. Es posible ver todos los objetos gracias a la luz, ya sea por la luz que emiteelobjetooporluzquesereflejaenl.Ahoratenemosunacomprensingeneraldela naturaleza de la luz y hemos estudiado objetos luminosos y mtodos para medir la luz emitida por ellos. Auncuandotodotipodeluzseoriginaenunafuentedeenerga,porejemploelSol,una lmpara elctrica, o una vela encendida, la mayor parte de la luz que vemos en el mundo fsico es el resultado de luz reflejada. Nos ocuparemos de las leyes que describen cmo regresa la luz a su mediooriginalcomoresultadodeincidirsobreunasuperficie.Aunqueestefenmeno,llamado reflex6n, puede interpretarse en trminos de la teora ondulatoria electromagntica de Maxwell, es ms sencillo describirla mediante el trazo de rayos. Eltratamientoenformaderayos,queseconocegeneralmentecomopticageomtrica,se basaenlaaplicacindelprincipiodeHuygens.Recuerdequelosrayosdeluzsonlneas imaginarias trazadas en forma perpendicular a los frentes de onda que avanzan en la direccin de la propagacin de la luz. LAS LEYES DE LA REFLEXION

Cuando la luz incide en la frontera o lmite entre dos medios, por ejemplo aire y el vidrio, se puedenpresentarunaovariasdeestastressituaciones.Comosemuestraenlafigura22,una partedelaluzqueincidesobreunasuperficiedevidrioserefleja,yotrapartepenetraenel vidrio. La luz que entra al vidrio es absorbida parcialmente y la parte restante se transmite. La luz transmitida en general sufre un cambio de direccin, lo cual se conoce como refraccin. En este tema nos ocuparemos nicamente del fenmeno conocido como reflexin. La reflexin de la luz obedece a la misma ley general de la mecnica que rige otros fenmenos derebote;esdecir,elngulodeincidenciaesigualalngulodereflexin.Porejemplo, consideremoslamesadebillardelafigura23.Para golpear la pelota negra hacia la derecha es necesario localizar un punto sobre el borde de la mesa, de tal modo que el ngulo de incidencia i sea igual que el ngulo de reflexin r. En forma anloga, la luz reflejada de una superficie lisa, como en la figura 24(a), tiene sus ngulos de incidencia y de reflexin iguales. Los ngulos i y r, se miden Con respecto a la normal a la superficie. Se pueden enunciar dos leyes bsicas de la reflexin: LUZEILUMINACIN -23 El ngulo de incidencia es igual al ngulo de reflexin El rayo incidente, el rayo reflejado y la normal a la superficie se encuentran en el mismo plano. Figura 22. Cuando la luz incide en la zona limtrofe o frontera entre dos medios, puede reflejarse, refractarse o absorberse. Lareflexindelaluzqueprovienedeunasuperficiepulida,enlafigura25-3(a),sellama reflexinregularoespecular.Laluzqueincidesobrelasuperficiedeunespejoovidriose reflejaespecularmente.Sitodalaluzincidentequegolpeaunasuperficiesereflejaradeesta manera, no podramos ver la superficie. nicamente seramos capaces de ver imgenes de otros objetos.Eslareflexindifusa(figura25-3(b))laquenospermiteverunasuperficie.Una superficieirregularosperaesparceydispersalaluzincidente,loquedaporresultadoquese iluminelasuperficie.Laluzreflejadaporladrillos.concretooperidicossonejemplosdela reflexin difusa. Figura 23. La reflexin de la luz sigue la misma trayectoria que cabra esperar en el caso de una bola de billar que rebota. El ngulo de incidencia es igual que el ngulo de reflexin. LUZEILUMINACIN -24 Figura 24. (a) Reflexin especular, (b) reflexin difusa. ESPEJOS PLANOS Una superficie muy pulida que forma imgenes a causa de la reflexin especular de la luz se llama espejo. Los espejos que cuelgan de las paredes de nuestras casas son en general extendidos oplanos.ytenemosbastantefamiliaridadconeltipodeimgenesqueseformanenellos.En todos los casos. la imagen parece estar ala misma distancia, detrs del espejo. que la distancia a la cual se encuentra colocado el objeto real delante del espejo. Como se muestra en la figura 25, las imgenestambinapareceninvertidasenelsentidoderecha-izquierda.Cualquierpersonaque hayaaprendidoaanudarselacorbataoaaplicarsemaquillajemirndoseenunespejoestmuy consciente de estos efectos. Figura 25. Las imgenes que se forman en los espejos planos aparecen invertidas en el sentido lateral, es decir, a derecha e izquierda. Paracomprenderelprocesodelaformacindeimgenesenunespejoplano,consideremos primero la imagen I formada por los rayos emitidos desde el punto O en la figura 26. Vemos que sehantrazadocuatrorayosluminososquepartende la fuente puntual de luz. El rayo luminoso OV es reflejado sobre s mismo por el espejo. Puesto que la luz reflejada parece haber recorrido lamismadistanciaquelaluzincidente,laimagenseformaaunadistanciaigual,detrsdel espejo,cuandoseobservaalolargodelanormalalasuperficiedereflexin.Cuandolaluz LUZEILUMINACIN -25reflejadaseveenelespejodesdeciertongulo,laconclusineslamisma:ladistanciadela imagen q es igual a la distancia del objeto p. Esto es cierto porque el ngulo es igual al ngulo ' en la figura. Por lo anterior, se puede decir que: Para un espejo plano, la distancia al objeto es igual en magnitud a la distancia a la imagen. p = q Figura 26. Construccin de la imagen de un objeto puntual formada por un espejo plano. Ahoraconsideremoslaimagenformadaporunobjetoextendido,comosemuestraenlafigura 27. En el caso de un objeto extendido, se puede imaginar que est formado por muchos objetos puntuales distribuidos de acuerdo a la forma y el tamao del objeto. Cada punto del objeto tendr una imagen puntual localizada a igual distancia atrs del espejo. Se deduce que la imagen tendr el mismo tamao y forma que el objeto. Sin embargo, la derecha y la izquierda estarn invertidas, como ya se dijo. Figura 27. Imagen de un objeto extendido. LUZEILUMINACIN -26 Observequelasimgenesformadasporelespejoplanoson,enrealidad,productodela reflexindeobjetosreales.Lasimgenesensmismasnosonrealesporquelaluznopasaa travsdeellas.Alasimgenesqueantenuestrosojosparecenestarformadasporrayosdeluz, pero que en realidad no existen, se les denomina imgenes virtuales. En cambio, una imagen real es una imagen formada por rayos de luz verdaderos. Unaimagenvirtual es la que parece estar formada por luz que proviene de la imagen, pero que en realidad no es atravesada por ningn rayo de luz. Una imagen real est formada por rayos de luz reales que la atraviesan. Las imgenes reales se pueden proyectar en una pantalla. Puesto que las imgenes virtuales no se forman por rayos de luz reales, no se pueden proyectar en una pantalla. Lasimgenesrealesnopuedenformarseporunespejoplanodebidoaquejaluzreflejadaen unasuperficieplanadiverge.Pero,siunespejoplanoformaimgenesvirtualesquenoexisten fsicamente,cmoesquepodemosverlas?Larespuestacompletaaestacuestindebeesperar hasta que se estudie la refraccin y las lentes. Una respuesta preliminar se ilustra en la figura 28, quesirvetambinparademostrarlosdostiposdeimgenes.Elojoaprovechaelprincipiode refraccin para lograr que converja la luz reflejada que parece provenir de la imagen virtual. Una imagen real, por la tanto, se proyecta sobre la retina del ojo. Esta imagen, que est formada por rayos de luz reflejados, reales, es interpretada por el cerebro como si se hubiera originado a partir de un punto situado atrs del espejo. El cerebro est condicionado para la propagacin rectilnea delaluz.Seconfundecuandolaluzporalguna razn cambia de direcciones. Las personas que dudanqueelcerebropuedeestarcondicionadoparainterpretarimgenesdeberanintentar anudarle a alguien la corbata sin mirar al espejo. En este caso, el objeto real parece menos natural que su imagen virtual. Figura 28. La imagen formada por un espejo plano es virtual. Esas imgenes aparecen ante nuestros ojos como si estuvieran colocadas detrs del espejo. LUZEILUMINACIN -27EPEJOS ESFERICOS Los mismos mtodos geomtricos aplicados a la reflexin de la luz desde un espejo plano se pueden utilizar para un espejo curvo. El ngulo de incidencia sigue siendo igual que el ngulo de reflexin, pero la normal a la superficie cambia en cada punto a lo largo de dicha superficie. De esto resulta una relacin complicada entre el objeto y su imagen. Lamayoradelosobjetoscurvosusadosenaplicacionesprcticassonesfricos.Unespejo esfrico es un espejo que puede considerarse como una porcin de una esfera reflejante. Los dos tipos de espejos esfricos se ilustran en la figura 29. Si el interior de la superficie esfrica es la superficiereflejante,sedicequeelespejoescncavo.Silaporcinexterioreslasuperficie reflejante, el espejo es convexo. En cualquier caso, R es el radio de curvatura, y C es el centro de curvatura para los espejos. El segmento AB, que es til frecuentemente en problemas de ptica, sellamaaberturalinealdelespejo.LalneapunteadaCV,quepasaatravsdelcentrode curvatura y del centro topogrfico o vrtice del espejo, se conoce como eje del espejo. Figura 29. Definicin de trminos para los espejos esfricos. Examinemosahoralareflexindelaluzenunasuperficieesfrica.Comouncasosencillo, suponga un haz de rayos de luz paralelos que inciden sobre una superficie cncava, tal como se ilustra en la figura 30. En virtud de que el espejo es perpendicular al eje en su vrtice V, un rayo de luz CV es reflejado de regreso sobre s mismo. En realidad, cualquier rayo de luz que avanza a lo largo de un radio del espejo se refleja de regreso sobre s mismo. El rayo de luz paralelo MN se refleja de modo que el ngulo de incidencia i sea igual al ngulo de reflexin r. Ambos ngulos se miden con respecto al radio CN. La geometra de la reflexin es tal, que el rayo reflejado pasa a travs del punto F sobre el eje a la mitad del camino entre el centro de curvatura C y el vrtice V.ElpuntoF,enelcualconvergenlosrayosluminososparalelos,seconocecomopuntofocal delespejo.AladistanciadeFaVselellamalongitudfocalf.Comoejercicioconviene demostrar, a partir de la figura 30(a), que: 2Rf = La longitud focal f de un espejo c6ncavo es igual a la mitad de su radio de curvatura R. LUZEILUMINACIN -28 Figura 30. Punto focal de un espejo cncavo: (a) la longitud focal es la mitad del radio de curvatura; (b) el objeto se encuentra en el infinito y la imagen en el punto focal; (c)el objeto est en el punto focal y la imagen en el infinito. Todos los rayos de luz de un objeto distante, como por ejemplo el sol, convergen en el punto focal F, como muestra la figura 30(b). Por esta razn, a los espejos cncavos frecuentemente se lesllamaespejosconvergentes.Elpuntofocalpuedeencontrarseexperimentalmentehaciendo queconverjalaluzdelsolenunpuntosobreuntrozodepapel.Elpuntoalolargodelejedel espejo donde la imagen formada sobre el papel es ms brillante corresponder al punto focal del espejo. Por el hecho de que los rayos de luz son reversibles, si una fuente de luz est colocada en el punto focal de un espejo convergente, su imagen se formar a una distancia infinita. Es decir, el haz de luz emergente ser paralelo al eje del espejo, como se muestra en la figura 30(c). Un anlisis similar se aplica a un espejo convexo, como se ilustra en la figura 31. Observe que el haz de luz paralelo que incide en una superficie convexa, diverge. Los rayos de luz reflejados parecen provenir del punto F situado detrs del. espejo, pero ningn rayo de luz pasa realmente a travsdel.Auncuandoelpuntofocalesvirtual,ladistanciaVFsesiguellamandolongitud focal del espejo convexo. En vista de que los rayos de luz reales divergen cuando inciden sobre una superficie de este tipo, a los espejos convexos se les llama espejos divergentes. La ecuacinf = R/2 tambin se aplica aun espejo convexo. Sin embargo, para ser consistentes LUZEILUMINACIN -29con la teora (que se expondr posteriormente), la longitud focal f y el radio R deben considerarse como negativos en el caso de los espejos divergentes. Figura 31. Punto focal de un espejo convexo. IMAGENES FORMADAS POR ESPEJOS ESFERICOS El mejor mtodo para comprender la formacin de imgenes por medio de espejos es a travs delapticageomtrica,otrazadoderayos.Estemtodoconsisteenconsiderarlareflexinde unos cuantos rayos divergentes a partir de algn punto , de un objeto O que no se encuentre en el ejedelespejo.Elpuntoenelcualseintersectarntodosestosrayosreflejadosdeterminala ubicacindelaimagen.Analizaremosahoratresrayoscuyastrayectoriaspuedentrazarse fcilmente.Cadaunodelosrayosseilustra,tantoparaunespejoconvergente(cncavo)enla figura 32, como para un espejo divergente (convexo) en la figura 33. RAYO 1 Un rayo paralelo al eje del espejo pasa a travs del punto local de un espejo cncavo o parece provenir del punto local de un espejo convexo. RAYO2Unrayoquepasaatravsdelpuntolocaldeunespejocncavooquesedirigeal punto local de un espejo convexo se refleja paralelamente al eje del espejo. RAYO3Unrayoqueavanzaalolargodeunradiodelespejosereflejaalolargodesu trayectoria original. En una situacin especfica, slo se necesitan dos de estos tres rayos para ubicar la imagen de un punto. Si se eligen los rayos que provienen de un punto extremo del objeto, la imagen restante se puede completar generalmente por simetra. En las figuras, las lneas discontinuas se usan para identificar los rayos virtuales y las imgenes virtuales. LUZEILUMINACIN -30 Figura 32. Principales rayos para la construccin grfica de las imgenes reflejadas por espejos cncavos. Figura 33. Principales rayos para la construccin grfica de las imgenes reflejadas por espejos convexos. Parailustrarelmtodogrficoyalmismotiempovisualizaralgunasdelasimgenesque pueden presentarse, vamos a considerar ahora varias imgenes formadas por un espejo cncavo. En la figura 34(a) se ilustra la imagen formada por un objeto O que se ha colocado afuera del centro de curvatura del espejo. Observe que la imagen se ha formado entre el punto focal F y el centro de curvatura c. En este caso, la imagen es real, invertida y ms pequea que el objeto. En la figura 34(b)., el objeto O se localiza en el centro de curvatura c. En ese caso, en el centro de curvatura del espejo cncavo se forma una imagen que es real, invertida y del mismo tamao que el objeto. En la figura 34(c), el objeto O se localiza entre C y F. Al trazar los rayos correspondientes se observa que la imagen se forma ms all del centro de curvatura. Dicha imagen es real, invertida y mayor que el objeto. CuandoelobjetoseencuentraenelpuntofocalF,todoslosrayosreflejadossonparalelos (vase la figura 34(d)). Por el hecho de que los rayos reflejados jams se intersectarn, por ms queseprolonguenencualquierdireccin,noseformarningunaimagen.(Algunaspersonas prefieren decir que en este caso la distancia a la imagen es infinita.) LUZEILUMINACIN -31 Cuando el objeto se localiza entre el punto focal F y el vrtice, como se muestra en la figura 34(e),parecequelaimagenestdetrsdelespejo.Estosepuedeapreciarsiseprolonganlos rayosreflejadoshastaunpuntosituadoatrsdelespejo.Porlotanto,laimagenesvirtual. Observe tambin que la imagen es mayor que el objeto y que no est invertida, sino en posicin normal. En este caso, el aumento de la imagen es el mismo principio que se aplica en los espejos para afeitarse y en otros donde se forman imgenes virtuales amplificadas. Porotraparte,todaslasimgenesqueseformanenespejosconvexostienen,lasmismas caractersticas.Comoyasemostrenlafigura33,setratadeimgenesvirtuales,queestnen posicin normal (no invertida) y tienen un tamao reducido. El resultado de esto es que ofrecen uncampodevisinmsamplio.Lasventajasdeesteefectosehanaprovechadoenungran nmerodeaplicacionesprcticasdelosespejosconvexos.Losespejosretrovisorespara automvil suelen ser convexos para ofrecer una capacidad visual mxima. En algunas tiendas se instalan grandes espejos convexos en lugares estratgicos, porque ofrecen una visin panormica muy til para detectar ladrones. Figura 34. Imgenes formadas por un espejo convergente para las siguientes distancias del objeto: (a) ms lejos que el centro de curvatura C, (b) en C, (c) entre C y la longitud focal F, (d) en F, y (e) entre F y V. LUZEILUMINACIN -32LA ECUACIN DEL ESPEJO Ahoraqueyatenemosunaideadelascaractersticasdelasimgenesydecmoseforman, ser conveniente desarrollar un procedimiento analtico de la formacin de imgenes. Considere lareflexindelaluzdeunobjetopuntualO,comoseilustraenlafigura35paraunespejo cncavo. El rayo OV es incidente a lo largo del eje del espejo y se refleja sobre s mismo. El rayo OMseseleccionaarbitrariamenteyavanzahaciaelespejoconunnguloformadoconeleje del espejo. Este rayo es incidente a un ngulo i y se refleja con un ngulo igual r. Los rayos de luz reflejados en M y en V cruzan al punto I, formando una imagen del objeto. Tanto la distancia al objeto p como la distancia a la imagen q, se miden a partir del vrtice del espejo y se indican enlafigura.LaimagenenIesunaimagenreal,puestoqueseformapormedioderayos luminosos verdaderos que pasan a travs de l. Figura 35. En un espejo convergente se forma una imagen puntual a partir de un objeto puntual. Consideremos ahora la imagen formada por un objeto ms extenso OA, como se muestra en la figura 25-15. La imagen del punto O se encuentra en I, como antes. Trazando los rayos a partir de la punta de la flecha, somos capaces de dibujar la imagen de A a E. El rayo AM pasa a travs del centro de curvatura y se refleja de regreso sobre s mismo. Un rayo AV que incide en el vrtice delespejoformalosngulosigualesiyr.LosrayosVEyAMcruzanenE,formandouna imagen de la punta de la flecha en ese punto. El resto de la imagen IR se puede construir trazando rayos similares para los puntos correspondientes en el objeto OA. Observe que la imagen es real e invertida. Las siguientes cantidades se identifican en la figura 36: Distancia al objeto = OV = p Distancia a la imagen = N = q Radio de curvatura = CV = R Tamao del objeto = OA = y Tamao de la imagen = IR = y' LUZEILUMINACIN -33 Figura 36. Deduccin de la ecuacin del espejo. Ahora intentemos relacionar estas cantidades. A partir de la figura, se observa que los ngulos OCA y VCM son iguales. Representando a este ngulo por a, podemos escribir: q RyR pytan==' de donde R pq Ryy=' El tamao de la imagen y' es negativo porque est invertido en la figura. En forma similar, los ngulosi y r, en la figura son iguales, de modo que: tan i = tan rqypy'= Combinando las ecuaciones anteriores tenemos: R pq Rpqyy= =' Reordenando los trminos, obtenemos esta importante relacin:

R q p2 1 1= + Estarelacinseconocecomoecuaci6ndelespejo.Amenudoseescribeentrminosdela longitud focal f del espejo, en lugar de hacerlo respecto al radio de curvatura. Recordando que f = R/2, podemos reescribir la ecuacin anterior como: f q p1 1 1= + LUZEILUMINACIN -34 Se puede hacer una deduccin similar en el caso de un espejo convexo, y aplicamos la misma ecuacin, siempre que se adopte la convencin de signos apropiada. Las distancias al objeto ya la imagenpyq,debenconsiderarsepositivasparaobjetosrealesynegativasparaobjetose imgenes virtuales. El radio de curvatura R y la longitud focal f deben considerarse positivos para espejos convergentes (cncavos) y negativos para espejos divergentes (convexos). EJEMPLO 8.(a). Cul es la longitud focal de un espejo convergente cuyo radio de curvatura es de 20 cm?. (b). Cul es la naturaleza y la colocacin de una imagen formada por el espejo si un objeto se encuentra a 15 cm del vrtice del espejo?. Solucin. Lalongitudfocalesdelamitaddelradiodecurvaturayelradioespositivoparaunespejo convergente. cmcm Rf 102202+ =+= = La ubicacin de la imagen se determina a partir de la ecuacin del espejo: f q p1 1 1= + Despejando q nos queda: f ppfq=de donde: ( )( )cmcm cmcm cmq 3010 1510 15+ == Por consiguiente, la imagen es real y se localiza a 30 cm del espejo. Al trazar rayos en forma similar a como se hizo en la figura 34(c), se demuestra que la imagen tambin ser invertida. Casisiempreresultamssencilloresolverlaecuacindelespejoenformaexplcitaparala cantidaddesconocida,enlugardesustituirladirectamente.Lesernmuytileslassiguientes expresiones en la resolucin de la mayor parte de los problemas referentes a espejos: f qqfp=q ppqf+= f ppfq= La convencin de signos se resume en la siguiente forma: 1.La distancia al objeto p es positiva para objetos reales y negativa para objetos virtuales. 2.Ladistanciaalaimagenqespositivaparaimgenesrealesynegativaparaimgenes virtuales. 3.ElradiodecurvaturaRylalongitudfocalsonpositivosparaespejosconvegentesy negativos para espejos divergentes. LUZEILUMINACIN -35 Estaconvencinseaplicanicamentealosvaloresnumricossustituidosenlasecuaciones anteriores.Lascantidadesq,pyfdebenconservarsussignossincambioalguno,hastael momento en que se realiza la sustitucin. EJEMPLO 9.Determine la posicin de la imagen si un objeto est colocado a 4cm de un espejo convexo cuya longitud focal es de 6 cm. Solucin En este caso, p = 4 cm y f = -6 cm. El signo menos es necesario porque un espejo convexo es un espejo divergente. ( )( )( )cmcmcmcm cmcm cmf ppfq 4 . 210246 46 42 == == La distancia a la imagen es negativa, lo que indica que la imagen es virtual. AMPLIFICACIN Lasimgenesformadasporlosespejosesfricospuedensermayores,menoresoigualesen tamao que los objetos reflejados en ellos. La razn del tamao de la imagen al tamao del objeto es la amplificacin M del espejo. yyin Amplificac'=

El tamao se refiere a cualquier dimensin lineal, altura o ancho, Recurriendo a la ecuacin R pq Rpqyy= =' y a la figura 36, obtenemos la til relacin: pqyyM= =' dondeqesladistanciaalaimagenypesladistanciaalobjeto.Unacaractersticamuy convenientedelaecuacinanterioresqueunaimageninvertidasiempretendrunaumentoo amplificacinnegativa,yunaimagenenposicinnormal(derecha)tendrsiempreuna amplificacin positiva. EJEMPLO 10. Una fuente de luz de 6 cm de altura se coloca a 60 cm de un espejo cncavo cuya longitud focal es de 20 cm, Determine la ubicacin, la naturaleza y el tamao de la imagen. Solucin: Primero determinamos la distancia a la imagen q, en la siguiente forma: LUZEILUMINACIN -36( )( )cmcm cmcm cmf ppfq 3020 6020 60===

Puesto que q es positiva, la imagen es real. El tamao de la imagen se obtiene de la ecuacin de relacin de tamao: ( )( )cmcmcm cmpqyy 3606 30' = = = El signo negativo indica que la imagen es invertida. Observe que la amplificacin es de 1/2. EJEMPLO 11. A qu distancia de un espejo convexo se debe sostener un lpiz para que forme una imagen de la mitad de tamao del lpiz? El radio del espejo es de 40 cm. Solucin La longitud focal del espejo es cmcm Rf 202402 == = Elsignomenossedebealespejodivergente.Esetipodeespejosiempreformauimagenen posicin normal (al derecho), de tamao reducido. (Vase la figura 33.) La amplificacin en este caso es +1/2 . Por lo tanto, 21+ = pq De la ecuacin del espejo, q es tambin: f ppfq= Combinando las dos ecuaciones para q, tenemos: 2pf ppf = Dividiendo entre p queda: 21 = q pf 2f = -p + f p = -f p = -(-20 cm) = 20 cm LUZEILUMINACIN -37 O sea que, cuando un objeto se sostiene a una distancia igual a la longitud focal de un espejo convexo, el tamao de la imagen es de la mitad del tamao del objeto. ABERRACION ESFRICA En la prctica, los espejos esfricos forman imgenes razonablemente ntidas siempre que sus aberturas sean pequeas comparadas con sus longitudes focales. Cuando se usan espejos grandes, sinembargo,algunosdelosrayosqueprovienendelosobjetosincidencercadelosbordes externos y son enfocados a diferentes puntos sobre el eje. Este defecto de enfoque, ilustrado en la figura 37, se conoce como aberraci6n esfrica. Figura 37. Aberracin esfrica. Unespejoparabliconopresentaestedefecto.Tericamente,losrayosluminososparalelos queincidenenunreflectorparablicoseenfocarnhaciaunsolopuntosobreelejedelespejo. (Vaselafigura38.)Unapequeafuentedeluzubicadaenelpuntofocaldeunreflector parablico es el principio usado en muchos proyectores y faros buscadores. El haz emitido por un dispositivo as es paralelo al eje del reflector. Figura 38. Un reflector parablico enfoca toda la luz paralela incidente hacia el mismo punto. REFRACCION OBJETIVOS Despus de completar el estudio de este temapodr usted: LUZEILUMINACIN -381.Definir el ndice de refraccin y expresar tres leyes que describen el comportamiento de la luz refractada. 2.Aplicar la ley de Snell para resolver problemas que impliquen la transmisin de la luz en dos o ms medios. 3.Determinar el cambio de velocidad o de longitud de onda de la luz cuando se mueve de un medio a otro. 4.Explicar los conceptos de reflexin interna total y ngulo crtico, y utilizar estas ideas para resolver problemas similares a los que aparecen en este tema. Laluzsepropagaenlnearectaavelocidadconstanteenunmediouniforme.Sicambiael medio,lavelocidadcambiartambinylaluzviajarenlnearectaalolargodeunanueva trayectoria.Ladesviacindeunrayodeluzcuandopasaoblicuamentedeunmedioaotrose conoce como refraccin. El fundamento de la refraccin se ilustra en la figura 39para el caso de una onda de luz que se propaga del aire al agua. El ngulo i que se forma entre el haz incidente y la normal a la superficie se conoce como ngulo de incidencia. Al ngulo r formado entre el haz refractado y la normal se le llama ngulo de refraccin. Figura 39. Refraccin de un frente de onda en la frontera entre dos medios. La refraccin es la causante de la distorsin de algunos objetos. En la figura 40(a), la varilla parece flexionarse en la superficie del agua, y el pez de la figura 40(b) parece estar ms cerca de lasuperficiedeloqueenrealidadseencuentra.Estudiaremoslaspropiedadesdelosmedios refractivosysedesarrollarnlasecuacionesparapredecirsuefectosobrelosrayosluminosos incidentes. LUZEILUMINACIN -39 Figura 40. La refraccin es la causante de la distorsin de estas imgenes. (a) La varilla parece estar flexionada. (b) Este pez aparece ms cerca de la superficie de lo que est en realidad. NDICE DE REFRACCION Lavelocidaddelaluzdentrodeunasustanciamaterialgeneralmenteesmenorquela velocidad en el espacio libre, donde es de 3 X 108 m/s. En el agua. la velocidad de la luz es casi de 2.25 X 108 m/s, la cual es casi equivalente a las tres cuartas partes de su velocidad en el aire. Laluzviajaaproximadamenteadosterciosde esa velocidad en el vidrio, o sea a unos 2 X 108 m/s. La relacin de la velocidad de la luz c en el vaco entre la velocidad v de la luz en un medio particular se llama ndice de refraccin n para ese material. El ndice de refraccin n de un material particular es la razn de la velocidad de la luz en el espacio libre con respecto a la velocidad de la luz a travs del material. vcn = El ndice de refraccin es una cantidad adimensional y generalmente es mayor que la unidad. Paraelagua,n=1.33,yparaelvidrio,n=1.5.Latablasiguiente,muestralosndicesde refraccin de diversas sustancias de uso comn. Observe que los valores all sealados se aplican al caso de una luz amarilla de 589 nm de longitud de onda. La velocidad de la luz en sustancias materiales es diferente para longitudes de onda diferentes. Este efecto, conocido como dispersin. Cuando la longitud de onda de la luz no se especifica, se suele, suponer que el ndice corresponde al que tendra una luz amarilla. LUZEILUMINACIN -40TABLA 1 ndice de refraccin de la luz amarilla, con longitud de onda de 589 nm. EJEMPLO 12. Calcule la velocidad de la luz amarilla en un diamante cuyo ndice de refraccin es de 2.42. solucin Despejando v en la ecuacin anterior nos da: s m xs m xncv8810 24 . 142 . 210 3= = = Se trata de un ndice de refraccin excepcionalmente grande que constituye una de las pruebas ms convincentes para identificar diamantes. LAS LEYES DE REFRACCION Desdelaantigedadseconocenyseaplicandosleyesbsicasderefraccin.Estasleyesse enuncian como sigue (consulte la figura 41): Elrayoincidente,elrayoretractadoylanormalalasuperficieseencuentranenel mismo plano. Latrayectoriadeunrayoretractadoenlaentrecaraentredosmediosesexactamente reversible. Figura 41. (a) El rayo incidente, el rayo reflejado y la normal a la superficie estn en el mismo plano. (b) Los rayos refractados son reversibles. LUZEILUMINACIN -41 Estasdosleyessedemuestranfcilmentemediantelaobservacinylaexperimentacin.Sin embargo, desde el punto de vista prctico, es mucho ms importante entender y predecir el grado de flexin que ocurre. Paraentendercmouncambiodevelocidaddelaluzpuedealterarlatrayectoriadestaa travsdeunmedio,consideremoslaanalogamecnicaquesemuestraenlafigura42.Enla figura42(a)laluzqueincidesobreunalminadevidrioprimerosufreunadesviacinhaciala normal mientras pasa a travs del medio ms denso, y luego se desva alejndose de la normal al retornar al aire. En la figura 42(b) la accin de las ruedas que encuentran a su paso una franja de arena se asemeja al comportamiento de la luz. Al aproximarse a la arena, una de las ruedas la toca primero y disminuye su velocidad. La otra rueda contina ala misma velocidad, provocando que elejeformeunnuevongulo.Cuandoambasruedasestnenlaarena,denuevosemuevenen lnea recta con velocidad uniforme. La primera rueda que entra en la arena es tambin la primera en salir de ella, y aumenta su velocidad al dejar la franja de arena. Por lo tanto, el eje regresa a su direccin original. La trayectoria del eje es anloga a la trayectoria de un frente de onda. Figura 42. (a) Desplazamiento lateral de la luz al pasar por vidrio. (b) Una analoga mecnica. El cambio en la direccin de la luz al entrar en otro medio se puede analizar con la ayuda de un diagrama de frente de onda como el de la figura 43. Una onda plana en un medio de ndice de refraccinn1.chocaconlasuperficieplanadeunmediocuyondicederefraccinesn2.El ngulodeincidenciasedesignacomo1yelnguloderefraccinserepresentacon2.Enla figura se supone que el segundo medio tiene una densidad ptica mayor que el primero (n2 > n1). Un ejemplo de esto se presenta cuando la luz pasa del aire (n1 = 1) al agua (n2 = 1.33). La lnea ABrepresentaelfrentedeondaenuntiempot=0justamentecuandoentraencontactoconel medio2.LalneaCDrepresentaelmismofrentedeondadespusdeltiempotrequeridopara entrartotalmentealsegundomedio.LaluzsedesplazadeBaDenelmedio1enelmismo tiempo t requerido para que la luz viajede A a C en el medio 2. Suponiendo que la velocidad v2 en el segundo medio es menor que la velocidad v1 en el primer medio, la distancia AC ser menor que la distancia BD. Estas longitudes estn dadas por: AC = v2tBD = v1t LUZEILUMINACIN -42 Figura 43. Deduccin de la ley de Snell. SepuededemostrarporgeometraqueelnguloBAVesiguala1 yqueelnguloAVCes igual a2, como se indica en la figura 43. La lnea AD forma una hipotenusa que es comn a los dos tringulos AVB y AVC. Partiendo de la figura tenemos: ADt v11sen = ADt v22 = sen Dividiendo la primera ecuacin entre la segunda obtenemos: 2121sensenvv= La razn del seno del ngulo de incidencia con respecto al seno del ngulo de refraccin es igual a la razn de la velocidad de la luz en el medio incidente con respecto a la velocidad de la luz en el medio de refraccin. EstareglafuedescubiertaporelastrnomodansWillebrordSnellenelsigloXVII,yse llama en su honor ley de Snell. Una forma alternativa para esta ley puedeobtenerse expresando las velocidades v1 y v2 en trminos de los ndices de refraccinde los dos medios. Recuerde que: 11ncv =y22nc= v LUZEILUMINACIN -43 Utilizando estas ecuaciones en la ecuacin de la ley de snell, tenemos: n1 sen 1 = n2 sen 2

Puesto que el seno de un ngulo aumenta al aumentar el ngulo, vemos que un incremento en el ndice de refraccin provoca una disminucin en el ngulo y viceversa. EJEMPLO13.Laluzpasadelaguaalaireconunngulodeincidenciade35.Culserel ngulo de refraccin si el ndice de refraccin del agua es de 1.33? Solucin El ngulo a se puede determinar por la ley de Snell. Nw sen w = na sen a 1.33 sen 35 = 1.0 sen a sen a = 1.33 sen 35 = 0.763 a = 49.7 El ndice de refraccin decreci de 1.33 a 1.0 y por lo tanto el ngulo aumento. EJEMPLO 14. Un rayo de luz en el agua (nw = 1.33) incide sobre una lmina de vidrio (ng = 1.5) a un ngulo de 40. Cul es el ngulo de refraccin en el vidrio? Consulte la figura 44. Figura 44. solucin Aplicando la ley de Snell a la entrecara, obtenemos: nw sen w = ng sen g 1,33 sen 40 = 1.5 sen g sen g = 40 sen5 . 133 . 1 = 0.57g= 34.7 Esta vez n aument, as que disminuy. LUZEILUMINACIN -44 LONGITUD DE ONDA Y REFRACCION Hemosvistoquelaluzdisminuyesuvelocidadcuandopasaaunmediodemayordensidad ptica. Qu le pasa a la longitud de onda de la luz cuando entra a un nuevo medio? En la figura 45laluzviajaenelaireaunavelocidadcyseencuentraconunmedioatravsdelcualse propaga a una menor velocidad vm. Cuando regresa al aire, de nuevo viaja a la velocidad c de la luz en el aire. Esto no viola la conservacin de la energa porque la energa de una onda luminosa esproporcionalasufrecuencia.Lafrecuenciafeslamismadentrodelmedioquefueradel. Para que se percate de que esto es cierto, considere que la frecuencia es el nmero de ondas que pasanporcualquierpuntoenlaunidaddetiempo.Elmismonmerodeondasquesaledeun medio en un segundo es el que entra al medio en un segundo.Figura 45. La longitud de onda de la luz se reduce cuando sta entra en un medio de mayor densidad ptica. Esdecir,lafrecuenciadentrodelmedionocambia.Lavelocidadserelacionaconla frecuencia y la longitud de onda mediante: c = f a y vm = f m donde c y v m son las velocidades en el aire y dentro del medio y a y m son las longitudes de onda respectivas. Puesto que la velocidad disminuye dentro del medio, la longitud de onda dentro delmediodebedisminuirproporcionalmenteparaquelafrecuenciapermanezcaconstante. Dividiendo la primera ecuacin entre la segunda queda: mamamffvc= = Si se sustituyen vm = c/nm, obtenemos: mamn= LUZEILUMINACIN -45 Por lo tanto, la longitud de onda m dentro del medio se reduce a: mamn = donde nm es el ndice de refraccin del medio y a es la longitud de onda de la luz en el aire. EJEMPLO 15.Una luz roja monocromtica, con una longitud de onda de 640 nm, pasa del aire a una placa de vidrio cuyo ndice de refraccin es de 1.5. Cul ser la longitud de onda de la luz dentro de este medio? Solucin mamn = nmnm4275 . 1640= = Como un resumen de las relaciones estudiadas hasta aqu, podemos escribir: 21122121sensen= = =nnvv enlaquelossubndices1y2serefierenalosdiferentesmedios.Deesemodoseapreciala relacin entre todas las cantidades importantes afectadas por larefraccin. DISPERSION Yahemosmencionadoquelavelocidaddelaluzendiferentessustanciasvarasegnlas longitudesdeonda.Definimoselndicederefraccincomolarazndelavelocidadcenel espacio libre a la velocidad dentro del medio. mvcn = Losvaloresquesepresentanenlatabla1sonvlidossloenelcasodelaluzmonocromtica amarilla (589 nm). La luz con una longitud de onda diferente, como la luz azul o la luz roja, dara comoresultadounndicederefraccinligeramentediferente.Laluzrojaviajaconmayor rapidez, dentro de un medio especfico, que la luz azul. Esto se puede demostrar haciendo pasar luzblancaatravsdeunprismadecristal,comoenlafigura46.Debidoalasdiferentes velocidades dentro del medio, el haz se dispersa en sus colores componentes. Dispersin es la separacin de la luz en las longitudes de onda que la componen. LUZEILUMINACIN -46.Deunexperimentoas,podemosconcluirquelaluzblancaesenrealidadunamezcladeluz, compuesta de varios colores. La proyeccin de un haz disperso se conoce como espectro. Figura 46. Dispersin de la luz por medio de un prisma. REFRACCION INTERNA TOTAL Puede presentarse un fenmeno fascinante, conocido como refraccin interna total, cuando la luzpasaenformaoblicuadeunmedioaotrodemenordensidadptica.Paraentendereste fenmeno, consideremos una fuente de luz sumergida en un medio 1, como se ilustra en la figura 47. Observe los cuatro rayos A, E, C y D, que divergen de la fuente sumergida. El rayo A pasa al medio2endireccinnormalalaentrecara.Elngulodeincidenciayelnguloderefraccin valen cero en este caso especial. El rayo E incide con un ngulo 1 y se refracta alejndose de la normalconunngulo2.Elngulo2esmayorque1porqueelndicederefraccinparael medio 1 es mayor que para el medio 2 (n1 > n2). Cuando el ngulo de incidencia 1 aumenta, el nguloderefraccin2aumentatambinhastaqueelrayorefractadoCemergeenforma tangencialalasuperficie.Elngulodeincidenciacenelcualocurreestoseconocecomo ngulo crtico. El ngulo crtico c es e1ngulo de incidencia lmite en un medio mas denso, que da por resultado un ngulo de refracci6n de 90. Un rayo que se aproxime a la superficie con un ngulo mayor que el ngulo crtico es reflejado de nuevo al interior del medio 1. El rayo D en la figura 47 no pasa al medio de arriba, sino que en la entrecarasereflejainternamenteenformatotal.Estetipodereflexinobedecealasmismas leyesquecualquierotrotipodereflexin;estosignificaqueelngulodeincidenciaesigualal ngulo de reflexin. La reflexin interna total puede ocurrir nicamente cuando la luz incidente procede de un medio de mayor densidad (n1 > n2). LUZEILUMINACIN -47 Figura 47. Angulo crtico de incidencia. El ngulo crtico para dos medios determinados se pueden calcular a partir de la ley de Snell. n1 sen c = n2 sen 2 dondec es el ngulo crtico y 2 = 90. Simplificando, escribimos: n1 sen c = n2(1) o bien: 12sennnc= Puesto que senc nunca puede ser mayor que 1, n1 debe ser mayor que n2. EJEMPLO 16. Cul es el ngulo crtico para una superficie vidrio-aire si el ndice de refraccin del vidrio es de 1.5? . Solucin Sustituyendo en forma directa queda: 667 . 05 . 10 . 1sen = = =gacnn c = arc sen 0.667 = 42 El hecho de que el ngulo crtico para el vidrio sea de 42 permite el empleo de prismas a 45 LUZEILUMINACIN -48en gran nmero de instrumentos pticos. Dos de esas aplicaciones se ilustran en la figura 48. En la figura 48(a) se puede obtener una reflexin de 90 con poca prdida de intensidad. En la figura 48(b) a 180 se obtiene una desviacin. En los dos casos, la reflexin interna total ocurre debido a que todos los ngulos de incidencia son de 45 y por lo tanto mayores que el ngulo crtico. Figura 48. Los prismas de ngulo recto hacen uso del principio de reflexin interna total para desviar la trayectoria de la luz. LUZEILUMINACIN -49LENTES OBJETIVOS Despus de completar el estudio de este temapodr usted: 1.Calcular matemtica o experimentalmente la longitud focal de una lente y de- terminar si es convergente o divergente. 2. Aplicarlaecuaci6ndelfabricantedelentespararesolverparmetrosdesconocidos relacionados con la construcci6n de lentes. 3.Usartcnicasdetrazadoderayosparaconstruirimgenesformadasporlentes divergentes y convergentes con diversas ubicaciones del objeto. 4. Predecir matemticamente o determinar en forma experimental la naturaleza, tamao y ubicaci6n de las imgenes formadas por lentes convergentes y divergentes. Una lente es un objeto transparente que altera la forma de un frente de ondas que pasa a travs del.Laslentesgeneralmenteseconstruyendevidrioyselesdaformadetalmodo que la luz refractadaformeimgenessimilaresalasqueyahemosestudiadoenelcasodelosespejos. Quien haya examinado objetos a travs de un vidrio de aumento, observado objetos distantes por medio de un telescopio, o tenga experiencia en fotografa, tiene conocimientos sobre los efectos que tienen las lentes sobre la luz. En este tema estudiaremos las imgenes formadas por medio de lentes y estudiaremos sus aplicaciones. LENTES SIMPLES

Laformamssencilladeentendercmofuncionanlaslentesconsisteenconsiderarla refraccin de la luz mediante prismas, como ilustra la figura 49. Cuando la ley de Snell se aplica acadasuperficiedeunprisma,laluzsedesvahacialanormalcuandoentraaunprismayse aleja de ella cuando sale del prisma. El efecto, en cualquier caso, es provocar que el haz de luz se desvehacialabasedelprisma.Losrayosdeluzpermanecenparalelosdebidoaquetantola superficie de entrada como la de salida son planas y forman ngulos iguales con todos los rayos que pasan por el prisma. Por lo tanto, un prisma simplemente altera la direccin de un frente de onda. Figura 49. Los rayos paralelos de luz se flexionan hacia la base del prisma y permanecen paralelos. LUZEILUMINACIN -50 Supongaquecolocamosdosprismasbaseconbase,comomuestralafigura50(a).Laluz incidente que viene de la izquierda va a converger, pero no se reunir en un foco. Para enfocar los rayosdeluzenunpunto,losrayosextremosdebenserdesviadosmsquelosrayoscentrales. Estoseconsiguetallandolassuperficiesdemodoquetenganunaseccintransversal uniformementecurvada,comoindicalafigura50(b).Unalentequeconduzcaunhazdeluz paralelo aun foco puntual en la forma mencionada se llama lente convergente. Una lente convergente es la que retracta y converge la luz paralela hacia un punto focal situado ms all de la lente. Figura 50. (a) Dos prismas colocados base contra base hacen convergir los rayos pero no los conducen hacia un foco comn. (b) Una lente convergente puede construirse curvando uniformemente las superficies. Lassuperficiescurvasdelaslentespuedentenercualquierformaregular,porejemplo esfrica, cilndrica o parablica. Puesto que las superficies esfricas son ms fciles de fabricar, la mayora de las lentes se construyen con dos superficies esfricas. La lnea que une el centro de lasdosesferasseconocecomoejedelaslentes.Enlafigura51semuestrantresejemplosde lentes convergentes: biconvexa, planoconvexa y de menisco convergente. Observe que las lentes convergentes son ms gruesas en el centro que en los bordes. Figura 51. Ejemplos de lentes convergentes: (a) biconvexa, (b) planoconvexa, y (c) menisco convergente. LUZEILUMINACIN -51 Unsegundotipodelentesepuedeconstruirfabricandolosbordesmsgruesosquelaparte media,comomuestralafigura52.Losrayosdeluzparalelosquepasanatravsdeesetipode lentessedesvanhacialapartegruesa,provocandoqueelhazsevuelvadivergente.La proyeccin de los rayos de luz refractados muestra que la luz parece provenir de un punto focal virtual ubicado frente a la lente. Una lente divergente es la que retracta y diverge luz paralela a partir de un punto situado frente a la lente. Figura 52. Una lente divergente refracta la luz de tal manera, que sta parece provenir de un punto situado enfrente de ella. Ejemplos de lentes divergentes son: bicncava, planocncava y de menisco divergente. Vea la figura 53. Figura 53. Ejemplos de lentes divergentes: (a) bicncava, (b) planocncava, y (c) menisco divergente. LUZEILUMINACIN -52 LONGITUD FOCAL Y LA ECUACIN DEL FABRICANTE DE LENTES Unalenteseconsidera"delgada"sisuespesorespequeocomparadoconsusotras dimensiones. Al igual que en el caso de los espejos, la formacin de imgenes por lentes delgadas esunafuncindelalongitudfocal;sinembargo,haydiferenciasimportantes.Unadiferencia obviaesquelaluzpuedepasaratravsdeunalenteendosdirecciones.Estodaporresultado dos puntos focales para cada lente, como se muestra en la figura 54 para una lente convergente, y enlafigura55paraunalentedivergente.Laprimeratieneunfoco real F, y la ltima .tiene un foco virtual F'. La distancia entre el centro ptico de una lente y el foco en cualquier lado de la lente es la longitud focal f. La longitud focal f de una lente es la distancia del centro ptico de la lente a cualquiera de sus focos. Puesto que los rayos de luz son reversibles, una fuente de luz que se coloque en cualquier foco de la lente convergente da por resultado un haz de luz paralelo. Esto puede verse si se invierte la direccin de los rayos ilustrados en la figura 54.Figura 54. Demostracin de la longitud focal de una lente convergente. El punto focal es real debido a que pasan por l los rayos de luz reales. Figura 55. Demostracin de los puntos focales virtuales de una lente divergente. LUZEILUMINACIN -53 Lalongitudfocalfdeunalentenoesigualalamitaddelradiodecurvatura,comoenlos espejosesfricos,sinoquedependedelndicederefraccinndelmaterialconelqueest fabricada. Tambin est determinada por los radios de curvatura Rl y R2 de sus superficies. como sedefineenlafigura56(a).Paralentesdelgadas,estascantidadesserelacionanmediantela ecuacin: ( )+ =2 11 111R Rnf Debidoaquelaecuacinanteriorimplicalaconstruccindeparmetrosparaunalente,se conocecomoecuacindelfabricantedelentes.Seaplicaporigualparalentesconvergentesy divergentes siempre que se siga la siguiente convencin de signos: 1.El radio de curvatura (ya sea R1 o R2) se considera positivo si la superficie es curva hacia afuera (convexa) y negativa si la superficie es curva hacia adentro (cncava). 2.Lalongitudfocaldeunalenteconvergenteseconsiderapositiva,ylalongitudfocalde una lente divergente se considera negativa. Figura 56. (a) El punto focal de una lente est determinado por los radios de sus superficies y por el ndice de refraccin. (b) Convencin de signos para el radio de la superficie de una lente. EJEMPLO 17.Un fabricante de lentes planea construir una lente planocncava de vidrio con un ndice de refraccin de 1.5. Cul debera ser el radio de su superficie curva si la longitud focal deseada es -30 cm? Solucin El radio de curvatura R1 para una superficie plana es infinito. El radio R2 de la superficie cncava se determina a partir de la ecuacin del fabricante de lentes. LUZEILUMINACIN -54( ) ( ) =+ =2 2111 111RnRnf R2 =f (n-1) = (1.5 1.0) (-30 cm) = -15 cm Por convencin. el signo menos indica que la superficie curva es cncava. EJEMPLO 18.Una lente menisco tiene una superficie convexa cuyo radio de curvatura es de 10 cm y cuya superficie cncava tiene un radio de -15 cm. Si la lente se construye en vidrio con un ndice de refraccin de 1.52, cul ser su longitud focal? Solucin: Sustituyendo en la ecuacin del fabricante de lentes queda: ( )+ =2 11 111R Rnf ( )+ =cm cm f 1511010 . 1 52 . 11 cm cm 3052 . 0302 352 . 0 = = cmcmf 7 . 5752 . 030= = Elhechodequeunalongitudfocalseapositivaindicaquesetratadeunalentemenisco convergente. FORMACION DE IMGENES MEDIANTE LENTES DELGADAS Paraentendercmoseformanlasimgenespormediodelentes,hayqueintroducirahora mtodosdetrazadoderayossimilaresalosqueseestudiaronparalosespejosesfricos.El mtodoconsisteentrazardosomsrayosapartirdeunpuntoseleccionadosobreelobjetoy utilizarelpuntodeinterseccincomolaimagendeesepunto.Puedeconsiderarsequela desviacin completa de un rayo que pasa a travs de una lente delgada se lleva a cabo en un plano a travs del centro de la lente. Anteriormente se hizo notar que una lente tiene dos puntos focales. DefinimoselprimerpuntofocalF1comoelqueselocalizadelmismoladodelalentedonde incide la luz. El segundo punto focal F2 se localiza en el lado opuesto o ms distante de la lente. Conestasdefinicionesenmente,haytresrayosprincipalesquesepuedentrazarfcilmentea travs de la lente. Estos rayos se ilustran en la figura 57 para una lente convergente y en la figura 58 pata una lente divergente: LUZEILUMINACIN -55Rayo 1 Es un rayo paralelo al eje que pasa a travs del segundo punto focal F 2 de una lente convergente o que parece provenir del primer punto focal F1 de una lente divergente. Rayo 2Un rayo que pasa a travs del primer punto focal F I de una lente convergente o avanza hacia el segundo punto focal F z de una lente divergente se retracta paralelamente al eje de la lente. Rayo 3Un rayo que pasa a travs del centro geomtrico de una lente no se desva. Figura 57. Rayos principales para construir la imagen formada por una lente convergente. Figura 58. Rayos principales para construir la imagen formada por una lente divergente. Lainterseccindecualquieradeestosrayos(osusextensiones)queprovienendeunobjeto puntual, representa la imagen de ese punto. Puesto que una imagen real producida por una lente seformamedianterayosdeluzqueenrealidadpasanatravsdelalente,unaimagenreal siempre se forma del lado de la lente opuesto al objeto. Una imagen virtual aparecer del mismo lado de la lente donde se encuentra el objeto. Parailustrarelmtodogrficoy,almismotiempo,entenderlaformacindediversas LUZEILUMINACIN -56imgenesmediantelentes,consideraremosalgunosejemplos.Lasimgenesformadasporuna lente convergente se aprecian en la figura 60 para las siguientes posiciones del objeto: (a)Objetolocalizadoaunadistanciademsdeldobledelalongitudfocal.Seformauna imagen real, invertida y menor entre F2 y 2F2 en el lado opuesto de la lente. (b)Elobjetoestaunadistanciaigualaldobledelalongitudfocal.Unaimagenreal, invertida, del mismo tamao se ubica en 2F2 en el lado opuesto de la lente. (c)Elobjetoselocalizaaunadistanciaentreunaydoslongitudesfocalesdelalente.Se forma una imagen real, invertida y mayor, ms all de 2F2 del lado. opuesto de la lente. (d)El objeto est en el primer punto focalF1. No se forma imagen. Los rayos refractados son paralelos. (e)Elobjetoseencuentradentrodelprimerpuntofocal.Seformaunaimagenvirtual, erecta (derecha) y mayor, del mismo lado de la lente donde se encuentra el objeto. Observe que las imgenes formadas por una lente convexa son similares a las que se forman medianteespejoscncavos.Estosedebeaqueamboshacenconvergerlaluz.Puestoquelas lentes cncavas divergen la luz, es de esperarse que formen imgenes similares a las que forman los espejos divergentes (espejo convexo). La figura 59 demuestra esta similitud. Las imgenes de objetos reales formadas mediante lentes divergentes siempre son virtuales, derechas y de menor tamao. Figura 59. Las imgenes que se forman mediante lentes divergentes siempre son virtuales, erectas y de menor tamao. Para evitar confusiones, es conveniente identificar las lentes y los espejos como convergentes o divergentes.Laslentesdivergentesconfrecuenciaseempleanparaneutralizarelefectodelas lentes convergentes. LUZEILUMINACIN -57 Figura 60. Construccin de la imagen para las siguientes distancias del objeto: (a) ms all de 2 F1, (b) en 2 F1, (c) entre 2 F1 y F1, (d) en F1 y (e) dentro de F1. LUZEILUMINACIN -58LA ECUACIN DE LAS LENTES Y EL AUMENTO Las caractersticas, el tamao y la localizacin de las imgenes pueden tambin determinarse analticamenteapartirdelaecuacindelaslentes.Estaimportanterelacinsepuedededucir aplicando la geometra plana a la figura 61. La deduccin es similar a la que se hizo para obtener laecuacindelespejo,ylaformafinalesexactamenteigual.Laecuacindelaslentespuede escribirse: f q p1 1 1= + donde p = distancia al objeto q = distancia a la imagen f = distancia focal de la lente Lasmismasconvencionesdesignosestablecidasparalosespejossepuedenusarenla ecuacin de las lentes si tanto las convergentes como las divergentes se comparan con los espejos convergentes y divergentes. Esta convencin se resumen en la siguiente forma: 1.La distancia al objeto p y la distancia a la imagen q se consideran positivas para objetos e imgenes reales y negativas para objetos e imgenes virtuales. 2.Lalongitudfocalfseconsiderapositivaparalentesconvergentesynegativaparalentes divergentes. Lassiguientesformasalternativasdelaecuacindelaslentesresultantilespara.resolver problemas de ptica f qfqp=f pfp= q p qqpf+= Esconvenientequeverifiquecadaunadeestasexpresionesresolviendolaecuacindelas lentes explcitamente para cada parmetro que aparece en la ecuacin. El aumento de una lente tambin se deduce de la figura 61 y tiene la misma forma estudiada para los espejos. Hay que recordar que el aumento (amplificacin) M se define como la razn del tamao de la imagen y con respecto al tamao del objeto y, por lo que: pqyyM = =' donde q es la distancia a la imagen y p es la distancia al objeto. Un aumento positivo indica que la imagen es derecha, mientras que un aumento negativo ocurre slo cuando la imagen es invertida. LUZEILUMINACIN -59 Figura 61. Deduccin de la ecuacin de las lentes y el aumento. EJEMPLO 19.Un objeto de 4 cm de altura se localiza a 10 cm de una lente convergente delgada que tiene una longitud focal de 20 cm. Cul es la naturaleza, tamao y ubicacin de la imagen? Solucin: Lasituacincorrespondealaqueseilustraenlafigura59(e).Ladistanciaalaimagense encuentra a partir de: ( )( )cmcmcmcm cmcm cmf ppfq 201020020 1020 102 ==== El signo menos indica que la imagen es virtual. La relacin de aumento