Apuntes de Portafolios

7/24/2019 Apuntes de Portafolios

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1 INTRODUCCION

Tradicionalmente se define inversin como el compromiso actual de re-cursos con el objetivo de obtener ms tarde algunos beneficios. El anli-sis de inversiones es el proceso de examen de alternativas y de decisinsobre qu alternativa es preferida. A diferencia de otros problemas deeleccin similares, el anlisis de inversiones se da dentro del marco de losmercados financieros, que simplifican la toma de decisiones a travs delprincipio de comparacin. Para explicar este principio, consideremos lasiguiente situacin hipottica:

Alguien te ofrece la siguiente inversin: si entregas hoy 100$ se tedevolver 110$dentro de un ao. Este repago est garantizado 100%,por lo que est libre de riesgo. Aceptas o rechazas esta oferta?.

Como es fcil de comprobar, se est ofreciendo una tasa de intersdel 10%. Puedes comparar dicha tasa con la ofrece tu banco local olos papeles gubernamentales tipo CETE. Si estas tasas estn por de-bajo del 10% aceptaras la propuesta de inversin y si estn por encimadel 10% rechazaras dicha oferta. En general se evalan las oportu-nidades de inversin comparndolas con otras oportunidades diponiblesen los mercados financieros. Los mercados financieros ofrecen una basede comparacin.

Otro principio importante en el anlisis de inversiones es el principiode no arbitraje. Para explicar dicho principio consideremos de nuevo unejemplo.

Supongamos que en tu localidad existen dos bancos que ofrecen lamisma tasa para prstamos y depsitos. Pero dicha tasa es de10% parael primer banco y del 12% para el segundo banco. Est claro que tienesuna oportunidad de ganar dinero sin comprometer recursos propios. Vasal primer banco y pides un prstamo de 10,000$ que depositas imme-diatamente en el segundo banco. En un ao ganars 200$ sin haber

invertido un dlar de tu bolsillo.Este ejemplo no es muy realista. En la realidad dos activos difer-

entes con propiedades idnticas tendern a tener el mismo precio; si nofuese as habra una oportunidad de arbitraje. El supuesto de que en losmercados financieros no existen oportunidades de arbitraje tiene impor-tantes consecuencias. Se ver que este principio implica que la relacinentre diferentes precios es lineal, que los precios tienen que satisfacerciertas relaciones y que los precios de los activos derivados (opciones yfuturos) se pueden determinar analticamente.

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Otra importante propiedad de los mercados financieros es que son

dinmicos, en el sentido de que un instrumentofi

nanciero se intercambiacontinuamente. Esto significa que el precio futuro de un activo no es unnmero conocido sino que es un proceso que se mueve en el tiempo y estsujeto a incertidumbre. Una parte importante del anlisis de inversionesconsiste en la caracterizacin de dicho proceso.

Otro principio del anlisis de inversiones es la aversin al riesgo.Supongamos que existen dos oportunidades de inversin que cuestanigual y que se espera ofrezcan el mismo retorno (algo mayor al costoinicial). Sin embargo el rendimiento de una de las oportunidades escierto y el de la otra es incierto. La mayora de los individuos elegiran

la primera oportunidad. Este es el principio de aversin al riesgo quese formaliza a travs del anlisis de media-varianza. En este enfoque,la incertidumbre del rendimiento de un activo se caracteriza por doscantidades: el valor medio del rendimiento y su varianza. El principiode aversin al riesgo dice que ante diferentes oportunidades de inversinque ofrecen el mismo rendimiento medio, un inversionista racional yaverso al riesgo elegir aquella que tenga menor varianza.

El anlisis de inversiones considera diferentes problemas como la val-uacin de activos, la cobertura de riesgos, la seleccin de carteras, lacombinacin de consumo-inversin...Este curso est dedicado exclusiva-

mente a la valuacin de activos. En la primera parte se cubrirn los mod-elos de valuacin de un periodo ms conocidos y utilizados, el CAPM y elAPT y la segunda parte se dedicar a la valuacin de activos derivados.

El supuesto de que la inversin comprende un slo periodo es, amenudo, una buena aproximacin. Por ejemplo, una inversin en unbono de cupn cero, o una inversin en un proyecto que no paga nadahasta no ser completado. Sin embargo, la mayora de las inversiones,como la compra de acciones, no estn sujetas a un slo periodo porquepueden ser vendidas o liquidadas cuando el inversionista quiera. A pesarde esto, estas inversiones se analizarn como si fueran inversiones de unperiodo. Adems, los modelos de valuacin que veremos en este cursoson la base de modelos multiperiodo ms complejos.

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2 ANLISIS MEDIA-VARIANZA

Normalmente, cuando se realiza una inversin, se conoce la cantidadinicial de capital empleada pero no la cantidad que se obtendr de estaoperacin en el futuro. Esta incertidumbre o aleatoriedad hace que elanlisis de una inversin se haga en trminos estadsticos. En esta seccindefiniremos nuestro objeto de estudio y sus propiedades y haremos unrepaso de algunos conceptos estadsticos bsicos.

Activo

Un instrumento de inversin que puede ser comprado y vendido esconocido como activo. Con esta definicin consideramos activos a las ac-ciones de las empresas, los bonos corporativos, Cetes, Bondes, Udibonos,divisas, papel comercial, activos inmobiliarios (oficinas, viviendas,..).

Rendimiento de un activo

Supongamos que se compra un activo en t=0 y se vende en t=1. Elrendimiento total de ese activo durante ese periodo es:

R= cantitad recibidacantidad invertida

La cantidad monetaria recibida=precio de venta + dividendos (si loshay). A menudo, por simplicidad, se utiliza el trmino rendimiento parahacer referencia a la tasa de rendimiento de un activo.

La tasa de rendimiento de un activo se calcula como r = X1X0X0

. Yes fcil comprobar que:

R= 1 + r

Cartera de activos ( o portafolio de activos)

Una cartera es un conjunto de n activos. Los Fondos de Inversin ylas SIEFORE son ejemplos de carteras. Si el total invertido en la cartera

esX0y se reparte entre los n activos, entoncesX0=nPi=1

X0idondeX0i

representa la cantidad invertida en el activo i.

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wi se conoce como la ponderacin del activo i en la cartera y se

defi

ne como wi = X0i

X0 parai = 1,....,n. Y se cumple que la suma de lasponderaciones de los activos que forman una cartera suman siempre1.

nXi=1

wi = 1

Si la inversin en el activoi ha consistido en una operacin de ventaen corto, entonces la ponderacin que ese activo tiene en la cartera esnegativa:

wi =X0i

X0

Que es unaventa en corto?

A veces, es posible vender un activo que no se tiene mediante elproceso conocido como venta en corto. Para hacerlo, se pide prestadoel activo a alguien que lo posea (normalmente una Casa de Bolsa). Se

vende el activo y se recibe, en ese momento una cantidadX0. Ms tardehay que devolver el prstamo. Para ello se compra el activo a un precioX1y se le entrega al que lo prest. Un inversionista realizar una ventaen corto cuando espera que el precio del activo caiga durante el periododel prstamo. Si este fuera el caso, entonces se obtiene una gananciapuestoX0 X1> 0.

El rendimiento asociado a una venta en corto se calcula as:

R= -cantidad recibida

-cantidad invertida

=X1X0

=cantidad pagada en t = 1

cantidad recibida en t = 0

Rendimiento de una cartera

El rendimiento de una cartera se puede calcular considerando a lacartera como un activo individual. Es decir, si invertimos X0en compraren t = 0 los n activos, y los vendemos en t = 1 y obtenemos X1, elrendimiento de esa cartera ser R = X1

X0.

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Pero tambin podemos calcular el rendimiento de una cartera uti-

lizando la informacin disponible acerca del rendimiento individual delosnactivos que la forman. SiRies el rendimiento del activoi, entonces:

R=nXi=1

wiRi

2.1 Algunos conceptos estadsticosEl rendimiento como variable aleatoria

Puesto que existe incertidumbre acerca del valor del activo en elfuturo, el rendimiento (y la tasa de rendimiento) es aleatorio y puede serdescrito en trminos probabilsticos.

Supongamos quexes una variable que puede tomar un nmero finitode valores, digamos x1, x2,...xn. Supongamos, adems que a cada valorxi le asociamos una probabilidad pi que representa la posibilidad deque esa variable tome el valor xi. Estas probabilidades pi tienen quesatisfacer que su suma sea igual a 1. La pi puede pensarse como lafrecuencia relativa en la que xi aparece en un experimento que consisteen observar xun nmero infinito de veces. La variable x caracterizadade esta forma, antes de que su valor se conozca, se denominavariablealeatoria.

Es comn mostrar las probabilidades asociadas a una variable aleato-ria como una densidad. Grficamente, en el eje de las X se muestran losposibles valores de la variable aleatoria y en el eje de las Y las probabil-idades asociadas a cada valor.

Ejemplo:

Supongamos que la tasa de rendimiento de un activo cualquiera(quees una variable aleatoria) slo puede tomar 5 valores. Y a cada posibletasa se le asigna una probabilidad.

r1= 0.25 r2= 0.20 r3= 0.15 r4= 0.10 r5= 0.05

p1= 0.30 p2= 0.20 p3= 0.20 p4= 0.10 p5= 0.20

y grficamente,

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Si la variable x puede tomar cualquier valor, entonces necesitamosuna funcin que describa la probabilidad que se asigna a cada posiblevalor, es decir, una funcin de densidad, p(x). Se tiene que cumplir queel area debajo de la funcin de densidad sea igual a 1, es decir:

xZx0

f(x)dx= 1

dondex h

x0,

xi

es el rango de la variable x.

El siguiente grfico muestra una funcin de densidad de una variablecontinua.

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Rendimiento esperado de un activo

Es el rendimiento que el inversor esperaganar en el prximo periodo.El valor esperado de una variable aleatoria es el valor medio que se ob-tiene si consideramos las probabilidades como frecuencias. Es decir, si elrendimiento es una variable aleatoria, entonces el rendimiento esperadose calcula as:

E(x) =nXi=1

pixi

En el caso de que la variable aleatoria pueda tomar cualquier valor,el valor esperado se calcula como:

E(x) =

Z

f(x)xdx

El operador valor esperado cumple las siguientes propiedades:

1. Siy es un valor conocido, entonces E(y) =y.2. Six y zson variables aleatorias, entoncesE(x + z) =E(x) +

E(z)donde y son valores reales.

3. Si xes una variable aleatoria que nunca toma un valor negativo,entoncesE(x) 0.

Rendimiento medio muestral

El rendimiento esperado es un parmetro desconocido de la distribu-cin de probabilidad de la variable aleatoria, rendimiento. Podemos

acercarnosa su valor utilizando los datos del pasado.Siries la tasa de rendimiento del activo observado en el periodoi, y

tenemosNobservaciones del pasado, el rendimiento medio muestral secalcula as:

_r=

1

N

nXt=1

ri

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Varianza y desviacin estndar

El rendimiento esperado es una informacin valiosa pero insuficiente.Si dos activos ofrecen el mismo rendimiento esperado, cal se elige?

Necesitamos una medida de dispersin alrededor de ese rendimientoesperado. La dispersin de una distribucin de probabilidad de unavariable aleatoria nos dice canto puede un valor particular desviarsedel esperado. Si la distribucin es muy dispersa, los posibles valoressern muy inciertos. Esta medida de dispersin es la varianza. Paraencontrar la varianza:

1. Medimos la desviacin de cada posible valor de la variable con

respecto al valor esperado xi E(x)2. A cada desviacin se le atribuye una probabilidad ( la misma que

se atribuye axi)

3. Tomamos el valor medio de esas desviaciones: E(xE(x)). Peropuede aparecer el siguiente problema: habr desviaciones que se canceleny por lo tanto habr prdida de informacin.

4. Tomamos como varianza

2 =E(xE(x))2

Si la variable aleatoria es discreta entonces 2 =nPi=1

pi(xi E(x))2 y

si es continua, entonces 2 =

xRx0

(xE(x))2f(x)dx.

Sabiendo las propiedades del operador valor esperado, es fcil com-probar que se cumple:

2 =E(x2)

[E(x)]2

En Finanzas la varianza del rendimiento es una medida de riesgo delactivo. Otra medida muy utilizada es la desviacin estndarque sedefine como la raz cuadrada de la varianza.

Varianza muestral

Al igual que el rendimiento esperado, la varianza del rendimiento esun parmetro desconocido. Podemos acercarnosa su valor utilizandolos datos del pasado. Y su frmula es la siguiente:

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_2=

1

N 1NXi=1

(ri_r)2

El rendimiento esperado de una cartera

Cmo calculamos el rendimiento esperado de una cartera?. Uti-lizando la informacin disponible acerca de los rendimientos esperadosde los activos individuales que la forman. Y as:

E(rc) =nXi=1

wiE(ri)

La covarianza

Si invertimos en dos activos y estamos interesados en saber qu pode-mos esperar de esa inversin utilizamos la covarianza. La covarianza esla medida que explica la dependencia ( el comovimiento) de dos o msvariables aleatorias.

Supongamos que tenemos dos activos, A y B .

Si la mayora de las veces el rA > E(rA) cuando rB > E(rB) yrA < E(rA) cuando rB < E(rB), entonces existe una relacin positivaentre los dos activos. Es decir, su covarianza es positiva.

Si la mayora de las veces el rA > E(rA) cuando rB < E(rB) yrA < E(rA) cuando rB > E(rB), entonces existe una relacin negativaentre los dos activos. Es decir, su covarianza es negativa.

Si no existe relacin entre los dos activos entonces la covarianza esnula.

La covarianza es la esperanza del producto de las desviaciones de losdos rendimientos con respecto a sus rendimientos esperados y se calculaas:

Cov(rA, rB) =ij=E[(rA E(rA))(rB E(rB))]

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Para acercarnos a este parmetro calculamos la covarianza mues-

tral. Una observacin es, en este caso, un par de rendimientos (rA, rB)observados en un momento temporal. Si tenemosNobservaciones tem-porales, entonces:

_AB=

1

N 1NXi=1

(rAi_

rA)(rBi_

rB)

En general, el nmero que nos da ese clculo no nos dice muchodel grado de relacin. Una medida relacionada es el coeficiente de cor-

relacin.

Coeficiente de correlacin

Se define comoAB=Cov(rA, rB)

ABy se demuestra que1 AB 1

donde

AB= 1 correlacin perfecta negativaAB= 0 no correlacinAB= +1 correlacin perfecta positiva

La varianza de una carteraLa varianza de una cartera es simplemente la medida de dispersin

de los rendimientos de sta alrededor del rendimiento esperado:

2c =E((rc E(rc))2)

Pero si conocemos las varianzas y covarianzas de los activos que for-man esta cartera, podemos expresar la varianza de la cartera en funcinde estas varianzas y covarianzas individuales.

2c =nXi=1

w2i 2i +

nXi=1

nXj=1

i6=j

wiwjij

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2.2 Diversificacin

En finanzas hay un principio simple que le dice al inversionista que di-versique. La lgica de este principio es que la diversificacin reduceel riesgo. Para demostrarlo, supongamos que el inversionista inviertesu dinero en una cartera formada por activos independientes, es decir,cuyas covarianzas son cero. Entonces, la frmula de la varianza de estacartera es:

2c =nXi=1

w2i 2i

Si asumimos adems que todos los activos estn igualmente ponder-ados, entonces:

2c =nXi=1

(1

n)22i =

1

n

nXi=1

2in

= 1

n

_

2i

A medida que incorporamos a la cartera ms activos independientesy con la misma ponderacin la varianza de la cartera tiende a 0 (diver-sificacin).

En general, la covarianza entre los activos es positiva. En este casola varianza de la cartera no puede tender a 0, pero puede reducirse. Siconsideramos una cartera formada por activos con igual ponderacin:

2c =nPi=1

( 1N

)22i +nPi=1

nPj=1

i6=j

( 1N

)2ij.

2c = (1N

)nPi=1

( 1N

)2i + N1N

nPi=1

nPj=1

i6=j

ijN(N1)

.

2c = (1N

) _2i +N1N

_ij

Si el nmero de activos aumenta, la varianza de la cartera tiende ala covarianza media

_ij.

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3 EL MODELO DE MARKOWITZ

La pregunta que Markowitz intenta contestar en su artculo PortfolioSelection de 1952 es la siguiente. Dado un conjunto de posibles inver-siones, Cal es lamejor eleccin?. Antes de contestar a esta preguntahay que estudiar ese conjunto de posibilidades de inversin que cualquierinversionista tiene.

3.1 El conjunto de posibilidades con dos activosSupongamos que slo existen dos activos en el mundo. Queremos repre-sentar grficamente el conjunto de posibilidades que estos dos activos ytodas sus posibles combinaciones ( carteras ) nos ofrecen.

Qu medidas representan a un activo?.

Siel rendimiento del activo es una variable aleatoria con unadistribucin de probabilidad normal,o la funcin de utilidad escuadrtica1 entonces, slo necesitamos dos medidas: el rendimientoesperado y la varianza.

Queremos ver si es posible una representacion grafica del conjunto deposibilidades del inversionista si slo existen dos activos. En este con-junto queremos incluir todas las posibles carteras que se pueden formar

con estos dos activos. Y por ahora nos enfocaremos en aquellas carterasdonde ambos activos tengan ponderaciones no-negativas ( es decir, queno haya posibilidad de ventas en corto).

El caso de correlacin perfecta positiva

Supongamos que tenemos dos activos, A y B cuyo coeficiente decorrelacin esA,B= 1. El conjunto de posibilidades estar formado por:el activo individualA, el activo individualB y todas las carteras que sepuedan formar combinando estos dos activos. Siwes la ponderacin queasignamos aAen cualquier cartera, es muy fcil comprobar que el activo

individualA es equivalente a una cartera donde w = 1y 1 w= 0. Deigual forma el activo individual B puede representarse como una carteradondew = 0y 1w= 1. En definitiva, para representar el conjunto deposibilidades hay que estudiar las carteras.

El rendimiento esperado de cualquier cartera (no especificamos w)formada por estos dos activos es:

1Para demostrar esta afirmacin ver captulo 7 de estos apuntes

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E(rc) =wE(ra) + (1 w)E(rb)

Y la varianza de cualquier cartera

2c =w22a+ (1 w)22b+ 2w(1 w)ab

Pero dado que el coefi

ciente de correlacin es 1, entonces ab =ab.Y podemos expresar la varianza de la cartera:

2c = (wa+ (1 w)b)2

La desviacin estandar es, entonces c= wa+ (1 w)b.

Queremos encontrar una relacin entre E(rc) y [c]. Entonces, de-spejamos de la desviacin estndar la ponderacinwy la sustituimos en

la expresin del rendimiento esperado de la cartera.

w= c ba b

E(rc) = c ba b

E(ra) + (1 c ba b

)E(rb)

E(rc) =E(rb) E(ra)E(rb)ab b+ (E(ra)E(rb)

ab)c

El caso de correlacin perfecta negativa

Supongamos ahora que tenemos los activos, Ay B tienen un coefi-ciente de correlacin es =1. El rendimiento esperado de cualquiercartera formada por estos dos activos sigue siendo:

E(rc) =wE(ra) + (1 w)E(rb)

Y la varianza de esta cartera:

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2c =w22a+ (1 w)22b+ 2w(1 w)ab

Pero dado que el coeficiente de correlacin es1, entonces ab =ab.Y podemos expresar la varianza de la cartera:

2c = (wa (1 w)b)2

La desviacin estndar es, entonces c = wa (1 w)b o c =wa+ (1 w)b.

Queremos encontrar la expresin que relacione E(rc) con c. Perotenemos dos posibilidades. Slo una es apropiada para cualquier valordew. sta debe ser aquella que para cualquier w nos da c 0. Unavez que descubramos cal de ellas es, operamos de la misma forma quecon el caso de correlacin positiva.

Hay que darse cuenta de que cuando la correlacin entre dos activos

es perfectamente negativa, existe una ponderacin 0 < w < 1 tal quehace que la desviacin estandar de esa cartera sea0. (sin riesgo). Y estaes:

w= b

a+b

Representacin grafica de los casos = +1y = 1cuando no hayposibilidad de vender en corto (es decir, cuando todas las ponderaciones

de cualquier cartera son positivas)

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El caso de correlacin cero

En el caso de que = 0la expresin de la desviacin estndar de lacartera quedara as:

c= (w22a+ (1 w)22b)

1

2

En este caso no podemos simplificar esta expresin y por lo tanto larepresentacin de la relacin entre E(rc)y c no es simple como antes.Sin embargo podemos identificar fcilmente la cartera cuya desviacinestndar es mnima (que no 0). Para encontrarla simplemente mini-mizamos la expresin de la desviacin:

c

w =

2w2a 22b+ 2w2b2(w22a+ (1 w)22b)1/2

Igualando a0 encontramosw que minimiza la desviacin estandar:

w= 2b2a+

2b

En el siguiente grfico quedaran representadas el conjunto de posi-bilidades de inversin para los tres casos analizados cuando no es posiblerealizar ventas en corto.

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Si existe la posibilidad de realizar ventas en corto (cuando las pon-deraciones pueden ser negativas) entonces, el conjunto de posibilidadesde inversin se extiende ms all de los puntos que representan los ac-tivos individuales. Para mostrar dicho conjunto, seguiremos el siguienteejemplo. Supongamos que tenemos dos activos con las siguientes carac-tersticas:

EjemploE(r) (r)

A 0.10 0.05B 0.04 0.10

Si la correlacin entre ambos activos es A,B= 1

wA E(rc) (rc)

3 0.22 0.052 0.16 01.5 0.13 0.0250.75 0.085 0.06250.5 0.07 0.0750.25 0.055 0.0875-0.5 0.01 0.125

Entonces, el conjunto de posibilidades de inversin sera

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Es de notar que, cuando las ventas en corto estn permitidas, tambinexiste una combinacin de activos tal que su desviacin estndar es 0.Esta es:

w= BA B

Es decir, uno de los dos activos, necesariamente, ser vendido encorto puesto que o w 1.

Si la correlacin entre ambos activos es A,B= 1

wA E(rc) (rc)3 0.22 0.352 0.16 0.201.5 0.13 0.1250.667 0.08 00.25 0.055 0.0875-0.5 0.01 0.175

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Si la correlacin entre ambos activos es A,B= 0 entonces

wA E(rc) (rc)1.5 0.13 0.090.75 0.085 0.0450.5 0.07 0.056

0.25 0.055 0.076-0.5 0.010 0.154

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3.2 La inclusin del activo libre de riesgo

Supongamos que el inversor slo puede invertir en un activo riesgoso Ay en activo libre de riesgo, rf. Por definicin si un activo no tiene riesgo,su rendimiento es conocido, y por lo tanto no estamos ante una variablealeatoria, sino determinstica. Consecuentemente, no podemos hablar derendimiento esperado y varianza de ese activo. O, dicho de otra forma,tendremos que E(rf) =rf y V ar(rf) = 0. Adems la covarianza entrecualquier activo riesgoso y dicho activo sin riesgo es 0.

Si queremos representar en una grfica todas las posibles combina-ciones tenemos que ser capaces de encontrar la relacin entre rendimientoesperado y desviacin estndar de cualquier combinacin. Sabemos que:

E(rc) =wE(rA) + (1 w)rfV ar(rc) =w

22Aya que rf = 0y C ov(rA, rf) = 0.

Es fcil derivar que:

E(rc) =rf+ (E(rA) rf

A)C

Esta ecuacin es una lnea recta que corta el eje de las Y en rf y

cuya pendiente es E(rA) rfA .

En este grfico podemos reconocer aquellas combinaciones donde elinversor est prestando a la tasa rf ( a la izquierda de A) y aquellasdonde el inversor pide prestado a la tasa rf(a la derecha de A).

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3.3 El conjunto de posibilidades con N activos

Supongamos que ahora hay N activos. Vamos a representar grficamentetodas las posibles combinaciones de estos N activos. El conjunto deposibilidades satisface dos importantes propiedades:

1. Si existen al menos tres activos ( no correlacionados perfectamentey con rendimientos esperados diferentes) el conjunto de posibilidades serunareginen el espacio de dos dimensiones.

2. El conjunto de posibilidades esconvexopor la izquierda.

En realidad existen dos definiciones de conjunto de posibilidades de-

pendiendo de si las ventas en corto estn permitidas o no. Las dospropiedades (conjunto compacto y convexo) se cumplen en los dos ca-sos. Pero el conjunto de posibilidades cuando las ventas en corto estnpermitidas contendr la regin definida sin ventas en corto.

3.4 El conjunto de mnima varianza y la frontera

eficienteLa frontera izquierda del conjunto de posibilidades se conoce como elconjunto de mnima varianzaya que para cualquier valor de rendimientoesperado es posible encontrar la cartera cuya desviacin estndar es lams pequea. Est claro que cualquier inversor preferir estas carteras alas carteras situadas en el interior de la regin, puesto que, para cualquiernivel de rendimiento esperado ofrecen la menor varianza. Una carterainteresante que forma parte de este conjunto es la cartera de mnimavarianza (MVP).

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Si le damos la vuelta al argumento, un inversor racional buscaraquellas oportunidades de inversin que ofrecen el rendimiento esperadoms alto para cualquier varianza. Si tenemos en cuenta esto, el conjuntode mnima varianza relevante es slo la mitad superior. A este conjuntose le conoce como la frontera eficiente. Este conjunto est formadopor las mejores combinaciones rendimiento esperado-varianza.

3.5 Tcnicas para el clculo de la frontera eficientePara explicar cmo encontrar esa frontera eficiente empezaremos con elcaso ms sencillo: cuando las ventas en corto estn permitidas y existeun activo libre de riesgo en la economa.

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La frontera eficiente con rfy ventas en corto

Cuando existe un activo libre de riesgo en la economa y los inversoresno estn limitados en la cantidad de dinero que pueden prestar y pedirprestado,la frontera eficiente es una recta.

En la seccin anterior vimos que podamos dibujar todas las posiblescombinaciones entre el activo libre de riesgo y cualquier otro activo ries-goso. En el siguiente grfico dibujamos todas las combinaciones entre elactivo libre de riesgo y tres carteras formadas exclusivamente con activosriesgosos.

Qu conjunto(s) desechara el inversor?.

Consideremos ahora que existen n activos riesgosos+activo libre deriesgo. Sabemos que el conjunto de posibilidades (el conjunto formadopor todas las posibles combinaciones de estos n activos) tiene la forma

de una bala y que el activo libre de riesgo se situara sobre el eje de las Y.Grficamente, se puede ver que todos los inversores racionales deberanmantener la misma cartera de activos riesgosos, la cartera T.

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La frontera eficiente estar formada por combinaciones de rf conT.Supongamos que la cartera Test formada por n activos, con pondera-ciones wi i = 1,...n.. Si un inversionista decide formar una cartera conT yrf, y la ponderacin que le da a la primera es x, entonces est for-mando una cartera den + 1activos (los n de la cartera Tms el activolibre de riesgo) y sus ponderaciones sern respectivamentew

0

i=xwiconi= 1,...ny w

0

rf= 1 x

Para encontrar la expresin matemtica de la frontera eficiente nece-sitamos identificar esa carteraT, es decir, saber qu activos la forman yqu ponderaciones tienen.Cmo lo hacemos?

1. Buscamos una recta que tenga la pendiente mxima posible.Buscamos maximizar la pendiente eligiendo las ponderaciones wi parai= 1, 2...,nde la cartera sujeto a la restriccin de que esas ponderacionessumen 1:

Maxw1,w2,...wn

E(rT) rfT

Sujeto anPi=1

wi= 1

DesarrollamosE(rT)y T, es decir, sustituimos

E(rT) =nPi=1

wiE(ri)

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T = (n

Pi=1

w2i 2i +

n

Pi=1

n

Pj=1

wiwjij)1

2 .

Si expresamos rf comonPi=1

wirf =rf, el problema de maximizacin

se transforma en:

Max =w1,w2,...wn

nPi=1

wi(E(ri) rf)

(nPi=1

w2i 2i +

nPi=1

nPj=1

wiwjij)1

2

Las condiciones de primer orden de este problema de maximizacin

forman un sistema de n ecuaciones con n incgnitas ( las w):

w1= 0

w2= 0

.

.

wn= 0.

Este sistema de n ecuaciones se resuelve fcilmente realizando una

serie de operaciones ( ver demo en cap 4 de Elton y Grueber). Constru-imos primero unas variables ficticiasZii = 1, 2..,n, quedando el sistemaasi:

E(r1) rf=Z121+ Z212+ Z313+ ... + Zn1nE(r2) rf=Z121+ Z222+ Z323+ ... + Zn2nE(r3) rf=Z131+ Z232+ Z323+ ... + Zn3n...

E(rn) rf=Z1n1+ Z2n2+ Z3n3+ ... + Zn2nUna vez que resolvemos este sistema para Zi i = 1, 2, 3...,nencon-

tramos laswide la siguiente forma:

wk = ZknPi=1

Zi

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La frontera eficiente con rfy sin ventas en corto

Este problema es similar al anterior: tenemos que encontrar la nicacartera formada por activos riesgosos ptima que maximiza la pendientede la recta que conecta el activo libre de riesgo con esta cartera. Sinembargo, el hecho de que las ventas en corto no estn permitidas aadeuna nueva restriccin a nuestro problema de maximizacin; requerimosque las ponderacioneswique buscamos sean positivas.

Maxw1,w2,...wn

E(rT) rfT

Sujeto a

nPi=1 w

i= 1y wi 0i= 1, 2,...n.Este problema parece un problema de programacin lineal porque

las dos restricciones son lineales pero la funcin a maximizar no es linealpuesto que contiene los trminosw2i ywiwj. La solucin a este problemano es inmediata.

La frontera eficiente sin rfy sin ventas en corto

El conjunto eficiente se obtiene minimizando el riesgo para cualquiernivel de rendimiento esperado. Es decir:

Minw1,w2...wn

nPi=1

w2i 2i +

nPi=1

nPj=1

wiwjij.

sujeto a

nPi=1

wi = 1

wi 0i= 1, 2...nnPi=1

wiE(ri) =_

R

Variando _

Rencontraramos todo la frontera eficiente. Este problema

puede simplificarse si se considera el siguiente importante resultado.

Teorema de los dos fondos Dos carteras o fondos eficientes puedenduplicar cualquier otra cartera eficiente con la combinacion de estos dos.En otras palabras, todos los inversores que buscan carteras eficientes slonecesitan invertir en combinaciones de estos dos fondos.

El programa para encontrar la frontera eficiente cuando no existe unactivo libre de riesgo es el siguiente:

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1. Encontrar la matriz de Var-Cov.

2. Encontrar la cartera de MinVarianza y calcular E(rMV).3. Tomar dos rendimientos libres de riesgo falsos: HAy HB tal que

HA> E(rMV)y HB > E(rMV).

4. Resolver los dos sistemas de ecuaciones:

E(r1)HAE(r2)HA

...R(rn)HA

=

2112 ....1n

22 ...2n.2n

Z1AZ2A...

ZnA

E(r1)HBE(r2)HB

...R(rn)HB

=

2112 ....1n

22 ...2n.2n

Z1BZ2B

...ZnB

5. Encontrar el vector de ponderaciones WA= (w1A, w

2A.......w

nA)yWB = (w

1B, w

2B.......w

nB).

wkA = ZkAnPi=1 ZiA

wkB = ZkBnPi=1

ZiB

para todok = 1, ...n.

6. CalcularE(rA) =nPi=1

wiAE(ri), A= (nPi=1

nPj=1

wiAw

jAij)1/2

yE(rB) =n

Pi=1wiBE(ri) B = (

n

Pi=1n

Pj=1wiBw

jBij)1/2

7. La frontera eficiente se obtiene combinando la cartera A y B.WC= WA+ (1 )WB es el vector de ponderaciones de otra carteraque pertenece a la frontera y se tiene que cumplir que 0 1

8. CalcularE(rC)y C.

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3.6 Markowitz y el calculo matricial

Suponemos que V, la matriz de varianzas y covarianzas, es no singular.Esto requiere esencialmente que ningn activo est perfectamente cor-relacionado con el rendimiento de una cartera constituida por el restode los activos y que no exista activo libre de riesgo.

El problema de seleccin de cartera de Markowitz se formula as:

Min2p= wTVw

sujeto a

wT1= 1

wTE(R) =E(Rp)

Es decir, minimizamos la varianza de la cartera sujeto a dos restric-

ciones: a) que la suma de las ponderaciones de los activos individualesdebe ser igual a 1 y b) que la cartera debe obtener un rendimiento es-perado igual aE(Rp). Tcnicamente minimizamos una funcin convexasujeta a restricciones lineales. El problema tiene una nica solucin yslo necesitamos obtener las condiciones de primer orden.

El lagrangiano del problema es:

L= wTVw 1(wTE(R)E(Rp)) 2(wT1 1)

Las condiciones de primer orden son:

Lw

= 2Vw 1E(R) 21= 0L1

= wTE(R)E(Rp) = 0L2

= wT1 1 = 0

De la primera condicin de primer orden obtenemos:

w= 12

V1(1E(R) +21) = 12

V1

E(R) 1 1

2

Las dos condiciones de primer orden pueden ser reescritas como:

E(R) 1

Tw=

E(Rp)

1

Sustituyendo en esta ecuacin el valor de w encontrado en la ecuacinanterior:

E(R) 1

Tw=

E(R) 1

T 12

V1

E(R) 1 1

2

=

E(Rp)

1

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Si llamamosA=

E(R) 1

T

V1

E(R) 1

se demuestra que es una

matriz defi

nida positiva. Entonces12

A

12

=

E(Rp)

1

Podemos resolver para los multiplicadores de Lagrange:

12

12

=A1

E(Rp)

1

Y para el vector de ponderaciones w:

w= 12V1

E(R) 1

12

= V1

E(R) 1

A1

E(Rp)1

Teorema (La seleccin de cartera en media-varianza). SeaVla matriz n n de varianzas y covarianzas definida positiva y E(R) elvector n 1 de rendimientos esperados de los n activos donde se asumeque no todos los elementos de E(R) son iguales. Entonces la carteraque ofrece un rendimiento esperado E(Rp) y cuya varianza es mnima

est dada por w= V1

E(R) 1

A1

E(Rp)1

.

La varianza de esta cartera est dada por:

2p= wTVw

2p=

E(Rp) 1

A1

E(R) 1T

V1V V1

E(R) 1

A1

E(Rp)1

2p=

E(Rp) 1

A1

E(Rp)1

2p=

E(Rp) 1

1acb2

c bb a

E(Rp)

1

=

a 2bE(Rp) + cE(Rp)2ac b2

Dondea = E(R)TV1E(R) b= E(R)TV11 yc = 1TV

11.

La relacin entre la varianza y el rendimiento medio encontrados,

2p = a 2bE(Rp) + cE(Rp)2

ac b2 se conoce como conjunto de mnima var-ianza. En el espacio de media-desviacin estndar esta relacin vienerepresentada por una hiprbola.

En la siguiente grfica se representa esta ecuacin y se distinguendos partes; la de arriba del punto que representa la cartera de mnima

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varianza global, y la de abajo. La primera identifica el conjunto de

carteras que tienen el rendimiento esperado ms alto, dada una varianza:este se conoce como frontera eficiente. Las carteras que pertenecen alsegundo son carteras ineficientes.

La cartera de mnima varianza global se obtiene minimizando

Min 2p=a 2bE(Rp) + cE(Rp)2

ac b2

con respecto a E(Rp)y se obtiene E(RG) =b

cy su varianza

2G=a 2bE(RG) + cE(RG)2

ac b2 =1

c.

Las ponderaciones se obtienen w=V11

c .

Se dice que dos carteras que pertenecen al conjunto de mnima vari-anza, wpy wz, son ortogonales si su covarianza es cero, es decir, wTzVwp=0. Queremos demostrar que para cualquier cartera que pertenece alconjunto de mnima varianza, excepto la de mnima varianza global,podemos encontrar una nica cartera, que tambin pertenece a dichoconjunto, ortogonal a ella. Adems, si el rendimiento esperado de laprimera esE(Rp), la ortogonal tiene rendimiento esperadoE(Rz)donde:

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E(Rz) = a bE(Rp)

b cE(Rp)

En la grfica anterior, podemos ilustrar la geometra de las carterasortogonales. Dado una cartera eficiente p, la linea que pasa entre p y lacartera de MV global, intersecta en el eje de las Y en el punto E(Rz).Una vez localizado E(Rz) la cartera ortogonal zpuede ser identificadaen el conjunto de MV. Notar que si p es eficiente zno lo es.

El teorema de la separacin de dos fondos

Este teorema nos dice que el conjunto de MV puede ser generado apartir de dos carteras que pertenezcan a este conjunto.

Teorema (de dos fondos): Seawaywbdos carteras que pertenecenal conjunto de MV y cuyos rendimientos medios sonE(Ra)y E(Rb)re-spectivamente, y E(Ra)6=E(Rb).

a) Entonces, cualquier cartera que pertenece al conjunto de MV esuna combinacin lineal dewa ywb.

b) Cada cartera que es una combinacin lineal de wa y de wb, es

decir, wa+ (1 )wb pertenece al conjunto de MV.c) En particular, si xa y xb son carteras eficientes, entonceswa+

(1 )wb es una cartera eficiente si 0 1.

Demostracin:

a) SeaE(Rc)el rendimiento medio de una cartera dada que pertenecea MV. Elige tal que E(Rc) = E(Ra) + (1 )E(Rb). Es decir, =

E(Rc)E(Rb)E(Ra) E(Rb)

. existe y es nica porque hemos asumido que

E(Ra) 6= E(Rb). Entonces wc = wa+ (1

)wb. Para demostrarlo,

ver que:

wc = V1

E(R) 1

A1

E(Rc)1

wc = V1

E(R) 1

A1E(Ra) + (1 )E(Rb)

+ (1 )

wc = V1

E(R) 1

A1

E(Ra)1

+(1)V1 E(R) 1A1

E(Rb)

1

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wc = wa+ (1 )wbb) Considera una cartera wcque es combinacin lineal de way wb. Entonces:

wc = wa+ (1 )wb

wc = V1

E(R) 1

A1

E(Ra)1

+(1)V1 E(R) 1A1

E(Rb)

1

wc = V1

E(R) 1

A1E(Ra) + (1 )E(Rb)

1

Y por el teorema de media-varianza podemos decir que wc es unacartera que pertenece aM V.

c) Esto es demostrado como en b). Slo destacar que si 0 1,entoncesE(Ra) E(Ra)+(1)E(Rb) E(Rb)siE(Ra) E(Rb).

El conjunto de MV cuando hay activo libre de riesgo

En la seccin anterior se present y se resolvi el problema de selec-cin de carteras cuando existen n activos riesgosos. Ahora analizaremosel mismo problema cuando existen n activos riesgosos y un activo libre

de riesgo en la economa.Sea Rfes rendimiento del activo libre de riesgo, y E(ei) =E(Ri)Rf

el exceso de rendimiento esperado del activoi. Sea rel vector de excesos.Siwi son las ponderaciones de los activos, y wf = 1 wT1, entonces,para una cartera determinadap, el exceso de rendimiento es:

E(ep) = wTE(R) + (1wT1)RfRf = wTE(e)

La varianza de p es:

2p= wTVw

El problema de seleccin de cartera cuando existe un activo libre deriesgo se puede escribir como:

Min wTVw

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sujeto a wTE(e) = E(ep)

Notar que ahora wT1= 1no es una restriccin vlida puesto que lariqueza no tiene por qu ser distribuida entre los n activos riesgosos yaque parte de ella puede ir a parar al activo libre de riesgo. Haciendo elprograma de minimizacin se obtiene:

w=

E(ep)

E(e)TV1E(e)

V1E(e)

Y la varianza de esta cartera cuyo exceso de rendimiento es E(ep):

2p= wTVw=

E(ep)

E(e)TV1E(e)

2E(e)TV1V V1E(e)

2p= E(ep)

2

E(e)TV1E(e)

La cartera tangente al conjunto de MV es aquella cartera que mini-miza la varianza y que cumple que wT1= 1(es la cartera donde los nactivos son riesgosos). Es decir, aquella cuyo exceso de rendimiento es:

E(eT) =

E(e)TV1E(e)

1TV1E(e)

La recta que une el activo libre de riesgo con la cartera T es conocidacomo la linea de mercado de capitales y define el conjunto de carteraseficientes cuando existe un activo libre de riesgo en la economa.

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4 EL CAPM (Capital Asset Pricing Model)

El modelo de Markowitz se centra en la eleccin de cartera de un inver-sionista individual. Los supuestos de este modelo son:

1. El inversionista slo considera los dos primeros momentos de ladistribucin de probabilidad de los rendimientos: el rendimiento esper-ado y su varianza.

2. Dado un rendimiento esperado, el inversionista elige aquella carteraque ofrece la menor varianza.

3. El horizonte temporal de la inversin es de un periodo.

4. Las decisiones individuales no afectan los precios de mercado de

los activos.5. Se pueden comprar y vender fracciones de activos.

6. No existen costos de transaccin ni impuestos.

7. Los inversionistas pueden vender corto.

Con estos supuestos y el mtodo optimizador se determina la fron-tera eficiente y cada inversor elegir aquella cartera perteneciente a esteconjunto que se ajuste al nivel de riesgo que quiera asumir. La teorade Markowitz es una teora normativa; dice a cada inversionista cmo

invertir racionalmente. Pero para llegar a una teora positiva sobre losmercados de capitales, es decir, a una teora que explique cmo se for-man los precios de los activos hacen falta supuestos adicionales. Lossupuestos del modelo de Sharpe (1964) conocido como el modelo CAPMson:

1. Todo el mundo es optimizador en rendimiento esperado-varianza(es decir, todos los supuestos del modelo de Markowitz se cumplen).

2. Todo el mundo asigna la misma estructura probabilstica sobre losactivos, esto es, todo el mundo calcula los mismos rendimientos espera-dos, las mismas varianzas y covarianzas.

3. Existe un activo libre de riesgo. La misma tasa para pedir prestadoy prestar.

Dado que existe un activo libre de riesgo y no hay restricciones a laventa en corto, dado que todo el mundo calcula los mismos parmetros,todos hacen frente a una misma frontera eficiente. Si todos los inversoresson racionales, mantendrn la misma cartera de activos riesgosos, lacarteraT, aunque cada uno elegir la combinacin entre rfyTque estde acuerdo con el nivel de riesgo que quiera asumir.

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Si todo el mundo elige de esta forma, por el teorema de los dos

fondos sabemos que la cartera de mercado es una cartera efi

ciente.Para clarificar el concepto de cartera de mercado, es mejor hacerlo conun procedimiento inductivo.

Supongamos que slo hay dos individuos en la economa, con riquezasrespectivass1ys2invertidas en dos carteras eficientes con ponderacionesx1 y x2, respectivamente. Entonces la riqueza total de la economa ess1+ s2y las ponderaciones de la cartera total es x1+ (1)x2donde =

s1s1+ s2

. Dado que0 1, por el teorema de los dos fondos,sabemos que la cartera x1+ (1 )x2 es eficiente.

Supongamos ahora que la riqueza de ninversionistas,snse invierte endos carteras eficientes con ponderacin xn y la riqueza del inversionistan+ 1, sn+1en dos carteras eficientes con ponderacin xn+1. Entonces,por el teorema de los dos fondos, sabemos que la cartera total o sumade todas las carteras de los inversionistas de una economa, es eficiente.

4.1 La lnea de capitalesDado que todo el mundo mantiene la misma cartera, la cartera Tes lacartera de mercadoMde activos riesgosos. La frontera eficiente consisteen la linea que une el activo libre de riesgo con la cartera de mercado.

Esta linea se llama linea de mercado de capitales.

Esta linea muestra la relacin entre el rendimiento esperado y elriesgo para carteras o activos eficientes. A medida que el riesgo aumentael rendimiento esperado tambin. Esa linea:

E(r) =rf+E(rM) rf

M

La pendiente E(r

M)

rf

M es a menudo conocida como el precio delriesgo. Nos dice cuanto tiene que incrementar el rendimiento esperadode una cartera si se incrementa en una unidad su desviacin estandar.

La linea de mercado de capitales relaciona el rendimiento esperado yla desviacin estandar de las carteras eficientes pero no muestra como elrendimiento esperado de un activo individual se relaciona con su riesgoindividual.

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4.2 La frmula del CAPM

El CAPM es una teora que explica la relacin que existe entre el rendimientoesperado de cualquier activo y su riesgo.

Teorema (del CAPM). Si la cartera de mercado M es eficiente elrendimiento esperado E(ri) del activo i satisface:

E(ri) rf=i(E(rM) rf)

dondei =iM

2M.

Demostracin.Considere una cartera formada por un activo individual iy la cartera

de mercado con una ponderacin en el primero y (1 ) en el se-gundo.El rendimiento esperado de esta cartera ser:

E(r) =E(ri) + (1 )E(rM)

= (22i + 2(1 )iM+ (1 )22M)1/2

Podemos representar todas el conjunto de combinaciones de estos dosactivos. En particular = 0corresponde a la cartera de mercado.

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Esta curva no puede cruzar la linea de mercado de capitales. Pero

dado que pasa por la cartera de mercado, entonces la curva debe sertangente a la linea de mercado de capitales. Para calcular la pendientede esta curva tenemos que calcular:

dE(r)

d =E(ri)E(rM)

dd

=2i + (1 2)iM+ ( 1)2M

dd

|=0=iM 2M

M

Entonces la pendiente que estamos buscando dE(r)

d=

dE(r)

ddd

dE(r)

d|=0=

(E(ri)E(rM))MiM 2M

Esta pendiente tiene que ser igual a la pendiente de la linea de mer-cado de capitales:

(E(ri) E(rM))MiM 2M

=_rMrfM

Resolviendo paraE(ri)obtenemos la ecuacin del CAPM.

La frmula del CAPM relaciona el exceso de rendimiento de un ac-tivo con el exceso de rendimiento de la cartera de mercado a travs desu beta. O dicho de otra forma, tomando a rfcomo un punto base,el rendimiento esperado de un activo individual y el rendimiento delmercado son proporcionales.

Otra forma de leer la frmula est basada en el hecho de que esun versin normalizada de la covarianza del activo con la cartera demercado. El CAPM nos dice que el exceso de rendimiento esperado deun activo es directamente proporcional a su covarianza con el mercado.Es esa covarianza la que determina el rendimiento esperado del activo.

Supongamos que la beta de un activo es 0. Segn el CAPM elrendimiento esperado de ese activo es rf. Y sin embargo, el riesgo deeste activo (su desviacin estndar) podra ser muy alto. Un activo con

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= 0no recibe ningun premio por riesgo. La razn es que el riesgo de un

activo que no est correlacionado con el mercado puede ser diversifi

cable.Un caso ms extremo es con aquellos activos cuya beta es negativa.

El rendimiento esperado de esos activos tiene que ser inferior a rf. Estosactivos reducen el riesgo de la cartera cuando stos se combinan con elmercado. Estos activos proveen de una especie de seguro.

El CAPM cambia el concepto de riesgo de un activo de a . ElCAPM enfatiza que el riesgo de un activo es una funcin de su covarianzacon el mercado.

La beta de una carteraPara encontrar la beta de una cartera, es muy fcil demostrar que es

la suma ponderada de las betas de los activos que la forman:

c =c,M

2M=

E[(rc E(rc)(rME(rM)]2M

c =

E

(nPi=1

wi(ri E(ri))(rME(rM)

2M

c =

nPi=1

wiE[(ri E(ri)(rME(rM)]2M

c =

nPi=1

wiiM

2M=

nPi=1

wii

4.3 La lnea del mercado de activos

La frmula del CAPM puede ser representada grfi

camente. La linearesultante se conoce como linea de mercado de activos.

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Bajo los supuestos del CAPM, cualquier activo est en esta linea.

Riesgo sistemtico y riesgo idiosincrtico

El rendimiento de un activo puede ser expresado as:

ri= rf+ i(rM rf) +i

Si tomamos valores esperados en esta ecuacin, entonces, segn elCAPM E(i) = 0. Y si calculamos la correlacin entreri y rM encon-tramos queC ov(i, M) = 0. Entonces, podemos escribir:

2i =2i

2M+ var(i)

La varianza de un activo tiene dos partes: el primer sumando seconoce como riesgo sistemtico. Este riesgo no puede ser reducido pordiversificacin porque cada activo con una beta diferente de cero contieneeste riesgo. El segundo sumando se conoce como riesgo no sistemtico,o idiosincrtico. Este riesgo es diversificable. La demostracin de estehecho se ver en la seccin caractersticas del modelo de un nico factordel captulo 4 de estos apuntes.

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4.4 El CAPM como una frmula de precios

El CAPM es un modelo de valuacin. Sin embargo la frmula estndardel CAPM no contiene los precios de los activos de forma explcita.

Supongamos que un activo se compra al precio P0y se vende dentrode un periodo a P1. La tasa de rendimiento es r = P1P0P0 . En estafrmulaP0es conocido peroP1es una variable aleatoria. La frmula delCAPM queda:

E(P1) P0P0

=rf+(E(rM) rf)

Solucionando paraP0tenemos:

P = E(P1)

1 + rf+(E(rM) rf)

Esta frmula del precio de un activo generaliza la frmula familiarde descuento de flujos de efectivo. En el caso determinstico la tasa

de descuento apropiada para los flujos futuros es 11+rf . Pero en el caso

aleatorio la tasa de descuento apropiada es 1

1 + rf+(E(rM) rf). En

cuanto a E(P1) sta puede incluir los dividendos u otras rentas que sepueden obtener durante el periodo que se mantiene el activo.

Dinmica de precios

Si un activo asume su posicin de equilibrio, no tiene por qu haberpresin en el mercado que fuerce el precio a subir o bajar. Sin embargo,si el activo no est correctamente valorado entonces si que existir esa

presin. Un activo no estar bien valuado cuando el rendimiento esper-ado es demasiado alto o bajo dada su covarianza con el mercado.

E(r) =E(P1) P0

P0=

E(P1+ D) P0P0

Sobre la base de un cierto rendimiento esperado y el riesgo, el mer-cado pone el precio actual del activo en P0. Supongamos que se reciben

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buenas noticias acerca del activo (ej, se van a recibir dividendos). Nada

cambia el riesgo del activo. Sin embargo su rendimiento esperado si queha cambiado. Tenemos un activo en nuestra cartera que nos da un mayorrendimiento esperado para el mismo nivel de riesgo (el mercado no hacambiado su opinin acerca de la covarianza entre el activo y la carterade mercado). Todo el mundo querr aumentar su inversin en ese activo.Pero la demanda en exceso hace aumentar los precios. Al aumentar P0el rendimiento esperado se reduce hasta volver a su nivel inicial (al nivelde rendimiento esperado adecuado al nivel de riesgo del activo).

Supongamos ahora que en vez de buenas, recibimos malas noticias.Su rendimiento esperado disminuye y entonces los inversionistas quieren

vender un activo que les da un rendimiento esperado muy bajo con re-specto al riesgo que corren. Al vender, reducen el precio de equilibrio,restituyendo as el nivel adecuado de rendimiento esperado.

Propiedad de la frmula de valuacin del CAPM

Una propiedad de la frmula de valuacin es su linealidad. Estosignifica que el precio de la suma de dos activos es la suma de los dosprecios y que el precio de un mltiplo de un activo es el mltiplo delprecio de ese activo.

Si P0A= E(P1A)1 + rf+A(E(rM) rf) P0B = E(P1B)

1 + rf+B(E(rM) rf)Entonces

P0A+P0B = E(P1A) + E(P1B)

1 + rf+A+B(E(rM) rf)donde A+B es la beta de

un nuevo activo que es la suma del activo A y el activo B.

4.5 El CAPM no estndarCuando no existe un activo de riesgo en la economa.

Si no existe rf , podemos derivar una relacin de equilibrio entreel rendimiento esperado de un activo individual y su riesgo?. An conausencia de rf podemos encontrar la frontera eficiente de un inversorracional. Si suponemos que todos los inversores comparten la mismainformacin acerca de los activos, esta frontera eficiente es comn atodos ellos. Cada individuo se situar en un punto de esta frontera,dependiendo de sus preferencias por el riesgo. La suma de todas lascarteras eficientes individuales es la cartera de mercado M. El teorema

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de los dos fondos nos dice que esa cartera M pertenece a la frontera

efi

ciente comn.Una vez calculada Mpodemos encontrar aquella cartera Ztal que

su beta sea cero en relacin aM. Entonces, podemos derivar la siguienterelacin:

E(ri) =E(rz) +i(E(rM)E(rz))

Esta frmula se debe a Black (1972). Para llegar a ella, utiliza elclculo matricial y el siguiente teorema:

Teorema: Para una cartera determinadap, el vector de covarianzasde los activos individuales con respecto a la cartera p es lineal en elvector de rendimientos esperadosE(R) si y slo si pes una cartera quepertenece al conjunto de MV.

Demostracin:

a) Sea wplas ponderaciones de una cartera que pertenece al conjunto

de MV y que puede ser expresada comowp= V1

E(R) 1

A1

E(Rp)1

.

El vector de covarianzas entre los activos individuales y wp est dadopor:

Vwp= V

E(R) 1

A1

E(Rp)1

Vwp= V V1

E(R) 1

A1

E(Rp)1

Vwp=

E(R) 1

A1

E(Rp)1

Lo que verifica la linealidad entre el vector de covarianzas y el vector

de rendimientos experados E(R).

b) Sea el vector de covarianzas de una cartera arbitraria wpque puedeser expresado linealmente como:

Vwp= gE(R) + h1donde g y hson dos constantes arbitrarias. Si resolvemos para wp

obtenemos

wp= gV1E(R) + V11=gbw1+ hcwG

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donde wG=V11

c

son las ponderaciones de la cartera deM V global

y w1 = V1E(R)

b las ponderaciones de una cartera que pertenece al

conjunto de MV con E(R1) = a

b, 21 =

a

b2. Recuerdad que a, b y c se

definen comoa = E(R)TV1E(R) b= E(R)TV11 yc = 1TV11.

De la ltima ecuacin vemos que wp se genera por dos carteras efi-cientes w1 y wG. Dado que wTG1 = 1, w

T1 1 = 1 y w

Tp 1 = 1se deduce

quegb+hc = 1. Entonces, por el teorema de los dos fondos se puedeconcluir que la carterap es una cartera eficiente.

Es mejor expresar la relacin entre las covarianzas y los rendimientosesperados de una forma ms til para la frmula del CAPM cuando nohay activo libre de riesgo. Podemos escribir:

cov(Ri, Rp) = [0....1.....0] Vwp

cov(Ri, Rp) = [0....1.....0]

E(R) 1

A1

E(Rp)1

cov(Ri, Rp) =

E(Ri) 1

A1

E(Rp)

1

.

Sea wz la cartera ortogonal a wp, es decir, tal que wTzVwp = 0 y

sea wz =V1

E(R) 1

A1

E(Rz)1

. Entonces, si la covarianza entre

estas dos carteras es 0 se tiene que cumplir,

0 = wTzVwp=

E(Rz) 1

A1

E(Rp)1

Si restamos esta ecuacin de cov(Ri, Rp) =

E(Ri) 1

A1

E(Rp)1

obtenemos:cov(Ri, Rp) =

E(ei) 0

A1

Rp1

= E(ei)

donde las dos variables yei se definen como:

E(ei) =E(Ri)E(Rz)

y =cE(Rp) b

ac b2 .

42


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Esta condicin cov(Ri, Rp) = E(ei)se cumple para todo activo i y

en particular para la cartera p, es decir:cov(Rp, Rp) =E(ep)

De donde se obtiene que =2p

E(ep). Si lo substituimos en cov(Ri, Rp) =

E(ei), entonces:

cov(Ri, Rp) =2p

E(ep)E(ei)

Y definiendo a i=cov(Ri, Rp)

2p la expresin resulta en:

E(ei) =iE(ep)

Esto se cumple para cualquier cartera peficiente. En concreto, sipes la cartera de mercado, Mentonces obtenemos:

E(ei) =iE(eM)

E(Ri)E(Rz) =i(E(RM)E(Rz))

dondezes la cartera ortogonal a la cartera M.Cmo localizar la cartera z cuando no existe activo libre

de riesgo?

La cartera Z es aquella cuya covarianza con respecto a la carterade mercado es 0, es decir, la cartera ortogonal a la del mercado. Estacartera no va a ser eficiente. Se va a situar a la derecha de la cartera deMV. Para demostrar esto slo tenemos que ver que la cartera MV puedeobtenerse como combinacin deZyM. Dado que la covarianza entre Zy M es 0, entonces, la varianza de la cartera MV ser:

2MV =w22Z+ (1 w)22M

Sabemos que esta MV minimiza la varianza, por lo tanto:

d2MV

dw = 2w2Z 22M+ 2w2M= 0

Lo que significa que,

w= 2M2M+

2Z

>0

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Si w > 0, esto significa que MV est entre Z y M. Entonces el

E(rZ)< E(rMV), o dicho de otra forma,Zno puede estar en la fronteraeficiente.

Nadie mantiene Zexclusivamente porque es una cartera ineficiente.

Si un inversor quiere obtener rendimientos esperados situados entre E(RM)yE(RG)lo har combinando la carteraZy la carteraM. Tambin com-binar estas dos carteras cuando quiera obtener rendimientos esperadosa la derecha de E(RM).

Impuestos

En el mundo del CAPM no existen impuestos. Sin embargo estees un supuesto muy poco realista. En el CAPM, un inversor tiene queser indiferente entre las ganancias de capital y los dividendos. Pero siexisten impuestos, a los inversores les interesa calcular el rendimiento de

un activo despus de impuestos. La frontera eficiente que enfrenta uninversor ser diferente a la de otro inversor. An as, se puede derivar unarelacin entre rendimiento esperado y riesgo considerando los impuestos.

E(ri) =rf+ i[E(rM) rf (M rf)] +(i rf)

DondeMes la tasa de dividendo del mercado (es la proporcin delrendimiento que viene en forma de dividendos), ies la tasa de dividendodel activo i, y es un factor impositivo que mide la tasa impositiva demercado relevante sobre las ganancias de capital y los dividendos.

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Cuando los dividendos tienen una tasa impositiva mayor que las

ganancias de capital, es positiva. Esto nos dice que el rendimientoesperado de un activo individual est relacionado positivamente con sutasa de dividendoi. Dado que una mayor fraccin del rendimiento vieneen forma de dividendos, entonces se va a pagar ms impuestos, lo quesignifica que el rendimiento esperado antes de impuestos tiene que sermayor.

Activos no comerciables

No todos los activos de la economa son comerciables. Cmo sera lafrmula del CAPM cuando suponemos que existen activos comerciables

y no comerciables?.SiRHes el rendimiento de los activos no comerciables.PMes el valor total de los activos comerciables.PHel valor total de los activos no comerciables.

E(ri) =rf+ E(rM) rf

2M+ PHPM

cov(rM, rH)

hcov(ri, rM) +

PHPM

cov(ri, rH)i

Esta frmula sugiera que el entre rendimiento esperado y riesgo esmenor que el sugerido por el modelo simple.

4.6 Tests empricos del CAPMEl CAPM predice que todos los inversores mantienen carteras que soneficientes en [E(r),]. En consecuencia, la cartera de mercado es efi-ciente. Para testar el CAPM tenemos que testar la prediccin de que elmercado est posicionado en el conjunto eficiente.

El CAPM est especificado en trminos de expectativas de los inver-sores. Dado que hemos supuesto que la distribucin de probabilidad delos rendimientos no cambia en el tiempo, entonces podemos estimarE(r)y utilizando los rendimientos pasados. Podemos construir la fronteraeficiente y ver si la cartera del mercado pertenece a ese conjunto.

Los primeros tests se centraron en testar la relacin lineal entreE(ri)y i. Para hacerlo hay que seguir dos pasos:

1) estimar las betas. Para ellos se utilizan series temporales dondelos rendimientos de un activo se relacionan con los rendimientos delmercado.

2) estimar la relacin entre rendimientos medios y betas utilizandoseries de corte transversal.

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Se hicieron varios estudios empricos centrados en la relacin lin-

eal, los ms relevantes, Black, Jensen y Scholes (1972), Fama y Mc-Beth (1974). Ambos parecan reforzar la teora. Las diferencias entrerendimientos esperados de diferentes activos se deban a sus betas difer-entes.

Pero en 1976, Roll arrasa con estas conclusiones. Segn Roll elCAPM es una teora que no se puede testar. La nica prediccin atestar es que la cartera de mercado es eficiente. Para ello tenemos queconocer la composicin exacta de la cartera de mercado. Pero sta tieneque incluir todos los activos del mundo (tanto comerciables como nocomerciables). Imposible. Adems critic duramente los trabajos em-

pricos anteriores argumentando que eran tautolgicos, es decir, que losresultados obtenidos se iban a dar independientemente de cmo los ac-tivos se valoran en relacin al riesgo en el mundo real.

Despues de esta crtica devastadora los siguientes trabajos empricosse centraron en testar la prediccin econmica del CAPM de que lacartera de mercado es eficiente. Una forma de acercarse al problema esutilizando una proxy de la cartera de mercado, normalmente el ndice deuna Bolsa. Se construye la frontera eficiente con los activos de la Bolsay se comprueba si el ndice est o no en esa frontera.

Dada una opinin a priori acerca de la correlacin entre la proxy yla verdadera cartera de mercado, entonces se puede determinar cuandola cartera de mercado se espera que sea ineficiente o no en relacin alconjunto eficiente formado por los actios de la proxy. Si es ineficienteen relacin a esta subpoblacin de activos, entonces tambin lo ser conrespecto al conjunto eficiente verdadero. Shanken (87) hace este test ysegn este autor el CAPM es rechazado. Pero, dado que existe una granproporcin de activos en la economa que no se pueden comerciar, cmosaber que el supuesto de correlacin entre la proxy y la verdadera es elcorrecto?.

La cuestin de la testabilidad o no del CAPM es una cuestin todavaabierta.

4.7 El CAPM como mtodo de evaluacin de carterasEl CAPM nos dice que la solucin al problema de Markowitz es quecada inversor tiene que mantener la misma cartera de activos riesgosos,la cartera de mercado. Idealmente cada inversor tendra que comprar unpoco de cada activo, en las proporciones determinadas por las cantidadesrelativas que son emitidas en el mercado. Si el mundo de las accciones

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se toma como el conjunto de activos disponibles, entonces cada persona

tendra que comprar algunas acciones en la proporcin determinada porsu valor relativo en relacin al valor de la Bolsa.

Muchas personas creen que pueden hacerlo mejor que el mercado.El CAPM asume que todo el mundo tiene la misma informacin acercade los rendimientos de todos los activos. Est claro que esto no es as.Si alguien cree que tiene mejor informacin, entonces puede formar unacartera que supere a la de mercado.

Supongamos que tenemos un fondo de inversin y tenemos datos so-bre sus rendimientos pasados. Con esos rendimientos pasados podemos

calcular el rendimiento medio y su desviacin estndar. Tambien pode-mos estimar su covarianza con el rendimiento de mercado. Para estimaresta covarianza utilizaremos como cartera de mercado el ndice IPC. F-cilmente calcularamos la varianza del mercado y as obtener la beta delfondo de inversin. Utilizando datos del pasado tambien podramos es-timar el rendimiento de los CETES. Dada esta informacin calcuremosel ndice de Jensen.

rirf=J+ ( _rMrf)

Jes el ndice de Jensen. De acuerdo con el CAPM este ndice tendra

que ser cero cuando se utilizaran los verdaderos rendimientos esperados.Si se obtiene un ndice de Jensen positivo es una buena seal acerca deldesempeo del fondo de inversin. Pero esta es una buena inferencia?.Un ndice de Jensen positivo no es indicativo de que el fondo sea eficiente.

Si queremos ver si un fondo de inversin es eficiente, entonces tenemosque chechar si pertenece o no a la lnea de mercado de capitales. Elconocido ndice de Sharpe mide el desempeo de un fondo viendo sipertenece o no a esta lnea.

_rirf=S

dondeSes la pendiente de la lnea de mercado de capitales.

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5 LOS MODELOS DE FACTORES

Para aplicar el modelo de Markowitz se necesita estimar un nmeroconsiderable de parmetros. Si tomamos 500 activos individuales comobase, tendramos que estimar 500 rendimientos esperados, 500 varianzasy 500499

2 covarianzas. Actualmente, las bases de datos sobre precios de

acciones y otros activos son lo suficientemente grandes para poder re-alizar estas estimaciones. Pero en 1952, cuando Markowitz propuso sumodelo, no estaban tan seguros de poder hacerlo. Los modelos de fac-tores nacieron con la finalidad de reducir la complejidad de la estimacinde la matriz de varianzas y covarianzas de una cartera. Los factores delas covarianzas son las variables (inflacin, crecimiento industrial, tasas

de inters..) que explican e inducen a los precios de los activos a mo-verse en una u otra direccin. Diferentes activos respondern de formadiferente a estas variables, de forma que la covarianza entre dos activosse explicar por este diferencial en la respuesta.

5.1 El modelo unifactorialSi observamos el precio de los activos, vemos que cuando el mercadosube ( medido a travs del ndice de la Bolsa), la mayora de los activosque cotizan tambin suben y viceversa. Esto sugiere que una de lasrazones que explican la correlacin entre diferentes activos es la respuestaindividual al movimiento del mercado. As, el rendimiento de un activo

puede ser descrito mediante la ecuacin:

ri,t= i+irM,t+i,t

dondeies el parmetro que mide la sensibilidad del rendimiento elactivoial rendimiento de mercado, ies el componente del rendimientoque es independiente del desempeo del mercado y i es el error. Enesta ecuacin podemos ver que rM es una variable aleatoria al igualquei. Por lo tanto, cada una de estas variables tiene una funcin dedistribucin, una media y una desviacin estndar. El modelo de unnico factor asume que:

1. E(i) = 0

2. Cov(i, rM) = 0

3. Cov(i, j) =E(ij) = 0

Este ltimo supuesto es clave en este modelo porque implica que lanica razn por la cual los activos se mueven conjuntamente es por sucomovimiento individual con respecto al mercado.

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Dado el modelo, es fcil calcular:

1. E(ri) =i+iE(rM)

2. 2i =2i

2M+

2i

3. ij=ij2M

Con este modelo, el nmero de parmetros a estimar para obtener lamatriz de varianzas y covarianzas se reduce notablemente. Para aplicarMarkowitz necesitamos estimar N alfas, N betas, N varianzas residuales,el rendimiento esperado del mercado y la varianza del mercado. Es decir,2N+ 3parmetros.

Propiedades del modelo unifactorial

Para estimar la beta de una cartera simplemente calculamos la mediaponderada de las betas de los activos individuales que la forman:

p=nXi=1

wii

Lo mismo ocurre con la alfa de una cartera:

p=n

Xi=1

wii

Entonces, el rendimiento esperado de una cartera ser:

E(rp) =p+pE(rM)

Y la varianza de una cartera:

2p= 2p

2M+

nXi=1

w2i 2i

Si la cartera est formada por Nactivos ponderados igual, entonces:

2p= 2p

2M+

1

N

nXi=1

1

N2i

A medida que Naumenta, la varianza de una cartera se reduce a2p

2M. Dado que

2Mno cambia, la medida de contribucin de un activo

al riesgo de una cartera es i.

En un modelo de un nico factor hay dos fuentes de riesgo: la quese debe al trmino rMy la que se debe a i. El riesgo debido a i se

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conoce como riesgo diversificable o idiosincrtico porque la contribucin

al riesgo total es cero en una cartera muy bien diversifi

cada. Por otrolado, el riesgo debido a rMse conoce como riesgo no diversificable osistemtico porque est presente an en una cartera bien diversificada.El riesgo sistemtico se debe a que el factor influye en todos los activosde una economa, por lo que la diversificacin no lo puede eliminar.

Estimacin de las betas

Tomamos series histricas del rendimiento de un activo y del mer-cado. Podemos graficarlas y obtendramos algo asi:

Queremos obtener la recta que mejor se ajuste a estos datos. Paraello minimizamos la suma de los errores al cuadrado que cometemos alquerer ajustar la recta a los datos reales. Si estimamos una beta en unperiodo que va desde t = 1a t =T calcularamos:

i=

T

Pi=1

(ri,t

_ri)(rM,t

_

rM)

TPi=1

(rM,t_

rM)2

i =_rii

_rM

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donde _ri=

1

T

T

Pi=1

ri,ty _rM=

1

T

T

Pi=1

rM,t. Es fcil darse cuenta que ob-

tendremos diferentes estimaciones de betas y alfas de un mismo activoslo modificando el conjunto de datos. Pero si los supuestos del mod-elo son los adecuados, la teora estadstica nos dice que los estimadorestienen buenas propiedades (eficiencia y insesgo).

Las betas de los activos (la sensibilidad del rendimiento al factor)pueden cambiar con el tiempo. La beta de una cartera suele ser msestable que las betas de los activos individuales que la forman.

La beta es una medida de riesgo que nace de la relacin entre elrendimiento de un activo y el rendimiento del mercado. Sin embargo,

el riesgo de una empresa suele estar determinado por la combinacinde los fundamentales de la empresa y las caractersticas de activo en surelacin con el mercado. Si esas relaciones pudiesen ser determinadas,podran mejorarse las estimaciones de las betas. Beaver, Kettler y Sc-holes (1970) examinan la relacin entre 7 variables de empresa y la betade esa empresa. Las variables son: pagos de dividendos, crecimiento delos activos de la empresa, endeudamiento, liquidez, variabilidad de losingresos, total de activos y beta contable.

i= a0+ a1x1+ a2x2+ ... + a7x7+i

Y los resultados del estudio emprico son positivos, en el sentido deque los coeficientes son significativos y del signo predicho. Para haceresta estimacin se utilizan datos de corte transversal, es decir, en unmomento determinado, se toman los valores de estas 7 variables paramuchas empresas.

La ventaja de las estimaciones de las betas basadas en series histri-cas es que miden la respuesta de cada activo a los movimientos delmercado. La desventaja es que capturan los cambios en la importanciade las caractersticas de la empresa despues de un periodo largo. Porotro lado, las betas fundamentales responden rpidamente a los cambiosen las caractersticas de la compaa. Pero el hecho de estar calculadasbajo el supuesto de que todas las betas responden igual al cambio enuna variable fundamental es una debilidad. Por ejemplo, se asume quela beta de IBM cambiar de igual forma a un cambio en su ratio deendeudamiento que la beta e GM.

5.2 Los modelos multifactorialesEl modelo anterior se puede extender para incluir ms factores en laexplicacin del rendimiento de los activos. En este modelo podemos in-cluir factores explicativos como variables macroeconmicas (el producto

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nacional bruto, el ndice de precios, o la tasa de desempleo), variables

sectoriales (la tasa de crecimiento industrial), variables microeconmicas(la tasa de dividendos, el endeudamiento, el total de activos) y el mismomercado.

ri,t= i+i1I1,t+i2I2,t+ .... +ilIl,t+i,t

donde ij es la medida de sensibilidad del rendimiento al factor Ij.Los factoresIj,tcon j = 1, ....ly el errori,tson variables aleatorias. Lossupuestos del modelo multifactorial son los siguientes:

1. E(i) = 0

2. Cov(Ij, Ik) =E[(Ij E(Ij))(Ik E(Ik))] = 03. Cov(i, Ik) =E[i(Ik E(Ik))] = 04. Cov(i, j) =E[ij] = 0

Segn el modelo factorial podemos calcular el rendimiento esperadoy la varianza de un activo as como la covarianza entre dos activos de lasiguiente forma:

1. E(ri) =i+i1E(I1) +i2E(I2) + .... +ilE(Il)

2. 2i =2i12I1 +2i22I2 + ..... +2il2Il3. ij=i1j1

2I1

+i2j22I2

+ ..... +iljl2Il

Si utilizamos el modelo multifactorial para construir la matriz de vari-anzas y covarianzas de n activos necesitamos estimar 2n+2l+ln parmet-ros.

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6 EL APT ( Arbitrage Pricing Theory)

En el modelo de equilibrio del CAPM se requiere que el inversionista elijasus inversiones en funcin del rendimiento esperado y la varianza. Sinembargo, la definicin de rendimientos difiere entre diferentes modelos:en unos se calcula la tasa de rendimientos despus de impuestos, en otroslo que importa es la tasa de rendimientos reales.

Ross propuso un enfoque nuevo y diferente para explicar el precio delos activos. Dado un proceso generador de rendimientos se determinanlos precios de los activos utilizando argumentos de arbitraje o de leyde un slo precio. Segn esta ley, dos activos exactamente iguales nopueden ser vendidos a dos precios diferentes. Adems se requiere que losrendimientos de un activo estn linealmente relacionados con un conjuntode ndices (o factores).

ri,t= i+i1I1,t+i2I2,t+ .... +ilIl,t+i,t

Supuestos del modelo:

1. El modelo multifactorial y todos sus supuestos.

2. El nmero de activos en la economa es infinito.

3. Las ventas en corto estn permitidas.

El APT es la descripcin del rendimiento esperado de los activos enequilibrio que se deriva de un modelo multifactorial. Para llegar a larelacin ms importante del APT se construyen las siguientes carteras:

Cartera0. Se construye una cartera cuyaij = 0para todoj = 1, ...l.

Cartera1. Se construye una cartera cuyaij = 0 para todoj = 1,..lexceptoi1= 1.

Cartera2. Se construye una cartera con ij = 0para todo j = 1,..l

exceptoi2= 1.........

Carterah. Se construye una cartera con ij = 0para todo j = 1,..lexceptoih= 1.

........

Carteral. Se construye una cartera con ij = 0para todo j = 1,..lexceptoil= 1.

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El rendimiento esperado de cada una de estas carteras es, segn el

modelo multifactorial, igual a:E(r0) =i

E(r1) =i+i1E(I1) =i+ E(I1)

E(r2) =i+i2E(I2) =i+ E(I2)

......

E(rh) =i+ihE(Ih) =i+ E(Ih)

.......

E(rl) =i+il

E(Il) =i+ E(Il)

Despejamos E(Ik) k = 1,...l de estas ecuaciones y las sustituimosen la frmula del rendimiento esperado de cualquier activo del modelomultifactorial. Si existe una cartera sin riesgo, esta es la cartera 0, surendimiento esperado tiene que ser igual al rendimiento del activo librede riesgo de la economa (por la ley de un slo precio). Entonces i = rf.As:

E(ri) =rf+ i1(E(I1) rf) +i2(E(I2) rf) + .... +il(E(Il) rf)

Si definimos0= rfyh= E(Ih)

rfpara todoh = 1,...l, entoncesobtenemos la relacin del APT como:

E(ri) =0+i11+i22+ .... +ill

Esta ecuacin se cumple para todo activo individual y toda cartera.Para llegar a esta relacin entre el rendimiento esperado de un activo ylas medidas de sensibilidad i del activo con respecto a los factores nohemos utilizado los supuestos 2 y 3. Los necesitaremos para demostrarque efectivamente esa relacin es lineal. Para facilitar la demostracinutilizaremos el modelo factorial ms sencillo, el de un nico factor.

Demostracin:

Supongamos que slo existe un factor explicativo de los rendimientosde los activos, es decir:

ri,t= i+i1I1,t+i,t

Y supongamos que la relacin entre E(ri)y i1no es lineal.

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Tomamos dos activos, el activo a y el activo b del grfico y con-struimos una cartera cuya 1 = 0y con rendimiento esperado E(rcm).Repetimos la operacin con el activo c y el activo d. De hecho podemosconstruir un nmero infinito de carteras formadas por dos activos talesque sus 1 = 0. Consideremos ahora una macrocartera formada poresta infinidad de microcarteras. Esta macrocartera tendr varianza ceroporque su

mc1 = 0 y por construccin, su varianza residual tambin

ser cero.

2MC=mc12I1

+NPi=1

w2i 2i

=mc12I1

+ 1N

NPi=1

1N2i = 0

Esta macrocartera tiene un rendimiento esperado E(rmc) determi-nado y su varianza es 0 (est libre de riesgo). Utilizando el mismomtodo, podemos construir otra macrocartera con varianza 0 y rendimientoesperado E(r

0

mc) 6= E(rmc). Puesto que tenemos dos macrocarteras sinriesgo y con rendimientos diferentes, existe una oportunidad de arbi-traje vendiendo en corto aquella con rendimiento ms bajo y utilizandoel dinero para comprar la cartera con rendimiento ms alto. Al hac-erlo estaremos presionando al alza el precio de los activos que formanla cartera con rendimiento menor de forma que la relacin entre E(ri)yi1 sea lineal. Con una relacin lineal no pueden existir oportunidadesde arbitraje porque es imposible construir una combinacin de carterasconi1 iguales a 0 y rendimientos diferentes.

Este argumento se puede repetir para el caso de un modelo multifac-torial.

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6.1 El APT con un nmero finito de activos

Si no existe un nmero infinito de activos, no podemos reducir la vari-anza de la cartera cuyas betas son 0 a 0. Si el nmero de activos fuesegrande, podramos reducirla pero tendramos que soportar algn riesgoal intentar capturar los beneficios del arbitraje. Si este fuera el caso,entonces la relacin lineal del APT infravalora el rendimiento esperadode cualquier activo. Se puede demostrar que si los rendimientos se dis-tribuyen normal, entonces se puede acotar este problema de infravalo-racin. La desviacin de la relacin lineal del APT est causada por lapresencia de una varianza residual ineludible en las carteras de arbitraje.Esta varianza ser mayor, cuanto mayor sea la ponderacin el activo en

la cartera. Si los inversores fueran neutrales al riesgo, no les importaraesta varianza residual y por tanto los rendimientos esperados no se veranafectados. Pero si los inversores son aversos al riesgo, entonces a mayorvarianza residual, mayor rendimiento esperado demandado.

6.2 APT y CAPMEl modelo factorial base del APT puede ser aplicado al CAPM paraderivar la relacin que existe entre ambas teoras. Usando el modelo dedos factores tenemos que:

ri= i+i1I1+i2I2+ ...ilIl+i

La covarianza entre este rendimiento con el rendimiento del mercadoes:

Cov(ri, rM) =i1Cov(I1, rM)+i2Cov(I2, rM)+...+ilCor(Il, rM)+Cov(i, rM)

Si el mercado representa una cartera bien diversificada, no contendrun trmino de error y por lo tanto es razonable asumir que Cov(i, rM) =0. Entonces podemos expresar la beta de un activo segn el CAPM enrelacin a las betas del APT de la siguiente forma:

i = i1Cov(I1, rM)

2M+i2

Cov(I2, rM)

2M+ ... +il

Cor(Il, rM)

2M

La beta de un activo es una composicin de las betas de los factores.Las ponderaciones de las betas factoriales on las medidas de sensibilidaddel activo con respecto a los factores. La razn por la cual activos difer-entes tienen betas diferentes es porque tienen diferentes sensibilidades alos factores.

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6.3 Medidas de desempeo de una cartera segn el

APTUna medida de desempeo de una cartera basada en el APT consiste encomparar el rendimiento observado de esta cartera con el rendimientoesperado segn el APT. Si esta diferencia es positiva el desempeo hasido bueno. Pero al utilizar el APT para evaluar carteras hay que serconscientes de los problemas de esta teora. Los ms graves son:

1. Hay que decidir cantos factores se van a utilizar. El APT nonos dice nada acerca de este nmero. Dada la libertad para elegir losfactores, se puede conseguir que el rendimiento esperado sea tan grande

como queramos incluyendo ms factores.2. Hay que estimar lasijpara todos los activos de la cartera y todos

los factores.

3. Hay que estimar las .

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7 PRINCIPIOS GENERALES DE VALUACION

Hay dos formas de valuar un flujo de efectivo aleatorio: a) directamenteusando medidas como la media y la varianza y b) indirectamente, re-duciendo el flujo a una combinacin de otros flujos que ya han sidovaluados. En esta seccin nos concentraremos en estos dos enfoques devaluacin y veremos como se aplican a un problema de inversin de unperiodo.

7.1 Las funciones de utilidadSupongamos que un inversionista tiene un nmero determinado de opor-tunidades de inversin que pueden afectar su riqueza al final del ao. Si

supiera con certeza que le da cada oportunidad de inversin, sera f-cil clasificarlas y elegir aquella que le ofrece un mayor rendimiento desu capital. Pero como el rendimiento es una variable aleatoria, la elec-cin no es obvia y se necesita un procedimiento para clasificar niveles deriqueza aleatorios. La funcin de utilidad provee tal procedimiento.

Una funcin de utilidad es una funcin que va de R R, que tomavalores reales (representan niveles posibles de riqueza) y los transformaen otro nmero real Una vez elegida la funcinU, los niveles alternativosde riqueza aleatorios se clasificarn evaluando sus respectivos valores deutilidad esperada. Especficamente, comparamos dos resultados de dos

variables de riqueza aleatorios,xeycomparandoE(U(x))conE(U(y)).El valor ms alto es el preferido.

Las funciones de utilidad varan entre individuos dependiendo de sutolerancia al riesgo y de su situacin financiera. La funcin de utili-dad ms simple es U(x) = x. Otras funciones utilizadas son U(x) =eax(funcin de utilidad exponencial), U(x) = ln(x)(funcin de utili-dad logartmica),U(x) =bxb(funcin de utilidad exponencial) y U(x) =x bx2 (funcin de utilidad cuadrtica).

Para ver cmo se utiliza la funcin de utilidad consideremos el sigu-

iente ejemplo. Un inversionista se enfrenta a dos alternativas de inver-sin: a) invertir su dinero en un pagar bancario que le da 6M seguroso b) invertir su dinero en un proyecto que le ofrece tres posibles nivelesde riqueza, 10M, 5M y 1M con probabilidades respectivas de 0.2, 0.4 y0.4. Decide utilizar la funcin de utilidad exponencial,U(x) = x1/2 paraevaluar estas alternativas. La alternativa a) tiene un valor de

6 = 2.45

y la alternativa b) de 0.2

10+0.4

5 + 0.4

1 = 1.93. Por lo tanto eligela alternativa a).

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Es importante no olvidar que la funcin de utilidad clasifica alterna-

tivas. El valor cardinal que toma no tiene sentido en s. Una funcinde utilidad puede modificar su expresin sin cambiar la clasificacin dealternativas que provee. Por ejemplo, si aadimos una constante a lafuncin U(x), la nueva funcin V(x) = U(x) +b ofrece exactamentela misma clasificacin de alternativas que U(x). En general cualquierfuncinV(x) =aU(x) + bcon a >0 es una funcin equivalente a U(x).

7.2 Aversin al riesgoLa aversin al riesgo de un inversionista queda capturada con una funcinde utilidad cncava. Formalmente:

Concavidad. Una funcin U definida en un intervalo [x, y] denmeros reales es cncava si para cualquier 0 1 y cualquiera y b en [x, y] se cumple que U(a + (1 )b) U(a) + (1 )U(b).

Se dice que una funcin de utilidad representa a un individuo aversoal riesgo en [x, y] si es cncava en [x, y]. Y si es cncava en todo eldominio, se dice que representa a un individuo averso al riesgo.

Supongamos que tenemos dos alternativas de riqueza futura. Laprimera alternativa consiste en obtener acon probabilidad 1/2y b con

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probabilidad1/2. La segunda alternativa consiste en obtener seguro la

cantidad de 1

2a + 1

2b. Un individuo averso al riesgo preferir la cantidadsegura 12

a + 12

ba jugar la loteria 50%-50% de a y b. Y as las clasificar.Dada nuestra definicin de funcin de utilidad cncava U(1

2a+ 1

2b) >

12

U(a) + 12

U(b).

Los coeficientes de aversin al riesgo

El grado de aversin al riesgo es definido por el coeficiente de aversinal riesgo absoluto de Arrow-Pratt que es:

a(x) =

U00

(x)

U0

(x)

DondeU00

(x)y U0

(x)es la segunda y primera derivada de la funcinde utilidad respectivamente. El coeficiente muestra como la aversinal riesgo cambia con el nivel de riqueza del individuo. Para muchosindividuos la aversin al riesgo decrece a medida que su riqueza aumenta,reflejando el hecho de que estn dispuestos a correr ms riesgos una vezque estn financieramente seguros.

Ejemplos de coeficientes para funciones de utilidad concretas.

SiU(x) =eax

entoncesa(x) = a. Este es un caso de coefi

cientede aversin al riesgo constante.

SiU(x) = 1 beax entoncesa(x) =a. Otro caso de de coeficientede aversin al riesgo constante.

SiU(x) = ln(x)entonces a(x) = 1x

. La aversin al riesgo decrece amedida que la riqueza aumenta.

7.3 Las funciones de utilidad y el criterio de media-varianza

El criterio de media-varianza utilizado en el modelo de Markowitz puede

reconciliarse con el enfoque de la utilidad esperada de dos formas: a)asumiendo que la funcin de utilidad es cuadrtica y b) asumiendo quelas variables aleatorias que caracterizan los rendimientos se distribuyennormal.

Utilidad cuadrtica

La funcin de utilidad cuadrtica puede ser definida as: U(x) =ax 1

2bx2, donde a > 0 y b 0. Esta funcin slo tiene sentido en el

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rango de x abporque en este rango la funcin es creciente. Notar que

sib >0, la funcin es cncava y por lo tanto exhibe aversin al riesgo.Supongamos que una cartera tiene un valor aleatorio de y. Usando

el criterio de la utilidad esperada podemos evaluarla:

E(U(y)) =E(ay 12

by2) =aE(y) 12

bE(y2)

E(U(y)) =aE(y) 12

bE(y)2 12

bV ar(y)

La cartera ptima es aquella que maximiza este valor esperado conrespecto a todas las posibles elecciones de la variable aleatoria y . Estoes equivalente al enfoque de media-varianza. Si se quiere maximizar estafuncin dado un rendimiento esperado concreto, se eligir laycon menorvarianza.

Rendimientos Normales

Cuando los rendimientos son variables aleatorias normales, el crite-rio de media-varianza es equivalente al enfoque de la utilidad esperadapara cualquier funcin de utilidad que presente aversin al riesgo. Paradeducir esto, seleccionaremos una funcinU. Considera una variable deriqueza aleatoriay que es normal con media My desviacin estndar .Dado que la funcin de distribucin de probabilidad est completamentedefinida porMy , se sigue que la utilidad esperada es una funcin deM y . Si Upresenta aversin al riesgo, entonces E(U(y)) = f(M, )ser creciente con respecto aMy decreciente con respecto a .

Supongamos ahora que los rendimientos de todos los activos son vari-a

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