Apuntes Ing. Fluidom

5/10/2018 Apuntes Ing. Fluidom - slidepdf.com

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APUNTES DE INGENIERÍAFLUIDOMECÁNICA

2º Curso de Ing. Técnica en Mecánica

Almandoz Berrondo, Jabier Mongelos Oquiñena, Mª Belén

Pellejero Salaberria, Idoia

Dpto: Ingeniería Nuclear y

Mecánica de Fluidos

Escuela Universitaria PolitécnicaUnibertsitate Eskola Politeknikoa

Donostia-San Sebastián



ISBN: 978-84-690-5851-0

Nº Registro: 07/37957



Desde el comienzo de los Nuevos Planes deEstudios, con la entrada de los créditos y la reducciónde horas lectivas, los profesores del Departamento deIngeniería Nuclear y Mecánica de Fluidos pertenecientesal Área de Mecánica de Fluidos nos propusimos ir

preparando apuntes de algunos capítulos de Ingeniería

Fluidomecánica, asignatura correspondiente a latitulación de Ingeniero Técnico Mecánico, con el fin defacilitar a los alumnos su estudio y comprensión.

En el curso 2002-03 se completaron los apuntesde la segunda parte de dicha asignatura dedicados a lasaplicaciones, y en el 2003-04 y siguientes se han idocorrigiendo las erratas encontradas y se ha completadoalgún apartado.

En el curso 2006-07, se ha añadió un problematipo, resuelto, de instalaciones de bombeo.

La numeración de los diferentes temas respondea la del programa de la asignatura, y se aborda desde el

Análisis dimensional y estudio de modelos reducidoshasta Instalaciones de bombeo, pasando por el estudiodel flujo en conductos cerrados y abiertos, análisis delos transitorios es decir estudio del “golpe de ariete”, y los fundamentos de turbomáquinas.

El capítulo dedicado al estudio del golpe de arietees un resumen del que presenta en su libro: “Mecánicade Fluidos incompresibles” el Profesor José Agüera

Soriano

Con esta aportación se pretende que el alumnoadquiera los cimientos o la base necesaria paracontinuar con otras asignaturas de la titulación,

pertenecientes al área de Mecánica de Fluidos, comoInstalaciones Hidráulicas o Máquinas Hidráulicas, así como para abordar cualquier problema que, en estetema, le pueda surgir en su vida profesional.

Nuestro deseo es que sean de utilidad a nuestrosalumnos y que ellos nos aporten sus ideas, críticas

constructivas, así como erratas que puedan existir, conel fin de poder mejorarlos.

Donostia- San Sebastián Febrero 2008

Los profesores





Indice de materias i

Dto. Ing. Nuclear y Mecánica de Fluidos. E.U.Politécnica de Donostia- San Sebastián

Índice de materias pág

Tema 16.- Análisis dimensional y Teoría de modelos

0.- Introducción .......................................................................... 11.- Análisis dimensional.............................................................. 11.1.- Magnitudes fundamentales y derivadas ............................. 21.1.1.- Primer principio del análisis dimensional ......................... 21.1.2.- Segundo principio del análisis dimensional ..................... 21.2.- Principio de homogeneidad dimensional ............................ 31.3.- Teorema de π o de Vaschy – Buckingham ......................... 31.3.1.- Obtención de los parámetros π........................................ 41.4.- Parámetros fundamentales en el estudio de los fluidos...... 51.5.- Problema............................................................................ 72.- Semejanza de modelos......................................................... 122.1.- Leyes de semejanza .......................................................... 132.2.- Semejanza absoluta y análisis dimensional........................ 14

2.3.- Semejanza restringida o incompleta................................... 142.4.- Semejanzas en flujos de fluidos incompresibles................. 152.4.1.- Flujos en carga................................................................ 162.4.2.- Flujos en superficie libre.................................................. 16

Tema 17.- Efectos de la viscosidad en flujos

0.- Introducción........................................................................... 171.- Flujos externos e internos ..................................................... 172.- Experiencias de Reynolds, consecuencias, nº de Reynolds.. 183.- Capa límite............................................................................ 204.- Flujos laminar y turbulento en flujos internos.- Distribución de

velocidades ........................................................................... 22

Tema 18.- Estudio de pérdidas de carga en conductos cerrados

0.- Introducción........................................................................... 251.- Resistencia al flujo en conductos cerrados. Ecuación de

Darcy-Weisbach................................................................... 252.- Tubos lisos y rugosos desde el punto de vista hidráulico.

Fronteras.............................................................................. 293.- Expresiones para el cálculo del coeficiente de frotamiento.

Fenómeno de la intermitencia. Experiencias de Nikuradse... 313.1.- Flujo laminar....................................................................... 31

3.2.- Flujo turbulento................................................................... 313.2.1.- Coeficientes de fricción en tuberías lisas......................... 323.2.2.- Fenómeno de la intermitencia ......................................... 323.2.3.- Coeficiente de fricción en tuberías rugosas ..................... 333.2.4.- Experiencias de Nikuradse.............................................. 343.2.5.- Coeficiente de fricción en tuberías semilisas o

semirrugosas.................................................................. 35



Análisis dimensional y Teoría de modelos


ii

pág

3.2.6.- Coeficientes de fricción, explícitos aproximados, paratuberías lisas y semilisas ................................................ 36

4.- Ábaco de Moody ................................................................... 37

5.- Utilización del Ábaco de Moody............................................. 396.- Cálculo de pérdidas de carga en flujo compresible................ 436.1.- Flujo isotermo en tubos de sección constante .................... 446.1.1.- Hipótesis de partida......................................................... 446.1.2.- Ecuaciones que definen el proceso ................................. 446.1.3.- Coeficiente de fricción “f” ................................................. 46

Tema 19.- Flujo permanente en conductos cerrados. Cálculo prácticode conducciones. Redes.

0.- Introducción........................................................................... 471.- Pérdidas menores. Longitud equivalente y factor de paso..... 471.1.- Método de la longitud equivalente ...................................... 481.2.- Método de los factores de paso o coeficientes ................... 482.- Envejecimiento en tuberías ................................................... 483.- Línea piezométrica y de altura total ....................................... 493.1.- Casos particulares.............................................................. 513.1.1.- Salida mediante boquilla.................................................. 513.1.2.- Pieza especial ................................................................. 513.1.3.- Bomba............................................................................. 523.1.4.- Turbina ............................................................................ 523.1.5.- Depresión por bomba ...................................................... 53

3.1.6.- Sifón................................................................................ 534.- Fórmulas empíricas de cálculo de pérdidas de carga............ 554.1.- Fórmula de Hazen-Williams................................................ 565.- Tuberías en serie y en paralelo. Leyes de circulación de los

fluidos en un circuito............................................................. 575.1.- Tuberías en serie ............................................................... 575.2.- Tuberías en paralelo........................................................... 585.3.- Tuberías ramificada............................................................ 58

Tema 20.- Flujo variable en tuberías.- Golpe de ariete

0.- Introducción........................................................................... 59

1.- Propagación de la onda......................................................... 592.- Valor del golpe de ariete máximo.- Fórmula de Allievi ........... 603.- Velocidad del sonido ............................................................. 614.- Celeridad de la onda en tuberías........................................... 625.- Oscilaciones de presión en la tubería.................................... 636.- Cierre gradual........................................................................ 656.1.- Clasificación ....................................................................... 656.2.- Techo de presiones en conducciones largas...................... 65



Indice de materias iii


pág

6.3.- Longitud crítica................................................................... 676.4.- Golpe de ariete en conducciones cortas............................. 68 6.5.- Tiempo de anulación del caudal. Expresión de Mendiluce . 68

7.- Formas de atenuación del golpe de ariete............................. 708.- Conducciones en centrales hidroeléctricas............................ 71

Tema 21.- Flujo en conductos abiertos.- Canales

0.- Introducción........................................................................... 731.- Resistencia al flujo permanente y uniforme ........................... 731.1.- Altura normal...................................................................... 742.- Coeficiente de Chezy ............................................................ 752.1.- Formula de Manning .......................................................... 753.- Secciones hidráulicamente optimas ...................................... 75

3.1.- Sección rectangular............................................................ 763.2.- Sección trapecial ................................................................ 763.3.- Sección más económica..................................................... 764.- Cálculo práctico de canales de sección rectangular y trapecial 774.1.- Ejemplo .............................................................................. 78

Tema 22.- Máquinas hidráulicas. Principios fundamentales

1.- Definición de máquina de fluido.- Clasificación...................... 812.- Clasificación de máquinas hidráulicas ................................... 813.- Turbomáquinas hidráulicas ................................................... 833.1.- Clasificación de turbomáquinas hidráulicas........................ 843.1.1.- Formas de representación............................................... 844.- Descripción y principio de funcionamiento ............................ 844.1.- Diagrama de velocidades ................................................... 874.2.- Definiciones de alturas, caudales, potencias, etc. .............. 874.2.1.- Turbinas .......................................................................... 884.2.2.- Turbobombas .................................................................. 894.3.- Teorema fundamental de turbomáquinas .......................... 895.- Semejanza en turbomáquinas.............................................. 925.1.- Fenómeno físico en una turbomáquina ............................. 925.2.- Parámetros de Rateau ....................................................... 935.3.-Teorema de semejanza de las turbomáquinas ................... 946.- Velocidad específica ............................................................. 946.1.- Velocidad específica dimensional o nº de Camerer: ns ....... 946.2.- Velocidad específica adimensional: Ns .............................. 966.3.- Velocidad específica convencional: nq................................ 967.- Clasificación de turbomáquinas............................................. 96





iv

pág

Tema 23.- Turbinas hidráulicas.

1.- Definición de turbina hidráulica ............................................. 992.- Tipos actuales de turbinas hidráulicas................................... 99

2.1.-- Turbinas de acción y de reacción ...................................... 992.2.- Descripción general............................................................ 992.2.1.-- Turbinas de acción ......................................................... 992.2.2.-- Turbinas de reacción...................................................... 1013.- Centrales hidroeléctricas ....................................................... 1113.1.- Disposición de conjunto de una central hidroeléctrica ........ 1113.2.- Clases de centrales............................................................ 1133.2.1.- Centrales de acumulación o bombeo............................... 115

Tema 24.- Bombas hidráulicas

0.- Introducción........................................................................... 1171.- Clasificación de las bombas hidráulicas ................................ 1192.- Bombas de desplazamiento positivo ..................................... 1202.1.- Bombas alternativas. Descripción general .......................... 1202.2.- Bombas rotativas ............................................................... 123 3.- Turbobombas ........................................................................ 124

Tema 25.- Instalaciones de bombeo

1.- Diagrama de transformación de energía en un sistema de

bombeo ................................................................................ 1292.- Alturas manométricas de la instalación y de la bomba .......... 1323.- Curva característica de la instalación .................................... 1334.- Selección de una bomba, punto de funcionamiento .............. 1345.- Variación del punto de funcionamiento.................................. 1375.1.- Por modificación de la cc de la instalación ........................ 1375.2.- Por modificación de la cc de la turbobomba ....................... 1395.2.1.- Variación de la velocidad de giro ..................................... 1395.2.2.- Torneado del rodete ........................................................ 1426.- Bombas funcionando en grupo.............................................. 1446.1.- Disposición en serie ........................................................... 1446.2.- Disposición de bombas funcionando en paralelo................ 145

7.- Estudio de la cavitación en las bombas: NPSH ..................... 1467.1.- Evaluación de la cavitación en las turbobombas ................ 1478.- Problema tipo de resolución de instalaciones de bombeo ..... 1508.1.- Obtención de la curva característica de la instalación ........ 1508.2.- Selección de la bomba más idónea .................................... 1538.3.- Punto de funcionamiento.................................................... 1568.4.- Costo energético ................................................................ 158



Indice de materias v


pág

8.5.- Regulación del caudal en un sistema de bombeo............... 1588.5.1.- Modificación del punto de funcionamiento mediante

variación en la cc de la Instalación .................................... 1588.5.2.- Modificación del punto de funcionamiento mediante

variación en la cc de la turbobomba ................................ 1628.6.- Cavitación en un sistema de bombeo................................. 166

Bibliografía utilizada............................................................... 169





Ingeniería Fluidomecánica. Tema 16 1


TEMA 16.- ANÁLISIS DIMENSIONAL Y TEORÍA DE MODELOS

0.-INTRODUCCIÓN

En la Mecánica de Fluidos hay muchos problemas que, por su complejidad, no sepueden resolver analíticamente. Se hace necesario recurrir a métodos experimentales.

Sin embargo, realizar experimentos en un laboratorio es caro y lleva muchotiempo. Además, en un fenómeno cualquiera de Mecánica de Fluidos pueden intervenir muchas variables: viscosidad, densidad, diámetro, que dificulta su resolución etc...

El Análisis Dimensional es la herramienta que nos ayuda a simplificar el estudiode un problema concreto, ya que nos permite reducir el número de variables necesariaspara analizar un determinado sistema. Mediante este método podemos obtener una seriede parámetros adimensionalesque relacionan las variables físicas implicadas en el flujo aestudiar.

Al trabajar con menos variables tendremos que realizar menos experimentos, loque supone un considerable ahorro de tiempo y dinero.

Una ventaja adicional, muy importante que nos proporciona la teoría dimensionales la de predecir los resultados de un proyecto, en base a los obtenidos ensayando conun modelo a escala reducida. Por ejemplo no parece razonable construir un avión aescala natural para comprobar si proporciona la sustentación suficiente. Ensayaremos conun modelo a escala reducida y, mediante las leyes de semejanza, calcularemos losresultados para el prototipo.

El análisis dimensional es un método de análisis que puede utilizarse paracualquier fenómeno físico y cuya base fundamental está en el conocimiento de lasvariables físicas que intervienen en el fenómeno, es decir, la base es el estudio y conocimiento previo del proceso y de todas las variables que intervienen en él , y en laecuación de dimensiones de cada una de dichas variables físicas

1.- ANÁLISIS DIMENSIONAL.

El análisis dimensional es un método matemático de considerable valor en laresolución de cualquier fenómeno físico. Todas las variables o entidades físicas sepueden expresar en función de unas variables o entidades fundamentales, que enmecánica son : Longitud (L), Masa (M) y tiempo ( T). Por ejemplo:

Fuerza = masa . aceleración = masa . longitud/tiempo2

Por tanto la ecuación de dimensiones de la Fuerza es : MLT-2

En cualquier ecuación que represente un fenómeno físico real, cada término debede contener la misma potencia de las variables fundamentales (L, M, T). En otraspalabras, si se comparan los términos entre sí, tienen que tener todos las mismas





2

dimensiones, ya que si no, la ecuación no tiene sentido, aunque pueda dar el mismoresultado numérico.

En muchos casos al estudiar un fenómeno físico se conocen las variables queintervienen en dicho fenómeno, mientras que la relación entre las variables se desconoce;mediante el análisis dimensional , el fenómeno puede formularse como una relación entre

un conjunto de grupos adimensionales de las variables, siendo el número de gruposmenor que el de variables.

La razón de lo anterior es que la naturaleza no se preocupa por las coordenadas ydimensiones que el hombre utiliza cuando trata de imitar un proceso real.

Por ello los grupos adimensionales mencionados antes, son mejores para imitar procesos reales que las variables mismas en sí.

1.1.- MAGNITUDES FUNDAMENTALES Y DERIVADAS.

Las magnitudes fundamentales son aquellas entidades o variables físicas a partir de las cuales pueden deducirse todas las demás, que serán llamadas magnitudesderivadas.

Si trabajamos en el Sistema Internacional , se suelen tomar como variablesfundamentales la masa, la longitud y el tiempo, añadiendo la temperatura cuando hayfenómenos de transmisión de calor.

Ejemplos: la velocidad es una magnitud derivada de la longitud y del tiempo:

[ ] 1−== LT T

Lv (1)

por otra parte, la densidad es la relación entre la masa y el volumen:[ ]

[ ] ρ = = = −

V LML3

3 (2)

Las igualdades (1) y (2) son las expresiones o ecuaciones de dimensiones de lavelocidad y la densidad, respectivamente. Se han tomado como magnitudesfundamentales la masa M, la longitud L y el tiempo T.

1.1.1- Primer principio del análisis dimensional.

“Toda ecuación de dimensiones de cualquier magnitud física tiene que adoptar la

forma de producto de potencias de las dimensiones fundamentales”.

1.1.2.- Segundo principio del análisis dimensional.

En algunas expresiones de cálculo aparecen constantes dimensionales, cuyo valor numérico depende del sistema de magnitudes fundamentales que utilicemos. En estoscasos debe cumplirse el siguiente principio: “las constantes dimensionales que aparezcan





en fórmulas de uso científico deben estar constituidas, sus dimensiones, por productos depotencias de las dimensiones del sistema elegido”.

1.2.- PRINCIPIO DE HOMOGENEIDAD DIMENSIONAL

Enunciado: “En una ecuación física o matemática, todos sus términos deben tener la misma ecuación de dimensiones, es decir, deben ser homogéneos”.

Ejemplo: Ecuación de Bernoulli para un flujo incompresible, en régimenestacionario y despreciando las pérdidas de carga.

.ctez g v P

=++2

2

ρ

Ecuaciones de dimensiones de estos términos:

2

2

23

22

v T

LLT

L

LM

LT ML

V M

AF P

= ====

−

ρ

2

2

2v

T

LL

T

Lz g =

==

Como se puede comprobar, todos los términos de la ecuación tienen la mismaecuación de dimensiones, luego son homogéneos.

1.3.-TEOREMA DE ππππ O DE VASCHY - BUCKINGHAM.

El análisis dimensional puede emplearse antes de abordar un problema o

programa experimental, los fenómenos físicos pueden formularse mediante una funciónde grupos adimensionales. Cada uno de estos grupos adimensionales se conocen comoparámetros π.

La razón de lo anterior es que en cualquier fenómeno físico la naturaleza no sepreocupa por las coordenadas y dimensiones que el hombre utiliza cuando trata unproceso real. Por ello los grupos adimensionales ya indicados son mejores para imitar procesos reales que las variables mismas en sí.

La pregunta que nos podemos plantear es: ¿cuántos parámetros adimensionalesπ podemos obtener a partir de las variables que intervienen en un determinado problema?Para responder a esta pregunta estudiamos el teorema π de Buckingham.

Supongamos un fenómeno físico en el que intervienen n variables.Matemáticamente, la relación entre ellas podría expresarse del siguiente modo:

f (q1, q2,...,qn) = 0 ;

El teorema de ππππ dice: Las cosas en la naturaleza no suceden aleatoriamente y por ello un fenómeno físico puede ser estudiado con arreglo a la variación de (n-m)





4

parámetros adimensionales siendo (n-1) el número de variables independientes del fenómeno y ( m) el número de entidades fundamentales.

De manera que:

F (π1,π 2 ,......πn-m ) = 0 ; o bien: π 1 = F (π2 , π 3,..... πn-m)

La función F que relaciona los parámetros adimensionales ππππ debe determinarseexperimentalmente.

1.3.1.- Obtención de los parámetros π ππ π .

El procedimiento que se debe seguir para determinar los parámetrosadimensionales consta de los siguientes pasos:

1) Analizar el fenómeno físico a estudiar y determinar todas las variablesimplicadas en el mismo. Se deben incluir todas aquellas variables que se sospecha queinfluyen en el sistema. Si una de las variables es extraña, se obtendrá un parámetro π que, a través de los experimentos, se comprobará que su influencia en el fenómeno quese está estudiando es pequeña o nula, es decir, que no tiene importancia y puededespreciarse.

2) Seleccionar las variables o entidades fundamentales o primarias. Lo másfrecuente es tomar la masa M, la longitud L y el tiempo T.

3) Obtener la ecuación de dimensiones de todas las variables, queintervienen en el fenómeno físico, en función de las dimensiones de las variables oentidades fundamentales.

4) Seleccionar las variables repetidas, tantas como entidades fundamentales.Dichas variables deben incluir todas las variables fundamentales. En ningún caso dosvariables repetidas pueden tener las mismas dimensiones diferenciándose solamente por el exponente. Por ejemplo, no se pueden tomar como variables repetidas una longitud (L)y un volumen (L3).

5) Establecer las n-m ecuaciones dimensionales, combinando las variablesrepetidas del punto 4 con el resto de las variables, formando los n-m parámetrosadimensionales.

6) Comprobar que los parámetros que se han obtenido son realmenteadimensionales.





Por último, destacar que los parámetros que se obtienen son independientes perono son únicos, porque los cocientes que resultan dependen de las entidadesfundamentales y de las variables repetidas que hayamos elegido.

1.4.- PARÁMETROS FUNDAMENTALES EN EL ESTUDIO DE LOS FLUIDOS.

Número de Reynolds.

Es el parámetro adimensional más importante en la Mecánica de Fluidos. Tieneimportancia en prácticamente todos los casos, haya o no superficie libre. Representa larelación entre las fuerzas de inercia y las fuerzas de viscosidad.

µ

ρ Dv =Re

Donde ρρρρ es la densidad, v es la velocidad del flujo, D es el diámetro u otra longitudcaracterística y µµµµ es la viscosidad dinámica. Con números de Reynolds elevadostendremos un flujo turbulento, mientras que con Reynolds pequeños nos encontraremoscon un flujo laminar .

En general, si trabajamos con flujos viscosos a bajas velocidades y sin superficielibre, el único parámetro adimensional importante es el número de Reynolds.

Número de Euler.

Resulta de especial interés cuando las disminuciones de presión en el flujo sonimportantes. Representa el cociente entre las fuerzas de presión y las de inercia:

2V

p Eu

ρ

∆=

siendo ∆∆∆∆p la variación de presión, ρρρρ la densidad del fluido y v su velocidad.

Cuando la variación de presión se refiere a la presión de vapor del fluido se habladel número de cavitación:

2V

p pCa v

ρ

−=

donde pv es la presión de vapor del fluido.





6

Este parámetro derivado del número de Euler es de gran importancia en tuberías,máquinas, instalaciones, etc, en general en fenómenos donde puede aparecer lacavitación.

Número de Froude.

Muy importante en flujos con superficie libre, como en los canales abiertos,desagües en orificios y en todas las situaciones donde la gravedad juega un papelimportante. En el resto de los casos, suele ser despreciable. Representa la relación entrelas fuerzas de inercia y las gravitatorias:

gL

v Fr

2

=

donde v es la velocidad del flujo, g es la aceleración de la gravedad y L es una

longitud característica del sistema.

Número de Weber.

Tiene importancia cuando su valor es 1 o menor, en aquellos casos en que lacurvatura de la superficie es comparable en tamaño a la profundidad del líquido (gotas,flujos capilares). Si el número de Weber toma un valor grande, su efecto puededespreciarse. Cuanto menor sea el Weber, mayor es la importancia de la tensiónsuperficial.

Representa el cociente entre las fuerzas de inercia y las de tensión superficial:

σ

ρ Lv We

2

=

siendo ρρρρ la densidad, v la velocidad del flujo, L una longitud característica del mismo y σσσσ la tensión superficial. Si nos encontramos con un problema en el que no hay superficielibre, su efecto es despreciable.

Los efectos de la tensión superficial tienen gran influencia en las industriasrelacionadas con la pulverización y atomización, como por ejemplo en la fabricación de

sprays.

Número de Mach.

Tiene influencia cuando trabajamos con fluidos compresibles que se mueven convelocidades altas. Sirve para caracterizar los efectos de compresibilidad en un flujo.Representa el cociente entre las fuerzas de inercia y las fuerzas de compresibilidad:





c

v

E

v M

LE

Lv M

v v

==⇒= ρ

ρ 2

222

donde v es la velocidad del flujo y c es la velocidad del sonido local.

Los flujos con un número de Mach mayor de 1 se denominan flujos supersónicos ysi es menor de 1, se trata de un flujo subsónico. Cuando el número de Mach es menor de0,3 nos encontraremos estudiando un flujo incompresible.

1.5.- PROBLEMA.

La caída de presión ∆∆∆∆P, en una tubería es una función de las siguientes variables:diámetro D, longitud L, rugosidad εεεε, velocidad media del flujo V, viscosidad dinámica µµµµ del fluido circulante, densidad ρρρρ del mismo, de la tensión superficial σσσσ, de la aceleración

gravitatoria g y del módulo de elasticidad volumétrica K.

∆P = f( D, L, ε, V, µ, ρ, σ, g, k )

Encontrar los parámetros adimensionales ππππ más adecuados para el estudio delsistema. Utilizar el Teorema π o de Vaschy-Buckingham.

Solución: Este ejercicio se puede resolver siguiendo el procedimiento que seexplica en Obtención parámetros de Teoría.

1) Variables físicas que intervienen en el problema: diámetro D, longitud L,rugosidad ε, velocidad media V, viscosidad dinámica µ densidad ρ, tensión superficial σ aceleración de la gravedad g y módulo de elasticidad volumétrico K.

Número de variables físicas: n = 10

2) Variables fundamentales o primarias: de acuerdo con el SistemaInternacional, tomamos la masa M, la longitud L y el tiempo T .

Número de magnitudes fundamentales: m = 3

3) Expresar las dimensiones de todas las variables físicas en función de lasvariables fundamentales. En la siguiente tabla se indican los exponentes de lasdiferentes variables físicas en función de las magnitudes fundamentales.





8

∆P D L ε ρ µ σ g K V

M 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0

L -1 1 1 1 -3 -1 0 1 -1 1

T -2 0 0 0 0 -1 -2 -2 -2 -1

A modo de ejemplo, consideremos el caso de la tensión superficial σ, que setoma como fuerza por unidad de longitud:

[ ][ ] [ ]

σ = = = = =−

− F

L

M a

L

MLT

L

M

T MT

2

2

2

4) Seleccionar las variables repetidas: tomaremos el diámetro D, la densidad ρ y la velocidad media V. Estas variables recogen las tres variables fundamentales: masa,longitud y tiempo. Además, nos sirven para reflejar las características geométricas(diámetro D), cinemáticas (velocidad V) y dinámicas (densidad ρ) del sistema.

5) Establecer las ecuaciones dimensionales para obtener los parámetrosadimensionales. Aplicando el Teorema π o de Vaschy-Buckingham, el número degrupos adimensionales que podemos obtener es de:

n - m = 10 - 3 = 7

En consecuencia tenemos que plantear 7 ecuaciones dimensionales, combinandoen ellas las variables repetidas con cada una de las demás variables físicas queintervienen en el sistema:

000

321 T LM T

L

L

M L

LT

M v DP

c b

ac ba =

=∆= ρ π

Masa M: 1 + b = 0 ⇒b = -1Longitud L: -1 + a -3b + c = 0 ⇒a = 3b - c + 1 ⇒a = 0

Tiempo T: -2 - c = 0 ⇒ c = - 2

π ρ 1 2=

∆ P

V

000

32 T LM T

L

L

M LLv DL

c b

ac ba =

== ρ π





Masa M: b = 0Longitud L: 1 + a -3b + c = 0 ⇒a = 3b - c - 1 ⇒a = -1 Tiempo T: c = 0

π 2 = L

D

000

33T LM

T

L

L

M LLv D

c b

ac ba =

== ρ ε π

Masa M: b = 0Longitud L: 1 + a -3b + c = 0 ⇒a = 3b - c - 1 ⇒a = -1 Tiempo T: c = 0

π ε

3 = D

000

34T LM

T

L

L

M L

LT

M v D

c b

ac ba =

== ρ µ π

Masa M: 1 + b = 0 ⇒b = -1

Longitud L: -1 + a -3b + c = 0 ⇒a = 3b - c + 1 ⇒a = 0 Tiempo T: -1 - c = 0 ⇒ c = - 1

π µ

ρ 4 = D V

000

325T LM

T

L

L

M L

T

M v D

c b

ac ba =

== ρ σ π

Masa M: 1 + b = 0 ⇒b = -1Longitud L: a -3b + c = 0 ⇒a = 3b - c ⇒a = -1 Tiempo T: -2 - c = 0 ⇒ c = - 2

π σ

ρ 5 2= D V





10

000

326T LM

T

L

L

M L

T

Lv Dg

c b

ac ba =

== ρ π

Masa M: b = 0

Longitud L: 1 + a -3b + c = 0 ⇒a = 3b - c - 1 ⇒a = 1 Tiempo T: -2 - c = 0 ⇒ c = - 2

π 6 2= D

V

000

327T LM

T

L

L

M L

LT

M v DK

c b

ac ba =

== ρ π

Masa M: 1 + b = 0 ⇒b = -1Longitud L: -1 + a -3b + c = 0 ⇒a = 3b - c + 1 ⇒a = 0 Tiempo T: -2 - c = 0 ⇒ c = - 2

π ρ

7 2= K

V

6) Comprobar que los parámetros obtenidos son adimensionales. Lo que sedebería hacer es comprobar los siete parámetros que hemos obtenido. A modo deejemplo, comprobaremos sólo uno de ellos:

π σ

ρ 5 2

2

3 2 2

2

2 1 3 2

2

2 1= = = = =−

− −

−

− − +

−

− D V

MT

L ML L T

MT

MT L

MT

MT

Por lo tanto, este parámetro es completamente adimensional. Lo mismo se debehacer con el resto de los parámetros. En algunos de ellos se observa rápidamente queson adimensionales, sin necesidad de plantear ecuaciones.

Comprobados los parámetros se puede expresar:

∆P / ρV2 = φ ( L/D , ε/D , µ/ρVD , σ/ρV2D , gD/V2 , k/ρV2 )





La experiencia dice que los parámetros σ/ρV2D , gD/V2 , k/ρV2 no tieneninfluencia en el estudio de la caída de presión en el flujo de fluidos incompresibles enconductos cerrados. Por tanto :

∆P / ρV2 = φ ( L/D , ε/D , µ/ρVD )

Además la caída de presión es directamente proporcional a la longitud de latubería; por tanto :

∆P / ρV2 = L/D φ ( ε/D , µ/ρVD )

∆P / ρ = V2. (L/D) φ ( ε/D , µ/ρVD )

∆P / γ = (V2/2g). (L/D) φ ( ε/D , µ/ρVD ) = f .(L/D).(V2/2g)

f = φ ( ε/D , µ/ρVD ) = coeficiente de frotamiento y ∆P / γ = hf

Sustituyendo:

hf = f .(L/D).(V2/2g)





12

2.- SEMEJANZA DE MODELOS

En el estudio de muchos fenómenos físicos, en particular en el estudio de losfluidos y en especial en las máquinas hidráulicas es absolutamente necesario recurrir almétodo experimental si se desea conocer el fenómeno con cierta profundidad.

Se trata de un procedimiento muy laborioso que requiere mucho tiempo paraobtener resultados y que por tanto se recurre a él cuando los otros métodos hanfracasado y el tema lo exige por su trascendencia económica, por motivos de seguridad ode otra índole.

Las dificultades del método experimental se agravan cuando el tamaño de losfenómenos que han de reproducirse alcanzan grandes dimensiones, como es el caso demuchas turbomáquinas, que conllevan instalaciones de gran tamaño y trabajar conenormes caudales resultando todo ello prohibitivo y rozando lo imposible.

Para resolver tal dificultad se recurre al estudio de modelos en tamaño reducido ya aplicar entre la máquina o proceso real, llamada prototipo, y el modelo determinadas

relaciones de semejanza.

Fig 16.1.- Semejanza dinámica entre dos flujos del modelo y prototipo (a y b)

Fueron los franceses Charles de Bossut y el Conde de Buat, en el siglo XVIII, losprimeros que reprodujeron en laboratorio fenómenos hidráulicos y son considerados lospadres de los laboratorios hidráulicos de hoy en día. Sin embargo fue más tarde,avanzado el siglo XIX, cuando el francés Frederic Reech y el inglés Willian Froudeestablecieron los primeros criterios de semejanza, siendo los precedentes de los grandeslaboratorios de este siglo.





Para llevar a cabo el diseño de un determinado fenómeno de importancia serealizan los pasos siguientes:

La máquina o proceso que se trata de construir o reproducir interesa que trabajede manera óptima con unas condiciones o parámetros predeterminados, como son elcaudal, su potencia, su velocidad de giro o desplazamiento y el rendimiento deseado,

entre otros. Con estos datos de partida, con los conocimientos teóricos disponibles ysobre todo con datos y la experiencia de anteriores construcciones, se efectúa unprediseño.

Basado en este prototipo de partida se reproduce o construye una máquinasemejante a la diseñada, realizada a la escala conveniente, que se denomina modelo.

Esta máquina o proceso se ensaya en un laboratorio especial para comprobar susresultados; a la vista de estos se modifican determinadas partes con el fin de mejorar sucomportamiento y por lo tanto su rendimiento; así se continúa hasta el momento en quese considere que se ha alcanzado un techo en su perfeccionamiento.

Una vez concluidos los ensayos se construye la máquina o instalación a escalareal, que se denomina prototipo, semejante al modelo definitivo que habrá recibido unaserie de mejoras sobre el modelo de partida.

2.1.- LEYES DE SEMEJANZA.

Para realizar lo relatado en el apartado anterior, previamente se habrá decontestar a una serie de preguntas: ¿Cómo habrán de ser las máquinas o procesossemejantes para poder aplicar los resultados de uno al otro? ¿Cómo se trasladarán losresultados de una máquina o proceso a su semejante? ¿Es suficiente con que exista

semejanza geométrica entre las dos máquinas o procesos? ¿Qué se necesita para quehaya semejanza de funcionamiento entre el comportamiento de los dos? ...

Analizando la cuestión se deduce que indudablemente entre modelo y prototipo,trabajando de manera semejante, deberán existir ciertas analogías, que serán de ordengeométrico, cinemático, dinámico, etc, las cuales reciben el nombre de semejanzas y seexplican a continuación.

1. Semejanza geométrica: La primera semejanza o analogía que deberá existir esla geométrica, habiendo de tener entre dos máquinas o procesos semejantes unacorrespondencia biunívoca punto por punto. A estos puntos correspondientes deprototipo y modelo se les denomina homólogos.

Igualmente habrá correspondencia entre líneas, superficies, volúmenes y masa demodelo y prototipo.

Si las máquinas se comportaran como esculturas y carecieran de movimientobastaría la semejanza geométrica para declararlas semejantes.





14

2. Semejanza cinemática: Si en sistemas geométricamente semejantes seproducen movimientos, será necesario introducir el concepto de tiempos y posicioneshomólogas.

Para que exista semejanza cinemática es preciso que puntos correspondientesocupen posiciones correspondientes en instantes correspondientes, lo cual exige además

que aquellos estén sometidos a velocidades y aceleraciones correspondientes, no siendosuficiente que sean solo en módulo sino también en dirección y sentido.

Resumiendo, cuando las velocidades en puntos correspondientes de modelo yprototipo tienen la misma dirección y sentido; sus módulos se relacionan por medio de unfactor de escala constante. De tal manera que dos flujos cinematicamente semejantestienen líneas de corriente relacionadas por una escala constante.

Puesto que las fronteras de un cuerpo son las que determinan las líneas decorriente del flujo, los flujos que son cinematicamente semejantes deben ser geométricamente semejantes.

3. Semejanza dinámica: Al producirse fuerzas, es necesario que exista, ademásde las dos semejanzas señaladas en los párrafos precedentes, semejanza dinámica, esdecir que puntos correspondientes estén sometidos a fuerzas correspondientes.

Para que se verifique, los flujos deben poseer tanto la semejanza geométrica,como la cinemática; de tal modo que en dos flujos dinámicamente semejantes lostriángulos de fuerzas son paralelos y sus magnitudes o módulos están relacionadas por un factor de escala constante.

2.2.- SEMEJANZA ABSOLUTA Y ANÁLISIS DIMENSIONAL

Cuando dos sistemas son semejantes, los parámetros adimensionales que regulanel fenómeno físico a estudiar, son los mismos y la ley que los relaciona es también lamisma; por ello para que se verifique la semejanza dinámica absoluta entre modelo yprototipo es condición necesaria que se verifique la igualdad de todos los parámetrosadimensionales que intervienen en el fenómeno.

Lógicamente como todos estos parámetros adimensionales están relacionados por la función que define el funcionamiento de la máquina, instalación o fenómeno tanto enprototipo como en modelo, es suficiente verificar que todos los parámetros menos unosean iguales, ya que por la función que los relaciona, se verificará la igualdad de todos.

2.3.- SEMEJANZA RESTRINGIDA O INCOMPLETA

En algunos casos, no es posible obtener la semejanza dinámica completa entremodelo y prototipo debido a que las condiciones que se tienen que cumplir para dichasemejanza, no dejan ningún grado de libertad por lo que modelo y prototipo deberían ser iguales. Por ejemplo, supongamos un caso en que se requiere que sean iguales losnúmeros de Froude y de Reynolds para conseguir la semejanza dinámica total. Igualandolos números de Froude:





21

22

=⇒=⇒=

p

m

p

m

p

p

m

m pm

L

L

v

v

gL

v

gL

v Fr Fr

se obtiene la relación de velocidades entre modelo y prototipo.Al igualar los números de Reynolds:

23

=⇒=⇒=

p

m

p

m

p

p p

m

mm pm

L

LLv Lv

ν

ν

ν ν ReRe

Las condiciones de semejanza obligan a que los fluidos a utilizar en modelo yprototipo deben cumplir esa relación de viscosidades. Sin embargo, en los ensayosexperimentales se emplean generalmente el aire y el agua por ser los fluidos más baratosy más comunes a nuestro alcance. Resulta prácticamente imposible encontrar un fluidocon una viscosidad muy concreta.

Entonces resulta que si la gravedad, que interviene en el número de Froude, y laviscosidad de los fluidos a emplear en prototipo y modelo han de ser iguales, la escalageométrica, según se observa de las relaciones anteriores, habrá de ser la unidad:, Lm/Lp = 1, lo cual atestigua que no se puede obtener una semejanza hidrodinámica absolutaentre prototipo y modelo.

Por todo esto, es importante analizar en el fenómeno o flujo que se estéestudiando, la importancia de cada uno de los parámetros adimensionales queintervienen. Afortunadamente en un buen número de casos puede prescindirse de lainfluencia de alguna fuerza o parámetro adimensional, originándose así las semejanzasincompletas o restringidas.

Como conclusión el conocimiento completo del fenómeno y la experiencia sonindispensables para definir el tipo de semejanza a utilizar.

2.4.- SEMEJANZAS EN FLUJOS DE FLUIDOS INCOMPRESIBLES.

En el estudio de semejanza aplicada al flujo de fluidos, se pueden diferenciar por su comportamiento, en dos tipos de flujo:

-Flujos en carga.-Flujos en superficie libre.

Flujos en carga podríamos definirlos como aquellos flujos, aislados de la atmósferaexterior, en los que, a menudo, la variación de energía de presión y de posición severifica de forma conjunta y se expresa por la variación de presión hidrostática, mientrasque en flujos en superficie libre, al estar en contacto con la atmósfera, las dos variablesfísicas son independientes, ya que la presión depende de la atmósfera que intervenga, yla cota o energía de posición dependerá de las condiciones o características geométricasdel flujo. Por la diferencia indicada, los parámetros predominantes en cada caso sondiferentes.





16

En el estudio de flujos la función adimensional que define el proceso es :∆P / ρV2 = φ ( L/D , ε/D , µ/ρVD, V2/gD ) es decir

∆P / ρV2 = φ ( L/D , ε/D , Re, Fr )Para que se verifique la semejanza absoluta entre dos flujos se tiene que

verificar, que además de la semejanza geométrica, se tiene que cumplir la igualdad de

números de Reynolds y de Froudecomo se ha indicado anteriormente.

2.4.1.- Flujos en carga.

En el caso de flujos en carga, “en muchos casos”, se puede prescindir de lainfluencia de la gravedad es decir del nº de Froude, ya que la variación de cota se puedeagrupar con la presión en forma de presión hidrostática. Por tanto además de lasemejanza geométrica se deberá de verificar la igualdad de números de Reynolds.

La igualdad de (L/D)m y (L/D)p se verifica por la semejanza geométrica:

(L/D)m = (L/D)p → Lm /Lp = Dm /Dp = λ (escala geométrica)

Análogamente ocurre con la igualdad de ε/D entre modelo y prototipo.

Por tanto si se verifica además Rem = Rep , se verificará asimismo la igualdaddel parámetro de Euler, por ser función de los anteriores, y de todos sus derivados.

(∆P / ρV2)m = (∆P / ρV2)p → (∆P)m/(∆P)p = (ρV2)m / (ρV2)p

Realmente se prescinde del número de Froude por lo que será una semejanzarestringida pero con buenos resultados prácticos.

2.4.2.- Flujos en superficie libre

En el estudio de flujos en superficie libre la función adimensional que define elproceso es igual que en el caso anterior.

En este caso la presión permanece constante al estar la superficie en contactocon la atmósfera, mientras las fuerzas gravitatorias varían según varía la cota.

Luego, además de la semejanza geométrica, se tiene que verificar la igualdad denúmeros de Reynolds y Froude entre modelo y prototipo para que se verifique lasemejanza u homología total o absoluta.

En general es necesario recurrir a la semejanza restringida, y la experiencia

indica que en un flujo en superficie libre, la importancia de las fuerzas gravitatorias esmuy superior a la de las fuerzas viscosas normalmente, por ello, cuando no se puedealcanzar la semejanza absoluta, no se tiene en cuenta el número de Reynoldsy se debeverificar además de la semejanza geométrica la igualdad de números de Froude.

Con estas condiciones además se verificará la igualdad del número de Euler, por ser función de los anteriores, y de todos sus derivados como se ha visto en el caso deflujos en carga.





TEMA 17: EFECTOS DE LA VISCOSIDAD EN FLUJOS

0.- INTRODUCCIÓN

En el comienzo de la asignatura de Ingeniería Fluidomecánica se definió unapropiedad que caracteriza a los fluidos y los distingue de los sólidos, es la viscosidad.

Sin embargo, a lo largo de la asignatura, hasta este momento, no se ha tenido encuenta la viscosidad, debido a que en los fluidos en reposo (estática) no aparecen losefectos de la misma y en el estudio de la dinámica se hace la abstracción de que losfluidos sean perfectos, es decir, tengan viscosidad nula, con el fin de simplificar elproblema.

Partiendo de la Ecuación de Euler o ecuación fundamental de los fluidos perfectos,y mediante una serie de hipótesis simplificatorias, se llega a la expresión de Bernoulli, quelógicamente no tiene en cuenta los efectos de la viscosidad.

Con el fin de poder aplicar la ecuación de Bernoulli a problemas prácticos, hay queintroducir unas modificaciones de las hipótesis utilizadas en su deducción, que permitenampliar su campo de aplicación.

Entre estas modificaciones, está la de considerar que el fluido es real, por tantotiene viscosidad, existiendo pérdidas de energía.

A partir de este capítulo se va a tener en cuenta los efectos de la viscosidad y seestudia el cálculo de las pérdidas de energía.

En el presente capítulo, en particular, se van a establecer los fundamentos de

partida definiendo los flujos externos e internos, seguido de las experiencias de Reynoldsy sus consecuencias, terminando con el concepto de capa límite y la distribución develocidades en los flujos internos laminares y turbulentos.

1.- FLUJOS EXTERNOS E INTERNOS

Flujo interno: flujo completamente limitado por superficies sólidas. Incluyen flujosa través de tuberías, toberas, difusores, ensanchamientos y estrechamientos bruscos,válvulas,...

Los flujos internos pueden ser laminares y turbulentos. Algunos casos de flujo

laminar pueden resolverse analíticamente. En el caso de flujo turbulento no son posibleslas soluciones analíticas, por lo que se debe confiar en teorías semiempíricas y en datosexperimentales. Para flujos internos el régimen de flujo (laminar o turbulento) esfundamentalmente una función del número de Reynolds.

Flujo externo: es aquel flujo sobre cuerpos sumergidos en un fluido sin fronteras.La corriente de fluido en la cual el cuerpo está inmerso, con frecuencia, se consideracomo infinita en extensión.



18 Efectos de la viscosidad en flujos


Las teorías actuales del flujo sobre cuerpos inmersos proporcionan explicacionescualitativas excelentes para casi todas las situaciones del flujo externo. Solamente sedispone de predicciones puramente analíticas para unos cuantos flujos simples. Lasteorías tanto cualitativas como cuantitativas del flujo externo se basan en el concepto dedividir el campo en dos zonas: zona de flujo viscoso (capa límite) y zona de flujo no

viscoso o ideal.

2.- EXPERIENCIAS DE REYNOLDS. CONSECUENCIAS. NÚMERO DEREYNOLDS

Se sabe por capítulos anteriores que flujo laminar es aquél en que el fluido semueve en capas paralelas, mientras que en el flujo turbulento las partículas del fluidotienen un movimiento errático.

La naturaleza del flujo laminar o turbulento, viene definida por el número deReynolds.

En 1883 el investigador Osborne Reynolds estudió el movimiento de un fluido.Mediante las ecuaciones diferenciales generales que describen el flujo, dedujo lascondiciones para que dos flujos fuesen dinámicamente semejantes, encontrando que elgrupo adimensional “VL ρ / µ ” debía ser el mismo para ambos casos; por ello esteparámetro se conoce como número de Reynolds:Re

Re = VL ρ / µ Siendo:

• V una característica del flujo, que para el caso de tuberías es la velocidad

media V.• L una longitud característica del entorno que rodea al fluido, que suele ser el diámetro de la tubería.

• ρ la densidad del fluido.• µ la viscosidad dinámica del fluido

Para determinar el significado del grupo adimensional, Reynolds llevó a cabo susexperimentos con flujo de agua a través de tubos de vidrio, para lo cual dispuso un tubohorizontalmente con un extremo abocinado dentro de un depósito y en el otro extremouna válvula reguladora del caudal, según se observa en la figura 17.1.

En el interior del tubo de ensayo inyectó un colorante y observó que para caudalesy velocidades pequeños, y por tanto nº de Reynolds bajo, el filete coloreado se movíatrazando una línea recta sin entremezclarse con el agua que le rodeaba, es decir el flujoera laminar. Al aumentar el caudal y por tanto la velocidad, aumentó el número deReynolds, y llegó a la condición en que dicha línea se iba ondulando llegando unmomento en que se rompía bruscamente, difundiéndose por el tubo, es decir sealcanzaba el régimen turbulento.





Fig.17.1.- Aparato de Reynolds

Reynolds obtuvo un valor de Re=12.000 antes de que se estableciera laturbulencia. Investigadores posteriores, usando el equipo original de Reynolds, obtuvieronun valor de 40.000 al mantener el agua en reposo en el tanque durante varios días antesde realizar el experimento, y teniendo cuidado en evitar vibraciones del agua o del equipo.

Estos números, llamados como números críticos superiores de Reynolds, notienen significado práctico ya que las instalaciones ordinarias tienen irregularidades quecausan flujo turbulento para valores muy inferiores del número de Reynolds.

Comenzando con flujo turbulento en el tubo de vidrio, Reynolds encontró quesiempre se vuelve laminar cuando se reduce la velocidad hasta hacer Re menor que2000. Este se denomina Número crítico inferior de Reynolds para flujos en tubos y esimportante en los cálculos prácticos. Análogamente al aumentar el flujo de laminar aturbulento observó que para Re mayor de 4000, era turbulento. Este se denomina Númerocrítico superior de Reynolds.

Consecuencias de los ensayos:Como resultado de sus experiencias, Reynolds dedujo lo siguiente:

• La transición entre el régimen laminar y el turbulento se produce bruscamente.

• La mayor o menor laminaridad del flujo depende directamente de la velocidaddel fluido y de los diámetros de los distintos tubos, e inversamente de laviscosidad del fluido.

• La frontera de paso laminar a turbulento es muy difícil de precisar, ya quedepende mucho de las condiciones del flujo (vibraciones,...). En condiciones

prácticas se verifica:

• Para nº Re ≤≤≤≤ 2000: flujo laminar . Predominan las fuerzas viscosas.Se verifica la ley de Newton de la viscosidad.

• Para nº Re ≥≥≥≥ 4000: flujo turbulento. Las fuerzas viscosas quedancasi anuladas por las de turbulencia. No se verifica la ley de Newtonde la viscosidad.





• Para 2000< Re <4000 el flujo está indeterminado, pudiendocomportarse como laminar o como turbulento, según lascondiciones del entorno, y variando de unos momentos a otros. Esun intervalo en el que no se debe de trabajar , y donde además sepuede producir el fenómeno de la intermitencia que se analiza

posteriormente.

Para las tuberías circulares el número de Reynolds se expresa:

Re = V D ρ / µ =ν

DV

Se puede considerar el número de Reynolds como la relación entre las fuerzas deinercia y las fuerzas debidas a la viscosidad . Es el número más empleado en la Mecánicade los Fluidos, ya que existen un gran número de expresiones en las que aparece dicho

factor. Se habla continuamente de él y en función de él aparecen muchas característicasde elementos hidráulicos.

Pero donde adquiere su mayor importancia es en el campo de la semejanza delos flujos (ensayo de modelos) ya que, como se ve en el capitulo del análisis dimensional,en los flujos en carga la condición para que sean dinámicamente semejantes es que,además de ser geométricamente semejantes los números de Reynolds han de ser iguales, permitiendo estudiar cualquier dispositivo a partir de los ensayos realizados enmodelos a escala reducida.

3.- CAPA LÍMITE

En 1904 Ludwig Prandtl desarrolló el concepto de capa límite que permiterelacionar el flujo de los fluidos ideales con el de los fluidos reales.

Para los fluidos que tienen una viscosidad relativamente pequeña el efecto de lafricción interna es apreciable sólo en una región delgada en inmediato contacto con lasfronteras sólidas del fluido, que Prandtl denominó capa límite.

De acuerdo con esta hipótesis el flujo fuera de esta zona estrecha se puedeconsiderar como fluido ideal.

Cuando un fluido se mueve junto al contorno de un sólido éste ejerce una fuerza

de rozamiento, de forma que la velocidad de la capa de fluido en contacto con el sólido esla misma que la de éste. Si consideramos puntos situados en un plano perpendicular alcontorno del sólido, a medida que nos alejamos de él la velocidad aumenta hasta alcanzar la correspondiente al flujo libre. La región en la que se produce la variación de lavelocidad se conoce como capa límite, como ya se ha indicado, y su espesor en lapráctica se puede definir como la distancia desde el contorno sólido hasta el punto en quela velocidad del fluido es el 99% de la del flujo libre (figura 17.2).





Fig.17.2.- Capa límite

En el interior de la capa límite se producen tensiones de cortadura originadas por el gradiente de velocidad entre las capas de fluido adyacentes.

En flujo laminar dy

duµ τ =

Donde τ es la tensión de cortadura, µ la viscosidad dinámica del fluido y u lavelocidad del fluido a una distancia y medida perpendicularmente desde la superficie delsólido.

Los factores principales que influyen en la formación de la capa límite son, por lotanto, la condición de no-deslizamiento en la superficie de contacto entre el sólido y elfluido y la tensión de cortadura debida al gradiente de velocidad.

La figura 17.2 muestra una capa límite creciente sobre una placa plana delgada,con un borde de ataque puntiagudo, donde la capa límite empieza siendo laminar. Lacapa límite aumenta de espesor a medida que nos alejamos del borde de la pared.

Cuando el espesor δ de la capa límite alcanza un valor determinado la estructuralaminar se hace inestable y desaparece, comenzando a ser turbulenta. La transición decapa límite laminar a turbulenta se ha deducido experimentalmente que se verifica para

un número de Reynolds que oscila entre 500.000 y 1.000.000, siendo Re = ν xV .

En la zona turbulenta la tensión de cortadura es debida a los efectos de las

turbulencias siendo su expresióndy

duη τ = , siendo η la viscosidad de turbulencia ó de

remolino.





Sin embargo, una vez pasado el punto de transición, en los puntos muy cercanosa la pared de la placa, la presencia de ésta hace imposible todo movimiento transversal,es decir perpendicular a la pared. La experiencia demuestra que, por grande que sea laturbulencia de la masa fluida, su acción se anula en contacto con la placa; se forma por consiguiente, en las proximidades inmediatas de ésta, una delgada capa en la que el

régimen es laminar y que está comprendida entre la pared y la masa de fluido enmovimiento turbulento. A esta película de fluido se la denomina subcapa laminar o capalímite laminar secundaria ( figura 17.3)

Fig.17.3.- Capa límite laminar y turbulenta

En realidad no hay discontinuidad muy definida entre las tres zonas: fluido libre,capa límite turbulenta y subcapa laminar.

En flujos externos, el flujo lejos del cuerpo sólido puede considerarseprácticamente no viscoso, mientras que se utiliza la técnica de la teoría de la capa límitepara determinar el movimiento en la capa viscosa cerca de las paredes.

4.-FLUJOS LAMINAR Y TURBULENTO EN FLUJOS INTERNOS.-DISTRIBUCIÓN DE VELOCIDADES

Consideremos una tubería por la que circula un fluido en condiciones tales que el

movimiento sea necesariamente laminar (figura 17.4). A la entrada de la tubería, el perfilde velocidades es casi uniforme en toda la sección transversal.

La acción del esfuerzo cortante en la pared es retardar el flujo cerca de dichapared. Como consecuencia la velocidad debe aumentar en la zona central.





Debido a este esfuerzo cortante se crea una capa límite laminar, cuyo espesor,nulo a la entrada de la tubería, va creciendo hasta llenar totalmente el conducto a partir deuna cierta sección situada a una distancia l de la entrada. La capa límite que presentabahasta esa abscisa l un estado de transición, se ha transformado en la configuraciónlaminar; se dice que el régimen está dinámicamente establecido. A partir de aquí ladistribución de velocidades es parabólica.

Fig. 17.4.- Flujo interno laminar

La formación del régimen turbulento en el interior de una tubería cilíndrica obedeceel mismo esquema que en una placa plana.

El fluido entra en la tubería con una velocidad sensiblemente uniforme. A partir dela entrada, las partículas de fluido próximas a la pared de la tubería se adhieren a ésta yel efecto de retraso que resulta de ello provoca la aparición de la capa límite.

Esta es primeramente laminar y su espesor aumenta gradualmente hasta un valor en que se hace inestable, desarrollándose entonces una capa turbulenta hasta casi lasmismas paredes de la tubería en que se desarrolla la subcapa laminar. Se establece asíuna configuración permanente a lo largo de la tubería y el régimen está dinámicamenteestablecido.

La distribución de velocidades es la de la figura 17.5; una vez establecido elrégimen, la variación de la velocidad es muy rápida en la subcapa laminar y en la zonaturbulenta la distribución es logarítmica.

Fig.17.5.- Flujo interno turbulento





Este tipo de régimen es el que se establece normalmente en las tuberíasindustriales, de ahí el interés que tiene el estudio de las pérdidas de carga provocadas por la turbulencia del mismo y que son distintas de las del régimen laminar por laconfiguración distinta de éste. Como se observa la distribución de velocidades en flujoturbulento es prácticamente uniforme.





TEMA 18: ESTUDIO DE PÉRDIDAS DE CARGA EN CONDUCTOSCERRADOS

0.- INTRODUCCIÓN

El capítulo comienza con la demostración de la ecuación de Darcy-Weisbach, quedefine la pérdida de carga en regímenes permanentes y uniformes, en función delcoeficiente de frotamiento.

Un trabajo que ha durado décadas y que todavía no parece concluido ha sidoanalizar este valor del coeficiente de frotamiento para cada caso, sea el régimen laminar oturbulento, sea el tubo liso, semirrugoso o rugoso. En el capítulo se establecen lasexpresiones desarrolladas, en orden cronológico, por Prandtl, Karman, Colebrook y otrosinvestigadores, sin describir todo el trabajo desarrollado por ellos, que resultaría muyextenso.

Estas expresiones obtenidas por los investigadores mencionados soncomplicadas, por lo que llevarlas a ábacos ha facilitado durante muchos años laresolución de problemas.

Se presenta el trabajo realizado por Moody mediante su ábaco, y se incluyenexpresiones, aproximadas, para el cálculo directo del coeficiente de frotamiento, queresultan muy útiles en la actualidad ya que el grado de aproximación es elevado.

El capítulo se termina con el análisis del cálculo de pérdidas de carga en flujocompresible isotérmico.

1.- RESISTENCIA AL FLUJO EN CONDUCTOS CERRADOS. ECUACIÓN DEDARCY-WEISBACH

En esta apartado se estudian las pérdidas de carga o energía llegando a laexpresión general de las mismas, denominada ecuación de Darcy-Weisbach.

Se realiza el estudio considerando régimen turbulento, utilizando la expresión de latensión de cortadura obtenida mediante la teoría de la longitud de mezcla de Prandtl, sindeducirla, y se generaliza la expresión obtenida para régimen laminar mediante sucoeficiente de fricción específico.

Hipótesis de partida:

Se realiza el estudio para las siguientes condiciones de validez:

• Flujo turbulento• Régimen permanente y uniforme• Fluido incompresible• Conducto cerrado• Flujo unidimensional



26 Estudio de pérdidas de carga en conductos cerrados


Se considera dentro de un conducto cerrado un volumen de control formado por unelemento de fluido de longitud L, sección transversal A y perímetro P.

Las fuerzas actuantes sobre dicho elemento de fluido, que se representan en lafigura 18.1, son las siguientes:

• Fuerza debida a la presión aguas arriba = p1 A• Fuerza debida a la presión aguas abajo = p2 A• Fuerza debida a la gravedad = γ A L• Fuerza debida a la tensión de cortadura a lo largo de todo el contorno

del conducto = τ L P

Fig.18.1.- Flujo en conductos cerrados. Representación de fuerzas

Teniendo en cuenta las fuerzas actuantes la ecuación de equilibrio resultante,proyectada sobre el eje del movimiento, es la siguiente:

p1 A – p2 A + γ A L sen θ = τ L P

Teniendo en cuenta que sen θ = ∆z/L

(p1 – p2)A + γ A ∆z = τ L P

∆p A + γ A ∆z = τ L P

Dividiendo por el volumen (A L), se tiene:

∆p/L + γ ∆z/L = τ P/A (1)





Según la teoría de la longitud de mezcla de Prandtl, el valor de la tensión decortadura para flujo turbulento resulta ser proporcional a la densidad del fluido y a lavelocidad del flujo al cuadrado:

τ = λ ρ v2/2

Donde λ es un factor, adimensional, de proporcionalidad. Sustituyendo el valor deτ en la expresión (1):

∆p/L + γ ∆z/L = A

P V

2

2 ρ λ

Se llama radio hidráulico R al cociente entre el área de la sección transversal (A) yel perímetro mojado (P), es decir:

R = A / P

Por tanto la expresión de equilibrio puede expresarse de la siguiente manera:

∆p/L + γ ∆z/L = λ ρ v2 /2 R (2)

Aplicando la ecuación de Bernoulli entre las secciones 1 y 2 de la figura 18.1, setiene:

B1 – hf = B2

P1/ γ + z1 – hf = P2/ γ + z2

Al ser el régimen permanente y uniforme, las velocidades en 1 y 2 son iguales.

Operando:

(P1/ γ - P2/ γ) + (z1 – z2 ) = hf

∆p/ γ+ ∆z = hf

∆p+ γ ∆z = γ hf (3)

Sustituyendo la expresión (3) en la (2)

γ hf /L = λ ρ v2 /2 R

Operando resulta: hf = g

V

R

L

2

2

λ (4)

Expresión de Darcy-Weisbach, para el caso de conductos cerrados de seccióncualquiera.





Para el caso de tubos circulares el valor del radio hidráulico es :

R = A / P =

D

D

π

π 4

2

= D/4

Sustituyendo este valor en la expresión (4)

hf = 4 g

V

D

L

2

2

λ

Al factor 4λλλλ se le denomina coeficiente de frotamiento del conducto y serepresenta por f .

La expresión de Darcy-Weisbach para conductos circulares que proporciona la

pérdida de carga hf por unidad de peso resulta entonces:

hf = g

V

D

L f

2

2

El coeficiente de frotamiento es adimensional y depende, como se vio en elcapítulo dedicado a análisis dimensional, de las características del flujo y del material dela tubería, es decir f = f (Re, εεεε/D)

Para el caso de tuberías de sección no circular la expresión de las pérdidas decarga es la siguiente:

hf = g

V

R

L

2

2

λ = g

V

R

L f

24

2

que representa la fórmula de Darcy-Weisbach para conductos cerrados de sección nocircular, considerando el coeficiente de frotamiento f.

En esta expresión cada término representa lo siguiente:

• f: el coeficiente de frotamiento, que se determina como en el caso de lastuberías circulares.

• L: longitud del conducto.• V: velocidad media del flujo• R: radio hidráulico, es decir R = A/P• P: perímetro mojado• A: sección transversal de la tubería.





2.- TUBOS LISOS Y RUGOSOS DESDE EL PUNTO DE VISTA HIDRÁULICO.FRONTERAS.

En el capítulo anterior se estudió la capa límite y se mencionó la formación de la

subcapa laminar. El espesor de esta subcapa laminar es inversamente proporcional alnúmero de Reynolds, de manera que al aumentar éste el espesor de la subcapa laminar disminuye, tal y como se deduce de la siguiente expresión:

f D

sl 8

Re

6.11=

δ

Se denomina εεεε al espesor medio de la rugosidad de las paredes del conducto,característico del material, cuyos valores se encuentran tabulados en el cuadro nº 18 delcuaderno o documento: “Cuadros y ábacos” de la asignatura.

Espesor relativo de la tubería se llama al cociente entre la rugosidad y el diámetrode la tubería: εεεε / D

Se dice que un tubo se comporta como hidráulicamente liso cuando el espesor dela subcapa laminar es netamente superior a la altura ε de las rugosidades del material dela tubería, según se observa en la figura 18.2, es decir δsl >> ε.

En este caso el coeficiente de frotamiento sólo depende de las características delflujo f = f (Re)

Fig.18.2.- Tubo hidráulicamente liso, semiliso y rugoso





Se dice que un tubo se comporta como hidráulicamente rugosocuando el espesor de la subcapa laminar es netamente inferior a la altura ε de las rugosidades del materialde la tubería, según se observa en la figura 18.2, es decir δsl << ε.

En este caso el coeficiente de frotamiento sólo depende de las características delmaterial f = f (ε/D)

Se dice que un tubo se comporta como hidráulicamente semirrugoso cuando elespesor de la subcapa laminar es del mismo orden de valores que la altura ε de lasrugosidades del material de la tubería, según se observa en la figura 18.2, es decir δsl ≈ ε.

En este caso el coeficiente de frotamiento depende de las características del flujo ydel material de la tubería f = f (Re, ε/D)

Para un determinado conducto, la rugosidad relativa es un valor constante,mientras que el espesor relativo de la subcapa laminar varía inversamente proporcional alnúmero de Reynolds del flujo

A medida que aumenta el número de Reynolds el espesor de la subcapa laminar va disminuyendo y llega un momento en que las rugosidades de la pared empiezan aemerger fuera de la subcapa laminar, pasando el tubo de liso a semirrugoso.

Si siguiera aumentando el número de Reynolds el espesor de la subcapacontinuaría disminuyendo y el tubo podría pasar a rugoso.

De lo anterior se deduce que un tubo no es liso o rugoso, sino que se comportacomo liso, rugoso o semirrugoso dependiendo de la velocidad del flujo.

Las fronteras entre estos tres tipos de tubos (lisos, semirrugosos y rugosos) seproducen para unos valores del número de Reynolds obtenidos experimentalmente por numerosos investigadores, que son los siguientes:

• Frontera lisa-semirrugosa: Re’ =

Dε

23

• Frontera semirrugosa-rugosa: Re’’ =

Dε

560

Re’’ = f

D

ε

200

Siendo este último valor frontera el utilizado en los ábacos que posteriormente seestudiarán, para determinar el coeficiente de frotamiento f .





3.- EXPRESIONES PARA EL CÁLCULO DEL COEFICIENTE DEFROTAMIENTO. FENÓMENO DE LA INTERMITENCIA. EXPERIENCIAS DENIKURADSE.

En el apartado anterior se ha obtenido la expresión de Darcy-Weisbach para tuboscirculares, que nos da la pérdida de carga:

hf = g

V

D

L f

2

2

En la misma, aparece el coeficiente de frotamiento f, que es preciso determinar según sea el tipo de flujo (laminar ó turbulento) y el comportamiento de la tubería (lisa,rugosa o semirrugosa)

En este apartado se va a determinar el valor de dicho coeficiente, siguiendo elorden cronológico en que se fueron obteniendo.

3.1.- FLUJO LAMINAR

Para el caso de flujo laminar (Re ≤≤≤≤ 2000), Hagen y Poiseuille, dosinvestigadores el primero alemán y el segundo francés, estudiaron por separado el flujolaminar, obteniendo en 1839, la expresión para el cálculo de las pérdidas de carga endicho flujo:

hf =g

V

D

L

g

V

D

L

DV g D

V L

2

64

2

64

2

64 22

Re==

ν ν

Por comparación con la ecuación de Darcy-Weisbach, deducida en la primerapregunta de este capítulo, se puede observar que coincide con dicha ecuación, siendo elcoeficiente de fricción en este caso: f = 64 / Re.

La pérdida de carga es, según se observa en la expresión anterior, función de laprimera potencia de la velocidad y el coeficiente de frotamiento depende solamente de lascaracterísticas del flujo, es decir del número de Reynolds: f = f (Re).

La expresión para flujo laminar: f = 64 / Re, se le conoce como expresión deHagen-Poiseuille en honor a los investigadores que la obtuvieron.

3.2.- FLUJO TURBULENTO

El estudio del flujo turbulento (Re ≥≥≥≥ 4000), es muy complicado, y está basado en laTeoría de la longitud de mezcla de Prandtl, es una teoría empírica muy imaginativa, quetiene muchos detractores, pero es la única que existe, y que fue completada con ensayosy estudios experimentales por Prandtl y sus discípulos. En estos apuntes no se hadesarrollado la teoría de Prandtl que puede encontrarse en la bilbliografía de Mecánicade Fluidos.





En las pérdidas de carga en flujo turbulento no solo intervienen las característicasdel flujo sino además las del conducto o tubería, mediante su rugosidad relativa, siendodiferente el coeficiente de fricción para cada tipo de tubería.

3.2.1.- Coeficientes de fricción en Tuberías lisas

3.2.1.1.- Re ≤ 105

Blasius (1913),mediante su tesis doctoral, y a través de ensayos experimentalesestudio el flujo turbulento en conductos lisos, obteniendo para el coeficiente defrotamiento la expresión, llamada de Blasius,:

f = (100.Re)-1/4 = 0.316/ Re0.25 para flujos cuyo Re ≤ 105

Es decir si: Re ≤≤≤≤ 105 y tubería lisa (Re <Re’ =

Dε

23): f = 0.316/ Re0.25

El coeficiente de frotamiento depende, como puede observarse, solamente de lascaracterísticas del flujo es decir f = f (Re). Sustituyendo el valor del coeficiente defrotamiento en la expresión de Darcy-Weisbach se obtiene que la pérdida de carga esfunción de V 1.75 .

3.2.1.2.- Re > 105

En 1925 los alemanes Von Karman y Prandtl obtuvieron la expresión para el caso

de flujo turbulento (Re ≥≥≥≥ 4000) y tubería lisa (Re <Re’ =

Dε

23), valida para Re > 105,

denominada expresión de Karman-Prandtl, que es la siguiente:

51.2

Relog2

1 f

f =

Nuevamente se observa que f = f (Re), ya que la tubería se comporta como lisa.

3.2.2.- Fenómeno de la intermitencia

Cuando se trabaja en un intervalo de valores del número de Reynoldscomprendido entre 2000< Re > 4000 se produce el fenómeno de la intermitencia, en elcual el flujo pasa de laminar a turbulento y de turbulento a laminar de una formaintermitente. Este fenómeno se explica a continuación.

Se considera una tubería de pequeño diámetro alimentada por un depósito denivel constante, según se observa en la figura 18.3.





El desnivel existente (H) entre la lámina superior de agua y la salida de la tuberíase transforma en energía de velocidad y en pérdida de carga.

H = V22/2g + hf 1-2 = Cte.

Fig.18.3.- Fenómeno de la intermitencia

Supongamos que el flujo en un instante determinado es turbulento, pero cercano allaminar. En ese momento la pérdida de carga es proporcional a la velocidad elevada auna potencia entre 1.75 y 2. La pérdida de carga, en este caso, es mayor que en ellaminar con lo cual la velocidad disminuye, ya que la energía total H es constante, y por tanto el numero de Reynolds se hace más pequeño, pasando el flujo a ser laminar.

En este régimen laminar, la pérdida de carga es proporcional a la primera potenciade la velocidad V, es decir, disminuye la pérdida de carga con relación al régimenturbulento, con lo cual la velocidad aumenta y por tanto el número de Reynolds se hacemayor, pasando el flujo de laminar a turbulento. El fenómeno continúa repitiéndose deforma intermitente.

3.2.3.- Coeficiente de fricción en Tuberías rugosas

El mismo año (1925) Karman y Prandtl obtuvieron la expresión valida para flujo

turbulento (Re ≥≥≥≥ 4000) y tuberías rugosas (Re >Re’’ =

Dε

560), sin concretar el campo de

aplicación de la misma, que es la siguiente:

2

10

71.3log

25.0

=

D

f

ε





Se observa que el coeficiente de frotamiento en tubos rugosos es funciónexclusiva de la rugosidad relativa εεεε/D del material de la tubería f = f(εεεε/D) y la pérdida decarga es función de la segunda potencia de la velocidad, por ser f independiente delnúmero de Reynolds.

3.2.4.- Experiencias de Nikuradse

El alemán J. Nikuradse, discípulo de VON KARMAN, realizó en 1932 experienciascon tuberías de rugosidad artificial, para determinar el campo de validez de la expresiónde Karman-Prandtl para tuberías rugosas.

Las experiencias consistieron en tomar tuberías de diferentes diámetros y arenastamizadas de distintos diámetros, pero constante para cada ensayo, con las que enluciólas tubería, consiguiendo de esta forma tuberías con rugosidades diferentes peroexcesivamente homogéneas, en comparación con las tuberías comerciales.

Con estas tuberías realizó ensayos en laboratorio, calculando el coeficiente de

frotamiento y llevándolo a un gráfico, tal como se representa en la figura 18.4.

Fig.18.4.- Experiencias de Nikuradse

Del gráfico obtuvo las siguientes importantes consecuencias:

• Para régimen laminar, el coeficiente de frotamiento dependía sólo del númerode Reynolds y era independiente de la rugosidad, siguiendo fielmente laexpresión de Hagen-Poiseuille para tuberías lisas: f = 64/Re.

• Existía una zona crítica, para valores del número de Reynolds entre 2000 y4000, en que se desconocía lo que ocurría, al igual que en el caso de lastuberías lisas.





• Al aumentar el número de Reynolds los resultados comenzaban a separarsede los de las tuberías lisas, y se separaban tanto más cuanto mayor era elnúmero de Reynolds y tanto antes cuanto mayor era la rugosidad relativa de latubería.

• A partir de un cierto valor del número de Reynolds, que resultaba variable, elcoeficiente de frotamiento se hacia independiente de dicho número y dependíasolamente de la rugosidad relativa, siendo aplicable la fórmula de Karman-Prandtl para tubos rugosos.

3.2.5.- Coeficiente de fricción en Tuberías semilisas o semirrugosas

Nikuradse obtuvo con sus experiencias, una serie de valores del coeficiente defrotamiento para tuberías con rugosidad perfectamente homogénea, sin llevar dichosvalores a una fórmula.

Los valores obtenidos por Nikuradse son inferiores a los que se obtienen en larealidad con tuberías comerciales, de rugosidad heterogénea.

Seguidamente los ingleses Colebrook y White (1939) desarrollaron unaexpresión empírica para el caso de flujo turbulento (Re ≥≥≥≥ 4000) y tuberíassemirrugosas (Re’ ≤≤≤≤ Re ≤≤≤≤ Re’’), que es la siguiente:

+−=

71.3Re

51.2log2

1 D

f f

ε

Se observa que el coeficiente de frotamiento depende de las características delflujo y del material f = f(Re, εεεε/D), ya que la tubería se comporta como semirrugosa.

En 1944 el norteamericano L.F. Moody publicó uno de los gráficos más prácticospara la determinación del coeficiente de frotamiento de tuberías y que es válido para todaclase de fluidos, denominado ábaco de Moody.

En el siguiente cuadro se presentan, como resumen, las expresiones para elcálculo del coeficiente de frotamiento, indicando su campo de validez.





COEFICIENTES DE FROTAMIENTO EN TUBERÍAS

Tipo de Flujo Comportamiento

de la tubería

Expresión hf

Flujo laminar Re ≤≤≤≤ 2000

Hagen-Poiseuille f = 64 / Re hf = f (v)

2000< Re < 4000Flujo

indeterminado Zona crítica, no se debe de trabajar

Re ≤≤≤≤ 105 Blasius f = 0.316/ Re0.25 hf = f (v1.75)Tubería Lisa

Re <Re’ =

Dε

23),

Re > 105 Karman-Prandtl 512

21

.

Relog

f

f =

Flujoturbulento(Re ≥≥≥≥ 4000),

TuberíasemirrugosaRe’ ≤≤≤≤ Re ≤≤≤≤Re’’

Colebrook- White

+−=

71.3

/

Re

51.2log2

1 D

f f

ε

Tubería rugosa

Re >Re’’ =

Dε

560

Karman-Prandtl 2

10

71.3log

25.0

=

D

f

ε

hf = f (v2)

La expresión de Karman-Prandtl para tubería lisa y la de Colebrook-White para

tubería semirrugosa son implícitas, logarítmicas e irracionales por lo que es necesarioiterar .

3.2.6.- Coeficientes de fricción, explícitos aproximados, para tuberías lisas y semilisas

Los investigadores indios Prabhata K. Swamee y Akalank.K. Jain (P.S.A.K.)desarrollaron expresiones explícitas, con el fin de simplificar el cálculo en el caso de las





dos expresiones implícitas ya indicadas, cuyos resultados son bastante aproximados a losobtenidos a través de dichas expresiones.

Para el caso de tubería lisa y Re > 10 5 la expresión aproximada de P.S.A.K esla siguiente:

Para el caso de tubería semirrugosa la expresión aproximada de P.S.A.K es lasiguiente.

2

90

745

713

250

+

=

.Re

.

.log

.

D

f ε

4.- ABACO DE MOODY

El valor del coeficiente de frotamiento f viene dado por formulas de difícilresolución (implícitas, logarítmicas, exponenciales) que incluso con las modernascalculadoras llevaría bastante tiempo resolverlas y más aún si son implícitas.

Por esta razón dichas formulas se llevaron a ábacos o gráficos que han facilitadodurante mucho tiempo la resolución de los problemas.

Esta fue la labor realizada por el norteamericano L.F.Moody, que en 1944 publicóuno de los gráficos más prácticos para la determinación del coeficiente de frotamiento detuberías y que es válido para toda clase de fluidos.

En la actualidad, bien en un ordenador o una calculadora programable, se puedeprogramar, con las expresiones ya dadas, todo el cálculo de los coeficientes de fricción.No obstante el ábaco de Moody sigue siendo una herramienta muy útil e intuitiva paraconocer el comportamiento de la tubería y para un cálculo rápido de los coeficientes.

El ábaco de Moody representa las fórmulas obtenidas anteriormente por Hagen-Poiseuille, Blasius, Karman-Prandtl, y Colebrook-White, indicadas por los números (1),(2), (3), (4) y (5).

2

9.010Re

74.5log

25.0

= f





• Ecuación (1): Hagen-Poiseuille; Régimen laminar (Re≤2000).

• Ecuación (2): Blasius; Régimen turbulento y tubos lisos(4000≤Re≤105)

• Ecuación (3) :Karman-Prandtl; Régimen turbulento y tubos lisos (Re>105)

• Ecuación (4): Karman-Prandtl; Régimen turbulento y tubos rugosos

(Re> Re’’ = f

Dε

200 )

• Ecuación (5): Colebrook-White; Régimen turbulento y tubos semirrugosos (Re’< Re> Re’’)

Fig.18.5.- Construcción del ábaco de Moody

En el gráfico logarítmico de la figura 18.5 se señalan de forma esquemática estasecuaciones así como la frontera Re’’, representando en ordenadas el coeficiente defrotamiento f, en abscisas el número de Reynolds Re y tomando la rugosidad relativa ε/Dcomo parámetro variable.

El ábaco de Moody no define la frontera entre tuberías lisas y semirrugosas,conocida posteriormente a su publicación. Dicha frontera, como se ha indicadoanteriormente, es la siguiente Re’ = 23/ε/D.

Se ha considerado conveniente definirla en el ábaco de Moody, modificando ésteligeramente.

En la figura 18.6 se representa el ábaco de Moody, perfectamente perfilado,realizado en papel logarítmico, representando el coeficiente de frotamiento f enordenadas, el número de Reynolds en abscisas y la rugosidad relativa ε/D comoparámetro variable.

1

2

3

4

4

4

5





Fig.18.6.- Abaco de Moody

5.- UTILIZACIÓN DEL ÁBACO DE MOODY

Los tres tipos de problemas sencillos que se presentan referentes al flujo entuberías y que son la base de otros problemas más complejos, son los siguientes:

TIPO DATOS INCOGNITAI Q, L, D, ν, ε hf (pérdida de carga)II hf , L, D, ν, ε Q (caudal)III hf , L, Q, ν, ε D (diámetro

El tipo I es el más frecuente y mediante el ábaco de Moody y la expresión deDarcy-Weisbach se resuelve directamente.

Los tipos II y III hay que asimilarlos al tipo I, para lo cual hay que hacer suposiciones y realizar tanteos.





PROBLEMA TIPO I

Datos: Q, L, D, νννν, εεεε Incógnita: hf (pérdida de carga)

El procedimiento de cálculo es el siguiente: con los datos de partida se calcula la

velocidad, el número de Reynolds y la rugosidad relativa; con estos dos últimos valores seentra en el ábaco de Moody obteniéndose el coeficiente de frotamiento f y mediante lafórmula de Darcy-Weisbach se determina la pérdida de carga.

Para mayor claridad se presenta un organigrama de dicha resolución.

PROBLEMA TIPO II

Datos: hf , L, D, νννν, εεεε Incógnita: Q (caudal)

Caso a) hf = Cte = K

Al ser la pérdida de carga un valor constante se puede obtener el parámetro Ref ½,que corresponde a otra entrada más al ábaco de Moody (parte superior del ábaco).

Mediante la expresión de Darcy-Weisbach y el nº de Reynolds:

hf = g

V

D

L

f 2

2

→ L

g Dhf

V f

212/1

=

Re f ½ = CteL

g Dhf D=

2

ν

Re =ν

DV





Para mayor claridad se acompaña un organigrama que facilita la resolución delproblema.

Caso b) hf = expresión matemática

Si la pérdida de carga no es una constante, mediante la ecuación de Bernoulli y laexpresión de la pérdida de carga se obtiene una ecuación con dos incógnitas: la velocidadV y el coeficiente de frotamiento f, por lo que es necesario iterar.

El procedimiento de cálculo es el siguiente: se supone un valor arbitrario delcoeficiente de frotamiento f; con este valor y mediante la ecuación de Darcy-Weisbach secalcula la velocidad, y con los datos de partida se puede conocer el número de Reynoldsy la rugosidad relativa. Entrando con éstos en el ábaco de Moody se obtiene un nuevocoeficiente de frotamiento.

Si los coeficientes de frotamiento supuesto y obtenido son del mismo orden devalores (es admisible un 5% de diferencia) el problema esta resuelto, calculando el caudal

solicitado.

Si no es así, con el coeficiente de frotamiento obtenido se repite el proceso hastaque los valores supuesto y obtenido sean similares. Normalmente no suele ser necesariorealizar más de tres iteraciones.

Es muy conveniente con el fin de facilitar las iteraciones preparar todas lasexpresiones para su utilización rápida y confeccionar un cuadro de iteraciones.

Es usual partir de un valor para f = 0.03 ó similar (punto medio del eje deordenadas). Para mayor claridad se acompaña un organigrama que facilita la resolucióndel problema.





PROBLEMA TIPO III

Datos: hf , L, Q, νννν, εεεε Incógnita: D (diámetro)

Al ser el diámetro desconocido no se dispone de ninguna de las tres entradas alábaco de Moody por lo que nuevamente es necesario iterar.

El procedimiento de cálculo es el siguiente: se supone un valor arbitrario delcoeficiente de frotamiento f; con este valor y mediante la ecuación de Darcy-Weisbach secalcula el diámetro y a partir de éstos se determinan el número de Reynolds y larugosidad relativa. Entrando con éstos en el ábaco de Moody se obtiene un nuevocoeficiente de frotamiento.

Si los coeficientes de frotamiento supuesto y obtenido son del mismo orden devalores el problema esta resuelto. Si no es así, con el coeficiente de frotamiento obtenidose repite el proceso hasta que los valores supuesto y obtenido sean similares.

Normalmente el diámetro obtenido no coincide con uno comercial, por lo que habráde tomarse el inmediatamente superior al obtenido.

Es muy conveniente con el fin de facilitar las iteraciones preparar todas lasexpresiones para su utilización rápida y confeccionar un cuadro de iteraciones.

Para mayor claridad se acompaña un organigrama que facilita la resolución delproblema.





6.- CÁLCULO DE PÉRDIDA DE CARGA EN FLUJO COMPRESIBLE

El transporte de fluidos por tuberías se conoce desde la antigüedad, pero hasta

principios del presente siglo las técnicas de soldadura no alcanzaron el nivel necesariopara permitir, con la suficiente garantía, la construcción de conducciones capaces deresistir presiones elevadas.

El transporte de gas por tuberías presenta, entre otras, las siguientes ventajas:

• Permite el transporte económico de grandes cantidades a distanciasconsiderables.

• Permite realizar el transporte sin aportar energía exterior, aprovechando lapresión del propio gas. Unicamente cuando se trata de grandes distancias esnecesaria la instalación de estaciones intermedias de compresión, paracompensar las pérdidas de carga que se producen en la tubería.

• Inexistencia de obras de protección costosas.• Aprovechamiento de trazados rectilíneos.• Escasos gastos de personal por su sencillez y elevado grado de automatismo.• Asegurar la regularidad del suministro.• No alterar el medio ambiente.

Como desventajas cabe citar:

• Rigidez en el trazado.• Poca flexibilidad para adaptarse a las variaciones cuantitativas de la demanda.

Generalmente se parte de depósitos de almacenamiento desde los cuales, yprevios los tratamientos necesarios con compresores, se impulsa el gas a lo largo de lacanalización.

Los gasoductos están formados por tramos bien diferenciados en función de loscaudales de gas transportados y de su presión.

La espina dorsal del gasoducto está constituida por el llamado conducto principal ored de transporte, diseñado para conducir grandes volúmenes de gas a grandesdistancias, a presiones superiores a los 12 bar, alcanzando normalmente valores de 30 a40 bar e incluso superiores.

En las estaciones de regulación se reduce la presión del gas que procede de la redde transporte y adecuadamente filtrado, es introducido en la red de distribución. En estasestaciones se controla el caudal de gas que circula por la tubería así como la presión y latemperatura.

Las presiones de trabajo de las redes de distribución suelen estar comprendidasentre 12 y 4 bar. Esta gama de presiones es la más adecuada para usuarios industriales.





En algunas circunstancias, las redes de distribución deben trabajar con presionesde servicio entre 4 y 0,4 bar y menores de 0,4 bar.

Las distribuciones realizadas a presiones inferiores a 500 mm c agua constituyenlas de baja presión y se utiliza para el suministro a usuarios domésticos.

6.1.- FLUJO ISOTERMO EN TUBOS DE SECCIÓN CONSTANTE

En conducciones largas, el flujo generalmente es isotérmico: si son conduccionessin aislar, (gasoductos, red urbana de distribución de gas, aire comprimido etc.) elcontacto del flujo con el ambiente garantiza, en el flujo, la temperatura de éste. Si lasconducciones son aisladas (en centrales térmicas por ejemplo), las pequeñasdisminuciones de temperatura, que origina la suave expansión del flujo en su recorrido,son contrarrestadas en buena medida por el rozamiento.

6.1.1.- Hipótesis de partida

• Tubería horizontal• Flujo isotermo• Flujo permanente• Flujo con rozamiento o real.

6.1.2.- Ecuaciones que definen el proceso

• Ecuación de estado: Gas ideal: P = ρ R T

Gas real: P = z ρ R T (z = coeficiente de compresibilidad)• Ecuación de la transformación isotérmica: P / ρ = Cte • Ecuación de la Continuidad: ρ v A = m. = Cte (flujo permanente)• Ecuación de la energía: g dz + v dv + dp / ρ + g dhf = 0

Las velocidades de circulación del fluido suelen ser del orden de 6–7 m/s y comomáximo alcanzan valores de 20 m/s.

A lo largo de la tubería, debido a las pérdidas de carga, la presión disminuye, por tanto la densidad disminuye y como consecuencia la velocidad tiene que aumentar, deforma que las máximas velocidades existirán al final de la tubería.

Lx dx

1 2P1 P P+dP P2

v1 v v+dv v2

Fig.18.7.- Conducto con flujo compresible

Conducto

delongitud L





Como ya se ha indicado, la velocidad varía a lo largo de la tubería, por ello setoma un pequeño elemento de longitud “dx “, para aplicar la ecuación de la energía.

Sustituyendo en la expresión de la energía “dh f ” por la ecuación de Darcy-Weisbach:

dhf = f (dx/D) (v2 / 2g)

Se obtiene:

g dz + v dv + dP / ρ + g f (dx/D) (v2 / 2g) = 0

• Al suponer tubería horizontal: dz = 0• La variación de energía cinética en el elemento infinitesimal dx, es

despreciable frente a la variación de energía de presión, por lo que ladespreciamos:

dP / ρ + f (dx/D) (v2 / 2) = 0

dP = - ρ f (dx/D) (v2 / 2)

Multiplicando los dos miembros por la densidad ρ:

ρ dP = - f (dx/D) ((ρv)2 / 2)

Por la Ec. de estado: ρ = P /RT ⇒ T = Cte Y por la Ec. de la continuidad: m& = ρ v A = Cte ⇒ (ρ v ) = Cte

Sustituyendo:

2

2V

D

dx f dp

T R

p ρ −=

Ecuación diferencial en variables separadas, cuyas únicas variables son P y x .

Límites de integración: x = 0 → P = P1 x = L → P = P2

∫ ∫ −=LP

P D

dx V f

RT

pdp

0

22

12

)( ρ

( )22

P -P22

1

2

2 V D L f

T R ρ −=

( ) 22

2 V D

Lf T R ρ =P -P 2

1 Ecuación de Weymouth





Si no se desprecia el término de energía cinética (v.dv) la ecuación que se obtienees:

( )

+=1

222

2

2

1 ln2P -PV

V

D

L f V T R ρ

Pero la diferencia en los resultados es totalmente despreciable.

6.1.3.- Coeficiente de fricción “f”

El calculo del coeficiente de fricción f se realiza mediante el ábaco de Moody o lasexpresiones que lo definen.

Datos de partida: ε/D y Re

Re = ρVD/µ

Como ρVA = Cte

→ ρVD = Cte

Y para T = Cte → µ = Cte Es decir Re = Cte en toda la conducción





TEMA 19: FLUJO PERMANENTE EN CONDUCTOS CERRADOS.CÁLCULO PRÁCTICO DE CONDUCCIONES. REDES.

0.- INTRODUCCIÓN

En este capítulo se estudian las pérdidas de carga en las piezas especiales,conocidas con el nombre de pérdidas menores o puntuales, que se calculan mediante dosmétodos: el de las longitudes equivalentes y el de los coeficientes de paso.

A continuación se estudia el envejecimiento de las tuberías y se define elconcepto de línea piezométrica y de alturas totales, presentándose varios casosparticulares.

Por último y teniendo en cuenta que además del ábaco de Moody y de laexpresión de Darcy-Weisbach existen numerosas fórmulas empíricas para el cálculo delas pérdidas de carga se analiza la expresión de Hazen-Williams muy valida para cálculos

rápidos con agua.

Por último se explican las tuberías en serie, en paralelo y ramificadas.

1.- PÉRDIDAS MENORES. LONGITUD EQUIVALENTE Y FACTOR DE PASO

En el capítulo anterior se han estudiado las pérdidas de carga en conducciones,considerando que están constituidas solamente por la tubería es decir por tramos detubería recta, ya que una de las hipótesis de partida es flujo uniforme.

La realidad es que en una conducción existen muchos puntos singulares,

entendiendo por éstos todo tipo de válvulas, codos o curvas, bifurcaciones, juntas deunión, ventosas, filtros, contadores y, en general, cualquier singularidad de la tubería.

Todas estas particularidades, denominadas también “piezas especiales” producenlo que se llama pérdidas de carga: menores, puntuales, singulares o particulares.

Aunque se consideren como pérdidas menores, en algunos casos tienenextraordinaria importancia, sobretodo en instalaciones industriales, urbanas y domésticas.

Estas pérdidas se consideran despreciables en caso de conducciones largas, conpequeño número de piezas especiales.

Existe una regla práctica que consiste en suponer despreciables dichas pérdidascuando entre una pieza especial y la siguiente hay una separación del orden de mil vecesel diámetro de la conducción.

La evaluación de las pérdidas menores se realiza, con no pocas dificultades,experimentalmente. Solamente en el caso de ensanchamiento y estrechamiento bruscosse pueden determinar analíticamente dichas pérdidas, aplicando el teorema de la cantidadde movimiento.



48 Flujo permanente en conductos cerrados. Cálculo práctico de conducciones


Los métodos empleados para determinar las pérdidas de carga son dos, el de la“longitud equivalente” y el del “factor de paso”

1.1.- MÉTODO DE LA LONGITUD EQUIVALENTE

Se llama longitud equivalente de una pieza especial a la longitud de tubería que,con el mismo diámetro que el de la pieza, produce igual pérdida de carga.

Según la fórmula de Darcy-Weisbach, la pérdida de carga viene dada por laexpresión:

hf = g

V

D

L f

2

2

En el caso de piezas especiales L representa la longitud equivalente, es decir:

hf = g

V

D

Le

f 2

2

Por medio del ábaco de las longitudes equivalentes, construido por la casaWhortington (ábaco nº 20 de Cuadros y ábacos:), se puede determinar perfectamente lalongitud equivalente de las distintas piezas especiales según los diferentes diámetros delas mismas.

1.2.- MÉTODO DE LOS FACTORES DE PASO O COEFICIENTES

Las pérdidas en piezas especiales se pueden evaluar también por el llamado

factor de paso, de forma que:

hf = g

V K

2

2

siendo K el factor de paso en piezas especiales, equivalente al factor D

L f de la fórmula

de Darcy-Weisbach.

Los factores de paso están tabulados en el cuadro nº 21 de Cuadros y ábacos. Entodo caso las casas comerciales suministradoras los deben de indicar.

2.- ENVEJECIMIENTO DE TUBERÍAS

A pesar de que las tuberías son cada vez más lisas en el momento de salir defábrica, el tiempo de funcionamiento influye muy notablemente en la rugosidad absoluta ε del material, en el coeficiente de frotamiento f y, por tanto, en las pérdidas de carga hf,haciéndose las tuberías más rugosas con el paso del tiempo.





Si bien no se puede cuantificar perfectamente la incidencia de los parámetros queinfluyen en el coeficiente de frotamiento, si se pueden considerar clasificados en tresgrupos:

• Parámetros fisicoquímicos de la tubería, es decir el acabado y el material defabricación.

• Parámetros fisicoquímicos del fluido, es decir, su acidez, dureza, sustancias ensuspensión, minerales, los cuales pueden dar lugar a formación deincrustaciones como en el caso de sustancias calcáreas, ó erosionar la tuberíadisminuyendo su espesor, como en el caso de arenas en suspensión.

• Parámetros hidráulicos, es decir la velocidad de circulación y la presión.

Una velocidad demasiado baja facilita la acumulación de sedimentos en el interior de la tubería, originando una considerable disminución de su diámetro, aparte del naturalaumento de rugosidad, con lo cual las pérdidas de carga aumentan considerablemente.

Por el contrario, una velocidad demasiado elevada produce un efecto de erosión odesgaste del espesor del tubo, pudiendo llegar a deteriorarse con el paso del tiempo.

Las fórmulas que cuantifican la influencia de la edad de la tubería son totalmenteempíricas y con poco rigor científico.

Una forma práctica de evaluar la influencia de la edad en la pérdida de cargaconsiste en considerar que ésta aumenta un tanto por ciento igual al número de años t transcurridos desde la salida de fábrica.

hf (t) = hf (0)

+

100

1t

3. LÍNEA PIEZOMÉTRICA Y DE ALTURA TOTAL

Altura piezométrica: Se llama a la altura alcanzada en un piezómetro abiertodispuesto en la tubería, es decir, representa la suma de la energía de posición y depresión, tomando como referencias un origen arbitrario de cotas y la presión atmosféricalocal (presión manométrica).

Altura total: Se llama a la resultante de sumar a la altura piezométrica la alturaequivalente a la energía de velocidad.

Si en una conducción se unen los puntos alcanzados por la altura piezométrica yla altura total, se obtiene la “ línea de alturas piezométricas” ó la “ línea de alturas totales”respectivamente.





En una conducción, salvo en casos muy excepcionales, es casi imprescindible quela energía de presión sea positiva, con lo cual la línea piezométrica debe estar siemprepor encima del perfil de la tubería, que representa la energía de posición. Si está por debajo significa una presión negativa, es decir, la línea piezométrica no ha de cruzarsecon la del perfil de la tubería, en la mayoría de los casos.

Fig. 19.1.- Línea piezométrica y línea de altura total .

En la lámina superior del depósito, la línea piezométrica coincide con la alturatotal; en la entrada a la tubería una pequeña parte de la energía de posición se transformaen energía de velocidad, que se mantiene constante a lo largo de la conducción si no semodifica el diámetro de la misma.

En un punto cualquiera de la conducción se tiene la siguiente distribución deenergías:

Z: energía de posiciónP/ρρρρg: energía de presiónV2/2g: energía de velocidadhf : pérdida de energía o pérdida de carga

La pendiente de la línea de altura total proporciona la pérdida de carga por unidadde longitud, de forma que:

tagα = hf / L = J

Sin embargo, por ser las líneas piezométricas y de altura total paralelas, es normal

decir que J es la pendiente de la línea piezométrica.

Es indudable que al final de la conducción la energía de presión se anula, pues elfluido ha de salir a la atmósfera, convirtiéndose en energía de velocidad si existe unaboquilla, en energía de posición si se trata de un consumo en una cierta cota, ósimplemente se transforma en pérdida de carga en los grifos de salida ó en instalacionesindustriales.

Altura total disponible

V /2g Línea altura

Línea Piezométrica

P/ρg

Tubería

α hf





3.1.-CASOS PARTICULARES

3.1.1.- Salida mediante boquilla

En el caso de que al final de la conducción sale al exterior a través de unaboquilla, en dicha boquilla se verifica la transformación de energía de presión en energíacinética, además de pérdidas de carga, y dejan de ser paralelas, lógicamente, la líneapiezométrica y de altura total.

p/ρg

z

Fig. 19.2 .- Salida mediante boquilla

3.1.2.- Pieza especial

En el punto donde existe una pieza especial se produce una caída de la líneapiezométrica, ya que se origina una pérdida de carga puntual.

La línea piezométrica continúa posteriormente con la misma pendiente que teníaantes de que el fluido pasara por la pieza especial, según puede observarse en la figura.

hf p. especial

P/ρg

Origen de cotas

Fig. 19.3.- Pieza especial

v2boq/2g

Origen de cotas

hf v2 /2g

D

D

z





3.1.3.- Bomba

Si se tiene una bomba dentro de una conducción se incrementa la energía entre laentrada y la salida de la bomba.

Si el diámetro y el material de la tubería permanecen constantes antes y después

de la bomba, la línea piezométrica tiene la misma pendiente en ambas tuberías segúnpuede observarse en la figura 19.4, ya que la velocidad permanece constante así como elnúmero de Reynolds y la rugosidad relativa y por tanto el coeficiente de fricción y lapérdida de carga unitaria.

Fig. 19.4.- Bomba

3.1.4.- Turbina Si se tiene una turbina dentro de una conducción disminuye la energía,produciéndose una caída repentina de la línea piezométrica, según se observa en lafigura 19.5.

Fig 19.5.- Turbina

Hm p/ρg

z

Bomba

Origen de cotas

Turbina

Ht

Origen de cotas





3.1.5.- Depresión por bomba

Como es sabido, una bomba puede producir una depresión en su tubería deaspiración. En este caso la línea piezométrica corta al perfil de la conducción, según seobserva en la figura 19.6.

Fig. 19.6.- Depresión por bomba

Es preciso tener cuidado con el fenómeno de la cavitación, que consiste en que elfluido hierve cuando la presión a la entrada de la bomba disminuye, alcanzando la tensiónde vapor máxima del fluido y en ese momento se forman burbujas de aire muy rico enoxígeno y burbujas de vapor de agua. Como consecuencia de ello se oxida el material yse deteriora la bomba y tuberías. Por otra parte se producen también detonaciones oimplosiones peligrosas originadas por las burbujas gaseosas al licuarse, con vibracionesy ruidos que dan lugar a una disminución del rendimiento de la bomba y de la vida de lamisma.

3.1.6.- SifónSe denomina sifón al paso de un fluido de un punto a otro de menor cota, bienpasando su intermedio por cotas superiores o por inferiores (Figura 19.7)

H

H

Fig.19.7.- Sifones: a) por cotas superiores ; b) por cotas inferiores

Origen de cotas

P/ρg

z

0

b

1

2

1

2

(a) (b)





Los sifones presentan unas limitaciones, ya que en el sifón (a) hay que tener cuidado con la depresión que se produce en la parte superior que puede originar cavitación y en el sifón (b) hay que tener precaución con la sobrepresión que tiene quesoportar la parte inferior.

Suponiendo que el tubo del sifón está totalmente lleno de fluido, la aplicación de la

ecuación de Bernoulli entre los puntos 1 y 2 conduce a la expresión:

B1 - hf 1-2 = B2 ; B1 = 0 y B2 = H

H = hf 1-2 = g D

V L f

2

2

Es decir, el fluido circula por el sifón gastándose la altura H en pérdida de carga.

La presión en el punto superior ó inferior del sifón (vértice) se determina aplicandola ecuación de Bernoulli:

B1 - h f 1-0 = B0Siendo:

B1 = p1/γ + v12/2g + z1 = 0 + 0 + z1

B0 = p0/γ + v02/2g + z0

Resulta:p0/γ = (z1 - z0) - v0

2/2g - h f 1-0

En el caso del sifón (a) la presión resulta ser negativa

p0/γ = - (z0 – z1) - v02/2g - h f 1-0

y disminuye con la altura del vértice respecto al punto 1 y con la velocidad delfluido en el sifón.

Si al determinar p0/γ resulta que es igual ó menor que la presión de vapor, el fluidohierve en el vértice y se dice que el sifón cavita. El paso del fluido se produce aborbotones y el sifón no trabaja satisfactoriamente, pudiendo incluso llegar a descebarse.

Los grandes sifones que trabajan continuamente tienen en su vértice superior bombas de vacío que impiden el descebado.

La presión más baja puede en algunos casos no presentarse en el vértice sino en

un punto aguas abajo, puesto que el rozamiento y las pérdidas menores pueden reducir aún más la presión.

La línea piezométrica de un sifón es una recta que une las dos superficies libres,según se observa en la figura 19.8.





Fig 19.8.- Línea piezométrica del sifón

4.- FÓRMULAS EMPÍRICAS DE CÁLCULO DE PÉRDIDAS DE CARGA

Todas las fórmulas estudiadas hasta ahora son muy recientes, pues tienen comopunto de partida el año 1925, en que Ludwig Prandtl expuso su teoría sobre la capa límite.

Sin embargo ya se habían realizado cálculos de tuberías con anterioridad a estafecha. Esto fue posible gracias a la existencia de fórmulas empíricas, obtenidas por

numerosos investigadores anteriores a Prandtl, que permitieron determinar las pérdidasde carga en las conducciones. Entre ellas citaremos las de Prony, Dupuit, Levy, Flamant,Darcy, Lees-Cespedes, Reynolds, Hazen-Williams, Sonier, Manning, Barnes, Gaucker-Stricler, Scimemi,y Drew-Kov-Macadams.

De todas las indicadas la mas utilizada hoy en día para cálculo rápido de pérdidasde carga en conductos cerrados y en flujos de agua o de fluidos de viscosidad similar al

agua (ν ≈ νagua = 10-6 m2/s) es la de Hazen-Williams.

1

2

Cabeza

de sifón

Cola de

sifón

Sifón b

Sifón a





4.1.- FÓRMULA DE HAZEN-WILLIAMS

Esta ecuación data del año 1970, tiene en cuenta todos los parámetros queintervienen en el rozamiento fluido, es decir, rugosidad, velocidad y diámetro, Por ello esde las expresiones empíricas más ampliamente utilizadas en el cálculo de redeshidráulicas.

Su expresión dada en el sistema internacional es la siguiente:

Q = 0.0849 CHW A R 0.63 J 0.54 (S.I)

Siendo:• CHW: coeficiente de Hazen-Williams, que depende de la rugosidad de la

tubería.• A: sección transversal del conducto• R: radio hidráulico; R = A/P• J: pérdida de carga unitaria; J = hf/L

Para el caso de tuberías de sección circular:

A = π D4/4 y R = D

D

π

π 4

4

= D/4

Despejando la pérdida de carga:

J = hf/L =8521

8748521 3

710 .

.)(

.)(

.

sm

QDC mHW

(S.I.)

El coeficiente de Hazen-Williams: CHW es función de la rugosidad de la tubería,

pero la bibliografía solamente indica tubería muy lisa, lisa, semilisa,...etc.

Haciendo la comparación de los resultados obtenidos mediante esta expresión conlas derivadas de la mecánica del flujo turbulento, representadas en el ábaco de Moody,se puede expresar el coeficiente en función de la rugosidad relativa: ε / D, tal como seencuentra en el cuadro:22 de “Cuadros y ábacos”.

Las fórmulas empíricas son notablemente más sencillas que la teóricas yaindicadas, pero con el fin de resolver mucho más rápidamente el cálculo de pérdidas decarga, se ha confeccionado un cuadro de valores de las pérdidas de carga unitarias (J 1 )en función del diámetro comercial de la tubería, tomando como base la expresión deHazen-Williams.

De la expresión anterior:

J = hf/L =8521

8748521 3

710 .

.)(

.)(

.

sm

QDC mHW

(S.I.)





Se llama J1 a la pérdida de carga producida por un caudal de 1 l/s, por tanto:

J = J1 . Q1,852

hf = J1 . L . Q1,852

El cuadro se ha preparado para los diámetros comerciales más comunes asícomo para los diferentes coeficientes de Hazen-Williams.

En dichos cuadros se ha expresado el caudal en l/s , el diámetro en milímetro y lapérdida de carga en unidades es decir en metros de columna de agua por metro delongitud de tubería.

Expresando en la ecuación de Hazen-Williams, el caudal en l/s y el diámetro enmm es decir:

Qm3/s = Ql/S .(10-3) y Dm = Dmm . (10-3)

Y sustituyendo se escribirá:

J1 =87.4

)(

852.1

10102117.1

mm HW DC

siendo J1 la pérdida de carga unitaria cuando Q = 1 l/s, cuyo valor esta tabulado, cuadronº 22,en función del diámetro y del coeficiente de Hazen-Williams.

La expresión final de Hazen-Williams para el cálculo de la pérdida de carga es lasiguiente:

hf = J1 L Q (l/s) 1.852

5.- TUBERÍAS EN SERIE Y EN PARALELO. LEYES DE CIRCULACIÓN DE LOSFLUIDOS EN UN CIRCUITO

5.1.- TUBERÍAS EN SERIE

Las tuberías están conectadas en serie cuando van colocadas una a continuaciónde otra

Por el teorema de la continuidad, el caudal es el mismo para cada tubería enausencia de manantiales ó sumideros y la pérdida de carga total es la suma de las

pérdidas parciales.

hf total = Σ hf parciales

es decir, las pérdidas de carga son acumulativas.





5.2.- TUBERÍAS EN PARALELO

Se dice que las tuberías están conectadas en paralelo cuando parten y terminanen el mismo punto (figura 19.9).

Fig.19.9.- Tuberías en paralelo

En este caso se verifican las leyes de circulación de fluidos en circuitos para loscaudales y las pérdidas de carga.

Ley de caudales:

“En un nudo se verifica que la suma de caudales entrantes es igual a la suma decaudales salientes”

En general, en un nudo Σ Q = 0, suponiendo positivos los caudales entrantes ynegativos los salientes.

Ley de pérdida de carga:

“Las pérdidas de carga entre dos nudos son independientes del camino recorrido”

hf AB = hf 1 = hf 2 = hf 3

ya que si se aplica Bernoulli entre los nudos A y B, resulta BA – BB = hf AB

y como el Bernoulli es el mismo en cada punto para cada instante, la pérdida decarga es indiferente que circule el fluido por una tubería ó por otra en paralelo con ella.

Si se considera la pérdida de carga positiva cuando el fluido circula en unadirección y negativa si lo hace en otra, se puede escribir para un circuito Σ hf = 0

5.3.- TUBERÍAS RAMIFICADAS

Es un conjunto de tuberías que parten de un nudo común.

B2

3

A





TEMA 20: FLUJO VARIABLE EN TUBERÍAS

0.- INTRODUCCIÓN

Al variar el régimen en una conducción, cerrando parcial o totalmente una válvulapor ejemplo, aparece un fenómeno de compresibilidad en el flujo, que se traduce en unavariación brusca de presión en la tubería.

Si en la conducción ABC (fig. 20.1) anulamos el caudal en B, la primera rodaja deflujo aguas arriba de B queda parada en seco, a continuación se para la segundacomprimiendo a la primera, la tercera a la segunda y así sucesivamente hasta llegar a A.En definitiva, aparece en B un aumento de presión ∆P que como una onda se propagaaguas arriba a una velocidad a. Este aumento de presión es como un golpe que sufre laconducción en su interior, y que se conoce con el nombre de golpe de ariete, yrecientemente con el de transitorio.

Fig.- 20.1.- Cierre de válvula en B

Al anularse el caudal en B, la primera rodaja de flujo aguas debajo de B quedatambién parada en seco. El flujo entre B y C tira de dicha rodaja, provocando en la mismauna succión o disminución de presión llamado golpe de ariete negativo. A veces sepueden originar en la tubería presiones inferiores a la atmosférica, incluso próximas alcero absoluto, que aplastarían la tubería si esta no está preparada para ello.

1.- PROPAGACIÓN DE LA ONDA

Al anular instantáneamente el caudal en B (Fig. 20.2) pueden suceder tres casos:

• Fluido incompresible (no existe)Tubería inelástica (difícil de conseguir).

Al cerrar instantáneamente en B, no hay posibilidad de que siga entrando líquidopor A en la tubería. El caudal se anularía simultáneamente en ambas secciones. Laceleridad de la onda a sería infinita: a = ∞∞∞∞



60 Flujo variable en tuberías


• Fluido compresible (siempre)Tubería inelástica

Al anularse el caudal en B, el fluido dentro de la tubería va reduciendo su volumena medida que se produce la sobrepresión del golpe; por tanto sigue entrando en la tuberíafluido por A. En este caso, tampoco real, la celeridad de la onda coincide con la velocidad

del sonido en dicho fluido c: a = c.

• Fluido compresible.Tubería elástica

Al anularse el caudal en B sigue entrando fluido por A, por doble causa, ya queéste se comprime y además la tubería se dilata a medida que le va llegando la onda desobrepresión. Por ello el caudal en A tarda más en anularse es decir que la onda sepropaga más despacio: a<<<< c.

2.- VALOR DEL GOLPE DE ARIETE MÁXIMO.- FÓRMULA DE ALLIEVI

Al anularse el caudal en B (Fig. 20.2) aparece un ∆P, que actuando sobre lasección transversal S del flujo va comprimiendo a éste con la fuerza:

F = S. ∆∆∆∆P

Fig.: 20.2.- Cierre rápido de válvula en B

El impulso de dicha fuerza durante el tiempo: t = ∆ L / a que tarda el trozo detubería ∆ L en pararse, será igual a la variación de la cantidad de movimiento que hasufrido la masa m de dicho trozo, al pararse o al pasar de una velocidad V a otra V’menor.

m = ρ. S. ∆ L

F. t = m. ∆ V

∆ V = V – V’ (parcial) Sustituyendo: S. ∆ P. ∆ L/a = ρ. S. ∆ L. ∆ V

∆ V = V (total)





En el caso de cierre total: ∆ V = V, lógicamente el más peligroso, se obtiene:

∆ P = ρ. a. V ó ∆ H = a. V /g

Expresión obtenida por Allievi que calcula el máximo golpe de ariete que puedepresentarse.

3.- VELOCIDAD DEL SONIDO

Calculando la celeridad de la onda en una tubería inelástica se tendrá la velocidaddel sonido ya que c = a.

Fig.- 20. 3.- Onda de presión

Se representa en la Fig. 20.3 la primera rodaja próxima a B. Dicha rodaja pasa deun espesor dL antes del golpe a otro (dL-dx) después de comprimida. La fuerza decompresión es F que comienza en C, siendo nula y acaba en C’ con el valor del golpe:F = S.∆P.

La fuerza media: S.∆P/2 al desplazarse de C a C’(dx), realiza un trabajo dW:

d W = F . dx = (S.∆P / 2 ). dx

Sustituyendo: ∆P = ρ. a. V y teniendo en cuenta que en este caso a = c

dW = (S.ρ. c. V / 2).dx

Este trabajo se realiza a costa de otra energía, que es la energía cinética quedesaparece de la rodaja de fluido al quedar en reposo:

(1/2) dm V2 = (1/2) ρ. S. d L .V2

Igualando las expresiones: (S.ρ. c. V / 2).dx = (1/2) ρ. S. d L .V2

V /c = S.dx /S.dL

Expresión que nos da la variación de volumen por unidad de volumen queproduce el incremento de presión .∆P. Recordando el módulo de elasticidad volumétricode un fluido: K = - ∆P / (∆v /v):

S.dx /S.dL = ∆v /v = ∆ P / K

V / c = ∆P / K = ρ. c.V / k c2 = k / ρ Por tanto: ρ

k c =





Para el caso del agua k = 2,03 .109 N /m2 y la velocidad del sonido en el agua:

c = ( ( 2,03 . 109) / 1000)1/2 = 1425 m/s

4.- CELERIDAD DE LA ONDA EN TUBERÍAS

Al considerar elástica la tubería, la porción de fluido de espesor dL disminuye, por efecto del golpe de Ariete (∆P), al aumentar el diámetro. El recorrido dx de la fuerza F esahora mayor y depende además del fluido de la elasticidad del material de la tubería y desu espesor respecto del diámetro.

Llamando E al módulo de elasticidad del material, e al espesor de la tubería y D asu diámetro interior, se llega a la expresión de Joukowski:

eE

Dk

k a

.

.

/

+

=

1

ρ

Fig.-20.4.- Velocidad de la onda de presión en tuberías

Para el caso del agua, Allievi propuso una fórmula más facil de recordar y manejar obtenida de la siguiente forma: como

c = (k / ρ)1/2 = 1425 m/s

Recordando que k = 2,1.105 N/cm2 y sustituyendo:

eE

D

eE

Da

.

.,

,.

.

.., 7510

348

3481425

10121

1425

+

=

+

=

Siendo K el cociente adimensional 107 / E(N/cm2) queda:

e

DK a

., +

=

348

9900





Valores orientativos de K para la fórmula de Allievi

Hierro y acero……………… 0,5Hormigón………………….. 5Hormigón armado…………. 5

Fundición………………….. 1Fibrocemento……………… 5,4 (5 ÷ 6)Poliester…………………… 6,6Plomo……………………… 5PVC……………………….. 33 ( 20 ÷ 50)

5.- OSCILACIONES DE PRESIÓN EN LA TUBERÍA

Analicemos lo que sucede en la conducción desde el instante t = 0 en que seproduce el cierre instantáneo en B:

t = 0: Aparece en B el golpe ∆P y la ondacomienza a circular por la tubería hacia eldepósito A.

Instante t = (L /2) / a: La onda de presiónllega al punto medio M. El trozo de tuboMB está dilatado y el fluido en su interior en reposo y comprimido. En el trozo AM elfluido sigue circulando hacia M.

Fig.-20.5.- Cierre de válvula instante t=0

Instante t = L / a : La onda de presiónllega a A, toda la tubería está dilatada por la sobrepresión y el fluido en su interior en

reposo y comprimido. La presión en B esla estática más la sobrepresión del golpe.Sería el momento más peligroso en laconducción.En el depósito A solo puede existir lapresión h debida a la altura del mismo, elgolpe al llegar a A tiene que desaparecer automáticamente.

Fig.-20.6.- Cierre de válvula instante t=(L/2)/a

Igual que un resorte, el fluido de la tuberíacomienza a expandirse por A y comienzaun flujo en dirección al depósito, a la vez

que la presión se va estabilizando.

En el Instante t = (3L/2)/a, la ondaestabilizadora llega a M. La líneapiezométrica en el tramo AM queda con.inclinación decreciente hacia A ya que elflujo circula en ese sentido





Fig.-20.7.- Cierre de válvula instante t=L/a

Instante t = 2L / a : La onda estabilizadora

llega a B. El fluido de toda la tubería semueve hacia el depósito, teóricamente ala misma velocidad V que llevaba antes deproducirse el golpe. Como el tramo defluido próximo a B no puede moverse, elresto tira de él provocando un ∆P negativoteóricamente igual en valor absoluto a lasobrepresión del golpe. A continuaciónesta onda se propaga hacia A.

Fig.-20.8.- Cierre de válvula instante t=(3L/2)/a

En el instante t = (5L/2)/a: La onda

negativa llega a M. El trozo de tubería BMesta contraído y el fluido en su interior enreposo y expandido.

Fig.-20.9.- Cierre de válvula instante t= 2L/a Fig.-20.10.-Cierre de válvula instante t=(5L/2)/a

Instante t = 3L / a: La onda llega a A. Todala tubería está contraida por efecto de ladepresión y el fluido en reposo yexpandido. En A se inicia un flujo endirección a B.

En el instante t = 4L/a: el flujo llega a B y lasituación vuelve a ser la misma que en elinstante inicial





Fig.-20.11.- Cierre de válvula instante t=3L/a Fig.-20.12.- Cierre de válvula instante t=4L/a

A partir de entonces el fenómeno vuelve a repetirse indefinidamente cada período

4L/a , pero debido al rozamiento del agua en la tubería la onda de presión se vaamortiguando hasta anularse totalmente.

Cuando el golpe de ariete es negativo, se podría alcanzar el cero absoluto, en elpeor de los casos, verificándose un fenómeno ondulatorio análogo al anteriormentedescrito. En consecuencia el golpe de ariete negativo puede ser tan nocivo como elpositivo.

6.- CIERRE GRADUAL

6.1.- CLASIFICACIÓN

En un cierre gradual, el golpe de ariete dependerá del tiempo T de cierre y de lalongitud L de la tubería.

Si la conducción es suficientemente larga o el cierre suficientemente rápido, comopara que la válvula esté cerrada antes de lo que tarda la onda en ir y volver (2L/a), sehabla de conducciones largas o cierres rápidos; de lo contrario, se habla de conduccionescortas o cierres lentos.

Si T<<<< 2L/a, cierre rápido; ó L >>>> a.T/2, conducción larga

Si T >>>> 2L/a, cierre lento; ó L <<<< a.T/2, conducción corta

6.2.- TECHO DE PRESIONES EN CONDUCCIONES LARGAS

Cuando al comienzo del capitulo se supuso el cierre instantáneo, el golpe aparecíacompleto en la sección B desde el primer instante (t=0) y se mantenía en dicha seccióndurante el tiempo t = 2L/a que tarda la onda en ir y volver. Al ser gradual, aunque searápido, el golpe aparece en B también gradualmente, alcanzando su valor máximo:





∆P = ρ.a.V al final del cierre: t = T, valor que se mantiene teóricamente en la secciónhasta el instante t = 2L/a.

Fig.-20.13.- Techo de presión

Es necesario conocer el valor máximo de presión que puede aparecer en toda laconducción que sería el techo de presiones, ya que para dicho valor se tiene que calcular la resistencia de la tubería.

Se puede analizar para cualquier valor de T, siempre que sea inferior a 2L/a..

La figura(20.14) corresponde a: L/2a < T <L/a. En el instante t=0 aparece en B elprimer incremento infinitesimal de presión (dp). Este incremento de presión se desplazahacia el depósito, le seguirá otro segundo y así sucesivamente. En el instante t= L/2a, elprimer dp llega al punto medio M, la línea piezométrica será B1M’A’.

Entre el instante t=0 y en el que el fluido queda en reposo, la pérdida de carga

inicial BB’ se va reduciendo hasta anularse. La LP inicial pasa de A’B’ hasta la horizontalA’B’’

En el instante t=T (final de cierre) aparece en B el último incremento de presiónque completa el golpe, mientras que el primero ha llegado a la sección N, la líneapiezométrica sería B2N’A’. Para t= L/a el primer dp llega al depósito, y el último irá por lasección D, siendo AD=NB, al seguir disminuyendo la pérdida de carga el punto B 2 seeleva hasta B3. En este instante sale de A hacia B la primera onda estabilizadora a la queseguirán las demás, los aumentos de presión que intentan llegar son compensados conondas estabilizadoras, por ello en A la presión será la debida a la altura h.

En la sección C (AC = CD), se encuentra la última onda, que no ha llegado todavía

al depósito, con la primera que ya está de vuelta, en este instante crítico, las ondasestabilizadoras compensan a las de presión y por tanto el golpe total ∆p solo llega hastaC, siempre existirá un tramo de tubería AC que llamaremos “longitud crítica L c” en que elgolpe varía entre el valor nulo en A y el máximo en C.





Fig.-20.14.- Techo de presiones

En el instante crítico tc = (L+Lc)/a , la situación es la mas peligrosa, la línea B4C’A’es “el techo de presiones” que ha de soportar la tubería.

6.3.- LONGITUD CRÍTICA

Como se ha indicado en la pregunta anterior, “la longitud crítica” es el tramo detubería en el que el golpe de ariete varía entre el valor nulo en el depósito A y el máximoen C. La longitud crítica será tanto menor cuanto mas rápido sea el cierre, siendo cero enel cierre instantáneo.

El tiempo transcurrido desde el comienzo del cierre hasta el instante crítico es:

tc = (L + Lc) / a

El tiempo que tarda la última onda en recorrer la longitud (L – Lc) es (tc – T) , por tanto:

Tc – T = (L – Lc) / a

Restando las dos expresiones se obtiene:

T = 2 Lc / a ; de donde: Lc = T. a / 2

Si se compara esta ecuación con las de tiempo de cierre vistas anteriormente sepuede ver que:

− Si L > Lc : se tiene conducción larga− Si L < Lc es conducción corta− Si L = Lc se tiene una conducción crítica





6.4.- GOLPE DE ARIETE EN CONDUCCIONES CORTAS

En un cierre lento o conducción corta, cuando la primera onda formada vuelve alcabo del tiempo 2L / a, encuentra la válvula a medio cerrar; es decir que aún no se haalcanzado en B el valor máximo del golpe. A partir de dicho instante, los siguientes

aumentos de presión previsibles quedan prácticamente compensadas con las ondasestabilizadoras que van llegando y por tanto la presión permanece prácticamenteconstante

Suponiendo en principio que el crecimiento de la presión es lineal con el tiempo decierre ( recta OMM’), el golpe en una conducción corta (MN) puede obtenerse por semejanza de triángulos entre OMN y OM’N’.

Fig 20.15.- Golpe de ariete en conducciones cortas

MN / M’N’ = ON / ON’ ; ∆P / ρ a V = ( 2L/ a) / T

Es decir ∆∆∆∆P = 2. L V ρρρρ / T , o bien ∆H = 2 L V / g T (formula de Micheaud)

Jouguet obtuvo también para cierre lento la expresión: ∆H = L V / g T que es lamitad que la obtenida por Micheaud.

6.5.- TIEMPO DE ANULACIÓN DEL CAUDAL. EXPRESIÓN DE MENDILUCE

Hasta hace unos años, se desconocía como determinar el tiempo T de anulaciónde caudal en una parada imprevista, que es fundamental para valorar el golpe de ariete,

por esta razón se hacían los cálculos en condiciones desfavorables que daban lugar atuberías sobredimensionadas.

En el VII Congreso Internacional de abastecimiento de agua, en 1966, el españolEnrique Mendiluce presentó un trabajo de investigación, en el que se aportaron fórmulaspara valorar dicho tiempo T.





El tiempo de cierre de la válvula antirretorno para bombeo por el método deMendiluce es:

Tcv = C1 + C2 ( LV / g Hm )

C1 es función de la pendiente de la tubería (ver tabla 1).

C2 es función de la longitud de la tubería (ver tabla 2).Tabla 1

GOLPE DE ARIETE – VALORES DEL COEFICIENTE C1

(Método de Mendiluce)

Pendiente: Hg/L C1

< 0,150 1,00

0,200 0,90

0,250 0,80

0,300 0,60

0,350 0,40

0,365 0,25

0,400 0,00

0,500 Aplicar Allievi

Tabla 2

GOLPE DE ARIETE – VALORES DEL COEFICIENTE C2

(Método de Mendiluce)

Longitud de la tubería (m) C2

< 500 2,00

500 1,75

500<L<1.500 1,50

1.500 1,25

>1.500 1,00

En resumen, el tiempo que tarda la onda sonora en subir y bajar por la tubería es:





T = 2 L / a

Comparando Tcv y T , se puede saber si el cierre es lento o rápido y por tanto lafórmula o expresión a utilizar:

Lg > Lc : tubería larga: Allievi

L = a T / 2 Lcrítica = a Tcv / 2Lg < Lc : Tubería corta : Micheaud

7.- FORMAS DE ATENUACIÓN DEL GOLPE DE ARIETE. DISPOSITIVOS PARAREDUCIR.

- Chimenea de equilibrio: Se instala en impulsiones de cierta importancia.

- Calderín de aire: Consiste en un recipiente parcialmente lleno de aire a presión que secoloca inmediatamente aguas debajo de la válvula de retención que hay a la salida dela bomba. La compresibilidad del aire amortigua tanto las depresiones como lassobrepresiones, es bastante eficaz, su inconveniente es que hay que ir reponiendo elaire que se consume y para ello es necesario un compresor.

- Amortiguadores de aire con vejiga: En estos el aire se encuentra encerrado en unavejiga, por tanto el aire y el agua no están en contacto y no necesitan instalación decompresor, su eficacia es análoga al calderín

- Válvulas de seguridad : Son válvulas taradas para que funcionen con solo un 5% por encima de la presión de regimen. Se colocan en paralelo inmediatamente aguas abajo

de la válvula de retención que hay junto a la bomba. Cuando aumenta la presión por encima de un valor prefijado, la válvula abre y el agua se descarga al exterior evitandouna sobrepresión. No evita las depresiones.

- Válvulas reguladoras de presión.: Estan diseñadas para controlar las sobrepresiones ylas depresiones, evitando el golpe de ariete y la cavitación. Son caras.

- Válvulas de retención: Sistema introducido por Mendiluce, muy extendido en españa.Cosiste en colocar varias válvulas de retención sin freno a lo largo de la tubería deimpulsión.

- Ventosas: Permiten lo mismo la entrada de aire como la salida.

8.-CONDUCCIONES EN CENTRALES HIDROELÉCTRICAS

En centrales hidroeléctricas cuando varía o se anula la carga del generador eléctrico, hay que actuar rápidamente sobre el caudal, ya que sino la turbina y elalternador podrían embalarse peligrosamente; esta rapidez de maniobra puede provocar golpes de ariete importantes. En algunos casos existen válvulas de descarga que desvían





el caudal, impidiendo que pase por la turbina, aún y todo el tiempo de cierre es pequeño (de 15 a 20 segundos).

En centrales a pié de presa, la longitud de la tubería forzada es pequeña, y elgolpe de ariete también lo será. En centrales en las que las turbinas se encuentran a 15 o20 km del embalse, se procura un perfil de tubería con muy poca pendiente hasta llegar lo

más cerca posible a la vertical de la turbina, donde se colocaría una chimenea deequilibrio.

La chimenea de equilibrio, sirve para reducir la longitud hasta la turbina a efectosde golpe de ariete. El fenómeno ondulatorio tendría lugar entre la chimenea y la turbina,quedando prácticamente eliminado el golpe entre el embalse y la chimenea.

Cuanto más suave sea la pendiente entre el embalse y la chimenea, menor será laaltura de ésta. Aún así puede resultar muy alta, como ejemplo, la de la central de Villarinotiene 130 m de altura por lo que suele empotrarse en el terreno.

La construcción de la chimenea de equilibrio es muy costosa, sule constar de un

depósito superior de expansión y abajo un depósito de expansión inferior, unidos por unpozo de un diámetro muy inferior, de esta forma el golpe se disipa rápidamente con elsubir y bajar del agua en el pozo.

En las centrales convencionales aguas debajo de la turbina no hay problema degolpe de ariete pues la descarga va al canal de desagüe.

En las centrales de acumulación por bombeo, la tubería de descarga puede tener longitud suficiente como para no ignorar el golpe de ariete, entonces se coloca otrachimenea de equilibrio aguas debajo de la turbina.





Ingeniería Fluidomecánica. Tema 21. 73

Dto. Ing. Nuclear y Mecánica de Fluidos. E.U.Politécnica de Donostia-San Sebastián

TEMA 21: FLUJO EN CONDUCTOS ABIERTOS.- CANALES

0.- INTRODUCCIÓN

Este capítulo estudia el régimen normal en un canal, es decir el régimenpermanente y uniforme, comenzando por la demostración de la fórmula de Chezy.

Mediante la fórmula de Manning para el coeficiente de Chezy, se explica elcálculo de canales, en régimen normal, con sección transversal rectangular, ytrapecial, dejando el estudio de canales de sección circular para otras asignaturasposteriores.

1.- RESISTENCIA AL FLUJO PERMANENTE Y UNIFORME

Se considera un elemento de fluido de longitud L, sección recta A y perímetromojado P, contenido en un conducto abierto de sección transversal constante, comose observa en la figura 21.1

Fig.-21.1.- Representación de fuerzas

Las fuerzas que actúan sobre este elemento son las siguientes:

• Fuerza debida a la presión aguas arriba: p1 A

• Fuerza debida a la presión aguas abajo: p2 A• Fuerza debida al esfuerzo cortante: τo L P• Peso: γ A L

Debido a que se considera régimen permanente y uniforme, en el que lavelocidad media es la misma para todas las secciones y todos los instantes, por elteorema de la continuidad la altura alcanzada por la lamina de agua es la misma entodas las secciones, y por tanto las presiones son equivalentes en todas ellas, esdecir:

p1 = p2

La ecuación de equilibrio resulta ser:



74 Flujo en conductos abiertos. Canales


γ A L . senα = τo L P

Teniendo en cuenta que: senα = ∆Z / L, siendo ∆Z la diferencia de cotasentre la sección 1 y 2, resulta:

γ A ∆Z = τo L Pdividiendo por el volumen A L, se tiene

γ ∆Z/ L = τo P/A = τo / R

siendo R el radio hidráulico.

Sustituyendo τo por el valor ya utilizado en la deducción de la ecuación deDarcy-Weisbach para flujo turbulento, resulta:

γ ∆Z/ L = λ ρ V

2

/ 2Rdespejando la velocidad:

V = (2g /λ )1/2 (R ∆Z/ L)1/2

El valor de ∆Z/ L representa tanto la pendiente de la lámina superior como de lasolera del canal, al ser éstas paralelas, y se designa por J , resultando:

V = (2g /λ )1/2 (R J)1/2 En definitiva:

V = C (R J)1/2

Expresión que se denomina de CHEZY (1870).

En un principio se creyó que el coeficiente C llamado de Chezy, era constantepero la realidad es que tiene gran variabilidad.

1.1.- ALTURA NORMAL.

Se llama altura normal a la que se alcanza en un canal cuando el régimen espermanente y uniforme, también denominado flujo normal.

En este régimen, la pérdida de carga es equivalente a la caída de cota, y lapendiente de la solera del canal ó de su lámina superior, es la pendiente de su líneapiezométrica, ya que son coincidentes.

Tomando Bernoulli entre las secciones 1 y 2 y teniendo en cuenta quepresiones y velocidades son iguales en ambas secciones se tiene:

Z1 -hf = Z2

es decir

hf = Z1 - Z2 = ∆Z y hf / L = ∆Z / L = J





2.- COEFICIENTE DE CHEZY

Numerosos investigadores estudiaron el valor del coeficiente de Chezy.Solamente vamos a considerar la expresión de Manning, por ser de las masempleadas.

2.1.- FORMULA DE MANNING.

El investigador irlandés Robert Manning propuso el siguiente valor delcoeficiente de Chezy:

C = (1/n) R1/6

Sustituyendo, la velocidad es:

V = (1/n) R2/3 J1/2

Normalmente se utiliza la expresión que proporciona el caudal que circula por un canal:

Q = (1 / n) A R2/3 J1/2

Donde:

Q: caudal, viene expresado en m3/s,A: superficie transversal en m2 R: radio hidráulico en mJ: pérdida de carga por unidad de longitud en mcl/m.n: coeficiente de rugosidad de las paredes tiene dimensiones de TL-1/3 y viene

dado en el cuadro nº 24 de “Cuadros y ábacos”. .

3.- SECCIONES HIDRÁULICAMENTE ÓPTIMAS

Para un caudal, una pendiente y un coeficiente de rugosidad dados, algunasformas de secciones son hidráulicamente y económicamente más convenientes queotras.

Basándonos en la fórmula de Manning se demuestra que cuando el área A dela sección recta es mínima, el perímetro mojado P también es mínimo,

permaneciendo constantes caudal, pendiente y rugosidad. En efecto, según Manning:Q = (1/n) A R2/3 J1/2 = (1/n) A (A / P)2/3 J1/2

Es decir, para Q, n y J dados, de la expresión anterior resulta:

A = k P2/5

Siendo k un valor conocido constante. Esta expresión demuestra que P esmínimo cuando A es mínima.

Considerando una determinada figura geométrica como sección del canal, se

llama sección hidráulicamente óptima a aquella que tiene menos perímetro mojado ypor tanto menos área.





3.1.- SECCIÓN RECTANGULAR

Los valores de P y A son:

P = b + 2yA = b . y

Eliminando b resulta: P = A / y + 2y

Fig:21.2.- Sección rectángular

Derivando respecto a y e igualando las derivadas parciales a cero, paradeterminar el mínimo, se llega a :

b = 2y

Es decir en el caso de sección rectangular, la sección hidráulicamente óptimaes aquella en que la solera ”b“ es doble de la profundidad “y”, es decir se trata de unsemicuadrado.

3.2.- SECCIÓN TRAPECIAL

b = soleray = profundidad1/m = talud

Los valores de P y A son:

P = b + ( y2 + y2/m2)1/2

A = b + y + y2/m

m caracteriza el talud de lasparedes

Fig 21.3.- Sección trapecial

De forma análoga, a la sección rectangular, se puede demostrar que en el

caso de sección trapecial, la sección hidráulicamente óptima es un semihexágono, esdecir m = √ 3 , por tanto tg α = m / 1 = √ 3, y α = 60º.

3.3.- SECCIÓN MÁS ECONÓMICA

Para un caudal determinado, el coste será menor cuanto menor sea la sección,por tanto que para una sección dada el radio hidráulico debe ser el mayor posible, esdecir el perímetro ha de ser mínimo.

Se puede demostrar que de todas las posibles secciones rectas de canales, lamás económica es el semicírculo

y

b

m

b

y





4.- CÁLCULO PRÁCTICO DE CANALES DE SECCIÓN RECTANGULAR YTRAPECIAL

En el cálculo de canales, con régimen permanente y uniforme, se aplica lafórmula de Manning o cualquier otra conocida.

Los datos de partida, del problema mas frecuente, son: el caudal “Q”, elcoeficiente de rugosidad de las paredes “n”, y la pendiente del canal “J”. Las incógnitasson la anchura de la solera y la altura de la lámina de agua, habiendo infinitassoluciones al problema.

El proceso a seguir es el siguiente:

− Se supone una velocidad de flujo con el fin de obtener un orden de ideas delárea transversal A.

− Se supone un valor de la anchura de la solera y de la altura de la lámina delcanal, de forma que el área resultante sea del mismo orden de valores que lahallada en la suposición anterior.

− Con estos valores supuestos se calcula, el valor real del área A, el perímetromojado P y el radio hidráulico R.

− Mediante la formula de Manning, se determina el valor del caudal Q’ quecirculará por el canal obtenido con los valores supuestos.

− Llegado este punto se comprueba si el valor obtenido (Q’) es muy diferente delcaudal real (Q) que ha de circular por el canal. Si esto ocurre, hay que volver asuponer de nuevo la anchura de la solera y la altura, hasta llegar a conseguir una cierta aproximación.

− Una vez obtenida dicha aproximación, basta modificar la altura de la lámina deagua, hasta obtener un caudal suficientemente aproximado al de partida. Unadiferencia del 5% es perfectamente admisible.

Para mayor claridad se presenta un organigrama del proceso a seguir. Esteorganigrama es válido tanto para canales rectangulares como trapeciales; en estecaso las pendientes de los taludes se tomarán como dato.

Es muy conveniente, con el fin de facilitar los tanteos, al ser estos repetitivosconfeccionar un cuadro. De todas formas, normalmente con tres o cuatro tanteos essuficiente.





Fig 21.4.- Organigrama para el cálculo de canales

4.1.- EJEMPLO

Diseñar un canal de sección recta rectangular, que con una pendiente de unamilésima sea capaz de conducir un caudal de 25 m3/s. Material de las paredes:hormigón en bruto.

Datos.- Q = 25 m3/s, J = 1 milésimas = 0,001, n = 0,015

Según Manning: Q = (1/0,015) . A . R2/3. √0,001

Resulta : Q = 2,1 . A . R2/3

Se supone una velocidad de 2 m/s, con lo que el valor del área seráaproximadamente 12,5 m2.

Supongamos para empezar: b = 5 m y h = 3 m

Se confecciona el siguiente cuadro de iteraciones:

b h A (m2) P (m) R(m) Q’(m3/s) Q’ ≠ Q Q’ = Q

- - b.h b+2h A /P 2,1 .A.R2/3

5

4

4

4

3

3

2,5

2,7

15

12

10

10,8

11

10

9

9,4

1,36

1,2

1,11

1,15

38,7

28,45

22,51

24,89

Si

No

No

No

No

No

Si





Es suficiente la última aproximación, con lo cual la velocidad de circulación será:

V = 24,89 / 10,8 = 2,3 m/s

El canal tiene una solera de 4 m con una profundidad de 2,7 m.

Todo el canal debe tener una berma de seguridad, del orden del 10% de la lámina deagua, con el fin de que ésta no desborde.

Es conveniente que el valor de la velocidad no supere determinados valores, quedependen del material de las paredes y de la frecuencia y el tiempo en que funciona elcanal con esa velocidad.

En la actualidad utilizando la hoja de cálculo Excell, se simplifica totalmente el cálculode canales.







TEMA 22: MÁQUINAS HIDRÁULICAS, PRINCIPIOSFUNDAMENTALES. TURBOMÁQUINAS HIDRÁULICAS

1. - DEFINICIÓN DE MÁQUINA.- CLASIFICACIÓN

Máquina, según el diccionario "es el conjunto de aparatos combinados pararecibir cierta forma de energía, transformarla y restituirla en otra forma mas adecuada,o para producir un efecto determinado".

Máquina de Fluido corresponde a una máquina del primer tipo, que recibenenergía aportada por un fluido y la restituyen en forma de energía mecánica, o bien ala inversa, absorben energía mecánica y con ella incrementan la correspondiente a unfluido.

Pueden definirse también las máquinas de fluidos como aquellas máquinas queutilizan un fluido como elemento intercambiador de energía.

Las máquinas de fluidos, atendiendo al comportamiento del fluido comoincompresible o compresible se clasifican en:

Máquinas Hidráulicas: son aquellas que utilizan como medio intercambiador deenergía un fluido que se comporta como incompresible: bomba hidráulica, ventilador turbina hidráulica, aerogenerador etc.

Máquinas térmicas: son las que utilizan como elemento intercambiador deenergía fluidos que se comportan como compresibles, donde los fenómenos

termodinámicos tienen una incidencia fundamental: compresor, turbina de gas etc.

Máquinas Hidráulicas

Máquinas de Fluidos:

Máquinas Térmicas

2. - CLASIFICACIÓN DE MÁQUINAS HIDRÁULICAS

El primer criterio que aplicaremos por ser el más importante es el que clasificalas máquinas hidráulicas atendiendo a su principio de funcionamiento: se tienenturbomáquinas, y máquinas de desplazamiento positivo.

Las Turbomáquinas basan su funcionamiento en el teorema de la cantidad demovimiento, o en el momento de la cantidad de movimiento, también llamado teoremadel momento cinético, que al aplicarlo a estas máquinas se denomina Teorema deEuler o fundamental de las turbomáquinas.

Las máquinas de desplazamiento positivo se fundamentan en el teorema dePascal, es decir la máquina consigue incrementar la presión en un punto,

transmitiéndole la presión hidrostática íntegramente a todo el fluido que se encuentraaguas abajo.



82 áquinas Hidráulicas . Principios Fundamentales


Las máquinas de desplazamiento positivo, también llamadas volumétricas, sedividen a su vez en máquinas alternativas y rotativas, según que el órganointercambiador de energía se desplace alternativamente o gire alrededor de un eje.Estas últimas se denominan también rotoestáticas.

Turbomáquinas

Máquinas Hidráulicas:Alternativas

M.de desplazamiento positivo:Rotativas

Fig.: 22.1. - Esquema de una bomba alternativa

Fig.. 22.2. - Esquema de una bombarotativa.

Otro criterio para clasificar las máquinas hidráulicas es el sentido de conversiónde la energía.

Se denominan máquinas motoras a aquellas que transforman la energía delfluido en movimiento de las máquinas: turbinas hidráulicas y eólicas, motoreshidráulicos.

Se llaman máquinas generadoras a aquellas en las que la energía mecánica

se transforma en hidráulica: bombas y ventiladores.

Las turbinas hidráulicas o eólicas son las turbomáquinas que transforman laenergía hidráulica en mecánica. Reciben agua o aire con una gran cantidad demovimiento y hacen que disminuya, para así generar una fuerza propulsora y con ellaun par motor. Este par es el que hace girar al generador, mediante el cual se producela energía eléctrica.

Se denomina motor hidráulico a la máquina que transforma la energíahidráulica, obtenida previamente mediante una bomba hidráulica, en energía mecánicaempleándose ésta en realizar directamente un trabajo. Se trata de máquinas dedesplazamiento positivo. Se utilizan fundamentalmente en los circuitos oleohidráulicos.





Los antiguos molinos hidráulicos que utilizaban la energía hidráulica de loscursos naturales y la convertían en energía mecánica, utilizándola directamente paramoler grano, desplazar fuelles, mover martinetes, elevar agua, etc., eranturbomáquinas.

Las turbobombas y los ventiladores convierten la energía mecánica en energíahidráulica. Estas máquinas reciben una fuerza motora del exterior que permiteincrementar la cantidad del movimiento y, por tanto, la energía del fluido. Las bombasde desplazamiento positivo incrementan la presión de una u otra forma y la transfierenal líquido ubicado en el mismo recinto.

Energía Motor Energía Bomba Energía Motor Energía Trabajo

Eléctrica Eléctrico Mecánica Hidráulica Hidráulica Hidráulico Mecánica

E.Hidráulica Turbina Energía Generador Energía Máquina Energía Trabajo

Natural Hidráulica Mecánica Eléctrica Mecánica

3. - TURBOMÁQUINAS HIDRÁULICAS

Turbomáquina hidráulica,como ya se ha indicado, esaquella máquina de fluido queintercambia energía hidráulica enmecánica, o a la inversa, gracias ala variación del momento de la

cantidad de movimiento que seproduce al pasar el fluido demanera continua por losconductos de un órgano, que girasobre su eje, llamado rodete.

El rodete es el único puntode la máquina donde se producetransformación de la energíahidráulica en mecánica o a lainversa; además la turbomáquinapuede disponer de elementossituados aguas arriba y aguasabajo, con el objeto de que elfluido penetre en el rodete y salgade él en las mejores condicionesposibles, a fin de optimizar surendimiento y por tanto el de laturbomáquina.

Fig.: 22.3.- Esquema de una turbobomba





El rodete de la turbomáquina está formado por el cubo, los conductos y endeterminados casos por la llanta que lo perimetra. Así mismo está dotado deálabes, paletas o cucharas que conforman los conductos por los que atraviesa elfluido.

3.1. - CLASIFICACIÓN DE TURBOMÁQUINAS HIDRÁULICAS

Las turbomáquinas pueden clasificarse de formas diferentes atendiendo adistintos criterios.

Un criterio importante es la dirección del intercambio de energía es decir segúnse transforme la energía hidráulica en mecánica o al contrario. Las primeras se llamanmotoras ya que el fluido es el motor de la máquina. Las segundas se llamanreceptoras pues reciben energía no hidráulica del exterior y generan energíahidráulica.

Otro criterio a considerar en el momento de clasificar las máquinas es ladirección del flujo con relación al eje de la máquina; según ello se dividen en: radiales,diagonales y axiales.

3.1.1.- Formas de representación

Los planos de representación mas usuales en turbomáquinas son: meridiano oaxial, transversal y desarrollado.

La representación según un plano meridiano o axial se refiere al corte que pasapor el eje de la máquina; el plano transversal es normal a dicho eje, y el planodesarrollado, posible en algunas ocasiones, se desprende del desarrollo en plano deun cilindro de un radio determinado.

Fig.:22.4 - Corte meridional del rodete: a) de una TM radial; b) de una TM axial; c) de una TM diagonal





Fig.: 22. 5 - Representación de una TM axial: a) corte meridional; b) corte transversal;c) desarrollo cilíndrico.

Fig.: 22.6 - Rodetes de : TM axial; TM radial; TM diagonal o mixta

4. - DESCRIPCIÓN Y PRINCIPIO DE FUNCIONAMIENTO

4.1. - DIAGRAMA DE VELOCIDADES

El elemento fundamental de una turbomáquina, es sin duda, el rodete, que es

móvil, y consiste en un conjunto de álabes dispuestos en circulo formando una especiede rueda.





Si se considera una partícula fluida atravesando la rueda, se definen en ellatres velocidades:

• Velocidad absoluta: c• Velocidad relativa: w• Velocidad de arrastre: u

En cada instante y en cada punto se ha de cumplir la relación vectorial:

wucrrr

+=

La velocidad de arrastre u, es la velocidad tangencial o circunferencial delpropio rodete, y valdrá por tanto: ω.r, siendo ω la velocidad de giro en radianes por segundo y r el radio del rodete en el punto considerado.

Los diagramas o triángulos de velocidades a la entrada y a la salida de la ruedatienen gran importancia, se dibujarán por tanto en el estudio de cada rueda, afectando

con el subíndice 1 los valores correspondientes a la entrada de la rueda y con el 2 losde salida. Se llama α al ángulo formado por la velocidad absoluta (c) con la velocidadde arrastre (u) y β el que forman w con el sentido negativo de u.

La proyección de la velocidad absoluta sobre la de arrastre, se denominacomponente tangencial o circunferencial de la velocidad absoluta, se representa por:cu . También se denomina velocidad periférica o de circulación.

La velocidad absoluta proyectada sobre un radio, llamada velocidad radial,meridiana o de gasto, se representa por cm. Recibe el nombre de velocidad de gasto,porque al multiplicarla por la sección transversal proporciona el caudal fluyente.

Fig.: 22.7. - Planos de representación: a) plano meridional; b) plano transversal; diagramas de

velocidades.





4.2. - DEFINICIONES DE ALTURAS, CAUDALES, POTENCIAS ETC.

Hay que recordar y advertir que una altura, que tiene unidades de longitud, esuna energía por unidad de peso, siendo por ello la energía total dependiente delcaudal; sin embargo en la mayoría de los casos se dice que es una energía.

4.2.1. - Turbinas

Alturas :

• Salto neto (Hn) es la energía puesta a disposición de la turbina.• Salto efectivo (He) es la energía mecánica obtenida por la máquina. Se

denomina también salto útil. He = Hn - hfh (pérdidas hidráulicas).• Salto real (Hr ) es la energía mecánica que recibe el alternador eléctrico. De

la energía mecánica obtenida por la turbina hay que restar las pérdidasorgánicas, es decir, las producidas en cojinetes, rodamientos y demás

elementos mecánicos de la turbina. Hr = He - hfo

Hn (entrada turbina) - hfh = He He (obtenida por la turbina) - hfo = Hr (cedida al alternador)

Caudales:

• Caudal total (Qt): Es el que recibe la turbina (que llega de la tuberíaforzada).

• Caudal útil ( Qu): Es el que atraviesa los conductos del rodete de la turbina,constituidos entre los álabes y que sirve para obtener energía mecánica, se

llama también caudal turbinado.• Caudal perdido (Qp): Es aquella parte del caudal total que no atraviesa elrodete, sino que circula entre la carcasa de la turbina y la llanta del rodeteo rueda y que por tanto no produce energía mecánica.

Qt = Qu + Qp

Potencias:

• Potencia neta (Pn): es la puesta a disposición de la turbina = Hn Qt γ. • Potencia efectiva (Pe): es la energía mecánica producida. También

llamada útil. = He Qu γ. • Potencia real (Pr ): es la recibida por el generador. También se denomina

potencia al freno y potencia en el eje. = Hr Qu γ.

Pérdidas:

• Pérdidas hidráulicas (hfh): Se producen en la turbina por circulación delfluido, por rozamiento, cambios de dirección y sección y por choque.

• Pérdidas volumétricas (Qp): Es el caudal perdido y no aprovechado. • Pérdidas orgánicas (hfo): Son las pérdidas en los elementos mecánicos de

la máquina.





Rendimientos

• Rendimiento manométrico o hidráulico (ηm o ηh ): evalúa las pérdidashidráulicas de la máquina: He / Hn.

• Rendimiento volumétrico (ηv): considera el caudal realmente turbinado:

Qu/Qt. • Rendimiento orgánico (ηo): Evalúa las pérdidas orgánicas o mecánicas.Pr /Pe.

• Rendimiento global (ηg): Es el rendimiento total de la máquina, englobatodas las pérdidas: Pr /Pn.

ηηηηg = ηηηηm ηηηηv ηηηη0

En las turbinas el rendimiento volumétrico es muy elevado (0,98 a 0,99).Muchas veces se supone la unidad.

Fig.: 22. 8 - Pérdidas volumétricas: a) en una TH; b) en una TB.

4.2.2. - Turbobombas

Alturas:

• Altura de Euler (HE): es la energía hidráulica producida por la turbobomba situviese un número de álabes infinito. La máquina en la realidad no es capazde producirla, se le llama altura teórica para número de álabes infinito.

• Altura interna (Hi): es la parte de la energía recibida del motor de arrastreque se convierte en energía hidráulica en el rodete.

• Altura absorbida (Ha): es la energía mecánica absorbida por la turbobomba

y transmitida por el motor de arrastre. Ha - hfo = Hi. • Altura manométrica o util (Hm): es la energía transmitida al fluido es decir la

convertida en hidráulica. Hm = Hi - hfh.

Ha-hfo = Hi ; Hi -hfh = Hm Caudales:

• Caudal total: es el que circula por los conductos del rodete de laturbobomba.

• Caudal útil: Es el que circula por la tubería de impulsión. • Caudal perdido: es el caudal que circula en cortocircuito entre la salida y la

entrada del rodete, y el que se pierde entre la carcasa y el eje de lamáquina.





Potencias

• Potencia útil o efectiva: (Pu ) es la potencia transmitida al fluido: Hm Qu γ. • Potencia interna: (Pi ) potencia mecánica convertida en hidráulica: Hi Qt γ. • Potencia absorbida: (Pa ) es la potencia que la bomba absorbe o solicita del

motor de arrastre: Ha Qt γ.

Rendimientos

• Eficiencia del álabe: ea = Hi / HE

• Rendimiento hidráulico o manométrico: Hm / Hi

• Rendimiento volumétrico: Qu / Qt

• Rendimiento orgánico o mecánico: Hi / Ha

• Rendimiento global: Pu / Pa

ηηηηg = ηηηηm ηηηηv ηηηη0

4.3. - TEOREMA FUNDAMENTAL DE TURBOMÁQUINAS

La ecuación del teorema de la cantidad de movimiento para una turbomáquina:

Σ Fext = ρ Q ( c2 - c1 )y la del momento cinético o momento de la cantidad de movimiento:

Σ Mext = ρ Q ( r 2 ∧ c2 - r 1 ∧ c1 )

En primer lugar se deduce la ecuación para el caso de turbinas.

GM

Fig.:22. 9. - Corte meridional de un rodete de turbobomba

Analizando las fuerzas que actúan sobre el volumen de control, se puedeobservar que las fuerzas debidas a la presión a la entrada y salida del rodete, asícomo la fuerza gravitatoria no crean momento respecto al eje de la máquina, por ello elúnico momento exterior es el de las fuerzas de presión del rodete sobre el fluido (πm),que será igual y de signo contrario al momento de las fuerzas de presión del líquido

sobre el rodete es decir del momento motor: M





MπM = -M

Sustituyendo en la ecuación del momento cinético:

-M = ρ Q ( r 2 ∧ c2 - r 1 ∧ c1 )

M = ρ Q ( r 1 ∧ c1 - r 2 ∧ c2 )

Fig.: 22. 10. - Secciones de una turbina de reacción y triángulos de velocidades a la entrada y salida del rodete

Por otro lado, cr × =u

cr r

⋅ y sustituyendo:

M = ρρρρ Q ( r 1 .cu1 - r 2 . cu2 )

Ecuación fundamental de las turbomáquinas, llamada Ecuación de Euler.

Para obtener la potencia efectiva de la máquina, bastará multiplicar el momentopor la velocidad angular:

Pe = M . ω = ρ Q ( r 1 .cu1. ω - r 2 . cu2 . ω )

Como: ωr 1 = u1 y ωr 2 = u2 se puede escribir:

Pe = ρρρρ Q ( u1 cu1 - u2 cu2 ) = He Q γ

He = (u1 cu1 - u2 cu2 )/ g

Siendo He la altura efectiva, es decir la altura que se convierte en energíamecánica.





Si se trata de conseguir las condiciones de máximo rendimiento o de diseño dela máquina, es decir la máxima altura efectiva, observando la expresión se deduceque: u2 cu2 = 0, como u2 ≠ 0, se deberá cumplir que: cu2 = 0 es decir αααα2 = 90º quesupone que a la salida del rodete c2 = cm2 y β2 = arc tg (c2 / u2 ).

Otra manera de escribir la ecuación conduce a consecuencias importantes.cu = c. cos α sustituyendo en He

He = (c1.u1.cos α1 - c2.u2.cos α2 )/ g

Aplicando a los triángulos de velocidades el teorema del coseno:

w2 = u2 + c2 - 2 c.u.cosα se puede escribir:

He = [ (c12 - c2

2 ) + (u12 - u2

2 ) + w22 -w1

2 ) ] / 2g

Para conseguir He máxima:

c2 <<<< c1: conviene disminuir lo más posible la velocidad absoluta de salida delagua.

u2 <<<< u1 ⇒⇒⇒⇒ r 2 <<<< r 1: es conveniente que la sección de salida de la rueda estémás próxima al eje de rotación que la sección de entrada.

w2 >>>> w1: conviene que la velocidad relativa del agua vaya aumentando alatravesar el rodete, ello implica que la sección vaya disminuyendo hacia la salida, es

decir que los álabes formarán canalizaciones convergentes hacia la salida.

Fig. 22.11.- Triángulos de velocidad en una turbobomba centrífuga





En el caso de turbobombas, el par motor es positivo y con las mismasdeducciones se obtiene:

M = ρρρρ Q ( r 2 .cu2 - r 1 . cu1 )

PE = ρρρρ Q ( u2 .cu2 - u1 . cu1 )HE = ( u2 .cu2 - u1 . cu1 )/ g

Se llegan a las conclusiones contrarias a las de turbinas:

αααα1 = 90º c1 <<<< c2

u1 <<<< u2 ⇒⇒⇒⇒ r 1 <<<< r 2w1 >>>> w2

5. - SEMEJANZA EN TURBOMÁQUINAS

El desarrollo teórico de las turbomáquinas lleva a un conocimiento, únicamenteaproximado, en dimensiones y en funcionamiento debido a las dificultades que planteael conocimiento exacto del movimiento de los fluidos.

Para resolver el problema hay que acudir a la experimentación, pero debido,generalmente, a las grandes dimensiones de las turbomáquinas y a la complejidad desus instalaciones es necesario recurrir a los modelos reducidos.

Para conocer las condiciones de homología o semejanza que se tienen quecumplir entre modelo y prototipo, vamos a utilizar el previamente el análisisdimensional para obtener los parámetros adimensionales que intervienen en elfenómeno.

5.1. - FENÓMENO FÍSICO EN UNA TURBOMÁQUINA

La experiencia afirma que el fenómeno físico que se produce en unaturbomáquina depende de siete variables, seis de ellas independientes, siendototalmente desconocida la función que las relaciona.

Una serie o familia de turbomáquinas, se define geométricamente por unacualquiera de sus dimensiones, escogiendo el diámetro D, por ser su medida másrepresentativa.

La experiencia indica que su funcionamiento está determinado por:El caudal QLa velocidad de rotación de la máquina N (rpm)La densidad del fluido circulante ρ La viscosidad cinemática del fluido ν La aceleración de la gravedad g

Las seis variables físicas anteriores son independientes en el fenómeno físico

de las turbomáquinas, cualquier otra variable que entre en juego en el problema





depende de las anteriores, como es la diferencia de presión entre la entrada y salidade la máquina ∆p, la potencia P, el par mecánico C, etc.

La diferencia ∆p, por ejemplo, vendrá expresado por :

∆p = F( D, Q, N, ρ, ν, g )Mediante el análisis dimensional y fundamentalmente por el teorema de π o de

Vaschy-Buckingham, permite reducir el número de variables, y pasar a unosparámetros adimensionales.

Recordando dicho teorema:nº variables = 7; nº variables fundamentales =3

nº parámetros adimensionales: 7 - 3 = 4

∆P D Q N ρ ν g

M 1 - - - 1 - -L -1 1 3 - -3 2 1T -2 - -1 -1 - -1 -2

Tomando como variables repetidas: D, N, y ρ

Se obtienen los siguientes parámetros:

π1 = ∆p / ρ N2 D2 ; π2 = Q / N D3 ; π3 = ν / N D2 ; π4 = g / N2 D

5.2. - PARÁMETROS DE RATEAU

Con los parámetros obtenidos se hacen ligeras variaciones, permitidas por elteorema de π, con el fin de obtener otros que la experiencia indica que son más útiles.

π1 = ∆p / ρ N2 D2 ≡ ρ g H / ρ N2 D2 = gH / N2D2 π2 = Q / N D3

π3 = N D2 / ν = nº Reynolds : Re

π4 = g / N2 D = nº Froude : Fr

Los parámetros resultantes son llamados parámetros de Rateau:

µR = gH / N2D2: altura específica o coeficiente manométrico.

δR = Q / N D3 : caudal específico o coeficiente de caudal.

Re = nº de Reynolds.

Fr = nº de Froude.

El fenómeno físico de una turbomáquina, queda definido por la siguienteecuación:





µR = F (δR, Re, Fr )

5.3. - TEOREMA DE SEMEJANZA DE LAS TURBOMÁQUINAS

Como es sabido, las condiciones que se tienen que cumplir para que dosfenómenos sean semejantes, es que sus parámetros adimensionales sean igualesdos a dos, y si los parámetros son iguales, idénticas serán las funciones que losrelacionan.

En este caso se tendrá que cumplir la igualdad de números de Reynolds,Froude, y parámetro de caudal (δR), lo cual supone la igualdad del coeficiente de altura(µR), y de todos los restantes parámetros incluido el rendimiento.

Ahora bien la igualdad de los tres parámetros indicados, nos llevaría a lautilización de fluidos especiales en los ensayos, circunstancia no viable, ya que en lapráctica los únicos fluidos que se utilizan son el agua o el aire; o a utilizar una escala

geométrica unidad.

Por las razones anteriores es necesario recurrir a las semejanzas restringidas,es decir, prescindir de algún parámetro cuya influencia en el fenómeno seadespreciable.

En una turbomáquina la diferencia de cotas entre la entrada y salida de lamáquina es muy pequeña, es decir la influencia de la fuerza gravitatoria es casi nulapor lo que se puede prescindir del número de Froude, pero además como el flujo estotalmente turbulento, la influencia de las fuerzas viscosas también es despreciablepor lo que asímismo se puede prescindir del número de Reynolds.

Esta semejanza se denomina "semejanza restringida geométrica" y laecuación que la define es:

µR = F ( δR )

Basándonos en esta semejanza restringida se puede enunciar el Teoremafundamental de turbomáquinas homólogas conocido con el nombre de teorema deCombes-Bertrand-Rateau:

"Si una serie de turbomáquinas geométricamente semejantes, tienen el mismo

coeficiente de caudal δ R , funcionan de manera semejante, y por lo tanto trabajan

homológicamente".

En esta semejanza, se elige la escala geométrica λ, el fluido de los ensayos, yademás queda un grado de libertad para elegir la escala cinemática como convenga.

6. - VELOCIDAD ESPECÍFICA

6.1. - VELOCIDAD ESPECÍFICA DIMENSIONAL O NÚMERO DE CAMERER: nS

Utilizando la semejanza restringida geométrica, se deducen a continuación las

relaciones existentes entre las variables de los fenómenos producidos en el prototipo yel modelo de una turbomáquina.





Se representarán con (') las variables del modelo.

Llamando a la escala geométrica λ = L / L' ( relación de longitudes entreprototipo y modelo).

El fluido en prototipo y modelo es el mismo: agua

Combinando parámetros se pueden obtener otros coeficientes:

( ) 4/52/1

2/1

4/5

2/1

gH

P N

R

R

⋅⋅= ρ µ

τ

( ) ( )4/52/1

2/1

4/52/1

2/1

''

''

gH

P N

gH

P N

⋅⋅=

⋅⋅

ρ ρ

Como ρ = ρ’, reduciendo se obtiene

2/14/5

'''

=

P

P

H

H N N

Con el fin de poder relacionar los resultados de cualquier máquina, Camerer propuso referirlos todos a una máquina ideal cuya potencia fuera de 1 CV trabajandocon una altura de 1 m.

Al sustituir P' = 1 CV y H' = 1m, el valor de N' toma entonces el nombre develocidad específica dimensional: ns y se define como:

“El número de vueltas por minuto que daría una turbomáquina homóloga al modelo y prototipo que se trata de construir, que trabajando a una altura de 1 m dierala potencia de 1 CV”.

rpm H

P N n

n

e s 2/1

2/1

⋅=

Este parámetro tiene la cualidad de no contener el diámetro y por tanto no ser función de la magnitud de la máquina.





6.2. - VELOCIDAD ESPECÍFICA ADIMENSIONAL: NS

Partiendo de los parámetros adimensionales µR y δR se obtiene otro parámetro:

( ) 4/3

24

3

2

gH

Q N

R

R ⋅=µ

δ

La raíz cuarta de esta expresión se le denomina velocidad específicaadimensional y se representa por NS

( ) 4/3

2/1

4/3

2/1

E

Qn

gH

Qn N

s⋅=⋅=

Conviene recordar que al ser parámetro adimensional la velocidad de rotacióndebe ser expresada en revoluciones por segundo, y se expresa por "n", por otro ladogH representa la energía por unidad de masa y se suele expresar por "E" tanto:

Sus características son análogas al número de Camerer, con la ventaja de ser adimensional, por ello cada vez mas el número de Camerer va dejando paso a lavelocidad específica adimensional, su única desventaja es que sus valores son muypequeños y por tanto mas incómodos de utilizar.

6.3.- VELOCIDAD ESPECÍFICA CONVENCIONAL nq

En la actualidad se utiliza, fundamentalmente los fabricantes de turbinas, lavelocidad específica convencional nq que es una modificación de la velocidadespecífica adimensional, se utiliza la velocidad de rotación en revoluciones por minuto,y se prescinde de la gravedad.

4/3

2/1

H

Q N n

q⋅=

Sus características son análogas a los anteriores, con la ventaja respecto a lavelocidad específica adimensional de que sus valores son mayores y por tanto máscómodos de utilizar.

7. - CLASIFICACIÓN DE TURBOMÁQUINAS

Si se ensayan las turbomáquinas de una familia y se calculan los valores delnúmero de Camerer y del rendimiento todas ellas responderán a la misma curva. Delos infinitos puntos en que la máquina puede funcionar, hay uno que destaca de losdemás, es aquel que proporciona el rendimiento máximo





η

ns

Fig.: 22.12. - Variación del rendimiento en función de ns

Esta circunstancia conduce a poder clasificar las turbomáquinas en función dela velocidad específica que proporciona el rendimiento máximo.

De forma general se puede afirmar que las turbomáquinas de tipo radialcorresponden a velocidades específicas reducidas, mientras que las axiales poseenvalores elevados.

En el caso de turbinas se toma : H = Hn ; P = Pe y Q = Qt

En el caso de turbobombas : H = Hm ; P = Pu y Q = Qu

Fig.: 22.13. - Evolución del rodete de las turbobombas al aumentar ns







TEMA 23: TURBINAS HIDRÁULICAS

1.- DEFINICIÓN DE TURBINA HIDRÁULICA.

Turbina hidráulica se puede definir como aquella máquina que transforma laenergía hidráulica aportada por un fluido incompresible (agua) en energía mecánica,mediante la variación del momento de la cantidad de movimiento, en resumen es unaturbomáquina hidráulica motora.

El elemento fundamental de la turbina es el impulsor llamado rodete o rueda,es el único elemento giratorio, y es donde se verifica la transformación de energíahidráulica en mecánica.

Además del rodete constan de una serie de elementos, situados aguas arribadel rodete, que tienen la misión de introducir el agua con la dirección y condicionesprecisas. A su salida se encuentran otros órganos que tienen el objetivo de evacuar

convenientemente el agua hacia el canal de desagüe.

2- TIPOS ACTUALES DE TURBINAS HIDRÁULICAS

2.1.- TURBINAS DE ACCIÓN Y DE REACCIÓN

Se llaman turbinas de acción o vena libre, a aquellas en las que el agua mueveel rodete exclusivamente con energía cinética. Es decir las turbinas Pelton.

Se llaman turbinas de reacción o de vena forzada a las que utilizan energíacinética y de presión para mover el rodete. A este grupo corresponden las turbinas:Francis, Helice, Kaplan, Deriaz, Bulbo y Straflo.

2.2.- DESCRIPCIÓN GENERAL

2.2.1.- Turbinas de acción

La turbina Pelton o de acción, consta fundamentalmente del distribuidor,llamado así mismo inyector , y de la rueda o rodete.

El inyector tiene como misión introducir el agua en el rodete de formaconveniente; es una prolongación de la tubería forzada, terminando en formaatoberada que reduce la sección, con salida a la atmósfera, de esta forma la energíade presión que el agua posee a su entrada se convierte totalmente en energía cinética.Puede tener de 1 a 6 inyectores, pero en todo caso la admisión del agua en el rodetees puntual.

El rodete está constituido por un cubo unido al eje, con una serie de cazoletasdispuestas en su periferia. El chorro formado a la salida de cada inyector incidetangencialmente sobre las cazoletas, convirtiéndose la energía cinética del agua enenergía mecánica.

La turbina, arrastrando el generador eléctrico, permite la obtención de laenergía eléctrica a partir de la energía mecánica de aquella.



100 Turbinas Hidráulicas


Las turbinas de acción se emplean en centrales hidroeléctricas cuyo salto seagrande y el caudal relativamente pequeño, es decir en aquellos casos en que larelación caudal- altura es reducida, y por tanto corresponden a velocidades específicasbajas, en particular el número de Camerer estará comprendido entre 5 y 36aproximadamente.

Fig.: 23.1.- Disposición de conjunto de una sala de máquinas con turbina Pelton

Fig.: 23.2.- Inyector de una turbina Pelton





Fig.: 23.4.- Cazoleta de una turbina Pelton

Al necesitar saltos grandes con caudales reducidos, las turbinas Pelton seemplean en centrales de cabecera de cauce, es decir próximas al nacimiento de losríos, donde, por una parte, llevan fuertes pendientes, pudiéndose obtener así grandesdesniveles entre puntos relativamente próximos. Por otro lado las cuencas vertientesen las cabeceras de cauce son reducidas.

2.2.2.- Turbinas de reacción

Las turbinas de reacción tienen una concepción notablemente diferente a lasde acción.

En primer lugar, el elemento situado aguas arriba del rodete, llamado

distribuidor, transforma parte de la energía de presión, que tiene el agua a la entradade la turbina, en energía cinética.

El distribuidor en este caso rodea todo el rodete, llegando el agua por latotalidad de la periferia de éste, siendo por tanto la admisión del agua total.

El rodete, único órgano transformador de energía hidráulica en mecánica, es dediseño diferente según el tipo de turbina de reacción de que se trate, pero en esenciaestá formado por el cubo, unido al eje, y una serie de alabes dispuestos en la periferiade aquél.

El agua a la salida del rodete tampoco sale a la atmósfera, sino que penetra en

un tubo llamado tubo difusor, generándose a su entrada una depresión, cuya misiónfundamental es aumentar la energía hidráulica absorbida por el rodete.

Fig.: 23.3.- Rodete de una turbina Pelton





El tubo difusor desemboca en el canal de desagüe, que devuelve el agua alcauce natural.

En conjunto las turbinas de reacción están formadas por los siguienteselementos: Cámara espiral, antedistribuidor, distribuidor, rodete, y tubo difusor.

Las turbinas de reacción se utilizan para una gamma muy amplia de alturas ycaudales, donde la relación caudal-altura es mayor que las correspondientes aturbinas de acción. Los valores más bajos de dicha relación corresponden a lasturbinas Francis y los más elevados a las Hélice, Kaplan, Deriaz , Bulbo y Straflo, máso menos por este orden.

Fig.: 23.6.- Corte transversal de una turbina Francis

Fig.: 23.5.- Corte meridional de una turbina Francis





El número de Camerer de las diferentes turbinas toma los siguientes valoresaproximados:

Francis : 50 < ns < 400

Hélice, Kaplan, Deriaz: 400 < ns < 700Kaplan, Deriaz, Bulbo, Straflo: 700 < ns < 1300

Las centrales hidroeléctricas con turbinas de reacción están ubicadas en elcauce medio o terminal de los ríos, incluso en su propia desembocadura, como es elcaso de las centrales mareomotrices, que aprovechan tanto el propio caudal del rio,como el flujo y reflujo de las mareas.

A medida que el rió discurre por su cauce va disminuyendo la pendiente yreduciendo su cota, disminuyendo las posibilidades de generar salto, peroincrementándose su cuenca vertiente y por lo tanto su caudal.

Fig.: 23.7.- Cámara espiral de una turbina Francis





Fig.: 23.8.- Antedistribuidor de una turbina Francis

Fig.: 23.9.- Distribuidor y rodete de una turbina Francis





Fig.: 23.11.- Rodete de una turbina Francis

Fig.: 23.10.- Semicorte meridiano parcial de una turbina Francis





Fig.: 23.12.- Rodete de una turbina Francis de velocidad específica alta

Fig.: 23.13.- Turbina Kaplan parcialmente desmontada





Fig.: 23.14.- Sección meridional de una turbina Kaplan





Fig.: 23.15.- Corte meridional de la central mareomotriz de La Rance con turbina bulbo

Fig.: 23.16.- Turbina Straflo





DIFERENCIAS FUNDAMENTALES ENTRE TURBINAS

Turbinas de Acción Turbinas de Reacción

Tipos Pelton Francis, Hélice, Kaplan,Deriaz, Bulbo, Straflo

Admisión Por puntos Total

Elementos Inyector y RodeteCámara espiral,Antedistribuidor,

Distribuidor, Rodete, Tubo

difusor

Energía aportada Cinética: c2/2g Cinética y de presión:c2/2g + P/γ

Campo de trabajo: Q/H Pequeña Media y Grande

Número de Camerer 5 - 36 50 - 1300

Tipo de Central Cabecera de los ríosCauce medio y terminal del

río, y en lasdesembocaduras de los

ríos





Fig.: 23.17.-Límites de aplicación de las turbinas en función de la carga y de la velocidad específica





3.- CENTRALES HIDROELÉCTRICAS

Actualmente, la energía eléctrica se produce, principalmente, en las centraleshidráulicas y térmicas, bien sean éstas convencionales o nucleares.

Las centrales térmicas convencionales transforman en calor la energía dealgún combustible fósil (carbón, petróleo, fuel, gas, etc. ), produciendo vapor de agua,que se utiliza en mover las turbinas de vapor, que, a su vez, transmiten su movimientoa los generadores de energía eléctrica. Las centrales nucleares son similares a lastérmicas, convencionales, si bien emplean la energía atómica del uranio enriquecido,en vez de combustible normal.

Las centrales hidroeléctricas utilizan como combustible la "hulla blanca", esdecir la energía hidráulica que posee el agua en sus cursos naturales, las turbinashidráulicas la transforman en energía mecánica y los generadores, por último, enenergía eléctrica.

Para conseguir el aprovechamiento de la energía hidráulica que contiene elagua en su curso natural, es necesario realizar en él una serie de transformaciones,más o menos profundas, además de construir determinados elementos auxiliares; todoello constituye la central hidroeléctrica.

3.1.- DISPOSICIÓN DEL CONJUNTO DE UNA CENTRAL HIDROELÉCTRICA

La formación de un salto de agua, se puede obtener elevando el nivelsuperficial de ésta sobre el natural, bien atajando el agua con una presa, o bienderivando el río por un canal de menor pendiente que su cauce, para conseguir unadiferencia de cotas entre canal y río, o bien mediante sistemas mixtos.

Estas aguas hay que conducirlas a continuación a las turbinas, bien,directamente a las cámaras de éstas o por medio de una tubería.

Fig.: 23.18.- Disposición general de una central hidroeléctrica. Planta esquemática

Las disposiciones del conjunto son bastante variadas, tomando una u otrasegún las características topográficas del terreno y otros muchos aspectos de cadacaso. Las partes esenciales de que consta son, en una disposición general, lassiguientes:





1. Presa o azud de derivación2. Canal de derivación3. Depósito de carga4. Tubería forzada.5. Casa de máquinas6. Canal de desagüe

La disposición del conjunto de estos elementos viene indicada en lafigura:23.18. Algunas de sus partes pueden ser subterráneas, horadadas en la tierra.

No siempre las centrales hidroeléctricas constan de todos estos elementos,sino que debido a las características propias de cada caso pueden faltar algunos deellos.

Con el fin de conseguir un máximo aprovechamiento del agua, la disposiciónindicada en la figura: 23.19 es más perfecta, ya que se efectúa la toma por debajo del

nivel superior de la presa, sustituyendo el canal de derivación por una galería o tuberíade presión, no perdiendo de esta manera la energía de posición generada por lapresa.

Fig.: 23.19.- Perfil longitudinal esquemático de una central con galería de presión

Cada una de las partes esenciales de las disposiciones de conjuntomencionadas tienen las misiones que se describen a continuación.

La presa puede tener una o dos misiones: elevar la cota del nivel superior delagua y/o servir de almacén para regulación del caudal, según como se utilice.

• Si el canal sale de la parte superior del embalse, la presa sirve únicamentepara elevar el nivel superior de agua.

• Si el canal parte de la zona baja del embalse, la presa sirve de almacén, perono para elevar la cota, ya que ésta se pierde en el momento que el agua cae alcanal.

• Si a la salida de la presa se dispone una galería de presión o tubería forzada,ésta tiene entonces, la doble misión de elevar la cota y de almacenar agua.

• En ciertas ocasiones el canal sirve para conducir el agua a un lugar con

topografía más idónea para realizar el salto.





En bastantes casos la presa solamente tiene como finalidad derivar el aguahacia un canal, en tal caso recibe el nombre de azud.

El depósito de carga tiene como objetivo regular el caudal a tiempo corto, pararesponder a las variaciones de las necesidades de agua de las turbinas, por modificación de la potencia solicitada a las mismas, puesto que el embalse tardademasiado tiempo en dar respuesta apropiada, faltando o sobrando agua si noexistiera el depósito de carga. Cuando el caudal requerido se altera, se modifica elnivel del depósito de carga, variando la pendiente del canal y regulándose en undeterminado plazo de manera natural el caudal necesario en las turbinas.

En la tubería forzada se produce la transformación de energía hidráulica deposición en energía hidráulica de velocidad y presión, fundamentalmente esta última.

En la sala de máquinas la energía hidráulica de velocidad y presión setransformará sucesivamente en energía mecánica en las turbinas hidráulicas y eneléctrica en los generadores eléctricos.

Por último el canal de desagüe devuelve el agua al río. También puedeaprovecharse simultáneamente un río con sus afluentes e incluso ríos distintos.

3.2.- CLASES DE CENTRALES

Se denomina central de agua fluyente a aquella que utiliza el caudal que encada momento lleva el río, o una cantidad inferior, y no tiene capacidad paraacumularla. Es decir que las turbinas instaladas utilizan en todo caso un caudal igual oinferior al que discurre por el río en todo instante, pudiendo trabajar con carga total oparcial o bien estar paradas, cuando requieren un caudal superior al que fluye por elcauce. Únicamente se construye un azud de derivación de las aguas, vertiendo por

encima de él las sobrantes.

Fig.: 23.20.- Central de agua embalsada y alta presión



1 1 4

T

u r b i n a s H i d r á u l i c a s

D t o . I n

g . N u c l e a r y

M e c á n i c a

d e F l u i d o s .

E . U . P

o l i t é c n i c a d e D

o n o s t i a - S a n S e b a s t i á n

C L A S I F I C A C I Ó N

D E

C E N T R

A L E S

H I D R O E L É C T R I C A S

C O N C E P T O

D

E N O M I N A C I Ó N

C A R A C T E R Í S T I C A S

D e a g u a f l u y e n t e

N o c u e n t a n p r á c t i c a m e n t e c o n r e s e r v a

d e a g u a , o s c i l a n d o e l c a u d a l

s u m i n i s

t r a d o s e g ú n l a s e s t a c i o n e s d e l

a ñ o .

P o r l a f

o r m a d e u t i l i z a r e l a g u a

d e l r í o

D e a g u a e m b a l s a d a

E l p r o v i e n e d e g r a n d e s l a g o s , o p a n t a n

o s a r t i f i c i a l e s , c o n o c i d o s c o m o

e m b a l s e s , c o n s e g u i d o s m e d i a n t e l a c o n s t r u c c i ó n d e p r e s a s .

D e r e g u l a c i ó n

S o n c e n

t r a l e s c o n p o s i b i l i d a d d e a l m a c

e n a r v o l ú m e n e s d e a g u a e n e l

e m b a l s e , q u e r e p r e s e n t a n p e r í o d o s m a s o m e n o s p r o l o n g a d o s , d e a p o r t e s

d e c a u d

a l e s m e d i o s a n u a l e s .

D e a g u

a e m b a l s a d a

D e b

o m b e o

C e n t r a l e s q u e a c u m u l a n m e d i a n t e b o m

b e o , e s d e c i r s e p u e d e n c o m p a r a r a

l o s a c u m

u l a d o r e s d e e n e r g í a p o t e n c i a l

D e a l t a p r e s i ó n

E l v a l o r d e l s a l t o h i d r á u l i c o e s s u p e r i o

r a l o s 2 0 0 m , s i e n d o l o s c a u d a l e s

r e l a t i v a m e n t e p e q u e ñ o s ≅ 2

0 m

3 / s .

E s t á n e n z o n a s a l t a s d e m o n t a ñ a .

D e m

e d i a p r e s i ó n

L a s q u e

d i s p o n e n d e s a l t o s h i d r á u l i c o s

e n t r e 2 0 0 y 2 0 m ,

d e s a g u a n d o

c a u d a l e

s d e h a s t a 2 0 0 m

3 / s p o r c a d a t u

r b i n a .

D e p e n d e n d e e m b a l s e s

r e l a t i v a m e n t e g r a n d e s .

P o r l a a

l t u r a d e l s a l t o

D e b

a j a p r e s i ó n

A s e n t a d

a s e n v a l l e s a m p l i o s d e b a j a m

o n t a ñ a .

E l s a l t o e s i n f e r i o r a 2 0

m y

l o s c a u d

a l e s p u e d e n s u p e r a r l o s 3 0 0 m

3 / s .





Fig.: 23.21.- Central de agua embalsada y media presión, situada a pié de presa.

Las centrales de agua acumulada almacenan agua en momentos deabundancia para emplearla en tiempos de escasez, procediendo así, a una regulacióndel río. La variabilidad de los caudales en muchos ríos es verdaderamente notable, asíen Guipúzcoa, pueden pasan de llevar 1 a 20.000 l/s, por km2 de cuenca vertiente,siendo, todavía, menos homogéneos, en otras zonas.

3.2.1.- Centrales de acumulación o bombeo

El consumo eléctrico a lo largo de las 24 horas del día pasa por horas demáximo consumo “horas punta” y horas de bajo consumo “horas valle” , esto da lugar a que en horas de bajo consumo u horas valle haya excedente de energía eléctrica,aún disminuyendo al mínimo térmico la carga de las centrales térmicas.

Fig.: 23.22.- Central de acumulación o bombeo

Estación deBombeo y Turbinado

Embalse Superior

Embalse Inferior

Rio





Debido a que la energía eléctrica no puede almacenarse, en los últimos añosse han construido centrales de bombeo o de acumulación, en ellas se eleva, obombea, agua en horas de bajo consumo nocturno y se baja, o turbina, en horas puntagenerando de nuevo energía eléctrica. A pesar de las pérdidas correspondientes aesta doble operación, el tema resulta rentable.

El motor eléctrico y la bomba hidráulica de la noche se transforman por lamañana en alternador y turbina respectivamente. Estas centrales tienen además laventaja de que pueden instalarse grandes potencias sin apenas caudal de cauce , soloson necesarios dos embalses, superior e inferior con capacidad suficiente.

Las centrales de acumulación por bombeo fueron construidas inicialmente enAlemania Occidental, Estados Unidos, Luxemburgo etc. Hoy día se han construido encasi todos los países industrializados. En España existen en la cuenca del rió Duero

dos centrales de acumulación o bombeo.





TEMA 24: BOMBAS HIDRÁULICAS

0.- INTRODUCCIÓN

Las bombas hidráulicas tienen como misión incrementar la energía de los

líquidos, transformando la energía mecánica que reciben del motor de arrastre enenergía hidráulica.

La energía hidráulica, como es conocido, es la suma de tres clases de energía:de posición, de velocidad y de presión; por lo tanto una bomba hidráulica ha de ser capaz de aumentar uno o más de dichos tipos de energía.

El incremento de la energía de posición, con interés práctico, sólo lo efectúa uningenio ideado por Arquímedes, denominado "Tornillo de Arquímedes", que todavía seutiliza hoy en día.

Consiste, tal como se muestra en la figura 24.1, en un tubo al que se le arrollaexteriormente una chapa en espiral, todo ello ubicado en un canal circular osemicircular dispuesto en plano inclinado, encontrándose su extremo inferior sumergido en un canal o depósito alimentador. Produciendo un giro al tornillo seconsigue, gracias al rozamiento, que el agua se eleve hasta un punto superior dondese vierte.

Fig.24.1: Tornillo de Arquímedes.

El ángulo de inclinación con que se dispone el tornillo es del orden de 30º y lavelocidad de giro oscila entre 30 y 60 rpm; el rendimiento alcanza el 75%.

Lógicamente la altura de elevación tiene un límite, pues el tornillo no puedetener apoyos intermedios; normalmente no se construyen longitudes superiores a los15m, y por tanto la altura máxima conseguida se reduce a los 7,5 m aproximadamente,

si bien pueden conseguirse alturas superiores disponiendo tornillos de Arquímedes enserie.



118 Bombas Hidráulicas


Para tener un orden de valores diremos que un tornillo de Arquímedes detamaño medio que puede tener un diámetro exterior de 300 mm, permite elevar uncaudal de 15 l/s, existiendo piezas que elevan caudales muy superiores, de hasta 6

m3/s. Es obvio que pueden disponerse tornillos de Arquímedes en paralelo paraincrementar el caudal.

El aumento exclusivo de la energía cinética de un líquido mediante una bombano puede conseguirse con buenos rendimientos. Si se quiere obtener una granvelocidad se realiza mediante una transformación hidráulica de energía de presión enenergía de velocidad mediante una fuerte reducción de la sección de paso. Por otraparte no interesa realizar el transporte de un líquido con una velocidad importantepues llevaría consigo grandes pérdidas de carga.

Sin embargo sí que existen unos aparatos que incrementan la velocidad de loslíquidos, denominados eyectores, o bombas de chorro, si bien el incremento de lavelocidad del líquido no es el objetivo final del ingenio, pues realmente su finalidad esmezclar dos líquidos o un líquido y un gas; se trata de unas bombas que carecen de

elementos móviles (figura 24.2), que utilizan como elemento motor líquidos enmovimiento.

Fig 24.2: Principio del eyector

El líquido "motivador" pasa por una boquilla por la que por efecto Venturi seincrementa fuertemente su velocidad, reduciéndose la presión por debajo de laatmosférica, se aprovecha esto para succionar otro líquido, o un gas, que se mezclacon el anterior en una cámara; a continuación se incrementa la sección paradisminuir la velocidad y aumentar la presión.





Tratando las posibles formas de incrementar la energía de un líquido se hanvisto aquellos casos que elevan sólo la energía de posición y sólo la de velocidad,restan ahora las maneras de aumentar la energía de presión y aquellas queincrementan mas de un tipo de energía; pero resulta que no existen bombas que

eleven la energía de posición, salvo el tornillo de Arquímedes, pues entre la entrada yla salida de cualquier bomba la diferencia de cotas es nula o reducida, por ello dentrode las bombas que elevan mas de un tipo de energía sólo se tienen las que aumentano trabajan con una combinación de la energía de presión y de velocidad.

Visto lo anterior quedan por considerar las bombas que sólo elevan la energíade presión y aquellas en las que intervienen las energías de presión y de velocidad.

1.- CLASIFICACIÓN DE LAS BOMBAS HIDRÁULICAS

En el momento de realizar la clasificación de las bombas hidráulicas se puedecasi afirmar que solamente existen dos grandes grupos de bombas: las que elevanúnicamente la energía de presión, denominadas bombas de desplazamiento positivo, ylas que incrementan una combinación de las energías de presión y velocidad,llamadas turbobombas. Podría añadirse a esta clasificación un tercer grupo,denominado de bombas especiales, que a modo de cajón de sastre reuniera una seriede bombas no clasificables en los grupos anteriores, en el que figuraran el tornillo deArquímedes, los eyectores y otra serie de aparatos que sirven también paraincrementar la energía de los líquidos que utilizan distintas técnicas en las que ahorano vamos a entrar.

Las bombas de desplazamiento positivo se basan en el principio de Pascal, es

decir en conseguir de alguna manera incrementar la presión en un punto del líquidopara que esta elevación se transmita íntegra e inmediatamente a todos los puntos delfluido. Constan de un elemento denominado "desplazador" que precisamente desplazapositivamente el líquido, de ahí su nombre, desde una zona donde hay líquido a unapresión reducida a otra donde se encuentra líquido a una presión superior, donde lodeposita.

Este tipo de bombas se clasifica a su vez en bombas alternativas y en bombasrotativas, distinguiendo la forma con que se mueve el elemento desplazador dellíquido.

Dentro de las bombas alternativas existe una subclasificación que las divide en

bombas de émbolo y de membrana, considerando la esencia del elemento que sedesplaza alternativamente.

Las turbobombas se basan, al igual que las turbinas, en el teorema de lacantidad de movimiento, o más exactamente en teorema del momento de la cantidadde movimiento, también llamado teorema del momento cinético y teorema de Euler.

Es decir estas máquinas mediante el giro producido por un motor de arrastregeneran una fuerza exterior sobre el rodete que tiene como consecuencia elincremento de la cantidad de movimiento del fluido que atraviesa la máquina demanera continua y la presión en la sección de salida de aquel.





2.- BOMBAS DE DESPLAZAMIENTO POSITIVO

Este tipo de bombas tienen un principio muy sencillo como es el teorema dePascal, y una construcción difícil que las hacen en bastantes casos de coste elevado.Esta dificultad es consecuencia de la necesidad de dar estanquidad a la separación

entre las zonas de presión elevada y reducida, y la de la propia bomba con el exterior.

Aunque las bombas alternativas y rotativas son ambas de desplazamientopositivo y tienen el mismo fundamento, funcionan de manera algo diferente queaconseja explicarlas por separado.

2.1.- BOMBAS ALTERNATIVAS. DESCRIPCIÓN GENERAL

Las bombas alternativas constan esencialmente de una carcasa cilíndrica conun émbolo desplazable en uno y otro sentido y una serie de válvulas que comunican

las tuberías de aspiración e impulsión con el interior de la carcasa.

El émbolo al desplazarse axialmente en uno y otro sentido crea, por una parte,una depresión que aspira el líquido del depósito de aspiración, y por otra, unacompresión que lo desplaza hacia la tubería de impulsión. Como puede observarse enla fase de succión la cámara está a presión inferior a la atmosférica, mientras que enla otra el líquido situado en la cámara incrementa su presión al disminuir su volumenhasta el momento en que abre la válvula de impulsión, instante en que el líquidosituado en la cámara empieza a pasar a la tubería de descarga. En ocasiones lasválvulas se sustituyen por simples lumbreras u orificios.

En la figura nº 24.3 pueden apreciarse los esquemas de diferentes bombas de

desplazamiento positivo. Caso a: bomba de émbolo alternativo.

Se emplean para elevar caudales relativamente pequeños a gran altura, omejor en la mayoría de los casos para generar grandes presiones, que posteriormenteproduzcan notables esfuerzos. Los líquidos empleados no deben de ser muy viscososni llevar sólidos en suspensión o estar sucios.

Una cualidad de estas bombas es ser autocebantes, es decir, no requieren quese llene de líquido la tubería de aspiración para comenzar a trasegar aquel, ya que elémbolo al desplazarse genera un volumen que crea naturalmente una depresión. Uninconveniente es que no tienen funcionamiento continuo, si no que es cíclico, dado

que es preciso convertir el movimiento giratorio del motor de arrastre en movimientolineal, ello lleva consigo ciertas irregularidades en el suministro, defecto que puedeatenuarse de distintas formas, como se verá más adelante.

Los elementos fundamentales de este tipo de bombas son la cámara cilíndrica,el pistón o émbolo que se desplaza en su interior, el vástago que relaciona el émbolocon el elemento motor y las válvulas o lumbreras. Entre el émbolo y el cilindro y entreéste y el vástago, en el punto de salida hacia el exterior, es preciso producir laestanquidad suficiente para que el líquido no pase de una a otra cara del émbolo y nosalga al exterior respectivamente.





Fig 24.3 Esquemas de bombas de desplazamiento positivo

El caudal que proporciona la bomba es en principio independiente de la presiónde la impulsión, ya que será equivalente al volumen de una embolada por el númerode éstas por unidad de tiempo; sin embargo, la presión hace que se produzcanpérdidas volumétricas, es decir que parte del líquido pase a la otra cara del émbolo eincluso fugue al exterior, o bien las válvulas no se abran o cierren en el momentoadecuado, por ello el caudal disminuye algo a medida que se incrementa la presión. Lacurva característica que relaciona presión y caudal es por tanto prácticamente una

recta vertical (figura 24.4). La regulación del caudal puede conseguirse mediante lavariación de la velocidad de giro o gracias a la modificación de la cilindrada.





Fig:24.4. Curva característica de unabomba de desplazamiento positivo

La altura o presión engendrada teóricamente no tiene tope, sin embargo en lapráctica está limitada por cuestiones tecnológicas obvias que aconsejan que cada tipode bomba no exceda de una determinada presión, e incluso lo normal es impedir paseésta de un determinado valor mediante una válvula de seguridad. Se construyenbombas alternativas de émbolo para presiones de hasta 1.000 bar e incluso mayores.

Es muy frecuente que una bomba alternativa esté formada por una serie deémbolos dispuestos paralelamente o perpendicularmente al eje del motor de arrastre,y desfasados sus ciclos, consiguiendo de esta manera incrementar el caudal y minorar la discontinuidad de cada émbolo (figura 24.5)

Fig 24.5: Bombasalternativasmúltiples

Existe una variante de bomba alternativa, denominada de diafragma, queconsiste en sustituir el émbolo por una membrana, se emplean para trasegar caudales

reducidos a pequeñas alturas (figura 24.6)





Fig: 24.6: Bomba alternativa de diafragma

2.2 BOMBAS ROTATIVAS

Las bombas rotativas, también denominadas rotoestáticas, constan de uncuerpo de bomba de forma variable, dentro del cual están dispuestas unas piezasmóviles giratorias que provocan el desplazamiento positivo del líquido.

Las piezas móviles están dispuestas de tal forma que generan volúmenes enuna zona de la carcasa, creando automáticamente una depresión que aspira el líquido,a continuación lo desplaza y por último lo deposita en otra zona donde el líquido sehalla a presión.

Estas bombas carecen de válvulas, requiriendo un ajuste perfecto entre lasdistintas piezas, para impedir que el líquido retroceda y de esta forma obtener un altorendimiento. Se utilizan, en general, para obtener grandes presiones, y por lo tantopara generar grandes fuerzas; solo pueden trabajar con líquidos viscosos, que sirven ala vez de lubricantes, con un alto grado de limpieza

Existen numerosos tipos de bombas rotativas de difícil clasificación; en la figura24.7 se muestran una serie de máquinas de este tipo.

Aunque estas bombas carecen de válvulas son también autocebantes, sufuncionamiento no es continuo, pero su discontinuidad es menor que en las bombasalternativas dado el menor tamaño de cada recinto y su mayor número. El caudal

producido es así mismo independiente de la presión engendrada, siendo su curvacaracterística similar a la de aquellas. Se construyen para presiones de hasta 600 bar e incluso superiores; los caudales forzosamente son reducidos.





Fig: 24.7: Bombas de Desplazamiento Positivo Rotativas

3.- TURBOBOMBAS

Este tipo de bombas es sin duda el más empleado y el que se utilizauniversalmente para trasegar casi todo tipo de líquidos a cualquier altura, solamentelíquidos muy viscosos, caudales muy pequeños y alturas muy grandes ofrecendificultades a este tipo de máquinas.

Como se ha indicado más arriba se trata de turbomáquinas con funcionamientoy diseño parecido a las turbinas de reacción. Constan de una carcasa donde seencuentra el rodete o impulsor y el sistema difusor.

En el rodete se transforma la energía mecánica recibida del motor de arrastreen energía hidráulica de presión y velocidad; en el sistema difusor parte de la energíahidráulica de velocidad se convierte en energía de presión.

El sistema difusor puede adquirir distintas formas pero la más frecuente es lade voluta o caracol, que hace de colector y donde la sección de paso aumenta,disminuyendo así la velocidad aumentando la presión, tal como puede apreciarse enla figura 24.8

Otro sistema importante de una turbobomba es el sellado, es decir el que tienecomo finalidad impedir o dificultar que el líquido bombeado fugue.





Fig 24.8: Turbobomba

Fig: 24.9: Sistema de sellado interno

Tipos diversos de anillos laberínticosutilizados en las bombas para reducir las pérdidas internas





Para ello es preciso atenuar el denominado cortocircuito hidraúlico (figura24.9), que hace que el líquido que ha adquirido cierta energía a la salida del rodeteretroceda hacia puntos de energía menor, es decir a la entrada del rodete, a través delos huelgos existentes entre la carcasa y el rodete. Para ello se disponen los anillos decierre o rozantes que se ubican en la carcasa y/o el rodete con el fin de conseguir minorar al máximo los mencionados huelgos. El problema tiene su dificultad dado queel rodete gira a una velocidad importante y la carcasa está fija.

Otro punto que hay que estanqueizar es aquel en el que el eje de arrastrepenetra en la carcasa de la bomba, produciéndose un huelgo entre el elemento móvil yel fijo. Para ello se dispone la caja prensaestopas (fig 24.10) o los cierres mecánicos (figura 24.11).

La caja prensaestopas consta de unos anillos de material elastomérico queenvuelve el eje, al sometérseles a un empuje axial se dilatan radialmente y consiguenla estanquidad necesaria, sin embargo es conveniente dejar formar entre eje y anillosuna película de líquido que haga de lubricante.

Fig: 24.10: Caja prensaestopas

Fig: 24.11: Cierre mecánic o





Los cierres mecánicos constan de dos discos de material cerámico apretadospor muelles entre sí, dispuesto uno de ellos fijo al eje y el otro fijo a la carcasa; de estamanera, dada la casi nula rugosidad de los materiales cerámicos, se consigue unaprácticamente total estanquidad.

En este tipo de bombas el caudal y la altura engendrada vienen relacionadosentre sí, siendo la curva característica más o menos descendente (figura 24.12). Otrasvariables importantes son la potencia absorbida y el rendimiento.

Fig 24.12: Curvas características de una Turbobomba

Las turbobombas se clasifican a su vez, teniendo en cuenta la dirección delflujo con relación al eje de giro en: radiales, diagonales y axiales. (figura 24.13)

Fig 24.13: Tipos de rodetes de las Turbobombas

Las turbobombas radiales y las diagonales son análogas a las turbinas Francis,mientras que las axiales son similares a las turbinas Hélice.





En muchos textos y en casi todos los catálogos las turbobombas reciben el nombre debombas centrífugas, nombre no totalmente apropiado, ya que corresponde solo a lasradiales y en alguna medida a las diagonales. El nombre de turbobombas, que poco apoco va tomando peso, es más idóneo dado que se trata de una turbomáquina.También se denominan rotodinámicas.

El resto de las bombas que no es posible catalogar como bombas dedesplazamiento positivo o turbobombas se pueden incluir dentro de un tercer grupodenominado bombas especiales. Entre estas pueden caber por ejemplo las bombasturbina, bombas Hytor, bombas de chorro, tornillo de Arquímedes, ariete hidráulico,bomba mamut, bombas transportadoras de polvos, etc.





TEMA 25.- INSTALACIONES DE BOMBEO

1.- DIAGRAMA DE TRANSFORMACIÓN DE ENERGÍA EN UN SISTEMA DEBOMBEO

Se denomina aquí Sistema de Bombeo al conjunto formado, por una parte, por la bomba y, por otra, por las conducciones y depósitos situados aguas abajo y aguasarriba de aquella; se reserva el nombre de Instalación de Bombeo precisamente a estasegunda parte.

Un sistema de bombeo convencional consta fundamentalmente de depósito deaspiración, tubería de aspiración, bomba, tubería de impulsión y depósito superior adonde se conduce el líquido.

El diagrama de transformación de energía es un método por el cual serepresentan las sucesivas transformaciones hidráulicas que se verifican en el sistema;el diagrama que a continuación se explica utiliza el método de las franjas verticales,donde cada elemento del sistema de bombeo queda representado por una franjavertical.

En la figura 25.1 se representa el esquema del sistema elegido para el estudioy el diagrama de transformación de energía correspondiente. La bomba es unaturbobomba, representada por sus dos elementos principales: rodete y sistema difusor.Las energías que se contemplan son evidentemente las energías de posición, presión

y velocidad.

Se adopta como plano de referencia de cotas el que pasa por la láminasuperior del depósito de aspiración, que se considera abierto y por tanto en contactocon la atmósfera. Las presiones se refieren a la atmósfera local, es decir se adoptanpresiones manométricas.

En primer lugar se estudia la energía de posición, que viene representada en lafigura por la ordenada existente entre el plano de referencia y la línea de trazos. Estaenergía es nula en el depósito de aspiración; en la tubería de aspiración aumenta

hasta alcanzar la cota de la bomba, que se supone constante en rodete y sistemadifusor; por último crece en la tubería de impulsión hasta alcanzar la cota del depósitosuperior.

La ordenada entre el plano de referencia y la línea de punto y raya, representala suma de las energías de posición y de presión, es decir la energía piezométrica; por lo tanto, la energía de presión será la ordenada entre la línea de trazos y la de punto yraya.

Por lo tanto cuando la línea de punto y raya se encuentra por encima de la detrazos la presión es positiva, y si es a la inversa, negativa. En el depósito de

aspiración, al estar éste en contacto con la atmósfera, ambas líneas son coincidentes.



130 Instalaciones de bombeo


En el momento en que el líquido entra en la tubería de aspiración ocurren doshechos:

• Se crea una energía de velocidad

• Se produce una pérdida de carga por estrechamiento brusco y en la válvulade pie, que se dispone en ese punto. La válvula de pie es una piezaespecial compuesta de una válvula antirretorno y un filtro; la primera impideel retroceso del líquido, y el segundo denominado alcachofa o cebolleta,dificulta la entrada de cuerpos extraños en la tubería de aspiración.

Ambos sucesos se pueden producir gracias a la existencia de una energía depresión, ya que el líquido todavía no ha recibido ninguna energía, es decir se produceuna transformación de energía de presión en velocidad y en calor, motivado por lapérdida de carga. Por tal causa se engendra una depresión.

En la tubería de aspiración:

• aumenta la energía de posición

• se producen pérdidas de energía en la tubería y en las piezas especialesexistentes, lo cual se puede conseguir y vencer igualmente gracias a laenergía de presión, pues el líquido sigue sin recibir ninguna clase deenergía, con lo que la depresión habrá aumentado.

En el momento en que el líquido entra en el rodete recibe una energía, pueséste es el órgano donde se transforma la energía mecánica en hidráulica. Gracias aello la presión pasa de negativa a positiva y se aumenta la energía de velocidad del

líquido. En el sistema difusor aumenta la energía de presión, a costa de la energía develocidad, saliendo el líquido de la bomba con una determinada energía de presión yuna moderada energía cinética.

Por último, en la tubería de impulsión la energía de presión se convierte enenergía de posición y se vencen las pérdidas de carga producidas en la conducción.La energía de presión se hace nula en el momento en que el líquido alcanza eldepósito superior.

La ordenada entre el plano de referencia y la línea de trazo continuo,representa la energía total, es decir la suma de las energías de posición, presión yvelocidad. La ordenada entre la línea de punto y raya y la de trazo continuocorresponde a la energía cinética. En el depósito de aspiración, al ser la velocidadnula, ambas líneas coincidirán.

En el momento, en que el líquido entra en el depósito de aspiración, se generauna energía de velocidad, a costa de la energía de presión, como ya se ha indicado.En toda la tubería de aspiración, la energía de velocidad permanece constante altener, generalmente, la misma sección en toda ella.





Fig: 25.1.- Diagrama de transformación de energía en un sistema de bombeo





En el rodete la velocidad aumenta, convirtiéndose parte de ésta en energía depresión en el sistema, lógicamente con las consiguientes pérdidas que conllevatoda transformación energética. En la tubería de impulsión la energía cinéticapermanece constante en toda su longitud sino se modifica el diámetro, perdiéndosecuando llega el líquido al depósito superior.

Una vez explicado el diagrama, se indica a continuación el significado de cadaordenada; sin embargo hay que resaltar, que el gráfico de la figura es cualitativo, noestando las ordenadas representadas rigurosamente a escala.

Así se tiene:

• AC representa la depresión en la entrada de la tubería de aspiración, siendoequivalente a la suma de la energía cinética en la tubería de aspiración más laspérdidas de carga en la válvula de pie.

• BC es la energía cinética en la tubería de aspiración, constante a lo largo de ella.BC = ED.

• AB indica pérdida de carga en la válvula de pie.

• GD señala la depresión en la entrada de la bomba, suma de la energía de posiciónen ese punto más la pérdida de carga en toda la tubería de aspiración.

• FE representa la energía total negativa que existe a la entrada de la bomba. Puedeser negativa, debido a que el origen de las presiones consideradas es laatmosférica local.

2.- ALTURAS MANOMETRICAS DE LA INSTALACION, Y DE LA BOMBA

Se denomina Altura manométrica de la instalación a la energía necesaria paratrasegar un determinado caudal de líquido desde el depósito inferior (aspiración) alsuperior (impulsión), es decir será la diferencia de energías entre ambos depósitosmás la pérdida de carga en las tuberías de aspiración e impulsión.

Por otra parte Altura manométrica de la bomba es la energía útil que la bombale comunica al líquido, es decir será la diferencia de energías totales que tiene ellíquido entre la salida y la entrada de la bomba para un determinado caudal.

Como puede apreciarse ambas alturas manométricas, la de la instalación y lade la bomba, corresponden a conceptos totalmente diferentes, que conducen aexpresiones matemáticas distintas.

Es decir que aunque ambos conceptos son diferentes cuando una bombatrabaja en una determinada instalación las alturas manométricas de ambos tienen elmismo valor numérico.





Fig: 25.2.- Instalación de bombeo

3.- CURVA CARACTERISTICA DE LA INSTALACION

La expresión analítica que define la altura manométrica de la instalación es:

21

21

2

222

1

2

1

1

1

1

2

2

1

2

2

−

−

+∆+∆+∆=

+

++−

++=

f mi

f mi

h g

v p z H

h g

v p z

g

v p z H

γ

γ γ

Los dos primeros términos del segundo miembro son independientes delcaudal, siendo por tanto su suma el valor de la altura manométrica de la instalación acaudal nulo (Hi0). Dicho valor se denomina altura piezométrica de la instalación.

Realmente el que un depósito se encuentre presurizado, es a estos efectos,como si estuviera situado en otra cota geométrica, es decir, a título de ejemplo, un

depósito con una presión de 2 kg/cm2, es como si estuviese dispuesto 20 m más alto,en el caso de que el líquido fuese agua.

Los otros dos términos son función del caudal, el tercero proporcional a sucuadrado, y el cuarto aproximadamente proporcional a la misma potencia. En lamayoría de los casos el incremento de la energía cinética suele despreciarse debido asu poca magnitud. Un caso en que este valor no puede dejar de considerarse es aquelen que el líquido sale a la atmósfera a través de boquillas, ya que entonces la energíacinética a la salida puede tener bastante entidad.

La representación gráfica de la expresión anterior se denomina curva

característica de la instalación (cci), la cual viene indicada en la figura 25.3.





Fig: 25.3: Curva característica de la instalación

Por otra parte la altura manométrica de la turbobomba es igualmente funcióndel caudal, denominándose curva característica de la turbobomba (cctb) a larepresentación gráfica de sus puntos de funcionamiento.

Si en un mismo gráfico se representan las curvas características de lainstalación y de la turbobomba, al haber de tener las alturas manométricascorrespondientes el mismo valor, el punto de funcionamiento será necesariamente eldefinido por la intersección de ambas curvas (fig 25.4).

Fig: 25.4: Curvas características de instalación y de la bomba. Punto de funcionamiento.

4.- SELECCIÓN DE UNA BOMBA.- PUNTO DE FUNCIONAMIENTO

Para seleccionar la bomba más idónea con el fin de atender al servicio espreciso conocer en primer término la instalación donde ha de funcionar y el caudal quese requiere. En la mayoría de los casos la altura piezométrica no es constante sinoque oscila entre determinados valores y en ocasiones el caudal deseado puede ser igualmente variable. Estas circunstancias evidentemente habrán de considerarse en el

momento de seleccionar la bomba; es usual considerar como hipótesis de cálculounos valores medios para la altura piezométrica y el caudal.

Hf +∆v2/2gHmi0 =∆z + ∆p/γl

Hmi

Q

cci

Hm

∆z + ∆p/γl

cci

cctb

Q

O





Fig : 25.5.- Curvas características de las turbobombas de un determinado modelo





Fuente Itur

Fig : 25.6.- Curvas características de un determinado tipo de bombas





Primeramente habrá de seleccionarse el tipo de bomba que se adapte mejor alservicio, lo cual depende de las características del líquido a elevar y del tipo ycircunstancias de la instalación.

Trazada la curva característica de la instalación y conocido el caudal deseadose puede saber el punto en que se desea trabajar.

La bomba seleccionada trabajando en la instalación prevista no proporcionaráindudablemente el punto deseado sino otro que será el que corresponde a laintersección de las curvas características de bomba e instalación.

Para conocer dicho punto deberán dibujarse las dos curvas en el mismográfico, bien en el de la bomba o en el de la instalación, mejor en el de esta última.

Hay que resaltar aquí que en el momento de seleccionar una bomba no sepuede conseguir que su curva característica pase exactamente por el punto deseado,

ni que el punto de funcionamiento resultante sea el óptimo de la bomba; sin embargo,habrá que intentar conseguir en lo posible que el rendimiento del punto de trabajo, nose aleje mucho del correspondiente al punto nominal de la bomba.

5.- VARIACION DEL PUNTO DE FUNCIONAMIENTO

5.1.- POR MODIFICACIÓN DE LA CURVA CARACTERÍSTICA DE LAINSTALACIÓN

Si en una determinada instalación variara la diferencia de cotas y/o la diferencia depresiones entre los depósitos superior e inferior, quedando el resto invariable, lacurva característica de la instalación se desplazaría paralelamente a sí misma,como indica la figura 25.7, modificándose el punto de funcionamiento al trabajar conla misma bomba.

Fig: 25.7: Variación de la cci

al modificarse ∆z y /o ∆ p/ γ

cc tb

cci





Por último, si se cerrara poco a poco una válvula situada en la instalación,dejando el resto igual, aumentarían las pérdidas de carga, y su curva característica seiría cerrando en abanico, tal como se indica en la figura 25.8.

El punto de funcionamiento se irá modificando, produciendo un caudal cadavez menor, hasta llegar a ser nulo, cuando la válvula estuviera totalmente cerrada. Eneste caso la curva característica de la instalación sería el eje de ordenadas.

En realidad la curva característica de la instalación tiene una segunda ramapara caudal negativo; no obstante en la mayoría de las instalaciones no existe, aldisponer de una válvula antirretorno que impide los caudales inferiores a cero.

Fig: 25.8: cc de la instalación al variar hf

En tal caso la curva característica completa de la instalación está formada por la rama del primer cuadrante y el eje de ordenadas hasta el punto A (fig 25.9)

Fig: 25.9: Cc completa de la instalación en el primer cuadrante.





La curva característica completa de la instalación teniendo en cuenta loscaudales negativos sería la indicada en la figura 25.10. En este caso la alturamanométrica de la instalación vale Hmi = (B1-B2) + hf resultando que el primer factor

es negativo y el segundo positivo.

Fig: 25.10: Cc completa de la instalación

5.2.- POR MODIFICACIÓN DE LA CURVA CARACTERÍSTICA DE LATURBOBOMBA

Otra forma de modificar el punto de funcionamiento de una instalación debombeo es actuar sobre la bomba dejando inalterable la instalación, con lo que seconsigue modificar la curva característica de aquella.

Existen varios procedimientos para actuar sobre la bomba, de entre ellosdestacan la variación de su velocidad de giro y el torneado de su rodete.

5.2.1.- Variación de la velocidad de giro

Al variar la velocidad de giro de una turbobomba se modifican sus curvascaracterísticas y por lo tanto la que relaciona la altura manométrica con el caudal, conlo que se consigue que al trabajar en una determinada instalación proporcionecaudales variables (figura 25.11)

El trazado las curvas características de una bomba cuando gira a undeterminado régimen a partir de las curvas de la bomba cuando trabaja con otronúmero de revoluciones se resuelven mediante la homología ya explicada.

B1-B2+ hf B2 –B1 + hf





Es decir lo que se trata es de hallar la relación entre un punto de la curvacaracterística cuando gira a N1 rpm de la misma bomba cuando funciona a N2 rpm

teniendo el mismo rendimiento, es decir siendo homólogos.

Para el caso concreto de la curva altura - caudal se igualan los parámetrosmanométrico y de caudal :

µR

gH

N D=

2 2 δR

Q

ND=

3

que al permanecer invariables la gravedad y el diámetro se verifica:

H

N

H

N

H

Ncte

Q

N

Q

N

Q

Ncte

1

12

2

22 2

1

1

2

2

= = = =

= = = =

L

L

lo cual subraya que en puntos de igual rendimiento las alturas manométricas sonproporcionales al cuadrado de la velocidad de giro y el caudal lo es a su primerapotencia.

Dividiendo la primera expresión por el cuadrado de la segunda, con el fin deeliminar N, se tiene:H

NQ

N

H

Qcte

2

2

2

2= =

es decir que los puntos de igual rendimiento verifican que:

H = K Q2

Figura : 25.11:

Modificación del puntode funcionamiento deun sistema de bombeoal variar la velocidad de giro





y que por lo tanto están situados en una parábola que pasa por el origen (fig: 25.12).

Conocido lo anterior es fácil trazar la curva característica de una bombagirando a N2 rpm a partir de la correspondiente curva trabajando a N1 rpm, pues se

tiene:

H HN

NQ Q

N

N2 12

2

12 2 1

2

1

= =

con lo cual pueden calcularse los puntos A2, B2, C2, ... conocidos previamente A1, B1,

C1, ... y trazarse la curva deseada.

Figura : 25.12.- Curvas de igual rendimiento al variar la velocidad de giro

Los problemas prácticos que fundamentalmente pueden presentarse en el caso devariar la velocidad de giro son los siguientes:

• Conocidas las curvas características de una bomba girando a un determinadonúmero de revoluciones trazar las curvas correspondientes de la misma bomba altrabajar a otro régimen.

• Conocida la curva característica H-Q de una bomba girando a un determinadonúmero de revoluciones y la curva característica de la instalación en que trabaja,hallar el punto de funcionamiento cuando la bomba trabaje a otro régimen.

• Conocida la curva característica H-Q de una bomba girando a un determinadonúmero de revoluciones y la curva característica de la instalación en que trabaja,calcular la velocidad a que deberá girar para que proporcione un determinadocaudal.

El primer problema ha sido resuelto en el apartado anterior. El segundo seresuelve trazando la nueva curva, y hallando así gráficamente su punto de intersección

con la curva de la instalación, el cual será el punto pedido. No hará falta trazar toda la





nueva curva, sino solamente el trozo situado en el entorno de la intersección con lacurva de la instalación.

Para resolver el tercer problema se procede de la siguiente forma(figura 25.13).

Cuando la máquina gira a N1 rpm el punto de funcionamiento es el A(H1, Q1),

pero se pide que proporcione un caudal Q2 sin variar la curva de la instalación, es

decir que la curva de la bomba pase a funcionar en el punto B(H2, Q2).

Se calcula el coeficiente de la parábola que pasa por B, H2 = K Q22

Fig; 25.13.- Velocidad de giro de una bomba para obtener un determinado caudal

A continuación se traza la parábola que pasa por el origen y por B, y se hallagráficamente el punto C (H3, Q3); al estar B y C en una parábola se trata de puntos

homólogos en los que se verifica:

H

N

H

No bien

QN

QN

2

22

3

32

2

2

3

3

= =

con lo que podrá calcularse la velocidad de giro N2 solicitada.

No es necesario trazar toda la parábola, sino únicamente el entorno de puntode intersección con la cc de la bomba.

5.2.2.- Torneado del rodete

Otro recurso para modificar la curva característica de una bomba, y por tanto elpunto de funcionamiento en una determinada instalación, es torneando el rodete, esdecir disminuyendo su diámetro exterior, sin alterar ninguna otra característica de lamáquina y manteniéndose la misma carcasa que constituye el sistema difusor.





Normalmente el ángulo β formado entre la velocidad relativa y el sentidonegativo de la de arrastre, va modificándose desde la entrada a la salida del rodete.

Sin embargo los impulsores de las bombas se construyen en bastantesocasiones de tal manera que en su parte exterior se conserve constante dicho ángulo,lo que equivale a decir que en esa zona el rodete forma una espiral logarítmica.

La construcción así de los rodetes, permite su torneado sin variar el ángulo desalida β2.

Figura: 25.14.- Torneado de rodete

El proyecto de norma internacional ISO/DIS 9906 que presenta el código deensayos para las pruebas de recepción de las turbobombas, en su anexo F, prescribeque para aquellos casos en que el torneado no pase del 5% y la velocidad específica

adimensional no sobrepase el valor de 0,24, que el caudal y la altura manométrica semodifican atendiendo a las expresiones siguientes:

( )( )

a

t

a

t

D

D

Q

Q

2

2= y( )( )

a

t

a

t

D

D

H

H 2

2

2

2=

donde los subíndices t y a indican los valores después y antes del torneadorespectivamente. En los casos en que los diámetros a la entrada o salida no sonconstantes se adoptarán sus valores medios.

Con relación al rendimiento permanecen prácticamente inalterables cuando lavelocidad específica dimensional no supera 0,16 y el torneado no pasa del 3%.

Zona de

torneado

Espiral

logarítmica

Zona de β2 = cte





En la práctica se admiten torneados superiores, suponiéndose que se verificanlas relaciones indicadas más arriba, manteniéndose los rendimientos.

Teniendo en cuenta todas estas consideraciones, los problemas resultantes seresuelven de manera análoga al caso de modificación de la velocidad de giro,

verificándose que:

( ) ( )

( ) ( )

H

D

H

D

Q

D

Q

D

t

t

a

a

t

t

a

a

2

2

2

2

2 2

=

=

además de que los puntos de igual rendimiento práctico se sitúan en parábolas quepasan por el origen de manera análoga que en el caso de modificación de la velocidadde giro.

Es conveniente recordar que antes y después del torneado del rodete de unabomba no existe semejanza geométrica y que por tanto no se pueden aplicar relaciones de homología, siendo por eso por lo que se habla de igual rendimientopráctico.

Por último se advierte que hay que poner cuidado en el momento de realizar los cálculos previos al torneado del rodete pues se trata evidentemente de unaoperación irreversible.

6.- BOMBAS FUNCIONANDO EN GRUPO

Las bombas además de funcionar individualmente pueden hacerlo en grupo, enserie o en paralelo, o bien combinando estas dos disposiciones.

Estas soluciones se adoptan en los casos en que se requiera aumentar laaltura manométrica o el caudal, o ambos factores a la vez.

6.1.-DISPOSICIÓN EN SERIE

Dos o más bombas se disponen en serie cuando la brida de salida de una seconecta con la de entrada a la siguiente.

Obviamente el caudal que circula por todas es el mismo y la alturamanométrica total es la suma que proporciona cada una de ellas.

Conociendo la curva característica de cada bomba de puede trazar lacorrespondiente al conjunto sin más que sumar las alturas manométricas para cadacaudal, tal como se observa en la figura: 25.15.





Figura :25.15 - Bombas funcionando en serie

No es frecuente la disposición en serie puesto que se fabrican bombasmulticelulares, que no es otra cosa que varias máquinas dispuestas en serie dentro deuna misma carcasa.

6.2.-DISPOSICIÓN DE BOMBAS FUNCIONANDO EN PARALELO

Dos o más bombas trabajan en paralelo cuando tienen, en lo posible, lasaspiraciones e impulsiones comunes. En este caso el caudal resultante es,evidentemente, la suma de los caudales de cada máquina, mientras que las alturasmanométricas de cada bomba son iguales.

Tomando Bernoulli entre la salida y entrada de las bombas, se tiene:

BE + Hm1 = BS

BE + Hm2 = BS

Luego: Hm1 = Hm2 = BS - BE

Por lo tanto, la curva característica Hm-Q del conjunto de dos o más máquinastrabajando en paralelo, conocidas las correspondientes a las bombas funcionandoaisladamente, se obtiene sumando los caudales para cada altura (figura 25.16).

AB + AC = ADH + H = H





Figura: 25.16 - cc de bombas funcionando en paralelo.

7.- ESTUDIO DE LA CAVITACIÓN EN LAS BOMBAS : N.P.S.H.

La cavitación es un fenómeno que se puede producir en las máquinas e

instalaciones hidráulicas, cuyas importantes consecuencias tienen el peligro deperturbar notablemente su funcionamiento.

El fenómeno se produce, de manera similar a las turbinas, cuando la presióndel líquido se reduce a su presión de vapor máxima, instante en el cual aquél sevaporiza, formándose bolsas de vapor de líquido.

Una vez formadas las bolsas de vapor, éstas son arrastradas hacia zonas demayor presión donde se condensan, creándose un vacío, ya que pasan a ocupar unvolumen notablemente menor, produciéndose implosiones que motivansobrepresiones puntuales elevadísimas. Es bueno hacer notar que el vapor de aguaocupa un volumen del orden de 1250 veces superior al del agua.

En cuanto a las sobrepresiones, en el caso de las turbobombas se han llegadoa detectar presiones de 100 MPa (≈ 1000 bar) e incluso superiores. El tiempo quetarda en producirse el condensado de las bolsas de vapor es pequeñísimo, del ordende pocos µs.

Por otra parte con una incidencia menor, pero coadyuvando en el fenómeno,sucede que cuando el líquido alcanza una presión reducida desprende parte de losgases que tiene disueltos, dado que, según la ley de Henry, la cantidad de gas disueltoen un líquido es directamente proporcional a aquella; además la solubilidad es funciónde la temperatura, descendiendo al incrementar ésta.

AB + AC = AD





El gas que normalmente tienen disuelto en su seno los líquidos es el aire, conuna mayor riqueza relativa de oxígeno que de nitrógeno, dada su mayor solubilidad.

La cantidad de aire que contiene el agua en condiciones normales es del ordendel 2 al 3% en volumen, es decir que el aire disuelto en un litro de agua ocupará al

desprenderse de ella un volumen de 20 a 30 cm3; esto no quiere decir que ladisolución ocupe tal capacidad, puesto que los volúmenes en una disolución gas -líquido o gas - gas no son aditivos.

Parte del aire disuelto se desprende cuando la presión del líquido alcanzavalores próximos a la de presión de vapor, de tal manera que se forman bolsas de airey de vapor del líquido.

El aire, rico en oxígeno, favorece la oxidación de las paredes; posteriormente ellíquido arrastra el óxido si éste no es adherente, y deja las paredes aptas para unanueva oxidación, produciéndose de esta manera desprendimiento de material.

Pero volviendo a las implosiones señaladas más arriba, cuya importanciarelativa es mucho mayor que la oxidación, éstas producen fuertes vibraciones en lamáquina, que pueden alcanzar al acoplamiento con el motor de arrastre, e incluso a lapropia cimentación, si la cavitación es severa.

Por otra parte, las implosiones que se verifican junto a paredes, actúan a modode martillo neumático entre los poros y fisuras del material, desgarrando ydesprendiéndose éste, adquiriendo el aspecto de un terrón de azúcar. Se conoce queel colapso de las burbujas no se hace concéntricamente sino que comienza por unpunto a modo de dardo que produce el efecto señalado.

Como consecuencia de todo lo anterior la cavitación conduce a un fuertedescenso de la altura manométrica, en el caso de turbobombas, y de la altura efectiva,en el de turbinas, así como del rendimiento.

7.1.- EVALUACIÓN DE LA CAVITACIÓN EN LAS TURBOBOMBAS

Como se ha señalado la cavitación se produce cuando la presión en un puntodesciende por debajo de la presión de vapor. Por otra parte en una instalación debombeo, normalmente la presión disminuye hacia aguas abajo, siendo mínima a la

entrada de la bomba, lógicamente en un punto cercano a la proa de los álabes, dondetodavía el líquido no haya recibido energía del rodete, y en posiciones de mayor cota.

Tomando Bernoulli entre la lámina superior del depósito de aspiración (B) y elmencionado junto (D) (figura: 25.17) se tendrá :





Figura : 25.17.- Esquema de laaspiración de un sistema de bombeo

P Z V2g

hf P Z V2g

B

lB

B2

BDD

lD

D2

γ γ + + − = + +

teniendo en cuenta que VB2/2g es nulo en la inmensa mayoría de los casos, restando

la tensión de vapor (ps/γ1) a los dos miembros y ordenando los factores, se tiene:

( )BDBDl

s

l

B2

D

l

s

l

D hf ZZPP

2g

VPP+−−−=+−

γ γ γ γ

donde el primer miembro es la energía que tiene el líquido en el punto D por encimade la presión de vapor, es decir lo que se denomina carga neta de la aspiración sobrela tensión de vapor (CNA), o lo que es lo mismo, en palabras inglesas Net PositiveSuction Head over vapor pressure.

Las siglas de las cuatro primeras palabras de dicha frase -NPSH- correspondena algo que ha alcanzado fortuna, de tal manera que la carga neta de la aspiración deconoce internacionalmente con el nombre de NPSH.

Ahora bien, realmente se le conoce con el nombre de NPSH disponible, ya quees la carga neta en la aspiración que dispone el líquido en el punto mencionado.

Como, obviamente, en la fórmula anterior el primer miembro es igual alsegundo, y todos los términos de éste son dependientes de la instalación se puedeafirmar que el NPSH disponible es función exclusiva de ésta.

Por otra parte se sabe que para que no se produzca cavitación, al menos

teórica, es necesario y suficiente que PD > PS, es decir queP P

0D s

l

−>

γ o lo que es

lo mismo:

NPSH disponible >V

2gD

2

Válvula de pie





Pues bien, a VD2/2g se le denomina NPSH requerido, ya que se trata de la

energía mínima que se requiere tenga el líquido en la aspiración para que no seproduzca cavitación.

El término VD2/2g que es la energía cinética existente en un punto interior de lamáquina, depende lógicamente de ésta.

Volviendo a la ecuación base se podrá escribir:

NPSHdisponible = NPSHrequerido +P PD S

l

−γ

El valor de este último término representa el cuanto se aleja el sistema de lacavitación, por lo que recibe el nombre de carga de seguridad o NPSH de seguridad.

Este factor depende del técnico diseñador de la instalación y del seleccionador de la bomba, que a la vista del NPSH disponible de la instalación elegirá una bombacon un NPSH determinado. Se aconseja que no descienda en ningún momento de 0,5a 0,90 mcl o bien que NPSHdisponible sea mayor a 1,3 NPSHrequerido.





8.- PROBLEMA TIPO DE RESOLUCIÓN DE INSTALACIONES DE BOMBEO

8.1.- OBTENCIÓN DE LA CURVA CARACTERÍSTICA DE LA INSTALACIÓN

Ejemplo

Se desea construir la curva característica de la instalación definida en el esquema

adjunto y por los datos siguientes:

Líquido: agua

Cotas: z 1

= 900m z 2

= 930m

Presiones: p1 = 0 (abierto a la atmósfera)

P 2 =1,96 bar (manométrica)

Conducción: Tubería: fundición;

diámetro: 100 mm

Longitudes: aspiración: 25 m; impulsión: 125 m

Resolución

Altura piezométrica (altura manométrica a caudal nulo). n

Nota: Se debe resolver esta cuestión siempre en metros de columna del líquido quefluye y preferentemente en presiones manométricas

Pérdidas de carga

Rugosidad de la fundición = ε = 0,026 cm

Rugosidad relativa = ε /D = 0,026/10 = 0,0026 = 2,6.10 -3

Coeficiente de Hazen-Williams: C HW = 120

Pérdida de carga unitaria para D = 100 mm; J 1 = 3,11.10 -4mca/ [ m.(l/s)1,852 ]

Longitudes equivalentes

Los valores indicados sólo deben utilizarse en cálculos rápidos, ya que lalongitud equivalente depende del diámetro de la pieza especial

Aspiración: válvula de pié 25 mCodo 90º 5 m

( ) mcl Z P

Z P

Hm io 5009009800

10961930

5

11

22 =+−

+=

+−

+= ,

γ γ





Impulsión: válvula antirretorno 15 m2 válvulas compuerta 2x5 m4 codos 90º 4x5 m

Total ---------- 75 m

Longitud equivalente total = 25 + 125 + 75 = 225 m

Pérdida de carga = hf = 3,11.10 -4.225.Q1,852

H f = 0,07.Q1,852

La expresión analítica de la cci será:

H mi = 50 + 0,07.Q 1,852

A continuación se calcula el valor de H mi para diferentes valores del caudal Q,tal como se indica:

Q l/s 2 4 6 8 10 12 14 16

H mi mca 50,3 50,9 51,9 53,3 55,0 57,0 59,3 61,9

Nota: no merece la pena en la precisión del cálculo de la pérdida de carga pasar del

dm.

Ahora solo resta elegir el formato del papel y las escalas más idóneas tanto para H como para Q. El formato usual es el A-4.

Hay veces que en el gráfico no se adopta como origen de coordenadas el punto (0,0) sino otros valores de H y Q para conseguir mayor definición en la zona detrabajo. En este caso se ha adoptado el formato mencionado y el origen decoordenadas (0,0) y como escalas 1cm = 1 l/s y 2,5 mca (fig 25.18).

Una curva queda perfectamente definida con 10 puntos, suficientemente con 8 e incluso con 6 y en algunos casos con menos si el tramo que se desea representar esreducido; se pondrá especial cuidado en la zona en que se encuentren los resultados.

Traspasados los puntos calculados al sistema de coordenadas elegido, bastatrazar la curva que pasa por todos y cada uno de los puntos para obtener la curvacaracterística de la instalación.





0 2 4 6 8 10 12 14 160

10

20

30

40

50

60

Escalas 1 cm = 1 l/s y 2,5

Puntos calculados

caudal altural/s mca0 502 50,34 50,96 51,98 53,3

10 55,012 57,0

14 59,316 61,9

PUNTO DESE ADO : P (55 mca; 10 l/s)

P

H (mca)

Q (l/s)

Fig 25.18.- Curva característica de la instalación





8.2.- SELECCIÓN DE LA BOMBA MÁS IDÓNEA

Para seleccionar la bomba más idónea con el fin de atender al servicio espreciso conocer en primer término la instalación donde ha de funcionar y el caudal que

se requiere. En la mayoría de los casos la altura piezométrica no es constante sinoque oscila entre determinados valores y en ocasiones el caudal deseado puede ser igualmente variable. Estas circunstancias evidentemente habrán de considerarse en elmomento de seleccionar la bomba; es usual considerar como hipótesis de cálculounos valores medios para la altura piezométrica y el caudal.

Primeramente habrá de seleccionarse el tipo de bomba que se adopte mejor alservicio, lo cual depende de las características del líquido a elevar y del tipo ycircunstancias de la instalación.

Trazada la curva característica de la instalación y conocido el caudal deseadose puede saber el punto en que se desea trabajar.

Si se toma la instalación del ejemplo presentado en el apartado anterior y si sedesea obtener un caudal de 10 l/s, el punto deseado será: P:(55 mca; 10 l/s) (fig 25.18).

Suponiendo que se trata de atender a un servicio de suministro de agua encondiciones normales, se puede adoptar, por ejemplo, el tipo de bombas normalizadasde una determinada marca comercial (versión F, de bomba Itur).

En primer término se parte de los diagramas generales de curvascaracterísticas facilitadas por el fabricante para la selección de dichas bombas, tanto

para 1450 como para 2900 rpm, que se adjuntan (fig 25.19). Escogiendo la versión de2900 rpm, que se adapta mejor a la altura manométrica exigida, se entra en abcisas por el caudal 36 m3 /h equivalente a 10 l/s, y en ordenadas por la altura 55m,observando que corresponde al grupo de bombas 40-200b

A continuación se busca el gráfico donde figuran las curvas características deeste tipo de bombas (figura 25.20). Dicho gráfico, como puede observarse, contienelas curvas características (H,Q) de cinco bombas, que en este caso corresponden auna misma carcasa con rodetes de diferentes diámetros, probablemente obtenidos por torneado, viniendo expresada esta medida en mm. Las otras curvas dibujadas en el diagrama superior indican el rendimiento.

El gráfico intermedio indica la potencia absorbida y el inferior el NPSH requerido, ambos en función del caudal.

Entrando con el punto P(55 m; 36 m3 /h) en la parte superior de la figura 25.20 se observa que se encuentra situado entre las curvas correspondientes a las bombascuyos rodetes tienen 193 y 202 mm de diámetro.

Si se desea obtener un caudal de al menos 36 m3 /h es preciso elegir la bombamayor, es decir la 40/200.bF de 202 mm de diámetro.





Fuente: Itur

Fig 25.19.- Curvas características de las turbobombas de un determinado modelo



Ingeniería Fluidomecánica Tema 25 155


Fig: 25.20.- Curvas características de un determinado grupo de turbobombas





8.3.- PUNTO DE FUNCIONAMIENTO

La bomba seleccionada trabajando en la instalación prevista no proporcionaráindudablemente el punto deseado sino otro que será el que corresponde a laintersección de las curvas características de bomba e instalación.

Para conocer dicho punto deberán dibujarse las dos curvas en el mismográfico, bien en el de la bomba o en el de la instalación, mejor en el de esta última.

Para ello deberán tomarse unos cuantos puntos de la curva característica de labomba y llevarlos al gráfico de la instalación:

Q m3 /h 0 10 20 30 40 50 60 Q l/s 0 2,8 5,6 8,3 11.1 13,9 16,7 H mca 60 61,5 61,5 59,5 56,5 52,2 46,8

Trazando la curva que pasa por estos puntos se tiene la cctb, Siendo el puntode funcionamiento (fig 25.21):

P’ (56,3 mca; 11,3 l/s)

Llevando este punto a la cctb facilitada por el fabricante, se puede observar que el rendimiento de la bomba es: 69,3% aproximadamente, y 9 kW de potenciaabsorbida (fig: 25.20)

Dicha potencia puede conocerse a través de la expresión:

PaQH

W kW = =⋅ ⋅ ⋅

= ≅−γ

η

9800 11 3 10 56 3

0 6938897 9

3, ,

,.

En el momento de seleccionar el motor eléctrico de arrastre convienesobredimensionarlo en un 20% en el caso de motores pequeños, 15% para valoresmedios y 10% en el caso de que sean de gran tamaño. Evidentemente hay queelegirlos dentro de los motores existentes en el comercio. En nuestro caso concreto seadopta un motor de 11 kW.

Hay que resaltar aquí que en el momento de seleccionar una bomba no sepuede conseguir que su curva característica pase exactamente por el punto deseado,ni que el punto de funcionamiento resultante sea el óptimo de la bomba; sin embargo,

habrá que intentar conseguir en lo posible que el rendimiento del punto de trabajo, nose aleje mucho del correspondiente al punto nominal de la bomba.

En nuestro caso el rendimiento nominal es el 70,5% y el obtenido 69,3%siendo la diferencia aceptable (fig 25.20)





0 2 4 6 8 10 12 14 16

0

10

20

30

40

50

60

c.c.i.

P´

Escalas 1 cm = 1 l/s y 2,5

Puntos deducidos de la figura 17.4

Bomba 40/200.bF rodete 202 mm Diam.a 2900 rpm. Fue nte: Itur.

PUNTO DE FUNCIONAMIENTO : P (56,3 mca; 11,3 l/s; 69,3

P

H (mca)

Q (l/s)

Fig 25.21.- Curva característica de la instalación y de la bomba. Punto de funcionamiento





8.4.- COSTO ENERGÉTICO

El costo de elevación de un m3 de agua se obtendrá dividiendo el costo de laenergía gastada en una hora entre el volumen de agua elevado en el mismo tiempo.

Suponiendo un costo de 0,09 euro/kWh, se tendrá:

3023063311

090870

9

meuro x

C /,.,,

,.,

=

=

El coeficiente 0,87 corresponde al rendimiento del motor eléctrico de 11 kW cuando trabaja en un punto equivalente a 9/11 de su potencia.

8.5.- REGULACIÓN DEL CAUDAL EN UN SISTEMA DE BOMBEO

La variación del caudal proporcionado por una bomba en una instalación debombeo se podrá realizar bien modificando la curva característica de la instalación y/ola de la bomba, tal como se estudió en los temas precedentes (12 y 15).

8.5.1.- Modificación del punto de funcionamiento mediante la variación de lainstalación

Considerando la expresión analítica de la curva característica de la instalaciónse deduce que puede modificarse aquella por:

• Variación de la altura geométrica

• Variación de la diferencia de presiones

• Variación, en conjunto, de la altura piezométrica

• Variación de la pérdida de carga, normalmente mediante la maniobra deuna válvula, situada siempre en la impulsión.

• En el caso de que el líquido salga a la atmósfera a través de boquillascon reducción de sección mediante la variación de éste último parámetro.

8.5.1.1.- Variación de la altura piezométrica

Normalmente las láminas superiores de los depósitos abiertos a la atmósferatienen una cierta carrera, lo que lleva consigo una variación de la altura geométrica y,por lo tanto, de la altura piezométrica.

Cuando una instalación trabaja con los depósitos presurizados, la presión deestos es normalmente variable, modificándose por tanto la diferencia de presionesentre los dos depósitos, y a la postre la altura piezométrica.

Tomando como ejemplo el caso que se viene estudiando, si se supone undescenso de la presión del depósito superior de 0,98 bar se tendrá:





H mi = (900 + 0,98.10 5 /9800) - (900 + 0) + hf = 40 + 0,07 Q1,852

Como puede apreciarse la curva característica de la instalación modificada seobtendrá desplazando hacia abajo 10 m cada uno de los puntos de la curva primitiva.

De la figura 25.22 adjunta se deduce que el nuevo punto de funcionamientoserá:

P 1 (50,3 m; 15 l/s)

Si se deseara obtener un caudal de 10 l/s modificando la altura piezométrica dela instalación, la curva característica de ésta habría de pasar por el punto P 2 , situado

en la cctb para una abscisa de 10 l/s; con el fin de conseguirlo habría que incrementar aquella en un valor equivalente a la diferencia de ordenadas entre P y P 2 , es decir 3

mca = 0,294 bar.

8.5.1.2.- Maniobrado de válvula

Si se maniobra la válvula de impulsión, se incrementan las pérdidas de cargaen ella, con lo cual la cci se cierra en abanico.

Si en el ejemplo que nos ocupa se maniobra la válvula de tal forma que lalongitud equivalente por tal hecho es de 500 m, se tendrá:

H mi = 50 + 0,07 Q1,852

+ 3,11 . 10 -4 . 500 Q1,852

H mi = 50 + 0,07 Q1,852

+ 0,16 Q1,852

H mi = 50 + 0,23 Q1,852

Se supone que no se modifica la presión del depósito superior (1,96 bar).

A partir de esta expresión se obtienen los siguientes puntos:

Q l/s 2 4 6 8 10 12

h mcl 50,8 53,0 56,4 60,8 66,4 72,9

Llevados estos puntos a la figura 25.23 se obtiene el nuevo punto de

funcionamiento:

P 3 (60,1 mcl; 7,8 l/s)

Si se deseara obtener un caudal de 10 l/s mediante la maniobra de una válvula,la cci habría de pasar por el punto P 2 de la cctb con abscisa de 10 l/s creándose una

pérdida de carga de 3 mca; para ello habrá de crearse una longitud equivalente de:

3 = 3,11 . 10 -4

. Le . 10 1,852 → Le = 135,6 m

Para saber en que posición habrá de disponerse la válvula para conseguir tal

pérdida de carga indudablemente será preciso conocer la curva o curvas que definensu comportamiento.





0 2 4 6 8 10 12 14 160

10

20

30

40

50

60

c.c.i.

3 mca

P2

P1

c.c.i.

P´

Escalas 1 cm = 1 l/s y 2,5 mca

Puntos calculados de la nueva c.c.i.

caudal altural/s mca2 40,34 40,96 41,98 43,310 45,012 47,014 49,316 51,916 48,00

PUNTO DE FUNCIONAMIENTO : P 1 (50,3 mca; 15 l/s)

PUNTO DE FUNCIONAMIENTO : P 2

(58,0 mca; 10 l/s)

P

H (mca)

Q (l/s)

Fig 25.22.- Variación de la cci al modificar H mio. Nuevo punto de funcionamiento





0 2 4 6 8 10 12 14 160

10

20

30

40

50

60

70

80

90

PUNTO DE FUNCIONAMIENTO: P 3 (60,1 mca; 7,8 l/s)

PUNTO DE FUNCIONAMIENTO: P 2 (58 mca; 10

P3P2

P

P1

H (mca)

Q (l/s)

Puntos calculados de la nueva cci

Q Hl/s mca0 502 50,8

4 536 56,48 60,810 66,412 72,914 80,516 89,1

Escalas: 1cm = 2,5 mca y 1 l/s

Fig 25.23.- Variación de la cci maniobrando una válvula. Nuevo punto de funcionamiento





8.5.2..- Modificación del punto de funcionamiento mediante cambios en la cc dela turbobomba

La variación de la curva característica de la bomba se puede conseguir normalmente mediante dos procedimientos

• Variación de la velocidad de giro• Torneado del rodete

8.5.2.1.- Variación de la velocidad de giro

Al variar la velocidad de giro de una bomba se modifica su curva característicay, por lo tanto, el punto de funcionamiento cuando trabaja en una instalación concreta.

Teniendo en cuenta lo explicado en la parte teórica, pregunta 5.2, si se desea

conocer la cc de la bomba de nuestro ejemplo cuando gire a 2.500 rpm, se emplearánlas expresiones:

12

2

11 74302900

2500H H H .,' ==

111 86202900

2500QQQ .,' ==

η ’ 1 = η 1

Adoptando los puntos de la bomba indicados en el apartado 8.3 se tendrá:

H 1 mca 60 61,5 61,5 59,5 56,5 52,5 47,0 Q1 l/s 0 2,8 5,6 8,3 11,1 13,9 16,7 H’ 1 mca 44,6 45,7 45,7 44,2 42 39 34,9Q’ 1 l/s 0 2,4 4,8 7,2 9,6 12 14,4

Llevando estos últimos puntos a la figura 25.24 y trazando la curva que pasa por ellos, se tiene la cc de la bomba 40-200 bF de 202 mm de diámetro de Itur girandoa 2500 rpm.

Obviamente el punto de funcionamiento de la bomba girando a 2500 rpm ennuestra instalación será el punto de intersección consiguiente, es decir:

P 4 (44,6 mca; 0 l/s)

ya que no corta a la cci en la rama sino en el eje de ordenadas.

Si ahora lo que se desea es conseguir precisamente el caudal de 10 l/s, lo quese requiere es hacer pasar la cc de la bomba por el punto P(55mca; 10 l/s).

Para resolver el problema hay que dibujar la parábola de puntos homólogos, para ello se calcula el valor de:

K = H / Q2 = 55 / 10 2 = 0,55 (coeficiente de la parábola de puntos homólogos)





A continuación se dibuja un trozo de la parábola H = 0,55 Q2 a partir del puntoP, dando valores en la ecuación:

Q mca 10 10,5 11H l/s 55 60,6 66,5

Dibujado este elemento de la curva, se puede obtener el punto de interseccióncon la cc de la bomba cuando gira a 2900 rpm que es (figura 25.24):

P 5 ( 57,5 mca; 10,2 l/s)

Entre P y P 5 se verifican las relaciones de homología:

2

25 2900

N H

H = o bien

N Q

Q 29005 =

de donde N = 2.836 rpm, obtenidas mediante la primera expresión y N = 2.845 rpmcon la segunda; discordancia debida a la lógica inexactitud producida en la utilizacióndel gráfico.

La modificación de la velocidad de giro se puede conseguir mediantevariadores de velocidad mecánicos, eléctricos o electrónicos.

El rendimiento obtenido en el punto P con la nueva velocidad de giro esequivalente al del punto P 5 .

8.5.2.2.-Torneado del rodete

Es un método muy simple que permite modificar la curva característica de labomba, consistente en recortar el rodete a fin de disminuir su diámetro exterior, comoha quedado explicado en este tema (5.2.2).

Se desea conocer la cc de la bomba de nuestro ejemplo cuyo rodete tiene 202 mm de diámetro exterior, cuando se tornea a 195 mm. Siendo el torneado previsto del 2,5 % y la velocidad específica adimensional de la bomba de 0,0496, la situación seencuentra dentro de lo indicado en la norma ISO/DIN 9906 para poder aplicar lasrelaciones indicadas en el apartado 5.2.2.

Adoptando los puntos indicados en el apartado 8.3 se tiene:

H 1 mca 60 61,5 61,5 59,5 56,5 52,5 47 Q1 l/s 0 2,8 5,6 8,3 11,1 13,9 16,7 H’ 1 mca 55,9 57,3 57,3 55,4 52,7 48,9 43,8 Q’ 1 l/s 0 2,7 5,41 8,01 10,72 13,42 16,12

Llevando estos punto a la figura 25.25. se tiene la cc de la bomba 40-200 bF deItur girando a 2900 rpm, de 202 mm de diámetro de rodete, torneado éste a 196 mm,lo que representa un recorte inferior al 3%.





0 2 4 6 8 10 12 14 160

20

40

60

80

100

120

140

160

Escalas: 1 cm = 2,5 mca y 1

Punto homólogo del punto P: P 5 (57,5 mca; 10,2 l/s)

Punto de funcionamiento: P 4(44,6 mca; 0 l/s)

P4c.c.tb. a 2500 rpm

c.c.tb. a 2500 rpm

c.c.i.P´

P

P5

H (mca)

Q (l/s)

Fig 25.24.- Variación de la cctb al modificar la velocidad de giro. Nuevo punto defuncionamiento





torneado del rodete

0

20

40

60

80

100

120

140

160

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

Q (l/s)

H ( m )

P6P5P7

202mm

196mm

Pº funcionamiento bomba torneada:P6(54,1m; 9,1 l/s

Pº Homólogo de P5: P7(57,5 mca; 10,2 l/s)

Fig 25.25.- Variación de la cctb mediante torneado de rodete. Nuevo punto de funcionamiento





Obviamente el punto de funcionamiento de la bomba mencionada efectuadodicho torneado y trabajando en nuestra instalación corresponderá a la intersección desus correspondientes curvas, es decir, el punto será:

P 6 ( 54,1, mca; 9,1 l/s)

Si se desea conocer el diámetro a que debería tornearse el rodete de la bombaindicada para que proporcione 10 l/s en nuestra instalación se hace lo siguiente:

Se traza la parábola que pasa por el origen de coordenadas (0 mca; o l/s) y por el punto P 5 ( 55 mca; 10 l/s).

2

22550550

10

55QH

Q

H K .,, =→===

- Se obtiene gráficamente el punto de intersección entre la parábola y lacc de la bomba sin tornear, dicho punto es (figura 25.25):

P 7 (57,5 mca; 10,2 l/s)

- Se calcula el diámetro D’ a que habrá de tornearse el rodete por cualquiera de las expresiones:

21

1

1

/'

'

=

H

H DD o bien

1

1

Q

QDD

''=

En nuestro caso se obtiene: 197,56 mm mediante la primera o 198,04 mm conla segunda, valores que no son idénticos por la inexactitud que conlleva todo gráfico.

El rendimiento en este punto es igual al de P 5

8.6.- CAVITACIÓN EN UN SISTEMA DE BOMBEO

Los problemas que normalmente pueden presentarse referentes a este temason:

• Seleccionar la bomba conocida la instalación donde ha de trabajar con lacondición de que no exista peligro de cavitación.

• Calcular la cota del eje de la bomba que no debe sobrepasarse, conocida lainstalación y la bomba seleccionada, para que no se produzca la cavitación.

En nuestro caso concreto y ya que la bomba ha sido seleccionada, vemos quese trata la segunda cuestión, es decir, el cálculo de la cota máxima del eje de labomba.

Para ello se parte de la ecuación:

NPSH requerido + NPSH seguridad = NPSH disponible





Se resuelve el problema para el punto de funcionamiento (inicial); en tal caso el

NPSH requerido para un caudal de 11,2 l/s equivalente a 40,3 m3 /h es 2m,

procediendo a una interpolación entre las dos curvas inferiores del gráfico facilitado por el fabricante (figura 25.20).

Suponiendo que se exija:

NPSH disponible > 1,3. NPSH requerido = 2,6 mca

que equivale a 0,6 mca de NPSH seguridad.

Luego:

62,)( >+−−−

= fBDBD

a

S Bdisponible hZ Z

P P NPSH

γ

mca AP

a

B 339900

9003310

9003310 ,,, =−=−=

γ

donde:

PB/γa es la presión absoluta del punto B y A la altitud en m

PS/γa es la presión de vapor (presión absoluta) = 0,3 mcaZ D cota de la bomba.Z B cota de lámina superior del depósito de aspiración = 900 m.

hfBD pérdida de carga de la aspiración.

hfBD = J 1 L Q1,852 = 3,11. 10 -4 (25+30). 11,31,852 = 1,53 mca.

Sustituyendo arriba se tendrá:

9,33 – 0,30 – (Z D – 900 + 1,53 ) >2,6 de donde:

Z D < 904,90 m





Blibiografía 169

BIBLIOGRAFÍA UTILIZADA

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cerrados y abiertos” Escuela Superior de Ingenieros Industriales. Universidad deNavarra. San Sebastián 1980

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1999.

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publicaciones e intercambio científico Universidad de Valladolid. 1998.

• ROCA VILA. R. “Introducción a la Mecánica de Fluidos “.Ed. Limusa.

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• ÇENGEL Y CIMBALA. “Mecánica de Fluidos, fundamentos y apicaciones”.Ed.Mc Graw-Hill, 2006.

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Apuntes Ing. Fluidom