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Apuntes de la Materia de Caacutelculo III Facultad de Ciencias Fiacutesico Matemaacuteticas de la UA de C Maestro Manuel Antonio Torres Gomar
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Notas de la Materia de Caacutelculo III Facultad de Ciencias Fiacutesico Matemaacuteticas de la Universidad Autoacutenoma de Coahuila Maestro MC Manuel Antonio Torres Gomar Material desarrollado en el semestre agosto diciembre del 2007 Licenciaturas en Matemaacuteticas Aplicadas y Fiacutesica
Uacuteltima Modificacioacuten- Febrero del 2008
Apuntes de la Materia de Caacutelculo III Facultad de Ciencias Fiacutesico Matemaacuteticas de la UA de C Maestro Manuel Antonio Torres Gomar
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Iacutendice del contenido Capiacutetulo I Vectores helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 3 Producto por un escalar helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 7 Ortogonalidad y producto por un escalar helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 9 Estructura Aacutelgebraica del espacio vectorial helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 12 Tarea 1 helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 14
Capiacutetulo II Funciones Vectoriales helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip16 Funcioacuten vectorial helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 17 Derivadas parcialeshelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 20 Tarea 2 helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 22
Capiacutetulo III Trayectorias helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 24 Ecuacioacuten Parameacutetrica y Cartesiana de una curva helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 25 Parametrizacioacuten de una circunferencia elipse e hipeacuterbola helliphelliphelliphelliphelliphellip 27 Derivada de una trayectoria helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 29 Tarea 3 helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 32
Capiacutetulo IV Maacuteximos y miacutenimos helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 33 Ejemplos de cuando el criterio permite clasificar los valores criacuteticoshelliphellip 38 El Hessiano para n variables y el criterio de clasificacioacuten helliphelliphelliphelliphelliphellip 40 Maacuteximos y miacutenimos con restriccines helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 44 Criterios para maacuteximos y miacutenimos con restricciones helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 45 Tarea 4 helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 50 Bibliografiacutea helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 51
Apuntes de la Materia de Caacutelculo III Facultad de Ciencias Fiacutesico Matemaacuteticas de la UA de C Maestro Manuel Antonio Torres Gomar
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Capiacutetulo I Vectores Objetivo- A continuacioacuten se desarrolla los siguientes apuntes de la materia de Caacutelculo 3 que se ofrece en la Facultad de Ciencias Fiacutesico Matemaacuteticas de la UA de C con la finalidad de apoyar en las carreras de Matemaacuteticas Aplicadas y Fiacutesica ofrecidas por esta Facultad A la vez se plantean algunos ejercicios con la finalidad de que el alumno sea capaz de dominar los temas de esta materia
Vector en el plano bidimensional Definicioacuten (Vector) Dados dos puntos A y B en el plano el vector AB que parte de A hacia B se define como el segmento dirigido de A hacia B Observe que tiene magnitud la cuaacutel corresponde a la distancia que separa a los puntos A y B por otra parte posee orientacioacuten en este caso va del punto A hacia el punto B
B
A
Por la forma anterior de definir un vector se puede visualizar que esta forma no es uacutenica es decir distintas parejas de puntos en el plano pueden generar el mismo vector basta con que se cumplan dos condiciones la primera que la distancia entre los puntos sea la misma y que los segmentos de liacuteneas sean paralelos
A continuacioacuten se dan algunos ejemplos de vectores que parten de
distintos puntos pero todos tienen la misma magnitud y sentido
B D A=(11) B=(33)
AB= 2
2
13
13
A C C = (41) D = (33)
F 2
2
13
46CD
E = (1-2) F = (3 0)
E EF = 2
2
)2(0
13
Apuntes de la Materia de Caacutelculo III Facultad de Ciencias Fiacutesico Matemaacuteticas de la UA de C Maestro Manuel Antonio Torres Gomar
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De esta forma se puede establecer que dos vectores son iguales si y soacutelo si tienen la misma magnitud y sentido
Como se puede apreciar el vector generado v =12
12
yy
xx a partir de dos
puntos en el plano (x1 y1) y (x2 y2) tiene un valor uacutenico en sus componentes x2-x1 y2-y1 Esta es otra forma de identificar cuando dos vectores son iguales si componen a componente son iguales y permiten ubicar a todo vector generado en el plano
De este uacuteltimo resultado se opta por tener la idea de un vector v = b
a y
asociarlo como un punto en el plano (a b)
Otra propiedad importante de los vectores es la traslacioacuten en la primer graacutefica se puede apreciar que baacutesicamente el vector resultante es el mismo salvo su ubicacioacuten en el plano
Una vez establecida la nocioacuten de vector como una pareja ordenada de
nuacutemeros reales se puede asociar a cada vector con un punto del plano cartesiano y viceversa
Ahora que se tiene definido el concepto de vector se le daraacute una
estructura algebraica que le permitiraacute dar cuerpo a este ente matemaacutetico Por estructura matemaacutetica se entenderaacute aquellas propiedades que
permiten interactuar a los vectores entre siacute dando como resultado otro vector del mismo conjunto o en su defecto un nuacutemero real
Dentro de las interacciones que permiten relacionarse a los vectores
estaacuten la suma de vectores el producto punto producto vectorial y el producto por un escalar
Magnitud y sentido
La magnitud de un vector v = b
ase mide a partir del origen al punto
(ab) siendo esta igual a | v | = 22 ba mientras que la orientacioacuten esta
definida como el aacutengulo que se forma a partir del eje real positivo hasta la
localizacioacuten del vector en este caso el aacutengulo = tan-1
a
b
(ab)
b
v
a
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Observacioacuten- Todo vector en el plano queda completamente determinado si se conoce su magnitud y sentido o en su defecto si se conocen sus componentes (a b) De hecho se puede establecer la siguiente relacioacuten haciendo uso de las coordenadas polares
a = r Cos
b = r Sen
Definicioacuten- Dos vectores son iguales si y soacutelo si tiene la misma magnitud y sentido o si componente a componente son iguales
Ejercicios Resuelva los siguientes ejercicios sobre vectores que se plantean a
continuacioacuten 1- Ejercicio Determine el lugar geomeacutetrico de todos los vectores que
parten del origen y tienen magnitud 5 2- Ejercicio- Trace todos los vectores que tengan magnitud cinco y
esteacuten contenidos en la liacutenea recta de 45ordm 3- Ejercicio- Determine bajo que condiciones los siguientes vectores
son iguales V1 = (x 7) y V2 = (2 7) 4- Ejercicio- Una condicioacuten de suficiencia para que dos vectores sean
iguales consiste en que tengan la misma magnitud 5- Ejercicio- Determine el valor de x tal que el vector V1 = (x 7) tenga
norma igual a 12 6- Ejercicio- Determine el valor de x tal que el vector V1 = (x 7) tenga
orientacioacuten de 75ordm 7- Ejercicio- Describa todos los puntos que se encuentran en el eje X
8) Una vez establecido el concepto de vector indique la diferencia de un vector
b
acon respecto al punto en el plano (ab)
Suma de Vectores
Definicioacuten- Dados dos vectores en el plano v1 = 1
1
b
a y v2 =
2
2
b
a la
suma de ambos vectores es nuevamente un vector de dos componentes de nuacutemeros reales
v1 + v2 = 21
21
bb
aa es decir se suman componente a componente
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El siguiente diagrama muestra a los vectores involucrados en dicha
suma y el vector resultante
v2 Observe que la forma de encontrar al vector
resultante consiste en usar la propiedad de traslacioacuten de vectores y formar un paralelogramo
v1 v1+v2 v1
v2
Por otra parte si ambos vectores soacutelo poseen una componente la suma
de ambos vectores es la suma de nuacutemeros reales
Es decir soacutelo importa la magnitud de cada una de sus componentes y en
este caso la direccioacuten del vector resultante es la misma a la de los vectores originales
v1 + v2 = 000
2121 aaaa
Al intentar describir ciertos vectores en la vida real lo que se necesita es
que estos tengan magnitud y sentido Algunos de estos ejemplos son una fuerza dada que esta tiene una magnitud definida mientras que la direccioacuten se le puede asignar de varias formas Como el hecho de estirar de una cuerda la fuerza es la misma pero la direccioacuten puede ser en distintos sentidos
Observe que en la suma de dos vectores que tienen una sola componente es parecida a la idea de sumar la fuerza de dos personas a tirar o empujar un carro dando como resultado la misma direccioacuten Observe que estos vectores tienen la misma magnitud pero diferente sentido En la vida real lo podemos visualizar Como el hecho de estirar un objeto con una cuerda la cuerda se puede dirigir en distintas direcciones al igual se puede estirar el cuerpo al mismo tiempo con cinco cuerdas Otros ejemplos de vectores se dan en los conceptos de velocidad aceleracioacuten fuerza etc
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Dos vectores caracteriacutesticos del plano son los vectores canoacutenicos definidos y denotados como
i 0
1 y j =
1
0
Ambos tienen magnitud uno direccioacuten en los ejes coordenados x e y
respectivamente y a la vez son perpendiculares entre siacute (el aacutengulo entre ellos es de 90ordm) j i
Producto por un escalar Dado un vector v en el plano y un nuacutemero escalar k en los nuacutemeros reales se define el producto por un escalar como el vector
kv = k b
a =
kb
ka
Es decir el escalar k multiplica a cada una de las componentes
Ejercicio- Se deja como ejercicio probar que este vector llamado muacuteltiplo escalar del vector v tiene k veces la magnitud del vector original y si el valor de k es positivo mantiene la misma orientacioacuten en caso de tener signo negativo la direccioacuten se invierte V Muacuteltiplos escalares de V Ejercicio- Otra caracteriacutestica es que si k es mayor a 1 el vector resultante es una expansioacuten con respecto al vector original mientras que si 0 lt k lt 1 es una contraccioacuten
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Diferencia entre dos vectores Una idea geomeacutetrica de definir la diferencia de dos vectores en la
siguiente si y son dos vectores en el plano se pueden representar de la siguiente forma En donde se dibuja un segmento que une a los vectores y dicho segmento se le asigna la orientacioacuten mostrada en el dibujo y se le denomina como el vector
Note ahora que el vector + = seguacuten la suma de vectores definida anteriormente de ahiacute se despeja a (suponiendo que las leyes de la aritmeacutetica se cumplan en los vectores) obteniendo que = -
Quedando expresada dicha diferencia como
= - = 12
12
yy
xx
Interpretacioacuten de un vector en el plano haciendo uso de los vectores canoacutenicos i y j
Dado el vector V = xy
y
x
x
y
x
yo
ox
y
x
1
0
0
10
0i y j
Esta representacioacuten permite visualizar otra forma de escribir a un vector
en el plano dando el movimiento en las direcciones de los ejes coordenados (Eje X la marca el vector i en el eje Y la marca el vector j)
De esta forma la suma de vectores se ve de la siguiente forma
V1+V2 = adb
ca
d
c
b
a( i+b j)+( c i d j) = ( ba )i +( dc )j
Producto Escalar (producto punto) Antes de entrar el tema note que los vectores i e j tienen norma uno y
que ambos son perpendiculares entre siacute Definicioacuten- (Producto Escalar o producto punto) Dados dos vectores
en el plano se define el producto escalar de la siguiente forma
V1 V2 = dbcad
c
b
a
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Dando como resultado un nuacutemero real (Un escalar)
Ahora al realizar el producto punto entre los vectores i y j el resultado es
cero
Ejemplos- Determine el producto escalar entre los siguientes vectores y graacutefiquelos
V1 = 2
1 V2 =
1
2 y V3 =
3
2
V1 V2 = (1)(-2) + (2) (1) = 0 V1 V3
V1 V3 = (1)(2) + (2)(3) = 8 V3 V2 V3 = (-2)(2) + (1)(3) = -1
Como se puede observar el resultado siempre es un escalar por otra parte se tiene que el producto escalar entre los vectores V1 y V2 es cero de la graacutefica se puede observar que ambos vectores son ortogonales entre siacute este es una propiedad que se cumple siempre es decir dos vectores son ortogonales si y soacutelo si su producto escalar es igual a cero Se justificaraacute este resultado a continuacioacuten
Ortogonalidad y producto escalar Al definir dos vectores y no colineales entonces se forma un aacutengulo
entre ellos diferente de cero como se muestra en la figura
-
Se puede definir un triaacutengulo con las medidas de la longitud de los lados
de los vectores y como se ve en la figura anterior y haciendo uso de las leyes de los cosenos se tiene que
|| - || 2 = |||| 2 + ||||2 ndash 2 |||| |||| Cos helliphelliphelliphellip (1)
Llame = 1
1
y
x y =
2
2
y
x se tiene que
|| - || 2 = (x1-x2)
2 + (y1-y2)2
|| ||2 = (x1
2+y12) || ||2= (x2
2+y22) = x1y1+ x2y2
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Si el aacutengulo entre los vectores y es de 90ordm se tiene que || - || 2 = || || 2 + || ||2 Luego sustituyendo los valores correspondientes (x1-x2)
2 + (y1-y2)2 = (x1
2+y12) + (x2
2+y22)
De aquiacute se concluye que x1y1+ x2y2 = 0
es decir los vectores y son ortogonales entre siacute la demostracioacuten del reciproco se realiza de manera similar es decir si el producto punto es cero se tiene que 2 |||| |||| Cos = 0 y como se asume que ninguno de ellos es el vector cero la uacutenica forma en que esto sigue siendo cierto es que Cos sea igual a cero conclusioacuten que nos lleva al resultado esperado
Ejercicio- Determine un vector ortogonal al vector
(a) V = 7
1 (b) V =
a
1 y (c) V =
a
a 1 a es un nuacutemero real
Representacioacuten de regiones en el plano haciendo uso de vectores
Un punto (ab) en el plano puede ser representado por el vector V = b
a
ahora al tener muacuteltiplos de dicho vector de la forma tV = t b
a=
tb
ta con t un
nuacutemero real se genera una infinidad de vectores y cada uno de ellos tiene asociado uno y soacutelo un punto en el plano (sin considerar la propiedad de traslacioacuten de los vectores) Se afirma que todos estos puntos pertenecen o estaacuten en la misma liacutenea
Sea X = y
x los puntos que pueden ser representados por medio del
vector tV entonces se tiene que X = tV esto es
y
x =
tb
ta
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De aquiacute se deduce que b
y
a
xt que permite establecer la relacioacuten
xa
by que corresponde a una liacutenea recta que pasa por el origen y contiene
al punto (ab) Otra caracteriacutestica importante es que la liacutenea recta posee la misma orientacioacuten que el vector que la genera
Si se tiene dos vectores V = 1
1
y
x y W =
2
2
y
x estos representan a dos
puntos en el plano si estos son colineales de acuerdo al desarrollo anterior a lo maacutes nos pueden representar una liacutenea recta Pero si ambos vectores no son colineales se pueden generar otro tipo de regiones en el plano
Dados estos dos vectores se pueden generar tres liacuteneas las cuaacuteles contienen a los puntos (x1y1) (x2y2) y el origen generando ademaacutes un triaacutengulo que se puede representar haciendo uno de las componentes de los vectores dados
(x2y2) B (x1y1) A C Para poder representar una regioacuten como la del triaacutengulo primero se representaraacute el segmento AB la forma de realizarlo es ver que este segmento esta asociado al vector W Ahora recordando que los vectores que pueden representar los puntos sobre la liacutenea que contienen al vector W son sus muacuteltiplos escalares entonces se requiere soacutelo una parte de ellos de tal forma que este segmento quedaraacute representado por los vectores (t) = t W con 0 t 1 Note que (t) es una funcioacuten del paraacutemetro t y como resultado nos da un vector en dos dimensiones Es decir se tiene una funcioacuten del segmento [01] al plano que satisface que (0) = (00) y (1) = (x2y2) Para poder representar una regioacuten con aacuterea distinta de cero se requieren dos vectores no colineales V y W de forma tal que al tomar combinaciones lineales de ambos permite definir otro vector en el plano pero ya no necesariamente en la misma direccioacuten de los originales como en el caso de una suma observe que el punto D ya no esta contenido ni en la direccioacuten del vector V ni en la del vector W
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B= (x2 y2) D = (x1+x2 y1+y2) W V+W
A V C = (x1 y1) El cuadrado ABDC queda completamente representado al definir las combinaciones lineales de V y W de la siguiente forma Todos los vectores en el plano que se pueden definir a partir de lo siguiente
(ts) = t V + s W
en donde t y s son nuacutemeros reales y ademaacutes tiene la siguiente restriccioacuten 0 t 1 y 0 s 1 Ejercicio- Represente todos los puntos en el plano cuya distancia al vector
V = 2
1 es de dos unidades
Ejercicio- Represente todos los puntos en el plano que representan a un rectaacutengulo y dos de sus aristas estaacuten ubicadas en los vectores
V = 2
1 y W =
5
0
Ejercicio- Muestre que con dos vectores no colineales es posible definir el plano bidimensional (de igual forma pruebe que el espacio tridimensional se puede definir a partir de tres vectores no coplanares)
Estructura Algeacutebrica del espacio vectorial Los vectores permiten tienen estructura algebraica que se puede definir a partir de sus operaciones definidas anteriormente Proposicioacuten- Dados tres vectores y en el plano y un escalar k estos poseen las siguientes propiedades
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(i) Ley Asociativa La suma de vectores es asociativa
(ii) Ley Conmutativa La suma de vectores es conmutativa
(iii) Neutro Aditivo Existe un vector 0
denominado neutro aditivo que satisface la siguiente propiedad
00
Es decir al sumar con cualquier vector en el plano el resultado es el mismo vector
(iv) Para todo vector en el plano existe un vector denominado el inverso aditivo - tal que la suma de ambos es igual a cero
+ - = - + = 0
Este vector cero ambas componentes son iguale a cero y si las componentes de son (ab) las de - son (-a -b) Con a y b nuacutemeros reales La demostracioacuten de estas propiedades se basan en el principio del campo de los nuacutemeros reales Como ejemplo se demostraraacute la propiedad (ii)
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Tarea 1 Caacutelculo 3 Caacutelculo Vectorial Objetivo- Que el alumno sea capaz de resolver problemas relacionados con vectores comprenda la ecuacioacuten de una liacutenea en el espacio la ecuacioacuten de un plano aacuterea de paralelogramos las propiedades algebraicas asociadas con vectores en dos y tres dimensiones en cuanto al producto punto producto por un escalar y producto cruz Finalmente que sea capaz de determinar el volumen de un paralelepiacutepedo 1- Determine la ecuacioacuten de los puntos en el espacio que (1a) pertenecen al eje X (1b) pasan por la recta y=3x (1c) pasan por el punto (1-11) y en direccioacuten del vector i+j (1d) representan a la recta de interseccioacuten de los planos 3x ndash 2y + z = 7 y 2x + 4y ndashz = 4 (1e) representan al plano ortogonal a la liacutenea x=2y = 3z 2- Que regioacuten del espacio representan los puntos (2a) con componentes (x1z) (2b) contenidos por el paralelogramo definido por los vectores i+j y 3i ndashj (haga un bosquejo) 3- Determine un vector que sea muacuteltiplo escalar del vector α = 3i + j pero de norma uno (El vector resultante recibe el nombre de vector normalizado del vector α) 4- Determine un vector perpendicular al vector β = 2i + 3i - 5k 5- Pruebe que la ley conmutativa es vaacutelida en el producto escalar es decir αβ = βα 6- Pruebe que la siguiente propiedad es vaacutelida en el producto escalar entre un muacuteltiplo escalar de α y el vector β (k α)(β) = k (αβ) = α(kβ) 7- Deduzca la ecuacioacuten que establece la distancia de un punto P=(x1 y1 z1) en el espacio y el plano A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0 (Puedes encontrar la demostracioacuten en alguacuten libro de caacutelculo vectorial o intentar demostrarla usando el concepto de proyeccioacuten ortogonal)
8- Determine la distancia entre los planos x + y + z = 0 y x + y + z = 1 (Trate de determinar dicha distancia entre los planos paralelos sin hacer uso de la foacutermula y luego use dicha foacutermula para establecer el resultado finalmente trate de dar una interpretacioacuten de dicha solucioacuten) 9- Determine el volumen del paralelepiacutepedo generado por los vectores V1=(322) V2=(202) y V3=(041) 10- Determine el volumen del paralelepiacutepedo con cuatro de sus veacutertices en los puntos (123) (024) (305) y (222) realice un bosquejo de dicho paralelepiacutepedo
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11- Pruebe que dados cuatro veacutertices de un paralelepiacutepedo en el espacio se pueden generar cuatro paralelepiacutepedos distintos pero de igual volumen 12- Pruebe que α (β times γ) = γ (α times β) 13- Pruebe que α times (β + γ) = α times β + α times γ 14- Determine el aacuterea del paralelogramo generado por los vectores i+j-k 2i-j 15- Determine el aacuterea del paralelogramo generado por los vectores 2i+j 3i ndash j 16- Determine el aacutengulo que existe entre los vectores i+j-k y 2j ndash k 17- Determine si el vector i+j es una combinacioacuten lineal del vector 2i ndashj 18- Determine si el vector i+j es una combinacioacuten lineal del vector 2i + 2j 19- Determine el aacutengulo entre los planos 2x ndash y + z = 0 y 3x ndashy + 2z = 0 20- Determine la distancia entre los planos x + y + z = 0 y x + y + z = 1
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Capitulo 2 Funciones Vectoriales
En este capitulo se veraacuten temas relacionados con funciones de varias variables que van a los nuacutemeros reales (a las cuales se les llaman funciones reales) o que van a maacutes dimensiones
Cuando uno habla de este tema es importante recalcar que en la vida cotidiana se presentan diversas aplicaciones con el hecho de manejar varias variables que van desde la preparacioacuten de un cafeacute hasta el hecho de planear la agenda diaria de coacutemo distribuir el tiempo
Citemos el siguiente ejemplo En un estudio de calidad de vida de los sentildeores casados y con hijos se realizaraacute una evolucioacuten final de la satisfaccioacuten de su vida cotidiana en base a una encuesta en donde se mediraacuten diversos factores de vida familiar para esto se tiene la disyuntiva de poder distribuir los tiempos de Trabajo diversioacuten ejercicio jugar con los nintildeos convivir con su pareja visitar a familiares convivir con amigos Entonces no cabe duda que los resultados de la encuesta estaraacuten vinculados con los tiempos destinados a cada actividad asiacute por ejemplo
Persona Trabajo Diversioacuten Ejercicio Nintildeos Pareja Familiares Amigos
A 30 20 5 5 10 8 2
B 50 5 2 2 10 10 18
Otro ejemplo se presenta el preparar un cafeacute dado que aunque este sea
para la misma persona si usa distintos cantidades de cafeacute azuacutecar leche o temperatura final del mismo el resultado del sabor del mismo cambiaraacute notablemente Cabe sentildealar que cada individuo mide el grado de satisfacioacuten de forma diferente y a la vez esta se realiza en forma cualitativa dado que no se puede medir el grado de satisfacioacuten debido a que cada individuo tiene distintos gustos un cafeacute con poca azuacutecar para una persona puede ser para otra que este bien o que este muy azucarado
Por otra parte no es lo mismo tomar un cafeacute en un diacutea caluroso a una o
en un diacutea con friacuteo Siendo esta otra variable de estudio Como se puede apreciar el resultado final depende rotundamente de la cantidad que se mezcle de cada uno de los ingredientes con los que se cuentan Es decir es un problema de varias variables
Pongamos el siguiente ejemplo financiero una persona desea invertir en el banco en dos cuentas individuales siendo que en la primera da un rendimiento de 2 mensual y en la segunda del 3 si se desea saber cual es la ganancia mensual esto se puede escribir para el primer mes de la siguiente forma
G(xy) = 002x + 003y siendo x la cantidad de dinero aportada en la primer cuenta y la cantidad de dinero aportada en la segunda cuenta Esta seriacutea la ganancia del primer mes Asiacute si invierte mil pesos en la primer cuenta y dos mil en la segunda la ganancia del primer mes seraacute de ochenta pesos
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G(10002000) =002(1000)+003(2000) = 20 + 60 = 100
Cabe sentildealar que las aplicaciones en economiacutea en donde aparecen maacutes
de una variable abundan y que anaacutelisis maacutes completos de estados de cuenta con intereses o deudas en tiendas de conveniencia se pueden representar mediante funciones de varias variables debiendo desarrollar cada una de ellas en su debido tiempo
Por otra parte las aplicaciones en procesos de produccioacuten industrial son diversos y permiten evaluar el producto final que llegaraacute al cliente en cuanto a la calidad del mismo
Si un estudiante dedica cierta cantidad de horas de estudio y por otra parte se mide la atencioacuten prestada en sus horas de estudio Se pueden proponer lo siguiente No se esperariacutean los mismos resultados si dedica tres horas de estudio con poca atencioacuten a que si dedica la misma cantidad de horas de estudio con mucha atencioacuten Cabe sentildealar que la atencioacuten prestada depende del intereacutes de estudiante en la materia el gusto por la misma o la importancia que preste en conocer temas nuevos
Funcioacuten Vectorial
Se comenzaraacute el estudio de funciones vectorial de varias variables especificando algunos detalles sobre las mismas en principio una funcioacuten vectorial tiene como dominio un subconjunto de Rn y un conjunto de llegada esta en Rm
Asiacute si el dominio A tiene tres variables se dice que el dominio esta definido en R3 las tres variables se pueden denotar por x y z Ahora si antildeadimos que la funcioacuten en cuestioacuten refleja algunos rasgos de las variables anteriores por ejemplo si se considera importante la suma de las primeras dos el producto de la segunda y tercera Entonces se dice que la funcioacuten tiene como conjunto de llegada a dos variables en la primera se refleja una suma mientras que en la segunda se observa una multiplicacioacuten
Entonces la forma de escribir en la primera de ellas es x + y mientras que la segunda es yz asiacute la funcioacuten queda expresada como
F(x y z) = (x+y yz)
Una funcioacuten que se puede observar diariamente es la de la temperatura en una habitacioacuten considerando cada punto en el espacio de la habitacioacuten entonces el dominio esta en tres dimensiones y la imagen de la funcioacuten refleja la temperatura en cada punto de la misma observe que esta puede cambiar si se encuentra cercas de una ventana o de la estufa
Aquiacute T(x y z) Muestra la temperatura en cada punto de una habitacioacuten faltariacutea encontrar la ecuacioacuten matemaacutetica que modele dicho comportamiento
Apuntes de la Materia de Caacutelculo III Facultad de Ciencias Fiacutesico Matemaacuteticas de la UA de C Maestro Manuel Antonio Torres Gomar
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Como se puede observar el poder estudiar un fenoacutemeno real por medio de un modelo matemaacutetico es fundamental para poder realizar predicciones del mismo por medio de las propiedades de la funcioacuten asociada al mismo como el hecho de que la funcioacuten sea creciente que tenga un valor maacuteximo Se mostraran algunos ejemplos maacutes adelante con la finalidad de motivar el estudio de los fenoacutemenos reales por medio de las matemaacuteticas Definicioacuten- (Funcioacuten) Una funcioacuten es una regla de asignacioacuten entre dos conjuntos A y B que asigna a cada elemento del conjunto A uno y soacutelo uno del conjunto B El conjunto de partida A se le denomina el dominio de la funcioacuten mientras que el conjunto de llegada es B se le conoce como el codominio de la funcioacuten En el caso de varias variables se tiene que A es un subconjunto de Rn mientras que el conjunto B es un subconjunto de Rm Aquiacute es importante que a ninguacuten elemento del dominio se le asigne al mismo tiempo dos elementos del codominio y a la vez que a ninguno del dominio quede sin ser asignado Un ejemplo de esto se presenta en la siguiente funcioacuten que va del conjunto dominio A = 1 2 3 al conjunto B = 2 4 6 8 al definir la funcioacuten f que asigna a cada elemento del dominio con su doble se tiene que f(1) = 2 f(2) = 4 y f(3) = 6 Ahora una funcioacuten de dos variables se puede definir a partir de los conjuntos C = (12) (23) (34) (36) y D =3 4 5 6 7 8 9 en donde la funcioacuten g C D representa la suma de los diacutegitos de cada pareja ordenada
En este caso g(12) = 3 g(23) = 5 y asiacute sucesivamente Cabe sentildealar que la pareja ordenada (12) es distinta a la pareja (21) en donde esta uacuteltima no pertenece dominio de la funcioacuten
6 5 Suma g(12) = 3 4 3 2 (12)
1 (21) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 0 1 2 3 4 5 6 Las parejas (12) y (21) ocupan distintas posiciones en el plano La segunda de ellas no pertenece al dominio de la funcioacuten de manera tal aunque se pudiera evaluarla pareja ordenada no se contempla por el hecho de que la funcioacuten no esta definida en dicho valor
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Un ejemplo de esta funcioacuten ocurre si consideramos el total que se tiene que pagar en una tienda despueacutes de comprar dos artiacuteculos distintos Otro de ellos se presenta al tomar una evaluacioacuten de calidad de cierto artiacuteculo en donde se van sumando los puntos y no necesariamente serian dos variables
Otra caracteriacutestica que se presenta en esta tipo de funciones es que los valores esteacuten bien definidos al momento de evaluar como el hecho de que no se puede dividir entres cero y no se pueden sacar raiacuteces de nuacutemeros negativos Este hecho es importante para detallar el dominio de algunas funciones
asiacute el dominio de la funcioacuten xxk 4)( esta restringido al hecho de que la
variable x sea menor a cuatro dado que el argumento 4-x debe de ser no negativo es decir 4-x 0 y de aquiacute se tiene que 4 x
Cuando se involucran dos variables un ejemplo es encontrar el dominio
de la funcioacuten yxyxh 44)( y por analogiacutea con el problema anterior
se sabe que 4 x y a la vez que 4 y quedando el dominio descrito de la siguiente manera D = (xy) 4 x 4 y
6 D Dominio de la funcioacuten 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7
Ejemplo- Determine el dominio de la funcioacuten 2 2( ) 9 h x y x y Aquiacute se tiene
que el argumento de dicha funcioacuten debe de ser positivo en donde el dominio
de la funcioacuten es 2 29 0x y que es equivalente a 2 29 x y que representa
a un ciacuterculo de radio 3 y centrado en el origen
Si la funcioacuten es 2 2
1( )
9h x y
x y el dominio es casi el mismo
eliminando en donde el argumento se hace cero debido a que no estaacute definida la divisioacuten entre cero siendo el dominio el mismo circulo del ejemplo anterior pero sin la orilla
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Como se puede apreciar el dominio de estas funciones estaacute definido por regiones en el plano cartesiano cuando el dominio de la funcioacuten estaacute contenido en R2
Derivadas Parciales La derivada parcial de una funcioacuten de varias variables consiste en derivar la funcioacuten con respecto a la variable en cuestioacuten y dejar a las otras variables fijas como si fuesen constantes Por ejemplo al derivar la funcioacuten f(x y z) = x2 + 3xy3 - 3xz las derivadas de f con respecto a x y y z se describen a continuacioacuten y se denotan cada una de ellas por medio de los simbolos fx fy y fz fx(x y z) = 2x + 3y3 - 3z fy(x y z) = 9xy2 fz(x y z) = - 3x Definicioacuten- (Gradiente de una funcioacuten) El gradiente de una funcioacuten real se define como el vector que contiene en sus componentes a sus primeras derivadas parciales Asiacute para el ejemplo anterior el gradiente de f es y se denota por
3
2
2 3 3
9
3
x
y
z
f x y z
f f xy
f x
Ejemplo- Determine el gradiente de las siguientes funiones g(xy)=(x2 y4) y h(xyzw) = 2x+y2-3z+8w
3
2( )
4
x
y
h xh x y
h y
2
2( )
3
8
x
y
z
w
g
g yg x y z w
g
g
El vector gradiente tiene varias propiedades que son muy uacutetiles una de ellas nos indica la direccioacuten de maacuteximo crecimiento y otra de ellas es que es un
vector tangente a las curvas de nivel de una funcioacuten
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Definicioacuten- (Derivada Direccional) La derivada direccional de una
funcioacuten en un punto (x0 y0) y en direccioacuten de un vector v=(AB) se define como el producto del gradiente de la funcioacuten evaluado en el punto (x0 y0) por el vector V dividido entre la norma de mismo vector
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Tarea nuacutemero 2 materia de Caacutelculo 3 Objetivo- Que el alumno sea capaz de interpretar la nocioacuten de liacutemite en varias variables identifique la graacutefica de funciones y haga uso de la derivadas parciales 1- Determine el dominio de las siguientes funciones
(1a) f(x y z) = 2221 zyx
(1b) g(x y) = xy
2
(1c) f(x y) = xy
(1d) g(x y) = y4
(1e) f(x y) = y
x
4
4
(1f) h(x y) = 24
1
xy
2- Realice un bosquejo de las siguientes graacuteficas
22 zyx 22 2zxy 22 yxz 222 yxz
3- Determine los siguientes liacutemites
(31) xyxyxyxf y 210)( 3 cuando (xy) tiende a (12)
(32) yx
zyzxzyxf
33
)( cuando (xy) tiende a (112)
(33) )00()(
)00()(
0
3
3
)(
44
32
yx
yx
Siacute
Siyx
yx
yxk cuando (xy) tienden a (00)
En caso de existir indique haciendo uso de la nocioacuten
(34) )()(2
zxyxxxy
xxyyxzyxF z cuando (xyz) tiende a (012)
4- Indique de las funciones del ejercicio anterior son continuas y en que dominio 5- Determine si las funciones del ejercicio tres son de clase C1 6- Determine la ecuacioacuten del plano tangente a la graacutefica de la funcioacuten g(xy) = x4-10y3 en el punto (1-1) y en el punto (12) grafique en la computadora y agregue en el documento de la tarea 7- Determine los conjunto de nivel de valor -2 -1 0 1 2 de las funciones (7a) f(x y) = 3x2 + 3y2
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(7b) g(x y) = 22 44 yx
(7c) h(x y) = 1 ndash y + x2 (7d) k(x y z) = x2 + y2 + z2 Indique las graacuteficas en computadora y agregue en el reporte
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Capiacutetulo 3
Trayectorias
En este capiacutetulo se realiza el estudio de las propiedades de las funciones vectoriales es decir se hace incapie en el concepto de funcioacuten y la de un vector
Este concepto permite describir entre otras cosas el camino seguido por una partiacutecula en el espacio con el ingrediente adicional de tener a la mano los conceptos de velocidad y aceleracioacuten derivados a partir de una sola ecuacioacuten aquella que guarda la relacioacuten de posicioacuten de la partiacutecula con respecto al tiempo
Por ejemplo al mover una onda esta describe un movimiento circular si
la onda se suelta un objeto puesto en ella sale disparado en forma tangencial Este movimiento se puede representar con vectores y debe de expresar que la velocidad sea tangente a la trayectoria que sigue dado que la piedra abandona la onda en liacutenea recta
Si esto se extrapola al vuelo de una mosca se puede inferir que la velocidad de la misma sea tangencial a la trayectoria que va recorriendo en cada punto esto se muestra en la siguiente graacutefica
Observe que el hecho de contar con la orientacioacuten del vector velocidad permite no soacutelo inferir la velocidad de escape de la partiacutecula sobre la curva sino a la vez conocer la orientacioacuten del movimiento de la misma
Definicioacuten- (Trayectoria) Una trayectoria es una funcioacuten que parte de los nuacutemeros reales al espacio n Euclidiano Es decir es una funcioacuten de la forma
))()()(()( 21 txtxtxt n
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Caso particular de una trayectoria de los reales a plano En el caso de una trayectoria de los reales al plano se puede ilustrar con el siguiente diagrama
σ(a) σ(b) a b
2][ Rba ))()(()( tytxt
Una forma de ilustrar esto es pensar que la variable t es el tiempo y la imagen corresponde a la trayectoria de un objeto en el plano asiacute que el tiempo t=a la partiacutecula se encuentra en el punto σ(a) que es el inicio del recorrido de la misma mientras que tiempo final t=b se localiza al final de la trayectoria de estudio
Se puede observar una flecha indicativa del sentido de la partiacutecula a lo largo de la trayectoria
Ecuacioacuten Parametrica y Cartesiana de una curva
Ejemplo- Dada la trayectoria )()( 2ttt con 22t realice una
graacutefica de dicha trayectoria
t ))()(()( tytxt
-2 )42()(t
-1 )11()(t
0 )00()(t
1 )11()(t
2 )42()(t
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Como se puede apreciar la imagen de la trayectoria que recibe el
nombre de curva es una paraacutebola esto se puede ver si se realiza lo siguiente
Como x = t y = t2 entonces se puede deducir que y=x2 la ecuacioacuten correspondiente a la graacutefica de una paraacutebola esta ecuacioacuten corresponde a sus coordenadas cartesianas por otra parte si se rescribe en forma de trayectoria se dice que la ecuacioacuten es su ecuacioacuten cartesiana dado que depende de un solo paraacutemetro
Parametrizacioacuten de una funcioacuten real Si y es una variable dependiente de la variable x es decir existe
una regla de asignacioacuten f tal que y = f(x) con bxa En donde a
cada elemento x le asigna uno y soacutelo un valor y La graacutefica de esta funcioacuten se debe de ver como un trazo en el plano de la siguiente forma
La graacutefica no puede ser de la siguiente forma
y2
y3
y1 y4
X1 X2
Note que al valor de x2 le asigna tres valores de y lo cual no
cumple con las condiciones para que f sea una funcioacuten Ahora la graacutefica de una funcioacuten de esta tipo no es otra cosa que
la imagen de una trayectoria la cual se puede parametrizar de la siguiente forma
Como y = f(x) entonces defina x = t y por consiguiente y=f(t) en
donde bta
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-4 -2 2 4
-30
-20
-10
10
20
30
-2 -1 1 2
-2
-1
1
2
Asiacute en el caso de la paraacutebola la parametrizacioacuten adecuada es x
=t y = t2 tal como estaba planteada originalmente Ahora si la funcioacuten es y = 2x3-10x con 44 x entonces la
parametrizacioacuten adecuada es
)102()( 3 tttt 44 t
La graacutefica de esta curva asociada a la trayectoria es
Parametrizacioacuten de una circunferencia Elipse e Hipeacuterbola
La ecuacioacuten cartesiana de una circunferencia con centro en el origen y
radio dos estaacute dada por 422 yx Al intentar escribir esta ecuacioacuten en
funcioacuten de un solo paraacutemetro se requiere despejar a la variable y obteniendo
dos funciones que son 24 xy Con 22 x
La graacutefica de esta curva permite visualizar que no pertenece a una
funcioacuten sino maacutes bien a dos que son las enunciadas anteriormente y como se ve a continuacioacuten
24 xy
24 xy
Una forma de representar esta curva es por medio de dos trayectorias
)4()( 2
1 ttt y )4()( 2
2 ttt 22t
Una forma alternativa de representar esta curva es por medio del uso de coordenadas polares en donde x=rCos(t) y= rSen(t) como el radio es fijo y es igual a dos estas ecuaciones se pueden escribir en funcioacuten de un solo paraacutemetro ldquotrdquo x=2Cos(t) y=2Sen(t) note que al evaluar x2+y2=4Cos2(t)+4Sen2(t) = 4(Cos2(t)+Sen2(t))=4 con lo cual satisface la
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ecuacioacuten de la circunferencia quedando expresada la trayectoria de la siguiente forma
σ(y) = (2Cos(t) 2Sen(t) con 0letle2π En esta ecuacioacuten define por completo a la curva auacuten y cuando la
ecuacioacuten original no es una funcioacuten siendo esto una ventaja del estudio de la trayectorias
Ejemplo- La parametrizacioacuten de la elipse 12
2
2
2
b
y
a
x queda
expresada por x = aCos(t) y=bSen(t) se deja como ejercicio comprobar este resultado
Ejemplo- La parametrizacioacuten de la hiperbola 12
2
2
2
b
y
a
x queda
expresada por x = aCosh(t) y=bSenh(t) en donde se trabaja con las funciones de Seno y Coseno hiperboacutelicas se deja como ejercicio comprobar este resultado (aunque soacutelo permite representar el lado correspondiente a los cuadrantes I y IV en donde la x es no negativa
Derivada de una trayectoria La derivada de una trayectoria es un vector tangente a la curva esto se
deriva del siguiente anaacutelisis
Dada la trayectoria σ(t) se grafican la posicioacuten de la curva al tiempo t y t+h luego trace el vector asociado a la liacutenea secante que une los puntos de aquiacute al tomar valores cada vez maacutes pequentildeos de h el vector secante se convierte en un vector tangente a la curva como se muestra a continuacioacuten
Por otra parte el anaacutelisis vectorial de este cociente es
)()()(
0
tt
tht
h
Liacutem
Es decir la derivada de la trayectoria y el vector resultante es
tangente a la curva
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Asiacute para el caso de una curva en el plano la trayectoria se puede describir por medio de dos funciones x(t) y(t) de la siguiente forma
)(
)()(
ty
txt
En donde la derivada de esta funcioacuten es
)(
)()(
ty
txt
Vector tangente a la graacutefica de una circunferencia de radio R Ahora si se tiene la parametrizacioacuten de una circunferencia esta esta
dada por σ(t) = ( RCos(t) R Sen(t))
Y X
Un vector tangente tiene que cumplir que su producto punto tiene que
ser cero de aquiacute si V=(AB) al multiplicarlo por el vector σ su producto punto tiene que ser cero
De aquiacute que σ(t)V = ARCos(t) + BRSen(t) = 0 Existiendo muchas soluciones a este sistema de ecuaciones siendo una
de ellas cuando A = Cos(t) B=-Sen(t)
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Vector trasladado
Siendo este un vector tangente a la curva ahora al derivar las
componentes xrsquo(t) = -RSen(t) y(t) = RCos(t) que es un muacuteltiplo escalara del vector tangente mostrado anteriormente
Definicioacuten- (Rotacional) El rotacional de un campo vectorial
F=Pi+Qj+Rk de clase C1 de define como el vector
i j k
RotFx y z
P Q R
Ejemplos- Determine el rotacional de los siguientes campos vectoriales
F1=xi+yj+zk F2=x2yi-xy
2j-3zyk
Solucioacuten-
1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0
i j k
RotF z y i z x j y x kx y z y z x z x y
x y z
2 2 2 2
2
2 2
( 3 ) ( ) ( 3 ) ( ) ( ) ( )
3
i j k
RotF zy xy i zy x y j xy x y kx y z y z x z x y
x y xy zy
2 2
2
2 2
3 0
3
i j k
RotF z i j y x kx y z
x y xy zy
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Definicioacuten- (Divergencia) Si F es un campo vectorial de clase C1 la divergencia de F se define como un campo escalar de la siguiente forma
( )P Q R
divF div Pi Qj Rkx y z
Ejemplos- Determine la divergencia de los siguientes campos vectoriales F1=xi+yj+zk F2=x
2yi-xy
2j-3zyk
Solucioacuten-
1 ( ) ( ) ( ) ( ) 3divF div xi yj zk x y zx y z
2 2 2 2
2 ( 3 ) ( ) ( ) ( 3 ) 2 2 3 3divF div x yi xy j zyk x y xy zy xy xy y yx y z
Definicioacuten- (Laplaciano) Si f es un campo escalar de clase C2 el Laplaciano de f se define como un campo escalar de la siguiente forma
2 2 2
2
2 2 2xx yy zz
f f ff f f f f
x y z
Ejemplos- Determine la divergencia de los siguientes campos escalares g1(x
y z) = xy2z
3 g2(x y z) = x
2 + y
2 + z
2
2 2 2
2 2 3 2 3 2 3 2 3 3 2 2
2 2 2( ) ( ) ( ) 2 3 f f xy z xy z xy z y z yz xy z
x y z
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2( ) ( ) ( ) 6f f x y z x y z x y z
x y z
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Tarea nuacutemero 3 Trayectorias
Objetivo- Que el alumno sea capaz de comprender los conceptos de movimiento de una partiacutecula a lo largo de una trayectoria y de la importancia del uso de vectores en este tema 1- Si la trayectoria σ(t) = t2i+t2j define la trayectoria seguida por una partiacutecula con respecto al tiempo determine 1a- iquestEl tipo de trayectoria que describe 1b- Realice una graacutefica de la distancia recorrida por la partiacutecula con respecto al tiempo en los primeros tres segundos 1c- Determine el tipo de movimiento de la partiacutecula 1d- iquestSe puede afirmar que es un movimiento uniformemente acelerado 1e- Determine la aceleracioacuten y velocidad a los cuatro segundos 1f- Realice una graacutefica de su rapidez con respecto al tiempo 1g- Realice una graacutefica de sus aceleracioacuten con respecto al tiempo 1h- En la graacutefica de la trayectoria agregue graacuteficamente los vectores aceleracioacuten y velocidad 2- Realice lo mismo que en ejercicio anterior pero ahora con la funcioacuten γ(t) = Cos(t) i+5Sen(t)j 3- Dadas las funciones f(t) = 3t2i-4t3j+e2tk y g(t) = 4t3i+4t2j+e-2tk 3a- Determine la funcioacuten producto punto h = fg 3b- Determine la derivada de h 3c- Usando la regla de diferenciacioacuten determine la derivada de h y compruebe el inciso anterior 4a- Determine la funcioacuten producto cruz k = ftimesg 4b- Determine la derivada de h 4c- Usando la regla de diferenciacioacuten determine la derivada de h y compruebe el inciso anterior 5- Determine el Rotacional y la Divergencia del siguiente campo vectorial G(x y z) = 2xy i + 3xz j - 5xy k 6- Determine el gradiente y el Laplaciano del siguiente campo escalar f(xyz) = 4x2-3yz2 7- Dado el campo vectorial F(x y z) = 2xy i + x2 j +3z2 k 7a- Determine si F puede representar el gradiente de un campo escalar f 7b- En caso de ser afirmativa la respuesta del inciso anterior determine el campo escalar f 8- Pruebe que la divergencia del rotacional de un campo vectorial F=Pi+Qj+Rk es igual a cero Es decir la div rot F =0 9- Usando las reglas de diferinciacioacuten pruebe que
gfgfgf
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100 -x
Capitulo 4 Maacuteximos y miacutenimos
Es indispensable determinar en distintos problemas las soluciones oacuteptimas que permitan establecer por ejemplo los valores maacuteximos de produccioacuten o ahorrar el material en la construccioacuten de cierto equipo
Como se recordaraacute el gradiente de una funcioacuten indica la direccioacuten de
maacuteximo crecimiento esto se refleja en que si se toma la direccioacuten sugerida por este vector el valor de la funcioacuten aumenta en una vecindad del mismo asiacute si en un diagrama de un campo gradiente aparecen un punto en donde convergen la direccioacuten de todos los gradientes se encontraraacute que dicho valor debe de ser un valor maacuteximo para la funcioacuten de estudio Un diagrama de esta tipo se ejemplifica a continuacioacuten
Un diagrama en donde todos los vectores apuntan hacia fuera de un
punto indicaraacute que este punto debe de ser un valor miacutenimo de la funcioacuten Citemos el siguiente ejemplo de una variable con la finalidad de
centrarnos en el tema Una persona desea bardear un terreno en forma rectaacutengular cuanto debe de medir cada lado de manera tal que el aacuterea cercada sea maacutexima si se cuenta con 200 metros de malla
La funcioacuten que representa dicho modelo es
A(x) = x(100-x) x
Como se puede observar el aacuterea es cero si x es igual a cero o a cien con lo cuaacutel el lado x debe de estar en en intervalo [0 100] siendo estas las restricciones del problema Derivando la funcioacuten para obtener los valores critiacutecos se tiene que Arsquo(x) = 100 ndash 2x
Al igual la derivada a cero se concluye que el valor critico es x es igual a 50 Al derivar por segunda ocasioacuten se concluye que
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Arsquorsquo(x) = -2 Como la segunda derivada es siempre negativa se concluye que la funcioacuten alcanza un valor maacuteximo en el valor critico en este caso en x = 50 al interpretar dicho resultado se concluye que el terreno que optimiza la solucioacuten es un cuadrado Ejercicio- Que aacuterea se genera si el terreno es de forma circular Al resolver el ejercioacute anterior y comparar las aacutereas del cuadrado y del circulo se puede apreciar que el aacuterea del circulo es mayor pero en la praacutectica es poco atractivo cercar terrenos circulares por diversas razones pero en la naturaleza es comuacuten observar que las gotas de lluvia sean esferas esto permite el optimizar recursos y maacuteximizar el volumen del liacutequido contenido en la misma Se iniciara el estudio formal de maacuteximos y miacutenimos de funciones de varias variables observando las siguientes graficas con la finalidad de tener la idea clara de que es un maacuteximo o miacutenimo o un punto silla
En la primera de ellas se observa que la funcioacuten tiene un valor miacutenimo en la segunda se observa que la funcioacuten tiene un valor maacuteximo y en la uacuteltima la funcioacuten tiene un punto silla este se identifica el dirigirnos en una direccioacuten la funcioacuten crece mientras que en la otra la funcioacuten decrece
Definicioacuten- Una funcioacuten mn RRf tiene un valor maacuteximo local en x0 si en
una vecindad de dicho valor se cumple que la funcioacuten evaluada en todos los vecinos ninguno de ellos supera a f(x0) Es decir f(x0) f(x) para todo x en una vecindad de x0 El punto es llamado un maacuteximo absoluto si la funcioacuten toma el valor maacuteximo en dicho punto para todo valor de su dominio
Esto es muy similar cuando uno observa a los alumnos de un saloacuten de clases existe un alumno que tiene la mayor estatura si ninguno de sus compantildeeros lo supera Asiacute en la escuela el alumno de mayor estatura absoluta es aquel que supera a todo el plantel
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La definicioacuten para el miacutenimo local (absoluto) es similar
f(x0) f(x) para todo en una vecindad de x0 Por ejemplo la funcioacuten f(xy) = x2+y2 tiene un valor miacutenimo en el origen dado que en este valor la funcioacuten vale cero mientras que fuera de ahiacute siempre es positiva dado que todo nuacutemero real elevado al cuadrado es siempre positivo Ademaacutes dicho valor es un miacutenimo absoluto Como se menciono al inicio de esta capitulo el diagrama del campo
gradiente de esta funcioacuten y
xyxf
2
2)( indica que la funcioacuten tiene un valor
miacutenimo siendo la grafica del mismo la siguiente Sin embargo se requiere un criterio maacutes general y sistemaacutetico que permita establecer los posibles valores maacuteximos miacutenimos o puntos silla) Definicioacuten- (Un valor extremo) Si la funcioacuten posee un valor maacuteximo o miacutenimo este es llamado un valor extremo Definicioacuten- (Un valor critico) Un punto en donde la derivada de la funcioacuten se anula es llamado un valor critico Teorema- Todo valor extremo es un valor critico Es decir si f posee un valor extremo en x0 que pertenece a su dominio entonces la derivada de la funcioacuten en el punto x0 se anula Es decir Df(x0) = 0 Demostracioacuten- Sea l(t) una trayectoria que pasa a traveacutes por el punto x0 defina la composicioacuten de funciones h(t) = f(l(t)) donde l(t) = x0 + tv de donde lrsquo(t) = v y ademaacutes
))(()())(()( VtlftDltlDftDh (1)
Por otra parte como f posee un valor extremo en x0 suponga que dicho
valor es un maacuteximo entonces x0 seraacute a la vez un maacuteximo para la funcioacuten h y como h es una funcioacuten real esto significa que la derivada de h en dicho punto
se anula es decir 0)()0())0(()0( 0 vxfDllDfDh ahora como los
vectores )( 0xf y v no son necesariamente perpendiculares y el vector v a la
vez tampoco se anula entonces esto implica que el gradiente de f en x0 es igual a cero y por lo tanto f posee un valor criacutetico en x0
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Este resultado permite establecer posibles valores criacuteticos de una funcioacuten asiacute se menciona el siguiente ejemplo Ejemplo- Determine los posibles valores criacuteticos de las siguientes funciones (1) f(x y) = x2 + y2 y (2) g(x y) = 4x3 -12x + y2
Solucioacuten-
(1) 0
0
2
2)(
y
xyxf de aquiacute se concluye que dicho valor soacutelo
existe un valor criacutetico siendo este el origen el cuaacutel ya se clasifico en estos apuntes y resulto ser un valor miacutenimo
(2) 0
0
2
1212)(
2
y
xyxg de aquiacute se obtienen dos valores criacuteticos
que son (-10) y 1l (10) Los cuales se pueden clasificar el realizar el graacutefico del campo gradiente En donde se aprecia que en el punto (-10) la funcioacuten posee un punto silla mientras que en el punto (10) la funcioacuten posee un valor miacutenimo
Aquiacute se utilizaraacute el criterio del hessiano para determinar si el valor criacutetico es un maacuteximo un miacutenimo o un punto silla Solo se enunciara el teorema sin demostracioacuten para ver la misma puede revisar en el libro de Marsden Tromba de Caacutelculo Vectorial
Definicioacuten- El Hessiano de una funcioacuten 22 RRH de clase C2 se define como una funcioacuten cuadraacutetica que se escribe como
2
1
2
22
2
2
2
21212
1)(
h
h
y
f
yx
f
xy
f
x
f
hhhhH
Evaluada la matriz de las segundas derivas parciales en el valor criacutetico
Teorema- Si el Hessiano de una funcioacuten 2 RRf es definitivamente
positivo entonces la funcioacuten tiene un valor miacutenimo en dicho punto
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37
Corolario- Si la matriz asociada A=cb
ba de una forma cuadraacutetica dos
por dos es definitivamente positiva si y soacutelo si se cumple que agt0 y det A gt0
Teorema de una valor para un valor extremo miacutenimo- Una funcioacuten
2 RRf de clase C2 posee un valor extremo miacutenimo local en x0 elemento
del dominio de la funcioacuten si y soacutelo si se satisfacen las siguientes condiciones
(i) 0)( 0xx
f y 0)( 0x
y
f
(ii) )( 02
2
xx
f gt 0
(iii) )( 02
2
xx
f)( 02
2
xy
f)(
2
2
oxx
f)( 02
2
xx
f gt 0
Para un valor maacuteximo las condiciones (i) y (iii) se mantienen la uacutenica que cambia en la segunda en donde esta debe ser negativa Para un punto silla se requiere que al menos no se cumplan las condiciones de valor maacuteximo ni miacutenimo y que la uacuteltima condicioacuten (iii) sea distinta de cero En caso contrario el criterio no permite clasificar dicho valor como se mostraraacute en un ejemplo maacutes adelante Ejemplo- Ahora continuando con los ejemplos anteriores
(1) Para f(xy) = x2+y2 el valor critico es el origen y el hessiano asociado es
2
1
212100
02
2
1)(
h
hhhhhH
Como se pude apreciar el primer valor es positivo 2 gt0 y el determinante de
la funcioacuten 20
02det es igual a 4 que a la vez es positivo de manera tal que la
funcioacuten posee un valor miacutenimo en el origen
(2) g(x y) = 4x3 -12x + y2 los puntos criticos son (-10) y (10) y el hessiano asociado a esta forma cuadraacutetica es
2
1
212120
024
2
1)(
h
hxhhhhHg
Ahora al evaluar en los puntos se tiene En el (-10)
2
1
212120
024
2
1)(
h
hhhhhHg
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38
En donde -24 lt 0 y det Hg = -48 lt0 con lo cuaacutel debe de ser un punto silla
En el (10)
2
1
212120
024
2
1)(
h
hhhhhHg
En donde 24 gt 0 y det Hg = 48 gt0 con lo cuaacutel debe de ser un punto miacutenimo
Tal como se habiacutea estimado en la graacutefica del campo gradiente de la
solucioacuten anterior A continuacioacuten se muestra un bosquejo de dicha graacutefica realizado en el derive
Ejemplos de cuando el criterio permite clasificar los
valores criacuteticos
Ejemplo- A continuacioacuten se mostrara un ejemplo de cuando el criterio no concluye asiacute si la funcioacuten es h(xy) = x4+y4 al calcular las derivas parciales mixtas fx=4x3 y fy=4y3 se encuentra un solo valor critico el origen miestras que la matriz asociada del hessiano es
2
2
120
012
y
x y al evaluar en el origen queda expresada como
00
00
)0(120
0)0(122
2
En donde se puede apreciar que fallan todos los criterios una inspeccioacuten de
la funcioacuten original permite ver que la funcioacuten tiene un valor miacutenimo en dicho punto pero no es una generalizacioacuten es decir no se puede decir que siempre que aparezca la matriz de ceros se tenga un valor miacutenimo dado que si se analiza ahora a las funciones k(xy) = -x4-y4 y p(xy) = x4-y4 ambas tienen como calor extremo al origen y la matriz hessiana asociada a la forma cuadraacutetica evaluada en el origen es la matriz de ceros
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Ejemplo- Otro ejemplo en donde el criterio no concluye es el siguiente en
donde el determinante de la matriz H es cero debido a que la segunda derivada de la funcioacuten f con respecto a la segunda variable se anula (fyy = 0) y no se puede asegurar que se tenga un punto maacuteximo miacutenimo o silla
Las funciones f1(xy) = x2 f2(xy) = -x2 y f3(xy) = x3 presentan este
problema a continuacioacuten se muestran las graficas de dichas funciones
En cada una de ellas los puntos criacuteticos son las parejas en el plano (0 y) Es decir el eje coordenado X
El Hessiano respectivo de cada uno es el siguiente
00
02)(1 yxH
00
02)(2 yxH
00
03)(3
xyxH
Note que el determinante de cada de estas matrices se hace cero y que fyy
se anula en cada caso
Ahora observando las graacuteficas se verifica visualmente que en la primera se tienen valores miacutenimos en la segunda maacuteximos y en la uacuteltima no es ni maacuteximo ni miacutenimo o punto silla
Ejemplo- Citemos otro ejemplo en donde el criterio de maacuteximos y miacutenimos
no concluye Determine los puntos criacuteticos de la funcioacuten h(xy) = x4 Se tiene que hx=4x3=0 y hy=0 de donde se deduce que la funcioacuten tiene
un nuacutemero infinito de puntos criacuteticos estos son las parejas ordenadas en el plano (0y)
La matriz del Hessiano asociado es
00
012)(
2
1
xyxH y evaluando en el punto
00
00)0(1 yH
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En donde no se puede clasificar a los valores criacuteticos sin embargo
realizando una inpeccioacuten de la funcioacuten se puede concluir que todos los puntos representan valores miacutenimos de la funcioacuten original a continuacioacuten se muestra la grafica de la misma
El Hessiano para n variables y el criterio de clasificacioacuten
Cuando la funcioacuten tiene maacutes de dos variables se genera una matriz asociada H en cada uno de los valores criacuteticos de la siguiente forma
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
H
21
22221
11211
De aquiacute se definen las siguientes matrices
111 aH 2221
1211
2aa
aaH hellip HH n
Los criterios para los valores criacuteticos de la funcioacuten RRf n son los
siguientes [Miacutenimo Local] La funcioacuten f posee un valor extremo local miacutenimo en x0 si todos los determinantes de las submatrices evaluados en x0 son positivos
0det 1H 0det 2H hellip 0det 2H (+ + hellip +)
En este caso la forma cuadraacutetica se puede probar que es definitivamente positiva [Maacuteximo Local] La funcioacuten f posee un valor extremo local miacutenimo en x0 si todos los determinantes de las submatrices evaluados en x0 se alternan en signo pero el primero de ellos debe ser negativo
0det 1H 0det 2H hellip 0det 2H (- + - + hellip )
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En este caso la forma cuadraacutetica se puede probar que es definitivamente negativa [Punto Silla] La funcioacuten f posee un punto silla si no se cumplen los criterios de valor miacutenimo o maacuteximo y al menos uno de los subdeterminantes es distinto de cero
Existe un i tal que 0det iH
Ejemplos- Determine los valores criacuteticos de las siguiente funcioacuten f(x y z w) = x3 - 3x + y3 ndash 3y + z2 + w2 y claacutesifiquelos Solucioacuten- Al resolver las siguientes ecuaciones
033 2 xxf x 033 2 yyf y 02zf z y 033 2 wwfw
Se obtienen cuatro puntos criacuteticos que son (-1-100) (-1100) (1-100) y (1100) ahora se genera la matriz del hessiano asociado siendo esta
2000
0200
0060
0006
y
x
H
Al evaluar en cada uno de los puntos se tienen las siguientes matrices
2000
0200
0060
0006
)0011(H
2000
0200
0060
0006
)0011(H
2000
0200
0060
0006
)0011(H y
2000
0200
0060
0006
)0011(H
Los sub determinantes para cada uno de los puntos son [(-1 -1 0 0)] -6 36 72 144 que clasifica como un punto silla [(-1100)] -6 -36 -72 -144 que clasifica como un punto silla [(1-100)] 6 -36 -72 -144 que clasifica como un punto silla [(1100)] 6 36 72 144 que clasifica como un valor miacutenimo De manera tal que la funcioacuten tiene tres puntos silla y un valor miacutenimo
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Ejercicios- Determine los puntos criacuteticos de las siguientes funciones y claacutesifiquelos utilizando el criterio del Hessiano
(1) f(x y) = x2 - y2 (Silla de montar)
(2) g(x y) = 22 yx (Cono)
(3) h(x y z) = x4 - 2x2 + 2y3 -3y2 + z3-3 Ejercicio- Se requiere construir una lata con tapa que contenga un litro de agua con el miacutenimo de material determine las condiciones que oacuteptimizan el problema Ejercicio- Determine el producto maacuteximo de tres nuacutemeros si la suma de ellos debe ser 40 Ejercicio- Determine la distancia miacutenima del origen a la graacutefica de la funcioacuten f(xy) = 4-x2+y Ejercicio- Estudie los ejemplos resueltos que trae el libro de Marden Tromba en el capitulo 4 en especial el referente a la ecuacioacuten de miacutenimos cuadrados Ejercicio- Determine la ecuacioacuten lineal que mejor se ajusta a los puntos (12) (2 32) (3 389) (4 488) (5 55) Utilize el criterio de miacutenimos cuadrados en caso de que el modelo sea lineal (justifique la linealidad del mismo realice una graacutefica de los puntos y de la liacutenea que ajusta a los puntos) Ejemplo- (Aplicacioacuten) En este ejemplo dermina la distancia miacutenima del punto (100) a la graacutefica de una funcioacuten f(x y) = x2+y2
Solucioacuten- Todos los puntos que se encuentran sobre la graacutefica de la funcioacuten satisfacen la siguiente terna de valores en donde se observa que la tercer componente es la variable dependiente (x y x2+y2)
La distancia del punto (1 0 0) a los puntos que estaacuten sobre la graacutefica (x y x2+y2) Se define por medio de la funcioacuten
2222222 )()1()()001()( yxyxyxyxdyxfd
Para determinar el valor miacutenimo o maacuteximo de esta funcioacuten basta con
analizar su argumento dado que es un funcioacuten creciente Es decir Si x1lt x2
entonces f(x1) lt f(x2) lo que es vaacutelido para la funcioacuten )( xxf (ver graacutefica)
2x
1x
x1 x2
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De este modo la funcioacuten a maximizar es
2222222
11 )()1()()001()( yxyxyxyxdyxfd
De aquiacute al las derivadas parciales son
)(4)1(2)( 22
1 yxxxyxfd x y )(42)( 22
1 yxyyyxfd y
Igualando ambas ecuaciones a cero se puede establecer la siguiente
ecuacioacuten
)(4
)(4
2
2222
22
yxy
yxx
y
x (3)
De aquiacute si )00()( yx y 0y se concluye que -1=0 lo cual es una
contradiccioacuten Por otra parte si (xy)=(00) en la primera ecuacioacuten se tiene que 1=0 que es tambieacuten una contradiccioacuten Finalmente si se considera el caso en
que y=0 se obtiene de la siguiente ecuacioacuten 012 3 xx
El polinomio 12)( 3 xxxP tiene una raiacutez entre el cero y el 1 dado
que P(0)=-1 y P(1)=2 Con el anaacutelisis de raiacuteces racionales dos posibles raiacuteces
son 2
1 y como
2
1 estaacute entre cero y uno al usando divisioacuten sinteacutetica se
obtiene que 4
1
2
1P Asiacute que la raiacutez debe de estar en el intervalo 1
2
1
Ahora usando el meacutetodo de Newton con semilla en 2
10x se obtiene
que 6010
6
2
54
1
2
1
)(
)(
0
0
01xf
xfxx
Ahora al evaluar la funcioacuten en dicho punto se tiene que 0320)60(P el
cual es aceptable como raiacutez del polinomio en una sola interaccioacuten De manera tal que el punto criacutetico de la funcioacuten es el (060) El Hessiano asociado es
24128
82412)(
22
22
xyxy
xyyxyxH
Como se puede apreciar el primer elemento de la matriz es positivo independientemente de los valores de x e y Falta evaluar el determinante de H este es igual a
)64)2412)(2412()(det 222222 yxxyyxyxH
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Ahora evaluando en (06 0) se tiene 7421)443)(326()060(det H
Que tambieacuten es positivo de manera tal que se tiene un valor miacutenimo Es
decir la se obtuvo la distancia miacutenima
Maacuteximos y Miacutenimos con restricciones
Los muacuteltiplicadores de Lagrange permite determinar valores maacuteximos o miacutenimos de funciones con restricciones De este tipo de problemas esta lleno nuestro contorno desde el panedero que desea producir la maacutexima cantidad de pan pero con la restriccioacuten del capital que tiene o la posible venta del diacutea para que no tenga sobrantes
Citemos el siguiente ejemplo la graacutefica de paraboloide z = x2+y2 esta
graacutefica soacutelo tiene un valor miacutenimo en el origen sin embargo si esta restringida
al cuadrado unitario 1111 la funcioacuten alcanza cuatro puntos maacuteximos en
los puntos (-11)(-1-1) (1 -1) y (11) a saber dicho valor es 2 Como se observa en la figura
Ahora si se trabaja con la silla de montar con la misma restriccioacuten esta
funcioacuten tiene originalmente un punto silla en el origen pero al analizar las restricciones se contiene dos valores maacuteximos y dos miacutenimos en los puntos (10) (-10) (0-1) y (01)
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Muacuteltiplicadores de Lagrange Teorema- Dadas dos funciones fg Rn a R diferenciables en X0 elemento del dominio de ambas funciones Si Lc es el conjunto de nivel de valor c de la funcioacuten g y si f posee un valor maacuteximo miacutenimo o silla en la restriccioacuten Lc
entonces existe un nuacutemero real λ tal que )()( 00 XgXf
Se puede ver parte de la demostracioacuten de este teorema en el libro de Marsden Tromba Para clasificar los puntos criacuteticos se utiliza el criterio del Hessiano limitado el cuaacutel se define a partir de la funcioacuten auxiliar H(x1 x2 hellip xn) = f(x1 x2 hellip xn) - λ g(x1 x2 hellip xn)
nnnn
n
n
xxxxx
xxxxx
xx
hhg
hhg
gg
H
1
1111
10
||
Ahora defina los siguientes determinantes
22122
21111
210
|| 1
xxxxx
xxxxx
xx
hhg
hhg
gg
H
3323131
3222121
3121111
3210
|| 2
xxxxxxx
xxxxxxx
xxxxxxx
xxx
hhhg
hhhg
hhhg
ggg
H ||det|| HHn
Criterios para maacuteximos y miacutenimos con restricciones (Hessiano liacutemitado) [Miacutenimo Local] Se tiene un miacutenimo local si y soacutelo si todos los determinantes son negativos |H1| lt0 |H2| lt0 hellip |Hn|lt0 ( - - - - - hellip)
[Maacuteximo Local] Se tiene un maximo local si y soacutelo se inicia con un determinante positivo y luego se alternan los signos |H1| gt 0 |H2| lt 0 hellip |Hn|lt0 (+ - + - hellip)
[Punto del tipo Silla] Se tiene un punto tipo silla sino se satisface los criterios de maacuteximos o miacutenimos y al menos uno de los determinantes es distinto de cero Ejemplo- Determine si la funcioacuten f(xy)= x2 ndash y2 tiene valores criacuteticos en la restriccioacuten x2+y2=1
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)(2
2
2
2)( 00 Xg
g
g
y
x
y
x
f
fXf
y
x
y
x
de aquiacute se obtienen las ecuaciones 2x = 2 λx -2y = 2 λy x2 + y2 =1 Las soluciones de este sistema de ecuaciones son (-101) (101) (0-1-1) y (0-11) El Hessiano liacutemitado es
2202
0222
220
||
y
x
yx
H
El determinante es igual a det|H| = 8x2(1+λ) ndash 8y2(1-λ) ahora evaluando
cada uno de los puntos se tiene que det|H|(-101) = 16 gt 0 det|H|(101) = 16 gt 0 det|H|(0-1-1) = -16 lt 0 det|H|(0-11) = -16 lt 0
De manera tal que la funcioacuten posee dos valores maacuteximos en los puntos (-10) y (10) y por otra parte tiene dos valores miacutenimos en los puntos (0-1) y (0-1) Ejemplo- Determine si la funcioacuten f(xy)= x2+y2 tiene valores criacuteticos en la restriccioacuten x2-y2 le 4 Al iniciar este estudio se trabaja con el interior es decir x2-y2 lt 4 dando como resultado el anaacutelisis de maacuteximos y miacutenimos de una funcioacuten en general de donde el gradiente de f se anula uacutenicamente en el origen siendo este valor un miacutenimo como se habiacutea visto en un ejercicio anterior para la funcioacuten del paraboloide Ahora al trabajar sobre la frontera se usa el criterio de muacuteltiplicadores de Lagrange
)(2
2
2
2)( 00 Xg
g
g
y
x
y
x
f
fXf
y
x
y
x
de aquiacute se obtienen las ecuaciones 2x = 2 λx 2y = -2 λy x2 - y2 = 4
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Las soluciones de este sistema de ecuaciones son (-201) y (201) El Hessiano liacutemitado es
2202
0222
220
||
y
x
yx
H
El determinante es igual a det|H| = -8x2(1+λ) + 8y2(1-λ) ahora
evaluando en cada uno de los puntos se tiene que det|H|(201) = -64 gt 0 y det|H|(-201) = -64 lt 0
De manera tal que la funcioacuten posee dos valores miacutenimos en los puntos (-20) y (20)
Una anaacutelisis de la graacutefica de esta funcioacuten permite visualizar que dichos
puntos no son miacutenimos maacutes bien son puntos tipos silla y no es que el criterio falle sino maacutes bien que los valores son miacutenimos pero sobre el complemento es decir bajo la restriccioacuten x2-y2 ge 4 Ejemplo- Determine los valores criacuteticos de la funcioacuten f(xyz) = 2x+y+3z sujeta a la restriccioacuten x2+y2+z2 le 36 Solucioacuten- Un anaacutelisis de las condiciones iniciales muestra que la graacutefica a maximizar en un hiperplano restringido en su dominio a una esfera de radio 6 de acuerdo a estas condiciones la funcioacuten en su interior no debe tener valor criacuteticos y en la frontera debe tener un valor miacutenimo y un valor maacuteximo En el interior- Al derivar la funcioacuten original se tiene lo siguiente
3
1
2
)( 0
z
y
x
f
f
f
Xf
De aquiacute se observa que la funcioacuten no posee valores criacuteticos en todo su dominio tal y como se esperaba Frontera- Al utilizar las condiciones del los Muacuteltiplicadores de Lagrange se tiene lo siguiente
)(
2
2
2
3
1
2
)( 00 Xg
z
y
x
f
f
f
Xf
z
y
x
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De aquiacute se genera el siguiente sistema de ecuaciones 2 = 2λx 1 = 2λy 3 = 2λz x2+y2+z2=36
Resolviendo el sistema se concluye que 2
1
1yx amp
2
3z Ahora
sustituyendo en la uacuteltima ecuacioacuten se deduce que la funcioacuten posee dos valores criacuteticos que son
18
14
14
1427
14
149
14
1418amp
18
14
14
1427
14
149
14
1418
La funcioacuten auxiliar es H(xyzλ) = 2x+y+3z-λ(x2+y2+z2) donde Hx=2-2λx Hy=1-2λy Hz=3-2λz El Hessiano Liacutemitado es
2002
0202
0022
2220
||
z
y
x
zyx
H
De aquiacute
0
0)(8
202
022
220
|| 22
1si
siyx
y
x
yx
H
0576)(16
2002
0202
0022
2220
|| 22222 zyx
z
y
x
zyx
H
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49
De aquiacute se desprende que la funcioacuten f(xyz) = 2x+y+3z posee un valor miacutenimo
en el punto 18
14
14
1427
14
149
14
1418 restringido a x2+y2+z2 = 36 y un
maacuteximo en el punto 18
14
14
1427
14
149
14
1418
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50
Tarea nuacutemero 4 Maacuteximos y Miacutenimos
Objetivo- Que el alumno sea capaz de aprender a resolver problemas asociados a la vida real haciendo uso del caacutelculo de varias variables Aquiacute se enuncian los siguientes ejercicios adicionales dado que muchos de los mismos se fueron exponiendo a lo largo del capiacutetulo y se sugiere que se revisen los problemas resueltos y propuestos en la libros de la bibliografiacutea dado que las aplicaciones son muchas 1- Determine los valores maacuteximos y miacutenimos de la funcioacuten f(xy) = x +y sujeta a la restriccioacuten x2+2y2le18 (Realice un bosquejo de la graacutefica y se restriccioacuten)
2- Determine los valores maacuteximos y miacutenimos de la funcioacuten f(xy) = x2 +y2 sujeta a la restriccioacuten x+2y le 4 (Realice un bosquejo de la graacutefica y se restriccioacuten)
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51
Bibliografiacutea
1 Caacutelculo Vectorial Marsden amp Tromba Addison-Wesley Iberoamericana
2 Caacutelculo Multivariable James Steward Thomson Editores
3 Caacutelculo con Geometriacutea Anaacutelitica Zill Grupo Editorial Iberoameacuterica
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2
Iacutendice del contenido Capiacutetulo I Vectores helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 3 Producto por un escalar helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 7 Ortogonalidad y producto por un escalar helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 9 Estructura Aacutelgebraica del espacio vectorial helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 12 Tarea 1 helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 14
Capiacutetulo II Funciones Vectoriales helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip16 Funcioacuten vectorial helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 17 Derivadas parcialeshelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 20 Tarea 2 helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 22
Capiacutetulo III Trayectorias helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 24 Ecuacioacuten Parameacutetrica y Cartesiana de una curva helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 25 Parametrizacioacuten de una circunferencia elipse e hipeacuterbola helliphelliphelliphelliphelliphellip 27 Derivada de una trayectoria helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 29 Tarea 3 helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 32
Capiacutetulo IV Maacuteximos y miacutenimos helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 33 Ejemplos de cuando el criterio permite clasificar los valores criacuteticoshelliphellip 38 El Hessiano para n variables y el criterio de clasificacioacuten helliphelliphelliphelliphelliphellip 40 Maacuteximos y miacutenimos con restriccines helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 44 Criterios para maacuteximos y miacutenimos con restricciones helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 45 Tarea 4 helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 50 Bibliografiacutea helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 51
Apuntes de la Materia de Caacutelculo III Facultad de Ciencias Fiacutesico Matemaacuteticas de la UA de C Maestro Manuel Antonio Torres Gomar
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Capiacutetulo I Vectores Objetivo- A continuacioacuten se desarrolla los siguientes apuntes de la materia de Caacutelculo 3 que se ofrece en la Facultad de Ciencias Fiacutesico Matemaacuteticas de la UA de C con la finalidad de apoyar en las carreras de Matemaacuteticas Aplicadas y Fiacutesica ofrecidas por esta Facultad A la vez se plantean algunos ejercicios con la finalidad de que el alumno sea capaz de dominar los temas de esta materia
Vector en el plano bidimensional Definicioacuten (Vector) Dados dos puntos A y B en el plano el vector AB que parte de A hacia B se define como el segmento dirigido de A hacia B Observe que tiene magnitud la cuaacutel corresponde a la distancia que separa a los puntos A y B por otra parte posee orientacioacuten en este caso va del punto A hacia el punto B
B
A
Por la forma anterior de definir un vector se puede visualizar que esta forma no es uacutenica es decir distintas parejas de puntos en el plano pueden generar el mismo vector basta con que se cumplan dos condiciones la primera que la distancia entre los puntos sea la misma y que los segmentos de liacuteneas sean paralelos
A continuacioacuten se dan algunos ejemplos de vectores que parten de
distintos puntos pero todos tienen la misma magnitud y sentido
B D A=(11) B=(33)
AB= 2
2
13
13
A C C = (41) D = (33)
F 2
2
13
46CD
E = (1-2) F = (3 0)
E EF = 2
2
)2(0
13
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De esta forma se puede establecer que dos vectores son iguales si y soacutelo si tienen la misma magnitud y sentido
Como se puede apreciar el vector generado v =12
12
yy
xx a partir de dos
puntos en el plano (x1 y1) y (x2 y2) tiene un valor uacutenico en sus componentes x2-x1 y2-y1 Esta es otra forma de identificar cuando dos vectores son iguales si componen a componente son iguales y permiten ubicar a todo vector generado en el plano
De este uacuteltimo resultado se opta por tener la idea de un vector v = b
a y
asociarlo como un punto en el plano (a b)
Otra propiedad importante de los vectores es la traslacioacuten en la primer graacutefica se puede apreciar que baacutesicamente el vector resultante es el mismo salvo su ubicacioacuten en el plano
Una vez establecida la nocioacuten de vector como una pareja ordenada de
nuacutemeros reales se puede asociar a cada vector con un punto del plano cartesiano y viceversa
Ahora que se tiene definido el concepto de vector se le daraacute una
estructura algebraica que le permitiraacute dar cuerpo a este ente matemaacutetico Por estructura matemaacutetica se entenderaacute aquellas propiedades que
permiten interactuar a los vectores entre siacute dando como resultado otro vector del mismo conjunto o en su defecto un nuacutemero real
Dentro de las interacciones que permiten relacionarse a los vectores
estaacuten la suma de vectores el producto punto producto vectorial y el producto por un escalar
Magnitud y sentido
La magnitud de un vector v = b
ase mide a partir del origen al punto
(ab) siendo esta igual a | v | = 22 ba mientras que la orientacioacuten esta
definida como el aacutengulo que se forma a partir del eje real positivo hasta la
localizacioacuten del vector en este caso el aacutengulo = tan-1
a
b
(ab)
b
v
a
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Observacioacuten- Todo vector en el plano queda completamente determinado si se conoce su magnitud y sentido o en su defecto si se conocen sus componentes (a b) De hecho se puede establecer la siguiente relacioacuten haciendo uso de las coordenadas polares
a = r Cos
b = r Sen
Definicioacuten- Dos vectores son iguales si y soacutelo si tiene la misma magnitud y sentido o si componente a componente son iguales
Ejercicios Resuelva los siguientes ejercicios sobre vectores que se plantean a
continuacioacuten 1- Ejercicio Determine el lugar geomeacutetrico de todos los vectores que
parten del origen y tienen magnitud 5 2- Ejercicio- Trace todos los vectores que tengan magnitud cinco y
esteacuten contenidos en la liacutenea recta de 45ordm 3- Ejercicio- Determine bajo que condiciones los siguientes vectores
son iguales V1 = (x 7) y V2 = (2 7) 4- Ejercicio- Una condicioacuten de suficiencia para que dos vectores sean
iguales consiste en que tengan la misma magnitud 5- Ejercicio- Determine el valor de x tal que el vector V1 = (x 7) tenga
norma igual a 12 6- Ejercicio- Determine el valor de x tal que el vector V1 = (x 7) tenga
orientacioacuten de 75ordm 7- Ejercicio- Describa todos los puntos que se encuentran en el eje X
8) Una vez establecido el concepto de vector indique la diferencia de un vector
b
acon respecto al punto en el plano (ab)
Suma de Vectores
Definicioacuten- Dados dos vectores en el plano v1 = 1
1
b
a y v2 =
2
2
b
a la
suma de ambos vectores es nuevamente un vector de dos componentes de nuacutemeros reales
v1 + v2 = 21
21
bb
aa es decir se suman componente a componente
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El siguiente diagrama muestra a los vectores involucrados en dicha
suma y el vector resultante
v2 Observe que la forma de encontrar al vector
resultante consiste en usar la propiedad de traslacioacuten de vectores y formar un paralelogramo
v1 v1+v2 v1
v2
Por otra parte si ambos vectores soacutelo poseen una componente la suma
de ambos vectores es la suma de nuacutemeros reales
Es decir soacutelo importa la magnitud de cada una de sus componentes y en
este caso la direccioacuten del vector resultante es la misma a la de los vectores originales
v1 + v2 = 000
2121 aaaa
Al intentar describir ciertos vectores en la vida real lo que se necesita es
que estos tengan magnitud y sentido Algunos de estos ejemplos son una fuerza dada que esta tiene una magnitud definida mientras que la direccioacuten se le puede asignar de varias formas Como el hecho de estirar de una cuerda la fuerza es la misma pero la direccioacuten puede ser en distintos sentidos
Observe que en la suma de dos vectores que tienen una sola componente es parecida a la idea de sumar la fuerza de dos personas a tirar o empujar un carro dando como resultado la misma direccioacuten Observe que estos vectores tienen la misma magnitud pero diferente sentido En la vida real lo podemos visualizar Como el hecho de estirar un objeto con una cuerda la cuerda se puede dirigir en distintas direcciones al igual se puede estirar el cuerpo al mismo tiempo con cinco cuerdas Otros ejemplos de vectores se dan en los conceptos de velocidad aceleracioacuten fuerza etc
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Dos vectores caracteriacutesticos del plano son los vectores canoacutenicos definidos y denotados como
i 0
1 y j =
1
0
Ambos tienen magnitud uno direccioacuten en los ejes coordenados x e y
respectivamente y a la vez son perpendiculares entre siacute (el aacutengulo entre ellos es de 90ordm) j i
Producto por un escalar Dado un vector v en el plano y un nuacutemero escalar k en los nuacutemeros reales se define el producto por un escalar como el vector
kv = k b
a =
kb
ka
Es decir el escalar k multiplica a cada una de las componentes
Ejercicio- Se deja como ejercicio probar que este vector llamado muacuteltiplo escalar del vector v tiene k veces la magnitud del vector original y si el valor de k es positivo mantiene la misma orientacioacuten en caso de tener signo negativo la direccioacuten se invierte V Muacuteltiplos escalares de V Ejercicio- Otra caracteriacutestica es que si k es mayor a 1 el vector resultante es una expansioacuten con respecto al vector original mientras que si 0 lt k lt 1 es una contraccioacuten
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Diferencia entre dos vectores Una idea geomeacutetrica de definir la diferencia de dos vectores en la
siguiente si y son dos vectores en el plano se pueden representar de la siguiente forma En donde se dibuja un segmento que une a los vectores y dicho segmento se le asigna la orientacioacuten mostrada en el dibujo y se le denomina como el vector
Note ahora que el vector + = seguacuten la suma de vectores definida anteriormente de ahiacute se despeja a (suponiendo que las leyes de la aritmeacutetica se cumplan en los vectores) obteniendo que = -
Quedando expresada dicha diferencia como
= - = 12
12
yy
xx
Interpretacioacuten de un vector en el plano haciendo uso de los vectores canoacutenicos i y j
Dado el vector V = xy
y
x
x
y
x
yo
ox
y
x
1
0
0
10
0i y j
Esta representacioacuten permite visualizar otra forma de escribir a un vector
en el plano dando el movimiento en las direcciones de los ejes coordenados (Eje X la marca el vector i en el eje Y la marca el vector j)
De esta forma la suma de vectores se ve de la siguiente forma
V1+V2 = adb
ca
d
c
b
a( i+b j)+( c i d j) = ( ba )i +( dc )j
Producto Escalar (producto punto) Antes de entrar el tema note que los vectores i e j tienen norma uno y
que ambos son perpendiculares entre siacute Definicioacuten- (Producto Escalar o producto punto) Dados dos vectores
en el plano se define el producto escalar de la siguiente forma
V1 V2 = dbcad
c
b
a
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Dando como resultado un nuacutemero real (Un escalar)
Ahora al realizar el producto punto entre los vectores i y j el resultado es
cero
Ejemplos- Determine el producto escalar entre los siguientes vectores y graacutefiquelos
V1 = 2
1 V2 =
1
2 y V3 =
3
2
V1 V2 = (1)(-2) + (2) (1) = 0 V1 V3
V1 V3 = (1)(2) + (2)(3) = 8 V3 V2 V3 = (-2)(2) + (1)(3) = -1
Como se puede observar el resultado siempre es un escalar por otra parte se tiene que el producto escalar entre los vectores V1 y V2 es cero de la graacutefica se puede observar que ambos vectores son ortogonales entre siacute este es una propiedad que se cumple siempre es decir dos vectores son ortogonales si y soacutelo si su producto escalar es igual a cero Se justificaraacute este resultado a continuacioacuten
Ortogonalidad y producto escalar Al definir dos vectores y no colineales entonces se forma un aacutengulo
entre ellos diferente de cero como se muestra en la figura
-
Se puede definir un triaacutengulo con las medidas de la longitud de los lados
de los vectores y como se ve en la figura anterior y haciendo uso de las leyes de los cosenos se tiene que
|| - || 2 = |||| 2 + ||||2 ndash 2 |||| |||| Cos helliphelliphelliphellip (1)
Llame = 1
1
y
x y =
2
2
y
x se tiene que
|| - || 2 = (x1-x2)
2 + (y1-y2)2
|| ||2 = (x1
2+y12) || ||2= (x2
2+y22) = x1y1+ x2y2
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Si el aacutengulo entre los vectores y es de 90ordm se tiene que || - || 2 = || || 2 + || ||2 Luego sustituyendo los valores correspondientes (x1-x2)
2 + (y1-y2)2 = (x1
2+y12) + (x2
2+y22)
De aquiacute se concluye que x1y1+ x2y2 = 0
es decir los vectores y son ortogonales entre siacute la demostracioacuten del reciproco se realiza de manera similar es decir si el producto punto es cero se tiene que 2 |||| |||| Cos = 0 y como se asume que ninguno de ellos es el vector cero la uacutenica forma en que esto sigue siendo cierto es que Cos sea igual a cero conclusioacuten que nos lleva al resultado esperado
Ejercicio- Determine un vector ortogonal al vector
(a) V = 7
1 (b) V =
a
1 y (c) V =
a
a 1 a es un nuacutemero real
Representacioacuten de regiones en el plano haciendo uso de vectores
Un punto (ab) en el plano puede ser representado por el vector V = b
a
ahora al tener muacuteltiplos de dicho vector de la forma tV = t b
a=
tb
ta con t un
nuacutemero real se genera una infinidad de vectores y cada uno de ellos tiene asociado uno y soacutelo un punto en el plano (sin considerar la propiedad de traslacioacuten de los vectores) Se afirma que todos estos puntos pertenecen o estaacuten en la misma liacutenea
Sea X = y
x los puntos que pueden ser representados por medio del
vector tV entonces se tiene que X = tV esto es
y
x =
tb
ta
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De aquiacute se deduce que b
y
a
xt que permite establecer la relacioacuten
xa
by que corresponde a una liacutenea recta que pasa por el origen y contiene
al punto (ab) Otra caracteriacutestica importante es que la liacutenea recta posee la misma orientacioacuten que el vector que la genera
Si se tiene dos vectores V = 1
1
y
x y W =
2
2
y
x estos representan a dos
puntos en el plano si estos son colineales de acuerdo al desarrollo anterior a lo maacutes nos pueden representar una liacutenea recta Pero si ambos vectores no son colineales se pueden generar otro tipo de regiones en el plano
Dados estos dos vectores se pueden generar tres liacuteneas las cuaacuteles contienen a los puntos (x1y1) (x2y2) y el origen generando ademaacutes un triaacutengulo que se puede representar haciendo uno de las componentes de los vectores dados
(x2y2) B (x1y1) A C Para poder representar una regioacuten como la del triaacutengulo primero se representaraacute el segmento AB la forma de realizarlo es ver que este segmento esta asociado al vector W Ahora recordando que los vectores que pueden representar los puntos sobre la liacutenea que contienen al vector W son sus muacuteltiplos escalares entonces se requiere soacutelo una parte de ellos de tal forma que este segmento quedaraacute representado por los vectores (t) = t W con 0 t 1 Note que (t) es una funcioacuten del paraacutemetro t y como resultado nos da un vector en dos dimensiones Es decir se tiene una funcioacuten del segmento [01] al plano que satisface que (0) = (00) y (1) = (x2y2) Para poder representar una regioacuten con aacuterea distinta de cero se requieren dos vectores no colineales V y W de forma tal que al tomar combinaciones lineales de ambos permite definir otro vector en el plano pero ya no necesariamente en la misma direccioacuten de los originales como en el caso de una suma observe que el punto D ya no esta contenido ni en la direccioacuten del vector V ni en la del vector W
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B= (x2 y2) D = (x1+x2 y1+y2) W V+W
A V C = (x1 y1) El cuadrado ABDC queda completamente representado al definir las combinaciones lineales de V y W de la siguiente forma Todos los vectores en el plano que se pueden definir a partir de lo siguiente
(ts) = t V + s W
en donde t y s son nuacutemeros reales y ademaacutes tiene la siguiente restriccioacuten 0 t 1 y 0 s 1 Ejercicio- Represente todos los puntos en el plano cuya distancia al vector
V = 2
1 es de dos unidades
Ejercicio- Represente todos los puntos en el plano que representan a un rectaacutengulo y dos de sus aristas estaacuten ubicadas en los vectores
V = 2
1 y W =
5
0
Ejercicio- Muestre que con dos vectores no colineales es posible definir el plano bidimensional (de igual forma pruebe que el espacio tridimensional se puede definir a partir de tres vectores no coplanares)
Estructura Algeacutebrica del espacio vectorial Los vectores permiten tienen estructura algebraica que se puede definir a partir de sus operaciones definidas anteriormente Proposicioacuten- Dados tres vectores y en el plano y un escalar k estos poseen las siguientes propiedades
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(i) Ley Asociativa La suma de vectores es asociativa
(ii) Ley Conmutativa La suma de vectores es conmutativa
(iii) Neutro Aditivo Existe un vector 0
denominado neutro aditivo que satisface la siguiente propiedad
00
Es decir al sumar con cualquier vector en el plano el resultado es el mismo vector
(iv) Para todo vector en el plano existe un vector denominado el inverso aditivo - tal que la suma de ambos es igual a cero
+ - = - + = 0
Este vector cero ambas componentes son iguale a cero y si las componentes de son (ab) las de - son (-a -b) Con a y b nuacutemeros reales La demostracioacuten de estas propiedades se basan en el principio del campo de los nuacutemeros reales Como ejemplo se demostraraacute la propiedad (ii)
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Tarea 1 Caacutelculo 3 Caacutelculo Vectorial Objetivo- Que el alumno sea capaz de resolver problemas relacionados con vectores comprenda la ecuacioacuten de una liacutenea en el espacio la ecuacioacuten de un plano aacuterea de paralelogramos las propiedades algebraicas asociadas con vectores en dos y tres dimensiones en cuanto al producto punto producto por un escalar y producto cruz Finalmente que sea capaz de determinar el volumen de un paralelepiacutepedo 1- Determine la ecuacioacuten de los puntos en el espacio que (1a) pertenecen al eje X (1b) pasan por la recta y=3x (1c) pasan por el punto (1-11) y en direccioacuten del vector i+j (1d) representan a la recta de interseccioacuten de los planos 3x ndash 2y + z = 7 y 2x + 4y ndashz = 4 (1e) representan al plano ortogonal a la liacutenea x=2y = 3z 2- Que regioacuten del espacio representan los puntos (2a) con componentes (x1z) (2b) contenidos por el paralelogramo definido por los vectores i+j y 3i ndashj (haga un bosquejo) 3- Determine un vector que sea muacuteltiplo escalar del vector α = 3i + j pero de norma uno (El vector resultante recibe el nombre de vector normalizado del vector α) 4- Determine un vector perpendicular al vector β = 2i + 3i - 5k 5- Pruebe que la ley conmutativa es vaacutelida en el producto escalar es decir αβ = βα 6- Pruebe que la siguiente propiedad es vaacutelida en el producto escalar entre un muacuteltiplo escalar de α y el vector β (k α)(β) = k (αβ) = α(kβ) 7- Deduzca la ecuacioacuten que establece la distancia de un punto P=(x1 y1 z1) en el espacio y el plano A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0 (Puedes encontrar la demostracioacuten en alguacuten libro de caacutelculo vectorial o intentar demostrarla usando el concepto de proyeccioacuten ortogonal)
8- Determine la distancia entre los planos x + y + z = 0 y x + y + z = 1 (Trate de determinar dicha distancia entre los planos paralelos sin hacer uso de la foacutermula y luego use dicha foacutermula para establecer el resultado finalmente trate de dar una interpretacioacuten de dicha solucioacuten) 9- Determine el volumen del paralelepiacutepedo generado por los vectores V1=(322) V2=(202) y V3=(041) 10- Determine el volumen del paralelepiacutepedo con cuatro de sus veacutertices en los puntos (123) (024) (305) y (222) realice un bosquejo de dicho paralelepiacutepedo
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11- Pruebe que dados cuatro veacutertices de un paralelepiacutepedo en el espacio se pueden generar cuatro paralelepiacutepedos distintos pero de igual volumen 12- Pruebe que α (β times γ) = γ (α times β) 13- Pruebe que α times (β + γ) = α times β + α times γ 14- Determine el aacuterea del paralelogramo generado por los vectores i+j-k 2i-j 15- Determine el aacuterea del paralelogramo generado por los vectores 2i+j 3i ndash j 16- Determine el aacutengulo que existe entre los vectores i+j-k y 2j ndash k 17- Determine si el vector i+j es una combinacioacuten lineal del vector 2i ndashj 18- Determine si el vector i+j es una combinacioacuten lineal del vector 2i + 2j 19- Determine el aacutengulo entre los planos 2x ndash y + z = 0 y 3x ndashy + 2z = 0 20- Determine la distancia entre los planos x + y + z = 0 y x + y + z = 1
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Capitulo 2 Funciones Vectoriales
En este capitulo se veraacuten temas relacionados con funciones de varias variables que van a los nuacutemeros reales (a las cuales se les llaman funciones reales) o que van a maacutes dimensiones
Cuando uno habla de este tema es importante recalcar que en la vida cotidiana se presentan diversas aplicaciones con el hecho de manejar varias variables que van desde la preparacioacuten de un cafeacute hasta el hecho de planear la agenda diaria de coacutemo distribuir el tiempo
Citemos el siguiente ejemplo En un estudio de calidad de vida de los sentildeores casados y con hijos se realizaraacute una evolucioacuten final de la satisfaccioacuten de su vida cotidiana en base a una encuesta en donde se mediraacuten diversos factores de vida familiar para esto se tiene la disyuntiva de poder distribuir los tiempos de Trabajo diversioacuten ejercicio jugar con los nintildeos convivir con su pareja visitar a familiares convivir con amigos Entonces no cabe duda que los resultados de la encuesta estaraacuten vinculados con los tiempos destinados a cada actividad asiacute por ejemplo
Persona Trabajo Diversioacuten Ejercicio Nintildeos Pareja Familiares Amigos
A 30 20 5 5 10 8 2
B 50 5 2 2 10 10 18
Otro ejemplo se presenta el preparar un cafeacute dado que aunque este sea
para la misma persona si usa distintos cantidades de cafeacute azuacutecar leche o temperatura final del mismo el resultado del sabor del mismo cambiaraacute notablemente Cabe sentildealar que cada individuo mide el grado de satisfacioacuten de forma diferente y a la vez esta se realiza en forma cualitativa dado que no se puede medir el grado de satisfacioacuten debido a que cada individuo tiene distintos gustos un cafeacute con poca azuacutecar para una persona puede ser para otra que este bien o que este muy azucarado
Por otra parte no es lo mismo tomar un cafeacute en un diacutea caluroso a una o
en un diacutea con friacuteo Siendo esta otra variable de estudio Como se puede apreciar el resultado final depende rotundamente de la cantidad que se mezcle de cada uno de los ingredientes con los que se cuentan Es decir es un problema de varias variables
Pongamos el siguiente ejemplo financiero una persona desea invertir en el banco en dos cuentas individuales siendo que en la primera da un rendimiento de 2 mensual y en la segunda del 3 si se desea saber cual es la ganancia mensual esto se puede escribir para el primer mes de la siguiente forma
G(xy) = 002x + 003y siendo x la cantidad de dinero aportada en la primer cuenta y la cantidad de dinero aportada en la segunda cuenta Esta seriacutea la ganancia del primer mes Asiacute si invierte mil pesos en la primer cuenta y dos mil en la segunda la ganancia del primer mes seraacute de ochenta pesos
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G(10002000) =002(1000)+003(2000) = 20 + 60 = 100
Cabe sentildealar que las aplicaciones en economiacutea en donde aparecen maacutes
de una variable abundan y que anaacutelisis maacutes completos de estados de cuenta con intereses o deudas en tiendas de conveniencia se pueden representar mediante funciones de varias variables debiendo desarrollar cada una de ellas en su debido tiempo
Por otra parte las aplicaciones en procesos de produccioacuten industrial son diversos y permiten evaluar el producto final que llegaraacute al cliente en cuanto a la calidad del mismo
Si un estudiante dedica cierta cantidad de horas de estudio y por otra parte se mide la atencioacuten prestada en sus horas de estudio Se pueden proponer lo siguiente No se esperariacutean los mismos resultados si dedica tres horas de estudio con poca atencioacuten a que si dedica la misma cantidad de horas de estudio con mucha atencioacuten Cabe sentildealar que la atencioacuten prestada depende del intereacutes de estudiante en la materia el gusto por la misma o la importancia que preste en conocer temas nuevos
Funcioacuten Vectorial
Se comenzaraacute el estudio de funciones vectorial de varias variables especificando algunos detalles sobre las mismas en principio una funcioacuten vectorial tiene como dominio un subconjunto de Rn y un conjunto de llegada esta en Rm
Asiacute si el dominio A tiene tres variables se dice que el dominio esta definido en R3 las tres variables se pueden denotar por x y z Ahora si antildeadimos que la funcioacuten en cuestioacuten refleja algunos rasgos de las variables anteriores por ejemplo si se considera importante la suma de las primeras dos el producto de la segunda y tercera Entonces se dice que la funcioacuten tiene como conjunto de llegada a dos variables en la primera se refleja una suma mientras que en la segunda se observa una multiplicacioacuten
Entonces la forma de escribir en la primera de ellas es x + y mientras que la segunda es yz asiacute la funcioacuten queda expresada como
F(x y z) = (x+y yz)
Una funcioacuten que se puede observar diariamente es la de la temperatura en una habitacioacuten considerando cada punto en el espacio de la habitacioacuten entonces el dominio esta en tres dimensiones y la imagen de la funcioacuten refleja la temperatura en cada punto de la misma observe que esta puede cambiar si se encuentra cercas de una ventana o de la estufa
Aquiacute T(x y z) Muestra la temperatura en cada punto de una habitacioacuten faltariacutea encontrar la ecuacioacuten matemaacutetica que modele dicho comportamiento
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Como se puede observar el poder estudiar un fenoacutemeno real por medio de un modelo matemaacutetico es fundamental para poder realizar predicciones del mismo por medio de las propiedades de la funcioacuten asociada al mismo como el hecho de que la funcioacuten sea creciente que tenga un valor maacuteximo Se mostraran algunos ejemplos maacutes adelante con la finalidad de motivar el estudio de los fenoacutemenos reales por medio de las matemaacuteticas Definicioacuten- (Funcioacuten) Una funcioacuten es una regla de asignacioacuten entre dos conjuntos A y B que asigna a cada elemento del conjunto A uno y soacutelo uno del conjunto B El conjunto de partida A se le denomina el dominio de la funcioacuten mientras que el conjunto de llegada es B se le conoce como el codominio de la funcioacuten En el caso de varias variables se tiene que A es un subconjunto de Rn mientras que el conjunto B es un subconjunto de Rm Aquiacute es importante que a ninguacuten elemento del dominio se le asigne al mismo tiempo dos elementos del codominio y a la vez que a ninguno del dominio quede sin ser asignado Un ejemplo de esto se presenta en la siguiente funcioacuten que va del conjunto dominio A = 1 2 3 al conjunto B = 2 4 6 8 al definir la funcioacuten f que asigna a cada elemento del dominio con su doble se tiene que f(1) = 2 f(2) = 4 y f(3) = 6 Ahora una funcioacuten de dos variables se puede definir a partir de los conjuntos C = (12) (23) (34) (36) y D =3 4 5 6 7 8 9 en donde la funcioacuten g C D representa la suma de los diacutegitos de cada pareja ordenada
En este caso g(12) = 3 g(23) = 5 y asiacute sucesivamente Cabe sentildealar que la pareja ordenada (12) es distinta a la pareja (21) en donde esta uacuteltima no pertenece dominio de la funcioacuten
6 5 Suma g(12) = 3 4 3 2 (12)
1 (21) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 0 1 2 3 4 5 6 Las parejas (12) y (21) ocupan distintas posiciones en el plano La segunda de ellas no pertenece al dominio de la funcioacuten de manera tal aunque se pudiera evaluarla pareja ordenada no se contempla por el hecho de que la funcioacuten no esta definida en dicho valor
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Un ejemplo de esta funcioacuten ocurre si consideramos el total que se tiene que pagar en una tienda despueacutes de comprar dos artiacuteculos distintos Otro de ellos se presenta al tomar una evaluacioacuten de calidad de cierto artiacuteculo en donde se van sumando los puntos y no necesariamente serian dos variables
Otra caracteriacutestica que se presenta en esta tipo de funciones es que los valores esteacuten bien definidos al momento de evaluar como el hecho de que no se puede dividir entres cero y no se pueden sacar raiacuteces de nuacutemeros negativos Este hecho es importante para detallar el dominio de algunas funciones
asiacute el dominio de la funcioacuten xxk 4)( esta restringido al hecho de que la
variable x sea menor a cuatro dado que el argumento 4-x debe de ser no negativo es decir 4-x 0 y de aquiacute se tiene que 4 x
Cuando se involucran dos variables un ejemplo es encontrar el dominio
de la funcioacuten yxyxh 44)( y por analogiacutea con el problema anterior
se sabe que 4 x y a la vez que 4 y quedando el dominio descrito de la siguiente manera D = (xy) 4 x 4 y
6 D Dominio de la funcioacuten 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7
Ejemplo- Determine el dominio de la funcioacuten 2 2( ) 9 h x y x y Aquiacute se tiene
que el argumento de dicha funcioacuten debe de ser positivo en donde el dominio
de la funcioacuten es 2 29 0x y que es equivalente a 2 29 x y que representa
a un ciacuterculo de radio 3 y centrado en el origen
Si la funcioacuten es 2 2
1( )
9h x y
x y el dominio es casi el mismo
eliminando en donde el argumento se hace cero debido a que no estaacute definida la divisioacuten entre cero siendo el dominio el mismo circulo del ejemplo anterior pero sin la orilla
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Como se puede apreciar el dominio de estas funciones estaacute definido por regiones en el plano cartesiano cuando el dominio de la funcioacuten estaacute contenido en R2
Derivadas Parciales La derivada parcial de una funcioacuten de varias variables consiste en derivar la funcioacuten con respecto a la variable en cuestioacuten y dejar a las otras variables fijas como si fuesen constantes Por ejemplo al derivar la funcioacuten f(x y z) = x2 + 3xy3 - 3xz las derivadas de f con respecto a x y y z se describen a continuacioacuten y se denotan cada una de ellas por medio de los simbolos fx fy y fz fx(x y z) = 2x + 3y3 - 3z fy(x y z) = 9xy2 fz(x y z) = - 3x Definicioacuten- (Gradiente de una funcioacuten) El gradiente de una funcioacuten real se define como el vector que contiene en sus componentes a sus primeras derivadas parciales Asiacute para el ejemplo anterior el gradiente de f es y se denota por
3
2
2 3 3
9
3
x
y
z
f x y z
f f xy
f x
Ejemplo- Determine el gradiente de las siguientes funiones g(xy)=(x2 y4) y h(xyzw) = 2x+y2-3z+8w
3
2( )
4
x
y
h xh x y
h y
2
2( )
3
8
x
y
z
w
g
g yg x y z w
g
g
El vector gradiente tiene varias propiedades que son muy uacutetiles una de ellas nos indica la direccioacuten de maacuteximo crecimiento y otra de ellas es que es un
vector tangente a las curvas de nivel de una funcioacuten
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Definicioacuten- (Derivada Direccional) La derivada direccional de una
funcioacuten en un punto (x0 y0) y en direccioacuten de un vector v=(AB) se define como el producto del gradiente de la funcioacuten evaluado en el punto (x0 y0) por el vector V dividido entre la norma de mismo vector
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Tarea nuacutemero 2 materia de Caacutelculo 3 Objetivo- Que el alumno sea capaz de interpretar la nocioacuten de liacutemite en varias variables identifique la graacutefica de funciones y haga uso de la derivadas parciales 1- Determine el dominio de las siguientes funciones
(1a) f(x y z) = 2221 zyx
(1b) g(x y) = xy
2
(1c) f(x y) = xy
(1d) g(x y) = y4
(1e) f(x y) = y
x
4
4
(1f) h(x y) = 24
1
xy
2- Realice un bosquejo de las siguientes graacuteficas
22 zyx 22 2zxy 22 yxz 222 yxz
3- Determine los siguientes liacutemites
(31) xyxyxyxf y 210)( 3 cuando (xy) tiende a (12)
(32) yx
zyzxzyxf
33
)( cuando (xy) tiende a (112)
(33) )00()(
)00()(
0
3
3
)(
44
32
yx
yx
Siacute
Siyx
yx
yxk cuando (xy) tienden a (00)
En caso de existir indique haciendo uso de la nocioacuten
(34) )()(2
zxyxxxy
xxyyxzyxF z cuando (xyz) tiende a (012)
4- Indique de las funciones del ejercicio anterior son continuas y en que dominio 5- Determine si las funciones del ejercicio tres son de clase C1 6- Determine la ecuacioacuten del plano tangente a la graacutefica de la funcioacuten g(xy) = x4-10y3 en el punto (1-1) y en el punto (12) grafique en la computadora y agregue en el documento de la tarea 7- Determine los conjunto de nivel de valor -2 -1 0 1 2 de las funciones (7a) f(x y) = 3x2 + 3y2
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(7b) g(x y) = 22 44 yx
(7c) h(x y) = 1 ndash y + x2 (7d) k(x y z) = x2 + y2 + z2 Indique las graacuteficas en computadora y agregue en el reporte
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Capiacutetulo 3
Trayectorias
En este capiacutetulo se realiza el estudio de las propiedades de las funciones vectoriales es decir se hace incapie en el concepto de funcioacuten y la de un vector
Este concepto permite describir entre otras cosas el camino seguido por una partiacutecula en el espacio con el ingrediente adicional de tener a la mano los conceptos de velocidad y aceleracioacuten derivados a partir de una sola ecuacioacuten aquella que guarda la relacioacuten de posicioacuten de la partiacutecula con respecto al tiempo
Por ejemplo al mover una onda esta describe un movimiento circular si
la onda se suelta un objeto puesto en ella sale disparado en forma tangencial Este movimiento se puede representar con vectores y debe de expresar que la velocidad sea tangente a la trayectoria que sigue dado que la piedra abandona la onda en liacutenea recta
Si esto se extrapola al vuelo de una mosca se puede inferir que la velocidad de la misma sea tangencial a la trayectoria que va recorriendo en cada punto esto se muestra en la siguiente graacutefica
Observe que el hecho de contar con la orientacioacuten del vector velocidad permite no soacutelo inferir la velocidad de escape de la partiacutecula sobre la curva sino a la vez conocer la orientacioacuten del movimiento de la misma
Definicioacuten- (Trayectoria) Una trayectoria es una funcioacuten que parte de los nuacutemeros reales al espacio n Euclidiano Es decir es una funcioacuten de la forma
))()()(()( 21 txtxtxt n
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Caso particular de una trayectoria de los reales a plano En el caso de una trayectoria de los reales al plano se puede ilustrar con el siguiente diagrama
σ(a) σ(b) a b
2][ Rba ))()(()( tytxt
Una forma de ilustrar esto es pensar que la variable t es el tiempo y la imagen corresponde a la trayectoria de un objeto en el plano asiacute que el tiempo t=a la partiacutecula se encuentra en el punto σ(a) que es el inicio del recorrido de la misma mientras que tiempo final t=b se localiza al final de la trayectoria de estudio
Se puede observar una flecha indicativa del sentido de la partiacutecula a lo largo de la trayectoria
Ecuacioacuten Parametrica y Cartesiana de una curva
Ejemplo- Dada la trayectoria )()( 2ttt con 22t realice una
graacutefica de dicha trayectoria
t ))()(()( tytxt
-2 )42()(t
-1 )11()(t
0 )00()(t
1 )11()(t
2 )42()(t
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Como se puede apreciar la imagen de la trayectoria que recibe el
nombre de curva es una paraacutebola esto se puede ver si se realiza lo siguiente
Como x = t y = t2 entonces se puede deducir que y=x2 la ecuacioacuten correspondiente a la graacutefica de una paraacutebola esta ecuacioacuten corresponde a sus coordenadas cartesianas por otra parte si se rescribe en forma de trayectoria se dice que la ecuacioacuten es su ecuacioacuten cartesiana dado que depende de un solo paraacutemetro
Parametrizacioacuten de una funcioacuten real Si y es una variable dependiente de la variable x es decir existe
una regla de asignacioacuten f tal que y = f(x) con bxa En donde a
cada elemento x le asigna uno y soacutelo un valor y La graacutefica de esta funcioacuten se debe de ver como un trazo en el plano de la siguiente forma
La graacutefica no puede ser de la siguiente forma
y2
y3
y1 y4
X1 X2
Note que al valor de x2 le asigna tres valores de y lo cual no
cumple con las condiciones para que f sea una funcioacuten Ahora la graacutefica de una funcioacuten de esta tipo no es otra cosa que
la imagen de una trayectoria la cual se puede parametrizar de la siguiente forma
Como y = f(x) entonces defina x = t y por consiguiente y=f(t) en
donde bta
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-4 -2 2 4
-30
-20
-10
10
20
30
-2 -1 1 2
-2
-1
1
2
Asiacute en el caso de la paraacutebola la parametrizacioacuten adecuada es x
=t y = t2 tal como estaba planteada originalmente Ahora si la funcioacuten es y = 2x3-10x con 44 x entonces la
parametrizacioacuten adecuada es
)102()( 3 tttt 44 t
La graacutefica de esta curva asociada a la trayectoria es
Parametrizacioacuten de una circunferencia Elipse e Hipeacuterbola
La ecuacioacuten cartesiana de una circunferencia con centro en el origen y
radio dos estaacute dada por 422 yx Al intentar escribir esta ecuacioacuten en
funcioacuten de un solo paraacutemetro se requiere despejar a la variable y obteniendo
dos funciones que son 24 xy Con 22 x
La graacutefica de esta curva permite visualizar que no pertenece a una
funcioacuten sino maacutes bien a dos que son las enunciadas anteriormente y como se ve a continuacioacuten
24 xy
24 xy
Una forma de representar esta curva es por medio de dos trayectorias
)4()( 2
1 ttt y )4()( 2
2 ttt 22t
Una forma alternativa de representar esta curva es por medio del uso de coordenadas polares en donde x=rCos(t) y= rSen(t) como el radio es fijo y es igual a dos estas ecuaciones se pueden escribir en funcioacuten de un solo paraacutemetro ldquotrdquo x=2Cos(t) y=2Sen(t) note que al evaluar x2+y2=4Cos2(t)+4Sen2(t) = 4(Cos2(t)+Sen2(t))=4 con lo cual satisface la
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ecuacioacuten de la circunferencia quedando expresada la trayectoria de la siguiente forma
σ(y) = (2Cos(t) 2Sen(t) con 0letle2π En esta ecuacioacuten define por completo a la curva auacuten y cuando la
ecuacioacuten original no es una funcioacuten siendo esto una ventaja del estudio de la trayectorias
Ejemplo- La parametrizacioacuten de la elipse 12
2
2
2
b
y
a
x queda
expresada por x = aCos(t) y=bSen(t) se deja como ejercicio comprobar este resultado
Ejemplo- La parametrizacioacuten de la hiperbola 12
2
2
2
b
y
a
x queda
expresada por x = aCosh(t) y=bSenh(t) en donde se trabaja con las funciones de Seno y Coseno hiperboacutelicas se deja como ejercicio comprobar este resultado (aunque soacutelo permite representar el lado correspondiente a los cuadrantes I y IV en donde la x es no negativa
Derivada de una trayectoria La derivada de una trayectoria es un vector tangente a la curva esto se
deriva del siguiente anaacutelisis
Dada la trayectoria σ(t) se grafican la posicioacuten de la curva al tiempo t y t+h luego trace el vector asociado a la liacutenea secante que une los puntos de aquiacute al tomar valores cada vez maacutes pequentildeos de h el vector secante se convierte en un vector tangente a la curva como se muestra a continuacioacuten
Por otra parte el anaacutelisis vectorial de este cociente es
)()()(
0
tt
tht
h
Liacutem
Es decir la derivada de la trayectoria y el vector resultante es
tangente a la curva
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Asiacute para el caso de una curva en el plano la trayectoria se puede describir por medio de dos funciones x(t) y(t) de la siguiente forma
)(
)()(
ty
txt
En donde la derivada de esta funcioacuten es
)(
)()(
ty
txt
Vector tangente a la graacutefica de una circunferencia de radio R Ahora si se tiene la parametrizacioacuten de una circunferencia esta esta
dada por σ(t) = ( RCos(t) R Sen(t))
Y X
Un vector tangente tiene que cumplir que su producto punto tiene que
ser cero de aquiacute si V=(AB) al multiplicarlo por el vector σ su producto punto tiene que ser cero
De aquiacute que σ(t)V = ARCos(t) + BRSen(t) = 0 Existiendo muchas soluciones a este sistema de ecuaciones siendo una
de ellas cuando A = Cos(t) B=-Sen(t)
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Vector trasladado
Siendo este un vector tangente a la curva ahora al derivar las
componentes xrsquo(t) = -RSen(t) y(t) = RCos(t) que es un muacuteltiplo escalara del vector tangente mostrado anteriormente
Definicioacuten- (Rotacional) El rotacional de un campo vectorial
F=Pi+Qj+Rk de clase C1 de define como el vector
i j k
RotFx y z
P Q R
Ejemplos- Determine el rotacional de los siguientes campos vectoriales
F1=xi+yj+zk F2=x2yi-xy
2j-3zyk
Solucioacuten-
1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0
i j k
RotF z y i z x j y x kx y z y z x z x y
x y z
2 2 2 2
2
2 2
( 3 ) ( ) ( 3 ) ( ) ( ) ( )
3
i j k
RotF zy xy i zy x y j xy x y kx y z y z x z x y
x y xy zy
2 2
2
2 2
3 0
3
i j k
RotF z i j y x kx y z
x y xy zy
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Definicioacuten- (Divergencia) Si F es un campo vectorial de clase C1 la divergencia de F se define como un campo escalar de la siguiente forma
( )P Q R
divF div Pi Qj Rkx y z
Ejemplos- Determine la divergencia de los siguientes campos vectoriales F1=xi+yj+zk F2=x
2yi-xy
2j-3zyk
Solucioacuten-
1 ( ) ( ) ( ) ( ) 3divF div xi yj zk x y zx y z
2 2 2 2
2 ( 3 ) ( ) ( ) ( 3 ) 2 2 3 3divF div x yi xy j zyk x y xy zy xy xy y yx y z
Definicioacuten- (Laplaciano) Si f es un campo escalar de clase C2 el Laplaciano de f se define como un campo escalar de la siguiente forma
2 2 2
2
2 2 2xx yy zz
f f ff f f f f
x y z
Ejemplos- Determine la divergencia de los siguientes campos escalares g1(x
y z) = xy2z
3 g2(x y z) = x
2 + y
2 + z
2
2 2 2
2 2 3 2 3 2 3 2 3 3 2 2
2 2 2( ) ( ) ( ) 2 3 f f xy z xy z xy z y z yz xy z
x y z
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2( ) ( ) ( ) 6f f x y z x y z x y z
x y z
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Tarea nuacutemero 3 Trayectorias
Objetivo- Que el alumno sea capaz de comprender los conceptos de movimiento de una partiacutecula a lo largo de una trayectoria y de la importancia del uso de vectores en este tema 1- Si la trayectoria σ(t) = t2i+t2j define la trayectoria seguida por una partiacutecula con respecto al tiempo determine 1a- iquestEl tipo de trayectoria que describe 1b- Realice una graacutefica de la distancia recorrida por la partiacutecula con respecto al tiempo en los primeros tres segundos 1c- Determine el tipo de movimiento de la partiacutecula 1d- iquestSe puede afirmar que es un movimiento uniformemente acelerado 1e- Determine la aceleracioacuten y velocidad a los cuatro segundos 1f- Realice una graacutefica de su rapidez con respecto al tiempo 1g- Realice una graacutefica de sus aceleracioacuten con respecto al tiempo 1h- En la graacutefica de la trayectoria agregue graacuteficamente los vectores aceleracioacuten y velocidad 2- Realice lo mismo que en ejercicio anterior pero ahora con la funcioacuten γ(t) = Cos(t) i+5Sen(t)j 3- Dadas las funciones f(t) = 3t2i-4t3j+e2tk y g(t) = 4t3i+4t2j+e-2tk 3a- Determine la funcioacuten producto punto h = fg 3b- Determine la derivada de h 3c- Usando la regla de diferenciacioacuten determine la derivada de h y compruebe el inciso anterior 4a- Determine la funcioacuten producto cruz k = ftimesg 4b- Determine la derivada de h 4c- Usando la regla de diferenciacioacuten determine la derivada de h y compruebe el inciso anterior 5- Determine el Rotacional y la Divergencia del siguiente campo vectorial G(x y z) = 2xy i + 3xz j - 5xy k 6- Determine el gradiente y el Laplaciano del siguiente campo escalar f(xyz) = 4x2-3yz2 7- Dado el campo vectorial F(x y z) = 2xy i + x2 j +3z2 k 7a- Determine si F puede representar el gradiente de un campo escalar f 7b- En caso de ser afirmativa la respuesta del inciso anterior determine el campo escalar f 8- Pruebe que la divergencia del rotacional de un campo vectorial F=Pi+Qj+Rk es igual a cero Es decir la div rot F =0 9- Usando las reglas de diferinciacioacuten pruebe que
gfgfgf
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100 -x
Capitulo 4 Maacuteximos y miacutenimos
Es indispensable determinar en distintos problemas las soluciones oacuteptimas que permitan establecer por ejemplo los valores maacuteximos de produccioacuten o ahorrar el material en la construccioacuten de cierto equipo
Como se recordaraacute el gradiente de una funcioacuten indica la direccioacuten de
maacuteximo crecimiento esto se refleja en que si se toma la direccioacuten sugerida por este vector el valor de la funcioacuten aumenta en una vecindad del mismo asiacute si en un diagrama de un campo gradiente aparecen un punto en donde convergen la direccioacuten de todos los gradientes se encontraraacute que dicho valor debe de ser un valor maacuteximo para la funcioacuten de estudio Un diagrama de esta tipo se ejemplifica a continuacioacuten
Un diagrama en donde todos los vectores apuntan hacia fuera de un
punto indicaraacute que este punto debe de ser un valor miacutenimo de la funcioacuten Citemos el siguiente ejemplo de una variable con la finalidad de
centrarnos en el tema Una persona desea bardear un terreno en forma rectaacutengular cuanto debe de medir cada lado de manera tal que el aacuterea cercada sea maacutexima si se cuenta con 200 metros de malla
La funcioacuten que representa dicho modelo es
A(x) = x(100-x) x
Como se puede observar el aacuterea es cero si x es igual a cero o a cien con lo cuaacutel el lado x debe de estar en en intervalo [0 100] siendo estas las restricciones del problema Derivando la funcioacuten para obtener los valores critiacutecos se tiene que Arsquo(x) = 100 ndash 2x
Al igual la derivada a cero se concluye que el valor critico es x es igual a 50 Al derivar por segunda ocasioacuten se concluye que
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Arsquorsquo(x) = -2 Como la segunda derivada es siempre negativa se concluye que la funcioacuten alcanza un valor maacuteximo en el valor critico en este caso en x = 50 al interpretar dicho resultado se concluye que el terreno que optimiza la solucioacuten es un cuadrado Ejercicio- Que aacuterea se genera si el terreno es de forma circular Al resolver el ejercioacute anterior y comparar las aacutereas del cuadrado y del circulo se puede apreciar que el aacuterea del circulo es mayor pero en la praacutectica es poco atractivo cercar terrenos circulares por diversas razones pero en la naturaleza es comuacuten observar que las gotas de lluvia sean esferas esto permite el optimizar recursos y maacuteximizar el volumen del liacutequido contenido en la misma Se iniciara el estudio formal de maacuteximos y miacutenimos de funciones de varias variables observando las siguientes graficas con la finalidad de tener la idea clara de que es un maacuteximo o miacutenimo o un punto silla
En la primera de ellas se observa que la funcioacuten tiene un valor miacutenimo en la segunda se observa que la funcioacuten tiene un valor maacuteximo y en la uacuteltima la funcioacuten tiene un punto silla este se identifica el dirigirnos en una direccioacuten la funcioacuten crece mientras que en la otra la funcioacuten decrece
Definicioacuten- Una funcioacuten mn RRf tiene un valor maacuteximo local en x0 si en
una vecindad de dicho valor se cumple que la funcioacuten evaluada en todos los vecinos ninguno de ellos supera a f(x0) Es decir f(x0) f(x) para todo x en una vecindad de x0 El punto es llamado un maacuteximo absoluto si la funcioacuten toma el valor maacuteximo en dicho punto para todo valor de su dominio
Esto es muy similar cuando uno observa a los alumnos de un saloacuten de clases existe un alumno que tiene la mayor estatura si ninguno de sus compantildeeros lo supera Asiacute en la escuela el alumno de mayor estatura absoluta es aquel que supera a todo el plantel
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La definicioacuten para el miacutenimo local (absoluto) es similar
f(x0) f(x) para todo en una vecindad de x0 Por ejemplo la funcioacuten f(xy) = x2+y2 tiene un valor miacutenimo en el origen dado que en este valor la funcioacuten vale cero mientras que fuera de ahiacute siempre es positiva dado que todo nuacutemero real elevado al cuadrado es siempre positivo Ademaacutes dicho valor es un miacutenimo absoluto Como se menciono al inicio de esta capitulo el diagrama del campo
gradiente de esta funcioacuten y
xyxf
2
2)( indica que la funcioacuten tiene un valor
miacutenimo siendo la grafica del mismo la siguiente Sin embargo se requiere un criterio maacutes general y sistemaacutetico que permita establecer los posibles valores maacuteximos miacutenimos o puntos silla) Definicioacuten- (Un valor extremo) Si la funcioacuten posee un valor maacuteximo o miacutenimo este es llamado un valor extremo Definicioacuten- (Un valor critico) Un punto en donde la derivada de la funcioacuten se anula es llamado un valor critico Teorema- Todo valor extremo es un valor critico Es decir si f posee un valor extremo en x0 que pertenece a su dominio entonces la derivada de la funcioacuten en el punto x0 se anula Es decir Df(x0) = 0 Demostracioacuten- Sea l(t) una trayectoria que pasa a traveacutes por el punto x0 defina la composicioacuten de funciones h(t) = f(l(t)) donde l(t) = x0 + tv de donde lrsquo(t) = v y ademaacutes
))(()())(()( VtlftDltlDftDh (1)
Por otra parte como f posee un valor extremo en x0 suponga que dicho
valor es un maacuteximo entonces x0 seraacute a la vez un maacuteximo para la funcioacuten h y como h es una funcioacuten real esto significa que la derivada de h en dicho punto
se anula es decir 0)()0())0(()0( 0 vxfDllDfDh ahora como los
vectores )( 0xf y v no son necesariamente perpendiculares y el vector v a la
vez tampoco se anula entonces esto implica que el gradiente de f en x0 es igual a cero y por lo tanto f posee un valor criacutetico en x0
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Este resultado permite establecer posibles valores criacuteticos de una funcioacuten asiacute se menciona el siguiente ejemplo Ejemplo- Determine los posibles valores criacuteticos de las siguientes funciones (1) f(x y) = x2 + y2 y (2) g(x y) = 4x3 -12x + y2
Solucioacuten-
(1) 0
0
2
2)(
y
xyxf de aquiacute se concluye que dicho valor soacutelo
existe un valor criacutetico siendo este el origen el cuaacutel ya se clasifico en estos apuntes y resulto ser un valor miacutenimo
(2) 0
0
2
1212)(
2
y
xyxg de aquiacute se obtienen dos valores criacuteticos
que son (-10) y 1l (10) Los cuales se pueden clasificar el realizar el graacutefico del campo gradiente En donde se aprecia que en el punto (-10) la funcioacuten posee un punto silla mientras que en el punto (10) la funcioacuten posee un valor miacutenimo
Aquiacute se utilizaraacute el criterio del hessiano para determinar si el valor criacutetico es un maacuteximo un miacutenimo o un punto silla Solo se enunciara el teorema sin demostracioacuten para ver la misma puede revisar en el libro de Marsden Tromba de Caacutelculo Vectorial
Definicioacuten- El Hessiano de una funcioacuten 22 RRH de clase C2 se define como una funcioacuten cuadraacutetica que se escribe como
2
1
2
22
2
2
2
21212
1)(
h
h
y
f
yx
f
xy
f
x
f
hhhhH
Evaluada la matriz de las segundas derivas parciales en el valor criacutetico
Teorema- Si el Hessiano de una funcioacuten 2 RRf es definitivamente
positivo entonces la funcioacuten tiene un valor miacutenimo en dicho punto
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Corolario- Si la matriz asociada A=cb
ba de una forma cuadraacutetica dos
por dos es definitivamente positiva si y soacutelo si se cumple que agt0 y det A gt0
Teorema de una valor para un valor extremo miacutenimo- Una funcioacuten
2 RRf de clase C2 posee un valor extremo miacutenimo local en x0 elemento
del dominio de la funcioacuten si y soacutelo si se satisfacen las siguientes condiciones
(i) 0)( 0xx
f y 0)( 0x
y
f
(ii) )( 02
2
xx
f gt 0
(iii) )( 02
2
xx
f)( 02
2
xy
f)(
2
2
oxx
f)( 02
2
xx
f gt 0
Para un valor maacuteximo las condiciones (i) y (iii) se mantienen la uacutenica que cambia en la segunda en donde esta debe ser negativa Para un punto silla se requiere que al menos no se cumplan las condiciones de valor maacuteximo ni miacutenimo y que la uacuteltima condicioacuten (iii) sea distinta de cero En caso contrario el criterio no permite clasificar dicho valor como se mostraraacute en un ejemplo maacutes adelante Ejemplo- Ahora continuando con los ejemplos anteriores
(1) Para f(xy) = x2+y2 el valor critico es el origen y el hessiano asociado es
2
1
212100
02
2
1)(
h
hhhhhH
Como se pude apreciar el primer valor es positivo 2 gt0 y el determinante de
la funcioacuten 20
02det es igual a 4 que a la vez es positivo de manera tal que la
funcioacuten posee un valor miacutenimo en el origen
(2) g(x y) = 4x3 -12x + y2 los puntos criticos son (-10) y (10) y el hessiano asociado a esta forma cuadraacutetica es
2
1
212120
024
2
1)(
h
hxhhhhHg
Ahora al evaluar en los puntos se tiene En el (-10)
2
1
212120
024
2
1)(
h
hhhhhHg
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38
En donde -24 lt 0 y det Hg = -48 lt0 con lo cuaacutel debe de ser un punto silla
En el (10)
2
1
212120
024
2
1)(
h
hhhhhHg
En donde 24 gt 0 y det Hg = 48 gt0 con lo cuaacutel debe de ser un punto miacutenimo
Tal como se habiacutea estimado en la graacutefica del campo gradiente de la
solucioacuten anterior A continuacioacuten se muestra un bosquejo de dicha graacutefica realizado en el derive
Ejemplos de cuando el criterio permite clasificar los
valores criacuteticos
Ejemplo- A continuacioacuten se mostrara un ejemplo de cuando el criterio no concluye asiacute si la funcioacuten es h(xy) = x4+y4 al calcular las derivas parciales mixtas fx=4x3 y fy=4y3 se encuentra un solo valor critico el origen miestras que la matriz asociada del hessiano es
2
2
120
012
y
x y al evaluar en el origen queda expresada como
00
00
)0(120
0)0(122
2
En donde se puede apreciar que fallan todos los criterios una inspeccioacuten de
la funcioacuten original permite ver que la funcioacuten tiene un valor miacutenimo en dicho punto pero no es una generalizacioacuten es decir no se puede decir que siempre que aparezca la matriz de ceros se tenga un valor miacutenimo dado que si se analiza ahora a las funciones k(xy) = -x4-y4 y p(xy) = x4-y4 ambas tienen como calor extremo al origen y la matriz hessiana asociada a la forma cuadraacutetica evaluada en el origen es la matriz de ceros
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39
Ejemplo- Otro ejemplo en donde el criterio no concluye es el siguiente en
donde el determinante de la matriz H es cero debido a que la segunda derivada de la funcioacuten f con respecto a la segunda variable se anula (fyy = 0) y no se puede asegurar que se tenga un punto maacuteximo miacutenimo o silla
Las funciones f1(xy) = x2 f2(xy) = -x2 y f3(xy) = x3 presentan este
problema a continuacioacuten se muestran las graficas de dichas funciones
En cada una de ellas los puntos criacuteticos son las parejas en el plano (0 y) Es decir el eje coordenado X
El Hessiano respectivo de cada uno es el siguiente
00
02)(1 yxH
00
02)(2 yxH
00
03)(3
xyxH
Note que el determinante de cada de estas matrices se hace cero y que fyy
se anula en cada caso
Ahora observando las graacuteficas se verifica visualmente que en la primera se tienen valores miacutenimos en la segunda maacuteximos y en la uacuteltima no es ni maacuteximo ni miacutenimo o punto silla
Ejemplo- Citemos otro ejemplo en donde el criterio de maacuteximos y miacutenimos
no concluye Determine los puntos criacuteticos de la funcioacuten h(xy) = x4 Se tiene que hx=4x3=0 y hy=0 de donde se deduce que la funcioacuten tiene
un nuacutemero infinito de puntos criacuteticos estos son las parejas ordenadas en el plano (0y)
La matriz del Hessiano asociado es
00
012)(
2
1
xyxH y evaluando en el punto
00
00)0(1 yH
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40
En donde no se puede clasificar a los valores criacuteticos sin embargo
realizando una inpeccioacuten de la funcioacuten se puede concluir que todos los puntos representan valores miacutenimos de la funcioacuten original a continuacioacuten se muestra la grafica de la misma
El Hessiano para n variables y el criterio de clasificacioacuten
Cuando la funcioacuten tiene maacutes de dos variables se genera una matriz asociada H en cada uno de los valores criacuteticos de la siguiente forma
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
H
21
22221
11211
De aquiacute se definen las siguientes matrices
111 aH 2221
1211
2aa
aaH hellip HH n
Los criterios para los valores criacuteticos de la funcioacuten RRf n son los
siguientes [Miacutenimo Local] La funcioacuten f posee un valor extremo local miacutenimo en x0 si todos los determinantes de las submatrices evaluados en x0 son positivos
0det 1H 0det 2H hellip 0det 2H (+ + hellip +)
En este caso la forma cuadraacutetica se puede probar que es definitivamente positiva [Maacuteximo Local] La funcioacuten f posee un valor extremo local miacutenimo en x0 si todos los determinantes de las submatrices evaluados en x0 se alternan en signo pero el primero de ellos debe ser negativo
0det 1H 0det 2H hellip 0det 2H (- + - + hellip )
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41
En este caso la forma cuadraacutetica se puede probar que es definitivamente negativa [Punto Silla] La funcioacuten f posee un punto silla si no se cumplen los criterios de valor miacutenimo o maacuteximo y al menos uno de los subdeterminantes es distinto de cero
Existe un i tal que 0det iH
Ejemplos- Determine los valores criacuteticos de las siguiente funcioacuten f(x y z w) = x3 - 3x + y3 ndash 3y + z2 + w2 y claacutesifiquelos Solucioacuten- Al resolver las siguientes ecuaciones
033 2 xxf x 033 2 yyf y 02zf z y 033 2 wwfw
Se obtienen cuatro puntos criacuteticos que son (-1-100) (-1100) (1-100) y (1100) ahora se genera la matriz del hessiano asociado siendo esta
2000
0200
0060
0006
y
x
H
Al evaluar en cada uno de los puntos se tienen las siguientes matrices
2000
0200
0060
0006
)0011(H
2000
0200
0060
0006
)0011(H
2000
0200
0060
0006
)0011(H y
2000
0200
0060
0006
)0011(H
Los sub determinantes para cada uno de los puntos son [(-1 -1 0 0)] -6 36 72 144 que clasifica como un punto silla [(-1100)] -6 -36 -72 -144 que clasifica como un punto silla [(1-100)] 6 -36 -72 -144 que clasifica como un punto silla [(1100)] 6 36 72 144 que clasifica como un valor miacutenimo De manera tal que la funcioacuten tiene tres puntos silla y un valor miacutenimo
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Ejercicios- Determine los puntos criacuteticos de las siguientes funciones y claacutesifiquelos utilizando el criterio del Hessiano
(1) f(x y) = x2 - y2 (Silla de montar)
(2) g(x y) = 22 yx (Cono)
(3) h(x y z) = x4 - 2x2 + 2y3 -3y2 + z3-3 Ejercicio- Se requiere construir una lata con tapa que contenga un litro de agua con el miacutenimo de material determine las condiciones que oacuteptimizan el problema Ejercicio- Determine el producto maacuteximo de tres nuacutemeros si la suma de ellos debe ser 40 Ejercicio- Determine la distancia miacutenima del origen a la graacutefica de la funcioacuten f(xy) = 4-x2+y Ejercicio- Estudie los ejemplos resueltos que trae el libro de Marden Tromba en el capitulo 4 en especial el referente a la ecuacioacuten de miacutenimos cuadrados Ejercicio- Determine la ecuacioacuten lineal que mejor se ajusta a los puntos (12) (2 32) (3 389) (4 488) (5 55) Utilize el criterio de miacutenimos cuadrados en caso de que el modelo sea lineal (justifique la linealidad del mismo realice una graacutefica de los puntos y de la liacutenea que ajusta a los puntos) Ejemplo- (Aplicacioacuten) En este ejemplo dermina la distancia miacutenima del punto (100) a la graacutefica de una funcioacuten f(x y) = x2+y2
Solucioacuten- Todos los puntos que se encuentran sobre la graacutefica de la funcioacuten satisfacen la siguiente terna de valores en donde se observa que la tercer componente es la variable dependiente (x y x2+y2)
La distancia del punto (1 0 0) a los puntos que estaacuten sobre la graacutefica (x y x2+y2) Se define por medio de la funcioacuten
2222222 )()1()()001()( yxyxyxyxdyxfd
Para determinar el valor miacutenimo o maacuteximo de esta funcioacuten basta con
analizar su argumento dado que es un funcioacuten creciente Es decir Si x1lt x2
entonces f(x1) lt f(x2) lo que es vaacutelido para la funcioacuten )( xxf (ver graacutefica)
2x
1x
x1 x2
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De este modo la funcioacuten a maximizar es
2222222
11 )()1()()001()( yxyxyxyxdyxfd
De aquiacute al las derivadas parciales son
)(4)1(2)( 22
1 yxxxyxfd x y )(42)( 22
1 yxyyyxfd y
Igualando ambas ecuaciones a cero se puede establecer la siguiente
ecuacioacuten
)(4
)(4
2
2222
22
yxy
yxx
y
x (3)
De aquiacute si )00()( yx y 0y se concluye que -1=0 lo cual es una
contradiccioacuten Por otra parte si (xy)=(00) en la primera ecuacioacuten se tiene que 1=0 que es tambieacuten una contradiccioacuten Finalmente si se considera el caso en
que y=0 se obtiene de la siguiente ecuacioacuten 012 3 xx
El polinomio 12)( 3 xxxP tiene una raiacutez entre el cero y el 1 dado
que P(0)=-1 y P(1)=2 Con el anaacutelisis de raiacuteces racionales dos posibles raiacuteces
son 2
1 y como
2
1 estaacute entre cero y uno al usando divisioacuten sinteacutetica se
obtiene que 4
1
2
1P Asiacute que la raiacutez debe de estar en el intervalo 1
2
1
Ahora usando el meacutetodo de Newton con semilla en 2
10x se obtiene
que 6010
6
2
54
1
2
1
)(
)(
0
0
01xf
xfxx
Ahora al evaluar la funcioacuten en dicho punto se tiene que 0320)60(P el
cual es aceptable como raiacutez del polinomio en una sola interaccioacuten De manera tal que el punto criacutetico de la funcioacuten es el (060) El Hessiano asociado es
24128
82412)(
22
22
xyxy
xyyxyxH
Como se puede apreciar el primer elemento de la matriz es positivo independientemente de los valores de x e y Falta evaluar el determinante de H este es igual a
)64)2412)(2412()(det 222222 yxxyyxyxH
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44
Ahora evaluando en (06 0) se tiene 7421)443)(326()060(det H
Que tambieacuten es positivo de manera tal que se tiene un valor miacutenimo Es
decir la se obtuvo la distancia miacutenima
Maacuteximos y Miacutenimos con restricciones
Los muacuteltiplicadores de Lagrange permite determinar valores maacuteximos o miacutenimos de funciones con restricciones De este tipo de problemas esta lleno nuestro contorno desde el panedero que desea producir la maacutexima cantidad de pan pero con la restriccioacuten del capital que tiene o la posible venta del diacutea para que no tenga sobrantes
Citemos el siguiente ejemplo la graacutefica de paraboloide z = x2+y2 esta
graacutefica soacutelo tiene un valor miacutenimo en el origen sin embargo si esta restringida
al cuadrado unitario 1111 la funcioacuten alcanza cuatro puntos maacuteximos en
los puntos (-11)(-1-1) (1 -1) y (11) a saber dicho valor es 2 Como se observa en la figura
Ahora si se trabaja con la silla de montar con la misma restriccioacuten esta
funcioacuten tiene originalmente un punto silla en el origen pero al analizar las restricciones se contiene dos valores maacuteximos y dos miacutenimos en los puntos (10) (-10) (0-1) y (01)
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45
Muacuteltiplicadores de Lagrange Teorema- Dadas dos funciones fg Rn a R diferenciables en X0 elemento del dominio de ambas funciones Si Lc es el conjunto de nivel de valor c de la funcioacuten g y si f posee un valor maacuteximo miacutenimo o silla en la restriccioacuten Lc
entonces existe un nuacutemero real λ tal que )()( 00 XgXf
Se puede ver parte de la demostracioacuten de este teorema en el libro de Marsden Tromba Para clasificar los puntos criacuteticos se utiliza el criterio del Hessiano limitado el cuaacutel se define a partir de la funcioacuten auxiliar H(x1 x2 hellip xn) = f(x1 x2 hellip xn) - λ g(x1 x2 hellip xn)
nnnn
n
n
xxxxx
xxxxx
xx
hhg
hhg
gg
H
1
1111
10
||
Ahora defina los siguientes determinantes
22122
21111
210
|| 1
xxxxx
xxxxx
xx
hhg
hhg
gg
H
3323131
3222121
3121111
3210
|| 2
xxxxxxx
xxxxxxx
xxxxxxx
xxx
hhhg
hhhg
hhhg
ggg
H ||det|| HHn
Criterios para maacuteximos y miacutenimos con restricciones (Hessiano liacutemitado) [Miacutenimo Local] Se tiene un miacutenimo local si y soacutelo si todos los determinantes son negativos |H1| lt0 |H2| lt0 hellip |Hn|lt0 ( - - - - - hellip)
[Maacuteximo Local] Se tiene un maximo local si y soacutelo se inicia con un determinante positivo y luego se alternan los signos |H1| gt 0 |H2| lt 0 hellip |Hn|lt0 (+ - + - hellip)
[Punto del tipo Silla] Se tiene un punto tipo silla sino se satisface los criterios de maacuteximos o miacutenimos y al menos uno de los determinantes es distinto de cero Ejemplo- Determine si la funcioacuten f(xy)= x2 ndash y2 tiene valores criacuteticos en la restriccioacuten x2+y2=1
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46
)(2
2
2
2)( 00 Xg
g
g
y
x
y
x
f
fXf
y
x
y
x
de aquiacute se obtienen las ecuaciones 2x = 2 λx -2y = 2 λy x2 + y2 =1 Las soluciones de este sistema de ecuaciones son (-101) (101) (0-1-1) y (0-11) El Hessiano liacutemitado es
2202
0222
220
||
y
x
yx
H
El determinante es igual a det|H| = 8x2(1+λ) ndash 8y2(1-λ) ahora evaluando
cada uno de los puntos se tiene que det|H|(-101) = 16 gt 0 det|H|(101) = 16 gt 0 det|H|(0-1-1) = -16 lt 0 det|H|(0-11) = -16 lt 0
De manera tal que la funcioacuten posee dos valores maacuteximos en los puntos (-10) y (10) y por otra parte tiene dos valores miacutenimos en los puntos (0-1) y (0-1) Ejemplo- Determine si la funcioacuten f(xy)= x2+y2 tiene valores criacuteticos en la restriccioacuten x2-y2 le 4 Al iniciar este estudio se trabaja con el interior es decir x2-y2 lt 4 dando como resultado el anaacutelisis de maacuteximos y miacutenimos de una funcioacuten en general de donde el gradiente de f se anula uacutenicamente en el origen siendo este valor un miacutenimo como se habiacutea visto en un ejercicio anterior para la funcioacuten del paraboloide Ahora al trabajar sobre la frontera se usa el criterio de muacuteltiplicadores de Lagrange
)(2
2
2
2)( 00 Xg
g
g
y
x
y
x
f
fXf
y
x
y
x
de aquiacute se obtienen las ecuaciones 2x = 2 λx 2y = -2 λy x2 - y2 = 4
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47
Las soluciones de este sistema de ecuaciones son (-201) y (201) El Hessiano liacutemitado es
2202
0222
220
||
y
x
yx
H
El determinante es igual a det|H| = -8x2(1+λ) + 8y2(1-λ) ahora
evaluando en cada uno de los puntos se tiene que det|H|(201) = -64 gt 0 y det|H|(-201) = -64 lt 0
De manera tal que la funcioacuten posee dos valores miacutenimos en los puntos (-20) y (20)
Una anaacutelisis de la graacutefica de esta funcioacuten permite visualizar que dichos
puntos no son miacutenimos maacutes bien son puntos tipos silla y no es que el criterio falle sino maacutes bien que los valores son miacutenimos pero sobre el complemento es decir bajo la restriccioacuten x2-y2 ge 4 Ejemplo- Determine los valores criacuteticos de la funcioacuten f(xyz) = 2x+y+3z sujeta a la restriccioacuten x2+y2+z2 le 36 Solucioacuten- Un anaacutelisis de las condiciones iniciales muestra que la graacutefica a maximizar en un hiperplano restringido en su dominio a una esfera de radio 6 de acuerdo a estas condiciones la funcioacuten en su interior no debe tener valor criacuteticos y en la frontera debe tener un valor miacutenimo y un valor maacuteximo En el interior- Al derivar la funcioacuten original se tiene lo siguiente
3
1
2
)( 0
z
y
x
f
f
f
Xf
De aquiacute se observa que la funcioacuten no posee valores criacuteticos en todo su dominio tal y como se esperaba Frontera- Al utilizar las condiciones del los Muacuteltiplicadores de Lagrange se tiene lo siguiente
)(
2
2
2
3
1
2
)( 00 Xg
z
y
x
f
f
f
Xf
z
y
x
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48
De aquiacute se genera el siguiente sistema de ecuaciones 2 = 2λx 1 = 2λy 3 = 2λz x2+y2+z2=36
Resolviendo el sistema se concluye que 2
1
1yx amp
2
3z Ahora
sustituyendo en la uacuteltima ecuacioacuten se deduce que la funcioacuten posee dos valores criacuteticos que son
18
14
14
1427
14
149
14
1418amp
18
14
14
1427
14
149
14
1418
La funcioacuten auxiliar es H(xyzλ) = 2x+y+3z-λ(x2+y2+z2) donde Hx=2-2λx Hy=1-2λy Hz=3-2λz El Hessiano Liacutemitado es
2002
0202
0022
2220
||
z
y
x
zyx
H
De aquiacute
0
0)(8
202
022
220
|| 22
1si
siyx
y
x
yx
H
0576)(16
2002
0202
0022
2220
|| 22222 zyx
z
y
x
zyx
H
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49
De aquiacute se desprende que la funcioacuten f(xyz) = 2x+y+3z posee un valor miacutenimo
en el punto 18
14
14
1427
14
149
14
1418 restringido a x2+y2+z2 = 36 y un
maacuteximo en el punto 18
14
14
1427
14
149
14
1418
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50
Tarea nuacutemero 4 Maacuteximos y Miacutenimos
Objetivo- Que el alumno sea capaz de aprender a resolver problemas asociados a la vida real haciendo uso del caacutelculo de varias variables Aquiacute se enuncian los siguientes ejercicios adicionales dado que muchos de los mismos se fueron exponiendo a lo largo del capiacutetulo y se sugiere que se revisen los problemas resueltos y propuestos en la libros de la bibliografiacutea dado que las aplicaciones son muchas 1- Determine los valores maacuteximos y miacutenimos de la funcioacuten f(xy) = x +y sujeta a la restriccioacuten x2+2y2le18 (Realice un bosquejo de la graacutefica y se restriccioacuten)
2- Determine los valores maacuteximos y miacutenimos de la funcioacuten f(xy) = x2 +y2 sujeta a la restriccioacuten x+2y le 4 (Realice un bosquejo de la graacutefica y se restriccioacuten)
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51
Bibliografiacutea
1 Caacutelculo Vectorial Marsden amp Tromba Addison-Wesley Iberoamericana
2 Caacutelculo Multivariable James Steward Thomson Editores
3 Caacutelculo con Geometriacutea Anaacutelitica Zill Grupo Editorial Iberoameacuterica
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3
Capiacutetulo I Vectores Objetivo- A continuacioacuten se desarrolla los siguientes apuntes de la materia de Caacutelculo 3 que se ofrece en la Facultad de Ciencias Fiacutesico Matemaacuteticas de la UA de C con la finalidad de apoyar en las carreras de Matemaacuteticas Aplicadas y Fiacutesica ofrecidas por esta Facultad A la vez se plantean algunos ejercicios con la finalidad de que el alumno sea capaz de dominar los temas de esta materia
Vector en el plano bidimensional Definicioacuten (Vector) Dados dos puntos A y B en el plano el vector AB que parte de A hacia B se define como el segmento dirigido de A hacia B Observe que tiene magnitud la cuaacutel corresponde a la distancia que separa a los puntos A y B por otra parte posee orientacioacuten en este caso va del punto A hacia el punto B
B
A
Por la forma anterior de definir un vector se puede visualizar que esta forma no es uacutenica es decir distintas parejas de puntos en el plano pueden generar el mismo vector basta con que se cumplan dos condiciones la primera que la distancia entre los puntos sea la misma y que los segmentos de liacuteneas sean paralelos
A continuacioacuten se dan algunos ejemplos de vectores que parten de
distintos puntos pero todos tienen la misma magnitud y sentido
B D A=(11) B=(33)
AB= 2
2
13
13
A C C = (41) D = (33)
F 2
2
13
46CD
E = (1-2) F = (3 0)
E EF = 2
2
)2(0
13
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4
De esta forma se puede establecer que dos vectores son iguales si y soacutelo si tienen la misma magnitud y sentido
Como se puede apreciar el vector generado v =12
12
yy
xx a partir de dos
puntos en el plano (x1 y1) y (x2 y2) tiene un valor uacutenico en sus componentes x2-x1 y2-y1 Esta es otra forma de identificar cuando dos vectores son iguales si componen a componente son iguales y permiten ubicar a todo vector generado en el plano
De este uacuteltimo resultado se opta por tener la idea de un vector v = b
a y
asociarlo como un punto en el plano (a b)
Otra propiedad importante de los vectores es la traslacioacuten en la primer graacutefica se puede apreciar que baacutesicamente el vector resultante es el mismo salvo su ubicacioacuten en el plano
Una vez establecida la nocioacuten de vector como una pareja ordenada de
nuacutemeros reales se puede asociar a cada vector con un punto del plano cartesiano y viceversa
Ahora que se tiene definido el concepto de vector se le daraacute una
estructura algebraica que le permitiraacute dar cuerpo a este ente matemaacutetico Por estructura matemaacutetica se entenderaacute aquellas propiedades que
permiten interactuar a los vectores entre siacute dando como resultado otro vector del mismo conjunto o en su defecto un nuacutemero real
Dentro de las interacciones que permiten relacionarse a los vectores
estaacuten la suma de vectores el producto punto producto vectorial y el producto por un escalar
Magnitud y sentido
La magnitud de un vector v = b
ase mide a partir del origen al punto
(ab) siendo esta igual a | v | = 22 ba mientras que la orientacioacuten esta
definida como el aacutengulo que se forma a partir del eje real positivo hasta la
localizacioacuten del vector en este caso el aacutengulo = tan-1
a
b
(ab)
b
v
a
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Observacioacuten- Todo vector en el plano queda completamente determinado si se conoce su magnitud y sentido o en su defecto si se conocen sus componentes (a b) De hecho se puede establecer la siguiente relacioacuten haciendo uso de las coordenadas polares
a = r Cos
b = r Sen
Definicioacuten- Dos vectores son iguales si y soacutelo si tiene la misma magnitud y sentido o si componente a componente son iguales
Ejercicios Resuelva los siguientes ejercicios sobre vectores que se plantean a
continuacioacuten 1- Ejercicio Determine el lugar geomeacutetrico de todos los vectores que
parten del origen y tienen magnitud 5 2- Ejercicio- Trace todos los vectores que tengan magnitud cinco y
esteacuten contenidos en la liacutenea recta de 45ordm 3- Ejercicio- Determine bajo que condiciones los siguientes vectores
son iguales V1 = (x 7) y V2 = (2 7) 4- Ejercicio- Una condicioacuten de suficiencia para que dos vectores sean
iguales consiste en que tengan la misma magnitud 5- Ejercicio- Determine el valor de x tal que el vector V1 = (x 7) tenga
norma igual a 12 6- Ejercicio- Determine el valor de x tal que el vector V1 = (x 7) tenga
orientacioacuten de 75ordm 7- Ejercicio- Describa todos los puntos que se encuentran en el eje X
8) Una vez establecido el concepto de vector indique la diferencia de un vector
b
acon respecto al punto en el plano (ab)
Suma de Vectores
Definicioacuten- Dados dos vectores en el plano v1 = 1
1
b
a y v2 =
2
2
b
a la
suma de ambos vectores es nuevamente un vector de dos componentes de nuacutemeros reales
v1 + v2 = 21
21
bb
aa es decir se suman componente a componente
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El siguiente diagrama muestra a los vectores involucrados en dicha
suma y el vector resultante
v2 Observe que la forma de encontrar al vector
resultante consiste en usar la propiedad de traslacioacuten de vectores y formar un paralelogramo
v1 v1+v2 v1
v2
Por otra parte si ambos vectores soacutelo poseen una componente la suma
de ambos vectores es la suma de nuacutemeros reales
Es decir soacutelo importa la magnitud de cada una de sus componentes y en
este caso la direccioacuten del vector resultante es la misma a la de los vectores originales
v1 + v2 = 000
2121 aaaa
Al intentar describir ciertos vectores en la vida real lo que se necesita es
que estos tengan magnitud y sentido Algunos de estos ejemplos son una fuerza dada que esta tiene una magnitud definida mientras que la direccioacuten se le puede asignar de varias formas Como el hecho de estirar de una cuerda la fuerza es la misma pero la direccioacuten puede ser en distintos sentidos
Observe que en la suma de dos vectores que tienen una sola componente es parecida a la idea de sumar la fuerza de dos personas a tirar o empujar un carro dando como resultado la misma direccioacuten Observe que estos vectores tienen la misma magnitud pero diferente sentido En la vida real lo podemos visualizar Como el hecho de estirar un objeto con una cuerda la cuerda se puede dirigir en distintas direcciones al igual se puede estirar el cuerpo al mismo tiempo con cinco cuerdas Otros ejemplos de vectores se dan en los conceptos de velocidad aceleracioacuten fuerza etc
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Dos vectores caracteriacutesticos del plano son los vectores canoacutenicos definidos y denotados como
i 0
1 y j =
1
0
Ambos tienen magnitud uno direccioacuten en los ejes coordenados x e y
respectivamente y a la vez son perpendiculares entre siacute (el aacutengulo entre ellos es de 90ordm) j i
Producto por un escalar Dado un vector v en el plano y un nuacutemero escalar k en los nuacutemeros reales se define el producto por un escalar como el vector
kv = k b
a =
kb
ka
Es decir el escalar k multiplica a cada una de las componentes
Ejercicio- Se deja como ejercicio probar que este vector llamado muacuteltiplo escalar del vector v tiene k veces la magnitud del vector original y si el valor de k es positivo mantiene la misma orientacioacuten en caso de tener signo negativo la direccioacuten se invierte V Muacuteltiplos escalares de V Ejercicio- Otra caracteriacutestica es que si k es mayor a 1 el vector resultante es una expansioacuten con respecto al vector original mientras que si 0 lt k lt 1 es una contraccioacuten
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Diferencia entre dos vectores Una idea geomeacutetrica de definir la diferencia de dos vectores en la
siguiente si y son dos vectores en el plano se pueden representar de la siguiente forma En donde se dibuja un segmento que une a los vectores y dicho segmento se le asigna la orientacioacuten mostrada en el dibujo y se le denomina como el vector
Note ahora que el vector + = seguacuten la suma de vectores definida anteriormente de ahiacute se despeja a (suponiendo que las leyes de la aritmeacutetica se cumplan en los vectores) obteniendo que = -
Quedando expresada dicha diferencia como
= - = 12
12
yy
xx
Interpretacioacuten de un vector en el plano haciendo uso de los vectores canoacutenicos i y j
Dado el vector V = xy
y
x
x
y
x
yo
ox
y
x
1
0
0
10
0i y j
Esta representacioacuten permite visualizar otra forma de escribir a un vector
en el plano dando el movimiento en las direcciones de los ejes coordenados (Eje X la marca el vector i en el eje Y la marca el vector j)
De esta forma la suma de vectores se ve de la siguiente forma
V1+V2 = adb
ca
d
c
b
a( i+b j)+( c i d j) = ( ba )i +( dc )j
Producto Escalar (producto punto) Antes de entrar el tema note que los vectores i e j tienen norma uno y
que ambos son perpendiculares entre siacute Definicioacuten- (Producto Escalar o producto punto) Dados dos vectores
en el plano se define el producto escalar de la siguiente forma
V1 V2 = dbcad
c
b
a
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Dando como resultado un nuacutemero real (Un escalar)
Ahora al realizar el producto punto entre los vectores i y j el resultado es
cero
Ejemplos- Determine el producto escalar entre los siguientes vectores y graacutefiquelos
V1 = 2
1 V2 =
1
2 y V3 =
3
2
V1 V2 = (1)(-2) + (2) (1) = 0 V1 V3
V1 V3 = (1)(2) + (2)(3) = 8 V3 V2 V3 = (-2)(2) + (1)(3) = -1
Como se puede observar el resultado siempre es un escalar por otra parte se tiene que el producto escalar entre los vectores V1 y V2 es cero de la graacutefica se puede observar que ambos vectores son ortogonales entre siacute este es una propiedad que se cumple siempre es decir dos vectores son ortogonales si y soacutelo si su producto escalar es igual a cero Se justificaraacute este resultado a continuacioacuten
Ortogonalidad y producto escalar Al definir dos vectores y no colineales entonces se forma un aacutengulo
entre ellos diferente de cero como se muestra en la figura
-
Se puede definir un triaacutengulo con las medidas de la longitud de los lados
de los vectores y como se ve en la figura anterior y haciendo uso de las leyes de los cosenos se tiene que
|| - || 2 = |||| 2 + ||||2 ndash 2 |||| |||| Cos helliphelliphelliphellip (1)
Llame = 1
1
y
x y =
2
2
y
x se tiene que
|| - || 2 = (x1-x2)
2 + (y1-y2)2
|| ||2 = (x1
2+y12) || ||2= (x2
2+y22) = x1y1+ x2y2
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Si el aacutengulo entre los vectores y es de 90ordm se tiene que || - || 2 = || || 2 + || ||2 Luego sustituyendo los valores correspondientes (x1-x2)
2 + (y1-y2)2 = (x1
2+y12) + (x2
2+y22)
De aquiacute se concluye que x1y1+ x2y2 = 0
es decir los vectores y son ortogonales entre siacute la demostracioacuten del reciproco se realiza de manera similar es decir si el producto punto es cero se tiene que 2 |||| |||| Cos = 0 y como se asume que ninguno de ellos es el vector cero la uacutenica forma en que esto sigue siendo cierto es que Cos sea igual a cero conclusioacuten que nos lleva al resultado esperado
Ejercicio- Determine un vector ortogonal al vector
(a) V = 7
1 (b) V =
a
1 y (c) V =
a
a 1 a es un nuacutemero real
Representacioacuten de regiones en el plano haciendo uso de vectores
Un punto (ab) en el plano puede ser representado por el vector V = b
a
ahora al tener muacuteltiplos de dicho vector de la forma tV = t b
a=
tb
ta con t un
nuacutemero real se genera una infinidad de vectores y cada uno de ellos tiene asociado uno y soacutelo un punto en el plano (sin considerar la propiedad de traslacioacuten de los vectores) Se afirma que todos estos puntos pertenecen o estaacuten en la misma liacutenea
Sea X = y
x los puntos que pueden ser representados por medio del
vector tV entonces se tiene que X = tV esto es
y
x =
tb
ta
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De aquiacute se deduce que b
y
a
xt que permite establecer la relacioacuten
xa
by que corresponde a una liacutenea recta que pasa por el origen y contiene
al punto (ab) Otra caracteriacutestica importante es que la liacutenea recta posee la misma orientacioacuten que el vector que la genera
Si se tiene dos vectores V = 1
1
y
x y W =
2
2
y
x estos representan a dos
puntos en el plano si estos son colineales de acuerdo al desarrollo anterior a lo maacutes nos pueden representar una liacutenea recta Pero si ambos vectores no son colineales se pueden generar otro tipo de regiones en el plano
Dados estos dos vectores se pueden generar tres liacuteneas las cuaacuteles contienen a los puntos (x1y1) (x2y2) y el origen generando ademaacutes un triaacutengulo que se puede representar haciendo uno de las componentes de los vectores dados
(x2y2) B (x1y1) A C Para poder representar una regioacuten como la del triaacutengulo primero se representaraacute el segmento AB la forma de realizarlo es ver que este segmento esta asociado al vector W Ahora recordando que los vectores que pueden representar los puntos sobre la liacutenea que contienen al vector W son sus muacuteltiplos escalares entonces se requiere soacutelo una parte de ellos de tal forma que este segmento quedaraacute representado por los vectores (t) = t W con 0 t 1 Note que (t) es una funcioacuten del paraacutemetro t y como resultado nos da un vector en dos dimensiones Es decir se tiene una funcioacuten del segmento [01] al plano que satisface que (0) = (00) y (1) = (x2y2) Para poder representar una regioacuten con aacuterea distinta de cero se requieren dos vectores no colineales V y W de forma tal que al tomar combinaciones lineales de ambos permite definir otro vector en el plano pero ya no necesariamente en la misma direccioacuten de los originales como en el caso de una suma observe que el punto D ya no esta contenido ni en la direccioacuten del vector V ni en la del vector W
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B= (x2 y2) D = (x1+x2 y1+y2) W V+W
A V C = (x1 y1) El cuadrado ABDC queda completamente representado al definir las combinaciones lineales de V y W de la siguiente forma Todos los vectores en el plano que se pueden definir a partir de lo siguiente
(ts) = t V + s W
en donde t y s son nuacutemeros reales y ademaacutes tiene la siguiente restriccioacuten 0 t 1 y 0 s 1 Ejercicio- Represente todos los puntos en el plano cuya distancia al vector
V = 2
1 es de dos unidades
Ejercicio- Represente todos los puntos en el plano que representan a un rectaacutengulo y dos de sus aristas estaacuten ubicadas en los vectores
V = 2
1 y W =
5
0
Ejercicio- Muestre que con dos vectores no colineales es posible definir el plano bidimensional (de igual forma pruebe que el espacio tridimensional se puede definir a partir de tres vectores no coplanares)
Estructura Algeacutebrica del espacio vectorial Los vectores permiten tienen estructura algebraica que se puede definir a partir de sus operaciones definidas anteriormente Proposicioacuten- Dados tres vectores y en el plano y un escalar k estos poseen las siguientes propiedades
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(i) Ley Asociativa La suma de vectores es asociativa
(ii) Ley Conmutativa La suma de vectores es conmutativa
(iii) Neutro Aditivo Existe un vector 0
denominado neutro aditivo que satisface la siguiente propiedad
00
Es decir al sumar con cualquier vector en el plano el resultado es el mismo vector
(iv) Para todo vector en el plano existe un vector denominado el inverso aditivo - tal que la suma de ambos es igual a cero
+ - = - + = 0
Este vector cero ambas componentes son iguale a cero y si las componentes de son (ab) las de - son (-a -b) Con a y b nuacutemeros reales La demostracioacuten de estas propiedades se basan en el principio del campo de los nuacutemeros reales Como ejemplo se demostraraacute la propiedad (ii)
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Tarea 1 Caacutelculo 3 Caacutelculo Vectorial Objetivo- Que el alumno sea capaz de resolver problemas relacionados con vectores comprenda la ecuacioacuten de una liacutenea en el espacio la ecuacioacuten de un plano aacuterea de paralelogramos las propiedades algebraicas asociadas con vectores en dos y tres dimensiones en cuanto al producto punto producto por un escalar y producto cruz Finalmente que sea capaz de determinar el volumen de un paralelepiacutepedo 1- Determine la ecuacioacuten de los puntos en el espacio que (1a) pertenecen al eje X (1b) pasan por la recta y=3x (1c) pasan por el punto (1-11) y en direccioacuten del vector i+j (1d) representan a la recta de interseccioacuten de los planos 3x ndash 2y + z = 7 y 2x + 4y ndashz = 4 (1e) representan al plano ortogonal a la liacutenea x=2y = 3z 2- Que regioacuten del espacio representan los puntos (2a) con componentes (x1z) (2b) contenidos por el paralelogramo definido por los vectores i+j y 3i ndashj (haga un bosquejo) 3- Determine un vector que sea muacuteltiplo escalar del vector α = 3i + j pero de norma uno (El vector resultante recibe el nombre de vector normalizado del vector α) 4- Determine un vector perpendicular al vector β = 2i + 3i - 5k 5- Pruebe que la ley conmutativa es vaacutelida en el producto escalar es decir αβ = βα 6- Pruebe que la siguiente propiedad es vaacutelida en el producto escalar entre un muacuteltiplo escalar de α y el vector β (k α)(β) = k (αβ) = α(kβ) 7- Deduzca la ecuacioacuten que establece la distancia de un punto P=(x1 y1 z1) en el espacio y el plano A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0 (Puedes encontrar la demostracioacuten en alguacuten libro de caacutelculo vectorial o intentar demostrarla usando el concepto de proyeccioacuten ortogonal)
8- Determine la distancia entre los planos x + y + z = 0 y x + y + z = 1 (Trate de determinar dicha distancia entre los planos paralelos sin hacer uso de la foacutermula y luego use dicha foacutermula para establecer el resultado finalmente trate de dar una interpretacioacuten de dicha solucioacuten) 9- Determine el volumen del paralelepiacutepedo generado por los vectores V1=(322) V2=(202) y V3=(041) 10- Determine el volumen del paralelepiacutepedo con cuatro de sus veacutertices en los puntos (123) (024) (305) y (222) realice un bosquejo de dicho paralelepiacutepedo
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11- Pruebe que dados cuatro veacutertices de un paralelepiacutepedo en el espacio se pueden generar cuatro paralelepiacutepedos distintos pero de igual volumen 12- Pruebe que α (β times γ) = γ (α times β) 13- Pruebe que α times (β + γ) = α times β + α times γ 14- Determine el aacuterea del paralelogramo generado por los vectores i+j-k 2i-j 15- Determine el aacuterea del paralelogramo generado por los vectores 2i+j 3i ndash j 16- Determine el aacutengulo que existe entre los vectores i+j-k y 2j ndash k 17- Determine si el vector i+j es una combinacioacuten lineal del vector 2i ndashj 18- Determine si el vector i+j es una combinacioacuten lineal del vector 2i + 2j 19- Determine el aacutengulo entre los planos 2x ndash y + z = 0 y 3x ndashy + 2z = 0 20- Determine la distancia entre los planos x + y + z = 0 y x + y + z = 1
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Capitulo 2 Funciones Vectoriales
En este capitulo se veraacuten temas relacionados con funciones de varias variables que van a los nuacutemeros reales (a las cuales se les llaman funciones reales) o que van a maacutes dimensiones
Cuando uno habla de este tema es importante recalcar que en la vida cotidiana se presentan diversas aplicaciones con el hecho de manejar varias variables que van desde la preparacioacuten de un cafeacute hasta el hecho de planear la agenda diaria de coacutemo distribuir el tiempo
Citemos el siguiente ejemplo En un estudio de calidad de vida de los sentildeores casados y con hijos se realizaraacute una evolucioacuten final de la satisfaccioacuten de su vida cotidiana en base a una encuesta en donde se mediraacuten diversos factores de vida familiar para esto se tiene la disyuntiva de poder distribuir los tiempos de Trabajo diversioacuten ejercicio jugar con los nintildeos convivir con su pareja visitar a familiares convivir con amigos Entonces no cabe duda que los resultados de la encuesta estaraacuten vinculados con los tiempos destinados a cada actividad asiacute por ejemplo
Persona Trabajo Diversioacuten Ejercicio Nintildeos Pareja Familiares Amigos
A 30 20 5 5 10 8 2
B 50 5 2 2 10 10 18
Otro ejemplo se presenta el preparar un cafeacute dado que aunque este sea
para la misma persona si usa distintos cantidades de cafeacute azuacutecar leche o temperatura final del mismo el resultado del sabor del mismo cambiaraacute notablemente Cabe sentildealar que cada individuo mide el grado de satisfacioacuten de forma diferente y a la vez esta se realiza en forma cualitativa dado que no se puede medir el grado de satisfacioacuten debido a que cada individuo tiene distintos gustos un cafeacute con poca azuacutecar para una persona puede ser para otra que este bien o que este muy azucarado
Por otra parte no es lo mismo tomar un cafeacute en un diacutea caluroso a una o
en un diacutea con friacuteo Siendo esta otra variable de estudio Como se puede apreciar el resultado final depende rotundamente de la cantidad que se mezcle de cada uno de los ingredientes con los que se cuentan Es decir es un problema de varias variables
Pongamos el siguiente ejemplo financiero una persona desea invertir en el banco en dos cuentas individuales siendo que en la primera da un rendimiento de 2 mensual y en la segunda del 3 si se desea saber cual es la ganancia mensual esto se puede escribir para el primer mes de la siguiente forma
G(xy) = 002x + 003y siendo x la cantidad de dinero aportada en la primer cuenta y la cantidad de dinero aportada en la segunda cuenta Esta seriacutea la ganancia del primer mes Asiacute si invierte mil pesos en la primer cuenta y dos mil en la segunda la ganancia del primer mes seraacute de ochenta pesos
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G(10002000) =002(1000)+003(2000) = 20 + 60 = 100
Cabe sentildealar que las aplicaciones en economiacutea en donde aparecen maacutes
de una variable abundan y que anaacutelisis maacutes completos de estados de cuenta con intereses o deudas en tiendas de conveniencia se pueden representar mediante funciones de varias variables debiendo desarrollar cada una de ellas en su debido tiempo
Por otra parte las aplicaciones en procesos de produccioacuten industrial son diversos y permiten evaluar el producto final que llegaraacute al cliente en cuanto a la calidad del mismo
Si un estudiante dedica cierta cantidad de horas de estudio y por otra parte se mide la atencioacuten prestada en sus horas de estudio Se pueden proponer lo siguiente No se esperariacutean los mismos resultados si dedica tres horas de estudio con poca atencioacuten a que si dedica la misma cantidad de horas de estudio con mucha atencioacuten Cabe sentildealar que la atencioacuten prestada depende del intereacutes de estudiante en la materia el gusto por la misma o la importancia que preste en conocer temas nuevos
Funcioacuten Vectorial
Se comenzaraacute el estudio de funciones vectorial de varias variables especificando algunos detalles sobre las mismas en principio una funcioacuten vectorial tiene como dominio un subconjunto de Rn y un conjunto de llegada esta en Rm
Asiacute si el dominio A tiene tres variables se dice que el dominio esta definido en R3 las tres variables se pueden denotar por x y z Ahora si antildeadimos que la funcioacuten en cuestioacuten refleja algunos rasgos de las variables anteriores por ejemplo si se considera importante la suma de las primeras dos el producto de la segunda y tercera Entonces se dice que la funcioacuten tiene como conjunto de llegada a dos variables en la primera se refleja una suma mientras que en la segunda se observa una multiplicacioacuten
Entonces la forma de escribir en la primera de ellas es x + y mientras que la segunda es yz asiacute la funcioacuten queda expresada como
F(x y z) = (x+y yz)
Una funcioacuten que se puede observar diariamente es la de la temperatura en una habitacioacuten considerando cada punto en el espacio de la habitacioacuten entonces el dominio esta en tres dimensiones y la imagen de la funcioacuten refleja la temperatura en cada punto de la misma observe que esta puede cambiar si se encuentra cercas de una ventana o de la estufa
Aquiacute T(x y z) Muestra la temperatura en cada punto de una habitacioacuten faltariacutea encontrar la ecuacioacuten matemaacutetica que modele dicho comportamiento
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Como se puede observar el poder estudiar un fenoacutemeno real por medio de un modelo matemaacutetico es fundamental para poder realizar predicciones del mismo por medio de las propiedades de la funcioacuten asociada al mismo como el hecho de que la funcioacuten sea creciente que tenga un valor maacuteximo Se mostraran algunos ejemplos maacutes adelante con la finalidad de motivar el estudio de los fenoacutemenos reales por medio de las matemaacuteticas Definicioacuten- (Funcioacuten) Una funcioacuten es una regla de asignacioacuten entre dos conjuntos A y B que asigna a cada elemento del conjunto A uno y soacutelo uno del conjunto B El conjunto de partida A se le denomina el dominio de la funcioacuten mientras que el conjunto de llegada es B se le conoce como el codominio de la funcioacuten En el caso de varias variables se tiene que A es un subconjunto de Rn mientras que el conjunto B es un subconjunto de Rm Aquiacute es importante que a ninguacuten elemento del dominio se le asigne al mismo tiempo dos elementos del codominio y a la vez que a ninguno del dominio quede sin ser asignado Un ejemplo de esto se presenta en la siguiente funcioacuten que va del conjunto dominio A = 1 2 3 al conjunto B = 2 4 6 8 al definir la funcioacuten f que asigna a cada elemento del dominio con su doble se tiene que f(1) = 2 f(2) = 4 y f(3) = 6 Ahora una funcioacuten de dos variables se puede definir a partir de los conjuntos C = (12) (23) (34) (36) y D =3 4 5 6 7 8 9 en donde la funcioacuten g C D representa la suma de los diacutegitos de cada pareja ordenada
En este caso g(12) = 3 g(23) = 5 y asiacute sucesivamente Cabe sentildealar que la pareja ordenada (12) es distinta a la pareja (21) en donde esta uacuteltima no pertenece dominio de la funcioacuten
6 5 Suma g(12) = 3 4 3 2 (12)
1 (21) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 0 1 2 3 4 5 6 Las parejas (12) y (21) ocupan distintas posiciones en el plano La segunda de ellas no pertenece al dominio de la funcioacuten de manera tal aunque se pudiera evaluarla pareja ordenada no se contempla por el hecho de que la funcioacuten no esta definida en dicho valor
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Un ejemplo de esta funcioacuten ocurre si consideramos el total que se tiene que pagar en una tienda despueacutes de comprar dos artiacuteculos distintos Otro de ellos se presenta al tomar una evaluacioacuten de calidad de cierto artiacuteculo en donde se van sumando los puntos y no necesariamente serian dos variables
Otra caracteriacutestica que se presenta en esta tipo de funciones es que los valores esteacuten bien definidos al momento de evaluar como el hecho de que no se puede dividir entres cero y no se pueden sacar raiacuteces de nuacutemeros negativos Este hecho es importante para detallar el dominio de algunas funciones
asiacute el dominio de la funcioacuten xxk 4)( esta restringido al hecho de que la
variable x sea menor a cuatro dado que el argumento 4-x debe de ser no negativo es decir 4-x 0 y de aquiacute se tiene que 4 x
Cuando se involucran dos variables un ejemplo es encontrar el dominio
de la funcioacuten yxyxh 44)( y por analogiacutea con el problema anterior
se sabe que 4 x y a la vez que 4 y quedando el dominio descrito de la siguiente manera D = (xy) 4 x 4 y
6 D Dominio de la funcioacuten 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7
Ejemplo- Determine el dominio de la funcioacuten 2 2( ) 9 h x y x y Aquiacute se tiene
que el argumento de dicha funcioacuten debe de ser positivo en donde el dominio
de la funcioacuten es 2 29 0x y que es equivalente a 2 29 x y que representa
a un ciacuterculo de radio 3 y centrado en el origen
Si la funcioacuten es 2 2
1( )
9h x y
x y el dominio es casi el mismo
eliminando en donde el argumento se hace cero debido a que no estaacute definida la divisioacuten entre cero siendo el dominio el mismo circulo del ejemplo anterior pero sin la orilla
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Como se puede apreciar el dominio de estas funciones estaacute definido por regiones en el plano cartesiano cuando el dominio de la funcioacuten estaacute contenido en R2
Derivadas Parciales La derivada parcial de una funcioacuten de varias variables consiste en derivar la funcioacuten con respecto a la variable en cuestioacuten y dejar a las otras variables fijas como si fuesen constantes Por ejemplo al derivar la funcioacuten f(x y z) = x2 + 3xy3 - 3xz las derivadas de f con respecto a x y y z se describen a continuacioacuten y se denotan cada una de ellas por medio de los simbolos fx fy y fz fx(x y z) = 2x + 3y3 - 3z fy(x y z) = 9xy2 fz(x y z) = - 3x Definicioacuten- (Gradiente de una funcioacuten) El gradiente de una funcioacuten real se define como el vector que contiene en sus componentes a sus primeras derivadas parciales Asiacute para el ejemplo anterior el gradiente de f es y se denota por
3
2
2 3 3
9
3
x
y
z
f x y z
f f xy
f x
Ejemplo- Determine el gradiente de las siguientes funiones g(xy)=(x2 y4) y h(xyzw) = 2x+y2-3z+8w
3
2( )
4
x
y
h xh x y
h y
2
2( )
3
8
x
y
z
w
g
g yg x y z w
g
g
El vector gradiente tiene varias propiedades que son muy uacutetiles una de ellas nos indica la direccioacuten de maacuteximo crecimiento y otra de ellas es que es un
vector tangente a las curvas de nivel de una funcioacuten
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Definicioacuten- (Derivada Direccional) La derivada direccional de una
funcioacuten en un punto (x0 y0) y en direccioacuten de un vector v=(AB) se define como el producto del gradiente de la funcioacuten evaluado en el punto (x0 y0) por el vector V dividido entre la norma de mismo vector
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Tarea nuacutemero 2 materia de Caacutelculo 3 Objetivo- Que el alumno sea capaz de interpretar la nocioacuten de liacutemite en varias variables identifique la graacutefica de funciones y haga uso de la derivadas parciales 1- Determine el dominio de las siguientes funciones
(1a) f(x y z) = 2221 zyx
(1b) g(x y) = xy
2
(1c) f(x y) = xy
(1d) g(x y) = y4
(1e) f(x y) = y
x
4
4
(1f) h(x y) = 24
1
xy
2- Realice un bosquejo de las siguientes graacuteficas
22 zyx 22 2zxy 22 yxz 222 yxz
3- Determine los siguientes liacutemites
(31) xyxyxyxf y 210)( 3 cuando (xy) tiende a (12)
(32) yx
zyzxzyxf
33
)( cuando (xy) tiende a (112)
(33) )00()(
)00()(
0
3
3
)(
44
32
yx
yx
Siacute
Siyx
yx
yxk cuando (xy) tienden a (00)
En caso de existir indique haciendo uso de la nocioacuten
(34) )()(2
zxyxxxy
xxyyxzyxF z cuando (xyz) tiende a (012)
4- Indique de las funciones del ejercicio anterior son continuas y en que dominio 5- Determine si las funciones del ejercicio tres son de clase C1 6- Determine la ecuacioacuten del plano tangente a la graacutefica de la funcioacuten g(xy) = x4-10y3 en el punto (1-1) y en el punto (12) grafique en la computadora y agregue en el documento de la tarea 7- Determine los conjunto de nivel de valor -2 -1 0 1 2 de las funciones (7a) f(x y) = 3x2 + 3y2
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23
(7b) g(x y) = 22 44 yx
(7c) h(x y) = 1 ndash y + x2 (7d) k(x y z) = x2 + y2 + z2 Indique las graacuteficas en computadora y agregue en el reporte
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24
Capiacutetulo 3
Trayectorias
En este capiacutetulo se realiza el estudio de las propiedades de las funciones vectoriales es decir se hace incapie en el concepto de funcioacuten y la de un vector
Este concepto permite describir entre otras cosas el camino seguido por una partiacutecula en el espacio con el ingrediente adicional de tener a la mano los conceptos de velocidad y aceleracioacuten derivados a partir de una sola ecuacioacuten aquella que guarda la relacioacuten de posicioacuten de la partiacutecula con respecto al tiempo
Por ejemplo al mover una onda esta describe un movimiento circular si
la onda se suelta un objeto puesto en ella sale disparado en forma tangencial Este movimiento se puede representar con vectores y debe de expresar que la velocidad sea tangente a la trayectoria que sigue dado que la piedra abandona la onda en liacutenea recta
Si esto se extrapola al vuelo de una mosca se puede inferir que la velocidad de la misma sea tangencial a la trayectoria que va recorriendo en cada punto esto se muestra en la siguiente graacutefica
Observe que el hecho de contar con la orientacioacuten del vector velocidad permite no soacutelo inferir la velocidad de escape de la partiacutecula sobre la curva sino a la vez conocer la orientacioacuten del movimiento de la misma
Definicioacuten- (Trayectoria) Una trayectoria es una funcioacuten que parte de los nuacutemeros reales al espacio n Euclidiano Es decir es una funcioacuten de la forma
))()()(()( 21 txtxtxt n
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Caso particular de una trayectoria de los reales a plano En el caso de una trayectoria de los reales al plano se puede ilustrar con el siguiente diagrama
σ(a) σ(b) a b
2][ Rba ))()(()( tytxt
Una forma de ilustrar esto es pensar que la variable t es el tiempo y la imagen corresponde a la trayectoria de un objeto en el plano asiacute que el tiempo t=a la partiacutecula se encuentra en el punto σ(a) que es el inicio del recorrido de la misma mientras que tiempo final t=b se localiza al final de la trayectoria de estudio
Se puede observar una flecha indicativa del sentido de la partiacutecula a lo largo de la trayectoria
Ecuacioacuten Parametrica y Cartesiana de una curva
Ejemplo- Dada la trayectoria )()( 2ttt con 22t realice una
graacutefica de dicha trayectoria
t ))()(()( tytxt
-2 )42()(t
-1 )11()(t
0 )00()(t
1 )11()(t
2 )42()(t
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Como se puede apreciar la imagen de la trayectoria que recibe el
nombre de curva es una paraacutebola esto se puede ver si se realiza lo siguiente
Como x = t y = t2 entonces se puede deducir que y=x2 la ecuacioacuten correspondiente a la graacutefica de una paraacutebola esta ecuacioacuten corresponde a sus coordenadas cartesianas por otra parte si se rescribe en forma de trayectoria se dice que la ecuacioacuten es su ecuacioacuten cartesiana dado que depende de un solo paraacutemetro
Parametrizacioacuten de una funcioacuten real Si y es una variable dependiente de la variable x es decir existe
una regla de asignacioacuten f tal que y = f(x) con bxa En donde a
cada elemento x le asigna uno y soacutelo un valor y La graacutefica de esta funcioacuten se debe de ver como un trazo en el plano de la siguiente forma
La graacutefica no puede ser de la siguiente forma
y2
y3
y1 y4
X1 X2
Note que al valor de x2 le asigna tres valores de y lo cual no
cumple con las condiciones para que f sea una funcioacuten Ahora la graacutefica de una funcioacuten de esta tipo no es otra cosa que
la imagen de una trayectoria la cual se puede parametrizar de la siguiente forma
Como y = f(x) entonces defina x = t y por consiguiente y=f(t) en
donde bta
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27
-4 -2 2 4
-30
-20
-10
10
20
30
-2 -1 1 2
-2
-1
1
2
Asiacute en el caso de la paraacutebola la parametrizacioacuten adecuada es x
=t y = t2 tal como estaba planteada originalmente Ahora si la funcioacuten es y = 2x3-10x con 44 x entonces la
parametrizacioacuten adecuada es
)102()( 3 tttt 44 t
La graacutefica de esta curva asociada a la trayectoria es
Parametrizacioacuten de una circunferencia Elipse e Hipeacuterbola
La ecuacioacuten cartesiana de una circunferencia con centro en el origen y
radio dos estaacute dada por 422 yx Al intentar escribir esta ecuacioacuten en
funcioacuten de un solo paraacutemetro se requiere despejar a la variable y obteniendo
dos funciones que son 24 xy Con 22 x
La graacutefica de esta curva permite visualizar que no pertenece a una
funcioacuten sino maacutes bien a dos que son las enunciadas anteriormente y como se ve a continuacioacuten
24 xy
24 xy
Una forma de representar esta curva es por medio de dos trayectorias
)4()( 2
1 ttt y )4()( 2
2 ttt 22t
Una forma alternativa de representar esta curva es por medio del uso de coordenadas polares en donde x=rCos(t) y= rSen(t) como el radio es fijo y es igual a dos estas ecuaciones se pueden escribir en funcioacuten de un solo paraacutemetro ldquotrdquo x=2Cos(t) y=2Sen(t) note que al evaluar x2+y2=4Cos2(t)+4Sen2(t) = 4(Cos2(t)+Sen2(t))=4 con lo cual satisface la
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ecuacioacuten de la circunferencia quedando expresada la trayectoria de la siguiente forma
σ(y) = (2Cos(t) 2Sen(t) con 0letle2π En esta ecuacioacuten define por completo a la curva auacuten y cuando la
ecuacioacuten original no es una funcioacuten siendo esto una ventaja del estudio de la trayectorias
Ejemplo- La parametrizacioacuten de la elipse 12
2
2
2
b
y
a
x queda
expresada por x = aCos(t) y=bSen(t) se deja como ejercicio comprobar este resultado
Ejemplo- La parametrizacioacuten de la hiperbola 12
2
2
2
b
y
a
x queda
expresada por x = aCosh(t) y=bSenh(t) en donde se trabaja con las funciones de Seno y Coseno hiperboacutelicas se deja como ejercicio comprobar este resultado (aunque soacutelo permite representar el lado correspondiente a los cuadrantes I y IV en donde la x es no negativa
Derivada de una trayectoria La derivada de una trayectoria es un vector tangente a la curva esto se
deriva del siguiente anaacutelisis
Dada la trayectoria σ(t) se grafican la posicioacuten de la curva al tiempo t y t+h luego trace el vector asociado a la liacutenea secante que une los puntos de aquiacute al tomar valores cada vez maacutes pequentildeos de h el vector secante se convierte en un vector tangente a la curva como se muestra a continuacioacuten
Por otra parte el anaacutelisis vectorial de este cociente es
)()()(
0
tt
tht
h
Liacutem
Es decir la derivada de la trayectoria y el vector resultante es
tangente a la curva
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Asiacute para el caso de una curva en el plano la trayectoria se puede describir por medio de dos funciones x(t) y(t) de la siguiente forma
)(
)()(
ty
txt
En donde la derivada de esta funcioacuten es
)(
)()(
ty
txt
Vector tangente a la graacutefica de una circunferencia de radio R Ahora si se tiene la parametrizacioacuten de una circunferencia esta esta
dada por σ(t) = ( RCos(t) R Sen(t))
Y X
Un vector tangente tiene que cumplir que su producto punto tiene que
ser cero de aquiacute si V=(AB) al multiplicarlo por el vector σ su producto punto tiene que ser cero
De aquiacute que σ(t)V = ARCos(t) + BRSen(t) = 0 Existiendo muchas soluciones a este sistema de ecuaciones siendo una
de ellas cuando A = Cos(t) B=-Sen(t)
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Vector trasladado
Siendo este un vector tangente a la curva ahora al derivar las
componentes xrsquo(t) = -RSen(t) y(t) = RCos(t) que es un muacuteltiplo escalara del vector tangente mostrado anteriormente
Definicioacuten- (Rotacional) El rotacional de un campo vectorial
F=Pi+Qj+Rk de clase C1 de define como el vector
i j k
RotFx y z
P Q R
Ejemplos- Determine el rotacional de los siguientes campos vectoriales
F1=xi+yj+zk F2=x2yi-xy
2j-3zyk
Solucioacuten-
1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0
i j k
RotF z y i z x j y x kx y z y z x z x y
x y z
2 2 2 2
2
2 2
( 3 ) ( ) ( 3 ) ( ) ( ) ( )
3
i j k
RotF zy xy i zy x y j xy x y kx y z y z x z x y
x y xy zy
2 2
2
2 2
3 0
3
i j k
RotF z i j y x kx y z
x y xy zy
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Definicioacuten- (Divergencia) Si F es un campo vectorial de clase C1 la divergencia de F se define como un campo escalar de la siguiente forma
( )P Q R
divF div Pi Qj Rkx y z
Ejemplos- Determine la divergencia de los siguientes campos vectoriales F1=xi+yj+zk F2=x
2yi-xy
2j-3zyk
Solucioacuten-
1 ( ) ( ) ( ) ( ) 3divF div xi yj zk x y zx y z
2 2 2 2
2 ( 3 ) ( ) ( ) ( 3 ) 2 2 3 3divF div x yi xy j zyk x y xy zy xy xy y yx y z
Definicioacuten- (Laplaciano) Si f es un campo escalar de clase C2 el Laplaciano de f se define como un campo escalar de la siguiente forma
2 2 2
2
2 2 2xx yy zz
f f ff f f f f
x y z
Ejemplos- Determine la divergencia de los siguientes campos escalares g1(x
y z) = xy2z
3 g2(x y z) = x
2 + y
2 + z
2
2 2 2
2 2 3 2 3 2 3 2 3 3 2 2
2 2 2( ) ( ) ( ) 2 3 f f xy z xy z xy z y z yz xy z
x y z
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2( ) ( ) ( ) 6f f x y z x y z x y z
x y z
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Tarea nuacutemero 3 Trayectorias
Objetivo- Que el alumno sea capaz de comprender los conceptos de movimiento de una partiacutecula a lo largo de una trayectoria y de la importancia del uso de vectores en este tema 1- Si la trayectoria σ(t) = t2i+t2j define la trayectoria seguida por una partiacutecula con respecto al tiempo determine 1a- iquestEl tipo de trayectoria que describe 1b- Realice una graacutefica de la distancia recorrida por la partiacutecula con respecto al tiempo en los primeros tres segundos 1c- Determine el tipo de movimiento de la partiacutecula 1d- iquestSe puede afirmar que es un movimiento uniformemente acelerado 1e- Determine la aceleracioacuten y velocidad a los cuatro segundos 1f- Realice una graacutefica de su rapidez con respecto al tiempo 1g- Realice una graacutefica de sus aceleracioacuten con respecto al tiempo 1h- En la graacutefica de la trayectoria agregue graacuteficamente los vectores aceleracioacuten y velocidad 2- Realice lo mismo que en ejercicio anterior pero ahora con la funcioacuten γ(t) = Cos(t) i+5Sen(t)j 3- Dadas las funciones f(t) = 3t2i-4t3j+e2tk y g(t) = 4t3i+4t2j+e-2tk 3a- Determine la funcioacuten producto punto h = fg 3b- Determine la derivada de h 3c- Usando la regla de diferenciacioacuten determine la derivada de h y compruebe el inciso anterior 4a- Determine la funcioacuten producto cruz k = ftimesg 4b- Determine la derivada de h 4c- Usando la regla de diferenciacioacuten determine la derivada de h y compruebe el inciso anterior 5- Determine el Rotacional y la Divergencia del siguiente campo vectorial G(x y z) = 2xy i + 3xz j - 5xy k 6- Determine el gradiente y el Laplaciano del siguiente campo escalar f(xyz) = 4x2-3yz2 7- Dado el campo vectorial F(x y z) = 2xy i + x2 j +3z2 k 7a- Determine si F puede representar el gradiente de un campo escalar f 7b- En caso de ser afirmativa la respuesta del inciso anterior determine el campo escalar f 8- Pruebe que la divergencia del rotacional de un campo vectorial F=Pi+Qj+Rk es igual a cero Es decir la div rot F =0 9- Usando las reglas de diferinciacioacuten pruebe que
gfgfgf
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100 -x
Capitulo 4 Maacuteximos y miacutenimos
Es indispensable determinar en distintos problemas las soluciones oacuteptimas que permitan establecer por ejemplo los valores maacuteximos de produccioacuten o ahorrar el material en la construccioacuten de cierto equipo
Como se recordaraacute el gradiente de una funcioacuten indica la direccioacuten de
maacuteximo crecimiento esto se refleja en que si se toma la direccioacuten sugerida por este vector el valor de la funcioacuten aumenta en una vecindad del mismo asiacute si en un diagrama de un campo gradiente aparecen un punto en donde convergen la direccioacuten de todos los gradientes se encontraraacute que dicho valor debe de ser un valor maacuteximo para la funcioacuten de estudio Un diagrama de esta tipo se ejemplifica a continuacioacuten
Un diagrama en donde todos los vectores apuntan hacia fuera de un
punto indicaraacute que este punto debe de ser un valor miacutenimo de la funcioacuten Citemos el siguiente ejemplo de una variable con la finalidad de
centrarnos en el tema Una persona desea bardear un terreno en forma rectaacutengular cuanto debe de medir cada lado de manera tal que el aacuterea cercada sea maacutexima si se cuenta con 200 metros de malla
La funcioacuten que representa dicho modelo es
A(x) = x(100-x) x
Como se puede observar el aacuterea es cero si x es igual a cero o a cien con lo cuaacutel el lado x debe de estar en en intervalo [0 100] siendo estas las restricciones del problema Derivando la funcioacuten para obtener los valores critiacutecos se tiene que Arsquo(x) = 100 ndash 2x
Al igual la derivada a cero se concluye que el valor critico es x es igual a 50 Al derivar por segunda ocasioacuten se concluye que
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Arsquorsquo(x) = -2 Como la segunda derivada es siempre negativa se concluye que la funcioacuten alcanza un valor maacuteximo en el valor critico en este caso en x = 50 al interpretar dicho resultado se concluye que el terreno que optimiza la solucioacuten es un cuadrado Ejercicio- Que aacuterea se genera si el terreno es de forma circular Al resolver el ejercioacute anterior y comparar las aacutereas del cuadrado y del circulo se puede apreciar que el aacuterea del circulo es mayor pero en la praacutectica es poco atractivo cercar terrenos circulares por diversas razones pero en la naturaleza es comuacuten observar que las gotas de lluvia sean esferas esto permite el optimizar recursos y maacuteximizar el volumen del liacutequido contenido en la misma Se iniciara el estudio formal de maacuteximos y miacutenimos de funciones de varias variables observando las siguientes graficas con la finalidad de tener la idea clara de que es un maacuteximo o miacutenimo o un punto silla
En la primera de ellas se observa que la funcioacuten tiene un valor miacutenimo en la segunda se observa que la funcioacuten tiene un valor maacuteximo y en la uacuteltima la funcioacuten tiene un punto silla este se identifica el dirigirnos en una direccioacuten la funcioacuten crece mientras que en la otra la funcioacuten decrece
Definicioacuten- Una funcioacuten mn RRf tiene un valor maacuteximo local en x0 si en
una vecindad de dicho valor se cumple que la funcioacuten evaluada en todos los vecinos ninguno de ellos supera a f(x0) Es decir f(x0) f(x) para todo x en una vecindad de x0 El punto es llamado un maacuteximo absoluto si la funcioacuten toma el valor maacuteximo en dicho punto para todo valor de su dominio
Esto es muy similar cuando uno observa a los alumnos de un saloacuten de clases existe un alumno que tiene la mayor estatura si ninguno de sus compantildeeros lo supera Asiacute en la escuela el alumno de mayor estatura absoluta es aquel que supera a todo el plantel
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La definicioacuten para el miacutenimo local (absoluto) es similar
f(x0) f(x) para todo en una vecindad de x0 Por ejemplo la funcioacuten f(xy) = x2+y2 tiene un valor miacutenimo en el origen dado que en este valor la funcioacuten vale cero mientras que fuera de ahiacute siempre es positiva dado que todo nuacutemero real elevado al cuadrado es siempre positivo Ademaacutes dicho valor es un miacutenimo absoluto Como se menciono al inicio de esta capitulo el diagrama del campo
gradiente de esta funcioacuten y
xyxf
2
2)( indica que la funcioacuten tiene un valor
miacutenimo siendo la grafica del mismo la siguiente Sin embargo se requiere un criterio maacutes general y sistemaacutetico que permita establecer los posibles valores maacuteximos miacutenimos o puntos silla) Definicioacuten- (Un valor extremo) Si la funcioacuten posee un valor maacuteximo o miacutenimo este es llamado un valor extremo Definicioacuten- (Un valor critico) Un punto en donde la derivada de la funcioacuten se anula es llamado un valor critico Teorema- Todo valor extremo es un valor critico Es decir si f posee un valor extremo en x0 que pertenece a su dominio entonces la derivada de la funcioacuten en el punto x0 se anula Es decir Df(x0) = 0 Demostracioacuten- Sea l(t) una trayectoria que pasa a traveacutes por el punto x0 defina la composicioacuten de funciones h(t) = f(l(t)) donde l(t) = x0 + tv de donde lrsquo(t) = v y ademaacutes
))(()())(()( VtlftDltlDftDh (1)
Por otra parte como f posee un valor extremo en x0 suponga que dicho
valor es un maacuteximo entonces x0 seraacute a la vez un maacuteximo para la funcioacuten h y como h es una funcioacuten real esto significa que la derivada de h en dicho punto
se anula es decir 0)()0())0(()0( 0 vxfDllDfDh ahora como los
vectores )( 0xf y v no son necesariamente perpendiculares y el vector v a la
vez tampoco se anula entonces esto implica que el gradiente de f en x0 es igual a cero y por lo tanto f posee un valor criacutetico en x0
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Este resultado permite establecer posibles valores criacuteticos de una funcioacuten asiacute se menciona el siguiente ejemplo Ejemplo- Determine los posibles valores criacuteticos de las siguientes funciones (1) f(x y) = x2 + y2 y (2) g(x y) = 4x3 -12x + y2
Solucioacuten-
(1) 0
0
2
2)(
y
xyxf de aquiacute se concluye que dicho valor soacutelo
existe un valor criacutetico siendo este el origen el cuaacutel ya se clasifico en estos apuntes y resulto ser un valor miacutenimo
(2) 0
0
2
1212)(
2
y
xyxg de aquiacute se obtienen dos valores criacuteticos
que son (-10) y 1l (10) Los cuales se pueden clasificar el realizar el graacutefico del campo gradiente En donde se aprecia que en el punto (-10) la funcioacuten posee un punto silla mientras que en el punto (10) la funcioacuten posee un valor miacutenimo
Aquiacute se utilizaraacute el criterio del hessiano para determinar si el valor criacutetico es un maacuteximo un miacutenimo o un punto silla Solo se enunciara el teorema sin demostracioacuten para ver la misma puede revisar en el libro de Marsden Tromba de Caacutelculo Vectorial
Definicioacuten- El Hessiano de una funcioacuten 22 RRH de clase C2 se define como una funcioacuten cuadraacutetica que se escribe como
2
1
2
22
2
2
2
21212
1)(
h
h
y
f
yx
f
xy
f
x
f
hhhhH
Evaluada la matriz de las segundas derivas parciales en el valor criacutetico
Teorema- Si el Hessiano de una funcioacuten 2 RRf es definitivamente
positivo entonces la funcioacuten tiene un valor miacutenimo en dicho punto
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Corolario- Si la matriz asociada A=cb
ba de una forma cuadraacutetica dos
por dos es definitivamente positiva si y soacutelo si se cumple que agt0 y det A gt0
Teorema de una valor para un valor extremo miacutenimo- Una funcioacuten
2 RRf de clase C2 posee un valor extremo miacutenimo local en x0 elemento
del dominio de la funcioacuten si y soacutelo si se satisfacen las siguientes condiciones
(i) 0)( 0xx
f y 0)( 0x
y
f
(ii) )( 02
2
xx
f gt 0
(iii) )( 02
2
xx
f)( 02
2
xy
f)(
2
2
oxx
f)( 02
2
xx
f gt 0
Para un valor maacuteximo las condiciones (i) y (iii) se mantienen la uacutenica que cambia en la segunda en donde esta debe ser negativa Para un punto silla se requiere que al menos no se cumplan las condiciones de valor maacuteximo ni miacutenimo y que la uacuteltima condicioacuten (iii) sea distinta de cero En caso contrario el criterio no permite clasificar dicho valor como se mostraraacute en un ejemplo maacutes adelante Ejemplo- Ahora continuando con los ejemplos anteriores
(1) Para f(xy) = x2+y2 el valor critico es el origen y el hessiano asociado es
2
1
212100
02
2
1)(
h
hhhhhH
Como se pude apreciar el primer valor es positivo 2 gt0 y el determinante de
la funcioacuten 20
02det es igual a 4 que a la vez es positivo de manera tal que la
funcioacuten posee un valor miacutenimo en el origen
(2) g(x y) = 4x3 -12x + y2 los puntos criticos son (-10) y (10) y el hessiano asociado a esta forma cuadraacutetica es
2
1
212120
024
2
1)(
h
hxhhhhHg
Ahora al evaluar en los puntos se tiene En el (-10)
2
1
212120
024
2
1)(
h
hhhhhHg
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En donde -24 lt 0 y det Hg = -48 lt0 con lo cuaacutel debe de ser un punto silla
En el (10)
2
1
212120
024
2
1)(
h
hhhhhHg
En donde 24 gt 0 y det Hg = 48 gt0 con lo cuaacutel debe de ser un punto miacutenimo
Tal como se habiacutea estimado en la graacutefica del campo gradiente de la
solucioacuten anterior A continuacioacuten se muestra un bosquejo de dicha graacutefica realizado en el derive
Ejemplos de cuando el criterio permite clasificar los
valores criacuteticos
Ejemplo- A continuacioacuten se mostrara un ejemplo de cuando el criterio no concluye asiacute si la funcioacuten es h(xy) = x4+y4 al calcular las derivas parciales mixtas fx=4x3 y fy=4y3 se encuentra un solo valor critico el origen miestras que la matriz asociada del hessiano es
2
2
120
012
y
x y al evaluar en el origen queda expresada como
00
00
)0(120
0)0(122
2
En donde se puede apreciar que fallan todos los criterios una inspeccioacuten de
la funcioacuten original permite ver que la funcioacuten tiene un valor miacutenimo en dicho punto pero no es una generalizacioacuten es decir no se puede decir que siempre que aparezca la matriz de ceros se tenga un valor miacutenimo dado que si se analiza ahora a las funciones k(xy) = -x4-y4 y p(xy) = x4-y4 ambas tienen como calor extremo al origen y la matriz hessiana asociada a la forma cuadraacutetica evaluada en el origen es la matriz de ceros
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Ejemplo- Otro ejemplo en donde el criterio no concluye es el siguiente en
donde el determinante de la matriz H es cero debido a que la segunda derivada de la funcioacuten f con respecto a la segunda variable se anula (fyy = 0) y no se puede asegurar que se tenga un punto maacuteximo miacutenimo o silla
Las funciones f1(xy) = x2 f2(xy) = -x2 y f3(xy) = x3 presentan este
problema a continuacioacuten se muestran las graficas de dichas funciones
En cada una de ellas los puntos criacuteticos son las parejas en el plano (0 y) Es decir el eje coordenado X
El Hessiano respectivo de cada uno es el siguiente
00
02)(1 yxH
00
02)(2 yxH
00
03)(3
xyxH
Note que el determinante de cada de estas matrices se hace cero y que fyy
se anula en cada caso
Ahora observando las graacuteficas se verifica visualmente que en la primera se tienen valores miacutenimos en la segunda maacuteximos y en la uacuteltima no es ni maacuteximo ni miacutenimo o punto silla
Ejemplo- Citemos otro ejemplo en donde el criterio de maacuteximos y miacutenimos
no concluye Determine los puntos criacuteticos de la funcioacuten h(xy) = x4 Se tiene que hx=4x3=0 y hy=0 de donde se deduce que la funcioacuten tiene
un nuacutemero infinito de puntos criacuteticos estos son las parejas ordenadas en el plano (0y)
La matriz del Hessiano asociado es
00
012)(
2
1
xyxH y evaluando en el punto
00
00)0(1 yH
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40
En donde no se puede clasificar a los valores criacuteticos sin embargo
realizando una inpeccioacuten de la funcioacuten se puede concluir que todos los puntos representan valores miacutenimos de la funcioacuten original a continuacioacuten se muestra la grafica de la misma
El Hessiano para n variables y el criterio de clasificacioacuten
Cuando la funcioacuten tiene maacutes de dos variables se genera una matriz asociada H en cada uno de los valores criacuteticos de la siguiente forma
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
H
21
22221
11211
De aquiacute se definen las siguientes matrices
111 aH 2221
1211
2aa
aaH hellip HH n
Los criterios para los valores criacuteticos de la funcioacuten RRf n son los
siguientes [Miacutenimo Local] La funcioacuten f posee un valor extremo local miacutenimo en x0 si todos los determinantes de las submatrices evaluados en x0 son positivos
0det 1H 0det 2H hellip 0det 2H (+ + hellip +)
En este caso la forma cuadraacutetica se puede probar que es definitivamente positiva [Maacuteximo Local] La funcioacuten f posee un valor extremo local miacutenimo en x0 si todos los determinantes de las submatrices evaluados en x0 se alternan en signo pero el primero de ellos debe ser negativo
0det 1H 0det 2H hellip 0det 2H (- + - + hellip )
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41
En este caso la forma cuadraacutetica se puede probar que es definitivamente negativa [Punto Silla] La funcioacuten f posee un punto silla si no se cumplen los criterios de valor miacutenimo o maacuteximo y al menos uno de los subdeterminantes es distinto de cero
Existe un i tal que 0det iH
Ejemplos- Determine los valores criacuteticos de las siguiente funcioacuten f(x y z w) = x3 - 3x + y3 ndash 3y + z2 + w2 y claacutesifiquelos Solucioacuten- Al resolver las siguientes ecuaciones
033 2 xxf x 033 2 yyf y 02zf z y 033 2 wwfw
Se obtienen cuatro puntos criacuteticos que son (-1-100) (-1100) (1-100) y (1100) ahora se genera la matriz del hessiano asociado siendo esta
2000
0200
0060
0006
y
x
H
Al evaluar en cada uno de los puntos se tienen las siguientes matrices
2000
0200
0060
0006
)0011(H
2000
0200
0060
0006
)0011(H
2000
0200
0060
0006
)0011(H y
2000
0200
0060
0006
)0011(H
Los sub determinantes para cada uno de los puntos son [(-1 -1 0 0)] -6 36 72 144 que clasifica como un punto silla [(-1100)] -6 -36 -72 -144 que clasifica como un punto silla [(1-100)] 6 -36 -72 -144 que clasifica como un punto silla [(1100)] 6 36 72 144 que clasifica como un valor miacutenimo De manera tal que la funcioacuten tiene tres puntos silla y un valor miacutenimo
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Ejercicios- Determine los puntos criacuteticos de las siguientes funciones y claacutesifiquelos utilizando el criterio del Hessiano
(1) f(x y) = x2 - y2 (Silla de montar)
(2) g(x y) = 22 yx (Cono)
(3) h(x y z) = x4 - 2x2 + 2y3 -3y2 + z3-3 Ejercicio- Se requiere construir una lata con tapa que contenga un litro de agua con el miacutenimo de material determine las condiciones que oacuteptimizan el problema Ejercicio- Determine el producto maacuteximo de tres nuacutemeros si la suma de ellos debe ser 40 Ejercicio- Determine la distancia miacutenima del origen a la graacutefica de la funcioacuten f(xy) = 4-x2+y Ejercicio- Estudie los ejemplos resueltos que trae el libro de Marden Tromba en el capitulo 4 en especial el referente a la ecuacioacuten de miacutenimos cuadrados Ejercicio- Determine la ecuacioacuten lineal que mejor se ajusta a los puntos (12) (2 32) (3 389) (4 488) (5 55) Utilize el criterio de miacutenimos cuadrados en caso de que el modelo sea lineal (justifique la linealidad del mismo realice una graacutefica de los puntos y de la liacutenea que ajusta a los puntos) Ejemplo- (Aplicacioacuten) En este ejemplo dermina la distancia miacutenima del punto (100) a la graacutefica de una funcioacuten f(x y) = x2+y2
Solucioacuten- Todos los puntos que se encuentran sobre la graacutefica de la funcioacuten satisfacen la siguiente terna de valores en donde se observa que la tercer componente es la variable dependiente (x y x2+y2)
La distancia del punto (1 0 0) a los puntos que estaacuten sobre la graacutefica (x y x2+y2) Se define por medio de la funcioacuten
2222222 )()1()()001()( yxyxyxyxdyxfd
Para determinar el valor miacutenimo o maacuteximo de esta funcioacuten basta con
analizar su argumento dado que es un funcioacuten creciente Es decir Si x1lt x2
entonces f(x1) lt f(x2) lo que es vaacutelido para la funcioacuten )( xxf (ver graacutefica)
2x
1x
x1 x2
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43
De este modo la funcioacuten a maximizar es
2222222
11 )()1()()001()( yxyxyxyxdyxfd
De aquiacute al las derivadas parciales son
)(4)1(2)( 22
1 yxxxyxfd x y )(42)( 22
1 yxyyyxfd y
Igualando ambas ecuaciones a cero se puede establecer la siguiente
ecuacioacuten
)(4
)(4
2
2222
22
yxy
yxx
y
x (3)
De aquiacute si )00()( yx y 0y se concluye que -1=0 lo cual es una
contradiccioacuten Por otra parte si (xy)=(00) en la primera ecuacioacuten se tiene que 1=0 que es tambieacuten una contradiccioacuten Finalmente si se considera el caso en
que y=0 se obtiene de la siguiente ecuacioacuten 012 3 xx
El polinomio 12)( 3 xxxP tiene una raiacutez entre el cero y el 1 dado
que P(0)=-1 y P(1)=2 Con el anaacutelisis de raiacuteces racionales dos posibles raiacuteces
son 2
1 y como
2
1 estaacute entre cero y uno al usando divisioacuten sinteacutetica se
obtiene que 4
1
2
1P Asiacute que la raiacutez debe de estar en el intervalo 1
2
1
Ahora usando el meacutetodo de Newton con semilla en 2
10x se obtiene
que 6010
6
2
54
1
2
1
)(
)(
0
0
01xf
xfxx
Ahora al evaluar la funcioacuten en dicho punto se tiene que 0320)60(P el
cual es aceptable como raiacutez del polinomio en una sola interaccioacuten De manera tal que el punto criacutetico de la funcioacuten es el (060) El Hessiano asociado es
24128
82412)(
22
22
xyxy
xyyxyxH
Como se puede apreciar el primer elemento de la matriz es positivo independientemente de los valores de x e y Falta evaluar el determinante de H este es igual a
)64)2412)(2412()(det 222222 yxxyyxyxH
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Ahora evaluando en (06 0) se tiene 7421)443)(326()060(det H
Que tambieacuten es positivo de manera tal que se tiene un valor miacutenimo Es
decir la se obtuvo la distancia miacutenima
Maacuteximos y Miacutenimos con restricciones
Los muacuteltiplicadores de Lagrange permite determinar valores maacuteximos o miacutenimos de funciones con restricciones De este tipo de problemas esta lleno nuestro contorno desde el panedero que desea producir la maacutexima cantidad de pan pero con la restriccioacuten del capital que tiene o la posible venta del diacutea para que no tenga sobrantes
Citemos el siguiente ejemplo la graacutefica de paraboloide z = x2+y2 esta
graacutefica soacutelo tiene un valor miacutenimo en el origen sin embargo si esta restringida
al cuadrado unitario 1111 la funcioacuten alcanza cuatro puntos maacuteximos en
los puntos (-11)(-1-1) (1 -1) y (11) a saber dicho valor es 2 Como se observa en la figura
Ahora si se trabaja con la silla de montar con la misma restriccioacuten esta
funcioacuten tiene originalmente un punto silla en el origen pero al analizar las restricciones se contiene dos valores maacuteximos y dos miacutenimos en los puntos (10) (-10) (0-1) y (01)
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Muacuteltiplicadores de Lagrange Teorema- Dadas dos funciones fg Rn a R diferenciables en X0 elemento del dominio de ambas funciones Si Lc es el conjunto de nivel de valor c de la funcioacuten g y si f posee un valor maacuteximo miacutenimo o silla en la restriccioacuten Lc
entonces existe un nuacutemero real λ tal que )()( 00 XgXf
Se puede ver parte de la demostracioacuten de este teorema en el libro de Marsden Tromba Para clasificar los puntos criacuteticos se utiliza el criterio del Hessiano limitado el cuaacutel se define a partir de la funcioacuten auxiliar H(x1 x2 hellip xn) = f(x1 x2 hellip xn) - λ g(x1 x2 hellip xn)
nnnn
n
n
xxxxx
xxxxx
xx
hhg
hhg
gg
H
1
1111
10
||
Ahora defina los siguientes determinantes
22122
21111
210
|| 1
xxxxx
xxxxx
xx
hhg
hhg
gg
H
3323131
3222121
3121111
3210
|| 2
xxxxxxx
xxxxxxx
xxxxxxx
xxx
hhhg
hhhg
hhhg
ggg
H ||det|| HHn
Criterios para maacuteximos y miacutenimos con restricciones (Hessiano liacutemitado) [Miacutenimo Local] Se tiene un miacutenimo local si y soacutelo si todos los determinantes son negativos |H1| lt0 |H2| lt0 hellip |Hn|lt0 ( - - - - - hellip)
[Maacuteximo Local] Se tiene un maximo local si y soacutelo se inicia con un determinante positivo y luego se alternan los signos |H1| gt 0 |H2| lt 0 hellip |Hn|lt0 (+ - + - hellip)
[Punto del tipo Silla] Se tiene un punto tipo silla sino se satisface los criterios de maacuteximos o miacutenimos y al menos uno de los determinantes es distinto de cero Ejemplo- Determine si la funcioacuten f(xy)= x2 ndash y2 tiene valores criacuteticos en la restriccioacuten x2+y2=1
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)(2
2
2
2)( 00 Xg
g
g
y
x
y
x
f
fXf
y
x
y
x
de aquiacute se obtienen las ecuaciones 2x = 2 λx -2y = 2 λy x2 + y2 =1 Las soluciones de este sistema de ecuaciones son (-101) (101) (0-1-1) y (0-11) El Hessiano liacutemitado es
2202
0222
220
||
y
x
yx
H
El determinante es igual a det|H| = 8x2(1+λ) ndash 8y2(1-λ) ahora evaluando
cada uno de los puntos se tiene que det|H|(-101) = 16 gt 0 det|H|(101) = 16 gt 0 det|H|(0-1-1) = -16 lt 0 det|H|(0-11) = -16 lt 0
De manera tal que la funcioacuten posee dos valores maacuteximos en los puntos (-10) y (10) y por otra parte tiene dos valores miacutenimos en los puntos (0-1) y (0-1) Ejemplo- Determine si la funcioacuten f(xy)= x2+y2 tiene valores criacuteticos en la restriccioacuten x2-y2 le 4 Al iniciar este estudio se trabaja con el interior es decir x2-y2 lt 4 dando como resultado el anaacutelisis de maacuteximos y miacutenimos de una funcioacuten en general de donde el gradiente de f se anula uacutenicamente en el origen siendo este valor un miacutenimo como se habiacutea visto en un ejercicio anterior para la funcioacuten del paraboloide Ahora al trabajar sobre la frontera se usa el criterio de muacuteltiplicadores de Lagrange
)(2
2
2
2)( 00 Xg
g
g
y
x
y
x
f
fXf
y
x
y
x
de aquiacute se obtienen las ecuaciones 2x = 2 λx 2y = -2 λy x2 - y2 = 4
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Las soluciones de este sistema de ecuaciones son (-201) y (201) El Hessiano liacutemitado es
2202
0222
220
||
y
x
yx
H
El determinante es igual a det|H| = -8x2(1+λ) + 8y2(1-λ) ahora
evaluando en cada uno de los puntos se tiene que det|H|(201) = -64 gt 0 y det|H|(-201) = -64 lt 0
De manera tal que la funcioacuten posee dos valores miacutenimos en los puntos (-20) y (20)
Una anaacutelisis de la graacutefica de esta funcioacuten permite visualizar que dichos
puntos no son miacutenimos maacutes bien son puntos tipos silla y no es que el criterio falle sino maacutes bien que los valores son miacutenimos pero sobre el complemento es decir bajo la restriccioacuten x2-y2 ge 4 Ejemplo- Determine los valores criacuteticos de la funcioacuten f(xyz) = 2x+y+3z sujeta a la restriccioacuten x2+y2+z2 le 36 Solucioacuten- Un anaacutelisis de las condiciones iniciales muestra que la graacutefica a maximizar en un hiperplano restringido en su dominio a una esfera de radio 6 de acuerdo a estas condiciones la funcioacuten en su interior no debe tener valor criacuteticos y en la frontera debe tener un valor miacutenimo y un valor maacuteximo En el interior- Al derivar la funcioacuten original se tiene lo siguiente
3
1
2
)( 0
z
y
x
f
f
f
Xf
De aquiacute se observa que la funcioacuten no posee valores criacuteticos en todo su dominio tal y como se esperaba Frontera- Al utilizar las condiciones del los Muacuteltiplicadores de Lagrange se tiene lo siguiente
)(
2
2
2
3
1
2
)( 00 Xg
z
y
x
f
f
f
Xf
z
y
x
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De aquiacute se genera el siguiente sistema de ecuaciones 2 = 2λx 1 = 2λy 3 = 2λz x2+y2+z2=36
Resolviendo el sistema se concluye que 2
1
1yx amp
2
3z Ahora
sustituyendo en la uacuteltima ecuacioacuten se deduce que la funcioacuten posee dos valores criacuteticos que son
18
14
14
1427
14
149
14
1418amp
18
14
14
1427
14
149
14
1418
La funcioacuten auxiliar es H(xyzλ) = 2x+y+3z-λ(x2+y2+z2) donde Hx=2-2λx Hy=1-2λy Hz=3-2λz El Hessiano Liacutemitado es
2002
0202
0022
2220
||
z
y
x
zyx
H
De aquiacute
0
0)(8
202
022
220
|| 22
1si
siyx
y
x
yx
H
0576)(16
2002
0202
0022
2220
|| 22222 zyx
z
y
x
zyx
H
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49
De aquiacute se desprende que la funcioacuten f(xyz) = 2x+y+3z posee un valor miacutenimo
en el punto 18
14
14
1427
14
149
14
1418 restringido a x2+y2+z2 = 36 y un
maacuteximo en el punto 18
14
14
1427
14
149
14
1418
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Tarea nuacutemero 4 Maacuteximos y Miacutenimos
Objetivo- Que el alumno sea capaz de aprender a resolver problemas asociados a la vida real haciendo uso del caacutelculo de varias variables Aquiacute se enuncian los siguientes ejercicios adicionales dado que muchos de los mismos se fueron exponiendo a lo largo del capiacutetulo y se sugiere que se revisen los problemas resueltos y propuestos en la libros de la bibliografiacutea dado que las aplicaciones son muchas 1- Determine los valores maacuteximos y miacutenimos de la funcioacuten f(xy) = x +y sujeta a la restriccioacuten x2+2y2le18 (Realice un bosquejo de la graacutefica y se restriccioacuten)
2- Determine los valores maacuteximos y miacutenimos de la funcioacuten f(xy) = x2 +y2 sujeta a la restriccioacuten x+2y le 4 (Realice un bosquejo de la graacutefica y se restriccioacuten)
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Bibliografiacutea
1 Caacutelculo Vectorial Marsden amp Tromba Addison-Wesley Iberoamericana
2 Caacutelculo Multivariable James Steward Thomson Editores
3 Caacutelculo con Geometriacutea Anaacutelitica Zill Grupo Editorial Iberoameacuterica
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4
De esta forma se puede establecer que dos vectores son iguales si y soacutelo si tienen la misma magnitud y sentido
Como se puede apreciar el vector generado v =12
12
yy
xx a partir de dos
puntos en el plano (x1 y1) y (x2 y2) tiene un valor uacutenico en sus componentes x2-x1 y2-y1 Esta es otra forma de identificar cuando dos vectores son iguales si componen a componente son iguales y permiten ubicar a todo vector generado en el plano
De este uacuteltimo resultado se opta por tener la idea de un vector v = b
a y
asociarlo como un punto en el plano (a b)
Otra propiedad importante de los vectores es la traslacioacuten en la primer graacutefica se puede apreciar que baacutesicamente el vector resultante es el mismo salvo su ubicacioacuten en el plano
Una vez establecida la nocioacuten de vector como una pareja ordenada de
nuacutemeros reales se puede asociar a cada vector con un punto del plano cartesiano y viceversa
Ahora que se tiene definido el concepto de vector se le daraacute una
estructura algebraica que le permitiraacute dar cuerpo a este ente matemaacutetico Por estructura matemaacutetica se entenderaacute aquellas propiedades que
permiten interactuar a los vectores entre siacute dando como resultado otro vector del mismo conjunto o en su defecto un nuacutemero real
Dentro de las interacciones que permiten relacionarse a los vectores
estaacuten la suma de vectores el producto punto producto vectorial y el producto por un escalar
Magnitud y sentido
La magnitud de un vector v = b
ase mide a partir del origen al punto
(ab) siendo esta igual a | v | = 22 ba mientras que la orientacioacuten esta
definida como el aacutengulo que se forma a partir del eje real positivo hasta la
localizacioacuten del vector en este caso el aacutengulo = tan-1
a
b
(ab)
b
v
a
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5
Observacioacuten- Todo vector en el plano queda completamente determinado si se conoce su magnitud y sentido o en su defecto si se conocen sus componentes (a b) De hecho se puede establecer la siguiente relacioacuten haciendo uso de las coordenadas polares
a = r Cos
b = r Sen
Definicioacuten- Dos vectores son iguales si y soacutelo si tiene la misma magnitud y sentido o si componente a componente son iguales
Ejercicios Resuelva los siguientes ejercicios sobre vectores que se plantean a
continuacioacuten 1- Ejercicio Determine el lugar geomeacutetrico de todos los vectores que
parten del origen y tienen magnitud 5 2- Ejercicio- Trace todos los vectores que tengan magnitud cinco y
esteacuten contenidos en la liacutenea recta de 45ordm 3- Ejercicio- Determine bajo que condiciones los siguientes vectores
son iguales V1 = (x 7) y V2 = (2 7) 4- Ejercicio- Una condicioacuten de suficiencia para que dos vectores sean
iguales consiste en que tengan la misma magnitud 5- Ejercicio- Determine el valor de x tal que el vector V1 = (x 7) tenga
norma igual a 12 6- Ejercicio- Determine el valor de x tal que el vector V1 = (x 7) tenga
orientacioacuten de 75ordm 7- Ejercicio- Describa todos los puntos que se encuentran en el eje X
8) Una vez establecido el concepto de vector indique la diferencia de un vector
b
acon respecto al punto en el plano (ab)
Suma de Vectores
Definicioacuten- Dados dos vectores en el plano v1 = 1
1
b
a y v2 =
2
2
b
a la
suma de ambos vectores es nuevamente un vector de dos componentes de nuacutemeros reales
v1 + v2 = 21
21
bb
aa es decir se suman componente a componente
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6
El siguiente diagrama muestra a los vectores involucrados en dicha
suma y el vector resultante
v2 Observe que la forma de encontrar al vector
resultante consiste en usar la propiedad de traslacioacuten de vectores y formar un paralelogramo
v1 v1+v2 v1
v2
Por otra parte si ambos vectores soacutelo poseen una componente la suma
de ambos vectores es la suma de nuacutemeros reales
Es decir soacutelo importa la magnitud de cada una de sus componentes y en
este caso la direccioacuten del vector resultante es la misma a la de los vectores originales
v1 + v2 = 000
2121 aaaa
Al intentar describir ciertos vectores en la vida real lo que se necesita es
que estos tengan magnitud y sentido Algunos de estos ejemplos son una fuerza dada que esta tiene una magnitud definida mientras que la direccioacuten se le puede asignar de varias formas Como el hecho de estirar de una cuerda la fuerza es la misma pero la direccioacuten puede ser en distintos sentidos
Observe que en la suma de dos vectores que tienen una sola componente es parecida a la idea de sumar la fuerza de dos personas a tirar o empujar un carro dando como resultado la misma direccioacuten Observe que estos vectores tienen la misma magnitud pero diferente sentido En la vida real lo podemos visualizar Como el hecho de estirar un objeto con una cuerda la cuerda se puede dirigir en distintas direcciones al igual se puede estirar el cuerpo al mismo tiempo con cinco cuerdas Otros ejemplos de vectores se dan en los conceptos de velocidad aceleracioacuten fuerza etc
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7
Dos vectores caracteriacutesticos del plano son los vectores canoacutenicos definidos y denotados como
i 0
1 y j =
1
0
Ambos tienen magnitud uno direccioacuten en los ejes coordenados x e y
respectivamente y a la vez son perpendiculares entre siacute (el aacutengulo entre ellos es de 90ordm) j i
Producto por un escalar Dado un vector v en el plano y un nuacutemero escalar k en los nuacutemeros reales se define el producto por un escalar como el vector
kv = k b
a =
kb
ka
Es decir el escalar k multiplica a cada una de las componentes
Ejercicio- Se deja como ejercicio probar que este vector llamado muacuteltiplo escalar del vector v tiene k veces la magnitud del vector original y si el valor de k es positivo mantiene la misma orientacioacuten en caso de tener signo negativo la direccioacuten se invierte V Muacuteltiplos escalares de V Ejercicio- Otra caracteriacutestica es que si k es mayor a 1 el vector resultante es una expansioacuten con respecto al vector original mientras que si 0 lt k lt 1 es una contraccioacuten
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Diferencia entre dos vectores Una idea geomeacutetrica de definir la diferencia de dos vectores en la
siguiente si y son dos vectores en el plano se pueden representar de la siguiente forma En donde se dibuja un segmento que une a los vectores y dicho segmento se le asigna la orientacioacuten mostrada en el dibujo y se le denomina como el vector
Note ahora que el vector + = seguacuten la suma de vectores definida anteriormente de ahiacute se despeja a (suponiendo que las leyes de la aritmeacutetica se cumplan en los vectores) obteniendo que = -
Quedando expresada dicha diferencia como
= - = 12
12
yy
xx
Interpretacioacuten de un vector en el plano haciendo uso de los vectores canoacutenicos i y j
Dado el vector V = xy
y
x
x
y
x
yo
ox
y
x
1
0
0
10
0i y j
Esta representacioacuten permite visualizar otra forma de escribir a un vector
en el plano dando el movimiento en las direcciones de los ejes coordenados (Eje X la marca el vector i en el eje Y la marca el vector j)
De esta forma la suma de vectores se ve de la siguiente forma
V1+V2 = adb
ca
d
c
b
a( i+b j)+( c i d j) = ( ba )i +( dc )j
Producto Escalar (producto punto) Antes de entrar el tema note que los vectores i e j tienen norma uno y
que ambos son perpendiculares entre siacute Definicioacuten- (Producto Escalar o producto punto) Dados dos vectores
en el plano se define el producto escalar de la siguiente forma
V1 V2 = dbcad
c
b
a
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9
Dando como resultado un nuacutemero real (Un escalar)
Ahora al realizar el producto punto entre los vectores i y j el resultado es
cero
Ejemplos- Determine el producto escalar entre los siguientes vectores y graacutefiquelos
V1 = 2
1 V2 =
1
2 y V3 =
3
2
V1 V2 = (1)(-2) + (2) (1) = 0 V1 V3
V1 V3 = (1)(2) + (2)(3) = 8 V3 V2 V3 = (-2)(2) + (1)(3) = -1
Como se puede observar el resultado siempre es un escalar por otra parte se tiene que el producto escalar entre los vectores V1 y V2 es cero de la graacutefica se puede observar que ambos vectores son ortogonales entre siacute este es una propiedad que se cumple siempre es decir dos vectores son ortogonales si y soacutelo si su producto escalar es igual a cero Se justificaraacute este resultado a continuacioacuten
Ortogonalidad y producto escalar Al definir dos vectores y no colineales entonces se forma un aacutengulo
entre ellos diferente de cero como se muestra en la figura
-
Se puede definir un triaacutengulo con las medidas de la longitud de los lados
de los vectores y como se ve en la figura anterior y haciendo uso de las leyes de los cosenos se tiene que
|| - || 2 = |||| 2 + ||||2 ndash 2 |||| |||| Cos helliphelliphelliphellip (1)
Llame = 1
1
y
x y =
2
2
y
x se tiene que
|| - || 2 = (x1-x2)
2 + (y1-y2)2
|| ||2 = (x1
2+y12) || ||2= (x2
2+y22) = x1y1+ x2y2
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Si el aacutengulo entre los vectores y es de 90ordm se tiene que || - || 2 = || || 2 + || ||2 Luego sustituyendo los valores correspondientes (x1-x2)
2 + (y1-y2)2 = (x1
2+y12) + (x2
2+y22)
De aquiacute se concluye que x1y1+ x2y2 = 0
es decir los vectores y son ortogonales entre siacute la demostracioacuten del reciproco se realiza de manera similar es decir si el producto punto es cero se tiene que 2 |||| |||| Cos = 0 y como se asume que ninguno de ellos es el vector cero la uacutenica forma en que esto sigue siendo cierto es que Cos sea igual a cero conclusioacuten que nos lleva al resultado esperado
Ejercicio- Determine un vector ortogonal al vector
(a) V = 7
1 (b) V =
a
1 y (c) V =
a
a 1 a es un nuacutemero real
Representacioacuten de regiones en el plano haciendo uso de vectores
Un punto (ab) en el plano puede ser representado por el vector V = b
a
ahora al tener muacuteltiplos de dicho vector de la forma tV = t b
a=
tb
ta con t un
nuacutemero real se genera una infinidad de vectores y cada uno de ellos tiene asociado uno y soacutelo un punto en el plano (sin considerar la propiedad de traslacioacuten de los vectores) Se afirma que todos estos puntos pertenecen o estaacuten en la misma liacutenea
Sea X = y
x los puntos que pueden ser representados por medio del
vector tV entonces se tiene que X = tV esto es
y
x =
tb
ta
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De aquiacute se deduce que b
y
a
xt que permite establecer la relacioacuten
xa
by que corresponde a una liacutenea recta que pasa por el origen y contiene
al punto (ab) Otra caracteriacutestica importante es que la liacutenea recta posee la misma orientacioacuten que el vector que la genera
Si se tiene dos vectores V = 1
1
y
x y W =
2
2
y
x estos representan a dos
puntos en el plano si estos son colineales de acuerdo al desarrollo anterior a lo maacutes nos pueden representar una liacutenea recta Pero si ambos vectores no son colineales se pueden generar otro tipo de regiones en el plano
Dados estos dos vectores se pueden generar tres liacuteneas las cuaacuteles contienen a los puntos (x1y1) (x2y2) y el origen generando ademaacutes un triaacutengulo que se puede representar haciendo uno de las componentes de los vectores dados
(x2y2) B (x1y1) A C Para poder representar una regioacuten como la del triaacutengulo primero se representaraacute el segmento AB la forma de realizarlo es ver que este segmento esta asociado al vector W Ahora recordando que los vectores que pueden representar los puntos sobre la liacutenea que contienen al vector W son sus muacuteltiplos escalares entonces se requiere soacutelo una parte de ellos de tal forma que este segmento quedaraacute representado por los vectores (t) = t W con 0 t 1 Note que (t) es una funcioacuten del paraacutemetro t y como resultado nos da un vector en dos dimensiones Es decir se tiene una funcioacuten del segmento [01] al plano que satisface que (0) = (00) y (1) = (x2y2) Para poder representar una regioacuten con aacuterea distinta de cero se requieren dos vectores no colineales V y W de forma tal que al tomar combinaciones lineales de ambos permite definir otro vector en el plano pero ya no necesariamente en la misma direccioacuten de los originales como en el caso de una suma observe que el punto D ya no esta contenido ni en la direccioacuten del vector V ni en la del vector W
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B= (x2 y2) D = (x1+x2 y1+y2) W V+W
A V C = (x1 y1) El cuadrado ABDC queda completamente representado al definir las combinaciones lineales de V y W de la siguiente forma Todos los vectores en el plano que se pueden definir a partir de lo siguiente
(ts) = t V + s W
en donde t y s son nuacutemeros reales y ademaacutes tiene la siguiente restriccioacuten 0 t 1 y 0 s 1 Ejercicio- Represente todos los puntos en el plano cuya distancia al vector
V = 2
1 es de dos unidades
Ejercicio- Represente todos los puntos en el plano que representan a un rectaacutengulo y dos de sus aristas estaacuten ubicadas en los vectores
V = 2
1 y W =
5
0
Ejercicio- Muestre que con dos vectores no colineales es posible definir el plano bidimensional (de igual forma pruebe que el espacio tridimensional se puede definir a partir de tres vectores no coplanares)
Estructura Algeacutebrica del espacio vectorial Los vectores permiten tienen estructura algebraica que se puede definir a partir de sus operaciones definidas anteriormente Proposicioacuten- Dados tres vectores y en el plano y un escalar k estos poseen las siguientes propiedades
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(i) Ley Asociativa La suma de vectores es asociativa
(ii) Ley Conmutativa La suma de vectores es conmutativa
(iii) Neutro Aditivo Existe un vector 0
denominado neutro aditivo que satisface la siguiente propiedad
00
Es decir al sumar con cualquier vector en el plano el resultado es el mismo vector
(iv) Para todo vector en el plano existe un vector denominado el inverso aditivo - tal que la suma de ambos es igual a cero
+ - = - + = 0
Este vector cero ambas componentes son iguale a cero y si las componentes de son (ab) las de - son (-a -b) Con a y b nuacutemeros reales La demostracioacuten de estas propiedades se basan en el principio del campo de los nuacutemeros reales Como ejemplo se demostraraacute la propiedad (ii)
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Tarea 1 Caacutelculo 3 Caacutelculo Vectorial Objetivo- Que el alumno sea capaz de resolver problemas relacionados con vectores comprenda la ecuacioacuten de una liacutenea en el espacio la ecuacioacuten de un plano aacuterea de paralelogramos las propiedades algebraicas asociadas con vectores en dos y tres dimensiones en cuanto al producto punto producto por un escalar y producto cruz Finalmente que sea capaz de determinar el volumen de un paralelepiacutepedo 1- Determine la ecuacioacuten de los puntos en el espacio que (1a) pertenecen al eje X (1b) pasan por la recta y=3x (1c) pasan por el punto (1-11) y en direccioacuten del vector i+j (1d) representan a la recta de interseccioacuten de los planos 3x ndash 2y + z = 7 y 2x + 4y ndashz = 4 (1e) representan al plano ortogonal a la liacutenea x=2y = 3z 2- Que regioacuten del espacio representan los puntos (2a) con componentes (x1z) (2b) contenidos por el paralelogramo definido por los vectores i+j y 3i ndashj (haga un bosquejo) 3- Determine un vector que sea muacuteltiplo escalar del vector α = 3i + j pero de norma uno (El vector resultante recibe el nombre de vector normalizado del vector α) 4- Determine un vector perpendicular al vector β = 2i + 3i - 5k 5- Pruebe que la ley conmutativa es vaacutelida en el producto escalar es decir αβ = βα 6- Pruebe que la siguiente propiedad es vaacutelida en el producto escalar entre un muacuteltiplo escalar de α y el vector β (k α)(β) = k (αβ) = α(kβ) 7- Deduzca la ecuacioacuten que establece la distancia de un punto P=(x1 y1 z1) en el espacio y el plano A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0 (Puedes encontrar la demostracioacuten en alguacuten libro de caacutelculo vectorial o intentar demostrarla usando el concepto de proyeccioacuten ortogonal)
8- Determine la distancia entre los planos x + y + z = 0 y x + y + z = 1 (Trate de determinar dicha distancia entre los planos paralelos sin hacer uso de la foacutermula y luego use dicha foacutermula para establecer el resultado finalmente trate de dar una interpretacioacuten de dicha solucioacuten) 9- Determine el volumen del paralelepiacutepedo generado por los vectores V1=(322) V2=(202) y V3=(041) 10- Determine el volumen del paralelepiacutepedo con cuatro de sus veacutertices en los puntos (123) (024) (305) y (222) realice un bosquejo de dicho paralelepiacutepedo
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11- Pruebe que dados cuatro veacutertices de un paralelepiacutepedo en el espacio se pueden generar cuatro paralelepiacutepedos distintos pero de igual volumen 12- Pruebe que α (β times γ) = γ (α times β) 13- Pruebe que α times (β + γ) = α times β + α times γ 14- Determine el aacuterea del paralelogramo generado por los vectores i+j-k 2i-j 15- Determine el aacuterea del paralelogramo generado por los vectores 2i+j 3i ndash j 16- Determine el aacutengulo que existe entre los vectores i+j-k y 2j ndash k 17- Determine si el vector i+j es una combinacioacuten lineal del vector 2i ndashj 18- Determine si el vector i+j es una combinacioacuten lineal del vector 2i + 2j 19- Determine el aacutengulo entre los planos 2x ndash y + z = 0 y 3x ndashy + 2z = 0 20- Determine la distancia entre los planos x + y + z = 0 y x + y + z = 1
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Capitulo 2 Funciones Vectoriales
En este capitulo se veraacuten temas relacionados con funciones de varias variables que van a los nuacutemeros reales (a las cuales se les llaman funciones reales) o que van a maacutes dimensiones
Cuando uno habla de este tema es importante recalcar que en la vida cotidiana se presentan diversas aplicaciones con el hecho de manejar varias variables que van desde la preparacioacuten de un cafeacute hasta el hecho de planear la agenda diaria de coacutemo distribuir el tiempo
Citemos el siguiente ejemplo En un estudio de calidad de vida de los sentildeores casados y con hijos se realizaraacute una evolucioacuten final de la satisfaccioacuten de su vida cotidiana en base a una encuesta en donde se mediraacuten diversos factores de vida familiar para esto se tiene la disyuntiva de poder distribuir los tiempos de Trabajo diversioacuten ejercicio jugar con los nintildeos convivir con su pareja visitar a familiares convivir con amigos Entonces no cabe duda que los resultados de la encuesta estaraacuten vinculados con los tiempos destinados a cada actividad asiacute por ejemplo
Persona Trabajo Diversioacuten Ejercicio Nintildeos Pareja Familiares Amigos
A 30 20 5 5 10 8 2
B 50 5 2 2 10 10 18
Otro ejemplo se presenta el preparar un cafeacute dado que aunque este sea
para la misma persona si usa distintos cantidades de cafeacute azuacutecar leche o temperatura final del mismo el resultado del sabor del mismo cambiaraacute notablemente Cabe sentildealar que cada individuo mide el grado de satisfacioacuten de forma diferente y a la vez esta se realiza en forma cualitativa dado que no se puede medir el grado de satisfacioacuten debido a que cada individuo tiene distintos gustos un cafeacute con poca azuacutecar para una persona puede ser para otra que este bien o que este muy azucarado
Por otra parte no es lo mismo tomar un cafeacute en un diacutea caluroso a una o
en un diacutea con friacuteo Siendo esta otra variable de estudio Como se puede apreciar el resultado final depende rotundamente de la cantidad que se mezcle de cada uno de los ingredientes con los que se cuentan Es decir es un problema de varias variables
Pongamos el siguiente ejemplo financiero una persona desea invertir en el banco en dos cuentas individuales siendo que en la primera da un rendimiento de 2 mensual y en la segunda del 3 si se desea saber cual es la ganancia mensual esto se puede escribir para el primer mes de la siguiente forma
G(xy) = 002x + 003y siendo x la cantidad de dinero aportada en la primer cuenta y la cantidad de dinero aportada en la segunda cuenta Esta seriacutea la ganancia del primer mes Asiacute si invierte mil pesos en la primer cuenta y dos mil en la segunda la ganancia del primer mes seraacute de ochenta pesos
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G(10002000) =002(1000)+003(2000) = 20 + 60 = 100
Cabe sentildealar que las aplicaciones en economiacutea en donde aparecen maacutes
de una variable abundan y que anaacutelisis maacutes completos de estados de cuenta con intereses o deudas en tiendas de conveniencia se pueden representar mediante funciones de varias variables debiendo desarrollar cada una de ellas en su debido tiempo
Por otra parte las aplicaciones en procesos de produccioacuten industrial son diversos y permiten evaluar el producto final que llegaraacute al cliente en cuanto a la calidad del mismo
Si un estudiante dedica cierta cantidad de horas de estudio y por otra parte se mide la atencioacuten prestada en sus horas de estudio Se pueden proponer lo siguiente No se esperariacutean los mismos resultados si dedica tres horas de estudio con poca atencioacuten a que si dedica la misma cantidad de horas de estudio con mucha atencioacuten Cabe sentildealar que la atencioacuten prestada depende del intereacutes de estudiante en la materia el gusto por la misma o la importancia que preste en conocer temas nuevos
Funcioacuten Vectorial
Se comenzaraacute el estudio de funciones vectorial de varias variables especificando algunos detalles sobre las mismas en principio una funcioacuten vectorial tiene como dominio un subconjunto de Rn y un conjunto de llegada esta en Rm
Asiacute si el dominio A tiene tres variables se dice que el dominio esta definido en R3 las tres variables se pueden denotar por x y z Ahora si antildeadimos que la funcioacuten en cuestioacuten refleja algunos rasgos de las variables anteriores por ejemplo si se considera importante la suma de las primeras dos el producto de la segunda y tercera Entonces se dice que la funcioacuten tiene como conjunto de llegada a dos variables en la primera se refleja una suma mientras que en la segunda se observa una multiplicacioacuten
Entonces la forma de escribir en la primera de ellas es x + y mientras que la segunda es yz asiacute la funcioacuten queda expresada como
F(x y z) = (x+y yz)
Una funcioacuten que se puede observar diariamente es la de la temperatura en una habitacioacuten considerando cada punto en el espacio de la habitacioacuten entonces el dominio esta en tres dimensiones y la imagen de la funcioacuten refleja la temperatura en cada punto de la misma observe que esta puede cambiar si se encuentra cercas de una ventana o de la estufa
Aquiacute T(x y z) Muestra la temperatura en cada punto de una habitacioacuten faltariacutea encontrar la ecuacioacuten matemaacutetica que modele dicho comportamiento
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Como se puede observar el poder estudiar un fenoacutemeno real por medio de un modelo matemaacutetico es fundamental para poder realizar predicciones del mismo por medio de las propiedades de la funcioacuten asociada al mismo como el hecho de que la funcioacuten sea creciente que tenga un valor maacuteximo Se mostraran algunos ejemplos maacutes adelante con la finalidad de motivar el estudio de los fenoacutemenos reales por medio de las matemaacuteticas Definicioacuten- (Funcioacuten) Una funcioacuten es una regla de asignacioacuten entre dos conjuntos A y B que asigna a cada elemento del conjunto A uno y soacutelo uno del conjunto B El conjunto de partida A se le denomina el dominio de la funcioacuten mientras que el conjunto de llegada es B se le conoce como el codominio de la funcioacuten En el caso de varias variables se tiene que A es un subconjunto de Rn mientras que el conjunto B es un subconjunto de Rm Aquiacute es importante que a ninguacuten elemento del dominio se le asigne al mismo tiempo dos elementos del codominio y a la vez que a ninguno del dominio quede sin ser asignado Un ejemplo de esto se presenta en la siguiente funcioacuten que va del conjunto dominio A = 1 2 3 al conjunto B = 2 4 6 8 al definir la funcioacuten f que asigna a cada elemento del dominio con su doble se tiene que f(1) = 2 f(2) = 4 y f(3) = 6 Ahora una funcioacuten de dos variables se puede definir a partir de los conjuntos C = (12) (23) (34) (36) y D =3 4 5 6 7 8 9 en donde la funcioacuten g C D representa la suma de los diacutegitos de cada pareja ordenada
En este caso g(12) = 3 g(23) = 5 y asiacute sucesivamente Cabe sentildealar que la pareja ordenada (12) es distinta a la pareja (21) en donde esta uacuteltima no pertenece dominio de la funcioacuten
6 5 Suma g(12) = 3 4 3 2 (12)
1 (21) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 0 1 2 3 4 5 6 Las parejas (12) y (21) ocupan distintas posiciones en el plano La segunda de ellas no pertenece al dominio de la funcioacuten de manera tal aunque se pudiera evaluarla pareja ordenada no se contempla por el hecho de que la funcioacuten no esta definida en dicho valor
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Un ejemplo de esta funcioacuten ocurre si consideramos el total que se tiene que pagar en una tienda despueacutes de comprar dos artiacuteculos distintos Otro de ellos se presenta al tomar una evaluacioacuten de calidad de cierto artiacuteculo en donde se van sumando los puntos y no necesariamente serian dos variables
Otra caracteriacutestica que se presenta en esta tipo de funciones es que los valores esteacuten bien definidos al momento de evaluar como el hecho de que no se puede dividir entres cero y no se pueden sacar raiacuteces de nuacutemeros negativos Este hecho es importante para detallar el dominio de algunas funciones
asiacute el dominio de la funcioacuten xxk 4)( esta restringido al hecho de que la
variable x sea menor a cuatro dado que el argumento 4-x debe de ser no negativo es decir 4-x 0 y de aquiacute se tiene que 4 x
Cuando se involucran dos variables un ejemplo es encontrar el dominio
de la funcioacuten yxyxh 44)( y por analogiacutea con el problema anterior
se sabe que 4 x y a la vez que 4 y quedando el dominio descrito de la siguiente manera D = (xy) 4 x 4 y
6 D Dominio de la funcioacuten 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7
Ejemplo- Determine el dominio de la funcioacuten 2 2( ) 9 h x y x y Aquiacute se tiene
que el argumento de dicha funcioacuten debe de ser positivo en donde el dominio
de la funcioacuten es 2 29 0x y que es equivalente a 2 29 x y que representa
a un ciacuterculo de radio 3 y centrado en el origen
Si la funcioacuten es 2 2
1( )
9h x y
x y el dominio es casi el mismo
eliminando en donde el argumento se hace cero debido a que no estaacute definida la divisioacuten entre cero siendo el dominio el mismo circulo del ejemplo anterior pero sin la orilla
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Como se puede apreciar el dominio de estas funciones estaacute definido por regiones en el plano cartesiano cuando el dominio de la funcioacuten estaacute contenido en R2
Derivadas Parciales La derivada parcial de una funcioacuten de varias variables consiste en derivar la funcioacuten con respecto a la variable en cuestioacuten y dejar a las otras variables fijas como si fuesen constantes Por ejemplo al derivar la funcioacuten f(x y z) = x2 + 3xy3 - 3xz las derivadas de f con respecto a x y y z se describen a continuacioacuten y se denotan cada una de ellas por medio de los simbolos fx fy y fz fx(x y z) = 2x + 3y3 - 3z fy(x y z) = 9xy2 fz(x y z) = - 3x Definicioacuten- (Gradiente de una funcioacuten) El gradiente de una funcioacuten real se define como el vector que contiene en sus componentes a sus primeras derivadas parciales Asiacute para el ejemplo anterior el gradiente de f es y se denota por
3
2
2 3 3
9
3
x
y
z
f x y z
f f xy
f x
Ejemplo- Determine el gradiente de las siguientes funiones g(xy)=(x2 y4) y h(xyzw) = 2x+y2-3z+8w
3
2( )
4
x
y
h xh x y
h y
2
2( )
3
8
x
y
z
w
g
g yg x y z w
g
g
El vector gradiente tiene varias propiedades que son muy uacutetiles una de ellas nos indica la direccioacuten de maacuteximo crecimiento y otra de ellas es que es un
vector tangente a las curvas de nivel de una funcioacuten
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Definicioacuten- (Derivada Direccional) La derivada direccional de una
funcioacuten en un punto (x0 y0) y en direccioacuten de un vector v=(AB) se define como el producto del gradiente de la funcioacuten evaluado en el punto (x0 y0) por el vector V dividido entre la norma de mismo vector
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Tarea nuacutemero 2 materia de Caacutelculo 3 Objetivo- Que el alumno sea capaz de interpretar la nocioacuten de liacutemite en varias variables identifique la graacutefica de funciones y haga uso de la derivadas parciales 1- Determine el dominio de las siguientes funciones
(1a) f(x y z) = 2221 zyx
(1b) g(x y) = xy
2
(1c) f(x y) = xy
(1d) g(x y) = y4
(1e) f(x y) = y
x
4
4
(1f) h(x y) = 24
1
xy
2- Realice un bosquejo de las siguientes graacuteficas
22 zyx 22 2zxy 22 yxz 222 yxz
3- Determine los siguientes liacutemites
(31) xyxyxyxf y 210)( 3 cuando (xy) tiende a (12)
(32) yx
zyzxzyxf
33
)( cuando (xy) tiende a (112)
(33) )00()(
)00()(
0
3
3
)(
44
32
yx
yx
Siacute
Siyx
yx
yxk cuando (xy) tienden a (00)
En caso de existir indique haciendo uso de la nocioacuten
(34) )()(2
zxyxxxy
xxyyxzyxF z cuando (xyz) tiende a (012)
4- Indique de las funciones del ejercicio anterior son continuas y en que dominio 5- Determine si las funciones del ejercicio tres son de clase C1 6- Determine la ecuacioacuten del plano tangente a la graacutefica de la funcioacuten g(xy) = x4-10y3 en el punto (1-1) y en el punto (12) grafique en la computadora y agregue en el documento de la tarea 7- Determine los conjunto de nivel de valor -2 -1 0 1 2 de las funciones (7a) f(x y) = 3x2 + 3y2
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(7b) g(x y) = 22 44 yx
(7c) h(x y) = 1 ndash y + x2 (7d) k(x y z) = x2 + y2 + z2 Indique las graacuteficas en computadora y agregue en el reporte
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Capiacutetulo 3
Trayectorias
En este capiacutetulo se realiza el estudio de las propiedades de las funciones vectoriales es decir se hace incapie en el concepto de funcioacuten y la de un vector
Este concepto permite describir entre otras cosas el camino seguido por una partiacutecula en el espacio con el ingrediente adicional de tener a la mano los conceptos de velocidad y aceleracioacuten derivados a partir de una sola ecuacioacuten aquella que guarda la relacioacuten de posicioacuten de la partiacutecula con respecto al tiempo
Por ejemplo al mover una onda esta describe un movimiento circular si
la onda se suelta un objeto puesto en ella sale disparado en forma tangencial Este movimiento se puede representar con vectores y debe de expresar que la velocidad sea tangente a la trayectoria que sigue dado que la piedra abandona la onda en liacutenea recta
Si esto se extrapola al vuelo de una mosca se puede inferir que la velocidad de la misma sea tangencial a la trayectoria que va recorriendo en cada punto esto se muestra en la siguiente graacutefica
Observe que el hecho de contar con la orientacioacuten del vector velocidad permite no soacutelo inferir la velocidad de escape de la partiacutecula sobre la curva sino a la vez conocer la orientacioacuten del movimiento de la misma
Definicioacuten- (Trayectoria) Una trayectoria es una funcioacuten que parte de los nuacutemeros reales al espacio n Euclidiano Es decir es una funcioacuten de la forma
))()()(()( 21 txtxtxt n
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Caso particular de una trayectoria de los reales a plano En el caso de una trayectoria de los reales al plano se puede ilustrar con el siguiente diagrama
σ(a) σ(b) a b
2][ Rba ))()(()( tytxt
Una forma de ilustrar esto es pensar que la variable t es el tiempo y la imagen corresponde a la trayectoria de un objeto en el plano asiacute que el tiempo t=a la partiacutecula se encuentra en el punto σ(a) que es el inicio del recorrido de la misma mientras que tiempo final t=b se localiza al final de la trayectoria de estudio
Se puede observar una flecha indicativa del sentido de la partiacutecula a lo largo de la trayectoria
Ecuacioacuten Parametrica y Cartesiana de una curva
Ejemplo- Dada la trayectoria )()( 2ttt con 22t realice una
graacutefica de dicha trayectoria
t ))()(()( tytxt
-2 )42()(t
-1 )11()(t
0 )00()(t
1 )11()(t
2 )42()(t
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Como se puede apreciar la imagen de la trayectoria que recibe el
nombre de curva es una paraacutebola esto se puede ver si se realiza lo siguiente
Como x = t y = t2 entonces se puede deducir que y=x2 la ecuacioacuten correspondiente a la graacutefica de una paraacutebola esta ecuacioacuten corresponde a sus coordenadas cartesianas por otra parte si se rescribe en forma de trayectoria se dice que la ecuacioacuten es su ecuacioacuten cartesiana dado que depende de un solo paraacutemetro
Parametrizacioacuten de una funcioacuten real Si y es una variable dependiente de la variable x es decir existe
una regla de asignacioacuten f tal que y = f(x) con bxa En donde a
cada elemento x le asigna uno y soacutelo un valor y La graacutefica de esta funcioacuten se debe de ver como un trazo en el plano de la siguiente forma
La graacutefica no puede ser de la siguiente forma
y2
y3
y1 y4
X1 X2
Note que al valor de x2 le asigna tres valores de y lo cual no
cumple con las condiciones para que f sea una funcioacuten Ahora la graacutefica de una funcioacuten de esta tipo no es otra cosa que
la imagen de una trayectoria la cual se puede parametrizar de la siguiente forma
Como y = f(x) entonces defina x = t y por consiguiente y=f(t) en
donde bta
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-4 -2 2 4
-30
-20
-10
10
20
30
-2 -1 1 2
-2
-1
1
2
Asiacute en el caso de la paraacutebola la parametrizacioacuten adecuada es x
=t y = t2 tal como estaba planteada originalmente Ahora si la funcioacuten es y = 2x3-10x con 44 x entonces la
parametrizacioacuten adecuada es
)102()( 3 tttt 44 t
La graacutefica de esta curva asociada a la trayectoria es
Parametrizacioacuten de una circunferencia Elipse e Hipeacuterbola
La ecuacioacuten cartesiana de una circunferencia con centro en el origen y
radio dos estaacute dada por 422 yx Al intentar escribir esta ecuacioacuten en
funcioacuten de un solo paraacutemetro se requiere despejar a la variable y obteniendo
dos funciones que son 24 xy Con 22 x
La graacutefica de esta curva permite visualizar que no pertenece a una
funcioacuten sino maacutes bien a dos que son las enunciadas anteriormente y como se ve a continuacioacuten
24 xy
24 xy
Una forma de representar esta curva es por medio de dos trayectorias
)4()( 2
1 ttt y )4()( 2
2 ttt 22t
Una forma alternativa de representar esta curva es por medio del uso de coordenadas polares en donde x=rCos(t) y= rSen(t) como el radio es fijo y es igual a dos estas ecuaciones se pueden escribir en funcioacuten de un solo paraacutemetro ldquotrdquo x=2Cos(t) y=2Sen(t) note que al evaluar x2+y2=4Cos2(t)+4Sen2(t) = 4(Cos2(t)+Sen2(t))=4 con lo cual satisface la
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ecuacioacuten de la circunferencia quedando expresada la trayectoria de la siguiente forma
σ(y) = (2Cos(t) 2Sen(t) con 0letle2π En esta ecuacioacuten define por completo a la curva auacuten y cuando la
ecuacioacuten original no es una funcioacuten siendo esto una ventaja del estudio de la trayectorias
Ejemplo- La parametrizacioacuten de la elipse 12
2
2
2
b
y
a
x queda
expresada por x = aCos(t) y=bSen(t) se deja como ejercicio comprobar este resultado
Ejemplo- La parametrizacioacuten de la hiperbola 12
2
2
2
b
y
a
x queda
expresada por x = aCosh(t) y=bSenh(t) en donde se trabaja con las funciones de Seno y Coseno hiperboacutelicas se deja como ejercicio comprobar este resultado (aunque soacutelo permite representar el lado correspondiente a los cuadrantes I y IV en donde la x es no negativa
Derivada de una trayectoria La derivada de una trayectoria es un vector tangente a la curva esto se
deriva del siguiente anaacutelisis
Dada la trayectoria σ(t) se grafican la posicioacuten de la curva al tiempo t y t+h luego trace el vector asociado a la liacutenea secante que une los puntos de aquiacute al tomar valores cada vez maacutes pequentildeos de h el vector secante se convierte en un vector tangente a la curva como se muestra a continuacioacuten
Por otra parte el anaacutelisis vectorial de este cociente es
)()()(
0
tt
tht
h
Liacutem
Es decir la derivada de la trayectoria y el vector resultante es
tangente a la curva
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Asiacute para el caso de una curva en el plano la trayectoria se puede describir por medio de dos funciones x(t) y(t) de la siguiente forma
)(
)()(
ty
txt
En donde la derivada de esta funcioacuten es
)(
)()(
ty
txt
Vector tangente a la graacutefica de una circunferencia de radio R Ahora si se tiene la parametrizacioacuten de una circunferencia esta esta
dada por σ(t) = ( RCos(t) R Sen(t))
Y X
Un vector tangente tiene que cumplir que su producto punto tiene que
ser cero de aquiacute si V=(AB) al multiplicarlo por el vector σ su producto punto tiene que ser cero
De aquiacute que σ(t)V = ARCos(t) + BRSen(t) = 0 Existiendo muchas soluciones a este sistema de ecuaciones siendo una
de ellas cuando A = Cos(t) B=-Sen(t)
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Vector trasladado
Siendo este un vector tangente a la curva ahora al derivar las
componentes xrsquo(t) = -RSen(t) y(t) = RCos(t) que es un muacuteltiplo escalara del vector tangente mostrado anteriormente
Definicioacuten- (Rotacional) El rotacional de un campo vectorial
F=Pi+Qj+Rk de clase C1 de define como el vector
i j k
RotFx y z
P Q R
Ejemplos- Determine el rotacional de los siguientes campos vectoriales
F1=xi+yj+zk F2=x2yi-xy
2j-3zyk
Solucioacuten-
1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0
i j k
RotF z y i z x j y x kx y z y z x z x y
x y z
2 2 2 2
2
2 2
( 3 ) ( ) ( 3 ) ( ) ( ) ( )
3
i j k
RotF zy xy i zy x y j xy x y kx y z y z x z x y
x y xy zy
2 2
2
2 2
3 0
3
i j k
RotF z i j y x kx y z
x y xy zy
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Definicioacuten- (Divergencia) Si F es un campo vectorial de clase C1 la divergencia de F se define como un campo escalar de la siguiente forma
( )P Q R
divF div Pi Qj Rkx y z
Ejemplos- Determine la divergencia de los siguientes campos vectoriales F1=xi+yj+zk F2=x
2yi-xy
2j-3zyk
Solucioacuten-
1 ( ) ( ) ( ) ( ) 3divF div xi yj zk x y zx y z
2 2 2 2
2 ( 3 ) ( ) ( ) ( 3 ) 2 2 3 3divF div x yi xy j zyk x y xy zy xy xy y yx y z
Definicioacuten- (Laplaciano) Si f es un campo escalar de clase C2 el Laplaciano de f se define como un campo escalar de la siguiente forma
2 2 2
2
2 2 2xx yy zz
f f ff f f f f
x y z
Ejemplos- Determine la divergencia de los siguientes campos escalares g1(x
y z) = xy2z
3 g2(x y z) = x
2 + y
2 + z
2
2 2 2
2 2 3 2 3 2 3 2 3 3 2 2
2 2 2( ) ( ) ( ) 2 3 f f xy z xy z xy z y z yz xy z
x y z
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2( ) ( ) ( ) 6f f x y z x y z x y z
x y z
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Tarea nuacutemero 3 Trayectorias
Objetivo- Que el alumno sea capaz de comprender los conceptos de movimiento de una partiacutecula a lo largo de una trayectoria y de la importancia del uso de vectores en este tema 1- Si la trayectoria σ(t) = t2i+t2j define la trayectoria seguida por una partiacutecula con respecto al tiempo determine 1a- iquestEl tipo de trayectoria que describe 1b- Realice una graacutefica de la distancia recorrida por la partiacutecula con respecto al tiempo en los primeros tres segundos 1c- Determine el tipo de movimiento de la partiacutecula 1d- iquestSe puede afirmar que es un movimiento uniformemente acelerado 1e- Determine la aceleracioacuten y velocidad a los cuatro segundos 1f- Realice una graacutefica de su rapidez con respecto al tiempo 1g- Realice una graacutefica de sus aceleracioacuten con respecto al tiempo 1h- En la graacutefica de la trayectoria agregue graacuteficamente los vectores aceleracioacuten y velocidad 2- Realice lo mismo que en ejercicio anterior pero ahora con la funcioacuten γ(t) = Cos(t) i+5Sen(t)j 3- Dadas las funciones f(t) = 3t2i-4t3j+e2tk y g(t) = 4t3i+4t2j+e-2tk 3a- Determine la funcioacuten producto punto h = fg 3b- Determine la derivada de h 3c- Usando la regla de diferenciacioacuten determine la derivada de h y compruebe el inciso anterior 4a- Determine la funcioacuten producto cruz k = ftimesg 4b- Determine la derivada de h 4c- Usando la regla de diferenciacioacuten determine la derivada de h y compruebe el inciso anterior 5- Determine el Rotacional y la Divergencia del siguiente campo vectorial G(x y z) = 2xy i + 3xz j - 5xy k 6- Determine el gradiente y el Laplaciano del siguiente campo escalar f(xyz) = 4x2-3yz2 7- Dado el campo vectorial F(x y z) = 2xy i + x2 j +3z2 k 7a- Determine si F puede representar el gradiente de un campo escalar f 7b- En caso de ser afirmativa la respuesta del inciso anterior determine el campo escalar f 8- Pruebe que la divergencia del rotacional de un campo vectorial F=Pi+Qj+Rk es igual a cero Es decir la div rot F =0 9- Usando las reglas de diferinciacioacuten pruebe que
gfgfgf
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100 -x
Capitulo 4 Maacuteximos y miacutenimos
Es indispensable determinar en distintos problemas las soluciones oacuteptimas que permitan establecer por ejemplo los valores maacuteximos de produccioacuten o ahorrar el material en la construccioacuten de cierto equipo
Como se recordaraacute el gradiente de una funcioacuten indica la direccioacuten de
maacuteximo crecimiento esto se refleja en que si se toma la direccioacuten sugerida por este vector el valor de la funcioacuten aumenta en una vecindad del mismo asiacute si en un diagrama de un campo gradiente aparecen un punto en donde convergen la direccioacuten de todos los gradientes se encontraraacute que dicho valor debe de ser un valor maacuteximo para la funcioacuten de estudio Un diagrama de esta tipo se ejemplifica a continuacioacuten
Un diagrama en donde todos los vectores apuntan hacia fuera de un
punto indicaraacute que este punto debe de ser un valor miacutenimo de la funcioacuten Citemos el siguiente ejemplo de una variable con la finalidad de
centrarnos en el tema Una persona desea bardear un terreno en forma rectaacutengular cuanto debe de medir cada lado de manera tal que el aacuterea cercada sea maacutexima si se cuenta con 200 metros de malla
La funcioacuten que representa dicho modelo es
A(x) = x(100-x) x
Como se puede observar el aacuterea es cero si x es igual a cero o a cien con lo cuaacutel el lado x debe de estar en en intervalo [0 100] siendo estas las restricciones del problema Derivando la funcioacuten para obtener los valores critiacutecos se tiene que Arsquo(x) = 100 ndash 2x
Al igual la derivada a cero se concluye que el valor critico es x es igual a 50 Al derivar por segunda ocasioacuten se concluye que
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Arsquorsquo(x) = -2 Como la segunda derivada es siempre negativa se concluye que la funcioacuten alcanza un valor maacuteximo en el valor critico en este caso en x = 50 al interpretar dicho resultado se concluye que el terreno que optimiza la solucioacuten es un cuadrado Ejercicio- Que aacuterea se genera si el terreno es de forma circular Al resolver el ejercioacute anterior y comparar las aacutereas del cuadrado y del circulo se puede apreciar que el aacuterea del circulo es mayor pero en la praacutectica es poco atractivo cercar terrenos circulares por diversas razones pero en la naturaleza es comuacuten observar que las gotas de lluvia sean esferas esto permite el optimizar recursos y maacuteximizar el volumen del liacutequido contenido en la misma Se iniciara el estudio formal de maacuteximos y miacutenimos de funciones de varias variables observando las siguientes graficas con la finalidad de tener la idea clara de que es un maacuteximo o miacutenimo o un punto silla
En la primera de ellas se observa que la funcioacuten tiene un valor miacutenimo en la segunda se observa que la funcioacuten tiene un valor maacuteximo y en la uacuteltima la funcioacuten tiene un punto silla este se identifica el dirigirnos en una direccioacuten la funcioacuten crece mientras que en la otra la funcioacuten decrece
Definicioacuten- Una funcioacuten mn RRf tiene un valor maacuteximo local en x0 si en
una vecindad de dicho valor se cumple que la funcioacuten evaluada en todos los vecinos ninguno de ellos supera a f(x0) Es decir f(x0) f(x) para todo x en una vecindad de x0 El punto es llamado un maacuteximo absoluto si la funcioacuten toma el valor maacuteximo en dicho punto para todo valor de su dominio
Esto es muy similar cuando uno observa a los alumnos de un saloacuten de clases existe un alumno que tiene la mayor estatura si ninguno de sus compantildeeros lo supera Asiacute en la escuela el alumno de mayor estatura absoluta es aquel que supera a todo el plantel
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La definicioacuten para el miacutenimo local (absoluto) es similar
f(x0) f(x) para todo en una vecindad de x0 Por ejemplo la funcioacuten f(xy) = x2+y2 tiene un valor miacutenimo en el origen dado que en este valor la funcioacuten vale cero mientras que fuera de ahiacute siempre es positiva dado que todo nuacutemero real elevado al cuadrado es siempre positivo Ademaacutes dicho valor es un miacutenimo absoluto Como se menciono al inicio de esta capitulo el diagrama del campo
gradiente de esta funcioacuten y
xyxf
2
2)( indica que la funcioacuten tiene un valor
miacutenimo siendo la grafica del mismo la siguiente Sin embargo se requiere un criterio maacutes general y sistemaacutetico que permita establecer los posibles valores maacuteximos miacutenimos o puntos silla) Definicioacuten- (Un valor extremo) Si la funcioacuten posee un valor maacuteximo o miacutenimo este es llamado un valor extremo Definicioacuten- (Un valor critico) Un punto en donde la derivada de la funcioacuten se anula es llamado un valor critico Teorema- Todo valor extremo es un valor critico Es decir si f posee un valor extremo en x0 que pertenece a su dominio entonces la derivada de la funcioacuten en el punto x0 se anula Es decir Df(x0) = 0 Demostracioacuten- Sea l(t) una trayectoria que pasa a traveacutes por el punto x0 defina la composicioacuten de funciones h(t) = f(l(t)) donde l(t) = x0 + tv de donde lrsquo(t) = v y ademaacutes
))(()())(()( VtlftDltlDftDh (1)
Por otra parte como f posee un valor extremo en x0 suponga que dicho
valor es un maacuteximo entonces x0 seraacute a la vez un maacuteximo para la funcioacuten h y como h es una funcioacuten real esto significa que la derivada de h en dicho punto
se anula es decir 0)()0())0(()0( 0 vxfDllDfDh ahora como los
vectores )( 0xf y v no son necesariamente perpendiculares y el vector v a la
vez tampoco se anula entonces esto implica que el gradiente de f en x0 es igual a cero y por lo tanto f posee un valor criacutetico en x0
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Este resultado permite establecer posibles valores criacuteticos de una funcioacuten asiacute se menciona el siguiente ejemplo Ejemplo- Determine los posibles valores criacuteticos de las siguientes funciones (1) f(x y) = x2 + y2 y (2) g(x y) = 4x3 -12x + y2
Solucioacuten-
(1) 0
0
2
2)(
y
xyxf de aquiacute se concluye que dicho valor soacutelo
existe un valor criacutetico siendo este el origen el cuaacutel ya se clasifico en estos apuntes y resulto ser un valor miacutenimo
(2) 0
0
2
1212)(
2
y
xyxg de aquiacute se obtienen dos valores criacuteticos
que son (-10) y 1l (10) Los cuales se pueden clasificar el realizar el graacutefico del campo gradiente En donde se aprecia que en el punto (-10) la funcioacuten posee un punto silla mientras que en el punto (10) la funcioacuten posee un valor miacutenimo
Aquiacute se utilizaraacute el criterio del hessiano para determinar si el valor criacutetico es un maacuteximo un miacutenimo o un punto silla Solo se enunciara el teorema sin demostracioacuten para ver la misma puede revisar en el libro de Marsden Tromba de Caacutelculo Vectorial
Definicioacuten- El Hessiano de una funcioacuten 22 RRH de clase C2 se define como una funcioacuten cuadraacutetica que se escribe como
2
1
2
22
2
2
2
21212
1)(
h
h
y
f
yx
f
xy
f
x
f
hhhhH
Evaluada la matriz de las segundas derivas parciales en el valor criacutetico
Teorema- Si el Hessiano de una funcioacuten 2 RRf es definitivamente
positivo entonces la funcioacuten tiene un valor miacutenimo en dicho punto
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Corolario- Si la matriz asociada A=cb
ba de una forma cuadraacutetica dos
por dos es definitivamente positiva si y soacutelo si se cumple que agt0 y det A gt0
Teorema de una valor para un valor extremo miacutenimo- Una funcioacuten
2 RRf de clase C2 posee un valor extremo miacutenimo local en x0 elemento
del dominio de la funcioacuten si y soacutelo si se satisfacen las siguientes condiciones
(i) 0)( 0xx
f y 0)( 0x
y
f
(ii) )( 02
2
xx
f gt 0
(iii) )( 02
2
xx
f)( 02
2
xy
f)(
2
2
oxx
f)( 02
2
xx
f gt 0
Para un valor maacuteximo las condiciones (i) y (iii) se mantienen la uacutenica que cambia en la segunda en donde esta debe ser negativa Para un punto silla se requiere que al menos no se cumplan las condiciones de valor maacuteximo ni miacutenimo y que la uacuteltima condicioacuten (iii) sea distinta de cero En caso contrario el criterio no permite clasificar dicho valor como se mostraraacute en un ejemplo maacutes adelante Ejemplo- Ahora continuando con los ejemplos anteriores
(1) Para f(xy) = x2+y2 el valor critico es el origen y el hessiano asociado es
2
1
212100
02
2
1)(
h
hhhhhH
Como se pude apreciar el primer valor es positivo 2 gt0 y el determinante de
la funcioacuten 20
02det es igual a 4 que a la vez es positivo de manera tal que la
funcioacuten posee un valor miacutenimo en el origen
(2) g(x y) = 4x3 -12x + y2 los puntos criticos son (-10) y (10) y el hessiano asociado a esta forma cuadraacutetica es
2
1
212120
024
2
1)(
h
hxhhhhHg
Ahora al evaluar en los puntos se tiene En el (-10)
2
1
212120
024
2
1)(
h
hhhhhHg
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En donde -24 lt 0 y det Hg = -48 lt0 con lo cuaacutel debe de ser un punto silla
En el (10)
2
1
212120
024
2
1)(
h
hhhhhHg
En donde 24 gt 0 y det Hg = 48 gt0 con lo cuaacutel debe de ser un punto miacutenimo
Tal como se habiacutea estimado en la graacutefica del campo gradiente de la
solucioacuten anterior A continuacioacuten se muestra un bosquejo de dicha graacutefica realizado en el derive
Ejemplos de cuando el criterio permite clasificar los
valores criacuteticos
Ejemplo- A continuacioacuten se mostrara un ejemplo de cuando el criterio no concluye asiacute si la funcioacuten es h(xy) = x4+y4 al calcular las derivas parciales mixtas fx=4x3 y fy=4y3 se encuentra un solo valor critico el origen miestras que la matriz asociada del hessiano es
2
2
120
012
y
x y al evaluar en el origen queda expresada como
00
00
)0(120
0)0(122
2
En donde se puede apreciar que fallan todos los criterios una inspeccioacuten de
la funcioacuten original permite ver que la funcioacuten tiene un valor miacutenimo en dicho punto pero no es una generalizacioacuten es decir no se puede decir que siempre que aparezca la matriz de ceros se tenga un valor miacutenimo dado que si se analiza ahora a las funciones k(xy) = -x4-y4 y p(xy) = x4-y4 ambas tienen como calor extremo al origen y la matriz hessiana asociada a la forma cuadraacutetica evaluada en el origen es la matriz de ceros
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Ejemplo- Otro ejemplo en donde el criterio no concluye es el siguiente en
donde el determinante de la matriz H es cero debido a que la segunda derivada de la funcioacuten f con respecto a la segunda variable se anula (fyy = 0) y no se puede asegurar que se tenga un punto maacuteximo miacutenimo o silla
Las funciones f1(xy) = x2 f2(xy) = -x2 y f3(xy) = x3 presentan este
problema a continuacioacuten se muestran las graficas de dichas funciones
En cada una de ellas los puntos criacuteticos son las parejas en el plano (0 y) Es decir el eje coordenado X
El Hessiano respectivo de cada uno es el siguiente
00
02)(1 yxH
00
02)(2 yxH
00
03)(3
xyxH
Note que el determinante de cada de estas matrices se hace cero y que fyy
se anula en cada caso
Ahora observando las graacuteficas se verifica visualmente que en la primera se tienen valores miacutenimos en la segunda maacuteximos y en la uacuteltima no es ni maacuteximo ni miacutenimo o punto silla
Ejemplo- Citemos otro ejemplo en donde el criterio de maacuteximos y miacutenimos
no concluye Determine los puntos criacuteticos de la funcioacuten h(xy) = x4 Se tiene que hx=4x3=0 y hy=0 de donde se deduce que la funcioacuten tiene
un nuacutemero infinito de puntos criacuteticos estos son las parejas ordenadas en el plano (0y)
La matriz del Hessiano asociado es
00
012)(
2
1
xyxH y evaluando en el punto
00
00)0(1 yH
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40
En donde no se puede clasificar a los valores criacuteticos sin embargo
realizando una inpeccioacuten de la funcioacuten se puede concluir que todos los puntos representan valores miacutenimos de la funcioacuten original a continuacioacuten se muestra la grafica de la misma
El Hessiano para n variables y el criterio de clasificacioacuten
Cuando la funcioacuten tiene maacutes de dos variables se genera una matriz asociada H en cada uno de los valores criacuteticos de la siguiente forma
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
H
21
22221
11211
De aquiacute se definen las siguientes matrices
111 aH 2221
1211
2aa
aaH hellip HH n
Los criterios para los valores criacuteticos de la funcioacuten RRf n son los
siguientes [Miacutenimo Local] La funcioacuten f posee un valor extremo local miacutenimo en x0 si todos los determinantes de las submatrices evaluados en x0 son positivos
0det 1H 0det 2H hellip 0det 2H (+ + hellip +)
En este caso la forma cuadraacutetica se puede probar que es definitivamente positiva [Maacuteximo Local] La funcioacuten f posee un valor extremo local miacutenimo en x0 si todos los determinantes de las submatrices evaluados en x0 se alternan en signo pero el primero de ellos debe ser negativo
0det 1H 0det 2H hellip 0det 2H (- + - + hellip )
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En este caso la forma cuadraacutetica se puede probar que es definitivamente negativa [Punto Silla] La funcioacuten f posee un punto silla si no se cumplen los criterios de valor miacutenimo o maacuteximo y al menos uno de los subdeterminantes es distinto de cero
Existe un i tal que 0det iH
Ejemplos- Determine los valores criacuteticos de las siguiente funcioacuten f(x y z w) = x3 - 3x + y3 ndash 3y + z2 + w2 y claacutesifiquelos Solucioacuten- Al resolver las siguientes ecuaciones
033 2 xxf x 033 2 yyf y 02zf z y 033 2 wwfw
Se obtienen cuatro puntos criacuteticos que son (-1-100) (-1100) (1-100) y (1100) ahora se genera la matriz del hessiano asociado siendo esta
2000
0200
0060
0006
y
x
H
Al evaluar en cada uno de los puntos se tienen las siguientes matrices
2000
0200
0060
0006
)0011(H
2000
0200
0060
0006
)0011(H
2000
0200
0060
0006
)0011(H y
2000
0200
0060
0006
)0011(H
Los sub determinantes para cada uno de los puntos son [(-1 -1 0 0)] -6 36 72 144 que clasifica como un punto silla [(-1100)] -6 -36 -72 -144 que clasifica como un punto silla [(1-100)] 6 -36 -72 -144 que clasifica como un punto silla [(1100)] 6 36 72 144 que clasifica como un valor miacutenimo De manera tal que la funcioacuten tiene tres puntos silla y un valor miacutenimo
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42
Ejercicios- Determine los puntos criacuteticos de las siguientes funciones y claacutesifiquelos utilizando el criterio del Hessiano
(1) f(x y) = x2 - y2 (Silla de montar)
(2) g(x y) = 22 yx (Cono)
(3) h(x y z) = x4 - 2x2 + 2y3 -3y2 + z3-3 Ejercicio- Se requiere construir una lata con tapa que contenga un litro de agua con el miacutenimo de material determine las condiciones que oacuteptimizan el problema Ejercicio- Determine el producto maacuteximo de tres nuacutemeros si la suma de ellos debe ser 40 Ejercicio- Determine la distancia miacutenima del origen a la graacutefica de la funcioacuten f(xy) = 4-x2+y Ejercicio- Estudie los ejemplos resueltos que trae el libro de Marden Tromba en el capitulo 4 en especial el referente a la ecuacioacuten de miacutenimos cuadrados Ejercicio- Determine la ecuacioacuten lineal que mejor se ajusta a los puntos (12) (2 32) (3 389) (4 488) (5 55) Utilize el criterio de miacutenimos cuadrados en caso de que el modelo sea lineal (justifique la linealidad del mismo realice una graacutefica de los puntos y de la liacutenea que ajusta a los puntos) Ejemplo- (Aplicacioacuten) En este ejemplo dermina la distancia miacutenima del punto (100) a la graacutefica de una funcioacuten f(x y) = x2+y2
Solucioacuten- Todos los puntos que se encuentran sobre la graacutefica de la funcioacuten satisfacen la siguiente terna de valores en donde se observa que la tercer componente es la variable dependiente (x y x2+y2)
La distancia del punto (1 0 0) a los puntos que estaacuten sobre la graacutefica (x y x2+y2) Se define por medio de la funcioacuten
2222222 )()1()()001()( yxyxyxyxdyxfd
Para determinar el valor miacutenimo o maacuteximo de esta funcioacuten basta con
analizar su argumento dado que es un funcioacuten creciente Es decir Si x1lt x2
entonces f(x1) lt f(x2) lo que es vaacutelido para la funcioacuten )( xxf (ver graacutefica)
2x
1x
x1 x2
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43
De este modo la funcioacuten a maximizar es
2222222
11 )()1()()001()( yxyxyxyxdyxfd
De aquiacute al las derivadas parciales son
)(4)1(2)( 22
1 yxxxyxfd x y )(42)( 22
1 yxyyyxfd y
Igualando ambas ecuaciones a cero se puede establecer la siguiente
ecuacioacuten
)(4
)(4
2
2222
22
yxy
yxx
y
x (3)
De aquiacute si )00()( yx y 0y se concluye que -1=0 lo cual es una
contradiccioacuten Por otra parte si (xy)=(00) en la primera ecuacioacuten se tiene que 1=0 que es tambieacuten una contradiccioacuten Finalmente si se considera el caso en
que y=0 se obtiene de la siguiente ecuacioacuten 012 3 xx
El polinomio 12)( 3 xxxP tiene una raiacutez entre el cero y el 1 dado
que P(0)=-1 y P(1)=2 Con el anaacutelisis de raiacuteces racionales dos posibles raiacuteces
son 2
1 y como
2
1 estaacute entre cero y uno al usando divisioacuten sinteacutetica se
obtiene que 4
1
2
1P Asiacute que la raiacutez debe de estar en el intervalo 1
2
1
Ahora usando el meacutetodo de Newton con semilla en 2
10x se obtiene
que 6010
6
2
54
1
2
1
)(
)(
0
0
01xf
xfxx
Ahora al evaluar la funcioacuten en dicho punto se tiene que 0320)60(P el
cual es aceptable como raiacutez del polinomio en una sola interaccioacuten De manera tal que el punto criacutetico de la funcioacuten es el (060) El Hessiano asociado es
24128
82412)(
22
22
xyxy
xyyxyxH
Como se puede apreciar el primer elemento de la matriz es positivo independientemente de los valores de x e y Falta evaluar el determinante de H este es igual a
)64)2412)(2412()(det 222222 yxxyyxyxH
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Ahora evaluando en (06 0) se tiene 7421)443)(326()060(det H
Que tambieacuten es positivo de manera tal que se tiene un valor miacutenimo Es
decir la se obtuvo la distancia miacutenima
Maacuteximos y Miacutenimos con restricciones
Los muacuteltiplicadores de Lagrange permite determinar valores maacuteximos o miacutenimos de funciones con restricciones De este tipo de problemas esta lleno nuestro contorno desde el panedero que desea producir la maacutexima cantidad de pan pero con la restriccioacuten del capital que tiene o la posible venta del diacutea para que no tenga sobrantes
Citemos el siguiente ejemplo la graacutefica de paraboloide z = x2+y2 esta
graacutefica soacutelo tiene un valor miacutenimo en el origen sin embargo si esta restringida
al cuadrado unitario 1111 la funcioacuten alcanza cuatro puntos maacuteximos en
los puntos (-11)(-1-1) (1 -1) y (11) a saber dicho valor es 2 Como se observa en la figura
Ahora si se trabaja con la silla de montar con la misma restriccioacuten esta
funcioacuten tiene originalmente un punto silla en el origen pero al analizar las restricciones se contiene dos valores maacuteximos y dos miacutenimos en los puntos (10) (-10) (0-1) y (01)
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Muacuteltiplicadores de Lagrange Teorema- Dadas dos funciones fg Rn a R diferenciables en X0 elemento del dominio de ambas funciones Si Lc es el conjunto de nivel de valor c de la funcioacuten g y si f posee un valor maacuteximo miacutenimo o silla en la restriccioacuten Lc
entonces existe un nuacutemero real λ tal que )()( 00 XgXf
Se puede ver parte de la demostracioacuten de este teorema en el libro de Marsden Tromba Para clasificar los puntos criacuteticos se utiliza el criterio del Hessiano limitado el cuaacutel se define a partir de la funcioacuten auxiliar H(x1 x2 hellip xn) = f(x1 x2 hellip xn) - λ g(x1 x2 hellip xn)
nnnn
n
n
xxxxx
xxxxx
xx
hhg
hhg
gg
H
1
1111
10
||
Ahora defina los siguientes determinantes
22122
21111
210
|| 1
xxxxx
xxxxx
xx
hhg
hhg
gg
H
3323131
3222121
3121111
3210
|| 2
xxxxxxx
xxxxxxx
xxxxxxx
xxx
hhhg
hhhg
hhhg
ggg
H ||det|| HHn
Criterios para maacuteximos y miacutenimos con restricciones (Hessiano liacutemitado) [Miacutenimo Local] Se tiene un miacutenimo local si y soacutelo si todos los determinantes son negativos |H1| lt0 |H2| lt0 hellip |Hn|lt0 ( - - - - - hellip)
[Maacuteximo Local] Se tiene un maximo local si y soacutelo se inicia con un determinante positivo y luego se alternan los signos |H1| gt 0 |H2| lt 0 hellip |Hn|lt0 (+ - + - hellip)
[Punto del tipo Silla] Se tiene un punto tipo silla sino se satisface los criterios de maacuteximos o miacutenimos y al menos uno de los determinantes es distinto de cero Ejemplo- Determine si la funcioacuten f(xy)= x2 ndash y2 tiene valores criacuteticos en la restriccioacuten x2+y2=1
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)(2
2
2
2)( 00 Xg
g
g
y
x
y
x
f
fXf
y
x
y
x
de aquiacute se obtienen las ecuaciones 2x = 2 λx -2y = 2 λy x2 + y2 =1 Las soluciones de este sistema de ecuaciones son (-101) (101) (0-1-1) y (0-11) El Hessiano liacutemitado es
2202
0222
220
||
y
x
yx
H
El determinante es igual a det|H| = 8x2(1+λ) ndash 8y2(1-λ) ahora evaluando
cada uno de los puntos se tiene que det|H|(-101) = 16 gt 0 det|H|(101) = 16 gt 0 det|H|(0-1-1) = -16 lt 0 det|H|(0-11) = -16 lt 0
De manera tal que la funcioacuten posee dos valores maacuteximos en los puntos (-10) y (10) y por otra parte tiene dos valores miacutenimos en los puntos (0-1) y (0-1) Ejemplo- Determine si la funcioacuten f(xy)= x2+y2 tiene valores criacuteticos en la restriccioacuten x2-y2 le 4 Al iniciar este estudio se trabaja con el interior es decir x2-y2 lt 4 dando como resultado el anaacutelisis de maacuteximos y miacutenimos de una funcioacuten en general de donde el gradiente de f se anula uacutenicamente en el origen siendo este valor un miacutenimo como se habiacutea visto en un ejercicio anterior para la funcioacuten del paraboloide Ahora al trabajar sobre la frontera se usa el criterio de muacuteltiplicadores de Lagrange
)(2
2
2
2)( 00 Xg
g
g
y
x
y
x
f
fXf
y
x
y
x
de aquiacute se obtienen las ecuaciones 2x = 2 λx 2y = -2 λy x2 - y2 = 4
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Las soluciones de este sistema de ecuaciones son (-201) y (201) El Hessiano liacutemitado es
2202
0222
220
||
y
x
yx
H
El determinante es igual a det|H| = -8x2(1+λ) + 8y2(1-λ) ahora
evaluando en cada uno de los puntos se tiene que det|H|(201) = -64 gt 0 y det|H|(-201) = -64 lt 0
De manera tal que la funcioacuten posee dos valores miacutenimos en los puntos (-20) y (20)
Una anaacutelisis de la graacutefica de esta funcioacuten permite visualizar que dichos
puntos no son miacutenimos maacutes bien son puntos tipos silla y no es que el criterio falle sino maacutes bien que los valores son miacutenimos pero sobre el complemento es decir bajo la restriccioacuten x2-y2 ge 4 Ejemplo- Determine los valores criacuteticos de la funcioacuten f(xyz) = 2x+y+3z sujeta a la restriccioacuten x2+y2+z2 le 36 Solucioacuten- Un anaacutelisis de las condiciones iniciales muestra que la graacutefica a maximizar en un hiperplano restringido en su dominio a una esfera de radio 6 de acuerdo a estas condiciones la funcioacuten en su interior no debe tener valor criacuteticos y en la frontera debe tener un valor miacutenimo y un valor maacuteximo En el interior- Al derivar la funcioacuten original se tiene lo siguiente
3
1
2
)( 0
z
y
x
f
f
f
Xf
De aquiacute se observa que la funcioacuten no posee valores criacuteticos en todo su dominio tal y como se esperaba Frontera- Al utilizar las condiciones del los Muacuteltiplicadores de Lagrange se tiene lo siguiente
)(
2
2
2
3
1
2
)( 00 Xg
z
y
x
f
f
f
Xf
z
y
x
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De aquiacute se genera el siguiente sistema de ecuaciones 2 = 2λx 1 = 2λy 3 = 2λz x2+y2+z2=36
Resolviendo el sistema se concluye que 2
1
1yx amp
2
3z Ahora
sustituyendo en la uacuteltima ecuacioacuten se deduce que la funcioacuten posee dos valores criacuteticos que son
18
14
14
1427
14
149
14
1418amp
18
14
14
1427
14
149
14
1418
La funcioacuten auxiliar es H(xyzλ) = 2x+y+3z-λ(x2+y2+z2) donde Hx=2-2λx Hy=1-2λy Hz=3-2λz El Hessiano Liacutemitado es
2002
0202
0022
2220
||
z
y
x
zyx
H
De aquiacute
0
0)(8
202
022
220
|| 22
1si
siyx
y
x
yx
H
0576)(16
2002
0202
0022
2220
|| 22222 zyx
z
y
x
zyx
H
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49
De aquiacute se desprende que la funcioacuten f(xyz) = 2x+y+3z posee un valor miacutenimo
en el punto 18
14
14
1427
14
149
14
1418 restringido a x2+y2+z2 = 36 y un
maacuteximo en el punto 18
14
14
1427
14
149
14
1418
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Tarea nuacutemero 4 Maacuteximos y Miacutenimos
Objetivo- Que el alumno sea capaz de aprender a resolver problemas asociados a la vida real haciendo uso del caacutelculo de varias variables Aquiacute se enuncian los siguientes ejercicios adicionales dado que muchos de los mismos se fueron exponiendo a lo largo del capiacutetulo y se sugiere que se revisen los problemas resueltos y propuestos en la libros de la bibliografiacutea dado que las aplicaciones son muchas 1- Determine los valores maacuteximos y miacutenimos de la funcioacuten f(xy) = x +y sujeta a la restriccioacuten x2+2y2le18 (Realice un bosquejo de la graacutefica y se restriccioacuten)
2- Determine los valores maacuteximos y miacutenimos de la funcioacuten f(xy) = x2 +y2 sujeta a la restriccioacuten x+2y le 4 (Realice un bosquejo de la graacutefica y se restriccioacuten)
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Bibliografiacutea
1 Caacutelculo Vectorial Marsden amp Tromba Addison-Wesley Iberoamericana
2 Caacutelculo Multivariable James Steward Thomson Editores
3 Caacutelculo con Geometriacutea Anaacutelitica Zill Grupo Editorial Iberoameacuterica
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5
Observacioacuten- Todo vector en el plano queda completamente determinado si se conoce su magnitud y sentido o en su defecto si se conocen sus componentes (a b) De hecho se puede establecer la siguiente relacioacuten haciendo uso de las coordenadas polares
a = r Cos
b = r Sen
Definicioacuten- Dos vectores son iguales si y soacutelo si tiene la misma magnitud y sentido o si componente a componente son iguales
Ejercicios Resuelva los siguientes ejercicios sobre vectores que se plantean a
continuacioacuten 1- Ejercicio Determine el lugar geomeacutetrico de todos los vectores que
parten del origen y tienen magnitud 5 2- Ejercicio- Trace todos los vectores que tengan magnitud cinco y
esteacuten contenidos en la liacutenea recta de 45ordm 3- Ejercicio- Determine bajo que condiciones los siguientes vectores
son iguales V1 = (x 7) y V2 = (2 7) 4- Ejercicio- Una condicioacuten de suficiencia para que dos vectores sean
iguales consiste en que tengan la misma magnitud 5- Ejercicio- Determine el valor de x tal que el vector V1 = (x 7) tenga
norma igual a 12 6- Ejercicio- Determine el valor de x tal que el vector V1 = (x 7) tenga
orientacioacuten de 75ordm 7- Ejercicio- Describa todos los puntos que se encuentran en el eje X
8) Una vez establecido el concepto de vector indique la diferencia de un vector
b
acon respecto al punto en el plano (ab)
Suma de Vectores
Definicioacuten- Dados dos vectores en el plano v1 = 1
1
b
a y v2 =
2
2
b
a la
suma de ambos vectores es nuevamente un vector de dos componentes de nuacutemeros reales
v1 + v2 = 21
21
bb
aa es decir se suman componente a componente
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6
El siguiente diagrama muestra a los vectores involucrados en dicha
suma y el vector resultante
v2 Observe que la forma de encontrar al vector
resultante consiste en usar la propiedad de traslacioacuten de vectores y formar un paralelogramo
v1 v1+v2 v1
v2
Por otra parte si ambos vectores soacutelo poseen una componente la suma
de ambos vectores es la suma de nuacutemeros reales
Es decir soacutelo importa la magnitud de cada una de sus componentes y en
este caso la direccioacuten del vector resultante es la misma a la de los vectores originales
v1 + v2 = 000
2121 aaaa
Al intentar describir ciertos vectores en la vida real lo que se necesita es
que estos tengan magnitud y sentido Algunos de estos ejemplos son una fuerza dada que esta tiene una magnitud definida mientras que la direccioacuten se le puede asignar de varias formas Como el hecho de estirar de una cuerda la fuerza es la misma pero la direccioacuten puede ser en distintos sentidos
Observe que en la suma de dos vectores que tienen una sola componente es parecida a la idea de sumar la fuerza de dos personas a tirar o empujar un carro dando como resultado la misma direccioacuten Observe que estos vectores tienen la misma magnitud pero diferente sentido En la vida real lo podemos visualizar Como el hecho de estirar un objeto con una cuerda la cuerda se puede dirigir en distintas direcciones al igual se puede estirar el cuerpo al mismo tiempo con cinco cuerdas Otros ejemplos de vectores se dan en los conceptos de velocidad aceleracioacuten fuerza etc
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7
Dos vectores caracteriacutesticos del plano son los vectores canoacutenicos definidos y denotados como
i 0
1 y j =
1
0
Ambos tienen magnitud uno direccioacuten en los ejes coordenados x e y
respectivamente y a la vez son perpendiculares entre siacute (el aacutengulo entre ellos es de 90ordm) j i
Producto por un escalar Dado un vector v en el plano y un nuacutemero escalar k en los nuacutemeros reales se define el producto por un escalar como el vector
kv = k b
a =
kb
ka
Es decir el escalar k multiplica a cada una de las componentes
Ejercicio- Se deja como ejercicio probar que este vector llamado muacuteltiplo escalar del vector v tiene k veces la magnitud del vector original y si el valor de k es positivo mantiene la misma orientacioacuten en caso de tener signo negativo la direccioacuten se invierte V Muacuteltiplos escalares de V Ejercicio- Otra caracteriacutestica es que si k es mayor a 1 el vector resultante es una expansioacuten con respecto al vector original mientras que si 0 lt k lt 1 es una contraccioacuten
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8
Diferencia entre dos vectores Una idea geomeacutetrica de definir la diferencia de dos vectores en la
siguiente si y son dos vectores en el plano se pueden representar de la siguiente forma En donde se dibuja un segmento que une a los vectores y dicho segmento se le asigna la orientacioacuten mostrada en el dibujo y se le denomina como el vector
Note ahora que el vector + = seguacuten la suma de vectores definida anteriormente de ahiacute se despeja a (suponiendo que las leyes de la aritmeacutetica se cumplan en los vectores) obteniendo que = -
Quedando expresada dicha diferencia como
= - = 12
12
yy
xx
Interpretacioacuten de un vector en el plano haciendo uso de los vectores canoacutenicos i y j
Dado el vector V = xy
y
x
x
y
x
yo
ox
y
x
1
0
0
10
0i y j
Esta representacioacuten permite visualizar otra forma de escribir a un vector
en el plano dando el movimiento en las direcciones de los ejes coordenados (Eje X la marca el vector i en el eje Y la marca el vector j)
De esta forma la suma de vectores se ve de la siguiente forma
V1+V2 = adb
ca
d
c
b
a( i+b j)+( c i d j) = ( ba )i +( dc )j
Producto Escalar (producto punto) Antes de entrar el tema note que los vectores i e j tienen norma uno y
que ambos son perpendiculares entre siacute Definicioacuten- (Producto Escalar o producto punto) Dados dos vectores
en el plano se define el producto escalar de la siguiente forma
V1 V2 = dbcad
c
b
a
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Dando como resultado un nuacutemero real (Un escalar)
Ahora al realizar el producto punto entre los vectores i y j el resultado es
cero
Ejemplos- Determine el producto escalar entre los siguientes vectores y graacutefiquelos
V1 = 2
1 V2 =
1
2 y V3 =
3
2
V1 V2 = (1)(-2) + (2) (1) = 0 V1 V3
V1 V3 = (1)(2) + (2)(3) = 8 V3 V2 V3 = (-2)(2) + (1)(3) = -1
Como se puede observar el resultado siempre es un escalar por otra parte se tiene que el producto escalar entre los vectores V1 y V2 es cero de la graacutefica se puede observar que ambos vectores son ortogonales entre siacute este es una propiedad que se cumple siempre es decir dos vectores son ortogonales si y soacutelo si su producto escalar es igual a cero Se justificaraacute este resultado a continuacioacuten
Ortogonalidad y producto escalar Al definir dos vectores y no colineales entonces se forma un aacutengulo
entre ellos diferente de cero como se muestra en la figura
-
Se puede definir un triaacutengulo con las medidas de la longitud de los lados
de los vectores y como se ve en la figura anterior y haciendo uso de las leyes de los cosenos se tiene que
|| - || 2 = |||| 2 + ||||2 ndash 2 |||| |||| Cos helliphelliphelliphellip (1)
Llame = 1
1
y
x y =
2
2
y
x se tiene que
|| - || 2 = (x1-x2)
2 + (y1-y2)2
|| ||2 = (x1
2+y12) || ||2= (x2
2+y22) = x1y1+ x2y2
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10
Si el aacutengulo entre los vectores y es de 90ordm se tiene que || - || 2 = || || 2 + || ||2 Luego sustituyendo los valores correspondientes (x1-x2)
2 + (y1-y2)2 = (x1
2+y12) + (x2
2+y22)
De aquiacute se concluye que x1y1+ x2y2 = 0
es decir los vectores y son ortogonales entre siacute la demostracioacuten del reciproco se realiza de manera similar es decir si el producto punto es cero se tiene que 2 |||| |||| Cos = 0 y como se asume que ninguno de ellos es el vector cero la uacutenica forma en que esto sigue siendo cierto es que Cos sea igual a cero conclusioacuten que nos lleva al resultado esperado
Ejercicio- Determine un vector ortogonal al vector
(a) V = 7
1 (b) V =
a
1 y (c) V =
a
a 1 a es un nuacutemero real
Representacioacuten de regiones en el plano haciendo uso de vectores
Un punto (ab) en el plano puede ser representado por el vector V = b
a
ahora al tener muacuteltiplos de dicho vector de la forma tV = t b
a=
tb
ta con t un
nuacutemero real se genera una infinidad de vectores y cada uno de ellos tiene asociado uno y soacutelo un punto en el plano (sin considerar la propiedad de traslacioacuten de los vectores) Se afirma que todos estos puntos pertenecen o estaacuten en la misma liacutenea
Sea X = y
x los puntos que pueden ser representados por medio del
vector tV entonces se tiene que X = tV esto es
y
x =
tb
ta
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11
De aquiacute se deduce que b
y
a
xt que permite establecer la relacioacuten
xa
by que corresponde a una liacutenea recta que pasa por el origen y contiene
al punto (ab) Otra caracteriacutestica importante es que la liacutenea recta posee la misma orientacioacuten que el vector que la genera
Si se tiene dos vectores V = 1
1
y
x y W =
2
2
y
x estos representan a dos
puntos en el plano si estos son colineales de acuerdo al desarrollo anterior a lo maacutes nos pueden representar una liacutenea recta Pero si ambos vectores no son colineales se pueden generar otro tipo de regiones en el plano
Dados estos dos vectores se pueden generar tres liacuteneas las cuaacuteles contienen a los puntos (x1y1) (x2y2) y el origen generando ademaacutes un triaacutengulo que se puede representar haciendo uno de las componentes de los vectores dados
(x2y2) B (x1y1) A C Para poder representar una regioacuten como la del triaacutengulo primero se representaraacute el segmento AB la forma de realizarlo es ver que este segmento esta asociado al vector W Ahora recordando que los vectores que pueden representar los puntos sobre la liacutenea que contienen al vector W son sus muacuteltiplos escalares entonces se requiere soacutelo una parte de ellos de tal forma que este segmento quedaraacute representado por los vectores (t) = t W con 0 t 1 Note que (t) es una funcioacuten del paraacutemetro t y como resultado nos da un vector en dos dimensiones Es decir se tiene una funcioacuten del segmento [01] al plano que satisface que (0) = (00) y (1) = (x2y2) Para poder representar una regioacuten con aacuterea distinta de cero se requieren dos vectores no colineales V y W de forma tal que al tomar combinaciones lineales de ambos permite definir otro vector en el plano pero ya no necesariamente en la misma direccioacuten de los originales como en el caso de una suma observe que el punto D ya no esta contenido ni en la direccioacuten del vector V ni en la del vector W
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B= (x2 y2) D = (x1+x2 y1+y2) W V+W
A V C = (x1 y1) El cuadrado ABDC queda completamente representado al definir las combinaciones lineales de V y W de la siguiente forma Todos los vectores en el plano que se pueden definir a partir de lo siguiente
(ts) = t V + s W
en donde t y s son nuacutemeros reales y ademaacutes tiene la siguiente restriccioacuten 0 t 1 y 0 s 1 Ejercicio- Represente todos los puntos en el plano cuya distancia al vector
V = 2
1 es de dos unidades
Ejercicio- Represente todos los puntos en el plano que representan a un rectaacutengulo y dos de sus aristas estaacuten ubicadas en los vectores
V = 2
1 y W =
5
0
Ejercicio- Muestre que con dos vectores no colineales es posible definir el plano bidimensional (de igual forma pruebe que el espacio tridimensional se puede definir a partir de tres vectores no coplanares)
Estructura Algeacutebrica del espacio vectorial Los vectores permiten tienen estructura algebraica que se puede definir a partir de sus operaciones definidas anteriormente Proposicioacuten- Dados tres vectores y en el plano y un escalar k estos poseen las siguientes propiedades
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(i) Ley Asociativa La suma de vectores es asociativa
(ii) Ley Conmutativa La suma de vectores es conmutativa
(iii) Neutro Aditivo Existe un vector 0
denominado neutro aditivo que satisface la siguiente propiedad
00
Es decir al sumar con cualquier vector en el plano el resultado es el mismo vector
(iv) Para todo vector en el plano existe un vector denominado el inverso aditivo - tal que la suma de ambos es igual a cero
+ - = - + = 0
Este vector cero ambas componentes son iguale a cero y si las componentes de son (ab) las de - son (-a -b) Con a y b nuacutemeros reales La demostracioacuten de estas propiedades se basan en el principio del campo de los nuacutemeros reales Como ejemplo se demostraraacute la propiedad (ii)
Apuntes de la Materia de Caacutelculo III Facultad de Ciencias Fiacutesico Matemaacuteticas de la UA de C Maestro Manuel Antonio Torres Gomar
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Tarea 1 Caacutelculo 3 Caacutelculo Vectorial Objetivo- Que el alumno sea capaz de resolver problemas relacionados con vectores comprenda la ecuacioacuten de una liacutenea en el espacio la ecuacioacuten de un plano aacuterea de paralelogramos las propiedades algebraicas asociadas con vectores en dos y tres dimensiones en cuanto al producto punto producto por un escalar y producto cruz Finalmente que sea capaz de determinar el volumen de un paralelepiacutepedo 1- Determine la ecuacioacuten de los puntos en el espacio que (1a) pertenecen al eje X (1b) pasan por la recta y=3x (1c) pasan por el punto (1-11) y en direccioacuten del vector i+j (1d) representan a la recta de interseccioacuten de los planos 3x ndash 2y + z = 7 y 2x + 4y ndashz = 4 (1e) representan al plano ortogonal a la liacutenea x=2y = 3z 2- Que regioacuten del espacio representan los puntos (2a) con componentes (x1z) (2b) contenidos por el paralelogramo definido por los vectores i+j y 3i ndashj (haga un bosquejo) 3- Determine un vector que sea muacuteltiplo escalar del vector α = 3i + j pero de norma uno (El vector resultante recibe el nombre de vector normalizado del vector α) 4- Determine un vector perpendicular al vector β = 2i + 3i - 5k 5- Pruebe que la ley conmutativa es vaacutelida en el producto escalar es decir αβ = βα 6- Pruebe que la siguiente propiedad es vaacutelida en el producto escalar entre un muacuteltiplo escalar de α y el vector β (k α)(β) = k (αβ) = α(kβ) 7- Deduzca la ecuacioacuten que establece la distancia de un punto P=(x1 y1 z1) en el espacio y el plano A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0 (Puedes encontrar la demostracioacuten en alguacuten libro de caacutelculo vectorial o intentar demostrarla usando el concepto de proyeccioacuten ortogonal)
8- Determine la distancia entre los planos x + y + z = 0 y x + y + z = 1 (Trate de determinar dicha distancia entre los planos paralelos sin hacer uso de la foacutermula y luego use dicha foacutermula para establecer el resultado finalmente trate de dar una interpretacioacuten de dicha solucioacuten) 9- Determine el volumen del paralelepiacutepedo generado por los vectores V1=(322) V2=(202) y V3=(041) 10- Determine el volumen del paralelepiacutepedo con cuatro de sus veacutertices en los puntos (123) (024) (305) y (222) realice un bosquejo de dicho paralelepiacutepedo
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11- Pruebe que dados cuatro veacutertices de un paralelepiacutepedo en el espacio se pueden generar cuatro paralelepiacutepedos distintos pero de igual volumen 12- Pruebe que α (β times γ) = γ (α times β) 13- Pruebe que α times (β + γ) = α times β + α times γ 14- Determine el aacuterea del paralelogramo generado por los vectores i+j-k 2i-j 15- Determine el aacuterea del paralelogramo generado por los vectores 2i+j 3i ndash j 16- Determine el aacutengulo que existe entre los vectores i+j-k y 2j ndash k 17- Determine si el vector i+j es una combinacioacuten lineal del vector 2i ndashj 18- Determine si el vector i+j es una combinacioacuten lineal del vector 2i + 2j 19- Determine el aacutengulo entre los planos 2x ndash y + z = 0 y 3x ndashy + 2z = 0 20- Determine la distancia entre los planos x + y + z = 0 y x + y + z = 1
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Capitulo 2 Funciones Vectoriales
En este capitulo se veraacuten temas relacionados con funciones de varias variables que van a los nuacutemeros reales (a las cuales se les llaman funciones reales) o que van a maacutes dimensiones
Cuando uno habla de este tema es importante recalcar que en la vida cotidiana se presentan diversas aplicaciones con el hecho de manejar varias variables que van desde la preparacioacuten de un cafeacute hasta el hecho de planear la agenda diaria de coacutemo distribuir el tiempo
Citemos el siguiente ejemplo En un estudio de calidad de vida de los sentildeores casados y con hijos se realizaraacute una evolucioacuten final de la satisfaccioacuten de su vida cotidiana en base a una encuesta en donde se mediraacuten diversos factores de vida familiar para esto se tiene la disyuntiva de poder distribuir los tiempos de Trabajo diversioacuten ejercicio jugar con los nintildeos convivir con su pareja visitar a familiares convivir con amigos Entonces no cabe duda que los resultados de la encuesta estaraacuten vinculados con los tiempos destinados a cada actividad asiacute por ejemplo
Persona Trabajo Diversioacuten Ejercicio Nintildeos Pareja Familiares Amigos
A 30 20 5 5 10 8 2
B 50 5 2 2 10 10 18
Otro ejemplo se presenta el preparar un cafeacute dado que aunque este sea
para la misma persona si usa distintos cantidades de cafeacute azuacutecar leche o temperatura final del mismo el resultado del sabor del mismo cambiaraacute notablemente Cabe sentildealar que cada individuo mide el grado de satisfacioacuten de forma diferente y a la vez esta se realiza en forma cualitativa dado que no se puede medir el grado de satisfacioacuten debido a que cada individuo tiene distintos gustos un cafeacute con poca azuacutecar para una persona puede ser para otra que este bien o que este muy azucarado
Por otra parte no es lo mismo tomar un cafeacute en un diacutea caluroso a una o
en un diacutea con friacuteo Siendo esta otra variable de estudio Como se puede apreciar el resultado final depende rotundamente de la cantidad que se mezcle de cada uno de los ingredientes con los que se cuentan Es decir es un problema de varias variables
Pongamos el siguiente ejemplo financiero una persona desea invertir en el banco en dos cuentas individuales siendo que en la primera da un rendimiento de 2 mensual y en la segunda del 3 si se desea saber cual es la ganancia mensual esto se puede escribir para el primer mes de la siguiente forma
G(xy) = 002x + 003y siendo x la cantidad de dinero aportada en la primer cuenta y la cantidad de dinero aportada en la segunda cuenta Esta seriacutea la ganancia del primer mes Asiacute si invierte mil pesos en la primer cuenta y dos mil en la segunda la ganancia del primer mes seraacute de ochenta pesos
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G(10002000) =002(1000)+003(2000) = 20 + 60 = 100
Cabe sentildealar que las aplicaciones en economiacutea en donde aparecen maacutes
de una variable abundan y que anaacutelisis maacutes completos de estados de cuenta con intereses o deudas en tiendas de conveniencia se pueden representar mediante funciones de varias variables debiendo desarrollar cada una de ellas en su debido tiempo
Por otra parte las aplicaciones en procesos de produccioacuten industrial son diversos y permiten evaluar el producto final que llegaraacute al cliente en cuanto a la calidad del mismo
Si un estudiante dedica cierta cantidad de horas de estudio y por otra parte se mide la atencioacuten prestada en sus horas de estudio Se pueden proponer lo siguiente No se esperariacutean los mismos resultados si dedica tres horas de estudio con poca atencioacuten a que si dedica la misma cantidad de horas de estudio con mucha atencioacuten Cabe sentildealar que la atencioacuten prestada depende del intereacutes de estudiante en la materia el gusto por la misma o la importancia que preste en conocer temas nuevos
Funcioacuten Vectorial
Se comenzaraacute el estudio de funciones vectorial de varias variables especificando algunos detalles sobre las mismas en principio una funcioacuten vectorial tiene como dominio un subconjunto de Rn y un conjunto de llegada esta en Rm
Asiacute si el dominio A tiene tres variables se dice que el dominio esta definido en R3 las tres variables se pueden denotar por x y z Ahora si antildeadimos que la funcioacuten en cuestioacuten refleja algunos rasgos de las variables anteriores por ejemplo si se considera importante la suma de las primeras dos el producto de la segunda y tercera Entonces se dice que la funcioacuten tiene como conjunto de llegada a dos variables en la primera se refleja una suma mientras que en la segunda se observa una multiplicacioacuten
Entonces la forma de escribir en la primera de ellas es x + y mientras que la segunda es yz asiacute la funcioacuten queda expresada como
F(x y z) = (x+y yz)
Una funcioacuten que se puede observar diariamente es la de la temperatura en una habitacioacuten considerando cada punto en el espacio de la habitacioacuten entonces el dominio esta en tres dimensiones y la imagen de la funcioacuten refleja la temperatura en cada punto de la misma observe que esta puede cambiar si se encuentra cercas de una ventana o de la estufa
Aquiacute T(x y z) Muestra la temperatura en cada punto de una habitacioacuten faltariacutea encontrar la ecuacioacuten matemaacutetica que modele dicho comportamiento
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Como se puede observar el poder estudiar un fenoacutemeno real por medio de un modelo matemaacutetico es fundamental para poder realizar predicciones del mismo por medio de las propiedades de la funcioacuten asociada al mismo como el hecho de que la funcioacuten sea creciente que tenga un valor maacuteximo Se mostraran algunos ejemplos maacutes adelante con la finalidad de motivar el estudio de los fenoacutemenos reales por medio de las matemaacuteticas Definicioacuten- (Funcioacuten) Una funcioacuten es una regla de asignacioacuten entre dos conjuntos A y B que asigna a cada elemento del conjunto A uno y soacutelo uno del conjunto B El conjunto de partida A se le denomina el dominio de la funcioacuten mientras que el conjunto de llegada es B se le conoce como el codominio de la funcioacuten En el caso de varias variables se tiene que A es un subconjunto de Rn mientras que el conjunto B es un subconjunto de Rm Aquiacute es importante que a ninguacuten elemento del dominio se le asigne al mismo tiempo dos elementos del codominio y a la vez que a ninguno del dominio quede sin ser asignado Un ejemplo de esto se presenta en la siguiente funcioacuten que va del conjunto dominio A = 1 2 3 al conjunto B = 2 4 6 8 al definir la funcioacuten f que asigna a cada elemento del dominio con su doble se tiene que f(1) = 2 f(2) = 4 y f(3) = 6 Ahora una funcioacuten de dos variables se puede definir a partir de los conjuntos C = (12) (23) (34) (36) y D =3 4 5 6 7 8 9 en donde la funcioacuten g C D representa la suma de los diacutegitos de cada pareja ordenada
En este caso g(12) = 3 g(23) = 5 y asiacute sucesivamente Cabe sentildealar que la pareja ordenada (12) es distinta a la pareja (21) en donde esta uacuteltima no pertenece dominio de la funcioacuten
6 5 Suma g(12) = 3 4 3 2 (12)
1 (21) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 0 1 2 3 4 5 6 Las parejas (12) y (21) ocupan distintas posiciones en el plano La segunda de ellas no pertenece al dominio de la funcioacuten de manera tal aunque se pudiera evaluarla pareja ordenada no se contempla por el hecho de que la funcioacuten no esta definida en dicho valor
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Un ejemplo de esta funcioacuten ocurre si consideramos el total que se tiene que pagar en una tienda despueacutes de comprar dos artiacuteculos distintos Otro de ellos se presenta al tomar una evaluacioacuten de calidad de cierto artiacuteculo en donde se van sumando los puntos y no necesariamente serian dos variables
Otra caracteriacutestica que se presenta en esta tipo de funciones es que los valores esteacuten bien definidos al momento de evaluar como el hecho de que no se puede dividir entres cero y no se pueden sacar raiacuteces de nuacutemeros negativos Este hecho es importante para detallar el dominio de algunas funciones
asiacute el dominio de la funcioacuten xxk 4)( esta restringido al hecho de que la
variable x sea menor a cuatro dado que el argumento 4-x debe de ser no negativo es decir 4-x 0 y de aquiacute se tiene que 4 x
Cuando se involucran dos variables un ejemplo es encontrar el dominio
de la funcioacuten yxyxh 44)( y por analogiacutea con el problema anterior
se sabe que 4 x y a la vez que 4 y quedando el dominio descrito de la siguiente manera D = (xy) 4 x 4 y
6 D Dominio de la funcioacuten 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7
Ejemplo- Determine el dominio de la funcioacuten 2 2( ) 9 h x y x y Aquiacute se tiene
que el argumento de dicha funcioacuten debe de ser positivo en donde el dominio
de la funcioacuten es 2 29 0x y que es equivalente a 2 29 x y que representa
a un ciacuterculo de radio 3 y centrado en el origen
Si la funcioacuten es 2 2
1( )
9h x y
x y el dominio es casi el mismo
eliminando en donde el argumento se hace cero debido a que no estaacute definida la divisioacuten entre cero siendo el dominio el mismo circulo del ejemplo anterior pero sin la orilla
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Como se puede apreciar el dominio de estas funciones estaacute definido por regiones en el plano cartesiano cuando el dominio de la funcioacuten estaacute contenido en R2
Derivadas Parciales La derivada parcial de una funcioacuten de varias variables consiste en derivar la funcioacuten con respecto a la variable en cuestioacuten y dejar a las otras variables fijas como si fuesen constantes Por ejemplo al derivar la funcioacuten f(x y z) = x2 + 3xy3 - 3xz las derivadas de f con respecto a x y y z se describen a continuacioacuten y se denotan cada una de ellas por medio de los simbolos fx fy y fz fx(x y z) = 2x + 3y3 - 3z fy(x y z) = 9xy2 fz(x y z) = - 3x Definicioacuten- (Gradiente de una funcioacuten) El gradiente de una funcioacuten real se define como el vector que contiene en sus componentes a sus primeras derivadas parciales Asiacute para el ejemplo anterior el gradiente de f es y se denota por
3
2
2 3 3
9
3
x
y
z
f x y z
f f xy
f x
Ejemplo- Determine el gradiente de las siguientes funiones g(xy)=(x2 y4) y h(xyzw) = 2x+y2-3z+8w
3
2( )
4
x
y
h xh x y
h y
2
2( )
3
8
x
y
z
w
g
g yg x y z w
g
g
El vector gradiente tiene varias propiedades que son muy uacutetiles una de ellas nos indica la direccioacuten de maacuteximo crecimiento y otra de ellas es que es un
vector tangente a las curvas de nivel de una funcioacuten
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Definicioacuten- (Derivada Direccional) La derivada direccional de una
funcioacuten en un punto (x0 y0) y en direccioacuten de un vector v=(AB) se define como el producto del gradiente de la funcioacuten evaluado en el punto (x0 y0) por el vector V dividido entre la norma de mismo vector
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Tarea nuacutemero 2 materia de Caacutelculo 3 Objetivo- Que el alumno sea capaz de interpretar la nocioacuten de liacutemite en varias variables identifique la graacutefica de funciones y haga uso de la derivadas parciales 1- Determine el dominio de las siguientes funciones
(1a) f(x y z) = 2221 zyx
(1b) g(x y) = xy
2
(1c) f(x y) = xy
(1d) g(x y) = y4
(1e) f(x y) = y
x
4
4
(1f) h(x y) = 24
1
xy
2- Realice un bosquejo de las siguientes graacuteficas
22 zyx 22 2zxy 22 yxz 222 yxz
3- Determine los siguientes liacutemites
(31) xyxyxyxf y 210)( 3 cuando (xy) tiende a (12)
(32) yx
zyzxzyxf
33
)( cuando (xy) tiende a (112)
(33) )00()(
)00()(
0
3
3
)(
44
32
yx
yx
Siacute
Siyx
yx
yxk cuando (xy) tienden a (00)
En caso de existir indique haciendo uso de la nocioacuten
(34) )()(2
zxyxxxy
xxyyxzyxF z cuando (xyz) tiende a (012)
4- Indique de las funciones del ejercicio anterior son continuas y en que dominio 5- Determine si las funciones del ejercicio tres son de clase C1 6- Determine la ecuacioacuten del plano tangente a la graacutefica de la funcioacuten g(xy) = x4-10y3 en el punto (1-1) y en el punto (12) grafique en la computadora y agregue en el documento de la tarea 7- Determine los conjunto de nivel de valor -2 -1 0 1 2 de las funciones (7a) f(x y) = 3x2 + 3y2
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(7b) g(x y) = 22 44 yx
(7c) h(x y) = 1 ndash y + x2 (7d) k(x y z) = x2 + y2 + z2 Indique las graacuteficas en computadora y agregue en el reporte
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Capiacutetulo 3
Trayectorias
En este capiacutetulo se realiza el estudio de las propiedades de las funciones vectoriales es decir se hace incapie en el concepto de funcioacuten y la de un vector
Este concepto permite describir entre otras cosas el camino seguido por una partiacutecula en el espacio con el ingrediente adicional de tener a la mano los conceptos de velocidad y aceleracioacuten derivados a partir de una sola ecuacioacuten aquella que guarda la relacioacuten de posicioacuten de la partiacutecula con respecto al tiempo
Por ejemplo al mover una onda esta describe un movimiento circular si
la onda se suelta un objeto puesto en ella sale disparado en forma tangencial Este movimiento se puede representar con vectores y debe de expresar que la velocidad sea tangente a la trayectoria que sigue dado que la piedra abandona la onda en liacutenea recta
Si esto se extrapola al vuelo de una mosca se puede inferir que la velocidad de la misma sea tangencial a la trayectoria que va recorriendo en cada punto esto se muestra en la siguiente graacutefica
Observe que el hecho de contar con la orientacioacuten del vector velocidad permite no soacutelo inferir la velocidad de escape de la partiacutecula sobre la curva sino a la vez conocer la orientacioacuten del movimiento de la misma
Definicioacuten- (Trayectoria) Una trayectoria es una funcioacuten que parte de los nuacutemeros reales al espacio n Euclidiano Es decir es una funcioacuten de la forma
))()()(()( 21 txtxtxt n
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Caso particular de una trayectoria de los reales a plano En el caso de una trayectoria de los reales al plano se puede ilustrar con el siguiente diagrama
σ(a) σ(b) a b
2][ Rba ))()(()( tytxt
Una forma de ilustrar esto es pensar que la variable t es el tiempo y la imagen corresponde a la trayectoria de un objeto en el plano asiacute que el tiempo t=a la partiacutecula se encuentra en el punto σ(a) que es el inicio del recorrido de la misma mientras que tiempo final t=b se localiza al final de la trayectoria de estudio
Se puede observar una flecha indicativa del sentido de la partiacutecula a lo largo de la trayectoria
Ecuacioacuten Parametrica y Cartesiana de una curva
Ejemplo- Dada la trayectoria )()( 2ttt con 22t realice una
graacutefica de dicha trayectoria
t ))()(()( tytxt
-2 )42()(t
-1 )11()(t
0 )00()(t
1 )11()(t
2 )42()(t
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Como se puede apreciar la imagen de la trayectoria que recibe el
nombre de curva es una paraacutebola esto se puede ver si se realiza lo siguiente
Como x = t y = t2 entonces se puede deducir que y=x2 la ecuacioacuten correspondiente a la graacutefica de una paraacutebola esta ecuacioacuten corresponde a sus coordenadas cartesianas por otra parte si se rescribe en forma de trayectoria se dice que la ecuacioacuten es su ecuacioacuten cartesiana dado que depende de un solo paraacutemetro
Parametrizacioacuten de una funcioacuten real Si y es una variable dependiente de la variable x es decir existe
una regla de asignacioacuten f tal que y = f(x) con bxa En donde a
cada elemento x le asigna uno y soacutelo un valor y La graacutefica de esta funcioacuten se debe de ver como un trazo en el plano de la siguiente forma
La graacutefica no puede ser de la siguiente forma
y2
y3
y1 y4
X1 X2
Note que al valor de x2 le asigna tres valores de y lo cual no
cumple con las condiciones para que f sea una funcioacuten Ahora la graacutefica de una funcioacuten de esta tipo no es otra cosa que
la imagen de una trayectoria la cual se puede parametrizar de la siguiente forma
Como y = f(x) entonces defina x = t y por consiguiente y=f(t) en
donde bta
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-4 -2 2 4
-30
-20
-10
10
20
30
-2 -1 1 2
-2
-1
1
2
Asiacute en el caso de la paraacutebola la parametrizacioacuten adecuada es x
=t y = t2 tal como estaba planteada originalmente Ahora si la funcioacuten es y = 2x3-10x con 44 x entonces la
parametrizacioacuten adecuada es
)102()( 3 tttt 44 t
La graacutefica de esta curva asociada a la trayectoria es
Parametrizacioacuten de una circunferencia Elipse e Hipeacuterbola
La ecuacioacuten cartesiana de una circunferencia con centro en el origen y
radio dos estaacute dada por 422 yx Al intentar escribir esta ecuacioacuten en
funcioacuten de un solo paraacutemetro se requiere despejar a la variable y obteniendo
dos funciones que son 24 xy Con 22 x
La graacutefica de esta curva permite visualizar que no pertenece a una
funcioacuten sino maacutes bien a dos que son las enunciadas anteriormente y como se ve a continuacioacuten
24 xy
24 xy
Una forma de representar esta curva es por medio de dos trayectorias
)4()( 2
1 ttt y )4()( 2
2 ttt 22t
Una forma alternativa de representar esta curva es por medio del uso de coordenadas polares en donde x=rCos(t) y= rSen(t) como el radio es fijo y es igual a dos estas ecuaciones se pueden escribir en funcioacuten de un solo paraacutemetro ldquotrdquo x=2Cos(t) y=2Sen(t) note que al evaluar x2+y2=4Cos2(t)+4Sen2(t) = 4(Cos2(t)+Sen2(t))=4 con lo cual satisface la
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ecuacioacuten de la circunferencia quedando expresada la trayectoria de la siguiente forma
σ(y) = (2Cos(t) 2Sen(t) con 0letle2π En esta ecuacioacuten define por completo a la curva auacuten y cuando la
ecuacioacuten original no es una funcioacuten siendo esto una ventaja del estudio de la trayectorias
Ejemplo- La parametrizacioacuten de la elipse 12
2
2
2
b
y
a
x queda
expresada por x = aCos(t) y=bSen(t) se deja como ejercicio comprobar este resultado
Ejemplo- La parametrizacioacuten de la hiperbola 12
2
2
2
b
y
a
x queda
expresada por x = aCosh(t) y=bSenh(t) en donde se trabaja con las funciones de Seno y Coseno hiperboacutelicas se deja como ejercicio comprobar este resultado (aunque soacutelo permite representar el lado correspondiente a los cuadrantes I y IV en donde la x es no negativa
Derivada de una trayectoria La derivada de una trayectoria es un vector tangente a la curva esto se
deriva del siguiente anaacutelisis
Dada la trayectoria σ(t) se grafican la posicioacuten de la curva al tiempo t y t+h luego trace el vector asociado a la liacutenea secante que une los puntos de aquiacute al tomar valores cada vez maacutes pequentildeos de h el vector secante se convierte en un vector tangente a la curva como se muestra a continuacioacuten
Por otra parte el anaacutelisis vectorial de este cociente es
)()()(
0
tt
tht
h
Liacutem
Es decir la derivada de la trayectoria y el vector resultante es
tangente a la curva
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Asiacute para el caso de una curva en el plano la trayectoria se puede describir por medio de dos funciones x(t) y(t) de la siguiente forma
)(
)()(
ty
txt
En donde la derivada de esta funcioacuten es
)(
)()(
ty
txt
Vector tangente a la graacutefica de una circunferencia de radio R Ahora si se tiene la parametrizacioacuten de una circunferencia esta esta
dada por σ(t) = ( RCos(t) R Sen(t))
Y X
Un vector tangente tiene que cumplir que su producto punto tiene que
ser cero de aquiacute si V=(AB) al multiplicarlo por el vector σ su producto punto tiene que ser cero
De aquiacute que σ(t)V = ARCos(t) + BRSen(t) = 0 Existiendo muchas soluciones a este sistema de ecuaciones siendo una
de ellas cuando A = Cos(t) B=-Sen(t)
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Vector trasladado
Siendo este un vector tangente a la curva ahora al derivar las
componentes xrsquo(t) = -RSen(t) y(t) = RCos(t) que es un muacuteltiplo escalara del vector tangente mostrado anteriormente
Definicioacuten- (Rotacional) El rotacional de un campo vectorial
F=Pi+Qj+Rk de clase C1 de define como el vector
i j k
RotFx y z
P Q R
Ejemplos- Determine el rotacional de los siguientes campos vectoriales
F1=xi+yj+zk F2=x2yi-xy
2j-3zyk
Solucioacuten-
1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0
i j k
RotF z y i z x j y x kx y z y z x z x y
x y z
2 2 2 2
2
2 2
( 3 ) ( ) ( 3 ) ( ) ( ) ( )
3
i j k
RotF zy xy i zy x y j xy x y kx y z y z x z x y
x y xy zy
2 2
2
2 2
3 0
3
i j k
RotF z i j y x kx y z
x y xy zy
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Definicioacuten- (Divergencia) Si F es un campo vectorial de clase C1 la divergencia de F se define como un campo escalar de la siguiente forma
( )P Q R
divF div Pi Qj Rkx y z
Ejemplos- Determine la divergencia de los siguientes campos vectoriales F1=xi+yj+zk F2=x
2yi-xy
2j-3zyk
Solucioacuten-
1 ( ) ( ) ( ) ( ) 3divF div xi yj zk x y zx y z
2 2 2 2
2 ( 3 ) ( ) ( ) ( 3 ) 2 2 3 3divF div x yi xy j zyk x y xy zy xy xy y yx y z
Definicioacuten- (Laplaciano) Si f es un campo escalar de clase C2 el Laplaciano de f se define como un campo escalar de la siguiente forma
2 2 2
2
2 2 2xx yy zz
f f ff f f f f
x y z
Ejemplos- Determine la divergencia de los siguientes campos escalares g1(x
y z) = xy2z
3 g2(x y z) = x
2 + y
2 + z
2
2 2 2
2 2 3 2 3 2 3 2 3 3 2 2
2 2 2( ) ( ) ( ) 2 3 f f xy z xy z xy z y z yz xy z
x y z
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2( ) ( ) ( ) 6f f x y z x y z x y z
x y z
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Tarea nuacutemero 3 Trayectorias
Objetivo- Que el alumno sea capaz de comprender los conceptos de movimiento de una partiacutecula a lo largo de una trayectoria y de la importancia del uso de vectores en este tema 1- Si la trayectoria σ(t) = t2i+t2j define la trayectoria seguida por una partiacutecula con respecto al tiempo determine 1a- iquestEl tipo de trayectoria que describe 1b- Realice una graacutefica de la distancia recorrida por la partiacutecula con respecto al tiempo en los primeros tres segundos 1c- Determine el tipo de movimiento de la partiacutecula 1d- iquestSe puede afirmar que es un movimiento uniformemente acelerado 1e- Determine la aceleracioacuten y velocidad a los cuatro segundos 1f- Realice una graacutefica de su rapidez con respecto al tiempo 1g- Realice una graacutefica de sus aceleracioacuten con respecto al tiempo 1h- En la graacutefica de la trayectoria agregue graacuteficamente los vectores aceleracioacuten y velocidad 2- Realice lo mismo que en ejercicio anterior pero ahora con la funcioacuten γ(t) = Cos(t) i+5Sen(t)j 3- Dadas las funciones f(t) = 3t2i-4t3j+e2tk y g(t) = 4t3i+4t2j+e-2tk 3a- Determine la funcioacuten producto punto h = fg 3b- Determine la derivada de h 3c- Usando la regla de diferenciacioacuten determine la derivada de h y compruebe el inciso anterior 4a- Determine la funcioacuten producto cruz k = ftimesg 4b- Determine la derivada de h 4c- Usando la regla de diferenciacioacuten determine la derivada de h y compruebe el inciso anterior 5- Determine el Rotacional y la Divergencia del siguiente campo vectorial G(x y z) = 2xy i + 3xz j - 5xy k 6- Determine el gradiente y el Laplaciano del siguiente campo escalar f(xyz) = 4x2-3yz2 7- Dado el campo vectorial F(x y z) = 2xy i + x2 j +3z2 k 7a- Determine si F puede representar el gradiente de un campo escalar f 7b- En caso de ser afirmativa la respuesta del inciso anterior determine el campo escalar f 8- Pruebe que la divergencia del rotacional de un campo vectorial F=Pi+Qj+Rk es igual a cero Es decir la div rot F =0 9- Usando las reglas de diferinciacioacuten pruebe que
gfgfgf
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100 -x
Capitulo 4 Maacuteximos y miacutenimos
Es indispensable determinar en distintos problemas las soluciones oacuteptimas que permitan establecer por ejemplo los valores maacuteximos de produccioacuten o ahorrar el material en la construccioacuten de cierto equipo
Como se recordaraacute el gradiente de una funcioacuten indica la direccioacuten de
maacuteximo crecimiento esto se refleja en que si se toma la direccioacuten sugerida por este vector el valor de la funcioacuten aumenta en una vecindad del mismo asiacute si en un diagrama de un campo gradiente aparecen un punto en donde convergen la direccioacuten de todos los gradientes se encontraraacute que dicho valor debe de ser un valor maacuteximo para la funcioacuten de estudio Un diagrama de esta tipo se ejemplifica a continuacioacuten
Un diagrama en donde todos los vectores apuntan hacia fuera de un
punto indicaraacute que este punto debe de ser un valor miacutenimo de la funcioacuten Citemos el siguiente ejemplo de una variable con la finalidad de
centrarnos en el tema Una persona desea bardear un terreno en forma rectaacutengular cuanto debe de medir cada lado de manera tal que el aacuterea cercada sea maacutexima si se cuenta con 200 metros de malla
La funcioacuten que representa dicho modelo es
A(x) = x(100-x) x
Como se puede observar el aacuterea es cero si x es igual a cero o a cien con lo cuaacutel el lado x debe de estar en en intervalo [0 100] siendo estas las restricciones del problema Derivando la funcioacuten para obtener los valores critiacutecos se tiene que Arsquo(x) = 100 ndash 2x
Al igual la derivada a cero se concluye que el valor critico es x es igual a 50 Al derivar por segunda ocasioacuten se concluye que
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Arsquorsquo(x) = -2 Como la segunda derivada es siempre negativa se concluye que la funcioacuten alcanza un valor maacuteximo en el valor critico en este caso en x = 50 al interpretar dicho resultado se concluye que el terreno que optimiza la solucioacuten es un cuadrado Ejercicio- Que aacuterea se genera si el terreno es de forma circular Al resolver el ejercioacute anterior y comparar las aacutereas del cuadrado y del circulo se puede apreciar que el aacuterea del circulo es mayor pero en la praacutectica es poco atractivo cercar terrenos circulares por diversas razones pero en la naturaleza es comuacuten observar que las gotas de lluvia sean esferas esto permite el optimizar recursos y maacuteximizar el volumen del liacutequido contenido en la misma Se iniciara el estudio formal de maacuteximos y miacutenimos de funciones de varias variables observando las siguientes graficas con la finalidad de tener la idea clara de que es un maacuteximo o miacutenimo o un punto silla
En la primera de ellas se observa que la funcioacuten tiene un valor miacutenimo en la segunda se observa que la funcioacuten tiene un valor maacuteximo y en la uacuteltima la funcioacuten tiene un punto silla este se identifica el dirigirnos en una direccioacuten la funcioacuten crece mientras que en la otra la funcioacuten decrece
Definicioacuten- Una funcioacuten mn RRf tiene un valor maacuteximo local en x0 si en
una vecindad de dicho valor se cumple que la funcioacuten evaluada en todos los vecinos ninguno de ellos supera a f(x0) Es decir f(x0) f(x) para todo x en una vecindad de x0 El punto es llamado un maacuteximo absoluto si la funcioacuten toma el valor maacuteximo en dicho punto para todo valor de su dominio
Esto es muy similar cuando uno observa a los alumnos de un saloacuten de clases existe un alumno que tiene la mayor estatura si ninguno de sus compantildeeros lo supera Asiacute en la escuela el alumno de mayor estatura absoluta es aquel que supera a todo el plantel
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La definicioacuten para el miacutenimo local (absoluto) es similar
f(x0) f(x) para todo en una vecindad de x0 Por ejemplo la funcioacuten f(xy) = x2+y2 tiene un valor miacutenimo en el origen dado que en este valor la funcioacuten vale cero mientras que fuera de ahiacute siempre es positiva dado que todo nuacutemero real elevado al cuadrado es siempre positivo Ademaacutes dicho valor es un miacutenimo absoluto Como se menciono al inicio de esta capitulo el diagrama del campo
gradiente de esta funcioacuten y
xyxf
2
2)( indica que la funcioacuten tiene un valor
miacutenimo siendo la grafica del mismo la siguiente Sin embargo se requiere un criterio maacutes general y sistemaacutetico que permita establecer los posibles valores maacuteximos miacutenimos o puntos silla) Definicioacuten- (Un valor extremo) Si la funcioacuten posee un valor maacuteximo o miacutenimo este es llamado un valor extremo Definicioacuten- (Un valor critico) Un punto en donde la derivada de la funcioacuten se anula es llamado un valor critico Teorema- Todo valor extremo es un valor critico Es decir si f posee un valor extremo en x0 que pertenece a su dominio entonces la derivada de la funcioacuten en el punto x0 se anula Es decir Df(x0) = 0 Demostracioacuten- Sea l(t) una trayectoria que pasa a traveacutes por el punto x0 defina la composicioacuten de funciones h(t) = f(l(t)) donde l(t) = x0 + tv de donde lrsquo(t) = v y ademaacutes
))(()())(()( VtlftDltlDftDh (1)
Por otra parte como f posee un valor extremo en x0 suponga que dicho
valor es un maacuteximo entonces x0 seraacute a la vez un maacuteximo para la funcioacuten h y como h es una funcioacuten real esto significa que la derivada de h en dicho punto
se anula es decir 0)()0())0(()0( 0 vxfDllDfDh ahora como los
vectores )( 0xf y v no son necesariamente perpendiculares y el vector v a la
vez tampoco se anula entonces esto implica que el gradiente de f en x0 es igual a cero y por lo tanto f posee un valor criacutetico en x0
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Este resultado permite establecer posibles valores criacuteticos de una funcioacuten asiacute se menciona el siguiente ejemplo Ejemplo- Determine los posibles valores criacuteticos de las siguientes funciones (1) f(x y) = x2 + y2 y (2) g(x y) = 4x3 -12x + y2
Solucioacuten-
(1) 0
0
2
2)(
y
xyxf de aquiacute se concluye que dicho valor soacutelo
existe un valor criacutetico siendo este el origen el cuaacutel ya se clasifico en estos apuntes y resulto ser un valor miacutenimo
(2) 0
0
2
1212)(
2
y
xyxg de aquiacute se obtienen dos valores criacuteticos
que son (-10) y 1l (10) Los cuales se pueden clasificar el realizar el graacutefico del campo gradiente En donde se aprecia que en el punto (-10) la funcioacuten posee un punto silla mientras que en el punto (10) la funcioacuten posee un valor miacutenimo
Aquiacute se utilizaraacute el criterio del hessiano para determinar si el valor criacutetico es un maacuteximo un miacutenimo o un punto silla Solo se enunciara el teorema sin demostracioacuten para ver la misma puede revisar en el libro de Marsden Tromba de Caacutelculo Vectorial
Definicioacuten- El Hessiano de una funcioacuten 22 RRH de clase C2 se define como una funcioacuten cuadraacutetica que se escribe como
2
1
2
22
2
2
2
21212
1)(
h
h
y
f
yx
f
xy
f
x
f
hhhhH
Evaluada la matriz de las segundas derivas parciales en el valor criacutetico
Teorema- Si el Hessiano de una funcioacuten 2 RRf es definitivamente
positivo entonces la funcioacuten tiene un valor miacutenimo en dicho punto
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Corolario- Si la matriz asociada A=cb
ba de una forma cuadraacutetica dos
por dos es definitivamente positiva si y soacutelo si se cumple que agt0 y det A gt0
Teorema de una valor para un valor extremo miacutenimo- Una funcioacuten
2 RRf de clase C2 posee un valor extremo miacutenimo local en x0 elemento
del dominio de la funcioacuten si y soacutelo si se satisfacen las siguientes condiciones
(i) 0)( 0xx
f y 0)( 0x
y
f
(ii) )( 02
2
xx
f gt 0
(iii) )( 02
2
xx
f)( 02
2
xy
f)(
2
2
oxx
f)( 02
2
xx
f gt 0
Para un valor maacuteximo las condiciones (i) y (iii) se mantienen la uacutenica que cambia en la segunda en donde esta debe ser negativa Para un punto silla se requiere que al menos no se cumplan las condiciones de valor maacuteximo ni miacutenimo y que la uacuteltima condicioacuten (iii) sea distinta de cero En caso contrario el criterio no permite clasificar dicho valor como se mostraraacute en un ejemplo maacutes adelante Ejemplo- Ahora continuando con los ejemplos anteriores
(1) Para f(xy) = x2+y2 el valor critico es el origen y el hessiano asociado es
2
1
212100
02
2
1)(
h
hhhhhH
Como se pude apreciar el primer valor es positivo 2 gt0 y el determinante de
la funcioacuten 20
02det es igual a 4 que a la vez es positivo de manera tal que la
funcioacuten posee un valor miacutenimo en el origen
(2) g(x y) = 4x3 -12x + y2 los puntos criticos son (-10) y (10) y el hessiano asociado a esta forma cuadraacutetica es
2
1
212120
024
2
1)(
h
hxhhhhHg
Ahora al evaluar en los puntos se tiene En el (-10)
2
1
212120
024
2
1)(
h
hhhhhHg
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En donde -24 lt 0 y det Hg = -48 lt0 con lo cuaacutel debe de ser un punto silla
En el (10)
2
1
212120
024
2
1)(
h
hhhhhHg
En donde 24 gt 0 y det Hg = 48 gt0 con lo cuaacutel debe de ser un punto miacutenimo
Tal como se habiacutea estimado en la graacutefica del campo gradiente de la
solucioacuten anterior A continuacioacuten se muestra un bosquejo de dicha graacutefica realizado en el derive
Ejemplos de cuando el criterio permite clasificar los
valores criacuteticos
Ejemplo- A continuacioacuten se mostrara un ejemplo de cuando el criterio no concluye asiacute si la funcioacuten es h(xy) = x4+y4 al calcular las derivas parciales mixtas fx=4x3 y fy=4y3 se encuentra un solo valor critico el origen miestras que la matriz asociada del hessiano es
2
2
120
012
y
x y al evaluar en el origen queda expresada como
00
00
)0(120
0)0(122
2
En donde se puede apreciar que fallan todos los criterios una inspeccioacuten de
la funcioacuten original permite ver que la funcioacuten tiene un valor miacutenimo en dicho punto pero no es una generalizacioacuten es decir no se puede decir que siempre que aparezca la matriz de ceros se tenga un valor miacutenimo dado que si se analiza ahora a las funciones k(xy) = -x4-y4 y p(xy) = x4-y4 ambas tienen como calor extremo al origen y la matriz hessiana asociada a la forma cuadraacutetica evaluada en el origen es la matriz de ceros
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Ejemplo- Otro ejemplo en donde el criterio no concluye es el siguiente en
donde el determinante de la matriz H es cero debido a que la segunda derivada de la funcioacuten f con respecto a la segunda variable se anula (fyy = 0) y no se puede asegurar que se tenga un punto maacuteximo miacutenimo o silla
Las funciones f1(xy) = x2 f2(xy) = -x2 y f3(xy) = x3 presentan este
problema a continuacioacuten se muestran las graficas de dichas funciones
En cada una de ellas los puntos criacuteticos son las parejas en el plano (0 y) Es decir el eje coordenado X
El Hessiano respectivo de cada uno es el siguiente
00
02)(1 yxH
00
02)(2 yxH
00
03)(3
xyxH
Note que el determinante de cada de estas matrices se hace cero y que fyy
se anula en cada caso
Ahora observando las graacuteficas se verifica visualmente que en la primera se tienen valores miacutenimos en la segunda maacuteximos y en la uacuteltima no es ni maacuteximo ni miacutenimo o punto silla
Ejemplo- Citemos otro ejemplo en donde el criterio de maacuteximos y miacutenimos
no concluye Determine los puntos criacuteticos de la funcioacuten h(xy) = x4 Se tiene que hx=4x3=0 y hy=0 de donde se deduce que la funcioacuten tiene
un nuacutemero infinito de puntos criacuteticos estos son las parejas ordenadas en el plano (0y)
La matriz del Hessiano asociado es
00
012)(
2
1
xyxH y evaluando en el punto
00
00)0(1 yH
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En donde no se puede clasificar a los valores criacuteticos sin embargo
realizando una inpeccioacuten de la funcioacuten se puede concluir que todos los puntos representan valores miacutenimos de la funcioacuten original a continuacioacuten se muestra la grafica de la misma
El Hessiano para n variables y el criterio de clasificacioacuten
Cuando la funcioacuten tiene maacutes de dos variables se genera una matriz asociada H en cada uno de los valores criacuteticos de la siguiente forma
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
H
21
22221
11211
De aquiacute se definen las siguientes matrices
111 aH 2221
1211
2aa
aaH hellip HH n
Los criterios para los valores criacuteticos de la funcioacuten RRf n son los
siguientes [Miacutenimo Local] La funcioacuten f posee un valor extremo local miacutenimo en x0 si todos los determinantes de las submatrices evaluados en x0 son positivos
0det 1H 0det 2H hellip 0det 2H (+ + hellip +)
En este caso la forma cuadraacutetica se puede probar que es definitivamente positiva [Maacuteximo Local] La funcioacuten f posee un valor extremo local miacutenimo en x0 si todos los determinantes de las submatrices evaluados en x0 se alternan en signo pero el primero de ellos debe ser negativo
0det 1H 0det 2H hellip 0det 2H (- + - + hellip )
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En este caso la forma cuadraacutetica se puede probar que es definitivamente negativa [Punto Silla] La funcioacuten f posee un punto silla si no se cumplen los criterios de valor miacutenimo o maacuteximo y al menos uno de los subdeterminantes es distinto de cero
Existe un i tal que 0det iH
Ejemplos- Determine los valores criacuteticos de las siguiente funcioacuten f(x y z w) = x3 - 3x + y3 ndash 3y + z2 + w2 y claacutesifiquelos Solucioacuten- Al resolver las siguientes ecuaciones
033 2 xxf x 033 2 yyf y 02zf z y 033 2 wwfw
Se obtienen cuatro puntos criacuteticos que son (-1-100) (-1100) (1-100) y (1100) ahora se genera la matriz del hessiano asociado siendo esta
2000
0200
0060
0006
y
x
H
Al evaluar en cada uno de los puntos se tienen las siguientes matrices
2000
0200
0060
0006
)0011(H
2000
0200
0060
0006
)0011(H
2000
0200
0060
0006
)0011(H y
2000
0200
0060
0006
)0011(H
Los sub determinantes para cada uno de los puntos son [(-1 -1 0 0)] -6 36 72 144 que clasifica como un punto silla [(-1100)] -6 -36 -72 -144 que clasifica como un punto silla [(1-100)] 6 -36 -72 -144 que clasifica como un punto silla [(1100)] 6 36 72 144 que clasifica como un valor miacutenimo De manera tal que la funcioacuten tiene tres puntos silla y un valor miacutenimo
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Ejercicios- Determine los puntos criacuteticos de las siguientes funciones y claacutesifiquelos utilizando el criterio del Hessiano
(1) f(x y) = x2 - y2 (Silla de montar)
(2) g(x y) = 22 yx (Cono)
(3) h(x y z) = x4 - 2x2 + 2y3 -3y2 + z3-3 Ejercicio- Se requiere construir una lata con tapa que contenga un litro de agua con el miacutenimo de material determine las condiciones que oacuteptimizan el problema Ejercicio- Determine el producto maacuteximo de tres nuacutemeros si la suma de ellos debe ser 40 Ejercicio- Determine la distancia miacutenima del origen a la graacutefica de la funcioacuten f(xy) = 4-x2+y Ejercicio- Estudie los ejemplos resueltos que trae el libro de Marden Tromba en el capitulo 4 en especial el referente a la ecuacioacuten de miacutenimos cuadrados Ejercicio- Determine la ecuacioacuten lineal que mejor se ajusta a los puntos (12) (2 32) (3 389) (4 488) (5 55) Utilize el criterio de miacutenimos cuadrados en caso de que el modelo sea lineal (justifique la linealidad del mismo realice una graacutefica de los puntos y de la liacutenea que ajusta a los puntos) Ejemplo- (Aplicacioacuten) En este ejemplo dermina la distancia miacutenima del punto (100) a la graacutefica de una funcioacuten f(x y) = x2+y2
Solucioacuten- Todos los puntos que se encuentran sobre la graacutefica de la funcioacuten satisfacen la siguiente terna de valores en donde se observa que la tercer componente es la variable dependiente (x y x2+y2)
La distancia del punto (1 0 0) a los puntos que estaacuten sobre la graacutefica (x y x2+y2) Se define por medio de la funcioacuten
2222222 )()1()()001()( yxyxyxyxdyxfd
Para determinar el valor miacutenimo o maacuteximo de esta funcioacuten basta con
analizar su argumento dado que es un funcioacuten creciente Es decir Si x1lt x2
entonces f(x1) lt f(x2) lo que es vaacutelido para la funcioacuten )( xxf (ver graacutefica)
2x
1x
x1 x2
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De este modo la funcioacuten a maximizar es
2222222
11 )()1()()001()( yxyxyxyxdyxfd
De aquiacute al las derivadas parciales son
)(4)1(2)( 22
1 yxxxyxfd x y )(42)( 22
1 yxyyyxfd y
Igualando ambas ecuaciones a cero se puede establecer la siguiente
ecuacioacuten
)(4
)(4
2
2222
22
yxy
yxx
y
x (3)
De aquiacute si )00()( yx y 0y se concluye que -1=0 lo cual es una
contradiccioacuten Por otra parte si (xy)=(00) en la primera ecuacioacuten se tiene que 1=0 que es tambieacuten una contradiccioacuten Finalmente si se considera el caso en
que y=0 se obtiene de la siguiente ecuacioacuten 012 3 xx
El polinomio 12)( 3 xxxP tiene una raiacutez entre el cero y el 1 dado
que P(0)=-1 y P(1)=2 Con el anaacutelisis de raiacuteces racionales dos posibles raiacuteces
son 2
1 y como
2
1 estaacute entre cero y uno al usando divisioacuten sinteacutetica se
obtiene que 4
1
2
1P Asiacute que la raiacutez debe de estar en el intervalo 1
2
1
Ahora usando el meacutetodo de Newton con semilla en 2
10x se obtiene
que 6010
6
2
54
1
2
1
)(
)(
0
0
01xf
xfxx
Ahora al evaluar la funcioacuten en dicho punto se tiene que 0320)60(P el
cual es aceptable como raiacutez del polinomio en una sola interaccioacuten De manera tal que el punto criacutetico de la funcioacuten es el (060) El Hessiano asociado es
24128
82412)(
22
22
xyxy
xyyxyxH
Como se puede apreciar el primer elemento de la matriz es positivo independientemente de los valores de x e y Falta evaluar el determinante de H este es igual a
)64)2412)(2412()(det 222222 yxxyyxyxH
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Ahora evaluando en (06 0) se tiene 7421)443)(326()060(det H
Que tambieacuten es positivo de manera tal que se tiene un valor miacutenimo Es
decir la se obtuvo la distancia miacutenima
Maacuteximos y Miacutenimos con restricciones
Los muacuteltiplicadores de Lagrange permite determinar valores maacuteximos o miacutenimos de funciones con restricciones De este tipo de problemas esta lleno nuestro contorno desde el panedero que desea producir la maacutexima cantidad de pan pero con la restriccioacuten del capital que tiene o la posible venta del diacutea para que no tenga sobrantes
Citemos el siguiente ejemplo la graacutefica de paraboloide z = x2+y2 esta
graacutefica soacutelo tiene un valor miacutenimo en el origen sin embargo si esta restringida
al cuadrado unitario 1111 la funcioacuten alcanza cuatro puntos maacuteximos en
los puntos (-11)(-1-1) (1 -1) y (11) a saber dicho valor es 2 Como se observa en la figura
Ahora si se trabaja con la silla de montar con la misma restriccioacuten esta
funcioacuten tiene originalmente un punto silla en el origen pero al analizar las restricciones se contiene dos valores maacuteximos y dos miacutenimos en los puntos (10) (-10) (0-1) y (01)
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Muacuteltiplicadores de Lagrange Teorema- Dadas dos funciones fg Rn a R diferenciables en X0 elemento del dominio de ambas funciones Si Lc es el conjunto de nivel de valor c de la funcioacuten g y si f posee un valor maacuteximo miacutenimo o silla en la restriccioacuten Lc
entonces existe un nuacutemero real λ tal que )()( 00 XgXf
Se puede ver parte de la demostracioacuten de este teorema en el libro de Marsden Tromba Para clasificar los puntos criacuteticos se utiliza el criterio del Hessiano limitado el cuaacutel se define a partir de la funcioacuten auxiliar H(x1 x2 hellip xn) = f(x1 x2 hellip xn) - λ g(x1 x2 hellip xn)
nnnn
n
n
xxxxx
xxxxx
xx
hhg
hhg
gg
H
1
1111
10
||
Ahora defina los siguientes determinantes
22122
21111
210
|| 1
xxxxx
xxxxx
xx
hhg
hhg
gg
H
3323131
3222121
3121111
3210
|| 2
xxxxxxx
xxxxxxx
xxxxxxx
xxx
hhhg
hhhg
hhhg
ggg
H ||det|| HHn
Criterios para maacuteximos y miacutenimos con restricciones (Hessiano liacutemitado) [Miacutenimo Local] Se tiene un miacutenimo local si y soacutelo si todos los determinantes son negativos |H1| lt0 |H2| lt0 hellip |Hn|lt0 ( - - - - - hellip)
[Maacuteximo Local] Se tiene un maximo local si y soacutelo se inicia con un determinante positivo y luego se alternan los signos |H1| gt 0 |H2| lt 0 hellip |Hn|lt0 (+ - + - hellip)
[Punto del tipo Silla] Se tiene un punto tipo silla sino se satisface los criterios de maacuteximos o miacutenimos y al menos uno de los determinantes es distinto de cero Ejemplo- Determine si la funcioacuten f(xy)= x2 ndash y2 tiene valores criacuteticos en la restriccioacuten x2+y2=1
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46
)(2
2
2
2)( 00 Xg
g
g
y
x
y
x
f
fXf
y
x
y
x
de aquiacute se obtienen las ecuaciones 2x = 2 λx -2y = 2 λy x2 + y2 =1 Las soluciones de este sistema de ecuaciones son (-101) (101) (0-1-1) y (0-11) El Hessiano liacutemitado es
2202
0222
220
||
y
x
yx
H
El determinante es igual a det|H| = 8x2(1+λ) ndash 8y2(1-λ) ahora evaluando
cada uno de los puntos se tiene que det|H|(-101) = 16 gt 0 det|H|(101) = 16 gt 0 det|H|(0-1-1) = -16 lt 0 det|H|(0-11) = -16 lt 0
De manera tal que la funcioacuten posee dos valores maacuteximos en los puntos (-10) y (10) y por otra parte tiene dos valores miacutenimos en los puntos (0-1) y (0-1) Ejemplo- Determine si la funcioacuten f(xy)= x2+y2 tiene valores criacuteticos en la restriccioacuten x2-y2 le 4 Al iniciar este estudio se trabaja con el interior es decir x2-y2 lt 4 dando como resultado el anaacutelisis de maacuteximos y miacutenimos de una funcioacuten en general de donde el gradiente de f se anula uacutenicamente en el origen siendo este valor un miacutenimo como se habiacutea visto en un ejercicio anterior para la funcioacuten del paraboloide Ahora al trabajar sobre la frontera se usa el criterio de muacuteltiplicadores de Lagrange
)(2
2
2
2)( 00 Xg
g
g
y
x
y
x
f
fXf
y
x
y
x
de aquiacute se obtienen las ecuaciones 2x = 2 λx 2y = -2 λy x2 - y2 = 4
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47
Las soluciones de este sistema de ecuaciones son (-201) y (201) El Hessiano liacutemitado es
2202
0222
220
||
y
x
yx
H
El determinante es igual a det|H| = -8x2(1+λ) + 8y2(1-λ) ahora
evaluando en cada uno de los puntos se tiene que det|H|(201) = -64 gt 0 y det|H|(-201) = -64 lt 0
De manera tal que la funcioacuten posee dos valores miacutenimos en los puntos (-20) y (20)
Una anaacutelisis de la graacutefica de esta funcioacuten permite visualizar que dichos
puntos no son miacutenimos maacutes bien son puntos tipos silla y no es que el criterio falle sino maacutes bien que los valores son miacutenimos pero sobre el complemento es decir bajo la restriccioacuten x2-y2 ge 4 Ejemplo- Determine los valores criacuteticos de la funcioacuten f(xyz) = 2x+y+3z sujeta a la restriccioacuten x2+y2+z2 le 36 Solucioacuten- Un anaacutelisis de las condiciones iniciales muestra que la graacutefica a maximizar en un hiperplano restringido en su dominio a una esfera de radio 6 de acuerdo a estas condiciones la funcioacuten en su interior no debe tener valor criacuteticos y en la frontera debe tener un valor miacutenimo y un valor maacuteximo En el interior- Al derivar la funcioacuten original se tiene lo siguiente
3
1
2
)( 0
z
y
x
f
f
f
Xf
De aquiacute se observa que la funcioacuten no posee valores criacuteticos en todo su dominio tal y como se esperaba Frontera- Al utilizar las condiciones del los Muacuteltiplicadores de Lagrange se tiene lo siguiente
)(
2
2
2
3
1
2
)( 00 Xg
z
y
x
f
f
f
Xf
z
y
x
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De aquiacute se genera el siguiente sistema de ecuaciones 2 = 2λx 1 = 2λy 3 = 2λz x2+y2+z2=36
Resolviendo el sistema se concluye que 2
1
1yx amp
2
3z Ahora
sustituyendo en la uacuteltima ecuacioacuten se deduce que la funcioacuten posee dos valores criacuteticos que son
18
14
14
1427
14
149
14
1418amp
18
14
14
1427
14
149
14
1418
La funcioacuten auxiliar es H(xyzλ) = 2x+y+3z-λ(x2+y2+z2) donde Hx=2-2λx Hy=1-2λy Hz=3-2λz El Hessiano Liacutemitado es
2002
0202
0022
2220
||
z
y
x
zyx
H
De aquiacute
0
0)(8
202
022
220
|| 22
1si
siyx
y
x
yx
H
0576)(16
2002
0202
0022
2220
|| 22222 zyx
z
y
x
zyx
H
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De aquiacute se desprende que la funcioacuten f(xyz) = 2x+y+3z posee un valor miacutenimo
en el punto 18
14
14
1427
14
149
14
1418 restringido a x2+y2+z2 = 36 y un
maacuteximo en el punto 18
14
14
1427
14
149
14
1418
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Tarea nuacutemero 4 Maacuteximos y Miacutenimos
Objetivo- Que el alumno sea capaz de aprender a resolver problemas asociados a la vida real haciendo uso del caacutelculo de varias variables Aquiacute se enuncian los siguientes ejercicios adicionales dado que muchos de los mismos se fueron exponiendo a lo largo del capiacutetulo y se sugiere que se revisen los problemas resueltos y propuestos en la libros de la bibliografiacutea dado que las aplicaciones son muchas 1- Determine los valores maacuteximos y miacutenimos de la funcioacuten f(xy) = x +y sujeta a la restriccioacuten x2+2y2le18 (Realice un bosquejo de la graacutefica y se restriccioacuten)
2- Determine los valores maacuteximos y miacutenimos de la funcioacuten f(xy) = x2 +y2 sujeta a la restriccioacuten x+2y le 4 (Realice un bosquejo de la graacutefica y se restriccioacuten)
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Bibliografiacutea
1 Caacutelculo Vectorial Marsden amp Tromba Addison-Wesley Iberoamericana
2 Caacutelculo Multivariable James Steward Thomson Editores
3 Caacutelculo con Geometriacutea Anaacutelitica Zill Grupo Editorial Iberoameacuterica
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6
El siguiente diagrama muestra a los vectores involucrados en dicha
suma y el vector resultante
v2 Observe que la forma de encontrar al vector
resultante consiste en usar la propiedad de traslacioacuten de vectores y formar un paralelogramo
v1 v1+v2 v1
v2
Por otra parte si ambos vectores soacutelo poseen una componente la suma
de ambos vectores es la suma de nuacutemeros reales
Es decir soacutelo importa la magnitud de cada una de sus componentes y en
este caso la direccioacuten del vector resultante es la misma a la de los vectores originales
v1 + v2 = 000
2121 aaaa
Al intentar describir ciertos vectores en la vida real lo que se necesita es
que estos tengan magnitud y sentido Algunos de estos ejemplos son una fuerza dada que esta tiene una magnitud definida mientras que la direccioacuten se le puede asignar de varias formas Como el hecho de estirar de una cuerda la fuerza es la misma pero la direccioacuten puede ser en distintos sentidos
Observe que en la suma de dos vectores que tienen una sola componente es parecida a la idea de sumar la fuerza de dos personas a tirar o empujar un carro dando como resultado la misma direccioacuten Observe que estos vectores tienen la misma magnitud pero diferente sentido En la vida real lo podemos visualizar Como el hecho de estirar un objeto con una cuerda la cuerda se puede dirigir en distintas direcciones al igual se puede estirar el cuerpo al mismo tiempo con cinco cuerdas Otros ejemplos de vectores se dan en los conceptos de velocidad aceleracioacuten fuerza etc
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Dos vectores caracteriacutesticos del plano son los vectores canoacutenicos definidos y denotados como
i 0
1 y j =
1
0
Ambos tienen magnitud uno direccioacuten en los ejes coordenados x e y
respectivamente y a la vez son perpendiculares entre siacute (el aacutengulo entre ellos es de 90ordm) j i
Producto por un escalar Dado un vector v en el plano y un nuacutemero escalar k en los nuacutemeros reales se define el producto por un escalar como el vector
kv = k b
a =
kb
ka
Es decir el escalar k multiplica a cada una de las componentes
Ejercicio- Se deja como ejercicio probar que este vector llamado muacuteltiplo escalar del vector v tiene k veces la magnitud del vector original y si el valor de k es positivo mantiene la misma orientacioacuten en caso de tener signo negativo la direccioacuten se invierte V Muacuteltiplos escalares de V Ejercicio- Otra caracteriacutestica es que si k es mayor a 1 el vector resultante es una expansioacuten con respecto al vector original mientras que si 0 lt k lt 1 es una contraccioacuten
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Diferencia entre dos vectores Una idea geomeacutetrica de definir la diferencia de dos vectores en la
siguiente si y son dos vectores en el plano se pueden representar de la siguiente forma En donde se dibuja un segmento que une a los vectores y dicho segmento se le asigna la orientacioacuten mostrada en el dibujo y se le denomina como el vector
Note ahora que el vector + = seguacuten la suma de vectores definida anteriormente de ahiacute se despeja a (suponiendo que las leyes de la aritmeacutetica se cumplan en los vectores) obteniendo que = -
Quedando expresada dicha diferencia como
= - = 12
12
yy
xx
Interpretacioacuten de un vector en el plano haciendo uso de los vectores canoacutenicos i y j
Dado el vector V = xy
y
x
x
y
x
yo
ox
y
x
1
0
0
10
0i y j
Esta representacioacuten permite visualizar otra forma de escribir a un vector
en el plano dando el movimiento en las direcciones de los ejes coordenados (Eje X la marca el vector i en el eje Y la marca el vector j)
De esta forma la suma de vectores se ve de la siguiente forma
V1+V2 = adb
ca
d
c
b
a( i+b j)+( c i d j) = ( ba )i +( dc )j
Producto Escalar (producto punto) Antes de entrar el tema note que los vectores i e j tienen norma uno y
que ambos son perpendiculares entre siacute Definicioacuten- (Producto Escalar o producto punto) Dados dos vectores
en el plano se define el producto escalar de la siguiente forma
V1 V2 = dbcad
c
b
a
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Dando como resultado un nuacutemero real (Un escalar)
Ahora al realizar el producto punto entre los vectores i y j el resultado es
cero
Ejemplos- Determine el producto escalar entre los siguientes vectores y graacutefiquelos
V1 = 2
1 V2 =
1
2 y V3 =
3
2
V1 V2 = (1)(-2) + (2) (1) = 0 V1 V3
V1 V3 = (1)(2) + (2)(3) = 8 V3 V2 V3 = (-2)(2) + (1)(3) = -1
Como se puede observar el resultado siempre es un escalar por otra parte se tiene que el producto escalar entre los vectores V1 y V2 es cero de la graacutefica se puede observar que ambos vectores son ortogonales entre siacute este es una propiedad que se cumple siempre es decir dos vectores son ortogonales si y soacutelo si su producto escalar es igual a cero Se justificaraacute este resultado a continuacioacuten
Ortogonalidad y producto escalar Al definir dos vectores y no colineales entonces se forma un aacutengulo
entre ellos diferente de cero como se muestra en la figura
-
Se puede definir un triaacutengulo con las medidas de la longitud de los lados
de los vectores y como se ve en la figura anterior y haciendo uso de las leyes de los cosenos se tiene que
|| - || 2 = |||| 2 + ||||2 ndash 2 |||| |||| Cos helliphelliphelliphellip (1)
Llame = 1
1
y
x y =
2
2
y
x se tiene que
|| - || 2 = (x1-x2)
2 + (y1-y2)2
|| ||2 = (x1
2+y12) || ||2= (x2
2+y22) = x1y1+ x2y2
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Si el aacutengulo entre los vectores y es de 90ordm se tiene que || - || 2 = || || 2 + || ||2 Luego sustituyendo los valores correspondientes (x1-x2)
2 + (y1-y2)2 = (x1
2+y12) + (x2
2+y22)
De aquiacute se concluye que x1y1+ x2y2 = 0
es decir los vectores y son ortogonales entre siacute la demostracioacuten del reciproco se realiza de manera similar es decir si el producto punto es cero se tiene que 2 |||| |||| Cos = 0 y como se asume que ninguno de ellos es el vector cero la uacutenica forma en que esto sigue siendo cierto es que Cos sea igual a cero conclusioacuten que nos lleva al resultado esperado
Ejercicio- Determine un vector ortogonal al vector
(a) V = 7
1 (b) V =
a
1 y (c) V =
a
a 1 a es un nuacutemero real
Representacioacuten de regiones en el plano haciendo uso de vectores
Un punto (ab) en el plano puede ser representado por el vector V = b
a
ahora al tener muacuteltiplos de dicho vector de la forma tV = t b
a=
tb
ta con t un
nuacutemero real se genera una infinidad de vectores y cada uno de ellos tiene asociado uno y soacutelo un punto en el plano (sin considerar la propiedad de traslacioacuten de los vectores) Se afirma que todos estos puntos pertenecen o estaacuten en la misma liacutenea
Sea X = y
x los puntos que pueden ser representados por medio del
vector tV entonces se tiene que X = tV esto es
y
x =
tb
ta
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De aquiacute se deduce que b
y
a
xt que permite establecer la relacioacuten
xa
by que corresponde a una liacutenea recta que pasa por el origen y contiene
al punto (ab) Otra caracteriacutestica importante es que la liacutenea recta posee la misma orientacioacuten que el vector que la genera
Si se tiene dos vectores V = 1
1
y
x y W =
2
2
y
x estos representan a dos
puntos en el plano si estos son colineales de acuerdo al desarrollo anterior a lo maacutes nos pueden representar una liacutenea recta Pero si ambos vectores no son colineales se pueden generar otro tipo de regiones en el plano
Dados estos dos vectores se pueden generar tres liacuteneas las cuaacuteles contienen a los puntos (x1y1) (x2y2) y el origen generando ademaacutes un triaacutengulo que se puede representar haciendo uno de las componentes de los vectores dados
(x2y2) B (x1y1) A C Para poder representar una regioacuten como la del triaacutengulo primero se representaraacute el segmento AB la forma de realizarlo es ver que este segmento esta asociado al vector W Ahora recordando que los vectores que pueden representar los puntos sobre la liacutenea que contienen al vector W son sus muacuteltiplos escalares entonces se requiere soacutelo una parte de ellos de tal forma que este segmento quedaraacute representado por los vectores (t) = t W con 0 t 1 Note que (t) es una funcioacuten del paraacutemetro t y como resultado nos da un vector en dos dimensiones Es decir se tiene una funcioacuten del segmento [01] al plano que satisface que (0) = (00) y (1) = (x2y2) Para poder representar una regioacuten con aacuterea distinta de cero se requieren dos vectores no colineales V y W de forma tal que al tomar combinaciones lineales de ambos permite definir otro vector en el plano pero ya no necesariamente en la misma direccioacuten de los originales como en el caso de una suma observe que el punto D ya no esta contenido ni en la direccioacuten del vector V ni en la del vector W
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B= (x2 y2) D = (x1+x2 y1+y2) W V+W
A V C = (x1 y1) El cuadrado ABDC queda completamente representado al definir las combinaciones lineales de V y W de la siguiente forma Todos los vectores en el plano que se pueden definir a partir de lo siguiente
(ts) = t V + s W
en donde t y s son nuacutemeros reales y ademaacutes tiene la siguiente restriccioacuten 0 t 1 y 0 s 1 Ejercicio- Represente todos los puntos en el plano cuya distancia al vector
V = 2
1 es de dos unidades
Ejercicio- Represente todos los puntos en el plano que representan a un rectaacutengulo y dos de sus aristas estaacuten ubicadas en los vectores
V = 2
1 y W =
5
0
Ejercicio- Muestre que con dos vectores no colineales es posible definir el plano bidimensional (de igual forma pruebe que el espacio tridimensional se puede definir a partir de tres vectores no coplanares)
Estructura Algeacutebrica del espacio vectorial Los vectores permiten tienen estructura algebraica que se puede definir a partir de sus operaciones definidas anteriormente Proposicioacuten- Dados tres vectores y en el plano y un escalar k estos poseen las siguientes propiedades
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(i) Ley Asociativa La suma de vectores es asociativa
(ii) Ley Conmutativa La suma de vectores es conmutativa
(iii) Neutro Aditivo Existe un vector 0
denominado neutro aditivo que satisface la siguiente propiedad
00
Es decir al sumar con cualquier vector en el plano el resultado es el mismo vector
(iv) Para todo vector en el plano existe un vector denominado el inverso aditivo - tal que la suma de ambos es igual a cero
+ - = - + = 0
Este vector cero ambas componentes son iguale a cero y si las componentes de son (ab) las de - son (-a -b) Con a y b nuacutemeros reales La demostracioacuten de estas propiedades se basan en el principio del campo de los nuacutemeros reales Como ejemplo se demostraraacute la propiedad (ii)
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Tarea 1 Caacutelculo 3 Caacutelculo Vectorial Objetivo- Que el alumno sea capaz de resolver problemas relacionados con vectores comprenda la ecuacioacuten de una liacutenea en el espacio la ecuacioacuten de un plano aacuterea de paralelogramos las propiedades algebraicas asociadas con vectores en dos y tres dimensiones en cuanto al producto punto producto por un escalar y producto cruz Finalmente que sea capaz de determinar el volumen de un paralelepiacutepedo 1- Determine la ecuacioacuten de los puntos en el espacio que (1a) pertenecen al eje X (1b) pasan por la recta y=3x (1c) pasan por el punto (1-11) y en direccioacuten del vector i+j (1d) representan a la recta de interseccioacuten de los planos 3x ndash 2y + z = 7 y 2x + 4y ndashz = 4 (1e) representan al plano ortogonal a la liacutenea x=2y = 3z 2- Que regioacuten del espacio representan los puntos (2a) con componentes (x1z) (2b) contenidos por el paralelogramo definido por los vectores i+j y 3i ndashj (haga un bosquejo) 3- Determine un vector que sea muacuteltiplo escalar del vector α = 3i + j pero de norma uno (El vector resultante recibe el nombre de vector normalizado del vector α) 4- Determine un vector perpendicular al vector β = 2i + 3i - 5k 5- Pruebe que la ley conmutativa es vaacutelida en el producto escalar es decir αβ = βα 6- Pruebe que la siguiente propiedad es vaacutelida en el producto escalar entre un muacuteltiplo escalar de α y el vector β (k α)(β) = k (αβ) = α(kβ) 7- Deduzca la ecuacioacuten que establece la distancia de un punto P=(x1 y1 z1) en el espacio y el plano A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0 (Puedes encontrar la demostracioacuten en alguacuten libro de caacutelculo vectorial o intentar demostrarla usando el concepto de proyeccioacuten ortogonal)
8- Determine la distancia entre los planos x + y + z = 0 y x + y + z = 1 (Trate de determinar dicha distancia entre los planos paralelos sin hacer uso de la foacutermula y luego use dicha foacutermula para establecer el resultado finalmente trate de dar una interpretacioacuten de dicha solucioacuten) 9- Determine el volumen del paralelepiacutepedo generado por los vectores V1=(322) V2=(202) y V3=(041) 10- Determine el volumen del paralelepiacutepedo con cuatro de sus veacutertices en los puntos (123) (024) (305) y (222) realice un bosquejo de dicho paralelepiacutepedo
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11- Pruebe que dados cuatro veacutertices de un paralelepiacutepedo en el espacio se pueden generar cuatro paralelepiacutepedos distintos pero de igual volumen 12- Pruebe que α (β times γ) = γ (α times β) 13- Pruebe que α times (β + γ) = α times β + α times γ 14- Determine el aacuterea del paralelogramo generado por los vectores i+j-k 2i-j 15- Determine el aacuterea del paralelogramo generado por los vectores 2i+j 3i ndash j 16- Determine el aacutengulo que existe entre los vectores i+j-k y 2j ndash k 17- Determine si el vector i+j es una combinacioacuten lineal del vector 2i ndashj 18- Determine si el vector i+j es una combinacioacuten lineal del vector 2i + 2j 19- Determine el aacutengulo entre los planos 2x ndash y + z = 0 y 3x ndashy + 2z = 0 20- Determine la distancia entre los planos x + y + z = 0 y x + y + z = 1
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Capitulo 2 Funciones Vectoriales
En este capitulo se veraacuten temas relacionados con funciones de varias variables que van a los nuacutemeros reales (a las cuales se les llaman funciones reales) o que van a maacutes dimensiones
Cuando uno habla de este tema es importante recalcar que en la vida cotidiana se presentan diversas aplicaciones con el hecho de manejar varias variables que van desde la preparacioacuten de un cafeacute hasta el hecho de planear la agenda diaria de coacutemo distribuir el tiempo
Citemos el siguiente ejemplo En un estudio de calidad de vida de los sentildeores casados y con hijos se realizaraacute una evolucioacuten final de la satisfaccioacuten de su vida cotidiana en base a una encuesta en donde se mediraacuten diversos factores de vida familiar para esto se tiene la disyuntiva de poder distribuir los tiempos de Trabajo diversioacuten ejercicio jugar con los nintildeos convivir con su pareja visitar a familiares convivir con amigos Entonces no cabe duda que los resultados de la encuesta estaraacuten vinculados con los tiempos destinados a cada actividad asiacute por ejemplo
Persona Trabajo Diversioacuten Ejercicio Nintildeos Pareja Familiares Amigos
A 30 20 5 5 10 8 2
B 50 5 2 2 10 10 18
Otro ejemplo se presenta el preparar un cafeacute dado que aunque este sea
para la misma persona si usa distintos cantidades de cafeacute azuacutecar leche o temperatura final del mismo el resultado del sabor del mismo cambiaraacute notablemente Cabe sentildealar que cada individuo mide el grado de satisfacioacuten de forma diferente y a la vez esta se realiza en forma cualitativa dado que no se puede medir el grado de satisfacioacuten debido a que cada individuo tiene distintos gustos un cafeacute con poca azuacutecar para una persona puede ser para otra que este bien o que este muy azucarado
Por otra parte no es lo mismo tomar un cafeacute en un diacutea caluroso a una o
en un diacutea con friacuteo Siendo esta otra variable de estudio Como se puede apreciar el resultado final depende rotundamente de la cantidad que se mezcle de cada uno de los ingredientes con los que se cuentan Es decir es un problema de varias variables
Pongamos el siguiente ejemplo financiero una persona desea invertir en el banco en dos cuentas individuales siendo que en la primera da un rendimiento de 2 mensual y en la segunda del 3 si se desea saber cual es la ganancia mensual esto se puede escribir para el primer mes de la siguiente forma
G(xy) = 002x + 003y siendo x la cantidad de dinero aportada en la primer cuenta y la cantidad de dinero aportada en la segunda cuenta Esta seriacutea la ganancia del primer mes Asiacute si invierte mil pesos en la primer cuenta y dos mil en la segunda la ganancia del primer mes seraacute de ochenta pesos
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G(10002000) =002(1000)+003(2000) = 20 + 60 = 100
Cabe sentildealar que las aplicaciones en economiacutea en donde aparecen maacutes
de una variable abundan y que anaacutelisis maacutes completos de estados de cuenta con intereses o deudas en tiendas de conveniencia se pueden representar mediante funciones de varias variables debiendo desarrollar cada una de ellas en su debido tiempo
Por otra parte las aplicaciones en procesos de produccioacuten industrial son diversos y permiten evaluar el producto final que llegaraacute al cliente en cuanto a la calidad del mismo
Si un estudiante dedica cierta cantidad de horas de estudio y por otra parte se mide la atencioacuten prestada en sus horas de estudio Se pueden proponer lo siguiente No se esperariacutean los mismos resultados si dedica tres horas de estudio con poca atencioacuten a que si dedica la misma cantidad de horas de estudio con mucha atencioacuten Cabe sentildealar que la atencioacuten prestada depende del intereacutes de estudiante en la materia el gusto por la misma o la importancia que preste en conocer temas nuevos
Funcioacuten Vectorial
Se comenzaraacute el estudio de funciones vectorial de varias variables especificando algunos detalles sobre las mismas en principio una funcioacuten vectorial tiene como dominio un subconjunto de Rn y un conjunto de llegada esta en Rm
Asiacute si el dominio A tiene tres variables se dice que el dominio esta definido en R3 las tres variables se pueden denotar por x y z Ahora si antildeadimos que la funcioacuten en cuestioacuten refleja algunos rasgos de las variables anteriores por ejemplo si se considera importante la suma de las primeras dos el producto de la segunda y tercera Entonces se dice que la funcioacuten tiene como conjunto de llegada a dos variables en la primera se refleja una suma mientras que en la segunda se observa una multiplicacioacuten
Entonces la forma de escribir en la primera de ellas es x + y mientras que la segunda es yz asiacute la funcioacuten queda expresada como
F(x y z) = (x+y yz)
Una funcioacuten que se puede observar diariamente es la de la temperatura en una habitacioacuten considerando cada punto en el espacio de la habitacioacuten entonces el dominio esta en tres dimensiones y la imagen de la funcioacuten refleja la temperatura en cada punto de la misma observe que esta puede cambiar si se encuentra cercas de una ventana o de la estufa
Aquiacute T(x y z) Muestra la temperatura en cada punto de una habitacioacuten faltariacutea encontrar la ecuacioacuten matemaacutetica que modele dicho comportamiento
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Como se puede observar el poder estudiar un fenoacutemeno real por medio de un modelo matemaacutetico es fundamental para poder realizar predicciones del mismo por medio de las propiedades de la funcioacuten asociada al mismo como el hecho de que la funcioacuten sea creciente que tenga un valor maacuteximo Se mostraran algunos ejemplos maacutes adelante con la finalidad de motivar el estudio de los fenoacutemenos reales por medio de las matemaacuteticas Definicioacuten- (Funcioacuten) Una funcioacuten es una regla de asignacioacuten entre dos conjuntos A y B que asigna a cada elemento del conjunto A uno y soacutelo uno del conjunto B El conjunto de partida A se le denomina el dominio de la funcioacuten mientras que el conjunto de llegada es B se le conoce como el codominio de la funcioacuten En el caso de varias variables se tiene que A es un subconjunto de Rn mientras que el conjunto B es un subconjunto de Rm Aquiacute es importante que a ninguacuten elemento del dominio se le asigne al mismo tiempo dos elementos del codominio y a la vez que a ninguno del dominio quede sin ser asignado Un ejemplo de esto se presenta en la siguiente funcioacuten que va del conjunto dominio A = 1 2 3 al conjunto B = 2 4 6 8 al definir la funcioacuten f que asigna a cada elemento del dominio con su doble se tiene que f(1) = 2 f(2) = 4 y f(3) = 6 Ahora una funcioacuten de dos variables se puede definir a partir de los conjuntos C = (12) (23) (34) (36) y D =3 4 5 6 7 8 9 en donde la funcioacuten g C D representa la suma de los diacutegitos de cada pareja ordenada
En este caso g(12) = 3 g(23) = 5 y asiacute sucesivamente Cabe sentildealar que la pareja ordenada (12) es distinta a la pareja (21) en donde esta uacuteltima no pertenece dominio de la funcioacuten
6 5 Suma g(12) = 3 4 3 2 (12)
1 (21) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 0 1 2 3 4 5 6 Las parejas (12) y (21) ocupan distintas posiciones en el plano La segunda de ellas no pertenece al dominio de la funcioacuten de manera tal aunque se pudiera evaluarla pareja ordenada no se contempla por el hecho de que la funcioacuten no esta definida en dicho valor
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Un ejemplo de esta funcioacuten ocurre si consideramos el total que se tiene que pagar en una tienda despueacutes de comprar dos artiacuteculos distintos Otro de ellos se presenta al tomar una evaluacioacuten de calidad de cierto artiacuteculo en donde se van sumando los puntos y no necesariamente serian dos variables
Otra caracteriacutestica que se presenta en esta tipo de funciones es que los valores esteacuten bien definidos al momento de evaluar como el hecho de que no se puede dividir entres cero y no se pueden sacar raiacuteces de nuacutemeros negativos Este hecho es importante para detallar el dominio de algunas funciones
asiacute el dominio de la funcioacuten xxk 4)( esta restringido al hecho de que la
variable x sea menor a cuatro dado que el argumento 4-x debe de ser no negativo es decir 4-x 0 y de aquiacute se tiene que 4 x
Cuando se involucran dos variables un ejemplo es encontrar el dominio
de la funcioacuten yxyxh 44)( y por analogiacutea con el problema anterior
se sabe que 4 x y a la vez que 4 y quedando el dominio descrito de la siguiente manera D = (xy) 4 x 4 y
6 D Dominio de la funcioacuten 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7
Ejemplo- Determine el dominio de la funcioacuten 2 2( ) 9 h x y x y Aquiacute se tiene
que el argumento de dicha funcioacuten debe de ser positivo en donde el dominio
de la funcioacuten es 2 29 0x y que es equivalente a 2 29 x y que representa
a un ciacuterculo de radio 3 y centrado en el origen
Si la funcioacuten es 2 2
1( )
9h x y
x y el dominio es casi el mismo
eliminando en donde el argumento se hace cero debido a que no estaacute definida la divisioacuten entre cero siendo el dominio el mismo circulo del ejemplo anterior pero sin la orilla
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Como se puede apreciar el dominio de estas funciones estaacute definido por regiones en el plano cartesiano cuando el dominio de la funcioacuten estaacute contenido en R2
Derivadas Parciales La derivada parcial de una funcioacuten de varias variables consiste en derivar la funcioacuten con respecto a la variable en cuestioacuten y dejar a las otras variables fijas como si fuesen constantes Por ejemplo al derivar la funcioacuten f(x y z) = x2 + 3xy3 - 3xz las derivadas de f con respecto a x y y z se describen a continuacioacuten y se denotan cada una de ellas por medio de los simbolos fx fy y fz fx(x y z) = 2x + 3y3 - 3z fy(x y z) = 9xy2 fz(x y z) = - 3x Definicioacuten- (Gradiente de una funcioacuten) El gradiente de una funcioacuten real se define como el vector que contiene en sus componentes a sus primeras derivadas parciales Asiacute para el ejemplo anterior el gradiente de f es y se denota por
3
2
2 3 3
9
3
x
y
z
f x y z
f f xy
f x
Ejemplo- Determine el gradiente de las siguientes funiones g(xy)=(x2 y4) y h(xyzw) = 2x+y2-3z+8w
3
2( )
4
x
y
h xh x y
h y
2
2( )
3
8
x
y
z
w
g
g yg x y z w
g
g
El vector gradiente tiene varias propiedades que son muy uacutetiles una de ellas nos indica la direccioacuten de maacuteximo crecimiento y otra de ellas es que es un
vector tangente a las curvas de nivel de una funcioacuten
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Definicioacuten- (Derivada Direccional) La derivada direccional de una
funcioacuten en un punto (x0 y0) y en direccioacuten de un vector v=(AB) se define como el producto del gradiente de la funcioacuten evaluado en el punto (x0 y0) por el vector V dividido entre la norma de mismo vector
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Tarea nuacutemero 2 materia de Caacutelculo 3 Objetivo- Que el alumno sea capaz de interpretar la nocioacuten de liacutemite en varias variables identifique la graacutefica de funciones y haga uso de la derivadas parciales 1- Determine el dominio de las siguientes funciones
(1a) f(x y z) = 2221 zyx
(1b) g(x y) = xy
2
(1c) f(x y) = xy
(1d) g(x y) = y4
(1e) f(x y) = y
x
4
4
(1f) h(x y) = 24
1
xy
2- Realice un bosquejo de las siguientes graacuteficas
22 zyx 22 2zxy 22 yxz 222 yxz
3- Determine los siguientes liacutemites
(31) xyxyxyxf y 210)( 3 cuando (xy) tiende a (12)
(32) yx
zyzxzyxf
33
)( cuando (xy) tiende a (112)
(33) )00()(
)00()(
0
3
3
)(
44
32
yx
yx
Siacute
Siyx
yx
yxk cuando (xy) tienden a (00)
En caso de existir indique haciendo uso de la nocioacuten
(34) )()(2
zxyxxxy
xxyyxzyxF z cuando (xyz) tiende a (012)
4- Indique de las funciones del ejercicio anterior son continuas y en que dominio 5- Determine si las funciones del ejercicio tres son de clase C1 6- Determine la ecuacioacuten del plano tangente a la graacutefica de la funcioacuten g(xy) = x4-10y3 en el punto (1-1) y en el punto (12) grafique en la computadora y agregue en el documento de la tarea 7- Determine los conjunto de nivel de valor -2 -1 0 1 2 de las funciones (7a) f(x y) = 3x2 + 3y2
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(7b) g(x y) = 22 44 yx
(7c) h(x y) = 1 ndash y + x2 (7d) k(x y z) = x2 + y2 + z2 Indique las graacuteficas en computadora y agregue en el reporte
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Capiacutetulo 3
Trayectorias
En este capiacutetulo se realiza el estudio de las propiedades de las funciones vectoriales es decir se hace incapie en el concepto de funcioacuten y la de un vector
Este concepto permite describir entre otras cosas el camino seguido por una partiacutecula en el espacio con el ingrediente adicional de tener a la mano los conceptos de velocidad y aceleracioacuten derivados a partir de una sola ecuacioacuten aquella que guarda la relacioacuten de posicioacuten de la partiacutecula con respecto al tiempo
Por ejemplo al mover una onda esta describe un movimiento circular si
la onda se suelta un objeto puesto en ella sale disparado en forma tangencial Este movimiento se puede representar con vectores y debe de expresar que la velocidad sea tangente a la trayectoria que sigue dado que la piedra abandona la onda en liacutenea recta
Si esto se extrapola al vuelo de una mosca se puede inferir que la velocidad de la misma sea tangencial a la trayectoria que va recorriendo en cada punto esto se muestra en la siguiente graacutefica
Observe que el hecho de contar con la orientacioacuten del vector velocidad permite no soacutelo inferir la velocidad de escape de la partiacutecula sobre la curva sino a la vez conocer la orientacioacuten del movimiento de la misma
Definicioacuten- (Trayectoria) Una trayectoria es una funcioacuten que parte de los nuacutemeros reales al espacio n Euclidiano Es decir es una funcioacuten de la forma
))()()(()( 21 txtxtxt n
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Caso particular de una trayectoria de los reales a plano En el caso de una trayectoria de los reales al plano se puede ilustrar con el siguiente diagrama
σ(a) σ(b) a b
2][ Rba ))()(()( tytxt
Una forma de ilustrar esto es pensar que la variable t es el tiempo y la imagen corresponde a la trayectoria de un objeto en el plano asiacute que el tiempo t=a la partiacutecula se encuentra en el punto σ(a) que es el inicio del recorrido de la misma mientras que tiempo final t=b se localiza al final de la trayectoria de estudio
Se puede observar una flecha indicativa del sentido de la partiacutecula a lo largo de la trayectoria
Ecuacioacuten Parametrica y Cartesiana de una curva
Ejemplo- Dada la trayectoria )()( 2ttt con 22t realice una
graacutefica de dicha trayectoria
t ))()(()( tytxt
-2 )42()(t
-1 )11()(t
0 )00()(t
1 )11()(t
2 )42()(t
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Como se puede apreciar la imagen de la trayectoria que recibe el
nombre de curva es una paraacutebola esto se puede ver si se realiza lo siguiente
Como x = t y = t2 entonces se puede deducir que y=x2 la ecuacioacuten correspondiente a la graacutefica de una paraacutebola esta ecuacioacuten corresponde a sus coordenadas cartesianas por otra parte si se rescribe en forma de trayectoria se dice que la ecuacioacuten es su ecuacioacuten cartesiana dado que depende de un solo paraacutemetro
Parametrizacioacuten de una funcioacuten real Si y es una variable dependiente de la variable x es decir existe
una regla de asignacioacuten f tal que y = f(x) con bxa En donde a
cada elemento x le asigna uno y soacutelo un valor y La graacutefica de esta funcioacuten se debe de ver como un trazo en el plano de la siguiente forma
La graacutefica no puede ser de la siguiente forma
y2
y3
y1 y4
X1 X2
Note que al valor de x2 le asigna tres valores de y lo cual no
cumple con las condiciones para que f sea una funcioacuten Ahora la graacutefica de una funcioacuten de esta tipo no es otra cosa que
la imagen de una trayectoria la cual se puede parametrizar de la siguiente forma
Como y = f(x) entonces defina x = t y por consiguiente y=f(t) en
donde bta
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-4 -2 2 4
-30
-20
-10
10
20
30
-2 -1 1 2
-2
-1
1
2
Asiacute en el caso de la paraacutebola la parametrizacioacuten adecuada es x
=t y = t2 tal como estaba planteada originalmente Ahora si la funcioacuten es y = 2x3-10x con 44 x entonces la
parametrizacioacuten adecuada es
)102()( 3 tttt 44 t
La graacutefica de esta curva asociada a la trayectoria es
Parametrizacioacuten de una circunferencia Elipse e Hipeacuterbola
La ecuacioacuten cartesiana de una circunferencia con centro en el origen y
radio dos estaacute dada por 422 yx Al intentar escribir esta ecuacioacuten en
funcioacuten de un solo paraacutemetro se requiere despejar a la variable y obteniendo
dos funciones que son 24 xy Con 22 x
La graacutefica de esta curva permite visualizar que no pertenece a una
funcioacuten sino maacutes bien a dos que son las enunciadas anteriormente y como se ve a continuacioacuten
24 xy
24 xy
Una forma de representar esta curva es por medio de dos trayectorias
)4()( 2
1 ttt y )4()( 2
2 ttt 22t
Una forma alternativa de representar esta curva es por medio del uso de coordenadas polares en donde x=rCos(t) y= rSen(t) como el radio es fijo y es igual a dos estas ecuaciones se pueden escribir en funcioacuten de un solo paraacutemetro ldquotrdquo x=2Cos(t) y=2Sen(t) note que al evaluar x2+y2=4Cos2(t)+4Sen2(t) = 4(Cos2(t)+Sen2(t))=4 con lo cual satisface la
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ecuacioacuten de la circunferencia quedando expresada la trayectoria de la siguiente forma
σ(y) = (2Cos(t) 2Sen(t) con 0letle2π En esta ecuacioacuten define por completo a la curva auacuten y cuando la
ecuacioacuten original no es una funcioacuten siendo esto una ventaja del estudio de la trayectorias
Ejemplo- La parametrizacioacuten de la elipse 12
2
2
2
b
y
a
x queda
expresada por x = aCos(t) y=bSen(t) se deja como ejercicio comprobar este resultado
Ejemplo- La parametrizacioacuten de la hiperbola 12
2
2
2
b
y
a
x queda
expresada por x = aCosh(t) y=bSenh(t) en donde se trabaja con las funciones de Seno y Coseno hiperboacutelicas se deja como ejercicio comprobar este resultado (aunque soacutelo permite representar el lado correspondiente a los cuadrantes I y IV en donde la x es no negativa
Derivada de una trayectoria La derivada de una trayectoria es un vector tangente a la curva esto se
deriva del siguiente anaacutelisis
Dada la trayectoria σ(t) se grafican la posicioacuten de la curva al tiempo t y t+h luego trace el vector asociado a la liacutenea secante que une los puntos de aquiacute al tomar valores cada vez maacutes pequentildeos de h el vector secante se convierte en un vector tangente a la curva como se muestra a continuacioacuten
Por otra parte el anaacutelisis vectorial de este cociente es
)()()(
0
tt
tht
h
Liacutem
Es decir la derivada de la trayectoria y el vector resultante es
tangente a la curva
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Asiacute para el caso de una curva en el plano la trayectoria se puede describir por medio de dos funciones x(t) y(t) de la siguiente forma
)(
)()(
ty
txt
En donde la derivada de esta funcioacuten es
)(
)()(
ty
txt
Vector tangente a la graacutefica de una circunferencia de radio R Ahora si se tiene la parametrizacioacuten de una circunferencia esta esta
dada por σ(t) = ( RCos(t) R Sen(t))
Y X
Un vector tangente tiene que cumplir que su producto punto tiene que
ser cero de aquiacute si V=(AB) al multiplicarlo por el vector σ su producto punto tiene que ser cero
De aquiacute que σ(t)V = ARCos(t) + BRSen(t) = 0 Existiendo muchas soluciones a este sistema de ecuaciones siendo una
de ellas cuando A = Cos(t) B=-Sen(t)
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Vector trasladado
Siendo este un vector tangente a la curva ahora al derivar las
componentes xrsquo(t) = -RSen(t) y(t) = RCos(t) que es un muacuteltiplo escalara del vector tangente mostrado anteriormente
Definicioacuten- (Rotacional) El rotacional de un campo vectorial
F=Pi+Qj+Rk de clase C1 de define como el vector
i j k
RotFx y z
P Q R
Ejemplos- Determine el rotacional de los siguientes campos vectoriales
F1=xi+yj+zk F2=x2yi-xy
2j-3zyk
Solucioacuten-
1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0
i j k
RotF z y i z x j y x kx y z y z x z x y
x y z
2 2 2 2
2
2 2
( 3 ) ( ) ( 3 ) ( ) ( ) ( )
3
i j k
RotF zy xy i zy x y j xy x y kx y z y z x z x y
x y xy zy
2 2
2
2 2
3 0
3
i j k
RotF z i j y x kx y z
x y xy zy
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Definicioacuten- (Divergencia) Si F es un campo vectorial de clase C1 la divergencia de F se define como un campo escalar de la siguiente forma
( )P Q R
divF div Pi Qj Rkx y z
Ejemplos- Determine la divergencia de los siguientes campos vectoriales F1=xi+yj+zk F2=x
2yi-xy
2j-3zyk
Solucioacuten-
1 ( ) ( ) ( ) ( ) 3divF div xi yj zk x y zx y z
2 2 2 2
2 ( 3 ) ( ) ( ) ( 3 ) 2 2 3 3divF div x yi xy j zyk x y xy zy xy xy y yx y z
Definicioacuten- (Laplaciano) Si f es un campo escalar de clase C2 el Laplaciano de f se define como un campo escalar de la siguiente forma
2 2 2
2
2 2 2xx yy zz
f f ff f f f f
x y z
Ejemplos- Determine la divergencia de los siguientes campos escalares g1(x
y z) = xy2z
3 g2(x y z) = x
2 + y
2 + z
2
2 2 2
2 2 3 2 3 2 3 2 3 3 2 2
2 2 2( ) ( ) ( ) 2 3 f f xy z xy z xy z y z yz xy z
x y z
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2( ) ( ) ( ) 6f f x y z x y z x y z
x y z
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Tarea nuacutemero 3 Trayectorias
Objetivo- Que el alumno sea capaz de comprender los conceptos de movimiento de una partiacutecula a lo largo de una trayectoria y de la importancia del uso de vectores en este tema 1- Si la trayectoria σ(t) = t2i+t2j define la trayectoria seguida por una partiacutecula con respecto al tiempo determine 1a- iquestEl tipo de trayectoria que describe 1b- Realice una graacutefica de la distancia recorrida por la partiacutecula con respecto al tiempo en los primeros tres segundos 1c- Determine el tipo de movimiento de la partiacutecula 1d- iquestSe puede afirmar que es un movimiento uniformemente acelerado 1e- Determine la aceleracioacuten y velocidad a los cuatro segundos 1f- Realice una graacutefica de su rapidez con respecto al tiempo 1g- Realice una graacutefica de sus aceleracioacuten con respecto al tiempo 1h- En la graacutefica de la trayectoria agregue graacuteficamente los vectores aceleracioacuten y velocidad 2- Realice lo mismo que en ejercicio anterior pero ahora con la funcioacuten γ(t) = Cos(t) i+5Sen(t)j 3- Dadas las funciones f(t) = 3t2i-4t3j+e2tk y g(t) = 4t3i+4t2j+e-2tk 3a- Determine la funcioacuten producto punto h = fg 3b- Determine la derivada de h 3c- Usando la regla de diferenciacioacuten determine la derivada de h y compruebe el inciso anterior 4a- Determine la funcioacuten producto cruz k = ftimesg 4b- Determine la derivada de h 4c- Usando la regla de diferenciacioacuten determine la derivada de h y compruebe el inciso anterior 5- Determine el Rotacional y la Divergencia del siguiente campo vectorial G(x y z) = 2xy i + 3xz j - 5xy k 6- Determine el gradiente y el Laplaciano del siguiente campo escalar f(xyz) = 4x2-3yz2 7- Dado el campo vectorial F(x y z) = 2xy i + x2 j +3z2 k 7a- Determine si F puede representar el gradiente de un campo escalar f 7b- En caso de ser afirmativa la respuesta del inciso anterior determine el campo escalar f 8- Pruebe que la divergencia del rotacional de un campo vectorial F=Pi+Qj+Rk es igual a cero Es decir la div rot F =0 9- Usando las reglas de diferinciacioacuten pruebe que
gfgfgf
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100 -x
Capitulo 4 Maacuteximos y miacutenimos
Es indispensable determinar en distintos problemas las soluciones oacuteptimas que permitan establecer por ejemplo los valores maacuteximos de produccioacuten o ahorrar el material en la construccioacuten de cierto equipo
Como se recordaraacute el gradiente de una funcioacuten indica la direccioacuten de
maacuteximo crecimiento esto se refleja en que si se toma la direccioacuten sugerida por este vector el valor de la funcioacuten aumenta en una vecindad del mismo asiacute si en un diagrama de un campo gradiente aparecen un punto en donde convergen la direccioacuten de todos los gradientes se encontraraacute que dicho valor debe de ser un valor maacuteximo para la funcioacuten de estudio Un diagrama de esta tipo se ejemplifica a continuacioacuten
Un diagrama en donde todos los vectores apuntan hacia fuera de un
punto indicaraacute que este punto debe de ser un valor miacutenimo de la funcioacuten Citemos el siguiente ejemplo de una variable con la finalidad de
centrarnos en el tema Una persona desea bardear un terreno en forma rectaacutengular cuanto debe de medir cada lado de manera tal que el aacuterea cercada sea maacutexima si se cuenta con 200 metros de malla
La funcioacuten que representa dicho modelo es
A(x) = x(100-x) x
Como se puede observar el aacuterea es cero si x es igual a cero o a cien con lo cuaacutel el lado x debe de estar en en intervalo [0 100] siendo estas las restricciones del problema Derivando la funcioacuten para obtener los valores critiacutecos se tiene que Arsquo(x) = 100 ndash 2x
Al igual la derivada a cero se concluye que el valor critico es x es igual a 50 Al derivar por segunda ocasioacuten se concluye que
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Arsquorsquo(x) = -2 Como la segunda derivada es siempre negativa se concluye que la funcioacuten alcanza un valor maacuteximo en el valor critico en este caso en x = 50 al interpretar dicho resultado se concluye que el terreno que optimiza la solucioacuten es un cuadrado Ejercicio- Que aacuterea se genera si el terreno es de forma circular Al resolver el ejercioacute anterior y comparar las aacutereas del cuadrado y del circulo se puede apreciar que el aacuterea del circulo es mayor pero en la praacutectica es poco atractivo cercar terrenos circulares por diversas razones pero en la naturaleza es comuacuten observar que las gotas de lluvia sean esferas esto permite el optimizar recursos y maacuteximizar el volumen del liacutequido contenido en la misma Se iniciara el estudio formal de maacuteximos y miacutenimos de funciones de varias variables observando las siguientes graficas con la finalidad de tener la idea clara de que es un maacuteximo o miacutenimo o un punto silla
En la primera de ellas se observa que la funcioacuten tiene un valor miacutenimo en la segunda se observa que la funcioacuten tiene un valor maacuteximo y en la uacuteltima la funcioacuten tiene un punto silla este se identifica el dirigirnos en una direccioacuten la funcioacuten crece mientras que en la otra la funcioacuten decrece
Definicioacuten- Una funcioacuten mn RRf tiene un valor maacuteximo local en x0 si en
una vecindad de dicho valor se cumple que la funcioacuten evaluada en todos los vecinos ninguno de ellos supera a f(x0) Es decir f(x0) f(x) para todo x en una vecindad de x0 El punto es llamado un maacuteximo absoluto si la funcioacuten toma el valor maacuteximo en dicho punto para todo valor de su dominio
Esto es muy similar cuando uno observa a los alumnos de un saloacuten de clases existe un alumno que tiene la mayor estatura si ninguno de sus compantildeeros lo supera Asiacute en la escuela el alumno de mayor estatura absoluta es aquel que supera a todo el plantel
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La definicioacuten para el miacutenimo local (absoluto) es similar
f(x0) f(x) para todo en una vecindad de x0 Por ejemplo la funcioacuten f(xy) = x2+y2 tiene un valor miacutenimo en el origen dado que en este valor la funcioacuten vale cero mientras que fuera de ahiacute siempre es positiva dado que todo nuacutemero real elevado al cuadrado es siempre positivo Ademaacutes dicho valor es un miacutenimo absoluto Como se menciono al inicio de esta capitulo el diagrama del campo
gradiente de esta funcioacuten y
xyxf
2
2)( indica que la funcioacuten tiene un valor
miacutenimo siendo la grafica del mismo la siguiente Sin embargo se requiere un criterio maacutes general y sistemaacutetico que permita establecer los posibles valores maacuteximos miacutenimos o puntos silla) Definicioacuten- (Un valor extremo) Si la funcioacuten posee un valor maacuteximo o miacutenimo este es llamado un valor extremo Definicioacuten- (Un valor critico) Un punto en donde la derivada de la funcioacuten se anula es llamado un valor critico Teorema- Todo valor extremo es un valor critico Es decir si f posee un valor extremo en x0 que pertenece a su dominio entonces la derivada de la funcioacuten en el punto x0 se anula Es decir Df(x0) = 0 Demostracioacuten- Sea l(t) una trayectoria que pasa a traveacutes por el punto x0 defina la composicioacuten de funciones h(t) = f(l(t)) donde l(t) = x0 + tv de donde lrsquo(t) = v y ademaacutes
))(()())(()( VtlftDltlDftDh (1)
Por otra parte como f posee un valor extremo en x0 suponga que dicho
valor es un maacuteximo entonces x0 seraacute a la vez un maacuteximo para la funcioacuten h y como h es una funcioacuten real esto significa que la derivada de h en dicho punto
se anula es decir 0)()0())0(()0( 0 vxfDllDfDh ahora como los
vectores )( 0xf y v no son necesariamente perpendiculares y el vector v a la
vez tampoco se anula entonces esto implica que el gradiente de f en x0 es igual a cero y por lo tanto f posee un valor criacutetico en x0
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Este resultado permite establecer posibles valores criacuteticos de una funcioacuten asiacute se menciona el siguiente ejemplo Ejemplo- Determine los posibles valores criacuteticos de las siguientes funciones (1) f(x y) = x2 + y2 y (2) g(x y) = 4x3 -12x + y2
Solucioacuten-
(1) 0
0
2
2)(
y
xyxf de aquiacute se concluye que dicho valor soacutelo
existe un valor criacutetico siendo este el origen el cuaacutel ya se clasifico en estos apuntes y resulto ser un valor miacutenimo
(2) 0
0
2
1212)(
2
y
xyxg de aquiacute se obtienen dos valores criacuteticos
que son (-10) y 1l (10) Los cuales se pueden clasificar el realizar el graacutefico del campo gradiente En donde se aprecia que en el punto (-10) la funcioacuten posee un punto silla mientras que en el punto (10) la funcioacuten posee un valor miacutenimo
Aquiacute se utilizaraacute el criterio del hessiano para determinar si el valor criacutetico es un maacuteximo un miacutenimo o un punto silla Solo se enunciara el teorema sin demostracioacuten para ver la misma puede revisar en el libro de Marsden Tromba de Caacutelculo Vectorial
Definicioacuten- El Hessiano de una funcioacuten 22 RRH de clase C2 se define como una funcioacuten cuadraacutetica que se escribe como
2
1
2
22
2
2
2
21212
1)(
h
h
y
f
yx
f
xy
f
x
f
hhhhH
Evaluada la matriz de las segundas derivas parciales en el valor criacutetico
Teorema- Si el Hessiano de una funcioacuten 2 RRf es definitivamente
positivo entonces la funcioacuten tiene un valor miacutenimo en dicho punto
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37
Corolario- Si la matriz asociada A=cb
ba de una forma cuadraacutetica dos
por dos es definitivamente positiva si y soacutelo si se cumple que agt0 y det A gt0
Teorema de una valor para un valor extremo miacutenimo- Una funcioacuten
2 RRf de clase C2 posee un valor extremo miacutenimo local en x0 elemento
del dominio de la funcioacuten si y soacutelo si se satisfacen las siguientes condiciones
(i) 0)( 0xx
f y 0)( 0x
y
f
(ii) )( 02
2
xx
f gt 0
(iii) )( 02
2
xx
f)( 02
2
xy
f)(
2
2
oxx
f)( 02
2
xx
f gt 0
Para un valor maacuteximo las condiciones (i) y (iii) se mantienen la uacutenica que cambia en la segunda en donde esta debe ser negativa Para un punto silla se requiere que al menos no se cumplan las condiciones de valor maacuteximo ni miacutenimo y que la uacuteltima condicioacuten (iii) sea distinta de cero En caso contrario el criterio no permite clasificar dicho valor como se mostraraacute en un ejemplo maacutes adelante Ejemplo- Ahora continuando con los ejemplos anteriores
(1) Para f(xy) = x2+y2 el valor critico es el origen y el hessiano asociado es
2
1
212100
02
2
1)(
h
hhhhhH
Como se pude apreciar el primer valor es positivo 2 gt0 y el determinante de
la funcioacuten 20
02det es igual a 4 que a la vez es positivo de manera tal que la
funcioacuten posee un valor miacutenimo en el origen
(2) g(x y) = 4x3 -12x + y2 los puntos criticos son (-10) y (10) y el hessiano asociado a esta forma cuadraacutetica es
2
1
212120
024
2
1)(
h
hxhhhhHg
Ahora al evaluar en los puntos se tiene En el (-10)
2
1
212120
024
2
1)(
h
hhhhhHg
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38
En donde -24 lt 0 y det Hg = -48 lt0 con lo cuaacutel debe de ser un punto silla
En el (10)
2
1
212120
024
2
1)(
h
hhhhhHg
En donde 24 gt 0 y det Hg = 48 gt0 con lo cuaacutel debe de ser un punto miacutenimo
Tal como se habiacutea estimado en la graacutefica del campo gradiente de la
solucioacuten anterior A continuacioacuten se muestra un bosquejo de dicha graacutefica realizado en el derive
Ejemplos de cuando el criterio permite clasificar los
valores criacuteticos
Ejemplo- A continuacioacuten se mostrara un ejemplo de cuando el criterio no concluye asiacute si la funcioacuten es h(xy) = x4+y4 al calcular las derivas parciales mixtas fx=4x3 y fy=4y3 se encuentra un solo valor critico el origen miestras que la matriz asociada del hessiano es
2
2
120
012
y
x y al evaluar en el origen queda expresada como
00
00
)0(120
0)0(122
2
En donde se puede apreciar que fallan todos los criterios una inspeccioacuten de
la funcioacuten original permite ver que la funcioacuten tiene un valor miacutenimo en dicho punto pero no es una generalizacioacuten es decir no se puede decir que siempre que aparezca la matriz de ceros se tenga un valor miacutenimo dado que si se analiza ahora a las funciones k(xy) = -x4-y4 y p(xy) = x4-y4 ambas tienen como calor extremo al origen y la matriz hessiana asociada a la forma cuadraacutetica evaluada en el origen es la matriz de ceros
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39
Ejemplo- Otro ejemplo en donde el criterio no concluye es el siguiente en
donde el determinante de la matriz H es cero debido a que la segunda derivada de la funcioacuten f con respecto a la segunda variable se anula (fyy = 0) y no se puede asegurar que se tenga un punto maacuteximo miacutenimo o silla
Las funciones f1(xy) = x2 f2(xy) = -x2 y f3(xy) = x3 presentan este
problema a continuacioacuten se muestran las graficas de dichas funciones
En cada una de ellas los puntos criacuteticos son las parejas en el plano (0 y) Es decir el eje coordenado X
El Hessiano respectivo de cada uno es el siguiente
00
02)(1 yxH
00
02)(2 yxH
00
03)(3
xyxH
Note que el determinante de cada de estas matrices se hace cero y que fyy
se anula en cada caso
Ahora observando las graacuteficas se verifica visualmente que en la primera se tienen valores miacutenimos en la segunda maacuteximos y en la uacuteltima no es ni maacuteximo ni miacutenimo o punto silla
Ejemplo- Citemos otro ejemplo en donde el criterio de maacuteximos y miacutenimos
no concluye Determine los puntos criacuteticos de la funcioacuten h(xy) = x4 Se tiene que hx=4x3=0 y hy=0 de donde se deduce que la funcioacuten tiene
un nuacutemero infinito de puntos criacuteticos estos son las parejas ordenadas en el plano (0y)
La matriz del Hessiano asociado es
00
012)(
2
1
xyxH y evaluando en el punto
00
00)0(1 yH
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40
En donde no se puede clasificar a los valores criacuteticos sin embargo
realizando una inpeccioacuten de la funcioacuten se puede concluir que todos los puntos representan valores miacutenimos de la funcioacuten original a continuacioacuten se muestra la grafica de la misma
El Hessiano para n variables y el criterio de clasificacioacuten
Cuando la funcioacuten tiene maacutes de dos variables se genera una matriz asociada H en cada uno de los valores criacuteticos de la siguiente forma
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
H
21
22221
11211
De aquiacute se definen las siguientes matrices
111 aH 2221
1211
2aa
aaH hellip HH n
Los criterios para los valores criacuteticos de la funcioacuten RRf n son los
siguientes [Miacutenimo Local] La funcioacuten f posee un valor extremo local miacutenimo en x0 si todos los determinantes de las submatrices evaluados en x0 son positivos
0det 1H 0det 2H hellip 0det 2H (+ + hellip +)
En este caso la forma cuadraacutetica se puede probar que es definitivamente positiva [Maacuteximo Local] La funcioacuten f posee un valor extremo local miacutenimo en x0 si todos los determinantes de las submatrices evaluados en x0 se alternan en signo pero el primero de ellos debe ser negativo
0det 1H 0det 2H hellip 0det 2H (- + - + hellip )
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En este caso la forma cuadraacutetica se puede probar que es definitivamente negativa [Punto Silla] La funcioacuten f posee un punto silla si no se cumplen los criterios de valor miacutenimo o maacuteximo y al menos uno de los subdeterminantes es distinto de cero
Existe un i tal que 0det iH
Ejemplos- Determine los valores criacuteticos de las siguiente funcioacuten f(x y z w) = x3 - 3x + y3 ndash 3y + z2 + w2 y claacutesifiquelos Solucioacuten- Al resolver las siguientes ecuaciones
033 2 xxf x 033 2 yyf y 02zf z y 033 2 wwfw
Se obtienen cuatro puntos criacuteticos que son (-1-100) (-1100) (1-100) y (1100) ahora se genera la matriz del hessiano asociado siendo esta
2000
0200
0060
0006
y
x
H
Al evaluar en cada uno de los puntos se tienen las siguientes matrices
2000
0200
0060
0006
)0011(H
2000
0200
0060
0006
)0011(H
2000
0200
0060
0006
)0011(H y
2000
0200
0060
0006
)0011(H
Los sub determinantes para cada uno de los puntos son [(-1 -1 0 0)] -6 36 72 144 que clasifica como un punto silla [(-1100)] -6 -36 -72 -144 que clasifica como un punto silla [(1-100)] 6 -36 -72 -144 que clasifica como un punto silla [(1100)] 6 36 72 144 que clasifica como un valor miacutenimo De manera tal que la funcioacuten tiene tres puntos silla y un valor miacutenimo
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Ejercicios- Determine los puntos criacuteticos de las siguientes funciones y claacutesifiquelos utilizando el criterio del Hessiano
(1) f(x y) = x2 - y2 (Silla de montar)
(2) g(x y) = 22 yx (Cono)
(3) h(x y z) = x4 - 2x2 + 2y3 -3y2 + z3-3 Ejercicio- Se requiere construir una lata con tapa que contenga un litro de agua con el miacutenimo de material determine las condiciones que oacuteptimizan el problema Ejercicio- Determine el producto maacuteximo de tres nuacutemeros si la suma de ellos debe ser 40 Ejercicio- Determine la distancia miacutenima del origen a la graacutefica de la funcioacuten f(xy) = 4-x2+y Ejercicio- Estudie los ejemplos resueltos que trae el libro de Marden Tromba en el capitulo 4 en especial el referente a la ecuacioacuten de miacutenimos cuadrados Ejercicio- Determine la ecuacioacuten lineal que mejor se ajusta a los puntos (12) (2 32) (3 389) (4 488) (5 55) Utilize el criterio de miacutenimos cuadrados en caso de que el modelo sea lineal (justifique la linealidad del mismo realice una graacutefica de los puntos y de la liacutenea que ajusta a los puntos) Ejemplo- (Aplicacioacuten) En este ejemplo dermina la distancia miacutenima del punto (100) a la graacutefica de una funcioacuten f(x y) = x2+y2
Solucioacuten- Todos los puntos que se encuentran sobre la graacutefica de la funcioacuten satisfacen la siguiente terna de valores en donde se observa que la tercer componente es la variable dependiente (x y x2+y2)
La distancia del punto (1 0 0) a los puntos que estaacuten sobre la graacutefica (x y x2+y2) Se define por medio de la funcioacuten
2222222 )()1()()001()( yxyxyxyxdyxfd
Para determinar el valor miacutenimo o maacuteximo de esta funcioacuten basta con
analizar su argumento dado que es un funcioacuten creciente Es decir Si x1lt x2
entonces f(x1) lt f(x2) lo que es vaacutelido para la funcioacuten )( xxf (ver graacutefica)
2x
1x
x1 x2
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43
De este modo la funcioacuten a maximizar es
2222222
11 )()1()()001()( yxyxyxyxdyxfd
De aquiacute al las derivadas parciales son
)(4)1(2)( 22
1 yxxxyxfd x y )(42)( 22
1 yxyyyxfd y
Igualando ambas ecuaciones a cero se puede establecer la siguiente
ecuacioacuten
)(4
)(4
2
2222
22
yxy
yxx
y
x (3)
De aquiacute si )00()( yx y 0y se concluye que -1=0 lo cual es una
contradiccioacuten Por otra parte si (xy)=(00) en la primera ecuacioacuten se tiene que 1=0 que es tambieacuten una contradiccioacuten Finalmente si se considera el caso en
que y=0 se obtiene de la siguiente ecuacioacuten 012 3 xx
El polinomio 12)( 3 xxxP tiene una raiacutez entre el cero y el 1 dado
que P(0)=-1 y P(1)=2 Con el anaacutelisis de raiacuteces racionales dos posibles raiacuteces
son 2
1 y como
2
1 estaacute entre cero y uno al usando divisioacuten sinteacutetica se
obtiene que 4
1
2
1P Asiacute que la raiacutez debe de estar en el intervalo 1
2
1
Ahora usando el meacutetodo de Newton con semilla en 2
10x se obtiene
que 6010
6
2
54
1
2
1
)(
)(
0
0
01xf
xfxx
Ahora al evaluar la funcioacuten en dicho punto se tiene que 0320)60(P el
cual es aceptable como raiacutez del polinomio en una sola interaccioacuten De manera tal que el punto criacutetico de la funcioacuten es el (060) El Hessiano asociado es
24128
82412)(
22
22
xyxy
xyyxyxH
Como se puede apreciar el primer elemento de la matriz es positivo independientemente de los valores de x e y Falta evaluar el determinante de H este es igual a
)64)2412)(2412()(det 222222 yxxyyxyxH
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Ahora evaluando en (06 0) se tiene 7421)443)(326()060(det H
Que tambieacuten es positivo de manera tal que se tiene un valor miacutenimo Es
decir la se obtuvo la distancia miacutenima
Maacuteximos y Miacutenimos con restricciones
Los muacuteltiplicadores de Lagrange permite determinar valores maacuteximos o miacutenimos de funciones con restricciones De este tipo de problemas esta lleno nuestro contorno desde el panedero que desea producir la maacutexima cantidad de pan pero con la restriccioacuten del capital que tiene o la posible venta del diacutea para que no tenga sobrantes
Citemos el siguiente ejemplo la graacutefica de paraboloide z = x2+y2 esta
graacutefica soacutelo tiene un valor miacutenimo en el origen sin embargo si esta restringida
al cuadrado unitario 1111 la funcioacuten alcanza cuatro puntos maacuteximos en
los puntos (-11)(-1-1) (1 -1) y (11) a saber dicho valor es 2 Como se observa en la figura
Ahora si se trabaja con la silla de montar con la misma restriccioacuten esta
funcioacuten tiene originalmente un punto silla en el origen pero al analizar las restricciones se contiene dos valores maacuteximos y dos miacutenimos en los puntos (10) (-10) (0-1) y (01)
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Muacuteltiplicadores de Lagrange Teorema- Dadas dos funciones fg Rn a R diferenciables en X0 elemento del dominio de ambas funciones Si Lc es el conjunto de nivel de valor c de la funcioacuten g y si f posee un valor maacuteximo miacutenimo o silla en la restriccioacuten Lc
entonces existe un nuacutemero real λ tal que )()( 00 XgXf
Se puede ver parte de la demostracioacuten de este teorema en el libro de Marsden Tromba Para clasificar los puntos criacuteticos se utiliza el criterio del Hessiano limitado el cuaacutel se define a partir de la funcioacuten auxiliar H(x1 x2 hellip xn) = f(x1 x2 hellip xn) - λ g(x1 x2 hellip xn)
nnnn
n
n
xxxxx
xxxxx
xx
hhg
hhg
gg
H
1
1111
10
||
Ahora defina los siguientes determinantes
22122
21111
210
|| 1
xxxxx
xxxxx
xx
hhg
hhg
gg
H
3323131
3222121
3121111
3210
|| 2
xxxxxxx
xxxxxxx
xxxxxxx
xxx
hhhg
hhhg
hhhg
ggg
H ||det|| HHn
Criterios para maacuteximos y miacutenimos con restricciones (Hessiano liacutemitado) [Miacutenimo Local] Se tiene un miacutenimo local si y soacutelo si todos los determinantes son negativos |H1| lt0 |H2| lt0 hellip |Hn|lt0 ( - - - - - hellip)
[Maacuteximo Local] Se tiene un maximo local si y soacutelo se inicia con un determinante positivo y luego se alternan los signos |H1| gt 0 |H2| lt 0 hellip |Hn|lt0 (+ - + - hellip)
[Punto del tipo Silla] Se tiene un punto tipo silla sino se satisface los criterios de maacuteximos o miacutenimos y al menos uno de los determinantes es distinto de cero Ejemplo- Determine si la funcioacuten f(xy)= x2 ndash y2 tiene valores criacuteticos en la restriccioacuten x2+y2=1
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46
)(2
2
2
2)( 00 Xg
g
g
y
x
y
x
f
fXf
y
x
y
x
de aquiacute se obtienen las ecuaciones 2x = 2 λx -2y = 2 λy x2 + y2 =1 Las soluciones de este sistema de ecuaciones son (-101) (101) (0-1-1) y (0-11) El Hessiano liacutemitado es
2202
0222
220
||
y
x
yx
H
El determinante es igual a det|H| = 8x2(1+λ) ndash 8y2(1-λ) ahora evaluando
cada uno de los puntos se tiene que det|H|(-101) = 16 gt 0 det|H|(101) = 16 gt 0 det|H|(0-1-1) = -16 lt 0 det|H|(0-11) = -16 lt 0
De manera tal que la funcioacuten posee dos valores maacuteximos en los puntos (-10) y (10) y por otra parte tiene dos valores miacutenimos en los puntos (0-1) y (0-1) Ejemplo- Determine si la funcioacuten f(xy)= x2+y2 tiene valores criacuteticos en la restriccioacuten x2-y2 le 4 Al iniciar este estudio se trabaja con el interior es decir x2-y2 lt 4 dando como resultado el anaacutelisis de maacuteximos y miacutenimos de una funcioacuten en general de donde el gradiente de f se anula uacutenicamente en el origen siendo este valor un miacutenimo como se habiacutea visto en un ejercicio anterior para la funcioacuten del paraboloide Ahora al trabajar sobre la frontera se usa el criterio de muacuteltiplicadores de Lagrange
)(2
2
2
2)( 00 Xg
g
g
y
x
y
x
f
fXf
y
x
y
x
de aquiacute se obtienen las ecuaciones 2x = 2 λx 2y = -2 λy x2 - y2 = 4
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Las soluciones de este sistema de ecuaciones son (-201) y (201) El Hessiano liacutemitado es
2202
0222
220
||
y
x
yx
H
El determinante es igual a det|H| = -8x2(1+λ) + 8y2(1-λ) ahora
evaluando en cada uno de los puntos se tiene que det|H|(201) = -64 gt 0 y det|H|(-201) = -64 lt 0
De manera tal que la funcioacuten posee dos valores miacutenimos en los puntos (-20) y (20)
Una anaacutelisis de la graacutefica de esta funcioacuten permite visualizar que dichos
puntos no son miacutenimos maacutes bien son puntos tipos silla y no es que el criterio falle sino maacutes bien que los valores son miacutenimos pero sobre el complemento es decir bajo la restriccioacuten x2-y2 ge 4 Ejemplo- Determine los valores criacuteticos de la funcioacuten f(xyz) = 2x+y+3z sujeta a la restriccioacuten x2+y2+z2 le 36 Solucioacuten- Un anaacutelisis de las condiciones iniciales muestra que la graacutefica a maximizar en un hiperplano restringido en su dominio a una esfera de radio 6 de acuerdo a estas condiciones la funcioacuten en su interior no debe tener valor criacuteticos y en la frontera debe tener un valor miacutenimo y un valor maacuteximo En el interior- Al derivar la funcioacuten original se tiene lo siguiente
3
1
2
)( 0
z
y
x
f
f
f
Xf
De aquiacute se observa que la funcioacuten no posee valores criacuteticos en todo su dominio tal y como se esperaba Frontera- Al utilizar las condiciones del los Muacuteltiplicadores de Lagrange se tiene lo siguiente
)(
2
2
2
3
1
2
)( 00 Xg
z
y
x
f
f
f
Xf
z
y
x
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De aquiacute se genera el siguiente sistema de ecuaciones 2 = 2λx 1 = 2λy 3 = 2λz x2+y2+z2=36
Resolviendo el sistema se concluye que 2
1
1yx amp
2
3z Ahora
sustituyendo en la uacuteltima ecuacioacuten se deduce que la funcioacuten posee dos valores criacuteticos que son
18
14
14
1427
14
149
14
1418amp
18
14
14
1427
14
149
14
1418
La funcioacuten auxiliar es H(xyzλ) = 2x+y+3z-λ(x2+y2+z2) donde Hx=2-2λx Hy=1-2λy Hz=3-2λz El Hessiano Liacutemitado es
2002
0202
0022
2220
||
z
y
x
zyx
H
De aquiacute
0
0)(8
202
022
220
|| 22
1si
siyx
y
x
yx
H
0576)(16
2002
0202
0022
2220
|| 22222 zyx
z
y
x
zyx
H
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49
De aquiacute se desprende que la funcioacuten f(xyz) = 2x+y+3z posee un valor miacutenimo
en el punto 18
14
14
1427
14
149
14
1418 restringido a x2+y2+z2 = 36 y un
maacuteximo en el punto 18
14
14
1427
14
149
14
1418
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50
Tarea nuacutemero 4 Maacuteximos y Miacutenimos
Objetivo- Que el alumno sea capaz de aprender a resolver problemas asociados a la vida real haciendo uso del caacutelculo de varias variables Aquiacute se enuncian los siguientes ejercicios adicionales dado que muchos de los mismos se fueron exponiendo a lo largo del capiacutetulo y se sugiere que se revisen los problemas resueltos y propuestos en la libros de la bibliografiacutea dado que las aplicaciones son muchas 1- Determine los valores maacuteximos y miacutenimos de la funcioacuten f(xy) = x +y sujeta a la restriccioacuten x2+2y2le18 (Realice un bosquejo de la graacutefica y se restriccioacuten)
2- Determine los valores maacuteximos y miacutenimos de la funcioacuten f(xy) = x2 +y2 sujeta a la restriccioacuten x+2y le 4 (Realice un bosquejo de la graacutefica y se restriccioacuten)
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51
Bibliografiacutea
1 Caacutelculo Vectorial Marsden amp Tromba Addison-Wesley Iberoamericana
2 Caacutelculo Multivariable James Steward Thomson Editores
3 Caacutelculo con Geometriacutea Anaacutelitica Zill Grupo Editorial Iberoameacuterica
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7
Dos vectores caracteriacutesticos del plano son los vectores canoacutenicos definidos y denotados como
i 0
1 y j =
1
0
Ambos tienen magnitud uno direccioacuten en los ejes coordenados x e y
respectivamente y a la vez son perpendiculares entre siacute (el aacutengulo entre ellos es de 90ordm) j i
Producto por un escalar Dado un vector v en el plano y un nuacutemero escalar k en los nuacutemeros reales se define el producto por un escalar como el vector
kv = k b
a =
kb
ka
Es decir el escalar k multiplica a cada una de las componentes
Ejercicio- Se deja como ejercicio probar que este vector llamado muacuteltiplo escalar del vector v tiene k veces la magnitud del vector original y si el valor de k es positivo mantiene la misma orientacioacuten en caso de tener signo negativo la direccioacuten se invierte V Muacuteltiplos escalares de V Ejercicio- Otra caracteriacutestica es que si k es mayor a 1 el vector resultante es una expansioacuten con respecto al vector original mientras que si 0 lt k lt 1 es una contraccioacuten
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Diferencia entre dos vectores Una idea geomeacutetrica de definir la diferencia de dos vectores en la
siguiente si y son dos vectores en el plano se pueden representar de la siguiente forma En donde se dibuja un segmento que une a los vectores y dicho segmento se le asigna la orientacioacuten mostrada en el dibujo y se le denomina como el vector
Note ahora que el vector + = seguacuten la suma de vectores definida anteriormente de ahiacute se despeja a (suponiendo que las leyes de la aritmeacutetica se cumplan en los vectores) obteniendo que = -
Quedando expresada dicha diferencia como
= - = 12
12
yy
xx
Interpretacioacuten de un vector en el plano haciendo uso de los vectores canoacutenicos i y j
Dado el vector V = xy
y
x
x
y
x
yo
ox
y
x
1
0
0
10
0i y j
Esta representacioacuten permite visualizar otra forma de escribir a un vector
en el plano dando el movimiento en las direcciones de los ejes coordenados (Eje X la marca el vector i en el eje Y la marca el vector j)
De esta forma la suma de vectores se ve de la siguiente forma
V1+V2 = adb
ca
d
c
b
a( i+b j)+( c i d j) = ( ba )i +( dc )j
Producto Escalar (producto punto) Antes de entrar el tema note que los vectores i e j tienen norma uno y
que ambos son perpendiculares entre siacute Definicioacuten- (Producto Escalar o producto punto) Dados dos vectores
en el plano se define el producto escalar de la siguiente forma
V1 V2 = dbcad
c
b
a
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Dando como resultado un nuacutemero real (Un escalar)
Ahora al realizar el producto punto entre los vectores i y j el resultado es
cero
Ejemplos- Determine el producto escalar entre los siguientes vectores y graacutefiquelos
V1 = 2
1 V2 =
1
2 y V3 =
3
2
V1 V2 = (1)(-2) + (2) (1) = 0 V1 V3
V1 V3 = (1)(2) + (2)(3) = 8 V3 V2 V3 = (-2)(2) + (1)(3) = -1
Como se puede observar el resultado siempre es un escalar por otra parte se tiene que el producto escalar entre los vectores V1 y V2 es cero de la graacutefica se puede observar que ambos vectores son ortogonales entre siacute este es una propiedad que se cumple siempre es decir dos vectores son ortogonales si y soacutelo si su producto escalar es igual a cero Se justificaraacute este resultado a continuacioacuten
Ortogonalidad y producto escalar Al definir dos vectores y no colineales entonces se forma un aacutengulo
entre ellos diferente de cero como se muestra en la figura
-
Se puede definir un triaacutengulo con las medidas de la longitud de los lados
de los vectores y como se ve en la figura anterior y haciendo uso de las leyes de los cosenos se tiene que
|| - || 2 = |||| 2 + ||||2 ndash 2 |||| |||| Cos helliphelliphelliphellip (1)
Llame = 1
1
y
x y =
2
2
y
x se tiene que
|| - || 2 = (x1-x2)
2 + (y1-y2)2
|| ||2 = (x1
2+y12) || ||2= (x2
2+y22) = x1y1+ x2y2
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Si el aacutengulo entre los vectores y es de 90ordm se tiene que || - || 2 = || || 2 + || ||2 Luego sustituyendo los valores correspondientes (x1-x2)
2 + (y1-y2)2 = (x1
2+y12) + (x2
2+y22)
De aquiacute se concluye que x1y1+ x2y2 = 0
es decir los vectores y son ortogonales entre siacute la demostracioacuten del reciproco se realiza de manera similar es decir si el producto punto es cero se tiene que 2 |||| |||| Cos = 0 y como se asume que ninguno de ellos es el vector cero la uacutenica forma en que esto sigue siendo cierto es que Cos sea igual a cero conclusioacuten que nos lleva al resultado esperado
Ejercicio- Determine un vector ortogonal al vector
(a) V = 7
1 (b) V =
a
1 y (c) V =
a
a 1 a es un nuacutemero real
Representacioacuten de regiones en el plano haciendo uso de vectores
Un punto (ab) en el plano puede ser representado por el vector V = b
a
ahora al tener muacuteltiplos de dicho vector de la forma tV = t b
a=
tb
ta con t un
nuacutemero real se genera una infinidad de vectores y cada uno de ellos tiene asociado uno y soacutelo un punto en el plano (sin considerar la propiedad de traslacioacuten de los vectores) Se afirma que todos estos puntos pertenecen o estaacuten en la misma liacutenea
Sea X = y
x los puntos que pueden ser representados por medio del
vector tV entonces se tiene que X = tV esto es
y
x =
tb
ta
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De aquiacute se deduce que b
y
a
xt que permite establecer la relacioacuten
xa
by que corresponde a una liacutenea recta que pasa por el origen y contiene
al punto (ab) Otra caracteriacutestica importante es que la liacutenea recta posee la misma orientacioacuten que el vector que la genera
Si se tiene dos vectores V = 1
1
y
x y W =
2
2
y
x estos representan a dos
puntos en el plano si estos son colineales de acuerdo al desarrollo anterior a lo maacutes nos pueden representar una liacutenea recta Pero si ambos vectores no son colineales se pueden generar otro tipo de regiones en el plano
Dados estos dos vectores se pueden generar tres liacuteneas las cuaacuteles contienen a los puntos (x1y1) (x2y2) y el origen generando ademaacutes un triaacutengulo que se puede representar haciendo uno de las componentes de los vectores dados
(x2y2) B (x1y1) A C Para poder representar una regioacuten como la del triaacutengulo primero se representaraacute el segmento AB la forma de realizarlo es ver que este segmento esta asociado al vector W Ahora recordando que los vectores que pueden representar los puntos sobre la liacutenea que contienen al vector W son sus muacuteltiplos escalares entonces se requiere soacutelo una parte de ellos de tal forma que este segmento quedaraacute representado por los vectores (t) = t W con 0 t 1 Note que (t) es una funcioacuten del paraacutemetro t y como resultado nos da un vector en dos dimensiones Es decir se tiene una funcioacuten del segmento [01] al plano que satisface que (0) = (00) y (1) = (x2y2) Para poder representar una regioacuten con aacuterea distinta de cero se requieren dos vectores no colineales V y W de forma tal que al tomar combinaciones lineales de ambos permite definir otro vector en el plano pero ya no necesariamente en la misma direccioacuten de los originales como en el caso de una suma observe que el punto D ya no esta contenido ni en la direccioacuten del vector V ni en la del vector W
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B= (x2 y2) D = (x1+x2 y1+y2) W V+W
A V C = (x1 y1) El cuadrado ABDC queda completamente representado al definir las combinaciones lineales de V y W de la siguiente forma Todos los vectores en el plano que se pueden definir a partir de lo siguiente
(ts) = t V + s W
en donde t y s son nuacutemeros reales y ademaacutes tiene la siguiente restriccioacuten 0 t 1 y 0 s 1 Ejercicio- Represente todos los puntos en el plano cuya distancia al vector
V = 2
1 es de dos unidades
Ejercicio- Represente todos los puntos en el plano que representan a un rectaacutengulo y dos de sus aristas estaacuten ubicadas en los vectores
V = 2
1 y W =
5
0
Ejercicio- Muestre que con dos vectores no colineales es posible definir el plano bidimensional (de igual forma pruebe que el espacio tridimensional se puede definir a partir de tres vectores no coplanares)
Estructura Algeacutebrica del espacio vectorial Los vectores permiten tienen estructura algebraica que se puede definir a partir de sus operaciones definidas anteriormente Proposicioacuten- Dados tres vectores y en el plano y un escalar k estos poseen las siguientes propiedades
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(i) Ley Asociativa La suma de vectores es asociativa
(ii) Ley Conmutativa La suma de vectores es conmutativa
(iii) Neutro Aditivo Existe un vector 0
denominado neutro aditivo que satisface la siguiente propiedad
00
Es decir al sumar con cualquier vector en el plano el resultado es el mismo vector
(iv) Para todo vector en el plano existe un vector denominado el inverso aditivo - tal que la suma de ambos es igual a cero
+ - = - + = 0
Este vector cero ambas componentes son iguale a cero y si las componentes de son (ab) las de - son (-a -b) Con a y b nuacutemeros reales La demostracioacuten de estas propiedades se basan en el principio del campo de los nuacutemeros reales Como ejemplo se demostraraacute la propiedad (ii)
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Tarea 1 Caacutelculo 3 Caacutelculo Vectorial Objetivo- Que el alumno sea capaz de resolver problemas relacionados con vectores comprenda la ecuacioacuten de una liacutenea en el espacio la ecuacioacuten de un plano aacuterea de paralelogramos las propiedades algebraicas asociadas con vectores en dos y tres dimensiones en cuanto al producto punto producto por un escalar y producto cruz Finalmente que sea capaz de determinar el volumen de un paralelepiacutepedo 1- Determine la ecuacioacuten de los puntos en el espacio que (1a) pertenecen al eje X (1b) pasan por la recta y=3x (1c) pasan por el punto (1-11) y en direccioacuten del vector i+j (1d) representan a la recta de interseccioacuten de los planos 3x ndash 2y + z = 7 y 2x + 4y ndashz = 4 (1e) representan al plano ortogonal a la liacutenea x=2y = 3z 2- Que regioacuten del espacio representan los puntos (2a) con componentes (x1z) (2b) contenidos por el paralelogramo definido por los vectores i+j y 3i ndashj (haga un bosquejo) 3- Determine un vector que sea muacuteltiplo escalar del vector α = 3i + j pero de norma uno (El vector resultante recibe el nombre de vector normalizado del vector α) 4- Determine un vector perpendicular al vector β = 2i + 3i - 5k 5- Pruebe que la ley conmutativa es vaacutelida en el producto escalar es decir αβ = βα 6- Pruebe que la siguiente propiedad es vaacutelida en el producto escalar entre un muacuteltiplo escalar de α y el vector β (k α)(β) = k (αβ) = α(kβ) 7- Deduzca la ecuacioacuten que establece la distancia de un punto P=(x1 y1 z1) en el espacio y el plano A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0 (Puedes encontrar la demostracioacuten en alguacuten libro de caacutelculo vectorial o intentar demostrarla usando el concepto de proyeccioacuten ortogonal)
8- Determine la distancia entre los planos x + y + z = 0 y x + y + z = 1 (Trate de determinar dicha distancia entre los planos paralelos sin hacer uso de la foacutermula y luego use dicha foacutermula para establecer el resultado finalmente trate de dar una interpretacioacuten de dicha solucioacuten) 9- Determine el volumen del paralelepiacutepedo generado por los vectores V1=(322) V2=(202) y V3=(041) 10- Determine el volumen del paralelepiacutepedo con cuatro de sus veacutertices en los puntos (123) (024) (305) y (222) realice un bosquejo de dicho paralelepiacutepedo
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11- Pruebe que dados cuatro veacutertices de un paralelepiacutepedo en el espacio se pueden generar cuatro paralelepiacutepedos distintos pero de igual volumen 12- Pruebe que α (β times γ) = γ (α times β) 13- Pruebe que α times (β + γ) = α times β + α times γ 14- Determine el aacuterea del paralelogramo generado por los vectores i+j-k 2i-j 15- Determine el aacuterea del paralelogramo generado por los vectores 2i+j 3i ndash j 16- Determine el aacutengulo que existe entre los vectores i+j-k y 2j ndash k 17- Determine si el vector i+j es una combinacioacuten lineal del vector 2i ndashj 18- Determine si el vector i+j es una combinacioacuten lineal del vector 2i + 2j 19- Determine el aacutengulo entre los planos 2x ndash y + z = 0 y 3x ndashy + 2z = 0 20- Determine la distancia entre los planos x + y + z = 0 y x + y + z = 1
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Capitulo 2 Funciones Vectoriales
En este capitulo se veraacuten temas relacionados con funciones de varias variables que van a los nuacutemeros reales (a las cuales se les llaman funciones reales) o que van a maacutes dimensiones
Cuando uno habla de este tema es importante recalcar que en la vida cotidiana se presentan diversas aplicaciones con el hecho de manejar varias variables que van desde la preparacioacuten de un cafeacute hasta el hecho de planear la agenda diaria de coacutemo distribuir el tiempo
Citemos el siguiente ejemplo En un estudio de calidad de vida de los sentildeores casados y con hijos se realizaraacute una evolucioacuten final de la satisfaccioacuten de su vida cotidiana en base a una encuesta en donde se mediraacuten diversos factores de vida familiar para esto se tiene la disyuntiva de poder distribuir los tiempos de Trabajo diversioacuten ejercicio jugar con los nintildeos convivir con su pareja visitar a familiares convivir con amigos Entonces no cabe duda que los resultados de la encuesta estaraacuten vinculados con los tiempos destinados a cada actividad asiacute por ejemplo
Persona Trabajo Diversioacuten Ejercicio Nintildeos Pareja Familiares Amigos
A 30 20 5 5 10 8 2
B 50 5 2 2 10 10 18
Otro ejemplo se presenta el preparar un cafeacute dado que aunque este sea
para la misma persona si usa distintos cantidades de cafeacute azuacutecar leche o temperatura final del mismo el resultado del sabor del mismo cambiaraacute notablemente Cabe sentildealar que cada individuo mide el grado de satisfacioacuten de forma diferente y a la vez esta se realiza en forma cualitativa dado que no se puede medir el grado de satisfacioacuten debido a que cada individuo tiene distintos gustos un cafeacute con poca azuacutecar para una persona puede ser para otra que este bien o que este muy azucarado
Por otra parte no es lo mismo tomar un cafeacute en un diacutea caluroso a una o
en un diacutea con friacuteo Siendo esta otra variable de estudio Como se puede apreciar el resultado final depende rotundamente de la cantidad que se mezcle de cada uno de los ingredientes con los que se cuentan Es decir es un problema de varias variables
Pongamos el siguiente ejemplo financiero una persona desea invertir en el banco en dos cuentas individuales siendo que en la primera da un rendimiento de 2 mensual y en la segunda del 3 si se desea saber cual es la ganancia mensual esto se puede escribir para el primer mes de la siguiente forma
G(xy) = 002x + 003y siendo x la cantidad de dinero aportada en la primer cuenta y la cantidad de dinero aportada en la segunda cuenta Esta seriacutea la ganancia del primer mes Asiacute si invierte mil pesos en la primer cuenta y dos mil en la segunda la ganancia del primer mes seraacute de ochenta pesos
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G(10002000) =002(1000)+003(2000) = 20 + 60 = 100
Cabe sentildealar que las aplicaciones en economiacutea en donde aparecen maacutes
de una variable abundan y que anaacutelisis maacutes completos de estados de cuenta con intereses o deudas en tiendas de conveniencia se pueden representar mediante funciones de varias variables debiendo desarrollar cada una de ellas en su debido tiempo
Por otra parte las aplicaciones en procesos de produccioacuten industrial son diversos y permiten evaluar el producto final que llegaraacute al cliente en cuanto a la calidad del mismo
Si un estudiante dedica cierta cantidad de horas de estudio y por otra parte se mide la atencioacuten prestada en sus horas de estudio Se pueden proponer lo siguiente No se esperariacutean los mismos resultados si dedica tres horas de estudio con poca atencioacuten a que si dedica la misma cantidad de horas de estudio con mucha atencioacuten Cabe sentildealar que la atencioacuten prestada depende del intereacutes de estudiante en la materia el gusto por la misma o la importancia que preste en conocer temas nuevos
Funcioacuten Vectorial
Se comenzaraacute el estudio de funciones vectorial de varias variables especificando algunos detalles sobre las mismas en principio una funcioacuten vectorial tiene como dominio un subconjunto de Rn y un conjunto de llegada esta en Rm
Asiacute si el dominio A tiene tres variables se dice que el dominio esta definido en R3 las tres variables se pueden denotar por x y z Ahora si antildeadimos que la funcioacuten en cuestioacuten refleja algunos rasgos de las variables anteriores por ejemplo si se considera importante la suma de las primeras dos el producto de la segunda y tercera Entonces se dice que la funcioacuten tiene como conjunto de llegada a dos variables en la primera se refleja una suma mientras que en la segunda se observa una multiplicacioacuten
Entonces la forma de escribir en la primera de ellas es x + y mientras que la segunda es yz asiacute la funcioacuten queda expresada como
F(x y z) = (x+y yz)
Una funcioacuten que se puede observar diariamente es la de la temperatura en una habitacioacuten considerando cada punto en el espacio de la habitacioacuten entonces el dominio esta en tres dimensiones y la imagen de la funcioacuten refleja la temperatura en cada punto de la misma observe que esta puede cambiar si se encuentra cercas de una ventana o de la estufa
Aquiacute T(x y z) Muestra la temperatura en cada punto de una habitacioacuten faltariacutea encontrar la ecuacioacuten matemaacutetica que modele dicho comportamiento
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Como se puede observar el poder estudiar un fenoacutemeno real por medio de un modelo matemaacutetico es fundamental para poder realizar predicciones del mismo por medio de las propiedades de la funcioacuten asociada al mismo como el hecho de que la funcioacuten sea creciente que tenga un valor maacuteximo Se mostraran algunos ejemplos maacutes adelante con la finalidad de motivar el estudio de los fenoacutemenos reales por medio de las matemaacuteticas Definicioacuten- (Funcioacuten) Una funcioacuten es una regla de asignacioacuten entre dos conjuntos A y B que asigna a cada elemento del conjunto A uno y soacutelo uno del conjunto B El conjunto de partida A se le denomina el dominio de la funcioacuten mientras que el conjunto de llegada es B se le conoce como el codominio de la funcioacuten En el caso de varias variables se tiene que A es un subconjunto de Rn mientras que el conjunto B es un subconjunto de Rm Aquiacute es importante que a ninguacuten elemento del dominio se le asigne al mismo tiempo dos elementos del codominio y a la vez que a ninguno del dominio quede sin ser asignado Un ejemplo de esto se presenta en la siguiente funcioacuten que va del conjunto dominio A = 1 2 3 al conjunto B = 2 4 6 8 al definir la funcioacuten f que asigna a cada elemento del dominio con su doble se tiene que f(1) = 2 f(2) = 4 y f(3) = 6 Ahora una funcioacuten de dos variables se puede definir a partir de los conjuntos C = (12) (23) (34) (36) y D =3 4 5 6 7 8 9 en donde la funcioacuten g C D representa la suma de los diacutegitos de cada pareja ordenada
En este caso g(12) = 3 g(23) = 5 y asiacute sucesivamente Cabe sentildealar que la pareja ordenada (12) es distinta a la pareja (21) en donde esta uacuteltima no pertenece dominio de la funcioacuten
6 5 Suma g(12) = 3 4 3 2 (12)
1 (21) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 0 1 2 3 4 5 6 Las parejas (12) y (21) ocupan distintas posiciones en el plano La segunda de ellas no pertenece al dominio de la funcioacuten de manera tal aunque se pudiera evaluarla pareja ordenada no se contempla por el hecho de que la funcioacuten no esta definida en dicho valor
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Un ejemplo de esta funcioacuten ocurre si consideramos el total que se tiene que pagar en una tienda despueacutes de comprar dos artiacuteculos distintos Otro de ellos se presenta al tomar una evaluacioacuten de calidad de cierto artiacuteculo en donde se van sumando los puntos y no necesariamente serian dos variables
Otra caracteriacutestica que se presenta en esta tipo de funciones es que los valores esteacuten bien definidos al momento de evaluar como el hecho de que no se puede dividir entres cero y no se pueden sacar raiacuteces de nuacutemeros negativos Este hecho es importante para detallar el dominio de algunas funciones
asiacute el dominio de la funcioacuten xxk 4)( esta restringido al hecho de que la
variable x sea menor a cuatro dado que el argumento 4-x debe de ser no negativo es decir 4-x 0 y de aquiacute se tiene que 4 x
Cuando se involucran dos variables un ejemplo es encontrar el dominio
de la funcioacuten yxyxh 44)( y por analogiacutea con el problema anterior
se sabe que 4 x y a la vez que 4 y quedando el dominio descrito de la siguiente manera D = (xy) 4 x 4 y
6 D Dominio de la funcioacuten 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7
Ejemplo- Determine el dominio de la funcioacuten 2 2( ) 9 h x y x y Aquiacute se tiene
que el argumento de dicha funcioacuten debe de ser positivo en donde el dominio
de la funcioacuten es 2 29 0x y que es equivalente a 2 29 x y que representa
a un ciacuterculo de radio 3 y centrado en el origen
Si la funcioacuten es 2 2
1( )
9h x y
x y el dominio es casi el mismo
eliminando en donde el argumento se hace cero debido a que no estaacute definida la divisioacuten entre cero siendo el dominio el mismo circulo del ejemplo anterior pero sin la orilla
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Como se puede apreciar el dominio de estas funciones estaacute definido por regiones en el plano cartesiano cuando el dominio de la funcioacuten estaacute contenido en R2
Derivadas Parciales La derivada parcial de una funcioacuten de varias variables consiste en derivar la funcioacuten con respecto a la variable en cuestioacuten y dejar a las otras variables fijas como si fuesen constantes Por ejemplo al derivar la funcioacuten f(x y z) = x2 + 3xy3 - 3xz las derivadas de f con respecto a x y y z se describen a continuacioacuten y se denotan cada una de ellas por medio de los simbolos fx fy y fz fx(x y z) = 2x + 3y3 - 3z fy(x y z) = 9xy2 fz(x y z) = - 3x Definicioacuten- (Gradiente de una funcioacuten) El gradiente de una funcioacuten real se define como el vector que contiene en sus componentes a sus primeras derivadas parciales Asiacute para el ejemplo anterior el gradiente de f es y se denota por
3
2
2 3 3
9
3
x
y
z
f x y z
f f xy
f x
Ejemplo- Determine el gradiente de las siguientes funiones g(xy)=(x2 y4) y h(xyzw) = 2x+y2-3z+8w
3
2( )
4
x
y
h xh x y
h y
2
2( )
3
8
x
y
z
w
g
g yg x y z w
g
g
El vector gradiente tiene varias propiedades que son muy uacutetiles una de ellas nos indica la direccioacuten de maacuteximo crecimiento y otra de ellas es que es un
vector tangente a las curvas de nivel de una funcioacuten
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Definicioacuten- (Derivada Direccional) La derivada direccional de una
funcioacuten en un punto (x0 y0) y en direccioacuten de un vector v=(AB) se define como el producto del gradiente de la funcioacuten evaluado en el punto (x0 y0) por el vector V dividido entre la norma de mismo vector
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Tarea nuacutemero 2 materia de Caacutelculo 3 Objetivo- Que el alumno sea capaz de interpretar la nocioacuten de liacutemite en varias variables identifique la graacutefica de funciones y haga uso de la derivadas parciales 1- Determine el dominio de las siguientes funciones
(1a) f(x y z) = 2221 zyx
(1b) g(x y) = xy
2
(1c) f(x y) = xy
(1d) g(x y) = y4
(1e) f(x y) = y
x
4
4
(1f) h(x y) = 24
1
xy
2- Realice un bosquejo de las siguientes graacuteficas
22 zyx 22 2zxy 22 yxz 222 yxz
3- Determine los siguientes liacutemites
(31) xyxyxyxf y 210)( 3 cuando (xy) tiende a (12)
(32) yx
zyzxzyxf
33
)( cuando (xy) tiende a (112)
(33) )00()(
)00()(
0
3
3
)(
44
32
yx
yx
Siacute
Siyx
yx
yxk cuando (xy) tienden a (00)
En caso de existir indique haciendo uso de la nocioacuten
(34) )()(2
zxyxxxy
xxyyxzyxF z cuando (xyz) tiende a (012)
4- Indique de las funciones del ejercicio anterior son continuas y en que dominio 5- Determine si las funciones del ejercicio tres son de clase C1 6- Determine la ecuacioacuten del plano tangente a la graacutefica de la funcioacuten g(xy) = x4-10y3 en el punto (1-1) y en el punto (12) grafique en la computadora y agregue en el documento de la tarea 7- Determine los conjunto de nivel de valor -2 -1 0 1 2 de las funciones (7a) f(x y) = 3x2 + 3y2
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(7b) g(x y) = 22 44 yx
(7c) h(x y) = 1 ndash y + x2 (7d) k(x y z) = x2 + y2 + z2 Indique las graacuteficas en computadora y agregue en el reporte
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Capiacutetulo 3
Trayectorias
En este capiacutetulo se realiza el estudio de las propiedades de las funciones vectoriales es decir se hace incapie en el concepto de funcioacuten y la de un vector
Este concepto permite describir entre otras cosas el camino seguido por una partiacutecula en el espacio con el ingrediente adicional de tener a la mano los conceptos de velocidad y aceleracioacuten derivados a partir de una sola ecuacioacuten aquella que guarda la relacioacuten de posicioacuten de la partiacutecula con respecto al tiempo
Por ejemplo al mover una onda esta describe un movimiento circular si
la onda se suelta un objeto puesto en ella sale disparado en forma tangencial Este movimiento se puede representar con vectores y debe de expresar que la velocidad sea tangente a la trayectoria que sigue dado que la piedra abandona la onda en liacutenea recta
Si esto se extrapola al vuelo de una mosca se puede inferir que la velocidad de la misma sea tangencial a la trayectoria que va recorriendo en cada punto esto se muestra en la siguiente graacutefica
Observe que el hecho de contar con la orientacioacuten del vector velocidad permite no soacutelo inferir la velocidad de escape de la partiacutecula sobre la curva sino a la vez conocer la orientacioacuten del movimiento de la misma
Definicioacuten- (Trayectoria) Una trayectoria es una funcioacuten que parte de los nuacutemeros reales al espacio n Euclidiano Es decir es una funcioacuten de la forma
))()()(()( 21 txtxtxt n
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Caso particular de una trayectoria de los reales a plano En el caso de una trayectoria de los reales al plano se puede ilustrar con el siguiente diagrama
σ(a) σ(b) a b
2][ Rba ))()(()( tytxt
Una forma de ilustrar esto es pensar que la variable t es el tiempo y la imagen corresponde a la trayectoria de un objeto en el plano asiacute que el tiempo t=a la partiacutecula se encuentra en el punto σ(a) que es el inicio del recorrido de la misma mientras que tiempo final t=b se localiza al final de la trayectoria de estudio
Se puede observar una flecha indicativa del sentido de la partiacutecula a lo largo de la trayectoria
Ecuacioacuten Parametrica y Cartesiana de una curva
Ejemplo- Dada la trayectoria )()( 2ttt con 22t realice una
graacutefica de dicha trayectoria
t ))()(()( tytxt
-2 )42()(t
-1 )11()(t
0 )00()(t
1 )11()(t
2 )42()(t
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Como se puede apreciar la imagen de la trayectoria que recibe el
nombre de curva es una paraacutebola esto se puede ver si se realiza lo siguiente
Como x = t y = t2 entonces se puede deducir que y=x2 la ecuacioacuten correspondiente a la graacutefica de una paraacutebola esta ecuacioacuten corresponde a sus coordenadas cartesianas por otra parte si se rescribe en forma de trayectoria se dice que la ecuacioacuten es su ecuacioacuten cartesiana dado que depende de un solo paraacutemetro
Parametrizacioacuten de una funcioacuten real Si y es una variable dependiente de la variable x es decir existe
una regla de asignacioacuten f tal que y = f(x) con bxa En donde a
cada elemento x le asigna uno y soacutelo un valor y La graacutefica de esta funcioacuten se debe de ver como un trazo en el plano de la siguiente forma
La graacutefica no puede ser de la siguiente forma
y2
y3
y1 y4
X1 X2
Note que al valor de x2 le asigna tres valores de y lo cual no
cumple con las condiciones para que f sea una funcioacuten Ahora la graacutefica de una funcioacuten de esta tipo no es otra cosa que
la imagen de una trayectoria la cual se puede parametrizar de la siguiente forma
Como y = f(x) entonces defina x = t y por consiguiente y=f(t) en
donde bta
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-4 -2 2 4
-30
-20
-10
10
20
30
-2 -1 1 2
-2
-1
1
2
Asiacute en el caso de la paraacutebola la parametrizacioacuten adecuada es x
=t y = t2 tal como estaba planteada originalmente Ahora si la funcioacuten es y = 2x3-10x con 44 x entonces la
parametrizacioacuten adecuada es
)102()( 3 tttt 44 t
La graacutefica de esta curva asociada a la trayectoria es
Parametrizacioacuten de una circunferencia Elipse e Hipeacuterbola
La ecuacioacuten cartesiana de una circunferencia con centro en el origen y
radio dos estaacute dada por 422 yx Al intentar escribir esta ecuacioacuten en
funcioacuten de un solo paraacutemetro se requiere despejar a la variable y obteniendo
dos funciones que son 24 xy Con 22 x
La graacutefica de esta curva permite visualizar que no pertenece a una
funcioacuten sino maacutes bien a dos que son las enunciadas anteriormente y como se ve a continuacioacuten
24 xy
24 xy
Una forma de representar esta curva es por medio de dos trayectorias
)4()( 2
1 ttt y )4()( 2
2 ttt 22t
Una forma alternativa de representar esta curva es por medio del uso de coordenadas polares en donde x=rCos(t) y= rSen(t) como el radio es fijo y es igual a dos estas ecuaciones se pueden escribir en funcioacuten de un solo paraacutemetro ldquotrdquo x=2Cos(t) y=2Sen(t) note que al evaluar x2+y2=4Cos2(t)+4Sen2(t) = 4(Cos2(t)+Sen2(t))=4 con lo cual satisface la
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ecuacioacuten de la circunferencia quedando expresada la trayectoria de la siguiente forma
σ(y) = (2Cos(t) 2Sen(t) con 0letle2π En esta ecuacioacuten define por completo a la curva auacuten y cuando la
ecuacioacuten original no es una funcioacuten siendo esto una ventaja del estudio de la trayectorias
Ejemplo- La parametrizacioacuten de la elipse 12
2
2
2
b
y
a
x queda
expresada por x = aCos(t) y=bSen(t) se deja como ejercicio comprobar este resultado
Ejemplo- La parametrizacioacuten de la hiperbola 12
2
2
2
b
y
a
x queda
expresada por x = aCosh(t) y=bSenh(t) en donde se trabaja con las funciones de Seno y Coseno hiperboacutelicas se deja como ejercicio comprobar este resultado (aunque soacutelo permite representar el lado correspondiente a los cuadrantes I y IV en donde la x es no negativa
Derivada de una trayectoria La derivada de una trayectoria es un vector tangente a la curva esto se
deriva del siguiente anaacutelisis
Dada la trayectoria σ(t) se grafican la posicioacuten de la curva al tiempo t y t+h luego trace el vector asociado a la liacutenea secante que une los puntos de aquiacute al tomar valores cada vez maacutes pequentildeos de h el vector secante se convierte en un vector tangente a la curva como se muestra a continuacioacuten
Por otra parte el anaacutelisis vectorial de este cociente es
)()()(
0
tt
tht
h
Liacutem
Es decir la derivada de la trayectoria y el vector resultante es
tangente a la curva
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Asiacute para el caso de una curva en el plano la trayectoria se puede describir por medio de dos funciones x(t) y(t) de la siguiente forma
)(
)()(
ty
txt
En donde la derivada de esta funcioacuten es
)(
)()(
ty
txt
Vector tangente a la graacutefica de una circunferencia de radio R Ahora si se tiene la parametrizacioacuten de una circunferencia esta esta
dada por σ(t) = ( RCos(t) R Sen(t))
Y X
Un vector tangente tiene que cumplir que su producto punto tiene que
ser cero de aquiacute si V=(AB) al multiplicarlo por el vector σ su producto punto tiene que ser cero
De aquiacute que σ(t)V = ARCos(t) + BRSen(t) = 0 Existiendo muchas soluciones a este sistema de ecuaciones siendo una
de ellas cuando A = Cos(t) B=-Sen(t)
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Vector trasladado
Siendo este un vector tangente a la curva ahora al derivar las
componentes xrsquo(t) = -RSen(t) y(t) = RCos(t) que es un muacuteltiplo escalara del vector tangente mostrado anteriormente
Definicioacuten- (Rotacional) El rotacional de un campo vectorial
F=Pi+Qj+Rk de clase C1 de define como el vector
i j k
RotFx y z
P Q R
Ejemplos- Determine el rotacional de los siguientes campos vectoriales
F1=xi+yj+zk F2=x2yi-xy
2j-3zyk
Solucioacuten-
1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0
i j k
RotF z y i z x j y x kx y z y z x z x y
x y z
2 2 2 2
2
2 2
( 3 ) ( ) ( 3 ) ( ) ( ) ( )
3
i j k
RotF zy xy i zy x y j xy x y kx y z y z x z x y
x y xy zy
2 2
2
2 2
3 0
3
i j k
RotF z i j y x kx y z
x y xy zy
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Definicioacuten- (Divergencia) Si F es un campo vectorial de clase C1 la divergencia de F se define como un campo escalar de la siguiente forma
( )P Q R
divF div Pi Qj Rkx y z
Ejemplos- Determine la divergencia de los siguientes campos vectoriales F1=xi+yj+zk F2=x
2yi-xy
2j-3zyk
Solucioacuten-
1 ( ) ( ) ( ) ( ) 3divF div xi yj zk x y zx y z
2 2 2 2
2 ( 3 ) ( ) ( ) ( 3 ) 2 2 3 3divF div x yi xy j zyk x y xy zy xy xy y yx y z
Definicioacuten- (Laplaciano) Si f es un campo escalar de clase C2 el Laplaciano de f se define como un campo escalar de la siguiente forma
2 2 2
2
2 2 2xx yy zz
f f ff f f f f
x y z
Ejemplos- Determine la divergencia de los siguientes campos escalares g1(x
y z) = xy2z
3 g2(x y z) = x
2 + y
2 + z
2
2 2 2
2 2 3 2 3 2 3 2 3 3 2 2
2 2 2( ) ( ) ( ) 2 3 f f xy z xy z xy z y z yz xy z
x y z
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2( ) ( ) ( ) 6f f x y z x y z x y z
x y z
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Tarea nuacutemero 3 Trayectorias
Objetivo- Que el alumno sea capaz de comprender los conceptos de movimiento de una partiacutecula a lo largo de una trayectoria y de la importancia del uso de vectores en este tema 1- Si la trayectoria σ(t) = t2i+t2j define la trayectoria seguida por una partiacutecula con respecto al tiempo determine 1a- iquestEl tipo de trayectoria que describe 1b- Realice una graacutefica de la distancia recorrida por la partiacutecula con respecto al tiempo en los primeros tres segundos 1c- Determine el tipo de movimiento de la partiacutecula 1d- iquestSe puede afirmar que es un movimiento uniformemente acelerado 1e- Determine la aceleracioacuten y velocidad a los cuatro segundos 1f- Realice una graacutefica de su rapidez con respecto al tiempo 1g- Realice una graacutefica de sus aceleracioacuten con respecto al tiempo 1h- En la graacutefica de la trayectoria agregue graacuteficamente los vectores aceleracioacuten y velocidad 2- Realice lo mismo que en ejercicio anterior pero ahora con la funcioacuten γ(t) = Cos(t) i+5Sen(t)j 3- Dadas las funciones f(t) = 3t2i-4t3j+e2tk y g(t) = 4t3i+4t2j+e-2tk 3a- Determine la funcioacuten producto punto h = fg 3b- Determine la derivada de h 3c- Usando la regla de diferenciacioacuten determine la derivada de h y compruebe el inciso anterior 4a- Determine la funcioacuten producto cruz k = ftimesg 4b- Determine la derivada de h 4c- Usando la regla de diferenciacioacuten determine la derivada de h y compruebe el inciso anterior 5- Determine el Rotacional y la Divergencia del siguiente campo vectorial G(x y z) = 2xy i + 3xz j - 5xy k 6- Determine el gradiente y el Laplaciano del siguiente campo escalar f(xyz) = 4x2-3yz2 7- Dado el campo vectorial F(x y z) = 2xy i + x2 j +3z2 k 7a- Determine si F puede representar el gradiente de un campo escalar f 7b- En caso de ser afirmativa la respuesta del inciso anterior determine el campo escalar f 8- Pruebe que la divergencia del rotacional de un campo vectorial F=Pi+Qj+Rk es igual a cero Es decir la div rot F =0 9- Usando las reglas de diferinciacioacuten pruebe que
gfgfgf
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100 -x
Capitulo 4 Maacuteximos y miacutenimos
Es indispensable determinar en distintos problemas las soluciones oacuteptimas que permitan establecer por ejemplo los valores maacuteximos de produccioacuten o ahorrar el material en la construccioacuten de cierto equipo
Como se recordaraacute el gradiente de una funcioacuten indica la direccioacuten de
maacuteximo crecimiento esto se refleja en que si se toma la direccioacuten sugerida por este vector el valor de la funcioacuten aumenta en una vecindad del mismo asiacute si en un diagrama de un campo gradiente aparecen un punto en donde convergen la direccioacuten de todos los gradientes se encontraraacute que dicho valor debe de ser un valor maacuteximo para la funcioacuten de estudio Un diagrama de esta tipo se ejemplifica a continuacioacuten
Un diagrama en donde todos los vectores apuntan hacia fuera de un
punto indicaraacute que este punto debe de ser un valor miacutenimo de la funcioacuten Citemos el siguiente ejemplo de una variable con la finalidad de
centrarnos en el tema Una persona desea bardear un terreno en forma rectaacutengular cuanto debe de medir cada lado de manera tal que el aacuterea cercada sea maacutexima si se cuenta con 200 metros de malla
La funcioacuten que representa dicho modelo es
A(x) = x(100-x) x
Como se puede observar el aacuterea es cero si x es igual a cero o a cien con lo cuaacutel el lado x debe de estar en en intervalo [0 100] siendo estas las restricciones del problema Derivando la funcioacuten para obtener los valores critiacutecos se tiene que Arsquo(x) = 100 ndash 2x
Al igual la derivada a cero se concluye que el valor critico es x es igual a 50 Al derivar por segunda ocasioacuten se concluye que
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Arsquorsquo(x) = -2 Como la segunda derivada es siempre negativa se concluye que la funcioacuten alcanza un valor maacuteximo en el valor critico en este caso en x = 50 al interpretar dicho resultado se concluye que el terreno que optimiza la solucioacuten es un cuadrado Ejercicio- Que aacuterea se genera si el terreno es de forma circular Al resolver el ejercioacute anterior y comparar las aacutereas del cuadrado y del circulo se puede apreciar que el aacuterea del circulo es mayor pero en la praacutectica es poco atractivo cercar terrenos circulares por diversas razones pero en la naturaleza es comuacuten observar que las gotas de lluvia sean esferas esto permite el optimizar recursos y maacuteximizar el volumen del liacutequido contenido en la misma Se iniciara el estudio formal de maacuteximos y miacutenimos de funciones de varias variables observando las siguientes graficas con la finalidad de tener la idea clara de que es un maacuteximo o miacutenimo o un punto silla
En la primera de ellas se observa que la funcioacuten tiene un valor miacutenimo en la segunda se observa que la funcioacuten tiene un valor maacuteximo y en la uacuteltima la funcioacuten tiene un punto silla este se identifica el dirigirnos en una direccioacuten la funcioacuten crece mientras que en la otra la funcioacuten decrece
Definicioacuten- Una funcioacuten mn RRf tiene un valor maacuteximo local en x0 si en
una vecindad de dicho valor se cumple que la funcioacuten evaluada en todos los vecinos ninguno de ellos supera a f(x0) Es decir f(x0) f(x) para todo x en una vecindad de x0 El punto es llamado un maacuteximo absoluto si la funcioacuten toma el valor maacuteximo en dicho punto para todo valor de su dominio
Esto es muy similar cuando uno observa a los alumnos de un saloacuten de clases existe un alumno que tiene la mayor estatura si ninguno de sus compantildeeros lo supera Asiacute en la escuela el alumno de mayor estatura absoluta es aquel que supera a todo el plantel
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La definicioacuten para el miacutenimo local (absoluto) es similar
f(x0) f(x) para todo en una vecindad de x0 Por ejemplo la funcioacuten f(xy) = x2+y2 tiene un valor miacutenimo en el origen dado que en este valor la funcioacuten vale cero mientras que fuera de ahiacute siempre es positiva dado que todo nuacutemero real elevado al cuadrado es siempre positivo Ademaacutes dicho valor es un miacutenimo absoluto Como se menciono al inicio de esta capitulo el diagrama del campo
gradiente de esta funcioacuten y
xyxf
2
2)( indica que la funcioacuten tiene un valor
miacutenimo siendo la grafica del mismo la siguiente Sin embargo se requiere un criterio maacutes general y sistemaacutetico que permita establecer los posibles valores maacuteximos miacutenimos o puntos silla) Definicioacuten- (Un valor extremo) Si la funcioacuten posee un valor maacuteximo o miacutenimo este es llamado un valor extremo Definicioacuten- (Un valor critico) Un punto en donde la derivada de la funcioacuten se anula es llamado un valor critico Teorema- Todo valor extremo es un valor critico Es decir si f posee un valor extremo en x0 que pertenece a su dominio entonces la derivada de la funcioacuten en el punto x0 se anula Es decir Df(x0) = 0 Demostracioacuten- Sea l(t) una trayectoria que pasa a traveacutes por el punto x0 defina la composicioacuten de funciones h(t) = f(l(t)) donde l(t) = x0 + tv de donde lrsquo(t) = v y ademaacutes
))(()())(()( VtlftDltlDftDh (1)
Por otra parte como f posee un valor extremo en x0 suponga que dicho
valor es un maacuteximo entonces x0 seraacute a la vez un maacuteximo para la funcioacuten h y como h es una funcioacuten real esto significa que la derivada de h en dicho punto
se anula es decir 0)()0())0(()0( 0 vxfDllDfDh ahora como los
vectores )( 0xf y v no son necesariamente perpendiculares y el vector v a la
vez tampoco se anula entonces esto implica que el gradiente de f en x0 es igual a cero y por lo tanto f posee un valor criacutetico en x0
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Este resultado permite establecer posibles valores criacuteticos de una funcioacuten asiacute se menciona el siguiente ejemplo Ejemplo- Determine los posibles valores criacuteticos de las siguientes funciones (1) f(x y) = x2 + y2 y (2) g(x y) = 4x3 -12x + y2
Solucioacuten-
(1) 0
0
2
2)(
y
xyxf de aquiacute se concluye que dicho valor soacutelo
existe un valor criacutetico siendo este el origen el cuaacutel ya se clasifico en estos apuntes y resulto ser un valor miacutenimo
(2) 0
0
2
1212)(
2
y
xyxg de aquiacute se obtienen dos valores criacuteticos
que son (-10) y 1l (10) Los cuales se pueden clasificar el realizar el graacutefico del campo gradiente En donde se aprecia que en el punto (-10) la funcioacuten posee un punto silla mientras que en el punto (10) la funcioacuten posee un valor miacutenimo
Aquiacute se utilizaraacute el criterio del hessiano para determinar si el valor criacutetico es un maacuteximo un miacutenimo o un punto silla Solo se enunciara el teorema sin demostracioacuten para ver la misma puede revisar en el libro de Marsden Tromba de Caacutelculo Vectorial
Definicioacuten- El Hessiano de una funcioacuten 22 RRH de clase C2 se define como una funcioacuten cuadraacutetica que se escribe como
2
1
2
22
2
2
2
21212
1)(
h
h
y
f
yx
f
xy
f
x
f
hhhhH
Evaluada la matriz de las segundas derivas parciales en el valor criacutetico
Teorema- Si el Hessiano de una funcioacuten 2 RRf es definitivamente
positivo entonces la funcioacuten tiene un valor miacutenimo en dicho punto
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Corolario- Si la matriz asociada A=cb
ba de una forma cuadraacutetica dos
por dos es definitivamente positiva si y soacutelo si se cumple que agt0 y det A gt0
Teorema de una valor para un valor extremo miacutenimo- Una funcioacuten
2 RRf de clase C2 posee un valor extremo miacutenimo local en x0 elemento
del dominio de la funcioacuten si y soacutelo si se satisfacen las siguientes condiciones
(i) 0)( 0xx
f y 0)( 0x
y
f
(ii) )( 02
2
xx
f gt 0
(iii) )( 02
2
xx
f)( 02
2
xy
f)(
2
2
oxx
f)( 02
2
xx
f gt 0
Para un valor maacuteximo las condiciones (i) y (iii) se mantienen la uacutenica que cambia en la segunda en donde esta debe ser negativa Para un punto silla se requiere que al menos no se cumplan las condiciones de valor maacuteximo ni miacutenimo y que la uacuteltima condicioacuten (iii) sea distinta de cero En caso contrario el criterio no permite clasificar dicho valor como se mostraraacute en un ejemplo maacutes adelante Ejemplo- Ahora continuando con los ejemplos anteriores
(1) Para f(xy) = x2+y2 el valor critico es el origen y el hessiano asociado es
2
1
212100
02
2
1)(
h
hhhhhH
Como se pude apreciar el primer valor es positivo 2 gt0 y el determinante de
la funcioacuten 20
02det es igual a 4 que a la vez es positivo de manera tal que la
funcioacuten posee un valor miacutenimo en el origen
(2) g(x y) = 4x3 -12x + y2 los puntos criticos son (-10) y (10) y el hessiano asociado a esta forma cuadraacutetica es
2
1
212120
024
2
1)(
h
hxhhhhHg
Ahora al evaluar en los puntos se tiene En el (-10)
2
1
212120
024
2
1)(
h
hhhhhHg
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En donde -24 lt 0 y det Hg = -48 lt0 con lo cuaacutel debe de ser un punto silla
En el (10)
2
1
212120
024
2
1)(
h
hhhhhHg
En donde 24 gt 0 y det Hg = 48 gt0 con lo cuaacutel debe de ser un punto miacutenimo
Tal como se habiacutea estimado en la graacutefica del campo gradiente de la
solucioacuten anterior A continuacioacuten se muestra un bosquejo de dicha graacutefica realizado en el derive
Ejemplos de cuando el criterio permite clasificar los
valores criacuteticos
Ejemplo- A continuacioacuten se mostrara un ejemplo de cuando el criterio no concluye asiacute si la funcioacuten es h(xy) = x4+y4 al calcular las derivas parciales mixtas fx=4x3 y fy=4y3 se encuentra un solo valor critico el origen miestras que la matriz asociada del hessiano es
2
2
120
012
y
x y al evaluar en el origen queda expresada como
00
00
)0(120
0)0(122
2
En donde se puede apreciar que fallan todos los criterios una inspeccioacuten de
la funcioacuten original permite ver que la funcioacuten tiene un valor miacutenimo en dicho punto pero no es una generalizacioacuten es decir no se puede decir que siempre que aparezca la matriz de ceros se tenga un valor miacutenimo dado que si se analiza ahora a las funciones k(xy) = -x4-y4 y p(xy) = x4-y4 ambas tienen como calor extremo al origen y la matriz hessiana asociada a la forma cuadraacutetica evaluada en el origen es la matriz de ceros
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Ejemplo- Otro ejemplo en donde el criterio no concluye es el siguiente en
donde el determinante de la matriz H es cero debido a que la segunda derivada de la funcioacuten f con respecto a la segunda variable se anula (fyy = 0) y no se puede asegurar que se tenga un punto maacuteximo miacutenimo o silla
Las funciones f1(xy) = x2 f2(xy) = -x2 y f3(xy) = x3 presentan este
problema a continuacioacuten se muestran las graficas de dichas funciones
En cada una de ellas los puntos criacuteticos son las parejas en el plano (0 y) Es decir el eje coordenado X
El Hessiano respectivo de cada uno es el siguiente
00
02)(1 yxH
00
02)(2 yxH
00
03)(3
xyxH
Note que el determinante de cada de estas matrices se hace cero y que fyy
se anula en cada caso
Ahora observando las graacuteficas se verifica visualmente que en la primera se tienen valores miacutenimos en la segunda maacuteximos y en la uacuteltima no es ni maacuteximo ni miacutenimo o punto silla
Ejemplo- Citemos otro ejemplo en donde el criterio de maacuteximos y miacutenimos
no concluye Determine los puntos criacuteticos de la funcioacuten h(xy) = x4 Se tiene que hx=4x3=0 y hy=0 de donde se deduce que la funcioacuten tiene
un nuacutemero infinito de puntos criacuteticos estos son las parejas ordenadas en el plano (0y)
La matriz del Hessiano asociado es
00
012)(
2
1
xyxH y evaluando en el punto
00
00)0(1 yH
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40
En donde no se puede clasificar a los valores criacuteticos sin embargo
realizando una inpeccioacuten de la funcioacuten se puede concluir que todos los puntos representan valores miacutenimos de la funcioacuten original a continuacioacuten se muestra la grafica de la misma
El Hessiano para n variables y el criterio de clasificacioacuten
Cuando la funcioacuten tiene maacutes de dos variables se genera una matriz asociada H en cada uno de los valores criacuteticos de la siguiente forma
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
H
21
22221
11211
De aquiacute se definen las siguientes matrices
111 aH 2221
1211
2aa
aaH hellip HH n
Los criterios para los valores criacuteticos de la funcioacuten RRf n son los
siguientes [Miacutenimo Local] La funcioacuten f posee un valor extremo local miacutenimo en x0 si todos los determinantes de las submatrices evaluados en x0 son positivos
0det 1H 0det 2H hellip 0det 2H (+ + hellip +)
En este caso la forma cuadraacutetica se puede probar que es definitivamente positiva [Maacuteximo Local] La funcioacuten f posee un valor extremo local miacutenimo en x0 si todos los determinantes de las submatrices evaluados en x0 se alternan en signo pero el primero de ellos debe ser negativo
0det 1H 0det 2H hellip 0det 2H (- + - + hellip )
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41
En este caso la forma cuadraacutetica se puede probar que es definitivamente negativa [Punto Silla] La funcioacuten f posee un punto silla si no se cumplen los criterios de valor miacutenimo o maacuteximo y al menos uno de los subdeterminantes es distinto de cero
Existe un i tal que 0det iH
Ejemplos- Determine los valores criacuteticos de las siguiente funcioacuten f(x y z w) = x3 - 3x + y3 ndash 3y + z2 + w2 y claacutesifiquelos Solucioacuten- Al resolver las siguientes ecuaciones
033 2 xxf x 033 2 yyf y 02zf z y 033 2 wwfw
Se obtienen cuatro puntos criacuteticos que son (-1-100) (-1100) (1-100) y (1100) ahora se genera la matriz del hessiano asociado siendo esta
2000
0200
0060
0006
y
x
H
Al evaluar en cada uno de los puntos se tienen las siguientes matrices
2000
0200
0060
0006
)0011(H
2000
0200
0060
0006
)0011(H
2000
0200
0060
0006
)0011(H y
2000
0200
0060
0006
)0011(H
Los sub determinantes para cada uno de los puntos son [(-1 -1 0 0)] -6 36 72 144 que clasifica como un punto silla [(-1100)] -6 -36 -72 -144 que clasifica como un punto silla [(1-100)] 6 -36 -72 -144 que clasifica como un punto silla [(1100)] 6 36 72 144 que clasifica como un valor miacutenimo De manera tal que la funcioacuten tiene tres puntos silla y un valor miacutenimo
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42
Ejercicios- Determine los puntos criacuteticos de las siguientes funciones y claacutesifiquelos utilizando el criterio del Hessiano
(1) f(x y) = x2 - y2 (Silla de montar)
(2) g(x y) = 22 yx (Cono)
(3) h(x y z) = x4 - 2x2 + 2y3 -3y2 + z3-3 Ejercicio- Se requiere construir una lata con tapa que contenga un litro de agua con el miacutenimo de material determine las condiciones que oacuteptimizan el problema Ejercicio- Determine el producto maacuteximo de tres nuacutemeros si la suma de ellos debe ser 40 Ejercicio- Determine la distancia miacutenima del origen a la graacutefica de la funcioacuten f(xy) = 4-x2+y Ejercicio- Estudie los ejemplos resueltos que trae el libro de Marden Tromba en el capitulo 4 en especial el referente a la ecuacioacuten de miacutenimos cuadrados Ejercicio- Determine la ecuacioacuten lineal que mejor se ajusta a los puntos (12) (2 32) (3 389) (4 488) (5 55) Utilize el criterio de miacutenimos cuadrados en caso de que el modelo sea lineal (justifique la linealidad del mismo realice una graacutefica de los puntos y de la liacutenea que ajusta a los puntos) Ejemplo- (Aplicacioacuten) En este ejemplo dermina la distancia miacutenima del punto (100) a la graacutefica de una funcioacuten f(x y) = x2+y2
Solucioacuten- Todos los puntos que se encuentran sobre la graacutefica de la funcioacuten satisfacen la siguiente terna de valores en donde se observa que la tercer componente es la variable dependiente (x y x2+y2)
La distancia del punto (1 0 0) a los puntos que estaacuten sobre la graacutefica (x y x2+y2) Se define por medio de la funcioacuten
2222222 )()1()()001()( yxyxyxyxdyxfd
Para determinar el valor miacutenimo o maacuteximo de esta funcioacuten basta con
analizar su argumento dado que es un funcioacuten creciente Es decir Si x1lt x2
entonces f(x1) lt f(x2) lo que es vaacutelido para la funcioacuten )( xxf (ver graacutefica)
2x
1x
x1 x2
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43
De este modo la funcioacuten a maximizar es
2222222
11 )()1()()001()( yxyxyxyxdyxfd
De aquiacute al las derivadas parciales son
)(4)1(2)( 22
1 yxxxyxfd x y )(42)( 22
1 yxyyyxfd y
Igualando ambas ecuaciones a cero se puede establecer la siguiente
ecuacioacuten
)(4
)(4
2
2222
22
yxy
yxx
y
x (3)
De aquiacute si )00()( yx y 0y se concluye que -1=0 lo cual es una
contradiccioacuten Por otra parte si (xy)=(00) en la primera ecuacioacuten se tiene que 1=0 que es tambieacuten una contradiccioacuten Finalmente si se considera el caso en
que y=0 se obtiene de la siguiente ecuacioacuten 012 3 xx
El polinomio 12)( 3 xxxP tiene una raiacutez entre el cero y el 1 dado
que P(0)=-1 y P(1)=2 Con el anaacutelisis de raiacuteces racionales dos posibles raiacuteces
son 2
1 y como
2
1 estaacute entre cero y uno al usando divisioacuten sinteacutetica se
obtiene que 4
1
2
1P Asiacute que la raiacutez debe de estar en el intervalo 1
2
1
Ahora usando el meacutetodo de Newton con semilla en 2
10x se obtiene
que 6010
6
2
54
1
2
1
)(
)(
0
0
01xf
xfxx
Ahora al evaluar la funcioacuten en dicho punto se tiene que 0320)60(P el
cual es aceptable como raiacutez del polinomio en una sola interaccioacuten De manera tal que el punto criacutetico de la funcioacuten es el (060) El Hessiano asociado es
24128
82412)(
22
22
xyxy
xyyxyxH
Como se puede apreciar el primer elemento de la matriz es positivo independientemente de los valores de x e y Falta evaluar el determinante de H este es igual a
)64)2412)(2412()(det 222222 yxxyyxyxH
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Ahora evaluando en (06 0) se tiene 7421)443)(326()060(det H
Que tambieacuten es positivo de manera tal que se tiene un valor miacutenimo Es
decir la se obtuvo la distancia miacutenima
Maacuteximos y Miacutenimos con restricciones
Los muacuteltiplicadores de Lagrange permite determinar valores maacuteximos o miacutenimos de funciones con restricciones De este tipo de problemas esta lleno nuestro contorno desde el panedero que desea producir la maacutexima cantidad de pan pero con la restriccioacuten del capital que tiene o la posible venta del diacutea para que no tenga sobrantes
Citemos el siguiente ejemplo la graacutefica de paraboloide z = x2+y2 esta
graacutefica soacutelo tiene un valor miacutenimo en el origen sin embargo si esta restringida
al cuadrado unitario 1111 la funcioacuten alcanza cuatro puntos maacuteximos en
los puntos (-11)(-1-1) (1 -1) y (11) a saber dicho valor es 2 Como se observa en la figura
Ahora si se trabaja con la silla de montar con la misma restriccioacuten esta
funcioacuten tiene originalmente un punto silla en el origen pero al analizar las restricciones se contiene dos valores maacuteximos y dos miacutenimos en los puntos (10) (-10) (0-1) y (01)
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Muacuteltiplicadores de Lagrange Teorema- Dadas dos funciones fg Rn a R diferenciables en X0 elemento del dominio de ambas funciones Si Lc es el conjunto de nivel de valor c de la funcioacuten g y si f posee un valor maacuteximo miacutenimo o silla en la restriccioacuten Lc
entonces existe un nuacutemero real λ tal que )()( 00 XgXf
Se puede ver parte de la demostracioacuten de este teorema en el libro de Marsden Tromba Para clasificar los puntos criacuteticos se utiliza el criterio del Hessiano limitado el cuaacutel se define a partir de la funcioacuten auxiliar H(x1 x2 hellip xn) = f(x1 x2 hellip xn) - λ g(x1 x2 hellip xn)
nnnn
n
n
xxxxx
xxxxx
xx
hhg
hhg
gg
H
1
1111
10
||
Ahora defina los siguientes determinantes
22122
21111
210
|| 1
xxxxx
xxxxx
xx
hhg
hhg
gg
H
3323131
3222121
3121111
3210
|| 2
xxxxxxx
xxxxxxx
xxxxxxx
xxx
hhhg
hhhg
hhhg
ggg
H ||det|| HHn
Criterios para maacuteximos y miacutenimos con restricciones (Hessiano liacutemitado) [Miacutenimo Local] Se tiene un miacutenimo local si y soacutelo si todos los determinantes son negativos |H1| lt0 |H2| lt0 hellip |Hn|lt0 ( - - - - - hellip)
[Maacuteximo Local] Se tiene un maximo local si y soacutelo se inicia con un determinante positivo y luego se alternan los signos |H1| gt 0 |H2| lt 0 hellip |Hn|lt0 (+ - + - hellip)
[Punto del tipo Silla] Se tiene un punto tipo silla sino se satisface los criterios de maacuteximos o miacutenimos y al menos uno de los determinantes es distinto de cero Ejemplo- Determine si la funcioacuten f(xy)= x2 ndash y2 tiene valores criacuteticos en la restriccioacuten x2+y2=1
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)(2
2
2
2)( 00 Xg
g
g
y
x
y
x
f
fXf
y
x
y
x
de aquiacute se obtienen las ecuaciones 2x = 2 λx -2y = 2 λy x2 + y2 =1 Las soluciones de este sistema de ecuaciones son (-101) (101) (0-1-1) y (0-11) El Hessiano liacutemitado es
2202
0222
220
||
y
x
yx
H
El determinante es igual a det|H| = 8x2(1+λ) ndash 8y2(1-λ) ahora evaluando
cada uno de los puntos se tiene que det|H|(-101) = 16 gt 0 det|H|(101) = 16 gt 0 det|H|(0-1-1) = -16 lt 0 det|H|(0-11) = -16 lt 0
De manera tal que la funcioacuten posee dos valores maacuteximos en los puntos (-10) y (10) y por otra parte tiene dos valores miacutenimos en los puntos (0-1) y (0-1) Ejemplo- Determine si la funcioacuten f(xy)= x2+y2 tiene valores criacuteticos en la restriccioacuten x2-y2 le 4 Al iniciar este estudio se trabaja con el interior es decir x2-y2 lt 4 dando como resultado el anaacutelisis de maacuteximos y miacutenimos de una funcioacuten en general de donde el gradiente de f se anula uacutenicamente en el origen siendo este valor un miacutenimo como se habiacutea visto en un ejercicio anterior para la funcioacuten del paraboloide Ahora al trabajar sobre la frontera se usa el criterio de muacuteltiplicadores de Lagrange
)(2
2
2
2)( 00 Xg
g
g
y
x
y
x
f
fXf
y
x
y
x
de aquiacute se obtienen las ecuaciones 2x = 2 λx 2y = -2 λy x2 - y2 = 4
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Las soluciones de este sistema de ecuaciones son (-201) y (201) El Hessiano liacutemitado es
2202
0222
220
||
y
x
yx
H
El determinante es igual a det|H| = -8x2(1+λ) + 8y2(1-λ) ahora
evaluando en cada uno de los puntos se tiene que det|H|(201) = -64 gt 0 y det|H|(-201) = -64 lt 0
De manera tal que la funcioacuten posee dos valores miacutenimos en los puntos (-20) y (20)
Una anaacutelisis de la graacutefica de esta funcioacuten permite visualizar que dichos
puntos no son miacutenimos maacutes bien son puntos tipos silla y no es que el criterio falle sino maacutes bien que los valores son miacutenimos pero sobre el complemento es decir bajo la restriccioacuten x2-y2 ge 4 Ejemplo- Determine los valores criacuteticos de la funcioacuten f(xyz) = 2x+y+3z sujeta a la restriccioacuten x2+y2+z2 le 36 Solucioacuten- Un anaacutelisis de las condiciones iniciales muestra que la graacutefica a maximizar en un hiperplano restringido en su dominio a una esfera de radio 6 de acuerdo a estas condiciones la funcioacuten en su interior no debe tener valor criacuteticos y en la frontera debe tener un valor miacutenimo y un valor maacuteximo En el interior- Al derivar la funcioacuten original se tiene lo siguiente
3
1
2
)( 0
z
y
x
f
f
f
Xf
De aquiacute se observa que la funcioacuten no posee valores criacuteticos en todo su dominio tal y como se esperaba Frontera- Al utilizar las condiciones del los Muacuteltiplicadores de Lagrange se tiene lo siguiente
)(
2
2
2
3
1
2
)( 00 Xg
z
y
x
f
f
f
Xf
z
y
x
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De aquiacute se genera el siguiente sistema de ecuaciones 2 = 2λx 1 = 2λy 3 = 2λz x2+y2+z2=36
Resolviendo el sistema se concluye que 2
1
1yx amp
2
3z Ahora
sustituyendo en la uacuteltima ecuacioacuten se deduce que la funcioacuten posee dos valores criacuteticos que son
18
14
14
1427
14
149
14
1418amp
18
14
14
1427
14
149
14
1418
La funcioacuten auxiliar es H(xyzλ) = 2x+y+3z-λ(x2+y2+z2) donde Hx=2-2λx Hy=1-2λy Hz=3-2λz El Hessiano Liacutemitado es
2002
0202
0022
2220
||
z
y
x
zyx
H
De aquiacute
0
0)(8
202
022
220
|| 22
1si
siyx
y
x
yx
H
0576)(16
2002
0202
0022
2220
|| 22222 zyx
z
y
x
zyx
H
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49
De aquiacute se desprende que la funcioacuten f(xyz) = 2x+y+3z posee un valor miacutenimo
en el punto 18
14
14
1427
14
149
14
1418 restringido a x2+y2+z2 = 36 y un
maacuteximo en el punto 18
14
14
1427
14
149
14
1418
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Tarea nuacutemero 4 Maacuteximos y Miacutenimos
Objetivo- Que el alumno sea capaz de aprender a resolver problemas asociados a la vida real haciendo uso del caacutelculo de varias variables Aquiacute se enuncian los siguientes ejercicios adicionales dado que muchos de los mismos se fueron exponiendo a lo largo del capiacutetulo y se sugiere que se revisen los problemas resueltos y propuestos en la libros de la bibliografiacutea dado que las aplicaciones son muchas 1- Determine los valores maacuteximos y miacutenimos de la funcioacuten f(xy) = x +y sujeta a la restriccioacuten x2+2y2le18 (Realice un bosquejo de la graacutefica y se restriccioacuten)
2- Determine los valores maacuteximos y miacutenimos de la funcioacuten f(xy) = x2 +y2 sujeta a la restriccioacuten x+2y le 4 (Realice un bosquejo de la graacutefica y se restriccioacuten)
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Bibliografiacutea
1 Caacutelculo Vectorial Marsden amp Tromba Addison-Wesley Iberoamericana
2 Caacutelculo Multivariable James Steward Thomson Editores
3 Caacutelculo con Geometriacutea Anaacutelitica Zill Grupo Editorial Iberoameacuterica
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8
Diferencia entre dos vectores Una idea geomeacutetrica de definir la diferencia de dos vectores en la
siguiente si y son dos vectores en el plano se pueden representar de la siguiente forma En donde se dibuja un segmento que une a los vectores y dicho segmento se le asigna la orientacioacuten mostrada en el dibujo y se le denomina como el vector
Note ahora que el vector + = seguacuten la suma de vectores definida anteriormente de ahiacute se despeja a (suponiendo que las leyes de la aritmeacutetica se cumplan en los vectores) obteniendo que = -
Quedando expresada dicha diferencia como
= - = 12
12
yy
xx
Interpretacioacuten de un vector en el plano haciendo uso de los vectores canoacutenicos i y j
Dado el vector V = xy
y
x
x
y
x
yo
ox
y
x
1
0
0
10
0i y j
Esta representacioacuten permite visualizar otra forma de escribir a un vector
en el plano dando el movimiento en las direcciones de los ejes coordenados (Eje X la marca el vector i en el eje Y la marca el vector j)
De esta forma la suma de vectores se ve de la siguiente forma
V1+V2 = adb
ca
d
c
b
a( i+b j)+( c i d j) = ( ba )i +( dc )j
Producto Escalar (producto punto) Antes de entrar el tema note que los vectores i e j tienen norma uno y
que ambos son perpendiculares entre siacute Definicioacuten- (Producto Escalar o producto punto) Dados dos vectores
en el plano se define el producto escalar de la siguiente forma
V1 V2 = dbcad
c
b
a
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9
Dando como resultado un nuacutemero real (Un escalar)
Ahora al realizar el producto punto entre los vectores i y j el resultado es
cero
Ejemplos- Determine el producto escalar entre los siguientes vectores y graacutefiquelos
V1 = 2
1 V2 =
1
2 y V3 =
3
2
V1 V2 = (1)(-2) + (2) (1) = 0 V1 V3
V1 V3 = (1)(2) + (2)(3) = 8 V3 V2 V3 = (-2)(2) + (1)(3) = -1
Como se puede observar el resultado siempre es un escalar por otra parte se tiene que el producto escalar entre los vectores V1 y V2 es cero de la graacutefica se puede observar que ambos vectores son ortogonales entre siacute este es una propiedad que se cumple siempre es decir dos vectores son ortogonales si y soacutelo si su producto escalar es igual a cero Se justificaraacute este resultado a continuacioacuten
Ortogonalidad y producto escalar Al definir dos vectores y no colineales entonces se forma un aacutengulo
entre ellos diferente de cero como se muestra en la figura
-
Se puede definir un triaacutengulo con las medidas de la longitud de los lados
de los vectores y como se ve en la figura anterior y haciendo uso de las leyes de los cosenos se tiene que
|| - || 2 = |||| 2 + ||||2 ndash 2 |||| |||| Cos helliphelliphelliphellip (1)
Llame = 1
1
y
x y =
2
2
y
x se tiene que
|| - || 2 = (x1-x2)
2 + (y1-y2)2
|| ||2 = (x1
2+y12) || ||2= (x2
2+y22) = x1y1+ x2y2
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10
Si el aacutengulo entre los vectores y es de 90ordm se tiene que || - || 2 = || || 2 + || ||2 Luego sustituyendo los valores correspondientes (x1-x2)
2 + (y1-y2)2 = (x1
2+y12) + (x2
2+y22)
De aquiacute se concluye que x1y1+ x2y2 = 0
es decir los vectores y son ortogonales entre siacute la demostracioacuten del reciproco se realiza de manera similar es decir si el producto punto es cero se tiene que 2 |||| |||| Cos = 0 y como se asume que ninguno de ellos es el vector cero la uacutenica forma en que esto sigue siendo cierto es que Cos sea igual a cero conclusioacuten que nos lleva al resultado esperado
Ejercicio- Determine un vector ortogonal al vector
(a) V = 7
1 (b) V =
a
1 y (c) V =
a
a 1 a es un nuacutemero real
Representacioacuten de regiones en el plano haciendo uso de vectores
Un punto (ab) en el plano puede ser representado por el vector V = b
a
ahora al tener muacuteltiplos de dicho vector de la forma tV = t b
a=
tb
ta con t un
nuacutemero real se genera una infinidad de vectores y cada uno de ellos tiene asociado uno y soacutelo un punto en el plano (sin considerar la propiedad de traslacioacuten de los vectores) Se afirma que todos estos puntos pertenecen o estaacuten en la misma liacutenea
Sea X = y
x los puntos que pueden ser representados por medio del
vector tV entonces se tiene que X = tV esto es
y
x =
tb
ta
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11
De aquiacute se deduce que b
y
a
xt que permite establecer la relacioacuten
xa
by que corresponde a una liacutenea recta que pasa por el origen y contiene
al punto (ab) Otra caracteriacutestica importante es que la liacutenea recta posee la misma orientacioacuten que el vector que la genera
Si se tiene dos vectores V = 1
1
y
x y W =
2
2
y
x estos representan a dos
puntos en el plano si estos son colineales de acuerdo al desarrollo anterior a lo maacutes nos pueden representar una liacutenea recta Pero si ambos vectores no son colineales se pueden generar otro tipo de regiones en el plano
Dados estos dos vectores se pueden generar tres liacuteneas las cuaacuteles contienen a los puntos (x1y1) (x2y2) y el origen generando ademaacutes un triaacutengulo que se puede representar haciendo uno de las componentes de los vectores dados
(x2y2) B (x1y1) A C Para poder representar una regioacuten como la del triaacutengulo primero se representaraacute el segmento AB la forma de realizarlo es ver que este segmento esta asociado al vector W Ahora recordando que los vectores que pueden representar los puntos sobre la liacutenea que contienen al vector W son sus muacuteltiplos escalares entonces se requiere soacutelo una parte de ellos de tal forma que este segmento quedaraacute representado por los vectores (t) = t W con 0 t 1 Note que (t) es una funcioacuten del paraacutemetro t y como resultado nos da un vector en dos dimensiones Es decir se tiene una funcioacuten del segmento [01] al plano que satisface que (0) = (00) y (1) = (x2y2) Para poder representar una regioacuten con aacuterea distinta de cero se requieren dos vectores no colineales V y W de forma tal que al tomar combinaciones lineales de ambos permite definir otro vector en el plano pero ya no necesariamente en la misma direccioacuten de los originales como en el caso de una suma observe que el punto D ya no esta contenido ni en la direccioacuten del vector V ni en la del vector W
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12
B= (x2 y2) D = (x1+x2 y1+y2) W V+W
A V C = (x1 y1) El cuadrado ABDC queda completamente representado al definir las combinaciones lineales de V y W de la siguiente forma Todos los vectores en el plano que se pueden definir a partir de lo siguiente
(ts) = t V + s W
en donde t y s son nuacutemeros reales y ademaacutes tiene la siguiente restriccioacuten 0 t 1 y 0 s 1 Ejercicio- Represente todos los puntos en el plano cuya distancia al vector
V = 2
1 es de dos unidades
Ejercicio- Represente todos los puntos en el plano que representan a un rectaacutengulo y dos de sus aristas estaacuten ubicadas en los vectores
V = 2
1 y W =
5
0
Ejercicio- Muestre que con dos vectores no colineales es posible definir el plano bidimensional (de igual forma pruebe que el espacio tridimensional se puede definir a partir de tres vectores no coplanares)
Estructura Algeacutebrica del espacio vectorial Los vectores permiten tienen estructura algebraica que se puede definir a partir de sus operaciones definidas anteriormente Proposicioacuten- Dados tres vectores y en el plano y un escalar k estos poseen las siguientes propiedades
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(i) Ley Asociativa La suma de vectores es asociativa
(ii) Ley Conmutativa La suma de vectores es conmutativa
(iii) Neutro Aditivo Existe un vector 0
denominado neutro aditivo que satisface la siguiente propiedad
00
Es decir al sumar con cualquier vector en el plano el resultado es el mismo vector
(iv) Para todo vector en el plano existe un vector denominado el inverso aditivo - tal que la suma de ambos es igual a cero
+ - = - + = 0
Este vector cero ambas componentes son iguale a cero y si las componentes de son (ab) las de - son (-a -b) Con a y b nuacutemeros reales La demostracioacuten de estas propiedades se basan en el principio del campo de los nuacutemeros reales Como ejemplo se demostraraacute la propiedad (ii)
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Tarea 1 Caacutelculo 3 Caacutelculo Vectorial Objetivo- Que el alumno sea capaz de resolver problemas relacionados con vectores comprenda la ecuacioacuten de una liacutenea en el espacio la ecuacioacuten de un plano aacuterea de paralelogramos las propiedades algebraicas asociadas con vectores en dos y tres dimensiones en cuanto al producto punto producto por un escalar y producto cruz Finalmente que sea capaz de determinar el volumen de un paralelepiacutepedo 1- Determine la ecuacioacuten de los puntos en el espacio que (1a) pertenecen al eje X (1b) pasan por la recta y=3x (1c) pasan por el punto (1-11) y en direccioacuten del vector i+j (1d) representan a la recta de interseccioacuten de los planos 3x ndash 2y + z = 7 y 2x + 4y ndashz = 4 (1e) representan al plano ortogonal a la liacutenea x=2y = 3z 2- Que regioacuten del espacio representan los puntos (2a) con componentes (x1z) (2b) contenidos por el paralelogramo definido por los vectores i+j y 3i ndashj (haga un bosquejo) 3- Determine un vector que sea muacuteltiplo escalar del vector α = 3i + j pero de norma uno (El vector resultante recibe el nombre de vector normalizado del vector α) 4- Determine un vector perpendicular al vector β = 2i + 3i - 5k 5- Pruebe que la ley conmutativa es vaacutelida en el producto escalar es decir αβ = βα 6- Pruebe que la siguiente propiedad es vaacutelida en el producto escalar entre un muacuteltiplo escalar de α y el vector β (k α)(β) = k (αβ) = α(kβ) 7- Deduzca la ecuacioacuten que establece la distancia de un punto P=(x1 y1 z1) en el espacio y el plano A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0 (Puedes encontrar la demostracioacuten en alguacuten libro de caacutelculo vectorial o intentar demostrarla usando el concepto de proyeccioacuten ortogonal)
8- Determine la distancia entre los planos x + y + z = 0 y x + y + z = 1 (Trate de determinar dicha distancia entre los planos paralelos sin hacer uso de la foacutermula y luego use dicha foacutermula para establecer el resultado finalmente trate de dar una interpretacioacuten de dicha solucioacuten) 9- Determine el volumen del paralelepiacutepedo generado por los vectores V1=(322) V2=(202) y V3=(041) 10- Determine el volumen del paralelepiacutepedo con cuatro de sus veacutertices en los puntos (123) (024) (305) y (222) realice un bosquejo de dicho paralelepiacutepedo
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11- Pruebe que dados cuatro veacutertices de un paralelepiacutepedo en el espacio se pueden generar cuatro paralelepiacutepedos distintos pero de igual volumen 12- Pruebe que α (β times γ) = γ (α times β) 13- Pruebe que α times (β + γ) = α times β + α times γ 14- Determine el aacuterea del paralelogramo generado por los vectores i+j-k 2i-j 15- Determine el aacuterea del paralelogramo generado por los vectores 2i+j 3i ndash j 16- Determine el aacutengulo que existe entre los vectores i+j-k y 2j ndash k 17- Determine si el vector i+j es una combinacioacuten lineal del vector 2i ndashj 18- Determine si el vector i+j es una combinacioacuten lineal del vector 2i + 2j 19- Determine el aacutengulo entre los planos 2x ndash y + z = 0 y 3x ndashy + 2z = 0 20- Determine la distancia entre los planos x + y + z = 0 y x + y + z = 1
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Capitulo 2 Funciones Vectoriales
En este capitulo se veraacuten temas relacionados con funciones de varias variables que van a los nuacutemeros reales (a las cuales se les llaman funciones reales) o que van a maacutes dimensiones
Cuando uno habla de este tema es importante recalcar que en la vida cotidiana se presentan diversas aplicaciones con el hecho de manejar varias variables que van desde la preparacioacuten de un cafeacute hasta el hecho de planear la agenda diaria de coacutemo distribuir el tiempo
Citemos el siguiente ejemplo En un estudio de calidad de vida de los sentildeores casados y con hijos se realizaraacute una evolucioacuten final de la satisfaccioacuten de su vida cotidiana en base a una encuesta en donde se mediraacuten diversos factores de vida familiar para esto se tiene la disyuntiva de poder distribuir los tiempos de Trabajo diversioacuten ejercicio jugar con los nintildeos convivir con su pareja visitar a familiares convivir con amigos Entonces no cabe duda que los resultados de la encuesta estaraacuten vinculados con los tiempos destinados a cada actividad asiacute por ejemplo
Persona Trabajo Diversioacuten Ejercicio Nintildeos Pareja Familiares Amigos
A 30 20 5 5 10 8 2
B 50 5 2 2 10 10 18
Otro ejemplo se presenta el preparar un cafeacute dado que aunque este sea
para la misma persona si usa distintos cantidades de cafeacute azuacutecar leche o temperatura final del mismo el resultado del sabor del mismo cambiaraacute notablemente Cabe sentildealar que cada individuo mide el grado de satisfacioacuten de forma diferente y a la vez esta se realiza en forma cualitativa dado que no se puede medir el grado de satisfacioacuten debido a que cada individuo tiene distintos gustos un cafeacute con poca azuacutecar para una persona puede ser para otra que este bien o que este muy azucarado
Por otra parte no es lo mismo tomar un cafeacute en un diacutea caluroso a una o
en un diacutea con friacuteo Siendo esta otra variable de estudio Como se puede apreciar el resultado final depende rotundamente de la cantidad que se mezcle de cada uno de los ingredientes con los que se cuentan Es decir es un problema de varias variables
Pongamos el siguiente ejemplo financiero una persona desea invertir en el banco en dos cuentas individuales siendo que en la primera da un rendimiento de 2 mensual y en la segunda del 3 si se desea saber cual es la ganancia mensual esto se puede escribir para el primer mes de la siguiente forma
G(xy) = 002x + 003y siendo x la cantidad de dinero aportada en la primer cuenta y la cantidad de dinero aportada en la segunda cuenta Esta seriacutea la ganancia del primer mes Asiacute si invierte mil pesos en la primer cuenta y dos mil en la segunda la ganancia del primer mes seraacute de ochenta pesos
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G(10002000) =002(1000)+003(2000) = 20 + 60 = 100
Cabe sentildealar que las aplicaciones en economiacutea en donde aparecen maacutes
de una variable abundan y que anaacutelisis maacutes completos de estados de cuenta con intereses o deudas en tiendas de conveniencia se pueden representar mediante funciones de varias variables debiendo desarrollar cada una de ellas en su debido tiempo
Por otra parte las aplicaciones en procesos de produccioacuten industrial son diversos y permiten evaluar el producto final que llegaraacute al cliente en cuanto a la calidad del mismo
Si un estudiante dedica cierta cantidad de horas de estudio y por otra parte se mide la atencioacuten prestada en sus horas de estudio Se pueden proponer lo siguiente No se esperariacutean los mismos resultados si dedica tres horas de estudio con poca atencioacuten a que si dedica la misma cantidad de horas de estudio con mucha atencioacuten Cabe sentildealar que la atencioacuten prestada depende del intereacutes de estudiante en la materia el gusto por la misma o la importancia que preste en conocer temas nuevos
Funcioacuten Vectorial
Se comenzaraacute el estudio de funciones vectorial de varias variables especificando algunos detalles sobre las mismas en principio una funcioacuten vectorial tiene como dominio un subconjunto de Rn y un conjunto de llegada esta en Rm
Asiacute si el dominio A tiene tres variables se dice que el dominio esta definido en R3 las tres variables se pueden denotar por x y z Ahora si antildeadimos que la funcioacuten en cuestioacuten refleja algunos rasgos de las variables anteriores por ejemplo si se considera importante la suma de las primeras dos el producto de la segunda y tercera Entonces se dice que la funcioacuten tiene como conjunto de llegada a dos variables en la primera se refleja una suma mientras que en la segunda se observa una multiplicacioacuten
Entonces la forma de escribir en la primera de ellas es x + y mientras que la segunda es yz asiacute la funcioacuten queda expresada como
F(x y z) = (x+y yz)
Una funcioacuten que se puede observar diariamente es la de la temperatura en una habitacioacuten considerando cada punto en el espacio de la habitacioacuten entonces el dominio esta en tres dimensiones y la imagen de la funcioacuten refleja la temperatura en cada punto de la misma observe que esta puede cambiar si se encuentra cercas de una ventana o de la estufa
Aquiacute T(x y z) Muestra la temperatura en cada punto de una habitacioacuten faltariacutea encontrar la ecuacioacuten matemaacutetica que modele dicho comportamiento
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Como se puede observar el poder estudiar un fenoacutemeno real por medio de un modelo matemaacutetico es fundamental para poder realizar predicciones del mismo por medio de las propiedades de la funcioacuten asociada al mismo como el hecho de que la funcioacuten sea creciente que tenga un valor maacuteximo Se mostraran algunos ejemplos maacutes adelante con la finalidad de motivar el estudio de los fenoacutemenos reales por medio de las matemaacuteticas Definicioacuten- (Funcioacuten) Una funcioacuten es una regla de asignacioacuten entre dos conjuntos A y B que asigna a cada elemento del conjunto A uno y soacutelo uno del conjunto B El conjunto de partida A se le denomina el dominio de la funcioacuten mientras que el conjunto de llegada es B se le conoce como el codominio de la funcioacuten En el caso de varias variables se tiene que A es un subconjunto de Rn mientras que el conjunto B es un subconjunto de Rm Aquiacute es importante que a ninguacuten elemento del dominio se le asigne al mismo tiempo dos elementos del codominio y a la vez que a ninguno del dominio quede sin ser asignado Un ejemplo de esto se presenta en la siguiente funcioacuten que va del conjunto dominio A = 1 2 3 al conjunto B = 2 4 6 8 al definir la funcioacuten f que asigna a cada elemento del dominio con su doble se tiene que f(1) = 2 f(2) = 4 y f(3) = 6 Ahora una funcioacuten de dos variables se puede definir a partir de los conjuntos C = (12) (23) (34) (36) y D =3 4 5 6 7 8 9 en donde la funcioacuten g C D representa la suma de los diacutegitos de cada pareja ordenada
En este caso g(12) = 3 g(23) = 5 y asiacute sucesivamente Cabe sentildealar que la pareja ordenada (12) es distinta a la pareja (21) en donde esta uacuteltima no pertenece dominio de la funcioacuten
6 5 Suma g(12) = 3 4 3 2 (12)
1 (21) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 0 1 2 3 4 5 6 Las parejas (12) y (21) ocupan distintas posiciones en el plano La segunda de ellas no pertenece al dominio de la funcioacuten de manera tal aunque se pudiera evaluarla pareja ordenada no se contempla por el hecho de que la funcioacuten no esta definida en dicho valor
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Un ejemplo de esta funcioacuten ocurre si consideramos el total que se tiene que pagar en una tienda despueacutes de comprar dos artiacuteculos distintos Otro de ellos se presenta al tomar una evaluacioacuten de calidad de cierto artiacuteculo en donde se van sumando los puntos y no necesariamente serian dos variables
Otra caracteriacutestica que se presenta en esta tipo de funciones es que los valores esteacuten bien definidos al momento de evaluar como el hecho de que no se puede dividir entres cero y no se pueden sacar raiacuteces de nuacutemeros negativos Este hecho es importante para detallar el dominio de algunas funciones
asiacute el dominio de la funcioacuten xxk 4)( esta restringido al hecho de que la
variable x sea menor a cuatro dado que el argumento 4-x debe de ser no negativo es decir 4-x 0 y de aquiacute se tiene que 4 x
Cuando se involucran dos variables un ejemplo es encontrar el dominio
de la funcioacuten yxyxh 44)( y por analogiacutea con el problema anterior
se sabe que 4 x y a la vez que 4 y quedando el dominio descrito de la siguiente manera D = (xy) 4 x 4 y
6 D Dominio de la funcioacuten 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7
Ejemplo- Determine el dominio de la funcioacuten 2 2( ) 9 h x y x y Aquiacute se tiene
que el argumento de dicha funcioacuten debe de ser positivo en donde el dominio
de la funcioacuten es 2 29 0x y que es equivalente a 2 29 x y que representa
a un ciacuterculo de radio 3 y centrado en el origen
Si la funcioacuten es 2 2
1( )
9h x y
x y el dominio es casi el mismo
eliminando en donde el argumento se hace cero debido a que no estaacute definida la divisioacuten entre cero siendo el dominio el mismo circulo del ejemplo anterior pero sin la orilla
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Como se puede apreciar el dominio de estas funciones estaacute definido por regiones en el plano cartesiano cuando el dominio de la funcioacuten estaacute contenido en R2
Derivadas Parciales La derivada parcial de una funcioacuten de varias variables consiste en derivar la funcioacuten con respecto a la variable en cuestioacuten y dejar a las otras variables fijas como si fuesen constantes Por ejemplo al derivar la funcioacuten f(x y z) = x2 + 3xy3 - 3xz las derivadas de f con respecto a x y y z se describen a continuacioacuten y se denotan cada una de ellas por medio de los simbolos fx fy y fz fx(x y z) = 2x + 3y3 - 3z fy(x y z) = 9xy2 fz(x y z) = - 3x Definicioacuten- (Gradiente de una funcioacuten) El gradiente de una funcioacuten real se define como el vector que contiene en sus componentes a sus primeras derivadas parciales Asiacute para el ejemplo anterior el gradiente de f es y se denota por
3
2
2 3 3
9
3
x
y
z
f x y z
f f xy
f x
Ejemplo- Determine el gradiente de las siguientes funiones g(xy)=(x2 y4) y h(xyzw) = 2x+y2-3z+8w
3
2( )
4
x
y
h xh x y
h y
2
2( )
3
8
x
y
z
w
g
g yg x y z w
g
g
El vector gradiente tiene varias propiedades que son muy uacutetiles una de ellas nos indica la direccioacuten de maacuteximo crecimiento y otra de ellas es que es un
vector tangente a las curvas de nivel de una funcioacuten
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Definicioacuten- (Derivada Direccional) La derivada direccional de una
funcioacuten en un punto (x0 y0) y en direccioacuten de un vector v=(AB) se define como el producto del gradiente de la funcioacuten evaluado en el punto (x0 y0) por el vector V dividido entre la norma de mismo vector
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Tarea nuacutemero 2 materia de Caacutelculo 3 Objetivo- Que el alumno sea capaz de interpretar la nocioacuten de liacutemite en varias variables identifique la graacutefica de funciones y haga uso de la derivadas parciales 1- Determine el dominio de las siguientes funciones
(1a) f(x y z) = 2221 zyx
(1b) g(x y) = xy
2
(1c) f(x y) = xy
(1d) g(x y) = y4
(1e) f(x y) = y
x
4
4
(1f) h(x y) = 24
1
xy
2- Realice un bosquejo de las siguientes graacuteficas
22 zyx 22 2zxy 22 yxz 222 yxz
3- Determine los siguientes liacutemites
(31) xyxyxyxf y 210)( 3 cuando (xy) tiende a (12)
(32) yx
zyzxzyxf
33
)( cuando (xy) tiende a (112)
(33) )00()(
)00()(
0
3
3
)(
44
32
yx
yx
Siacute
Siyx
yx
yxk cuando (xy) tienden a (00)
En caso de existir indique haciendo uso de la nocioacuten
(34) )()(2
zxyxxxy
xxyyxzyxF z cuando (xyz) tiende a (012)
4- Indique de las funciones del ejercicio anterior son continuas y en que dominio 5- Determine si las funciones del ejercicio tres son de clase C1 6- Determine la ecuacioacuten del plano tangente a la graacutefica de la funcioacuten g(xy) = x4-10y3 en el punto (1-1) y en el punto (12) grafique en la computadora y agregue en el documento de la tarea 7- Determine los conjunto de nivel de valor -2 -1 0 1 2 de las funciones (7a) f(x y) = 3x2 + 3y2
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(7b) g(x y) = 22 44 yx
(7c) h(x y) = 1 ndash y + x2 (7d) k(x y z) = x2 + y2 + z2 Indique las graacuteficas en computadora y agregue en el reporte
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Capiacutetulo 3
Trayectorias
En este capiacutetulo se realiza el estudio de las propiedades de las funciones vectoriales es decir se hace incapie en el concepto de funcioacuten y la de un vector
Este concepto permite describir entre otras cosas el camino seguido por una partiacutecula en el espacio con el ingrediente adicional de tener a la mano los conceptos de velocidad y aceleracioacuten derivados a partir de una sola ecuacioacuten aquella que guarda la relacioacuten de posicioacuten de la partiacutecula con respecto al tiempo
Por ejemplo al mover una onda esta describe un movimiento circular si
la onda se suelta un objeto puesto en ella sale disparado en forma tangencial Este movimiento se puede representar con vectores y debe de expresar que la velocidad sea tangente a la trayectoria que sigue dado que la piedra abandona la onda en liacutenea recta
Si esto se extrapola al vuelo de una mosca se puede inferir que la velocidad de la misma sea tangencial a la trayectoria que va recorriendo en cada punto esto se muestra en la siguiente graacutefica
Observe que el hecho de contar con la orientacioacuten del vector velocidad permite no soacutelo inferir la velocidad de escape de la partiacutecula sobre la curva sino a la vez conocer la orientacioacuten del movimiento de la misma
Definicioacuten- (Trayectoria) Una trayectoria es una funcioacuten que parte de los nuacutemeros reales al espacio n Euclidiano Es decir es una funcioacuten de la forma
))()()(()( 21 txtxtxt n
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Caso particular de una trayectoria de los reales a plano En el caso de una trayectoria de los reales al plano se puede ilustrar con el siguiente diagrama
σ(a) σ(b) a b
2][ Rba ))()(()( tytxt
Una forma de ilustrar esto es pensar que la variable t es el tiempo y la imagen corresponde a la trayectoria de un objeto en el plano asiacute que el tiempo t=a la partiacutecula se encuentra en el punto σ(a) que es el inicio del recorrido de la misma mientras que tiempo final t=b se localiza al final de la trayectoria de estudio
Se puede observar una flecha indicativa del sentido de la partiacutecula a lo largo de la trayectoria
Ecuacioacuten Parametrica y Cartesiana de una curva
Ejemplo- Dada la trayectoria )()( 2ttt con 22t realice una
graacutefica de dicha trayectoria
t ))()(()( tytxt
-2 )42()(t
-1 )11()(t
0 )00()(t
1 )11()(t
2 )42()(t
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Como se puede apreciar la imagen de la trayectoria que recibe el
nombre de curva es una paraacutebola esto se puede ver si se realiza lo siguiente
Como x = t y = t2 entonces se puede deducir que y=x2 la ecuacioacuten correspondiente a la graacutefica de una paraacutebola esta ecuacioacuten corresponde a sus coordenadas cartesianas por otra parte si se rescribe en forma de trayectoria se dice que la ecuacioacuten es su ecuacioacuten cartesiana dado que depende de un solo paraacutemetro
Parametrizacioacuten de una funcioacuten real Si y es una variable dependiente de la variable x es decir existe
una regla de asignacioacuten f tal que y = f(x) con bxa En donde a
cada elemento x le asigna uno y soacutelo un valor y La graacutefica de esta funcioacuten se debe de ver como un trazo en el plano de la siguiente forma
La graacutefica no puede ser de la siguiente forma
y2
y3
y1 y4
X1 X2
Note que al valor de x2 le asigna tres valores de y lo cual no
cumple con las condiciones para que f sea una funcioacuten Ahora la graacutefica de una funcioacuten de esta tipo no es otra cosa que
la imagen de una trayectoria la cual se puede parametrizar de la siguiente forma
Como y = f(x) entonces defina x = t y por consiguiente y=f(t) en
donde bta
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-4 -2 2 4
-30
-20
-10
10
20
30
-2 -1 1 2
-2
-1
1
2
Asiacute en el caso de la paraacutebola la parametrizacioacuten adecuada es x
=t y = t2 tal como estaba planteada originalmente Ahora si la funcioacuten es y = 2x3-10x con 44 x entonces la
parametrizacioacuten adecuada es
)102()( 3 tttt 44 t
La graacutefica de esta curva asociada a la trayectoria es
Parametrizacioacuten de una circunferencia Elipse e Hipeacuterbola
La ecuacioacuten cartesiana de una circunferencia con centro en el origen y
radio dos estaacute dada por 422 yx Al intentar escribir esta ecuacioacuten en
funcioacuten de un solo paraacutemetro se requiere despejar a la variable y obteniendo
dos funciones que son 24 xy Con 22 x
La graacutefica de esta curva permite visualizar que no pertenece a una
funcioacuten sino maacutes bien a dos que son las enunciadas anteriormente y como se ve a continuacioacuten
24 xy
24 xy
Una forma de representar esta curva es por medio de dos trayectorias
)4()( 2
1 ttt y )4()( 2
2 ttt 22t
Una forma alternativa de representar esta curva es por medio del uso de coordenadas polares en donde x=rCos(t) y= rSen(t) como el radio es fijo y es igual a dos estas ecuaciones se pueden escribir en funcioacuten de un solo paraacutemetro ldquotrdquo x=2Cos(t) y=2Sen(t) note que al evaluar x2+y2=4Cos2(t)+4Sen2(t) = 4(Cos2(t)+Sen2(t))=4 con lo cual satisface la
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ecuacioacuten de la circunferencia quedando expresada la trayectoria de la siguiente forma
σ(y) = (2Cos(t) 2Sen(t) con 0letle2π En esta ecuacioacuten define por completo a la curva auacuten y cuando la
ecuacioacuten original no es una funcioacuten siendo esto una ventaja del estudio de la trayectorias
Ejemplo- La parametrizacioacuten de la elipse 12
2
2
2
b
y
a
x queda
expresada por x = aCos(t) y=bSen(t) se deja como ejercicio comprobar este resultado
Ejemplo- La parametrizacioacuten de la hiperbola 12
2
2
2
b
y
a
x queda
expresada por x = aCosh(t) y=bSenh(t) en donde se trabaja con las funciones de Seno y Coseno hiperboacutelicas se deja como ejercicio comprobar este resultado (aunque soacutelo permite representar el lado correspondiente a los cuadrantes I y IV en donde la x es no negativa
Derivada de una trayectoria La derivada de una trayectoria es un vector tangente a la curva esto se
deriva del siguiente anaacutelisis
Dada la trayectoria σ(t) se grafican la posicioacuten de la curva al tiempo t y t+h luego trace el vector asociado a la liacutenea secante que une los puntos de aquiacute al tomar valores cada vez maacutes pequentildeos de h el vector secante se convierte en un vector tangente a la curva como se muestra a continuacioacuten
Por otra parte el anaacutelisis vectorial de este cociente es
)()()(
0
tt
tht
h
Liacutem
Es decir la derivada de la trayectoria y el vector resultante es
tangente a la curva
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Asiacute para el caso de una curva en el plano la trayectoria se puede describir por medio de dos funciones x(t) y(t) de la siguiente forma
)(
)()(
ty
txt
En donde la derivada de esta funcioacuten es
)(
)()(
ty
txt
Vector tangente a la graacutefica de una circunferencia de radio R Ahora si se tiene la parametrizacioacuten de una circunferencia esta esta
dada por σ(t) = ( RCos(t) R Sen(t))
Y X
Un vector tangente tiene que cumplir que su producto punto tiene que
ser cero de aquiacute si V=(AB) al multiplicarlo por el vector σ su producto punto tiene que ser cero
De aquiacute que σ(t)V = ARCos(t) + BRSen(t) = 0 Existiendo muchas soluciones a este sistema de ecuaciones siendo una
de ellas cuando A = Cos(t) B=-Sen(t)
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Vector trasladado
Siendo este un vector tangente a la curva ahora al derivar las
componentes xrsquo(t) = -RSen(t) y(t) = RCos(t) que es un muacuteltiplo escalara del vector tangente mostrado anteriormente
Definicioacuten- (Rotacional) El rotacional de un campo vectorial
F=Pi+Qj+Rk de clase C1 de define como el vector
i j k
RotFx y z
P Q R
Ejemplos- Determine el rotacional de los siguientes campos vectoriales
F1=xi+yj+zk F2=x2yi-xy
2j-3zyk
Solucioacuten-
1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0
i j k
RotF z y i z x j y x kx y z y z x z x y
x y z
2 2 2 2
2
2 2
( 3 ) ( ) ( 3 ) ( ) ( ) ( )
3
i j k
RotF zy xy i zy x y j xy x y kx y z y z x z x y
x y xy zy
2 2
2
2 2
3 0
3
i j k
RotF z i j y x kx y z
x y xy zy
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Definicioacuten- (Divergencia) Si F es un campo vectorial de clase C1 la divergencia de F se define como un campo escalar de la siguiente forma
( )P Q R
divF div Pi Qj Rkx y z
Ejemplos- Determine la divergencia de los siguientes campos vectoriales F1=xi+yj+zk F2=x
2yi-xy
2j-3zyk
Solucioacuten-
1 ( ) ( ) ( ) ( ) 3divF div xi yj zk x y zx y z
2 2 2 2
2 ( 3 ) ( ) ( ) ( 3 ) 2 2 3 3divF div x yi xy j zyk x y xy zy xy xy y yx y z
Definicioacuten- (Laplaciano) Si f es un campo escalar de clase C2 el Laplaciano de f se define como un campo escalar de la siguiente forma
2 2 2
2
2 2 2xx yy zz
f f ff f f f f
x y z
Ejemplos- Determine la divergencia de los siguientes campos escalares g1(x
y z) = xy2z
3 g2(x y z) = x
2 + y
2 + z
2
2 2 2
2 2 3 2 3 2 3 2 3 3 2 2
2 2 2( ) ( ) ( ) 2 3 f f xy z xy z xy z y z yz xy z
x y z
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2( ) ( ) ( ) 6f f x y z x y z x y z
x y z
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Tarea nuacutemero 3 Trayectorias
Objetivo- Que el alumno sea capaz de comprender los conceptos de movimiento de una partiacutecula a lo largo de una trayectoria y de la importancia del uso de vectores en este tema 1- Si la trayectoria σ(t) = t2i+t2j define la trayectoria seguida por una partiacutecula con respecto al tiempo determine 1a- iquestEl tipo de trayectoria que describe 1b- Realice una graacutefica de la distancia recorrida por la partiacutecula con respecto al tiempo en los primeros tres segundos 1c- Determine el tipo de movimiento de la partiacutecula 1d- iquestSe puede afirmar que es un movimiento uniformemente acelerado 1e- Determine la aceleracioacuten y velocidad a los cuatro segundos 1f- Realice una graacutefica de su rapidez con respecto al tiempo 1g- Realice una graacutefica de sus aceleracioacuten con respecto al tiempo 1h- En la graacutefica de la trayectoria agregue graacuteficamente los vectores aceleracioacuten y velocidad 2- Realice lo mismo que en ejercicio anterior pero ahora con la funcioacuten γ(t) = Cos(t) i+5Sen(t)j 3- Dadas las funciones f(t) = 3t2i-4t3j+e2tk y g(t) = 4t3i+4t2j+e-2tk 3a- Determine la funcioacuten producto punto h = fg 3b- Determine la derivada de h 3c- Usando la regla de diferenciacioacuten determine la derivada de h y compruebe el inciso anterior 4a- Determine la funcioacuten producto cruz k = ftimesg 4b- Determine la derivada de h 4c- Usando la regla de diferenciacioacuten determine la derivada de h y compruebe el inciso anterior 5- Determine el Rotacional y la Divergencia del siguiente campo vectorial G(x y z) = 2xy i + 3xz j - 5xy k 6- Determine el gradiente y el Laplaciano del siguiente campo escalar f(xyz) = 4x2-3yz2 7- Dado el campo vectorial F(x y z) = 2xy i + x2 j +3z2 k 7a- Determine si F puede representar el gradiente de un campo escalar f 7b- En caso de ser afirmativa la respuesta del inciso anterior determine el campo escalar f 8- Pruebe que la divergencia del rotacional de un campo vectorial F=Pi+Qj+Rk es igual a cero Es decir la div rot F =0 9- Usando las reglas de diferinciacioacuten pruebe que
gfgfgf
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100 -x
Capitulo 4 Maacuteximos y miacutenimos
Es indispensable determinar en distintos problemas las soluciones oacuteptimas que permitan establecer por ejemplo los valores maacuteximos de produccioacuten o ahorrar el material en la construccioacuten de cierto equipo
Como se recordaraacute el gradiente de una funcioacuten indica la direccioacuten de
maacuteximo crecimiento esto se refleja en que si se toma la direccioacuten sugerida por este vector el valor de la funcioacuten aumenta en una vecindad del mismo asiacute si en un diagrama de un campo gradiente aparecen un punto en donde convergen la direccioacuten de todos los gradientes se encontraraacute que dicho valor debe de ser un valor maacuteximo para la funcioacuten de estudio Un diagrama de esta tipo se ejemplifica a continuacioacuten
Un diagrama en donde todos los vectores apuntan hacia fuera de un
punto indicaraacute que este punto debe de ser un valor miacutenimo de la funcioacuten Citemos el siguiente ejemplo de una variable con la finalidad de
centrarnos en el tema Una persona desea bardear un terreno en forma rectaacutengular cuanto debe de medir cada lado de manera tal que el aacuterea cercada sea maacutexima si se cuenta con 200 metros de malla
La funcioacuten que representa dicho modelo es
A(x) = x(100-x) x
Como se puede observar el aacuterea es cero si x es igual a cero o a cien con lo cuaacutel el lado x debe de estar en en intervalo [0 100] siendo estas las restricciones del problema Derivando la funcioacuten para obtener los valores critiacutecos se tiene que Arsquo(x) = 100 ndash 2x
Al igual la derivada a cero se concluye que el valor critico es x es igual a 50 Al derivar por segunda ocasioacuten se concluye que
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Arsquorsquo(x) = -2 Como la segunda derivada es siempre negativa se concluye que la funcioacuten alcanza un valor maacuteximo en el valor critico en este caso en x = 50 al interpretar dicho resultado se concluye que el terreno que optimiza la solucioacuten es un cuadrado Ejercicio- Que aacuterea se genera si el terreno es de forma circular Al resolver el ejercioacute anterior y comparar las aacutereas del cuadrado y del circulo se puede apreciar que el aacuterea del circulo es mayor pero en la praacutectica es poco atractivo cercar terrenos circulares por diversas razones pero en la naturaleza es comuacuten observar que las gotas de lluvia sean esferas esto permite el optimizar recursos y maacuteximizar el volumen del liacutequido contenido en la misma Se iniciara el estudio formal de maacuteximos y miacutenimos de funciones de varias variables observando las siguientes graficas con la finalidad de tener la idea clara de que es un maacuteximo o miacutenimo o un punto silla
En la primera de ellas se observa que la funcioacuten tiene un valor miacutenimo en la segunda se observa que la funcioacuten tiene un valor maacuteximo y en la uacuteltima la funcioacuten tiene un punto silla este se identifica el dirigirnos en una direccioacuten la funcioacuten crece mientras que en la otra la funcioacuten decrece
Definicioacuten- Una funcioacuten mn RRf tiene un valor maacuteximo local en x0 si en
una vecindad de dicho valor se cumple que la funcioacuten evaluada en todos los vecinos ninguno de ellos supera a f(x0) Es decir f(x0) f(x) para todo x en una vecindad de x0 El punto es llamado un maacuteximo absoluto si la funcioacuten toma el valor maacuteximo en dicho punto para todo valor de su dominio
Esto es muy similar cuando uno observa a los alumnos de un saloacuten de clases existe un alumno que tiene la mayor estatura si ninguno de sus compantildeeros lo supera Asiacute en la escuela el alumno de mayor estatura absoluta es aquel que supera a todo el plantel
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La definicioacuten para el miacutenimo local (absoluto) es similar
f(x0) f(x) para todo en una vecindad de x0 Por ejemplo la funcioacuten f(xy) = x2+y2 tiene un valor miacutenimo en el origen dado que en este valor la funcioacuten vale cero mientras que fuera de ahiacute siempre es positiva dado que todo nuacutemero real elevado al cuadrado es siempre positivo Ademaacutes dicho valor es un miacutenimo absoluto Como se menciono al inicio de esta capitulo el diagrama del campo
gradiente de esta funcioacuten y
xyxf
2
2)( indica que la funcioacuten tiene un valor
miacutenimo siendo la grafica del mismo la siguiente Sin embargo se requiere un criterio maacutes general y sistemaacutetico que permita establecer los posibles valores maacuteximos miacutenimos o puntos silla) Definicioacuten- (Un valor extremo) Si la funcioacuten posee un valor maacuteximo o miacutenimo este es llamado un valor extremo Definicioacuten- (Un valor critico) Un punto en donde la derivada de la funcioacuten se anula es llamado un valor critico Teorema- Todo valor extremo es un valor critico Es decir si f posee un valor extremo en x0 que pertenece a su dominio entonces la derivada de la funcioacuten en el punto x0 se anula Es decir Df(x0) = 0 Demostracioacuten- Sea l(t) una trayectoria que pasa a traveacutes por el punto x0 defina la composicioacuten de funciones h(t) = f(l(t)) donde l(t) = x0 + tv de donde lrsquo(t) = v y ademaacutes
))(()())(()( VtlftDltlDftDh (1)
Por otra parte como f posee un valor extremo en x0 suponga que dicho
valor es un maacuteximo entonces x0 seraacute a la vez un maacuteximo para la funcioacuten h y como h es una funcioacuten real esto significa que la derivada de h en dicho punto
se anula es decir 0)()0())0(()0( 0 vxfDllDfDh ahora como los
vectores )( 0xf y v no son necesariamente perpendiculares y el vector v a la
vez tampoco se anula entonces esto implica que el gradiente de f en x0 es igual a cero y por lo tanto f posee un valor criacutetico en x0
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Este resultado permite establecer posibles valores criacuteticos de una funcioacuten asiacute se menciona el siguiente ejemplo Ejemplo- Determine los posibles valores criacuteticos de las siguientes funciones (1) f(x y) = x2 + y2 y (2) g(x y) = 4x3 -12x + y2
Solucioacuten-
(1) 0
0
2
2)(
y
xyxf de aquiacute se concluye que dicho valor soacutelo
existe un valor criacutetico siendo este el origen el cuaacutel ya se clasifico en estos apuntes y resulto ser un valor miacutenimo
(2) 0
0
2
1212)(
2
y
xyxg de aquiacute se obtienen dos valores criacuteticos
que son (-10) y 1l (10) Los cuales se pueden clasificar el realizar el graacutefico del campo gradiente En donde se aprecia que en el punto (-10) la funcioacuten posee un punto silla mientras que en el punto (10) la funcioacuten posee un valor miacutenimo
Aquiacute se utilizaraacute el criterio del hessiano para determinar si el valor criacutetico es un maacuteximo un miacutenimo o un punto silla Solo se enunciara el teorema sin demostracioacuten para ver la misma puede revisar en el libro de Marsden Tromba de Caacutelculo Vectorial
Definicioacuten- El Hessiano de una funcioacuten 22 RRH de clase C2 se define como una funcioacuten cuadraacutetica que se escribe como
2
1
2
22
2
2
2
21212
1)(
h
h
y
f
yx
f
xy
f
x
f
hhhhH
Evaluada la matriz de las segundas derivas parciales en el valor criacutetico
Teorema- Si el Hessiano de una funcioacuten 2 RRf es definitivamente
positivo entonces la funcioacuten tiene un valor miacutenimo en dicho punto
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Corolario- Si la matriz asociada A=cb
ba de una forma cuadraacutetica dos
por dos es definitivamente positiva si y soacutelo si se cumple que agt0 y det A gt0
Teorema de una valor para un valor extremo miacutenimo- Una funcioacuten
2 RRf de clase C2 posee un valor extremo miacutenimo local en x0 elemento
del dominio de la funcioacuten si y soacutelo si se satisfacen las siguientes condiciones
(i) 0)( 0xx
f y 0)( 0x
y
f
(ii) )( 02
2
xx
f gt 0
(iii) )( 02
2
xx
f)( 02
2
xy
f)(
2
2
oxx
f)( 02
2
xx
f gt 0
Para un valor maacuteximo las condiciones (i) y (iii) se mantienen la uacutenica que cambia en la segunda en donde esta debe ser negativa Para un punto silla se requiere que al menos no se cumplan las condiciones de valor maacuteximo ni miacutenimo y que la uacuteltima condicioacuten (iii) sea distinta de cero En caso contrario el criterio no permite clasificar dicho valor como se mostraraacute en un ejemplo maacutes adelante Ejemplo- Ahora continuando con los ejemplos anteriores
(1) Para f(xy) = x2+y2 el valor critico es el origen y el hessiano asociado es
2
1
212100
02
2
1)(
h
hhhhhH
Como se pude apreciar el primer valor es positivo 2 gt0 y el determinante de
la funcioacuten 20
02det es igual a 4 que a la vez es positivo de manera tal que la
funcioacuten posee un valor miacutenimo en el origen
(2) g(x y) = 4x3 -12x + y2 los puntos criticos son (-10) y (10) y el hessiano asociado a esta forma cuadraacutetica es
2
1
212120
024
2
1)(
h
hxhhhhHg
Ahora al evaluar en los puntos se tiene En el (-10)
2
1
212120
024
2
1)(
h
hhhhhHg
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En donde -24 lt 0 y det Hg = -48 lt0 con lo cuaacutel debe de ser un punto silla
En el (10)
2
1
212120
024
2
1)(
h
hhhhhHg
En donde 24 gt 0 y det Hg = 48 gt0 con lo cuaacutel debe de ser un punto miacutenimo
Tal como se habiacutea estimado en la graacutefica del campo gradiente de la
solucioacuten anterior A continuacioacuten se muestra un bosquejo de dicha graacutefica realizado en el derive
Ejemplos de cuando el criterio permite clasificar los
valores criacuteticos
Ejemplo- A continuacioacuten se mostrara un ejemplo de cuando el criterio no concluye asiacute si la funcioacuten es h(xy) = x4+y4 al calcular las derivas parciales mixtas fx=4x3 y fy=4y3 se encuentra un solo valor critico el origen miestras que la matriz asociada del hessiano es
2
2
120
012
y
x y al evaluar en el origen queda expresada como
00
00
)0(120
0)0(122
2
En donde se puede apreciar que fallan todos los criterios una inspeccioacuten de
la funcioacuten original permite ver que la funcioacuten tiene un valor miacutenimo en dicho punto pero no es una generalizacioacuten es decir no se puede decir que siempre que aparezca la matriz de ceros se tenga un valor miacutenimo dado que si se analiza ahora a las funciones k(xy) = -x4-y4 y p(xy) = x4-y4 ambas tienen como calor extremo al origen y la matriz hessiana asociada a la forma cuadraacutetica evaluada en el origen es la matriz de ceros
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Ejemplo- Otro ejemplo en donde el criterio no concluye es el siguiente en
donde el determinante de la matriz H es cero debido a que la segunda derivada de la funcioacuten f con respecto a la segunda variable se anula (fyy = 0) y no se puede asegurar que se tenga un punto maacuteximo miacutenimo o silla
Las funciones f1(xy) = x2 f2(xy) = -x2 y f3(xy) = x3 presentan este
problema a continuacioacuten se muestran las graficas de dichas funciones
En cada una de ellas los puntos criacuteticos son las parejas en el plano (0 y) Es decir el eje coordenado X
El Hessiano respectivo de cada uno es el siguiente
00
02)(1 yxH
00
02)(2 yxH
00
03)(3
xyxH
Note que el determinante de cada de estas matrices se hace cero y que fyy
se anula en cada caso
Ahora observando las graacuteficas se verifica visualmente que en la primera se tienen valores miacutenimos en la segunda maacuteximos y en la uacuteltima no es ni maacuteximo ni miacutenimo o punto silla
Ejemplo- Citemos otro ejemplo en donde el criterio de maacuteximos y miacutenimos
no concluye Determine los puntos criacuteticos de la funcioacuten h(xy) = x4 Se tiene que hx=4x3=0 y hy=0 de donde se deduce que la funcioacuten tiene
un nuacutemero infinito de puntos criacuteticos estos son las parejas ordenadas en el plano (0y)
La matriz del Hessiano asociado es
00
012)(
2
1
xyxH y evaluando en el punto
00
00)0(1 yH
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En donde no se puede clasificar a los valores criacuteticos sin embargo
realizando una inpeccioacuten de la funcioacuten se puede concluir que todos los puntos representan valores miacutenimos de la funcioacuten original a continuacioacuten se muestra la grafica de la misma
El Hessiano para n variables y el criterio de clasificacioacuten
Cuando la funcioacuten tiene maacutes de dos variables se genera una matriz asociada H en cada uno de los valores criacuteticos de la siguiente forma
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
H
21
22221
11211
De aquiacute se definen las siguientes matrices
111 aH 2221
1211
2aa
aaH hellip HH n
Los criterios para los valores criacuteticos de la funcioacuten RRf n son los
siguientes [Miacutenimo Local] La funcioacuten f posee un valor extremo local miacutenimo en x0 si todos los determinantes de las submatrices evaluados en x0 son positivos
0det 1H 0det 2H hellip 0det 2H (+ + hellip +)
En este caso la forma cuadraacutetica se puede probar que es definitivamente positiva [Maacuteximo Local] La funcioacuten f posee un valor extremo local miacutenimo en x0 si todos los determinantes de las submatrices evaluados en x0 se alternan en signo pero el primero de ellos debe ser negativo
0det 1H 0det 2H hellip 0det 2H (- + - + hellip )
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En este caso la forma cuadraacutetica se puede probar que es definitivamente negativa [Punto Silla] La funcioacuten f posee un punto silla si no se cumplen los criterios de valor miacutenimo o maacuteximo y al menos uno de los subdeterminantes es distinto de cero
Existe un i tal que 0det iH
Ejemplos- Determine los valores criacuteticos de las siguiente funcioacuten f(x y z w) = x3 - 3x + y3 ndash 3y + z2 + w2 y claacutesifiquelos Solucioacuten- Al resolver las siguientes ecuaciones
033 2 xxf x 033 2 yyf y 02zf z y 033 2 wwfw
Se obtienen cuatro puntos criacuteticos que son (-1-100) (-1100) (1-100) y (1100) ahora se genera la matriz del hessiano asociado siendo esta
2000
0200
0060
0006
y
x
H
Al evaluar en cada uno de los puntos se tienen las siguientes matrices
2000
0200
0060
0006
)0011(H
2000
0200
0060
0006
)0011(H
2000
0200
0060
0006
)0011(H y
2000
0200
0060
0006
)0011(H
Los sub determinantes para cada uno de los puntos son [(-1 -1 0 0)] -6 36 72 144 que clasifica como un punto silla [(-1100)] -6 -36 -72 -144 que clasifica como un punto silla [(1-100)] 6 -36 -72 -144 que clasifica como un punto silla [(1100)] 6 36 72 144 que clasifica como un valor miacutenimo De manera tal que la funcioacuten tiene tres puntos silla y un valor miacutenimo
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Ejercicios- Determine los puntos criacuteticos de las siguientes funciones y claacutesifiquelos utilizando el criterio del Hessiano
(1) f(x y) = x2 - y2 (Silla de montar)
(2) g(x y) = 22 yx (Cono)
(3) h(x y z) = x4 - 2x2 + 2y3 -3y2 + z3-3 Ejercicio- Se requiere construir una lata con tapa que contenga un litro de agua con el miacutenimo de material determine las condiciones que oacuteptimizan el problema Ejercicio- Determine el producto maacuteximo de tres nuacutemeros si la suma de ellos debe ser 40 Ejercicio- Determine la distancia miacutenima del origen a la graacutefica de la funcioacuten f(xy) = 4-x2+y Ejercicio- Estudie los ejemplos resueltos que trae el libro de Marden Tromba en el capitulo 4 en especial el referente a la ecuacioacuten de miacutenimos cuadrados Ejercicio- Determine la ecuacioacuten lineal que mejor se ajusta a los puntos (12) (2 32) (3 389) (4 488) (5 55) Utilize el criterio de miacutenimos cuadrados en caso de que el modelo sea lineal (justifique la linealidad del mismo realice una graacutefica de los puntos y de la liacutenea que ajusta a los puntos) Ejemplo- (Aplicacioacuten) En este ejemplo dermina la distancia miacutenima del punto (100) a la graacutefica de una funcioacuten f(x y) = x2+y2
Solucioacuten- Todos los puntos que se encuentran sobre la graacutefica de la funcioacuten satisfacen la siguiente terna de valores en donde se observa que la tercer componente es la variable dependiente (x y x2+y2)
La distancia del punto (1 0 0) a los puntos que estaacuten sobre la graacutefica (x y x2+y2) Se define por medio de la funcioacuten
2222222 )()1()()001()( yxyxyxyxdyxfd
Para determinar el valor miacutenimo o maacuteximo de esta funcioacuten basta con
analizar su argumento dado que es un funcioacuten creciente Es decir Si x1lt x2
entonces f(x1) lt f(x2) lo que es vaacutelido para la funcioacuten )( xxf (ver graacutefica)
2x
1x
x1 x2
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De este modo la funcioacuten a maximizar es
2222222
11 )()1()()001()( yxyxyxyxdyxfd
De aquiacute al las derivadas parciales son
)(4)1(2)( 22
1 yxxxyxfd x y )(42)( 22
1 yxyyyxfd y
Igualando ambas ecuaciones a cero se puede establecer la siguiente
ecuacioacuten
)(4
)(4
2
2222
22
yxy
yxx
y
x (3)
De aquiacute si )00()( yx y 0y se concluye que -1=0 lo cual es una
contradiccioacuten Por otra parte si (xy)=(00) en la primera ecuacioacuten se tiene que 1=0 que es tambieacuten una contradiccioacuten Finalmente si se considera el caso en
que y=0 se obtiene de la siguiente ecuacioacuten 012 3 xx
El polinomio 12)( 3 xxxP tiene una raiacutez entre el cero y el 1 dado
que P(0)=-1 y P(1)=2 Con el anaacutelisis de raiacuteces racionales dos posibles raiacuteces
son 2
1 y como
2
1 estaacute entre cero y uno al usando divisioacuten sinteacutetica se
obtiene que 4
1
2
1P Asiacute que la raiacutez debe de estar en el intervalo 1
2
1
Ahora usando el meacutetodo de Newton con semilla en 2
10x se obtiene
que 6010
6
2
54
1
2
1
)(
)(
0
0
01xf
xfxx
Ahora al evaluar la funcioacuten en dicho punto se tiene que 0320)60(P el
cual es aceptable como raiacutez del polinomio en una sola interaccioacuten De manera tal que el punto criacutetico de la funcioacuten es el (060) El Hessiano asociado es
24128
82412)(
22
22
xyxy
xyyxyxH
Como se puede apreciar el primer elemento de la matriz es positivo independientemente de los valores de x e y Falta evaluar el determinante de H este es igual a
)64)2412)(2412()(det 222222 yxxyyxyxH
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Ahora evaluando en (06 0) se tiene 7421)443)(326()060(det H
Que tambieacuten es positivo de manera tal que se tiene un valor miacutenimo Es
decir la se obtuvo la distancia miacutenima
Maacuteximos y Miacutenimos con restricciones
Los muacuteltiplicadores de Lagrange permite determinar valores maacuteximos o miacutenimos de funciones con restricciones De este tipo de problemas esta lleno nuestro contorno desde el panedero que desea producir la maacutexima cantidad de pan pero con la restriccioacuten del capital que tiene o la posible venta del diacutea para que no tenga sobrantes
Citemos el siguiente ejemplo la graacutefica de paraboloide z = x2+y2 esta
graacutefica soacutelo tiene un valor miacutenimo en el origen sin embargo si esta restringida
al cuadrado unitario 1111 la funcioacuten alcanza cuatro puntos maacuteximos en
los puntos (-11)(-1-1) (1 -1) y (11) a saber dicho valor es 2 Como se observa en la figura
Ahora si se trabaja con la silla de montar con la misma restriccioacuten esta
funcioacuten tiene originalmente un punto silla en el origen pero al analizar las restricciones se contiene dos valores maacuteximos y dos miacutenimos en los puntos (10) (-10) (0-1) y (01)
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Muacuteltiplicadores de Lagrange Teorema- Dadas dos funciones fg Rn a R diferenciables en X0 elemento del dominio de ambas funciones Si Lc es el conjunto de nivel de valor c de la funcioacuten g y si f posee un valor maacuteximo miacutenimo o silla en la restriccioacuten Lc
entonces existe un nuacutemero real λ tal que )()( 00 XgXf
Se puede ver parte de la demostracioacuten de este teorema en el libro de Marsden Tromba Para clasificar los puntos criacuteticos se utiliza el criterio del Hessiano limitado el cuaacutel se define a partir de la funcioacuten auxiliar H(x1 x2 hellip xn) = f(x1 x2 hellip xn) - λ g(x1 x2 hellip xn)
nnnn
n
n
xxxxx
xxxxx
xx
hhg
hhg
gg
H
1
1111
10
||
Ahora defina los siguientes determinantes
22122
21111
210
|| 1
xxxxx
xxxxx
xx
hhg
hhg
gg
H
3323131
3222121
3121111
3210
|| 2
xxxxxxx
xxxxxxx
xxxxxxx
xxx
hhhg
hhhg
hhhg
ggg
H ||det|| HHn
Criterios para maacuteximos y miacutenimos con restricciones (Hessiano liacutemitado) [Miacutenimo Local] Se tiene un miacutenimo local si y soacutelo si todos los determinantes son negativos |H1| lt0 |H2| lt0 hellip |Hn|lt0 ( - - - - - hellip)
[Maacuteximo Local] Se tiene un maximo local si y soacutelo se inicia con un determinante positivo y luego se alternan los signos |H1| gt 0 |H2| lt 0 hellip |Hn|lt0 (+ - + - hellip)
[Punto del tipo Silla] Se tiene un punto tipo silla sino se satisface los criterios de maacuteximos o miacutenimos y al menos uno de los determinantes es distinto de cero Ejemplo- Determine si la funcioacuten f(xy)= x2 ndash y2 tiene valores criacuteticos en la restriccioacuten x2+y2=1
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)(2
2
2
2)( 00 Xg
g
g
y
x
y
x
f
fXf
y
x
y
x
de aquiacute se obtienen las ecuaciones 2x = 2 λx -2y = 2 λy x2 + y2 =1 Las soluciones de este sistema de ecuaciones son (-101) (101) (0-1-1) y (0-11) El Hessiano liacutemitado es
2202
0222
220
||
y
x
yx
H
El determinante es igual a det|H| = 8x2(1+λ) ndash 8y2(1-λ) ahora evaluando
cada uno de los puntos se tiene que det|H|(-101) = 16 gt 0 det|H|(101) = 16 gt 0 det|H|(0-1-1) = -16 lt 0 det|H|(0-11) = -16 lt 0
De manera tal que la funcioacuten posee dos valores maacuteximos en los puntos (-10) y (10) y por otra parte tiene dos valores miacutenimos en los puntos (0-1) y (0-1) Ejemplo- Determine si la funcioacuten f(xy)= x2+y2 tiene valores criacuteticos en la restriccioacuten x2-y2 le 4 Al iniciar este estudio se trabaja con el interior es decir x2-y2 lt 4 dando como resultado el anaacutelisis de maacuteximos y miacutenimos de una funcioacuten en general de donde el gradiente de f se anula uacutenicamente en el origen siendo este valor un miacutenimo como se habiacutea visto en un ejercicio anterior para la funcioacuten del paraboloide Ahora al trabajar sobre la frontera se usa el criterio de muacuteltiplicadores de Lagrange
)(2
2
2
2)( 00 Xg
g
g
y
x
y
x
f
fXf
y
x
y
x
de aquiacute se obtienen las ecuaciones 2x = 2 λx 2y = -2 λy x2 - y2 = 4
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Las soluciones de este sistema de ecuaciones son (-201) y (201) El Hessiano liacutemitado es
2202
0222
220
||
y
x
yx
H
El determinante es igual a det|H| = -8x2(1+λ) + 8y2(1-λ) ahora
evaluando en cada uno de los puntos se tiene que det|H|(201) = -64 gt 0 y det|H|(-201) = -64 lt 0
De manera tal que la funcioacuten posee dos valores miacutenimos en los puntos (-20) y (20)
Una anaacutelisis de la graacutefica de esta funcioacuten permite visualizar que dichos
puntos no son miacutenimos maacutes bien son puntos tipos silla y no es que el criterio falle sino maacutes bien que los valores son miacutenimos pero sobre el complemento es decir bajo la restriccioacuten x2-y2 ge 4 Ejemplo- Determine los valores criacuteticos de la funcioacuten f(xyz) = 2x+y+3z sujeta a la restriccioacuten x2+y2+z2 le 36 Solucioacuten- Un anaacutelisis de las condiciones iniciales muestra que la graacutefica a maximizar en un hiperplano restringido en su dominio a una esfera de radio 6 de acuerdo a estas condiciones la funcioacuten en su interior no debe tener valor criacuteticos y en la frontera debe tener un valor miacutenimo y un valor maacuteximo En el interior- Al derivar la funcioacuten original se tiene lo siguiente
3
1
2
)( 0
z
y
x
f
f
f
Xf
De aquiacute se observa que la funcioacuten no posee valores criacuteticos en todo su dominio tal y como se esperaba Frontera- Al utilizar las condiciones del los Muacuteltiplicadores de Lagrange se tiene lo siguiente
)(
2
2
2
3
1
2
)( 00 Xg
z
y
x
f
f
f
Xf
z
y
x
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De aquiacute se genera el siguiente sistema de ecuaciones 2 = 2λx 1 = 2λy 3 = 2λz x2+y2+z2=36
Resolviendo el sistema se concluye que 2
1
1yx amp
2
3z Ahora
sustituyendo en la uacuteltima ecuacioacuten se deduce que la funcioacuten posee dos valores criacuteticos que son
18
14
14
1427
14
149
14
1418amp
18
14
14
1427
14
149
14
1418
La funcioacuten auxiliar es H(xyzλ) = 2x+y+3z-λ(x2+y2+z2) donde Hx=2-2λx Hy=1-2λy Hz=3-2λz El Hessiano Liacutemitado es
2002
0202
0022
2220
||
z
y
x
zyx
H
De aquiacute
0
0)(8
202
022
220
|| 22
1si
siyx
y
x
yx
H
0576)(16
2002
0202
0022
2220
|| 22222 zyx
z
y
x
zyx
H
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49
De aquiacute se desprende que la funcioacuten f(xyz) = 2x+y+3z posee un valor miacutenimo
en el punto 18
14
14
1427
14
149
14
1418 restringido a x2+y2+z2 = 36 y un
maacuteximo en el punto 18
14
14
1427
14
149
14
1418
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Tarea nuacutemero 4 Maacuteximos y Miacutenimos
Objetivo- Que el alumno sea capaz de aprender a resolver problemas asociados a la vida real haciendo uso del caacutelculo de varias variables Aquiacute se enuncian los siguientes ejercicios adicionales dado que muchos de los mismos se fueron exponiendo a lo largo del capiacutetulo y se sugiere que se revisen los problemas resueltos y propuestos en la libros de la bibliografiacutea dado que las aplicaciones son muchas 1- Determine los valores maacuteximos y miacutenimos de la funcioacuten f(xy) = x +y sujeta a la restriccioacuten x2+2y2le18 (Realice un bosquejo de la graacutefica y se restriccioacuten)
2- Determine los valores maacuteximos y miacutenimos de la funcioacuten f(xy) = x2 +y2 sujeta a la restriccioacuten x+2y le 4 (Realice un bosquejo de la graacutefica y se restriccioacuten)
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Bibliografiacutea
1 Caacutelculo Vectorial Marsden amp Tromba Addison-Wesley Iberoamericana
2 Caacutelculo Multivariable James Steward Thomson Editores
3 Caacutelculo con Geometriacutea Anaacutelitica Zill Grupo Editorial Iberoameacuterica
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9
Dando como resultado un nuacutemero real (Un escalar)
Ahora al realizar el producto punto entre los vectores i y j el resultado es
cero
Ejemplos- Determine el producto escalar entre los siguientes vectores y graacutefiquelos
V1 = 2
1 V2 =
1
2 y V3 =
3
2
V1 V2 = (1)(-2) + (2) (1) = 0 V1 V3
V1 V3 = (1)(2) + (2)(3) = 8 V3 V2 V3 = (-2)(2) + (1)(3) = -1
Como se puede observar el resultado siempre es un escalar por otra parte se tiene que el producto escalar entre los vectores V1 y V2 es cero de la graacutefica se puede observar que ambos vectores son ortogonales entre siacute este es una propiedad que se cumple siempre es decir dos vectores son ortogonales si y soacutelo si su producto escalar es igual a cero Se justificaraacute este resultado a continuacioacuten
Ortogonalidad y producto escalar Al definir dos vectores y no colineales entonces se forma un aacutengulo
entre ellos diferente de cero como se muestra en la figura
-
Se puede definir un triaacutengulo con las medidas de la longitud de los lados
de los vectores y como se ve en la figura anterior y haciendo uso de las leyes de los cosenos se tiene que
|| - || 2 = |||| 2 + ||||2 ndash 2 |||| |||| Cos helliphelliphelliphellip (1)
Llame = 1
1
y
x y =
2
2
y
x se tiene que
|| - || 2 = (x1-x2)
2 + (y1-y2)2
|| ||2 = (x1
2+y12) || ||2= (x2
2+y22) = x1y1+ x2y2
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Si el aacutengulo entre los vectores y es de 90ordm se tiene que || - || 2 = || || 2 + || ||2 Luego sustituyendo los valores correspondientes (x1-x2)
2 + (y1-y2)2 = (x1
2+y12) + (x2
2+y22)
De aquiacute se concluye que x1y1+ x2y2 = 0
es decir los vectores y son ortogonales entre siacute la demostracioacuten del reciproco se realiza de manera similar es decir si el producto punto es cero se tiene que 2 |||| |||| Cos = 0 y como se asume que ninguno de ellos es el vector cero la uacutenica forma en que esto sigue siendo cierto es que Cos sea igual a cero conclusioacuten que nos lleva al resultado esperado
Ejercicio- Determine un vector ortogonal al vector
(a) V = 7
1 (b) V =
a
1 y (c) V =
a
a 1 a es un nuacutemero real
Representacioacuten de regiones en el plano haciendo uso de vectores
Un punto (ab) en el plano puede ser representado por el vector V = b
a
ahora al tener muacuteltiplos de dicho vector de la forma tV = t b
a=
tb
ta con t un
nuacutemero real se genera una infinidad de vectores y cada uno de ellos tiene asociado uno y soacutelo un punto en el plano (sin considerar la propiedad de traslacioacuten de los vectores) Se afirma que todos estos puntos pertenecen o estaacuten en la misma liacutenea
Sea X = y
x los puntos que pueden ser representados por medio del
vector tV entonces se tiene que X = tV esto es
y
x =
tb
ta
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De aquiacute se deduce que b
y
a
xt que permite establecer la relacioacuten
xa
by que corresponde a una liacutenea recta que pasa por el origen y contiene
al punto (ab) Otra caracteriacutestica importante es que la liacutenea recta posee la misma orientacioacuten que el vector que la genera
Si se tiene dos vectores V = 1
1
y
x y W =
2
2
y
x estos representan a dos
puntos en el plano si estos son colineales de acuerdo al desarrollo anterior a lo maacutes nos pueden representar una liacutenea recta Pero si ambos vectores no son colineales se pueden generar otro tipo de regiones en el plano
Dados estos dos vectores se pueden generar tres liacuteneas las cuaacuteles contienen a los puntos (x1y1) (x2y2) y el origen generando ademaacutes un triaacutengulo que se puede representar haciendo uno de las componentes de los vectores dados
(x2y2) B (x1y1) A C Para poder representar una regioacuten como la del triaacutengulo primero se representaraacute el segmento AB la forma de realizarlo es ver que este segmento esta asociado al vector W Ahora recordando que los vectores que pueden representar los puntos sobre la liacutenea que contienen al vector W son sus muacuteltiplos escalares entonces se requiere soacutelo una parte de ellos de tal forma que este segmento quedaraacute representado por los vectores (t) = t W con 0 t 1 Note que (t) es una funcioacuten del paraacutemetro t y como resultado nos da un vector en dos dimensiones Es decir se tiene una funcioacuten del segmento [01] al plano que satisface que (0) = (00) y (1) = (x2y2) Para poder representar una regioacuten con aacuterea distinta de cero se requieren dos vectores no colineales V y W de forma tal que al tomar combinaciones lineales de ambos permite definir otro vector en el plano pero ya no necesariamente en la misma direccioacuten de los originales como en el caso de una suma observe que el punto D ya no esta contenido ni en la direccioacuten del vector V ni en la del vector W
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B= (x2 y2) D = (x1+x2 y1+y2) W V+W
A V C = (x1 y1) El cuadrado ABDC queda completamente representado al definir las combinaciones lineales de V y W de la siguiente forma Todos los vectores en el plano que se pueden definir a partir de lo siguiente
(ts) = t V + s W
en donde t y s son nuacutemeros reales y ademaacutes tiene la siguiente restriccioacuten 0 t 1 y 0 s 1 Ejercicio- Represente todos los puntos en el plano cuya distancia al vector
V = 2
1 es de dos unidades
Ejercicio- Represente todos los puntos en el plano que representan a un rectaacutengulo y dos de sus aristas estaacuten ubicadas en los vectores
V = 2
1 y W =
5
0
Ejercicio- Muestre que con dos vectores no colineales es posible definir el plano bidimensional (de igual forma pruebe que el espacio tridimensional se puede definir a partir de tres vectores no coplanares)
Estructura Algeacutebrica del espacio vectorial Los vectores permiten tienen estructura algebraica que se puede definir a partir de sus operaciones definidas anteriormente Proposicioacuten- Dados tres vectores y en el plano y un escalar k estos poseen las siguientes propiedades
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(i) Ley Asociativa La suma de vectores es asociativa
(ii) Ley Conmutativa La suma de vectores es conmutativa
(iii) Neutro Aditivo Existe un vector 0
denominado neutro aditivo que satisface la siguiente propiedad
00
Es decir al sumar con cualquier vector en el plano el resultado es el mismo vector
(iv) Para todo vector en el plano existe un vector denominado el inverso aditivo - tal que la suma de ambos es igual a cero
+ - = - + = 0
Este vector cero ambas componentes son iguale a cero y si las componentes de son (ab) las de - son (-a -b) Con a y b nuacutemeros reales La demostracioacuten de estas propiedades se basan en el principio del campo de los nuacutemeros reales Como ejemplo se demostraraacute la propiedad (ii)
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Tarea 1 Caacutelculo 3 Caacutelculo Vectorial Objetivo- Que el alumno sea capaz de resolver problemas relacionados con vectores comprenda la ecuacioacuten de una liacutenea en el espacio la ecuacioacuten de un plano aacuterea de paralelogramos las propiedades algebraicas asociadas con vectores en dos y tres dimensiones en cuanto al producto punto producto por un escalar y producto cruz Finalmente que sea capaz de determinar el volumen de un paralelepiacutepedo 1- Determine la ecuacioacuten de los puntos en el espacio que (1a) pertenecen al eje X (1b) pasan por la recta y=3x (1c) pasan por el punto (1-11) y en direccioacuten del vector i+j (1d) representan a la recta de interseccioacuten de los planos 3x ndash 2y + z = 7 y 2x + 4y ndashz = 4 (1e) representan al plano ortogonal a la liacutenea x=2y = 3z 2- Que regioacuten del espacio representan los puntos (2a) con componentes (x1z) (2b) contenidos por el paralelogramo definido por los vectores i+j y 3i ndashj (haga un bosquejo) 3- Determine un vector que sea muacuteltiplo escalar del vector α = 3i + j pero de norma uno (El vector resultante recibe el nombre de vector normalizado del vector α) 4- Determine un vector perpendicular al vector β = 2i + 3i - 5k 5- Pruebe que la ley conmutativa es vaacutelida en el producto escalar es decir αβ = βα 6- Pruebe que la siguiente propiedad es vaacutelida en el producto escalar entre un muacuteltiplo escalar de α y el vector β (k α)(β) = k (αβ) = α(kβ) 7- Deduzca la ecuacioacuten que establece la distancia de un punto P=(x1 y1 z1) en el espacio y el plano A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0 (Puedes encontrar la demostracioacuten en alguacuten libro de caacutelculo vectorial o intentar demostrarla usando el concepto de proyeccioacuten ortogonal)
8- Determine la distancia entre los planos x + y + z = 0 y x + y + z = 1 (Trate de determinar dicha distancia entre los planos paralelos sin hacer uso de la foacutermula y luego use dicha foacutermula para establecer el resultado finalmente trate de dar una interpretacioacuten de dicha solucioacuten) 9- Determine el volumen del paralelepiacutepedo generado por los vectores V1=(322) V2=(202) y V3=(041) 10- Determine el volumen del paralelepiacutepedo con cuatro de sus veacutertices en los puntos (123) (024) (305) y (222) realice un bosquejo de dicho paralelepiacutepedo
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11- Pruebe que dados cuatro veacutertices de un paralelepiacutepedo en el espacio se pueden generar cuatro paralelepiacutepedos distintos pero de igual volumen 12- Pruebe que α (β times γ) = γ (α times β) 13- Pruebe que α times (β + γ) = α times β + α times γ 14- Determine el aacuterea del paralelogramo generado por los vectores i+j-k 2i-j 15- Determine el aacuterea del paralelogramo generado por los vectores 2i+j 3i ndash j 16- Determine el aacutengulo que existe entre los vectores i+j-k y 2j ndash k 17- Determine si el vector i+j es una combinacioacuten lineal del vector 2i ndashj 18- Determine si el vector i+j es una combinacioacuten lineal del vector 2i + 2j 19- Determine el aacutengulo entre los planos 2x ndash y + z = 0 y 3x ndashy + 2z = 0 20- Determine la distancia entre los planos x + y + z = 0 y x + y + z = 1
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Capitulo 2 Funciones Vectoriales
En este capitulo se veraacuten temas relacionados con funciones de varias variables que van a los nuacutemeros reales (a las cuales se les llaman funciones reales) o que van a maacutes dimensiones
Cuando uno habla de este tema es importante recalcar que en la vida cotidiana se presentan diversas aplicaciones con el hecho de manejar varias variables que van desde la preparacioacuten de un cafeacute hasta el hecho de planear la agenda diaria de coacutemo distribuir el tiempo
Citemos el siguiente ejemplo En un estudio de calidad de vida de los sentildeores casados y con hijos se realizaraacute una evolucioacuten final de la satisfaccioacuten de su vida cotidiana en base a una encuesta en donde se mediraacuten diversos factores de vida familiar para esto se tiene la disyuntiva de poder distribuir los tiempos de Trabajo diversioacuten ejercicio jugar con los nintildeos convivir con su pareja visitar a familiares convivir con amigos Entonces no cabe duda que los resultados de la encuesta estaraacuten vinculados con los tiempos destinados a cada actividad asiacute por ejemplo
Persona Trabajo Diversioacuten Ejercicio Nintildeos Pareja Familiares Amigos
A 30 20 5 5 10 8 2
B 50 5 2 2 10 10 18
Otro ejemplo se presenta el preparar un cafeacute dado que aunque este sea
para la misma persona si usa distintos cantidades de cafeacute azuacutecar leche o temperatura final del mismo el resultado del sabor del mismo cambiaraacute notablemente Cabe sentildealar que cada individuo mide el grado de satisfacioacuten de forma diferente y a la vez esta se realiza en forma cualitativa dado que no se puede medir el grado de satisfacioacuten debido a que cada individuo tiene distintos gustos un cafeacute con poca azuacutecar para una persona puede ser para otra que este bien o que este muy azucarado
Por otra parte no es lo mismo tomar un cafeacute en un diacutea caluroso a una o
en un diacutea con friacuteo Siendo esta otra variable de estudio Como se puede apreciar el resultado final depende rotundamente de la cantidad que se mezcle de cada uno de los ingredientes con los que se cuentan Es decir es un problema de varias variables
Pongamos el siguiente ejemplo financiero una persona desea invertir en el banco en dos cuentas individuales siendo que en la primera da un rendimiento de 2 mensual y en la segunda del 3 si se desea saber cual es la ganancia mensual esto se puede escribir para el primer mes de la siguiente forma
G(xy) = 002x + 003y siendo x la cantidad de dinero aportada en la primer cuenta y la cantidad de dinero aportada en la segunda cuenta Esta seriacutea la ganancia del primer mes Asiacute si invierte mil pesos en la primer cuenta y dos mil en la segunda la ganancia del primer mes seraacute de ochenta pesos
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G(10002000) =002(1000)+003(2000) = 20 + 60 = 100
Cabe sentildealar que las aplicaciones en economiacutea en donde aparecen maacutes
de una variable abundan y que anaacutelisis maacutes completos de estados de cuenta con intereses o deudas en tiendas de conveniencia se pueden representar mediante funciones de varias variables debiendo desarrollar cada una de ellas en su debido tiempo
Por otra parte las aplicaciones en procesos de produccioacuten industrial son diversos y permiten evaluar el producto final que llegaraacute al cliente en cuanto a la calidad del mismo
Si un estudiante dedica cierta cantidad de horas de estudio y por otra parte se mide la atencioacuten prestada en sus horas de estudio Se pueden proponer lo siguiente No se esperariacutean los mismos resultados si dedica tres horas de estudio con poca atencioacuten a que si dedica la misma cantidad de horas de estudio con mucha atencioacuten Cabe sentildealar que la atencioacuten prestada depende del intereacutes de estudiante en la materia el gusto por la misma o la importancia que preste en conocer temas nuevos
Funcioacuten Vectorial
Se comenzaraacute el estudio de funciones vectorial de varias variables especificando algunos detalles sobre las mismas en principio una funcioacuten vectorial tiene como dominio un subconjunto de Rn y un conjunto de llegada esta en Rm
Asiacute si el dominio A tiene tres variables se dice que el dominio esta definido en R3 las tres variables se pueden denotar por x y z Ahora si antildeadimos que la funcioacuten en cuestioacuten refleja algunos rasgos de las variables anteriores por ejemplo si se considera importante la suma de las primeras dos el producto de la segunda y tercera Entonces se dice que la funcioacuten tiene como conjunto de llegada a dos variables en la primera se refleja una suma mientras que en la segunda se observa una multiplicacioacuten
Entonces la forma de escribir en la primera de ellas es x + y mientras que la segunda es yz asiacute la funcioacuten queda expresada como
F(x y z) = (x+y yz)
Una funcioacuten que se puede observar diariamente es la de la temperatura en una habitacioacuten considerando cada punto en el espacio de la habitacioacuten entonces el dominio esta en tres dimensiones y la imagen de la funcioacuten refleja la temperatura en cada punto de la misma observe que esta puede cambiar si se encuentra cercas de una ventana o de la estufa
Aquiacute T(x y z) Muestra la temperatura en cada punto de una habitacioacuten faltariacutea encontrar la ecuacioacuten matemaacutetica que modele dicho comportamiento
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Como se puede observar el poder estudiar un fenoacutemeno real por medio de un modelo matemaacutetico es fundamental para poder realizar predicciones del mismo por medio de las propiedades de la funcioacuten asociada al mismo como el hecho de que la funcioacuten sea creciente que tenga un valor maacuteximo Se mostraran algunos ejemplos maacutes adelante con la finalidad de motivar el estudio de los fenoacutemenos reales por medio de las matemaacuteticas Definicioacuten- (Funcioacuten) Una funcioacuten es una regla de asignacioacuten entre dos conjuntos A y B que asigna a cada elemento del conjunto A uno y soacutelo uno del conjunto B El conjunto de partida A se le denomina el dominio de la funcioacuten mientras que el conjunto de llegada es B se le conoce como el codominio de la funcioacuten En el caso de varias variables se tiene que A es un subconjunto de Rn mientras que el conjunto B es un subconjunto de Rm Aquiacute es importante que a ninguacuten elemento del dominio se le asigne al mismo tiempo dos elementos del codominio y a la vez que a ninguno del dominio quede sin ser asignado Un ejemplo de esto se presenta en la siguiente funcioacuten que va del conjunto dominio A = 1 2 3 al conjunto B = 2 4 6 8 al definir la funcioacuten f que asigna a cada elemento del dominio con su doble se tiene que f(1) = 2 f(2) = 4 y f(3) = 6 Ahora una funcioacuten de dos variables se puede definir a partir de los conjuntos C = (12) (23) (34) (36) y D =3 4 5 6 7 8 9 en donde la funcioacuten g C D representa la suma de los diacutegitos de cada pareja ordenada
En este caso g(12) = 3 g(23) = 5 y asiacute sucesivamente Cabe sentildealar que la pareja ordenada (12) es distinta a la pareja (21) en donde esta uacuteltima no pertenece dominio de la funcioacuten
6 5 Suma g(12) = 3 4 3 2 (12)
1 (21) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 0 1 2 3 4 5 6 Las parejas (12) y (21) ocupan distintas posiciones en el plano La segunda de ellas no pertenece al dominio de la funcioacuten de manera tal aunque se pudiera evaluarla pareja ordenada no se contempla por el hecho de que la funcioacuten no esta definida en dicho valor
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Un ejemplo de esta funcioacuten ocurre si consideramos el total que se tiene que pagar en una tienda despueacutes de comprar dos artiacuteculos distintos Otro de ellos se presenta al tomar una evaluacioacuten de calidad de cierto artiacuteculo en donde se van sumando los puntos y no necesariamente serian dos variables
Otra caracteriacutestica que se presenta en esta tipo de funciones es que los valores esteacuten bien definidos al momento de evaluar como el hecho de que no se puede dividir entres cero y no se pueden sacar raiacuteces de nuacutemeros negativos Este hecho es importante para detallar el dominio de algunas funciones
asiacute el dominio de la funcioacuten xxk 4)( esta restringido al hecho de que la
variable x sea menor a cuatro dado que el argumento 4-x debe de ser no negativo es decir 4-x 0 y de aquiacute se tiene que 4 x
Cuando se involucran dos variables un ejemplo es encontrar el dominio
de la funcioacuten yxyxh 44)( y por analogiacutea con el problema anterior
se sabe que 4 x y a la vez que 4 y quedando el dominio descrito de la siguiente manera D = (xy) 4 x 4 y
6 D Dominio de la funcioacuten 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7
Ejemplo- Determine el dominio de la funcioacuten 2 2( ) 9 h x y x y Aquiacute se tiene
que el argumento de dicha funcioacuten debe de ser positivo en donde el dominio
de la funcioacuten es 2 29 0x y que es equivalente a 2 29 x y que representa
a un ciacuterculo de radio 3 y centrado en el origen
Si la funcioacuten es 2 2
1( )
9h x y
x y el dominio es casi el mismo
eliminando en donde el argumento se hace cero debido a que no estaacute definida la divisioacuten entre cero siendo el dominio el mismo circulo del ejemplo anterior pero sin la orilla
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Como se puede apreciar el dominio de estas funciones estaacute definido por regiones en el plano cartesiano cuando el dominio de la funcioacuten estaacute contenido en R2
Derivadas Parciales La derivada parcial de una funcioacuten de varias variables consiste en derivar la funcioacuten con respecto a la variable en cuestioacuten y dejar a las otras variables fijas como si fuesen constantes Por ejemplo al derivar la funcioacuten f(x y z) = x2 + 3xy3 - 3xz las derivadas de f con respecto a x y y z se describen a continuacioacuten y se denotan cada una de ellas por medio de los simbolos fx fy y fz fx(x y z) = 2x + 3y3 - 3z fy(x y z) = 9xy2 fz(x y z) = - 3x Definicioacuten- (Gradiente de una funcioacuten) El gradiente de una funcioacuten real se define como el vector que contiene en sus componentes a sus primeras derivadas parciales Asiacute para el ejemplo anterior el gradiente de f es y se denota por
3
2
2 3 3
9
3
x
y
z
f x y z
f f xy
f x
Ejemplo- Determine el gradiente de las siguientes funiones g(xy)=(x2 y4) y h(xyzw) = 2x+y2-3z+8w
3
2( )
4
x
y
h xh x y
h y
2
2( )
3
8
x
y
z
w
g
g yg x y z w
g
g
El vector gradiente tiene varias propiedades que son muy uacutetiles una de ellas nos indica la direccioacuten de maacuteximo crecimiento y otra de ellas es que es un
vector tangente a las curvas de nivel de una funcioacuten
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Definicioacuten- (Derivada Direccional) La derivada direccional de una
funcioacuten en un punto (x0 y0) y en direccioacuten de un vector v=(AB) se define como el producto del gradiente de la funcioacuten evaluado en el punto (x0 y0) por el vector V dividido entre la norma de mismo vector
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Tarea nuacutemero 2 materia de Caacutelculo 3 Objetivo- Que el alumno sea capaz de interpretar la nocioacuten de liacutemite en varias variables identifique la graacutefica de funciones y haga uso de la derivadas parciales 1- Determine el dominio de las siguientes funciones
(1a) f(x y z) = 2221 zyx
(1b) g(x y) = xy
2
(1c) f(x y) = xy
(1d) g(x y) = y4
(1e) f(x y) = y
x
4
4
(1f) h(x y) = 24
1
xy
2- Realice un bosquejo de las siguientes graacuteficas
22 zyx 22 2zxy 22 yxz 222 yxz
3- Determine los siguientes liacutemites
(31) xyxyxyxf y 210)( 3 cuando (xy) tiende a (12)
(32) yx
zyzxzyxf
33
)( cuando (xy) tiende a (112)
(33) )00()(
)00()(
0
3
3
)(
44
32
yx
yx
Siacute
Siyx
yx
yxk cuando (xy) tienden a (00)
En caso de existir indique haciendo uso de la nocioacuten
(34) )()(2
zxyxxxy
xxyyxzyxF z cuando (xyz) tiende a (012)
4- Indique de las funciones del ejercicio anterior son continuas y en que dominio 5- Determine si las funciones del ejercicio tres son de clase C1 6- Determine la ecuacioacuten del plano tangente a la graacutefica de la funcioacuten g(xy) = x4-10y3 en el punto (1-1) y en el punto (12) grafique en la computadora y agregue en el documento de la tarea 7- Determine los conjunto de nivel de valor -2 -1 0 1 2 de las funciones (7a) f(x y) = 3x2 + 3y2
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23
(7b) g(x y) = 22 44 yx
(7c) h(x y) = 1 ndash y + x2 (7d) k(x y z) = x2 + y2 + z2 Indique las graacuteficas en computadora y agregue en el reporte
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Capiacutetulo 3
Trayectorias
En este capiacutetulo se realiza el estudio de las propiedades de las funciones vectoriales es decir se hace incapie en el concepto de funcioacuten y la de un vector
Este concepto permite describir entre otras cosas el camino seguido por una partiacutecula en el espacio con el ingrediente adicional de tener a la mano los conceptos de velocidad y aceleracioacuten derivados a partir de una sola ecuacioacuten aquella que guarda la relacioacuten de posicioacuten de la partiacutecula con respecto al tiempo
Por ejemplo al mover una onda esta describe un movimiento circular si
la onda se suelta un objeto puesto en ella sale disparado en forma tangencial Este movimiento se puede representar con vectores y debe de expresar que la velocidad sea tangente a la trayectoria que sigue dado que la piedra abandona la onda en liacutenea recta
Si esto se extrapola al vuelo de una mosca se puede inferir que la velocidad de la misma sea tangencial a la trayectoria que va recorriendo en cada punto esto se muestra en la siguiente graacutefica
Observe que el hecho de contar con la orientacioacuten del vector velocidad permite no soacutelo inferir la velocidad de escape de la partiacutecula sobre la curva sino a la vez conocer la orientacioacuten del movimiento de la misma
Definicioacuten- (Trayectoria) Una trayectoria es una funcioacuten que parte de los nuacutemeros reales al espacio n Euclidiano Es decir es una funcioacuten de la forma
))()()(()( 21 txtxtxt n
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Caso particular de una trayectoria de los reales a plano En el caso de una trayectoria de los reales al plano se puede ilustrar con el siguiente diagrama
σ(a) σ(b) a b
2][ Rba ))()(()( tytxt
Una forma de ilustrar esto es pensar que la variable t es el tiempo y la imagen corresponde a la trayectoria de un objeto en el plano asiacute que el tiempo t=a la partiacutecula se encuentra en el punto σ(a) que es el inicio del recorrido de la misma mientras que tiempo final t=b se localiza al final de la trayectoria de estudio
Se puede observar una flecha indicativa del sentido de la partiacutecula a lo largo de la trayectoria
Ecuacioacuten Parametrica y Cartesiana de una curva
Ejemplo- Dada la trayectoria )()( 2ttt con 22t realice una
graacutefica de dicha trayectoria
t ))()(()( tytxt
-2 )42()(t
-1 )11()(t
0 )00()(t
1 )11()(t
2 )42()(t
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Como se puede apreciar la imagen de la trayectoria que recibe el
nombre de curva es una paraacutebola esto se puede ver si se realiza lo siguiente
Como x = t y = t2 entonces se puede deducir que y=x2 la ecuacioacuten correspondiente a la graacutefica de una paraacutebola esta ecuacioacuten corresponde a sus coordenadas cartesianas por otra parte si se rescribe en forma de trayectoria se dice que la ecuacioacuten es su ecuacioacuten cartesiana dado que depende de un solo paraacutemetro
Parametrizacioacuten de una funcioacuten real Si y es una variable dependiente de la variable x es decir existe
una regla de asignacioacuten f tal que y = f(x) con bxa En donde a
cada elemento x le asigna uno y soacutelo un valor y La graacutefica de esta funcioacuten se debe de ver como un trazo en el plano de la siguiente forma
La graacutefica no puede ser de la siguiente forma
y2
y3
y1 y4
X1 X2
Note que al valor de x2 le asigna tres valores de y lo cual no
cumple con las condiciones para que f sea una funcioacuten Ahora la graacutefica de una funcioacuten de esta tipo no es otra cosa que
la imagen de una trayectoria la cual se puede parametrizar de la siguiente forma
Como y = f(x) entonces defina x = t y por consiguiente y=f(t) en
donde bta
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-4 -2 2 4
-30
-20
-10
10
20
30
-2 -1 1 2
-2
-1
1
2
Asiacute en el caso de la paraacutebola la parametrizacioacuten adecuada es x
=t y = t2 tal como estaba planteada originalmente Ahora si la funcioacuten es y = 2x3-10x con 44 x entonces la
parametrizacioacuten adecuada es
)102()( 3 tttt 44 t
La graacutefica de esta curva asociada a la trayectoria es
Parametrizacioacuten de una circunferencia Elipse e Hipeacuterbola
La ecuacioacuten cartesiana de una circunferencia con centro en el origen y
radio dos estaacute dada por 422 yx Al intentar escribir esta ecuacioacuten en
funcioacuten de un solo paraacutemetro se requiere despejar a la variable y obteniendo
dos funciones que son 24 xy Con 22 x
La graacutefica de esta curva permite visualizar que no pertenece a una
funcioacuten sino maacutes bien a dos que son las enunciadas anteriormente y como se ve a continuacioacuten
24 xy
24 xy
Una forma de representar esta curva es por medio de dos trayectorias
)4()( 2
1 ttt y )4()( 2
2 ttt 22t
Una forma alternativa de representar esta curva es por medio del uso de coordenadas polares en donde x=rCos(t) y= rSen(t) como el radio es fijo y es igual a dos estas ecuaciones se pueden escribir en funcioacuten de un solo paraacutemetro ldquotrdquo x=2Cos(t) y=2Sen(t) note que al evaluar x2+y2=4Cos2(t)+4Sen2(t) = 4(Cos2(t)+Sen2(t))=4 con lo cual satisface la
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ecuacioacuten de la circunferencia quedando expresada la trayectoria de la siguiente forma
σ(y) = (2Cos(t) 2Sen(t) con 0letle2π En esta ecuacioacuten define por completo a la curva auacuten y cuando la
ecuacioacuten original no es una funcioacuten siendo esto una ventaja del estudio de la trayectorias
Ejemplo- La parametrizacioacuten de la elipse 12
2
2
2
b
y
a
x queda
expresada por x = aCos(t) y=bSen(t) se deja como ejercicio comprobar este resultado
Ejemplo- La parametrizacioacuten de la hiperbola 12
2
2
2
b
y
a
x queda
expresada por x = aCosh(t) y=bSenh(t) en donde se trabaja con las funciones de Seno y Coseno hiperboacutelicas se deja como ejercicio comprobar este resultado (aunque soacutelo permite representar el lado correspondiente a los cuadrantes I y IV en donde la x es no negativa
Derivada de una trayectoria La derivada de una trayectoria es un vector tangente a la curva esto se
deriva del siguiente anaacutelisis
Dada la trayectoria σ(t) se grafican la posicioacuten de la curva al tiempo t y t+h luego trace el vector asociado a la liacutenea secante que une los puntos de aquiacute al tomar valores cada vez maacutes pequentildeos de h el vector secante se convierte en un vector tangente a la curva como se muestra a continuacioacuten
Por otra parte el anaacutelisis vectorial de este cociente es
)()()(
0
tt
tht
h
Liacutem
Es decir la derivada de la trayectoria y el vector resultante es
tangente a la curva
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Asiacute para el caso de una curva en el plano la trayectoria se puede describir por medio de dos funciones x(t) y(t) de la siguiente forma
)(
)()(
ty
txt
En donde la derivada de esta funcioacuten es
)(
)()(
ty
txt
Vector tangente a la graacutefica de una circunferencia de radio R Ahora si se tiene la parametrizacioacuten de una circunferencia esta esta
dada por σ(t) = ( RCos(t) R Sen(t))
Y X
Un vector tangente tiene que cumplir que su producto punto tiene que
ser cero de aquiacute si V=(AB) al multiplicarlo por el vector σ su producto punto tiene que ser cero
De aquiacute que σ(t)V = ARCos(t) + BRSen(t) = 0 Existiendo muchas soluciones a este sistema de ecuaciones siendo una
de ellas cuando A = Cos(t) B=-Sen(t)
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Vector trasladado
Siendo este un vector tangente a la curva ahora al derivar las
componentes xrsquo(t) = -RSen(t) y(t) = RCos(t) que es un muacuteltiplo escalara del vector tangente mostrado anteriormente
Definicioacuten- (Rotacional) El rotacional de un campo vectorial
F=Pi+Qj+Rk de clase C1 de define como el vector
i j k
RotFx y z
P Q R
Ejemplos- Determine el rotacional de los siguientes campos vectoriales
F1=xi+yj+zk F2=x2yi-xy
2j-3zyk
Solucioacuten-
1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0
i j k
RotF z y i z x j y x kx y z y z x z x y
x y z
2 2 2 2
2
2 2
( 3 ) ( ) ( 3 ) ( ) ( ) ( )
3
i j k
RotF zy xy i zy x y j xy x y kx y z y z x z x y
x y xy zy
2 2
2
2 2
3 0
3
i j k
RotF z i j y x kx y z
x y xy zy
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Definicioacuten- (Divergencia) Si F es un campo vectorial de clase C1 la divergencia de F se define como un campo escalar de la siguiente forma
( )P Q R
divF div Pi Qj Rkx y z
Ejemplos- Determine la divergencia de los siguientes campos vectoriales F1=xi+yj+zk F2=x
2yi-xy
2j-3zyk
Solucioacuten-
1 ( ) ( ) ( ) ( ) 3divF div xi yj zk x y zx y z
2 2 2 2
2 ( 3 ) ( ) ( ) ( 3 ) 2 2 3 3divF div x yi xy j zyk x y xy zy xy xy y yx y z
Definicioacuten- (Laplaciano) Si f es un campo escalar de clase C2 el Laplaciano de f se define como un campo escalar de la siguiente forma
2 2 2
2
2 2 2xx yy zz
f f ff f f f f
x y z
Ejemplos- Determine la divergencia de los siguientes campos escalares g1(x
y z) = xy2z
3 g2(x y z) = x
2 + y
2 + z
2
2 2 2
2 2 3 2 3 2 3 2 3 3 2 2
2 2 2( ) ( ) ( ) 2 3 f f xy z xy z xy z y z yz xy z
x y z
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2( ) ( ) ( ) 6f f x y z x y z x y z
x y z
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Tarea nuacutemero 3 Trayectorias
Objetivo- Que el alumno sea capaz de comprender los conceptos de movimiento de una partiacutecula a lo largo de una trayectoria y de la importancia del uso de vectores en este tema 1- Si la trayectoria σ(t) = t2i+t2j define la trayectoria seguida por una partiacutecula con respecto al tiempo determine 1a- iquestEl tipo de trayectoria que describe 1b- Realice una graacutefica de la distancia recorrida por la partiacutecula con respecto al tiempo en los primeros tres segundos 1c- Determine el tipo de movimiento de la partiacutecula 1d- iquestSe puede afirmar que es un movimiento uniformemente acelerado 1e- Determine la aceleracioacuten y velocidad a los cuatro segundos 1f- Realice una graacutefica de su rapidez con respecto al tiempo 1g- Realice una graacutefica de sus aceleracioacuten con respecto al tiempo 1h- En la graacutefica de la trayectoria agregue graacuteficamente los vectores aceleracioacuten y velocidad 2- Realice lo mismo que en ejercicio anterior pero ahora con la funcioacuten γ(t) = Cos(t) i+5Sen(t)j 3- Dadas las funciones f(t) = 3t2i-4t3j+e2tk y g(t) = 4t3i+4t2j+e-2tk 3a- Determine la funcioacuten producto punto h = fg 3b- Determine la derivada de h 3c- Usando la regla de diferenciacioacuten determine la derivada de h y compruebe el inciso anterior 4a- Determine la funcioacuten producto cruz k = ftimesg 4b- Determine la derivada de h 4c- Usando la regla de diferenciacioacuten determine la derivada de h y compruebe el inciso anterior 5- Determine el Rotacional y la Divergencia del siguiente campo vectorial G(x y z) = 2xy i + 3xz j - 5xy k 6- Determine el gradiente y el Laplaciano del siguiente campo escalar f(xyz) = 4x2-3yz2 7- Dado el campo vectorial F(x y z) = 2xy i + x2 j +3z2 k 7a- Determine si F puede representar el gradiente de un campo escalar f 7b- En caso de ser afirmativa la respuesta del inciso anterior determine el campo escalar f 8- Pruebe que la divergencia del rotacional de un campo vectorial F=Pi+Qj+Rk es igual a cero Es decir la div rot F =0 9- Usando las reglas de diferinciacioacuten pruebe que
gfgfgf
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100 -x
Capitulo 4 Maacuteximos y miacutenimos
Es indispensable determinar en distintos problemas las soluciones oacuteptimas que permitan establecer por ejemplo los valores maacuteximos de produccioacuten o ahorrar el material en la construccioacuten de cierto equipo
Como se recordaraacute el gradiente de una funcioacuten indica la direccioacuten de
maacuteximo crecimiento esto se refleja en que si se toma la direccioacuten sugerida por este vector el valor de la funcioacuten aumenta en una vecindad del mismo asiacute si en un diagrama de un campo gradiente aparecen un punto en donde convergen la direccioacuten de todos los gradientes se encontraraacute que dicho valor debe de ser un valor maacuteximo para la funcioacuten de estudio Un diagrama de esta tipo se ejemplifica a continuacioacuten
Un diagrama en donde todos los vectores apuntan hacia fuera de un
punto indicaraacute que este punto debe de ser un valor miacutenimo de la funcioacuten Citemos el siguiente ejemplo de una variable con la finalidad de
centrarnos en el tema Una persona desea bardear un terreno en forma rectaacutengular cuanto debe de medir cada lado de manera tal que el aacuterea cercada sea maacutexima si se cuenta con 200 metros de malla
La funcioacuten que representa dicho modelo es
A(x) = x(100-x) x
Como se puede observar el aacuterea es cero si x es igual a cero o a cien con lo cuaacutel el lado x debe de estar en en intervalo [0 100] siendo estas las restricciones del problema Derivando la funcioacuten para obtener los valores critiacutecos se tiene que Arsquo(x) = 100 ndash 2x
Al igual la derivada a cero se concluye que el valor critico es x es igual a 50 Al derivar por segunda ocasioacuten se concluye que
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Arsquorsquo(x) = -2 Como la segunda derivada es siempre negativa se concluye que la funcioacuten alcanza un valor maacuteximo en el valor critico en este caso en x = 50 al interpretar dicho resultado se concluye que el terreno que optimiza la solucioacuten es un cuadrado Ejercicio- Que aacuterea se genera si el terreno es de forma circular Al resolver el ejercioacute anterior y comparar las aacutereas del cuadrado y del circulo se puede apreciar que el aacuterea del circulo es mayor pero en la praacutectica es poco atractivo cercar terrenos circulares por diversas razones pero en la naturaleza es comuacuten observar que las gotas de lluvia sean esferas esto permite el optimizar recursos y maacuteximizar el volumen del liacutequido contenido en la misma Se iniciara el estudio formal de maacuteximos y miacutenimos de funciones de varias variables observando las siguientes graficas con la finalidad de tener la idea clara de que es un maacuteximo o miacutenimo o un punto silla
En la primera de ellas se observa que la funcioacuten tiene un valor miacutenimo en la segunda se observa que la funcioacuten tiene un valor maacuteximo y en la uacuteltima la funcioacuten tiene un punto silla este se identifica el dirigirnos en una direccioacuten la funcioacuten crece mientras que en la otra la funcioacuten decrece
Definicioacuten- Una funcioacuten mn RRf tiene un valor maacuteximo local en x0 si en
una vecindad de dicho valor se cumple que la funcioacuten evaluada en todos los vecinos ninguno de ellos supera a f(x0) Es decir f(x0) f(x) para todo x en una vecindad de x0 El punto es llamado un maacuteximo absoluto si la funcioacuten toma el valor maacuteximo en dicho punto para todo valor de su dominio
Esto es muy similar cuando uno observa a los alumnos de un saloacuten de clases existe un alumno que tiene la mayor estatura si ninguno de sus compantildeeros lo supera Asiacute en la escuela el alumno de mayor estatura absoluta es aquel que supera a todo el plantel
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La definicioacuten para el miacutenimo local (absoluto) es similar
f(x0) f(x) para todo en una vecindad de x0 Por ejemplo la funcioacuten f(xy) = x2+y2 tiene un valor miacutenimo en el origen dado que en este valor la funcioacuten vale cero mientras que fuera de ahiacute siempre es positiva dado que todo nuacutemero real elevado al cuadrado es siempre positivo Ademaacutes dicho valor es un miacutenimo absoluto Como se menciono al inicio de esta capitulo el diagrama del campo
gradiente de esta funcioacuten y
xyxf
2
2)( indica que la funcioacuten tiene un valor
miacutenimo siendo la grafica del mismo la siguiente Sin embargo se requiere un criterio maacutes general y sistemaacutetico que permita establecer los posibles valores maacuteximos miacutenimos o puntos silla) Definicioacuten- (Un valor extremo) Si la funcioacuten posee un valor maacuteximo o miacutenimo este es llamado un valor extremo Definicioacuten- (Un valor critico) Un punto en donde la derivada de la funcioacuten se anula es llamado un valor critico Teorema- Todo valor extremo es un valor critico Es decir si f posee un valor extremo en x0 que pertenece a su dominio entonces la derivada de la funcioacuten en el punto x0 se anula Es decir Df(x0) = 0 Demostracioacuten- Sea l(t) una trayectoria que pasa a traveacutes por el punto x0 defina la composicioacuten de funciones h(t) = f(l(t)) donde l(t) = x0 + tv de donde lrsquo(t) = v y ademaacutes
))(()())(()( VtlftDltlDftDh (1)
Por otra parte como f posee un valor extremo en x0 suponga que dicho
valor es un maacuteximo entonces x0 seraacute a la vez un maacuteximo para la funcioacuten h y como h es una funcioacuten real esto significa que la derivada de h en dicho punto
se anula es decir 0)()0())0(()0( 0 vxfDllDfDh ahora como los
vectores )( 0xf y v no son necesariamente perpendiculares y el vector v a la
vez tampoco se anula entonces esto implica que el gradiente de f en x0 es igual a cero y por lo tanto f posee un valor criacutetico en x0
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Este resultado permite establecer posibles valores criacuteticos de una funcioacuten asiacute se menciona el siguiente ejemplo Ejemplo- Determine los posibles valores criacuteticos de las siguientes funciones (1) f(x y) = x2 + y2 y (2) g(x y) = 4x3 -12x + y2
Solucioacuten-
(1) 0
0
2
2)(
y
xyxf de aquiacute se concluye que dicho valor soacutelo
existe un valor criacutetico siendo este el origen el cuaacutel ya se clasifico en estos apuntes y resulto ser un valor miacutenimo
(2) 0
0
2
1212)(
2
y
xyxg de aquiacute se obtienen dos valores criacuteticos
que son (-10) y 1l (10) Los cuales se pueden clasificar el realizar el graacutefico del campo gradiente En donde se aprecia que en el punto (-10) la funcioacuten posee un punto silla mientras que en el punto (10) la funcioacuten posee un valor miacutenimo
Aquiacute se utilizaraacute el criterio del hessiano para determinar si el valor criacutetico es un maacuteximo un miacutenimo o un punto silla Solo se enunciara el teorema sin demostracioacuten para ver la misma puede revisar en el libro de Marsden Tromba de Caacutelculo Vectorial
Definicioacuten- El Hessiano de una funcioacuten 22 RRH de clase C2 se define como una funcioacuten cuadraacutetica que se escribe como
2
1
2
22
2
2
2
21212
1)(
h
h
y
f
yx
f
xy
f
x
f
hhhhH
Evaluada la matriz de las segundas derivas parciales en el valor criacutetico
Teorema- Si el Hessiano de una funcioacuten 2 RRf es definitivamente
positivo entonces la funcioacuten tiene un valor miacutenimo en dicho punto
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Corolario- Si la matriz asociada A=cb
ba de una forma cuadraacutetica dos
por dos es definitivamente positiva si y soacutelo si se cumple que agt0 y det A gt0
Teorema de una valor para un valor extremo miacutenimo- Una funcioacuten
2 RRf de clase C2 posee un valor extremo miacutenimo local en x0 elemento
del dominio de la funcioacuten si y soacutelo si se satisfacen las siguientes condiciones
(i) 0)( 0xx
f y 0)( 0x
y
f
(ii) )( 02
2
xx
f gt 0
(iii) )( 02
2
xx
f)( 02
2
xy
f)(
2
2
oxx
f)( 02
2
xx
f gt 0
Para un valor maacuteximo las condiciones (i) y (iii) se mantienen la uacutenica que cambia en la segunda en donde esta debe ser negativa Para un punto silla se requiere que al menos no se cumplan las condiciones de valor maacuteximo ni miacutenimo y que la uacuteltima condicioacuten (iii) sea distinta de cero En caso contrario el criterio no permite clasificar dicho valor como se mostraraacute en un ejemplo maacutes adelante Ejemplo- Ahora continuando con los ejemplos anteriores
(1) Para f(xy) = x2+y2 el valor critico es el origen y el hessiano asociado es
2
1
212100
02
2
1)(
h
hhhhhH
Como se pude apreciar el primer valor es positivo 2 gt0 y el determinante de
la funcioacuten 20
02det es igual a 4 que a la vez es positivo de manera tal que la
funcioacuten posee un valor miacutenimo en el origen
(2) g(x y) = 4x3 -12x + y2 los puntos criticos son (-10) y (10) y el hessiano asociado a esta forma cuadraacutetica es
2
1
212120
024
2
1)(
h
hxhhhhHg
Ahora al evaluar en los puntos se tiene En el (-10)
2
1
212120
024
2
1)(
h
hhhhhHg
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En donde -24 lt 0 y det Hg = -48 lt0 con lo cuaacutel debe de ser un punto silla
En el (10)
2
1
212120
024
2
1)(
h
hhhhhHg
En donde 24 gt 0 y det Hg = 48 gt0 con lo cuaacutel debe de ser un punto miacutenimo
Tal como se habiacutea estimado en la graacutefica del campo gradiente de la
solucioacuten anterior A continuacioacuten se muestra un bosquejo de dicha graacutefica realizado en el derive
Ejemplos de cuando el criterio permite clasificar los
valores criacuteticos
Ejemplo- A continuacioacuten se mostrara un ejemplo de cuando el criterio no concluye asiacute si la funcioacuten es h(xy) = x4+y4 al calcular las derivas parciales mixtas fx=4x3 y fy=4y3 se encuentra un solo valor critico el origen miestras que la matriz asociada del hessiano es
2
2
120
012
y
x y al evaluar en el origen queda expresada como
00
00
)0(120
0)0(122
2
En donde se puede apreciar que fallan todos los criterios una inspeccioacuten de
la funcioacuten original permite ver que la funcioacuten tiene un valor miacutenimo en dicho punto pero no es una generalizacioacuten es decir no se puede decir que siempre que aparezca la matriz de ceros se tenga un valor miacutenimo dado que si se analiza ahora a las funciones k(xy) = -x4-y4 y p(xy) = x4-y4 ambas tienen como calor extremo al origen y la matriz hessiana asociada a la forma cuadraacutetica evaluada en el origen es la matriz de ceros
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Ejemplo- Otro ejemplo en donde el criterio no concluye es el siguiente en
donde el determinante de la matriz H es cero debido a que la segunda derivada de la funcioacuten f con respecto a la segunda variable se anula (fyy = 0) y no se puede asegurar que se tenga un punto maacuteximo miacutenimo o silla
Las funciones f1(xy) = x2 f2(xy) = -x2 y f3(xy) = x3 presentan este
problema a continuacioacuten se muestran las graficas de dichas funciones
En cada una de ellas los puntos criacuteticos son las parejas en el plano (0 y) Es decir el eje coordenado X
El Hessiano respectivo de cada uno es el siguiente
00
02)(1 yxH
00
02)(2 yxH
00
03)(3
xyxH
Note que el determinante de cada de estas matrices se hace cero y que fyy
se anula en cada caso
Ahora observando las graacuteficas se verifica visualmente que en la primera se tienen valores miacutenimos en la segunda maacuteximos y en la uacuteltima no es ni maacuteximo ni miacutenimo o punto silla
Ejemplo- Citemos otro ejemplo en donde el criterio de maacuteximos y miacutenimos
no concluye Determine los puntos criacuteticos de la funcioacuten h(xy) = x4 Se tiene que hx=4x3=0 y hy=0 de donde se deduce que la funcioacuten tiene
un nuacutemero infinito de puntos criacuteticos estos son las parejas ordenadas en el plano (0y)
La matriz del Hessiano asociado es
00
012)(
2
1
xyxH y evaluando en el punto
00
00)0(1 yH
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40
En donde no se puede clasificar a los valores criacuteticos sin embargo
realizando una inpeccioacuten de la funcioacuten se puede concluir que todos los puntos representan valores miacutenimos de la funcioacuten original a continuacioacuten se muestra la grafica de la misma
El Hessiano para n variables y el criterio de clasificacioacuten
Cuando la funcioacuten tiene maacutes de dos variables se genera una matriz asociada H en cada uno de los valores criacuteticos de la siguiente forma
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
H
21
22221
11211
De aquiacute se definen las siguientes matrices
111 aH 2221
1211
2aa
aaH hellip HH n
Los criterios para los valores criacuteticos de la funcioacuten RRf n son los
siguientes [Miacutenimo Local] La funcioacuten f posee un valor extremo local miacutenimo en x0 si todos los determinantes de las submatrices evaluados en x0 son positivos
0det 1H 0det 2H hellip 0det 2H (+ + hellip +)
En este caso la forma cuadraacutetica se puede probar que es definitivamente positiva [Maacuteximo Local] La funcioacuten f posee un valor extremo local miacutenimo en x0 si todos los determinantes de las submatrices evaluados en x0 se alternan en signo pero el primero de ellos debe ser negativo
0det 1H 0det 2H hellip 0det 2H (- + - + hellip )
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En este caso la forma cuadraacutetica se puede probar que es definitivamente negativa [Punto Silla] La funcioacuten f posee un punto silla si no se cumplen los criterios de valor miacutenimo o maacuteximo y al menos uno de los subdeterminantes es distinto de cero
Existe un i tal que 0det iH
Ejemplos- Determine los valores criacuteticos de las siguiente funcioacuten f(x y z w) = x3 - 3x + y3 ndash 3y + z2 + w2 y claacutesifiquelos Solucioacuten- Al resolver las siguientes ecuaciones
033 2 xxf x 033 2 yyf y 02zf z y 033 2 wwfw
Se obtienen cuatro puntos criacuteticos que son (-1-100) (-1100) (1-100) y (1100) ahora se genera la matriz del hessiano asociado siendo esta
2000
0200
0060
0006
y
x
H
Al evaluar en cada uno de los puntos se tienen las siguientes matrices
2000
0200
0060
0006
)0011(H
2000
0200
0060
0006
)0011(H
2000
0200
0060
0006
)0011(H y
2000
0200
0060
0006
)0011(H
Los sub determinantes para cada uno de los puntos son [(-1 -1 0 0)] -6 36 72 144 que clasifica como un punto silla [(-1100)] -6 -36 -72 -144 que clasifica como un punto silla [(1-100)] 6 -36 -72 -144 que clasifica como un punto silla [(1100)] 6 36 72 144 que clasifica como un valor miacutenimo De manera tal que la funcioacuten tiene tres puntos silla y un valor miacutenimo
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Ejercicios- Determine los puntos criacuteticos de las siguientes funciones y claacutesifiquelos utilizando el criterio del Hessiano
(1) f(x y) = x2 - y2 (Silla de montar)
(2) g(x y) = 22 yx (Cono)
(3) h(x y z) = x4 - 2x2 + 2y3 -3y2 + z3-3 Ejercicio- Se requiere construir una lata con tapa que contenga un litro de agua con el miacutenimo de material determine las condiciones que oacuteptimizan el problema Ejercicio- Determine el producto maacuteximo de tres nuacutemeros si la suma de ellos debe ser 40 Ejercicio- Determine la distancia miacutenima del origen a la graacutefica de la funcioacuten f(xy) = 4-x2+y Ejercicio- Estudie los ejemplos resueltos que trae el libro de Marden Tromba en el capitulo 4 en especial el referente a la ecuacioacuten de miacutenimos cuadrados Ejercicio- Determine la ecuacioacuten lineal que mejor se ajusta a los puntos (12) (2 32) (3 389) (4 488) (5 55) Utilize el criterio de miacutenimos cuadrados en caso de que el modelo sea lineal (justifique la linealidad del mismo realice una graacutefica de los puntos y de la liacutenea que ajusta a los puntos) Ejemplo- (Aplicacioacuten) En este ejemplo dermina la distancia miacutenima del punto (100) a la graacutefica de una funcioacuten f(x y) = x2+y2
Solucioacuten- Todos los puntos que se encuentran sobre la graacutefica de la funcioacuten satisfacen la siguiente terna de valores en donde se observa que la tercer componente es la variable dependiente (x y x2+y2)
La distancia del punto (1 0 0) a los puntos que estaacuten sobre la graacutefica (x y x2+y2) Se define por medio de la funcioacuten
2222222 )()1()()001()( yxyxyxyxdyxfd
Para determinar el valor miacutenimo o maacuteximo de esta funcioacuten basta con
analizar su argumento dado que es un funcioacuten creciente Es decir Si x1lt x2
entonces f(x1) lt f(x2) lo que es vaacutelido para la funcioacuten )( xxf (ver graacutefica)
2x
1x
x1 x2
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De este modo la funcioacuten a maximizar es
2222222
11 )()1()()001()( yxyxyxyxdyxfd
De aquiacute al las derivadas parciales son
)(4)1(2)( 22
1 yxxxyxfd x y )(42)( 22
1 yxyyyxfd y
Igualando ambas ecuaciones a cero se puede establecer la siguiente
ecuacioacuten
)(4
)(4
2
2222
22
yxy
yxx
y
x (3)
De aquiacute si )00()( yx y 0y se concluye que -1=0 lo cual es una
contradiccioacuten Por otra parte si (xy)=(00) en la primera ecuacioacuten se tiene que 1=0 que es tambieacuten una contradiccioacuten Finalmente si se considera el caso en
que y=0 se obtiene de la siguiente ecuacioacuten 012 3 xx
El polinomio 12)( 3 xxxP tiene una raiacutez entre el cero y el 1 dado
que P(0)=-1 y P(1)=2 Con el anaacutelisis de raiacuteces racionales dos posibles raiacuteces
son 2
1 y como
2
1 estaacute entre cero y uno al usando divisioacuten sinteacutetica se
obtiene que 4
1
2
1P Asiacute que la raiacutez debe de estar en el intervalo 1
2
1
Ahora usando el meacutetodo de Newton con semilla en 2
10x se obtiene
que 6010
6
2
54
1
2
1
)(
)(
0
0
01xf
xfxx
Ahora al evaluar la funcioacuten en dicho punto se tiene que 0320)60(P el
cual es aceptable como raiacutez del polinomio en una sola interaccioacuten De manera tal que el punto criacutetico de la funcioacuten es el (060) El Hessiano asociado es
24128
82412)(
22
22
xyxy
xyyxyxH
Como se puede apreciar el primer elemento de la matriz es positivo independientemente de los valores de x e y Falta evaluar el determinante de H este es igual a
)64)2412)(2412()(det 222222 yxxyyxyxH
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Ahora evaluando en (06 0) se tiene 7421)443)(326()060(det H
Que tambieacuten es positivo de manera tal que se tiene un valor miacutenimo Es
decir la se obtuvo la distancia miacutenima
Maacuteximos y Miacutenimos con restricciones
Los muacuteltiplicadores de Lagrange permite determinar valores maacuteximos o miacutenimos de funciones con restricciones De este tipo de problemas esta lleno nuestro contorno desde el panedero que desea producir la maacutexima cantidad de pan pero con la restriccioacuten del capital que tiene o la posible venta del diacutea para que no tenga sobrantes
Citemos el siguiente ejemplo la graacutefica de paraboloide z = x2+y2 esta
graacutefica soacutelo tiene un valor miacutenimo en el origen sin embargo si esta restringida
al cuadrado unitario 1111 la funcioacuten alcanza cuatro puntos maacuteximos en
los puntos (-11)(-1-1) (1 -1) y (11) a saber dicho valor es 2 Como se observa en la figura
Ahora si se trabaja con la silla de montar con la misma restriccioacuten esta
funcioacuten tiene originalmente un punto silla en el origen pero al analizar las restricciones se contiene dos valores maacuteximos y dos miacutenimos en los puntos (10) (-10) (0-1) y (01)
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Muacuteltiplicadores de Lagrange Teorema- Dadas dos funciones fg Rn a R diferenciables en X0 elemento del dominio de ambas funciones Si Lc es el conjunto de nivel de valor c de la funcioacuten g y si f posee un valor maacuteximo miacutenimo o silla en la restriccioacuten Lc
entonces existe un nuacutemero real λ tal que )()( 00 XgXf
Se puede ver parte de la demostracioacuten de este teorema en el libro de Marsden Tromba Para clasificar los puntos criacuteticos se utiliza el criterio del Hessiano limitado el cuaacutel se define a partir de la funcioacuten auxiliar H(x1 x2 hellip xn) = f(x1 x2 hellip xn) - λ g(x1 x2 hellip xn)
nnnn
n
n
xxxxx
xxxxx
xx
hhg
hhg
gg
H
1
1111
10
||
Ahora defina los siguientes determinantes
22122
21111
210
|| 1
xxxxx
xxxxx
xx
hhg
hhg
gg
H
3323131
3222121
3121111
3210
|| 2
xxxxxxx
xxxxxxx
xxxxxxx
xxx
hhhg
hhhg
hhhg
ggg
H ||det|| HHn
Criterios para maacuteximos y miacutenimos con restricciones (Hessiano liacutemitado) [Miacutenimo Local] Se tiene un miacutenimo local si y soacutelo si todos los determinantes son negativos |H1| lt0 |H2| lt0 hellip |Hn|lt0 ( - - - - - hellip)
[Maacuteximo Local] Se tiene un maximo local si y soacutelo se inicia con un determinante positivo y luego se alternan los signos |H1| gt 0 |H2| lt 0 hellip |Hn|lt0 (+ - + - hellip)
[Punto del tipo Silla] Se tiene un punto tipo silla sino se satisface los criterios de maacuteximos o miacutenimos y al menos uno de los determinantes es distinto de cero Ejemplo- Determine si la funcioacuten f(xy)= x2 ndash y2 tiene valores criacuteticos en la restriccioacuten x2+y2=1
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)(2
2
2
2)( 00 Xg
g
g
y
x
y
x
f
fXf
y
x
y
x
de aquiacute se obtienen las ecuaciones 2x = 2 λx -2y = 2 λy x2 + y2 =1 Las soluciones de este sistema de ecuaciones son (-101) (101) (0-1-1) y (0-11) El Hessiano liacutemitado es
2202
0222
220
||
y
x
yx
H
El determinante es igual a det|H| = 8x2(1+λ) ndash 8y2(1-λ) ahora evaluando
cada uno de los puntos se tiene que det|H|(-101) = 16 gt 0 det|H|(101) = 16 gt 0 det|H|(0-1-1) = -16 lt 0 det|H|(0-11) = -16 lt 0
De manera tal que la funcioacuten posee dos valores maacuteximos en los puntos (-10) y (10) y por otra parte tiene dos valores miacutenimos en los puntos (0-1) y (0-1) Ejemplo- Determine si la funcioacuten f(xy)= x2+y2 tiene valores criacuteticos en la restriccioacuten x2-y2 le 4 Al iniciar este estudio se trabaja con el interior es decir x2-y2 lt 4 dando como resultado el anaacutelisis de maacuteximos y miacutenimos de una funcioacuten en general de donde el gradiente de f se anula uacutenicamente en el origen siendo este valor un miacutenimo como se habiacutea visto en un ejercicio anterior para la funcioacuten del paraboloide Ahora al trabajar sobre la frontera se usa el criterio de muacuteltiplicadores de Lagrange
)(2
2
2
2)( 00 Xg
g
g
y
x
y
x
f
fXf
y
x
y
x
de aquiacute se obtienen las ecuaciones 2x = 2 λx 2y = -2 λy x2 - y2 = 4
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Las soluciones de este sistema de ecuaciones son (-201) y (201) El Hessiano liacutemitado es
2202
0222
220
||
y
x
yx
H
El determinante es igual a det|H| = -8x2(1+λ) + 8y2(1-λ) ahora
evaluando en cada uno de los puntos se tiene que det|H|(201) = -64 gt 0 y det|H|(-201) = -64 lt 0
De manera tal que la funcioacuten posee dos valores miacutenimos en los puntos (-20) y (20)
Una anaacutelisis de la graacutefica de esta funcioacuten permite visualizar que dichos
puntos no son miacutenimos maacutes bien son puntos tipos silla y no es que el criterio falle sino maacutes bien que los valores son miacutenimos pero sobre el complemento es decir bajo la restriccioacuten x2-y2 ge 4 Ejemplo- Determine los valores criacuteticos de la funcioacuten f(xyz) = 2x+y+3z sujeta a la restriccioacuten x2+y2+z2 le 36 Solucioacuten- Un anaacutelisis de las condiciones iniciales muestra que la graacutefica a maximizar en un hiperplano restringido en su dominio a una esfera de radio 6 de acuerdo a estas condiciones la funcioacuten en su interior no debe tener valor criacuteticos y en la frontera debe tener un valor miacutenimo y un valor maacuteximo En el interior- Al derivar la funcioacuten original se tiene lo siguiente
3
1
2
)( 0
z
y
x
f
f
f
Xf
De aquiacute se observa que la funcioacuten no posee valores criacuteticos en todo su dominio tal y como se esperaba Frontera- Al utilizar las condiciones del los Muacuteltiplicadores de Lagrange se tiene lo siguiente
)(
2
2
2
3
1
2
)( 00 Xg
z
y
x
f
f
f
Xf
z
y
x
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De aquiacute se genera el siguiente sistema de ecuaciones 2 = 2λx 1 = 2λy 3 = 2λz x2+y2+z2=36
Resolviendo el sistema se concluye que 2
1
1yx amp
2
3z Ahora
sustituyendo en la uacuteltima ecuacioacuten se deduce que la funcioacuten posee dos valores criacuteticos que son
18
14
14
1427
14
149
14
1418amp
18
14
14
1427
14
149
14
1418
La funcioacuten auxiliar es H(xyzλ) = 2x+y+3z-λ(x2+y2+z2) donde Hx=2-2λx Hy=1-2λy Hz=3-2λz El Hessiano Liacutemitado es
2002
0202
0022
2220
||
z
y
x
zyx
H
De aquiacute
0
0)(8
202
022
220
|| 22
1si
siyx
y
x
yx
H
0576)(16
2002
0202
0022
2220
|| 22222 zyx
z
y
x
zyx
H
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49
De aquiacute se desprende que la funcioacuten f(xyz) = 2x+y+3z posee un valor miacutenimo
en el punto 18
14
14
1427
14
149
14
1418 restringido a x2+y2+z2 = 36 y un
maacuteximo en el punto 18
14
14
1427
14
149
14
1418
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Tarea nuacutemero 4 Maacuteximos y Miacutenimos
Objetivo- Que el alumno sea capaz de aprender a resolver problemas asociados a la vida real haciendo uso del caacutelculo de varias variables Aquiacute se enuncian los siguientes ejercicios adicionales dado que muchos de los mismos se fueron exponiendo a lo largo del capiacutetulo y se sugiere que se revisen los problemas resueltos y propuestos en la libros de la bibliografiacutea dado que las aplicaciones son muchas 1- Determine los valores maacuteximos y miacutenimos de la funcioacuten f(xy) = x +y sujeta a la restriccioacuten x2+2y2le18 (Realice un bosquejo de la graacutefica y se restriccioacuten)
2- Determine los valores maacuteximos y miacutenimos de la funcioacuten f(xy) = x2 +y2 sujeta a la restriccioacuten x+2y le 4 (Realice un bosquejo de la graacutefica y se restriccioacuten)
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51
Bibliografiacutea
1 Caacutelculo Vectorial Marsden amp Tromba Addison-Wesley Iberoamericana
2 Caacutelculo Multivariable James Steward Thomson Editores
3 Caacutelculo con Geometriacutea Anaacutelitica Zill Grupo Editorial Iberoameacuterica
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10
Si el aacutengulo entre los vectores y es de 90ordm se tiene que || - || 2 = || || 2 + || ||2 Luego sustituyendo los valores correspondientes (x1-x2)
2 + (y1-y2)2 = (x1
2+y12) + (x2
2+y22)
De aquiacute se concluye que x1y1+ x2y2 = 0
es decir los vectores y son ortogonales entre siacute la demostracioacuten del reciproco se realiza de manera similar es decir si el producto punto es cero se tiene que 2 |||| |||| Cos = 0 y como se asume que ninguno de ellos es el vector cero la uacutenica forma en que esto sigue siendo cierto es que Cos sea igual a cero conclusioacuten que nos lleva al resultado esperado
Ejercicio- Determine un vector ortogonal al vector
(a) V = 7
1 (b) V =
a
1 y (c) V =
a
a 1 a es un nuacutemero real
Representacioacuten de regiones en el plano haciendo uso de vectores
Un punto (ab) en el plano puede ser representado por el vector V = b
a
ahora al tener muacuteltiplos de dicho vector de la forma tV = t b
a=
tb
ta con t un
nuacutemero real se genera una infinidad de vectores y cada uno de ellos tiene asociado uno y soacutelo un punto en el plano (sin considerar la propiedad de traslacioacuten de los vectores) Se afirma que todos estos puntos pertenecen o estaacuten en la misma liacutenea
Sea X = y
x los puntos que pueden ser representados por medio del
vector tV entonces se tiene que X = tV esto es
y
x =
tb
ta
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11
De aquiacute se deduce que b
y
a
xt que permite establecer la relacioacuten
xa
by que corresponde a una liacutenea recta que pasa por el origen y contiene
al punto (ab) Otra caracteriacutestica importante es que la liacutenea recta posee la misma orientacioacuten que el vector que la genera
Si se tiene dos vectores V = 1
1
y
x y W =
2
2
y
x estos representan a dos
puntos en el plano si estos son colineales de acuerdo al desarrollo anterior a lo maacutes nos pueden representar una liacutenea recta Pero si ambos vectores no son colineales se pueden generar otro tipo de regiones en el plano
Dados estos dos vectores se pueden generar tres liacuteneas las cuaacuteles contienen a los puntos (x1y1) (x2y2) y el origen generando ademaacutes un triaacutengulo que se puede representar haciendo uno de las componentes de los vectores dados
(x2y2) B (x1y1) A C Para poder representar una regioacuten como la del triaacutengulo primero se representaraacute el segmento AB la forma de realizarlo es ver que este segmento esta asociado al vector W Ahora recordando que los vectores que pueden representar los puntos sobre la liacutenea que contienen al vector W son sus muacuteltiplos escalares entonces se requiere soacutelo una parte de ellos de tal forma que este segmento quedaraacute representado por los vectores (t) = t W con 0 t 1 Note que (t) es una funcioacuten del paraacutemetro t y como resultado nos da un vector en dos dimensiones Es decir se tiene una funcioacuten del segmento [01] al plano que satisface que (0) = (00) y (1) = (x2y2) Para poder representar una regioacuten con aacuterea distinta de cero se requieren dos vectores no colineales V y W de forma tal que al tomar combinaciones lineales de ambos permite definir otro vector en el plano pero ya no necesariamente en la misma direccioacuten de los originales como en el caso de una suma observe que el punto D ya no esta contenido ni en la direccioacuten del vector V ni en la del vector W
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12
B= (x2 y2) D = (x1+x2 y1+y2) W V+W
A V C = (x1 y1) El cuadrado ABDC queda completamente representado al definir las combinaciones lineales de V y W de la siguiente forma Todos los vectores en el plano que se pueden definir a partir de lo siguiente
(ts) = t V + s W
en donde t y s son nuacutemeros reales y ademaacutes tiene la siguiente restriccioacuten 0 t 1 y 0 s 1 Ejercicio- Represente todos los puntos en el plano cuya distancia al vector
V = 2
1 es de dos unidades
Ejercicio- Represente todos los puntos en el plano que representan a un rectaacutengulo y dos de sus aristas estaacuten ubicadas en los vectores
V = 2
1 y W =
5
0
Ejercicio- Muestre que con dos vectores no colineales es posible definir el plano bidimensional (de igual forma pruebe que el espacio tridimensional se puede definir a partir de tres vectores no coplanares)
Estructura Algeacutebrica del espacio vectorial Los vectores permiten tienen estructura algebraica que se puede definir a partir de sus operaciones definidas anteriormente Proposicioacuten- Dados tres vectores y en el plano y un escalar k estos poseen las siguientes propiedades
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13
(i) Ley Asociativa La suma de vectores es asociativa
(ii) Ley Conmutativa La suma de vectores es conmutativa
(iii) Neutro Aditivo Existe un vector 0
denominado neutro aditivo que satisface la siguiente propiedad
00
Es decir al sumar con cualquier vector en el plano el resultado es el mismo vector
(iv) Para todo vector en el plano existe un vector denominado el inverso aditivo - tal que la suma de ambos es igual a cero
+ - = - + = 0
Este vector cero ambas componentes son iguale a cero y si las componentes de son (ab) las de - son (-a -b) Con a y b nuacutemeros reales La demostracioacuten de estas propiedades se basan en el principio del campo de los nuacutemeros reales Como ejemplo se demostraraacute la propiedad (ii)
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14
Tarea 1 Caacutelculo 3 Caacutelculo Vectorial Objetivo- Que el alumno sea capaz de resolver problemas relacionados con vectores comprenda la ecuacioacuten de una liacutenea en el espacio la ecuacioacuten de un plano aacuterea de paralelogramos las propiedades algebraicas asociadas con vectores en dos y tres dimensiones en cuanto al producto punto producto por un escalar y producto cruz Finalmente que sea capaz de determinar el volumen de un paralelepiacutepedo 1- Determine la ecuacioacuten de los puntos en el espacio que (1a) pertenecen al eje X (1b) pasan por la recta y=3x (1c) pasan por el punto (1-11) y en direccioacuten del vector i+j (1d) representan a la recta de interseccioacuten de los planos 3x ndash 2y + z = 7 y 2x + 4y ndashz = 4 (1e) representan al plano ortogonal a la liacutenea x=2y = 3z 2- Que regioacuten del espacio representan los puntos (2a) con componentes (x1z) (2b) contenidos por el paralelogramo definido por los vectores i+j y 3i ndashj (haga un bosquejo) 3- Determine un vector que sea muacuteltiplo escalar del vector α = 3i + j pero de norma uno (El vector resultante recibe el nombre de vector normalizado del vector α) 4- Determine un vector perpendicular al vector β = 2i + 3i - 5k 5- Pruebe que la ley conmutativa es vaacutelida en el producto escalar es decir αβ = βα 6- Pruebe que la siguiente propiedad es vaacutelida en el producto escalar entre un muacuteltiplo escalar de α y el vector β (k α)(β) = k (αβ) = α(kβ) 7- Deduzca la ecuacioacuten que establece la distancia de un punto P=(x1 y1 z1) en el espacio y el plano A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0 (Puedes encontrar la demostracioacuten en alguacuten libro de caacutelculo vectorial o intentar demostrarla usando el concepto de proyeccioacuten ortogonal)
8- Determine la distancia entre los planos x + y + z = 0 y x + y + z = 1 (Trate de determinar dicha distancia entre los planos paralelos sin hacer uso de la foacutermula y luego use dicha foacutermula para establecer el resultado finalmente trate de dar una interpretacioacuten de dicha solucioacuten) 9- Determine el volumen del paralelepiacutepedo generado por los vectores V1=(322) V2=(202) y V3=(041) 10- Determine el volumen del paralelepiacutepedo con cuatro de sus veacutertices en los puntos (123) (024) (305) y (222) realice un bosquejo de dicho paralelepiacutepedo
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11- Pruebe que dados cuatro veacutertices de un paralelepiacutepedo en el espacio se pueden generar cuatro paralelepiacutepedos distintos pero de igual volumen 12- Pruebe que α (β times γ) = γ (α times β) 13- Pruebe que α times (β + γ) = α times β + α times γ 14- Determine el aacuterea del paralelogramo generado por los vectores i+j-k 2i-j 15- Determine el aacuterea del paralelogramo generado por los vectores 2i+j 3i ndash j 16- Determine el aacutengulo que existe entre los vectores i+j-k y 2j ndash k 17- Determine si el vector i+j es una combinacioacuten lineal del vector 2i ndashj 18- Determine si el vector i+j es una combinacioacuten lineal del vector 2i + 2j 19- Determine el aacutengulo entre los planos 2x ndash y + z = 0 y 3x ndashy + 2z = 0 20- Determine la distancia entre los planos x + y + z = 0 y x + y + z = 1
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Capitulo 2 Funciones Vectoriales
En este capitulo se veraacuten temas relacionados con funciones de varias variables que van a los nuacutemeros reales (a las cuales se les llaman funciones reales) o que van a maacutes dimensiones
Cuando uno habla de este tema es importante recalcar que en la vida cotidiana se presentan diversas aplicaciones con el hecho de manejar varias variables que van desde la preparacioacuten de un cafeacute hasta el hecho de planear la agenda diaria de coacutemo distribuir el tiempo
Citemos el siguiente ejemplo En un estudio de calidad de vida de los sentildeores casados y con hijos se realizaraacute una evolucioacuten final de la satisfaccioacuten de su vida cotidiana en base a una encuesta en donde se mediraacuten diversos factores de vida familiar para esto se tiene la disyuntiva de poder distribuir los tiempos de Trabajo diversioacuten ejercicio jugar con los nintildeos convivir con su pareja visitar a familiares convivir con amigos Entonces no cabe duda que los resultados de la encuesta estaraacuten vinculados con los tiempos destinados a cada actividad asiacute por ejemplo
Persona Trabajo Diversioacuten Ejercicio Nintildeos Pareja Familiares Amigos
A 30 20 5 5 10 8 2
B 50 5 2 2 10 10 18
Otro ejemplo se presenta el preparar un cafeacute dado que aunque este sea
para la misma persona si usa distintos cantidades de cafeacute azuacutecar leche o temperatura final del mismo el resultado del sabor del mismo cambiaraacute notablemente Cabe sentildealar que cada individuo mide el grado de satisfacioacuten de forma diferente y a la vez esta se realiza en forma cualitativa dado que no se puede medir el grado de satisfacioacuten debido a que cada individuo tiene distintos gustos un cafeacute con poca azuacutecar para una persona puede ser para otra que este bien o que este muy azucarado
Por otra parte no es lo mismo tomar un cafeacute en un diacutea caluroso a una o
en un diacutea con friacuteo Siendo esta otra variable de estudio Como se puede apreciar el resultado final depende rotundamente de la cantidad que se mezcle de cada uno de los ingredientes con los que se cuentan Es decir es un problema de varias variables
Pongamos el siguiente ejemplo financiero una persona desea invertir en el banco en dos cuentas individuales siendo que en la primera da un rendimiento de 2 mensual y en la segunda del 3 si se desea saber cual es la ganancia mensual esto se puede escribir para el primer mes de la siguiente forma
G(xy) = 002x + 003y siendo x la cantidad de dinero aportada en la primer cuenta y la cantidad de dinero aportada en la segunda cuenta Esta seriacutea la ganancia del primer mes Asiacute si invierte mil pesos en la primer cuenta y dos mil en la segunda la ganancia del primer mes seraacute de ochenta pesos
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G(10002000) =002(1000)+003(2000) = 20 + 60 = 100
Cabe sentildealar que las aplicaciones en economiacutea en donde aparecen maacutes
de una variable abundan y que anaacutelisis maacutes completos de estados de cuenta con intereses o deudas en tiendas de conveniencia se pueden representar mediante funciones de varias variables debiendo desarrollar cada una de ellas en su debido tiempo
Por otra parte las aplicaciones en procesos de produccioacuten industrial son diversos y permiten evaluar el producto final que llegaraacute al cliente en cuanto a la calidad del mismo
Si un estudiante dedica cierta cantidad de horas de estudio y por otra parte se mide la atencioacuten prestada en sus horas de estudio Se pueden proponer lo siguiente No se esperariacutean los mismos resultados si dedica tres horas de estudio con poca atencioacuten a que si dedica la misma cantidad de horas de estudio con mucha atencioacuten Cabe sentildealar que la atencioacuten prestada depende del intereacutes de estudiante en la materia el gusto por la misma o la importancia que preste en conocer temas nuevos
Funcioacuten Vectorial
Se comenzaraacute el estudio de funciones vectorial de varias variables especificando algunos detalles sobre las mismas en principio una funcioacuten vectorial tiene como dominio un subconjunto de Rn y un conjunto de llegada esta en Rm
Asiacute si el dominio A tiene tres variables se dice que el dominio esta definido en R3 las tres variables se pueden denotar por x y z Ahora si antildeadimos que la funcioacuten en cuestioacuten refleja algunos rasgos de las variables anteriores por ejemplo si se considera importante la suma de las primeras dos el producto de la segunda y tercera Entonces se dice que la funcioacuten tiene como conjunto de llegada a dos variables en la primera se refleja una suma mientras que en la segunda se observa una multiplicacioacuten
Entonces la forma de escribir en la primera de ellas es x + y mientras que la segunda es yz asiacute la funcioacuten queda expresada como
F(x y z) = (x+y yz)
Una funcioacuten que se puede observar diariamente es la de la temperatura en una habitacioacuten considerando cada punto en el espacio de la habitacioacuten entonces el dominio esta en tres dimensiones y la imagen de la funcioacuten refleja la temperatura en cada punto de la misma observe que esta puede cambiar si se encuentra cercas de una ventana o de la estufa
Aquiacute T(x y z) Muestra la temperatura en cada punto de una habitacioacuten faltariacutea encontrar la ecuacioacuten matemaacutetica que modele dicho comportamiento
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Como se puede observar el poder estudiar un fenoacutemeno real por medio de un modelo matemaacutetico es fundamental para poder realizar predicciones del mismo por medio de las propiedades de la funcioacuten asociada al mismo como el hecho de que la funcioacuten sea creciente que tenga un valor maacuteximo Se mostraran algunos ejemplos maacutes adelante con la finalidad de motivar el estudio de los fenoacutemenos reales por medio de las matemaacuteticas Definicioacuten- (Funcioacuten) Una funcioacuten es una regla de asignacioacuten entre dos conjuntos A y B que asigna a cada elemento del conjunto A uno y soacutelo uno del conjunto B El conjunto de partida A se le denomina el dominio de la funcioacuten mientras que el conjunto de llegada es B se le conoce como el codominio de la funcioacuten En el caso de varias variables se tiene que A es un subconjunto de Rn mientras que el conjunto B es un subconjunto de Rm Aquiacute es importante que a ninguacuten elemento del dominio se le asigne al mismo tiempo dos elementos del codominio y a la vez que a ninguno del dominio quede sin ser asignado Un ejemplo de esto se presenta en la siguiente funcioacuten que va del conjunto dominio A = 1 2 3 al conjunto B = 2 4 6 8 al definir la funcioacuten f que asigna a cada elemento del dominio con su doble se tiene que f(1) = 2 f(2) = 4 y f(3) = 6 Ahora una funcioacuten de dos variables se puede definir a partir de los conjuntos C = (12) (23) (34) (36) y D =3 4 5 6 7 8 9 en donde la funcioacuten g C D representa la suma de los diacutegitos de cada pareja ordenada
En este caso g(12) = 3 g(23) = 5 y asiacute sucesivamente Cabe sentildealar que la pareja ordenada (12) es distinta a la pareja (21) en donde esta uacuteltima no pertenece dominio de la funcioacuten
6 5 Suma g(12) = 3 4 3 2 (12)
1 (21) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 0 1 2 3 4 5 6 Las parejas (12) y (21) ocupan distintas posiciones en el plano La segunda de ellas no pertenece al dominio de la funcioacuten de manera tal aunque se pudiera evaluarla pareja ordenada no se contempla por el hecho de que la funcioacuten no esta definida en dicho valor
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Un ejemplo de esta funcioacuten ocurre si consideramos el total que se tiene que pagar en una tienda despueacutes de comprar dos artiacuteculos distintos Otro de ellos se presenta al tomar una evaluacioacuten de calidad de cierto artiacuteculo en donde se van sumando los puntos y no necesariamente serian dos variables
Otra caracteriacutestica que se presenta en esta tipo de funciones es que los valores esteacuten bien definidos al momento de evaluar como el hecho de que no se puede dividir entres cero y no se pueden sacar raiacuteces de nuacutemeros negativos Este hecho es importante para detallar el dominio de algunas funciones
asiacute el dominio de la funcioacuten xxk 4)( esta restringido al hecho de que la
variable x sea menor a cuatro dado que el argumento 4-x debe de ser no negativo es decir 4-x 0 y de aquiacute se tiene que 4 x
Cuando se involucran dos variables un ejemplo es encontrar el dominio
de la funcioacuten yxyxh 44)( y por analogiacutea con el problema anterior
se sabe que 4 x y a la vez que 4 y quedando el dominio descrito de la siguiente manera D = (xy) 4 x 4 y
6 D Dominio de la funcioacuten 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7
Ejemplo- Determine el dominio de la funcioacuten 2 2( ) 9 h x y x y Aquiacute se tiene
que el argumento de dicha funcioacuten debe de ser positivo en donde el dominio
de la funcioacuten es 2 29 0x y que es equivalente a 2 29 x y que representa
a un ciacuterculo de radio 3 y centrado en el origen
Si la funcioacuten es 2 2
1( )
9h x y
x y el dominio es casi el mismo
eliminando en donde el argumento se hace cero debido a que no estaacute definida la divisioacuten entre cero siendo el dominio el mismo circulo del ejemplo anterior pero sin la orilla
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Como se puede apreciar el dominio de estas funciones estaacute definido por regiones en el plano cartesiano cuando el dominio de la funcioacuten estaacute contenido en R2
Derivadas Parciales La derivada parcial de una funcioacuten de varias variables consiste en derivar la funcioacuten con respecto a la variable en cuestioacuten y dejar a las otras variables fijas como si fuesen constantes Por ejemplo al derivar la funcioacuten f(x y z) = x2 + 3xy3 - 3xz las derivadas de f con respecto a x y y z se describen a continuacioacuten y se denotan cada una de ellas por medio de los simbolos fx fy y fz fx(x y z) = 2x + 3y3 - 3z fy(x y z) = 9xy2 fz(x y z) = - 3x Definicioacuten- (Gradiente de una funcioacuten) El gradiente de una funcioacuten real se define como el vector que contiene en sus componentes a sus primeras derivadas parciales Asiacute para el ejemplo anterior el gradiente de f es y se denota por
3
2
2 3 3
9
3
x
y
z
f x y z
f f xy
f x
Ejemplo- Determine el gradiente de las siguientes funiones g(xy)=(x2 y4) y h(xyzw) = 2x+y2-3z+8w
3
2( )
4
x
y
h xh x y
h y
2
2( )
3
8
x
y
z
w
g
g yg x y z w
g
g
El vector gradiente tiene varias propiedades que son muy uacutetiles una de ellas nos indica la direccioacuten de maacuteximo crecimiento y otra de ellas es que es un
vector tangente a las curvas de nivel de una funcioacuten
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Definicioacuten- (Derivada Direccional) La derivada direccional de una
funcioacuten en un punto (x0 y0) y en direccioacuten de un vector v=(AB) se define como el producto del gradiente de la funcioacuten evaluado en el punto (x0 y0) por el vector V dividido entre la norma de mismo vector
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Tarea nuacutemero 2 materia de Caacutelculo 3 Objetivo- Que el alumno sea capaz de interpretar la nocioacuten de liacutemite en varias variables identifique la graacutefica de funciones y haga uso de la derivadas parciales 1- Determine el dominio de las siguientes funciones
(1a) f(x y z) = 2221 zyx
(1b) g(x y) = xy
2
(1c) f(x y) = xy
(1d) g(x y) = y4
(1e) f(x y) = y
x
4
4
(1f) h(x y) = 24
1
xy
2- Realice un bosquejo de las siguientes graacuteficas
22 zyx 22 2zxy 22 yxz 222 yxz
3- Determine los siguientes liacutemites
(31) xyxyxyxf y 210)( 3 cuando (xy) tiende a (12)
(32) yx
zyzxzyxf
33
)( cuando (xy) tiende a (112)
(33) )00()(
)00()(
0
3
3
)(
44
32
yx
yx
Siacute
Siyx
yx
yxk cuando (xy) tienden a (00)
En caso de existir indique haciendo uso de la nocioacuten
(34) )()(2
zxyxxxy
xxyyxzyxF z cuando (xyz) tiende a (012)
4- Indique de las funciones del ejercicio anterior son continuas y en que dominio 5- Determine si las funciones del ejercicio tres son de clase C1 6- Determine la ecuacioacuten del plano tangente a la graacutefica de la funcioacuten g(xy) = x4-10y3 en el punto (1-1) y en el punto (12) grafique en la computadora y agregue en el documento de la tarea 7- Determine los conjunto de nivel de valor -2 -1 0 1 2 de las funciones (7a) f(x y) = 3x2 + 3y2
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(7b) g(x y) = 22 44 yx
(7c) h(x y) = 1 ndash y + x2 (7d) k(x y z) = x2 + y2 + z2 Indique las graacuteficas en computadora y agregue en el reporte
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Capiacutetulo 3
Trayectorias
En este capiacutetulo se realiza el estudio de las propiedades de las funciones vectoriales es decir se hace incapie en el concepto de funcioacuten y la de un vector
Este concepto permite describir entre otras cosas el camino seguido por una partiacutecula en el espacio con el ingrediente adicional de tener a la mano los conceptos de velocidad y aceleracioacuten derivados a partir de una sola ecuacioacuten aquella que guarda la relacioacuten de posicioacuten de la partiacutecula con respecto al tiempo
Por ejemplo al mover una onda esta describe un movimiento circular si
la onda se suelta un objeto puesto en ella sale disparado en forma tangencial Este movimiento se puede representar con vectores y debe de expresar que la velocidad sea tangente a la trayectoria que sigue dado que la piedra abandona la onda en liacutenea recta
Si esto se extrapola al vuelo de una mosca se puede inferir que la velocidad de la misma sea tangencial a la trayectoria que va recorriendo en cada punto esto se muestra en la siguiente graacutefica
Observe que el hecho de contar con la orientacioacuten del vector velocidad permite no soacutelo inferir la velocidad de escape de la partiacutecula sobre la curva sino a la vez conocer la orientacioacuten del movimiento de la misma
Definicioacuten- (Trayectoria) Una trayectoria es una funcioacuten que parte de los nuacutemeros reales al espacio n Euclidiano Es decir es una funcioacuten de la forma
))()()(()( 21 txtxtxt n
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Caso particular de una trayectoria de los reales a plano En el caso de una trayectoria de los reales al plano se puede ilustrar con el siguiente diagrama
σ(a) σ(b) a b
2][ Rba ))()(()( tytxt
Una forma de ilustrar esto es pensar que la variable t es el tiempo y la imagen corresponde a la trayectoria de un objeto en el plano asiacute que el tiempo t=a la partiacutecula se encuentra en el punto σ(a) que es el inicio del recorrido de la misma mientras que tiempo final t=b se localiza al final de la trayectoria de estudio
Se puede observar una flecha indicativa del sentido de la partiacutecula a lo largo de la trayectoria
Ecuacioacuten Parametrica y Cartesiana de una curva
Ejemplo- Dada la trayectoria )()( 2ttt con 22t realice una
graacutefica de dicha trayectoria
t ))()(()( tytxt
-2 )42()(t
-1 )11()(t
0 )00()(t
1 )11()(t
2 )42()(t
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Como se puede apreciar la imagen de la trayectoria que recibe el
nombre de curva es una paraacutebola esto se puede ver si se realiza lo siguiente
Como x = t y = t2 entonces se puede deducir que y=x2 la ecuacioacuten correspondiente a la graacutefica de una paraacutebola esta ecuacioacuten corresponde a sus coordenadas cartesianas por otra parte si se rescribe en forma de trayectoria se dice que la ecuacioacuten es su ecuacioacuten cartesiana dado que depende de un solo paraacutemetro
Parametrizacioacuten de una funcioacuten real Si y es una variable dependiente de la variable x es decir existe
una regla de asignacioacuten f tal que y = f(x) con bxa En donde a
cada elemento x le asigna uno y soacutelo un valor y La graacutefica de esta funcioacuten se debe de ver como un trazo en el plano de la siguiente forma
La graacutefica no puede ser de la siguiente forma
y2
y3
y1 y4
X1 X2
Note que al valor de x2 le asigna tres valores de y lo cual no
cumple con las condiciones para que f sea una funcioacuten Ahora la graacutefica de una funcioacuten de esta tipo no es otra cosa que
la imagen de una trayectoria la cual se puede parametrizar de la siguiente forma
Como y = f(x) entonces defina x = t y por consiguiente y=f(t) en
donde bta
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-4 -2 2 4
-30
-20
-10
10
20
30
-2 -1 1 2
-2
-1
1
2
Asiacute en el caso de la paraacutebola la parametrizacioacuten adecuada es x
=t y = t2 tal como estaba planteada originalmente Ahora si la funcioacuten es y = 2x3-10x con 44 x entonces la
parametrizacioacuten adecuada es
)102()( 3 tttt 44 t
La graacutefica de esta curva asociada a la trayectoria es
Parametrizacioacuten de una circunferencia Elipse e Hipeacuterbola
La ecuacioacuten cartesiana de una circunferencia con centro en el origen y
radio dos estaacute dada por 422 yx Al intentar escribir esta ecuacioacuten en
funcioacuten de un solo paraacutemetro se requiere despejar a la variable y obteniendo
dos funciones que son 24 xy Con 22 x
La graacutefica de esta curva permite visualizar que no pertenece a una
funcioacuten sino maacutes bien a dos que son las enunciadas anteriormente y como se ve a continuacioacuten
24 xy
24 xy
Una forma de representar esta curva es por medio de dos trayectorias
)4()( 2
1 ttt y )4()( 2
2 ttt 22t
Una forma alternativa de representar esta curva es por medio del uso de coordenadas polares en donde x=rCos(t) y= rSen(t) como el radio es fijo y es igual a dos estas ecuaciones se pueden escribir en funcioacuten de un solo paraacutemetro ldquotrdquo x=2Cos(t) y=2Sen(t) note que al evaluar x2+y2=4Cos2(t)+4Sen2(t) = 4(Cos2(t)+Sen2(t))=4 con lo cual satisface la
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ecuacioacuten de la circunferencia quedando expresada la trayectoria de la siguiente forma
σ(y) = (2Cos(t) 2Sen(t) con 0letle2π En esta ecuacioacuten define por completo a la curva auacuten y cuando la
ecuacioacuten original no es una funcioacuten siendo esto una ventaja del estudio de la trayectorias
Ejemplo- La parametrizacioacuten de la elipse 12
2
2
2
b
y
a
x queda
expresada por x = aCos(t) y=bSen(t) se deja como ejercicio comprobar este resultado
Ejemplo- La parametrizacioacuten de la hiperbola 12
2
2
2
b
y
a
x queda
expresada por x = aCosh(t) y=bSenh(t) en donde se trabaja con las funciones de Seno y Coseno hiperboacutelicas se deja como ejercicio comprobar este resultado (aunque soacutelo permite representar el lado correspondiente a los cuadrantes I y IV en donde la x es no negativa
Derivada de una trayectoria La derivada de una trayectoria es un vector tangente a la curva esto se
deriva del siguiente anaacutelisis
Dada la trayectoria σ(t) se grafican la posicioacuten de la curva al tiempo t y t+h luego trace el vector asociado a la liacutenea secante que une los puntos de aquiacute al tomar valores cada vez maacutes pequentildeos de h el vector secante se convierte en un vector tangente a la curva como se muestra a continuacioacuten
Por otra parte el anaacutelisis vectorial de este cociente es
)()()(
0
tt
tht
h
Liacutem
Es decir la derivada de la trayectoria y el vector resultante es
tangente a la curva
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Asiacute para el caso de una curva en el plano la trayectoria se puede describir por medio de dos funciones x(t) y(t) de la siguiente forma
)(
)()(
ty
txt
En donde la derivada de esta funcioacuten es
)(
)()(
ty
txt
Vector tangente a la graacutefica de una circunferencia de radio R Ahora si se tiene la parametrizacioacuten de una circunferencia esta esta
dada por σ(t) = ( RCos(t) R Sen(t))
Y X
Un vector tangente tiene que cumplir que su producto punto tiene que
ser cero de aquiacute si V=(AB) al multiplicarlo por el vector σ su producto punto tiene que ser cero
De aquiacute que σ(t)V = ARCos(t) + BRSen(t) = 0 Existiendo muchas soluciones a este sistema de ecuaciones siendo una
de ellas cuando A = Cos(t) B=-Sen(t)
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Vector trasladado
Siendo este un vector tangente a la curva ahora al derivar las
componentes xrsquo(t) = -RSen(t) y(t) = RCos(t) que es un muacuteltiplo escalara del vector tangente mostrado anteriormente
Definicioacuten- (Rotacional) El rotacional de un campo vectorial
F=Pi+Qj+Rk de clase C1 de define como el vector
i j k
RotFx y z
P Q R
Ejemplos- Determine el rotacional de los siguientes campos vectoriales
F1=xi+yj+zk F2=x2yi-xy
2j-3zyk
Solucioacuten-
1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0
i j k
RotF z y i z x j y x kx y z y z x z x y
x y z
2 2 2 2
2
2 2
( 3 ) ( ) ( 3 ) ( ) ( ) ( )
3
i j k
RotF zy xy i zy x y j xy x y kx y z y z x z x y
x y xy zy
2 2
2
2 2
3 0
3
i j k
RotF z i j y x kx y z
x y xy zy
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Definicioacuten- (Divergencia) Si F es un campo vectorial de clase C1 la divergencia de F se define como un campo escalar de la siguiente forma
( )P Q R
divF div Pi Qj Rkx y z
Ejemplos- Determine la divergencia de los siguientes campos vectoriales F1=xi+yj+zk F2=x
2yi-xy
2j-3zyk
Solucioacuten-
1 ( ) ( ) ( ) ( ) 3divF div xi yj zk x y zx y z
2 2 2 2
2 ( 3 ) ( ) ( ) ( 3 ) 2 2 3 3divF div x yi xy j zyk x y xy zy xy xy y yx y z
Definicioacuten- (Laplaciano) Si f es un campo escalar de clase C2 el Laplaciano de f se define como un campo escalar de la siguiente forma
2 2 2
2
2 2 2xx yy zz
f f ff f f f f
x y z
Ejemplos- Determine la divergencia de los siguientes campos escalares g1(x
y z) = xy2z
3 g2(x y z) = x
2 + y
2 + z
2
2 2 2
2 2 3 2 3 2 3 2 3 3 2 2
2 2 2( ) ( ) ( ) 2 3 f f xy z xy z xy z y z yz xy z
x y z
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2( ) ( ) ( ) 6f f x y z x y z x y z
x y z
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Tarea nuacutemero 3 Trayectorias
Objetivo- Que el alumno sea capaz de comprender los conceptos de movimiento de una partiacutecula a lo largo de una trayectoria y de la importancia del uso de vectores en este tema 1- Si la trayectoria σ(t) = t2i+t2j define la trayectoria seguida por una partiacutecula con respecto al tiempo determine 1a- iquestEl tipo de trayectoria que describe 1b- Realice una graacutefica de la distancia recorrida por la partiacutecula con respecto al tiempo en los primeros tres segundos 1c- Determine el tipo de movimiento de la partiacutecula 1d- iquestSe puede afirmar que es un movimiento uniformemente acelerado 1e- Determine la aceleracioacuten y velocidad a los cuatro segundos 1f- Realice una graacutefica de su rapidez con respecto al tiempo 1g- Realice una graacutefica de sus aceleracioacuten con respecto al tiempo 1h- En la graacutefica de la trayectoria agregue graacuteficamente los vectores aceleracioacuten y velocidad 2- Realice lo mismo que en ejercicio anterior pero ahora con la funcioacuten γ(t) = Cos(t) i+5Sen(t)j 3- Dadas las funciones f(t) = 3t2i-4t3j+e2tk y g(t) = 4t3i+4t2j+e-2tk 3a- Determine la funcioacuten producto punto h = fg 3b- Determine la derivada de h 3c- Usando la regla de diferenciacioacuten determine la derivada de h y compruebe el inciso anterior 4a- Determine la funcioacuten producto cruz k = ftimesg 4b- Determine la derivada de h 4c- Usando la regla de diferenciacioacuten determine la derivada de h y compruebe el inciso anterior 5- Determine el Rotacional y la Divergencia del siguiente campo vectorial G(x y z) = 2xy i + 3xz j - 5xy k 6- Determine el gradiente y el Laplaciano del siguiente campo escalar f(xyz) = 4x2-3yz2 7- Dado el campo vectorial F(x y z) = 2xy i + x2 j +3z2 k 7a- Determine si F puede representar el gradiente de un campo escalar f 7b- En caso de ser afirmativa la respuesta del inciso anterior determine el campo escalar f 8- Pruebe que la divergencia del rotacional de un campo vectorial F=Pi+Qj+Rk es igual a cero Es decir la div rot F =0 9- Usando las reglas de diferinciacioacuten pruebe que
gfgfgf
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100 -x
Capitulo 4 Maacuteximos y miacutenimos
Es indispensable determinar en distintos problemas las soluciones oacuteptimas que permitan establecer por ejemplo los valores maacuteximos de produccioacuten o ahorrar el material en la construccioacuten de cierto equipo
Como se recordaraacute el gradiente de una funcioacuten indica la direccioacuten de
maacuteximo crecimiento esto se refleja en que si se toma la direccioacuten sugerida por este vector el valor de la funcioacuten aumenta en una vecindad del mismo asiacute si en un diagrama de un campo gradiente aparecen un punto en donde convergen la direccioacuten de todos los gradientes se encontraraacute que dicho valor debe de ser un valor maacuteximo para la funcioacuten de estudio Un diagrama de esta tipo se ejemplifica a continuacioacuten
Un diagrama en donde todos los vectores apuntan hacia fuera de un
punto indicaraacute que este punto debe de ser un valor miacutenimo de la funcioacuten Citemos el siguiente ejemplo de una variable con la finalidad de
centrarnos en el tema Una persona desea bardear un terreno en forma rectaacutengular cuanto debe de medir cada lado de manera tal que el aacuterea cercada sea maacutexima si se cuenta con 200 metros de malla
La funcioacuten que representa dicho modelo es
A(x) = x(100-x) x
Como se puede observar el aacuterea es cero si x es igual a cero o a cien con lo cuaacutel el lado x debe de estar en en intervalo [0 100] siendo estas las restricciones del problema Derivando la funcioacuten para obtener los valores critiacutecos se tiene que Arsquo(x) = 100 ndash 2x
Al igual la derivada a cero se concluye que el valor critico es x es igual a 50 Al derivar por segunda ocasioacuten se concluye que
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Arsquorsquo(x) = -2 Como la segunda derivada es siempre negativa se concluye que la funcioacuten alcanza un valor maacuteximo en el valor critico en este caso en x = 50 al interpretar dicho resultado se concluye que el terreno que optimiza la solucioacuten es un cuadrado Ejercicio- Que aacuterea se genera si el terreno es de forma circular Al resolver el ejercioacute anterior y comparar las aacutereas del cuadrado y del circulo se puede apreciar que el aacuterea del circulo es mayor pero en la praacutectica es poco atractivo cercar terrenos circulares por diversas razones pero en la naturaleza es comuacuten observar que las gotas de lluvia sean esferas esto permite el optimizar recursos y maacuteximizar el volumen del liacutequido contenido en la misma Se iniciara el estudio formal de maacuteximos y miacutenimos de funciones de varias variables observando las siguientes graficas con la finalidad de tener la idea clara de que es un maacuteximo o miacutenimo o un punto silla
En la primera de ellas se observa que la funcioacuten tiene un valor miacutenimo en la segunda se observa que la funcioacuten tiene un valor maacuteximo y en la uacuteltima la funcioacuten tiene un punto silla este se identifica el dirigirnos en una direccioacuten la funcioacuten crece mientras que en la otra la funcioacuten decrece
Definicioacuten- Una funcioacuten mn RRf tiene un valor maacuteximo local en x0 si en
una vecindad de dicho valor se cumple que la funcioacuten evaluada en todos los vecinos ninguno de ellos supera a f(x0) Es decir f(x0) f(x) para todo x en una vecindad de x0 El punto es llamado un maacuteximo absoluto si la funcioacuten toma el valor maacuteximo en dicho punto para todo valor de su dominio
Esto es muy similar cuando uno observa a los alumnos de un saloacuten de clases existe un alumno que tiene la mayor estatura si ninguno de sus compantildeeros lo supera Asiacute en la escuela el alumno de mayor estatura absoluta es aquel que supera a todo el plantel
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La definicioacuten para el miacutenimo local (absoluto) es similar
f(x0) f(x) para todo en una vecindad de x0 Por ejemplo la funcioacuten f(xy) = x2+y2 tiene un valor miacutenimo en el origen dado que en este valor la funcioacuten vale cero mientras que fuera de ahiacute siempre es positiva dado que todo nuacutemero real elevado al cuadrado es siempre positivo Ademaacutes dicho valor es un miacutenimo absoluto Como se menciono al inicio de esta capitulo el diagrama del campo
gradiente de esta funcioacuten y
xyxf
2
2)( indica que la funcioacuten tiene un valor
miacutenimo siendo la grafica del mismo la siguiente Sin embargo se requiere un criterio maacutes general y sistemaacutetico que permita establecer los posibles valores maacuteximos miacutenimos o puntos silla) Definicioacuten- (Un valor extremo) Si la funcioacuten posee un valor maacuteximo o miacutenimo este es llamado un valor extremo Definicioacuten- (Un valor critico) Un punto en donde la derivada de la funcioacuten se anula es llamado un valor critico Teorema- Todo valor extremo es un valor critico Es decir si f posee un valor extremo en x0 que pertenece a su dominio entonces la derivada de la funcioacuten en el punto x0 se anula Es decir Df(x0) = 0 Demostracioacuten- Sea l(t) una trayectoria que pasa a traveacutes por el punto x0 defina la composicioacuten de funciones h(t) = f(l(t)) donde l(t) = x0 + tv de donde lrsquo(t) = v y ademaacutes
))(()())(()( VtlftDltlDftDh (1)
Por otra parte como f posee un valor extremo en x0 suponga que dicho
valor es un maacuteximo entonces x0 seraacute a la vez un maacuteximo para la funcioacuten h y como h es una funcioacuten real esto significa que la derivada de h en dicho punto
se anula es decir 0)()0())0(()0( 0 vxfDllDfDh ahora como los
vectores )( 0xf y v no son necesariamente perpendiculares y el vector v a la
vez tampoco se anula entonces esto implica que el gradiente de f en x0 es igual a cero y por lo tanto f posee un valor criacutetico en x0
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Este resultado permite establecer posibles valores criacuteticos de una funcioacuten asiacute se menciona el siguiente ejemplo Ejemplo- Determine los posibles valores criacuteticos de las siguientes funciones (1) f(x y) = x2 + y2 y (2) g(x y) = 4x3 -12x + y2
Solucioacuten-
(1) 0
0
2
2)(
y
xyxf de aquiacute se concluye que dicho valor soacutelo
existe un valor criacutetico siendo este el origen el cuaacutel ya se clasifico en estos apuntes y resulto ser un valor miacutenimo
(2) 0
0
2
1212)(
2
y
xyxg de aquiacute se obtienen dos valores criacuteticos
que son (-10) y 1l (10) Los cuales se pueden clasificar el realizar el graacutefico del campo gradiente En donde se aprecia que en el punto (-10) la funcioacuten posee un punto silla mientras que en el punto (10) la funcioacuten posee un valor miacutenimo
Aquiacute se utilizaraacute el criterio del hessiano para determinar si el valor criacutetico es un maacuteximo un miacutenimo o un punto silla Solo se enunciara el teorema sin demostracioacuten para ver la misma puede revisar en el libro de Marsden Tromba de Caacutelculo Vectorial
Definicioacuten- El Hessiano de una funcioacuten 22 RRH de clase C2 se define como una funcioacuten cuadraacutetica que se escribe como
2
1
2
22
2
2
2
21212
1)(
h
h
y
f
yx
f
xy
f
x
f
hhhhH
Evaluada la matriz de las segundas derivas parciales en el valor criacutetico
Teorema- Si el Hessiano de una funcioacuten 2 RRf es definitivamente
positivo entonces la funcioacuten tiene un valor miacutenimo en dicho punto
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Corolario- Si la matriz asociada A=cb
ba de una forma cuadraacutetica dos
por dos es definitivamente positiva si y soacutelo si se cumple que agt0 y det A gt0
Teorema de una valor para un valor extremo miacutenimo- Una funcioacuten
2 RRf de clase C2 posee un valor extremo miacutenimo local en x0 elemento
del dominio de la funcioacuten si y soacutelo si se satisfacen las siguientes condiciones
(i) 0)( 0xx
f y 0)( 0x
y
f
(ii) )( 02
2
xx
f gt 0
(iii) )( 02
2
xx
f)( 02
2
xy
f)(
2
2
oxx
f)( 02
2
xx
f gt 0
Para un valor maacuteximo las condiciones (i) y (iii) se mantienen la uacutenica que cambia en la segunda en donde esta debe ser negativa Para un punto silla se requiere que al menos no se cumplan las condiciones de valor maacuteximo ni miacutenimo y que la uacuteltima condicioacuten (iii) sea distinta de cero En caso contrario el criterio no permite clasificar dicho valor como se mostraraacute en un ejemplo maacutes adelante Ejemplo- Ahora continuando con los ejemplos anteriores
(1) Para f(xy) = x2+y2 el valor critico es el origen y el hessiano asociado es
2
1
212100
02
2
1)(
h
hhhhhH
Como se pude apreciar el primer valor es positivo 2 gt0 y el determinante de
la funcioacuten 20
02det es igual a 4 que a la vez es positivo de manera tal que la
funcioacuten posee un valor miacutenimo en el origen
(2) g(x y) = 4x3 -12x + y2 los puntos criticos son (-10) y (10) y el hessiano asociado a esta forma cuadraacutetica es
2
1
212120
024
2
1)(
h
hxhhhhHg
Ahora al evaluar en los puntos se tiene En el (-10)
2
1
212120
024
2
1)(
h
hhhhhHg
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En donde -24 lt 0 y det Hg = -48 lt0 con lo cuaacutel debe de ser un punto silla
En el (10)
2
1
212120
024
2
1)(
h
hhhhhHg
En donde 24 gt 0 y det Hg = 48 gt0 con lo cuaacutel debe de ser un punto miacutenimo
Tal como se habiacutea estimado en la graacutefica del campo gradiente de la
solucioacuten anterior A continuacioacuten se muestra un bosquejo de dicha graacutefica realizado en el derive
Ejemplos de cuando el criterio permite clasificar los
valores criacuteticos
Ejemplo- A continuacioacuten se mostrara un ejemplo de cuando el criterio no concluye asiacute si la funcioacuten es h(xy) = x4+y4 al calcular las derivas parciales mixtas fx=4x3 y fy=4y3 se encuentra un solo valor critico el origen miestras que la matriz asociada del hessiano es
2
2
120
012
y
x y al evaluar en el origen queda expresada como
00
00
)0(120
0)0(122
2
En donde se puede apreciar que fallan todos los criterios una inspeccioacuten de
la funcioacuten original permite ver que la funcioacuten tiene un valor miacutenimo en dicho punto pero no es una generalizacioacuten es decir no se puede decir que siempre que aparezca la matriz de ceros se tenga un valor miacutenimo dado que si se analiza ahora a las funciones k(xy) = -x4-y4 y p(xy) = x4-y4 ambas tienen como calor extremo al origen y la matriz hessiana asociada a la forma cuadraacutetica evaluada en el origen es la matriz de ceros
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Ejemplo- Otro ejemplo en donde el criterio no concluye es el siguiente en
donde el determinante de la matriz H es cero debido a que la segunda derivada de la funcioacuten f con respecto a la segunda variable se anula (fyy = 0) y no se puede asegurar que se tenga un punto maacuteximo miacutenimo o silla
Las funciones f1(xy) = x2 f2(xy) = -x2 y f3(xy) = x3 presentan este
problema a continuacioacuten se muestran las graficas de dichas funciones
En cada una de ellas los puntos criacuteticos son las parejas en el plano (0 y) Es decir el eje coordenado X
El Hessiano respectivo de cada uno es el siguiente
00
02)(1 yxH
00
02)(2 yxH
00
03)(3
xyxH
Note que el determinante de cada de estas matrices se hace cero y que fyy
se anula en cada caso
Ahora observando las graacuteficas se verifica visualmente que en la primera se tienen valores miacutenimos en la segunda maacuteximos y en la uacuteltima no es ni maacuteximo ni miacutenimo o punto silla
Ejemplo- Citemos otro ejemplo en donde el criterio de maacuteximos y miacutenimos
no concluye Determine los puntos criacuteticos de la funcioacuten h(xy) = x4 Se tiene que hx=4x3=0 y hy=0 de donde se deduce que la funcioacuten tiene
un nuacutemero infinito de puntos criacuteticos estos son las parejas ordenadas en el plano (0y)
La matriz del Hessiano asociado es
00
012)(
2
1
xyxH y evaluando en el punto
00
00)0(1 yH
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En donde no se puede clasificar a los valores criacuteticos sin embargo
realizando una inpeccioacuten de la funcioacuten se puede concluir que todos los puntos representan valores miacutenimos de la funcioacuten original a continuacioacuten se muestra la grafica de la misma
El Hessiano para n variables y el criterio de clasificacioacuten
Cuando la funcioacuten tiene maacutes de dos variables se genera una matriz asociada H en cada uno de los valores criacuteticos de la siguiente forma
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
H
21
22221
11211
De aquiacute se definen las siguientes matrices
111 aH 2221
1211
2aa
aaH hellip HH n
Los criterios para los valores criacuteticos de la funcioacuten RRf n son los
siguientes [Miacutenimo Local] La funcioacuten f posee un valor extremo local miacutenimo en x0 si todos los determinantes de las submatrices evaluados en x0 son positivos
0det 1H 0det 2H hellip 0det 2H (+ + hellip +)
En este caso la forma cuadraacutetica se puede probar que es definitivamente positiva [Maacuteximo Local] La funcioacuten f posee un valor extremo local miacutenimo en x0 si todos los determinantes de las submatrices evaluados en x0 se alternan en signo pero el primero de ellos debe ser negativo
0det 1H 0det 2H hellip 0det 2H (- + - + hellip )
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En este caso la forma cuadraacutetica se puede probar que es definitivamente negativa [Punto Silla] La funcioacuten f posee un punto silla si no se cumplen los criterios de valor miacutenimo o maacuteximo y al menos uno de los subdeterminantes es distinto de cero
Existe un i tal que 0det iH
Ejemplos- Determine los valores criacuteticos de las siguiente funcioacuten f(x y z w) = x3 - 3x + y3 ndash 3y + z2 + w2 y claacutesifiquelos Solucioacuten- Al resolver las siguientes ecuaciones
033 2 xxf x 033 2 yyf y 02zf z y 033 2 wwfw
Se obtienen cuatro puntos criacuteticos que son (-1-100) (-1100) (1-100) y (1100) ahora se genera la matriz del hessiano asociado siendo esta
2000
0200
0060
0006
y
x
H
Al evaluar en cada uno de los puntos se tienen las siguientes matrices
2000
0200
0060
0006
)0011(H
2000
0200
0060
0006
)0011(H
2000
0200
0060
0006
)0011(H y
2000
0200
0060
0006
)0011(H
Los sub determinantes para cada uno de los puntos son [(-1 -1 0 0)] -6 36 72 144 que clasifica como un punto silla [(-1100)] -6 -36 -72 -144 que clasifica como un punto silla [(1-100)] 6 -36 -72 -144 que clasifica como un punto silla [(1100)] 6 36 72 144 que clasifica como un valor miacutenimo De manera tal que la funcioacuten tiene tres puntos silla y un valor miacutenimo
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Ejercicios- Determine los puntos criacuteticos de las siguientes funciones y claacutesifiquelos utilizando el criterio del Hessiano
(1) f(x y) = x2 - y2 (Silla de montar)
(2) g(x y) = 22 yx (Cono)
(3) h(x y z) = x4 - 2x2 + 2y3 -3y2 + z3-3 Ejercicio- Se requiere construir una lata con tapa que contenga un litro de agua con el miacutenimo de material determine las condiciones que oacuteptimizan el problema Ejercicio- Determine el producto maacuteximo de tres nuacutemeros si la suma de ellos debe ser 40 Ejercicio- Determine la distancia miacutenima del origen a la graacutefica de la funcioacuten f(xy) = 4-x2+y Ejercicio- Estudie los ejemplos resueltos que trae el libro de Marden Tromba en el capitulo 4 en especial el referente a la ecuacioacuten de miacutenimos cuadrados Ejercicio- Determine la ecuacioacuten lineal que mejor se ajusta a los puntos (12) (2 32) (3 389) (4 488) (5 55) Utilize el criterio de miacutenimos cuadrados en caso de que el modelo sea lineal (justifique la linealidad del mismo realice una graacutefica de los puntos y de la liacutenea que ajusta a los puntos) Ejemplo- (Aplicacioacuten) En este ejemplo dermina la distancia miacutenima del punto (100) a la graacutefica de una funcioacuten f(x y) = x2+y2
Solucioacuten- Todos los puntos que se encuentran sobre la graacutefica de la funcioacuten satisfacen la siguiente terna de valores en donde se observa que la tercer componente es la variable dependiente (x y x2+y2)
La distancia del punto (1 0 0) a los puntos que estaacuten sobre la graacutefica (x y x2+y2) Se define por medio de la funcioacuten
2222222 )()1()()001()( yxyxyxyxdyxfd
Para determinar el valor miacutenimo o maacuteximo de esta funcioacuten basta con
analizar su argumento dado que es un funcioacuten creciente Es decir Si x1lt x2
entonces f(x1) lt f(x2) lo que es vaacutelido para la funcioacuten )( xxf (ver graacutefica)
2x
1x
x1 x2
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De este modo la funcioacuten a maximizar es
2222222
11 )()1()()001()( yxyxyxyxdyxfd
De aquiacute al las derivadas parciales son
)(4)1(2)( 22
1 yxxxyxfd x y )(42)( 22
1 yxyyyxfd y
Igualando ambas ecuaciones a cero se puede establecer la siguiente
ecuacioacuten
)(4
)(4
2
2222
22
yxy
yxx
y
x (3)
De aquiacute si )00()( yx y 0y se concluye que -1=0 lo cual es una
contradiccioacuten Por otra parte si (xy)=(00) en la primera ecuacioacuten se tiene que 1=0 que es tambieacuten una contradiccioacuten Finalmente si se considera el caso en
que y=0 se obtiene de la siguiente ecuacioacuten 012 3 xx
El polinomio 12)( 3 xxxP tiene una raiacutez entre el cero y el 1 dado
que P(0)=-1 y P(1)=2 Con el anaacutelisis de raiacuteces racionales dos posibles raiacuteces
son 2
1 y como
2
1 estaacute entre cero y uno al usando divisioacuten sinteacutetica se
obtiene que 4
1
2
1P Asiacute que la raiacutez debe de estar en el intervalo 1
2
1
Ahora usando el meacutetodo de Newton con semilla en 2
10x se obtiene
que 6010
6
2
54
1
2
1
)(
)(
0
0
01xf
xfxx
Ahora al evaluar la funcioacuten en dicho punto se tiene que 0320)60(P el
cual es aceptable como raiacutez del polinomio en una sola interaccioacuten De manera tal que el punto criacutetico de la funcioacuten es el (060) El Hessiano asociado es
24128
82412)(
22
22
xyxy
xyyxyxH
Como se puede apreciar el primer elemento de la matriz es positivo independientemente de los valores de x e y Falta evaluar el determinante de H este es igual a
)64)2412)(2412()(det 222222 yxxyyxyxH
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Ahora evaluando en (06 0) se tiene 7421)443)(326()060(det H
Que tambieacuten es positivo de manera tal que se tiene un valor miacutenimo Es
decir la se obtuvo la distancia miacutenima
Maacuteximos y Miacutenimos con restricciones
Los muacuteltiplicadores de Lagrange permite determinar valores maacuteximos o miacutenimos de funciones con restricciones De este tipo de problemas esta lleno nuestro contorno desde el panedero que desea producir la maacutexima cantidad de pan pero con la restriccioacuten del capital que tiene o la posible venta del diacutea para que no tenga sobrantes
Citemos el siguiente ejemplo la graacutefica de paraboloide z = x2+y2 esta
graacutefica soacutelo tiene un valor miacutenimo en el origen sin embargo si esta restringida
al cuadrado unitario 1111 la funcioacuten alcanza cuatro puntos maacuteximos en
los puntos (-11)(-1-1) (1 -1) y (11) a saber dicho valor es 2 Como se observa en la figura
Ahora si se trabaja con la silla de montar con la misma restriccioacuten esta
funcioacuten tiene originalmente un punto silla en el origen pero al analizar las restricciones se contiene dos valores maacuteximos y dos miacutenimos en los puntos (10) (-10) (0-1) y (01)
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Muacuteltiplicadores de Lagrange Teorema- Dadas dos funciones fg Rn a R diferenciables en X0 elemento del dominio de ambas funciones Si Lc es el conjunto de nivel de valor c de la funcioacuten g y si f posee un valor maacuteximo miacutenimo o silla en la restriccioacuten Lc
entonces existe un nuacutemero real λ tal que )()( 00 XgXf
Se puede ver parte de la demostracioacuten de este teorema en el libro de Marsden Tromba Para clasificar los puntos criacuteticos se utiliza el criterio del Hessiano limitado el cuaacutel se define a partir de la funcioacuten auxiliar H(x1 x2 hellip xn) = f(x1 x2 hellip xn) - λ g(x1 x2 hellip xn)
nnnn
n
n
xxxxx
xxxxx
xx
hhg
hhg
gg
H
1
1111
10
||
Ahora defina los siguientes determinantes
22122
21111
210
|| 1
xxxxx
xxxxx
xx
hhg
hhg
gg
H
3323131
3222121
3121111
3210
|| 2
xxxxxxx
xxxxxxx
xxxxxxx
xxx
hhhg
hhhg
hhhg
ggg
H ||det|| HHn
Criterios para maacuteximos y miacutenimos con restricciones (Hessiano liacutemitado) [Miacutenimo Local] Se tiene un miacutenimo local si y soacutelo si todos los determinantes son negativos |H1| lt0 |H2| lt0 hellip |Hn|lt0 ( - - - - - hellip)
[Maacuteximo Local] Se tiene un maximo local si y soacutelo se inicia con un determinante positivo y luego se alternan los signos |H1| gt 0 |H2| lt 0 hellip |Hn|lt0 (+ - + - hellip)
[Punto del tipo Silla] Se tiene un punto tipo silla sino se satisface los criterios de maacuteximos o miacutenimos y al menos uno de los determinantes es distinto de cero Ejemplo- Determine si la funcioacuten f(xy)= x2 ndash y2 tiene valores criacuteticos en la restriccioacuten x2+y2=1
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)(2
2
2
2)( 00 Xg
g
g
y
x
y
x
f
fXf
y
x
y
x
de aquiacute se obtienen las ecuaciones 2x = 2 λx -2y = 2 λy x2 + y2 =1 Las soluciones de este sistema de ecuaciones son (-101) (101) (0-1-1) y (0-11) El Hessiano liacutemitado es
2202
0222
220
||
y
x
yx
H
El determinante es igual a det|H| = 8x2(1+λ) ndash 8y2(1-λ) ahora evaluando
cada uno de los puntos se tiene que det|H|(-101) = 16 gt 0 det|H|(101) = 16 gt 0 det|H|(0-1-1) = -16 lt 0 det|H|(0-11) = -16 lt 0
De manera tal que la funcioacuten posee dos valores maacuteximos en los puntos (-10) y (10) y por otra parte tiene dos valores miacutenimos en los puntos (0-1) y (0-1) Ejemplo- Determine si la funcioacuten f(xy)= x2+y2 tiene valores criacuteticos en la restriccioacuten x2-y2 le 4 Al iniciar este estudio se trabaja con el interior es decir x2-y2 lt 4 dando como resultado el anaacutelisis de maacuteximos y miacutenimos de una funcioacuten en general de donde el gradiente de f se anula uacutenicamente en el origen siendo este valor un miacutenimo como se habiacutea visto en un ejercicio anterior para la funcioacuten del paraboloide Ahora al trabajar sobre la frontera se usa el criterio de muacuteltiplicadores de Lagrange
)(2
2
2
2)( 00 Xg
g
g
y
x
y
x
f
fXf
y
x
y
x
de aquiacute se obtienen las ecuaciones 2x = 2 λx 2y = -2 λy x2 - y2 = 4
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Las soluciones de este sistema de ecuaciones son (-201) y (201) El Hessiano liacutemitado es
2202
0222
220
||
y
x
yx
H
El determinante es igual a det|H| = -8x2(1+λ) + 8y2(1-λ) ahora
evaluando en cada uno de los puntos se tiene que det|H|(201) = -64 gt 0 y det|H|(-201) = -64 lt 0
De manera tal que la funcioacuten posee dos valores miacutenimos en los puntos (-20) y (20)
Una anaacutelisis de la graacutefica de esta funcioacuten permite visualizar que dichos
puntos no son miacutenimos maacutes bien son puntos tipos silla y no es que el criterio falle sino maacutes bien que los valores son miacutenimos pero sobre el complemento es decir bajo la restriccioacuten x2-y2 ge 4 Ejemplo- Determine los valores criacuteticos de la funcioacuten f(xyz) = 2x+y+3z sujeta a la restriccioacuten x2+y2+z2 le 36 Solucioacuten- Un anaacutelisis de las condiciones iniciales muestra que la graacutefica a maximizar en un hiperplano restringido en su dominio a una esfera de radio 6 de acuerdo a estas condiciones la funcioacuten en su interior no debe tener valor criacuteticos y en la frontera debe tener un valor miacutenimo y un valor maacuteximo En el interior- Al derivar la funcioacuten original se tiene lo siguiente
3
1
2
)( 0
z
y
x
f
f
f
Xf
De aquiacute se observa que la funcioacuten no posee valores criacuteticos en todo su dominio tal y como se esperaba Frontera- Al utilizar las condiciones del los Muacuteltiplicadores de Lagrange se tiene lo siguiente
)(
2
2
2
3
1
2
)( 00 Xg
z
y
x
f
f
f
Xf
z
y
x
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De aquiacute se genera el siguiente sistema de ecuaciones 2 = 2λx 1 = 2λy 3 = 2λz x2+y2+z2=36
Resolviendo el sistema se concluye que 2
1
1yx amp
2
3z Ahora
sustituyendo en la uacuteltima ecuacioacuten se deduce que la funcioacuten posee dos valores criacuteticos que son
18
14
14
1427
14
149
14
1418amp
18
14
14
1427
14
149
14
1418
La funcioacuten auxiliar es H(xyzλ) = 2x+y+3z-λ(x2+y2+z2) donde Hx=2-2λx Hy=1-2λy Hz=3-2λz El Hessiano Liacutemitado es
2002
0202
0022
2220
||
z
y
x
zyx
H
De aquiacute
0
0)(8
202
022
220
|| 22
1si
siyx
y
x
yx
H
0576)(16
2002
0202
0022
2220
|| 22222 zyx
z
y
x
zyx
H
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De aquiacute se desprende que la funcioacuten f(xyz) = 2x+y+3z posee un valor miacutenimo
en el punto 18
14
14
1427
14
149
14
1418 restringido a x2+y2+z2 = 36 y un
maacuteximo en el punto 18
14
14
1427
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149
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1418
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Tarea nuacutemero 4 Maacuteximos y Miacutenimos
Objetivo- Que el alumno sea capaz de aprender a resolver problemas asociados a la vida real haciendo uso del caacutelculo de varias variables Aquiacute se enuncian los siguientes ejercicios adicionales dado que muchos de los mismos se fueron exponiendo a lo largo del capiacutetulo y se sugiere que se revisen los problemas resueltos y propuestos en la libros de la bibliografiacutea dado que las aplicaciones son muchas 1- Determine los valores maacuteximos y miacutenimos de la funcioacuten f(xy) = x +y sujeta a la restriccioacuten x2+2y2le18 (Realice un bosquejo de la graacutefica y se restriccioacuten)
2- Determine los valores maacuteximos y miacutenimos de la funcioacuten f(xy) = x2 +y2 sujeta a la restriccioacuten x+2y le 4 (Realice un bosquejo de la graacutefica y se restriccioacuten)
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Bibliografiacutea
1 Caacutelculo Vectorial Marsden amp Tromba Addison-Wesley Iberoamericana
2 Caacutelculo Multivariable James Steward Thomson Editores
3 Caacutelculo con Geometriacutea Anaacutelitica Zill Grupo Editorial Iberoameacuterica
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De aquiacute se deduce que b
y
a
xt que permite establecer la relacioacuten
xa
by que corresponde a una liacutenea recta que pasa por el origen y contiene
al punto (ab) Otra caracteriacutestica importante es que la liacutenea recta posee la misma orientacioacuten que el vector que la genera
Si se tiene dos vectores V = 1
1
y
x y W =
2
2
y
x estos representan a dos
puntos en el plano si estos son colineales de acuerdo al desarrollo anterior a lo maacutes nos pueden representar una liacutenea recta Pero si ambos vectores no son colineales se pueden generar otro tipo de regiones en el plano
Dados estos dos vectores se pueden generar tres liacuteneas las cuaacuteles contienen a los puntos (x1y1) (x2y2) y el origen generando ademaacutes un triaacutengulo que se puede representar haciendo uno de las componentes de los vectores dados
(x2y2) B (x1y1) A C Para poder representar una regioacuten como la del triaacutengulo primero se representaraacute el segmento AB la forma de realizarlo es ver que este segmento esta asociado al vector W Ahora recordando que los vectores que pueden representar los puntos sobre la liacutenea que contienen al vector W son sus muacuteltiplos escalares entonces se requiere soacutelo una parte de ellos de tal forma que este segmento quedaraacute representado por los vectores (t) = t W con 0 t 1 Note que (t) es una funcioacuten del paraacutemetro t y como resultado nos da un vector en dos dimensiones Es decir se tiene una funcioacuten del segmento [01] al plano que satisface que (0) = (00) y (1) = (x2y2) Para poder representar una regioacuten con aacuterea distinta de cero se requieren dos vectores no colineales V y W de forma tal que al tomar combinaciones lineales de ambos permite definir otro vector en el plano pero ya no necesariamente en la misma direccioacuten de los originales como en el caso de una suma observe que el punto D ya no esta contenido ni en la direccioacuten del vector V ni en la del vector W
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B= (x2 y2) D = (x1+x2 y1+y2) W V+W
A V C = (x1 y1) El cuadrado ABDC queda completamente representado al definir las combinaciones lineales de V y W de la siguiente forma Todos los vectores en el plano que se pueden definir a partir de lo siguiente
(ts) = t V + s W
en donde t y s son nuacutemeros reales y ademaacutes tiene la siguiente restriccioacuten 0 t 1 y 0 s 1 Ejercicio- Represente todos los puntos en el plano cuya distancia al vector
V = 2
1 es de dos unidades
Ejercicio- Represente todos los puntos en el plano que representan a un rectaacutengulo y dos de sus aristas estaacuten ubicadas en los vectores
V = 2
1 y W =
5
0
Ejercicio- Muestre que con dos vectores no colineales es posible definir el plano bidimensional (de igual forma pruebe que el espacio tridimensional se puede definir a partir de tres vectores no coplanares)
Estructura Algeacutebrica del espacio vectorial Los vectores permiten tienen estructura algebraica que se puede definir a partir de sus operaciones definidas anteriormente Proposicioacuten- Dados tres vectores y en el plano y un escalar k estos poseen las siguientes propiedades
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(i) Ley Asociativa La suma de vectores es asociativa
(ii) Ley Conmutativa La suma de vectores es conmutativa
(iii) Neutro Aditivo Existe un vector 0
denominado neutro aditivo que satisface la siguiente propiedad
00
Es decir al sumar con cualquier vector en el plano el resultado es el mismo vector
(iv) Para todo vector en el plano existe un vector denominado el inverso aditivo - tal que la suma de ambos es igual a cero
+ - = - + = 0
Este vector cero ambas componentes son iguale a cero y si las componentes de son (ab) las de - son (-a -b) Con a y b nuacutemeros reales La demostracioacuten de estas propiedades se basan en el principio del campo de los nuacutemeros reales Como ejemplo se demostraraacute la propiedad (ii)
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Tarea 1 Caacutelculo 3 Caacutelculo Vectorial Objetivo- Que el alumno sea capaz de resolver problemas relacionados con vectores comprenda la ecuacioacuten de una liacutenea en el espacio la ecuacioacuten de un plano aacuterea de paralelogramos las propiedades algebraicas asociadas con vectores en dos y tres dimensiones en cuanto al producto punto producto por un escalar y producto cruz Finalmente que sea capaz de determinar el volumen de un paralelepiacutepedo 1- Determine la ecuacioacuten de los puntos en el espacio que (1a) pertenecen al eje X (1b) pasan por la recta y=3x (1c) pasan por el punto (1-11) y en direccioacuten del vector i+j (1d) representan a la recta de interseccioacuten de los planos 3x ndash 2y + z = 7 y 2x + 4y ndashz = 4 (1e) representan al plano ortogonal a la liacutenea x=2y = 3z 2- Que regioacuten del espacio representan los puntos (2a) con componentes (x1z) (2b) contenidos por el paralelogramo definido por los vectores i+j y 3i ndashj (haga un bosquejo) 3- Determine un vector que sea muacuteltiplo escalar del vector α = 3i + j pero de norma uno (El vector resultante recibe el nombre de vector normalizado del vector α) 4- Determine un vector perpendicular al vector β = 2i + 3i - 5k 5- Pruebe que la ley conmutativa es vaacutelida en el producto escalar es decir αβ = βα 6- Pruebe que la siguiente propiedad es vaacutelida en el producto escalar entre un muacuteltiplo escalar de α y el vector β (k α)(β) = k (αβ) = α(kβ) 7- Deduzca la ecuacioacuten que establece la distancia de un punto P=(x1 y1 z1) en el espacio y el plano A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0 (Puedes encontrar la demostracioacuten en alguacuten libro de caacutelculo vectorial o intentar demostrarla usando el concepto de proyeccioacuten ortogonal)
8- Determine la distancia entre los planos x + y + z = 0 y x + y + z = 1 (Trate de determinar dicha distancia entre los planos paralelos sin hacer uso de la foacutermula y luego use dicha foacutermula para establecer el resultado finalmente trate de dar una interpretacioacuten de dicha solucioacuten) 9- Determine el volumen del paralelepiacutepedo generado por los vectores V1=(322) V2=(202) y V3=(041) 10- Determine el volumen del paralelepiacutepedo con cuatro de sus veacutertices en los puntos (123) (024) (305) y (222) realice un bosquejo de dicho paralelepiacutepedo
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11- Pruebe que dados cuatro veacutertices de un paralelepiacutepedo en el espacio se pueden generar cuatro paralelepiacutepedos distintos pero de igual volumen 12- Pruebe que α (β times γ) = γ (α times β) 13- Pruebe que α times (β + γ) = α times β + α times γ 14- Determine el aacuterea del paralelogramo generado por los vectores i+j-k 2i-j 15- Determine el aacuterea del paralelogramo generado por los vectores 2i+j 3i ndash j 16- Determine el aacutengulo que existe entre los vectores i+j-k y 2j ndash k 17- Determine si el vector i+j es una combinacioacuten lineal del vector 2i ndashj 18- Determine si el vector i+j es una combinacioacuten lineal del vector 2i + 2j 19- Determine el aacutengulo entre los planos 2x ndash y + z = 0 y 3x ndashy + 2z = 0 20- Determine la distancia entre los planos x + y + z = 0 y x + y + z = 1
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Capitulo 2 Funciones Vectoriales
En este capitulo se veraacuten temas relacionados con funciones de varias variables que van a los nuacutemeros reales (a las cuales se les llaman funciones reales) o que van a maacutes dimensiones
Cuando uno habla de este tema es importante recalcar que en la vida cotidiana se presentan diversas aplicaciones con el hecho de manejar varias variables que van desde la preparacioacuten de un cafeacute hasta el hecho de planear la agenda diaria de coacutemo distribuir el tiempo
Citemos el siguiente ejemplo En un estudio de calidad de vida de los sentildeores casados y con hijos se realizaraacute una evolucioacuten final de la satisfaccioacuten de su vida cotidiana en base a una encuesta en donde se mediraacuten diversos factores de vida familiar para esto se tiene la disyuntiva de poder distribuir los tiempos de Trabajo diversioacuten ejercicio jugar con los nintildeos convivir con su pareja visitar a familiares convivir con amigos Entonces no cabe duda que los resultados de la encuesta estaraacuten vinculados con los tiempos destinados a cada actividad asiacute por ejemplo
Persona Trabajo Diversioacuten Ejercicio Nintildeos Pareja Familiares Amigos
A 30 20 5 5 10 8 2
B 50 5 2 2 10 10 18
Otro ejemplo se presenta el preparar un cafeacute dado que aunque este sea
para la misma persona si usa distintos cantidades de cafeacute azuacutecar leche o temperatura final del mismo el resultado del sabor del mismo cambiaraacute notablemente Cabe sentildealar que cada individuo mide el grado de satisfacioacuten de forma diferente y a la vez esta se realiza en forma cualitativa dado que no se puede medir el grado de satisfacioacuten debido a que cada individuo tiene distintos gustos un cafeacute con poca azuacutecar para una persona puede ser para otra que este bien o que este muy azucarado
Por otra parte no es lo mismo tomar un cafeacute en un diacutea caluroso a una o
en un diacutea con friacuteo Siendo esta otra variable de estudio Como se puede apreciar el resultado final depende rotundamente de la cantidad que se mezcle de cada uno de los ingredientes con los que se cuentan Es decir es un problema de varias variables
Pongamos el siguiente ejemplo financiero una persona desea invertir en el banco en dos cuentas individuales siendo que en la primera da un rendimiento de 2 mensual y en la segunda del 3 si se desea saber cual es la ganancia mensual esto se puede escribir para el primer mes de la siguiente forma
G(xy) = 002x + 003y siendo x la cantidad de dinero aportada en la primer cuenta y la cantidad de dinero aportada en la segunda cuenta Esta seriacutea la ganancia del primer mes Asiacute si invierte mil pesos en la primer cuenta y dos mil en la segunda la ganancia del primer mes seraacute de ochenta pesos
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G(10002000) =002(1000)+003(2000) = 20 + 60 = 100
Cabe sentildealar que las aplicaciones en economiacutea en donde aparecen maacutes
de una variable abundan y que anaacutelisis maacutes completos de estados de cuenta con intereses o deudas en tiendas de conveniencia se pueden representar mediante funciones de varias variables debiendo desarrollar cada una de ellas en su debido tiempo
Por otra parte las aplicaciones en procesos de produccioacuten industrial son diversos y permiten evaluar el producto final que llegaraacute al cliente en cuanto a la calidad del mismo
Si un estudiante dedica cierta cantidad de horas de estudio y por otra parte se mide la atencioacuten prestada en sus horas de estudio Se pueden proponer lo siguiente No se esperariacutean los mismos resultados si dedica tres horas de estudio con poca atencioacuten a que si dedica la misma cantidad de horas de estudio con mucha atencioacuten Cabe sentildealar que la atencioacuten prestada depende del intereacutes de estudiante en la materia el gusto por la misma o la importancia que preste en conocer temas nuevos
Funcioacuten Vectorial
Se comenzaraacute el estudio de funciones vectorial de varias variables especificando algunos detalles sobre las mismas en principio una funcioacuten vectorial tiene como dominio un subconjunto de Rn y un conjunto de llegada esta en Rm
Asiacute si el dominio A tiene tres variables se dice que el dominio esta definido en R3 las tres variables se pueden denotar por x y z Ahora si antildeadimos que la funcioacuten en cuestioacuten refleja algunos rasgos de las variables anteriores por ejemplo si se considera importante la suma de las primeras dos el producto de la segunda y tercera Entonces se dice que la funcioacuten tiene como conjunto de llegada a dos variables en la primera se refleja una suma mientras que en la segunda se observa una multiplicacioacuten
Entonces la forma de escribir en la primera de ellas es x + y mientras que la segunda es yz asiacute la funcioacuten queda expresada como
F(x y z) = (x+y yz)
Una funcioacuten que se puede observar diariamente es la de la temperatura en una habitacioacuten considerando cada punto en el espacio de la habitacioacuten entonces el dominio esta en tres dimensiones y la imagen de la funcioacuten refleja la temperatura en cada punto de la misma observe que esta puede cambiar si se encuentra cercas de una ventana o de la estufa
Aquiacute T(x y z) Muestra la temperatura en cada punto de una habitacioacuten faltariacutea encontrar la ecuacioacuten matemaacutetica que modele dicho comportamiento
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Como se puede observar el poder estudiar un fenoacutemeno real por medio de un modelo matemaacutetico es fundamental para poder realizar predicciones del mismo por medio de las propiedades de la funcioacuten asociada al mismo como el hecho de que la funcioacuten sea creciente que tenga un valor maacuteximo Se mostraran algunos ejemplos maacutes adelante con la finalidad de motivar el estudio de los fenoacutemenos reales por medio de las matemaacuteticas Definicioacuten- (Funcioacuten) Una funcioacuten es una regla de asignacioacuten entre dos conjuntos A y B que asigna a cada elemento del conjunto A uno y soacutelo uno del conjunto B El conjunto de partida A se le denomina el dominio de la funcioacuten mientras que el conjunto de llegada es B se le conoce como el codominio de la funcioacuten En el caso de varias variables se tiene que A es un subconjunto de Rn mientras que el conjunto B es un subconjunto de Rm Aquiacute es importante que a ninguacuten elemento del dominio se le asigne al mismo tiempo dos elementos del codominio y a la vez que a ninguno del dominio quede sin ser asignado Un ejemplo de esto se presenta en la siguiente funcioacuten que va del conjunto dominio A = 1 2 3 al conjunto B = 2 4 6 8 al definir la funcioacuten f que asigna a cada elemento del dominio con su doble se tiene que f(1) = 2 f(2) = 4 y f(3) = 6 Ahora una funcioacuten de dos variables se puede definir a partir de los conjuntos C = (12) (23) (34) (36) y D =3 4 5 6 7 8 9 en donde la funcioacuten g C D representa la suma de los diacutegitos de cada pareja ordenada
En este caso g(12) = 3 g(23) = 5 y asiacute sucesivamente Cabe sentildealar que la pareja ordenada (12) es distinta a la pareja (21) en donde esta uacuteltima no pertenece dominio de la funcioacuten
6 5 Suma g(12) = 3 4 3 2 (12)
1 (21) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 0 1 2 3 4 5 6 Las parejas (12) y (21) ocupan distintas posiciones en el plano La segunda de ellas no pertenece al dominio de la funcioacuten de manera tal aunque se pudiera evaluarla pareja ordenada no se contempla por el hecho de que la funcioacuten no esta definida en dicho valor
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Un ejemplo de esta funcioacuten ocurre si consideramos el total que se tiene que pagar en una tienda despueacutes de comprar dos artiacuteculos distintos Otro de ellos se presenta al tomar una evaluacioacuten de calidad de cierto artiacuteculo en donde se van sumando los puntos y no necesariamente serian dos variables
Otra caracteriacutestica que se presenta en esta tipo de funciones es que los valores esteacuten bien definidos al momento de evaluar como el hecho de que no se puede dividir entres cero y no se pueden sacar raiacuteces de nuacutemeros negativos Este hecho es importante para detallar el dominio de algunas funciones
asiacute el dominio de la funcioacuten xxk 4)( esta restringido al hecho de que la
variable x sea menor a cuatro dado que el argumento 4-x debe de ser no negativo es decir 4-x 0 y de aquiacute se tiene que 4 x
Cuando se involucran dos variables un ejemplo es encontrar el dominio
de la funcioacuten yxyxh 44)( y por analogiacutea con el problema anterior
se sabe que 4 x y a la vez que 4 y quedando el dominio descrito de la siguiente manera D = (xy) 4 x 4 y
6 D Dominio de la funcioacuten 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7
Ejemplo- Determine el dominio de la funcioacuten 2 2( ) 9 h x y x y Aquiacute se tiene
que el argumento de dicha funcioacuten debe de ser positivo en donde el dominio
de la funcioacuten es 2 29 0x y que es equivalente a 2 29 x y que representa
a un ciacuterculo de radio 3 y centrado en el origen
Si la funcioacuten es 2 2
1( )
9h x y
x y el dominio es casi el mismo
eliminando en donde el argumento se hace cero debido a que no estaacute definida la divisioacuten entre cero siendo el dominio el mismo circulo del ejemplo anterior pero sin la orilla
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Como se puede apreciar el dominio de estas funciones estaacute definido por regiones en el plano cartesiano cuando el dominio de la funcioacuten estaacute contenido en R2
Derivadas Parciales La derivada parcial de una funcioacuten de varias variables consiste en derivar la funcioacuten con respecto a la variable en cuestioacuten y dejar a las otras variables fijas como si fuesen constantes Por ejemplo al derivar la funcioacuten f(x y z) = x2 + 3xy3 - 3xz las derivadas de f con respecto a x y y z se describen a continuacioacuten y se denotan cada una de ellas por medio de los simbolos fx fy y fz fx(x y z) = 2x + 3y3 - 3z fy(x y z) = 9xy2 fz(x y z) = - 3x Definicioacuten- (Gradiente de una funcioacuten) El gradiente de una funcioacuten real se define como el vector que contiene en sus componentes a sus primeras derivadas parciales Asiacute para el ejemplo anterior el gradiente de f es y se denota por
3
2
2 3 3
9
3
x
y
z
f x y z
f f xy
f x
Ejemplo- Determine el gradiente de las siguientes funiones g(xy)=(x2 y4) y h(xyzw) = 2x+y2-3z+8w
3
2( )
4
x
y
h xh x y
h y
2
2( )
3
8
x
y
z
w
g
g yg x y z w
g
g
El vector gradiente tiene varias propiedades que son muy uacutetiles una de ellas nos indica la direccioacuten de maacuteximo crecimiento y otra de ellas es que es un
vector tangente a las curvas de nivel de una funcioacuten
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Definicioacuten- (Derivada Direccional) La derivada direccional de una
funcioacuten en un punto (x0 y0) y en direccioacuten de un vector v=(AB) se define como el producto del gradiente de la funcioacuten evaluado en el punto (x0 y0) por el vector V dividido entre la norma de mismo vector
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Tarea nuacutemero 2 materia de Caacutelculo 3 Objetivo- Que el alumno sea capaz de interpretar la nocioacuten de liacutemite en varias variables identifique la graacutefica de funciones y haga uso de la derivadas parciales 1- Determine el dominio de las siguientes funciones
(1a) f(x y z) = 2221 zyx
(1b) g(x y) = xy
2
(1c) f(x y) = xy
(1d) g(x y) = y4
(1e) f(x y) = y
x
4
4
(1f) h(x y) = 24
1
xy
2- Realice un bosquejo de las siguientes graacuteficas
22 zyx 22 2zxy 22 yxz 222 yxz
3- Determine los siguientes liacutemites
(31) xyxyxyxf y 210)( 3 cuando (xy) tiende a (12)
(32) yx
zyzxzyxf
33
)( cuando (xy) tiende a (112)
(33) )00()(
)00()(
0
3
3
)(
44
32
yx
yx
Siacute
Siyx
yx
yxk cuando (xy) tienden a (00)
En caso de existir indique haciendo uso de la nocioacuten
(34) )()(2
zxyxxxy
xxyyxzyxF z cuando (xyz) tiende a (012)
4- Indique de las funciones del ejercicio anterior son continuas y en que dominio 5- Determine si las funciones del ejercicio tres son de clase C1 6- Determine la ecuacioacuten del plano tangente a la graacutefica de la funcioacuten g(xy) = x4-10y3 en el punto (1-1) y en el punto (12) grafique en la computadora y agregue en el documento de la tarea 7- Determine los conjunto de nivel de valor -2 -1 0 1 2 de las funciones (7a) f(x y) = 3x2 + 3y2
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(7b) g(x y) = 22 44 yx
(7c) h(x y) = 1 ndash y + x2 (7d) k(x y z) = x2 + y2 + z2 Indique las graacuteficas en computadora y agregue en el reporte
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Capiacutetulo 3
Trayectorias
En este capiacutetulo se realiza el estudio de las propiedades de las funciones vectoriales es decir se hace incapie en el concepto de funcioacuten y la de un vector
Este concepto permite describir entre otras cosas el camino seguido por una partiacutecula en el espacio con el ingrediente adicional de tener a la mano los conceptos de velocidad y aceleracioacuten derivados a partir de una sola ecuacioacuten aquella que guarda la relacioacuten de posicioacuten de la partiacutecula con respecto al tiempo
Por ejemplo al mover una onda esta describe un movimiento circular si
la onda se suelta un objeto puesto en ella sale disparado en forma tangencial Este movimiento se puede representar con vectores y debe de expresar que la velocidad sea tangente a la trayectoria que sigue dado que la piedra abandona la onda en liacutenea recta
Si esto se extrapola al vuelo de una mosca se puede inferir que la velocidad de la misma sea tangencial a la trayectoria que va recorriendo en cada punto esto se muestra en la siguiente graacutefica
Observe que el hecho de contar con la orientacioacuten del vector velocidad permite no soacutelo inferir la velocidad de escape de la partiacutecula sobre la curva sino a la vez conocer la orientacioacuten del movimiento de la misma
Definicioacuten- (Trayectoria) Una trayectoria es una funcioacuten que parte de los nuacutemeros reales al espacio n Euclidiano Es decir es una funcioacuten de la forma
))()()(()( 21 txtxtxt n
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Caso particular de una trayectoria de los reales a plano En el caso de una trayectoria de los reales al plano se puede ilustrar con el siguiente diagrama
σ(a) σ(b) a b
2][ Rba ))()(()( tytxt
Una forma de ilustrar esto es pensar que la variable t es el tiempo y la imagen corresponde a la trayectoria de un objeto en el plano asiacute que el tiempo t=a la partiacutecula se encuentra en el punto σ(a) que es el inicio del recorrido de la misma mientras que tiempo final t=b se localiza al final de la trayectoria de estudio
Se puede observar una flecha indicativa del sentido de la partiacutecula a lo largo de la trayectoria
Ecuacioacuten Parametrica y Cartesiana de una curva
Ejemplo- Dada la trayectoria )()( 2ttt con 22t realice una
graacutefica de dicha trayectoria
t ))()(()( tytxt
-2 )42()(t
-1 )11()(t
0 )00()(t
1 )11()(t
2 )42()(t
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Como se puede apreciar la imagen de la trayectoria que recibe el
nombre de curva es una paraacutebola esto se puede ver si se realiza lo siguiente
Como x = t y = t2 entonces se puede deducir que y=x2 la ecuacioacuten correspondiente a la graacutefica de una paraacutebola esta ecuacioacuten corresponde a sus coordenadas cartesianas por otra parte si se rescribe en forma de trayectoria se dice que la ecuacioacuten es su ecuacioacuten cartesiana dado que depende de un solo paraacutemetro
Parametrizacioacuten de una funcioacuten real Si y es una variable dependiente de la variable x es decir existe
una regla de asignacioacuten f tal que y = f(x) con bxa En donde a
cada elemento x le asigna uno y soacutelo un valor y La graacutefica de esta funcioacuten se debe de ver como un trazo en el plano de la siguiente forma
La graacutefica no puede ser de la siguiente forma
y2
y3
y1 y4
X1 X2
Note que al valor de x2 le asigna tres valores de y lo cual no
cumple con las condiciones para que f sea una funcioacuten Ahora la graacutefica de una funcioacuten de esta tipo no es otra cosa que
la imagen de una trayectoria la cual se puede parametrizar de la siguiente forma
Como y = f(x) entonces defina x = t y por consiguiente y=f(t) en
donde bta
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-4 -2 2 4
-30
-20
-10
10
20
30
-2 -1 1 2
-2
-1
1
2
Asiacute en el caso de la paraacutebola la parametrizacioacuten adecuada es x
=t y = t2 tal como estaba planteada originalmente Ahora si la funcioacuten es y = 2x3-10x con 44 x entonces la
parametrizacioacuten adecuada es
)102()( 3 tttt 44 t
La graacutefica de esta curva asociada a la trayectoria es
Parametrizacioacuten de una circunferencia Elipse e Hipeacuterbola
La ecuacioacuten cartesiana de una circunferencia con centro en el origen y
radio dos estaacute dada por 422 yx Al intentar escribir esta ecuacioacuten en
funcioacuten de un solo paraacutemetro se requiere despejar a la variable y obteniendo
dos funciones que son 24 xy Con 22 x
La graacutefica de esta curva permite visualizar que no pertenece a una
funcioacuten sino maacutes bien a dos que son las enunciadas anteriormente y como se ve a continuacioacuten
24 xy
24 xy
Una forma de representar esta curva es por medio de dos trayectorias
)4()( 2
1 ttt y )4()( 2
2 ttt 22t
Una forma alternativa de representar esta curva es por medio del uso de coordenadas polares en donde x=rCos(t) y= rSen(t) como el radio es fijo y es igual a dos estas ecuaciones se pueden escribir en funcioacuten de un solo paraacutemetro ldquotrdquo x=2Cos(t) y=2Sen(t) note que al evaluar x2+y2=4Cos2(t)+4Sen2(t) = 4(Cos2(t)+Sen2(t))=4 con lo cual satisface la
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ecuacioacuten de la circunferencia quedando expresada la trayectoria de la siguiente forma
σ(y) = (2Cos(t) 2Sen(t) con 0letle2π En esta ecuacioacuten define por completo a la curva auacuten y cuando la
ecuacioacuten original no es una funcioacuten siendo esto una ventaja del estudio de la trayectorias
Ejemplo- La parametrizacioacuten de la elipse 12
2
2
2
b
y
a
x queda
expresada por x = aCos(t) y=bSen(t) se deja como ejercicio comprobar este resultado
Ejemplo- La parametrizacioacuten de la hiperbola 12
2
2
2
b
y
a
x queda
expresada por x = aCosh(t) y=bSenh(t) en donde se trabaja con las funciones de Seno y Coseno hiperboacutelicas se deja como ejercicio comprobar este resultado (aunque soacutelo permite representar el lado correspondiente a los cuadrantes I y IV en donde la x es no negativa
Derivada de una trayectoria La derivada de una trayectoria es un vector tangente a la curva esto se
deriva del siguiente anaacutelisis
Dada la trayectoria σ(t) se grafican la posicioacuten de la curva al tiempo t y t+h luego trace el vector asociado a la liacutenea secante que une los puntos de aquiacute al tomar valores cada vez maacutes pequentildeos de h el vector secante se convierte en un vector tangente a la curva como se muestra a continuacioacuten
Por otra parte el anaacutelisis vectorial de este cociente es
)()()(
0
tt
tht
h
Liacutem
Es decir la derivada de la trayectoria y el vector resultante es
tangente a la curva
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Asiacute para el caso de una curva en el plano la trayectoria se puede describir por medio de dos funciones x(t) y(t) de la siguiente forma
)(
)()(
ty
txt
En donde la derivada de esta funcioacuten es
)(
)()(
ty
txt
Vector tangente a la graacutefica de una circunferencia de radio R Ahora si se tiene la parametrizacioacuten de una circunferencia esta esta
dada por σ(t) = ( RCos(t) R Sen(t))
Y X
Un vector tangente tiene que cumplir que su producto punto tiene que
ser cero de aquiacute si V=(AB) al multiplicarlo por el vector σ su producto punto tiene que ser cero
De aquiacute que σ(t)V = ARCos(t) + BRSen(t) = 0 Existiendo muchas soluciones a este sistema de ecuaciones siendo una
de ellas cuando A = Cos(t) B=-Sen(t)
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Vector trasladado
Siendo este un vector tangente a la curva ahora al derivar las
componentes xrsquo(t) = -RSen(t) y(t) = RCos(t) que es un muacuteltiplo escalara del vector tangente mostrado anteriormente
Definicioacuten- (Rotacional) El rotacional de un campo vectorial
F=Pi+Qj+Rk de clase C1 de define como el vector
i j k
RotFx y z
P Q R
Ejemplos- Determine el rotacional de los siguientes campos vectoriales
F1=xi+yj+zk F2=x2yi-xy
2j-3zyk
Solucioacuten-
1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0
i j k
RotF z y i z x j y x kx y z y z x z x y
x y z
2 2 2 2
2
2 2
( 3 ) ( ) ( 3 ) ( ) ( ) ( )
3
i j k
RotF zy xy i zy x y j xy x y kx y z y z x z x y
x y xy zy
2 2
2
2 2
3 0
3
i j k
RotF z i j y x kx y z
x y xy zy
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Definicioacuten- (Divergencia) Si F es un campo vectorial de clase C1 la divergencia de F se define como un campo escalar de la siguiente forma
( )P Q R
divF div Pi Qj Rkx y z
Ejemplos- Determine la divergencia de los siguientes campos vectoriales F1=xi+yj+zk F2=x
2yi-xy
2j-3zyk
Solucioacuten-
1 ( ) ( ) ( ) ( ) 3divF div xi yj zk x y zx y z
2 2 2 2
2 ( 3 ) ( ) ( ) ( 3 ) 2 2 3 3divF div x yi xy j zyk x y xy zy xy xy y yx y z
Definicioacuten- (Laplaciano) Si f es un campo escalar de clase C2 el Laplaciano de f se define como un campo escalar de la siguiente forma
2 2 2
2
2 2 2xx yy zz
f f ff f f f f
x y z
Ejemplos- Determine la divergencia de los siguientes campos escalares g1(x
y z) = xy2z
3 g2(x y z) = x
2 + y
2 + z
2
2 2 2
2 2 3 2 3 2 3 2 3 3 2 2
2 2 2( ) ( ) ( ) 2 3 f f xy z xy z xy z y z yz xy z
x y z
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2( ) ( ) ( ) 6f f x y z x y z x y z
x y z
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Tarea nuacutemero 3 Trayectorias
Objetivo- Que el alumno sea capaz de comprender los conceptos de movimiento de una partiacutecula a lo largo de una trayectoria y de la importancia del uso de vectores en este tema 1- Si la trayectoria σ(t) = t2i+t2j define la trayectoria seguida por una partiacutecula con respecto al tiempo determine 1a- iquestEl tipo de trayectoria que describe 1b- Realice una graacutefica de la distancia recorrida por la partiacutecula con respecto al tiempo en los primeros tres segundos 1c- Determine el tipo de movimiento de la partiacutecula 1d- iquestSe puede afirmar que es un movimiento uniformemente acelerado 1e- Determine la aceleracioacuten y velocidad a los cuatro segundos 1f- Realice una graacutefica de su rapidez con respecto al tiempo 1g- Realice una graacutefica de sus aceleracioacuten con respecto al tiempo 1h- En la graacutefica de la trayectoria agregue graacuteficamente los vectores aceleracioacuten y velocidad 2- Realice lo mismo que en ejercicio anterior pero ahora con la funcioacuten γ(t) = Cos(t) i+5Sen(t)j 3- Dadas las funciones f(t) = 3t2i-4t3j+e2tk y g(t) = 4t3i+4t2j+e-2tk 3a- Determine la funcioacuten producto punto h = fg 3b- Determine la derivada de h 3c- Usando la regla de diferenciacioacuten determine la derivada de h y compruebe el inciso anterior 4a- Determine la funcioacuten producto cruz k = ftimesg 4b- Determine la derivada de h 4c- Usando la regla de diferenciacioacuten determine la derivada de h y compruebe el inciso anterior 5- Determine el Rotacional y la Divergencia del siguiente campo vectorial G(x y z) = 2xy i + 3xz j - 5xy k 6- Determine el gradiente y el Laplaciano del siguiente campo escalar f(xyz) = 4x2-3yz2 7- Dado el campo vectorial F(x y z) = 2xy i + x2 j +3z2 k 7a- Determine si F puede representar el gradiente de un campo escalar f 7b- En caso de ser afirmativa la respuesta del inciso anterior determine el campo escalar f 8- Pruebe que la divergencia del rotacional de un campo vectorial F=Pi+Qj+Rk es igual a cero Es decir la div rot F =0 9- Usando las reglas de diferinciacioacuten pruebe que
gfgfgf
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100 -x
Capitulo 4 Maacuteximos y miacutenimos
Es indispensable determinar en distintos problemas las soluciones oacuteptimas que permitan establecer por ejemplo los valores maacuteximos de produccioacuten o ahorrar el material en la construccioacuten de cierto equipo
Como se recordaraacute el gradiente de una funcioacuten indica la direccioacuten de
maacuteximo crecimiento esto se refleja en que si se toma la direccioacuten sugerida por este vector el valor de la funcioacuten aumenta en una vecindad del mismo asiacute si en un diagrama de un campo gradiente aparecen un punto en donde convergen la direccioacuten de todos los gradientes se encontraraacute que dicho valor debe de ser un valor maacuteximo para la funcioacuten de estudio Un diagrama de esta tipo se ejemplifica a continuacioacuten
Un diagrama en donde todos los vectores apuntan hacia fuera de un
punto indicaraacute que este punto debe de ser un valor miacutenimo de la funcioacuten Citemos el siguiente ejemplo de una variable con la finalidad de
centrarnos en el tema Una persona desea bardear un terreno en forma rectaacutengular cuanto debe de medir cada lado de manera tal que el aacuterea cercada sea maacutexima si se cuenta con 200 metros de malla
La funcioacuten que representa dicho modelo es
A(x) = x(100-x) x
Como se puede observar el aacuterea es cero si x es igual a cero o a cien con lo cuaacutel el lado x debe de estar en en intervalo [0 100] siendo estas las restricciones del problema Derivando la funcioacuten para obtener los valores critiacutecos se tiene que Arsquo(x) = 100 ndash 2x
Al igual la derivada a cero se concluye que el valor critico es x es igual a 50 Al derivar por segunda ocasioacuten se concluye que
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Arsquorsquo(x) = -2 Como la segunda derivada es siempre negativa se concluye que la funcioacuten alcanza un valor maacuteximo en el valor critico en este caso en x = 50 al interpretar dicho resultado se concluye que el terreno que optimiza la solucioacuten es un cuadrado Ejercicio- Que aacuterea se genera si el terreno es de forma circular Al resolver el ejercioacute anterior y comparar las aacutereas del cuadrado y del circulo se puede apreciar que el aacuterea del circulo es mayor pero en la praacutectica es poco atractivo cercar terrenos circulares por diversas razones pero en la naturaleza es comuacuten observar que las gotas de lluvia sean esferas esto permite el optimizar recursos y maacuteximizar el volumen del liacutequido contenido en la misma Se iniciara el estudio formal de maacuteximos y miacutenimos de funciones de varias variables observando las siguientes graficas con la finalidad de tener la idea clara de que es un maacuteximo o miacutenimo o un punto silla
En la primera de ellas se observa que la funcioacuten tiene un valor miacutenimo en la segunda se observa que la funcioacuten tiene un valor maacuteximo y en la uacuteltima la funcioacuten tiene un punto silla este se identifica el dirigirnos en una direccioacuten la funcioacuten crece mientras que en la otra la funcioacuten decrece
Definicioacuten- Una funcioacuten mn RRf tiene un valor maacuteximo local en x0 si en
una vecindad de dicho valor se cumple que la funcioacuten evaluada en todos los vecinos ninguno de ellos supera a f(x0) Es decir f(x0) f(x) para todo x en una vecindad de x0 El punto es llamado un maacuteximo absoluto si la funcioacuten toma el valor maacuteximo en dicho punto para todo valor de su dominio
Esto es muy similar cuando uno observa a los alumnos de un saloacuten de clases existe un alumno que tiene la mayor estatura si ninguno de sus compantildeeros lo supera Asiacute en la escuela el alumno de mayor estatura absoluta es aquel que supera a todo el plantel
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La definicioacuten para el miacutenimo local (absoluto) es similar
f(x0) f(x) para todo en una vecindad de x0 Por ejemplo la funcioacuten f(xy) = x2+y2 tiene un valor miacutenimo en el origen dado que en este valor la funcioacuten vale cero mientras que fuera de ahiacute siempre es positiva dado que todo nuacutemero real elevado al cuadrado es siempre positivo Ademaacutes dicho valor es un miacutenimo absoluto Como se menciono al inicio de esta capitulo el diagrama del campo
gradiente de esta funcioacuten y
xyxf
2
2)( indica que la funcioacuten tiene un valor
miacutenimo siendo la grafica del mismo la siguiente Sin embargo se requiere un criterio maacutes general y sistemaacutetico que permita establecer los posibles valores maacuteximos miacutenimos o puntos silla) Definicioacuten- (Un valor extremo) Si la funcioacuten posee un valor maacuteximo o miacutenimo este es llamado un valor extremo Definicioacuten- (Un valor critico) Un punto en donde la derivada de la funcioacuten se anula es llamado un valor critico Teorema- Todo valor extremo es un valor critico Es decir si f posee un valor extremo en x0 que pertenece a su dominio entonces la derivada de la funcioacuten en el punto x0 se anula Es decir Df(x0) = 0 Demostracioacuten- Sea l(t) una trayectoria que pasa a traveacutes por el punto x0 defina la composicioacuten de funciones h(t) = f(l(t)) donde l(t) = x0 + tv de donde lrsquo(t) = v y ademaacutes
))(()())(()( VtlftDltlDftDh (1)
Por otra parte como f posee un valor extremo en x0 suponga que dicho
valor es un maacuteximo entonces x0 seraacute a la vez un maacuteximo para la funcioacuten h y como h es una funcioacuten real esto significa que la derivada de h en dicho punto
se anula es decir 0)()0())0(()0( 0 vxfDllDfDh ahora como los
vectores )( 0xf y v no son necesariamente perpendiculares y el vector v a la
vez tampoco se anula entonces esto implica que el gradiente de f en x0 es igual a cero y por lo tanto f posee un valor criacutetico en x0
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Este resultado permite establecer posibles valores criacuteticos de una funcioacuten asiacute se menciona el siguiente ejemplo Ejemplo- Determine los posibles valores criacuteticos de las siguientes funciones (1) f(x y) = x2 + y2 y (2) g(x y) = 4x3 -12x + y2
Solucioacuten-
(1) 0
0
2
2)(
y
xyxf de aquiacute se concluye que dicho valor soacutelo
existe un valor criacutetico siendo este el origen el cuaacutel ya se clasifico en estos apuntes y resulto ser un valor miacutenimo
(2) 0
0
2
1212)(
2
y
xyxg de aquiacute se obtienen dos valores criacuteticos
que son (-10) y 1l (10) Los cuales se pueden clasificar el realizar el graacutefico del campo gradiente En donde se aprecia que en el punto (-10) la funcioacuten posee un punto silla mientras que en el punto (10) la funcioacuten posee un valor miacutenimo
Aquiacute se utilizaraacute el criterio del hessiano para determinar si el valor criacutetico es un maacuteximo un miacutenimo o un punto silla Solo se enunciara el teorema sin demostracioacuten para ver la misma puede revisar en el libro de Marsden Tromba de Caacutelculo Vectorial
Definicioacuten- El Hessiano de una funcioacuten 22 RRH de clase C2 se define como una funcioacuten cuadraacutetica que se escribe como
2
1
2
22
2
2
2
21212
1)(
h
h
y
f
yx
f
xy
f
x
f
hhhhH
Evaluada la matriz de las segundas derivas parciales en el valor criacutetico
Teorema- Si el Hessiano de una funcioacuten 2 RRf es definitivamente
positivo entonces la funcioacuten tiene un valor miacutenimo en dicho punto
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Corolario- Si la matriz asociada A=cb
ba de una forma cuadraacutetica dos
por dos es definitivamente positiva si y soacutelo si se cumple que agt0 y det A gt0
Teorema de una valor para un valor extremo miacutenimo- Una funcioacuten
2 RRf de clase C2 posee un valor extremo miacutenimo local en x0 elemento
del dominio de la funcioacuten si y soacutelo si se satisfacen las siguientes condiciones
(i) 0)( 0xx
f y 0)( 0x
y
f
(ii) )( 02
2
xx
f gt 0
(iii) )( 02
2
xx
f)( 02
2
xy
f)(
2
2
oxx
f)( 02
2
xx
f gt 0
Para un valor maacuteximo las condiciones (i) y (iii) se mantienen la uacutenica que cambia en la segunda en donde esta debe ser negativa Para un punto silla se requiere que al menos no se cumplan las condiciones de valor maacuteximo ni miacutenimo y que la uacuteltima condicioacuten (iii) sea distinta de cero En caso contrario el criterio no permite clasificar dicho valor como se mostraraacute en un ejemplo maacutes adelante Ejemplo- Ahora continuando con los ejemplos anteriores
(1) Para f(xy) = x2+y2 el valor critico es el origen y el hessiano asociado es
2
1
212100
02
2
1)(
h
hhhhhH
Como se pude apreciar el primer valor es positivo 2 gt0 y el determinante de
la funcioacuten 20
02det es igual a 4 que a la vez es positivo de manera tal que la
funcioacuten posee un valor miacutenimo en el origen
(2) g(x y) = 4x3 -12x + y2 los puntos criticos son (-10) y (10) y el hessiano asociado a esta forma cuadraacutetica es
2
1
212120
024
2
1)(
h
hxhhhhHg
Ahora al evaluar en los puntos se tiene En el (-10)
2
1
212120
024
2
1)(
h
hhhhhHg
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En donde -24 lt 0 y det Hg = -48 lt0 con lo cuaacutel debe de ser un punto silla
En el (10)
2
1
212120
024
2
1)(
h
hhhhhHg
En donde 24 gt 0 y det Hg = 48 gt0 con lo cuaacutel debe de ser un punto miacutenimo
Tal como se habiacutea estimado en la graacutefica del campo gradiente de la
solucioacuten anterior A continuacioacuten se muestra un bosquejo de dicha graacutefica realizado en el derive
Ejemplos de cuando el criterio permite clasificar los
valores criacuteticos
Ejemplo- A continuacioacuten se mostrara un ejemplo de cuando el criterio no concluye asiacute si la funcioacuten es h(xy) = x4+y4 al calcular las derivas parciales mixtas fx=4x3 y fy=4y3 se encuentra un solo valor critico el origen miestras que la matriz asociada del hessiano es
2
2
120
012
y
x y al evaluar en el origen queda expresada como
00
00
)0(120
0)0(122
2
En donde se puede apreciar que fallan todos los criterios una inspeccioacuten de
la funcioacuten original permite ver que la funcioacuten tiene un valor miacutenimo en dicho punto pero no es una generalizacioacuten es decir no se puede decir que siempre que aparezca la matriz de ceros se tenga un valor miacutenimo dado que si se analiza ahora a las funciones k(xy) = -x4-y4 y p(xy) = x4-y4 ambas tienen como calor extremo al origen y la matriz hessiana asociada a la forma cuadraacutetica evaluada en el origen es la matriz de ceros
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Ejemplo- Otro ejemplo en donde el criterio no concluye es el siguiente en
donde el determinante de la matriz H es cero debido a que la segunda derivada de la funcioacuten f con respecto a la segunda variable se anula (fyy = 0) y no se puede asegurar que se tenga un punto maacuteximo miacutenimo o silla
Las funciones f1(xy) = x2 f2(xy) = -x2 y f3(xy) = x3 presentan este
problema a continuacioacuten se muestran las graficas de dichas funciones
En cada una de ellas los puntos criacuteticos son las parejas en el plano (0 y) Es decir el eje coordenado X
El Hessiano respectivo de cada uno es el siguiente
00
02)(1 yxH
00
02)(2 yxH
00
03)(3
xyxH
Note que el determinante de cada de estas matrices se hace cero y que fyy
se anula en cada caso
Ahora observando las graacuteficas se verifica visualmente que en la primera se tienen valores miacutenimos en la segunda maacuteximos y en la uacuteltima no es ni maacuteximo ni miacutenimo o punto silla
Ejemplo- Citemos otro ejemplo en donde el criterio de maacuteximos y miacutenimos
no concluye Determine los puntos criacuteticos de la funcioacuten h(xy) = x4 Se tiene que hx=4x3=0 y hy=0 de donde se deduce que la funcioacuten tiene
un nuacutemero infinito de puntos criacuteticos estos son las parejas ordenadas en el plano (0y)
La matriz del Hessiano asociado es
00
012)(
2
1
xyxH y evaluando en el punto
00
00)0(1 yH
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40
En donde no se puede clasificar a los valores criacuteticos sin embargo
realizando una inpeccioacuten de la funcioacuten se puede concluir que todos los puntos representan valores miacutenimos de la funcioacuten original a continuacioacuten se muestra la grafica de la misma
El Hessiano para n variables y el criterio de clasificacioacuten
Cuando la funcioacuten tiene maacutes de dos variables se genera una matriz asociada H en cada uno de los valores criacuteticos de la siguiente forma
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
H
21
22221
11211
De aquiacute se definen las siguientes matrices
111 aH 2221
1211
2aa
aaH hellip HH n
Los criterios para los valores criacuteticos de la funcioacuten RRf n son los
siguientes [Miacutenimo Local] La funcioacuten f posee un valor extremo local miacutenimo en x0 si todos los determinantes de las submatrices evaluados en x0 son positivos
0det 1H 0det 2H hellip 0det 2H (+ + hellip +)
En este caso la forma cuadraacutetica se puede probar que es definitivamente positiva [Maacuteximo Local] La funcioacuten f posee un valor extremo local miacutenimo en x0 si todos los determinantes de las submatrices evaluados en x0 se alternan en signo pero el primero de ellos debe ser negativo
0det 1H 0det 2H hellip 0det 2H (- + - + hellip )
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41
En este caso la forma cuadraacutetica se puede probar que es definitivamente negativa [Punto Silla] La funcioacuten f posee un punto silla si no se cumplen los criterios de valor miacutenimo o maacuteximo y al menos uno de los subdeterminantes es distinto de cero
Existe un i tal que 0det iH
Ejemplos- Determine los valores criacuteticos de las siguiente funcioacuten f(x y z w) = x3 - 3x + y3 ndash 3y + z2 + w2 y claacutesifiquelos Solucioacuten- Al resolver las siguientes ecuaciones
033 2 xxf x 033 2 yyf y 02zf z y 033 2 wwfw
Se obtienen cuatro puntos criacuteticos que son (-1-100) (-1100) (1-100) y (1100) ahora se genera la matriz del hessiano asociado siendo esta
2000
0200
0060
0006
y
x
H
Al evaluar en cada uno de los puntos se tienen las siguientes matrices
2000
0200
0060
0006
)0011(H
2000
0200
0060
0006
)0011(H
2000
0200
0060
0006
)0011(H y
2000
0200
0060
0006
)0011(H
Los sub determinantes para cada uno de los puntos son [(-1 -1 0 0)] -6 36 72 144 que clasifica como un punto silla [(-1100)] -6 -36 -72 -144 que clasifica como un punto silla [(1-100)] 6 -36 -72 -144 que clasifica como un punto silla [(1100)] 6 36 72 144 que clasifica como un valor miacutenimo De manera tal que la funcioacuten tiene tres puntos silla y un valor miacutenimo
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42
Ejercicios- Determine los puntos criacuteticos de las siguientes funciones y claacutesifiquelos utilizando el criterio del Hessiano
(1) f(x y) = x2 - y2 (Silla de montar)
(2) g(x y) = 22 yx (Cono)
(3) h(x y z) = x4 - 2x2 + 2y3 -3y2 + z3-3 Ejercicio- Se requiere construir una lata con tapa que contenga un litro de agua con el miacutenimo de material determine las condiciones que oacuteptimizan el problema Ejercicio- Determine el producto maacuteximo de tres nuacutemeros si la suma de ellos debe ser 40 Ejercicio- Determine la distancia miacutenima del origen a la graacutefica de la funcioacuten f(xy) = 4-x2+y Ejercicio- Estudie los ejemplos resueltos que trae el libro de Marden Tromba en el capitulo 4 en especial el referente a la ecuacioacuten de miacutenimos cuadrados Ejercicio- Determine la ecuacioacuten lineal que mejor se ajusta a los puntos (12) (2 32) (3 389) (4 488) (5 55) Utilize el criterio de miacutenimos cuadrados en caso de que el modelo sea lineal (justifique la linealidad del mismo realice una graacutefica de los puntos y de la liacutenea que ajusta a los puntos) Ejemplo- (Aplicacioacuten) En este ejemplo dermina la distancia miacutenima del punto (100) a la graacutefica de una funcioacuten f(x y) = x2+y2
Solucioacuten- Todos los puntos que se encuentran sobre la graacutefica de la funcioacuten satisfacen la siguiente terna de valores en donde se observa que la tercer componente es la variable dependiente (x y x2+y2)
La distancia del punto (1 0 0) a los puntos que estaacuten sobre la graacutefica (x y x2+y2) Se define por medio de la funcioacuten
2222222 )()1()()001()( yxyxyxyxdyxfd
Para determinar el valor miacutenimo o maacuteximo de esta funcioacuten basta con
analizar su argumento dado que es un funcioacuten creciente Es decir Si x1lt x2
entonces f(x1) lt f(x2) lo que es vaacutelido para la funcioacuten )( xxf (ver graacutefica)
2x
1x
x1 x2
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43
De este modo la funcioacuten a maximizar es
2222222
11 )()1()()001()( yxyxyxyxdyxfd
De aquiacute al las derivadas parciales son
)(4)1(2)( 22
1 yxxxyxfd x y )(42)( 22
1 yxyyyxfd y
Igualando ambas ecuaciones a cero se puede establecer la siguiente
ecuacioacuten
)(4
)(4
2
2222
22
yxy
yxx
y
x (3)
De aquiacute si )00()( yx y 0y se concluye que -1=0 lo cual es una
contradiccioacuten Por otra parte si (xy)=(00) en la primera ecuacioacuten se tiene que 1=0 que es tambieacuten una contradiccioacuten Finalmente si se considera el caso en
que y=0 se obtiene de la siguiente ecuacioacuten 012 3 xx
El polinomio 12)( 3 xxxP tiene una raiacutez entre el cero y el 1 dado
que P(0)=-1 y P(1)=2 Con el anaacutelisis de raiacuteces racionales dos posibles raiacuteces
son 2
1 y como
2
1 estaacute entre cero y uno al usando divisioacuten sinteacutetica se
obtiene que 4
1
2
1P Asiacute que la raiacutez debe de estar en el intervalo 1
2
1
Ahora usando el meacutetodo de Newton con semilla en 2
10x se obtiene
que 6010
6
2
54
1
2
1
)(
)(
0
0
01xf
xfxx
Ahora al evaluar la funcioacuten en dicho punto se tiene que 0320)60(P el
cual es aceptable como raiacutez del polinomio en una sola interaccioacuten De manera tal que el punto criacutetico de la funcioacuten es el (060) El Hessiano asociado es
24128
82412)(
22
22
xyxy
xyyxyxH
Como se puede apreciar el primer elemento de la matriz es positivo independientemente de los valores de x e y Falta evaluar el determinante de H este es igual a
)64)2412)(2412()(det 222222 yxxyyxyxH
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44
Ahora evaluando en (06 0) se tiene 7421)443)(326()060(det H
Que tambieacuten es positivo de manera tal que se tiene un valor miacutenimo Es
decir la se obtuvo la distancia miacutenima
Maacuteximos y Miacutenimos con restricciones
Los muacuteltiplicadores de Lagrange permite determinar valores maacuteximos o miacutenimos de funciones con restricciones De este tipo de problemas esta lleno nuestro contorno desde el panedero que desea producir la maacutexima cantidad de pan pero con la restriccioacuten del capital que tiene o la posible venta del diacutea para que no tenga sobrantes
Citemos el siguiente ejemplo la graacutefica de paraboloide z = x2+y2 esta
graacutefica soacutelo tiene un valor miacutenimo en el origen sin embargo si esta restringida
al cuadrado unitario 1111 la funcioacuten alcanza cuatro puntos maacuteximos en
los puntos (-11)(-1-1) (1 -1) y (11) a saber dicho valor es 2 Como se observa en la figura
Ahora si se trabaja con la silla de montar con la misma restriccioacuten esta
funcioacuten tiene originalmente un punto silla en el origen pero al analizar las restricciones se contiene dos valores maacuteximos y dos miacutenimos en los puntos (10) (-10) (0-1) y (01)
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Muacuteltiplicadores de Lagrange Teorema- Dadas dos funciones fg Rn a R diferenciables en X0 elemento del dominio de ambas funciones Si Lc es el conjunto de nivel de valor c de la funcioacuten g y si f posee un valor maacuteximo miacutenimo o silla en la restriccioacuten Lc
entonces existe un nuacutemero real λ tal que )()( 00 XgXf
Se puede ver parte de la demostracioacuten de este teorema en el libro de Marsden Tromba Para clasificar los puntos criacuteticos se utiliza el criterio del Hessiano limitado el cuaacutel se define a partir de la funcioacuten auxiliar H(x1 x2 hellip xn) = f(x1 x2 hellip xn) - λ g(x1 x2 hellip xn)
nnnn
n
n
xxxxx
xxxxx
xx
hhg
hhg
gg
H
1
1111
10
||
Ahora defina los siguientes determinantes
22122
21111
210
|| 1
xxxxx
xxxxx
xx
hhg
hhg
gg
H
3323131
3222121
3121111
3210
|| 2
xxxxxxx
xxxxxxx
xxxxxxx
xxx
hhhg
hhhg
hhhg
ggg
H ||det|| HHn
Criterios para maacuteximos y miacutenimos con restricciones (Hessiano liacutemitado) [Miacutenimo Local] Se tiene un miacutenimo local si y soacutelo si todos los determinantes son negativos |H1| lt0 |H2| lt0 hellip |Hn|lt0 ( - - - - - hellip)
[Maacuteximo Local] Se tiene un maximo local si y soacutelo se inicia con un determinante positivo y luego se alternan los signos |H1| gt 0 |H2| lt 0 hellip |Hn|lt0 (+ - + - hellip)
[Punto del tipo Silla] Se tiene un punto tipo silla sino se satisface los criterios de maacuteximos o miacutenimos y al menos uno de los determinantes es distinto de cero Ejemplo- Determine si la funcioacuten f(xy)= x2 ndash y2 tiene valores criacuteticos en la restriccioacuten x2+y2=1
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46
)(2
2
2
2)( 00 Xg
g
g
y
x
y
x
f
fXf
y
x
y
x
de aquiacute se obtienen las ecuaciones 2x = 2 λx -2y = 2 λy x2 + y2 =1 Las soluciones de este sistema de ecuaciones son (-101) (101) (0-1-1) y (0-11) El Hessiano liacutemitado es
2202
0222
220
||
y
x
yx
H
El determinante es igual a det|H| = 8x2(1+λ) ndash 8y2(1-λ) ahora evaluando
cada uno de los puntos se tiene que det|H|(-101) = 16 gt 0 det|H|(101) = 16 gt 0 det|H|(0-1-1) = -16 lt 0 det|H|(0-11) = -16 lt 0
De manera tal que la funcioacuten posee dos valores maacuteximos en los puntos (-10) y (10) y por otra parte tiene dos valores miacutenimos en los puntos (0-1) y (0-1) Ejemplo- Determine si la funcioacuten f(xy)= x2+y2 tiene valores criacuteticos en la restriccioacuten x2-y2 le 4 Al iniciar este estudio se trabaja con el interior es decir x2-y2 lt 4 dando como resultado el anaacutelisis de maacuteximos y miacutenimos de una funcioacuten en general de donde el gradiente de f se anula uacutenicamente en el origen siendo este valor un miacutenimo como se habiacutea visto en un ejercicio anterior para la funcioacuten del paraboloide Ahora al trabajar sobre la frontera se usa el criterio de muacuteltiplicadores de Lagrange
)(2
2
2
2)( 00 Xg
g
g
y
x
y
x
f
fXf
y
x
y
x
de aquiacute se obtienen las ecuaciones 2x = 2 λx 2y = -2 λy x2 - y2 = 4
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Las soluciones de este sistema de ecuaciones son (-201) y (201) El Hessiano liacutemitado es
2202
0222
220
||
y
x
yx
H
El determinante es igual a det|H| = -8x2(1+λ) + 8y2(1-λ) ahora
evaluando en cada uno de los puntos se tiene que det|H|(201) = -64 gt 0 y det|H|(-201) = -64 lt 0
De manera tal que la funcioacuten posee dos valores miacutenimos en los puntos (-20) y (20)
Una anaacutelisis de la graacutefica de esta funcioacuten permite visualizar que dichos
puntos no son miacutenimos maacutes bien son puntos tipos silla y no es que el criterio falle sino maacutes bien que los valores son miacutenimos pero sobre el complemento es decir bajo la restriccioacuten x2-y2 ge 4 Ejemplo- Determine los valores criacuteticos de la funcioacuten f(xyz) = 2x+y+3z sujeta a la restriccioacuten x2+y2+z2 le 36 Solucioacuten- Un anaacutelisis de las condiciones iniciales muestra que la graacutefica a maximizar en un hiperplano restringido en su dominio a una esfera de radio 6 de acuerdo a estas condiciones la funcioacuten en su interior no debe tener valor criacuteticos y en la frontera debe tener un valor miacutenimo y un valor maacuteximo En el interior- Al derivar la funcioacuten original se tiene lo siguiente
3
1
2
)( 0
z
y
x
f
f
f
Xf
De aquiacute se observa que la funcioacuten no posee valores criacuteticos en todo su dominio tal y como se esperaba Frontera- Al utilizar las condiciones del los Muacuteltiplicadores de Lagrange se tiene lo siguiente
)(
2
2
2
3
1
2
)( 00 Xg
z
y
x
f
f
f
Xf
z
y
x
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De aquiacute se genera el siguiente sistema de ecuaciones 2 = 2λx 1 = 2λy 3 = 2λz x2+y2+z2=36
Resolviendo el sistema se concluye que 2
1
1yx amp
2
3z Ahora
sustituyendo en la uacuteltima ecuacioacuten se deduce que la funcioacuten posee dos valores criacuteticos que son
18
14
14
1427
14
149
14
1418amp
18
14
14
1427
14
149
14
1418
La funcioacuten auxiliar es H(xyzλ) = 2x+y+3z-λ(x2+y2+z2) donde Hx=2-2λx Hy=1-2λy Hz=3-2λz El Hessiano Liacutemitado es
2002
0202
0022
2220
||
z
y
x
zyx
H
De aquiacute
0
0)(8
202
022
220
|| 22
1si
siyx
y
x
yx
H
0576)(16
2002
0202
0022
2220
|| 22222 zyx
z
y
x
zyx
H
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49
De aquiacute se desprende que la funcioacuten f(xyz) = 2x+y+3z posee un valor miacutenimo
en el punto 18
14
14
1427
14
149
14
1418 restringido a x2+y2+z2 = 36 y un
maacuteximo en el punto 18
14
14
1427
14
149
14
1418
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50
Tarea nuacutemero 4 Maacuteximos y Miacutenimos
Objetivo- Que el alumno sea capaz de aprender a resolver problemas asociados a la vida real haciendo uso del caacutelculo de varias variables Aquiacute se enuncian los siguientes ejercicios adicionales dado que muchos de los mismos se fueron exponiendo a lo largo del capiacutetulo y se sugiere que se revisen los problemas resueltos y propuestos en la libros de la bibliografiacutea dado que las aplicaciones son muchas 1- Determine los valores maacuteximos y miacutenimos de la funcioacuten f(xy) = x +y sujeta a la restriccioacuten x2+2y2le18 (Realice un bosquejo de la graacutefica y se restriccioacuten)
2- Determine los valores maacuteximos y miacutenimos de la funcioacuten f(xy) = x2 +y2 sujeta a la restriccioacuten x+2y le 4 (Realice un bosquejo de la graacutefica y se restriccioacuten)
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51
Bibliografiacutea
1 Caacutelculo Vectorial Marsden amp Tromba Addison-Wesley Iberoamericana
2 Caacutelculo Multivariable James Steward Thomson Editores
3 Caacutelculo con Geometriacutea Anaacutelitica Zill Grupo Editorial Iberoameacuterica
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12
B= (x2 y2) D = (x1+x2 y1+y2) W V+W
A V C = (x1 y1) El cuadrado ABDC queda completamente representado al definir las combinaciones lineales de V y W de la siguiente forma Todos los vectores en el plano que se pueden definir a partir de lo siguiente
(ts) = t V + s W
en donde t y s son nuacutemeros reales y ademaacutes tiene la siguiente restriccioacuten 0 t 1 y 0 s 1 Ejercicio- Represente todos los puntos en el plano cuya distancia al vector
V = 2
1 es de dos unidades
Ejercicio- Represente todos los puntos en el plano que representan a un rectaacutengulo y dos de sus aristas estaacuten ubicadas en los vectores
V = 2
1 y W =
5
0
Ejercicio- Muestre que con dos vectores no colineales es posible definir el plano bidimensional (de igual forma pruebe que el espacio tridimensional se puede definir a partir de tres vectores no coplanares)
Estructura Algeacutebrica del espacio vectorial Los vectores permiten tienen estructura algebraica que se puede definir a partir de sus operaciones definidas anteriormente Proposicioacuten- Dados tres vectores y en el plano y un escalar k estos poseen las siguientes propiedades
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(i) Ley Asociativa La suma de vectores es asociativa
(ii) Ley Conmutativa La suma de vectores es conmutativa
(iii) Neutro Aditivo Existe un vector 0
denominado neutro aditivo que satisface la siguiente propiedad
00
Es decir al sumar con cualquier vector en el plano el resultado es el mismo vector
(iv) Para todo vector en el plano existe un vector denominado el inverso aditivo - tal que la suma de ambos es igual a cero
+ - = - + = 0
Este vector cero ambas componentes son iguale a cero y si las componentes de son (ab) las de - son (-a -b) Con a y b nuacutemeros reales La demostracioacuten de estas propiedades se basan en el principio del campo de los nuacutemeros reales Como ejemplo se demostraraacute la propiedad (ii)
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Tarea 1 Caacutelculo 3 Caacutelculo Vectorial Objetivo- Que el alumno sea capaz de resolver problemas relacionados con vectores comprenda la ecuacioacuten de una liacutenea en el espacio la ecuacioacuten de un plano aacuterea de paralelogramos las propiedades algebraicas asociadas con vectores en dos y tres dimensiones en cuanto al producto punto producto por un escalar y producto cruz Finalmente que sea capaz de determinar el volumen de un paralelepiacutepedo 1- Determine la ecuacioacuten de los puntos en el espacio que (1a) pertenecen al eje X (1b) pasan por la recta y=3x (1c) pasan por el punto (1-11) y en direccioacuten del vector i+j (1d) representan a la recta de interseccioacuten de los planos 3x ndash 2y + z = 7 y 2x + 4y ndashz = 4 (1e) representan al plano ortogonal a la liacutenea x=2y = 3z 2- Que regioacuten del espacio representan los puntos (2a) con componentes (x1z) (2b) contenidos por el paralelogramo definido por los vectores i+j y 3i ndashj (haga un bosquejo) 3- Determine un vector que sea muacuteltiplo escalar del vector α = 3i + j pero de norma uno (El vector resultante recibe el nombre de vector normalizado del vector α) 4- Determine un vector perpendicular al vector β = 2i + 3i - 5k 5- Pruebe que la ley conmutativa es vaacutelida en el producto escalar es decir αβ = βα 6- Pruebe que la siguiente propiedad es vaacutelida en el producto escalar entre un muacuteltiplo escalar de α y el vector β (k α)(β) = k (αβ) = α(kβ) 7- Deduzca la ecuacioacuten que establece la distancia de un punto P=(x1 y1 z1) en el espacio y el plano A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0 (Puedes encontrar la demostracioacuten en alguacuten libro de caacutelculo vectorial o intentar demostrarla usando el concepto de proyeccioacuten ortogonal)
8- Determine la distancia entre los planos x + y + z = 0 y x + y + z = 1 (Trate de determinar dicha distancia entre los planos paralelos sin hacer uso de la foacutermula y luego use dicha foacutermula para establecer el resultado finalmente trate de dar una interpretacioacuten de dicha solucioacuten) 9- Determine el volumen del paralelepiacutepedo generado por los vectores V1=(322) V2=(202) y V3=(041) 10- Determine el volumen del paralelepiacutepedo con cuatro de sus veacutertices en los puntos (123) (024) (305) y (222) realice un bosquejo de dicho paralelepiacutepedo
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15
11- Pruebe que dados cuatro veacutertices de un paralelepiacutepedo en el espacio se pueden generar cuatro paralelepiacutepedos distintos pero de igual volumen 12- Pruebe que α (β times γ) = γ (α times β) 13- Pruebe que α times (β + γ) = α times β + α times γ 14- Determine el aacuterea del paralelogramo generado por los vectores i+j-k 2i-j 15- Determine el aacuterea del paralelogramo generado por los vectores 2i+j 3i ndash j 16- Determine el aacutengulo que existe entre los vectores i+j-k y 2j ndash k 17- Determine si el vector i+j es una combinacioacuten lineal del vector 2i ndashj 18- Determine si el vector i+j es una combinacioacuten lineal del vector 2i + 2j 19- Determine el aacutengulo entre los planos 2x ndash y + z = 0 y 3x ndashy + 2z = 0 20- Determine la distancia entre los planos x + y + z = 0 y x + y + z = 1
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Capitulo 2 Funciones Vectoriales
En este capitulo se veraacuten temas relacionados con funciones de varias variables que van a los nuacutemeros reales (a las cuales se les llaman funciones reales) o que van a maacutes dimensiones
Cuando uno habla de este tema es importante recalcar que en la vida cotidiana se presentan diversas aplicaciones con el hecho de manejar varias variables que van desde la preparacioacuten de un cafeacute hasta el hecho de planear la agenda diaria de coacutemo distribuir el tiempo
Citemos el siguiente ejemplo En un estudio de calidad de vida de los sentildeores casados y con hijos se realizaraacute una evolucioacuten final de la satisfaccioacuten de su vida cotidiana en base a una encuesta en donde se mediraacuten diversos factores de vida familiar para esto se tiene la disyuntiva de poder distribuir los tiempos de Trabajo diversioacuten ejercicio jugar con los nintildeos convivir con su pareja visitar a familiares convivir con amigos Entonces no cabe duda que los resultados de la encuesta estaraacuten vinculados con los tiempos destinados a cada actividad asiacute por ejemplo
Persona Trabajo Diversioacuten Ejercicio Nintildeos Pareja Familiares Amigos
A 30 20 5 5 10 8 2
B 50 5 2 2 10 10 18
Otro ejemplo se presenta el preparar un cafeacute dado que aunque este sea
para la misma persona si usa distintos cantidades de cafeacute azuacutecar leche o temperatura final del mismo el resultado del sabor del mismo cambiaraacute notablemente Cabe sentildealar que cada individuo mide el grado de satisfacioacuten de forma diferente y a la vez esta se realiza en forma cualitativa dado que no se puede medir el grado de satisfacioacuten debido a que cada individuo tiene distintos gustos un cafeacute con poca azuacutecar para una persona puede ser para otra que este bien o que este muy azucarado
Por otra parte no es lo mismo tomar un cafeacute en un diacutea caluroso a una o
en un diacutea con friacuteo Siendo esta otra variable de estudio Como se puede apreciar el resultado final depende rotundamente de la cantidad que se mezcle de cada uno de los ingredientes con los que se cuentan Es decir es un problema de varias variables
Pongamos el siguiente ejemplo financiero una persona desea invertir en el banco en dos cuentas individuales siendo que en la primera da un rendimiento de 2 mensual y en la segunda del 3 si se desea saber cual es la ganancia mensual esto se puede escribir para el primer mes de la siguiente forma
G(xy) = 002x + 003y siendo x la cantidad de dinero aportada en la primer cuenta y la cantidad de dinero aportada en la segunda cuenta Esta seriacutea la ganancia del primer mes Asiacute si invierte mil pesos en la primer cuenta y dos mil en la segunda la ganancia del primer mes seraacute de ochenta pesos
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G(10002000) =002(1000)+003(2000) = 20 + 60 = 100
Cabe sentildealar que las aplicaciones en economiacutea en donde aparecen maacutes
de una variable abundan y que anaacutelisis maacutes completos de estados de cuenta con intereses o deudas en tiendas de conveniencia se pueden representar mediante funciones de varias variables debiendo desarrollar cada una de ellas en su debido tiempo
Por otra parte las aplicaciones en procesos de produccioacuten industrial son diversos y permiten evaluar el producto final que llegaraacute al cliente en cuanto a la calidad del mismo
Si un estudiante dedica cierta cantidad de horas de estudio y por otra parte se mide la atencioacuten prestada en sus horas de estudio Se pueden proponer lo siguiente No se esperariacutean los mismos resultados si dedica tres horas de estudio con poca atencioacuten a que si dedica la misma cantidad de horas de estudio con mucha atencioacuten Cabe sentildealar que la atencioacuten prestada depende del intereacutes de estudiante en la materia el gusto por la misma o la importancia que preste en conocer temas nuevos
Funcioacuten Vectorial
Se comenzaraacute el estudio de funciones vectorial de varias variables especificando algunos detalles sobre las mismas en principio una funcioacuten vectorial tiene como dominio un subconjunto de Rn y un conjunto de llegada esta en Rm
Asiacute si el dominio A tiene tres variables se dice que el dominio esta definido en R3 las tres variables se pueden denotar por x y z Ahora si antildeadimos que la funcioacuten en cuestioacuten refleja algunos rasgos de las variables anteriores por ejemplo si se considera importante la suma de las primeras dos el producto de la segunda y tercera Entonces se dice que la funcioacuten tiene como conjunto de llegada a dos variables en la primera se refleja una suma mientras que en la segunda se observa una multiplicacioacuten
Entonces la forma de escribir en la primera de ellas es x + y mientras que la segunda es yz asiacute la funcioacuten queda expresada como
F(x y z) = (x+y yz)
Una funcioacuten que se puede observar diariamente es la de la temperatura en una habitacioacuten considerando cada punto en el espacio de la habitacioacuten entonces el dominio esta en tres dimensiones y la imagen de la funcioacuten refleja la temperatura en cada punto de la misma observe que esta puede cambiar si se encuentra cercas de una ventana o de la estufa
Aquiacute T(x y z) Muestra la temperatura en cada punto de una habitacioacuten faltariacutea encontrar la ecuacioacuten matemaacutetica que modele dicho comportamiento
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Como se puede observar el poder estudiar un fenoacutemeno real por medio de un modelo matemaacutetico es fundamental para poder realizar predicciones del mismo por medio de las propiedades de la funcioacuten asociada al mismo como el hecho de que la funcioacuten sea creciente que tenga un valor maacuteximo Se mostraran algunos ejemplos maacutes adelante con la finalidad de motivar el estudio de los fenoacutemenos reales por medio de las matemaacuteticas Definicioacuten- (Funcioacuten) Una funcioacuten es una regla de asignacioacuten entre dos conjuntos A y B que asigna a cada elemento del conjunto A uno y soacutelo uno del conjunto B El conjunto de partida A se le denomina el dominio de la funcioacuten mientras que el conjunto de llegada es B se le conoce como el codominio de la funcioacuten En el caso de varias variables se tiene que A es un subconjunto de Rn mientras que el conjunto B es un subconjunto de Rm Aquiacute es importante que a ninguacuten elemento del dominio se le asigne al mismo tiempo dos elementos del codominio y a la vez que a ninguno del dominio quede sin ser asignado Un ejemplo de esto se presenta en la siguiente funcioacuten que va del conjunto dominio A = 1 2 3 al conjunto B = 2 4 6 8 al definir la funcioacuten f que asigna a cada elemento del dominio con su doble se tiene que f(1) = 2 f(2) = 4 y f(3) = 6 Ahora una funcioacuten de dos variables se puede definir a partir de los conjuntos C = (12) (23) (34) (36) y D =3 4 5 6 7 8 9 en donde la funcioacuten g C D representa la suma de los diacutegitos de cada pareja ordenada
En este caso g(12) = 3 g(23) = 5 y asiacute sucesivamente Cabe sentildealar que la pareja ordenada (12) es distinta a la pareja (21) en donde esta uacuteltima no pertenece dominio de la funcioacuten
6 5 Suma g(12) = 3 4 3 2 (12)
1 (21) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 0 1 2 3 4 5 6 Las parejas (12) y (21) ocupan distintas posiciones en el plano La segunda de ellas no pertenece al dominio de la funcioacuten de manera tal aunque se pudiera evaluarla pareja ordenada no se contempla por el hecho de que la funcioacuten no esta definida en dicho valor
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Un ejemplo de esta funcioacuten ocurre si consideramos el total que se tiene que pagar en una tienda despueacutes de comprar dos artiacuteculos distintos Otro de ellos se presenta al tomar una evaluacioacuten de calidad de cierto artiacuteculo en donde se van sumando los puntos y no necesariamente serian dos variables
Otra caracteriacutestica que se presenta en esta tipo de funciones es que los valores esteacuten bien definidos al momento de evaluar como el hecho de que no se puede dividir entres cero y no se pueden sacar raiacuteces de nuacutemeros negativos Este hecho es importante para detallar el dominio de algunas funciones
asiacute el dominio de la funcioacuten xxk 4)( esta restringido al hecho de que la
variable x sea menor a cuatro dado que el argumento 4-x debe de ser no negativo es decir 4-x 0 y de aquiacute se tiene que 4 x
Cuando se involucran dos variables un ejemplo es encontrar el dominio
de la funcioacuten yxyxh 44)( y por analogiacutea con el problema anterior
se sabe que 4 x y a la vez que 4 y quedando el dominio descrito de la siguiente manera D = (xy) 4 x 4 y
6 D Dominio de la funcioacuten 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7
Ejemplo- Determine el dominio de la funcioacuten 2 2( ) 9 h x y x y Aquiacute se tiene
que el argumento de dicha funcioacuten debe de ser positivo en donde el dominio
de la funcioacuten es 2 29 0x y que es equivalente a 2 29 x y que representa
a un ciacuterculo de radio 3 y centrado en el origen
Si la funcioacuten es 2 2
1( )
9h x y
x y el dominio es casi el mismo
eliminando en donde el argumento se hace cero debido a que no estaacute definida la divisioacuten entre cero siendo el dominio el mismo circulo del ejemplo anterior pero sin la orilla
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Como se puede apreciar el dominio de estas funciones estaacute definido por regiones en el plano cartesiano cuando el dominio de la funcioacuten estaacute contenido en R2
Derivadas Parciales La derivada parcial de una funcioacuten de varias variables consiste en derivar la funcioacuten con respecto a la variable en cuestioacuten y dejar a las otras variables fijas como si fuesen constantes Por ejemplo al derivar la funcioacuten f(x y z) = x2 + 3xy3 - 3xz las derivadas de f con respecto a x y y z se describen a continuacioacuten y se denotan cada una de ellas por medio de los simbolos fx fy y fz fx(x y z) = 2x + 3y3 - 3z fy(x y z) = 9xy2 fz(x y z) = - 3x Definicioacuten- (Gradiente de una funcioacuten) El gradiente de una funcioacuten real se define como el vector que contiene en sus componentes a sus primeras derivadas parciales Asiacute para el ejemplo anterior el gradiente de f es y se denota por
3
2
2 3 3
9
3
x
y
z
f x y z
f f xy
f x
Ejemplo- Determine el gradiente de las siguientes funiones g(xy)=(x2 y4) y h(xyzw) = 2x+y2-3z+8w
3
2( )
4
x
y
h xh x y
h y
2
2( )
3
8
x
y
z
w
g
g yg x y z w
g
g
El vector gradiente tiene varias propiedades que son muy uacutetiles una de ellas nos indica la direccioacuten de maacuteximo crecimiento y otra de ellas es que es un
vector tangente a las curvas de nivel de una funcioacuten
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Definicioacuten- (Derivada Direccional) La derivada direccional de una
funcioacuten en un punto (x0 y0) y en direccioacuten de un vector v=(AB) se define como el producto del gradiente de la funcioacuten evaluado en el punto (x0 y0) por el vector V dividido entre la norma de mismo vector
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Tarea nuacutemero 2 materia de Caacutelculo 3 Objetivo- Que el alumno sea capaz de interpretar la nocioacuten de liacutemite en varias variables identifique la graacutefica de funciones y haga uso de la derivadas parciales 1- Determine el dominio de las siguientes funciones
(1a) f(x y z) = 2221 zyx
(1b) g(x y) = xy
2
(1c) f(x y) = xy
(1d) g(x y) = y4
(1e) f(x y) = y
x
4
4
(1f) h(x y) = 24
1
xy
2- Realice un bosquejo de las siguientes graacuteficas
22 zyx 22 2zxy 22 yxz 222 yxz
3- Determine los siguientes liacutemites
(31) xyxyxyxf y 210)( 3 cuando (xy) tiende a (12)
(32) yx
zyzxzyxf
33
)( cuando (xy) tiende a (112)
(33) )00()(
)00()(
0
3
3
)(
44
32
yx
yx
Siacute
Siyx
yx
yxk cuando (xy) tienden a (00)
En caso de existir indique haciendo uso de la nocioacuten
(34) )()(2
zxyxxxy
xxyyxzyxF z cuando (xyz) tiende a (012)
4- Indique de las funciones del ejercicio anterior son continuas y en que dominio 5- Determine si las funciones del ejercicio tres son de clase C1 6- Determine la ecuacioacuten del plano tangente a la graacutefica de la funcioacuten g(xy) = x4-10y3 en el punto (1-1) y en el punto (12) grafique en la computadora y agregue en el documento de la tarea 7- Determine los conjunto de nivel de valor -2 -1 0 1 2 de las funciones (7a) f(x y) = 3x2 + 3y2
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(7b) g(x y) = 22 44 yx
(7c) h(x y) = 1 ndash y + x2 (7d) k(x y z) = x2 + y2 + z2 Indique las graacuteficas en computadora y agregue en el reporte
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Capiacutetulo 3
Trayectorias
En este capiacutetulo se realiza el estudio de las propiedades de las funciones vectoriales es decir se hace incapie en el concepto de funcioacuten y la de un vector
Este concepto permite describir entre otras cosas el camino seguido por una partiacutecula en el espacio con el ingrediente adicional de tener a la mano los conceptos de velocidad y aceleracioacuten derivados a partir de una sola ecuacioacuten aquella que guarda la relacioacuten de posicioacuten de la partiacutecula con respecto al tiempo
Por ejemplo al mover una onda esta describe un movimiento circular si
la onda se suelta un objeto puesto en ella sale disparado en forma tangencial Este movimiento se puede representar con vectores y debe de expresar que la velocidad sea tangente a la trayectoria que sigue dado que la piedra abandona la onda en liacutenea recta
Si esto se extrapola al vuelo de una mosca se puede inferir que la velocidad de la misma sea tangencial a la trayectoria que va recorriendo en cada punto esto se muestra en la siguiente graacutefica
Observe que el hecho de contar con la orientacioacuten del vector velocidad permite no soacutelo inferir la velocidad de escape de la partiacutecula sobre la curva sino a la vez conocer la orientacioacuten del movimiento de la misma
Definicioacuten- (Trayectoria) Una trayectoria es una funcioacuten que parte de los nuacutemeros reales al espacio n Euclidiano Es decir es una funcioacuten de la forma
))()()(()( 21 txtxtxt n
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Caso particular de una trayectoria de los reales a plano En el caso de una trayectoria de los reales al plano se puede ilustrar con el siguiente diagrama
σ(a) σ(b) a b
2][ Rba ))()(()( tytxt
Una forma de ilustrar esto es pensar que la variable t es el tiempo y la imagen corresponde a la trayectoria de un objeto en el plano asiacute que el tiempo t=a la partiacutecula se encuentra en el punto σ(a) que es el inicio del recorrido de la misma mientras que tiempo final t=b se localiza al final de la trayectoria de estudio
Se puede observar una flecha indicativa del sentido de la partiacutecula a lo largo de la trayectoria
Ecuacioacuten Parametrica y Cartesiana de una curva
Ejemplo- Dada la trayectoria )()( 2ttt con 22t realice una
graacutefica de dicha trayectoria
t ))()(()( tytxt
-2 )42()(t
-1 )11()(t
0 )00()(t
1 )11()(t
2 )42()(t
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Como se puede apreciar la imagen de la trayectoria que recibe el
nombre de curva es una paraacutebola esto se puede ver si se realiza lo siguiente
Como x = t y = t2 entonces se puede deducir que y=x2 la ecuacioacuten correspondiente a la graacutefica de una paraacutebola esta ecuacioacuten corresponde a sus coordenadas cartesianas por otra parte si se rescribe en forma de trayectoria se dice que la ecuacioacuten es su ecuacioacuten cartesiana dado que depende de un solo paraacutemetro
Parametrizacioacuten de una funcioacuten real Si y es una variable dependiente de la variable x es decir existe
una regla de asignacioacuten f tal que y = f(x) con bxa En donde a
cada elemento x le asigna uno y soacutelo un valor y La graacutefica de esta funcioacuten se debe de ver como un trazo en el plano de la siguiente forma
La graacutefica no puede ser de la siguiente forma
y2
y3
y1 y4
X1 X2
Note que al valor de x2 le asigna tres valores de y lo cual no
cumple con las condiciones para que f sea una funcioacuten Ahora la graacutefica de una funcioacuten de esta tipo no es otra cosa que
la imagen de una trayectoria la cual se puede parametrizar de la siguiente forma
Como y = f(x) entonces defina x = t y por consiguiente y=f(t) en
donde bta
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-4 -2 2 4
-30
-20
-10
10
20
30
-2 -1 1 2
-2
-1
1
2
Asiacute en el caso de la paraacutebola la parametrizacioacuten adecuada es x
=t y = t2 tal como estaba planteada originalmente Ahora si la funcioacuten es y = 2x3-10x con 44 x entonces la
parametrizacioacuten adecuada es
)102()( 3 tttt 44 t
La graacutefica de esta curva asociada a la trayectoria es
Parametrizacioacuten de una circunferencia Elipse e Hipeacuterbola
La ecuacioacuten cartesiana de una circunferencia con centro en el origen y
radio dos estaacute dada por 422 yx Al intentar escribir esta ecuacioacuten en
funcioacuten de un solo paraacutemetro se requiere despejar a la variable y obteniendo
dos funciones que son 24 xy Con 22 x
La graacutefica de esta curva permite visualizar que no pertenece a una
funcioacuten sino maacutes bien a dos que son las enunciadas anteriormente y como se ve a continuacioacuten
24 xy
24 xy
Una forma de representar esta curva es por medio de dos trayectorias
)4()( 2
1 ttt y )4()( 2
2 ttt 22t
Una forma alternativa de representar esta curva es por medio del uso de coordenadas polares en donde x=rCos(t) y= rSen(t) como el radio es fijo y es igual a dos estas ecuaciones se pueden escribir en funcioacuten de un solo paraacutemetro ldquotrdquo x=2Cos(t) y=2Sen(t) note que al evaluar x2+y2=4Cos2(t)+4Sen2(t) = 4(Cos2(t)+Sen2(t))=4 con lo cual satisface la
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ecuacioacuten de la circunferencia quedando expresada la trayectoria de la siguiente forma
σ(y) = (2Cos(t) 2Sen(t) con 0letle2π En esta ecuacioacuten define por completo a la curva auacuten y cuando la
ecuacioacuten original no es una funcioacuten siendo esto una ventaja del estudio de la trayectorias
Ejemplo- La parametrizacioacuten de la elipse 12
2
2
2
b
y
a
x queda
expresada por x = aCos(t) y=bSen(t) se deja como ejercicio comprobar este resultado
Ejemplo- La parametrizacioacuten de la hiperbola 12
2
2
2
b
y
a
x queda
expresada por x = aCosh(t) y=bSenh(t) en donde se trabaja con las funciones de Seno y Coseno hiperboacutelicas se deja como ejercicio comprobar este resultado (aunque soacutelo permite representar el lado correspondiente a los cuadrantes I y IV en donde la x es no negativa
Derivada de una trayectoria La derivada de una trayectoria es un vector tangente a la curva esto se
deriva del siguiente anaacutelisis
Dada la trayectoria σ(t) se grafican la posicioacuten de la curva al tiempo t y t+h luego trace el vector asociado a la liacutenea secante que une los puntos de aquiacute al tomar valores cada vez maacutes pequentildeos de h el vector secante se convierte en un vector tangente a la curva como se muestra a continuacioacuten
Por otra parte el anaacutelisis vectorial de este cociente es
)()()(
0
tt
tht
h
Liacutem
Es decir la derivada de la trayectoria y el vector resultante es
tangente a la curva
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Asiacute para el caso de una curva en el plano la trayectoria se puede describir por medio de dos funciones x(t) y(t) de la siguiente forma
)(
)()(
ty
txt
En donde la derivada de esta funcioacuten es
)(
)()(
ty
txt
Vector tangente a la graacutefica de una circunferencia de radio R Ahora si se tiene la parametrizacioacuten de una circunferencia esta esta
dada por σ(t) = ( RCos(t) R Sen(t))
Y X
Un vector tangente tiene que cumplir que su producto punto tiene que
ser cero de aquiacute si V=(AB) al multiplicarlo por el vector σ su producto punto tiene que ser cero
De aquiacute que σ(t)V = ARCos(t) + BRSen(t) = 0 Existiendo muchas soluciones a este sistema de ecuaciones siendo una
de ellas cuando A = Cos(t) B=-Sen(t)
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Vector trasladado
Siendo este un vector tangente a la curva ahora al derivar las
componentes xrsquo(t) = -RSen(t) y(t) = RCos(t) que es un muacuteltiplo escalara del vector tangente mostrado anteriormente
Definicioacuten- (Rotacional) El rotacional de un campo vectorial
F=Pi+Qj+Rk de clase C1 de define como el vector
i j k
RotFx y z
P Q R
Ejemplos- Determine el rotacional de los siguientes campos vectoriales
F1=xi+yj+zk F2=x2yi-xy
2j-3zyk
Solucioacuten-
1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0
i j k
RotF z y i z x j y x kx y z y z x z x y
x y z
2 2 2 2
2
2 2
( 3 ) ( ) ( 3 ) ( ) ( ) ( )
3
i j k
RotF zy xy i zy x y j xy x y kx y z y z x z x y
x y xy zy
2 2
2
2 2
3 0
3
i j k
RotF z i j y x kx y z
x y xy zy
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Definicioacuten- (Divergencia) Si F es un campo vectorial de clase C1 la divergencia de F se define como un campo escalar de la siguiente forma
( )P Q R
divF div Pi Qj Rkx y z
Ejemplos- Determine la divergencia de los siguientes campos vectoriales F1=xi+yj+zk F2=x
2yi-xy
2j-3zyk
Solucioacuten-
1 ( ) ( ) ( ) ( ) 3divF div xi yj zk x y zx y z
2 2 2 2
2 ( 3 ) ( ) ( ) ( 3 ) 2 2 3 3divF div x yi xy j zyk x y xy zy xy xy y yx y z
Definicioacuten- (Laplaciano) Si f es un campo escalar de clase C2 el Laplaciano de f se define como un campo escalar de la siguiente forma
2 2 2
2
2 2 2xx yy zz
f f ff f f f f
x y z
Ejemplos- Determine la divergencia de los siguientes campos escalares g1(x
y z) = xy2z
3 g2(x y z) = x
2 + y
2 + z
2
2 2 2
2 2 3 2 3 2 3 2 3 3 2 2
2 2 2( ) ( ) ( ) 2 3 f f xy z xy z xy z y z yz xy z
x y z
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2( ) ( ) ( ) 6f f x y z x y z x y z
x y z
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Tarea nuacutemero 3 Trayectorias
Objetivo- Que el alumno sea capaz de comprender los conceptos de movimiento de una partiacutecula a lo largo de una trayectoria y de la importancia del uso de vectores en este tema 1- Si la trayectoria σ(t) = t2i+t2j define la trayectoria seguida por una partiacutecula con respecto al tiempo determine 1a- iquestEl tipo de trayectoria que describe 1b- Realice una graacutefica de la distancia recorrida por la partiacutecula con respecto al tiempo en los primeros tres segundos 1c- Determine el tipo de movimiento de la partiacutecula 1d- iquestSe puede afirmar que es un movimiento uniformemente acelerado 1e- Determine la aceleracioacuten y velocidad a los cuatro segundos 1f- Realice una graacutefica de su rapidez con respecto al tiempo 1g- Realice una graacutefica de sus aceleracioacuten con respecto al tiempo 1h- En la graacutefica de la trayectoria agregue graacuteficamente los vectores aceleracioacuten y velocidad 2- Realice lo mismo que en ejercicio anterior pero ahora con la funcioacuten γ(t) = Cos(t) i+5Sen(t)j 3- Dadas las funciones f(t) = 3t2i-4t3j+e2tk y g(t) = 4t3i+4t2j+e-2tk 3a- Determine la funcioacuten producto punto h = fg 3b- Determine la derivada de h 3c- Usando la regla de diferenciacioacuten determine la derivada de h y compruebe el inciso anterior 4a- Determine la funcioacuten producto cruz k = ftimesg 4b- Determine la derivada de h 4c- Usando la regla de diferenciacioacuten determine la derivada de h y compruebe el inciso anterior 5- Determine el Rotacional y la Divergencia del siguiente campo vectorial G(x y z) = 2xy i + 3xz j - 5xy k 6- Determine el gradiente y el Laplaciano del siguiente campo escalar f(xyz) = 4x2-3yz2 7- Dado el campo vectorial F(x y z) = 2xy i + x2 j +3z2 k 7a- Determine si F puede representar el gradiente de un campo escalar f 7b- En caso de ser afirmativa la respuesta del inciso anterior determine el campo escalar f 8- Pruebe que la divergencia del rotacional de un campo vectorial F=Pi+Qj+Rk es igual a cero Es decir la div rot F =0 9- Usando las reglas de diferinciacioacuten pruebe que
gfgfgf
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100 -x
Capitulo 4 Maacuteximos y miacutenimos
Es indispensable determinar en distintos problemas las soluciones oacuteptimas que permitan establecer por ejemplo los valores maacuteximos de produccioacuten o ahorrar el material en la construccioacuten de cierto equipo
Como se recordaraacute el gradiente de una funcioacuten indica la direccioacuten de
maacuteximo crecimiento esto se refleja en que si se toma la direccioacuten sugerida por este vector el valor de la funcioacuten aumenta en una vecindad del mismo asiacute si en un diagrama de un campo gradiente aparecen un punto en donde convergen la direccioacuten de todos los gradientes se encontraraacute que dicho valor debe de ser un valor maacuteximo para la funcioacuten de estudio Un diagrama de esta tipo se ejemplifica a continuacioacuten
Un diagrama en donde todos los vectores apuntan hacia fuera de un
punto indicaraacute que este punto debe de ser un valor miacutenimo de la funcioacuten Citemos el siguiente ejemplo de una variable con la finalidad de
centrarnos en el tema Una persona desea bardear un terreno en forma rectaacutengular cuanto debe de medir cada lado de manera tal que el aacuterea cercada sea maacutexima si se cuenta con 200 metros de malla
La funcioacuten que representa dicho modelo es
A(x) = x(100-x) x
Como se puede observar el aacuterea es cero si x es igual a cero o a cien con lo cuaacutel el lado x debe de estar en en intervalo [0 100] siendo estas las restricciones del problema Derivando la funcioacuten para obtener los valores critiacutecos se tiene que Arsquo(x) = 100 ndash 2x
Al igual la derivada a cero se concluye que el valor critico es x es igual a 50 Al derivar por segunda ocasioacuten se concluye que
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Arsquorsquo(x) = -2 Como la segunda derivada es siempre negativa se concluye que la funcioacuten alcanza un valor maacuteximo en el valor critico en este caso en x = 50 al interpretar dicho resultado se concluye que el terreno que optimiza la solucioacuten es un cuadrado Ejercicio- Que aacuterea se genera si el terreno es de forma circular Al resolver el ejercioacute anterior y comparar las aacutereas del cuadrado y del circulo se puede apreciar que el aacuterea del circulo es mayor pero en la praacutectica es poco atractivo cercar terrenos circulares por diversas razones pero en la naturaleza es comuacuten observar que las gotas de lluvia sean esferas esto permite el optimizar recursos y maacuteximizar el volumen del liacutequido contenido en la misma Se iniciara el estudio formal de maacuteximos y miacutenimos de funciones de varias variables observando las siguientes graficas con la finalidad de tener la idea clara de que es un maacuteximo o miacutenimo o un punto silla
En la primera de ellas se observa que la funcioacuten tiene un valor miacutenimo en la segunda se observa que la funcioacuten tiene un valor maacuteximo y en la uacuteltima la funcioacuten tiene un punto silla este se identifica el dirigirnos en una direccioacuten la funcioacuten crece mientras que en la otra la funcioacuten decrece
Definicioacuten- Una funcioacuten mn RRf tiene un valor maacuteximo local en x0 si en
una vecindad de dicho valor se cumple que la funcioacuten evaluada en todos los vecinos ninguno de ellos supera a f(x0) Es decir f(x0) f(x) para todo x en una vecindad de x0 El punto es llamado un maacuteximo absoluto si la funcioacuten toma el valor maacuteximo en dicho punto para todo valor de su dominio
Esto es muy similar cuando uno observa a los alumnos de un saloacuten de clases existe un alumno que tiene la mayor estatura si ninguno de sus compantildeeros lo supera Asiacute en la escuela el alumno de mayor estatura absoluta es aquel que supera a todo el plantel
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La definicioacuten para el miacutenimo local (absoluto) es similar
f(x0) f(x) para todo en una vecindad de x0 Por ejemplo la funcioacuten f(xy) = x2+y2 tiene un valor miacutenimo en el origen dado que en este valor la funcioacuten vale cero mientras que fuera de ahiacute siempre es positiva dado que todo nuacutemero real elevado al cuadrado es siempre positivo Ademaacutes dicho valor es un miacutenimo absoluto Como se menciono al inicio de esta capitulo el diagrama del campo
gradiente de esta funcioacuten y
xyxf
2
2)( indica que la funcioacuten tiene un valor
miacutenimo siendo la grafica del mismo la siguiente Sin embargo se requiere un criterio maacutes general y sistemaacutetico que permita establecer los posibles valores maacuteximos miacutenimos o puntos silla) Definicioacuten- (Un valor extremo) Si la funcioacuten posee un valor maacuteximo o miacutenimo este es llamado un valor extremo Definicioacuten- (Un valor critico) Un punto en donde la derivada de la funcioacuten se anula es llamado un valor critico Teorema- Todo valor extremo es un valor critico Es decir si f posee un valor extremo en x0 que pertenece a su dominio entonces la derivada de la funcioacuten en el punto x0 se anula Es decir Df(x0) = 0 Demostracioacuten- Sea l(t) una trayectoria que pasa a traveacutes por el punto x0 defina la composicioacuten de funciones h(t) = f(l(t)) donde l(t) = x0 + tv de donde lrsquo(t) = v y ademaacutes
))(()())(()( VtlftDltlDftDh (1)
Por otra parte como f posee un valor extremo en x0 suponga que dicho
valor es un maacuteximo entonces x0 seraacute a la vez un maacuteximo para la funcioacuten h y como h es una funcioacuten real esto significa que la derivada de h en dicho punto
se anula es decir 0)()0())0(()0( 0 vxfDllDfDh ahora como los
vectores )( 0xf y v no son necesariamente perpendiculares y el vector v a la
vez tampoco se anula entonces esto implica que el gradiente de f en x0 es igual a cero y por lo tanto f posee un valor criacutetico en x0
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Este resultado permite establecer posibles valores criacuteticos de una funcioacuten asiacute se menciona el siguiente ejemplo Ejemplo- Determine los posibles valores criacuteticos de las siguientes funciones (1) f(x y) = x2 + y2 y (2) g(x y) = 4x3 -12x + y2
Solucioacuten-
(1) 0
0
2
2)(
y
xyxf de aquiacute se concluye que dicho valor soacutelo
existe un valor criacutetico siendo este el origen el cuaacutel ya se clasifico en estos apuntes y resulto ser un valor miacutenimo
(2) 0
0
2
1212)(
2
y
xyxg de aquiacute se obtienen dos valores criacuteticos
que son (-10) y 1l (10) Los cuales se pueden clasificar el realizar el graacutefico del campo gradiente En donde se aprecia que en el punto (-10) la funcioacuten posee un punto silla mientras que en el punto (10) la funcioacuten posee un valor miacutenimo
Aquiacute se utilizaraacute el criterio del hessiano para determinar si el valor criacutetico es un maacuteximo un miacutenimo o un punto silla Solo se enunciara el teorema sin demostracioacuten para ver la misma puede revisar en el libro de Marsden Tromba de Caacutelculo Vectorial
Definicioacuten- El Hessiano de una funcioacuten 22 RRH de clase C2 se define como una funcioacuten cuadraacutetica que se escribe como
2
1
2
22
2
2
2
21212
1)(
h
h
y
f
yx
f
xy
f
x
f
hhhhH
Evaluada la matriz de las segundas derivas parciales en el valor criacutetico
Teorema- Si el Hessiano de una funcioacuten 2 RRf es definitivamente
positivo entonces la funcioacuten tiene un valor miacutenimo en dicho punto
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Corolario- Si la matriz asociada A=cb
ba de una forma cuadraacutetica dos
por dos es definitivamente positiva si y soacutelo si se cumple que agt0 y det A gt0
Teorema de una valor para un valor extremo miacutenimo- Una funcioacuten
2 RRf de clase C2 posee un valor extremo miacutenimo local en x0 elemento
del dominio de la funcioacuten si y soacutelo si se satisfacen las siguientes condiciones
(i) 0)( 0xx
f y 0)( 0x
y
f
(ii) )( 02
2
xx
f gt 0
(iii) )( 02
2
xx
f)( 02
2
xy
f)(
2
2
oxx
f)( 02
2
xx
f gt 0
Para un valor maacuteximo las condiciones (i) y (iii) se mantienen la uacutenica que cambia en la segunda en donde esta debe ser negativa Para un punto silla se requiere que al menos no se cumplan las condiciones de valor maacuteximo ni miacutenimo y que la uacuteltima condicioacuten (iii) sea distinta de cero En caso contrario el criterio no permite clasificar dicho valor como se mostraraacute en un ejemplo maacutes adelante Ejemplo- Ahora continuando con los ejemplos anteriores
(1) Para f(xy) = x2+y2 el valor critico es el origen y el hessiano asociado es
2
1
212100
02
2
1)(
h
hhhhhH
Como se pude apreciar el primer valor es positivo 2 gt0 y el determinante de
la funcioacuten 20
02det es igual a 4 que a la vez es positivo de manera tal que la
funcioacuten posee un valor miacutenimo en el origen
(2) g(x y) = 4x3 -12x + y2 los puntos criticos son (-10) y (10) y el hessiano asociado a esta forma cuadraacutetica es
2
1
212120
024
2
1)(
h
hxhhhhHg
Ahora al evaluar en los puntos se tiene En el (-10)
2
1
212120
024
2
1)(
h
hhhhhHg
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En donde -24 lt 0 y det Hg = -48 lt0 con lo cuaacutel debe de ser un punto silla
En el (10)
2
1
212120
024
2
1)(
h
hhhhhHg
En donde 24 gt 0 y det Hg = 48 gt0 con lo cuaacutel debe de ser un punto miacutenimo
Tal como se habiacutea estimado en la graacutefica del campo gradiente de la
solucioacuten anterior A continuacioacuten se muestra un bosquejo de dicha graacutefica realizado en el derive
Ejemplos de cuando el criterio permite clasificar los
valores criacuteticos
Ejemplo- A continuacioacuten se mostrara un ejemplo de cuando el criterio no concluye asiacute si la funcioacuten es h(xy) = x4+y4 al calcular las derivas parciales mixtas fx=4x3 y fy=4y3 se encuentra un solo valor critico el origen miestras que la matriz asociada del hessiano es
2
2
120
012
y
x y al evaluar en el origen queda expresada como
00
00
)0(120
0)0(122
2
En donde se puede apreciar que fallan todos los criterios una inspeccioacuten de
la funcioacuten original permite ver que la funcioacuten tiene un valor miacutenimo en dicho punto pero no es una generalizacioacuten es decir no se puede decir que siempre que aparezca la matriz de ceros se tenga un valor miacutenimo dado que si se analiza ahora a las funciones k(xy) = -x4-y4 y p(xy) = x4-y4 ambas tienen como calor extremo al origen y la matriz hessiana asociada a la forma cuadraacutetica evaluada en el origen es la matriz de ceros
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39
Ejemplo- Otro ejemplo en donde el criterio no concluye es el siguiente en
donde el determinante de la matriz H es cero debido a que la segunda derivada de la funcioacuten f con respecto a la segunda variable se anula (fyy = 0) y no se puede asegurar que se tenga un punto maacuteximo miacutenimo o silla
Las funciones f1(xy) = x2 f2(xy) = -x2 y f3(xy) = x3 presentan este
problema a continuacioacuten se muestran las graficas de dichas funciones
En cada una de ellas los puntos criacuteticos son las parejas en el plano (0 y) Es decir el eje coordenado X
El Hessiano respectivo de cada uno es el siguiente
00
02)(1 yxH
00
02)(2 yxH
00
03)(3
xyxH
Note que el determinante de cada de estas matrices se hace cero y que fyy
se anula en cada caso
Ahora observando las graacuteficas se verifica visualmente que en la primera se tienen valores miacutenimos en la segunda maacuteximos y en la uacuteltima no es ni maacuteximo ni miacutenimo o punto silla
Ejemplo- Citemos otro ejemplo en donde el criterio de maacuteximos y miacutenimos
no concluye Determine los puntos criacuteticos de la funcioacuten h(xy) = x4 Se tiene que hx=4x3=0 y hy=0 de donde se deduce que la funcioacuten tiene
un nuacutemero infinito de puntos criacuteticos estos son las parejas ordenadas en el plano (0y)
La matriz del Hessiano asociado es
00
012)(
2
1
xyxH y evaluando en el punto
00
00)0(1 yH
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40
En donde no se puede clasificar a los valores criacuteticos sin embargo
realizando una inpeccioacuten de la funcioacuten se puede concluir que todos los puntos representan valores miacutenimos de la funcioacuten original a continuacioacuten se muestra la grafica de la misma
El Hessiano para n variables y el criterio de clasificacioacuten
Cuando la funcioacuten tiene maacutes de dos variables se genera una matriz asociada H en cada uno de los valores criacuteticos de la siguiente forma
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
H
21
22221
11211
De aquiacute se definen las siguientes matrices
111 aH 2221
1211
2aa
aaH hellip HH n
Los criterios para los valores criacuteticos de la funcioacuten RRf n son los
siguientes [Miacutenimo Local] La funcioacuten f posee un valor extremo local miacutenimo en x0 si todos los determinantes de las submatrices evaluados en x0 son positivos
0det 1H 0det 2H hellip 0det 2H (+ + hellip +)
En este caso la forma cuadraacutetica se puede probar que es definitivamente positiva [Maacuteximo Local] La funcioacuten f posee un valor extremo local miacutenimo en x0 si todos los determinantes de las submatrices evaluados en x0 se alternan en signo pero el primero de ellos debe ser negativo
0det 1H 0det 2H hellip 0det 2H (- + - + hellip )
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En este caso la forma cuadraacutetica se puede probar que es definitivamente negativa [Punto Silla] La funcioacuten f posee un punto silla si no se cumplen los criterios de valor miacutenimo o maacuteximo y al menos uno de los subdeterminantes es distinto de cero
Existe un i tal que 0det iH
Ejemplos- Determine los valores criacuteticos de las siguiente funcioacuten f(x y z w) = x3 - 3x + y3 ndash 3y + z2 + w2 y claacutesifiquelos Solucioacuten- Al resolver las siguientes ecuaciones
033 2 xxf x 033 2 yyf y 02zf z y 033 2 wwfw
Se obtienen cuatro puntos criacuteticos que son (-1-100) (-1100) (1-100) y (1100) ahora se genera la matriz del hessiano asociado siendo esta
2000
0200
0060
0006
y
x
H
Al evaluar en cada uno de los puntos se tienen las siguientes matrices
2000
0200
0060
0006
)0011(H
2000
0200
0060
0006
)0011(H
2000
0200
0060
0006
)0011(H y
2000
0200
0060
0006
)0011(H
Los sub determinantes para cada uno de los puntos son [(-1 -1 0 0)] -6 36 72 144 que clasifica como un punto silla [(-1100)] -6 -36 -72 -144 que clasifica como un punto silla [(1-100)] 6 -36 -72 -144 que clasifica como un punto silla [(1100)] 6 36 72 144 que clasifica como un valor miacutenimo De manera tal que la funcioacuten tiene tres puntos silla y un valor miacutenimo
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Ejercicios- Determine los puntos criacuteticos de las siguientes funciones y claacutesifiquelos utilizando el criterio del Hessiano
(1) f(x y) = x2 - y2 (Silla de montar)
(2) g(x y) = 22 yx (Cono)
(3) h(x y z) = x4 - 2x2 + 2y3 -3y2 + z3-3 Ejercicio- Se requiere construir una lata con tapa que contenga un litro de agua con el miacutenimo de material determine las condiciones que oacuteptimizan el problema Ejercicio- Determine el producto maacuteximo de tres nuacutemeros si la suma de ellos debe ser 40 Ejercicio- Determine la distancia miacutenima del origen a la graacutefica de la funcioacuten f(xy) = 4-x2+y Ejercicio- Estudie los ejemplos resueltos que trae el libro de Marden Tromba en el capitulo 4 en especial el referente a la ecuacioacuten de miacutenimos cuadrados Ejercicio- Determine la ecuacioacuten lineal que mejor se ajusta a los puntos (12) (2 32) (3 389) (4 488) (5 55) Utilize el criterio de miacutenimos cuadrados en caso de que el modelo sea lineal (justifique la linealidad del mismo realice una graacutefica de los puntos y de la liacutenea que ajusta a los puntos) Ejemplo- (Aplicacioacuten) En este ejemplo dermina la distancia miacutenima del punto (100) a la graacutefica de una funcioacuten f(x y) = x2+y2
Solucioacuten- Todos los puntos que se encuentran sobre la graacutefica de la funcioacuten satisfacen la siguiente terna de valores en donde se observa que la tercer componente es la variable dependiente (x y x2+y2)
La distancia del punto (1 0 0) a los puntos que estaacuten sobre la graacutefica (x y x2+y2) Se define por medio de la funcioacuten
2222222 )()1()()001()( yxyxyxyxdyxfd
Para determinar el valor miacutenimo o maacuteximo de esta funcioacuten basta con
analizar su argumento dado que es un funcioacuten creciente Es decir Si x1lt x2
entonces f(x1) lt f(x2) lo que es vaacutelido para la funcioacuten )( xxf (ver graacutefica)
2x
1x
x1 x2
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De este modo la funcioacuten a maximizar es
2222222
11 )()1()()001()( yxyxyxyxdyxfd
De aquiacute al las derivadas parciales son
)(4)1(2)( 22
1 yxxxyxfd x y )(42)( 22
1 yxyyyxfd y
Igualando ambas ecuaciones a cero se puede establecer la siguiente
ecuacioacuten
)(4
)(4
2
2222
22
yxy
yxx
y
x (3)
De aquiacute si )00()( yx y 0y se concluye que -1=0 lo cual es una
contradiccioacuten Por otra parte si (xy)=(00) en la primera ecuacioacuten se tiene que 1=0 que es tambieacuten una contradiccioacuten Finalmente si se considera el caso en
que y=0 se obtiene de la siguiente ecuacioacuten 012 3 xx
El polinomio 12)( 3 xxxP tiene una raiacutez entre el cero y el 1 dado
que P(0)=-1 y P(1)=2 Con el anaacutelisis de raiacuteces racionales dos posibles raiacuteces
son 2
1 y como
2
1 estaacute entre cero y uno al usando divisioacuten sinteacutetica se
obtiene que 4
1
2
1P Asiacute que la raiacutez debe de estar en el intervalo 1
2
1
Ahora usando el meacutetodo de Newton con semilla en 2
10x se obtiene
que 6010
6
2
54
1
2
1
)(
)(
0
0
01xf
xfxx
Ahora al evaluar la funcioacuten en dicho punto se tiene que 0320)60(P el
cual es aceptable como raiacutez del polinomio en una sola interaccioacuten De manera tal que el punto criacutetico de la funcioacuten es el (060) El Hessiano asociado es
24128
82412)(
22
22
xyxy
xyyxyxH
Como se puede apreciar el primer elemento de la matriz es positivo independientemente de los valores de x e y Falta evaluar el determinante de H este es igual a
)64)2412)(2412()(det 222222 yxxyyxyxH
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Ahora evaluando en (06 0) se tiene 7421)443)(326()060(det H
Que tambieacuten es positivo de manera tal que se tiene un valor miacutenimo Es
decir la se obtuvo la distancia miacutenima
Maacuteximos y Miacutenimos con restricciones
Los muacuteltiplicadores de Lagrange permite determinar valores maacuteximos o miacutenimos de funciones con restricciones De este tipo de problemas esta lleno nuestro contorno desde el panedero que desea producir la maacutexima cantidad de pan pero con la restriccioacuten del capital que tiene o la posible venta del diacutea para que no tenga sobrantes
Citemos el siguiente ejemplo la graacutefica de paraboloide z = x2+y2 esta
graacutefica soacutelo tiene un valor miacutenimo en el origen sin embargo si esta restringida
al cuadrado unitario 1111 la funcioacuten alcanza cuatro puntos maacuteximos en
los puntos (-11)(-1-1) (1 -1) y (11) a saber dicho valor es 2 Como se observa en la figura
Ahora si se trabaja con la silla de montar con la misma restriccioacuten esta
funcioacuten tiene originalmente un punto silla en el origen pero al analizar las restricciones se contiene dos valores maacuteximos y dos miacutenimos en los puntos (10) (-10) (0-1) y (01)
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Muacuteltiplicadores de Lagrange Teorema- Dadas dos funciones fg Rn a R diferenciables en X0 elemento del dominio de ambas funciones Si Lc es el conjunto de nivel de valor c de la funcioacuten g y si f posee un valor maacuteximo miacutenimo o silla en la restriccioacuten Lc
entonces existe un nuacutemero real λ tal que )()( 00 XgXf
Se puede ver parte de la demostracioacuten de este teorema en el libro de Marsden Tromba Para clasificar los puntos criacuteticos se utiliza el criterio del Hessiano limitado el cuaacutel se define a partir de la funcioacuten auxiliar H(x1 x2 hellip xn) = f(x1 x2 hellip xn) - λ g(x1 x2 hellip xn)
nnnn
n
n
xxxxx
xxxxx
xx
hhg
hhg
gg
H
1
1111
10
||
Ahora defina los siguientes determinantes
22122
21111
210
|| 1
xxxxx
xxxxx
xx
hhg
hhg
gg
H
3323131
3222121
3121111
3210
|| 2
xxxxxxx
xxxxxxx
xxxxxxx
xxx
hhhg
hhhg
hhhg
ggg
H ||det|| HHn
Criterios para maacuteximos y miacutenimos con restricciones (Hessiano liacutemitado) [Miacutenimo Local] Se tiene un miacutenimo local si y soacutelo si todos los determinantes son negativos |H1| lt0 |H2| lt0 hellip |Hn|lt0 ( - - - - - hellip)
[Maacuteximo Local] Se tiene un maximo local si y soacutelo se inicia con un determinante positivo y luego se alternan los signos |H1| gt 0 |H2| lt 0 hellip |Hn|lt0 (+ - + - hellip)
[Punto del tipo Silla] Se tiene un punto tipo silla sino se satisface los criterios de maacuteximos o miacutenimos y al menos uno de los determinantes es distinto de cero Ejemplo- Determine si la funcioacuten f(xy)= x2 ndash y2 tiene valores criacuteticos en la restriccioacuten x2+y2=1
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)(2
2
2
2)( 00 Xg
g
g
y
x
y
x
f
fXf
y
x
y
x
de aquiacute se obtienen las ecuaciones 2x = 2 λx -2y = 2 λy x2 + y2 =1 Las soluciones de este sistema de ecuaciones son (-101) (101) (0-1-1) y (0-11) El Hessiano liacutemitado es
2202
0222
220
||
y
x
yx
H
El determinante es igual a det|H| = 8x2(1+λ) ndash 8y2(1-λ) ahora evaluando
cada uno de los puntos se tiene que det|H|(-101) = 16 gt 0 det|H|(101) = 16 gt 0 det|H|(0-1-1) = -16 lt 0 det|H|(0-11) = -16 lt 0
De manera tal que la funcioacuten posee dos valores maacuteximos en los puntos (-10) y (10) y por otra parte tiene dos valores miacutenimos en los puntos (0-1) y (0-1) Ejemplo- Determine si la funcioacuten f(xy)= x2+y2 tiene valores criacuteticos en la restriccioacuten x2-y2 le 4 Al iniciar este estudio se trabaja con el interior es decir x2-y2 lt 4 dando como resultado el anaacutelisis de maacuteximos y miacutenimos de una funcioacuten en general de donde el gradiente de f se anula uacutenicamente en el origen siendo este valor un miacutenimo como se habiacutea visto en un ejercicio anterior para la funcioacuten del paraboloide Ahora al trabajar sobre la frontera se usa el criterio de muacuteltiplicadores de Lagrange
)(2
2
2
2)( 00 Xg
g
g
y
x
y
x
f
fXf
y
x
y
x
de aquiacute se obtienen las ecuaciones 2x = 2 λx 2y = -2 λy x2 - y2 = 4
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Las soluciones de este sistema de ecuaciones son (-201) y (201) El Hessiano liacutemitado es
2202
0222
220
||
y
x
yx
H
El determinante es igual a det|H| = -8x2(1+λ) + 8y2(1-λ) ahora
evaluando en cada uno de los puntos se tiene que det|H|(201) = -64 gt 0 y det|H|(-201) = -64 lt 0
De manera tal que la funcioacuten posee dos valores miacutenimos en los puntos (-20) y (20)
Una anaacutelisis de la graacutefica de esta funcioacuten permite visualizar que dichos
puntos no son miacutenimos maacutes bien son puntos tipos silla y no es que el criterio falle sino maacutes bien que los valores son miacutenimos pero sobre el complemento es decir bajo la restriccioacuten x2-y2 ge 4 Ejemplo- Determine los valores criacuteticos de la funcioacuten f(xyz) = 2x+y+3z sujeta a la restriccioacuten x2+y2+z2 le 36 Solucioacuten- Un anaacutelisis de las condiciones iniciales muestra que la graacutefica a maximizar en un hiperplano restringido en su dominio a una esfera de radio 6 de acuerdo a estas condiciones la funcioacuten en su interior no debe tener valor criacuteticos y en la frontera debe tener un valor miacutenimo y un valor maacuteximo En el interior- Al derivar la funcioacuten original se tiene lo siguiente
3
1
2
)( 0
z
y
x
f
f
f
Xf
De aquiacute se observa que la funcioacuten no posee valores criacuteticos en todo su dominio tal y como se esperaba Frontera- Al utilizar las condiciones del los Muacuteltiplicadores de Lagrange se tiene lo siguiente
)(
2
2
2
3
1
2
)( 00 Xg
z
y
x
f
f
f
Xf
z
y
x
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De aquiacute se genera el siguiente sistema de ecuaciones 2 = 2λx 1 = 2λy 3 = 2λz x2+y2+z2=36
Resolviendo el sistema se concluye que 2
1
1yx amp
2
3z Ahora
sustituyendo en la uacuteltima ecuacioacuten se deduce que la funcioacuten posee dos valores criacuteticos que son
18
14
14
1427
14
149
14
1418amp
18
14
14
1427
14
149
14
1418
La funcioacuten auxiliar es H(xyzλ) = 2x+y+3z-λ(x2+y2+z2) donde Hx=2-2λx Hy=1-2λy Hz=3-2λz El Hessiano Liacutemitado es
2002
0202
0022
2220
||
z
y
x
zyx
H
De aquiacute
0
0)(8
202
022
220
|| 22
1si
siyx
y
x
yx
H
0576)(16
2002
0202
0022
2220
|| 22222 zyx
z
y
x
zyx
H
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49
De aquiacute se desprende que la funcioacuten f(xyz) = 2x+y+3z posee un valor miacutenimo
en el punto 18
14
14
1427
14
149
14
1418 restringido a x2+y2+z2 = 36 y un
maacuteximo en el punto 18
14
14
1427
14
149
14
1418
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Tarea nuacutemero 4 Maacuteximos y Miacutenimos
Objetivo- Que el alumno sea capaz de aprender a resolver problemas asociados a la vida real haciendo uso del caacutelculo de varias variables Aquiacute se enuncian los siguientes ejercicios adicionales dado que muchos de los mismos se fueron exponiendo a lo largo del capiacutetulo y se sugiere que se revisen los problemas resueltos y propuestos en la libros de la bibliografiacutea dado que las aplicaciones son muchas 1- Determine los valores maacuteximos y miacutenimos de la funcioacuten f(xy) = x +y sujeta a la restriccioacuten x2+2y2le18 (Realice un bosquejo de la graacutefica y se restriccioacuten)
2- Determine los valores maacuteximos y miacutenimos de la funcioacuten f(xy) = x2 +y2 sujeta a la restriccioacuten x+2y le 4 (Realice un bosquejo de la graacutefica y se restriccioacuten)
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Bibliografiacutea
1 Caacutelculo Vectorial Marsden amp Tromba Addison-Wesley Iberoamericana
2 Caacutelculo Multivariable James Steward Thomson Editores
3 Caacutelculo con Geometriacutea Anaacutelitica Zill Grupo Editorial Iberoameacuterica
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13
(i) Ley Asociativa La suma de vectores es asociativa
(ii) Ley Conmutativa La suma de vectores es conmutativa
(iii) Neutro Aditivo Existe un vector 0
denominado neutro aditivo que satisface la siguiente propiedad
00
Es decir al sumar con cualquier vector en el plano el resultado es el mismo vector
(iv) Para todo vector en el plano existe un vector denominado el inverso aditivo - tal que la suma de ambos es igual a cero
+ - = - + = 0
Este vector cero ambas componentes son iguale a cero y si las componentes de son (ab) las de - son (-a -b) Con a y b nuacutemeros reales La demostracioacuten de estas propiedades se basan en el principio del campo de los nuacutemeros reales Como ejemplo se demostraraacute la propiedad (ii)
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14
Tarea 1 Caacutelculo 3 Caacutelculo Vectorial Objetivo- Que el alumno sea capaz de resolver problemas relacionados con vectores comprenda la ecuacioacuten de una liacutenea en el espacio la ecuacioacuten de un plano aacuterea de paralelogramos las propiedades algebraicas asociadas con vectores en dos y tres dimensiones en cuanto al producto punto producto por un escalar y producto cruz Finalmente que sea capaz de determinar el volumen de un paralelepiacutepedo 1- Determine la ecuacioacuten de los puntos en el espacio que (1a) pertenecen al eje X (1b) pasan por la recta y=3x (1c) pasan por el punto (1-11) y en direccioacuten del vector i+j (1d) representan a la recta de interseccioacuten de los planos 3x ndash 2y + z = 7 y 2x + 4y ndashz = 4 (1e) representan al plano ortogonal a la liacutenea x=2y = 3z 2- Que regioacuten del espacio representan los puntos (2a) con componentes (x1z) (2b) contenidos por el paralelogramo definido por los vectores i+j y 3i ndashj (haga un bosquejo) 3- Determine un vector que sea muacuteltiplo escalar del vector α = 3i + j pero de norma uno (El vector resultante recibe el nombre de vector normalizado del vector α) 4- Determine un vector perpendicular al vector β = 2i + 3i - 5k 5- Pruebe que la ley conmutativa es vaacutelida en el producto escalar es decir αβ = βα 6- Pruebe que la siguiente propiedad es vaacutelida en el producto escalar entre un muacuteltiplo escalar de α y el vector β (k α)(β) = k (αβ) = α(kβ) 7- Deduzca la ecuacioacuten que establece la distancia de un punto P=(x1 y1 z1) en el espacio y el plano A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0 (Puedes encontrar la demostracioacuten en alguacuten libro de caacutelculo vectorial o intentar demostrarla usando el concepto de proyeccioacuten ortogonal)
8- Determine la distancia entre los planos x + y + z = 0 y x + y + z = 1 (Trate de determinar dicha distancia entre los planos paralelos sin hacer uso de la foacutermula y luego use dicha foacutermula para establecer el resultado finalmente trate de dar una interpretacioacuten de dicha solucioacuten) 9- Determine el volumen del paralelepiacutepedo generado por los vectores V1=(322) V2=(202) y V3=(041) 10- Determine el volumen del paralelepiacutepedo con cuatro de sus veacutertices en los puntos (123) (024) (305) y (222) realice un bosquejo de dicho paralelepiacutepedo
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15
11- Pruebe que dados cuatro veacutertices de un paralelepiacutepedo en el espacio se pueden generar cuatro paralelepiacutepedos distintos pero de igual volumen 12- Pruebe que α (β times γ) = γ (α times β) 13- Pruebe que α times (β + γ) = α times β + α times γ 14- Determine el aacuterea del paralelogramo generado por los vectores i+j-k 2i-j 15- Determine el aacuterea del paralelogramo generado por los vectores 2i+j 3i ndash j 16- Determine el aacutengulo que existe entre los vectores i+j-k y 2j ndash k 17- Determine si el vector i+j es una combinacioacuten lineal del vector 2i ndashj 18- Determine si el vector i+j es una combinacioacuten lineal del vector 2i + 2j 19- Determine el aacutengulo entre los planos 2x ndash y + z = 0 y 3x ndashy + 2z = 0 20- Determine la distancia entre los planos x + y + z = 0 y x + y + z = 1
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16
Capitulo 2 Funciones Vectoriales
En este capitulo se veraacuten temas relacionados con funciones de varias variables que van a los nuacutemeros reales (a las cuales se les llaman funciones reales) o que van a maacutes dimensiones
Cuando uno habla de este tema es importante recalcar que en la vida cotidiana se presentan diversas aplicaciones con el hecho de manejar varias variables que van desde la preparacioacuten de un cafeacute hasta el hecho de planear la agenda diaria de coacutemo distribuir el tiempo
Citemos el siguiente ejemplo En un estudio de calidad de vida de los sentildeores casados y con hijos se realizaraacute una evolucioacuten final de la satisfaccioacuten de su vida cotidiana en base a una encuesta en donde se mediraacuten diversos factores de vida familiar para esto se tiene la disyuntiva de poder distribuir los tiempos de Trabajo diversioacuten ejercicio jugar con los nintildeos convivir con su pareja visitar a familiares convivir con amigos Entonces no cabe duda que los resultados de la encuesta estaraacuten vinculados con los tiempos destinados a cada actividad asiacute por ejemplo
Persona Trabajo Diversioacuten Ejercicio Nintildeos Pareja Familiares Amigos
A 30 20 5 5 10 8 2
B 50 5 2 2 10 10 18
Otro ejemplo se presenta el preparar un cafeacute dado que aunque este sea
para la misma persona si usa distintos cantidades de cafeacute azuacutecar leche o temperatura final del mismo el resultado del sabor del mismo cambiaraacute notablemente Cabe sentildealar que cada individuo mide el grado de satisfacioacuten de forma diferente y a la vez esta se realiza en forma cualitativa dado que no se puede medir el grado de satisfacioacuten debido a que cada individuo tiene distintos gustos un cafeacute con poca azuacutecar para una persona puede ser para otra que este bien o que este muy azucarado
Por otra parte no es lo mismo tomar un cafeacute en un diacutea caluroso a una o
en un diacutea con friacuteo Siendo esta otra variable de estudio Como se puede apreciar el resultado final depende rotundamente de la cantidad que se mezcle de cada uno de los ingredientes con los que se cuentan Es decir es un problema de varias variables
Pongamos el siguiente ejemplo financiero una persona desea invertir en el banco en dos cuentas individuales siendo que en la primera da un rendimiento de 2 mensual y en la segunda del 3 si se desea saber cual es la ganancia mensual esto se puede escribir para el primer mes de la siguiente forma
G(xy) = 002x + 003y siendo x la cantidad de dinero aportada en la primer cuenta y la cantidad de dinero aportada en la segunda cuenta Esta seriacutea la ganancia del primer mes Asiacute si invierte mil pesos en la primer cuenta y dos mil en la segunda la ganancia del primer mes seraacute de ochenta pesos
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G(10002000) =002(1000)+003(2000) = 20 + 60 = 100
Cabe sentildealar que las aplicaciones en economiacutea en donde aparecen maacutes
de una variable abundan y que anaacutelisis maacutes completos de estados de cuenta con intereses o deudas en tiendas de conveniencia se pueden representar mediante funciones de varias variables debiendo desarrollar cada una de ellas en su debido tiempo
Por otra parte las aplicaciones en procesos de produccioacuten industrial son diversos y permiten evaluar el producto final que llegaraacute al cliente en cuanto a la calidad del mismo
Si un estudiante dedica cierta cantidad de horas de estudio y por otra parte se mide la atencioacuten prestada en sus horas de estudio Se pueden proponer lo siguiente No se esperariacutean los mismos resultados si dedica tres horas de estudio con poca atencioacuten a que si dedica la misma cantidad de horas de estudio con mucha atencioacuten Cabe sentildealar que la atencioacuten prestada depende del intereacutes de estudiante en la materia el gusto por la misma o la importancia que preste en conocer temas nuevos
Funcioacuten Vectorial
Se comenzaraacute el estudio de funciones vectorial de varias variables especificando algunos detalles sobre las mismas en principio una funcioacuten vectorial tiene como dominio un subconjunto de Rn y un conjunto de llegada esta en Rm
Asiacute si el dominio A tiene tres variables se dice que el dominio esta definido en R3 las tres variables se pueden denotar por x y z Ahora si antildeadimos que la funcioacuten en cuestioacuten refleja algunos rasgos de las variables anteriores por ejemplo si se considera importante la suma de las primeras dos el producto de la segunda y tercera Entonces se dice que la funcioacuten tiene como conjunto de llegada a dos variables en la primera se refleja una suma mientras que en la segunda se observa una multiplicacioacuten
Entonces la forma de escribir en la primera de ellas es x + y mientras que la segunda es yz asiacute la funcioacuten queda expresada como
F(x y z) = (x+y yz)
Una funcioacuten que se puede observar diariamente es la de la temperatura en una habitacioacuten considerando cada punto en el espacio de la habitacioacuten entonces el dominio esta en tres dimensiones y la imagen de la funcioacuten refleja la temperatura en cada punto de la misma observe que esta puede cambiar si se encuentra cercas de una ventana o de la estufa
Aquiacute T(x y z) Muestra la temperatura en cada punto de una habitacioacuten faltariacutea encontrar la ecuacioacuten matemaacutetica que modele dicho comportamiento
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Como se puede observar el poder estudiar un fenoacutemeno real por medio de un modelo matemaacutetico es fundamental para poder realizar predicciones del mismo por medio de las propiedades de la funcioacuten asociada al mismo como el hecho de que la funcioacuten sea creciente que tenga un valor maacuteximo Se mostraran algunos ejemplos maacutes adelante con la finalidad de motivar el estudio de los fenoacutemenos reales por medio de las matemaacuteticas Definicioacuten- (Funcioacuten) Una funcioacuten es una regla de asignacioacuten entre dos conjuntos A y B que asigna a cada elemento del conjunto A uno y soacutelo uno del conjunto B El conjunto de partida A se le denomina el dominio de la funcioacuten mientras que el conjunto de llegada es B se le conoce como el codominio de la funcioacuten En el caso de varias variables se tiene que A es un subconjunto de Rn mientras que el conjunto B es un subconjunto de Rm Aquiacute es importante que a ninguacuten elemento del dominio se le asigne al mismo tiempo dos elementos del codominio y a la vez que a ninguno del dominio quede sin ser asignado Un ejemplo de esto se presenta en la siguiente funcioacuten que va del conjunto dominio A = 1 2 3 al conjunto B = 2 4 6 8 al definir la funcioacuten f que asigna a cada elemento del dominio con su doble se tiene que f(1) = 2 f(2) = 4 y f(3) = 6 Ahora una funcioacuten de dos variables se puede definir a partir de los conjuntos C = (12) (23) (34) (36) y D =3 4 5 6 7 8 9 en donde la funcioacuten g C D representa la suma de los diacutegitos de cada pareja ordenada
En este caso g(12) = 3 g(23) = 5 y asiacute sucesivamente Cabe sentildealar que la pareja ordenada (12) es distinta a la pareja (21) en donde esta uacuteltima no pertenece dominio de la funcioacuten
6 5 Suma g(12) = 3 4 3 2 (12)
1 (21) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 0 1 2 3 4 5 6 Las parejas (12) y (21) ocupan distintas posiciones en el plano La segunda de ellas no pertenece al dominio de la funcioacuten de manera tal aunque se pudiera evaluarla pareja ordenada no se contempla por el hecho de que la funcioacuten no esta definida en dicho valor
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Un ejemplo de esta funcioacuten ocurre si consideramos el total que se tiene que pagar en una tienda despueacutes de comprar dos artiacuteculos distintos Otro de ellos se presenta al tomar una evaluacioacuten de calidad de cierto artiacuteculo en donde se van sumando los puntos y no necesariamente serian dos variables
Otra caracteriacutestica que se presenta en esta tipo de funciones es que los valores esteacuten bien definidos al momento de evaluar como el hecho de que no se puede dividir entres cero y no se pueden sacar raiacuteces de nuacutemeros negativos Este hecho es importante para detallar el dominio de algunas funciones
asiacute el dominio de la funcioacuten xxk 4)( esta restringido al hecho de que la
variable x sea menor a cuatro dado que el argumento 4-x debe de ser no negativo es decir 4-x 0 y de aquiacute se tiene que 4 x
Cuando se involucran dos variables un ejemplo es encontrar el dominio
de la funcioacuten yxyxh 44)( y por analogiacutea con el problema anterior
se sabe que 4 x y a la vez que 4 y quedando el dominio descrito de la siguiente manera D = (xy) 4 x 4 y
6 D Dominio de la funcioacuten 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7
Ejemplo- Determine el dominio de la funcioacuten 2 2( ) 9 h x y x y Aquiacute se tiene
que el argumento de dicha funcioacuten debe de ser positivo en donde el dominio
de la funcioacuten es 2 29 0x y que es equivalente a 2 29 x y que representa
a un ciacuterculo de radio 3 y centrado en el origen
Si la funcioacuten es 2 2
1( )
9h x y
x y el dominio es casi el mismo
eliminando en donde el argumento se hace cero debido a que no estaacute definida la divisioacuten entre cero siendo el dominio el mismo circulo del ejemplo anterior pero sin la orilla
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Como se puede apreciar el dominio de estas funciones estaacute definido por regiones en el plano cartesiano cuando el dominio de la funcioacuten estaacute contenido en R2
Derivadas Parciales La derivada parcial de una funcioacuten de varias variables consiste en derivar la funcioacuten con respecto a la variable en cuestioacuten y dejar a las otras variables fijas como si fuesen constantes Por ejemplo al derivar la funcioacuten f(x y z) = x2 + 3xy3 - 3xz las derivadas de f con respecto a x y y z se describen a continuacioacuten y se denotan cada una de ellas por medio de los simbolos fx fy y fz fx(x y z) = 2x + 3y3 - 3z fy(x y z) = 9xy2 fz(x y z) = - 3x Definicioacuten- (Gradiente de una funcioacuten) El gradiente de una funcioacuten real se define como el vector que contiene en sus componentes a sus primeras derivadas parciales Asiacute para el ejemplo anterior el gradiente de f es y se denota por
3
2
2 3 3
9
3
x
y
z
f x y z
f f xy
f x
Ejemplo- Determine el gradiente de las siguientes funiones g(xy)=(x2 y4) y h(xyzw) = 2x+y2-3z+8w
3
2( )
4
x
y
h xh x y
h y
2
2( )
3
8
x
y
z
w
g
g yg x y z w
g
g
El vector gradiente tiene varias propiedades que son muy uacutetiles una de ellas nos indica la direccioacuten de maacuteximo crecimiento y otra de ellas es que es un
vector tangente a las curvas de nivel de una funcioacuten
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Definicioacuten- (Derivada Direccional) La derivada direccional de una
funcioacuten en un punto (x0 y0) y en direccioacuten de un vector v=(AB) se define como el producto del gradiente de la funcioacuten evaluado en el punto (x0 y0) por el vector V dividido entre la norma de mismo vector
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Tarea nuacutemero 2 materia de Caacutelculo 3 Objetivo- Que el alumno sea capaz de interpretar la nocioacuten de liacutemite en varias variables identifique la graacutefica de funciones y haga uso de la derivadas parciales 1- Determine el dominio de las siguientes funciones
(1a) f(x y z) = 2221 zyx
(1b) g(x y) = xy
2
(1c) f(x y) = xy
(1d) g(x y) = y4
(1e) f(x y) = y
x
4
4
(1f) h(x y) = 24
1
xy
2- Realice un bosquejo de las siguientes graacuteficas
22 zyx 22 2zxy 22 yxz 222 yxz
3- Determine los siguientes liacutemites
(31) xyxyxyxf y 210)( 3 cuando (xy) tiende a (12)
(32) yx
zyzxzyxf
33
)( cuando (xy) tiende a (112)
(33) )00()(
)00()(
0
3
3
)(
44
32
yx
yx
Siacute
Siyx
yx
yxk cuando (xy) tienden a (00)
En caso de existir indique haciendo uso de la nocioacuten
(34) )()(2
zxyxxxy
xxyyxzyxF z cuando (xyz) tiende a (012)
4- Indique de las funciones del ejercicio anterior son continuas y en que dominio 5- Determine si las funciones del ejercicio tres son de clase C1 6- Determine la ecuacioacuten del plano tangente a la graacutefica de la funcioacuten g(xy) = x4-10y3 en el punto (1-1) y en el punto (12) grafique en la computadora y agregue en el documento de la tarea 7- Determine los conjunto de nivel de valor -2 -1 0 1 2 de las funciones (7a) f(x y) = 3x2 + 3y2
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(7b) g(x y) = 22 44 yx
(7c) h(x y) = 1 ndash y + x2 (7d) k(x y z) = x2 + y2 + z2 Indique las graacuteficas en computadora y agregue en el reporte
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Capiacutetulo 3
Trayectorias
En este capiacutetulo se realiza el estudio de las propiedades de las funciones vectoriales es decir se hace incapie en el concepto de funcioacuten y la de un vector
Este concepto permite describir entre otras cosas el camino seguido por una partiacutecula en el espacio con el ingrediente adicional de tener a la mano los conceptos de velocidad y aceleracioacuten derivados a partir de una sola ecuacioacuten aquella que guarda la relacioacuten de posicioacuten de la partiacutecula con respecto al tiempo
Por ejemplo al mover una onda esta describe un movimiento circular si
la onda se suelta un objeto puesto en ella sale disparado en forma tangencial Este movimiento se puede representar con vectores y debe de expresar que la velocidad sea tangente a la trayectoria que sigue dado que la piedra abandona la onda en liacutenea recta
Si esto se extrapola al vuelo de una mosca se puede inferir que la velocidad de la misma sea tangencial a la trayectoria que va recorriendo en cada punto esto se muestra en la siguiente graacutefica
Observe que el hecho de contar con la orientacioacuten del vector velocidad permite no soacutelo inferir la velocidad de escape de la partiacutecula sobre la curva sino a la vez conocer la orientacioacuten del movimiento de la misma
Definicioacuten- (Trayectoria) Una trayectoria es una funcioacuten que parte de los nuacutemeros reales al espacio n Euclidiano Es decir es una funcioacuten de la forma
))()()(()( 21 txtxtxt n
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Caso particular de una trayectoria de los reales a plano En el caso de una trayectoria de los reales al plano se puede ilustrar con el siguiente diagrama
σ(a) σ(b) a b
2][ Rba ))()(()( tytxt
Una forma de ilustrar esto es pensar que la variable t es el tiempo y la imagen corresponde a la trayectoria de un objeto en el plano asiacute que el tiempo t=a la partiacutecula se encuentra en el punto σ(a) que es el inicio del recorrido de la misma mientras que tiempo final t=b se localiza al final de la trayectoria de estudio
Se puede observar una flecha indicativa del sentido de la partiacutecula a lo largo de la trayectoria
Ecuacioacuten Parametrica y Cartesiana de una curva
Ejemplo- Dada la trayectoria )()( 2ttt con 22t realice una
graacutefica de dicha trayectoria
t ))()(()( tytxt
-2 )42()(t
-1 )11()(t
0 )00()(t
1 )11()(t
2 )42()(t
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Como se puede apreciar la imagen de la trayectoria que recibe el
nombre de curva es una paraacutebola esto se puede ver si se realiza lo siguiente
Como x = t y = t2 entonces se puede deducir que y=x2 la ecuacioacuten correspondiente a la graacutefica de una paraacutebola esta ecuacioacuten corresponde a sus coordenadas cartesianas por otra parte si se rescribe en forma de trayectoria se dice que la ecuacioacuten es su ecuacioacuten cartesiana dado que depende de un solo paraacutemetro
Parametrizacioacuten de una funcioacuten real Si y es una variable dependiente de la variable x es decir existe
una regla de asignacioacuten f tal que y = f(x) con bxa En donde a
cada elemento x le asigna uno y soacutelo un valor y La graacutefica de esta funcioacuten se debe de ver como un trazo en el plano de la siguiente forma
La graacutefica no puede ser de la siguiente forma
y2
y3
y1 y4
X1 X2
Note que al valor de x2 le asigna tres valores de y lo cual no
cumple con las condiciones para que f sea una funcioacuten Ahora la graacutefica de una funcioacuten de esta tipo no es otra cosa que
la imagen de una trayectoria la cual se puede parametrizar de la siguiente forma
Como y = f(x) entonces defina x = t y por consiguiente y=f(t) en
donde bta
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-4 -2 2 4
-30
-20
-10
10
20
30
-2 -1 1 2
-2
-1
1
2
Asiacute en el caso de la paraacutebola la parametrizacioacuten adecuada es x
=t y = t2 tal como estaba planteada originalmente Ahora si la funcioacuten es y = 2x3-10x con 44 x entonces la
parametrizacioacuten adecuada es
)102()( 3 tttt 44 t
La graacutefica de esta curva asociada a la trayectoria es
Parametrizacioacuten de una circunferencia Elipse e Hipeacuterbola
La ecuacioacuten cartesiana de una circunferencia con centro en el origen y
radio dos estaacute dada por 422 yx Al intentar escribir esta ecuacioacuten en
funcioacuten de un solo paraacutemetro se requiere despejar a la variable y obteniendo
dos funciones que son 24 xy Con 22 x
La graacutefica de esta curva permite visualizar que no pertenece a una
funcioacuten sino maacutes bien a dos que son las enunciadas anteriormente y como se ve a continuacioacuten
24 xy
24 xy
Una forma de representar esta curva es por medio de dos trayectorias
)4()( 2
1 ttt y )4()( 2
2 ttt 22t
Una forma alternativa de representar esta curva es por medio del uso de coordenadas polares en donde x=rCos(t) y= rSen(t) como el radio es fijo y es igual a dos estas ecuaciones se pueden escribir en funcioacuten de un solo paraacutemetro ldquotrdquo x=2Cos(t) y=2Sen(t) note que al evaluar x2+y2=4Cos2(t)+4Sen2(t) = 4(Cos2(t)+Sen2(t))=4 con lo cual satisface la
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ecuacioacuten de la circunferencia quedando expresada la trayectoria de la siguiente forma
σ(y) = (2Cos(t) 2Sen(t) con 0letle2π En esta ecuacioacuten define por completo a la curva auacuten y cuando la
ecuacioacuten original no es una funcioacuten siendo esto una ventaja del estudio de la trayectorias
Ejemplo- La parametrizacioacuten de la elipse 12
2
2
2
b
y
a
x queda
expresada por x = aCos(t) y=bSen(t) se deja como ejercicio comprobar este resultado
Ejemplo- La parametrizacioacuten de la hiperbola 12
2
2
2
b
y
a
x queda
expresada por x = aCosh(t) y=bSenh(t) en donde se trabaja con las funciones de Seno y Coseno hiperboacutelicas se deja como ejercicio comprobar este resultado (aunque soacutelo permite representar el lado correspondiente a los cuadrantes I y IV en donde la x es no negativa
Derivada de una trayectoria La derivada de una trayectoria es un vector tangente a la curva esto se
deriva del siguiente anaacutelisis
Dada la trayectoria σ(t) se grafican la posicioacuten de la curva al tiempo t y t+h luego trace el vector asociado a la liacutenea secante que une los puntos de aquiacute al tomar valores cada vez maacutes pequentildeos de h el vector secante se convierte en un vector tangente a la curva como se muestra a continuacioacuten
Por otra parte el anaacutelisis vectorial de este cociente es
)()()(
0
tt
tht
h
Liacutem
Es decir la derivada de la trayectoria y el vector resultante es
tangente a la curva
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Asiacute para el caso de una curva en el plano la trayectoria se puede describir por medio de dos funciones x(t) y(t) de la siguiente forma
)(
)()(
ty
txt
En donde la derivada de esta funcioacuten es
)(
)()(
ty
txt
Vector tangente a la graacutefica de una circunferencia de radio R Ahora si se tiene la parametrizacioacuten de una circunferencia esta esta
dada por σ(t) = ( RCos(t) R Sen(t))
Y X
Un vector tangente tiene que cumplir que su producto punto tiene que
ser cero de aquiacute si V=(AB) al multiplicarlo por el vector σ su producto punto tiene que ser cero
De aquiacute que σ(t)V = ARCos(t) + BRSen(t) = 0 Existiendo muchas soluciones a este sistema de ecuaciones siendo una
de ellas cuando A = Cos(t) B=-Sen(t)
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Vector trasladado
Siendo este un vector tangente a la curva ahora al derivar las
componentes xrsquo(t) = -RSen(t) y(t) = RCos(t) que es un muacuteltiplo escalara del vector tangente mostrado anteriormente
Definicioacuten- (Rotacional) El rotacional de un campo vectorial
F=Pi+Qj+Rk de clase C1 de define como el vector
i j k
RotFx y z
P Q R
Ejemplos- Determine el rotacional de los siguientes campos vectoriales
F1=xi+yj+zk F2=x2yi-xy
2j-3zyk
Solucioacuten-
1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0
i j k
RotF z y i z x j y x kx y z y z x z x y
x y z
2 2 2 2
2
2 2
( 3 ) ( ) ( 3 ) ( ) ( ) ( )
3
i j k
RotF zy xy i zy x y j xy x y kx y z y z x z x y
x y xy zy
2 2
2
2 2
3 0
3
i j k
RotF z i j y x kx y z
x y xy zy
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Definicioacuten- (Divergencia) Si F es un campo vectorial de clase C1 la divergencia de F se define como un campo escalar de la siguiente forma
( )P Q R
divF div Pi Qj Rkx y z
Ejemplos- Determine la divergencia de los siguientes campos vectoriales F1=xi+yj+zk F2=x
2yi-xy
2j-3zyk
Solucioacuten-
1 ( ) ( ) ( ) ( ) 3divF div xi yj zk x y zx y z
2 2 2 2
2 ( 3 ) ( ) ( ) ( 3 ) 2 2 3 3divF div x yi xy j zyk x y xy zy xy xy y yx y z
Definicioacuten- (Laplaciano) Si f es un campo escalar de clase C2 el Laplaciano de f se define como un campo escalar de la siguiente forma
2 2 2
2
2 2 2xx yy zz
f f ff f f f f
x y z
Ejemplos- Determine la divergencia de los siguientes campos escalares g1(x
y z) = xy2z
3 g2(x y z) = x
2 + y
2 + z
2
2 2 2
2 2 3 2 3 2 3 2 3 3 2 2
2 2 2( ) ( ) ( ) 2 3 f f xy z xy z xy z y z yz xy z
x y z
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2( ) ( ) ( ) 6f f x y z x y z x y z
x y z
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Tarea nuacutemero 3 Trayectorias
Objetivo- Que el alumno sea capaz de comprender los conceptos de movimiento de una partiacutecula a lo largo de una trayectoria y de la importancia del uso de vectores en este tema 1- Si la trayectoria σ(t) = t2i+t2j define la trayectoria seguida por una partiacutecula con respecto al tiempo determine 1a- iquestEl tipo de trayectoria que describe 1b- Realice una graacutefica de la distancia recorrida por la partiacutecula con respecto al tiempo en los primeros tres segundos 1c- Determine el tipo de movimiento de la partiacutecula 1d- iquestSe puede afirmar que es un movimiento uniformemente acelerado 1e- Determine la aceleracioacuten y velocidad a los cuatro segundos 1f- Realice una graacutefica de su rapidez con respecto al tiempo 1g- Realice una graacutefica de sus aceleracioacuten con respecto al tiempo 1h- En la graacutefica de la trayectoria agregue graacuteficamente los vectores aceleracioacuten y velocidad 2- Realice lo mismo que en ejercicio anterior pero ahora con la funcioacuten γ(t) = Cos(t) i+5Sen(t)j 3- Dadas las funciones f(t) = 3t2i-4t3j+e2tk y g(t) = 4t3i+4t2j+e-2tk 3a- Determine la funcioacuten producto punto h = fg 3b- Determine la derivada de h 3c- Usando la regla de diferenciacioacuten determine la derivada de h y compruebe el inciso anterior 4a- Determine la funcioacuten producto cruz k = ftimesg 4b- Determine la derivada de h 4c- Usando la regla de diferenciacioacuten determine la derivada de h y compruebe el inciso anterior 5- Determine el Rotacional y la Divergencia del siguiente campo vectorial G(x y z) = 2xy i + 3xz j - 5xy k 6- Determine el gradiente y el Laplaciano del siguiente campo escalar f(xyz) = 4x2-3yz2 7- Dado el campo vectorial F(x y z) = 2xy i + x2 j +3z2 k 7a- Determine si F puede representar el gradiente de un campo escalar f 7b- En caso de ser afirmativa la respuesta del inciso anterior determine el campo escalar f 8- Pruebe que la divergencia del rotacional de un campo vectorial F=Pi+Qj+Rk es igual a cero Es decir la div rot F =0 9- Usando las reglas de diferinciacioacuten pruebe que
gfgfgf
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100 -x
Capitulo 4 Maacuteximos y miacutenimos
Es indispensable determinar en distintos problemas las soluciones oacuteptimas que permitan establecer por ejemplo los valores maacuteximos de produccioacuten o ahorrar el material en la construccioacuten de cierto equipo
Como se recordaraacute el gradiente de una funcioacuten indica la direccioacuten de
maacuteximo crecimiento esto se refleja en que si se toma la direccioacuten sugerida por este vector el valor de la funcioacuten aumenta en una vecindad del mismo asiacute si en un diagrama de un campo gradiente aparecen un punto en donde convergen la direccioacuten de todos los gradientes se encontraraacute que dicho valor debe de ser un valor maacuteximo para la funcioacuten de estudio Un diagrama de esta tipo se ejemplifica a continuacioacuten
Un diagrama en donde todos los vectores apuntan hacia fuera de un
punto indicaraacute que este punto debe de ser un valor miacutenimo de la funcioacuten Citemos el siguiente ejemplo de una variable con la finalidad de
centrarnos en el tema Una persona desea bardear un terreno en forma rectaacutengular cuanto debe de medir cada lado de manera tal que el aacuterea cercada sea maacutexima si se cuenta con 200 metros de malla
La funcioacuten que representa dicho modelo es
A(x) = x(100-x) x
Como se puede observar el aacuterea es cero si x es igual a cero o a cien con lo cuaacutel el lado x debe de estar en en intervalo [0 100] siendo estas las restricciones del problema Derivando la funcioacuten para obtener los valores critiacutecos se tiene que Arsquo(x) = 100 ndash 2x
Al igual la derivada a cero se concluye que el valor critico es x es igual a 50 Al derivar por segunda ocasioacuten se concluye que
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Arsquorsquo(x) = -2 Como la segunda derivada es siempre negativa se concluye que la funcioacuten alcanza un valor maacuteximo en el valor critico en este caso en x = 50 al interpretar dicho resultado se concluye que el terreno que optimiza la solucioacuten es un cuadrado Ejercicio- Que aacuterea se genera si el terreno es de forma circular Al resolver el ejercioacute anterior y comparar las aacutereas del cuadrado y del circulo se puede apreciar que el aacuterea del circulo es mayor pero en la praacutectica es poco atractivo cercar terrenos circulares por diversas razones pero en la naturaleza es comuacuten observar que las gotas de lluvia sean esferas esto permite el optimizar recursos y maacuteximizar el volumen del liacutequido contenido en la misma Se iniciara el estudio formal de maacuteximos y miacutenimos de funciones de varias variables observando las siguientes graficas con la finalidad de tener la idea clara de que es un maacuteximo o miacutenimo o un punto silla
En la primera de ellas se observa que la funcioacuten tiene un valor miacutenimo en la segunda se observa que la funcioacuten tiene un valor maacuteximo y en la uacuteltima la funcioacuten tiene un punto silla este se identifica el dirigirnos en una direccioacuten la funcioacuten crece mientras que en la otra la funcioacuten decrece
Definicioacuten- Una funcioacuten mn RRf tiene un valor maacuteximo local en x0 si en
una vecindad de dicho valor se cumple que la funcioacuten evaluada en todos los vecinos ninguno de ellos supera a f(x0) Es decir f(x0) f(x) para todo x en una vecindad de x0 El punto es llamado un maacuteximo absoluto si la funcioacuten toma el valor maacuteximo en dicho punto para todo valor de su dominio
Esto es muy similar cuando uno observa a los alumnos de un saloacuten de clases existe un alumno que tiene la mayor estatura si ninguno de sus compantildeeros lo supera Asiacute en la escuela el alumno de mayor estatura absoluta es aquel que supera a todo el plantel
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La definicioacuten para el miacutenimo local (absoluto) es similar
f(x0) f(x) para todo en una vecindad de x0 Por ejemplo la funcioacuten f(xy) = x2+y2 tiene un valor miacutenimo en el origen dado que en este valor la funcioacuten vale cero mientras que fuera de ahiacute siempre es positiva dado que todo nuacutemero real elevado al cuadrado es siempre positivo Ademaacutes dicho valor es un miacutenimo absoluto Como se menciono al inicio de esta capitulo el diagrama del campo
gradiente de esta funcioacuten y
xyxf
2
2)( indica que la funcioacuten tiene un valor
miacutenimo siendo la grafica del mismo la siguiente Sin embargo se requiere un criterio maacutes general y sistemaacutetico que permita establecer los posibles valores maacuteximos miacutenimos o puntos silla) Definicioacuten- (Un valor extremo) Si la funcioacuten posee un valor maacuteximo o miacutenimo este es llamado un valor extremo Definicioacuten- (Un valor critico) Un punto en donde la derivada de la funcioacuten se anula es llamado un valor critico Teorema- Todo valor extremo es un valor critico Es decir si f posee un valor extremo en x0 que pertenece a su dominio entonces la derivada de la funcioacuten en el punto x0 se anula Es decir Df(x0) = 0 Demostracioacuten- Sea l(t) una trayectoria que pasa a traveacutes por el punto x0 defina la composicioacuten de funciones h(t) = f(l(t)) donde l(t) = x0 + tv de donde lrsquo(t) = v y ademaacutes
))(()())(()( VtlftDltlDftDh (1)
Por otra parte como f posee un valor extremo en x0 suponga que dicho
valor es un maacuteximo entonces x0 seraacute a la vez un maacuteximo para la funcioacuten h y como h es una funcioacuten real esto significa que la derivada de h en dicho punto
se anula es decir 0)()0())0(()0( 0 vxfDllDfDh ahora como los
vectores )( 0xf y v no son necesariamente perpendiculares y el vector v a la
vez tampoco se anula entonces esto implica que el gradiente de f en x0 es igual a cero y por lo tanto f posee un valor criacutetico en x0
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Este resultado permite establecer posibles valores criacuteticos de una funcioacuten asiacute se menciona el siguiente ejemplo Ejemplo- Determine los posibles valores criacuteticos de las siguientes funciones (1) f(x y) = x2 + y2 y (2) g(x y) = 4x3 -12x + y2
Solucioacuten-
(1) 0
0
2
2)(
y
xyxf de aquiacute se concluye que dicho valor soacutelo
existe un valor criacutetico siendo este el origen el cuaacutel ya se clasifico en estos apuntes y resulto ser un valor miacutenimo
(2) 0
0
2
1212)(
2
y
xyxg de aquiacute se obtienen dos valores criacuteticos
que son (-10) y 1l (10) Los cuales se pueden clasificar el realizar el graacutefico del campo gradiente En donde se aprecia que en el punto (-10) la funcioacuten posee un punto silla mientras que en el punto (10) la funcioacuten posee un valor miacutenimo
Aquiacute se utilizaraacute el criterio del hessiano para determinar si el valor criacutetico es un maacuteximo un miacutenimo o un punto silla Solo se enunciara el teorema sin demostracioacuten para ver la misma puede revisar en el libro de Marsden Tromba de Caacutelculo Vectorial
Definicioacuten- El Hessiano de una funcioacuten 22 RRH de clase C2 se define como una funcioacuten cuadraacutetica que se escribe como
2
1
2
22
2
2
2
21212
1)(
h
h
y
f
yx
f
xy
f
x
f
hhhhH
Evaluada la matriz de las segundas derivas parciales en el valor criacutetico
Teorema- Si el Hessiano de una funcioacuten 2 RRf es definitivamente
positivo entonces la funcioacuten tiene un valor miacutenimo en dicho punto
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Corolario- Si la matriz asociada A=cb
ba de una forma cuadraacutetica dos
por dos es definitivamente positiva si y soacutelo si se cumple que agt0 y det A gt0
Teorema de una valor para un valor extremo miacutenimo- Una funcioacuten
2 RRf de clase C2 posee un valor extremo miacutenimo local en x0 elemento
del dominio de la funcioacuten si y soacutelo si se satisfacen las siguientes condiciones
(i) 0)( 0xx
f y 0)( 0x
y
f
(ii) )( 02
2
xx
f gt 0
(iii) )( 02
2
xx
f)( 02
2
xy
f)(
2
2
oxx
f)( 02
2
xx
f gt 0
Para un valor maacuteximo las condiciones (i) y (iii) se mantienen la uacutenica que cambia en la segunda en donde esta debe ser negativa Para un punto silla se requiere que al menos no se cumplan las condiciones de valor maacuteximo ni miacutenimo y que la uacuteltima condicioacuten (iii) sea distinta de cero En caso contrario el criterio no permite clasificar dicho valor como se mostraraacute en un ejemplo maacutes adelante Ejemplo- Ahora continuando con los ejemplos anteriores
(1) Para f(xy) = x2+y2 el valor critico es el origen y el hessiano asociado es
2
1
212100
02
2
1)(
h
hhhhhH
Como se pude apreciar el primer valor es positivo 2 gt0 y el determinante de
la funcioacuten 20
02det es igual a 4 que a la vez es positivo de manera tal que la
funcioacuten posee un valor miacutenimo en el origen
(2) g(x y) = 4x3 -12x + y2 los puntos criticos son (-10) y (10) y el hessiano asociado a esta forma cuadraacutetica es
2
1
212120
024
2
1)(
h
hxhhhhHg
Ahora al evaluar en los puntos se tiene En el (-10)
2
1
212120
024
2
1)(
h
hhhhhHg
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En donde -24 lt 0 y det Hg = -48 lt0 con lo cuaacutel debe de ser un punto silla
En el (10)
2
1
212120
024
2
1)(
h
hhhhhHg
En donde 24 gt 0 y det Hg = 48 gt0 con lo cuaacutel debe de ser un punto miacutenimo
Tal como se habiacutea estimado en la graacutefica del campo gradiente de la
solucioacuten anterior A continuacioacuten se muestra un bosquejo de dicha graacutefica realizado en el derive
Ejemplos de cuando el criterio permite clasificar los
valores criacuteticos
Ejemplo- A continuacioacuten se mostrara un ejemplo de cuando el criterio no concluye asiacute si la funcioacuten es h(xy) = x4+y4 al calcular las derivas parciales mixtas fx=4x3 y fy=4y3 se encuentra un solo valor critico el origen miestras que la matriz asociada del hessiano es
2
2
120
012
y
x y al evaluar en el origen queda expresada como
00
00
)0(120
0)0(122
2
En donde se puede apreciar que fallan todos los criterios una inspeccioacuten de
la funcioacuten original permite ver que la funcioacuten tiene un valor miacutenimo en dicho punto pero no es una generalizacioacuten es decir no se puede decir que siempre que aparezca la matriz de ceros se tenga un valor miacutenimo dado que si se analiza ahora a las funciones k(xy) = -x4-y4 y p(xy) = x4-y4 ambas tienen como calor extremo al origen y la matriz hessiana asociada a la forma cuadraacutetica evaluada en el origen es la matriz de ceros
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Ejemplo- Otro ejemplo en donde el criterio no concluye es el siguiente en
donde el determinante de la matriz H es cero debido a que la segunda derivada de la funcioacuten f con respecto a la segunda variable se anula (fyy = 0) y no se puede asegurar que se tenga un punto maacuteximo miacutenimo o silla
Las funciones f1(xy) = x2 f2(xy) = -x2 y f3(xy) = x3 presentan este
problema a continuacioacuten se muestran las graficas de dichas funciones
En cada una de ellas los puntos criacuteticos son las parejas en el plano (0 y) Es decir el eje coordenado X
El Hessiano respectivo de cada uno es el siguiente
00
02)(1 yxH
00
02)(2 yxH
00
03)(3
xyxH
Note que el determinante de cada de estas matrices se hace cero y que fyy
se anula en cada caso
Ahora observando las graacuteficas se verifica visualmente que en la primera se tienen valores miacutenimos en la segunda maacuteximos y en la uacuteltima no es ni maacuteximo ni miacutenimo o punto silla
Ejemplo- Citemos otro ejemplo en donde el criterio de maacuteximos y miacutenimos
no concluye Determine los puntos criacuteticos de la funcioacuten h(xy) = x4 Se tiene que hx=4x3=0 y hy=0 de donde se deduce que la funcioacuten tiene
un nuacutemero infinito de puntos criacuteticos estos son las parejas ordenadas en el plano (0y)
La matriz del Hessiano asociado es
00
012)(
2
1
xyxH y evaluando en el punto
00
00)0(1 yH
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En donde no se puede clasificar a los valores criacuteticos sin embargo
realizando una inpeccioacuten de la funcioacuten se puede concluir que todos los puntos representan valores miacutenimos de la funcioacuten original a continuacioacuten se muestra la grafica de la misma
El Hessiano para n variables y el criterio de clasificacioacuten
Cuando la funcioacuten tiene maacutes de dos variables se genera una matriz asociada H en cada uno de los valores criacuteticos de la siguiente forma
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
H
21
22221
11211
De aquiacute se definen las siguientes matrices
111 aH 2221
1211
2aa
aaH hellip HH n
Los criterios para los valores criacuteticos de la funcioacuten RRf n son los
siguientes [Miacutenimo Local] La funcioacuten f posee un valor extremo local miacutenimo en x0 si todos los determinantes de las submatrices evaluados en x0 son positivos
0det 1H 0det 2H hellip 0det 2H (+ + hellip +)
En este caso la forma cuadraacutetica se puede probar que es definitivamente positiva [Maacuteximo Local] La funcioacuten f posee un valor extremo local miacutenimo en x0 si todos los determinantes de las submatrices evaluados en x0 se alternan en signo pero el primero de ellos debe ser negativo
0det 1H 0det 2H hellip 0det 2H (- + - + hellip )
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En este caso la forma cuadraacutetica se puede probar que es definitivamente negativa [Punto Silla] La funcioacuten f posee un punto silla si no se cumplen los criterios de valor miacutenimo o maacuteximo y al menos uno de los subdeterminantes es distinto de cero
Existe un i tal que 0det iH
Ejemplos- Determine los valores criacuteticos de las siguiente funcioacuten f(x y z w) = x3 - 3x + y3 ndash 3y + z2 + w2 y claacutesifiquelos Solucioacuten- Al resolver las siguientes ecuaciones
033 2 xxf x 033 2 yyf y 02zf z y 033 2 wwfw
Se obtienen cuatro puntos criacuteticos que son (-1-100) (-1100) (1-100) y (1100) ahora se genera la matriz del hessiano asociado siendo esta
2000
0200
0060
0006
y
x
H
Al evaluar en cada uno de los puntos se tienen las siguientes matrices
2000
0200
0060
0006
)0011(H
2000
0200
0060
0006
)0011(H
2000
0200
0060
0006
)0011(H y
2000
0200
0060
0006
)0011(H
Los sub determinantes para cada uno de los puntos son [(-1 -1 0 0)] -6 36 72 144 que clasifica como un punto silla [(-1100)] -6 -36 -72 -144 que clasifica como un punto silla [(1-100)] 6 -36 -72 -144 que clasifica como un punto silla [(1100)] 6 36 72 144 que clasifica como un valor miacutenimo De manera tal que la funcioacuten tiene tres puntos silla y un valor miacutenimo
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Ejercicios- Determine los puntos criacuteticos de las siguientes funciones y claacutesifiquelos utilizando el criterio del Hessiano
(1) f(x y) = x2 - y2 (Silla de montar)
(2) g(x y) = 22 yx (Cono)
(3) h(x y z) = x4 - 2x2 + 2y3 -3y2 + z3-3 Ejercicio- Se requiere construir una lata con tapa que contenga un litro de agua con el miacutenimo de material determine las condiciones que oacuteptimizan el problema Ejercicio- Determine el producto maacuteximo de tres nuacutemeros si la suma de ellos debe ser 40 Ejercicio- Determine la distancia miacutenima del origen a la graacutefica de la funcioacuten f(xy) = 4-x2+y Ejercicio- Estudie los ejemplos resueltos que trae el libro de Marden Tromba en el capitulo 4 en especial el referente a la ecuacioacuten de miacutenimos cuadrados Ejercicio- Determine la ecuacioacuten lineal que mejor se ajusta a los puntos (12) (2 32) (3 389) (4 488) (5 55) Utilize el criterio de miacutenimos cuadrados en caso de que el modelo sea lineal (justifique la linealidad del mismo realice una graacutefica de los puntos y de la liacutenea que ajusta a los puntos) Ejemplo- (Aplicacioacuten) En este ejemplo dermina la distancia miacutenima del punto (100) a la graacutefica de una funcioacuten f(x y) = x2+y2
Solucioacuten- Todos los puntos que se encuentran sobre la graacutefica de la funcioacuten satisfacen la siguiente terna de valores en donde se observa que la tercer componente es la variable dependiente (x y x2+y2)
La distancia del punto (1 0 0) a los puntos que estaacuten sobre la graacutefica (x y x2+y2) Se define por medio de la funcioacuten
2222222 )()1()()001()( yxyxyxyxdyxfd
Para determinar el valor miacutenimo o maacuteximo de esta funcioacuten basta con
analizar su argumento dado que es un funcioacuten creciente Es decir Si x1lt x2
entonces f(x1) lt f(x2) lo que es vaacutelido para la funcioacuten )( xxf (ver graacutefica)
2x
1x
x1 x2
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De este modo la funcioacuten a maximizar es
2222222
11 )()1()()001()( yxyxyxyxdyxfd
De aquiacute al las derivadas parciales son
)(4)1(2)( 22
1 yxxxyxfd x y )(42)( 22
1 yxyyyxfd y
Igualando ambas ecuaciones a cero se puede establecer la siguiente
ecuacioacuten
)(4
)(4
2
2222
22
yxy
yxx
y
x (3)
De aquiacute si )00()( yx y 0y se concluye que -1=0 lo cual es una
contradiccioacuten Por otra parte si (xy)=(00) en la primera ecuacioacuten se tiene que 1=0 que es tambieacuten una contradiccioacuten Finalmente si se considera el caso en
que y=0 se obtiene de la siguiente ecuacioacuten 012 3 xx
El polinomio 12)( 3 xxxP tiene una raiacutez entre el cero y el 1 dado
que P(0)=-1 y P(1)=2 Con el anaacutelisis de raiacuteces racionales dos posibles raiacuteces
son 2
1 y como
2
1 estaacute entre cero y uno al usando divisioacuten sinteacutetica se
obtiene que 4
1
2
1P Asiacute que la raiacutez debe de estar en el intervalo 1
2
1
Ahora usando el meacutetodo de Newton con semilla en 2
10x se obtiene
que 6010
6
2
54
1
2
1
)(
)(
0
0
01xf
xfxx
Ahora al evaluar la funcioacuten en dicho punto se tiene que 0320)60(P el
cual es aceptable como raiacutez del polinomio en una sola interaccioacuten De manera tal que el punto criacutetico de la funcioacuten es el (060) El Hessiano asociado es
24128
82412)(
22
22
xyxy
xyyxyxH
Como se puede apreciar el primer elemento de la matriz es positivo independientemente de los valores de x e y Falta evaluar el determinante de H este es igual a
)64)2412)(2412()(det 222222 yxxyyxyxH
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Ahora evaluando en (06 0) se tiene 7421)443)(326()060(det H
Que tambieacuten es positivo de manera tal que se tiene un valor miacutenimo Es
decir la se obtuvo la distancia miacutenima
Maacuteximos y Miacutenimos con restricciones
Los muacuteltiplicadores de Lagrange permite determinar valores maacuteximos o miacutenimos de funciones con restricciones De este tipo de problemas esta lleno nuestro contorno desde el panedero que desea producir la maacutexima cantidad de pan pero con la restriccioacuten del capital que tiene o la posible venta del diacutea para que no tenga sobrantes
Citemos el siguiente ejemplo la graacutefica de paraboloide z = x2+y2 esta
graacutefica soacutelo tiene un valor miacutenimo en el origen sin embargo si esta restringida
al cuadrado unitario 1111 la funcioacuten alcanza cuatro puntos maacuteximos en
los puntos (-11)(-1-1) (1 -1) y (11) a saber dicho valor es 2 Como se observa en la figura
Ahora si se trabaja con la silla de montar con la misma restriccioacuten esta
funcioacuten tiene originalmente un punto silla en el origen pero al analizar las restricciones se contiene dos valores maacuteximos y dos miacutenimos en los puntos (10) (-10) (0-1) y (01)
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Muacuteltiplicadores de Lagrange Teorema- Dadas dos funciones fg Rn a R diferenciables en X0 elemento del dominio de ambas funciones Si Lc es el conjunto de nivel de valor c de la funcioacuten g y si f posee un valor maacuteximo miacutenimo o silla en la restriccioacuten Lc
entonces existe un nuacutemero real λ tal que )()( 00 XgXf
Se puede ver parte de la demostracioacuten de este teorema en el libro de Marsden Tromba Para clasificar los puntos criacuteticos se utiliza el criterio del Hessiano limitado el cuaacutel se define a partir de la funcioacuten auxiliar H(x1 x2 hellip xn) = f(x1 x2 hellip xn) - λ g(x1 x2 hellip xn)
nnnn
n
n
xxxxx
xxxxx
xx
hhg
hhg
gg
H
1
1111
10
||
Ahora defina los siguientes determinantes
22122
21111
210
|| 1
xxxxx
xxxxx
xx
hhg
hhg
gg
H
3323131
3222121
3121111
3210
|| 2
xxxxxxx
xxxxxxx
xxxxxxx
xxx
hhhg
hhhg
hhhg
ggg
H ||det|| HHn
Criterios para maacuteximos y miacutenimos con restricciones (Hessiano liacutemitado) [Miacutenimo Local] Se tiene un miacutenimo local si y soacutelo si todos los determinantes son negativos |H1| lt0 |H2| lt0 hellip |Hn|lt0 ( - - - - - hellip)
[Maacuteximo Local] Se tiene un maximo local si y soacutelo se inicia con un determinante positivo y luego se alternan los signos |H1| gt 0 |H2| lt 0 hellip |Hn|lt0 (+ - + - hellip)
[Punto del tipo Silla] Se tiene un punto tipo silla sino se satisface los criterios de maacuteximos o miacutenimos y al menos uno de los determinantes es distinto de cero Ejemplo- Determine si la funcioacuten f(xy)= x2 ndash y2 tiene valores criacuteticos en la restriccioacuten x2+y2=1
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)(2
2
2
2)( 00 Xg
g
g
y
x
y
x
f
fXf
y
x
y
x
de aquiacute se obtienen las ecuaciones 2x = 2 λx -2y = 2 λy x2 + y2 =1 Las soluciones de este sistema de ecuaciones son (-101) (101) (0-1-1) y (0-11) El Hessiano liacutemitado es
2202
0222
220
||
y
x
yx
H
El determinante es igual a det|H| = 8x2(1+λ) ndash 8y2(1-λ) ahora evaluando
cada uno de los puntos se tiene que det|H|(-101) = 16 gt 0 det|H|(101) = 16 gt 0 det|H|(0-1-1) = -16 lt 0 det|H|(0-11) = -16 lt 0
De manera tal que la funcioacuten posee dos valores maacuteximos en los puntos (-10) y (10) y por otra parte tiene dos valores miacutenimos en los puntos (0-1) y (0-1) Ejemplo- Determine si la funcioacuten f(xy)= x2+y2 tiene valores criacuteticos en la restriccioacuten x2-y2 le 4 Al iniciar este estudio se trabaja con el interior es decir x2-y2 lt 4 dando como resultado el anaacutelisis de maacuteximos y miacutenimos de una funcioacuten en general de donde el gradiente de f se anula uacutenicamente en el origen siendo este valor un miacutenimo como se habiacutea visto en un ejercicio anterior para la funcioacuten del paraboloide Ahora al trabajar sobre la frontera se usa el criterio de muacuteltiplicadores de Lagrange
)(2
2
2
2)( 00 Xg
g
g
y
x
y
x
f
fXf
y
x
y
x
de aquiacute se obtienen las ecuaciones 2x = 2 λx 2y = -2 λy x2 - y2 = 4
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Las soluciones de este sistema de ecuaciones son (-201) y (201) El Hessiano liacutemitado es
2202
0222
220
||
y
x
yx
H
El determinante es igual a det|H| = -8x2(1+λ) + 8y2(1-λ) ahora
evaluando en cada uno de los puntos se tiene que det|H|(201) = -64 gt 0 y det|H|(-201) = -64 lt 0
De manera tal que la funcioacuten posee dos valores miacutenimos en los puntos (-20) y (20)
Una anaacutelisis de la graacutefica de esta funcioacuten permite visualizar que dichos
puntos no son miacutenimos maacutes bien son puntos tipos silla y no es que el criterio falle sino maacutes bien que los valores son miacutenimos pero sobre el complemento es decir bajo la restriccioacuten x2-y2 ge 4 Ejemplo- Determine los valores criacuteticos de la funcioacuten f(xyz) = 2x+y+3z sujeta a la restriccioacuten x2+y2+z2 le 36 Solucioacuten- Un anaacutelisis de las condiciones iniciales muestra que la graacutefica a maximizar en un hiperplano restringido en su dominio a una esfera de radio 6 de acuerdo a estas condiciones la funcioacuten en su interior no debe tener valor criacuteticos y en la frontera debe tener un valor miacutenimo y un valor maacuteximo En el interior- Al derivar la funcioacuten original se tiene lo siguiente
3
1
2
)( 0
z
y
x
f
f
f
Xf
De aquiacute se observa que la funcioacuten no posee valores criacuteticos en todo su dominio tal y como se esperaba Frontera- Al utilizar las condiciones del los Muacuteltiplicadores de Lagrange se tiene lo siguiente
)(
2
2
2
3
1
2
)( 00 Xg
z
y
x
f
f
f
Xf
z
y
x
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De aquiacute se genera el siguiente sistema de ecuaciones 2 = 2λx 1 = 2λy 3 = 2λz x2+y2+z2=36
Resolviendo el sistema se concluye que 2
1
1yx amp
2
3z Ahora
sustituyendo en la uacuteltima ecuacioacuten se deduce que la funcioacuten posee dos valores criacuteticos que son
18
14
14
1427
14
149
14
1418amp
18
14
14
1427
14
149
14
1418
La funcioacuten auxiliar es H(xyzλ) = 2x+y+3z-λ(x2+y2+z2) donde Hx=2-2λx Hy=1-2λy Hz=3-2λz El Hessiano Liacutemitado es
2002
0202
0022
2220
||
z
y
x
zyx
H
De aquiacute
0
0)(8
202
022
220
|| 22
1si
siyx
y
x
yx
H
0576)(16
2002
0202
0022
2220
|| 22222 zyx
z
y
x
zyx
H
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De aquiacute se desprende que la funcioacuten f(xyz) = 2x+y+3z posee un valor miacutenimo
en el punto 18
14
14
1427
14
149
14
1418 restringido a x2+y2+z2 = 36 y un
maacuteximo en el punto 18
14
14
1427
14
149
14
1418
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Tarea nuacutemero 4 Maacuteximos y Miacutenimos
Objetivo- Que el alumno sea capaz de aprender a resolver problemas asociados a la vida real haciendo uso del caacutelculo de varias variables Aquiacute se enuncian los siguientes ejercicios adicionales dado que muchos de los mismos se fueron exponiendo a lo largo del capiacutetulo y se sugiere que se revisen los problemas resueltos y propuestos en la libros de la bibliografiacutea dado que las aplicaciones son muchas 1- Determine los valores maacuteximos y miacutenimos de la funcioacuten f(xy) = x +y sujeta a la restriccioacuten x2+2y2le18 (Realice un bosquejo de la graacutefica y se restriccioacuten)
2- Determine los valores maacuteximos y miacutenimos de la funcioacuten f(xy) = x2 +y2 sujeta a la restriccioacuten x+2y le 4 (Realice un bosquejo de la graacutefica y se restriccioacuten)
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Bibliografiacutea
1 Caacutelculo Vectorial Marsden amp Tromba Addison-Wesley Iberoamericana
2 Caacutelculo Multivariable James Steward Thomson Editores
3 Caacutelculo con Geometriacutea Anaacutelitica Zill Grupo Editorial Iberoameacuterica
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Tarea 1 Caacutelculo 3 Caacutelculo Vectorial Objetivo- Que el alumno sea capaz de resolver problemas relacionados con vectores comprenda la ecuacioacuten de una liacutenea en el espacio la ecuacioacuten de un plano aacuterea de paralelogramos las propiedades algebraicas asociadas con vectores en dos y tres dimensiones en cuanto al producto punto producto por un escalar y producto cruz Finalmente que sea capaz de determinar el volumen de un paralelepiacutepedo 1- Determine la ecuacioacuten de los puntos en el espacio que (1a) pertenecen al eje X (1b) pasan por la recta y=3x (1c) pasan por el punto (1-11) y en direccioacuten del vector i+j (1d) representan a la recta de interseccioacuten de los planos 3x ndash 2y + z = 7 y 2x + 4y ndashz = 4 (1e) representan al plano ortogonal a la liacutenea x=2y = 3z 2- Que regioacuten del espacio representan los puntos (2a) con componentes (x1z) (2b) contenidos por el paralelogramo definido por los vectores i+j y 3i ndashj (haga un bosquejo) 3- Determine un vector que sea muacuteltiplo escalar del vector α = 3i + j pero de norma uno (El vector resultante recibe el nombre de vector normalizado del vector α) 4- Determine un vector perpendicular al vector β = 2i + 3i - 5k 5- Pruebe que la ley conmutativa es vaacutelida en el producto escalar es decir αβ = βα 6- Pruebe que la siguiente propiedad es vaacutelida en el producto escalar entre un muacuteltiplo escalar de α y el vector β (k α)(β) = k (αβ) = α(kβ) 7- Deduzca la ecuacioacuten que establece la distancia de un punto P=(x1 y1 z1) en el espacio y el plano A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0 (Puedes encontrar la demostracioacuten en alguacuten libro de caacutelculo vectorial o intentar demostrarla usando el concepto de proyeccioacuten ortogonal)
8- Determine la distancia entre los planos x + y + z = 0 y x + y + z = 1 (Trate de determinar dicha distancia entre los planos paralelos sin hacer uso de la foacutermula y luego use dicha foacutermula para establecer el resultado finalmente trate de dar una interpretacioacuten de dicha solucioacuten) 9- Determine el volumen del paralelepiacutepedo generado por los vectores V1=(322) V2=(202) y V3=(041) 10- Determine el volumen del paralelepiacutepedo con cuatro de sus veacutertices en los puntos (123) (024) (305) y (222) realice un bosquejo de dicho paralelepiacutepedo
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11- Pruebe que dados cuatro veacutertices de un paralelepiacutepedo en el espacio se pueden generar cuatro paralelepiacutepedos distintos pero de igual volumen 12- Pruebe que α (β times γ) = γ (α times β) 13- Pruebe que α times (β + γ) = α times β + α times γ 14- Determine el aacuterea del paralelogramo generado por los vectores i+j-k 2i-j 15- Determine el aacuterea del paralelogramo generado por los vectores 2i+j 3i ndash j 16- Determine el aacutengulo que existe entre los vectores i+j-k y 2j ndash k 17- Determine si el vector i+j es una combinacioacuten lineal del vector 2i ndashj 18- Determine si el vector i+j es una combinacioacuten lineal del vector 2i + 2j 19- Determine el aacutengulo entre los planos 2x ndash y + z = 0 y 3x ndashy + 2z = 0 20- Determine la distancia entre los planos x + y + z = 0 y x + y + z = 1
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Capitulo 2 Funciones Vectoriales
En este capitulo se veraacuten temas relacionados con funciones de varias variables que van a los nuacutemeros reales (a las cuales se les llaman funciones reales) o que van a maacutes dimensiones
Cuando uno habla de este tema es importante recalcar que en la vida cotidiana se presentan diversas aplicaciones con el hecho de manejar varias variables que van desde la preparacioacuten de un cafeacute hasta el hecho de planear la agenda diaria de coacutemo distribuir el tiempo
Citemos el siguiente ejemplo En un estudio de calidad de vida de los sentildeores casados y con hijos se realizaraacute una evolucioacuten final de la satisfaccioacuten de su vida cotidiana en base a una encuesta en donde se mediraacuten diversos factores de vida familiar para esto se tiene la disyuntiva de poder distribuir los tiempos de Trabajo diversioacuten ejercicio jugar con los nintildeos convivir con su pareja visitar a familiares convivir con amigos Entonces no cabe duda que los resultados de la encuesta estaraacuten vinculados con los tiempos destinados a cada actividad asiacute por ejemplo
Persona Trabajo Diversioacuten Ejercicio Nintildeos Pareja Familiares Amigos
A 30 20 5 5 10 8 2
B 50 5 2 2 10 10 18
Otro ejemplo se presenta el preparar un cafeacute dado que aunque este sea
para la misma persona si usa distintos cantidades de cafeacute azuacutecar leche o temperatura final del mismo el resultado del sabor del mismo cambiaraacute notablemente Cabe sentildealar que cada individuo mide el grado de satisfacioacuten de forma diferente y a la vez esta se realiza en forma cualitativa dado que no se puede medir el grado de satisfacioacuten debido a que cada individuo tiene distintos gustos un cafeacute con poca azuacutecar para una persona puede ser para otra que este bien o que este muy azucarado
Por otra parte no es lo mismo tomar un cafeacute en un diacutea caluroso a una o
en un diacutea con friacuteo Siendo esta otra variable de estudio Como se puede apreciar el resultado final depende rotundamente de la cantidad que se mezcle de cada uno de los ingredientes con los que se cuentan Es decir es un problema de varias variables
Pongamos el siguiente ejemplo financiero una persona desea invertir en el banco en dos cuentas individuales siendo que en la primera da un rendimiento de 2 mensual y en la segunda del 3 si se desea saber cual es la ganancia mensual esto se puede escribir para el primer mes de la siguiente forma
G(xy) = 002x + 003y siendo x la cantidad de dinero aportada en la primer cuenta y la cantidad de dinero aportada en la segunda cuenta Esta seriacutea la ganancia del primer mes Asiacute si invierte mil pesos en la primer cuenta y dos mil en la segunda la ganancia del primer mes seraacute de ochenta pesos
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G(10002000) =002(1000)+003(2000) = 20 + 60 = 100
Cabe sentildealar que las aplicaciones en economiacutea en donde aparecen maacutes
de una variable abundan y que anaacutelisis maacutes completos de estados de cuenta con intereses o deudas en tiendas de conveniencia se pueden representar mediante funciones de varias variables debiendo desarrollar cada una de ellas en su debido tiempo
Por otra parte las aplicaciones en procesos de produccioacuten industrial son diversos y permiten evaluar el producto final que llegaraacute al cliente en cuanto a la calidad del mismo
Si un estudiante dedica cierta cantidad de horas de estudio y por otra parte se mide la atencioacuten prestada en sus horas de estudio Se pueden proponer lo siguiente No se esperariacutean los mismos resultados si dedica tres horas de estudio con poca atencioacuten a que si dedica la misma cantidad de horas de estudio con mucha atencioacuten Cabe sentildealar que la atencioacuten prestada depende del intereacutes de estudiante en la materia el gusto por la misma o la importancia que preste en conocer temas nuevos
Funcioacuten Vectorial
Se comenzaraacute el estudio de funciones vectorial de varias variables especificando algunos detalles sobre las mismas en principio una funcioacuten vectorial tiene como dominio un subconjunto de Rn y un conjunto de llegada esta en Rm
Asiacute si el dominio A tiene tres variables se dice que el dominio esta definido en R3 las tres variables se pueden denotar por x y z Ahora si antildeadimos que la funcioacuten en cuestioacuten refleja algunos rasgos de las variables anteriores por ejemplo si se considera importante la suma de las primeras dos el producto de la segunda y tercera Entonces se dice que la funcioacuten tiene como conjunto de llegada a dos variables en la primera se refleja una suma mientras que en la segunda se observa una multiplicacioacuten
Entonces la forma de escribir en la primera de ellas es x + y mientras que la segunda es yz asiacute la funcioacuten queda expresada como
F(x y z) = (x+y yz)
Una funcioacuten que se puede observar diariamente es la de la temperatura en una habitacioacuten considerando cada punto en el espacio de la habitacioacuten entonces el dominio esta en tres dimensiones y la imagen de la funcioacuten refleja la temperatura en cada punto de la misma observe que esta puede cambiar si se encuentra cercas de una ventana o de la estufa
Aquiacute T(x y z) Muestra la temperatura en cada punto de una habitacioacuten faltariacutea encontrar la ecuacioacuten matemaacutetica que modele dicho comportamiento
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Como se puede observar el poder estudiar un fenoacutemeno real por medio de un modelo matemaacutetico es fundamental para poder realizar predicciones del mismo por medio de las propiedades de la funcioacuten asociada al mismo como el hecho de que la funcioacuten sea creciente que tenga un valor maacuteximo Se mostraran algunos ejemplos maacutes adelante con la finalidad de motivar el estudio de los fenoacutemenos reales por medio de las matemaacuteticas Definicioacuten- (Funcioacuten) Una funcioacuten es una regla de asignacioacuten entre dos conjuntos A y B que asigna a cada elemento del conjunto A uno y soacutelo uno del conjunto B El conjunto de partida A se le denomina el dominio de la funcioacuten mientras que el conjunto de llegada es B se le conoce como el codominio de la funcioacuten En el caso de varias variables se tiene que A es un subconjunto de Rn mientras que el conjunto B es un subconjunto de Rm Aquiacute es importante que a ninguacuten elemento del dominio se le asigne al mismo tiempo dos elementos del codominio y a la vez que a ninguno del dominio quede sin ser asignado Un ejemplo de esto se presenta en la siguiente funcioacuten que va del conjunto dominio A = 1 2 3 al conjunto B = 2 4 6 8 al definir la funcioacuten f que asigna a cada elemento del dominio con su doble se tiene que f(1) = 2 f(2) = 4 y f(3) = 6 Ahora una funcioacuten de dos variables se puede definir a partir de los conjuntos C = (12) (23) (34) (36) y D =3 4 5 6 7 8 9 en donde la funcioacuten g C D representa la suma de los diacutegitos de cada pareja ordenada
En este caso g(12) = 3 g(23) = 5 y asiacute sucesivamente Cabe sentildealar que la pareja ordenada (12) es distinta a la pareja (21) en donde esta uacuteltima no pertenece dominio de la funcioacuten
6 5 Suma g(12) = 3 4 3 2 (12)
1 (21) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 0 1 2 3 4 5 6 Las parejas (12) y (21) ocupan distintas posiciones en el plano La segunda de ellas no pertenece al dominio de la funcioacuten de manera tal aunque se pudiera evaluarla pareja ordenada no se contempla por el hecho de que la funcioacuten no esta definida en dicho valor
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Un ejemplo de esta funcioacuten ocurre si consideramos el total que se tiene que pagar en una tienda despueacutes de comprar dos artiacuteculos distintos Otro de ellos se presenta al tomar una evaluacioacuten de calidad de cierto artiacuteculo en donde se van sumando los puntos y no necesariamente serian dos variables
Otra caracteriacutestica que se presenta en esta tipo de funciones es que los valores esteacuten bien definidos al momento de evaluar como el hecho de que no se puede dividir entres cero y no se pueden sacar raiacuteces de nuacutemeros negativos Este hecho es importante para detallar el dominio de algunas funciones
asiacute el dominio de la funcioacuten xxk 4)( esta restringido al hecho de que la
variable x sea menor a cuatro dado que el argumento 4-x debe de ser no negativo es decir 4-x 0 y de aquiacute se tiene que 4 x
Cuando se involucran dos variables un ejemplo es encontrar el dominio
de la funcioacuten yxyxh 44)( y por analogiacutea con el problema anterior
se sabe que 4 x y a la vez que 4 y quedando el dominio descrito de la siguiente manera D = (xy) 4 x 4 y
6 D Dominio de la funcioacuten 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7
Ejemplo- Determine el dominio de la funcioacuten 2 2( ) 9 h x y x y Aquiacute se tiene
que el argumento de dicha funcioacuten debe de ser positivo en donde el dominio
de la funcioacuten es 2 29 0x y que es equivalente a 2 29 x y que representa
a un ciacuterculo de radio 3 y centrado en el origen
Si la funcioacuten es 2 2
1( )
9h x y
x y el dominio es casi el mismo
eliminando en donde el argumento se hace cero debido a que no estaacute definida la divisioacuten entre cero siendo el dominio el mismo circulo del ejemplo anterior pero sin la orilla
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Como se puede apreciar el dominio de estas funciones estaacute definido por regiones en el plano cartesiano cuando el dominio de la funcioacuten estaacute contenido en R2
Derivadas Parciales La derivada parcial de una funcioacuten de varias variables consiste en derivar la funcioacuten con respecto a la variable en cuestioacuten y dejar a las otras variables fijas como si fuesen constantes Por ejemplo al derivar la funcioacuten f(x y z) = x2 + 3xy3 - 3xz las derivadas de f con respecto a x y y z se describen a continuacioacuten y se denotan cada una de ellas por medio de los simbolos fx fy y fz fx(x y z) = 2x + 3y3 - 3z fy(x y z) = 9xy2 fz(x y z) = - 3x Definicioacuten- (Gradiente de una funcioacuten) El gradiente de una funcioacuten real se define como el vector que contiene en sus componentes a sus primeras derivadas parciales Asiacute para el ejemplo anterior el gradiente de f es y se denota por
3
2
2 3 3
9
3
x
y
z
f x y z
f f xy
f x
Ejemplo- Determine el gradiente de las siguientes funiones g(xy)=(x2 y4) y h(xyzw) = 2x+y2-3z+8w
3
2( )
4
x
y
h xh x y
h y
2
2( )
3
8
x
y
z
w
g
g yg x y z w
g
g
El vector gradiente tiene varias propiedades que son muy uacutetiles una de ellas nos indica la direccioacuten de maacuteximo crecimiento y otra de ellas es que es un
vector tangente a las curvas de nivel de una funcioacuten
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Definicioacuten- (Derivada Direccional) La derivada direccional de una
funcioacuten en un punto (x0 y0) y en direccioacuten de un vector v=(AB) se define como el producto del gradiente de la funcioacuten evaluado en el punto (x0 y0) por el vector V dividido entre la norma de mismo vector
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Tarea nuacutemero 2 materia de Caacutelculo 3 Objetivo- Que el alumno sea capaz de interpretar la nocioacuten de liacutemite en varias variables identifique la graacutefica de funciones y haga uso de la derivadas parciales 1- Determine el dominio de las siguientes funciones
(1a) f(x y z) = 2221 zyx
(1b) g(x y) = xy
2
(1c) f(x y) = xy
(1d) g(x y) = y4
(1e) f(x y) = y
x
4
4
(1f) h(x y) = 24
1
xy
2- Realice un bosquejo de las siguientes graacuteficas
22 zyx 22 2zxy 22 yxz 222 yxz
3- Determine los siguientes liacutemites
(31) xyxyxyxf y 210)( 3 cuando (xy) tiende a (12)
(32) yx
zyzxzyxf
33
)( cuando (xy) tiende a (112)
(33) )00()(
)00()(
0
3
3
)(
44
32
yx
yx
Siacute
Siyx
yx
yxk cuando (xy) tienden a (00)
En caso de existir indique haciendo uso de la nocioacuten
(34) )()(2
zxyxxxy
xxyyxzyxF z cuando (xyz) tiende a (012)
4- Indique de las funciones del ejercicio anterior son continuas y en que dominio 5- Determine si las funciones del ejercicio tres son de clase C1 6- Determine la ecuacioacuten del plano tangente a la graacutefica de la funcioacuten g(xy) = x4-10y3 en el punto (1-1) y en el punto (12) grafique en la computadora y agregue en el documento de la tarea 7- Determine los conjunto de nivel de valor -2 -1 0 1 2 de las funciones (7a) f(x y) = 3x2 + 3y2
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(7b) g(x y) = 22 44 yx
(7c) h(x y) = 1 ndash y + x2 (7d) k(x y z) = x2 + y2 + z2 Indique las graacuteficas en computadora y agregue en el reporte
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Capiacutetulo 3
Trayectorias
En este capiacutetulo se realiza el estudio de las propiedades de las funciones vectoriales es decir se hace incapie en el concepto de funcioacuten y la de un vector
Este concepto permite describir entre otras cosas el camino seguido por una partiacutecula en el espacio con el ingrediente adicional de tener a la mano los conceptos de velocidad y aceleracioacuten derivados a partir de una sola ecuacioacuten aquella que guarda la relacioacuten de posicioacuten de la partiacutecula con respecto al tiempo
Por ejemplo al mover una onda esta describe un movimiento circular si
la onda se suelta un objeto puesto en ella sale disparado en forma tangencial Este movimiento se puede representar con vectores y debe de expresar que la velocidad sea tangente a la trayectoria que sigue dado que la piedra abandona la onda en liacutenea recta
Si esto se extrapola al vuelo de una mosca se puede inferir que la velocidad de la misma sea tangencial a la trayectoria que va recorriendo en cada punto esto se muestra en la siguiente graacutefica
Observe que el hecho de contar con la orientacioacuten del vector velocidad permite no soacutelo inferir la velocidad de escape de la partiacutecula sobre la curva sino a la vez conocer la orientacioacuten del movimiento de la misma
Definicioacuten- (Trayectoria) Una trayectoria es una funcioacuten que parte de los nuacutemeros reales al espacio n Euclidiano Es decir es una funcioacuten de la forma
))()()(()( 21 txtxtxt n
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Caso particular de una trayectoria de los reales a plano En el caso de una trayectoria de los reales al plano se puede ilustrar con el siguiente diagrama
σ(a) σ(b) a b
2][ Rba ))()(()( tytxt
Una forma de ilustrar esto es pensar que la variable t es el tiempo y la imagen corresponde a la trayectoria de un objeto en el plano asiacute que el tiempo t=a la partiacutecula se encuentra en el punto σ(a) que es el inicio del recorrido de la misma mientras que tiempo final t=b se localiza al final de la trayectoria de estudio
Se puede observar una flecha indicativa del sentido de la partiacutecula a lo largo de la trayectoria
Ecuacioacuten Parametrica y Cartesiana de una curva
Ejemplo- Dada la trayectoria )()( 2ttt con 22t realice una
graacutefica de dicha trayectoria
t ))()(()( tytxt
-2 )42()(t
-1 )11()(t
0 )00()(t
1 )11()(t
2 )42()(t
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Como se puede apreciar la imagen de la trayectoria que recibe el
nombre de curva es una paraacutebola esto se puede ver si se realiza lo siguiente
Como x = t y = t2 entonces se puede deducir que y=x2 la ecuacioacuten correspondiente a la graacutefica de una paraacutebola esta ecuacioacuten corresponde a sus coordenadas cartesianas por otra parte si se rescribe en forma de trayectoria se dice que la ecuacioacuten es su ecuacioacuten cartesiana dado que depende de un solo paraacutemetro
Parametrizacioacuten de una funcioacuten real Si y es una variable dependiente de la variable x es decir existe
una regla de asignacioacuten f tal que y = f(x) con bxa En donde a
cada elemento x le asigna uno y soacutelo un valor y La graacutefica de esta funcioacuten se debe de ver como un trazo en el plano de la siguiente forma
La graacutefica no puede ser de la siguiente forma
y2
y3
y1 y4
X1 X2
Note que al valor de x2 le asigna tres valores de y lo cual no
cumple con las condiciones para que f sea una funcioacuten Ahora la graacutefica de una funcioacuten de esta tipo no es otra cosa que
la imagen de una trayectoria la cual se puede parametrizar de la siguiente forma
Como y = f(x) entonces defina x = t y por consiguiente y=f(t) en
donde bta
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-4 -2 2 4
-30
-20
-10
10
20
30
-2 -1 1 2
-2
-1
1
2
Asiacute en el caso de la paraacutebola la parametrizacioacuten adecuada es x
=t y = t2 tal como estaba planteada originalmente Ahora si la funcioacuten es y = 2x3-10x con 44 x entonces la
parametrizacioacuten adecuada es
)102()( 3 tttt 44 t
La graacutefica de esta curva asociada a la trayectoria es
Parametrizacioacuten de una circunferencia Elipse e Hipeacuterbola
La ecuacioacuten cartesiana de una circunferencia con centro en el origen y
radio dos estaacute dada por 422 yx Al intentar escribir esta ecuacioacuten en
funcioacuten de un solo paraacutemetro se requiere despejar a la variable y obteniendo
dos funciones que son 24 xy Con 22 x
La graacutefica de esta curva permite visualizar que no pertenece a una
funcioacuten sino maacutes bien a dos que son las enunciadas anteriormente y como se ve a continuacioacuten
24 xy
24 xy
Una forma de representar esta curva es por medio de dos trayectorias
)4()( 2
1 ttt y )4()( 2
2 ttt 22t
Una forma alternativa de representar esta curva es por medio del uso de coordenadas polares en donde x=rCos(t) y= rSen(t) como el radio es fijo y es igual a dos estas ecuaciones se pueden escribir en funcioacuten de un solo paraacutemetro ldquotrdquo x=2Cos(t) y=2Sen(t) note que al evaluar x2+y2=4Cos2(t)+4Sen2(t) = 4(Cos2(t)+Sen2(t))=4 con lo cual satisface la
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ecuacioacuten de la circunferencia quedando expresada la trayectoria de la siguiente forma
σ(y) = (2Cos(t) 2Sen(t) con 0letle2π En esta ecuacioacuten define por completo a la curva auacuten y cuando la
ecuacioacuten original no es una funcioacuten siendo esto una ventaja del estudio de la trayectorias
Ejemplo- La parametrizacioacuten de la elipse 12
2
2
2
b
y
a
x queda
expresada por x = aCos(t) y=bSen(t) se deja como ejercicio comprobar este resultado
Ejemplo- La parametrizacioacuten de la hiperbola 12
2
2
2
b
y
a
x queda
expresada por x = aCosh(t) y=bSenh(t) en donde se trabaja con las funciones de Seno y Coseno hiperboacutelicas se deja como ejercicio comprobar este resultado (aunque soacutelo permite representar el lado correspondiente a los cuadrantes I y IV en donde la x es no negativa
Derivada de una trayectoria La derivada de una trayectoria es un vector tangente a la curva esto se
deriva del siguiente anaacutelisis
Dada la trayectoria σ(t) se grafican la posicioacuten de la curva al tiempo t y t+h luego trace el vector asociado a la liacutenea secante que une los puntos de aquiacute al tomar valores cada vez maacutes pequentildeos de h el vector secante se convierte en un vector tangente a la curva como se muestra a continuacioacuten
Por otra parte el anaacutelisis vectorial de este cociente es
)()()(
0
tt
tht
h
Liacutem
Es decir la derivada de la trayectoria y el vector resultante es
tangente a la curva
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Asiacute para el caso de una curva en el plano la trayectoria se puede describir por medio de dos funciones x(t) y(t) de la siguiente forma
)(
)()(
ty
txt
En donde la derivada de esta funcioacuten es
)(
)()(
ty
txt
Vector tangente a la graacutefica de una circunferencia de radio R Ahora si se tiene la parametrizacioacuten de una circunferencia esta esta
dada por σ(t) = ( RCos(t) R Sen(t))
Y X
Un vector tangente tiene que cumplir que su producto punto tiene que
ser cero de aquiacute si V=(AB) al multiplicarlo por el vector σ su producto punto tiene que ser cero
De aquiacute que σ(t)V = ARCos(t) + BRSen(t) = 0 Existiendo muchas soluciones a este sistema de ecuaciones siendo una
de ellas cuando A = Cos(t) B=-Sen(t)
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Vector trasladado
Siendo este un vector tangente a la curva ahora al derivar las
componentes xrsquo(t) = -RSen(t) y(t) = RCos(t) que es un muacuteltiplo escalara del vector tangente mostrado anteriormente
Definicioacuten- (Rotacional) El rotacional de un campo vectorial
F=Pi+Qj+Rk de clase C1 de define como el vector
i j k
RotFx y z
P Q R
Ejemplos- Determine el rotacional de los siguientes campos vectoriales
F1=xi+yj+zk F2=x2yi-xy
2j-3zyk
Solucioacuten-
1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0
i j k
RotF z y i z x j y x kx y z y z x z x y
x y z
2 2 2 2
2
2 2
( 3 ) ( ) ( 3 ) ( ) ( ) ( )
3
i j k
RotF zy xy i zy x y j xy x y kx y z y z x z x y
x y xy zy
2 2
2
2 2
3 0
3
i j k
RotF z i j y x kx y z
x y xy zy
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Definicioacuten- (Divergencia) Si F es un campo vectorial de clase C1 la divergencia de F se define como un campo escalar de la siguiente forma
( )P Q R
divF div Pi Qj Rkx y z
Ejemplos- Determine la divergencia de los siguientes campos vectoriales F1=xi+yj+zk F2=x
2yi-xy
2j-3zyk
Solucioacuten-
1 ( ) ( ) ( ) ( ) 3divF div xi yj zk x y zx y z
2 2 2 2
2 ( 3 ) ( ) ( ) ( 3 ) 2 2 3 3divF div x yi xy j zyk x y xy zy xy xy y yx y z
Definicioacuten- (Laplaciano) Si f es un campo escalar de clase C2 el Laplaciano de f se define como un campo escalar de la siguiente forma
2 2 2
2
2 2 2xx yy zz
f f ff f f f f
x y z
Ejemplos- Determine la divergencia de los siguientes campos escalares g1(x
y z) = xy2z
3 g2(x y z) = x
2 + y
2 + z
2
2 2 2
2 2 3 2 3 2 3 2 3 3 2 2
2 2 2( ) ( ) ( ) 2 3 f f xy z xy z xy z y z yz xy z
x y z
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2( ) ( ) ( ) 6f f x y z x y z x y z
x y z
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Tarea nuacutemero 3 Trayectorias
Objetivo- Que el alumno sea capaz de comprender los conceptos de movimiento de una partiacutecula a lo largo de una trayectoria y de la importancia del uso de vectores en este tema 1- Si la trayectoria σ(t) = t2i+t2j define la trayectoria seguida por una partiacutecula con respecto al tiempo determine 1a- iquestEl tipo de trayectoria que describe 1b- Realice una graacutefica de la distancia recorrida por la partiacutecula con respecto al tiempo en los primeros tres segundos 1c- Determine el tipo de movimiento de la partiacutecula 1d- iquestSe puede afirmar que es un movimiento uniformemente acelerado 1e- Determine la aceleracioacuten y velocidad a los cuatro segundos 1f- Realice una graacutefica de su rapidez con respecto al tiempo 1g- Realice una graacutefica de sus aceleracioacuten con respecto al tiempo 1h- En la graacutefica de la trayectoria agregue graacuteficamente los vectores aceleracioacuten y velocidad 2- Realice lo mismo que en ejercicio anterior pero ahora con la funcioacuten γ(t) = Cos(t) i+5Sen(t)j 3- Dadas las funciones f(t) = 3t2i-4t3j+e2tk y g(t) = 4t3i+4t2j+e-2tk 3a- Determine la funcioacuten producto punto h = fg 3b- Determine la derivada de h 3c- Usando la regla de diferenciacioacuten determine la derivada de h y compruebe el inciso anterior 4a- Determine la funcioacuten producto cruz k = ftimesg 4b- Determine la derivada de h 4c- Usando la regla de diferenciacioacuten determine la derivada de h y compruebe el inciso anterior 5- Determine el Rotacional y la Divergencia del siguiente campo vectorial G(x y z) = 2xy i + 3xz j - 5xy k 6- Determine el gradiente y el Laplaciano del siguiente campo escalar f(xyz) = 4x2-3yz2 7- Dado el campo vectorial F(x y z) = 2xy i + x2 j +3z2 k 7a- Determine si F puede representar el gradiente de un campo escalar f 7b- En caso de ser afirmativa la respuesta del inciso anterior determine el campo escalar f 8- Pruebe que la divergencia del rotacional de un campo vectorial F=Pi+Qj+Rk es igual a cero Es decir la div rot F =0 9- Usando las reglas de diferinciacioacuten pruebe que
gfgfgf
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100 -x
Capitulo 4 Maacuteximos y miacutenimos
Es indispensable determinar en distintos problemas las soluciones oacuteptimas que permitan establecer por ejemplo los valores maacuteximos de produccioacuten o ahorrar el material en la construccioacuten de cierto equipo
Como se recordaraacute el gradiente de una funcioacuten indica la direccioacuten de
maacuteximo crecimiento esto se refleja en que si se toma la direccioacuten sugerida por este vector el valor de la funcioacuten aumenta en una vecindad del mismo asiacute si en un diagrama de un campo gradiente aparecen un punto en donde convergen la direccioacuten de todos los gradientes se encontraraacute que dicho valor debe de ser un valor maacuteximo para la funcioacuten de estudio Un diagrama de esta tipo se ejemplifica a continuacioacuten
Un diagrama en donde todos los vectores apuntan hacia fuera de un
punto indicaraacute que este punto debe de ser un valor miacutenimo de la funcioacuten Citemos el siguiente ejemplo de una variable con la finalidad de
centrarnos en el tema Una persona desea bardear un terreno en forma rectaacutengular cuanto debe de medir cada lado de manera tal que el aacuterea cercada sea maacutexima si se cuenta con 200 metros de malla
La funcioacuten que representa dicho modelo es
A(x) = x(100-x) x
Como se puede observar el aacuterea es cero si x es igual a cero o a cien con lo cuaacutel el lado x debe de estar en en intervalo [0 100] siendo estas las restricciones del problema Derivando la funcioacuten para obtener los valores critiacutecos se tiene que Arsquo(x) = 100 ndash 2x
Al igual la derivada a cero se concluye que el valor critico es x es igual a 50 Al derivar por segunda ocasioacuten se concluye que
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Arsquorsquo(x) = -2 Como la segunda derivada es siempre negativa se concluye que la funcioacuten alcanza un valor maacuteximo en el valor critico en este caso en x = 50 al interpretar dicho resultado se concluye que el terreno que optimiza la solucioacuten es un cuadrado Ejercicio- Que aacuterea se genera si el terreno es de forma circular Al resolver el ejercioacute anterior y comparar las aacutereas del cuadrado y del circulo se puede apreciar que el aacuterea del circulo es mayor pero en la praacutectica es poco atractivo cercar terrenos circulares por diversas razones pero en la naturaleza es comuacuten observar que las gotas de lluvia sean esferas esto permite el optimizar recursos y maacuteximizar el volumen del liacutequido contenido en la misma Se iniciara el estudio formal de maacuteximos y miacutenimos de funciones de varias variables observando las siguientes graficas con la finalidad de tener la idea clara de que es un maacuteximo o miacutenimo o un punto silla
En la primera de ellas se observa que la funcioacuten tiene un valor miacutenimo en la segunda se observa que la funcioacuten tiene un valor maacuteximo y en la uacuteltima la funcioacuten tiene un punto silla este se identifica el dirigirnos en una direccioacuten la funcioacuten crece mientras que en la otra la funcioacuten decrece
Definicioacuten- Una funcioacuten mn RRf tiene un valor maacuteximo local en x0 si en
una vecindad de dicho valor se cumple que la funcioacuten evaluada en todos los vecinos ninguno de ellos supera a f(x0) Es decir f(x0) f(x) para todo x en una vecindad de x0 El punto es llamado un maacuteximo absoluto si la funcioacuten toma el valor maacuteximo en dicho punto para todo valor de su dominio
Esto es muy similar cuando uno observa a los alumnos de un saloacuten de clases existe un alumno que tiene la mayor estatura si ninguno de sus compantildeeros lo supera Asiacute en la escuela el alumno de mayor estatura absoluta es aquel que supera a todo el plantel
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La definicioacuten para el miacutenimo local (absoluto) es similar
f(x0) f(x) para todo en una vecindad de x0 Por ejemplo la funcioacuten f(xy) = x2+y2 tiene un valor miacutenimo en el origen dado que en este valor la funcioacuten vale cero mientras que fuera de ahiacute siempre es positiva dado que todo nuacutemero real elevado al cuadrado es siempre positivo Ademaacutes dicho valor es un miacutenimo absoluto Como se menciono al inicio de esta capitulo el diagrama del campo
gradiente de esta funcioacuten y
xyxf
2
2)( indica que la funcioacuten tiene un valor
miacutenimo siendo la grafica del mismo la siguiente Sin embargo se requiere un criterio maacutes general y sistemaacutetico que permita establecer los posibles valores maacuteximos miacutenimos o puntos silla) Definicioacuten- (Un valor extremo) Si la funcioacuten posee un valor maacuteximo o miacutenimo este es llamado un valor extremo Definicioacuten- (Un valor critico) Un punto en donde la derivada de la funcioacuten se anula es llamado un valor critico Teorema- Todo valor extremo es un valor critico Es decir si f posee un valor extremo en x0 que pertenece a su dominio entonces la derivada de la funcioacuten en el punto x0 se anula Es decir Df(x0) = 0 Demostracioacuten- Sea l(t) una trayectoria que pasa a traveacutes por el punto x0 defina la composicioacuten de funciones h(t) = f(l(t)) donde l(t) = x0 + tv de donde lrsquo(t) = v y ademaacutes
))(()())(()( VtlftDltlDftDh (1)
Por otra parte como f posee un valor extremo en x0 suponga que dicho
valor es un maacuteximo entonces x0 seraacute a la vez un maacuteximo para la funcioacuten h y como h es una funcioacuten real esto significa que la derivada de h en dicho punto
se anula es decir 0)()0())0(()0( 0 vxfDllDfDh ahora como los
vectores )( 0xf y v no son necesariamente perpendiculares y el vector v a la
vez tampoco se anula entonces esto implica que el gradiente de f en x0 es igual a cero y por lo tanto f posee un valor criacutetico en x0
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Este resultado permite establecer posibles valores criacuteticos de una funcioacuten asiacute se menciona el siguiente ejemplo Ejemplo- Determine los posibles valores criacuteticos de las siguientes funciones (1) f(x y) = x2 + y2 y (2) g(x y) = 4x3 -12x + y2
Solucioacuten-
(1) 0
0
2
2)(
y
xyxf de aquiacute se concluye que dicho valor soacutelo
existe un valor criacutetico siendo este el origen el cuaacutel ya se clasifico en estos apuntes y resulto ser un valor miacutenimo
(2) 0
0
2
1212)(
2
y
xyxg de aquiacute se obtienen dos valores criacuteticos
que son (-10) y 1l (10) Los cuales se pueden clasificar el realizar el graacutefico del campo gradiente En donde se aprecia que en el punto (-10) la funcioacuten posee un punto silla mientras que en el punto (10) la funcioacuten posee un valor miacutenimo
Aquiacute se utilizaraacute el criterio del hessiano para determinar si el valor criacutetico es un maacuteximo un miacutenimo o un punto silla Solo se enunciara el teorema sin demostracioacuten para ver la misma puede revisar en el libro de Marsden Tromba de Caacutelculo Vectorial
Definicioacuten- El Hessiano de una funcioacuten 22 RRH de clase C2 se define como una funcioacuten cuadraacutetica que se escribe como
2
1
2
22
2
2
2
21212
1)(
h
h
y
f
yx
f
xy
f
x
f
hhhhH
Evaluada la matriz de las segundas derivas parciales en el valor criacutetico
Teorema- Si el Hessiano de una funcioacuten 2 RRf es definitivamente
positivo entonces la funcioacuten tiene un valor miacutenimo en dicho punto
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Corolario- Si la matriz asociada A=cb
ba de una forma cuadraacutetica dos
por dos es definitivamente positiva si y soacutelo si se cumple que agt0 y det A gt0
Teorema de una valor para un valor extremo miacutenimo- Una funcioacuten
2 RRf de clase C2 posee un valor extremo miacutenimo local en x0 elemento
del dominio de la funcioacuten si y soacutelo si se satisfacen las siguientes condiciones
(i) 0)( 0xx
f y 0)( 0x
y
f
(ii) )( 02
2
xx
f gt 0
(iii) )( 02
2
xx
f)( 02
2
xy
f)(
2
2
oxx
f)( 02
2
xx
f gt 0
Para un valor maacuteximo las condiciones (i) y (iii) se mantienen la uacutenica que cambia en la segunda en donde esta debe ser negativa Para un punto silla se requiere que al menos no se cumplan las condiciones de valor maacuteximo ni miacutenimo y que la uacuteltima condicioacuten (iii) sea distinta de cero En caso contrario el criterio no permite clasificar dicho valor como se mostraraacute en un ejemplo maacutes adelante Ejemplo- Ahora continuando con los ejemplos anteriores
(1) Para f(xy) = x2+y2 el valor critico es el origen y el hessiano asociado es
2
1
212100
02
2
1)(
h
hhhhhH
Como se pude apreciar el primer valor es positivo 2 gt0 y el determinante de
la funcioacuten 20
02det es igual a 4 que a la vez es positivo de manera tal que la
funcioacuten posee un valor miacutenimo en el origen
(2) g(x y) = 4x3 -12x + y2 los puntos criticos son (-10) y (10) y el hessiano asociado a esta forma cuadraacutetica es
2
1
212120
024
2
1)(
h
hxhhhhHg
Ahora al evaluar en los puntos se tiene En el (-10)
2
1
212120
024
2
1)(
h
hhhhhHg
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En donde -24 lt 0 y det Hg = -48 lt0 con lo cuaacutel debe de ser un punto silla
En el (10)
2
1
212120
024
2
1)(
h
hhhhhHg
En donde 24 gt 0 y det Hg = 48 gt0 con lo cuaacutel debe de ser un punto miacutenimo
Tal como se habiacutea estimado en la graacutefica del campo gradiente de la
solucioacuten anterior A continuacioacuten se muestra un bosquejo de dicha graacutefica realizado en el derive
Ejemplos de cuando el criterio permite clasificar los
valores criacuteticos
Ejemplo- A continuacioacuten se mostrara un ejemplo de cuando el criterio no concluye asiacute si la funcioacuten es h(xy) = x4+y4 al calcular las derivas parciales mixtas fx=4x3 y fy=4y3 se encuentra un solo valor critico el origen miestras que la matriz asociada del hessiano es
2
2
120
012
y
x y al evaluar en el origen queda expresada como
00
00
)0(120
0)0(122
2
En donde se puede apreciar que fallan todos los criterios una inspeccioacuten de
la funcioacuten original permite ver que la funcioacuten tiene un valor miacutenimo en dicho punto pero no es una generalizacioacuten es decir no se puede decir que siempre que aparezca la matriz de ceros se tenga un valor miacutenimo dado que si se analiza ahora a las funciones k(xy) = -x4-y4 y p(xy) = x4-y4 ambas tienen como calor extremo al origen y la matriz hessiana asociada a la forma cuadraacutetica evaluada en el origen es la matriz de ceros
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Ejemplo- Otro ejemplo en donde el criterio no concluye es el siguiente en
donde el determinante de la matriz H es cero debido a que la segunda derivada de la funcioacuten f con respecto a la segunda variable se anula (fyy = 0) y no se puede asegurar que se tenga un punto maacuteximo miacutenimo o silla
Las funciones f1(xy) = x2 f2(xy) = -x2 y f3(xy) = x3 presentan este
problema a continuacioacuten se muestran las graficas de dichas funciones
En cada una de ellas los puntos criacuteticos son las parejas en el plano (0 y) Es decir el eje coordenado X
El Hessiano respectivo de cada uno es el siguiente
00
02)(1 yxH
00
02)(2 yxH
00
03)(3
xyxH
Note que el determinante de cada de estas matrices se hace cero y que fyy
se anula en cada caso
Ahora observando las graacuteficas se verifica visualmente que en la primera se tienen valores miacutenimos en la segunda maacuteximos y en la uacuteltima no es ni maacuteximo ni miacutenimo o punto silla
Ejemplo- Citemos otro ejemplo en donde el criterio de maacuteximos y miacutenimos
no concluye Determine los puntos criacuteticos de la funcioacuten h(xy) = x4 Se tiene que hx=4x3=0 y hy=0 de donde se deduce que la funcioacuten tiene
un nuacutemero infinito de puntos criacuteticos estos son las parejas ordenadas en el plano (0y)
La matriz del Hessiano asociado es
00
012)(
2
1
xyxH y evaluando en el punto
00
00)0(1 yH
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40
En donde no se puede clasificar a los valores criacuteticos sin embargo
realizando una inpeccioacuten de la funcioacuten se puede concluir que todos los puntos representan valores miacutenimos de la funcioacuten original a continuacioacuten se muestra la grafica de la misma
El Hessiano para n variables y el criterio de clasificacioacuten
Cuando la funcioacuten tiene maacutes de dos variables se genera una matriz asociada H en cada uno de los valores criacuteticos de la siguiente forma
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
H
21
22221
11211
De aquiacute se definen las siguientes matrices
111 aH 2221
1211
2aa
aaH hellip HH n
Los criterios para los valores criacuteticos de la funcioacuten RRf n son los
siguientes [Miacutenimo Local] La funcioacuten f posee un valor extremo local miacutenimo en x0 si todos los determinantes de las submatrices evaluados en x0 son positivos
0det 1H 0det 2H hellip 0det 2H (+ + hellip +)
En este caso la forma cuadraacutetica se puede probar que es definitivamente positiva [Maacuteximo Local] La funcioacuten f posee un valor extremo local miacutenimo en x0 si todos los determinantes de las submatrices evaluados en x0 se alternan en signo pero el primero de ellos debe ser negativo
0det 1H 0det 2H hellip 0det 2H (- + - + hellip )
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En este caso la forma cuadraacutetica se puede probar que es definitivamente negativa [Punto Silla] La funcioacuten f posee un punto silla si no se cumplen los criterios de valor miacutenimo o maacuteximo y al menos uno de los subdeterminantes es distinto de cero
Existe un i tal que 0det iH
Ejemplos- Determine los valores criacuteticos de las siguiente funcioacuten f(x y z w) = x3 - 3x + y3 ndash 3y + z2 + w2 y claacutesifiquelos Solucioacuten- Al resolver las siguientes ecuaciones
033 2 xxf x 033 2 yyf y 02zf z y 033 2 wwfw
Se obtienen cuatro puntos criacuteticos que son (-1-100) (-1100) (1-100) y (1100) ahora se genera la matriz del hessiano asociado siendo esta
2000
0200
0060
0006
y
x
H
Al evaluar en cada uno de los puntos se tienen las siguientes matrices
2000
0200
0060
0006
)0011(H
2000
0200
0060
0006
)0011(H
2000
0200
0060
0006
)0011(H y
2000
0200
0060
0006
)0011(H
Los sub determinantes para cada uno de los puntos son [(-1 -1 0 0)] -6 36 72 144 que clasifica como un punto silla [(-1100)] -6 -36 -72 -144 que clasifica como un punto silla [(1-100)] 6 -36 -72 -144 que clasifica como un punto silla [(1100)] 6 36 72 144 que clasifica como un valor miacutenimo De manera tal que la funcioacuten tiene tres puntos silla y un valor miacutenimo
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Ejercicios- Determine los puntos criacuteticos de las siguientes funciones y claacutesifiquelos utilizando el criterio del Hessiano
(1) f(x y) = x2 - y2 (Silla de montar)
(2) g(x y) = 22 yx (Cono)
(3) h(x y z) = x4 - 2x2 + 2y3 -3y2 + z3-3 Ejercicio- Se requiere construir una lata con tapa que contenga un litro de agua con el miacutenimo de material determine las condiciones que oacuteptimizan el problema Ejercicio- Determine el producto maacuteximo de tres nuacutemeros si la suma de ellos debe ser 40 Ejercicio- Determine la distancia miacutenima del origen a la graacutefica de la funcioacuten f(xy) = 4-x2+y Ejercicio- Estudie los ejemplos resueltos que trae el libro de Marden Tromba en el capitulo 4 en especial el referente a la ecuacioacuten de miacutenimos cuadrados Ejercicio- Determine la ecuacioacuten lineal que mejor se ajusta a los puntos (12) (2 32) (3 389) (4 488) (5 55) Utilize el criterio de miacutenimos cuadrados en caso de que el modelo sea lineal (justifique la linealidad del mismo realice una graacutefica de los puntos y de la liacutenea que ajusta a los puntos) Ejemplo- (Aplicacioacuten) En este ejemplo dermina la distancia miacutenima del punto (100) a la graacutefica de una funcioacuten f(x y) = x2+y2
Solucioacuten- Todos los puntos que se encuentran sobre la graacutefica de la funcioacuten satisfacen la siguiente terna de valores en donde se observa que la tercer componente es la variable dependiente (x y x2+y2)
La distancia del punto (1 0 0) a los puntos que estaacuten sobre la graacutefica (x y x2+y2) Se define por medio de la funcioacuten
2222222 )()1()()001()( yxyxyxyxdyxfd
Para determinar el valor miacutenimo o maacuteximo de esta funcioacuten basta con
analizar su argumento dado que es un funcioacuten creciente Es decir Si x1lt x2
entonces f(x1) lt f(x2) lo que es vaacutelido para la funcioacuten )( xxf (ver graacutefica)
2x
1x
x1 x2
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De este modo la funcioacuten a maximizar es
2222222
11 )()1()()001()( yxyxyxyxdyxfd
De aquiacute al las derivadas parciales son
)(4)1(2)( 22
1 yxxxyxfd x y )(42)( 22
1 yxyyyxfd y
Igualando ambas ecuaciones a cero se puede establecer la siguiente
ecuacioacuten
)(4
)(4
2
2222
22
yxy
yxx
y
x (3)
De aquiacute si )00()( yx y 0y se concluye que -1=0 lo cual es una
contradiccioacuten Por otra parte si (xy)=(00) en la primera ecuacioacuten se tiene que 1=0 que es tambieacuten una contradiccioacuten Finalmente si se considera el caso en
que y=0 se obtiene de la siguiente ecuacioacuten 012 3 xx
El polinomio 12)( 3 xxxP tiene una raiacutez entre el cero y el 1 dado
que P(0)=-1 y P(1)=2 Con el anaacutelisis de raiacuteces racionales dos posibles raiacuteces
son 2
1 y como
2
1 estaacute entre cero y uno al usando divisioacuten sinteacutetica se
obtiene que 4
1
2
1P Asiacute que la raiacutez debe de estar en el intervalo 1
2
1
Ahora usando el meacutetodo de Newton con semilla en 2
10x se obtiene
que 6010
6
2
54
1
2
1
)(
)(
0
0
01xf
xfxx
Ahora al evaluar la funcioacuten en dicho punto se tiene que 0320)60(P el
cual es aceptable como raiacutez del polinomio en una sola interaccioacuten De manera tal que el punto criacutetico de la funcioacuten es el (060) El Hessiano asociado es
24128
82412)(
22
22
xyxy
xyyxyxH
Como se puede apreciar el primer elemento de la matriz es positivo independientemente de los valores de x e y Falta evaluar el determinante de H este es igual a
)64)2412)(2412()(det 222222 yxxyyxyxH
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44
Ahora evaluando en (06 0) se tiene 7421)443)(326()060(det H
Que tambieacuten es positivo de manera tal que se tiene un valor miacutenimo Es
decir la se obtuvo la distancia miacutenima
Maacuteximos y Miacutenimos con restricciones
Los muacuteltiplicadores de Lagrange permite determinar valores maacuteximos o miacutenimos de funciones con restricciones De este tipo de problemas esta lleno nuestro contorno desde el panedero que desea producir la maacutexima cantidad de pan pero con la restriccioacuten del capital que tiene o la posible venta del diacutea para que no tenga sobrantes
Citemos el siguiente ejemplo la graacutefica de paraboloide z = x2+y2 esta
graacutefica soacutelo tiene un valor miacutenimo en el origen sin embargo si esta restringida
al cuadrado unitario 1111 la funcioacuten alcanza cuatro puntos maacuteximos en
los puntos (-11)(-1-1) (1 -1) y (11) a saber dicho valor es 2 Como se observa en la figura
Ahora si se trabaja con la silla de montar con la misma restriccioacuten esta
funcioacuten tiene originalmente un punto silla en el origen pero al analizar las restricciones se contiene dos valores maacuteximos y dos miacutenimos en los puntos (10) (-10) (0-1) y (01)
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Muacuteltiplicadores de Lagrange Teorema- Dadas dos funciones fg Rn a R diferenciables en X0 elemento del dominio de ambas funciones Si Lc es el conjunto de nivel de valor c de la funcioacuten g y si f posee un valor maacuteximo miacutenimo o silla en la restriccioacuten Lc
entonces existe un nuacutemero real λ tal que )()( 00 XgXf
Se puede ver parte de la demostracioacuten de este teorema en el libro de Marsden Tromba Para clasificar los puntos criacuteticos se utiliza el criterio del Hessiano limitado el cuaacutel se define a partir de la funcioacuten auxiliar H(x1 x2 hellip xn) = f(x1 x2 hellip xn) - λ g(x1 x2 hellip xn)
nnnn
n
n
xxxxx
xxxxx
xx
hhg
hhg
gg
H
1
1111
10
||
Ahora defina los siguientes determinantes
22122
21111
210
|| 1
xxxxx
xxxxx
xx
hhg
hhg
gg
H
3323131
3222121
3121111
3210
|| 2
xxxxxxx
xxxxxxx
xxxxxxx
xxx
hhhg
hhhg
hhhg
ggg
H ||det|| HHn
Criterios para maacuteximos y miacutenimos con restricciones (Hessiano liacutemitado) [Miacutenimo Local] Se tiene un miacutenimo local si y soacutelo si todos los determinantes son negativos |H1| lt0 |H2| lt0 hellip |Hn|lt0 ( - - - - - hellip)
[Maacuteximo Local] Se tiene un maximo local si y soacutelo se inicia con un determinante positivo y luego se alternan los signos |H1| gt 0 |H2| lt 0 hellip |Hn|lt0 (+ - + - hellip)
[Punto del tipo Silla] Se tiene un punto tipo silla sino se satisface los criterios de maacuteximos o miacutenimos y al menos uno de los determinantes es distinto de cero Ejemplo- Determine si la funcioacuten f(xy)= x2 ndash y2 tiene valores criacuteticos en la restriccioacuten x2+y2=1
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46
)(2
2
2
2)( 00 Xg
g
g
y
x
y
x
f
fXf
y
x
y
x
de aquiacute se obtienen las ecuaciones 2x = 2 λx -2y = 2 λy x2 + y2 =1 Las soluciones de este sistema de ecuaciones son (-101) (101) (0-1-1) y (0-11) El Hessiano liacutemitado es
2202
0222
220
||
y
x
yx
H
El determinante es igual a det|H| = 8x2(1+λ) ndash 8y2(1-λ) ahora evaluando
cada uno de los puntos se tiene que det|H|(-101) = 16 gt 0 det|H|(101) = 16 gt 0 det|H|(0-1-1) = -16 lt 0 det|H|(0-11) = -16 lt 0
De manera tal que la funcioacuten posee dos valores maacuteximos en los puntos (-10) y (10) y por otra parte tiene dos valores miacutenimos en los puntos (0-1) y (0-1) Ejemplo- Determine si la funcioacuten f(xy)= x2+y2 tiene valores criacuteticos en la restriccioacuten x2-y2 le 4 Al iniciar este estudio se trabaja con el interior es decir x2-y2 lt 4 dando como resultado el anaacutelisis de maacuteximos y miacutenimos de una funcioacuten en general de donde el gradiente de f se anula uacutenicamente en el origen siendo este valor un miacutenimo como se habiacutea visto en un ejercicio anterior para la funcioacuten del paraboloide Ahora al trabajar sobre la frontera se usa el criterio de muacuteltiplicadores de Lagrange
)(2
2
2
2)( 00 Xg
g
g
y
x
y
x
f
fXf
y
x
y
x
de aquiacute se obtienen las ecuaciones 2x = 2 λx 2y = -2 λy x2 - y2 = 4
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47
Las soluciones de este sistema de ecuaciones son (-201) y (201) El Hessiano liacutemitado es
2202
0222
220
||
y
x
yx
H
El determinante es igual a det|H| = -8x2(1+λ) + 8y2(1-λ) ahora
evaluando en cada uno de los puntos se tiene que det|H|(201) = -64 gt 0 y det|H|(-201) = -64 lt 0
De manera tal que la funcioacuten posee dos valores miacutenimos en los puntos (-20) y (20)
Una anaacutelisis de la graacutefica de esta funcioacuten permite visualizar que dichos
puntos no son miacutenimos maacutes bien son puntos tipos silla y no es que el criterio falle sino maacutes bien que los valores son miacutenimos pero sobre el complemento es decir bajo la restriccioacuten x2-y2 ge 4 Ejemplo- Determine los valores criacuteticos de la funcioacuten f(xyz) = 2x+y+3z sujeta a la restriccioacuten x2+y2+z2 le 36 Solucioacuten- Un anaacutelisis de las condiciones iniciales muestra que la graacutefica a maximizar en un hiperplano restringido en su dominio a una esfera de radio 6 de acuerdo a estas condiciones la funcioacuten en su interior no debe tener valor criacuteticos y en la frontera debe tener un valor miacutenimo y un valor maacuteximo En el interior- Al derivar la funcioacuten original se tiene lo siguiente
3
1
2
)( 0
z
y
x
f
f
f
Xf
De aquiacute se observa que la funcioacuten no posee valores criacuteticos en todo su dominio tal y como se esperaba Frontera- Al utilizar las condiciones del los Muacuteltiplicadores de Lagrange se tiene lo siguiente
)(
2
2
2
3
1
2
)( 00 Xg
z
y
x
f
f
f
Xf
z
y
x
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De aquiacute se genera el siguiente sistema de ecuaciones 2 = 2λx 1 = 2λy 3 = 2λz x2+y2+z2=36
Resolviendo el sistema se concluye que 2
1
1yx amp
2
3z Ahora
sustituyendo en la uacuteltima ecuacioacuten se deduce que la funcioacuten posee dos valores criacuteticos que son
18
14
14
1427
14
149
14
1418amp
18
14
14
1427
14
149
14
1418
La funcioacuten auxiliar es H(xyzλ) = 2x+y+3z-λ(x2+y2+z2) donde Hx=2-2λx Hy=1-2λy Hz=3-2λz El Hessiano Liacutemitado es
2002
0202
0022
2220
||
z
y
x
zyx
H
De aquiacute
0
0)(8
202
022
220
|| 22
1si
siyx
y
x
yx
H
0576)(16
2002
0202
0022
2220
|| 22222 zyx
z
y
x
zyx
H
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49
De aquiacute se desprende que la funcioacuten f(xyz) = 2x+y+3z posee un valor miacutenimo
en el punto 18
14
14
1427
14
149
14
1418 restringido a x2+y2+z2 = 36 y un
maacuteximo en el punto 18
14
14
1427
14
149
14
1418
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Tarea nuacutemero 4 Maacuteximos y Miacutenimos
Objetivo- Que el alumno sea capaz de aprender a resolver problemas asociados a la vida real haciendo uso del caacutelculo de varias variables Aquiacute se enuncian los siguientes ejercicios adicionales dado que muchos de los mismos se fueron exponiendo a lo largo del capiacutetulo y se sugiere que se revisen los problemas resueltos y propuestos en la libros de la bibliografiacutea dado que las aplicaciones son muchas 1- Determine los valores maacuteximos y miacutenimos de la funcioacuten f(xy) = x +y sujeta a la restriccioacuten x2+2y2le18 (Realice un bosquejo de la graacutefica y se restriccioacuten)
2- Determine los valores maacuteximos y miacutenimos de la funcioacuten f(xy) = x2 +y2 sujeta a la restriccioacuten x+2y le 4 (Realice un bosquejo de la graacutefica y se restriccioacuten)
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51
Bibliografiacutea
1 Caacutelculo Vectorial Marsden amp Tromba Addison-Wesley Iberoamericana
2 Caacutelculo Multivariable James Steward Thomson Editores
3 Caacutelculo con Geometriacutea Anaacutelitica Zill Grupo Editorial Iberoameacuterica
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11- Pruebe que dados cuatro veacutertices de un paralelepiacutepedo en el espacio se pueden generar cuatro paralelepiacutepedos distintos pero de igual volumen 12- Pruebe que α (β times γ) = γ (α times β) 13- Pruebe que α times (β + γ) = α times β + α times γ 14- Determine el aacuterea del paralelogramo generado por los vectores i+j-k 2i-j 15- Determine el aacuterea del paralelogramo generado por los vectores 2i+j 3i ndash j 16- Determine el aacutengulo que existe entre los vectores i+j-k y 2j ndash k 17- Determine si el vector i+j es una combinacioacuten lineal del vector 2i ndashj 18- Determine si el vector i+j es una combinacioacuten lineal del vector 2i + 2j 19- Determine el aacutengulo entre los planos 2x ndash y + z = 0 y 3x ndashy + 2z = 0 20- Determine la distancia entre los planos x + y + z = 0 y x + y + z = 1
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Capitulo 2 Funciones Vectoriales
En este capitulo se veraacuten temas relacionados con funciones de varias variables que van a los nuacutemeros reales (a las cuales se les llaman funciones reales) o que van a maacutes dimensiones
Cuando uno habla de este tema es importante recalcar que en la vida cotidiana se presentan diversas aplicaciones con el hecho de manejar varias variables que van desde la preparacioacuten de un cafeacute hasta el hecho de planear la agenda diaria de coacutemo distribuir el tiempo
Citemos el siguiente ejemplo En un estudio de calidad de vida de los sentildeores casados y con hijos se realizaraacute una evolucioacuten final de la satisfaccioacuten de su vida cotidiana en base a una encuesta en donde se mediraacuten diversos factores de vida familiar para esto se tiene la disyuntiva de poder distribuir los tiempos de Trabajo diversioacuten ejercicio jugar con los nintildeos convivir con su pareja visitar a familiares convivir con amigos Entonces no cabe duda que los resultados de la encuesta estaraacuten vinculados con los tiempos destinados a cada actividad asiacute por ejemplo
Persona Trabajo Diversioacuten Ejercicio Nintildeos Pareja Familiares Amigos
A 30 20 5 5 10 8 2
B 50 5 2 2 10 10 18
Otro ejemplo se presenta el preparar un cafeacute dado que aunque este sea
para la misma persona si usa distintos cantidades de cafeacute azuacutecar leche o temperatura final del mismo el resultado del sabor del mismo cambiaraacute notablemente Cabe sentildealar que cada individuo mide el grado de satisfacioacuten de forma diferente y a la vez esta se realiza en forma cualitativa dado que no se puede medir el grado de satisfacioacuten debido a que cada individuo tiene distintos gustos un cafeacute con poca azuacutecar para una persona puede ser para otra que este bien o que este muy azucarado
Por otra parte no es lo mismo tomar un cafeacute en un diacutea caluroso a una o
en un diacutea con friacuteo Siendo esta otra variable de estudio Como se puede apreciar el resultado final depende rotundamente de la cantidad que se mezcle de cada uno de los ingredientes con los que se cuentan Es decir es un problema de varias variables
Pongamos el siguiente ejemplo financiero una persona desea invertir en el banco en dos cuentas individuales siendo que en la primera da un rendimiento de 2 mensual y en la segunda del 3 si se desea saber cual es la ganancia mensual esto se puede escribir para el primer mes de la siguiente forma
G(xy) = 002x + 003y siendo x la cantidad de dinero aportada en la primer cuenta y la cantidad de dinero aportada en la segunda cuenta Esta seriacutea la ganancia del primer mes Asiacute si invierte mil pesos en la primer cuenta y dos mil en la segunda la ganancia del primer mes seraacute de ochenta pesos
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G(10002000) =002(1000)+003(2000) = 20 + 60 = 100
Cabe sentildealar que las aplicaciones en economiacutea en donde aparecen maacutes
de una variable abundan y que anaacutelisis maacutes completos de estados de cuenta con intereses o deudas en tiendas de conveniencia se pueden representar mediante funciones de varias variables debiendo desarrollar cada una de ellas en su debido tiempo
Por otra parte las aplicaciones en procesos de produccioacuten industrial son diversos y permiten evaluar el producto final que llegaraacute al cliente en cuanto a la calidad del mismo
Si un estudiante dedica cierta cantidad de horas de estudio y por otra parte se mide la atencioacuten prestada en sus horas de estudio Se pueden proponer lo siguiente No se esperariacutean los mismos resultados si dedica tres horas de estudio con poca atencioacuten a que si dedica la misma cantidad de horas de estudio con mucha atencioacuten Cabe sentildealar que la atencioacuten prestada depende del intereacutes de estudiante en la materia el gusto por la misma o la importancia que preste en conocer temas nuevos
Funcioacuten Vectorial
Se comenzaraacute el estudio de funciones vectorial de varias variables especificando algunos detalles sobre las mismas en principio una funcioacuten vectorial tiene como dominio un subconjunto de Rn y un conjunto de llegada esta en Rm
Asiacute si el dominio A tiene tres variables se dice que el dominio esta definido en R3 las tres variables se pueden denotar por x y z Ahora si antildeadimos que la funcioacuten en cuestioacuten refleja algunos rasgos de las variables anteriores por ejemplo si se considera importante la suma de las primeras dos el producto de la segunda y tercera Entonces se dice que la funcioacuten tiene como conjunto de llegada a dos variables en la primera se refleja una suma mientras que en la segunda se observa una multiplicacioacuten
Entonces la forma de escribir en la primera de ellas es x + y mientras que la segunda es yz asiacute la funcioacuten queda expresada como
F(x y z) = (x+y yz)
Una funcioacuten que se puede observar diariamente es la de la temperatura en una habitacioacuten considerando cada punto en el espacio de la habitacioacuten entonces el dominio esta en tres dimensiones y la imagen de la funcioacuten refleja la temperatura en cada punto de la misma observe que esta puede cambiar si se encuentra cercas de una ventana o de la estufa
Aquiacute T(x y z) Muestra la temperatura en cada punto de una habitacioacuten faltariacutea encontrar la ecuacioacuten matemaacutetica que modele dicho comportamiento
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Como se puede observar el poder estudiar un fenoacutemeno real por medio de un modelo matemaacutetico es fundamental para poder realizar predicciones del mismo por medio de las propiedades de la funcioacuten asociada al mismo como el hecho de que la funcioacuten sea creciente que tenga un valor maacuteximo Se mostraran algunos ejemplos maacutes adelante con la finalidad de motivar el estudio de los fenoacutemenos reales por medio de las matemaacuteticas Definicioacuten- (Funcioacuten) Una funcioacuten es una regla de asignacioacuten entre dos conjuntos A y B que asigna a cada elemento del conjunto A uno y soacutelo uno del conjunto B El conjunto de partida A se le denomina el dominio de la funcioacuten mientras que el conjunto de llegada es B se le conoce como el codominio de la funcioacuten En el caso de varias variables se tiene que A es un subconjunto de Rn mientras que el conjunto B es un subconjunto de Rm Aquiacute es importante que a ninguacuten elemento del dominio se le asigne al mismo tiempo dos elementos del codominio y a la vez que a ninguno del dominio quede sin ser asignado Un ejemplo de esto se presenta en la siguiente funcioacuten que va del conjunto dominio A = 1 2 3 al conjunto B = 2 4 6 8 al definir la funcioacuten f que asigna a cada elemento del dominio con su doble se tiene que f(1) = 2 f(2) = 4 y f(3) = 6 Ahora una funcioacuten de dos variables se puede definir a partir de los conjuntos C = (12) (23) (34) (36) y D =3 4 5 6 7 8 9 en donde la funcioacuten g C D representa la suma de los diacutegitos de cada pareja ordenada
En este caso g(12) = 3 g(23) = 5 y asiacute sucesivamente Cabe sentildealar que la pareja ordenada (12) es distinta a la pareja (21) en donde esta uacuteltima no pertenece dominio de la funcioacuten
6 5 Suma g(12) = 3 4 3 2 (12)
1 (21) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 0 1 2 3 4 5 6 Las parejas (12) y (21) ocupan distintas posiciones en el plano La segunda de ellas no pertenece al dominio de la funcioacuten de manera tal aunque se pudiera evaluarla pareja ordenada no se contempla por el hecho de que la funcioacuten no esta definida en dicho valor
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Un ejemplo de esta funcioacuten ocurre si consideramos el total que se tiene que pagar en una tienda despueacutes de comprar dos artiacuteculos distintos Otro de ellos se presenta al tomar una evaluacioacuten de calidad de cierto artiacuteculo en donde se van sumando los puntos y no necesariamente serian dos variables
Otra caracteriacutestica que se presenta en esta tipo de funciones es que los valores esteacuten bien definidos al momento de evaluar como el hecho de que no se puede dividir entres cero y no se pueden sacar raiacuteces de nuacutemeros negativos Este hecho es importante para detallar el dominio de algunas funciones
asiacute el dominio de la funcioacuten xxk 4)( esta restringido al hecho de que la
variable x sea menor a cuatro dado que el argumento 4-x debe de ser no negativo es decir 4-x 0 y de aquiacute se tiene que 4 x
Cuando se involucran dos variables un ejemplo es encontrar el dominio
de la funcioacuten yxyxh 44)( y por analogiacutea con el problema anterior
se sabe que 4 x y a la vez que 4 y quedando el dominio descrito de la siguiente manera D = (xy) 4 x 4 y
6 D Dominio de la funcioacuten 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7
Ejemplo- Determine el dominio de la funcioacuten 2 2( ) 9 h x y x y Aquiacute se tiene
que el argumento de dicha funcioacuten debe de ser positivo en donde el dominio
de la funcioacuten es 2 29 0x y que es equivalente a 2 29 x y que representa
a un ciacuterculo de radio 3 y centrado en el origen
Si la funcioacuten es 2 2
1( )
9h x y
x y el dominio es casi el mismo
eliminando en donde el argumento se hace cero debido a que no estaacute definida la divisioacuten entre cero siendo el dominio el mismo circulo del ejemplo anterior pero sin la orilla
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Como se puede apreciar el dominio de estas funciones estaacute definido por regiones en el plano cartesiano cuando el dominio de la funcioacuten estaacute contenido en R2
Derivadas Parciales La derivada parcial de una funcioacuten de varias variables consiste en derivar la funcioacuten con respecto a la variable en cuestioacuten y dejar a las otras variables fijas como si fuesen constantes Por ejemplo al derivar la funcioacuten f(x y z) = x2 + 3xy3 - 3xz las derivadas de f con respecto a x y y z se describen a continuacioacuten y se denotan cada una de ellas por medio de los simbolos fx fy y fz fx(x y z) = 2x + 3y3 - 3z fy(x y z) = 9xy2 fz(x y z) = - 3x Definicioacuten- (Gradiente de una funcioacuten) El gradiente de una funcioacuten real se define como el vector que contiene en sus componentes a sus primeras derivadas parciales Asiacute para el ejemplo anterior el gradiente de f es y se denota por
3
2
2 3 3
9
3
x
y
z
f x y z
f f xy
f x
Ejemplo- Determine el gradiente de las siguientes funiones g(xy)=(x2 y4) y h(xyzw) = 2x+y2-3z+8w
3
2( )
4
x
y
h xh x y
h y
2
2( )
3
8
x
y
z
w
g
g yg x y z w
g
g
El vector gradiente tiene varias propiedades que son muy uacutetiles una de ellas nos indica la direccioacuten de maacuteximo crecimiento y otra de ellas es que es un
vector tangente a las curvas de nivel de una funcioacuten
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Definicioacuten- (Derivada Direccional) La derivada direccional de una
funcioacuten en un punto (x0 y0) y en direccioacuten de un vector v=(AB) se define como el producto del gradiente de la funcioacuten evaluado en el punto (x0 y0) por el vector V dividido entre la norma de mismo vector
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Tarea nuacutemero 2 materia de Caacutelculo 3 Objetivo- Que el alumno sea capaz de interpretar la nocioacuten de liacutemite en varias variables identifique la graacutefica de funciones y haga uso de la derivadas parciales 1- Determine el dominio de las siguientes funciones
(1a) f(x y z) = 2221 zyx
(1b) g(x y) = xy
2
(1c) f(x y) = xy
(1d) g(x y) = y4
(1e) f(x y) = y
x
4
4
(1f) h(x y) = 24
1
xy
2- Realice un bosquejo de las siguientes graacuteficas
22 zyx 22 2zxy 22 yxz 222 yxz
3- Determine los siguientes liacutemites
(31) xyxyxyxf y 210)( 3 cuando (xy) tiende a (12)
(32) yx
zyzxzyxf
33
)( cuando (xy) tiende a (112)
(33) )00()(
)00()(
0
3
3
)(
44
32
yx
yx
Siacute
Siyx
yx
yxk cuando (xy) tienden a (00)
En caso de existir indique haciendo uso de la nocioacuten
(34) )()(2
zxyxxxy
xxyyxzyxF z cuando (xyz) tiende a (012)
4- Indique de las funciones del ejercicio anterior son continuas y en que dominio 5- Determine si las funciones del ejercicio tres son de clase C1 6- Determine la ecuacioacuten del plano tangente a la graacutefica de la funcioacuten g(xy) = x4-10y3 en el punto (1-1) y en el punto (12) grafique en la computadora y agregue en el documento de la tarea 7- Determine los conjunto de nivel de valor -2 -1 0 1 2 de las funciones (7a) f(x y) = 3x2 + 3y2
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(7b) g(x y) = 22 44 yx
(7c) h(x y) = 1 ndash y + x2 (7d) k(x y z) = x2 + y2 + z2 Indique las graacuteficas en computadora y agregue en el reporte
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24
Capiacutetulo 3
Trayectorias
En este capiacutetulo se realiza el estudio de las propiedades de las funciones vectoriales es decir se hace incapie en el concepto de funcioacuten y la de un vector
Este concepto permite describir entre otras cosas el camino seguido por una partiacutecula en el espacio con el ingrediente adicional de tener a la mano los conceptos de velocidad y aceleracioacuten derivados a partir de una sola ecuacioacuten aquella que guarda la relacioacuten de posicioacuten de la partiacutecula con respecto al tiempo
Por ejemplo al mover una onda esta describe un movimiento circular si
la onda se suelta un objeto puesto en ella sale disparado en forma tangencial Este movimiento se puede representar con vectores y debe de expresar que la velocidad sea tangente a la trayectoria que sigue dado que la piedra abandona la onda en liacutenea recta
Si esto se extrapola al vuelo de una mosca se puede inferir que la velocidad de la misma sea tangencial a la trayectoria que va recorriendo en cada punto esto se muestra en la siguiente graacutefica
Observe que el hecho de contar con la orientacioacuten del vector velocidad permite no soacutelo inferir la velocidad de escape de la partiacutecula sobre la curva sino a la vez conocer la orientacioacuten del movimiento de la misma
Definicioacuten- (Trayectoria) Una trayectoria es una funcioacuten que parte de los nuacutemeros reales al espacio n Euclidiano Es decir es una funcioacuten de la forma
))()()(()( 21 txtxtxt n
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Caso particular de una trayectoria de los reales a plano En el caso de una trayectoria de los reales al plano se puede ilustrar con el siguiente diagrama
σ(a) σ(b) a b
2][ Rba ))()(()( tytxt
Una forma de ilustrar esto es pensar que la variable t es el tiempo y la imagen corresponde a la trayectoria de un objeto en el plano asiacute que el tiempo t=a la partiacutecula se encuentra en el punto σ(a) que es el inicio del recorrido de la misma mientras que tiempo final t=b se localiza al final de la trayectoria de estudio
Se puede observar una flecha indicativa del sentido de la partiacutecula a lo largo de la trayectoria
Ecuacioacuten Parametrica y Cartesiana de una curva
Ejemplo- Dada la trayectoria )()( 2ttt con 22t realice una
graacutefica de dicha trayectoria
t ))()(()( tytxt
-2 )42()(t
-1 )11()(t
0 )00()(t
1 )11()(t
2 )42()(t
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Como se puede apreciar la imagen de la trayectoria que recibe el
nombre de curva es una paraacutebola esto se puede ver si se realiza lo siguiente
Como x = t y = t2 entonces se puede deducir que y=x2 la ecuacioacuten correspondiente a la graacutefica de una paraacutebola esta ecuacioacuten corresponde a sus coordenadas cartesianas por otra parte si se rescribe en forma de trayectoria se dice que la ecuacioacuten es su ecuacioacuten cartesiana dado que depende de un solo paraacutemetro
Parametrizacioacuten de una funcioacuten real Si y es una variable dependiente de la variable x es decir existe
una regla de asignacioacuten f tal que y = f(x) con bxa En donde a
cada elemento x le asigna uno y soacutelo un valor y La graacutefica de esta funcioacuten se debe de ver como un trazo en el plano de la siguiente forma
La graacutefica no puede ser de la siguiente forma
y2
y3
y1 y4
X1 X2
Note que al valor de x2 le asigna tres valores de y lo cual no
cumple con las condiciones para que f sea una funcioacuten Ahora la graacutefica de una funcioacuten de esta tipo no es otra cosa que
la imagen de una trayectoria la cual se puede parametrizar de la siguiente forma
Como y = f(x) entonces defina x = t y por consiguiente y=f(t) en
donde bta
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27
-4 -2 2 4
-30
-20
-10
10
20
30
-2 -1 1 2
-2
-1
1
2
Asiacute en el caso de la paraacutebola la parametrizacioacuten adecuada es x
=t y = t2 tal como estaba planteada originalmente Ahora si la funcioacuten es y = 2x3-10x con 44 x entonces la
parametrizacioacuten adecuada es
)102()( 3 tttt 44 t
La graacutefica de esta curva asociada a la trayectoria es
Parametrizacioacuten de una circunferencia Elipse e Hipeacuterbola
La ecuacioacuten cartesiana de una circunferencia con centro en el origen y
radio dos estaacute dada por 422 yx Al intentar escribir esta ecuacioacuten en
funcioacuten de un solo paraacutemetro se requiere despejar a la variable y obteniendo
dos funciones que son 24 xy Con 22 x
La graacutefica de esta curva permite visualizar que no pertenece a una
funcioacuten sino maacutes bien a dos que son las enunciadas anteriormente y como se ve a continuacioacuten
24 xy
24 xy
Una forma de representar esta curva es por medio de dos trayectorias
)4()( 2
1 ttt y )4()( 2
2 ttt 22t
Una forma alternativa de representar esta curva es por medio del uso de coordenadas polares en donde x=rCos(t) y= rSen(t) como el radio es fijo y es igual a dos estas ecuaciones se pueden escribir en funcioacuten de un solo paraacutemetro ldquotrdquo x=2Cos(t) y=2Sen(t) note que al evaluar x2+y2=4Cos2(t)+4Sen2(t) = 4(Cos2(t)+Sen2(t))=4 con lo cual satisface la
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ecuacioacuten de la circunferencia quedando expresada la trayectoria de la siguiente forma
σ(y) = (2Cos(t) 2Sen(t) con 0letle2π En esta ecuacioacuten define por completo a la curva auacuten y cuando la
ecuacioacuten original no es una funcioacuten siendo esto una ventaja del estudio de la trayectorias
Ejemplo- La parametrizacioacuten de la elipse 12
2
2
2
b
y
a
x queda
expresada por x = aCos(t) y=bSen(t) se deja como ejercicio comprobar este resultado
Ejemplo- La parametrizacioacuten de la hiperbola 12
2
2
2
b
y
a
x queda
expresada por x = aCosh(t) y=bSenh(t) en donde se trabaja con las funciones de Seno y Coseno hiperboacutelicas se deja como ejercicio comprobar este resultado (aunque soacutelo permite representar el lado correspondiente a los cuadrantes I y IV en donde la x es no negativa
Derivada de una trayectoria La derivada de una trayectoria es un vector tangente a la curva esto se
deriva del siguiente anaacutelisis
Dada la trayectoria σ(t) se grafican la posicioacuten de la curva al tiempo t y t+h luego trace el vector asociado a la liacutenea secante que une los puntos de aquiacute al tomar valores cada vez maacutes pequentildeos de h el vector secante se convierte en un vector tangente a la curva como se muestra a continuacioacuten
Por otra parte el anaacutelisis vectorial de este cociente es
)()()(
0
tt
tht
h
Liacutem
Es decir la derivada de la trayectoria y el vector resultante es
tangente a la curva
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Asiacute para el caso de una curva en el plano la trayectoria se puede describir por medio de dos funciones x(t) y(t) de la siguiente forma
)(
)()(
ty
txt
En donde la derivada de esta funcioacuten es
)(
)()(
ty
txt
Vector tangente a la graacutefica de una circunferencia de radio R Ahora si se tiene la parametrizacioacuten de una circunferencia esta esta
dada por σ(t) = ( RCos(t) R Sen(t))
Y X
Un vector tangente tiene que cumplir que su producto punto tiene que
ser cero de aquiacute si V=(AB) al multiplicarlo por el vector σ su producto punto tiene que ser cero
De aquiacute que σ(t)V = ARCos(t) + BRSen(t) = 0 Existiendo muchas soluciones a este sistema de ecuaciones siendo una
de ellas cuando A = Cos(t) B=-Sen(t)
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Vector trasladado
Siendo este un vector tangente a la curva ahora al derivar las
componentes xrsquo(t) = -RSen(t) y(t) = RCos(t) que es un muacuteltiplo escalara del vector tangente mostrado anteriormente
Definicioacuten- (Rotacional) El rotacional de un campo vectorial
F=Pi+Qj+Rk de clase C1 de define como el vector
i j k
RotFx y z
P Q R
Ejemplos- Determine el rotacional de los siguientes campos vectoriales
F1=xi+yj+zk F2=x2yi-xy
2j-3zyk
Solucioacuten-
1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0
i j k
RotF z y i z x j y x kx y z y z x z x y
x y z
2 2 2 2
2
2 2
( 3 ) ( ) ( 3 ) ( ) ( ) ( )
3
i j k
RotF zy xy i zy x y j xy x y kx y z y z x z x y
x y xy zy
2 2
2
2 2
3 0
3
i j k
RotF z i j y x kx y z
x y xy zy
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Definicioacuten- (Divergencia) Si F es un campo vectorial de clase C1 la divergencia de F se define como un campo escalar de la siguiente forma
( )P Q R
divF div Pi Qj Rkx y z
Ejemplos- Determine la divergencia de los siguientes campos vectoriales F1=xi+yj+zk F2=x
2yi-xy
2j-3zyk
Solucioacuten-
1 ( ) ( ) ( ) ( ) 3divF div xi yj zk x y zx y z
2 2 2 2
2 ( 3 ) ( ) ( ) ( 3 ) 2 2 3 3divF div x yi xy j zyk x y xy zy xy xy y yx y z
Definicioacuten- (Laplaciano) Si f es un campo escalar de clase C2 el Laplaciano de f se define como un campo escalar de la siguiente forma
2 2 2
2
2 2 2xx yy zz
f f ff f f f f
x y z
Ejemplos- Determine la divergencia de los siguientes campos escalares g1(x
y z) = xy2z
3 g2(x y z) = x
2 + y
2 + z
2
2 2 2
2 2 3 2 3 2 3 2 3 3 2 2
2 2 2( ) ( ) ( ) 2 3 f f xy z xy z xy z y z yz xy z
x y z
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2( ) ( ) ( ) 6f f x y z x y z x y z
x y z
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Tarea nuacutemero 3 Trayectorias
Objetivo- Que el alumno sea capaz de comprender los conceptos de movimiento de una partiacutecula a lo largo de una trayectoria y de la importancia del uso de vectores en este tema 1- Si la trayectoria σ(t) = t2i+t2j define la trayectoria seguida por una partiacutecula con respecto al tiempo determine 1a- iquestEl tipo de trayectoria que describe 1b- Realice una graacutefica de la distancia recorrida por la partiacutecula con respecto al tiempo en los primeros tres segundos 1c- Determine el tipo de movimiento de la partiacutecula 1d- iquestSe puede afirmar que es un movimiento uniformemente acelerado 1e- Determine la aceleracioacuten y velocidad a los cuatro segundos 1f- Realice una graacutefica de su rapidez con respecto al tiempo 1g- Realice una graacutefica de sus aceleracioacuten con respecto al tiempo 1h- En la graacutefica de la trayectoria agregue graacuteficamente los vectores aceleracioacuten y velocidad 2- Realice lo mismo que en ejercicio anterior pero ahora con la funcioacuten γ(t) = Cos(t) i+5Sen(t)j 3- Dadas las funciones f(t) = 3t2i-4t3j+e2tk y g(t) = 4t3i+4t2j+e-2tk 3a- Determine la funcioacuten producto punto h = fg 3b- Determine la derivada de h 3c- Usando la regla de diferenciacioacuten determine la derivada de h y compruebe el inciso anterior 4a- Determine la funcioacuten producto cruz k = ftimesg 4b- Determine la derivada de h 4c- Usando la regla de diferenciacioacuten determine la derivada de h y compruebe el inciso anterior 5- Determine el Rotacional y la Divergencia del siguiente campo vectorial G(x y z) = 2xy i + 3xz j - 5xy k 6- Determine el gradiente y el Laplaciano del siguiente campo escalar f(xyz) = 4x2-3yz2 7- Dado el campo vectorial F(x y z) = 2xy i + x2 j +3z2 k 7a- Determine si F puede representar el gradiente de un campo escalar f 7b- En caso de ser afirmativa la respuesta del inciso anterior determine el campo escalar f 8- Pruebe que la divergencia del rotacional de un campo vectorial F=Pi+Qj+Rk es igual a cero Es decir la div rot F =0 9- Usando las reglas de diferinciacioacuten pruebe que
gfgfgf
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100 -x
Capitulo 4 Maacuteximos y miacutenimos
Es indispensable determinar en distintos problemas las soluciones oacuteptimas que permitan establecer por ejemplo los valores maacuteximos de produccioacuten o ahorrar el material en la construccioacuten de cierto equipo
Como se recordaraacute el gradiente de una funcioacuten indica la direccioacuten de
maacuteximo crecimiento esto se refleja en que si se toma la direccioacuten sugerida por este vector el valor de la funcioacuten aumenta en una vecindad del mismo asiacute si en un diagrama de un campo gradiente aparecen un punto en donde convergen la direccioacuten de todos los gradientes se encontraraacute que dicho valor debe de ser un valor maacuteximo para la funcioacuten de estudio Un diagrama de esta tipo se ejemplifica a continuacioacuten
Un diagrama en donde todos los vectores apuntan hacia fuera de un
punto indicaraacute que este punto debe de ser un valor miacutenimo de la funcioacuten Citemos el siguiente ejemplo de una variable con la finalidad de
centrarnos en el tema Una persona desea bardear un terreno en forma rectaacutengular cuanto debe de medir cada lado de manera tal que el aacuterea cercada sea maacutexima si se cuenta con 200 metros de malla
La funcioacuten que representa dicho modelo es
A(x) = x(100-x) x
Como se puede observar el aacuterea es cero si x es igual a cero o a cien con lo cuaacutel el lado x debe de estar en en intervalo [0 100] siendo estas las restricciones del problema Derivando la funcioacuten para obtener los valores critiacutecos se tiene que Arsquo(x) = 100 ndash 2x
Al igual la derivada a cero se concluye que el valor critico es x es igual a 50 Al derivar por segunda ocasioacuten se concluye que
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Arsquorsquo(x) = -2 Como la segunda derivada es siempre negativa se concluye que la funcioacuten alcanza un valor maacuteximo en el valor critico en este caso en x = 50 al interpretar dicho resultado se concluye que el terreno que optimiza la solucioacuten es un cuadrado Ejercicio- Que aacuterea se genera si el terreno es de forma circular Al resolver el ejercioacute anterior y comparar las aacutereas del cuadrado y del circulo se puede apreciar que el aacuterea del circulo es mayor pero en la praacutectica es poco atractivo cercar terrenos circulares por diversas razones pero en la naturaleza es comuacuten observar que las gotas de lluvia sean esferas esto permite el optimizar recursos y maacuteximizar el volumen del liacutequido contenido en la misma Se iniciara el estudio formal de maacuteximos y miacutenimos de funciones de varias variables observando las siguientes graficas con la finalidad de tener la idea clara de que es un maacuteximo o miacutenimo o un punto silla
En la primera de ellas se observa que la funcioacuten tiene un valor miacutenimo en la segunda se observa que la funcioacuten tiene un valor maacuteximo y en la uacuteltima la funcioacuten tiene un punto silla este se identifica el dirigirnos en una direccioacuten la funcioacuten crece mientras que en la otra la funcioacuten decrece
Definicioacuten- Una funcioacuten mn RRf tiene un valor maacuteximo local en x0 si en
una vecindad de dicho valor se cumple que la funcioacuten evaluada en todos los vecinos ninguno de ellos supera a f(x0) Es decir f(x0) f(x) para todo x en una vecindad de x0 El punto es llamado un maacuteximo absoluto si la funcioacuten toma el valor maacuteximo en dicho punto para todo valor de su dominio
Esto es muy similar cuando uno observa a los alumnos de un saloacuten de clases existe un alumno que tiene la mayor estatura si ninguno de sus compantildeeros lo supera Asiacute en la escuela el alumno de mayor estatura absoluta es aquel que supera a todo el plantel
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La definicioacuten para el miacutenimo local (absoluto) es similar
f(x0) f(x) para todo en una vecindad de x0 Por ejemplo la funcioacuten f(xy) = x2+y2 tiene un valor miacutenimo en el origen dado que en este valor la funcioacuten vale cero mientras que fuera de ahiacute siempre es positiva dado que todo nuacutemero real elevado al cuadrado es siempre positivo Ademaacutes dicho valor es un miacutenimo absoluto Como se menciono al inicio de esta capitulo el diagrama del campo
gradiente de esta funcioacuten y
xyxf
2
2)( indica que la funcioacuten tiene un valor
miacutenimo siendo la grafica del mismo la siguiente Sin embargo se requiere un criterio maacutes general y sistemaacutetico que permita establecer los posibles valores maacuteximos miacutenimos o puntos silla) Definicioacuten- (Un valor extremo) Si la funcioacuten posee un valor maacuteximo o miacutenimo este es llamado un valor extremo Definicioacuten- (Un valor critico) Un punto en donde la derivada de la funcioacuten se anula es llamado un valor critico Teorema- Todo valor extremo es un valor critico Es decir si f posee un valor extremo en x0 que pertenece a su dominio entonces la derivada de la funcioacuten en el punto x0 se anula Es decir Df(x0) = 0 Demostracioacuten- Sea l(t) una trayectoria que pasa a traveacutes por el punto x0 defina la composicioacuten de funciones h(t) = f(l(t)) donde l(t) = x0 + tv de donde lrsquo(t) = v y ademaacutes
))(()())(()( VtlftDltlDftDh (1)
Por otra parte como f posee un valor extremo en x0 suponga que dicho
valor es un maacuteximo entonces x0 seraacute a la vez un maacuteximo para la funcioacuten h y como h es una funcioacuten real esto significa que la derivada de h en dicho punto
se anula es decir 0)()0())0(()0( 0 vxfDllDfDh ahora como los
vectores )( 0xf y v no son necesariamente perpendiculares y el vector v a la
vez tampoco se anula entonces esto implica que el gradiente de f en x0 es igual a cero y por lo tanto f posee un valor criacutetico en x0
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Este resultado permite establecer posibles valores criacuteticos de una funcioacuten asiacute se menciona el siguiente ejemplo Ejemplo- Determine los posibles valores criacuteticos de las siguientes funciones (1) f(x y) = x2 + y2 y (2) g(x y) = 4x3 -12x + y2
Solucioacuten-
(1) 0
0
2
2)(
y
xyxf de aquiacute se concluye que dicho valor soacutelo
existe un valor criacutetico siendo este el origen el cuaacutel ya se clasifico en estos apuntes y resulto ser un valor miacutenimo
(2) 0
0
2
1212)(
2
y
xyxg de aquiacute se obtienen dos valores criacuteticos
que son (-10) y 1l (10) Los cuales se pueden clasificar el realizar el graacutefico del campo gradiente En donde se aprecia que en el punto (-10) la funcioacuten posee un punto silla mientras que en el punto (10) la funcioacuten posee un valor miacutenimo
Aquiacute se utilizaraacute el criterio del hessiano para determinar si el valor criacutetico es un maacuteximo un miacutenimo o un punto silla Solo se enunciara el teorema sin demostracioacuten para ver la misma puede revisar en el libro de Marsden Tromba de Caacutelculo Vectorial
Definicioacuten- El Hessiano de una funcioacuten 22 RRH de clase C2 se define como una funcioacuten cuadraacutetica que se escribe como
2
1
2
22
2
2
2
21212
1)(
h
h
y
f
yx
f
xy
f
x
f
hhhhH
Evaluada la matriz de las segundas derivas parciales en el valor criacutetico
Teorema- Si el Hessiano de una funcioacuten 2 RRf es definitivamente
positivo entonces la funcioacuten tiene un valor miacutenimo en dicho punto
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Corolario- Si la matriz asociada A=cb
ba de una forma cuadraacutetica dos
por dos es definitivamente positiva si y soacutelo si se cumple que agt0 y det A gt0
Teorema de una valor para un valor extremo miacutenimo- Una funcioacuten
2 RRf de clase C2 posee un valor extremo miacutenimo local en x0 elemento
del dominio de la funcioacuten si y soacutelo si se satisfacen las siguientes condiciones
(i) 0)( 0xx
f y 0)( 0x
y
f
(ii) )( 02
2
xx
f gt 0
(iii) )( 02
2
xx
f)( 02
2
xy
f)(
2
2
oxx
f)( 02
2
xx
f gt 0
Para un valor maacuteximo las condiciones (i) y (iii) se mantienen la uacutenica que cambia en la segunda en donde esta debe ser negativa Para un punto silla se requiere que al menos no se cumplan las condiciones de valor maacuteximo ni miacutenimo y que la uacuteltima condicioacuten (iii) sea distinta de cero En caso contrario el criterio no permite clasificar dicho valor como se mostraraacute en un ejemplo maacutes adelante Ejemplo- Ahora continuando con los ejemplos anteriores
(1) Para f(xy) = x2+y2 el valor critico es el origen y el hessiano asociado es
2
1
212100
02
2
1)(
h
hhhhhH
Como se pude apreciar el primer valor es positivo 2 gt0 y el determinante de
la funcioacuten 20
02det es igual a 4 que a la vez es positivo de manera tal que la
funcioacuten posee un valor miacutenimo en el origen
(2) g(x y) = 4x3 -12x + y2 los puntos criticos son (-10) y (10) y el hessiano asociado a esta forma cuadraacutetica es
2
1
212120
024
2
1)(
h
hxhhhhHg
Ahora al evaluar en los puntos se tiene En el (-10)
2
1
212120
024
2
1)(
h
hhhhhHg
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En donde -24 lt 0 y det Hg = -48 lt0 con lo cuaacutel debe de ser un punto silla
En el (10)
2
1
212120
024
2
1)(
h
hhhhhHg
En donde 24 gt 0 y det Hg = 48 gt0 con lo cuaacutel debe de ser un punto miacutenimo
Tal como se habiacutea estimado en la graacutefica del campo gradiente de la
solucioacuten anterior A continuacioacuten se muestra un bosquejo de dicha graacutefica realizado en el derive
Ejemplos de cuando el criterio permite clasificar los
valores criacuteticos
Ejemplo- A continuacioacuten se mostrara un ejemplo de cuando el criterio no concluye asiacute si la funcioacuten es h(xy) = x4+y4 al calcular las derivas parciales mixtas fx=4x3 y fy=4y3 se encuentra un solo valor critico el origen miestras que la matriz asociada del hessiano es
2
2
120
012
y
x y al evaluar en el origen queda expresada como
00
00
)0(120
0)0(122
2
En donde se puede apreciar que fallan todos los criterios una inspeccioacuten de
la funcioacuten original permite ver que la funcioacuten tiene un valor miacutenimo en dicho punto pero no es una generalizacioacuten es decir no se puede decir que siempre que aparezca la matriz de ceros se tenga un valor miacutenimo dado que si se analiza ahora a las funciones k(xy) = -x4-y4 y p(xy) = x4-y4 ambas tienen como calor extremo al origen y la matriz hessiana asociada a la forma cuadraacutetica evaluada en el origen es la matriz de ceros
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Ejemplo- Otro ejemplo en donde el criterio no concluye es el siguiente en
donde el determinante de la matriz H es cero debido a que la segunda derivada de la funcioacuten f con respecto a la segunda variable se anula (fyy = 0) y no se puede asegurar que se tenga un punto maacuteximo miacutenimo o silla
Las funciones f1(xy) = x2 f2(xy) = -x2 y f3(xy) = x3 presentan este
problema a continuacioacuten se muestran las graficas de dichas funciones
En cada una de ellas los puntos criacuteticos son las parejas en el plano (0 y) Es decir el eje coordenado X
El Hessiano respectivo de cada uno es el siguiente
00
02)(1 yxH
00
02)(2 yxH
00
03)(3
xyxH
Note que el determinante de cada de estas matrices se hace cero y que fyy
se anula en cada caso
Ahora observando las graacuteficas se verifica visualmente que en la primera se tienen valores miacutenimos en la segunda maacuteximos y en la uacuteltima no es ni maacuteximo ni miacutenimo o punto silla
Ejemplo- Citemos otro ejemplo en donde el criterio de maacuteximos y miacutenimos
no concluye Determine los puntos criacuteticos de la funcioacuten h(xy) = x4 Se tiene que hx=4x3=0 y hy=0 de donde se deduce que la funcioacuten tiene
un nuacutemero infinito de puntos criacuteticos estos son las parejas ordenadas en el plano (0y)
La matriz del Hessiano asociado es
00
012)(
2
1
xyxH y evaluando en el punto
00
00)0(1 yH
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40
En donde no se puede clasificar a los valores criacuteticos sin embargo
realizando una inpeccioacuten de la funcioacuten se puede concluir que todos los puntos representan valores miacutenimos de la funcioacuten original a continuacioacuten se muestra la grafica de la misma
El Hessiano para n variables y el criterio de clasificacioacuten
Cuando la funcioacuten tiene maacutes de dos variables se genera una matriz asociada H en cada uno de los valores criacuteticos de la siguiente forma
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
H
21
22221
11211
De aquiacute se definen las siguientes matrices
111 aH 2221
1211
2aa
aaH hellip HH n
Los criterios para los valores criacuteticos de la funcioacuten RRf n son los
siguientes [Miacutenimo Local] La funcioacuten f posee un valor extremo local miacutenimo en x0 si todos los determinantes de las submatrices evaluados en x0 son positivos
0det 1H 0det 2H hellip 0det 2H (+ + hellip +)
En este caso la forma cuadraacutetica se puede probar que es definitivamente positiva [Maacuteximo Local] La funcioacuten f posee un valor extremo local miacutenimo en x0 si todos los determinantes de las submatrices evaluados en x0 se alternan en signo pero el primero de ellos debe ser negativo
0det 1H 0det 2H hellip 0det 2H (- + - + hellip )
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En este caso la forma cuadraacutetica se puede probar que es definitivamente negativa [Punto Silla] La funcioacuten f posee un punto silla si no se cumplen los criterios de valor miacutenimo o maacuteximo y al menos uno de los subdeterminantes es distinto de cero
Existe un i tal que 0det iH
Ejemplos- Determine los valores criacuteticos de las siguiente funcioacuten f(x y z w) = x3 - 3x + y3 ndash 3y + z2 + w2 y claacutesifiquelos Solucioacuten- Al resolver las siguientes ecuaciones
033 2 xxf x 033 2 yyf y 02zf z y 033 2 wwfw
Se obtienen cuatro puntos criacuteticos que son (-1-100) (-1100) (1-100) y (1100) ahora se genera la matriz del hessiano asociado siendo esta
2000
0200
0060
0006
y
x
H
Al evaluar en cada uno de los puntos se tienen las siguientes matrices
2000
0200
0060
0006
)0011(H
2000
0200
0060
0006
)0011(H
2000
0200
0060
0006
)0011(H y
2000
0200
0060
0006
)0011(H
Los sub determinantes para cada uno de los puntos son [(-1 -1 0 0)] -6 36 72 144 que clasifica como un punto silla [(-1100)] -6 -36 -72 -144 que clasifica como un punto silla [(1-100)] 6 -36 -72 -144 que clasifica como un punto silla [(1100)] 6 36 72 144 que clasifica como un valor miacutenimo De manera tal que la funcioacuten tiene tres puntos silla y un valor miacutenimo
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Ejercicios- Determine los puntos criacuteticos de las siguientes funciones y claacutesifiquelos utilizando el criterio del Hessiano
(1) f(x y) = x2 - y2 (Silla de montar)
(2) g(x y) = 22 yx (Cono)
(3) h(x y z) = x4 - 2x2 + 2y3 -3y2 + z3-3 Ejercicio- Se requiere construir una lata con tapa que contenga un litro de agua con el miacutenimo de material determine las condiciones que oacuteptimizan el problema Ejercicio- Determine el producto maacuteximo de tres nuacutemeros si la suma de ellos debe ser 40 Ejercicio- Determine la distancia miacutenima del origen a la graacutefica de la funcioacuten f(xy) = 4-x2+y Ejercicio- Estudie los ejemplos resueltos que trae el libro de Marden Tromba en el capitulo 4 en especial el referente a la ecuacioacuten de miacutenimos cuadrados Ejercicio- Determine la ecuacioacuten lineal que mejor se ajusta a los puntos (12) (2 32) (3 389) (4 488) (5 55) Utilize el criterio de miacutenimos cuadrados en caso de que el modelo sea lineal (justifique la linealidad del mismo realice una graacutefica de los puntos y de la liacutenea que ajusta a los puntos) Ejemplo- (Aplicacioacuten) En este ejemplo dermina la distancia miacutenima del punto (100) a la graacutefica de una funcioacuten f(x y) = x2+y2
Solucioacuten- Todos los puntos que se encuentran sobre la graacutefica de la funcioacuten satisfacen la siguiente terna de valores en donde se observa que la tercer componente es la variable dependiente (x y x2+y2)
La distancia del punto (1 0 0) a los puntos que estaacuten sobre la graacutefica (x y x2+y2) Se define por medio de la funcioacuten
2222222 )()1()()001()( yxyxyxyxdyxfd
Para determinar el valor miacutenimo o maacuteximo de esta funcioacuten basta con
analizar su argumento dado que es un funcioacuten creciente Es decir Si x1lt x2
entonces f(x1) lt f(x2) lo que es vaacutelido para la funcioacuten )( xxf (ver graacutefica)
2x
1x
x1 x2
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43
De este modo la funcioacuten a maximizar es
2222222
11 )()1()()001()( yxyxyxyxdyxfd
De aquiacute al las derivadas parciales son
)(4)1(2)( 22
1 yxxxyxfd x y )(42)( 22
1 yxyyyxfd y
Igualando ambas ecuaciones a cero se puede establecer la siguiente
ecuacioacuten
)(4
)(4
2
2222
22
yxy
yxx
y
x (3)
De aquiacute si )00()( yx y 0y se concluye que -1=0 lo cual es una
contradiccioacuten Por otra parte si (xy)=(00) en la primera ecuacioacuten se tiene que 1=0 que es tambieacuten una contradiccioacuten Finalmente si se considera el caso en
que y=0 se obtiene de la siguiente ecuacioacuten 012 3 xx
El polinomio 12)( 3 xxxP tiene una raiacutez entre el cero y el 1 dado
que P(0)=-1 y P(1)=2 Con el anaacutelisis de raiacuteces racionales dos posibles raiacuteces
son 2
1 y como
2
1 estaacute entre cero y uno al usando divisioacuten sinteacutetica se
obtiene que 4
1
2
1P Asiacute que la raiacutez debe de estar en el intervalo 1
2
1
Ahora usando el meacutetodo de Newton con semilla en 2
10x se obtiene
que 6010
6
2
54
1
2
1
)(
)(
0
0
01xf
xfxx
Ahora al evaluar la funcioacuten en dicho punto se tiene que 0320)60(P el
cual es aceptable como raiacutez del polinomio en una sola interaccioacuten De manera tal que el punto criacutetico de la funcioacuten es el (060) El Hessiano asociado es
24128
82412)(
22
22
xyxy
xyyxyxH
Como se puede apreciar el primer elemento de la matriz es positivo independientemente de los valores de x e y Falta evaluar el determinante de H este es igual a
)64)2412)(2412()(det 222222 yxxyyxyxH
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44
Ahora evaluando en (06 0) se tiene 7421)443)(326()060(det H
Que tambieacuten es positivo de manera tal que se tiene un valor miacutenimo Es
decir la se obtuvo la distancia miacutenima
Maacuteximos y Miacutenimos con restricciones
Los muacuteltiplicadores de Lagrange permite determinar valores maacuteximos o miacutenimos de funciones con restricciones De este tipo de problemas esta lleno nuestro contorno desde el panedero que desea producir la maacutexima cantidad de pan pero con la restriccioacuten del capital que tiene o la posible venta del diacutea para que no tenga sobrantes
Citemos el siguiente ejemplo la graacutefica de paraboloide z = x2+y2 esta
graacutefica soacutelo tiene un valor miacutenimo en el origen sin embargo si esta restringida
al cuadrado unitario 1111 la funcioacuten alcanza cuatro puntos maacuteximos en
los puntos (-11)(-1-1) (1 -1) y (11) a saber dicho valor es 2 Como se observa en la figura
Ahora si se trabaja con la silla de montar con la misma restriccioacuten esta
funcioacuten tiene originalmente un punto silla en el origen pero al analizar las restricciones se contiene dos valores maacuteximos y dos miacutenimos en los puntos (10) (-10) (0-1) y (01)
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Muacuteltiplicadores de Lagrange Teorema- Dadas dos funciones fg Rn a R diferenciables en X0 elemento del dominio de ambas funciones Si Lc es el conjunto de nivel de valor c de la funcioacuten g y si f posee un valor maacuteximo miacutenimo o silla en la restriccioacuten Lc
entonces existe un nuacutemero real λ tal que )()( 00 XgXf
Se puede ver parte de la demostracioacuten de este teorema en el libro de Marsden Tromba Para clasificar los puntos criacuteticos se utiliza el criterio del Hessiano limitado el cuaacutel se define a partir de la funcioacuten auxiliar H(x1 x2 hellip xn) = f(x1 x2 hellip xn) - λ g(x1 x2 hellip xn)
nnnn
n
n
xxxxx
xxxxx
xx
hhg
hhg
gg
H
1
1111
10
||
Ahora defina los siguientes determinantes
22122
21111
210
|| 1
xxxxx
xxxxx
xx
hhg
hhg
gg
H
3323131
3222121
3121111
3210
|| 2
xxxxxxx
xxxxxxx
xxxxxxx
xxx
hhhg
hhhg
hhhg
ggg
H ||det|| HHn
Criterios para maacuteximos y miacutenimos con restricciones (Hessiano liacutemitado) [Miacutenimo Local] Se tiene un miacutenimo local si y soacutelo si todos los determinantes son negativos |H1| lt0 |H2| lt0 hellip |Hn|lt0 ( - - - - - hellip)
[Maacuteximo Local] Se tiene un maximo local si y soacutelo se inicia con un determinante positivo y luego se alternan los signos |H1| gt 0 |H2| lt 0 hellip |Hn|lt0 (+ - + - hellip)
[Punto del tipo Silla] Se tiene un punto tipo silla sino se satisface los criterios de maacuteximos o miacutenimos y al menos uno de los determinantes es distinto de cero Ejemplo- Determine si la funcioacuten f(xy)= x2 ndash y2 tiene valores criacuteticos en la restriccioacuten x2+y2=1
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)(2
2
2
2)( 00 Xg
g
g
y
x
y
x
f
fXf
y
x
y
x
de aquiacute se obtienen las ecuaciones 2x = 2 λx -2y = 2 λy x2 + y2 =1 Las soluciones de este sistema de ecuaciones son (-101) (101) (0-1-1) y (0-11) El Hessiano liacutemitado es
2202
0222
220
||
y
x
yx
H
El determinante es igual a det|H| = 8x2(1+λ) ndash 8y2(1-λ) ahora evaluando
cada uno de los puntos se tiene que det|H|(-101) = 16 gt 0 det|H|(101) = 16 gt 0 det|H|(0-1-1) = -16 lt 0 det|H|(0-11) = -16 lt 0
De manera tal que la funcioacuten posee dos valores maacuteximos en los puntos (-10) y (10) y por otra parte tiene dos valores miacutenimos en los puntos (0-1) y (0-1) Ejemplo- Determine si la funcioacuten f(xy)= x2+y2 tiene valores criacuteticos en la restriccioacuten x2-y2 le 4 Al iniciar este estudio se trabaja con el interior es decir x2-y2 lt 4 dando como resultado el anaacutelisis de maacuteximos y miacutenimos de una funcioacuten en general de donde el gradiente de f se anula uacutenicamente en el origen siendo este valor un miacutenimo como se habiacutea visto en un ejercicio anterior para la funcioacuten del paraboloide Ahora al trabajar sobre la frontera se usa el criterio de muacuteltiplicadores de Lagrange
)(2
2
2
2)( 00 Xg
g
g
y
x
y
x
f
fXf
y
x
y
x
de aquiacute se obtienen las ecuaciones 2x = 2 λx 2y = -2 λy x2 - y2 = 4
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Las soluciones de este sistema de ecuaciones son (-201) y (201) El Hessiano liacutemitado es
2202
0222
220
||
y
x
yx
H
El determinante es igual a det|H| = -8x2(1+λ) + 8y2(1-λ) ahora
evaluando en cada uno de los puntos se tiene que det|H|(201) = -64 gt 0 y det|H|(-201) = -64 lt 0
De manera tal que la funcioacuten posee dos valores miacutenimos en los puntos (-20) y (20)
Una anaacutelisis de la graacutefica de esta funcioacuten permite visualizar que dichos
puntos no son miacutenimos maacutes bien son puntos tipos silla y no es que el criterio falle sino maacutes bien que los valores son miacutenimos pero sobre el complemento es decir bajo la restriccioacuten x2-y2 ge 4 Ejemplo- Determine los valores criacuteticos de la funcioacuten f(xyz) = 2x+y+3z sujeta a la restriccioacuten x2+y2+z2 le 36 Solucioacuten- Un anaacutelisis de las condiciones iniciales muestra que la graacutefica a maximizar en un hiperplano restringido en su dominio a una esfera de radio 6 de acuerdo a estas condiciones la funcioacuten en su interior no debe tener valor criacuteticos y en la frontera debe tener un valor miacutenimo y un valor maacuteximo En el interior- Al derivar la funcioacuten original se tiene lo siguiente
3
1
2
)( 0
z
y
x
f
f
f
Xf
De aquiacute se observa que la funcioacuten no posee valores criacuteticos en todo su dominio tal y como se esperaba Frontera- Al utilizar las condiciones del los Muacuteltiplicadores de Lagrange se tiene lo siguiente
)(
2
2
2
3
1
2
)( 00 Xg
z
y
x
f
f
f
Xf
z
y
x
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De aquiacute se genera el siguiente sistema de ecuaciones 2 = 2λx 1 = 2λy 3 = 2λz x2+y2+z2=36
Resolviendo el sistema se concluye que 2
1
1yx amp
2
3z Ahora
sustituyendo en la uacuteltima ecuacioacuten se deduce que la funcioacuten posee dos valores criacuteticos que son
18
14
14
1427
14
149
14
1418amp
18
14
14
1427
14
149
14
1418
La funcioacuten auxiliar es H(xyzλ) = 2x+y+3z-λ(x2+y2+z2) donde Hx=2-2λx Hy=1-2λy Hz=3-2λz El Hessiano Liacutemitado es
2002
0202
0022
2220
||
z
y
x
zyx
H
De aquiacute
0
0)(8
202
022
220
|| 22
1si
siyx
y
x
yx
H
0576)(16
2002
0202
0022
2220
|| 22222 zyx
z
y
x
zyx
H
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De aquiacute se desprende que la funcioacuten f(xyz) = 2x+y+3z posee un valor miacutenimo
en el punto 18
14
14
1427
14
149
14
1418 restringido a x2+y2+z2 = 36 y un
maacuteximo en el punto 18
14
14
1427
14
149
14
1418
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Tarea nuacutemero 4 Maacuteximos y Miacutenimos
Objetivo- Que el alumno sea capaz de aprender a resolver problemas asociados a la vida real haciendo uso del caacutelculo de varias variables Aquiacute se enuncian los siguientes ejercicios adicionales dado que muchos de los mismos se fueron exponiendo a lo largo del capiacutetulo y se sugiere que se revisen los problemas resueltos y propuestos en la libros de la bibliografiacutea dado que las aplicaciones son muchas 1- Determine los valores maacuteximos y miacutenimos de la funcioacuten f(xy) = x +y sujeta a la restriccioacuten x2+2y2le18 (Realice un bosquejo de la graacutefica y se restriccioacuten)
2- Determine los valores maacuteximos y miacutenimos de la funcioacuten f(xy) = x2 +y2 sujeta a la restriccioacuten x+2y le 4 (Realice un bosquejo de la graacutefica y se restriccioacuten)
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Bibliografiacutea
1 Caacutelculo Vectorial Marsden amp Tromba Addison-Wesley Iberoamericana
2 Caacutelculo Multivariable James Steward Thomson Editores
3 Caacutelculo con Geometriacutea Anaacutelitica Zill Grupo Editorial Iberoameacuterica
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16
Capitulo 2 Funciones Vectoriales
En este capitulo se veraacuten temas relacionados con funciones de varias variables que van a los nuacutemeros reales (a las cuales se les llaman funciones reales) o que van a maacutes dimensiones
Cuando uno habla de este tema es importante recalcar que en la vida cotidiana se presentan diversas aplicaciones con el hecho de manejar varias variables que van desde la preparacioacuten de un cafeacute hasta el hecho de planear la agenda diaria de coacutemo distribuir el tiempo
Citemos el siguiente ejemplo En un estudio de calidad de vida de los sentildeores casados y con hijos se realizaraacute una evolucioacuten final de la satisfaccioacuten de su vida cotidiana en base a una encuesta en donde se mediraacuten diversos factores de vida familiar para esto se tiene la disyuntiva de poder distribuir los tiempos de Trabajo diversioacuten ejercicio jugar con los nintildeos convivir con su pareja visitar a familiares convivir con amigos Entonces no cabe duda que los resultados de la encuesta estaraacuten vinculados con los tiempos destinados a cada actividad asiacute por ejemplo
Persona Trabajo Diversioacuten Ejercicio Nintildeos Pareja Familiares Amigos
A 30 20 5 5 10 8 2
B 50 5 2 2 10 10 18
Otro ejemplo se presenta el preparar un cafeacute dado que aunque este sea
para la misma persona si usa distintos cantidades de cafeacute azuacutecar leche o temperatura final del mismo el resultado del sabor del mismo cambiaraacute notablemente Cabe sentildealar que cada individuo mide el grado de satisfacioacuten de forma diferente y a la vez esta se realiza en forma cualitativa dado que no se puede medir el grado de satisfacioacuten debido a que cada individuo tiene distintos gustos un cafeacute con poca azuacutecar para una persona puede ser para otra que este bien o que este muy azucarado
Por otra parte no es lo mismo tomar un cafeacute en un diacutea caluroso a una o
en un diacutea con friacuteo Siendo esta otra variable de estudio Como se puede apreciar el resultado final depende rotundamente de la cantidad que se mezcle de cada uno de los ingredientes con los que se cuentan Es decir es un problema de varias variables
Pongamos el siguiente ejemplo financiero una persona desea invertir en el banco en dos cuentas individuales siendo que en la primera da un rendimiento de 2 mensual y en la segunda del 3 si se desea saber cual es la ganancia mensual esto se puede escribir para el primer mes de la siguiente forma
G(xy) = 002x + 003y siendo x la cantidad de dinero aportada en la primer cuenta y la cantidad de dinero aportada en la segunda cuenta Esta seriacutea la ganancia del primer mes Asiacute si invierte mil pesos en la primer cuenta y dos mil en la segunda la ganancia del primer mes seraacute de ochenta pesos
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G(10002000) =002(1000)+003(2000) = 20 + 60 = 100
Cabe sentildealar que las aplicaciones en economiacutea en donde aparecen maacutes
de una variable abundan y que anaacutelisis maacutes completos de estados de cuenta con intereses o deudas en tiendas de conveniencia se pueden representar mediante funciones de varias variables debiendo desarrollar cada una de ellas en su debido tiempo
Por otra parte las aplicaciones en procesos de produccioacuten industrial son diversos y permiten evaluar el producto final que llegaraacute al cliente en cuanto a la calidad del mismo
Si un estudiante dedica cierta cantidad de horas de estudio y por otra parte se mide la atencioacuten prestada en sus horas de estudio Se pueden proponer lo siguiente No se esperariacutean los mismos resultados si dedica tres horas de estudio con poca atencioacuten a que si dedica la misma cantidad de horas de estudio con mucha atencioacuten Cabe sentildealar que la atencioacuten prestada depende del intereacutes de estudiante en la materia el gusto por la misma o la importancia que preste en conocer temas nuevos
Funcioacuten Vectorial
Se comenzaraacute el estudio de funciones vectorial de varias variables especificando algunos detalles sobre las mismas en principio una funcioacuten vectorial tiene como dominio un subconjunto de Rn y un conjunto de llegada esta en Rm
Asiacute si el dominio A tiene tres variables se dice que el dominio esta definido en R3 las tres variables se pueden denotar por x y z Ahora si antildeadimos que la funcioacuten en cuestioacuten refleja algunos rasgos de las variables anteriores por ejemplo si se considera importante la suma de las primeras dos el producto de la segunda y tercera Entonces se dice que la funcioacuten tiene como conjunto de llegada a dos variables en la primera se refleja una suma mientras que en la segunda se observa una multiplicacioacuten
Entonces la forma de escribir en la primera de ellas es x + y mientras que la segunda es yz asiacute la funcioacuten queda expresada como
F(x y z) = (x+y yz)
Una funcioacuten que se puede observar diariamente es la de la temperatura en una habitacioacuten considerando cada punto en el espacio de la habitacioacuten entonces el dominio esta en tres dimensiones y la imagen de la funcioacuten refleja la temperatura en cada punto de la misma observe que esta puede cambiar si se encuentra cercas de una ventana o de la estufa
Aquiacute T(x y z) Muestra la temperatura en cada punto de una habitacioacuten faltariacutea encontrar la ecuacioacuten matemaacutetica que modele dicho comportamiento
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Como se puede observar el poder estudiar un fenoacutemeno real por medio de un modelo matemaacutetico es fundamental para poder realizar predicciones del mismo por medio de las propiedades de la funcioacuten asociada al mismo como el hecho de que la funcioacuten sea creciente que tenga un valor maacuteximo Se mostraran algunos ejemplos maacutes adelante con la finalidad de motivar el estudio de los fenoacutemenos reales por medio de las matemaacuteticas Definicioacuten- (Funcioacuten) Una funcioacuten es una regla de asignacioacuten entre dos conjuntos A y B que asigna a cada elemento del conjunto A uno y soacutelo uno del conjunto B El conjunto de partida A se le denomina el dominio de la funcioacuten mientras que el conjunto de llegada es B se le conoce como el codominio de la funcioacuten En el caso de varias variables se tiene que A es un subconjunto de Rn mientras que el conjunto B es un subconjunto de Rm Aquiacute es importante que a ninguacuten elemento del dominio se le asigne al mismo tiempo dos elementos del codominio y a la vez que a ninguno del dominio quede sin ser asignado Un ejemplo de esto se presenta en la siguiente funcioacuten que va del conjunto dominio A = 1 2 3 al conjunto B = 2 4 6 8 al definir la funcioacuten f que asigna a cada elemento del dominio con su doble se tiene que f(1) = 2 f(2) = 4 y f(3) = 6 Ahora una funcioacuten de dos variables se puede definir a partir de los conjuntos C = (12) (23) (34) (36) y D =3 4 5 6 7 8 9 en donde la funcioacuten g C D representa la suma de los diacutegitos de cada pareja ordenada
En este caso g(12) = 3 g(23) = 5 y asiacute sucesivamente Cabe sentildealar que la pareja ordenada (12) es distinta a la pareja (21) en donde esta uacuteltima no pertenece dominio de la funcioacuten
6 5 Suma g(12) = 3 4 3 2 (12)
1 (21) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 0 1 2 3 4 5 6 Las parejas (12) y (21) ocupan distintas posiciones en el plano La segunda de ellas no pertenece al dominio de la funcioacuten de manera tal aunque se pudiera evaluarla pareja ordenada no se contempla por el hecho de que la funcioacuten no esta definida en dicho valor
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Un ejemplo de esta funcioacuten ocurre si consideramos el total que se tiene que pagar en una tienda despueacutes de comprar dos artiacuteculos distintos Otro de ellos se presenta al tomar una evaluacioacuten de calidad de cierto artiacuteculo en donde se van sumando los puntos y no necesariamente serian dos variables
Otra caracteriacutestica que se presenta en esta tipo de funciones es que los valores esteacuten bien definidos al momento de evaluar como el hecho de que no se puede dividir entres cero y no se pueden sacar raiacuteces de nuacutemeros negativos Este hecho es importante para detallar el dominio de algunas funciones
asiacute el dominio de la funcioacuten xxk 4)( esta restringido al hecho de que la
variable x sea menor a cuatro dado que el argumento 4-x debe de ser no negativo es decir 4-x 0 y de aquiacute se tiene que 4 x
Cuando se involucran dos variables un ejemplo es encontrar el dominio
de la funcioacuten yxyxh 44)( y por analogiacutea con el problema anterior
se sabe que 4 x y a la vez que 4 y quedando el dominio descrito de la siguiente manera D = (xy) 4 x 4 y
6 D Dominio de la funcioacuten 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7
Ejemplo- Determine el dominio de la funcioacuten 2 2( ) 9 h x y x y Aquiacute se tiene
que el argumento de dicha funcioacuten debe de ser positivo en donde el dominio
de la funcioacuten es 2 29 0x y que es equivalente a 2 29 x y que representa
a un ciacuterculo de radio 3 y centrado en el origen
Si la funcioacuten es 2 2
1( )
9h x y
x y el dominio es casi el mismo
eliminando en donde el argumento se hace cero debido a que no estaacute definida la divisioacuten entre cero siendo el dominio el mismo circulo del ejemplo anterior pero sin la orilla
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Como se puede apreciar el dominio de estas funciones estaacute definido por regiones en el plano cartesiano cuando el dominio de la funcioacuten estaacute contenido en R2
Derivadas Parciales La derivada parcial de una funcioacuten de varias variables consiste en derivar la funcioacuten con respecto a la variable en cuestioacuten y dejar a las otras variables fijas como si fuesen constantes Por ejemplo al derivar la funcioacuten f(x y z) = x2 + 3xy3 - 3xz las derivadas de f con respecto a x y y z se describen a continuacioacuten y se denotan cada una de ellas por medio de los simbolos fx fy y fz fx(x y z) = 2x + 3y3 - 3z fy(x y z) = 9xy2 fz(x y z) = - 3x Definicioacuten- (Gradiente de una funcioacuten) El gradiente de una funcioacuten real se define como el vector que contiene en sus componentes a sus primeras derivadas parciales Asiacute para el ejemplo anterior el gradiente de f es y se denota por
3
2
2 3 3
9
3
x
y
z
f x y z
f f xy
f x
Ejemplo- Determine el gradiente de las siguientes funiones g(xy)=(x2 y4) y h(xyzw) = 2x+y2-3z+8w
3
2( )
4
x
y
h xh x y
h y
2
2( )
3
8
x
y
z
w
g
g yg x y z w
g
g
El vector gradiente tiene varias propiedades que son muy uacutetiles una de ellas nos indica la direccioacuten de maacuteximo crecimiento y otra de ellas es que es un
vector tangente a las curvas de nivel de una funcioacuten
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Definicioacuten- (Derivada Direccional) La derivada direccional de una
funcioacuten en un punto (x0 y0) y en direccioacuten de un vector v=(AB) se define como el producto del gradiente de la funcioacuten evaluado en el punto (x0 y0) por el vector V dividido entre la norma de mismo vector
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Tarea nuacutemero 2 materia de Caacutelculo 3 Objetivo- Que el alumno sea capaz de interpretar la nocioacuten de liacutemite en varias variables identifique la graacutefica de funciones y haga uso de la derivadas parciales 1- Determine el dominio de las siguientes funciones
(1a) f(x y z) = 2221 zyx
(1b) g(x y) = xy
2
(1c) f(x y) = xy
(1d) g(x y) = y4
(1e) f(x y) = y
x
4
4
(1f) h(x y) = 24
1
xy
2- Realice un bosquejo de las siguientes graacuteficas
22 zyx 22 2zxy 22 yxz 222 yxz
3- Determine los siguientes liacutemites
(31) xyxyxyxf y 210)( 3 cuando (xy) tiende a (12)
(32) yx
zyzxzyxf
33
)( cuando (xy) tiende a (112)
(33) )00()(
)00()(
0
3
3
)(
44
32
yx
yx
Siacute
Siyx
yx
yxk cuando (xy) tienden a (00)
En caso de existir indique haciendo uso de la nocioacuten
(34) )()(2
zxyxxxy
xxyyxzyxF z cuando (xyz) tiende a (012)
4- Indique de las funciones del ejercicio anterior son continuas y en que dominio 5- Determine si las funciones del ejercicio tres son de clase C1 6- Determine la ecuacioacuten del plano tangente a la graacutefica de la funcioacuten g(xy) = x4-10y3 en el punto (1-1) y en el punto (12) grafique en la computadora y agregue en el documento de la tarea 7- Determine los conjunto de nivel de valor -2 -1 0 1 2 de las funciones (7a) f(x y) = 3x2 + 3y2
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(7b) g(x y) = 22 44 yx
(7c) h(x y) = 1 ndash y + x2 (7d) k(x y z) = x2 + y2 + z2 Indique las graacuteficas en computadora y agregue en el reporte
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Capiacutetulo 3
Trayectorias
En este capiacutetulo se realiza el estudio de las propiedades de las funciones vectoriales es decir se hace incapie en el concepto de funcioacuten y la de un vector
Este concepto permite describir entre otras cosas el camino seguido por una partiacutecula en el espacio con el ingrediente adicional de tener a la mano los conceptos de velocidad y aceleracioacuten derivados a partir de una sola ecuacioacuten aquella que guarda la relacioacuten de posicioacuten de la partiacutecula con respecto al tiempo
Por ejemplo al mover una onda esta describe un movimiento circular si
la onda se suelta un objeto puesto en ella sale disparado en forma tangencial Este movimiento se puede representar con vectores y debe de expresar que la velocidad sea tangente a la trayectoria que sigue dado que la piedra abandona la onda en liacutenea recta
Si esto se extrapola al vuelo de una mosca se puede inferir que la velocidad de la misma sea tangencial a la trayectoria que va recorriendo en cada punto esto se muestra en la siguiente graacutefica
Observe que el hecho de contar con la orientacioacuten del vector velocidad permite no soacutelo inferir la velocidad de escape de la partiacutecula sobre la curva sino a la vez conocer la orientacioacuten del movimiento de la misma
Definicioacuten- (Trayectoria) Una trayectoria es una funcioacuten que parte de los nuacutemeros reales al espacio n Euclidiano Es decir es una funcioacuten de la forma
))()()(()( 21 txtxtxt n
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Caso particular de una trayectoria de los reales a plano En el caso de una trayectoria de los reales al plano se puede ilustrar con el siguiente diagrama
σ(a) σ(b) a b
2][ Rba ))()(()( tytxt
Una forma de ilustrar esto es pensar que la variable t es el tiempo y la imagen corresponde a la trayectoria de un objeto en el plano asiacute que el tiempo t=a la partiacutecula se encuentra en el punto σ(a) que es el inicio del recorrido de la misma mientras que tiempo final t=b se localiza al final de la trayectoria de estudio
Se puede observar una flecha indicativa del sentido de la partiacutecula a lo largo de la trayectoria
Ecuacioacuten Parametrica y Cartesiana de una curva
Ejemplo- Dada la trayectoria )()( 2ttt con 22t realice una
graacutefica de dicha trayectoria
t ))()(()( tytxt
-2 )42()(t
-1 )11()(t
0 )00()(t
1 )11()(t
2 )42()(t
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Como se puede apreciar la imagen de la trayectoria que recibe el
nombre de curva es una paraacutebola esto se puede ver si se realiza lo siguiente
Como x = t y = t2 entonces se puede deducir que y=x2 la ecuacioacuten correspondiente a la graacutefica de una paraacutebola esta ecuacioacuten corresponde a sus coordenadas cartesianas por otra parte si se rescribe en forma de trayectoria se dice que la ecuacioacuten es su ecuacioacuten cartesiana dado que depende de un solo paraacutemetro
Parametrizacioacuten de una funcioacuten real Si y es una variable dependiente de la variable x es decir existe
una regla de asignacioacuten f tal que y = f(x) con bxa En donde a
cada elemento x le asigna uno y soacutelo un valor y La graacutefica de esta funcioacuten se debe de ver como un trazo en el plano de la siguiente forma
La graacutefica no puede ser de la siguiente forma
y2
y3
y1 y4
X1 X2
Note que al valor de x2 le asigna tres valores de y lo cual no
cumple con las condiciones para que f sea una funcioacuten Ahora la graacutefica de una funcioacuten de esta tipo no es otra cosa que
la imagen de una trayectoria la cual se puede parametrizar de la siguiente forma
Como y = f(x) entonces defina x = t y por consiguiente y=f(t) en
donde bta
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-4 -2 2 4
-30
-20
-10
10
20
30
-2 -1 1 2
-2
-1
1
2
Asiacute en el caso de la paraacutebola la parametrizacioacuten adecuada es x
=t y = t2 tal como estaba planteada originalmente Ahora si la funcioacuten es y = 2x3-10x con 44 x entonces la
parametrizacioacuten adecuada es
)102()( 3 tttt 44 t
La graacutefica de esta curva asociada a la trayectoria es
Parametrizacioacuten de una circunferencia Elipse e Hipeacuterbola
La ecuacioacuten cartesiana de una circunferencia con centro en el origen y
radio dos estaacute dada por 422 yx Al intentar escribir esta ecuacioacuten en
funcioacuten de un solo paraacutemetro se requiere despejar a la variable y obteniendo
dos funciones que son 24 xy Con 22 x
La graacutefica de esta curva permite visualizar que no pertenece a una
funcioacuten sino maacutes bien a dos que son las enunciadas anteriormente y como se ve a continuacioacuten
24 xy
24 xy
Una forma de representar esta curva es por medio de dos trayectorias
)4()( 2
1 ttt y )4()( 2
2 ttt 22t
Una forma alternativa de representar esta curva es por medio del uso de coordenadas polares en donde x=rCos(t) y= rSen(t) como el radio es fijo y es igual a dos estas ecuaciones se pueden escribir en funcioacuten de un solo paraacutemetro ldquotrdquo x=2Cos(t) y=2Sen(t) note que al evaluar x2+y2=4Cos2(t)+4Sen2(t) = 4(Cos2(t)+Sen2(t))=4 con lo cual satisface la
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ecuacioacuten de la circunferencia quedando expresada la trayectoria de la siguiente forma
σ(y) = (2Cos(t) 2Sen(t) con 0letle2π En esta ecuacioacuten define por completo a la curva auacuten y cuando la
ecuacioacuten original no es una funcioacuten siendo esto una ventaja del estudio de la trayectorias
Ejemplo- La parametrizacioacuten de la elipse 12
2
2
2
b
y
a
x queda
expresada por x = aCos(t) y=bSen(t) se deja como ejercicio comprobar este resultado
Ejemplo- La parametrizacioacuten de la hiperbola 12
2
2
2
b
y
a
x queda
expresada por x = aCosh(t) y=bSenh(t) en donde se trabaja con las funciones de Seno y Coseno hiperboacutelicas se deja como ejercicio comprobar este resultado (aunque soacutelo permite representar el lado correspondiente a los cuadrantes I y IV en donde la x es no negativa
Derivada de una trayectoria La derivada de una trayectoria es un vector tangente a la curva esto se
deriva del siguiente anaacutelisis
Dada la trayectoria σ(t) se grafican la posicioacuten de la curva al tiempo t y t+h luego trace el vector asociado a la liacutenea secante que une los puntos de aquiacute al tomar valores cada vez maacutes pequentildeos de h el vector secante se convierte en un vector tangente a la curva como se muestra a continuacioacuten
Por otra parte el anaacutelisis vectorial de este cociente es
)()()(
0
tt
tht
h
Liacutem
Es decir la derivada de la trayectoria y el vector resultante es
tangente a la curva
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Asiacute para el caso de una curva en el plano la trayectoria se puede describir por medio de dos funciones x(t) y(t) de la siguiente forma
)(
)()(
ty
txt
En donde la derivada de esta funcioacuten es
)(
)()(
ty
txt
Vector tangente a la graacutefica de una circunferencia de radio R Ahora si se tiene la parametrizacioacuten de una circunferencia esta esta
dada por σ(t) = ( RCos(t) R Sen(t))
Y X
Un vector tangente tiene que cumplir que su producto punto tiene que
ser cero de aquiacute si V=(AB) al multiplicarlo por el vector σ su producto punto tiene que ser cero
De aquiacute que σ(t)V = ARCos(t) + BRSen(t) = 0 Existiendo muchas soluciones a este sistema de ecuaciones siendo una
de ellas cuando A = Cos(t) B=-Sen(t)
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Vector trasladado
Siendo este un vector tangente a la curva ahora al derivar las
componentes xrsquo(t) = -RSen(t) y(t) = RCos(t) que es un muacuteltiplo escalara del vector tangente mostrado anteriormente
Definicioacuten- (Rotacional) El rotacional de un campo vectorial
F=Pi+Qj+Rk de clase C1 de define como el vector
i j k
RotFx y z
P Q R
Ejemplos- Determine el rotacional de los siguientes campos vectoriales
F1=xi+yj+zk F2=x2yi-xy
2j-3zyk
Solucioacuten-
1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0
i j k
RotF z y i z x j y x kx y z y z x z x y
x y z
2 2 2 2
2
2 2
( 3 ) ( ) ( 3 ) ( ) ( ) ( )
3
i j k
RotF zy xy i zy x y j xy x y kx y z y z x z x y
x y xy zy
2 2
2
2 2
3 0
3
i j k
RotF z i j y x kx y z
x y xy zy
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Definicioacuten- (Divergencia) Si F es un campo vectorial de clase C1 la divergencia de F se define como un campo escalar de la siguiente forma
( )P Q R
divF div Pi Qj Rkx y z
Ejemplos- Determine la divergencia de los siguientes campos vectoriales F1=xi+yj+zk F2=x
2yi-xy
2j-3zyk
Solucioacuten-
1 ( ) ( ) ( ) ( ) 3divF div xi yj zk x y zx y z
2 2 2 2
2 ( 3 ) ( ) ( ) ( 3 ) 2 2 3 3divF div x yi xy j zyk x y xy zy xy xy y yx y z
Definicioacuten- (Laplaciano) Si f es un campo escalar de clase C2 el Laplaciano de f se define como un campo escalar de la siguiente forma
2 2 2
2
2 2 2xx yy zz
f f ff f f f f
x y z
Ejemplos- Determine la divergencia de los siguientes campos escalares g1(x
y z) = xy2z
3 g2(x y z) = x
2 + y
2 + z
2
2 2 2
2 2 3 2 3 2 3 2 3 3 2 2
2 2 2( ) ( ) ( ) 2 3 f f xy z xy z xy z y z yz xy z
x y z
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2( ) ( ) ( ) 6f f x y z x y z x y z
x y z
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Tarea nuacutemero 3 Trayectorias
Objetivo- Que el alumno sea capaz de comprender los conceptos de movimiento de una partiacutecula a lo largo de una trayectoria y de la importancia del uso de vectores en este tema 1- Si la trayectoria σ(t) = t2i+t2j define la trayectoria seguida por una partiacutecula con respecto al tiempo determine 1a- iquestEl tipo de trayectoria que describe 1b- Realice una graacutefica de la distancia recorrida por la partiacutecula con respecto al tiempo en los primeros tres segundos 1c- Determine el tipo de movimiento de la partiacutecula 1d- iquestSe puede afirmar que es un movimiento uniformemente acelerado 1e- Determine la aceleracioacuten y velocidad a los cuatro segundos 1f- Realice una graacutefica de su rapidez con respecto al tiempo 1g- Realice una graacutefica de sus aceleracioacuten con respecto al tiempo 1h- En la graacutefica de la trayectoria agregue graacuteficamente los vectores aceleracioacuten y velocidad 2- Realice lo mismo que en ejercicio anterior pero ahora con la funcioacuten γ(t) = Cos(t) i+5Sen(t)j 3- Dadas las funciones f(t) = 3t2i-4t3j+e2tk y g(t) = 4t3i+4t2j+e-2tk 3a- Determine la funcioacuten producto punto h = fg 3b- Determine la derivada de h 3c- Usando la regla de diferenciacioacuten determine la derivada de h y compruebe el inciso anterior 4a- Determine la funcioacuten producto cruz k = ftimesg 4b- Determine la derivada de h 4c- Usando la regla de diferenciacioacuten determine la derivada de h y compruebe el inciso anterior 5- Determine el Rotacional y la Divergencia del siguiente campo vectorial G(x y z) = 2xy i + 3xz j - 5xy k 6- Determine el gradiente y el Laplaciano del siguiente campo escalar f(xyz) = 4x2-3yz2 7- Dado el campo vectorial F(x y z) = 2xy i + x2 j +3z2 k 7a- Determine si F puede representar el gradiente de un campo escalar f 7b- En caso de ser afirmativa la respuesta del inciso anterior determine el campo escalar f 8- Pruebe que la divergencia del rotacional de un campo vectorial F=Pi+Qj+Rk es igual a cero Es decir la div rot F =0 9- Usando las reglas de diferinciacioacuten pruebe que
gfgfgf
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100 -x
Capitulo 4 Maacuteximos y miacutenimos
Es indispensable determinar en distintos problemas las soluciones oacuteptimas que permitan establecer por ejemplo los valores maacuteximos de produccioacuten o ahorrar el material en la construccioacuten de cierto equipo
Como se recordaraacute el gradiente de una funcioacuten indica la direccioacuten de
maacuteximo crecimiento esto se refleja en que si se toma la direccioacuten sugerida por este vector el valor de la funcioacuten aumenta en una vecindad del mismo asiacute si en un diagrama de un campo gradiente aparecen un punto en donde convergen la direccioacuten de todos los gradientes se encontraraacute que dicho valor debe de ser un valor maacuteximo para la funcioacuten de estudio Un diagrama de esta tipo se ejemplifica a continuacioacuten
Un diagrama en donde todos los vectores apuntan hacia fuera de un
punto indicaraacute que este punto debe de ser un valor miacutenimo de la funcioacuten Citemos el siguiente ejemplo de una variable con la finalidad de
centrarnos en el tema Una persona desea bardear un terreno en forma rectaacutengular cuanto debe de medir cada lado de manera tal que el aacuterea cercada sea maacutexima si se cuenta con 200 metros de malla
La funcioacuten que representa dicho modelo es
A(x) = x(100-x) x
Como se puede observar el aacuterea es cero si x es igual a cero o a cien con lo cuaacutel el lado x debe de estar en en intervalo [0 100] siendo estas las restricciones del problema Derivando la funcioacuten para obtener los valores critiacutecos se tiene que Arsquo(x) = 100 ndash 2x
Al igual la derivada a cero se concluye que el valor critico es x es igual a 50 Al derivar por segunda ocasioacuten se concluye que
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Arsquorsquo(x) = -2 Como la segunda derivada es siempre negativa se concluye que la funcioacuten alcanza un valor maacuteximo en el valor critico en este caso en x = 50 al interpretar dicho resultado se concluye que el terreno que optimiza la solucioacuten es un cuadrado Ejercicio- Que aacuterea se genera si el terreno es de forma circular Al resolver el ejercioacute anterior y comparar las aacutereas del cuadrado y del circulo se puede apreciar que el aacuterea del circulo es mayor pero en la praacutectica es poco atractivo cercar terrenos circulares por diversas razones pero en la naturaleza es comuacuten observar que las gotas de lluvia sean esferas esto permite el optimizar recursos y maacuteximizar el volumen del liacutequido contenido en la misma Se iniciara el estudio formal de maacuteximos y miacutenimos de funciones de varias variables observando las siguientes graficas con la finalidad de tener la idea clara de que es un maacuteximo o miacutenimo o un punto silla
En la primera de ellas se observa que la funcioacuten tiene un valor miacutenimo en la segunda se observa que la funcioacuten tiene un valor maacuteximo y en la uacuteltima la funcioacuten tiene un punto silla este se identifica el dirigirnos en una direccioacuten la funcioacuten crece mientras que en la otra la funcioacuten decrece
Definicioacuten- Una funcioacuten mn RRf tiene un valor maacuteximo local en x0 si en
una vecindad de dicho valor se cumple que la funcioacuten evaluada en todos los vecinos ninguno de ellos supera a f(x0) Es decir f(x0) f(x) para todo x en una vecindad de x0 El punto es llamado un maacuteximo absoluto si la funcioacuten toma el valor maacuteximo en dicho punto para todo valor de su dominio
Esto es muy similar cuando uno observa a los alumnos de un saloacuten de clases existe un alumno que tiene la mayor estatura si ninguno de sus compantildeeros lo supera Asiacute en la escuela el alumno de mayor estatura absoluta es aquel que supera a todo el plantel
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La definicioacuten para el miacutenimo local (absoluto) es similar
f(x0) f(x) para todo en una vecindad de x0 Por ejemplo la funcioacuten f(xy) = x2+y2 tiene un valor miacutenimo en el origen dado que en este valor la funcioacuten vale cero mientras que fuera de ahiacute siempre es positiva dado que todo nuacutemero real elevado al cuadrado es siempre positivo Ademaacutes dicho valor es un miacutenimo absoluto Como se menciono al inicio de esta capitulo el diagrama del campo
gradiente de esta funcioacuten y
xyxf
2
2)( indica que la funcioacuten tiene un valor
miacutenimo siendo la grafica del mismo la siguiente Sin embargo se requiere un criterio maacutes general y sistemaacutetico que permita establecer los posibles valores maacuteximos miacutenimos o puntos silla) Definicioacuten- (Un valor extremo) Si la funcioacuten posee un valor maacuteximo o miacutenimo este es llamado un valor extremo Definicioacuten- (Un valor critico) Un punto en donde la derivada de la funcioacuten se anula es llamado un valor critico Teorema- Todo valor extremo es un valor critico Es decir si f posee un valor extremo en x0 que pertenece a su dominio entonces la derivada de la funcioacuten en el punto x0 se anula Es decir Df(x0) = 0 Demostracioacuten- Sea l(t) una trayectoria que pasa a traveacutes por el punto x0 defina la composicioacuten de funciones h(t) = f(l(t)) donde l(t) = x0 + tv de donde lrsquo(t) = v y ademaacutes
))(()())(()( VtlftDltlDftDh (1)
Por otra parte como f posee un valor extremo en x0 suponga que dicho
valor es un maacuteximo entonces x0 seraacute a la vez un maacuteximo para la funcioacuten h y como h es una funcioacuten real esto significa que la derivada de h en dicho punto
se anula es decir 0)()0())0(()0( 0 vxfDllDfDh ahora como los
vectores )( 0xf y v no son necesariamente perpendiculares y el vector v a la
vez tampoco se anula entonces esto implica que el gradiente de f en x0 es igual a cero y por lo tanto f posee un valor criacutetico en x0
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Este resultado permite establecer posibles valores criacuteticos de una funcioacuten asiacute se menciona el siguiente ejemplo Ejemplo- Determine los posibles valores criacuteticos de las siguientes funciones (1) f(x y) = x2 + y2 y (2) g(x y) = 4x3 -12x + y2
Solucioacuten-
(1) 0
0
2
2)(
y
xyxf de aquiacute se concluye que dicho valor soacutelo
existe un valor criacutetico siendo este el origen el cuaacutel ya se clasifico en estos apuntes y resulto ser un valor miacutenimo
(2) 0
0
2
1212)(
2
y
xyxg de aquiacute se obtienen dos valores criacuteticos
que son (-10) y 1l (10) Los cuales se pueden clasificar el realizar el graacutefico del campo gradiente En donde se aprecia que en el punto (-10) la funcioacuten posee un punto silla mientras que en el punto (10) la funcioacuten posee un valor miacutenimo
Aquiacute se utilizaraacute el criterio del hessiano para determinar si el valor criacutetico es un maacuteximo un miacutenimo o un punto silla Solo se enunciara el teorema sin demostracioacuten para ver la misma puede revisar en el libro de Marsden Tromba de Caacutelculo Vectorial
Definicioacuten- El Hessiano de una funcioacuten 22 RRH de clase C2 se define como una funcioacuten cuadraacutetica que se escribe como
2
1
2
22
2
2
2
21212
1)(
h
h
y
f
yx
f
xy
f
x
f
hhhhH
Evaluada la matriz de las segundas derivas parciales en el valor criacutetico
Teorema- Si el Hessiano de una funcioacuten 2 RRf es definitivamente
positivo entonces la funcioacuten tiene un valor miacutenimo en dicho punto
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Corolario- Si la matriz asociada A=cb
ba de una forma cuadraacutetica dos
por dos es definitivamente positiva si y soacutelo si se cumple que agt0 y det A gt0
Teorema de una valor para un valor extremo miacutenimo- Una funcioacuten
2 RRf de clase C2 posee un valor extremo miacutenimo local en x0 elemento
del dominio de la funcioacuten si y soacutelo si se satisfacen las siguientes condiciones
(i) 0)( 0xx
f y 0)( 0x
y
f
(ii) )( 02
2
xx
f gt 0
(iii) )( 02
2
xx
f)( 02
2
xy
f)(
2
2
oxx
f)( 02
2
xx
f gt 0
Para un valor maacuteximo las condiciones (i) y (iii) se mantienen la uacutenica que cambia en la segunda en donde esta debe ser negativa Para un punto silla se requiere que al menos no se cumplan las condiciones de valor maacuteximo ni miacutenimo y que la uacuteltima condicioacuten (iii) sea distinta de cero En caso contrario el criterio no permite clasificar dicho valor como se mostraraacute en un ejemplo maacutes adelante Ejemplo- Ahora continuando con los ejemplos anteriores
(1) Para f(xy) = x2+y2 el valor critico es el origen y el hessiano asociado es
2
1
212100
02
2
1)(
h
hhhhhH
Como se pude apreciar el primer valor es positivo 2 gt0 y el determinante de
la funcioacuten 20
02det es igual a 4 que a la vez es positivo de manera tal que la
funcioacuten posee un valor miacutenimo en el origen
(2) g(x y) = 4x3 -12x + y2 los puntos criticos son (-10) y (10) y el hessiano asociado a esta forma cuadraacutetica es
2
1
212120
024
2
1)(
h
hxhhhhHg
Ahora al evaluar en los puntos se tiene En el (-10)
2
1
212120
024
2
1)(
h
hhhhhHg
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En donde -24 lt 0 y det Hg = -48 lt0 con lo cuaacutel debe de ser un punto silla
En el (10)
2
1
212120
024
2
1)(
h
hhhhhHg
En donde 24 gt 0 y det Hg = 48 gt0 con lo cuaacutel debe de ser un punto miacutenimo
Tal como se habiacutea estimado en la graacutefica del campo gradiente de la
solucioacuten anterior A continuacioacuten se muestra un bosquejo de dicha graacutefica realizado en el derive
Ejemplos de cuando el criterio permite clasificar los
valores criacuteticos
Ejemplo- A continuacioacuten se mostrara un ejemplo de cuando el criterio no concluye asiacute si la funcioacuten es h(xy) = x4+y4 al calcular las derivas parciales mixtas fx=4x3 y fy=4y3 se encuentra un solo valor critico el origen miestras que la matriz asociada del hessiano es
2
2
120
012
y
x y al evaluar en el origen queda expresada como
00
00
)0(120
0)0(122
2
En donde se puede apreciar que fallan todos los criterios una inspeccioacuten de
la funcioacuten original permite ver que la funcioacuten tiene un valor miacutenimo en dicho punto pero no es una generalizacioacuten es decir no se puede decir que siempre que aparezca la matriz de ceros se tenga un valor miacutenimo dado que si se analiza ahora a las funciones k(xy) = -x4-y4 y p(xy) = x4-y4 ambas tienen como calor extremo al origen y la matriz hessiana asociada a la forma cuadraacutetica evaluada en el origen es la matriz de ceros
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Ejemplo- Otro ejemplo en donde el criterio no concluye es el siguiente en
donde el determinante de la matriz H es cero debido a que la segunda derivada de la funcioacuten f con respecto a la segunda variable se anula (fyy = 0) y no se puede asegurar que se tenga un punto maacuteximo miacutenimo o silla
Las funciones f1(xy) = x2 f2(xy) = -x2 y f3(xy) = x3 presentan este
problema a continuacioacuten se muestran las graficas de dichas funciones
En cada una de ellas los puntos criacuteticos son las parejas en el plano (0 y) Es decir el eje coordenado X
El Hessiano respectivo de cada uno es el siguiente
00
02)(1 yxH
00
02)(2 yxH
00
03)(3
xyxH
Note que el determinante de cada de estas matrices se hace cero y que fyy
se anula en cada caso
Ahora observando las graacuteficas se verifica visualmente que en la primera se tienen valores miacutenimos en la segunda maacuteximos y en la uacuteltima no es ni maacuteximo ni miacutenimo o punto silla
Ejemplo- Citemos otro ejemplo en donde el criterio de maacuteximos y miacutenimos
no concluye Determine los puntos criacuteticos de la funcioacuten h(xy) = x4 Se tiene que hx=4x3=0 y hy=0 de donde se deduce que la funcioacuten tiene
un nuacutemero infinito de puntos criacuteticos estos son las parejas ordenadas en el plano (0y)
La matriz del Hessiano asociado es
00
012)(
2
1
xyxH y evaluando en el punto
00
00)0(1 yH
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En donde no se puede clasificar a los valores criacuteticos sin embargo
realizando una inpeccioacuten de la funcioacuten se puede concluir que todos los puntos representan valores miacutenimos de la funcioacuten original a continuacioacuten se muestra la grafica de la misma
El Hessiano para n variables y el criterio de clasificacioacuten
Cuando la funcioacuten tiene maacutes de dos variables se genera una matriz asociada H en cada uno de los valores criacuteticos de la siguiente forma
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
H
21
22221
11211
De aquiacute se definen las siguientes matrices
111 aH 2221
1211
2aa
aaH hellip HH n
Los criterios para los valores criacuteticos de la funcioacuten RRf n son los
siguientes [Miacutenimo Local] La funcioacuten f posee un valor extremo local miacutenimo en x0 si todos los determinantes de las submatrices evaluados en x0 son positivos
0det 1H 0det 2H hellip 0det 2H (+ + hellip +)
En este caso la forma cuadraacutetica se puede probar que es definitivamente positiva [Maacuteximo Local] La funcioacuten f posee un valor extremo local miacutenimo en x0 si todos los determinantes de las submatrices evaluados en x0 se alternan en signo pero el primero de ellos debe ser negativo
0det 1H 0det 2H hellip 0det 2H (- + - + hellip )
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En este caso la forma cuadraacutetica se puede probar que es definitivamente negativa [Punto Silla] La funcioacuten f posee un punto silla si no se cumplen los criterios de valor miacutenimo o maacuteximo y al menos uno de los subdeterminantes es distinto de cero
Existe un i tal que 0det iH
Ejemplos- Determine los valores criacuteticos de las siguiente funcioacuten f(x y z w) = x3 - 3x + y3 ndash 3y + z2 + w2 y claacutesifiquelos Solucioacuten- Al resolver las siguientes ecuaciones
033 2 xxf x 033 2 yyf y 02zf z y 033 2 wwfw
Se obtienen cuatro puntos criacuteticos que son (-1-100) (-1100) (1-100) y (1100) ahora se genera la matriz del hessiano asociado siendo esta
2000
0200
0060
0006
y
x
H
Al evaluar en cada uno de los puntos se tienen las siguientes matrices
2000
0200
0060
0006
)0011(H
2000
0200
0060
0006
)0011(H
2000
0200
0060
0006
)0011(H y
2000
0200
0060
0006
)0011(H
Los sub determinantes para cada uno de los puntos son [(-1 -1 0 0)] -6 36 72 144 que clasifica como un punto silla [(-1100)] -6 -36 -72 -144 que clasifica como un punto silla [(1-100)] 6 -36 -72 -144 que clasifica como un punto silla [(1100)] 6 36 72 144 que clasifica como un valor miacutenimo De manera tal que la funcioacuten tiene tres puntos silla y un valor miacutenimo
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Ejercicios- Determine los puntos criacuteticos de las siguientes funciones y claacutesifiquelos utilizando el criterio del Hessiano
(1) f(x y) = x2 - y2 (Silla de montar)
(2) g(x y) = 22 yx (Cono)
(3) h(x y z) = x4 - 2x2 + 2y3 -3y2 + z3-3 Ejercicio- Se requiere construir una lata con tapa que contenga un litro de agua con el miacutenimo de material determine las condiciones que oacuteptimizan el problema Ejercicio- Determine el producto maacuteximo de tres nuacutemeros si la suma de ellos debe ser 40 Ejercicio- Determine la distancia miacutenima del origen a la graacutefica de la funcioacuten f(xy) = 4-x2+y Ejercicio- Estudie los ejemplos resueltos que trae el libro de Marden Tromba en el capitulo 4 en especial el referente a la ecuacioacuten de miacutenimos cuadrados Ejercicio- Determine la ecuacioacuten lineal que mejor se ajusta a los puntos (12) (2 32) (3 389) (4 488) (5 55) Utilize el criterio de miacutenimos cuadrados en caso de que el modelo sea lineal (justifique la linealidad del mismo realice una graacutefica de los puntos y de la liacutenea que ajusta a los puntos) Ejemplo- (Aplicacioacuten) En este ejemplo dermina la distancia miacutenima del punto (100) a la graacutefica de una funcioacuten f(x y) = x2+y2
Solucioacuten- Todos los puntos que se encuentran sobre la graacutefica de la funcioacuten satisfacen la siguiente terna de valores en donde se observa que la tercer componente es la variable dependiente (x y x2+y2)
La distancia del punto (1 0 0) a los puntos que estaacuten sobre la graacutefica (x y x2+y2) Se define por medio de la funcioacuten
2222222 )()1()()001()( yxyxyxyxdyxfd
Para determinar el valor miacutenimo o maacuteximo de esta funcioacuten basta con
analizar su argumento dado que es un funcioacuten creciente Es decir Si x1lt x2
entonces f(x1) lt f(x2) lo que es vaacutelido para la funcioacuten )( xxf (ver graacutefica)
2x
1x
x1 x2
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De este modo la funcioacuten a maximizar es
2222222
11 )()1()()001()( yxyxyxyxdyxfd
De aquiacute al las derivadas parciales son
)(4)1(2)( 22
1 yxxxyxfd x y )(42)( 22
1 yxyyyxfd y
Igualando ambas ecuaciones a cero se puede establecer la siguiente
ecuacioacuten
)(4
)(4
2
2222
22
yxy
yxx
y
x (3)
De aquiacute si )00()( yx y 0y se concluye que -1=0 lo cual es una
contradiccioacuten Por otra parte si (xy)=(00) en la primera ecuacioacuten se tiene que 1=0 que es tambieacuten una contradiccioacuten Finalmente si se considera el caso en
que y=0 se obtiene de la siguiente ecuacioacuten 012 3 xx
El polinomio 12)( 3 xxxP tiene una raiacutez entre el cero y el 1 dado
que P(0)=-1 y P(1)=2 Con el anaacutelisis de raiacuteces racionales dos posibles raiacuteces
son 2
1 y como
2
1 estaacute entre cero y uno al usando divisioacuten sinteacutetica se
obtiene que 4
1
2
1P Asiacute que la raiacutez debe de estar en el intervalo 1
2
1
Ahora usando el meacutetodo de Newton con semilla en 2
10x se obtiene
que 6010
6
2
54
1
2
1
)(
)(
0
0
01xf
xfxx
Ahora al evaluar la funcioacuten en dicho punto se tiene que 0320)60(P el
cual es aceptable como raiacutez del polinomio en una sola interaccioacuten De manera tal que el punto criacutetico de la funcioacuten es el (060) El Hessiano asociado es
24128
82412)(
22
22
xyxy
xyyxyxH
Como se puede apreciar el primer elemento de la matriz es positivo independientemente de los valores de x e y Falta evaluar el determinante de H este es igual a
)64)2412)(2412()(det 222222 yxxyyxyxH
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Ahora evaluando en (06 0) se tiene 7421)443)(326()060(det H
Que tambieacuten es positivo de manera tal que se tiene un valor miacutenimo Es
decir la se obtuvo la distancia miacutenima
Maacuteximos y Miacutenimos con restricciones
Los muacuteltiplicadores de Lagrange permite determinar valores maacuteximos o miacutenimos de funciones con restricciones De este tipo de problemas esta lleno nuestro contorno desde el panedero que desea producir la maacutexima cantidad de pan pero con la restriccioacuten del capital que tiene o la posible venta del diacutea para que no tenga sobrantes
Citemos el siguiente ejemplo la graacutefica de paraboloide z = x2+y2 esta
graacutefica soacutelo tiene un valor miacutenimo en el origen sin embargo si esta restringida
al cuadrado unitario 1111 la funcioacuten alcanza cuatro puntos maacuteximos en
los puntos (-11)(-1-1) (1 -1) y (11) a saber dicho valor es 2 Como se observa en la figura
Ahora si se trabaja con la silla de montar con la misma restriccioacuten esta
funcioacuten tiene originalmente un punto silla en el origen pero al analizar las restricciones se contiene dos valores maacuteximos y dos miacutenimos en los puntos (10) (-10) (0-1) y (01)
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Muacuteltiplicadores de Lagrange Teorema- Dadas dos funciones fg Rn a R diferenciables en X0 elemento del dominio de ambas funciones Si Lc es el conjunto de nivel de valor c de la funcioacuten g y si f posee un valor maacuteximo miacutenimo o silla en la restriccioacuten Lc
entonces existe un nuacutemero real λ tal que )()( 00 XgXf
Se puede ver parte de la demostracioacuten de este teorema en el libro de Marsden Tromba Para clasificar los puntos criacuteticos se utiliza el criterio del Hessiano limitado el cuaacutel se define a partir de la funcioacuten auxiliar H(x1 x2 hellip xn) = f(x1 x2 hellip xn) - λ g(x1 x2 hellip xn)
nnnn
n
n
xxxxx
xxxxx
xx
hhg
hhg
gg
H
1
1111
10
||
Ahora defina los siguientes determinantes
22122
21111
210
|| 1
xxxxx
xxxxx
xx
hhg
hhg
gg
H
3323131
3222121
3121111
3210
|| 2
xxxxxxx
xxxxxxx
xxxxxxx
xxx
hhhg
hhhg
hhhg
ggg
H ||det|| HHn
Criterios para maacuteximos y miacutenimos con restricciones (Hessiano liacutemitado) [Miacutenimo Local] Se tiene un miacutenimo local si y soacutelo si todos los determinantes son negativos |H1| lt0 |H2| lt0 hellip |Hn|lt0 ( - - - - - hellip)
[Maacuteximo Local] Se tiene un maximo local si y soacutelo se inicia con un determinante positivo y luego se alternan los signos |H1| gt 0 |H2| lt 0 hellip |Hn|lt0 (+ - + - hellip)
[Punto del tipo Silla] Se tiene un punto tipo silla sino se satisface los criterios de maacuteximos o miacutenimos y al menos uno de los determinantes es distinto de cero Ejemplo- Determine si la funcioacuten f(xy)= x2 ndash y2 tiene valores criacuteticos en la restriccioacuten x2+y2=1
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)(2
2
2
2)( 00 Xg
g
g
y
x
y
x
f
fXf
y
x
y
x
de aquiacute se obtienen las ecuaciones 2x = 2 λx -2y = 2 λy x2 + y2 =1 Las soluciones de este sistema de ecuaciones son (-101) (101) (0-1-1) y (0-11) El Hessiano liacutemitado es
2202
0222
220
||
y
x
yx
H
El determinante es igual a det|H| = 8x2(1+λ) ndash 8y2(1-λ) ahora evaluando
cada uno de los puntos se tiene que det|H|(-101) = 16 gt 0 det|H|(101) = 16 gt 0 det|H|(0-1-1) = -16 lt 0 det|H|(0-11) = -16 lt 0
De manera tal que la funcioacuten posee dos valores maacuteximos en los puntos (-10) y (10) y por otra parte tiene dos valores miacutenimos en los puntos (0-1) y (0-1) Ejemplo- Determine si la funcioacuten f(xy)= x2+y2 tiene valores criacuteticos en la restriccioacuten x2-y2 le 4 Al iniciar este estudio se trabaja con el interior es decir x2-y2 lt 4 dando como resultado el anaacutelisis de maacuteximos y miacutenimos de una funcioacuten en general de donde el gradiente de f se anula uacutenicamente en el origen siendo este valor un miacutenimo como se habiacutea visto en un ejercicio anterior para la funcioacuten del paraboloide Ahora al trabajar sobre la frontera se usa el criterio de muacuteltiplicadores de Lagrange
)(2
2
2
2)( 00 Xg
g
g
y
x
y
x
f
fXf
y
x
y
x
de aquiacute se obtienen las ecuaciones 2x = 2 λx 2y = -2 λy x2 - y2 = 4
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Las soluciones de este sistema de ecuaciones son (-201) y (201) El Hessiano liacutemitado es
2202
0222
220
||
y
x
yx
H
El determinante es igual a det|H| = -8x2(1+λ) + 8y2(1-λ) ahora
evaluando en cada uno de los puntos se tiene que det|H|(201) = -64 gt 0 y det|H|(-201) = -64 lt 0
De manera tal que la funcioacuten posee dos valores miacutenimos en los puntos (-20) y (20)
Una anaacutelisis de la graacutefica de esta funcioacuten permite visualizar que dichos
puntos no son miacutenimos maacutes bien son puntos tipos silla y no es que el criterio falle sino maacutes bien que los valores son miacutenimos pero sobre el complemento es decir bajo la restriccioacuten x2-y2 ge 4 Ejemplo- Determine los valores criacuteticos de la funcioacuten f(xyz) = 2x+y+3z sujeta a la restriccioacuten x2+y2+z2 le 36 Solucioacuten- Un anaacutelisis de las condiciones iniciales muestra que la graacutefica a maximizar en un hiperplano restringido en su dominio a una esfera de radio 6 de acuerdo a estas condiciones la funcioacuten en su interior no debe tener valor criacuteticos y en la frontera debe tener un valor miacutenimo y un valor maacuteximo En el interior- Al derivar la funcioacuten original se tiene lo siguiente
3
1
2
)( 0
z
y
x
f
f
f
Xf
De aquiacute se observa que la funcioacuten no posee valores criacuteticos en todo su dominio tal y como se esperaba Frontera- Al utilizar las condiciones del los Muacuteltiplicadores de Lagrange se tiene lo siguiente
)(
2
2
2
3
1
2
)( 00 Xg
z
y
x
f
f
f
Xf
z
y
x
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De aquiacute se genera el siguiente sistema de ecuaciones 2 = 2λx 1 = 2λy 3 = 2λz x2+y2+z2=36
Resolviendo el sistema se concluye que 2
1
1yx amp
2
3z Ahora
sustituyendo en la uacuteltima ecuacioacuten se deduce que la funcioacuten posee dos valores criacuteticos que son
18
14
14
1427
14
149
14
1418amp
18
14
14
1427
14
149
14
1418
La funcioacuten auxiliar es H(xyzλ) = 2x+y+3z-λ(x2+y2+z2) donde Hx=2-2λx Hy=1-2λy Hz=3-2λz El Hessiano Liacutemitado es
2002
0202
0022
2220
||
z
y
x
zyx
H
De aquiacute
0
0)(8
202
022
220
|| 22
1si
siyx
y
x
yx
H
0576)(16
2002
0202
0022
2220
|| 22222 zyx
z
y
x
zyx
H
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De aquiacute se desprende que la funcioacuten f(xyz) = 2x+y+3z posee un valor miacutenimo
en el punto 18
14
14
1427
14
149
14
1418 restringido a x2+y2+z2 = 36 y un
maacuteximo en el punto 18
14
14
1427
14
149
14
1418
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Tarea nuacutemero 4 Maacuteximos y Miacutenimos
Objetivo- Que el alumno sea capaz de aprender a resolver problemas asociados a la vida real haciendo uso del caacutelculo de varias variables Aquiacute se enuncian los siguientes ejercicios adicionales dado que muchos de los mismos se fueron exponiendo a lo largo del capiacutetulo y se sugiere que se revisen los problemas resueltos y propuestos en la libros de la bibliografiacutea dado que las aplicaciones son muchas 1- Determine los valores maacuteximos y miacutenimos de la funcioacuten f(xy) = x +y sujeta a la restriccioacuten x2+2y2le18 (Realice un bosquejo de la graacutefica y se restriccioacuten)
2- Determine los valores maacuteximos y miacutenimos de la funcioacuten f(xy) = x2 +y2 sujeta a la restriccioacuten x+2y le 4 (Realice un bosquejo de la graacutefica y se restriccioacuten)
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Bibliografiacutea
1 Caacutelculo Vectorial Marsden amp Tromba Addison-Wesley Iberoamericana
2 Caacutelculo Multivariable James Steward Thomson Editores
3 Caacutelculo con Geometriacutea Anaacutelitica Zill Grupo Editorial Iberoameacuterica
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G(10002000) =002(1000)+003(2000) = 20 + 60 = 100
Cabe sentildealar que las aplicaciones en economiacutea en donde aparecen maacutes
de una variable abundan y que anaacutelisis maacutes completos de estados de cuenta con intereses o deudas en tiendas de conveniencia se pueden representar mediante funciones de varias variables debiendo desarrollar cada una de ellas en su debido tiempo
Por otra parte las aplicaciones en procesos de produccioacuten industrial son diversos y permiten evaluar el producto final que llegaraacute al cliente en cuanto a la calidad del mismo
Si un estudiante dedica cierta cantidad de horas de estudio y por otra parte se mide la atencioacuten prestada en sus horas de estudio Se pueden proponer lo siguiente No se esperariacutean los mismos resultados si dedica tres horas de estudio con poca atencioacuten a que si dedica la misma cantidad de horas de estudio con mucha atencioacuten Cabe sentildealar que la atencioacuten prestada depende del intereacutes de estudiante en la materia el gusto por la misma o la importancia que preste en conocer temas nuevos
Funcioacuten Vectorial
Se comenzaraacute el estudio de funciones vectorial de varias variables especificando algunos detalles sobre las mismas en principio una funcioacuten vectorial tiene como dominio un subconjunto de Rn y un conjunto de llegada esta en Rm
Asiacute si el dominio A tiene tres variables se dice que el dominio esta definido en R3 las tres variables se pueden denotar por x y z Ahora si antildeadimos que la funcioacuten en cuestioacuten refleja algunos rasgos de las variables anteriores por ejemplo si se considera importante la suma de las primeras dos el producto de la segunda y tercera Entonces se dice que la funcioacuten tiene como conjunto de llegada a dos variables en la primera se refleja una suma mientras que en la segunda se observa una multiplicacioacuten
Entonces la forma de escribir en la primera de ellas es x + y mientras que la segunda es yz asiacute la funcioacuten queda expresada como
F(x y z) = (x+y yz)
Una funcioacuten que se puede observar diariamente es la de la temperatura en una habitacioacuten considerando cada punto en el espacio de la habitacioacuten entonces el dominio esta en tres dimensiones y la imagen de la funcioacuten refleja la temperatura en cada punto de la misma observe que esta puede cambiar si se encuentra cercas de una ventana o de la estufa
Aquiacute T(x y z) Muestra la temperatura en cada punto de una habitacioacuten faltariacutea encontrar la ecuacioacuten matemaacutetica que modele dicho comportamiento
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Como se puede observar el poder estudiar un fenoacutemeno real por medio de un modelo matemaacutetico es fundamental para poder realizar predicciones del mismo por medio de las propiedades de la funcioacuten asociada al mismo como el hecho de que la funcioacuten sea creciente que tenga un valor maacuteximo Se mostraran algunos ejemplos maacutes adelante con la finalidad de motivar el estudio de los fenoacutemenos reales por medio de las matemaacuteticas Definicioacuten- (Funcioacuten) Una funcioacuten es una regla de asignacioacuten entre dos conjuntos A y B que asigna a cada elemento del conjunto A uno y soacutelo uno del conjunto B El conjunto de partida A se le denomina el dominio de la funcioacuten mientras que el conjunto de llegada es B se le conoce como el codominio de la funcioacuten En el caso de varias variables se tiene que A es un subconjunto de Rn mientras que el conjunto B es un subconjunto de Rm Aquiacute es importante que a ninguacuten elemento del dominio se le asigne al mismo tiempo dos elementos del codominio y a la vez que a ninguno del dominio quede sin ser asignado Un ejemplo de esto se presenta en la siguiente funcioacuten que va del conjunto dominio A = 1 2 3 al conjunto B = 2 4 6 8 al definir la funcioacuten f que asigna a cada elemento del dominio con su doble se tiene que f(1) = 2 f(2) = 4 y f(3) = 6 Ahora una funcioacuten de dos variables se puede definir a partir de los conjuntos C = (12) (23) (34) (36) y D =3 4 5 6 7 8 9 en donde la funcioacuten g C D representa la suma de los diacutegitos de cada pareja ordenada
En este caso g(12) = 3 g(23) = 5 y asiacute sucesivamente Cabe sentildealar que la pareja ordenada (12) es distinta a la pareja (21) en donde esta uacuteltima no pertenece dominio de la funcioacuten
6 5 Suma g(12) = 3 4 3 2 (12)
1 (21) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 0 1 2 3 4 5 6 Las parejas (12) y (21) ocupan distintas posiciones en el plano La segunda de ellas no pertenece al dominio de la funcioacuten de manera tal aunque se pudiera evaluarla pareja ordenada no se contempla por el hecho de que la funcioacuten no esta definida en dicho valor
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Un ejemplo de esta funcioacuten ocurre si consideramos el total que se tiene que pagar en una tienda despueacutes de comprar dos artiacuteculos distintos Otro de ellos se presenta al tomar una evaluacioacuten de calidad de cierto artiacuteculo en donde se van sumando los puntos y no necesariamente serian dos variables
Otra caracteriacutestica que se presenta en esta tipo de funciones es que los valores esteacuten bien definidos al momento de evaluar como el hecho de que no se puede dividir entres cero y no se pueden sacar raiacuteces de nuacutemeros negativos Este hecho es importante para detallar el dominio de algunas funciones
asiacute el dominio de la funcioacuten xxk 4)( esta restringido al hecho de que la
variable x sea menor a cuatro dado que el argumento 4-x debe de ser no negativo es decir 4-x 0 y de aquiacute se tiene que 4 x
Cuando se involucran dos variables un ejemplo es encontrar el dominio
de la funcioacuten yxyxh 44)( y por analogiacutea con el problema anterior
se sabe que 4 x y a la vez que 4 y quedando el dominio descrito de la siguiente manera D = (xy) 4 x 4 y
6 D Dominio de la funcioacuten 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7
Ejemplo- Determine el dominio de la funcioacuten 2 2( ) 9 h x y x y Aquiacute se tiene
que el argumento de dicha funcioacuten debe de ser positivo en donde el dominio
de la funcioacuten es 2 29 0x y que es equivalente a 2 29 x y que representa
a un ciacuterculo de radio 3 y centrado en el origen
Si la funcioacuten es 2 2
1( )
9h x y
x y el dominio es casi el mismo
eliminando en donde el argumento se hace cero debido a que no estaacute definida la divisioacuten entre cero siendo el dominio el mismo circulo del ejemplo anterior pero sin la orilla
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Como se puede apreciar el dominio de estas funciones estaacute definido por regiones en el plano cartesiano cuando el dominio de la funcioacuten estaacute contenido en R2
Derivadas Parciales La derivada parcial de una funcioacuten de varias variables consiste en derivar la funcioacuten con respecto a la variable en cuestioacuten y dejar a las otras variables fijas como si fuesen constantes Por ejemplo al derivar la funcioacuten f(x y z) = x2 + 3xy3 - 3xz las derivadas de f con respecto a x y y z se describen a continuacioacuten y se denotan cada una de ellas por medio de los simbolos fx fy y fz fx(x y z) = 2x + 3y3 - 3z fy(x y z) = 9xy2 fz(x y z) = - 3x Definicioacuten- (Gradiente de una funcioacuten) El gradiente de una funcioacuten real se define como el vector que contiene en sus componentes a sus primeras derivadas parciales Asiacute para el ejemplo anterior el gradiente de f es y se denota por
3
2
2 3 3
9
3
x
y
z
f x y z
f f xy
f x
Ejemplo- Determine el gradiente de las siguientes funiones g(xy)=(x2 y4) y h(xyzw) = 2x+y2-3z+8w
3
2( )
4
x
y
h xh x y
h y
2
2( )
3
8
x
y
z
w
g
g yg x y z w
g
g
El vector gradiente tiene varias propiedades que son muy uacutetiles una de ellas nos indica la direccioacuten de maacuteximo crecimiento y otra de ellas es que es un
vector tangente a las curvas de nivel de una funcioacuten
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Definicioacuten- (Derivada Direccional) La derivada direccional de una
funcioacuten en un punto (x0 y0) y en direccioacuten de un vector v=(AB) se define como el producto del gradiente de la funcioacuten evaluado en el punto (x0 y0) por el vector V dividido entre la norma de mismo vector
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Tarea nuacutemero 2 materia de Caacutelculo 3 Objetivo- Que el alumno sea capaz de interpretar la nocioacuten de liacutemite en varias variables identifique la graacutefica de funciones y haga uso de la derivadas parciales 1- Determine el dominio de las siguientes funciones
(1a) f(x y z) = 2221 zyx
(1b) g(x y) = xy
2
(1c) f(x y) = xy
(1d) g(x y) = y4
(1e) f(x y) = y
x
4
4
(1f) h(x y) = 24
1
xy
2- Realice un bosquejo de las siguientes graacuteficas
22 zyx 22 2zxy 22 yxz 222 yxz
3- Determine los siguientes liacutemites
(31) xyxyxyxf y 210)( 3 cuando (xy) tiende a (12)
(32) yx
zyzxzyxf
33
)( cuando (xy) tiende a (112)
(33) )00()(
)00()(
0
3
3
)(
44
32
yx
yx
Siacute
Siyx
yx
yxk cuando (xy) tienden a (00)
En caso de existir indique haciendo uso de la nocioacuten
(34) )()(2
zxyxxxy
xxyyxzyxF z cuando (xyz) tiende a (012)
4- Indique de las funciones del ejercicio anterior son continuas y en que dominio 5- Determine si las funciones del ejercicio tres son de clase C1 6- Determine la ecuacioacuten del plano tangente a la graacutefica de la funcioacuten g(xy) = x4-10y3 en el punto (1-1) y en el punto (12) grafique en la computadora y agregue en el documento de la tarea 7- Determine los conjunto de nivel de valor -2 -1 0 1 2 de las funciones (7a) f(x y) = 3x2 + 3y2
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(7b) g(x y) = 22 44 yx
(7c) h(x y) = 1 ndash y + x2 (7d) k(x y z) = x2 + y2 + z2 Indique las graacuteficas en computadora y agregue en el reporte
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Capiacutetulo 3
Trayectorias
En este capiacutetulo se realiza el estudio de las propiedades de las funciones vectoriales es decir se hace incapie en el concepto de funcioacuten y la de un vector
Este concepto permite describir entre otras cosas el camino seguido por una partiacutecula en el espacio con el ingrediente adicional de tener a la mano los conceptos de velocidad y aceleracioacuten derivados a partir de una sola ecuacioacuten aquella que guarda la relacioacuten de posicioacuten de la partiacutecula con respecto al tiempo
Por ejemplo al mover una onda esta describe un movimiento circular si
la onda se suelta un objeto puesto en ella sale disparado en forma tangencial Este movimiento se puede representar con vectores y debe de expresar que la velocidad sea tangente a la trayectoria que sigue dado que la piedra abandona la onda en liacutenea recta
Si esto se extrapola al vuelo de una mosca se puede inferir que la velocidad de la misma sea tangencial a la trayectoria que va recorriendo en cada punto esto se muestra en la siguiente graacutefica
Observe que el hecho de contar con la orientacioacuten del vector velocidad permite no soacutelo inferir la velocidad de escape de la partiacutecula sobre la curva sino a la vez conocer la orientacioacuten del movimiento de la misma
Definicioacuten- (Trayectoria) Una trayectoria es una funcioacuten que parte de los nuacutemeros reales al espacio n Euclidiano Es decir es una funcioacuten de la forma
))()()(()( 21 txtxtxt n
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Caso particular de una trayectoria de los reales a plano En el caso de una trayectoria de los reales al plano se puede ilustrar con el siguiente diagrama
σ(a) σ(b) a b
2][ Rba ))()(()( tytxt
Una forma de ilustrar esto es pensar que la variable t es el tiempo y la imagen corresponde a la trayectoria de un objeto en el plano asiacute que el tiempo t=a la partiacutecula se encuentra en el punto σ(a) que es el inicio del recorrido de la misma mientras que tiempo final t=b se localiza al final de la trayectoria de estudio
Se puede observar una flecha indicativa del sentido de la partiacutecula a lo largo de la trayectoria
Ecuacioacuten Parametrica y Cartesiana de una curva
Ejemplo- Dada la trayectoria )()( 2ttt con 22t realice una
graacutefica de dicha trayectoria
t ))()(()( tytxt
-2 )42()(t
-1 )11()(t
0 )00()(t
1 )11()(t
2 )42()(t
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Como se puede apreciar la imagen de la trayectoria que recibe el
nombre de curva es una paraacutebola esto se puede ver si se realiza lo siguiente
Como x = t y = t2 entonces se puede deducir que y=x2 la ecuacioacuten correspondiente a la graacutefica de una paraacutebola esta ecuacioacuten corresponde a sus coordenadas cartesianas por otra parte si se rescribe en forma de trayectoria se dice que la ecuacioacuten es su ecuacioacuten cartesiana dado que depende de un solo paraacutemetro
Parametrizacioacuten de una funcioacuten real Si y es una variable dependiente de la variable x es decir existe
una regla de asignacioacuten f tal que y = f(x) con bxa En donde a
cada elemento x le asigna uno y soacutelo un valor y La graacutefica de esta funcioacuten se debe de ver como un trazo en el plano de la siguiente forma
La graacutefica no puede ser de la siguiente forma
y2
y3
y1 y4
X1 X2
Note que al valor de x2 le asigna tres valores de y lo cual no
cumple con las condiciones para que f sea una funcioacuten Ahora la graacutefica de una funcioacuten de esta tipo no es otra cosa que
la imagen de una trayectoria la cual se puede parametrizar de la siguiente forma
Como y = f(x) entonces defina x = t y por consiguiente y=f(t) en
donde bta
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-4 -2 2 4
-30
-20
-10
10
20
30
-2 -1 1 2
-2
-1
1
2
Asiacute en el caso de la paraacutebola la parametrizacioacuten adecuada es x
=t y = t2 tal como estaba planteada originalmente Ahora si la funcioacuten es y = 2x3-10x con 44 x entonces la
parametrizacioacuten adecuada es
)102()( 3 tttt 44 t
La graacutefica de esta curva asociada a la trayectoria es
Parametrizacioacuten de una circunferencia Elipse e Hipeacuterbola
La ecuacioacuten cartesiana de una circunferencia con centro en el origen y
radio dos estaacute dada por 422 yx Al intentar escribir esta ecuacioacuten en
funcioacuten de un solo paraacutemetro se requiere despejar a la variable y obteniendo
dos funciones que son 24 xy Con 22 x
La graacutefica de esta curva permite visualizar que no pertenece a una
funcioacuten sino maacutes bien a dos que son las enunciadas anteriormente y como se ve a continuacioacuten
24 xy
24 xy
Una forma de representar esta curva es por medio de dos trayectorias
)4()( 2
1 ttt y )4()( 2
2 ttt 22t
Una forma alternativa de representar esta curva es por medio del uso de coordenadas polares en donde x=rCos(t) y= rSen(t) como el radio es fijo y es igual a dos estas ecuaciones se pueden escribir en funcioacuten de un solo paraacutemetro ldquotrdquo x=2Cos(t) y=2Sen(t) note que al evaluar x2+y2=4Cos2(t)+4Sen2(t) = 4(Cos2(t)+Sen2(t))=4 con lo cual satisface la
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ecuacioacuten de la circunferencia quedando expresada la trayectoria de la siguiente forma
σ(y) = (2Cos(t) 2Sen(t) con 0letle2π En esta ecuacioacuten define por completo a la curva auacuten y cuando la
ecuacioacuten original no es una funcioacuten siendo esto una ventaja del estudio de la trayectorias
Ejemplo- La parametrizacioacuten de la elipse 12
2
2
2
b
y
a
x queda
expresada por x = aCos(t) y=bSen(t) se deja como ejercicio comprobar este resultado
Ejemplo- La parametrizacioacuten de la hiperbola 12
2
2
2
b
y
a
x queda
expresada por x = aCosh(t) y=bSenh(t) en donde se trabaja con las funciones de Seno y Coseno hiperboacutelicas se deja como ejercicio comprobar este resultado (aunque soacutelo permite representar el lado correspondiente a los cuadrantes I y IV en donde la x es no negativa
Derivada de una trayectoria La derivada de una trayectoria es un vector tangente a la curva esto se
deriva del siguiente anaacutelisis
Dada la trayectoria σ(t) se grafican la posicioacuten de la curva al tiempo t y t+h luego trace el vector asociado a la liacutenea secante que une los puntos de aquiacute al tomar valores cada vez maacutes pequentildeos de h el vector secante se convierte en un vector tangente a la curva como se muestra a continuacioacuten
Por otra parte el anaacutelisis vectorial de este cociente es
)()()(
0
tt
tht
h
Liacutem
Es decir la derivada de la trayectoria y el vector resultante es
tangente a la curva
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Asiacute para el caso de una curva en el plano la trayectoria se puede describir por medio de dos funciones x(t) y(t) de la siguiente forma
)(
)()(
ty
txt
En donde la derivada de esta funcioacuten es
)(
)()(
ty
txt
Vector tangente a la graacutefica de una circunferencia de radio R Ahora si se tiene la parametrizacioacuten de una circunferencia esta esta
dada por σ(t) = ( RCos(t) R Sen(t))
Y X
Un vector tangente tiene que cumplir que su producto punto tiene que
ser cero de aquiacute si V=(AB) al multiplicarlo por el vector σ su producto punto tiene que ser cero
De aquiacute que σ(t)V = ARCos(t) + BRSen(t) = 0 Existiendo muchas soluciones a este sistema de ecuaciones siendo una
de ellas cuando A = Cos(t) B=-Sen(t)
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Vector trasladado
Siendo este un vector tangente a la curva ahora al derivar las
componentes xrsquo(t) = -RSen(t) y(t) = RCos(t) que es un muacuteltiplo escalara del vector tangente mostrado anteriormente
Definicioacuten- (Rotacional) El rotacional de un campo vectorial
F=Pi+Qj+Rk de clase C1 de define como el vector
i j k
RotFx y z
P Q R
Ejemplos- Determine el rotacional de los siguientes campos vectoriales
F1=xi+yj+zk F2=x2yi-xy
2j-3zyk
Solucioacuten-
1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0
i j k
RotF z y i z x j y x kx y z y z x z x y
x y z
2 2 2 2
2
2 2
( 3 ) ( ) ( 3 ) ( ) ( ) ( )
3
i j k
RotF zy xy i zy x y j xy x y kx y z y z x z x y
x y xy zy
2 2
2
2 2
3 0
3
i j k
RotF z i j y x kx y z
x y xy zy
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Definicioacuten- (Divergencia) Si F es un campo vectorial de clase C1 la divergencia de F se define como un campo escalar de la siguiente forma
( )P Q R
divF div Pi Qj Rkx y z
Ejemplos- Determine la divergencia de los siguientes campos vectoriales F1=xi+yj+zk F2=x
2yi-xy
2j-3zyk
Solucioacuten-
1 ( ) ( ) ( ) ( ) 3divF div xi yj zk x y zx y z
2 2 2 2
2 ( 3 ) ( ) ( ) ( 3 ) 2 2 3 3divF div x yi xy j zyk x y xy zy xy xy y yx y z
Definicioacuten- (Laplaciano) Si f es un campo escalar de clase C2 el Laplaciano de f se define como un campo escalar de la siguiente forma
2 2 2
2
2 2 2xx yy zz
f f ff f f f f
x y z
Ejemplos- Determine la divergencia de los siguientes campos escalares g1(x
y z) = xy2z
3 g2(x y z) = x
2 + y
2 + z
2
2 2 2
2 2 3 2 3 2 3 2 3 3 2 2
2 2 2( ) ( ) ( ) 2 3 f f xy z xy z xy z y z yz xy z
x y z
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2( ) ( ) ( ) 6f f x y z x y z x y z
x y z
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Tarea nuacutemero 3 Trayectorias
Objetivo- Que el alumno sea capaz de comprender los conceptos de movimiento de una partiacutecula a lo largo de una trayectoria y de la importancia del uso de vectores en este tema 1- Si la trayectoria σ(t) = t2i+t2j define la trayectoria seguida por una partiacutecula con respecto al tiempo determine 1a- iquestEl tipo de trayectoria que describe 1b- Realice una graacutefica de la distancia recorrida por la partiacutecula con respecto al tiempo en los primeros tres segundos 1c- Determine el tipo de movimiento de la partiacutecula 1d- iquestSe puede afirmar que es un movimiento uniformemente acelerado 1e- Determine la aceleracioacuten y velocidad a los cuatro segundos 1f- Realice una graacutefica de su rapidez con respecto al tiempo 1g- Realice una graacutefica de sus aceleracioacuten con respecto al tiempo 1h- En la graacutefica de la trayectoria agregue graacuteficamente los vectores aceleracioacuten y velocidad 2- Realice lo mismo que en ejercicio anterior pero ahora con la funcioacuten γ(t) = Cos(t) i+5Sen(t)j 3- Dadas las funciones f(t) = 3t2i-4t3j+e2tk y g(t) = 4t3i+4t2j+e-2tk 3a- Determine la funcioacuten producto punto h = fg 3b- Determine la derivada de h 3c- Usando la regla de diferenciacioacuten determine la derivada de h y compruebe el inciso anterior 4a- Determine la funcioacuten producto cruz k = ftimesg 4b- Determine la derivada de h 4c- Usando la regla de diferenciacioacuten determine la derivada de h y compruebe el inciso anterior 5- Determine el Rotacional y la Divergencia del siguiente campo vectorial G(x y z) = 2xy i + 3xz j - 5xy k 6- Determine el gradiente y el Laplaciano del siguiente campo escalar f(xyz) = 4x2-3yz2 7- Dado el campo vectorial F(x y z) = 2xy i + x2 j +3z2 k 7a- Determine si F puede representar el gradiente de un campo escalar f 7b- En caso de ser afirmativa la respuesta del inciso anterior determine el campo escalar f 8- Pruebe que la divergencia del rotacional de un campo vectorial F=Pi+Qj+Rk es igual a cero Es decir la div rot F =0 9- Usando las reglas de diferinciacioacuten pruebe que
gfgfgf
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100 -x
Capitulo 4 Maacuteximos y miacutenimos
Es indispensable determinar en distintos problemas las soluciones oacuteptimas que permitan establecer por ejemplo los valores maacuteximos de produccioacuten o ahorrar el material en la construccioacuten de cierto equipo
Como se recordaraacute el gradiente de una funcioacuten indica la direccioacuten de
maacuteximo crecimiento esto se refleja en que si se toma la direccioacuten sugerida por este vector el valor de la funcioacuten aumenta en una vecindad del mismo asiacute si en un diagrama de un campo gradiente aparecen un punto en donde convergen la direccioacuten de todos los gradientes se encontraraacute que dicho valor debe de ser un valor maacuteximo para la funcioacuten de estudio Un diagrama de esta tipo se ejemplifica a continuacioacuten
Un diagrama en donde todos los vectores apuntan hacia fuera de un
punto indicaraacute que este punto debe de ser un valor miacutenimo de la funcioacuten Citemos el siguiente ejemplo de una variable con la finalidad de
centrarnos en el tema Una persona desea bardear un terreno en forma rectaacutengular cuanto debe de medir cada lado de manera tal que el aacuterea cercada sea maacutexima si se cuenta con 200 metros de malla
La funcioacuten que representa dicho modelo es
A(x) = x(100-x) x
Como se puede observar el aacuterea es cero si x es igual a cero o a cien con lo cuaacutel el lado x debe de estar en en intervalo [0 100] siendo estas las restricciones del problema Derivando la funcioacuten para obtener los valores critiacutecos se tiene que Arsquo(x) = 100 ndash 2x
Al igual la derivada a cero se concluye que el valor critico es x es igual a 50 Al derivar por segunda ocasioacuten se concluye que
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Arsquorsquo(x) = -2 Como la segunda derivada es siempre negativa se concluye que la funcioacuten alcanza un valor maacuteximo en el valor critico en este caso en x = 50 al interpretar dicho resultado se concluye que el terreno que optimiza la solucioacuten es un cuadrado Ejercicio- Que aacuterea se genera si el terreno es de forma circular Al resolver el ejercioacute anterior y comparar las aacutereas del cuadrado y del circulo se puede apreciar que el aacuterea del circulo es mayor pero en la praacutectica es poco atractivo cercar terrenos circulares por diversas razones pero en la naturaleza es comuacuten observar que las gotas de lluvia sean esferas esto permite el optimizar recursos y maacuteximizar el volumen del liacutequido contenido en la misma Se iniciara el estudio formal de maacuteximos y miacutenimos de funciones de varias variables observando las siguientes graficas con la finalidad de tener la idea clara de que es un maacuteximo o miacutenimo o un punto silla
En la primera de ellas se observa que la funcioacuten tiene un valor miacutenimo en la segunda se observa que la funcioacuten tiene un valor maacuteximo y en la uacuteltima la funcioacuten tiene un punto silla este se identifica el dirigirnos en una direccioacuten la funcioacuten crece mientras que en la otra la funcioacuten decrece
Definicioacuten- Una funcioacuten mn RRf tiene un valor maacuteximo local en x0 si en
una vecindad de dicho valor se cumple que la funcioacuten evaluada en todos los vecinos ninguno de ellos supera a f(x0) Es decir f(x0) f(x) para todo x en una vecindad de x0 El punto es llamado un maacuteximo absoluto si la funcioacuten toma el valor maacuteximo en dicho punto para todo valor de su dominio
Esto es muy similar cuando uno observa a los alumnos de un saloacuten de clases existe un alumno que tiene la mayor estatura si ninguno de sus compantildeeros lo supera Asiacute en la escuela el alumno de mayor estatura absoluta es aquel que supera a todo el plantel
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La definicioacuten para el miacutenimo local (absoluto) es similar
f(x0) f(x) para todo en una vecindad de x0 Por ejemplo la funcioacuten f(xy) = x2+y2 tiene un valor miacutenimo en el origen dado que en este valor la funcioacuten vale cero mientras que fuera de ahiacute siempre es positiva dado que todo nuacutemero real elevado al cuadrado es siempre positivo Ademaacutes dicho valor es un miacutenimo absoluto Como se menciono al inicio de esta capitulo el diagrama del campo
gradiente de esta funcioacuten y
xyxf
2
2)( indica que la funcioacuten tiene un valor
miacutenimo siendo la grafica del mismo la siguiente Sin embargo se requiere un criterio maacutes general y sistemaacutetico que permita establecer los posibles valores maacuteximos miacutenimos o puntos silla) Definicioacuten- (Un valor extremo) Si la funcioacuten posee un valor maacuteximo o miacutenimo este es llamado un valor extremo Definicioacuten- (Un valor critico) Un punto en donde la derivada de la funcioacuten se anula es llamado un valor critico Teorema- Todo valor extremo es un valor critico Es decir si f posee un valor extremo en x0 que pertenece a su dominio entonces la derivada de la funcioacuten en el punto x0 se anula Es decir Df(x0) = 0 Demostracioacuten- Sea l(t) una trayectoria que pasa a traveacutes por el punto x0 defina la composicioacuten de funciones h(t) = f(l(t)) donde l(t) = x0 + tv de donde lrsquo(t) = v y ademaacutes
))(()())(()( VtlftDltlDftDh (1)
Por otra parte como f posee un valor extremo en x0 suponga que dicho
valor es un maacuteximo entonces x0 seraacute a la vez un maacuteximo para la funcioacuten h y como h es una funcioacuten real esto significa que la derivada de h en dicho punto
se anula es decir 0)()0())0(()0( 0 vxfDllDfDh ahora como los
vectores )( 0xf y v no son necesariamente perpendiculares y el vector v a la
vez tampoco se anula entonces esto implica que el gradiente de f en x0 es igual a cero y por lo tanto f posee un valor criacutetico en x0
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Este resultado permite establecer posibles valores criacuteticos de una funcioacuten asiacute se menciona el siguiente ejemplo Ejemplo- Determine los posibles valores criacuteticos de las siguientes funciones (1) f(x y) = x2 + y2 y (2) g(x y) = 4x3 -12x + y2
Solucioacuten-
(1) 0
0
2
2)(
y
xyxf de aquiacute se concluye que dicho valor soacutelo
existe un valor criacutetico siendo este el origen el cuaacutel ya se clasifico en estos apuntes y resulto ser un valor miacutenimo
(2) 0
0
2
1212)(
2
y
xyxg de aquiacute se obtienen dos valores criacuteticos
que son (-10) y 1l (10) Los cuales se pueden clasificar el realizar el graacutefico del campo gradiente En donde se aprecia que en el punto (-10) la funcioacuten posee un punto silla mientras que en el punto (10) la funcioacuten posee un valor miacutenimo
Aquiacute se utilizaraacute el criterio del hessiano para determinar si el valor criacutetico es un maacuteximo un miacutenimo o un punto silla Solo se enunciara el teorema sin demostracioacuten para ver la misma puede revisar en el libro de Marsden Tromba de Caacutelculo Vectorial
Definicioacuten- El Hessiano de una funcioacuten 22 RRH de clase C2 se define como una funcioacuten cuadraacutetica que se escribe como
2
1
2
22
2
2
2
21212
1)(
h
h
y
f
yx
f
xy
f
x
f
hhhhH
Evaluada la matriz de las segundas derivas parciales en el valor criacutetico
Teorema- Si el Hessiano de una funcioacuten 2 RRf es definitivamente
positivo entonces la funcioacuten tiene un valor miacutenimo en dicho punto
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Corolario- Si la matriz asociada A=cb
ba de una forma cuadraacutetica dos
por dos es definitivamente positiva si y soacutelo si se cumple que agt0 y det A gt0
Teorema de una valor para un valor extremo miacutenimo- Una funcioacuten
2 RRf de clase C2 posee un valor extremo miacutenimo local en x0 elemento
del dominio de la funcioacuten si y soacutelo si se satisfacen las siguientes condiciones
(i) 0)( 0xx
f y 0)( 0x
y
f
(ii) )( 02
2
xx
f gt 0
(iii) )( 02
2
xx
f)( 02
2
xy
f)(
2
2
oxx
f)( 02
2
xx
f gt 0
Para un valor maacuteximo las condiciones (i) y (iii) se mantienen la uacutenica que cambia en la segunda en donde esta debe ser negativa Para un punto silla se requiere que al menos no se cumplan las condiciones de valor maacuteximo ni miacutenimo y que la uacuteltima condicioacuten (iii) sea distinta de cero En caso contrario el criterio no permite clasificar dicho valor como se mostraraacute en un ejemplo maacutes adelante Ejemplo- Ahora continuando con los ejemplos anteriores
(1) Para f(xy) = x2+y2 el valor critico es el origen y el hessiano asociado es
2
1
212100
02
2
1)(
h
hhhhhH
Como se pude apreciar el primer valor es positivo 2 gt0 y el determinante de
la funcioacuten 20
02det es igual a 4 que a la vez es positivo de manera tal que la
funcioacuten posee un valor miacutenimo en el origen
(2) g(x y) = 4x3 -12x + y2 los puntos criticos son (-10) y (10) y el hessiano asociado a esta forma cuadraacutetica es
2
1
212120
024
2
1)(
h
hxhhhhHg
Ahora al evaluar en los puntos se tiene En el (-10)
2
1
212120
024
2
1)(
h
hhhhhHg
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En donde -24 lt 0 y det Hg = -48 lt0 con lo cuaacutel debe de ser un punto silla
En el (10)
2
1
212120
024
2
1)(
h
hhhhhHg
En donde 24 gt 0 y det Hg = 48 gt0 con lo cuaacutel debe de ser un punto miacutenimo
Tal como se habiacutea estimado en la graacutefica del campo gradiente de la
solucioacuten anterior A continuacioacuten se muestra un bosquejo de dicha graacutefica realizado en el derive
Ejemplos de cuando el criterio permite clasificar los
valores criacuteticos
Ejemplo- A continuacioacuten se mostrara un ejemplo de cuando el criterio no concluye asiacute si la funcioacuten es h(xy) = x4+y4 al calcular las derivas parciales mixtas fx=4x3 y fy=4y3 se encuentra un solo valor critico el origen miestras que la matriz asociada del hessiano es
2
2
120
012
y
x y al evaluar en el origen queda expresada como
00
00
)0(120
0)0(122
2
En donde se puede apreciar que fallan todos los criterios una inspeccioacuten de
la funcioacuten original permite ver que la funcioacuten tiene un valor miacutenimo en dicho punto pero no es una generalizacioacuten es decir no se puede decir que siempre que aparezca la matriz de ceros se tenga un valor miacutenimo dado que si se analiza ahora a las funciones k(xy) = -x4-y4 y p(xy) = x4-y4 ambas tienen como calor extremo al origen y la matriz hessiana asociada a la forma cuadraacutetica evaluada en el origen es la matriz de ceros
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Ejemplo- Otro ejemplo en donde el criterio no concluye es el siguiente en
donde el determinante de la matriz H es cero debido a que la segunda derivada de la funcioacuten f con respecto a la segunda variable se anula (fyy = 0) y no se puede asegurar que se tenga un punto maacuteximo miacutenimo o silla
Las funciones f1(xy) = x2 f2(xy) = -x2 y f3(xy) = x3 presentan este
problema a continuacioacuten se muestran las graficas de dichas funciones
En cada una de ellas los puntos criacuteticos son las parejas en el plano (0 y) Es decir el eje coordenado X
El Hessiano respectivo de cada uno es el siguiente
00
02)(1 yxH
00
02)(2 yxH
00
03)(3
xyxH
Note que el determinante de cada de estas matrices se hace cero y que fyy
se anula en cada caso
Ahora observando las graacuteficas se verifica visualmente que en la primera se tienen valores miacutenimos en la segunda maacuteximos y en la uacuteltima no es ni maacuteximo ni miacutenimo o punto silla
Ejemplo- Citemos otro ejemplo en donde el criterio de maacuteximos y miacutenimos
no concluye Determine los puntos criacuteticos de la funcioacuten h(xy) = x4 Se tiene que hx=4x3=0 y hy=0 de donde se deduce que la funcioacuten tiene
un nuacutemero infinito de puntos criacuteticos estos son las parejas ordenadas en el plano (0y)
La matriz del Hessiano asociado es
00
012)(
2
1
xyxH y evaluando en el punto
00
00)0(1 yH
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En donde no se puede clasificar a los valores criacuteticos sin embargo
realizando una inpeccioacuten de la funcioacuten se puede concluir que todos los puntos representan valores miacutenimos de la funcioacuten original a continuacioacuten se muestra la grafica de la misma
El Hessiano para n variables y el criterio de clasificacioacuten
Cuando la funcioacuten tiene maacutes de dos variables se genera una matriz asociada H en cada uno de los valores criacuteticos de la siguiente forma
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
H
21
22221
11211
De aquiacute se definen las siguientes matrices
111 aH 2221
1211
2aa
aaH hellip HH n
Los criterios para los valores criacuteticos de la funcioacuten RRf n son los
siguientes [Miacutenimo Local] La funcioacuten f posee un valor extremo local miacutenimo en x0 si todos los determinantes de las submatrices evaluados en x0 son positivos
0det 1H 0det 2H hellip 0det 2H (+ + hellip +)
En este caso la forma cuadraacutetica se puede probar que es definitivamente positiva [Maacuteximo Local] La funcioacuten f posee un valor extremo local miacutenimo en x0 si todos los determinantes de las submatrices evaluados en x0 se alternan en signo pero el primero de ellos debe ser negativo
0det 1H 0det 2H hellip 0det 2H (- + - + hellip )
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En este caso la forma cuadraacutetica se puede probar que es definitivamente negativa [Punto Silla] La funcioacuten f posee un punto silla si no se cumplen los criterios de valor miacutenimo o maacuteximo y al menos uno de los subdeterminantes es distinto de cero
Existe un i tal que 0det iH
Ejemplos- Determine los valores criacuteticos de las siguiente funcioacuten f(x y z w) = x3 - 3x + y3 ndash 3y + z2 + w2 y claacutesifiquelos Solucioacuten- Al resolver las siguientes ecuaciones
033 2 xxf x 033 2 yyf y 02zf z y 033 2 wwfw
Se obtienen cuatro puntos criacuteticos que son (-1-100) (-1100) (1-100) y (1100) ahora se genera la matriz del hessiano asociado siendo esta
2000
0200
0060
0006
y
x
H
Al evaluar en cada uno de los puntos se tienen las siguientes matrices
2000
0200
0060
0006
)0011(H
2000
0200
0060
0006
)0011(H
2000
0200
0060
0006
)0011(H y
2000
0200
0060
0006
)0011(H
Los sub determinantes para cada uno de los puntos son [(-1 -1 0 0)] -6 36 72 144 que clasifica como un punto silla [(-1100)] -6 -36 -72 -144 que clasifica como un punto silla [(1-100)] 6 -36 -72 -144 que clasifica como un punto silla [(1100)] 6 36 72 144 que clasifica como un valor miacutenimo De manera tal que la funcioacuten tiene tres puntos silla y un valor miacutenimo
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Ejercicios- Determine los puntos criacuteticos de las siguientes funciones y claacutesifiquelos utilizando el criterio del Hessiano
(1) f(x y) = x2 - y2 (Silla de montar)
(2) g(x y) = 22 yx (Cono)
(3) h(x y z) = x4 - 2x2 + 2y3 -3y2 + z3-3 Ejercicio- Se requiere construir una lata con tapa que contenga un litro de agua con el miacutenimo de material determine las condiciones que oacuteptimizan el problema Ejercicio- Determine el producto maacuteximo de tres nuacutemeros si la suma de ellos debe ser 40 Ejercicio- Determine la distancia miacutenima del origen a la graacutefica de la funcioacuten f(xy) = 4-x2+y Ejercicio- Estudie los ejemplos resueltos que trae el libro de Marden Tromba en el capitulo 4 en especial el referente a la ecuacioacuten de miacutenimos cuadrados Ejercicio- Determine la ecuacioacuten lineal que mejor se ajusta a los puntos (12) (2 32) (3 389) (4 488) (5 55) Utilize el criterio de miacutenimos cuadrados en caso de que el modelo sea lineal (justifique la linealidad del mismo realice una graacutefica de los puntos y de la liacutenea que ajusta a los puntos) Ejemplo- (Aplicacioacuten) En este ejemplo dermina la distancia miacutenima del punto (100) a la graacutefica de una funcioacuten f(x y) = x2+y2
Solucioacuten- Todos los puntos que se encuentran sobre la graacutefica de la funcioacuten satisfacen la siguiente terna de valores en donde se observa que la tercer componente es la variable dependiente (x y x2+y2)
La distancia del punto (1 0 0) a los puntos que estaacuten sobre la graacutefica (x y x2+y2) Se define por medio de la funcioacuten
2222222 )()1()()001()( yxyxyxyxdyxfd
Para determinar el valor miacutenimo o maacuteximo de esta funcioacuten basta con
analizar su argumento dado que es un funcioacuten creciente Es decir Si x1lt x2
entonces f(x1) lt f(x2) lo que es vaacutelido para la funcioacuten )( xxf (ver graacutefica)
2x
1x
x1 x2
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De este modo la funcioacuten a maximizar es
2222222
11 )()1()()001()( yxyxyxyxdyxfd
De aquiacute al las derivadas parciales son
)(4)1(2)( 22
1 yxxxyxfd x y )(42)( 22
1 yxyyyxfd y
Igualando ambas ecuaciones a cero se puede establecer la siguiente
ecuacioacuten
)(4
)(4
2
2222
22
yxy
yxx
y
x (3)
De aquiacute si )00()( yx y 0y se concluye que -1=0 lo cual es una
contradiccioacuten Por otra parte si (xy)=(00) en la primera ecuacioacuten se tiene que 1=0 que es tambieacuten una contradiccioacuten Finalmente si se considera el caso en
que y=0 se obtiene de la siguiente ecuacioacuten 012 3 xx
El polinomio 12)( 3 xxxP tiene una raiacutez entre el cero y el 1 dado
que P(0)=-1 y P(1)=2 Con el anaacutelisis de raiacuteces racionales dos posibles raiacuteces
son 2
1 y como
2
1 estaacute entre cero y uno al usando divisioacuten sinteacutetica se
obtiene que 4
1
2
1P Asiacute que la raiacutez debe de estar en el intervalo 1
2
1
Ahora usando el meacutetodo de Newton con semilla en 2
10x se obtiene
que 6010
6
2
54
1
2
1
)(
)(
0
0
01xf
xfxx
Ahora al evaluar la funcioacuten en dicho punto se tiene que 0320)60(P el
cual es aceptable como raiacutez del polinomio en una sola interaccioacuten De manera tal que el punto criacutetico de la funcioacuten es el (060) El Hessiano asociado es
24128
82412)(
22
22
xyxy
xyyxyxH
Como se puede apreciar el primer elemento de la matriz es positivo independientemente de los valores de x e y Falta evaluar el determinante de H este es igual a
)64)2412)(2412()(det 222222 yxxyyxyxH
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Ahora evaluando en (06 0) se tiene 7421)443)(326()060(det H
Que tambieacuten es positivo de manera tal que se tiene un valor miacutenimo Es
decir la se obtuvo la distancia miacutenima
Maacuteximos y Miacutenimos con restricciones
Los muacuteltiplicadores de Lagrange permite determinar valores maacuteximos o miacutenimos de funciones con restricciones De este tipo de problemas esta lleno nuestro contorno desde el panedero que desea producir la maacutexima cantidad de pan pero con la restriccioacuten del capital que tiene o la posible venta del diacutea para que no tenga sobrantes
Citemos el siguiente ejemplo la graacutefica de paraboloide z = x2+y2 esta
graacutefica soacutelo tiene un valor miacutenimo en el origen sin embargo si esta restringida
al cuadrado unitario 1111 la funcioacuten alcanza cuatro puntos maacuteximos en
los puntos (-11)(-1-1) (1 -1) y (11) a saber dicho valor es 2 Como se observa en la figura
Ahora si se trabaja con la silla de montar con la misma restriccioacuten esta
funcioacuten tiene originalmente un punto silla en el origen pero al analizar las restricciones se contiene dos valores maacuteximos y dos miacutenimos en los puntos (10) (-10) (0-1) y (01)
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Muacuteltiplicadores de Lagrange Teorema- Dadas dos funciones fg Rn a R diferenciables en X0 elemento del dominio de ambas funciones Si Lc es el conjunto de nivel de valor c de la funcioacuten g y si f posee un valor maacuteximo miacutenimo o silla en la restriccioacuten Lc
entonces existe un nuacutemero real λ tal que )()( 00 XgXf
Se puede ver parte de la demostracioacuten de este teorema en el libro de Marsden Tromba Para clasificar los puntos criacuteticos se utiliza el criterio del Hessiano limitado el cuaacutel se define a partir de la funcioacuten auxiliar H(x1 x2 hellip xn) = f(x1 x2 hellip xn) - λ g(x1 x2 hellip xn)
nnnn
n
n
xxxxx
xxxxx
xx
hhg
hhg
gg
H
1
1111
10
||
Ahora defina los siguientes determinantes
22122
21111
210
|| 1
xxxxx
xxxxx
xx
hhg
hhg
gg
H
3323131
3222121
3121111
3210
|| 2
xxxxxxx
xxxxxxx
xxxxxxx
xxx
hhhg
hhhg
hhhg
ggg
H ||det|| HHn
Criterios para maacuteximos y miacutenimos con restricciones (Hessiano liacutemitado) [Miacutenimo Local] Se tiene un miacutenimo local si y soacutelo si todos los determinantes son negativos |H1| lt0 |H2| lt0 hellip |Hn|lt0 ( - - - - - hellip)
[Maacuteximo Local] Se tiene un maximo local si y soacutelo se inicia con un determinante positivo y luego se alternan los signos |H1| gt 0 |H2| lt 0 hellip |Hn|lt0 (+ - + - hellip)
[Punto del tipo Silla] Se tiene un punto tipo silla sino se satisface los criterios de maacuteximos o miacutenimos y al menos uno de los determinantes es distinto de cero Ejemplo- Determine si la funcioacuten f(xy)= x2 ndash y2 tiene valores criacuteticos en la restriccioacuten x2+y2=1
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)(2
2
2
2)( 00 Xg
g
g
y
x
y
x
f
fXf
y
x
y
x
de aquiacute se obtienen las ecuaciones 2x = 2 λx -2y = 2 λy x2 + y2 =1 Las soluciones de este sistema de ecuaciones son (-101) (101) (0-1-1) y (0-11) El Hessiano liacutemitado es
2202
0222
220
||
y
x
yx
H
El determinante es igual a det|H| = 8x2(1+λ) ndash 8y2(1-λ) ahora evaluando
cada uno de los puntos se tiene que det|H|(-101) = 16 gt 0 det|H|(101) = 16 gt 0 det|H|(0-1-1) = -16 lt 0 det|H|(0-11) = -16 lt 0
De manera tal que la funcioacuten posee dos valores maacuteximos en los puntos (-10) y (10) y por otra parte tiene dos valores miacutenimos en los puntos (0-1) y (0-1) Ejemplo- Determine si la funcioacuten f(xy)= x2+y2 tiene valores criacuteticos en la restriccioacuten x2-y2 le 4 Al iniciar este estudio se trabaja con el interior es decir x2-y2 lt 4 dando como resultado el anaacutelisis de maacuteximos y miacutenimos de una funcioacuten en general de donde el gradiente de f se anula uacutenicamente en el origen siendo este valor un miacutenimo como se habiacutea visto en un ejercicio anterior para la funcioacuten del paraboloide Ahora al trabajar sobre la frontera se usa el criterio de muacuteltiplicadores de Lagrange
)(2
2
2
2)( 00 Xg
g
g
y
x
y
x
f
fXf
y
x
y
x
de aquiacute se obtienen las ecuaciones 2x = 2 λx 2y = -2 λy x2 - y2 = 4
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Las soluciones de este sistema de ecuaciones son (-201) y (201) El Hessiano liacutemitado es
2202
0222
220
||
y
x
yx
H
El determinante es igual a det|H| = -8x2(1+λ) + 8y2(1-λ) ahora
evaluando en cada uno de los puntos se tiene que det|H|(201) = -64 gt 0 y det|H|(-201) = -64 lt 0
De manera tal que la funcioacuten posee dos valores miacutenimos en los puntos (-20) y (20)
Una anaacutelisis de la graacutefica de esta funcioacuten permite visualizar que dichos
puntos no son miacutenimos maacutes bien son puntos tipos silla y no es que el criterio falle sino maacutes bien que los valores son miacutenimos pero sobre el complemento es decir bajo la restriccioacuten x2-y2 ge 4 Ejemplo- Determine los valores criacuteticos de la funcioacuten f(xyz) = 2x+y+3z sujeta a la restriccioacuten x2+y2+z2 le 36 Solucioacuten- Un anaacutelisis de las condiciones iniciales muestra que la graacutefica a maximizar en un hiperplano restringido en su dominio a una esfera de radio 6 de acuerdo a estas condiciones la funcioacuten en su interior no debe tener valor criacuteticos y en la frontera debe tener un valor miacutenimo y un valor maacuteximo En el interior- Al derivar la funcioacuten original se tiene lo siguiente
3
1
2
)( 0
z
y
x
f
f
f
Xf
De aquiacute se observa que la funcioacuten no posee valores criacuteticos en todo su dominio tal y como se esperaba Frontera- Al utilizar las condiciones del los Muacuteltiplicadores de Lagrange se tiene lo siguiente
)(
2
2
2
3
1
2
)( 00 Xg
z
y
x
f
f
f
Xf
z
y
x
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De aquiacute se genera el siguiente sistema de ecuaciones 2 = 2λx 1 = 2λy 3 = 2λz x2+y2+z2=36
Resolviendo el sistema se concluye que 2
1
1yx amp
2
3z Ahora
sustituyendo en la uacuteltima ecuacioacuten se deduce que la funcioacuten posee dos valores criacuteticos que son
18
14
14
1427
14
149
14
1418amp
18
14
14
1427
14
149
14
1418
La funcioacuten auxiliar es H(xyzλ) = 2x+y+3z-λ(x2+y2+z2) donde Hx=2-2λx Hy=1-2λy Hz=3-2λz El Hessiano Liacutemitado es
2002
0202
0022
2220
||
z
y
x
zyx
H
De aquiacute
0
0)(8
202
022
220
|| 22
1si
siyx
y
x
yx
H
0576)(16
2002
0202
0022
2220
|| 22222 zyx
z
y
x
zyx
H
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De aquiacute se desprende que la funcioacuten f(xyz) = 2x+y+3z posee un valor miacutenimo
en el punto 18
14
14
1427
14
149
14
1418 restringido a x2+y2+z2 = 36 y un
maacuteximo en el punto 18
14
14
1427
14
149
14
1418
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Tarea nuacutemero 4 Maacuteximos y Miacutenimos
Objetivo- Que el alumno sea capaz de aprender a resolver problemas asociados a la vida real haciendo uso del caacutelculo de varias variables Aquiacute se enuncian los siguientes ejercicios adicionales dado que muchos de los mismos se fueron exponiendo a lo largo del capiacutetulo y se sugiere que se revisen los problemas resueltos y propuestos en la libros de la bibliografiacutea dado que las aplicaciones son muchas 1- Determine los valores maacuteximos y miacutenimos de la funcioacuten f(xy) = x +y sujeta a la restriccioacuten x2+2y2le18 (Realice un bosquejo de la graacutefica y se restriccioacuten)
2- Determine los valores maacuteximos y miacutenimos de la funcioacuten f(xy) = x2 +y2 sujeta a la restriccioacuten x+2y le 4 (Realice un bosquejo de la graacutefica y se restriccioacuten)
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Bibliografiacutea
1 Caacutelculo Vectorial Marsden amp Tromba Addison-Wesley Iberoamericana
2 Caacutelculo Multivariable James Steward Thomson Editores
3 Caacutelculo con Geometriacutea Anaacutelitica Zill Grupo Editorial Iberoameacuterica
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Como se puede observar el poder estudiar un fenoacutemeno real por medio de un modelo matemaacutetico es fundamental para poder realizar predicciones del mismo por medio de las propiedades de la funcioacuten asociada al mismo como el hecho de que la funcioacuten sea creciente que tenga un valor maacuteximo Se mostraran algunos ejemplos maacutes adelante con la finalidad de motivar el estudio de los fenoacutemenos reales por medio de las matemaacuteticas Definicioacuten- (Funcioacuten) Una funcioacuten es una regla de asignacioacuten entre dos conjuntos A y B que asigna a cada elemento del conjunto A uno y soacutelo uno del conjunto B El conjunto de partida A se le denomina el dominio de la funcioacuten mientras que el conjunto de llegada es B se le conoce como el codominio de la funcioacuten En el caso de varias variables se tiene que A es un subconjunto de Rn mientras que el conjunto B es un subconjunto de Rm Aquiacute es importante que a ninguacuten elemento del dominio se le asigne al mismo tiempo dos elementos del codominio y a la vez que a ninguno del dominio quede sin ser asignado Un ejemplo de esto se presenta en la siguiente funcioacuten que va del conjunto dominio A = 1 2 3 al conjunto B = 2 4 6 8 al definir la funcioacuten f que asigna a cada elemento del dominio con su doble se tiene que f(1) = 2 f(2) = 4 y f(3) = 6 Ahora una funcioacuten de dos variables se puede definir a partir de los conjuntos C = (12) (23) (34) (36) y D =3 4 5 6 7 8 9 en donde la funcioacuten g C D representa la suma de los diacutegitos de cada pareja ordenada
En este caso g(12) = 3 g(23) = 5 y asiacute sucesivamente Cabe sentildealar que la pareja ordenada (12) es distinta a la pareja (21) en donde esta uacuteltima no pertenece dominio de la funcioacuten
6 5 Suma g(12) = 3 4 3 2 (12)
1 (21) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 0 1 2 3 4 5 6 Las parejas (12) y (21) ocupan distintas posiciones en el plano La segunda de ellas no pertenece al dominio de la funcioacuten de manera tal aunque se pudiera evaluarla pareja ordenada no se contempla por el hecho de que la funcioacuten no esta definida en dicho valor
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Un ejemplo de esta funcioacuten ocurre si consideramos el total que se tiene que pagar en una tienda despueacutes de comprar dos artiacuteculos distintos Otro de ellos se presenta al tomar una evaluacioacuten de calidad de cierto artiacuteculo en donde se van sumando los puntos y no necesariamente serian dos variables
Otra caracteriacutestica que se presenta en esta tipo de funciones es que los valores esteacuten bien definidos al momento de evaluar como el hecho de que no se puede dividir entres cero y no se pueden sacar raiacuteces de nuacutemeros negativos Este hecho es importante para detallar el dominio de algunas funciones
asiacute el dominio de la funcioacuten xxk 4)( esta restringido al hecho de que la
variable x sea menor a cuatro dado que el argumento 4-x debe de ser no negativo es decir 4-x 0 y de aquiacute se tiene que 4 x
Cuando se involucran dos variables un ejemplo es encontrar el dominio
de la funcioacuten yxyxh 44)( y por analogiacutea con el problema anterior
se sabe que 4 x y a la vez que 4 y quedando el dominio descrito de la siguiente manera D = (xy) 4 x 4 y
6 D Dominio de la funcioacuten 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7
Ejemplo- Determine el dominio de la funcioacuten 2 2( ) 9 h x y x y Aquiacute se tiene
que el argumento de dicha funcioacuten debe de ser positivo en donde el dominio
de la funcioacuten es 2 29 0x y que es equivalente a 2 29 x y que representa
a un ciacuterculo de radio 3 y centrado en el origen
Si la funcioacuten es 2 2
1( )
9h x y
x y el dominio es casi el mismo
eliminando en donde el argumento se hace cero debido a que no estaacute definida la divisioacuten entre cero siendo el dominio el mismo circulo del ejemplo anterior pero sin la orilla
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Como se puede apreciar el dominio de estas funciones estaacute definido por regiones en el plano cartesiano cuando el dominio de la funcioacuten estaacute contenido en R2
Derivadas Parciales La derivada parcial de una funcioacuten de varias variables consiste en derivar la funcioacuten con respecto a la variable en cuestioacuten y dejar a las otras variables fijas como si fuesen constantes Por ejemplo al derivar la funcioacuten f(x y z) = x2 + 3xy3 - 3xz las derivadas de f con respecto a x y y z se describen a continuacioacuten y se denotan cada una de ellas por medio de los simbolos fx fy y fz fx(x y z) = 2x + 3y3 - 3z fy(x y z) = 9xy2 fz(x y z) = - 3x Definicioacuten- (Gradiente de una funcioacuten) El gradiente de una funcioacuten real se define como el vector que contiene en sus componentes a sus primeras derivadas parciales Asiacute para el ejemplo anterior el gradiente de f es y se denota por
3
2
2 3 3
9
3
x
y
z
f x y z
f f xy
f x
Ejemplo- Determine el gradiente de las siguientes funiones g(xy)=(x2 y4) y h(xyzw) = 2x+y2-3z+8w
3
2( )
4
x
y
h xh x y
h y
2
2( )
3
8
x
y
z
w
g
g yg x y z w
g
g
El vector gradiente tiene varias propiedades que son muy uacutetiles una de ellas nos indica la direccioacuten de maacuteximo crecimiento y otra de ellas es que es un
vector tangente a las curvas de nivel de una funcioacuten
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Definicioacuten- (Derivada Direccional) La derivada direccional de una
funcioacuten en un punto (x0 y0) y en direccioacuten de un vector v=(AB) se define como el producto del gradiente de la funcioacuten evaluado en el punto (x0 y0) por el vector V dividido entre la norma de mismo vector
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Tarea nuacutemero 2 materia de Caacutelculo 3 Objetivo- Que el alumno sea capaz de interpretar la nocioacuten de liacutemite en varias variables identifique la graacutefica de funciones y haga uso de la derivadas parciales 1- Determine el dominio de las siguientes funciones
(1a) f(x y z) = 2221 zyx
(1b) g(x y) = xy
2
(1c) f(x y) = xy
(1d) g(x y) = y4
(1e) f(x y) = y
x
4
4
(1f) h(x y) = 24
1
xy
2- Realice un bosquejo de las siguientes graacuteficas
22 zyx 22 2zxy 22 yxz 222 yxz
3- Determine los siguientes liacutemites
(31) xyxyxyxf y 210)( 3 cuando (xy) tiende a (12)
(32) yx
zyzxzyxf
33
)( cuando (xy) tiende a (112)
(33) )00()(
)00()(
0
3
3
)(
44
32
yx
yx
Siacute
Siyx
yx
yxk cuando (xy) tienden a (00)
En caso de existir indique haciendo uso de la nocioacuten
(34) )()(2
zxyxxxy
xxyyxzyxF z cuando (xyz) tiende a (012)
4- Indique de las funciones del ejercicio anterior son continuas y en que dominio 5- Determine si las funciones del ejercicio tres son de clase C1 6- Determine la ecuacioacuten del plano tangente a la graacutefica de la funcioacuten g(xy) = x4-10y3 en el punto (1-1) y en el punto (12) grafique en la computadora y agregue en el documento de la tarea 7- Determine los conjunto de nivel de valor -2 -1 0 1 2 de las funciones (7a) f(x y) = 3x2 + 3y2
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(7b) g(x y) = 22 44 yx
(7c) h(x y) = 1 ndash y + x2 (7d) k(x y z) = x2 + y2 + z2 Indique las graacuteficas en computadora y agregue en el reporte
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Capiacutetulo 3
Trayectorias
En este capiacutetulo se realiza el estudio de las propiedades de las funciones vectoriales es decir se hace incapie en el concepto de funcioacuten y la de un vector
Este concepto permite describir entre otras cosas el camino seguido por una partiacutecula en el espacio con el ingrediente adicional de tener a la mano los conceptos de velocidad y aceleracioacuten derivados a partir de una sola ecuacioacuten aquella que guarda la relacioacuten de posicioacuten de la partiacutecula con respecto al tiempo
Por ejemplo al mover una onda esta describe un movimiento circular si
la onda se suelta un objeto puesto en ella sale disparado en forma tangencial Este movimiento se puede representar con vectores y debe de expresar que la velocidad sea tangente a la trayectoria que sigue dado que la piedra abandona la onda en liacutenea recta
Si esto se extrapola al vuelo de una mosca se puede inferir que la velocidad de la misma sea tangencial a la trayectoria que va recorriendo en cada punto esto se muestra en la siguiente graacutefica
Observe que el hecho de contar con la orientacioacuten del vector velocidad permite no soacutelo inferir la velocidad de escape de la partiacutecula sobre la curva sino a la vez conocer la orientacioacuten del movimiento de la misma
Definicioacuten- (Trayectoria) Una trayectoria es una funcioacuten que parte de los nuacutemeros reales al espacio n Euclidiano Es decir es una funcioacuten de la forma
))()()(()( 21 txtxtxt n
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Caso particular de una trayectoria de los reales a plano En el caso de una trayectoria de los reales al plano se puede ilustrar con el siguiente diagrama
σ(a) σ(b) a b
2][ Rba ))()(()( tytxt
Una forma de ilustrar esto es pensar que la variable t es el tiempo y la imagen corresponde a la trayectoria de un objeto en el plano asiacute que el tiempo t=a la partiacutecula se encuentra en el punto σ(a) que es el inicio del recorrido de la misma mientras que tiempo final t=b se localiza al final de la trayectoria de estudio
Se puede observar una flecha indicativa del sentido de la partiacutecula a lo largo de la trayectoria
Ecuacioacuten Parametrica y Cartesiana de una curva
Ejemplo- Dada la trayectoria )()( 2ttt con 22t realice una
graacutefica de dicha trayectoria
t ))()(()( tytxt
-2 )42()(t
-1 )11()(t
0 )00()(t
1 )11()(t
2 )42()(t
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Como se puede apreciar la imagen de la trayectoria que recibe el
nombre de curva es una paraacutebola esto se puede ver si se realiza lo siguiente
Como x = t y = t2 entonces se puede deducir que y=x2 la ecuacioacuten correspondiente a la graacutefica de una paraacutebola esta ecuacioacuten corresponde a sus coordenadas cartesianas por otra parte si se rescribe en forma de trayectoria se dice que la ecuacioacuten es su ecuacioacuten cartesiana dado que depende de un solo paraacutemetro
Parametrizacioacuten de una funcioacuten real Si y es una variable dependiente de la variable x es decir existe
una regla de asignacioacuten f tal que y = f(x) con bxa En donde a
cada elemento x le asigna uno y soacutelo un valor y La graacutefica de esta funcioacuten se debe de ver como un trazo en el plano de la siguiente forma
La graacutefica no puede ser de la siguiente forma
y2
y3
y1 y4
X1 X2
Note que al valor de x2 le asigna tres valores de y lo cual no
cumple con las condiciones para que f sea una funcioacuten Ahora la graacutefica de una funcioacuten de esta tipo no es otra cosa que
la imagen de una trayectoria la cual se puede parametrizar de la siguiente forma
Como y = f(x) entonces defina x = t y por consiguiente y=f(t) en
donde bta
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-4 -2 2 4
-30
-20
-10
10
20
30
-2 -1 1 2
-2
-1
1
2
Asiacute en el caso de la paraacutebola la parametrizacioacuten adecuada es x
=t y = t2 tal como estaba planteada originalmente Ahora si la funcioacuten es y = 2x3-10x con 44 x entonces la
parametrizacioacuten adecuada es
)102()( 3 tttt 44 t
La graacutefica de esta curva asociada a la trayectoria es
Parametrizacioacuten de una circunferencia Elipse e Hipeacuterbola
La ecuacioacuten cartesiana de una circunferencia con centro en el origen y
radio dos estaacute dada por 422 yx Al intentar escribir esta ecuacioacuten en
funcioacuten de un solo paraacutemetro se requiere despejar a la variable y obteniendo
dos funciones que son 24 xy Con 22 x
La graacutefica de esta curva permite visualizar que no pertenece a una
funcioacuten sino maacutes bien a dos que son las enunciadas anteriormente y como se ve a continuacioacuten
24 xy
24 xy
Una forma de representar esta curva es por medio de dos trayectorias
)4()( 2
1 ttt y )4()( 2
2 ttt 22t
Una forma alternativa de representar esta curva es por medio del uso de coordenadas polares en donde x=rCos(t) y= rSen(t) como el radio es fijo y es igual a dos estas ecuaciones se pueden escribir en funcioacuten de un solo paraacutemetro ldquotrdquo x=2Cos(t) y=2Sen(t) note que al evaluar x2+y2=4Cos2(t)+4Sen2(t) = 4(Cos2(t)+Sen2(t))=4 con lo cual satisface la
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ecuacioacuten de la circunferencia quedando expresada la trayectoria de la siguiente forma
σ(y) = (2Cos(t) 2Sen(t) con 0letle2π En esta ecuacioacuten define por completo a la curva auacuten y cuando la
ecuacioacuten original no es una funcioacuten siendo esto una ventaja del estudio de la trayectorias
Ejemplo- La parametrizacioacuten de la elipse 12
2
2
2
b
y
a
x queda
expresada por x = aCos(t) y=bSen(t) se deja como ejercicio comprobar este resultado
Ejemplo- La parametrizacioacuten de la hiperbola 12
2
2
2
b
y
a
x queda
expresada por x = aCosh(t) y=bSenh(t) en donde se trabaja con las funciones de Seno y Coseno hiperboacutelicas se deja como ejercicio comprobar este resultado (aunque soacutelo permite representar el lado correspondiente a los cuadrantes I y IV en donde la x es no negativa
Derivada de una trayectoria La derivada de una trayectoria es un vector tangente a la curva esto se
deriva del siguiente anaacutelisis
Dada la trayectoria σ(t) se grafican la posicioacuten de la curva al tiempo t y t+h luego trace el vector asociado a la liacutenea secante que une los puntos de aquiacute al tomar valores cada vez maacutes pequentildeos de h el vector secante se convierte en un vector tangente a la curva como se muestra a continuacioacuten
Por otra parte el anaacutelisis vectorial de este cociente es
)()()(
0
tt
tht
h
Liacutem
Es decir la derivada de la trayectoria y el vector resultante es
tangente a la curva
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Asiacute para el caso de una curva en el plano la trayectoria se puede describir por medio de dos funciones x(t) y(t) de la siguiente forma
)(
)()(
ty
txt
En donde la derivada de esta funcioacuten es
)(
)()(
ty
txt
Vector tangente a la graacutefica de una circunferencia de radio R Ahora si se tiene la parametrizacioacuten de una circunferencia esta esta
dada por σ(t) = ( RCos(t) R Sen(t))
Y X
Un vector tangente tiene que cumplir que su producto punto tiene que
ser cero de aquiacute si V=(AB) al multiplicarlo por el vector σ su producto punto tiene que ser cero
De aquiacute que σ(t)V = ARCos(t) + BRSen(t) = 0 Existiendo muchas soluciones a este sistema de ecuaciones siendo una
de ellas cuando A = Cos(t) B=-Sen(t)
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Vector trasladado
Siendo este un vector tangente a la curva ahora al derivar las
componentes xrsquo(t) = -RSen(t) y(t) = RCos(t) que es un muacuteltiplo escalara del vector tangente mostrado anteriormente
Definicioacuten- (Rotacional) El rotacional de un campo vectorial
F=Pi+Qj+Rk de clase C1 de define como el vector
i j k
RotFx y z
P Q R
Ejemplos- Determine el rotacional de los siguientes campos vectoriales
F1=xi+yj+zk F2=x2yi-xy
2j-3zyk
Solucioacuten-
1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0
i j k
RotF z y i z x j y x kx y z y z x z x y
x y z
2 2 2 2
2
2 2
( 3 ) ( ) ( 3 ) ( ) ( ) ( )
3
i j k
RotF zy xy i zy x y j xy x y kx y z y z x z x y
x y xy zy
2 2
2
2 2
3 0
3
i j k
RotF z i j y x kx y z
x y xy zy
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Definicioacuten- (Divergencia) Si F es un campo vectorial de clase C1 la divergencia de F se define como un campo escalar de la siguiente forma
( )P Q R
divF div Pi Qj Rkx y z
Ejemplos- Determine la divergencia de los siguientes campos vectoriales F1=xi+yj+zk F2=x
2yi-xy
2j-3zyk
Solucioacuten-
1 ( ) ( ) ( ) ( ) 3divF div xi yj zk x y zx y z
2 2 2 2
2 ( 3 ) ( ) ( ) ( 3 ) 2 2 3 3divF div x yi xy j zyk x y xy zy xy xy y yx y z
Definicioacuten- (Laplaciano) Si f es un campo escalar de clase C2 el Laplaciano de f se define como un campo escalar de la siguiente forma
2 2 2
2
2 2 2xx yy zz
f f ff f f f f
x y z
Ejemplos- Determine la divergencia de los siguientes campos escalares g1(x
y z) = xy2z
3 g2(x y z) = x
2 + y
2 + z
2
2 2 2
2 2 3 2 3 2 3 2 3 3 2 2
2 2 2( ) ( ) ( ) 2 3 f f xy z xy z xy z y z yz xy z
x y z
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2( ) ( ) ( ) 6f f x y z x y z x y z
x y z
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Tarea nuacutemero 3 Trayectorias
Objetivo- Que el alumno sea capaz de comprender los conceptos de movimiento de una partiacutecula a lo largo de una trayectoria y de la importancia del uso de vectores en este tema 1- Si la trayectoria σ(t) = t2i+t2j define la trayectoria seguida por una partiacutecula con respecto al tiempo determine 1a- iquestEl tipo de trayectoria que describe 1b- Realice una graacutefica de la distancia recorrida por la partiacutecula con respecto al tiempo en los primeros tres segundos 1c- Determine el tipo de movimiento de la partiacutecula 1d- iquestSe puede afirmar que es un movimiento uniformemente acelerado 1e- Determine la aceleracioacuten y velocidad a los cuatro segundos 1f- Realice una graacutefica de su rapidez con respecto al tiempo 1g- Realice una graacutefica de sus aceleracioacuten con respecto al tiempo 1h- En la graacutefica de la trayectoria agregue graacuteficamente los vectores aceleracioacuten y velocidad 2- Realice lo mismo que en ejercicio anterior pero ahora con la funcioacuten γ(t) = Cos(t) i+5Sen(t)j 3- Dadas las funciones f(t) = 3t2i-4t3j+e2tk y g(t) = 4t3i+4t2j+e-2tk 3a- Determine la funcioacuten producto punto h = fg 3b- Determine la derivada de h 3c- Usando la regla de diferenciacioacuten determine la derivada de h y compruebe el inciso anterior 4a- Determine la funcioacuten producto cruz k = ftimesg 4b- Determine la derivada de h 4c- Usando la regla de diferenciacioacuten determine la derivada de h y compruebe el inciso anterior 5- Determine el Rotacional y la Divergencia del siguiente campo vectorial G(x y z) = 2xy i + 3xz j - 5xy k 6- Determine el gradiente y el Laplaciano del siguiente campo escalar f(xyz) = 4x2-3yz2 7- Dado el campo vectorial F(x y z) = 2xy i + x2 j +3z2 k 7a- Determine si F puede representar el gradiente de un campo escalar f 7b- En caso de ser afirmativa la respuesta del inciso anterior determine el campo escalar f 8- Pruebe que la divergencia del rotacional de un campo vectorial F=Pi+Qj+Rk es igual a cero Es decir la div rot F =0 9- Usando las reglas de diferinciacioacuten pruebe que
gfgfgf
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100 -x
Capitulo 4 Maacuteximos y miacutenimos
Es indispensable determinar en distintos problemas las soluciones oacuteptimas que permitan establecer por ejemplo los valores maacuteximos de produccioacuten o ahorrar el material en la construccioacuten de cierto equipo
Como se recordaraacute el gradiente de una funcioacuten indica la direccioacuten de
maacuteximo crecimiento esto se refleja en que si se toma la direccioacuten sugerida por este vector el valor de la funcioacuten aumenta en una vecindad del mismo asiacute si en un diagrama de un campo gradiente aparecen un punto en donde convergen la direccioacuten de todos los gradientes se encontraraacute que dicho valor debe de ser un valor maacuteximo para la funcioacuten de estudio Un diagrama de esta tipo se ejemplifica a continuacioacuten
Un diagrama en donde todos los vectores apuntan hacia fuera de un
punto indicaraacute que este punto debe de ser un valor miacutenimo de la funcioacuten Citemos el siguiente ejemplo de una variable con la finalidad de
centrarnos en el tema Una persona desea bardear un terreno en forma rectaacutengular cuanto debe de medir cada lado de manera tal que el aacuterea cercada sea maacutexima si se cuenta con 200 metros de malla
La funcioacuten que representa dicho modelo es
A(x) = x(100-x) x
Como se puede observar el aacuterea es cero si x es igual a cero o a cien con lo cuaacutel el lado x debe de estar en en intervalo [0 100] siendo estas las restricciones del problema Derivando la funcioacuten para obtener los valores critiacutecos se tiene que Arsquo(x) = 100 ndash 2x
Al igual la derivada a cero se concluye que el valor critico es x es igual a 50 Al derivar por segunda ocasioacuten se concluye que
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Arsquorsquo(x) = -2 Como la segunda derivada es siempre negativa se concluye que la funcioacuten alcanza un valor maacuteximo en el valor critico en este caso en x = 50 al interpretar dicho resultado se concluye que el terreno que optimiza la solucioacuten es un cuadrado Ejercicio- Que aacuterea se genera si el terreno es de forma circular Al resolver el ejercioacute anterior y comparar las aacutereas del cuadrado y del circulo se puede apreciar que el aacuterea del circulo es mayor pero en la praacutectica es poco atractivo cercar terrenos circulares por diversas razones pero en la naturaleza es comuacuten observar que las gotas de lluvia sean esferas esto permite el optimizar recursos y maacuteximizar el volumen del liacutequido contenido en la misma Se iniciara el estudio formal de maacuteximos y miacutenimos de funciones de varias variables observando las siguientes graficas con la finalidad de tener la idea clara de que es un maacuteximo o miacutenimo o un punto silla
En la primera de ellas se observa que la funcioacuten tiene un valor miacutenimo en la segunda se observa que la funcioacuten tiene un valor maacuteximo y en la uacuteltima la funcioacuten tiene un punto silla este se identifica el dirigirnos en una direccioacuten la funcioacuten crece mientras que en la otra la funcioacuten decrece
Definicioacuten- Una funcioacuten mn RRf tiene un valor maacuteximo local en x0 si en
una vecindad de dicho valor se cumple que la funcioacuten evaluada en todos los vecinos ninguno de ellos supera a f(x0) Es decir f(x0) f(x) para todo x en una vecindad de x0 El punto es llamado un maacuteximo absoluto si la funcioacuten toma el valor maacuteximo en dicho punto para todo valor de su dominio
Esto es muy similar cuando uno observa a los alumnos de un saloacuten de clases existe un alumno que tiene la mayor estatura si ninguno de sus compantildeeros lo supera Asiacute en la escuela el alumno de mayor estatura absoluta es aquel que supera a todo el plantel
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La definicioacuten para el miacutenimo local (absoluto) es similar
f(x0) f(x) para todo en una vecindad de x0 Por ejemplo la funcioacuten f(xy) = x2+y2 tiene un valor miacutenimo en el origen dado que en este valor la funcioacuten vale cero mientras que fuera de ahiacute siempre es positiva dado que todo nuacutemero real elevado al cuadrado es siempre positivo Ademaacutes dicho valor es un miacutenimo absoluto Como se menciono al inicio de esta capitulo el diagrama del campo
gradiente de esta funcioacuten y
xyxf
2
2)( indica que la funcioacuten tiene un valor
miacutenimo siendo la grafica del mismo la siguiente Sin embargo se requiere un criterio maacutes general y sistemaacutetico que permita establecer los posibles valores maacuteximos miacutenimos o puntos silla) Definicioacuten- (Un valor extremo) Si la funcioacuten posee un valor maacuteximo o miacutenimo este es llamado un valor extremo Definicioacuten- (Un valor critico) Un punto en donde la derivada de la funcioacuten se anula es llamado un valor critico Teorema- Todo valor extremo es un valor critico Es decir si f posee un valor extremo en x0 que pertenece a su dominio entonces la derivada de la funcioacuten en el punto x0 se anula Es decir Df(x0) = 0 Demostracioacuten- Sea l(t) una trayectoria que pasa a traveacutes por el punto x0 defina la composicioacuten de funciones h(t) = f(l(t)) donde l(t) = x0 + tv de donde lrsquo(t) = v y ademaacutes
))(()())(()( VtlftDltlDftDh (1)
Por otra parte como f posee un valor extremo en x0 suponga que dicho
valor es un maacuteximo entonces x0 seraacute a la vez un maacuteximo para la funcioacuten h y como h es una funcioacuten real esto significa que la derivada de h en dicho punto
se anula es decir 0)()0())0(()0( 0 vxfDllDfDh ahora como los
vectores )( 0xf y v no son necesariamente perpendiculares y el vector v a la
vez tampoco se anula entonces esto implica que el gradiente de f en x0 es igual a cero y por lo tanto f posee un valor criacutetico en x0
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Este resultado permite establecer posibles valores criacuteticos de una funcioacuten asiacute se menciona el siguiente ejemplo Ejemplo- Determine los posibles valores criacuteticos de las siguientes funciones (1) f(x y) = x2 + y2 y (2) g(x y) = 4x3 -12x + y2
Solucioacuten-
(1) 0
0
2
2)(
y
xyxf de aquiacute se concluye que dicho valor soacutelo
existe un valor criacutetico siendo este el origen el cuaacutel ya se clasifico en estos apuntes y resulto ser un valor miacutenimo
(2) 0
0
2
1212)(
2
y
xyxg de aquiacute se obtienen dos valores criacuteticos
que son (-10) y 1l (10) Los cuales se pueden clasificar el realizar el graacutefico del campo gradiente En donde se aprecia que en el punto (-10) la funcioacuten posee un punto silla mientras que en el punto (10) la funcioacuten posee un valor miacutenimo
Aquiacute se utilizaraacute el criterio del hessiano para determinar si el valor criacutetico es un maacuteximo un miacutenimo o un punto silla Solo se enunciara el teorema sin demostracioacuten para ver la misma puede revisar en el libro de Marsden Tromba de Caacutelculo Vectorial
Definicioacuten- El Hessiano de una funcioacuten 22 RRH de clase C2 se define como una funcioacuten cuadraacutetica que se escribe como
2
1
2
22
2
2
2
21212
1)(
h
h
y
f
yx
f
xy
f
x
f
hhhhH
Evaluada la matriz de las segundas derivas parciales en el valor criacutetico
Teorema- Si el Hessiano de una funcioacuten 2 RRf es definitivamente
positivo entonces la funcioacuten tiene un valor miacutenimo en dicho punto
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Corolario- Si la matriz asociada A=cb
ba de una forma cuadraacutetica dos
por dos es definitivamente positiva si y soacutelo si se cumple que agt0 y det A gt0
Teorema de una valor para un valor extremo miacutenimo- Una funcioacuten
2 RRf de clase C2 posee un valor extremo miacutenimo local en x0 elemento
del dominio de la funcioacuten si y soacutelo si se satisfacen las siguientes condiciones
(i) 0)( 0xx
f y 0)( 0x
y
f
(ii) )( 02
2
xx
f gt 0
(iii) )( 02
2
xx
f)( 02
2
xy
f)(
2
2
oxx
f)( 02
2
xx
f gt 0
Para un valor maacuteximo las condiciones (i) y (iii) se mantienen la uacutenica que cambia en la segunda en donde esta debe ser negativa Para un punto silla se requiere que al menos no se cumplan las condiciones de valor maacuteximo ni miacutenimo y que la uacuteltima condicioacuten (iii) sea distinta de cero En caso contrario el criterio no permite clasificar dicho valor como se mostraraacute en un ejemplo maacutes adelante Ejemplo- Ahora continuando con los ejemplos anteriores
(1) Para f(xy) = x2+y2 el valor critico es el origen y el hessiano asociado es
2
1
212100
02
2
1)(
h
hhhhhH
Como se pude apreciar el primer valor es positivo 2 gt0 y el determinante de
la funcioacuten 20
02det es igual a 4 que a la vez es positivo de manera tal que la
funcioacuten posee un valor miacutenimo en el origen
(2) g(x y) = 4x3 -12x + y2 los puntos criticos son (-10) y (10) y el hessiano asociado a esta forma cuadraacutetica es
2
1
212120
024
2
1)(
h
hxhhhhHg
Ahora al evaluar en los puntos se tiene En el (-10)
2
1
212120
024
2
1)(
h
hhhhhHg
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En donde -24 lt 0 y det Hg = -48 lt0 con lo cuaacutel debe de ser un punto silla
En el (10)
2
1
212120
024
2
1)(
h
hhhhhHg
En donde 24 gt 0 y det Hg = 48 gt0 con lo cuaacutel debe de ser un punto miacutenimo
Tal como se habiacutea estimado en la graacutefica del campo gradiente de la
solucioacuten anterior A continuacioacuten se muestra un bosquejo de dicha graacutefica realizado en el derive
Ejemplos de cuando el criterio permite clasificar los
valores criacuteticos
Ejemplo- A continuacioacuten se mostrara un ejemplo de cuando el criterio no concluye asiacute si la funcioacuten es h(xy) = x4+y4 al calcular las derivas parciales mixtas fx=4x3 y fy=4y3 se encuentra un solo valor critico el origen miestras que la matriz asociada del hessiano es
2
2
120
012
y
x y al evaluar en el origen queda expresada como
00
00
)0(120
0)0(122
2
En donde se puede apreciar que fallan todos los criterios una inspeccioacuten de
la funcioacuten original permite ver que la funcioacuten tiene un valor miacutenimo en dicho punto pero no es una generalizacioacuten es decir no se puede decir que siempre que aparezca la matriz de ceros se tenga un valor miacutenimo dado que si se analiza ahora a las funciones k(xy) = -x4-y4 y p(xy) = x4-y4 ambas tienen como calor extremo al origen y la matriz hessiana asociada a la forma cuadraacutetica evaluada en el origen es la matriz de ceros
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Ejemplo- Otro ejemplo en donde el criterio no concluye es el siguiente en
donde el determinante de la matriz H es cero debido a que la segunda derivada de la funcioacuten f con respecto a la segunda variable se anula (fyy = 0) y no se puede asegurar que se tenga un punto maacuteximo miacutenimo o silla
Las funciones f1(xy) = x2 f2(xy) = -x2 y f3(xy) = x3 presentan este
problema a continuacioacuten se muestran las graficas de dichas funciones
En cada una de ellas los puntos criacuteticos son las parejas en el plano (0 y) Es decir el eje coordenado X
El Hessiano respectivo de cada uno es el siguiente
00
02)(1 yxH
00
02)(2 yxH
00
03)(3
xyxH
Note que el determinante de cada de estas matrices se hace cero y que fyy
se anula en cada caso
Ahora observando las graacuteficas se verifica visualmente que en la primera se tienen valores miacutenimos en la segunda maacuteximos y en la uacuteltima no es ni maacuteximo ni miacutenimo o punto silla
Ejemplo- Citemos otro ejemplo en donde el criterio de maacuteximos y miacutenimos
no concluye Determine los puntos criacuteticos de la funcioacuten h(xy) = x4 Se tiene que hx=4x3=0 y hy=0 de donde se deduce que la funcioacuten tiene
un nuacutemero infinito de puntos criacuteticos estos son las parejas ordenadas en el plano (0y)
La matriz del Hessiano asociado es
00
012)(
2
1
xyxH y evaluando en el punto
00
00)0(1 yH
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40
En donde no se puede clasificar a los valores criacuteticos sin embargo
realizando una inpeccioacuten de la funcioacuten se puede concluir que todos los puntos representan valores miacutenimos de la funcioacuten original a continuacioacuten se muestra la grafica de la misma
El Hessiano para n variables y el criterio de clasificacioacuten
Cuando la funcioacuten tiene maacutes de dos variables se genera una matriz asociada H en cada uno de los valores criacuteticos de la siguiente forma
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
H
21
22221
11211
De aquiacute se definen las siguientes matrices
111 aH 2221
1211
2aa
aaH hellip HH n
Los criterios para los valores criacuteticos de la funcioacuten RRf n son los
siguientes [Miacutenimo Local] La funcioacuten f posee un valor extremo local miacutenimo en x0 si todos los determinantes de las submatrices evaluados en x0 son positivos
0det 1H 0det 2H hellip 0det 2H (+ + hellip +)
En este caso la forma cuadraacutetica se puede probar que es definitivamente positiva [Maacuteximo Local] La funcioacuten f posee un valor extremo local miacutenimo en x0 si todos los determinantes de las submatrices evaluados en x0 se alternan en signo pero el primero de ellos debe ser negativo
0det 1H 0det 2H hellip 0det 2H (- + - + hellip )
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41
En este caso la forma cuadraacutetica se puede probar que es definitivamente negativa [Punto Silla] La funcioacuten f posee un punto silla si no se cumplen los criterios de valor miacutenimo o maacuteximo y al menos uno de los subdeterminantes es distinto de cero
Existe un i tal que 0det iH
Ejemplos- Determine los valores criacuteticos de las siguiente funcioacuten f(x y z w) = x3 - 3x + y3 ndash 3y + z2 + w2 y claacutesifiquelos Solucioacuten- Al resolver las siguientes ecuaciones
033 2 xxf x 033 2 yyf y 02zf z y 033 2 wwfw
Se obtienen cuatro puntos criacuteticos que son (-1-100) (-1100) (1-100) y (1100) ahora se genera la matriz del hessiano asociado siendo esta
2000
0200
0060
0006
y
x
H
Al evaluar en cada uno de los puntos se tienen las siguientes matrices
2000
0200
0060
0006
)0011(H
2000
0200
0060
0006
)0011(H
2000
0200
0060
0006
)0011(H y
2000
0200
0060
0006
)0011(H
Los sub determinantes para cada uno de los puntos son [(-1 -1 0 0)] -6 36 72 144 que clasifica como un punto silla [(-1100)] -6 -36 -72 -144 que clasifica como un punto silla [(1-100)] 6 -36 -72 -144 que clasifica como un punto silla [(1100)] 6 36 72 144 que clasifica como un valor miacutenimo De manera tal que la funcioacuten tiene tres puntos silla y un valor miacutenimo
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42
Ejercicios- Determine los puntos criacuteticos de las siguientes funciones y claacutesifiquelos utilizando el criterio del Hessiano
(1) f(x y) = x2 - y2 (Silla de montar)
(2) g(x y) = 22 yx (Cono)
(3) h(x y z) = x4 - 2x2 + 2y3 -3y2 + z3-3 Ejercicio- Se requiere construir una lata con tapa que contenga un litro de agua con el miacutenimo de material determine las condiciones que oacuteptimizan el problema Ejercicio- Determine el producto maacuteximo de tres nuacutemeros si la suma de ellos debe ser 40 Ejercicio- Determine la distancia miacutenima del origen a la graacutefica de la funcioacuten f(xy) = 4-x2+y Ejercicio- Estudie los ejemplos resueltos que trae el libro de Marden Tromba en el capitulo 4 en especial el referente a la ecuacioacuten de miacutenimos cuadrados Ejercicio- Determine la ecuacioacuten lineal que mejor se ajusta a los puntos (12) (2 32) (3 389) (4 488) (5 55) Utilize el criterio de miacutenimos cuadrados en caso de que el modelo sea lineal (justifique la linealidad del mismo realice una graacutefica de los puntos y de la liacutenea que ajusta a los puntos) Ejemplo- (Aplicacioacuten) En este ejemplo dermina la distancia miacutenima del punto (100) a la graacutefica de una funcioacuten f(x y) = x2+y2
Solucioacuten- Todos los puntos que se encuentran sobre la graacutefica de la funcioacuten satisfacen la siguiente terna de valores en donde se observa que la tercer componente es la variable dependiente (x y x2+y2)
La distancia del punto (1 0 0) a los puntos que estaacuten sobre la graacutefica (x y x2+y2) Se define por medio de la funcioacuten
2222222 )()1()()001()( yxyxyxyxdyxfd
Para determinar el valor miacutenimo o maacuteximo de esta funcioacuten basta con
analizar su argumento dado que es un funcioacuten creciente Es decir Si x1lt x2
entonces f(x1) lt f(x2) lo que es vaacutelido para la funcioacuten )( xxf (ver graacutefica)
2x
1x
x1 x2
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43
De este modo la funcioacuten a maximizar es
2222222
11 )()1()()001()( yxyxyxyxdyxfd
De aquiacute al las derivadas parciales son
)(4)1(2)( 22
1 yxxxyxfd x y )(42)( 22
1 yxyyyxfd y
Igualando ambas ecuaciones a cero se puede establecer la siguiente
ecuacioacuten
)(4
)(4
2
2222
22
yxy
yxx
y
x (3)
De aquiacute si )00()( yx y 0y se concluye que -1=0 lo cual es una
contradiccioacuten Por otra parte si (xy)=(00) en la primera ecuacioacuten se tiene que 1=0 que es tambieacuten una contradiccioacuten Finalmente si se considera el caso en
que y=0 se obtiene de la siguiente ecuacioacuten 012 3 xx
El polinomio 12)( 3 xxxP tiene una raiacutez entre el cero y el 1 dado
que P(0)=-1 y P(1)=2 Con el anaacutelisis de raiacuteces racionales dos posibles raiacuteces
son 2
1 y como
2
1 estaacute entre cero y uno al usando divisioacuten sinteacutetica se
obtiene que 4
1
2
1P Asiacute que la raiacutez debe de estar en el intervalo 1
2
1
Ahora usando el meacutetodo de Newton con semilla en 2
10x se obtiene
que 6010
6
2
54
1
2
1
)(
)(
0
0
01xf
xfxx
Ahora al evaluar la funcioacuten en dicho punto se tiene que 0320)60(P el
cual es aceptable como raiacutez del polinomio en una sola interaccioacuten De manera tal que el punto criacutetico de la funcioacuten es el (060) El Hessiano asociado es
24128
82412)(
22
22
xyxy
xyyxyxH
Como se puede apreciar el primer elemento de la matriz es positivo independientemente de los valores de x e y Falta evaluar el determinante de H este es igual a
)64)2412)(2412()(det 222222 yxxyyxyxH
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44
Ahora evaluando en (06 0) se tiene 7421)443)(326()060(det H
Que tambieacuten es positivo de manera tal que se tiene un valor miacutenimo Es
decir la se obtuvo la distancia miacutenima
Maacuteximos y Miacutenimos con restricciones
Los muacuteltiplicadores de Lagrange permite determinar valores maacuteximos o miacutenimos de funciones con restricciones De este tipo de problemas esta lleno nuestro contorno desde el panedero que desea producir la maacutexima cantidad de pan pero con la restriccioacuten del capital que tiene o la posible venta del diacutea para que no tenga sobrantes
Citemos el siguiente ejemplo la graacutefica de paraboloide z = x2+y2 esta
graacutefica soacutelo tiene un valor miacutenimo en el origen sin embargo si esta restringida
al cuadrado unitario 1111 la funcioacuten alcanza cuatro puntos maacuteximos en
los puntos (-11)(-1-1) (1 -1) y (11) a saber dicho valor es 2 Como se observa en la figura
Ahora si se trabaja con la silla de montar con la misma restriccioacuten esta
funcioacuten tiene originalmente un punto silla en el origen pero al analizar las restricciones se contiene dos valores maacuteximos y dos miacutenimos en los puntos (10) (-10) (0-1) y (01)
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Muacuteltiplicadores de Lagrange Teorema- Dadas dos funciones fg Rn a R diferenciables en X0 elemento del dominio de ambas funciones Si Lc es el conjunto de nivel de valor c de la funcioacuten g y si f posee un valor maacuteximo miacutenimo o silla en la restriccioacuten Lc
entonces existe un nuacutemero real λ tal que )()( 00 XgXf
Se puede ver parte de la demostracioacuten de este teorema en el libro de Marsden Tromba Para clasificar los puntos criacuteticos se utiliza el criterio del Hessiano limitado el cuaacutel se define a partir de la funcioacuten auxiliar H(x1 x2 hellip xn) = f(x1 x2 hellip xn) - λ g(x1 x2 hellip xn)
nnnn
n
n
xxxxx
xxxxx
xx
hhg
hhg
gg
H
1
1111
10
||
Ahora defina los siguientes determinantes
22122
21111
210
|| 1
xxxxx
xxxxx
xx
hhg
hhg
gg
H
3323131
3222121
3121111
3210
|| 2
xxxxxxx
xxxxxxx
xxxxxxx
xxx
hhhg
hhhg
hhhg
ggg
H ||det|| HHn
Criterios para maacuteximos y miacutenimos con restricciones (Hessiano liacutemitado) [Miacutenimo Local] Se tiene un miacutenimo local si y soacutelo si todos los determinantes son negativos |H1| lt0 |H2| lt0 hellip |Hn|lt0 ( - - - - - hellip)
[Maacuteximo Local] Se tiene un maximo local si y soacutelo se inicia con un determinante positivo y luego se alternan los signos |H1| gt 0 |H2| lt 0 hellip |Hn|lt0 (+ - + - hellip)
[Punto del tipo Silla] Se tiene un punto tipo silla sino se satisface los criterios de maacuteximos o miacutenimos y al menos uno de los determinantes es distinto de cero Ejemplo- Determine si la funcioacuten f(xy)= x2 ndash y2 tiene valores criacuteticos en la restriccioacuten x2+y2=1
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)(2
2
2
2)( 00 Xg
g
g
y
x
y
x
f
fXf
y
x
y
x
de aquiacute se obtienen las ecuaciones 2x = 2 λx -2y = 2 λy x2 + y2 =1 Las soluciones de este sistema de ecuaciones son (-101) (101) (0-1-1) y (0-11) El Hessiano liacutemitado es
2202
0222
220
||
y
x
yx
H
El determinante es igual a det|H| = 8x2(1+λ) ndash 8y2(1-λ) ahora evaluando
cada uno de los puntos se tiene que det|H|(-101) = 16 gt 0 det|H|(101) = 16 gt 0 det|H|(0-1-1) = -16 lt 0 det|H|(0-11) = -16 lt 0
De manera tal que la funcioacuten posee dos valores maacuteximos en los puntos (-10) y (10) y por otra parte tiene dos valores miacutenimos en los puntos (0-1) y (0-1) Ejemplo- Determine si la funcioacuten f(xy)= x2+y2 tiene valores criacuteticos en la restriccioacuten x2-y2 le 4 Al iniciar este estudio se trabaja con el interior es decir x2-y2 lt 4 dando como resultado el anaacutelisis de maacuteximos y miacutenimos de una funcioacuten en general de donde el gradiente de f se anula uacutenicamente en el origen siendo este valor un miacutenimo como se habiacutea visto en un ejercicio anterior para la funcioacuten del paraboloide Ahora al trabajar sobre la frontera se usa el criterio de muacuteltiplicadores de Lagrange
)(2
2
2
2)( 00 Xg
g
g
y
x
y
x
f
fXf
y
x
y
x
de aquiacute se obtienen las ecuaciones 2x = 2 λx 2y = -2 λy x2 - y2 = 4
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Las soluciones de este sistema de ecuaciones son (-201) y (201) El Hessiano liacutemitado es
2202
0222
220
||
y
x
yx
H
El determinante es igual a det|H| = -8x2(1+λ) + 8y2(1-λ) ahora
evaluando en cada uno de los puntos se tiene que det|H|(201) = -64 gt 0 y det|H|(-201) = -64 lt 0
De manera tal que la funcioacuten posee dos valores miacutenimos en los puntos (-20) y (20)
Una anaacutelisis de la graacutefica de esta funcioacuten permite visualizar que dichos
puntos no son miacutenimos maacutes bien son puntos tipos silla y no es que el criterio falle sino maacutes bien que los valores son miacutenimos pero sobre el complemento es decir bajo la restriccioacuten x2-y2 ge 4 Ejemplo- Determine los valores criacuteticos de la funcioacuten f(xyz) = 2x+y+3z sujeta a la restriccioacuten x2+y2+z2 le 36 Solucioacuten- Un anaacutelisis de las condiciones iniciales muestra que la graacutefica a maximizar en un hiperplano restringido en su dominio a una esfera de radio 6 de acuerdo a estas condiciones la funcioacuten en su interior no debe tener valor criacuteticos y en la frontera debe tener un valor miacutenimo y un valor maacuteximo En el interior- Al derivar la funcioacuten original se tiene lo siguiente
3
1
2
)( 0
z
y
x
f
f
f
Xf
De aquiacute se observa que la funcioacuten no posee valores criacuteticos en todo su dominio tal y como se esperaba Frontera- Al utilizar las condiciones del los Muacuteltiplicadores de Lagrange se tiene lo siguiente
)(
2
2
2
3
1
2
)( 00 Xg
z
y
x
f
f
f
Xf
z
y
x
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De aquiacute se genera el siguiente sistema de ecuaciones 2 = 2λx 1 = 2λy 3 = 2λz x2+y2+z2=36
Resolviendo el sistema se concluye que 2
1
1yx amp
2
3z Ahora
sustituyendo en la uacuteltima ecuacioacuten se deduce que la funcioacuten posee dos valores criacuteticos que son
18
14
14
1427
14
149
14
1418amp
18
14
14
1427
14
149
14
1418
La funcioacuten auxiliar es H(xyzλ) = 2x+y+3z-λ(x2+y2+z2) donde Hx=2-2λx Hy=1-2λy Hz=3-2λz El Hessiano Liacutemitado es
2002
0202
0022
2220
||
z
y
x
zyx
H
De aquiacute
0
0)(8
202
022
220
|| 22
1si
siyx
y
x
yx
H
0576)(16
2002
0202
0022
2220
|| 22222 zyx
z
y
x
zyx
H
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49
De aquiacute se desprende que la funcioacuten f(xyz) = 2x+y+3z posee un valor miacutenimo
en el punto 18
14
14
1427
14
149
14
1418 restringido a x2+y2+z2 = 36 y un
maacuteximo en el punto 18
14
14
1427
14
149
14
1418
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Tarea nuacutemero 4 Maacuteximos y Miacutenimos
Objetivo- Que el alumno sea capaz de aprender a resolver problemas asociados a la vida real haciendo uso del caacutelculo de varias variables Aquiacute se enuncian los siguientes ejercicios adicionales dado que muchos de los mismos se fueron exponiendo a lo largo del capiacutetulo y se sugiere que se revisen los problemas resueltos y propuestos en la libros de la bibliografiacutea dado que las aplicaciones son muchas 1- Determine los valores maacuteximos y miacutenimos de la funcioacuten f(xy) = x +y sujeta a la restriccioacuten x2+2y2le18 (Realice un bosquejo de la graacutefica y se restriccioacuten)
2- Determine los valores maacuteximos y miacutenimos de la funcioacuten f(xy) = x2 +y2 sujeta a la restriccioacuten x+2y le 4 (Realice un bosquejo de la graacutefica y se restriccioacuten)
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Bibliografiacutea
1 Caacutelculo Vectorial Marsden amp Tromba Addison-Wesley Iberoamericana
2 Caacutelculo Multivariable James Steward Thomson Editores
3 Caacutelculo con Geometriacutea Anaacutelitica Zill Grupo Editorial Iberoameacuterica
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Un ejemplo de esta funcioacuten ocurre si consideramos el total que se tiene que pagar en una tienda despueacutes de comprar dos artiacuteculos distintos Otro de ellos se presenta al tomar una evaluacioacuten de calidad de cierto artiacuteculo en donde se van sumando los puntos y no necesariamente serian dos variables
Otra caracteriacutestica que se presenta en esta tipo de funciones es que los valores esteacuten bien definidos al momento de evaluar como el hecho de que no se puede dividir entres cero y no se pueden sacar raiacuteces de nuacutemeros negativos Este hecho es importante para detallar el dominio de algunas funciones
asiacute el dominio de la funcioacuten xxk 4)( esta restringido al hecho de que la
variable x sea menor a cuatro dado que el argumento 4-x debe de ser no negativo es decir 4-x 0 y de aquiacute se tiene que 4 x
Cuando se involucran dos variables un ejemplo es encontrar el dominio
de la funcioacuten yxyxh 44)( y por analogiacutea con el problema anterior
se sabe que 4 x y a la vez que 4 y quedando el dominio descrito de la siguiente manera D = (xy) 4 x 4 y
6 D Dominio de la funcioacuten 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7
Ejemplo- Determine el dominio de la funcioacuten 2 2( ) 9 h x y x y Aquiacute se tiene
que el argumento de dicha funcioacuten debe de ser positivo en donde el dominio
de la funcioacuten es 2 29 0x y que es equivalente a 2 29 x y que representa
a un ciacuterculo de radio 3 y centrado en el origen
Si la funcioacuten es 2 2
1( )
9h x y
x y el dominio es casi el mismo
eliminando en donde el argumento se hace cero debido a que no estaacute definida la divisioacuten entre cero siendo el dominio el mismo circulo del ejemplo anterior pero sin la orilla
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Como se puede apreciar el dominio de estas funciones estaacute definido por regiones en el plano cartesiano cuando el dominio de la funcioacuten estaacute contenido en R2
Derivadas Parciales La derivada parcial de una funcioacuten de varias variables consiste en derivar la funcioacuten con respecto a la variable en cuestioacuten y dejar a las otras variables fijas como si fuesen constantes Por ejemplo al derivar la funcioacuten f(x y z) = x2 + 3xy3 - 3xz las derivadas de f con respecto a x y y z se describen a continuacioacuten y se denotan cada una de ellas por medio de los simbolos fx fy y fz fx(x y z) = 2x + 3y3 - 3z fy(x y z) = 9xy2 fz(x y z) = - 3x Definicioacuten- (Gradiente de una funcioacuten) El gradiente de una funcioacuten real se define como el vector que contiene en sus componentes a sus primeras derivadas parciales Asiacute para el ejemplo anterior el gradiente de f es y se denota por
3
2
2 3 3
9
3
x
y
z
f x y z
f f xy
f x
Ejemplo- Determine el gradiente de las siguientes funiones g(xy)=(x2 y4) y h(xyzw) = 2x+y2-3z+8w
3
2( )
4
x
y
h xh x y
h y
2
2( )
3
8
x
y
z
w
g
g yg x y z w
g
g
El vector gradiente tiene varias propiedades que son muy uacutetiles una de ellas nos indica la direccioacuten de maacuteximo crecimiento y otra de ellas es que es un
vector tangente a las curvas de nivel de una funcioacuten
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Definicioacuten- (Derivada Direccional) La derivada direccional de una
funcioacuten en un punto (x0 y0) y en direccioacuten de un vector v=(AB) se define como el producto del gradiente de la funcioacuten evaluado en el punto (x0 y0) por el vector V dividido entre la norma de mismo vector
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Tarea nuacutemero 2 materia de Caacutelculo 3 Objetivo- Que el alumno sea capaz de interpretar la nocioacuten de liacutemite en varias variables identifique la graacutefica de funciones y haga uso de la derivadas parciales 1- Determine el dominio de las siguientes funciones
(1a) f(x y z) = 2221 zyx
(1b) g(x y) = xy
2
(1c) f(x y) = xy
(1d) g(x y) = y4
(1e) f(x y) = y
x
4
4
(1f) h(x y) = 24
1
xy
2- Realice un bosquejo de las siguientes graacuteficas
22 zyx 22 2zxy 22 yxz 222 yxz
3- Determine los siguientes liacutemites
(31) xyxyxyxf y 210)( 3 cuando (xy) tiende a (12)
(32) yx
zyzxzyxf
33
)( cuando (xy) tiende a (112)
(33) )00()(
)00()(
0
3
3
)(
44
32
yx
yx
Siacute
Siyx
yx
yxk cuando (xy) tienden a (00)
En caso de existir indique haciendo uso de la nocioacuten
(34) )()(2
zxyxxxy
xxyyxzyxF z cuando (xyz) tiende a (012)
4- Indique de las funciones del ejercicio anterior son continuas y en que dominio 5- Determine si las funciones del ejercicio tres son de clase C1 6- Determine la ecuacioacuten del plano tangente a la graacutefica de la funcioacuten g(xy) = x4-10y3 en el punto (1-1) y en el punto (12) grafique en la computadora y agregue en el documento de la tarea 7- Determine los conjunto de nivel de valor -2 -1 0 1 2 de las funciones (7a) f(x y) = 3x2 + 3y2
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(7b) g(x y) = 22 44 yx
(7c) h(x y) = 1 ndash y + x2 (7d) k(x y z) = x2 + y2 + z2 Indique las graacuteficas en computadora y agregue en el reporte
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Capiacutetulo 3
Trayectorias
En este capiacutetulo se realiza el estudio de las propiedades de las funciones vectoriales es decir se hace incapie en el concepto de funcioacuten y la de un vector
Este concepto permite describir entre otras cosas el camino seguido por una partiacutecula en el espacio con el ingrediente adicional de tener a la mano los conceptos de velocidad y aceleracioacuten derivados a partir de una sola ecuacioacuten aquella que guarda la relacioacuten de posicioacuten de la partiacutecula con respecto al tiempo
Por ejemplo al mover una onda esta describe un movimiento circular si
la onda se suelta un objeto puesto en ella sale disparado en forma tangencial Este movimiento se puede representar con vectores y debe de expresar que la velocidad sea tangente a la trayectoria que sigue dado que la piedra abandona la onda en liacutenea recta
Si esto se extrapola al vuelo de una mosca se puede inferir que la velocidad de la misma sea tangencial a la trayectoria que va recorriendo en cada punto esto se muestra en la siguiente graacutefica
Observe que el hecho de contar con la orientacioacuten del vector velocidad permite no soacutelo inferir la velocidad de escape de la partiacutecula sobre la curva sino a la vez conocer la orientacioacuten del movimiento de la misma
Definicioacuten- (Trayectoria) Una trayectoria es una funcioacuten que parte de los nuacutemeros reales al espacio n Euclidiano Es decir es una funcioacuten de la forma
))()()(()( 21 txtxtxt n
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Caso particular de una trayectoria de los reales a plano En el caso de una trayectoria de los reales al plano se puede ilustrar con el siguiente diagrama
σ(a) σ(b) a b
2][ Rba ))()(()( tytxt
Una forma de ilustrar esto es pensar que la variable t es el tiempo y la imagen corresponde a la trayectoria de un objeto en el plano asiacute que el tiempo t=a la partiacutecula se encuentra en el punto σ(a) que es el inicio del recorrido de la misma mientras que tiempo final t=b se localiza al final de la trayectoria de estudio
Se puede observar una flecha indicativa del sentido de la partiacutecula a lo largo de la trayectoria
Ecuacioacuten Parametrica y Cartesiana de una curva
Ejemplo- Dada la trayectoria )()( 2ttt con 22t realice una
graacutefica de dicha trayectoria
t ))()(()( tytxt
-2 )42()(t
-1 )11()(t
0 )00()(t
1 )11()(t
2 )42()(t
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Como se puede apreciar la imagen de la trayectoria que recibe el
nombre de curva es una paraacutebola esto se puede ver si se realiza lo siguiente
Como x = t y = t2 entonces se puede deducir que y=x2 la ecuacioacuten correspondiente a la graacutefica de una paraacutebola esta ecuacioacuten corresponde a sus coordenadas cartesianas por otra parte si se rescribe en forma de trayectoria se dice que la ecuacioacuten es su ecuacioacuten cartesiana dado que depende de un solo paraacutemetro
Parametrizacioacuten de una funcioacuten real Si y es una variable dependiente de la variable x es decir existe
una regla de asignacioacuten f tal que y = f(x) con bxa En donde a
cada elemento x le asigna uno y soacutelo un valor y La graacutefica de esta funcioacuten se debe de ver como un trazo en el plano de la siguiente forma
La graacutefica no puede ser de la siguiente forma
y2
y3
y1 y4
X1 X2
Note que al valor de x2 le asigna tres valores de y lo cual no
cumple con las condiciones para que f sea una funcioacuten Ahora la graacutefica de una funcioacuten de esta tipo no es otra cosa que
la imagen de una trayectoria la cual se puede parametrizar de la siguiente forma
Como y = f(x) entonces defina x = t y por consiguiente y=f(t) en
donde bta
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27
-4 -2 2 4
-30
-20
-10
10
20
30
-2 -1 1 2
-2
-1
1
2
Asiacute en el caso de la paraacutebola la parametrizacioacuten adecuada es x
=t y = t2 tal como estaba planteada originalmente Ahora si la funcioacuten es y = 2x3-10x con 44 x entonces la
parametrizacioacuten adecuada es
)102()( 3 tttt 44 t
La graacutefica de esta curva asociada a la trayectoria es
Parametrizacioacuten de una circunferencia Elipse e Hipeacuterbola
La ecuacioacuten cartesiana de una circunferencia con centro en el origen y
radio dos estaacute dada por 422 yx Al intentar escribir esta ecuacioacuten en
funcioacuten de un solo paraacutemetro se requiere despejar a la variable y obteniendo
dos funciones que son 24 xy Con 22 x
La graacutefica de esta curva permite visualizar que no pertenece a una
funcioacuten sino maacutes bien a dos que son las enunciadas anteriormente y como se ve a continuacioacuten
24 xy
24 xy
Una forma de representar esta curva es por medio de dos trayectorias
)4()( 2
1 ttt y )4()( 2
2 ttt 22t
Una forma alternativa de representar esta curva es por medio del uso de coordenadas polares en donde x=rCos(t) y= rSen(t) como el radio es fijo y es igual a dos estas ecuaciones se pueden escribir en funcioacuten de un solo paraacutemetro ldquotrdquo x=2Cos(t) y=2Sen(t) note que al evaluar x2+y2=4Cos2(t)+4Sen2(t) = 4(Cos2(t)+Sen2(t))=4 con lo cual satisface la
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ecuacioacuten de la circunferencia quedando expresada la trayectoria de la siguiente forma
σ(y) = (2Cos(t) 2Sen(t) con 0letle2π En esta ecuacioacuten define por completo a la curva auacuten y cuando la
ecuacioacuten original no es una funcioacuten siendo esto una ventaja del estudio de la trayectorias
Ejemplo- La parametrizacioacuten de la elipse 12
2
2
2
b
y
a
x queda
expresada por x = aCos(t) y=bSen(t) se deja como ejercicio comprobar este resultado
Ejemplo- La parametrizacioacuten de la hiperbola 12
2
2
2
b
y
a
x queda
expresada por x = aCosh(t) y=bSenh(t) en donde se trabaja con las funciones de Seno y Coseno hiperboacutelicas se deja como ejercicio comprobar este resultado (aunque soacutelo permite representar el lado correspondiente a los cuadrantes I y IV en donde la x es no negativa
Derivada de una trayectoria La derivada de una trayectoria es un vector tangente a la curva esto se
deriva del siguiente anaacutelisis
Dada la trayectoria σ(t) se grafican la posicioacuten de la curva al tiempo t y t+h luego trace el vector asociado a la liacutenea secante que une los puntos de aquiacute al tomar valores cada vez maacutes pequentildeos de h el vector secante se convierte en un vector tangente a la curva como se muestra a continuacioacuten
Por otra parte el anaacutelisis vectorial de este cociente es
)()()(
0
tt
tht
h
Liacutem
Es decir la derivada de la trayectoria y el vector resultante es
tangente a la curva
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29
Asiacute para el caso de una curva en el plano la trayectoria se puede describir por medio de dos funciones x(t) y(t) de la siguiente forma
)(
)()(
ty
txt
En donde la derivada de esta funcioacuten es
)(
)()(
ty
txt
Vector tangente a la graacutefica de una circunferencia de radio R Ahora si se tiene la parametrizacioacuten de una circunferencia esta esta
dada por σ(t) = ( RCos(t) R Sen(t))
Y X
Un vector tangente tiene que cumplir que su producto punto tiene que
ser cero de aquiacute si V=(AB) al multiplicarlo por el vector σ su producto punto tiene que ser cero
De aquiacute que σ(t)V = ARCos(t) + BRSen(t) = 0 Existiendo muchas soluciones a este sistema de ecuaciones siendo una
de ellas cuando A = Cos(t) B=-Sen(t)
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Vector trasladado
Siendo este un vector tangente a la curva ahora al derivar las
componentes xrsquo(t) = -RSen(t) y(t) = RCos(t) que es un muacuteltiplo escalara del vector tangente mostrado anteriormente
Definicioacuten- (Rotacional) El rotacional de un campo vectorial
F=Pi+Qj+Rk de clase C1 de define como el vector
i j k
RotFx y z
P Q R
Ejemplos- Determine el rotacional de los siguientes campos vectoriales
F1=xi+yj+zk F2=x2yi-xy
2j-3zyk
Solucioacuten-
1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0
i j k
RotF z y i z x j y x kx y z y z x z x y
x y z
2 2 2 2
2
2 2
( 3 ) ( ) ( 3 ) ( ) ( ) ( )
3
i j k
RotF zy xy i zy x y j xy x y kx y z y z x z x y
x y xy zy
2 2
2
2 2
3 0
3
i j k
RotF z i j y x kx y z
x y xy zy
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Definicioacuten- (Divergencia) Si F es un campo vectorial de clase C1 la divergencia de F se define como un campo escalar de la siguiente forma
( )P Q R
divF div Pi Qj Rkx y z
Ejemplos- Determine la divergencia de los siguientes campos vectoriales F1=xi+yj+zk F2=x
2yi-xy
2j-3zyk
Solucioacuten-
1 ( ) ( ) ( ) ( ) 3divF div xi yj zk x y zx y z
2 2 2 2
2 ( 3 ) ( ) ( ) ( 3 ) 2 2 3 3divF div x yi xy j zyk x y xy zy xy xy y yx y z
Definicioacuten- (Laplaciano) Si f es un campo escalar de clase C2 el Laplaciano de f se define como un campo escalar de la siguiente forma
2 2 2
2
2 2 2xx yy zz
f f ff f f f f
x y z
Ejemplos- Determine la divergencia de los siguientes campos escalares g1(x
y z) = xy2z
3 g2(x y z) = x
2 + y
2 + z
2
2 2 2
2 2 3 2 3 2 3 2 3 3 2 2
2 2 2( ) ( ) ( ) 2 3 f f xy z xy z xy z y z yz xy z
x y z
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2( ) ( ) ( ) 6f f x y z x y z x y z
x y z
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Tarea nuacutemero 3 Trayectorias
Objetivo- Que el alumno sea capaz de comprender los conceptos de movimiento de una partiacutecula a lo largo de una trayectoria y de la importancia del uso de vectores en este tema 1- Si la trayectoria σ(t) = t2i+t2j define la trayectoria seguida por una partiacutecula con respecto al tiempo determine 1a- iquestEl tipo de trayectoria que describe 1b- Realice una graacutefica de la distancia recorrida por la partiacutecula con respecto al tiempo en los primeros tres segundos 1c- Determine el tipo de movimiento de la partiacutecula 1d- iquestSe puede afirmar que es un movimiento uniformemente acelerado 1e- Determine la aceleracioacuten y velocidad a los cuatro segundos 1f- Realice una graacutefica de su rapidez con respecto al tiempo 1g- Realice una graacutefica de sus aceleracioacuten con respecto al tiempo 1h- En la graacutefica de la trayectoria agregue graacuteficamente los vectores aceleracioacuten y velocidad 2- Realice lo mismo que en ejercicio anterior pero ahora con la funcioacuten γ(t) = Cos(t) i+5Sen(t)j 3- Dadas las funciones f(t) = 3t2i-4t3j+e2tk y g(t) = 4t3i+4t2j+e-2tk 3a- Determine la funcioacuten producto punto h = fg 3b- Determine la derivada de h 3c- Usando la regla de diferenciacioacuten determine la derivada de h y compruebe el inciso anterior 4a- Determine la funcioacuten producto cruz k = ftimesg 4b- Determine la derivada de h 4c- Usando la regla de diferenciacioacuten determine la derivada de h y compruebe el inciso anterior 5- Determine el Rotacional y la Divergencia del siguiente campo vectorial G(x y z) = 2xy i + 3xz j - 5xy k 6- Determine el gradiente y el Laplaciano del siguiente campo escalar f(xyz) = 4x2-3yz2 7- Dado el campo vectorial F(x y z) = 2xy i + x2 j +3z2 k 7a- Determine si F puede representar el gradiente de un campo escalar f 7b- En caso de ser afirmativa la respuesta del inciso anterior determine el campo escalar f 8- Pruebe que la divergencia del rotacional de un campo vectorial F=Pi+Qj+Rk es igual a cero Es decir la div rot F =0 9- Usando las reglas de diferinciacioacuten pruebe que
gfgfgf
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100 -x
Capitulo 4 Maacuteximos y miacutenimos
Es indispensable determinar en distintos problemas las soluciones oacuteptimas que permitan establecer por ejemplo los valores maacuteximos de produccioacuten o ahorrar el material en la construccioacuten de cierto equipo
Como se recordaraacute el gradiente de una funcioacuten indica la direccioacuten de
maacuteximo crecimiento esto se refleja en que si se toma la direccioacuten sugerida por este vector el valor de la funcioacuten aumenta en una vecindad del mismo asiacute si en un diagrama de un campo gradiente aparecen un punto en donde convergen la direccioacuten de todos los gradientes se encontraraacute que dicho valor debe de ser un valor maacuteximo para la funcioacuten de estudio Un diagrama de esta tipo se ejemplifica a continuacioacuten
Un diagrama en donde todos los vectores apuntan hacia fuera de un
punto indicaraacute que este punto debe de ser un valor miacutenimo de la funcioacuten Citemos el siguiente ejemplo de una variable con la finalidad de
centrarnos en el tema Una persona desea bardear un terreno en forma rectaacutengular cuanto debe de medir cada lado de manera tal que el aacuterea cercada sea maacutexima si se cuenta con 200 metros de malla
La funcioacuten que representa dicho modelo es
A(x) = x(100-x) x
Como se puede observar el aacuterea es cero si x es igual a cero o a cien con lo cuaacutel el lado x debe de estar en en intervalo [0 100] siendo estas las restricciones del problema Derivando la funcioacuten para obtener los valores critiacutecos se tiene que Arsquo(x) = 100 ndash 2x
Al igual la derivada a cero se concluye que el valor critico es x es igual a 50 Al derivar por segunda ocasioacuten se concluye que
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Arsquorsquo(x) = -2 Como la segunda derivada es siempre negativa se concluye que la funcioacuten alcanza un valor maacuteximo en el valor critico en este caso en x = 50 al interpretar dicho resultado se concluye que el terreno que optimiza la solucioacuten es un cuadrado Ejercicio- Que aacuterea se genera si el terreno es de forma circular Al resolver el ejercioacute anterior y comparar las aacutereas del cuadrado y del circulo se puede apreciar que el aacuterea del circulo es mayor pero en la praacutectica es poco atractivo cercar terrenos circulares por diversas razones pero en la naturaleza es comuacuten observar que las gotas de lluvia sean esferas esto permite el optimizar recursos y maacuteximizar el volumen del liacutequido contenido en la misma Se iniciara el estudio formal de maacuteximos y miacutenimos de funciones de varias variables observando las siguientes graficas con la finalidad de tener la idea clara de que es un maacuteximo o miacutenimo o un punto silla
En la primera de ellas se observa que la funcioacuten tiene un valor miacutenimo en la segunda se observa que la funcioacuten tiene un valor maacuteximo y en la uacuteltima la funcioacuten tiene un punto silla este se identifica el dirigirnos en una direccioacuten la funcioacuten crece mientras que en la otra la funcioacuten decrece
Definicioacuten- Una funcioacuten mn RRf tiene un valor maacuteximo local en x0 si en
una vecindad de dicho valor se cumple que la funcioacuten evaluada en todos los vecinos ninguno de ellos supera a f(x0) Es decir f(x0) f(x) para todo x en una vecindad de x0 El punto es llamado un maacuteximo absoluto si la funcioacuten toma el valor maacuteximo en dicho punto para todo valor de su dominio
Esto es muy similar cuando uno observa a los alumnos de un saloacuten de clases existe un alumno que tiene la mayor estatura si ninguno de sus compantildeeros lo supera Asiacute en la escuela el alumno de mayor estatura absoluta es aquel que supera a todo el plantel
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La definicioacuten para el miacutenimo local (absoluto) es similar
f(x0) f(x) para todo en una vecindad de x0 Por ejemplo la funcioacuten f(xy) = x2+y2 tiene un valor miacutenimo en el origen dado que en este valor la funcioacuten vale cero mientras que fuera de ahiacute siempre es positiva dado que todo nuacutemero real elevado al cuadrado es siempre positivo Ademaacutes dicho valor es un miacutenimo absoluto Como se menciono al inicio de esta capitulo el diagrama del campo
gradiente de esta funcioacuten y
xyxf
2
2)( indica que la funcioacuten tiene un valor
miacutenimo siendo la grafica del mismo la siguiente Sin embargo se requiere un criterio maacutes general y sistemaacutetico que permita establecer los posibles valores maacuteximos miacutenimos o puntos silla) Definicioacuten- (Un valor extremo) Si la funcioacuten posee un valor maacuteximo o miacutenimo este es llamado un valor extremo Definicioacuten- (Un valor critico) Un punto en donde la derivada de la funcioacuten se anula es llamado un valor critico Teorema- Todo valor extremo es un valor critico Es decir si f posee un valor extremo en x0 que pertenece a su dominio entonces la derivada de la funcioacuten en el punto x0 se anula Es decir Df(x0) = 0 Demostracioacuten- Sea l(t) una trayectoria que pasa a traveacutes por el punto x0 defina la composicioacuten de funciones h(t) = f(l(t)) donde l(t) = x0 + tv de donde lrsquo(t) = v y ademaacutes
))(()())(()( VtlftDltlDftDh (1)
Por otra parte como f posee un valor extremo en x0 suponga que dicho
valor es un maacuteximo entonces x0 seraacute a la vez un maacuteximo para la funcioacuten h y como h es una funcioacuten real esto significa que la derivada de h en dicho punto
se anula es decir 0)()0())0(()0( 0 vxfDllDfDh ahora como los
vectores )( 0xf y v no son necesariamente perpendiculares y el vector v a la
vez tampoco se anula entonces esto implica que el gradiente de f en x0 es igual a cero y por lo tanto f posee un valor criacutetico en x0
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Este resultado permite establecer posibles valores criacuteticos de una funcioacuten asiacute se menciona el siguiente ejemplo Ejemplo- Determine los posibles valores criacuteticos de las siguientes funciones (1) f(x y) = x2 + y2 y (2) g(x y) = 4x3 -12x + y2
Solucioacuten-
(1) 0
0
2
2)(
y
xyxf de aquiacute se concluye que dicho valor soacutelo
existe un valor criacutetico siendo este el origen el cuaacutel ya se clasifico en estos apuntes y resulto ser un valor miacutenimo
(2) 0
0
2
1212)(
2
y
xyxg de aquiacute se obtienen dos valores criacuteticos
que son (-10) y 1l (10) Los cuales se pueden clasificar el realizar el graacutefico del campo gradiente En donde se aprecia que en el punto (-10) la funcioacuten posee un punto silla mientras que en el punto (10) la funcioacuten posee un valor miacutenimo
Aquiacute se utilizaraacute el criterio del hessiano para determinar si el valor criacutetico es un maacuteximo un miacutenimo o un punto silla Solo se enunciara el teorema sin demostracioacuten para ver la misma puede revisar en el libro de Marsden Tromba de Caacutelculo Vectorial
Definicioacuten- El Hessiano de una funcioacuten 22 RRH de clase C2 se define como una funcioacuten cuadraacutetica que se escribe como
2
1
2
22
2
2
2
21212
1)(
h
h
y
f
yx
f
xy
f
x
f
hhhhH
Evaluada la matriz de las segundas derivas parciales en el valor criacutetico
Teorema- Si el Hessiano de una funcioacuten 2 RRf es definitivamente
positivo entonces la funcioacuten tiene un valor miacutenimo en dicho punto
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Corolario- Si la matriz asociada A=cb
ba de una forma cuadraacutetica dos
por dos es definitivamente positiva si y soacutelo si se cumple que agt0 y det A gt0
Teorema de una valor para un valor extremo miacutenimo- Una funcioacuten
2 RRf de clase C2 posee un valor extremo miacutenimo local en x0 elemento
del dominio de la funcioacuten si y soacutelo si se satisfacen las siguientes condiciones
(i) 0)( 0xx
f y 0)( 0x
y
f
(ii) )( 02
2
xx
f gt 0
(iii) )( 02
2
xx
f)( 02
2
xy
f)(
2
2
oxx
f)( 02
2
xx
f gt 0
Para un valor maacuteximo las condiciones (i) y (iii) se mantienen la uacutenica que cambia en la segunda en donde esta debe ser negativa Para un punto silla se requiere que al menos no se cumplan las condiciones de valor maacuteximo ni miacutenimo y que la uacuteltima condicioacuten (iii) sea distinta de cero En caso contrario el criterio no permite clasificar dicho valor como se mostraraacute en un ejemplo maacutes adelante Ejemplo- Ahora continuando con los ejemplos anteriores
(1) Para f(xy) = x2+y2 el valor critico es el origen y el hessiano asociado es
2
1
212100
02
2
1)(
h
hhhhhH
Como se pude apreciar el primer valor es positivo 2 gt0 y el determinante de
la funcioacuten 20
02det es igual a 4 que a la vez es positivo de manera tal que la
funcioacuten posee un valor miacutenimo en el origen
(2) g(x y) = 4x3 -12x + y2 los puntos criticos son (-10) y (10) y el hessiano asociado a esta forma cuadraacutetica es
2
1
212120
024
2
1)(
h
hxhhhhHg
Ahora al evaluar en los puntos se tiene En el (-10)
2
1
212120
024
2
1)(
h
hhhhhHg
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En donde -24 lt 0 y det Hg = -48 lt0 con lo cuaacutel debe de ser un punto silla
En el (10)
2
1
212120
024
2
1)(
h
hhhhhHg
En donde 24 gt 0 y det Hg = 48 gt0 con lo cuaacutel debe de ser un punto miacutenimo
Tal como se habiacutea estimado en la graacutefica del campo gradiente de la
solucioacuten anterior A continuacioacuten se muestra un bosquejo de dicha graacutefica realizado en el derive
Ejemplos de cuando el criterio permite clasificar los
valores criacuteticos
Ejemplo- A continuacioacuten se mostrara un ejemplo de cuando el criterio no concluye asiacute si la funcioacuten es h(xy) = x4+y4 al calcular las derivas parciales mixtas fx=4x3 y fy=4y3 se encuentra un solo valor critico el origen miestras que la matriz asociada del hessiano es
2
2
120
012
y
x y al evaluar en el origen queda expresada como
00
00
)0(120
0)0(122
2
En donde se puede apreciar que fallan todos los criterios una inspeccioacuten de
la funcioacuten original permite ver que la funcioacuten tiene un valor miacutenimo en dicho punto pero no es una generalizacioacuten es decir no se puede decir que siempre que aparezca la matriz de ceros se tenga un valor miacutenimo dado que si se analiza ahora a las funciones k(xy) = -x4-y4 y p(xy) = x4-y4 ambas tienen como calor extremo al origen y la matriz hessiana asociada a la forma cuadraacutetica evaluada en el origen es la matriz de ceros
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Ejemplo- Otro ejemplo en donde el criterio no concluye es el siguiente en
donde el determinante de la matriz H es cero debido a que la segunda derivada de la funcioacuten f con respecto a la segunda variable se anula (fyy = 0) y no se puede asegurar que se tenga un punto maacuteximo miacutenimo o silla
Las funciones f1(xy) = x2 f2(xy) = -x2 y f3(xy) = x3 presentan este
problema a continuacioacuten se muestran las graficas de dichas funciones
En cada una de ellas los puntos criacuteticos son las parejas en el plano (0 y) Es decir el eje coordenado X
El Hessiano respectivo de cada uno es el siguiente
00
02)(1 yxH
00
02)(2 yxH
00
03)(3
xyxH
Note que el determinante de cada de estas matrices se hace cero y que fyy
se anula en cada caso
Ahora observando las graacuteficas se verifica visualmente que en la primera se tienen valores miacutenimos en la segunda maacuteximos y en la uacuteltima no es ni maacuteximo ni miacutenimo o punto silla
Ejemplo- Citemos otro ejemplo en donde el criterio de maacuteximos y miacutenimos
no concluye Determine los puntos criacuteticos de la funcioacuten h(xy) = x4 Se tiene que hx=4x3=0 y hy=0 de donde se deduce que la funcioacuten tiene
un nuacutemero infinito de puntos criacuteticos estos son las parejas ordenadas en el plano (0y)
La matriz del Hessiano asociado es
00
012)(
2
1
xyxH y evaluando en el punto
00
00)0(1 yH
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40
En donde no se puede clasificar a los valores criacuteticos sin embargo
realizando una inpeccioacuten de la funcioacuten se puede concluir que todos los puntos representan valores miacutenimos de la funcioacuten original a continuacioacuten se muestra la grafica de la misma
El Hessiano para n variables y el criterio de clasificacioacuten
Cuando la funcioacuten tiene maacutes de dos variables se genera una matriz asociada H en cada uno de los valores criacuteticos de la siguiente forma
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
H
21
22221
11211
De aquiacute se definen las siguientes matrices
111 aH 2221
1211
2aa
aaH hellip HH n
Los criterios para los valores criacuteticos de la funcioacuten RRf n son los
siguientes [Miacutenimo Local] La funcioacuten f posee un valor extremo local miacutenimo en x0 si todos los determinantes de las submatrices evaluados en x0 son positivos
0det 1H 0det 2H hellip 0det 2H (+ + hellip +)
En este caso la forma cuadraacutetica se puede probar que es definitivamente positiva [Maacuteximo Local] La funcioacuten f posee un valor extremo local miacutenimo en x0 si todos los determinantes de las submatrices evaluados en x0 se alternan en signo pero el primero de ellos debe ser negativo
0det 1H 0det 2H hellip 0det 2H (- + - + hellip )
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En este caso la forma cuadraacutetica se puede probar que es definitivamente negativa [Punto Silla] La funcioacuten f posee un punto silla si no se cumplen los criterios de valor miacutenimo o maacuteximo y al menos uno de los subdeterminantes es distinto de cero
Existe un i tal que 0det iH
Ejemplos- Determine los valores criacuteticos de las siguiente funcioacuten f(x y z w) = x3 - 3x + y3 ndash 3y + z2 + w2 y claacutesifiquelos Solucioacuten- Al resolver las siguientes ecuaciones
033 2 xxf x 033 2 yyf y 02zf z y 033 2 wwfw
Se obtienen cuatro puntos criacuteticos que son (-1-100) (-1100) (1-100) y (1100) ahora se genera la matriz del hessiano asociado siendo esta
2000
0200
0060
0006
y
x
H
Al evaluar en cada uno de los puntos se tienen las siguientes matrices
2000
0200
0060
0006
)0011(H
2000
0200
0060
0006
)0011(H
2000
0200
0060
0006
)0011(H y
2000
0200
0060
0006
)0011(H
Los sub determinantes para cada uno de los puntos son [(-1 -1 0 0)] -6 36 72 144 que clasifica como un punto silla [(-1100)] -6 -36 -72 -144 que clasifica como un punto silla [(1-100)] 6 -36 -72 -144 que clasifica como un punto silla [(1100)] 6 36 72 144 que clasifica como un valor miacutenimo De manera tal que la funcioacuten tiene tres puntos silla y un valor miacutenimo
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42
Ejercicios- Determine los puntos criacuteticos de las siguientes funciones y claacutesifiquelos utilizando el criterio del Hessiano
(1) f(x y) = x2 - y2 (Silla de montar)
(2) g(x y) = 22 yx (Cono)
(3) h(x y z) = x4 - 2x2 + 2y3 -3y2 + z3-3 Ejercicio- Se requiere construir una lata con tapa que contenga un litro de agua con el miacutenimo de material determine las condiciones que oacuteptimizan el problema Ejercicio- Determine el producto maacuteximo de tres nuacutemeros si la suma de ellos debe ser 40 Ejercicio- Determine la distancia miacutenima del origen a la graacutefica de la funcioacuten f(xy) = 4-x2+y Ejercicio- Estudie los ejemplos resueltos que trae el libro de Marden Tromba en el capitulo 4 en especial el referente a la ecuacioacuten de miacutenimos cuadrados Ejercicio- Determine la ecuacioacuten lineal que mejor se ajusta a los puntos (12) (2 32) (3 389) (4 488) (5 55) Utilize el criterio de miacutenimos cuadrados en caso de que el modelo sea lineal (justifique la linealidad del mismo realice una graacutefica de los puntos y de la liacutenea que ajusta a los puntos) Ejemplo- (Aplicacioacuten) En este ejemplo dermina la distancia miacutenima del punto (100) a la graacutefica de una funcioacuten f(x y) = x2+y2
Solucioacuten- Todos los puntos que se encuentran sobre la graacutefica de la funcioacuten satisfacen la siguiente terna de valores en donde se observa que la tercer componente es la variable dependiente (x y x2+y2)
La distancia del punto (1 0 0) a los puntos que estaacuten sobre la graacutefica (x y x2+y2) Se define por medio de la funcioacuten
2222222 )()1()()001()( yxyxyxyxdyxfd
Para determinar el valor miacutenimo o maacuteximo de esta funcioacuten basta con
analizar su argumento dado que es un funcioacuten creciente Es decir Si x1lt x2
entonces f(x1) lt f(x2) lo que es vaacutelido para la funcioacuten )( xxf (ver graacutefica)
2x
1x
x1 x2
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43
De este modo la funcioacuten a maximizar es
2222222
11 )()1()()001()( yxyxyxyxdyxfd
De aquiacute al las derivadas parciales son
)(4)1(2)( 22
1 yxxxyxfd x y )(42)( 22
1 yxyyyxfd y
Igualando ambas ecuaciones a cero se puede establecer la siguiente
ecuacioacuten
)(4
)(4
2
2222
22
yxy
yxx
y
x (3)
De aquiacute si )00()( yx y 0y se concluye que -1=0 lo cual es una
contradiccioacuten Por otra parte si (xy)=(00) en la primera ecuacioacuten se tiene que 1=0 que es tambieacuten una contradiccioacuten Finalmente si se considera el caso en
que y=0 se obtiene de la siguiente ecuacioacuten 012 3 xx
El polinomio 12)( 3 xxxP tiene una raiacutez entre el cero y el 1 dado
que P(0)=-1 y P(1)=2 Con el anaacutelisis de raiacuteces racionales dos posibles raiacuteces
son 2
1 y como
2
1 estaacute entre cero y uno al usando divisioacuten sinteacutetica se
obtiene que 4
1
2
1P Asiacute que la raiacutez debe de estar en el intervalo 1
2
1
Ahora usando el meacutetodo de Newton con semilla en 2
10x se obtiene
que 6010
6
2
54
1
2
1
)(
)(
0
0
01xf
xfxx
Ahora al evaluar la funcioacuten en dicho punto se tiene que 0320)60(P el
cual es aceptable como raiacutez del polinomio en una sola interaccioacuten De manera tal que el punto criacutetico de la funcioacuten es el (060) El Hessiano asociado es
24128
82412)(
22
22
xyxy
xyyxyxH
Como se puede apreciar el primer elemento de la matriz es positivo independientemente de los valores de x e y Falta evaluar el determinante de H este es igual a
)64)2412)(2412()(det 222222 yxxyyxyxH
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44
Ahora evaluando en (06 0) se tiene 7421)443)(326()060(det H
Que tambieacuten es positivo de manera tal que se tiene un valor miacutenimo Es
decir la se obtuvo la distancia miacutenima
Maacuteximos y Miacutenimos con restricciones
Los muacuteltiplicadores de Lagrange permite determinar valores maacuteximos o miacutenimos de funciones con restricciones De este tipo de problemas esta lleno nuestro contorno desde el panedero que desea producir la maacutexima cantidad de pan pero con la restriccioacuten del capital que tiene o la posible venta del diacutea para que no tenga sobrantes
Citemos el siguiente ejemplo la graacutefica de paraboloide z = x2+y2 esta
graacutefica soacutelo tiene un valor miacutenimo en el origen sin embargo si esta restringida
al cuadrado unitario 1111 la funcioacuten alcanza cuatro puntos maacuteximos en
los puntos (-11)(-1-1) (1 -1) y (11) a saber dicho valor es 2 Como se observa en la figura
Ahora si se trabaja con la silla de montar con la misma restriccioacuten esta
funcioacuten tiene originalmente un punto silla en el origen pero al analizar las restricciones se contiene dos valores maacuteximos y dos miacutenimos en los puntos (10) (-10) (0-1) y (01)
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Muacuteltiplicadores de Lagrange Teorema- Dadas dos funciones fg Rn a R diferenciables en X0 elemento del dominio de ambas funciones Si Lc es el conjunto de nivel de valor c de la funcioacuten g y si f posee un valor maacuteximo miacutenimo o silla en la restriccioacuten Lc
entonces existe un nuacutemero real λ tal que )()( 00 XgXf
Se puede ver parte de la demostracioacuten de este teorema en el libro de Marsden Tromba Para clasificar los puntos criacuteticos se utiliza el criterio del Hessiano limitado el cuaacutel se define a partir de la funcioacuten auxiliar H(x1 x2 hellip xn) = f(x1 x2 hellip xn) - λ g(x1 x2 hellip xn)
nnnn
n
n
xxxxx
xxxxx
xx
hhg
hhg
gg
H
1
1111
10
||
Ahora defina los siguientes determinantes
22122
21111
210
|| 1
xxxxx
xxxxx
xx
hhg
hhg
gg
H
3323131
3222121
3121111
3210
|| 2
xxxxxxx
xxxxxxx
xxxxxxx
xxx
hhhg
hhhg
hhhg
ggg
H ||det|| HHn
Criterios para maacuteximos y miacutenimos con restricciones (Hessiano liacutemitado) [Miacutenimo Local] Se tiene un miacutenimo local si y soacutelo si todos los determinantes son negativos |H1| lt0 |H2| lt0 hellip |Hn|lt0 ( - - - - - hellip)
[Maacuteximo Local] Se tiene un maximo local si y soacutelo se inicia con un determinante positivo y luego se alternan los signos |H1| gt 0 |H2| lt 0 hellip |Hn|lt0 (+ - + - hellip)
[Punto del tipo Silla] Se tiene un punto tipo silla sino se satisface los criterios de maacuteximos o miacutenimos y al menos uno de los determinantes es distinto de cero Ejemplo- Determine si la funcioacuten f(xy)= x2 ndash y2 tiene valores criacuteticos en la restriccioacuten x2+y2=1
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)(2
2
2
2)( 00 Xg
g
g
y
x
y
x
f
fXf
y
x
y
x
de aquiacute se obtienen las ecuaciones 2x = 2 λx -2y = 2 λy x2 + y2 =1 Las soluciones de este sistema de ecuaciones son (-101) (101) (0-1-1) y (0-11) El Hessiano liacutemitado es
2202
0222
220
||
y
x
yx
H
El determinante es igual a det|H| = 8x2(1+λ) ndash 8y2(1-λ) ahora evaluando
cada uno de los puntos se tiene que det|H|(-101) = 16 gt 0 det|H|(101) = 16 gt 0 det|H|(0-1-1) = -16 lt 0 det|H|(0-11) = -16 lt 0
De manera tal que la funcioacuten posee dos valores maacuteximos en los puntos (-10) y (10) y por otra parte tiene dos valores miacutenimos en los puntos (0-1) y (0-1) Ejemplo- Determine si la funcioacuten f(xy)= x2+y2 tiene valores criacuteticos en la restriccioacuten x2-y2 le 4 Al iniciar este estudio se trabaja con el interior es decir x2-y2 lt 4 dando como resultado el anaacutelisis de maacuteximos y miacutenimos de una funcioacuten en general de donde el gradiente de f se anula uacutenicamente en el origen siendo este valor un miacutenimo como se habiacutea visto en un ejercicio anterior para la funcioacuten del paraboloide Ahora al trabajar sobre la frontera se usa el criterio de muacuteltiplicadores de Lagrange
)(2
2
2
2)( 00 Xg
g
g
y
x
y
x
f
fXf
y
x
y
x
de aquiacute se obtienen las ecuaciones 2x = 2 λx 2y = -2 λy x2 - y2 = 4
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Las soluciones de este sistema de ecuaciones son (-201) y (201) El Hessiano liacutemitado es
2202
0222
220
||
y
x
yx
H
El determinante es igual a det|H| = -8x2(1+λ) + 8y2(1-λ) ahora
evaluando en cada uno de los puntos se tiene que det|H|(201) = -64 gt 0 y det|H|(-201) = -64 lt 0
De manera tal que la funcioacuten posee dos valores miacutenimos en los puntos (-20) y (20)
Una anaacutelisis de la graacutefica de esta funcioacuten permite visualizar que dichos
puntos no son miacutenimos maacutes bien son puntos tipos silla y no es que el criterio falle sino maacutes bien que los valores son miacutenimos pero sobre el complemento es decir bajo la restriccioacuten x2-y2 ge 4 Ejemplo- Determine los valores criacuteticos de la funcioacuten f(xyz) = 2x+y+3z sujeta a la restriccioacuten x2+y2+z2 le 36 Solucioacuten- Un anaacutelisis de las condiciones iniciales muestra que la graacutefica a maximizar en un hiperplano restringido en su dominio a una esfera de radio 6 de acuerdo a estas condiciones la funcioacuten en su interior no debe tener valor criacuteticos y en la frontera debe tener un valor miacutenimo y un valor maacuteximo En el interior- Al derivar la funcioacuten original se tiene lo siguiente
3
1
2
)( 0
z
y
x
f
f
f
Xf
De aquiacute se observa que la funcioacuten no posee valores criacuteticos en todo su dominio tal y como se esperaba Frontera- Al utilizar las condiciones del los Muacuteltiplicadores de Lagrange se tiene lo siguiente
)(
2
2
2
3
1
2
)( 00 Xg
z
y
x
f
f
f
Xf
z
y
x
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De aquiacute se genera el siguiente sistema de ecuaciones 2 = 2λx 1 = 2λy 3 = 2λz x2+y2+z2=36
Resolviendo el sistema se concluye que 2
1
1yx amp
2
3z Ahora
sustituyendo en la uacuteltima ecuacioacuten se deduce que la funcioacuten posee dos valores criacuteticos que son
18
14
14
1427
14
149
14
1418amp
18
14
14
1427
14
149
14
1418
La funcioacuten auxiliar es H(xyzλ) = 2x+y+3z-λ(x2+y2+z2) donde Hx=2-2λx Hy=1-2λy Hz=3-2λz El Hessiano Liacutemitado es
2002
0202
0022
2220
||
z
y
x
zyx
H
De aquiacute
0
0)(8
202
022
220
|| 22
1si
siyx
y
x
yx
H
0576)(16
2002
0202
0022
2220
|| 22222 zyx
z
y
x
zyx
H
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De aquiacute se desprende que la funcioacuten f(xyz) = 2x+y+3z posee un valor miacutenimo
en el punto 18
14
14
1427
14
149
14
1418 restringido a x2+y2+z2 = 36 y un
maacuteximo en el punto 18
14
14
1427
14
149
14
1418
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Tarea nuacutemero 4 Maacuteximos y Miacutenimos
Objetivo- Que el alumno sea capaz de aprender a resolver problemas asociados a la vida real haciendo uso del caacutelculo de varias variables Aquiacute se enuncian los siguientes ejercicios adicionales dado que muchos de los mismos se fueron exponiendo a lo largo del capiacutetulo y se sugiere que se revisen los problemas resueltos y propuestos en la libros de la bibliografiacutea dado que las aplicaciones son muchas 1- Determine los valores maacuteximos y miacutenimos de la funcioacuten f(xy) = x +y sujeta a la restriccioacuten x2+2y2le18 (Realice un bosquejo de la graacutefica y se restriccioacuten)
2- Determine los valores maacuteximos y miacutenimos de la funcioacuten f(xy) = x2 +y2 sujeta a la restriccioacuten x+2y le 4 (Realice un bosquejo de la graacutefica y se restriccioacuten)
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Bibliografiacutea
1 Caacutelculo Vectorial Marsden amp Tromba Addison-Wesley Iberoamericana
2 Caacutelculo Multivariable James Steward Thomson Editores
3 Caacutelculo con Geometriacutea Anaacutelitica Zill Grupo Editorial Iberoameacuterica
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Como se puede apreciar el dominio de estas funciones estaacute definido por regiones en el plano cartesiano cuando el dominio de la funcioacuten estaacute contenido en R2
Derivadas Parciales La derivada parcial de una funcioacuten de varias variables consiste en derivar la funcioacuten con respecto a la variable en cuestioacuten y dejar a las otras variables fijas como si fuesen constantes Por ejemplo al derivar la funcioacuten f(x y z) = x2 + 3xy3 - 3xz las derivadas de f con respecto a x y y z se describen a continuacioacuten y se denotan cada una de ellas por medio de los simbolos fx fy y fz fx(x y z) = 2x + 3y3 - 3z fy(x y z) = 9xy2 fz(x y z) = - 3x Definicioacuten- (Gradiente de una funcioacuten) El gradiente de una funcioacuten real se define como el vector que contiene en sus componentes a sus primeras derivadas parciales Asiacute para el ejemplo anterior el gradiente de f es y se denota por
3
2
2 3 3
9
3
x
y
z
f x y z
f f xy
f x
Ejemplo- Determine el gradiente de las siguientes funiones g(xy)=(x2 y4) y h(xyzw) = 2x+y2-3z+8w
3
2( )
4
x
y
h xh x y
h y
2
2( )
3
8
x
y
z
w
g
g yg x y z w
g
g
El vector gradiente tiene varias propiedades que son muy uacutetiles una de ellas nos indica la direccioacuten de maacuteximo crecimiento y otra de ellas es que es un
vector tangente a las curvas de nivel de una funcioacuten
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Definicioacuten- (Derivada Direccional) La derivada direccional de una
funcioacuten en un punto (x0 y0) y en direccioacuten de un vector v=(AB) se define como el producto del gradiente de la funcioacuten evaluado en el punto (x0 y0) por el vector V dividido entre la norma de mismo vector
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Tarea nuacutemero 2 materia de Caacutelculo 3 Objetivo- Que el alumno sea capaz de interpretar la nocioacuten de liacutemite en varias variables identifique la graacutefica de funciones y haga uso de la derivadas parciales 1- Determine el dominio de las siguientes funciones
(1a) f(x y z) = 2221 zyx
(1b) g(x y) = xy
2
(1c) f(x y) = xy
(1d) g(x y) = y4
(1e) f(x y) = y
x
4
4
(1f) h(x y) = 24
1
xy
2- Realice un bosquejo de las siguientes graacuteficas
22 zyx 22 2zxy 22 yxz 222 yxz
3- Determine los siguientes liacutemites
(31) xyxyxyxf y 210)( 3 cuando (xy) tiende a (12)
(32) yx
zyzxzyxf
33
)( cuando (xy) tiende a (112)
(33) )00()(
)00()(
0
3
3
)(
44
32
yx
yx
Siacute
Siyx
yx
yxk cuando (xy) tienden a (00)
En caso de existir indique haciendo uso de la nocioacuten
(34) )()(2
zxyxxxy
xxyyxzyxF z cuando (xyz) tiende a (012)
4- Indique de las funciones del ejercicio anterior son continuas y en que dominio 5- Determine si las funciones del ejercicio tres son de clase C1 6- Determine la ecuacioacuten del plano tangente a la graacutefica de la funcioacuten g(xy) = x4-10y3 en el punto (1-1) y en el punto (12) grafique en la computadora y agregue en el documento de la tarea 7- Determine los conjunto de nivel de valor -2 -1 0 1 2 de las funciones (7a) f(x y) = 3x2 + 3y2
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(7b) g(x y) = 22 44 yx
(7c) h(x y) = 1 ndash y + x2 (7d) k(x y z) = x2 + y2 + z2 Indique las graacuteficas en computadora y agregue en el reporte
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Capiacutetulo 3
Trayectorias
En este capiacutetulo se realiza el estudio de las propiedades de las funciones vectoriales es decir se hace incapie en el concepto de funcioacuten y la de un vector
Este concepto permite describir entre otras cosas el camino seguido por una partiacutecula en el espacio con el ingrediente adicional de tener a la mano los conceptos de velocidad y aceleracioacuten derivados a partir de una sola ecuacioacuten aquella que guarda la relacioacuten de posicioacuten de la partiacutecula con respecto al tiempo
Por ejemplo al mover una onda esta describe un movimiento circular si
la onda se suelta un objeto puesto en ella sale disparado en forma tangencial Este movimiento se puede representar con vectores y debe de expresar que la velocidad sea tangente a la trayectoria que sigue dado que la piedra abandona la onda en liacutenea recta
Si esto se extrapola al vuelo de una mosca se puede inferir que la velocidad de la misma sea tangencial a la trayectoria que va recorriendo en cada punto esto se muestra en la siguiente graacutefica
Observe que el hecho de contar con la orientacioacuten del vector velocidad permite no soacutelo inferir la velocidad de escape de la partiacutecula sobre la curva sino a la vez conocer la orientacioacuten del movimiento de la misma
Definicioacuten- (Trayectoria) Una trayectoria es una funcioacuten que parte de los nuacutemeros reales al espacio n Euclidiano Es decir es una funcioacuten de la forma
))()()(()( 21 txtxtxt n
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Caso particular de una trayectoria de los reales a plano En el caso de una trayectoria de los reales al plano se puede ilustrar con el siguiente diagrama
σ(a) σ(b) a b
2][ Rba ))()(()( tytxt
Una forma de ilustrar esto es pensar que la variable t es el tiempo y la imagen corresponde a la trayectoria de un objeto en el plano asiacute que el tiempo t=a la partiacutecula se encuentra en el punto σ(a) que es el inicio del recorrido de la misma mientras que tiempo final t=b se localiza al final de la trayectoria de estudio
Se puede observar una flecha indicativa del sentido de la partiacutecula a lo largo de la trayectoria
Ecuacioacuten Parametrica y Cartesiana de una curva
Ejemplo- Dada la trayectoria )()( 2ttt con 22t realice una
graacutefica de dicha trayectoria
t ))()(()( tytxt
-2 )42()(t
-1 )11()(t
0 )00()(t
1 )11()(t
2 )42()(t
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Como se puede apreciar la imagen de la trayectoria que recibe el
nombre de curva es una paraacutebola esto se puede ver si se realiza lo siguiente
Como x = t y = t2 entonces se puede deducir que y=x2 la ecuacioacuten correspondiente a la graacutefica de una paraacutebola esta ecuacioacuten corresponde a sus coordenadas cartesianas por otra parte si se rescribe en forma de trayectoria se dice que la ecuacioacuten es su ecuacioacuten cartesiana dado que depende de un solo paraacutemetro
Parametrizacioacuten de una funcioacuten real Si y es una variable dependiente de la variable x es decir existe
una regla de asignacioacuten f tal que y = f(x) con bxa En donde a
cada elemento x le asigna uno y soacutelo un valor y La graacutefica de esta funcioacuten se debe de ver como un trazo en el plano de la siguiente forma
La graacutefica no puede ser de la siguiente forma
y2
y3
y1 y4
X1 X2
Note que al valor de x2 le asigna tres valores de y lo cual no
cumple con las condiciones para que f sea una funcioacuten Ahora la graacutefica de una funcioacuten de esta tipo no es otra cosa que
la imagen de una trayectoria la cual se puede parametrizar de la siguiente forma
Como y = f(x) entonces defina x = t y por consiguiente y=f(t) en
donde bta
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-4 -2 2 4
-30
-20
-10
10
20
30
-2 -1 1 2
-2
-1
1
2
Asiacute en el caso de la paraacutebola la parametrizacioacuten adecuada es x
=t y = t2 tal como estaba planteada originalmente Ahora si la funcioacuten es y = 2x3-10x con 44 x entonces la
parametrizacioacuten adecuada es
)102()( 3 tttt 44 t
La graacutefica de esta curva asociada a la trayectoria es
Parametrizacioacuten de una circunferencia Elipse e Hipeacuterbola
La ecuacioacuten cartesiana de una circunferencia con centro en el origen y
radio dos estaacute dada por 422 yx Al intentar escribir esta ecuacioacuten en
funcioacuten de un solo paraacutemetro se requiere despejar a la variable y obteniendo
dos funciones que son 24 xy Con 22 x
La graacutefica de esta curva permite visualizar que no pertenece a una
funcioacuten sino maacutes bien a dos que son las enunciadas anteriormente y como se ve a continuacioacuten
24 xy
24 xy
Una forma de representar esta curva es por medio de dos trayectorias
)4()( 2
1 ttt y )4()( 2
2 ttt 22t
Una forma alternativa de representar esta curva es por medio del uso de coordenadas polares en donde x=rCos(t) y= rSen(t) como el radio es fijo y es igual a dos estas ecuaciones se pueden escribir en funcioacuten de un solo paraacutemetro ldquotrdquo x=2Cos(t) y=2Sen(t) note que al evaluar x2+y2=4Cos2(t)+4Sen2(t) = 4(Cos2(t)+Sen2(t))=4 con lo cual satisface la
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ecuacioacuten de la circunferencia quedando expresada la trayectoria de la siguiente forma
σ(y) = (2Cos(t) 2Sen(t) con 0letle2π En esta ecuacioacuten define por completo a la curva auacuten y cuando la
ecuacioacuten original no es una funcioacuten siendo esto una ventaja del estudio de la trayectorias
Ejemplo- La parametrizacioacuten de la elipse 12
2
2
2
b
y
a
x queda
expresada por x = aCos(t) y=bSen(t) se deja como ejercicio comprobar este resultado
Ejemplo- La parametrizacioacuten de la hiperbola 12
2
2
2
b
y
a
x queda
expresada por x = aCosh(t) y=bSenh(t) en donde se trabaja con las funciones de Seno y Coseno hiperboacutelicas se deja como ejercicio comprobar este resultado (aunque soacutelo permite representar el lado correspondiente a los cuadrantes I y IV en donde la x es no negativa
Derivada de una trayectoria La derivada de una trayectoria es un vector tangente a la curva esto se
deriva del siguiente anaacutelisis
Dada la trayectoria σ(t) se grafican la posicioacuten de la curva al tiempo t y t+h luego trace el vector asociado a la liacutenea secante que une los puntos de aquiacute al tomar valores cada vez maacutes pequentildeos de h el vector secante se convierte en un vector tangente a la curva como se muestra a continuacioacuten
Por otra parte el anaacutelisis vectorial de este cociente es
)()()(
0
tt
tht
h
Liacutem
Es decir la derivada de la trayectoria y el vector resultante es
tangente a la curva
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Asiacute para el caso de una curva en el plano la trayectoria se puede describir por medio de dos funciones x(t) y(t) de la siguiente forma
)(
)()(
ty
txt
En donde la derivada de esta funcioacuten es
)(
)()(
ty
txt
Vector tangente a la graacutefica de una circunferencia de radio R Ahora si se tiene la parametrizacioacuten de una circunferencia esta esta
dada por σ(t) = ( RCos(t) R Sen(t))
Y X
Un vector tangente tiene que cumplir que su producto punto tiene que
ser cero de aquiacute si V=(AB) al multiplicarlo por el vector σ su producto punto tiene que ser cero
De aquiacute que σ(t)V = ARCos(t) + BRSen(t) = 0 Existiendo muchas soluciones a este sistema de ecuaciones siendo una
de ellas cuando A = Cos(t) B=-Sen(t)
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Vector trasladado
Siendo este un vector tangente a la curva ahora al derivar las
componentes xrsquo(t) = -RSen(t) y(t) = RCos(t) que es un muacuteltiplo escalara del vector tangente mostrado anteriormente
Definicioacuten- (Rotacional) El rotacional de un campo vectorial
F=Pi+Qj+Rk de clase C1 de define como el vector
i j k
RotFx y z
P Q R
Ejemplos- Determine el rotacional de los siguientes campos vectoriales
F1=xi+yj+zk F2=x2yi-xy
2j-3zyk
Solucioacuten-
1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0
i j k
RotF z y i z x j y x kx y z y z x z x y
x y z
2 2 2 2
2
2 2
( 3 ) ( ) ( 3 ) ( ) ( ) ( )
3
i j k
RotF zy xy i zy x y j xy x y kx y z y z x z x y
x y xy zy
2 2
2
2 2
3 0
3
i j k
RotF z i j y x kx y z
x y xy zy
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Definicioacuten- (Divergencia) Si F es un campo vectorial de clase C1 la divergencia de F se define como un campo escalar de la siguiente forma
( )P Q R
divF div Pi Qj Rkx y z
Ejemplos- Determine la divergencia de los siguientes campos vectoriales F1=xi+yj+zk F2=x
2yi-xy
2j-3zyk
Solucioacuten-
1 ( ) ( ) ( ) ( ) 3divF div xi yj zk x y zx y z
2 2 2 2
2 ( 3 ) ( ) ( ) ( 3 ) 2 2 3 3divF div x yi xy j zyk x y xy zy xy xy y yx y z
Definicioacuten- (Laplaciano) Si f es un campo escalar de clase C2 el Laplaciano de f se define como un campo escalar de la siguiente forma
2 2 2
2
2 2 2xx yy zz
f f ff f f f f
x y z
Ejemplos- Determine la divergencia de los siguientes campos escalares g1(x
y z) = xy2z
3 g2(x y z) = x
2 + y
2 + z
2
2 2 2
2 2 3 2 3 2 3 2 3 3 2 2
2 2 2( ) ( ) ( ) 2 3 f f xy z xy z xy z y z yz xy z
x y z
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2( ) ( ) ( ) 6f f x y z x y z x y z
x y z
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Tarea nuacutemero 3 Trayectorias
Objetivo- Que el alumno sea capaz de comprender los conceptos de movimiento de una partiacutecula a lo largo de una trayectoria y de la importancia del uso de vectores en este tema 1- Si la trayectoria σ(t) = t2i+t2j define la trayectoria seguida por una partiacutecula con respecto al tiempo determine 1a- iquestEl tipo de trayectoria que describe 1b- Realice una graacutefica de la distancia recorrida por la partiacutecula con respecto al tiempo en los primeros tres segundos 1c- Determine el tipo de movimiento de la partiacutecula 1d- iquestSe puede afirmar que es un movimiento uniformemente acelerado 1e- Determine la aceleracioacuten y velocidad a los cuatro segundos 1f- Realice una graacutefica de su rapidez con respecto al tiempo 1g- Realice una graacutefica de sus aceleracioacuten con respecto al tiempo 1h- En la graacutefica de la trayectoria agregue graacuteficamente los vectores aceleracioacuten y velocidad 2- Realice lo mismo que en ejercicio anterior pero ahora con la funcioacuten γ(t) = Cos(t) i+5Sen(t)j 3- Dadas las funciones f(t) = 3t2i-4t3j+e2tk y g(t) = 4t3i+4t2j+e-2tk 3a- Determine la funcioacuten producto punto h = fg 3b- Determine la derivada de h 3c- Usando la regla de diferenciacioacuten determine la derivada de h y compruebe el inciso anterior 4a- Determine la funcioacuten producto cruz k = ftimesg 4b- Determine la derivada de h 4c- Usando la regla de diferenciacioacuten determine la derivada de h y compruebe el inciso anterior 5- Determine el Rotacional y la Divergencia del siguiente campo vectorial G(x y z) = 2xy i + 3xz j - 5xy k 6- Determine el gradiente y el Laplaciano del siguiente campo escalar f(xyz) = 4x2-3yz2 7- Dado el campo vectorial F(x y z) = 2xy i + x2 j +3z2 k 7a- Determine si F puede representar el gradiente de un campo escalar f 7b- En caso de ser afirmativa la respuesta del inciso anterior determine el campo escalar f 8- Pruebe que la divergencia del rotacional de un campo vectorial F=Pi+Qj+Rk es igual a cero Es decir la div rot F =0 9- Usando las reglas de diferinciacioacuten pruebe que
gfgfgf
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100 -x
Capitulo 4 Maacuteximos y miacutenimos
Es indispensable determinar en distintos problemas las soluciones oacuteptimas que permitan establecer por ejemplo los valores maacuteximos de produccioacuten o ahorrar el material en la construccioacuten de cierto equipo
Como se recordaraacute el gradiente de una funcioacuten indica la direccioacuten de
maacuteximo crecimiento esto se refleja en que si se toma la direccioacuten sugerida por este vector el valor de la funcioacuten aumenta en una vecindad del mismo asiacute si en un diagrama de un campo gradiente aparecen un punto en donde convergen la direccioacuten de todos los gradientes se encontraraacute que dicho valor debe de ser un valor maacuteximo para la funcioacuten de estudio Un diagrama de esta tipo se ejemplifica a continuacioacuten
Un diagrama en donde todos los vectores apuntan hacia fuera de un
punto indicaraacute que este punto debe de ser un valor miacutenimo de la funcioacuten Citemos el siguiente ejemplo de una variable con la finalidad de
centrarnos en el tema Una persona desea bardear un terreno en forma rectaacutengular cuanto debe de medir cada lado de manera tal que el aacuterea cercada sea maacutexima si se cuenta con 200 metros de malla
La funcioacuten que representa dicho modelo es
A(x) = x(100-x) x
Como se puede observar el aacuterea es cero si x es igual a cero o a cien con lo cuaacutel el lado x debe de estar en en intervalo [0 100] siendo estas las restricciones del problema Derivando la funcioacuten para obtener los valores critiacutecos se tiene que Arsquo(x) = 100 ndash 2x
Al igual la derivada a cero se concluye que el valor critico es x es igual a 50 Al derivar por segunda ocasioacuten se concluye que
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Arsquorsquo(x) = -2 Como la segunda derivada es siempre negativa se concluye que la funcioacuten alcanza un valor maacuteximo en el valor critico en este caso en x = 50 al interpretar dicho resultado se concluye que el terreno que optimiza la solucioacuten es un cuadrado Ejercicio- Que aacuterea se genera si el terreno es de forma circular Al resolver el ejercioacute anterior y comparar las aacutereas del cuadrado y del circulo se puede apreciar que el aacuterea del circulo es mayor pero en la praacutectica es poco atractivo cercar terrenos circulares por diversas razones pero en la naturaleza es comuacuten observar que las gotas de lluvia sean esferas esto permite el optimizar recursos y maacuteximizar el volumen del liacutequido contenido en la misma Se iniciara el estudio formal de maacuteximos y miacutenimos de funciones de varias variables observando las siguientes graficas con la finalidad de tener la idea clara de que es un maacuteximo o miacutenimo o un punto silla
En la primera de ellas se observa que la funcioacuten tiene un valor miacutenimo en la segunda se observa que la funcioacuten tiene un valor maacuteximo y en la uacuteltima la funcioacuten tiene un punto silla este se identifica el dirigirnos en una direccioacuten la funcioacuten crece mientras que en la otra la funcioacuten decrece
Definicioacuten- Una funcioacuten mn RRf tiene un valor maacuteximo local en x0 si en
una vecindad de dicho valor se cumple que la funcioacuten evaluada en todos los vecinos ninguno de ellos supera a f(x0) Es decir f(x0) f(x) para todo x en una vecindad de x0 El punto es llamado un maacuteximo absoluto si la funcioacuten toma el valor maacuteximo en dicho punto para todo valor de su dominio
Esto es muy similar cuando uno observa a los alumnos de un saloacuten de clases existe un alumno que tiene la mayor estatura si ninguno de sus compantildeeros lo supera Asiacute en la escuela el alumno de mayor estatura absoluta es aquel que supera a todo el plantel
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La definicioacuten para el miacutenimo local (absoluto) es similar
f(x0) f(x) para todo en una vecindad de x0 Por ejemplo la funcioacuten f(xy) = x2+y2 tiene un valor miacutenimo en el origen dado que en este valor la funcioacuten vale cero mientras que fuera de ahiacute siempre es positiva dado que todo nuacutemero real elevado al cuadrado es siempre positivo Ademaacutes dicho valor es un miacutenimo absoluto Como se menciono al inicio de esta capitulo el diagrama del campo
gradiente de esta funcioacuten y
xyxf
2
2)( indica que la funcioacuten tiene un valor
miacutenimo siendo la grafica del mismo la siguiente Sin embargo se requiere un criterio maacutes general y sistemaacutetico que permita establecer los posibles valores maacuteximos miacutenimos o puntos silla) Definicioacuten- (Un valor extremo) Si la funcioacuten posee un valor maacuteximo o miacutenimo este es llamado un valor extremo Definicioacuten- (Un valor critico) Un punto en donde la derivada de la funcioacuten se anula es llamado un valor critico Teorema- Todo valor extremo es un valor critico Es decir si f posee un valor extremo en x0 que pertenece a su dominio entonces la derivada de la funcioacuten en el punto x0 se anula Es decir Df(x0) = 0 Demostracioacuten- Sea l(t) una trayectoria que pasa a traveacutes por el punto x0 defina la composicioacuten de funciones h(t) = f(l(t)) donde l(t) = x0 + tv de donde lrsquo(t) = v y ademaacutes
))(()())(()( VtlftDltlDftDh (1)
Por otra parte como f posee un valor extremo en x0 suponga que dicho
valor es un maacuteximo entonces x0 seraacute a la vez un maacuteximo para la funcioacuten h y como h es una funcioacuten real esto significa que la derivada de h en dicho punto
se anula es decir 0)()0())0(()0( 0 vxfDllDfDh ahora como los
vectores )( 0xf y v no son necesariamente perpendiculares y el vector v a la
vez tampoco se anula entonces esto implica que el gradiente de f en x0 es igual a cero y por lo tanto f posee un valor criacutetico en x0
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Este resultado permite establecer posibles valores criacuteticos de una funcioacuten asiacute se menciona el siguiente ejemplo Ejemplo- Determine los posibles valores criacuteticos de las siguientes funciones (1) f(x y) = x2 + y2 y (2) g(x y) = 4x3 -12x + y2
Solucioacuten-
(1) 0
0
2
2)(
y
xyxf de aquiacute se concluye que dicho valor soacutelo
existe un valor criacutetico siendo este el origen el cuaacutel ya se clasifico en estos apuntes y resulto ser un valor miacutenimo
(2) 0
0
2
1212)(
2
y
xyxg de aquiacute se obtienen dos valores criacuteticos
que son (-10) y 1l (10) Los cuales se pueden clasificar el realizar el graacutefico del campo gradiente En donde se aprecia que en el punto (-10) la funcioacuten posee un punto silla mientras que en el punto (10) la funcioacuten posee un valor miacutenimo
Aquiacute se utilizaraacute el criterio del hessiano para determinar si el valor criacutetico es un maacuteximo un miacutenimo o un punto silla Solo se enunciara el teorema sin demostracioacuten para ver la misma puede revisar en el libro de Marsden Tromba de Caacutelculo Vectorial
Definicioacuten- El Hessiano de una funcioacuten 22 RRH de clase C2 se define como una funcioacuten cuadraacutetica que se escribe como
2
1
2
22
2
2
2
21212
1)(
h
h
y
f
yx
f
xy
f
x
f
hhhhH
Evaluada la matriz de las segundas derivas parciales en el valor criacutetico
Teorema- Si el Hessiano de una funcioacuten 2 RRf es definitivamente
positivo entonces la funcioacuten tiene un valor miacutenimo en dicho punto
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Corolario- Si la matriz asociada A=cb
ba de una forma cuadraacutetica dos
por dos es definitivamente positiva si y soacutelo si se cumple que agt0 y det A gt0
Teorema de una valor para un valor extremo miacutenimo- Una funcioacuten
2 RRf de clase C2 posee un valor extremo miacutenimo local en x0 elemento
del dominio de la funcioacuten si y soacutelo si se satisfacen las siguientes condiciones
(i) 0)( 0xx
f y 0)( 0x
y
f
(ii) )( 02
2
xx
f gt 0
(iii) )( 02
2
xx
f)( 02
2
xy
f)(
2
2
oxx
f)( 02
2
xx
f gt 0
Para un valor maacuteximo las condiciones (i) y (iii) se mantienen la uacutenica que cambia en la segunda en donde esta debe ser negativa Para un punto silla se requiere que al menos no se cumplan las condiciones de valor maacuteximo ni miacutenimo y que la uacuteltima condicioacuten (iii) sea distinta de cero En caso contrario el criterio no permite clasificar dicho valor como se mostraraacute en un ejemplo maacutes adelante Ejemplo- Ahora continuando con los ejemplos anteriores
(1) Para f(xy) = x2+y2 el valor critico es el origen y el hessiano asociado es
2
1
212100
02
2
1)(
h
hhhhhH
Como se pude apreciar el primer valor es positivo 2 gt0 y el determinante de
la funcioacuten 20
02det es igual a 4 que a la vez es positivo de manera tal que la
funcioacuten posee un valor miacutenimo en el origen
(2) g(x y) = 4x3 -12x + y2 los puntos criticos son (-10) y (10) y el hessiano asociado a esta forma cuadraacutetica es
2
1
212120
024
2
1)(
h
hxhhhhHg
Ahora al evaluar en los puntos se tiene En el (-10)
2
1
212120
024
2
1)(
h
hhhhhHg
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En donde -24 lt 0 y det Hg = -48 lt0 con lo cuaacutel debe de ser un punto silla
En el (10)
2
1
212120
024
2
1)(
h
hhhhhHg
En donde 24 gt 0 y det Hg = 48 gt0 con lo cuaacutel debe de ser un punto miacutenimo
Tal como se habiacutea estimado en la graacutefica del campo gradiente de la
solucioacuten anterior A continuacioacuten se muestra un bosquejo de dicha graacutefica realizado en el derive
Ejemplos de cuando el criterio permite clasificar los
valores criacuteticos
Ejemplo- A continuacioacuten se mostrara un ejemplo de cuando el criterio no concluye asiacute si la funcioacuten es h(xy) = x4+y4 al calcular las derivas parciales mixtas fx=4x3 y fy=4y3 se encuentra un solo valor critico el origen miestras que la matriz asociada del hessiano es
2
2
120
012
y
x y al evaluar en el origen queda expresada como
00
00
)0(120
0)0(122
2
En donde se puede apreciar que fallan todos los criterios una inspeccioacuten de
la funcioacuten original permite ver que la funcioacuten tiene un valor miacutenimo en dicho punto pero no es una generalizacioacuten es decir no se puede decir que siempre que aparezca la matriz de ceros se tenga un valor miacutenimo dado que si se analiza ahora a las funciones k(xy) = -x4-y4 y p(xy) = x4-y4 ambas tienen como calor extremo al origen y la matriz hessiana asociada a la forma cuadraacutetica evaluada en el origen es la matriz de ceros
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Ejemplo- Otro ejemplo en donde el criterio no concluye es el siguiente en
donde el determinante de la matriz H es cero debido a que la segunda derivada de la funcioacuten f con respecto a la segunda variable se anula (fyy = 0) y no se puede asegurar que se tenga un punto maacuteximo miacutenimo o silla
Las funciones f1(xy) = x2 f2(xy) = -x2 y f3(xy) = x3 presentan este
problema a continuacioacuten se muestran las graficas de dichas funciones
En cada una de ellas los puntos criacuteticos son las parejas en el plano (0 y) Es decir el eje coordenado X
El Hessiano respectivo de cada uno es el siguiente
00
02)(1 yxH
00
02)(2 yxH
00
03)(3
xyxH
Note que el determinante de cada de estas matrices se hace cero y que fyy
se anula en cada caso
Ahora observando las graacuteficas se verifica visualmente que en la primera se tienen valores miacutenimos en la segunda maacuteximos y en la uacuteltima no es ni maacuteximo ni miacutenimo o punto silla
Ejemplo- Citemos otro ejemplo en donde el criterio de maacuteximos y miacutenimos
no concluye Determine los puntos criacuteticos de la funcioacuten h(xy) = x4 Se tiene que hx=4x3=0 y hy=0 de donde se deduce que la funcioacuten tiene
un nuacutemero infinito de puntos criacuteticos estos son las parejas ordenadas en el plano (0y)
La matriz del Hessiano asociado es
00
012)(
2
1
xyxH y evaluando en el punto
00
00)0(1 yH
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En donde no se puede clasificar a los valores criacuteticos sin embargo
realizando una inpeccioacuten de la funcioacuten se puede concluir que todos los puntos representan valores miacutenimos de la funcioacuten original a continuacioacuten se muestra la grafica de la misma
El Hessiano para n variables y el criterio de clasificacioacuten
Cuando la funcioacuten tiene maacutes de dos variables se genera una matriz asociada H en cada uno de los valores criacuteticos de la siguiente forma
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
H
21
22221
11211
De aquiacute se definen las siguientes matrices
111 aH 2221
1211
2aa
aaH hellip HH n
Los criterios para los valores criacuteticos de la funcioacuten RRf n son los
siguientes [Miacutenimo Local] La funcioacuten f posee un valor extremo local miacutenimo en x0 si todos los determinantes de las submatrices evaluados en x0 son positivos
0det 1H 0det 2H hellip 0det 2H (+ + hellip +)
En este caso la forma cuadraacutetica se puede probar que es definitivamente positiva [Maacuteximo Local] La funcioacuten f posee un valor extremo local miacutenimo en x0 si todos los determinantes de las submatrices evaluados en x0 se alternan en signo pero el primero de ellos debe ser negativo
0det 1H 0det 2H hellip 0det 2H (- + - + hellip )
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En este caso la forma cuadraacutetica se puede probar que es definitivamente negativa [Punto Silla] La funcioacuten f posee un punto silla si no se cumplen los criterios de valor miacutenimo o maacuteximo y al menos uno de los subdeterminantes es distinto de cero
Existe un i tal que 0det iH
Ejemplos- Determine los valores criacuteticos de las siguiente funcioacuten f(x y z w) = x3 - 3x + y3 ndash 3y + z2 + w2 y claacutesifiquelos Solucioacuten- Al resolver las siguientes ecuaciones
033 2 xxf x 033 2 yyf y 02zf z y 033 2 wwfw
Se obtienen cuatro puntos criacuteticos que son (-1-100) (-1100) (1-100) y (1100) ahora se genera la matriz del hessiano asociado siendo esta
2000
0200
0060
0006
y
x
H
Al evaluar en cada uno de los puntos se tienen las siguientes matrices
2000
0200
0060
0006
)0011(H
2000
0200
0060
0006
)0011(H
2000
0200
0060
0006
)0011(H y
2000
0200
0060
0006
)0011(H
Los sub determinantes para cada uno de los puntos son [(-1 -1 0 0)] -6 36 72 144 que clasifica como un punto silla [(-1100)] -6 -36 -72 -144 que clasifica como un punto silla [(1-100)] 6 -36 -72 -144 que clasifica como un punto silla [(1100)] 6 36 72 144 que clasifica como un valor miacutenimo De manera tal que la funcioacuten tiene tres puntos silla y un valor miacutenimo
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Ejercicios- Determine los puntos criacuteticos de las siguientes funciones y claacutesifiquelos utilizando el criterio del Hessiano
(1) f(x y) = x2 - y2 (Silla de montar)
(2) g(x y) = 22 yx (Cono)
(3) h(x y z) = x4 - 2x2 + 2y3 -3y2 + z3-3 Ejercicio- Se requiere construir una lata con tapa que contenga un litro de agua con el miacutenimo de material determine las condiciones que oacuteptimizan el problema Ejercicio- Determine el producto maacuteximo de tres nuacutemeros si la suma de ellos debe ser 40 Ejercicio- Determine la distancia miacutenima del origen a la graacutefica de la funcioacuten f(xy) = 4-x2+y Ejercicio- Estudie los ejemplos resueltos que trae el libro de Marden Tromba en el capitulo 4 en especial el referente a la ecuacioacuten de miacutenimos cuadrados Ejercicio- Determine la ecuacioacuten lineal que mejor se ajusta a los puntos (12) (2 32) (3 389) (4 488) (5 55) Utilize el criterio de miacutenimos cuadrados en caso de que el modelo sea lineal (justifique la linealidad del mismo realice una graacutefica de los puntos y de la liacutenea que ajusta a los puntos) Ejemplo- (Aplicacioacuten) En este ejemplo dermina la distancia miacutenima del punto (100) a la graacutefica de una funcioacuten f(x y) = x2+y2
Solucioacuten- Todos los puntos que se encuentran sobre la graacutefica de la funcioacuten satisfacen la siguiente terna de valores en donde se observa que la tercer componente es la variable dependiente (x y x2+y2)
La distancia del punto (1 0 0) a los puntos que estaacuten sobre la graacutefica (x y x2+y2) Se define por medio de la funcioacuten
2222222 )()1()()001()( yxyxyxyxdyxfd
Para determinar el valor miacutenimo o maacuteximo de esta funcioacuten basta con
analizar su argumento dado que es un funcioacuten creciente Es decir Si x1lt x2
entonces f(x1) lt f(x2) lo que es vaacutelido para la funcioacuten )( xxf (ver graacutefica)
2x
1x
x1 x2
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De este modo la funcioacuten a maximizar es
2222222
11 )()1()()001()( yxyxyxyxdyxfd
De aquiacute al las derivadas parciales son
)(4)1(2)( 22
1 yxxxyxfd x y )(42)( 22
1 yxyyyxfd y
Igualando ambas ecuaciones a cero se puede establecer la siguiente
ecuacioacuten
)(4
)(4
2
2222
22
yxy
yxx
y
x (3)
De aquiacute si )00()( yx y 0y se concluye que -1=0 lo cual es una
contradiccioacuten Por otra parte si (xy)=(00) en la primera ecuacioacuten se tiene que 1=0 que es tambieacuten una contradiccioacuten Finalmente si se considera el caso en
que y=0 se obtiene de la siguiente ecuacioacuten 012 3 xx
El polinomio 12)( 3 xxxP tiene una raiacutez entre el cero y el 1 dado
que P(0)=-1 y P(1)=2 Con el anaacutelisis de raiacuteces racionales dos posibles raiacuteces
son 2
1 y como
2
1 estaacute entre cero y uno al usando divisioacuten sinteacutetica se
obtiene que 4
1
2
1P Asiacute que la raiacutez debe de estar en el intervalo 1
2
1
Ahora usando el meacutetodo de Newton con semilla en 2
10x se obtiene
que 6010
6
2
54
1
2
1
)(
)(
0
0
01xf
xfxx
Ahora al evaluar la funcioacuten en dicho punto se tiene que 0320)60(P el
cual es aceptable como raiacutez del polinomio en una sola interaccioacuten De manera tal que el punto criacutetico de la funcioacuten es el (060) El Hessiano asociado es
24128
82412)(
22
22
xyxy
xyyxyxH
Como se puede apreciar el primer elemento de la matriz es positivo independientemente de los valores de x e y Falta evaluar el determinante de H este es igual a
)64)2412)(2412()(det 222222 yxxyyxyxH
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Ahora evaluando en (06 0) se tiene 7421)443)(326()060(det H
Que tambieacuten es positivo de manera tal que se tiene un valor miacutenimo Es
decir la se obtuvo la distancia miacutenima
Maacuteximos y Miacutenimos con restricciones
Los muacuteltiplicadores de Lagrange permite determinar valores maacuteximos o miacutenimos de funciones con restricciones De este tipo de problemas esta lleno nuestro contorno desde el panedero que desea producir la maacutexima cantidad de pan pero con la restriccioacuten del capital que tiene o la posible venta del diacutea para que no tenga sobrantes
Citemos el siguiente ejemplo la graacutefica de paraboloide z = x2+y2 esta
graacutefica soacutelo tiene un valor miacutenimo en el origen sin embargo si esta restringida
al cuadrado unitario 1111 la funcioacuten alcanza cuatro puntos maacuteximos en
los puntos (-11)(-1-1) (1 -1) y (11) a saber dicho valor es 2 Como se observa en la figura
Ahora si se trabaja con la silla de montar con la misma restriccioacuten esta
funcioacuten tiene originalmente un punto silla en el origen pero al analizar las restricciones se contiene dos valores maacuteximos y dos miacutenimos en los puntos (10) (-10) (0-1) y (01)
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Muacuteltiplicadores de Lagrange Teorema- Dadas dos funciones fg Rn a R diferenciables en X0 elemento del dominio de ambas funciones Si Lc es el conjunto de nivel de valor c de la funcioacuten g y si f posee un valor maacuteximo miacutenimo o silla en la restriccioacuten Lc
entonces existe un nuacutemero real λ tal que )()( 00 XgXf
Se puede ver parte de la demostracioacuten de este teorema en el libro de Marsden Tromba Para clasificar los puntos criacuteticos se utiliza el criterio del Hessiano limitado el cuaacutel se define a partir de la funcioacuten auxiliar H(x1 x2 hellip xn) = f(x1 x2 hellip xn) - λ g(x1 x2 hellip xn)
nnnn
n
n
xxxxx
xxxxx
xx
hhg
hhg
gg
H
1
1111
10
||
Ahora defina los siguientes determinantes
22122
21111
210
|| 1
xxxxx
xxxxx
xx
hhg
hhg
gg
H
3323131
3222121
3121111
3210
|| 2
xxxxxxx
xxxxxxx
xxxxxxx
xxx
hhhg
hhhg
hhhg
ggg
H ||det|| HHn
Criterios para maacuteximos y miacutenimos con restricciones (Hessiano liacutemitado) [Miacutenimo Local] Se tiene un miacutenimo local si y soacutelo si todos los determinantes son negativos |H1| lt0 |H2| lt0 hellip |Hn|lt0 ( - - - - - hellip)
[Maacuteximo Local] Se tiene un maximo local si y soacutelo se inicia con un determinante positivo y luego se alternan los signos |H1| gt 0 |H2| lt 0 hellip |Hn|lt0 (+ - + - hellip)
[Punto del tipo Silla] Se tiene un punto tipo silla sino se satisface los criterios de maacuteximos o miacutenimos y al menos uno de los determinantes es distinto de cero Ejemplo- Determine si la funcioacuten f(xy)= x2 ndash y2 tiene valores criacuteticos en la restriccioacuten x2+y2=1
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46
)(2
2
2
2)( 00 Xg
g
g
y
x
y
x
f
fXf
y
x
y
x
de aquiacute se obtienen las ecuaciones 2x = 2 λx -2y = 2 λy x2 + y2 =1 Las soluciones de este sistema de ecuaciones son (-101) (101) (0-1-1) y (0-11) El Hessiano liacutemitado es
2202
0222
220
||
y
x
yx
H
El determinante es igual a det|H| = 8x2(1+λ) ndash 8y2(1-λ) ahora evaluando
cada uno de los puntos se tiene que det|H|(-101) = 16 gt 0 det|H|(101) = 16 gt 0 det|H|(0-1-1) = -16 lt 0 det|H|(0-11) = -16 lt 0
De manera tal que la funcioacuten posee dos valores maacuteximos en los puntos (-10) y (10) y por otra parte tiene dos valores miacutenimos en los puntos (0-1) y (0-1) Ejemplo- Determine si la funcioacuten f(xy)= x2+y2 tiene valores criacuteticos en la restriccioacuten x2-y2 le 4 Al iniciar este estudio se trabaja con el interior es decir x2-y2 lt 4 dando como resultado el anaacutelisis de maacuteximos y miacutenimos de una funcioacuten en general de donde el gradiente de f se anula uacutenicamente en el origen siendo este valor un miacutenimo como se habiacutea visto en un ejercicio anterior para la funcioacuten del paraboloide Ahora al trabajar sobre la frontera se usa el criterio de muacuteltiplicadores de Lagrange
)(2
2
2
2)( 00 Xg
g
g
y
x
y
x
f
fXf
y
x
y
x
de aquiacute se obtienen las ecuaciones 2x = 2 λx 2y = -2 λy x2 - y2 = 4
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47
Las soluciones de este sistema de ecuaciones son (-201) y (201) El Hessiano liacutemitado es
2202
0222
220
||
y
x
yx
H
El determinante es igual a det|H| = -8x2(1+λ) + 8y2(1-λ) ahora
evaluando en cada uno de los puntos se tiene que det|H|(201) = -64 gt 0 y det|H|(-201) = -64 lt 0
De manera tal que la funcioacuten posee dos valores miacutenimos en los puntos (-20) y (20)
Una anaacutelisis de la graacutefica de esta funcioacuten permite visualizar que dichos
puntos no son miacutenimos maacutes bien son puntos tipos silla y no es que el criterio falle sino maacutes bien que los valores son miacutenimos pero sobre el complemento es decir bajo la restriccioacuten x2-y2 ge 4 Ejemplo- Determine los valores criacuteticos de la funcioacuten f(xyz) = 2x+y+3z sujeta a la restriccioacuten x2+y2+z2 le 36 Solucioacuten- Un anaacutelisis de las condiciones iniciales muestra que la graacutefica a maximizar en un hiperplano restringido en su dominio a una esfera de radio 6 de acuerdo a estas condiciones la funcioacuten en su interior no debe tener valor criacuteticos y en la frontera debe tener un valor miacutenimo y un valor maacuteximo En el interior- Al derivar la funcioacuten original se tiene lo siguiente
3
1
2
)( 0
z
y
x
f
f
f
Xf
De aquiacute se observa que la funcioacuten no posee valores criacuteticos en todo su dominio tal y como se esperaba Frontera- Al utilizar las condiciones del los Muacuteltiplicadores de Lagrange se tiene lo siguiente
)(
2
2
2
3
1
2
)( 00 Xg
z
y
x
f
f
f
Xf
z
y
x
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De aquiacute se genera el siguiente sistema de ecuaciones 2 = 2λx 1 = 2λy 3 = 2λz x2+y2+z2=36
Resolviendo el sistema se concluye que 2
1
1yx amp
2
3z Ahora
sustituyendo en la uacuteltima ecuacioacuten se deduce que la funcioacuten posee dos valores criacuteticos que son
18
14
14
1427
14
149
14
1418amp
18
14
14
1427
14
149
14
1418
La funcioacuten auxiliar es H(xyzλ) = 2x+y+3z-λ(x2+y2+z2) donde Hx=2-2λx Hy=1-2λy Hz=3-2λz El Hessiano Liacutemitado es
2002
0202
0022
2220
||
z
y
x
zyx
H
De aquiacute
0
0)(8
202
022
220
|| 22
1si
siyx
y
x
yx
H
0576)(16
2002
0202
0022
2220
|| 22222 zyx
z
y
x
zyx
H
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49
De aquiacute se desprende que la funcioacuten f(xyz) = 2x+y+3z posee un valor miacutenimo
en el punto 18
14
14
1427
14
149
14
1418 restringido a x2+y2+z2 = 36 y un
maacuteximo en el punto 18
14
14
1427
14
149
14
1418
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Tarea nuacutemero 4 Maacuteximos y Miacutenimos
Objetivo- Que el alumno sea capaz de aprender a resolver problemas asociados a la vida real haciendo uso del caacutelculo de varias variables Aquiacute se enuncian los siguientes ejercicios adicionales dado que muchos de los mismos se fueron exponiendo a lo largo del capiacutetulo y se sugiere que se revisen los problemas resueltos y propuestos en la libros de la bibliografiacutea dado que las aplicaciones son muchas 1- Determine los valores maacuteximos y miacutenimos de la funcioacuten f(xy) = x +y sujeta a la restriccioacuten x2+2y2le18 (Realice un bosquejo de la graacutefica y se restriccioacuten)
2- Determine los valores maacuteximos y miacutenimos de la funcioacuten f(xy) = x2 +y2 sujeta a la restriccioacuten x+2y le 4 (Realice un bosquejo de la graacutefica y se restriccioacuten)
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Bibliografiacutea
1 Caacutelculo Vectorial Marsden amp Tromba Addison-Wesley Iberoamericana
2 Caacutelculo Multivariable James Steward Thomson Editores
3 Caacutelculo con Geometriacutea Anaacutelitica Zill Grupo Editorial Iberoameacuterica
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Definicioacuten- (Derivada Direccional) La derivada direccional de una
funcioacuten en un punto (x0 y0) y en direccioacuten de un vector v=(AB) se define como el producto del gradiente de la funcioacuten evaluado en el punto (x0 y0) por el vector V dividido entre la norma de mismo vector
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Tarea nuacutemero 2 materia de Caacutelculo 3 Objetivo- Que el alumno sea capaz de interpretar la nocioacuten de liacutemite en varias variables identifique la graacutefica de funciones y haga uso de la derivadas parciales 1- Determine el dominio de las siguientes funciones
(1a) f(x y z) = 2221 zyx
(1b) g(x y) = xy
2
(1c) f(x y) = xy
(1d) g(x y) = y4
(1e) f(x y) = y
x
4
4
(1f) h(x y) = 24
1
xy
2- Realice un bosquejo de las siguientes graacuteficas
22 zyx 22 2zxy 22 yxz 222 yxz
3- Determine los siguientes liacutemites
(31) xyxyxyxf y 210)( 3 cuando (xy) tiende a (12)
(32) yx
zyzxzyxf
33
)( cuando (xy) tiende a (112)
(33) )00()(
)00()(
0
3
3
)(
44
32
yx
yx
Siacute
Siyx
yx
yxk cuando (xy) tienden a (00)
En caso de existir indique haciendo uso de la nocioacuten
(34) )()(2
zxyxxxy
xxyyxzyxF z cuando (xyz) tiende a (012)
4- Indique de las funciones del ejercicio anterior son continuas y en que dominio 5- Determine si las funciones del ejercicio tres son de clase C1 6- Determine la ecuacioacuten del plano tangente a la graacutefica de la funcioacuten g(xy) = x4-10y3 en el punto (1-1) y en el punto (12) grafique en la computadora y agregue en el documento de la tarea 7- Determine los conjunto de nivel de valor -2 -1 0 1 2 de las funciones (7a) f(x y) = 3x2 + 3y2
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23
(7b) g(x y) = 22 44 yx
(7c) h(x y) = 1 ndash y + x2 (7d) k(x y z) = x2 + y2 + z2 Indique las graacuteficas en computadora y agregue en el reporte
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24
Capiacutetulo 3
Trayectorias
En este capiacutetulo se realiza el estudio de las propiedades de las funciones vectoriales es decir se hace incapie en el concepto de funcioacuten y la de un vector
Este concepto permite describir entre otras cosas el camino seguido por una partiacutecula en el espacio con el ingrediente adicional de tener a la mano los conceptos de velocidad y aceleracioacuten derivados a partir de una sola ecuacioacuten aquella que guarda la relacioacuten de posicioacuten de la partiacutecula con respecto al tiempo
Por ejemplo al mover una onda esta describe un movimiento circular si
la onda se suelta un objeto puesto en ella sale disparado en forma tangencial Este movimiento se puede representar con vectores y debe de expresar que la velocidad sea tangente a la trayectoria que sigue dado que la piedra abandona la onda en liacutenea recta
Si esto se extrapola al vuelo de una mosca se puede inferir que la velocidad de la misma sea tangencial a la trayectoria que va recorriendo en cada punto esto se muestra en la siguiente graacutefica
Observe que el hecho de contar con la orientacioacuten del vector velocidad permite no soacutelo inferir la velocidad de escape de la partiacutecula sobre la curva sino a la vez conocer la orientacioacuten del movimiento de la misma
Definicioacuten- (Trayectoria) Una trayectoria es una funcioacuten que parte de los nuacutemeros reales al espacio n Euclidiano Es decir es una funcioacuten de la forma
))()()(()( 21 txtxtxt n
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Caso particular de una trayectoria de los reales a plano En el caso de una trayectoria de los reales al plano se puede ilustrar con el siguiente diagrama
σ(a) σ(b) a b
2][ Rba ))()(()( tytxt
Una forma de ilustrar esto es pensar que la variable t es el tiempo y la imagen corresponde a la trayectoria de un objeto en el plano asiacute que el tiempo t=a la partiacutecula se encuentra en el punto σ(a) que es el inicio del recorrido de la misma mientras que tiempo final t=b se localiza al final de la trayectoria de estudio
Se puede observar una flecha indicativa del sentido de la partiacutecula a lo largo de la trayectoria
Ecuacioacuten Parametrica y Cartesiana de una curva
Ejemplo- Dada la trayectoria )()( 2ttt con 22t realice una
graacutefica de dicha trayectoria
t ))()(()( tytxt
-2 )42()(t
-1 )11()(t
0 )00()(t
1 )11()(t
2 )42()(t
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Como se puede apreciar la imagen de la trayectoria que recibe el
nombre de curva es una paraacutebola esto se puede ver si se realiza lo siguiente
Como x = t y = t2 entonces se puede deducir que y=x2 la ecuacioacuten correspondiente a la graacutefica de una paraacutebola esta ecuacioacuten corresponde a sus coordenadas cartesianas por otra parte si se rescribe en forma de trayectoria se dice que la ecuacioacuten es su ecuacioacuten cartesiana dado que depende de un solo paraacutemetro
Parametrizacioacuten de una funcioacuten real Si y es una variable dependiente de la variable x es decir existe
una regla de asignacioacuten f tal que y = f(x) con bxa En donde a
cada elemento x le asigna uno y soacutelo un valor y La graacutefica de esta funcioacuten se debe de ver como un trazo en el plano de la siguiente forma
La graacutefica no puede ser de la siguiente forma
y2
y3
y1 y4
X1 X2
Note que al valor de x2 le asigna tres valores de y lo cual no
cumple con las condiciones para que f sea una funcioacuten Ahora la graacutefica de una funcioacuten de esta tipo no es otra cosa que
la imagen de una trayectoria la cual se puede parametrizar de la siguiente forma
Como y = f(x) entonces defina x = t y por consiguiente y=f(t) en
donde bta
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-4 -2 2 4
-30
-20
-10
10
20
30
-2 -1 1 2
-2
-1
1
2
Asiacute en el caso de la paraacutebola la parametrizacioacuten adecuada es x
=t y = t2 tal como estaba planteada originalmente Ahora si la funcioacuten es y = 2x3-10x con 44 x entonces la
parametrizacioacuten adecuada es
)102()( 3 tttt 44 t
La graacutefica de esta curva asociada a la trayectoria es
Parametrizacioacuten de una circunferencia Elipse e Hipeacuterbola
La ecuacioacuten cartesiana de una circunferencia con centro en el origen y
radio dos estaacute dada por 422 yx Al intentar escribir esta ecuacioacuten en
funcioacuten de un solo paraacutemetro se requiere despejar a la variable y obteniendo
dos funciones que son 24 xy Con 22 x
La graacutefica de esta curva permite visualizar que no pertenece a una
funcioacuten sino maacutes bien a dos que son las enunciadas anteriormente y como se ve a continuacioacuten
24 xy
24 xy
Una forma de representar esta curva es por medio de dos trayectorias
)4()( 2
1 ttt y )4()( 2
2 ttt 22t
Una forma alternativa de representar esta curva es por medio del uso de coordenadas polares en donde x=rCos(t) y= rSen(t) como el radio es fijo y es igual a dos estas ecuaciones se pueden escribir en funcioacuten de un solo paraacutemetro ldquotrdquo x=2Cos(t) y=2Sen(t) note que al evaluar x2+y2=4Cos2(t)+4Sen2(t) = 4(Cos2(t)+Sen2(t))=4 con lo cual satisface la
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ecuacioacuten de la circunferencia quedando expresada la trayectoria de la siguiente forma
σ(y) = (2Cos(t) 2Sen(t) con 0letle2π En esta ecuacioacuten define por completo a la curva auacuten y cuando la
ecuacioacuten original no es una funcioacuten siendo esto una ventaja del estudio de la trayectorias
Ejemplo- La parametrizacioacuten de la elipse 12
2
2
2
b
y
a
x queda
expresada por x = aCos(t) y=bSen(t) se deja como ejercicio comprobar este resultado
Ejemplo- La parametrizacioacuten de la hiperbola 12
2
2
2
b
y
a
x queda
expresada por x = aCosh(t) y=bSenh(t) en donde se trabaja con las funciones de Seno y Coseno hiperboacutelicas se deja como ejercicio comprobar este resultado (aunque soacutelo permite representar el lado correspondiente a los cuadrantes I y IV en donde la x es no negativa
Derivada de una trayectoria La derivada de una trayectoria es un vector tangente a la curva esto se
deriva del siguiente anaacutelisis
Dada la trayectoria σ(t) se grafican la posicioacuten de la curva al tiempo t y t+h luego trace el vector asociado a la liacutenea secante que une los puntos de aquiacute al tomar valores cada vez maacutes pequentildeos de h el vector secante se convierte en un vector tangente a la curva como se muestra a continuacioacuten
Por otra parte el anaacutelisis vectorial de este cociente es
)()()(
0
tt
tht
h
Liacutem
Es decir la derivada de la trayectoria y el vector resultante es
tangente a la curva
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29
Asiacute para el caso de una curva en el plano la trayectoria se puede describir por medio de dos funciones x(t) y(t) de la siguiente forma
)(
)()(
ty
txt
En donde la derivada de esta funcioacuten es
)(
)()(
ty
txt
Vector tangente a la graacutefica de una circunferencia de radio R Ahora si se tiene la parametrizacioacuten de una circunferencia esta esta
dada por σ(t) = ( RCos(t) R Sen(t))
Y X
Un vector tangente tiene que cumplir que su producto punto tiene que
ser cero de aquiacute si V=(AB) al multiplicarlo por el vector σ su producto punto tiene que ser cero
De aquiacute que σ(t)V = ARCos(t) + BRSen(t) = 0 Existiendo muchas soluciones a este sistema de ecuaciones siendo una
de ellas cuando A = Cos(t) B=-Sen(t)
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Vector trasladado
Siendo este un vector tangente a la curva ahora al derivar las
componentes xrsquo(t) = -RSen(t) y(t) = RCos(t) que es un muacuteltiplo escalara del vector tangente mostrado anteriormente
Definicioacuten- (Rotacional) El rotacional de un campo vectorial
F=Pi+Qj+Rk de clase C1 de define como el vector
i j k
RotFx y z
P Q R
Ejemplos- Determine el rotacional de los siguientes campos vectoriales
F1=xi+yj+zk F2=x2yi-xy
2j-3zyk
Solucioacuten-
1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0
i j k
RotF z y i z x j y x kx y z y z x z x y
x y z
2 2 2 2
2
2 2
( 3 ) ( ) ( 3 ) ( ) ( ) ( )
3
i j k
RotF zy xy i zy x y j xy x y kx y z y z x z x y
x y xy zy
2 2
2
2 2
3 0
3
i j k
RotF z i j y x kx y z
x y xy zy
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Definicioacuten- (Divergencia) Si F es un campo vectorial de clase C1 la divergencia de F se define como un campo escalar de la siguiente forma
( )P Q R
divF div Pi Qj Rkx y z
Ejemplos- Determine la divergencia de los siguientes campos vectoriales F1=xi+yj+zk F2=x
2yi-xy
2j-3zyk
Solucioacuten-
1 ( ) ( ) ( ) ( ) 3divF div xi yj zk x y zx y z
2 2 2 2
2 ( 3 ) ( ) ( ) ( 3 ) 2 2 3 3divF div x yi xy j zyk x y xy zy xy xy y yx y z
Definicioacuten- (Laplaciano) Si f es un campo escalar de clase C2 el Laplaciano de f se define como un campo escalar de la siguiente forma
2 2 2
2
2 2 2xx yy zz
f f ff f f f f
x y z
Ejemplos- Determine la divergencia de los siguientes campos escalares g1(x
y z) = xy2z
3 g2(x y z) = x
2 + y
2 + z
2
2 2 2
2 2 3 2 3 2 3 2 3 3 2 2
2 2 2( ) ( ) ( ) 2 3 f f xy z xy z xy z y z yz xy z
x y z
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2( ) ( ) ( ) 6f f x y z x y z x y z
x y z
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Tarea nuacutemero 3 Trayectorias
Objetivo- Que el alumno sea capaz de comprender los conceptos de movimiento de una partiacutecula a lo largo de una trayectoria y de la importancia del uso de vectores en este tema 1- Si la trayectoria σ(t) = t2i+t2j define la trayectoria seguida por una partiacutecula con respecto al tiempo determine 1a- iquestEl tipo de trayectoria que describe 1b- Realice una graacutefica de la distancia recorrida por la partiacutecula con respecto al tiempo en los primeros tres segundos 1c- Determine el tipo de movimiento de la partiacutecula 1d- iquestSe puede afirmar que es un movimiento uniformemente acelerado 1e- Determine la aceleracioacuten y velocidad a los cuatro segundos 1f- Realice una graacutefica de su rapidez con respecto al tiempo 1g- Realice una graacutefica de sus aceleracioacuten con respecto al tiempo 1h- En la graacutefica de la trayectoria agregue graacuteficamente los vectores aceleracioacuten y velocidad 2- Realice lo mismo que en ejercicio anterior pero ahora con la funcioacuten γ(t) = Cos(t) i+5Sen(t)j 3- Dadas las funciones f(t) = 3t2i-4t3j+e2tk y g(t) = 4t3i+4t2j+e-2tk 3a- Determine la funcioacuten producto punto h = fg 3b- Determine la derivada de h 3c- Usando la regla de diferenciacioacuten determine la derivada de h y compruebe el inciso anterior 4a- Determine la funcioacuten producto cruz k = ftimesg 4b- Determine la derivada de h 4c- Usando la regla de diferenciacioacuten determine la derivada de h y compruebe el inciso anterior 5- Determine el Rotacional y la Divergencia del siguiente campo vectorial G(x y z) = 2xy i + 3xz j - 5xy k 6- Determine el gradiente y el Laplaciano del siguiente campo escalar f(xyz) = 4x2-3yz2 7- Dado el campo vectorial F(x y z) = 2xy i + x2 j +3z2 k 7a- Determine si F puede representar el gradiente de un campo escalar f 7b- En caso de ser afirmativa la respuesta del inciso anterior determine el campo escalar f 8- Pruebe que la divergencia del rotacional de un campo vectorial F=Pi+Qj+Rk es igual a cero Es decir la div rot F =0 9- Usando las reglas de diferinciacioacuten pruebe que
gfgfgf
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100 -x
Capitulo 4 Maacuteximos y miacutenimos
Es indispensable determinar en distintos problemas las soluciones oacuteptimas que permitan establecer por ejemplo los valores maacuteximos de produccioacuten o ahorrar el material en la construccioacuten de cierto equipo
Como se recordaraacute el gradiente de una funcioacuten indica la direccioacuten de
maacuteximo crecimiento esto se refleja en que si se toma la direccioacuten sugerida por este vector el valor de la funcioacuten aumenta en una vecindad del mismo asiacute si en un diagrama de un campo gradiente aparecen un punto en donde convergen la direccioacuten de todos los gradientes se encontraraacute que dicho valor debe de ser un valor maacuteximo para la funcioacuten de estudio Un diagrama de esta tipo se ejemplifica a continuacioacuten
Un diagrama en donde todos los vectores apuntan hacia fuera de un
punto indicaraacute que este punto debe de ser un valor miacutenimo de la funcioacuten Citemos el siguiente ejemplo de una variable con la finalidad de
centrarnos en el tema Una persona desea bardear un terreno en forma rectaacutengular cuanto debe de medir cada lado de manera tal que el aacuterea cercada sea maacutexima si se cuenta con 200 metros de malla
La funcioacuten que representa dicho modelo es
A(x) = x(100-x) x
Como se puede observar el aacuterea es cero si x es igual a cero o a cien con lo cuaacutel el lado x debe de estar en en intervalo [0 100] siendo estas las restricciones del problema Derivando la funcioacuten para obtener los valores critiacutecos se tiene que Arsquo(x) = 100 ndash 2x
Al igual la derivada a cero se concluye que el valor critico es x es igual a 50 Al derivar por segunda ocasioacuten se concluye que
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34
Arsquorsquo(x) = -2 Como la segunda derivada es siempre negativa se concluye que la funcioacuten alcanza un valor maacuteximo en el valor critico en este caso en x = 50 al interpretar dicho resultado se concluye que el terreno que optimiza la solucioacuten es un cuadrado Ejercicio- Que aacuterea se genera si el terreno es de forma circular Al resolver el ejercioacute anterior y comparar las aacutereas del cuadrado y del circulo se puede apreciar que el aacuterea del circulo es mayor pero en la praacutectica es poco atractivo cercar terrenos circulares por diversas razones pero en la naturaleza es comuacuten observar que las gotas de lluvia sean esferas esto permite el optimizar recursos y maacuteximizar el volumen del liacutequido contenido en la misma Se iniciara el estudio formal de maacuteximos y miacutenimos de funciones de varias variables observando las siguientes graficas con la finalidad de tener la idea clara de que es un maacuteximo o miacutenimo o un punto silla
En la primera de ellas se observa que la funcioacuten tiene un valor miacutenimo en la segunda se observa que la funcioacuten tiene un valor maacuteximo y en la uacuteltima la funcioacuten tiene un punto silla este se identifica el dirigirnos en una direccioacuten la funcioacuten crece mientras que en la otra la funcioacuten decrece
Definicioacuten- Una funcioacuten mn RRf tiene un valor maacuteximo local en x0 si en
una vecindad de dicho valor se cumple que la funcioacuten evaluada en todos los vecinos ninguno de ellos supera a f(x0) Es decir f(x0) f(x) para todo x en una vecindad de x0 El punto es llamado un maacuteximo absoluto si la funcioacuten toma el valor maacuteximo en dicho punto para todo valor de su dominio
Esto es muy similar cuando uno observa a los alumnos de un saloacuten de clases existe un alumno que tiene la mayor estatura si ninguno de sus compantildeeros lo supera Asiacute en la escuela el alumno de mayor estatura absoluta es aquel que supera a todo el plantel
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La definicioacuten para el miacutenimo local (absoluto) es similar
f(x0) f(x) para todo en una vecindad de x0 Por ejemplo la funcioacuten f(xy) = x2+y2 tiene un valor miacutenimo en el origen dado que en este valor la funcioacuten vale cero mientras que fuera de ahiacute siempre es positiva dado que todo nuacutemero real elevado al cuadrado es siempre positivo Ademaacutes dicho valor es un miacutenimo absoluto Como se menciono al inicio de esta capitulo el diagrama del campo
gradiente de esta funcioacuten y
xyxf
2
2)( indica que la funcioacuten tiene un valor
miacutenimo siendo la grafica del mismo la siguiente Sin embargo se requiere un criterio maacutes general y sistemaacutetico que permita establecer los posibles valores maacuteximos miacutenimos o puntos silla) Definicioacuten- (Un valor extremo) Si la funcioacuten posee un valor maacuteximo o miacutenimo este es llamado un valor extremo Definicioacuten- (Un valor critico) Un punto en donde la derivada de la funcioacuten se anula es llamado un valor critico Teorema- Todo valor extremo es un valor critico Es decir si f posee un valor extremo en x0 que pertenece a su dominio entonces la derivada de la funcioacuten en el punto x0 se anula Es decir Df(x0) = 0 Demostracioacuten- Sea l(t) una trayectoria que pasa a traveacutes por el punto x0 defina la composicioacuten de funciones h(t) = f(l(t)) donde l(t) = x0 + tv de donde lrsquo(t) = v y ademaacutes
))(()())(()( VtlftDltlDftDh (1)
Por otra parte como f posee un valor extremo en x0 suponga que dicho
valor es un maacuteximo entonces x0 seraacute a la vez un maacuteximo para la funcioacuten h y como h es una funcioacuten real esto significa que la derivada de h en dicho punto
se anula es decir 0)()0())0(()0( 0 vxfDllDfDh ahora como los
vectores )( 0xf y v no son necesariamente perpendiculares y el vector v a la
vez tampoco se anula entonces esto implica que el gradiente de f en x0 es igual a cero y por lo tanto f posee un valor criacutetico en x0
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36
Este resultado permite establecer posibles valores criacuteticos de una funcioacuten asiacute se menciona el siguiente ejemplo Ejemplo- Determine los posibles valores criacuteticos de las siguientes funciones (1) f(x y) = x2 + y2 y (2) g(x y) = 4x3 -12x + y2
Solucioacuten-
(1) 0
0
2
2)(
y
xyxf de aquiacute se concluye que dicho valor soacutelo
existe un valor criacutetico siendo este el origen el cuaacutel ya se clasifico en estos apuntes y resulto ser un valor miacutenimo
(2) 0
0
2
1212)(
2
y
xyxg de aquiacute se obtienen dos valores criacuteticos
que son (-10) y 1l (10) Los cuales se pueden clasificar el realizar el graacutefico del campo gradiente En donde se aprecia que en el punto (-10) la funcioacuten posee un punto silla mientras que en el punto (10) la funcioacuten posee un valor miacutenimo
Aquiacute se utilizaraacute el criterio del hessiano para determinar si el valor criacutetico es un maacuteximo un miacutenimo o un punto silla Solo se enunciara el teorema sin demostracioacuten para ver la misma puede revisar en el libro de Marsden Tromba de Caacutelculo Vectorial
Definicioacuten- El Hessiano de una funcioacuten 22 RRH de clase C2 se define como una funcioacuten cuadraacutetica que se escribe como
2
1
2
22
2
2
2
21212
1)(
h
h
y
f
yx
f
xy
f
x
f
hhhhH
Evaluada la matriz de las segundas derivas parciales en el valor criacutetico
Teorema- Si el Hessiano de una funcioacuten 2 RRf es definitivamente
positivo entonces la funcioacuten tiene un valor miacutenimo en dicho punto
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Corolario- Si la matriz asociada A=cb
ba de una forma cuadraacutetica dos
por dos es definitivamente positiva si y soacutelo si se cumple que agt0 y det A gt0
Teorema de una valor para un valor extremo miacutenimo- Una funcioacuten
2 RRf de clase C2 posee un valor extremo miacutenimo local en x0 elemento
del dominio de la funcioacuten si y soacutelo si se satisfacen las siguientes condiciones
(i) 0)( 0xx
f y 0)( 0x
y
f
(ii) )( 02
2
xx
f gt 0
(iii) )( 02
2
xx
f)( 02
2
xy
f)(
2
2
oxx
f)( 02
2
xx
f gt 0
Para un valor maacuteximo las condiciones (i) y (iii) se mantienen la uacutenica que cambia en la segunda en donde esta debe ser negativa Para un punto silla se requiere que al menos no se cumplan las condiciones de valor maacuteximo ni miacutenimo y que la uacuteltima condicioacuten (iii) sea distinta de cero En caso contrario el criterio no permite clasificar dicho valor como se mostraraacute en un ejemplo maacutes adelante Ejemplo- Ahora continuando con los ejemplos anteriores
(1) Para f(xy) = x2+y2 el valor critico es el origen y el hessiano asociado es
2
1
212100
02
2
1)(
h
hhhhhH
Como se pude apreciar el primer valor es positivo 2 gt0 y el determinante de
la funcioacuten 20
02det es igual a 4 que a la vez es positivo de manera tal que la
funcioacuten posee un valor miacutenimo en el origen
(2) g(x y) = 4x3 -12x + y2 los puntos criticos son (-10) y (10) y el hessiano asociado a esta forma cuadraacutetica es
2
1
212120
024
2
1)(
h
hxhhhhHg
Ahora al evaluar en los puntos se tiene En el (-10)
2
1
212120
024
2
1)(
h
hhhhhHg
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38
En donde -24 lt 0 y det Hg = -48 lt0 con lo cuaacutel debe de ser un punto silla
En el (10)
2
1
212120
024
2
1)(
h
hhhhhHg
En donde 24 gt 0 y det Hg = 48 gt0 con lo cuaacutel debe de ser un punto miacutenimo
Tal como se habiacutea estimado en la graacutefica del campo gradiente de la
solucioacuten anterior A continuacioacuten se muestra un bosquejo de dicha graacutefica realizado en el derive
Ejemplos de cuando el criterio permite clasificar los
valores criacuteticos
Ejemplo- A continuacioacuten se mostrara un ejemplo de cuando el criterio no concluye asiacute si la funcioacuten es h(xy) = x4+y4 al calcular las derivas parciales mixtas fx=4x3 y fy=4y3 se encuentra un solo valor critico el origen miestras que la matriz asociada del hessiano es
2
2
120
012
y
x y al evaluar en el origen queda expresada como
00
00
)0(120
0)0(122
2
En donde se puede apreciar que fallan todos los criterios una inspeccioacuten de
la funcioacuten original permite ver que la funcioacuten tiene un valor miacutenimo en dicho punto pero no es una generalizacioacuten es decir no se puede decir que siempre que aparezca la matriz de ceros se tenga un valor miacutenimo dado que si se analiza ahora a las funciones k(xy) = -x4-y4 y p(xy) = x4-y4 ambas tienen como calor extremo al origen y la matriz hessiana asociada a la forma cuadraacutetica evaluada en el origen es la matriz de ceros
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Ejemplo- Otro ejemplo en donde el criterio no concluye es el siguiente en
donde el determinante de la matriz H es cero debido a que la segunda derivada de la funcioacuten f con respecto a la segunda variable se anula (fyy = 0) y no se puede asegurar que se tenga un punto maacuteximo miacutenimo o silla
Las funciones f1(xy) = x2 f2(xy) = -x2 y f3(xy) = x3 presentan este
problema a continuacioacuten se muestran las graficas de dichas funciones
En cada una de ellas los puntos criacuteticos son las parejas en el plano (0 y) Es decir el eje coordenado X
El Hessiano respectivo de cada uno es el siguiente
00
02)(1 yxH
00
02)(2 yxH
00
03)(3
xyxH
Note que el determinante de cada de estas matrices se hace cero y que fyy
se anula en cada caso
Ahora observando las graacuteficas se verifica visualmente que en la primera se tienen valores miacutenimos en la segunda maacuteximos y en la uacuteltima no es ni maacuteximo ni miacutenimo o punto silla
Ejemplo- Citemos otro ejemplo en donde el criterio de maacuteximos y miacutenimos
no concluye Determine los puntos criacuteticos de la funcioacuten h(xy) = x4 Se tiene que hx=4x3=0 y hy=0 de donde se deduce que la funcioacuten tiene
un nuacutemero infinito de puntos criacuteticos estos son las parejas ordenadas en el plano (0y)
La matriz del Hessiano asociado es
00
012)(
2
1
xyxH y evaluando en el punto
00
00)0(1 yH
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40
En donde no se puede clasificar a los valores criacuteticos sin embargo
realizando una inpeccioacuten de la funcioacuten se puede concluir que todos los puntos representan valores miacutenimos de la funcioacuten original a continuacioacuten se muestra la grafica de la misma
El Hessiano para n variables y el criterio de clasificacioacuten
Cuando la funcioacuten tiene maacutes de dos variables se genera una matriz asociada H en cada uno de los valores criacuteticos de la siguiente forma
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
H
21
22221
11211
De aquiacute se definen las siguientes matrices
111 aH 2221
1211
2aa
aaH hellip HH n
Los criterios para los valores criacuteticos de la funcioacuten RRf n son los
siguientes [Miacutenimo Local] La funcioacuten f posee un valor extremo local miacutenimo en x0 si todos los determinantes de las submatrices evaluados en x0 son positivos
0det 1H 0det 2H hellip 0det 2H (+ + hellip +)
En este caso la forma cuadraacutetica se puede probar que es definitivamente positiva [Maacuteximo Local] La funcioacuten f posee un valor extremo local miacutenimo en x0 si todos los determinantes de las submatrices evaluados en x0 se alternan en signo pero el primero de ellos debe ser negativo
0det 1H 0det 2H hellip 0det 2H (- + - + hellip )
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En este caso la forma cuadraacutetica se puede probar que es definitivamente negativa [Punto Silla] La funcioacuten f posee un punto silla si no se cumplen los criterios de valor miacutenimo o maacuteximo y al menos uno de los subdeterminantes es distinto de cero
Existe un i tal que 0det iH
Ejemplos- Determine los valores criacuteticos de las siguiente funcioacuten f(x y z w) = x3 - 3x + y3 ndash 3y + z2 + w2 y claacutesifiquelos Solucioacuten- Al resolver las siguientes ecuaciones
033 2 xxf x 033 2 yyf y 02zf z y 033 2 wwfw
Se obtienen cuatro puntos criacuteticos que son (-1-100) (-1100) (1-100) y (1100) ahora se genera la matriz del hessiano asociado siendo esta
2000
0200
0060
0006
y
x
H
Al evaluar en cada uno de los puntos se tienen las siguientes matrices
2000
0200
0060
0006
)0011(H
2000
0200
0060
0006
)0011(H
2000
0200
0060
0006
)0011(H y
2000
0200
0060
0006
)0011(H
Los sub determinantes para cada uno de los puntos son [(-1 -1 0 0)] -6 36 72 144 que clasifica como un punto silla [(-1100)] -6 -36 -72 -144 que clasifica como un punto silla [(1-100)] 6 -36 -72 -144 que clasifica como un punto silla [(1100)] 6 36 72 144 que clasifica como un valor miacutenimo De manera tal que la funcioacuten tiene tres puntos silla y un valor miacutenimo
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Ejercicios- Determine los puntos criacuteticos de las siguientes funciones y claacutesifiquelos utilizando el criterio del Hessiano
(1) f(x y) = x2 - y2 (Silla de montar)
(2) g(x y) = 22 yx (Cono)
(3) h(x y z) = x4 - 2x2 + 2y3 -3y2 + z3-3 Ejercicio- Se requiere construir una lata con tapa que contenga un litro de agua con el miacutenimo de material determine las condiciones que oacuteptimizan el problema Ejercicio- Determine el producto maacuteximo de tres nuacutemeros si la suma de ellos debe ser 40 Ejercicio- Determine la distancia miacutenima del origen a la graacutefica de la funcioacuten f(xy) = 4-x2+y Ejercicio- Estudie los ejemplos resueltos que trae el libro de Marden Tromba en el capitulo 4 en especial el referente a la ecuacioacuten de miacutenimos cuadrados Ejercicio- Determine la ecuacioacuten lineal que mejor se ajusta a los puntos (12) (2 32) (3 389) (4 488) (5 55) Utilize el criterio de miacutenimos cuadrados en caso de que el modelo sea lineal (justifique la linealidad del mismo realice una graacutefica de los puntos y de la liacutenea que ajusta a los puntos) Ejemplo- (Aplicacioacuten) En este ejemplo dermina la distancia miacutenima del punto (100) a la graacutefica de una funcioacuten f(x y) = x2+y2
Solucioacuten- Todos los puntos que se encuentran sobre la graacutefica de la funcioacuten satisfacen la siguiente terna de valores en donde se observa que la tercer componente es la variable dependiente (x y x2+y2)
La distancia del punto (1 0 0) a los puntos que estaacuten sobre la graacutefica (x y x2+y2) Se define por medio de la funcioacuten
2222222 )()1()()001()( yxyxyxyxdyxfd
Para determinar el valor miacutenimo o maacuteximo de esta funcioacuten basta con
analizar su argumento dado que es un funcioacuten creciente Es decir Si x1lt x2
entonces f(x1) lt f(x2) lo que es vaacutelido para la funcioacuten )( xxf (ver graacutefica)
2x
1x
x1 x2
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De este modo la funcioacuten a maximizar es
2222222
11 )()1()()001()( yxyxyxyxdyxfd
De aquiacute al las derivadas parciales son
)(4)1(2)( 22
1 yxxxyxfd x y )(42)( 22
1 yxyyyxfd y
Igualando ambas ecuaciones a cero se puede establecer la siguiente
ecuacioacuten
)(4
)(4
2
2222
22
yxy
yxx
y
x (3)
De aquiacute si )00()( yx y 0y se concluye que -1=0 lo cual es una
contradiccioacuten Por otra parte si (xy)=(00) en la primera ecuacioacuten se tiene que 1=0 que es tambieacuten una contradiccioacuten Finalmente si se considera el caso en
que y=0 se obtiene de la siguiente ecuacioacuten 012 3 xx
El polinomio 12)( 3 xxxP tiene una raiacutez entre el cero y el 1 dado
que P(0)=-1 y P(1)=2 Con el anaacutelisis de raiacuteces racionales dos posibles raiacuteces
son 2
1 y como
2
1 estaacute entre cero y uno al usando divisioacuten sinteacutetica se
obtiene que 4
1
2
1P Asiacute que la raiacutez debe de estar en el intervalo 1
2
1
Ahora usando el meacutetodo de Newton con semilla en 2
10x se obtiene
que 6010
6
2
54
1
2
1
)(
)(
0
0
01xf
xfxx
Ahora al evaluar la funcioacuten en dicho punto se tiene que 0320)60(P el
cual es aceptable como raiacutez del polinomio en una sola interaccioacuten De manera tal que el punto criacutetico de la funcioacuten es el (060) El Hessiano asociado es
24128
82412)(
22
22
xyxy
xyyxyxH
Como se puede apreciar el primer elemento de la matriz es positivo independientemente de los valores de x e y Falta evaluar el determinante de H este es igual a
)64)2412)(2412()(det 222222 yxxyyxyxH
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Ahora evaluando en (06 0) se tiene 7421)443)(326()060(det H
Que tambieacuten es positivo de manera tal que se tiene un valor miacutenimo Es
decir la se obtuvo la distancia miacutenima
Maacuteximos y Miacutenimos con restricciones
Los muacuteltiplicadores de Lagrange permite determinar valores maacuteximos o miacutenimos de funciones con restricciones De este tipo de problemas esta lleno nuestro contorno desde el panedero que desea producir la maacutexima cantidad de pan pero con la restriccioacuten del capital que tiene o la posible venta del diacutea para que no tenga sobrantes
Citemos el siguiente ejemplo la graacutefica de paraboloide z = x2+y2 esta
graacutefica soacutelo tiene un valor miacutenimo en el origen sin embargo si esta restringida
al cuadrado unitario 1111 la funcioacuten alcanza cuatro puntos maacuteximos en
los puntos (-11)(-1-1) (1 -1) y (11) a saber dicho valor es 2 Como se observa en la figura
Ahora si se trabaja con la silla de montar con la misma restriccioacuten esta
funcioacuten tiene originalmente un punto silla en el origen pero al analizar las restricciones se contiene dos valores maacuteximos y dos miacutenimos en los puntos (10) (-10) (0-1) y (01)
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Muacuteltiplicadores de Lagrange Teorema- Dadas dos funciones fg Rn a R diferenciables en X0 elemento del dominio de ambas funciones Si Lc es el conjunto de nivel de valor c de la funcioacuten g y si f posee un valor maacuteximo miacutenimo o silla en la restriccioacuten Lc
entonces existe un nuacutemero real λ tal que )()( 00 XgXf
Se puede ver parte de la demostracioacuten de este teorema en el libro de Marsden Tromba Para clasificar los puntos criacuteticos se utiliza el criterio del Hessiano limitado el cuaacutel se define a partir de la funcioacuten auxiliar H(x1 x2 hellip xn) = f(x1 x2 hellip xn) - λ g(x1 x2 hellip xn)
nnnn
n
n
xxxxx
xxxxx
xx
hhg
hhg
gg
H
1
1111
10
||
Ahora defina los siguientes determinantes
22122
21111
210
|| 1
xxxxx
xxxxx
xx
hhg
hhg
gg
H
3323131
3222121
3121111
3210
|| 2
xxxxxxx
xxxxxxx
xxxxxxx
xxx
hhhg
hhhg
hhhg
ggg
H ||det|| HHn
Criterios para maacuteximos y miacutenimos con restricciones (Hessiano liacutemitado) [Miacutenimo Local] Se tiene un miacutenimo local si y soacutelo si todos los determinantes son negativos |H1| lt0 |H2| lt0 hellip |Hn|lt0 ( - - - - - hellip)
[Maacuteximo Local] Se tiene un maximo local si y soacutelo se inicia con un determinante positivo y luego se alternan los signos |H1| gt 0 |H2| lt 0 hellip |Hn|lt0 (+ - + - hellip)
[Punto del tipo Silla] Se tiene un punto tipo silla sino se satisface los criterios de maacuteximos o miacutenimos y al menos uno de los determinantes es distinto de cero Ejemplo- Determine si la funcioacuten f(xy)= x2 ndash y2 tiene valores criacuteticos en la restriccioacuten x2+y2=1
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46
)(2
2
2
2)( 00 Xg
g
g
y
x
y
x
f
fXf
y
x
y
x
de aquiacute se obtienen las ecuaciones 2x = 2 λx -2y = 2 λy x2 + y2 =1 Las soluciones de este sistema de ecuaciones son (-101) (101) (0-1-1) y (0-11) El Hessiano liacutemitado es
2202
0222
220
||
y
x
yx
H
El determinante es igual a det|H| = 8x2(1+λ) ndash 8y2(1-λ) ahora evaluando
cada uno de los puntos se tiene que det|H|(-101) = 16 gt 0 det|H|(101) = 16 gt 0 det|H|(0-1-1) = -16 lt 0 det|H|(0-11) = -16 lt 0
De manera tal que la funcioacuten posee dos valores maacuteximos en los puntos (-10) y (10) y por otra parte tiene dos valores miacutenimos en los puntos (0-1) y (0-1) Ejemplo- Determine si la funcioacuten f(xy)= x2+y2 tiene valores criacuteticos en la restriccioacuten x2-y2 le 4 Al iniciar este estudio se trabaja con el interior es decir x2-y2 lt 4 dando como resultado el anaacutelisis de maacuteximos y miacutenimos de una funcioacuten en general de donde el gradiente de f se anula uacutenicamente en el origen siendo este valor un miacutenimo como se habiacutea visto en un ejercicio anterior para la funcioacuten del paraboloide Ahora al trabajar sobre la frontera se usa el criterio de muacuteltiplicadores de Lagrange
)(2
2
2
2)( 00 Xg
g
g
y
x
y
x
f
fXf
y
x
y
x
de aquiacute se obtienen las ecuaciones 2x = 2 λx 2y = -2 λy x2 - y2 = 4
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Las soluciones de este sistema de ecuaciones son (-201) y (201) El Hessiano liacutemitado es
2202
0222
220
||
y
x
yx
H
El determinante es igual a det|H| = -8x2(1+λ) + 8y2(1-λ) ahora
evaluando en cada uno de los puntos se tiene que det|H|(201) = -64 gt 0 y det|H|(-201) = -64 lt 0
De manera tal que la funcioacuten posee dos valores miacutenimos en los puntos (-20) y (20)
Una anaacutelisis de la graacutefica de esta funcioacuten permite visualizar que dichos
puntos no son miacutenimos maacutes bien son puntos tipos silla y no es que el criterio falle sino maacutes bien que los valores son miacutenimos pero sobre el complemento es decir bajo la restriccioacuten x2-y2 ge 4 Ejemplo- Determine los valores criacuteticos de la funcioacuten f(xyz) = 2x+y+3z sujeta a la restriccioacuten x2+y2+z2 le 36 Solucioacuten- Un anaacutelisis de las condiciones iniciales muestra que la graacutefica a maximizar en un hiperplano restringido en su dominio a una esfera de radio 6 de acuerdo a estas condiciones la funcioacuten en su interior no debe tener valor criacuteticos y en la frontera debe tener un valor miacutenimo y un valor maacuteximo En el interior- Al derivar la funcioacuten original se tiene lo siguiente
3
1
2
)( 0
z
y
x
f
f
f
Xf
De aquiacute se observa que la funcioacuten no posee valores criacuteticos en todo su dominio tal y como se esperaba Frontera- Al utilizar las condiciones del los Muacuteltiplicadores de Lagrange se tiene lo siguiente
)(
2
2
2
3
1
2
)( 00 Xg
z
y
x
f
f
f
Xf
z
y
x
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De aquiacute se genera el siguiente sistema de ecuaciones 2 = 2λx 1 = 2λy 3 = 2λz x2+y2+z2=36
Resolviendo el sistema se concluye que 2
1
1yx amp
2
3z Ahora
sustituyendo en la uacuteltima ecuacioacuten se deduce que la funcioacuten posee dos valores criacuteticos que son
18
14
14
1427
14
149
14
1418amp
18
14
14
1427
14
149
14
1418
La funcioacuten auxiliar es H(xyzλ) = 2x+y+3z-λ(x2+y2+z2) donde Hx=2-2λx Hy=1-2λy Hz=3-2λz El Hessiano Liacutemitado es
2002
0202
0022
2220
||
z
y
x
zyx
H
De aquiacute
0
0)(8
202
022
220
|| 22
1si
siyx
y
x
yx
H
0576)(16
2002
0202
0022
2220
|| 22222 zyx
z
y
x
zyx
H
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49
De aquiacute se desprende que la funcioacuten f(xyz) = 2x+y+3z posee un valor miacutenimo
en el punto 18
14
14
1427
14
149
14
1418 restringido a x2+y2+z2 = 36 y un
maacuteximo en el punto 18
14
14
1427
14
149
14
1418
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50
Tarea nuacutemero 4 Maacuteximos y Miacutenimos
Objetivo- Que el alumno sea capaz de aprender a resolver problemas asociados a la vida real haciendo uso del caacutelculo de varias variables Aquiacute se enuncian los siguientes ejercicios adicionales dado que muchos de los mismos se fueron exponiendo a lo largo del capiacutetulo y se sugiere que se revisen los problemas resueltos y propuestos en la libros de la bibliografiacutea dado que las aplicaciones son muchas 1- Determine los valores maacuteximos y miacutenimos de la funcioacuten f(xy) = x +y sujeta a la restriccioacuten x2+2y2le18 (Realice un bosquejo de la graacutefica y se restriccioacuten)
2- Determine los valores maacuteximos y miacutenimos de la funcioacuten f(xy) = x2 +y2 sujeta a la restriccioacuten x+2y le 4 (Realice un bosquejo de la graacutefica y se restriccioacuten)
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Bibliografiacutea
1 Caacutelculo Vectorial Marsden amp Tromba Addison-Wesley Iberoamericana
2 Caacutelculo Multivariable James Steward Thomson Editores
3 Caacutelculo con Geometriacutea Anaacutelitica Zill Grupo Editorial Iberoameacuterica
Apuntes de la Materia de Caacutelculo III Facultad de Ciencias Fiacutesico Matemaacuteticas de la UA de C Maestro Manuel Antonio Torres Gomar
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Tarea nuacutemero 2 materia de Caacutelculo 3 Objetivo- Que el alumno sea capaz de interpretar la nocioacuten de liacutemite en varias variables identifique la graacutefica de funciones y haga uso de la derivadas parciales 1- Determine el dominio de las siguientes funciones
(1a) f(x y z) = 2221 zyx
(1b) g(x y) = xy
2
(1c) f(x y) = xy
(1d) g(x y) = y4
(1e) f(x y) = y
x
4
4
(1f) h(x y) = 24
1
xy
2- Realice un bosquejo de las siguientes graacuteficas
22 zyx 22 2zxy 22 yxz 222 yxz
3- Determine los siguientes liacutemites
(31) xyxyxyxf y 210)( 3 cuando (xy) tiende a (12)
(32) yx
zyzxzyxf
33
)( cuando (xy) tiende a (112)
(33) )00()(
)00()(
0
3
3
)(
44
32
yx
yx
Siacute
Siyx
yx
yxk cuando (xy) tienden a (00)
En caso de existir indique haciendo uso de la nocioacuten
(34) )()(2
zxyxxxy
xxyyxzyxF z cuando (xyz) tiende a (012)
4- Indique de las funciones del ejercicio anterior son continuas y en que dominio 5- Determine si las funciones del ejercicio tres son de clase C1 6- Determine la ecuacioacuten del plano tangente a la graacutefica de la funcioacuten g(xy) = x4-10y3 en el punto (1-1) y en el punto (12) grafique en la computadora y agregue en el documento de la tarea 7- Determine los conjunto de nivel de valor -2 -1 0 1 2 de las funciones (7a) f(x y) = 3x2 + 3y2
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(7b) g(x y) = 22 44 yx
(7c) h(x y) = 1 ndash y + x2 (7d) k(x y z) = x2 + y2 + z2 Indique las graacuteficas en computadora y agregue en el reporte
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Capiacutetulo 3
Trayectorias
En este capiacutetulo se realiza el estudio de las propiedades de las funciones vectoriales es decir se hace incapie en el concepto de funcioacuten y la de un vector
Este concepto permite describir entre otras cosas el camino seguido por una partiacutecula en el espacio con el ingrediente adicional de tener a la mano los conceptos de velocidad y aceleracioacuten derivados a partir de una sola ecuacioacuten aquella que guarda la relacioacuten de posicioacuten de la partiacutecula con respecto al tiempo
Por ejemplo al mover una onda esta describe un movimiento circular si
la onda se suelta un objeto puesto en ella sale disparado en forma tangencial Este movimiento se puede representar con vectores y debe de expresar que la velocidad sea tangente a la trayectoria que sigue dado que la piedra abandona la onda en liacutenea recta
Si esto se extrapola al vuelo de una mosca se puede inferir que la velocidad de la misma sea tangencial a la trayectoria que va recorriendo en cada punto esto se muestra en la siguiente graacutefica
Observe que el hecho de contar con la orientacioacuten del vector velocidad permite no soacutelo inferir la velocidad de escape de la partiacutecula sobre la curva sino a la vez conocer la orientacioacuten del movimiento de la misma
Definicioacuten- (Trayectoria) Una trayectoria es una funcioacuten que parte de los nuacutemeros reales al espacio n Euclidiano Es decir es una funcioacuten de la forma
))()()(()( 21 txtxtxt n
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Caso particular de una trayectoria de los reales a plano En el caso de una trayectoria de los reales al plano se puede ilustrar con el siguiente diagrama
σ(a) σ(b) a b
2][ Rba ))()(()( tytxt
Una forma de ilustrar esto es pensar que la variable t es el tiempo y la imagen corresponde a la trayectoria de un objeto en el plano asiacute que el tiempo t=a la partiacutecula se encuentra en el punto σ(a) que es el inicio del recorrido de la misma mientras que tiempo final t=b se localiza al final de la trayectoria de estudio
Se puede observar una flecha indicativa del sentido de la partiacutecula a lo largo de la trayectoria
Ecuacioacuten Parametrica y Cartesiana de una curva
Ejemplo- Dada la trayectoria )()( 2ttt con 22t realice una
graacutefica de dicha trayectoria
t ))()(()( tytxt
-2 )42()(t
-1 )11()(t
0 )00()(t
1 )11()(t
2 )42()(t
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Como se puede apreciar la imagen de la trayectoria que recibe el
nombre de curva es una paraacutebola esto se puede ver si se realiza lo siguiente
Como x = t y = t2 entonces se puede deducir que y=x2 la ecuacioacuten correspondiente a la graacutefica de una paraacutebola esta ecuacioacuten corresponde a sus coordenadas cartesianas por otra parte si se rescribe en forma de trayectoria se dice que la ecuacioacuten es su ecuacioacuten cartesiana dado que depende de un solo paraacutemetro
Parametrizacioacuten de una funcioacuten real Si y es una variable dependiente de la variable x es decir existe
una regla de asignacioacuten f tal que y = f(x) con bxa En donde a
cada elemento x le asigna uno y soacutelo un valor y La graacutefica de esta funcioacuten se debe de ver como un trazo en el plano de la siguiente forma
La graacutefica no puede ser de la siguiente forma
y2
y3
y1 y4
X1 X2
Note que al valor de x2 le asigna tres valores de y lo cual no
cumple con las condiciones para que f sea una funcioacuten Ahora la graacutefica de una funcioacuten de esta tipo no es otra cosa que
la imagen de una trayectoria la cual se puede parametrizar de la siguiente forma
Como y = f(x) entonces defina x = t y por consiguiente y=f(t) en
donde bta
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-4 -2 2 4
-30
-20
-10
10
20
30
-2 -1 1 2
-2
-1
1
2
Asiacute en el caso de la paraacutebola la parametrizacioacuten adecuada es x
=t y = t2 tal como estaba planteada originalmente Ahora si la funcioacuten es y = 2x3-10x con 44 x entonces la
parametrizacioacuten adecuada es
)102()( 3 tttt 44 t
La graacutefica de esta curva asociada a la trayectoria es
Parametrizacioacuten de una circunferencia Elipse e Hipeacuterbola
La ecuacioacuten cartesiana de una circunferencia con centro en el origen y
radio dos estaacute dada por 422 yx Al intentar escribir esta ecuacioacuten en
funcioacuten de un solo paraacutemetro se requiere despejar a la variable y obteniendo
dos funciones que son 24 xy Con 22 x
La graacutefica de esta curva permite visualizar que no pertenece a una
funcioacuten sino maacutes bien a dos que son las enunciadas anteriormente y como se ve a continuacioacuten
24 xy
24 xy
Una forma de representar esta curva es por medio de dos trayectorias
)4()( 2
1 ttt y )4()( 2
2 ttt 22t
Una forma alternativa de representar esta curva es por medio del uso de coordenadas polares en donde x=rCos(t) y= rSen(t) como el radio es fijo y es igual a dos estas ecuaciones se pueden escribir en funcioacuten de un solo paraacutemetro ldquotrdquo x=2Cos(t) y=2Sen(t) note que al evaluar x2+y2=4Cos2(t)+4Sen2(t) = 4(Cos2(t)+Sen2(t))=4 con lo cual satisface la
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ecuacioacuten de la circunferencia quedando expresada la trayectoria de la siguiente forma
σ(y) = (2Cos(t) 2Sen(t) con 0letle2π En esta ecuacioacuten define por completo a la curva auacuten y cuando la
ecuacioacuten original no es una funcioacuten siendo esto una ventaja del estudio de la trayectorias
Ejemplo- La parametrizacioacuten de la elipse 12
2
2
2
b
y
a
x queda
expresada por x = aCos(t) y=bSen(t) se deja como ejercicio comprobar este resultado
Ejemplo- La parametrizacioacuten de la hiperbola 12
2
2
2
b
y
a
x queda
expresada por x = aCosh(t) y=bSenh(t) en donde se trabaja con las funciones de Seno y Coseno hiperboacutelicas se deja como ejercicio comprobar este resultado (aunque soacutelo permite representar el lado correspondiente a los cuadrantes I y IV en donde la x es no negativa
Derivada de una trayectoria La derivada de una trayectoria es un vector tangente a la curva esto se
deriva del siguiente anaacutelisis
Dada la trayectoria σ(t) se grafican la posicioacuten de la curva al tiempo t y t+h luego trace el vector asociado a la liacutenea secante que une los puntos de aquiacute al tomar valores cada vez maacutes pequentildeos de h el vector secante se convierte en un vector tangente a la curva como se muestra a continuacioacuten
Por otra parte el anaacutelisis vectorial de este cociente es
)()()(
0
tt
tht
h
Liacutem
Es decir la derivada de la trayectoria y el vector resultante es
tangente a la curva
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Asiacute para el caso de una curva en el plano la trayectoria se puede describir por medio de dos funciones x(t) y(t) de la siguiente forma
)(
)()(
ty
txt
En donde la derivada de esta funcioacuten es
)(
)()(
ty
txt
Vector tangente a la graacutefica de una circunferencia de radio R Ahora si se tiene la parametrizacioacuten de una circunferencia esta esta
dada por σ(t) = ( RCos(t) R Sen(t))
Y X
Un vector tangente tiene que cumplir que su producto punto tiene que
ser cero de aquiacute si V=(AB) al multiplicarlo por el vector σ su producto punto tiene que ser cero
De aquiacute que σ(t)V = ARCos(t) + BRSen(t) = 0 Existiendo muchas soluciones a este sistema de ecuaciones siendo una
de ellas cuando A = Cos(t) B=-Sen(t)
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Vector trasladado
Siendo este un vector tangente a la curva ahora al derivar las
componentes xrsquo(t) = -RSen(t) y(t) = RCos(t) que es un muacuteltiplo escalara del vector tangente mostrado anteriormente
Definicioacuten- (Rotacional) El rotacional de un campo vectorial
F=Pi+Qj+Rk de clase C1 de define como el vector
i j k
RotFx y z
P Q R
Ejemplos- Determine el rotacional de los siguientes campos vectoriales
F1=xi+yj+zk F2=x2yi-xy
2j-3zyk
Solucioacuten-
1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0
i j k
RotF z y i z x j y x kx y z y z x z x y
x y z
2 2 2 2
2
2 2
( 3 ) ( ) ( 3 ) ( ) ( ) ( )
3
i j k
RotF zy xy i zy x y j xy x y kx y z y z x z x y
x y xy zy
2 2
2
2 2
3 0
3
i j k
RotF z i j y x kx y z
x y xy zy
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Definicioacuten- (Divergencia) Si F es un campo vectorial de clase C1 la divergencia de F se define como un campo escalar de la siguiente forma
( )P Q R
divF div Pi Qj Rkx y z
Ejemplos- Determine la divergencia de los siguientes campos vectoriales F1=xi+yj+zk F2=x
2yi-xy
2j-3zyk
Solucioacuten-
1 ( ) ( ) ( ) ( ) 3divF div xi yj zk x y zx y z
2 2 2 2
2 ( 3 ) ( ) ( ) ( 3 ) 2 2 3 3divF div x yi xy j zyk x y xy zy xy xy y yx y z
Definicioacuten- (Laplaciano) Si f es un campo escalar de clase C2 el Laplaciano de f se define como un campo escalar de la siguiente forma
2 2 2
2
2 2 2xx yy zz
f f ff f f f f
x y z
Ejemplos- Determine la divergencia de los siguientes campos escalares g1(x
y z) = xy2z
3 g2(x y z) = x
2 + y
2 + z
2
2 2 2
2 2 3 2 3 2 3 2 3 3 2 2
2 2 2( ) ( ) ( ) 2 3 f f xy z xy z xy z y z yz xy z
x y z
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2( ) ( ) ( ) 6f f x y z x y z x y z
x y z
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Tarea nuacutemero 3 Trayectorias
Objetivo- Que el alumno sea capaz de comprender los conceptos de movimiento de una partiacutecula a lo largo de una trayectoria y de la importancia del uso de vectores en este tema 1- Si la trayectoria σ(t) = t2i+t2j define la trayectoria seguida por una partiacutecula con respecto al tiempo determine 1a- iquestEl tipo de trayectoria que describe 1b- Realice una graacutefica de la distancia recorrida por la partiacutecula con respecto al tiempo en los primeros tres segundos 1c- Determine el tipo de movimiento de la partiacutecula 1d- iquestSe puede afirmar que es un movimiento uniformemente acelerado 1e- Determine la aceleracioacuten y velocidad a los cuatro segundos 1f- Realice una graacutefica de su rapidez con respecto al tiempo 1g- Realice una graacutefica de sus aceleracioacuten con respecto al tiempo 1h- En la graacutefica de la trayectoria agregue graacuteficamente los vectores aceleracioacuten y velocidad 2- Realice lo mismo que en ejercicio anterior pero ahora con la funcioacuten γ(t) = Cos(t) i+5Sen(t)j 3- Dadas las funciones f(t) = 3t2i-4t3j+e2tk y g(t) = 4t3i+4t2j+e-2tk 3a- Determine la funcioacuten producto punto h = fg 3b- Determine la derivada de h 3c- Usando la regla de diferenciacioacuten determine la derivada de h y compruebe el inciso anterior 4a- Determine la funcioacuten producto cruz k = ftimesg 4b- Determine la derivada de h 4c- Usando la regla de diferenciacioacuten determine la derivada de h y compruebe el inciso anterior 5- Determine el Rotacional y la Divergencia del siguiente campo vectorial G(x y z) = 2xy i + 3xz j - 5xy k 6- Determine el gradiente y el Laplaciano del siguiente campo escalar f(xyz) = 4x2-3yz2 7- Dado el campo vectorial F(x y z) = 2xy i + x2 j +3z2 k 7a- Determine si F puede representar el gradiente de un campo escalar f 7b- En caso de ser afirmativa la respuesta del inciso anterior determine el campo escalar f 8- Pruebe que la divergencia del rotacional de un campo vectorial F=Pi+Qj+Rk es igual a cero Es decir la div rot F =0 9- Usando las reglas de diferinciacioacuten pruebe que
gfgfgf
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100 -x
Capitulo 4 Maacuteximos y miacutenimos
Es indispensable determinar en distintos problemas las soluciones oacuteptimas que permitan establecer por ejemplo los valores maacuteximos de produccioacuten o ahorrar el material en la construccioacuten de cierto equipo
Como se recordaraacute el gradiente de una funcioacuten indica la direccioacuten de
maacuteximo crecimiento esto se refleja en que si se toma la direccioacuten sugerida por este vector el valor de la funcioacuten aumenta en una vecindad del mismo asiacute si en un diagrama de un campo gradiente aparecen un punto en donde convergen la direccioacuten de todos los gradientes se encontraraacute que dicho valor debe de ser un valor maacuteximo para la funcioacuten de estudio Un diagrama de esta tipo se ejemplifica a continuacioacuten
Un diagrama en donde todos los vectores apuntan hacia fuera de un
punto indicaraacute que este punto debe de ser un valor miacutenimo de la funcioacuten Citemos el siguiente ejemplo de una variable con la finalidad de
centrarnos en el tema Una persona desea bardear un terreno en forma rectaacutengular cuanto debe de medir cada lado de manera tal que el aacuterea cercada sea maacutexima si se cuenta con 200 metros de malla
La funcioacuten que representa dicho modelo es
A(x) = x(100-x) x
Como se puede observar el aacuterea es cero si x es igual a cero o a cien con lo cuaacutel el lado x debe de estar en en intervalo [0 100] siendo estas las restricciones del problema Derivando la funcioacuten para obtener los valores critiacutecos se tiene que Arsquo(x) = 100 ndash 2x
Al igual la derivada a cero se concluye que el valor critico es x es igual a 50 Al derivar por segunda ocasioacuten se concluye que
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Arsquorsquo(x) = -2 Como la segunda derivada es siempre negativa se concluye que la funcioacuten alcanza un valor maacuteximo en el valor critico en este caso en x = 50 al interpretar dicho resultado se concluye que el terreno que optimiza la solucioacuten es un cuadrado Ejercicio- Que aacuterea se genera si el terreno es de forma circular Al resolver el ejercioacute anterior y comparar las aacutereas del cuadrado y del circulo se puede apreciar que el aacuterea del circulo es mayor pero en la praacutectica es poco atractivo cercar terrenos circulares por diversas razones pero en la naturaleza es comuacuten observar que las gotas de lluvia sean esferas esto permite el optimizar recursos y maacuteximizar el volumen del liacutequido contenido en la misma Se iniciara el estudio formal de maacuteximos y miacutenimos de funciones de varias variables observando las siguientes graficas con la finalidad de tener la idea clara de que es un maacuteximo o miacutenimo o un punto silla
En la primera de ellas se observa que la funcioacuten tiene un valor miacutenimo en la segunda se observa que la funcioacuten tiene un valor maacuteximo y en la uacuteltima la funcioacuten tiene un punto silla este se identifica el dirigirnos en una direccioacuten la funcioacuten crece mientras que en la otra la funcioacuten decrece
Definicioacuten- Una funcioacuten mn RRf tiene un valor maacuteximo local en x0 si en
una vecindad de dicho valor se cumple que la funcioacuten evaluada en todos los vecinos ninguno de ellos supera a f(x0) Es decir f(x0) f(x) para todo x en una vecindad de x0 El punto es llamado un maacuteximo absoluto si la funcioacuten toma el valor maacuteximo en dicho punto para todo valor de su dominio
Esto es muy similar cuando uno observa a los alumnos de un saloacuten de clases existe un alumno que tiene la mayor estatura si ninguno de sus compantildeeros lo supera Asiacute en la escuela el alumno de mayor estatura absoluta es aquel que supera a todo el plantel
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La definicioacuten para el miacutenimo local (absoluto) es similar
f(x0) f(x) para todo en una vecindad de x0 Por ejemplo la funcioacuten f(xy) = x2+y2 tiene un valor miacutenimo en el origen dado que en este valor la funcioacuten vale cero mientras que fuera de ahiacute siempre es positiva dado que todo nuacutemero real elevado al cuadrado es siempre positivo Ademaacutes dicho valor es un miacutenimo absoluto Como se menciono al inicio de esta capitulo el diagrama del campo
gradiente de esta funcioacuten y
xyxf
2
2)( indica que la funcioacuten tiene un valor
miacutenimo siendo la grafica del mismo la siguiente Sin embargo se requiere un criterio maacutes general y sistemaacutetico que permita establecer los posibles valores maacuteximos miacutenimos o puntos silla) Definicioacuten- (Un valor extremo) Si la funcioacuten posee un valor maacuteximo o miacutenimo este es llamado un valor extremo Definicioacuten- (Un valor critico) Un punto en donde la derivada de la funcioacuten se anula es llamado un valor critico Teorema- Todo valor extremo es un valor critico Es decir si f posee un valor extremo en x0 que pertenece a su dominio entonces la derivada de la funcioacuten en el punto x0 se anula Es decir Df(x0) = 0 Demostracioacuten- Sea l(t) una trayectoria que pasa a traveacutes por el punto x0 defina la composicioacuten de funciones h(t) = f(l(t)) donde l(t) = x0 + tv de donde lrsquo(t) = v y ademaacutes
))(()())(()( VtlftDltlDftDh (1)
Por otra parte como f posee un valor extremo en x0 suponga que dicho
valor es un maacuteximo entonces x0 seraacute a la vez un maacuteximo para la funcioacuten h y como h es una funcioacuten real esto significa que la derivada de h en dicho punto
se anula es decir 0)()0())0(()0( 0 vxfDllDfDh ahora como los
vectores )( 0xf y v no son necesariamente perpendiculares y el vector v a la
vez tampoco se anula entonces esto implica que el gradiente de f en x0 es igual a cero y por lo tanto f posee un valor criacutetico en x0
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Este resultado permite establecer posibles valores criacuteticos de una funcioacuten asiacute se menciona el siguiente ejemplo Ejemplo- Determine los posibles valores criacuteticos de las siguientes funciones (1) f(x y) = x2 + y2 y (2) g(x y) = 4x3 -12x + y2
Solucioacuten-
(1) 0
0
2
2)(
y
xyxf de aquiacute se concluye que dicho valor soacutelo
existe un valor criacutetico siendo este el origen el cuaacutel ya se clasifico en estos apuntes y resulto ser un valor miacutenimo
(2) 0
0
2
1212)(
2
y
xyxg de aquiacute se obtienen dos valores criacuteticos
que son (-10) y 1l (10) Los cuales se pueden clasificar el realizar el graacutefico del campo gradiente En donde se aprecia que en el punto (-10) la funcioacuten posee un punto silla mientras que en el punto (10) la funcioacuten posee un valor miacutenimo
Aquiacute se utilizaraacute el criterio del hessiano para determinar si el valor criacutetico es un maacuteximo un miacutenimo o un punto silla Solo se enunciara el teorema sin demostracioacuten para ver la misma puede revisar en el libro de Marsden Tromba de Caacutelculo Vectorial
Definicioacuten- El Hessiano de una funcioacuten 22 RRH de clase C2 se define como una funcioacuten cuadraacutetica que se escribe como
2
1
2
22
2
2
2
21212
1)(
h
h
y
f
yx
f
xy
f
x
f
hhhhH
Evaluada la matriz de las segundas derivas parciales en el valor criacutetico
Teorema- Si el Hessiano de una funcioacuten 2 RRf es definitivamente
positivo entonces la funcioacuten tiene un valor miacutenimo en dicho punto
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Corolario- Si la matriz asociada A=cb
ba de una forma cuadraacutetica dos
por dos es definitivamente positiva si y soacutelo si se cumple que agt0 y det A gt0
Teorema de una valor para un valor extremo miacutenimo- Una funcioacuten
2 RRf de clase C2 posee un valor extremo miacutenimo local en x0 elemento
del dominio de la funcioacuten si y soacutelo si se satisfacen las siguientes condiciones
(i) 0)( 0xx
f y 0)( 0x
y
f
(ii) )( 02
2
xx
f gt 0
(iii) )( 02
2
xx
f)( 02
2
xy
f)(
2
2
oxx
f)( 02
2
xx
f gt 0
Para un valor maacuteximo las condiciones (i) y (iii) se mantienen la uacutenica que cambia en la segunda en donde esta debe ser negativa Para un punto silla se requiere que al menos no se cumplan las condiciones de valor maacuteximo ni miacutenimo y que la uacuteltima condicioacuten (iii) sea distinta de cero En caso contrario el criterio no permite clasificar dicho valor como se mostraraacute en un ejemplo maacutes adelante Ejemplo- Ahora continuando con los ejemplos anteriores
(1) Para f(xy) = x2+y2 el valor critico es el origen y el hessiano asociado es
2
1
212100
02
2
1)(
h
hhhhhH
Como se pude apreciar el primer valor es positivo 2 gt0 y el determinante de
la funcioacuten 20
02det es igual a 4 que a la vez es positivo de manera tal que la
funcioacuten posee un valor miacutenimo en el origen
(2) g(x y) = 4x3 -12x + y2 los puntos criticos son (-10) y (10) y el hessiano asociado a esta forma cuadraacutetica es
2
1
212120
024
2
1)(
h
hxhhhhHg
Ahora al evaluar en los puntos se tiene En el (-10)
2
1
212120
024
2
1)(
h
hhhhhHg
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En donde -24 lt 0 y det Hg = -48 lt0 con lo cuaacutel debe de ser un punto silla
En el (10)
2
1
212120
024
2
1)(
h
hhhhhHg
En donde 24 gt 0 y det Hg = 48 gt0 con lo cuaacutel debe de ser un punto miacutenimo
Tal como se habiacutea estimado en la graacutefica del campo gradiente de la
solucioacuten anterior A continuacioacuten se muestra un bosquejo de dicha graacutefica realizado en el derive
Ejemplos de cuando el criterio permite clasificar los
valores criacuteticos
Ejemplo- A continuacioacuten se mostrara un ejemplo de cuando el criterio no concluye asiacute si la funcioacuten es h(xy) = x4+y4 al calcular las derivas parciales mixtas fx=4x3 y fy=4y3 se encuentra un solo valor critico el origen miestras que la matriz asociada del hessiano es
2
2
120
012
y
x y al evaluar en el origen queda expresada como
00
00
)0(120
0)0(122
2
En donde se puede apreciar que fallan todos los criterios una inspeccioacuten de
la funcioacuten original permite ver que la funcioacuten tiene un valor miacutenimo en dicho punto pero no es una generalizacioacuten es decir no se puede decir que siempre que aparezca la matriz de ceros se tenga un valor miacutenimo dado que si se analiza ahora a las funciones k(xy) = -x4-y4 y p(xy) = x4-y4 ambas tienen como calor extremo al origen y la matriz hessiana asociada a la forma cuadraacutetica evaluada en el origen es la matriz de ceros
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Ejemplo- Otro ejemplo en donde el criterio no concluye es el siguiente en
donde el determinante de la matriz H es cero debido a que la segunda derivada de la funcioacuten f con respecto a la segunda variable se anula (fyy = 0) y no se puede asegurar que se tenga un punto maacuteximo miacutenimo o silla
Las funciones f1(xy) = x2 f2(xy) = -x2 y f3(xy) = x3 presentan este
problema a continuacioacuten se muestran las graficas de dichas funciones
En cada una de ellas los puntos criacuteticos son las parejas en el plano (0 y) Es decir el eje coordenado X
El Hessiano respectivo de cada uno es el siguiente
00
02)(1 yxH
00
02)(2 yxH
00
03)(3
xyxH
Note que el determinante de cada de estas matrices se hace cero y que fyy
se anula en cada caso
Ahora observando las graacuteficas se verifica visualmente que en la primera se tienen valores miacutenimos en la segunda maacuteximos y en la uacuteltima no es ni maacuteximo ni miacutenimo o punto silla
Ejemplo- Citemos otro ejemplo en donde el criterio de maacuteximos y miacutenimos
no concluye Determine los puntos criacuteticos de la funcioacuten h(xy) = x4 Se tiene que hx=4x3=0 y hy=0 de donde se deduce que la funcioacuten tiene
un nuacutemero infinito de puntos criacuteticos estos son las parejas ordenadas en el plano (0y)
La matriz del Hessiano asociado es
00
012)(
2
1
xyxH y evaluando en el punto
00
00)0(1 yH
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40
En donde no se puede clasificar a los valores criacuteticos sin embargo
realizando una inpeccioacuten de la funcioacuten se puede concluir que todos los puntos representan valores miacutenimos de la funcioacuten original a continuacioacuten se muestra la grafica de la misma
El Hessiano para n variables y el criterio de clasificacioacuten
Cuando la funcioacuten tiene maacutes de dos variables se genera una matriz asociada H en cada uno de los valores criacuteticos de la siguiente forma
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
H
21
22221
11211
De aquiacute se definen las siguientes matrices
111 aH 2221
1211
2aa
aaH hellip HH n
Los criterios para los valores criacuteticos de la funcioacuten RRf n son los
siguientes [Miacutenimo Local] La funcioacuten f posee un valor extremo local miacutenimo en x0 si todos los determinantes de las submatrices evaluados en x0 son positivos
0det 1H 0det 2H hellip 0det 2H (+ + hellip +)
En este caso la forma cuadraacutetica se puede probar que es definitivamente positiva [Maacuteximo Local] La funcioacuten f posee un valor extremo local miacutenimo en x0 si todos los determinantes de las submatrices evaluados en x0 se alternan en signo pero el primero de ellos debe ser negativo
0det 1H 0det 2H hellip 0det 2H (- + - + hellip )
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41
En este caso la forma cuadraacutetica se puede probar que es definitivamente negativa [Punto Silla] La funcioacuten f posee un punto silla si no se cumplen los criterios de valor miacutenimo o maacuteximo y al menos uno de los subdeterminantes es distinto de cero
Existe un i tal que 0det iH
Ejemplos- Determine los valores criacuteticos de las siguiente funcioacuten f(x y z w) = x3 - 3x + y3 ndash 3y + z2 + w2 y claacutesifiquelos Solucioacuten- Al resolver las siguientes ecuaciones
033 2 xxf x 033 2 yyf y 02zf z y 033 2 wwfw
Se obtienen cuatro puntos criacuteticos que son (-1-100) (-1100) (1-100) y (1100) ahora se genera la matriz del hessiano asociado siendo esta
2000
0200
0060
0006
y
x
H
Al evaluar en cada uno de los puntos se tienen las siguientes matrices
2000
0200
0060
0006
)0011(H
2000
0200
0060
0006
)0011(H
2000
0200
0060
0006
)0011(H y
2000
0200
0060
0006
)0011(H
Los sub determinantes para cada uno de los puntos son [(-1 -1 0 0)] -6 36 72 144 que clasifica como un punto silla [(-1100)] -6 -36 -72 -144 que clasifica como un punto silla [(1-100)] 6 -36 -72 -144 que clasifica como un punto silla [(1100)] 6 36 72 144 que clasifica como un valor miacutenimo De manera tal que la funcioacuten tiene tres puntos silla y un valor miacutenimo
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42
Ejercicios- Determine los puntos criacuteticos de las siguientes funciones y claacutesifiquelos utilizando el criterio del Hessiano
(1) f(x y) = x2 - y2 (Silla de montar)
(2) g(x y) = 22 yx (Cono)
(3) h(x y z) = x4 - 2x2 + 2y3 -3y2 + z3-3 Ejercicio- Se requiere construir una lata con tapa que contenga un litro de agua con el miacutenimo de material determine las condiciones que oacuteptimizan el problema Ejercicio- Determine el producto maacuteximo de tres nuacutemeros si la suma de ellos debe ser 40 Ejercicio- Determine la distancia miacutenima del origen a la graacutefica de la funcioacuten f(xy) = 4-x2+y Ejercicio- Estudie los ejemplos resueltos que trae el libro de Marden Tromba en el capitulo 4 en especial el referente a la ecuacioacuten de miacutenimos cuadrados Ejercicio- Determine la ecuacioacuten lineal que mejor se ajusta a los puntos (12) (2 32) (3 389) (4 488) (5 55) Utilize el criterio de miacutenimos cuadrados en caso de que el modelo sea lineal (justifique la linealidad del mismo realice una graacutefica de los puntos y de la liacutenea que ajusta a los puntos) Ejemplo- (Aplicacioacuten) En este ejemplo dermina la distancia miacutenima del punto (100) a la graacutefica de una funcioacuten f(x y) = x2+y2
Solucioacuten- Todos los puntos que se encuentran sobre la graacutefica de la funcioacuten satisfacen la siguiente terna de valores en donde se observa que la tercer componente es la variable dependiente (x y x2+y2)
La distancia del punto (1 0 0) a los puntos que estaacuten sobre la graacutefica (x y x2+y2) Se define por medio de la funcioacuten
2222222 )()1()()001()( yxyxyxyxdyxfd
Para determinar el valor miacutenimo o maacuteximo de esta funcioacuten basta con
analizar su argumento dado que es un funcioacuten creciente Es decir Si x1lt x2
entonces f(x1) lt f(x2) lo que es vaacutelido para la funcioacuten )( xxf (ver graacutefica)
2x
1x
x1 x2
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De este modo la funcioacuten a maximizar es
2222222
11 )()1()()001()( yxyxyxyxdyxfd
De aquiacute al las derivadas parciales son
)(4)1(2)( 22
1 yxxxyxfd x y )(42)( 22
1 yxyyyxfd y
Igualando ambas ecuaciones a cero se puede establecer la siguiente
ecuacioacuten
)(4
)(4
2
2222
22
yxy
yxx
y
x (3)
De aquiacute si )00()( yx y 0y se concluye que -1=0 lo cual es una
contradiccioacuten Por otra parte si (xy)=(00) en la primera ecuacioacuten se tiene que 1=0 que es tambieacuten una contradiccioacuten Finalmente si se considera el caso en
que y=0 se obtiene de la siguiente ecuacioacuten 012 3 xx
El polinomio 12)( 3 xxxP tiene una raiacutez entre el cero y el 1 dado
que P(0)=-1 y P(1)=2 Con el anaacutelisis de raiacuteces racionales dos posibles raiacuteces
son 2
1 y como
2
1 estaacute entre cero y uno al usando divisioacuten sinteacutetica se
obtiene que 4
1
2
1P Asiacute que la raiacutez debe de estar en el intervalo 1
2
1
Ahora usando el meacutetodo de Newton con semilla en 2
10x se obtiene
que 6010
6
2
54
1
2
1
)(
)(
0
0
01xf
xfxx
Ahora al evaluar la funcioacuten en dicho punto se tiene que 0320)60(P el
cual es aceptable como raiacutez del polinomio en una sola interaccioacuten De manera tal que el punto criacutetico de la funcioacuten es el (060) El Hessiano asociado es
24128
82412)(
22
22
xyxy
xyyxyxH
Como se puede apreciar el primer elemento de la matriz es positivo independientemente de los valores de x e y Falta evaluar el determinante de H este es igual a
)64)2412)(2412()(det 222222 yxxyyxyxH
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Ahora evaluando en (06 0) se tiene 7421)443)(326()060(det H
Que tambieacuten es positivo de manera tal que se tiene un valor miacutenimo Es
decir la se obtuvo la distancia miacutenima
Maacuteximos y Miacutenimos con restricciones
Los muacuteltiplicadores de Lagrange permite determinar valores maacuteximos o miacutenimos de funciones con restricciones De este tipo de problemas esta lleno nuestro contorno desde el panedero que desea producir la maacutexima cantidad de pan pero con la restriccioacuten del capital que tiene o la posible venta del diacutea para que no tenga sobrantes
Citemos el siguiente ejemplo la graacutefica de paraboloide z = x2+y2 esta
graacutefica soacutelo tiene un valor miacutenimo en el origen sin embargo si esta restringida
al cuadrado unitario 1111 la funcioacuten alcanza cuatro puntos maacuteximos en
los puntos (-11)(-1-1) (1 -1) y (11) a saber dicho valor es 2 Como se observa en la figura
Ahora si se trabaja con la silla de montar con la misma restriccioacuten esta
funcioacuten tiene originalmente un punto silla en el origen pero al analizar las restricciones se contiene dos valores maacuteximos y dos miacutenimos en los puntos (10) (-10) (0-1) y (01)
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Muacuteltiplicadores de Lagrange Teorema- Dadas dos funciones fg Rn a R diferenciables en X0 elemento del dominio de ambas funciones Si Lc es el conjunto de nivel de valor c de la funcioacuten g y si f posee un valor maacuteximo miacutenimo o silla en la restriccioacuten Lc
entonces existe un nuacutemero real λ tal que )()( 00 XgXf
Se puede ver parte de la demostracioacuten de este teorema en el libro de Marsden Tromba Para clasificar los puntos criacuteticos se utiliza el criterio del Hessiano limitado el cuaacutel se define a partir de la funcioacuten auxiliar H(x1 x2 hellip xn) = f(x1 x2 hellip xn) - λ g(x1 x2 hellip xn)
nnnn
n
n
xxxxx
xxxxx
xx
hhg
hhg
gg
H
1
1111
10
||
Ahora defina los siguientes determinantes
22122
21111
210
|| 1
xxxxx
xxxxx
xx
hhg
hhg
gg
H
3323131
3222121
3121111
3210
|| 2
xxxxxxx
xxxxxxx
xxxxxxx
xxx
hhhg
hhhg
hhhg
ggg
H ||det|| HHn
Criterios para maacuteximos y miacutenimos con restricciones (Hessiano liacutemitado) [Miacutenimo Local] Se tiene un miacutenimo local si y soacutelo si todos los determinantes son negativos |H1| lt0 |H2| lt0 hellip |Hn|lt0 ( - - - - - hellip)
[Maacuteximo Local] Se tiene un maximo local si y soacutelo se inicia con un determinante positivo y luego se alternan los signos |H1| gt 0 |H2| lt 0 hellip |Hn|lt0 (+ - + - hellip)
[Punto del tipo Silla] Se tiene un punto tipo silla sino se satisface los criterios de maacuteximos o miacutenimos y al menos uno de los determinantes es distinto de cero Ejemplo- Determine si la funcioacuten f(xy)= x2 ndash y2 tiene valores criacuteticos en la restriccioacuten x2+y2=1
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)(2
2
2
2)( 00 Xg
g
g
y
x
y
x
f
fXf
y
x
y
x
de aquiacute se obtienen las ecuaciones 2x = 2 λx -2y = 2 λy x2 + y2 =1 Las soluciones de este sistema de ecuaciones son (-101) (101) (0-1-1) y (0-11) El Hessiano liacutemitado es
2202
0222
220
||
y
x
yx
H
El determinante es igual a det|H| = 8x2(1+λ) ndash 8y2(1-λ) ahora evaluando
cada uno de los puntos se tiene que det|H|(-101) = 16 gt 0 det|H|(101) = 16 gt 0 det|H|(0-1-1) = -16 lt 0 det|H|(0-11) = -16 lt 0
De manera tal que la funcioacuten posee dos valores maacuteximos en los puntos (-10) y (10) y por otra parte tiene dos valores miacutenimos en los puntos (0-1) y (0-1) Ejemplo- Determine si la funcioacuten f(xy)= x2+y2 tiene valores criacuteticos en la restriccioacuten x2-y2 le 4 Al iniciar este estudio se trabaja con el interior es decir x2-y2 lt 4 dando como resultado el anaacutelisis de maacuteximos y miacutenimos de una funcioacuten en general de donde el gradiente de f se anula uacutenicamente en el origen siendo este valor un miacutenimo como se habiacutea visto en un ejercicio anterior para la funcioacuten del paraboloide Ahora al trabajar sobre la frontera se usa el criterio de muacuteltiplicadores de Lagrange
)(2
2
2
2)( 00 Xg
g
g
y
x
y
x
f
fXf
y
x
y
x
de aquiacute se obtienen las ecuaciones 2x = 2 λx 2y = -2 λy x2 - y2 = 4
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Las soluciones de este sistema de ecuaciones son (-201) y (201) El Hessiano liacutemitado es
2202
0222
220
||
y
x
yx
H
El determinante es igual a det|H| = -8x2(1+λ) + 8y2(1-λ) ahora
evaluando en cada uno de los puntos se tiene que det|H|(201) = -64 gt 0 y det|H|(-201) = -64 lt 0
De manera tal que la funcioacuten posee dos valores miacutenimos en los puntos (-20) y (20)
Una anaacutelisis de la graacutefica de esta funcioacuten permite visualizar que dichos
puntos no son miacutenimos maacutes bien son puntos tipos silla y no es que el criterio falle sino maacutes bien que los valores son miacutenimos pero sobre el complemento es decir bajo la restriccioacuten x2-y2 ge 4 Ejemplo- Determine los valores criacuteticos de la funcioacuten f(xyz) = 2x+y+3z sujeta a la restriccioacuten x2+y2+z2 le 36 Solucioacuten- Un anaacutelisis de las condiciones iniciales muestra que la graacutefica a maximizar en un hiperplano restringido en su dominio a una esfera de radio 6 de acuerdo a estas condiciones la funcioacuten en su interior no debe tener valor criacuteticos y en la frontera debe tener un valor miacutenimo y un valor maacuteximo En el interior- Al derivar la funcioacuten original se tiene lo siguiente
3
1
2
)( 0
z
y
x
f
f
f
Xf
De aquiacute se observa que la funcioacuten no posee valores criacuteticos en todo su dominio tal y como se esperaba Frontera- Al utilizar las condiciones del los Muacuteltiplicadores de Lagrange se tiene lo siguiente
)(
2
2
2
3
1
2
)( 00 Xg
z
y
x
f
f
f
Xf
z
y
x
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De aquiacute se genera el siguiente sistema de ecuaciones 2 = 2λx 1 = 2λy 3 = 2λz x2+y2+z2=36
Resolviendo el sistema se concluye que 2
1
1yx amp
2
3z Ahora
sustituyendo en la uacuteltima ecuacioacuten se deduce que la funcioacuten posee dos valores criacuteticos que son
18
14
14
1427
14
149
14
1418amp
18
14
14
1427
14
149
14
1418
La funcioacuten auxiliar es H(xyzλ) = 2x+y+3z-λ(x2+y2+z2) donde Hx=2-2λx Hy=1-2λy Hz=3-2λz El Hessiano Liacutemitado es
2002
0202
0022
2220
||
z
y
x
zyx
H
De aquiacute
0
0)(8
202
022
220
|| 22
1si
siyx
y
x
yx
H
0576)(16
2002
0202
0022
2220
|| 22222 zyx
z
y
x
zyx
H
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49
De aquiacute se desprende que la funcioacuten f(xyz) = 2x+y+3z posee un valor miacutenimo
en el punto 18
14
14
1427
14
149
14
1418 restringido a x2+y2+z2 = 36 y un
maacuteximo en el punto 18
14
14
1427
14
149
14
1418
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Tarea nuacutemero 4 Maacuteximos y Miacutenimos
Objetivo- Que el alumno sea capaz de aprender a resolver problemas asociados a la vida real haciendo uso del caacutelculo de varias variables Aquiacute se enuncian los siguientes ejercicios adicionales dado que muchos de los mismos se fueron exponiendo a lo largo del capiacutetulo y se sugiere que se revisen los problemas resueltos y propuestos en la libros de la bibliografiacutea dado que las aplicaciones son muchas 1- Determine los valores maacuteximos y miacutenimos de la funcioacuten f(xy) = x +y sujeta a la restriccioacuten x2+2y2le18 (Realice un bosquejo de la graacutefica y se restriccioacuten)
2- Determine los valores maacuteximos y miacutenimos de la funcioacuten f(xy) = x2 +y2 sujeta a la restriccioacuten x+2y le 4 (Realice un bosquejo de la graacutefica y se restriccioacuten)
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Bibliografiacutea
1 Caacutelculo Vectorial Marsden amp Tromba Addison-Wesley Iberoamericana
2 Caacutelculo Multivariable James Steward Thomson Editores
3 Caacutelculo con Geometriacutea Anaacutelitica Zill Grupo Editorial Iberoameacuterica
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(7b) g(x y) = 22 44 yx
(7c) h(x y) = 1 ndash y + x2 (7d) k(x y z) = x2 + y2 + z2 Indique las graacuteficas en computadora y agregue en el reporte
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Capiacutetulo 3
Trayectorias
En este capiacutetulo se realiza el estudio de las propiedades de las funciones vectoriales es decir se hace incapie en el concepto de funcioacuten y la de un vector
Este concepto permite describir entre otras cosas el camino seguido por una partiacutecula en el espacio con el ingrediente adicional de tener a la mano los conceptos de velocidad y aceleracioacuten derivados a partir de una sola ecuacioacuten aquella que guarda la relacioacuten de posicioacuten de la partiacutecula con respecto al tiempo
Por ejemplo al mover una onda esta describe un movimiento circular si
la onda se suelta un objeto puesto en ella sale disparado en forma tangencial Este movimiento se puede representar con vectores y debe de expresar que la velocidad sea tangente a la trayectoria que sigue dado que la piedra abandona la onda en liacutenea recta
Si esto se extrapola al vuelo de una mosca se puede inferir que la velocidad de la misma sea tangencial a la trayectoria que va recorriendo en cada punto esto se muestra en la siguiente graacutefica
Observe que el hecho de contar con la orientacioacuten del vector velocidad permite no soacutelo inferir la velocidad de escape de la partiacutecula sobre la curva sino a la vez conocer la orientacioacuten del movimiento de la misma
Definicioacuten- (Trayectoria) Una trayectoria es una funcioacuten que parte de los nuacutemeros reales al espacio n Euclidiano Es decir es una funcioacuten de la forma
))()()(()( 21 txtxtxt n
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Caso particular de una trayectoria de los reales a plano En el caso de una trayectoria de los reales al plano se puede ilustrar con el siguiente diagrama
σ(a) σ(b) a b
2][ Rba ))()(()( tytxt
Una forma de ilustrar esto es pensar que la variable t es el tiempo y la imagen corresponde a la trayectoria de un objeto en el plano asiacute que el tiempo t=a la partiacutecula se encuentra en el punto σ(a) que es el inicio del recorrido de la misma mientras que tiempo final t=b se localiza al final de la trayectoria de estudio
Se puede observar una flecha indicativa del sentido de la partiacutecula a lo largo de la trayectoria
Ecuacioacuten Parametrica y Cartesiana de una curva
Ejemplo- Dada la trayectoria )()( 2ttt con 22t realice una
graacutefica de dicha trayectoria
t ))()(()( tytxt
-2 )42()(t
-1 )11()(t
0 )00()(t
1 )11()(t
2 )42()(t
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Como se puede apreciar la imagen de la trayectoria que recibe el
nombre de curva es una paraacutebola esto se puede ver si se realiza lo siguiente
Como x = t y = t2 entonces se puede deducir que y=x2 la ecuacioacuten correspondiente a la graacutefica de una paraacutebola esta ecuacioacuten corresponde a sus coordenadas cartesianas por otra parte si se rescribe en forma de trayectoria se dice que la ecuacioacuten es su ecuacioacuten cartesiana dado que depende de un solo paraacutemetro
Parametrizacioacuten de una funcioacuten real Si y es una variable dependiente de la variable x es decir existe
una regla de asignacioacuten f tal que y = f(x) con bxa En donde a
cada elemento x le asigna uno y soacutelo un valor y La graacutefica de esta funcioacuten se debe de ver como un trazo en el plano de la siguiente forma
La graacutefica no puede ser de la siguiente forma
y2
y3
y1 y4
X1 X2
Note que al valor de x2 le asigna tres valores de y lo cual no
cumple con las condiciones para que f sea una funcioacuten Ahora la graacutefica de una funcioacuten de esta tipo no es otra cosa que
la imagen de una trayectoria la cual se puede parametrizar de la siguiente forma
Como y = f(x) entonces defina x = t y por consiguiente y=f(t) en
donde bta
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-4 -2 2 4
-30
-20
-10
10
20
30
-2 -1 1 2
-2
-1
1
2
Asiacute en el caso de la paraacutebola la parametrizacioacuten adecuada es x
=t y = t2 tal como estaba planteada originalmente Ahora si la funcioacuten es y = 2x3-10x con 44 x entonces la
parametrizacioacuten adecuada es
)102()( 3 tttt 44 t
La graacutefica de esta curva asociada a la trayectoria es
Parametrizacioacuten de una circunferencia Elipse e Hipeacuterbola
La ecuacioacuten cartesiana de una circunferencia con centro en el origen y
radio dos estaacute dada por 422 yx Al intentar escribir esta ecuacioacuten en
funcioacuten de un solo paraacutemetro se requiere despejar a la variable y obteniendo
dos funciones que son 24 xy Con 22 x
La graacutefica de esta curva permite visualizar que no pertenece a una
funcioacuten sino maacutes bien a dos que son las enunciadas anteriormente y como se ve a continuacioacuten
24 xy
24 xy
Una forma de representar esta curva es por medio de dos trayectorias
)4()( 2
1 ttt y )4()( 2
2 ttt 22t
Una forma alternativa de representar esta curva es por medio del uso de coordenadas polares en donde x=rCos(t) y= rSen(t) como el radio es fijo y es igual a dos estas ecuaciones se pueden escribir en funcioacuten de un solo paraacutemetro ldquotrdquo x=2Cos(t) y=2Sen(t) note que al evaluar x2+y2=4Cos2(t)+4Sen2(t) = 4(Cos2(t)+Sen2(t))=4 con lo cual satisface la
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ecuacioacuten de la circunferencia quedando expresada la trayectoria de la siguiente forma
σ(y) = (2Cos(t) 2Sen(t) con 0letle2π En esta ecuacioacuten define por completo a la curva auacuten y cuando la
ecuacioacuten original no es una funcioacuten siendo esto una ventaja del estudio de la trayectorias
Ejemplo- La parametrizacioacuten de la elipse 12
2
2
2
b
y
a
x queda
expresada por x = aCos(t) y=bSen(t) se deja como ejercicio comprobar este resultado
Ejemplo- La parametrizacioacuten de la hiperbola 12
2
2
2
b
y
a
x queda
expresada por x = aCosh(t) y=bSenh(t) en donde se trabaja con las funciones de Seno y Coseno hiperboacutelicas se deja como ejercicio comprobar este resultado (aunque soacutelo permite representar el lado correspondiente a los cuadrantes I y IV en donde la x es no negativa
Derivada de una trayectoria La derivada de una trayectoria es un vector tangente a la curva esto se
deriva del siguiente anaacutelisis
Dada la trayectoria σ(t) se grafican la posicioacuten de la curva al tiempo t y t+h luego trace el vector asociado a la liacutenea secante que une los puntos de aquiacute al tomar valores cada vez maacutes pequentildeos de h el vector secante se convierte en un vector tangente a la curva como se muestra a continuacioacuten
Por otra parte el anaacutelisis vectorial de este cociente es
)()()(
0
tt
tht
h
Liacutem
Es decir la derivada de la trayectoria y el vector resultante es
tangente a la curva
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Asiacute para el caso de una curva en el plano la trayectoria se puede describir por medio de dos funciones x(t) y(t) de la siguiente forma
)(
)()(
ty
txt
En donde la derivada de esta funcioacuten es
)(
)()(
ty
txt
Vector tangente a la graacutefica de una circunferencia de radio R Ahora si se tiene la parametrizacioacuten de una circunferencia esta esta
dada por σ(t) = ( RCos(t) R Sen(t))
Y X
Un vector tangente tiene que cumplir que su producto punto tiene que
ser cero de aquiacute si V=(AB) al multiplicarlo por el vector σ su producto punto tiene que ser cero
De aquiacute que σ(t)V = ARCos(t) + BRSen(t) = 0 Existiendo muchas soluciones a este sistema de ecuaciones siendo una
de ellas cuando A = Cos(t) B=-Sen(t)
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Vector trasladado
Siendo este un vector tangente a la curva ahora al derivar las
componentes xrsquo(t) = -RSen(t) y(t) = RCos(t) que es un muacuteltiplo escalara del vector tangente mostrado anteriormente
Definicioacuten- (Rotacional) El rotacional de un campo vectorial
F=Pi+Qj+Rk de clase C1 de define como el vector
i j k
RotFx y z
P Q R
Ejemplos- Determine el rotacional de los siguientes campos vectoriales
F1=xi+yj+zk F2=x2yi-xy
2j-3zyk
Solucioacuten-
1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0
i j k
RotF z y i z x j y x kx y z y z x z x y
x y z
2 2 2 2
2
2 2
( 3 ) ( ) ( 3 ) ( ) ( ) ( )
3
i j k
RotF zy xy i zy x y j xy x y kx y z y z x z x y
x y xy zy
2 2
2
2 2
3 0
3
i j k
RotF z i j y x kx y z
x y xy zy
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Definicioacuten- (Divergencia) Si F es un campo vectorial de clase C1 la divergencia de F se define como un campo escalar de la siguiente forma
( )P Q R
divF div Pi Qj Rkx y z
Ejemplos- Determine la divergencia de los siguientes campos vectoriales F1=xi+yj+zk F2=x
2yi-xy
2j-3zyk
Solucioacuten-
1 ( ) ( ) ( ) ( ) 3divF div xi yj zk x y zx y z
2 2 2 2
2 ( 3 ) ( ) ( ) ( 3 ) 2 2 3 3divF div x yi xy j zyk x y xy zy xy xy y yx y z
Definicioacuten- (Laplaciano) Si f es un campo escalar de clase C2 el Laplaciano de f se define como un campo escalar de la siguiente forma
2 2 2
2
2 2 2xx yy zz
f f ff f f f f
x y z
Ejemplos- Determine la divergencia de los siguientes campos escalares g1(x
y z) = xy2z
3 g2(x y z) = x
2 + y
2 + z
2
2 2 2
2 2 3 2 3 2 3 2 3 3 2 2
2 2 2( ) ( ) ( ) 2 3 f f xy z xy z xy z y z yz xy z
x y z
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2( ) ( ) ( ) 6f f x y z x y z x y z
x y z
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Tarea nuacutemero 3 Trayectorias
Objetivo- Que el alumno sea capaz de comprender los conceptos de movimiento de una partiacutecula a lo largo de una trayectoria y de la importancia del uso de vectores en este tema 1- Si la trayectoria σ(t) = t2i+t2j define la trayectoria seguida por una partiacutecula con respecto al tiempo determine 1a- iquestEl tipo de trayectoria que describe 1b- Realice una graacutefica de la distancia recorrida por la partiacutecula con respecto al tiempo en los primeros tres segundos 1c- Determine el tipo de movimiento de la partiacutecula 1d- iquestSe puede afirmar que es un movimiento uniformemente acelerado 1e- Determine la aceleracioacuten y velocidad a los cuatro segundos 1f- Realice una graacutefica de su rapidez con respecto al tiempo 1g- Realice una graacutefica de sus aceleracioacuten con respecto al tiempo 1h- En la graacutefica de la trayectoria agregue graacuteficamente los vectores aceleracioacuten y velocidad 2- Realice lo mismo que en ejercicio anterior pero ahora con la funcioacuten γ(t) = Cos(t) i+5Sen(t)j 3- Dadas las funciones f(t) = 3t2i-4t3j+e2tk y g(t) = 4t3i+4t2j+e-2tk 3a- Determine la funcioacuten producto punto h = fg 3b- Determine la derivada de h 3c- Usando la regla de diferenciacioacuten determine la derivada de h y compruebe el inciso anterior 4a- Determine la funcioacuten producto cruz k = ftimesg 4b- Determine la derivada de h 4c- Usando la regla de diferenciacioacuten determine la derivada de h y compruebe el inciso anterior 5- Determine el Rotacional y la Divergencia del siguiente campo vectorial G(x y z) = 2xy i + 3xz j - 5xy k 6- Determine el gradiente y el Laplaciano del siguiente campo escalar f(xyz) = 4x2-3yz2 7- Dado el campo vectorial F(x y z) = 2xy i + x2 j +3z2 k 7a- Determine si F puede representar el gradiente de un campo escalar f 7b- En caso de ser afirmativa la respuesta del inciso anterior determine el campo escalar f 8- Pruebe que la divergencia del rotacional de un campo vectorial F=Pi+Qj+Rk es igual a cero Es decir la div rot F =0 9- Usando las reglas de diferinciacioacuten pruebe que
gfgfgf
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100 -x
Capitulo 4 Maacuteximos y miacutenimos
Es indispensable determinar en distintos problemas las soluciones oacuteptimas que permitan establecer por ejemplo los valores maacuteximos de produccioacuten o ahorrar el material en la construccioacuten de cierto equipo
Como se recordaraacute el gradiente de una funcioacuten indica la direccioacuten de
maacuteximo crecimiento esto se refleja en que si se toma la direccioacuten sugerida por este vector el valor de la funcioacuten aumenta en una vecindad del mismo asiacute si en un diagrama de un campo gradiente aparecen un punto en donde convergen la direccioacuten de todos los gradientes se encontraraacute que dicho valor debe de ser un valor maacuteximo para la funcioacuten de estudio Un diagrama de esta tipo se ejemplifica a continuacioacuten
Un diagrama en donde todos los vectores apuntan hacia fuera de un
punto indicaraacute que este punto debe de ser un valor miacutenimo de la funcioacuten Citemos el siguiente ejemplo de una variable con la finalidad de
centrarnos en el tema Una persona desea bardear un terreno en forma rectaacutengular cuanto debe de medir cada lado de manera tal que el aacuterea cercada sea maacutexima si se cuenta con 200 metros de malla
La funcioacuten que representa dicho modelo es
A(x) = x(100-x) x
Como se puede observar el aacuterea es cero si x es igual a cero o a cien con lo cuaacutel el lado x debe de estar en en intervalo [0 100] siendo estas las restricciones del problema Derivando la funcioacuten para obtener los valores critiacutecos se tiene que Arsquo(x) = 100 ndash 2x
Al igual la derivada a cero se concluye que el valor critico es x es igual a 50 Al derivar por segunda ocasioacuten se concluye que
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Arsquorsquo(x) = -2 Como la segunda derivada es siempre negativa se concluye que la funcioacuten alcanza un valor maacuteximo en el valor critico en este caso en x = 50 al interpretar dicho resultado se concluye que el terreno que optimiza la solucioacuten es un cuadrado Ejercicio- Que aacuterea se genera si el terreno es de forma circular Al resolver el ejercioacute anterior y comparar las aacutereas del cuadrado y del circulo se puede apreciar que el aacuterea del circulo es mayor pero en la praacutectica es poco atractivo cercar terrenos circulares por diversas razones pero en la naturaleza es comuacuten observar que las gotas de lluvia sean esferas esto permite el optimizar recursos y maacuteximizar el volumen del liacutequido contenido en la misma Se iniciara el estudio formal de maacuteximos y miacutenimos de funciones de varias variables observando las siguientes graficas con la finalidad de tener la idea clara de que es un maacuteximo o miacutenimo o un punto silla
En la primera de ellas se observa que la funcioacuten tiene un valor miacutenimo en la segunda se observa que la funcioacuten tiene un valor maacuteximo y en la uacuteltima la funcioacuten tiene un punto silla este se identifica el dirigirnos en una direccioacuten la funcioacuten crece mientras que en la otra la funcioacuten decrece
Definicioacuten- Una funcioacuten mn RRf tiene un valor maacuteximo local en x0 si en
una vecindad de dicho valor se cumple que la funcioacuten evaluada en todos los vecinos ninguno de ellos supera a f(x0) Es decir f(x0) f(x) para todo x en una vecindad de x0 El punto es llamado un maacuteximo absoluto si la funcioacuten toma el valor maacuteximo en dicho punto para todo valor de su dominio
Esto es muy similar cuando uno observa a los alumnos de un saloacuten de clases existe un alumno que tiene la mayor estatura si ninguno de sus compantildeeros lo supera Asiacute en la escuela el alumno de mayor estatura absoluta es aquel que supera a todo el plantel
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La definicioacuten para el miacutenimo local (absoluto) es similar
f(x0) f(x) para todo en una vecindad de x0 Por ejemplo la funcioacuten f(xy) = x2+y2 tiene un valor miacutenimo en el origen dado que en este valor la funcioacuten vale cero mientras que fuera de ahiacute siempre es positiva dado que todo nuacutemero real elevado al cuadrado es siempre positivo Ademaacutes dicho valor es un miacutenimo absoluto Como se menciono al inicio de esta capitulo el diagrama del campo
gradiente de esta funcioacuten y
xyxf
2
2)( indica que la funcioacuten tiene un valor
miacutenimo siendo la grafica del mismo la siguiente Sin embargo se requiere un criterio maacutes general y sistemaacutetico que permita establecer los posibles valores maacuteximos miacutenimos o puntos silla) Definicioacuten- (Un valor extremo) Si la funcioacuten posee un valor maacuteximo o miacutenimo este es llamado un valor extremo Definicioacuten- (Un valor critico) Un punto en donde la derivada de la funcioacuten se anula es llamado un valor critico Teorema- Todo valor extremo es un valor critico Es decir si f posee un valor extremo en x0 que pertenece a su dominio entonces la derivada de la funcioacuten en el punto x0 se anula Es decir Df(x0) = 0 Demostracioacuten- Sea l(t) una trayectoria que pasa a traveacutes por el punto x0 defina la composicioacuten de funciones h(t) = f(l(t)) donde l(t) = x0 + tv de donde lrsquo(t) = v y ademaacutes
))(()())(()( VtlftDltlDftDh (1)
Por otra parte como f posee un valor extremo en x0 suponga que dicho
valor es un maacuteximo entonces x0 seraacute a la vez un maacuteximo para la funcioacuten h y como h es una funcioacuten real esto significa que la derivada de h en dicho punto
se anula es decir 0)()0())0(()0( 0 vxfDllDfDh ahora como los
vectores )( 0xf y v no son necesariamente perpendiculares y el vector v a la
vez tampoco se anula entonces esto implica que el gradiente de f en x0 es igual a cero y por lo tanto f posee un valor criacutetico en x0
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Este resultado permite establecer posibles valores criacuteticos de una funcioacuten asiacute se menciona el siguiente ejemplo Ejemplo- Determine los posibles valores criacuteticos de las siguientes funciones (1) f(x y) = x2 + y2 y (2) g(x y) = 4x3 -12x + y2
Solucioacuten-
(1) 0
0
2
2)(
y
xyxf de aquiacute se concluye que dicho valor soacutelo
existe un valor criacutetico siendo este el origen el cuaacutel ya se clasifico en estos apuntes y resulto ser un valor miacutenimo
(2) 0
0
2
1212)(
2
y
xyxg de aquiacute se obtienen dos valores criacuteticos
que son (-10) y 1l (10) Los cuales se pueden clasificar el realizar el graacutefico del campo gradiente En donde se aprecia que en el punto (-10) la funcioacuten posee un punto silla mientras que en el punto (10) la funcioacuten posee un valor miacutenimo
Aquiacute se utilizaraacute el criterio del hessiano para determinar si el valor criacutetico es un maacuteximo un miacutenimo o un punto silla Solo se enunciara el teorema sin demostracioacuten para ver la misma puede revisar en el libro de Marsden Tromba de Caacutelculo Vectorial
Definicioacuten- El Hessiano de una funcioacuten 22 RRH de clase C2 se define como una funcioacuten cuadraacutetica que se escribe como
2
1
2
22
2
2
2
21212
1)(
h
h
y
f
yx
f
xy
f
x
f
hhhhH
Evaluada la matriz de las segundas derivas parciales en el valor criacutetico
Teorema- Si el Hessiano de una funcioacuten 2 RRf es definitivamente
positivo entonces la funcioacuten tiene un valor miacutenimo en dicho punto
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Corolario- Si la matriz asociada A=cb
ba de una forma cuadraacutetica dos
por dos es definitivamente positiva si y soacutelo si se cumple que agt0 y det A gt0
Teorema de una valor para un valor extremo miacutenimo- Una funcioacuten
2 RRf de clase C2 posee un valor extremo miacutenimo local en x0 elemento
del dominio de la funcioacuten si y soacutelo si se satisfacen las siguientes condiciones
(i) 0)( 0xx
f y 0)( 0x
y
f
(ii) )( 02
2
xx
f gt 0
(iii) )( 02
2
xx
f)( 02
2
xy
f)(
2
2
oxx
f)( 02
2
xx
f gt 0
Para un valor maacuteximo las condiciones (i) y (iii) se mantienen la uacutenica que cambia en la segunda en donde esta debe ser negativa Para un punto silla se requiere que al menos no se cumplan las condiciones de valor maacuteximo ni miacutenimo y que la uacuteltima condicioacuten (iii) sea distinta de cero En caso contrario el criterio no permite clasificar dicho valor como se mostraraacute en un ejemplo maacutes adelante Ejemplo- Ahora continuando con los ejemplos anteriores
(1) Para f(xy) = x2+y2 el valor critico es el origen y el hessiano asociado es
2
1
212100
02
2
1)(
h
hhhhhH
Como se pude apreciar el primer valor es positivo 2 gt0 y el determinante de
la funcioacuten 20
02det es igual a 4 que a la vez es positivo de manera tal que la
funcioacuten posee un valor miacutenimo en el origen
(2) g(x y) = 4x3 -12x + y2 los puntos criticos son (-10) y (10) y el hessiano asociado a esta forma cuadraacutetica es
2
1
212120
024
2
1)(
h
hxhhhhHg
Ahora al evaluar en los puntos se tiene En el (-10)
2
1
212120
024
2
1)(
h
hhhhhHg
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En donde -24 lt 0 y det Hg = -48 lt0 con lo cuaacutel debe de ser un punto silla
En el (10)
2
1
212120
024
2
1)(
h
hhhhhHg
En donde 24 gt 0 y det Hg = 48 gt0 con lo cuaacutel debe de ser un punto miacutenimo
Tal como se habiacutea estimado en la graacutefica del campo gradiente de la
solucioacuten anterior A continuacioacuten se muestra un bosquejo de dicha graacutefica realizado en el derive
Ejemplos de cuando el criterio permite clasificar los
valores criacuteticos
Ejemplo- A continuacioacuten se mostrara un ejemplo de cuando el criterio no concluye asiacute si la funcioacuten es h(xy) = x4+y4 al calcular las derivas parciales mixtas fx=4x3 y fy=4y3 se encuentra un solo valor critico el origen miestras que la matriz asociada del hessiano es
2
2
120
012
y
x y al evaluar en el origen queda expresada como
00
00
)0(120
0)0(122
2
En donde se puede apreciar que fallan todos los criterios una inspeccioacuten de
la funcioacuten original permite ver que la funcioacuten tiene un valor miacutenimo en dicho punto pero no es una generalizacioacuten es decir no se puede decir que siempre que aparezca la matriz de ceros se tenga un valor miacutenimo dado que si se analiza ahora a las funciones k(xy) = -x4-y4 y p(xy) = x4-y4 ambas tienen como calor extremo al origen y la matriz hessiana asociada a la forma cuadraacutetica evaluada en el origen es la matriz de ceros
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Ejemplo- Otro ejemplo en donde el criterio no concluye es el siguiente en
donde el determinante de la matriz H es cero debido a que la segunda derivada de la funcioacuten f con respecto a la segunda variable se anula (fyy = 0) y no se puede asegurar que se tenga un punto maacuteximo miacutenimo o silla
Las funciones f1(xy) = x2 f2(xy) = -x2 y f3(xy) = x3 presentan este
problema a continuacioacuten se muestran las graficas de dichas funciones
En cada una de ellas los puntos criacuteticos son las parejas en el plano (0 y) Es decir el eje coordenado X
El Hessiano respectivo de cada uno es el siguiente
00
02)(1 yxH
00
02)(2 yxH
00
03)(3
xyxH
Note que el determinante de cada de estas matrices se hace cero y que fyy
se anula en cada caso
Ahora observando las graacuteficas se verifica visualmente que en la primera se tienen valores miacutenimos en la segunda maacuteximos y en la uacuteltima no es ni maacuteximo ni miacutenimo o punto silla
Ejemplo- Citemos otro ejemplo en donde el criterio de maacuteximos y miacutenimos
no concluye Determine los puntos criacuteticos de la funcioacuten h(xy) = x4 Se tiene que hx=4x3=0 y hy=0 de donde se deduce que la funcioacuten tiene
un nuacutemero infinito de puntos criacuteticos estos son las parejas ordenadas en el plano (0y)
La matriz del Hessiano asociado es
00
012)(
2
1
xyxH y evaluando en el punto
00
00)0(1 yH
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40
En donde no se puede clasificar a los valores criacuteticos sin embargo
realizando una inpeccioacuten de la funcioacuten se puede concluir que todos los puntos representan valores miacutenimos de la funcioacuten original a continuacioacuten se muestra la grafica de la misma
El Hessiano para n variables y el criterio de clasificacioacuten
Cuando la funcioacuten tiene maacutes de dos variables se genera una matriz asociada H en cada uno de los valores criacuteticos de la siguiente forma
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
H
21
22221
11211
De aquiacute se definen las siguientes matrices
111 aH 2221
1211
2aa
aaH hellip HH n
Los criterios para los valores criacuteticos de la funcioacuten RRf n son los
siguientes [Miacutenimo Local] La funcioacuten f posee un valor extremo local miacutenimo en x0 si todos los determinantes de las submatrices evaluados en x0 son positivos
0det 1H 0det 2H hellip 0det 2H (+ + hellip +)
En este caso la forma cuadraacutetica se puede probar que es definitivamente positiva [Maacuteximo Local] La funcioacuten f posee un valor extremo local miacutenimo en x0 si todos los determinantes de las submatrices evaluados en x0 se alternan en signo pero el primero de ellos debe ser negativo
0det 1H 0det 2H hellip 0det 2H (- + - + hellip )
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En este caso la forma cuadraacutetica se puede probar que es definitivamente negativa [Punto Silla] La funcioacuten f posee un punto silla si no se cumplen los criterios de valor miacutenimo o maacuteximo y al menos uno de los subdeterminantes es distinto de cero
Existe un i tal que 0det iH
Ejemplos- Determine los valores criacuteticos de las siguiente funcioacuten f(x y z w) = x3 - 3x + y3 ndash 3y + z2 + w2 y claacutesifiquelos Solucioacuten- Al resolver las siguientes ecuaciones
033 2 xxf x 033 2 yyf y 02zf z y 033 2 wwfw
Se obtienen cuatro puntos criacuteticos que son (-1-100) (-1100) (1-100) y (1100) ahora se genera la matriz del hessiano asociado siendo esta
2000
0200
0060
0006
y
x
H
Al evaluar en cada uno de los puntos se tienen las siguientes matrices
2000
0200
0060
0006
)0011(H
2000
0200
0060
0006
)0011(H
2000
0200
0060
0006
)0011(H y
2000
0200
0060
0006
)0011(H
Los sub determinantes para cada uno de los puntos son [(-1 -1 0 0)] -6 36 72 144 que clasifica como un punto silla [(-1100)] -6 -36 -72 -144 que clasifica como un punto silla [(1-100)] 6 -36 -72 -144 que clasifica como un punto silla [(1100)] 6 36 72 144 que clasifica como un valor miacutenimo De manera tal que la funcioacuten tiene tres puntos silla y un valor miacutenimo
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Ejercicios- Determine los puntos criacuteticos de las siguientes funciones y claacutesifiquelos utilizando el criterio del Hessiano
(1) f(x y) = x2 - y2 (Silla de montar)
(2) g(x y) = 22 yx (Cono)
(3) h(x y z) = x4 - 2x2 + 2y3 -3y2 + z3-3 Ejercicio- Se requiere construir una lata con tapa que contenga un litro de agua con el miacutenimo de material determine las condiciones que oacuteptimizan el problema Ejercicio- Determine el producto maacuteximo de tres nuacutemeros si la suma de ellos debe ser 40 Ejercicio- Determine la distancia miacutenima del origen a la graacutefica de la funcioacuten f(xy) = 4-x2+y Ejercicio- Estudie los ejemplos resueltos que trae el libro de Marden Tromba en el capitulo 4 en especial el referente a la ecuacioacuten de miacutenimos cuadrados Ejercicio- Determine la ecuacioacuten lineal que mejor se ajusta a los puntos (12) (2 32) (3 389) (4 488) (5 55) Utilize el criterio de miacutenimos cuadrados en caso de que el modelo sea lineal (justifique la linealidad del mismo realice una graacutefica de los puntos y de la liacutenea que ajusta a los puntos) Ejemplo- (Aplicacioacuten) En este ejemplo dermina la distancia miacutenima del punto (100) a la graacutefica de una funcioacuten f(x y) = x2+y2
Solucioacuten- Todos los puntos que se encuentran sobre la graacutefica de la funcioacuten satisfacen la siguiente terna de valores en donde se observa que la tercer componente es la variable dependiente (x y x2+y2)
La distancia del punto (1 0 0) a los puntos que estaacuten sobre la graacutefica (x y x2+y2) Se define por medio de la funcioacuten
2222222 )()1()()001()( yxyxyxyxdyxfd
Para determinar el valor miacutenimo o maacuteximo de esta funcioacuten basta con
analizar su argumento dado que es un funcioacuten creciente Es decir Si x1lt x2
entonces f(x1) lt f(x2) lo que es vaacutelido para la funcioacuten )( xxf (ver graacutefica)
2x
1x
x1 x2
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De este modo la funcioacuten a maximizar es
2222222
11 )()1()()001()( yxyxyxyxdyxfd
De aquiacute al las derivadas parciales son
)(4)1(2)( 22
1 yxxxyxfd x y )(42)( 22
1 yxyyyxfd y
Igualando ambas ecuaciones a cero se puede establecer la siguiente
ecuacioacuten
)(4
)(4
2
2222
22
yxy
yxx
y
x (3)
De aquiacute si )00()( yx y 0y se concluye que -1=0 lo cual es una
contradiccioacuten Por otra parte si (xy)=(00) en la primera ecuacioacuten se tiene que 1=0 que es tambieacuten una contradiccioacuten Finalmente si se considera el caso en
que y=0 se obtiene de la siguiente ecuacioacuten 012 3 xx
El polinomio 12)( 3 xxxP tiene una raiacutez entre el cero y el 1 dado
que P(0)=-1 y P(1)=2 Con el anaacutelisis de raiacuteces racionales dos posibles raiacuteces
son 2
1 y como
2
1 estaacute entre cero y uno al usando divisioacuten sinteacutetica se
obtiene que 4
1
2
1P Asiacute que la raiacutez debe de estar en el intervalo 1
2
1
Ahora usando el meacutetodo de Newton con semilla en 2
10x se obtiene
que 6010
6
2
54
1
2
1
)(
)(
0
0
01xf
xfxx
Ahora al evaluar la funcioacuten en dicho punto se tiene que 0320)60(P el
cual es aceptable como raiacutez del polinomio en una sola interaccioacuten De manera tal que el punto criacutetico de la funcioacuten es el (060) El Hessiano asociado es
24128
82412)(
22
22
xyxy
xyyxyxH
Como se puede apreciar el primer elemento de la matriz es positivo independientemente de los valores de x e y Falta evaluar el determinante de H este es igual a
)64)2412)(2412()(det 222222 yxxyyxyxH
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44
Ahora evaluando en (06 0) se tiene 7421)443)(326()060(det H
Que tambieacuten es positivo de manera tal que se tiene un valor miacutenimo Es
decir la se obtuvo la distancia miacutenima
Maacuteximos y Miacutenimos con restricciones
Los muacuteltiplicadores de Lagrange permite determinar valores maacuteximos o miacutenimos de funciones con restricciones De este tipo de problemas esta lleno nuestro contorno desde el panedero que desea producir la maacutexima cantidad de pan pero con la restriccioacuten del capital que tiene o la posible venta del diacutea para que no tenga sobrantes
Citemos el siguiente ejemplo la graacutefica de paraboloide z = x2+y2 esta
graacutefica soacutelo tiene un valor miacutenimo en el origen sin embargo si esta restringida
al cuadrado unitario 1111 la funcioacuten alcanza cuatro puntos maacuteximos en
los puntos (-11)(-1-1) (1 -1) y (11) a saber dicho valor es 2 Como se observa en la figura
Ahora si se trabaja con la silla de montar con la misma restriccioacuten esta
funcioacuten tiene originalmente un punto silla en el origen pero al analizar las restricciones se contiene dos valores maacuteximos y dos miacutenimos en los puntos (10) (-10) (0-1) y (01)
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Muacuteltiplicadores de Lagrange Teorema- Dadas dos funciones fg Rn a R diferenciables en X0 elemento del dominio de ambas funciones Si Lc es el conjunto de nivel de valor c de la funcioacuten g y si f posee un valor maacuteximo miacutenimo o silla en la restriccioacuten Lc
entonces existe un nuacutemero real λ tal que )()( 00 XgXf
Se puede ver parte de la demostracioacuten de este teorema en el libro de Marsden Tromba Para clasificar los puntos criacuteticos se utiliza el criterio del Hessiano limitado el cuaacutel se define a partir de la funcioacuten auxiliar H(x1 x2 hellip xn) = f(x1 x2 hellip xn) - λ g(x1 x2 hellip xn)
nnnn
n
n
xxxxx
xxxxx
xx
hhg
hhg
gg
H
1
1111
10
||
Ahora defina los siguientes determinantes
22122
21111
210
|| 1
xxxxx
xxxxx
xx
hhg
hhg
gg
H
3323131
3222121
3121111
3210
|| 2
xxxxxxx
xxxxxxx
xxxxxxx
xxx
hhhg
hhhg
hhhg
ggg
H ||det|| HHn
Criterios para maacuteximos y miacutenimos con restricciones (Hessiano liacutemitado) [Miacutenimo Local] Se tiene un miacutenimo local si y soacutelo si todos los determinantes son negativos |H1| lt0 |H2| lt0 hellip |Hn|lt0 ( - - - - - hellip)
[Maacuteximo Local] Se tiene un maximo local si y soacutelo se inicia con un determinante positivo y luego se alternan los signos |H1| gt 0 |H2| lt 0 hellip |Hn|lt0 (+ - + - hellip)
[Punto del tipo Silla] Se tiene un punto tipo silla sino se satisface los criterios de maacuteximos o miacutenimos y al menos uno de los determinantes es distinto de cero Ejemplo- Determine si la funcioacuten f(xy)= x2 ndash y2 tiene valores criacuteticos en la restriccioacuten x2+y2=1
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)(2
2
2
2)( 00 Xg
g
g
y
x
y
x
f
fXf
y
x
y
x
de aquiacute se obtienen las ecuaciones 2x = 2 λx -2y = 2 λy x2 + y2 =1 Las soluciones de este sistema de ecuaciones son (-101) (101) (0-1-1) y (0-11) El Hessiano liacutemitado es
2202
0222
220
||
y
x
yx
H
El determinante es igual a det|H| = 8x2(1+λ) ndash 8y2(1-λ) ahora evaluando
cada uno de los puntos se tiene que det|H|(-101) = 16 gt 0 det|H|(101) = 16 gt 0 det|H|(0-1-1) = -16 lt 0 det|H|(0-11) = -16 lt 0
De manera tal que la funcioacuten posee dos valores maacuteximos en los puntos (-10) y (10) y por otra parte tiene dos valores miacutenimos en los puntos (0-1) y (0-1) Ejemplo- Determine si la funcioacuten f(xy)= x2+y2 tiene valores criacuteticos en la restriccioacuten x2-y2 le 4 Al iniciar este estudio se trabaja con el interior es decir x2-y2 lt 4 dando como resultado el anaacutelisis de maacuteximos y miacutenimos de una funcioacuten en general de donde el gradiente de f se anula uacutenicamente en el origen siendo este valor un miacutenimo como se habiacutea visto en un ejercicio anterior para la funcioacuten del paraboloide Ahora al trabajar sobre la frontera se usa el criterio de muacuteltiplicadores de Lagrange
)(2
2
2
2)( 00 Xg
g
g
y
x
y
x
f
fXf
y
x
y
x
de aquiacute se obtienen las ecuaciones 2x = 2 λx 2y = -2 λy x2 - y2 = 4
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Las soluciones de este sistema de ecuaciones son (-201) y (201) El Hessiano liacutemitado es
2202
0222
220
||
y
x
yx
H
El determinante es igual a det|H| = -8x2(1+λ) + 8y2(1-λ) ahora
evaluando en cada uno de los puntos se tiene que det|H|(201) = -64 gt 0 y det|H|(-201) = -64 lt 0
De manera tal que la funcioacuten posee dos valores miacutenimos en los puntos (-20) y (20)
Una anaacutelisis de la graacutefica de esta funcioacuten permite visualizar que dichos
puntos no son miacutenimos maacutes bien son puntos tipos silla y no es que el criterio falle sino maacutes bien que los valores son miacutenimos pero sobre el complemento es decir bajo la restriccioacuten x2-y2 ge 4 Ejemplo- Determine los valores criacuteticos de la funcioacuten f(xyz) = 2x+y+3z sujeta a la restriccioacuten x2+y2+z2 le 36 Solucioacuten- Un anaacutelisis de las condiciones iniciales muestra que la graacutefica a maximizar en un hiperplano restringido en su dominio a una esfera de radio 6 de acuerdo a estas condiciones la funcioacuten en su interior no debe tener valor criacuteticos y en la frontera debe tener un valor miacutenimo y un valor maacuteximo En el interior- Al derivar la funcioacuten original se tiene lo siguiente
3
1
2
)( 0
z
y
x
f
f
f
Xf
De aquiacute se observa que la funcioacuten no posee valores criacuteticos en todo su dominio tal y como se esperaba Frontera- Al utilizar las condiciones del los Muacuteltiplicadores de Lagrange se tiene lo siguiente
)(
2
2
2
3
1
2
)( 00 Xg
z
y
x
f
f
f
Xf
z
y
x
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De aquiacute se genera el siguiente sistema de ecuaciones 2 = 2λx 1 = 2λy 3 = 2λz x2+y2+z2=36
Resolviendo el sistema se concluye que 2
1
1yx amp
2
3z Ahora
sustituyendo en la uacuteltima ecuacioacuten se deduce que la funcioacuten posee dos valores criacuteticos que son
18
14
14
1427
14
149
14
1418amp
18
14
14
1427
14
149
14
1418
La funcioacuten auxiliar es H(xyzλ) = 2x+y+3z-λ(x2+y2+z2) donde Hx=2-2λx Hy=1-2λy Hz=3-2λz El Hessiano Liacutemitado es
2002
0202
0022
2220
||
z
y
x
zyx
H
De aquiacute
0
0)(8
202
022
220
|| 22
1si
siyx
y
x
yx
H
0576)(16
2002
0202
0022
2220
|| 22222 zyx
z
y
x
zyx
H
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De aquiacute se desprende que la funcioacuten f(xyz) = 2x+y+3z posee un valor miacutenimo
en el punto 18
14
14
1427
14
149
14
1418 restringido a x2+y2+z2 = 36 y un
maacuteximo en el punto 18
14
14
1427
14
149
14
1418
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Tarea nuacutemero 4 Maacuteximos y Miacutenimos
Objetivo- Que el alumno sea capaz de aprender a resolver problemas asociados a la vida real haciendo uso del caacutelculo de varias variables Aquiacute se enuncian los siguientes ejercicios adicionales dado que muchos de los mismos se fueron exponiendo a lo largo del capiacutetulo y se sugiere que se revisen los problemas resueltos y propuestos en la libros de la bibliografiacutea dado que las aplicaciones son muchas 1- Determine los valores maacuteximos y miacutenimos de la funcioacuten f(xy) = x +y sujeta a la restriccioacuten x2+2y2le18 (Realice un bosquejo de la graacutefica y se restriccioacuten)
2- Determine los valores maacuteximos y miacutenimos de la funcioacuten f(xy) = x2 +y2 sujeta a la restriccioacuten x+2y le 4 (Realice un bosquejo de la graacutefica y se restriccioacuten)
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Bibliografiacutea
1 Caacutelculo Vectorial Marsden amp Tromba Addison-Wesley Iberoamericana
2 Caacutelculo Multivariable James Steward Thomson Editores
3 Caacutelculo con Geometriacutea Anaacutelitica Zill Grupo Editorial Iberoameacuterica
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Capiacutetulo 3
Trayectorias
En este capiacutetulo se realiza el estudio de las propiedades de las funciones vectoriales es decir se hace incapie en el concepto de funcioacuten y la de un vector
Este concepto permite describir entre otras cosas el camino seguido por una partiacutecula en el espacio con el ingrediente adicional de tener a la mano los conceptos de velocidad y aceleracioacuten derivados a partir de una sola ecuacioacuten aquella que guarda la relacioacuten de posicioacuten de la partiacutecula con respecto al tiempo
Por ejemplo al mover una onda esta describe un movimiento circular si
la onda se suelta un objeto puesto en ella sale disparado en forma tangencial Este movimiento se puede representar con vectores y debe de expresar que la velocidad sea tangente a la trayectoria que sigue dado que la piedra abandona la onda en liacutenea recta
Si esto se extrapola al vuelo de una mosca se puede inferir que la velocidad de la misma sea tangencial a la trayectoria que va recorriendo en cada punto esto se muestra en la siguiente graacutefica
Observe que el hecho de contar con la orientacioacuten del vector velocidad permite no soacutelo inferir la velocidad de escape de la partiacutecula sobre la curva sino a la vez conocer la orientacioacuten del movimiento de la misma
Definicioacuten- (Trayectoria) Una trayectoria es una funcioacuten que parte de los nuacutemeros reales al espacio n Euclidiano Es decir es una funcioacuten de la forma
))()()(()( 21 txtxtxt n
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Caso particular de una trayectoria de los reales a plano En el caso de una trayectoria de los reales al plano se puede ilustrar con el siguiente diagrama
σ(a) σ(b) a b
2][ Rba ))()(()( tytxt
Una forma de ilustrar esto es pensar que la variable t es el tiempo y la imagen corresponde a la trayectoria de un objeto en el plano asiacute que el tiempo t=a la partiacutecula se encuentra en el punto σ(a) que es el inicio del recorrido de la misma mientras que tiempo final t=b se localiza al final de la trayectoria de estudio
Se puede observar una flecha indicativa del sentido de la partiacutecula a lo largo de la trayectoria
Ecuacioacuten Parametrica y Cartesiana de una curva
Ejemplo- Dada la trayectoria )()( 2ttt con 22t realice una
graacutefica de dicha trayectoria
t ))()(()( tytxt
-2 )42()(t
-1 )11()(t
0 )00()(t
1 )11()(t
2 )42()(t
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Como se puede apreciar la imagen de la trayectoria que recibe el
nombre de curva es una paraacutebola esto se puede ver si se realiza lo siguiente
Como x = t y = t2 entonces se puede deducir que y=x2 la ecuacioacuten correspondiente a la graacutefica de una paraacutebola esta ecuacioacuten corresponde a sus coordenadas cartesianas por otra parte si se rescribe en forma de trayectoria se dice que la ecuacioacuten es su ecuacioacuten cartesiana dado que depende de un solo paraacutemetro
Parametrizacioacuten de una funcioacuten real Si y es una variable dependiente de la variable x es decir existe
una regla de asignacioacuten f tal que y = f(x) con bxa En donde a
cada elemento x le asigna uno y soacutelo un valor y La graacutefica de esta funcioacuten se debe de ver como un trazo en el plano de la siguiente forma
La graacutefica no puede ser de la siguiente forma
y2
y3
y1 y4
X1 X2
Note que al valor de x2 le asigna tres valores de y lo cual no
cumple con las condiciones para que f sea una funcioacuten Ahora la graacutefica de una funcioacuten de esta tipo no es otra cosa que
la imagen de una trayectoria la cual se puede parametrizar de la siguiente forma
Como y = f(x) entonces defina x = t y por consiguiente y=f(t) en
donde bta
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-4 -2 2 4
-30
-20
-10
10
20
30
-2 -1 1 2
-2
-1
1
2
Asiacute en el caso de la paraacutebola la parametrizacioacuten adecuada es x
=t y = t2 tal como estaba planteada originalmente Ahora si la funcioacuten es y = 2x3-10x con 44 x entonces la
parametrizacioacuten adecuada es
)102()( 3 tttt 44 t
La graacutefica de esta curva asociada a la trayectoria es
Parametrizacioacuten de una circunferencia Elipse e Hipeacuterbola
La ecuacioacuten cartesiana de una circunferencia con centro en el origen y
radio dos estaacute dada por 422 yx Al intentar escribir esta ecuacioacuten en
funcioacuten de un solo paraacutemetro se requiere despejar a la variable y obteniendo
dos funciones que son 24 xy Con 22 x
La graacutefica de esta curva permite visualizar que no pertenece a una
funcioacuten sino maacutes bien a dos que son las enunciadas anteriormente y como se ve a continuacioacuten
24 xy
24 xy
Una forma de representar esta curva es por medio de dos trayectorias
)4()( 2
1 ttt y )4()( 2
2 ttt 22t
Una forma alternativa de representar esta curva es por medio del uso de coordenadas polares en donde x=rCos(t) y= rSen(t) como el radio es fijo y es igual a dos estas ecuaciones se pueden escribir en funcioacuten de un solo paraacutemetro ldquotrdquo x=2Cos(t) y=2Sen(t) note que al evaluar x2+y2=4Cos2(t)+4Sen2(t) = 4(Cos2(t)+Sen2(t))=4 con lo cual satisface la
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ecuacioacuten de la circunferencia quedando expresada la trayectoria de la siguiente forma
σ(y) = (2Cos(t) 2Sen(t) con 0letle2π En esta ecuacioacuten define por completo a la curva auacuten y cuando la
ecuacioacuten original no es una funcioacuten siendo esto una ventaja del estudio de la trayectorias
Ejemplo- La parametrizacioacuten de la elipse 12
2
2
2
b
y
a
x queda
expresada por x = aCos(t) y=bSen(t) se deja como ejercicio comprobar este resultado
Ejemplo- La parametrizacioacuten de la hiperbola 12
2
2
2
b
y
a
x queda
expresada por x = aCosh(t) y=bSenh(t) en donde se trabaja con las funciones de Seno y Coseno hiperboacutelicas se deja como ejercicio comprobar este resultado (aunque soacutelo permite representar el lado correspondiente a los cuadrantes I y IV en donde la x es no negativa
Derivada de una trayectoria La derivada de una trayectoria es un vector tangente a la curva esto se
deriva del siguiente anaacutelisis
Dada la trayectoria σ(t) se grafican la posicioacuten de la curva al tiempo t y t+h luego trace el vector asociado a la liacutenea secante que une los puntos de aquiacute al tomar valores cada vez maacutes pequentildeos de h el vector secante se convierte en un vector tangente a la curva como se muestra a continuacioacuten
Por otra parte el anaacutelisis vectorial de este cociente es
)()()(
0
tt
tht
h
Liacutem
Es decir la derivada de la trayectoria y el vector resultante es
tangente a la curva
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Asiacute para el caso de una curva en el plano la trayectoria se puede describir por medio de dos funciones x(t) y(t) de la siguiente forma
)(
)()(
ty
txt
En donde la derivada de esta funcioacuten es
)(
)()(
ty
txt
Vector tangente a la graacutefica de una circunferencia de radio R Ahora si se tiene la parametrizacioacuten de una circunferencia esta esta
dada por σ(t) = ( RCos(t) R Sen(t))
Y X
Un vector tangente tiene que cumplir que su producto punto tiene que
ser cero de aquiacute si V=(AB) al multiplicarlo por el vector σ su producto punto tiene que ser cero
De aquiacute que σ(t)V = ARCos(t) + BRSen(t) = 0 Existiendo muchas soluciones a este sistema de ecuaciones siendo una
de ellas cuando A = Cos(t) B=-Sen(t)
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Vector trasladado
Siendo este un vector tangente a la curva ahora al derivar las
componentes xrsquo(t) = -RSen(t) y(t) = RCos(t) que es un muacuteltiplo escalara del vector tangente mostrado anteriormente
Definicioacuten- (Rotacional) El rotacional de un campo vectorial
F=Pi+Qj+Rk de clase C1 de define como el vector
i j k
RotFx y z
P Q R
Ejemplos- Determine el rotacional de los siguientes campos vectoriales
F1=xi+yj+zk F2=x2yi-xy
2j-3zyk
Solucioacuten-
1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0
i j k
RotF z y i z x j y x kx y z y z x z x y
x y z
2 2 2 2
2
2 2
( 3 ) ( ) ( 3 ) ( ) ( ) ( )
3
i j k
RotF zy xy i zy x y j xy x y kx y z y z x z x y
x y xy zy
2 2
2
2 2
3 0
3
i j k
RotF z i j y x kx y z
x y xy zy
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Definicioacuten- (Divergencia) Si F es un campo vectorial de clase C1 la divergencia de F se define como un campo escalar de la siguiente forma
( )P Q R
divF div Pi Qj Rkx y z
Ejemplos- Determine la divergencia de los siguientes campos vectoriales F1=xi+yj+zk F2=x
2yi-xy
2j-3zyk
Solucioacuten-
1 ( ) ( ) ( ) ( ) 3divF div xi yj zk x y zx y z
2 2 2 2
2 ( 3 ) ( ) ( ) ( 3 ) 2 2 3 3divF div x yi xy j zyk x y xy zy xy xy y yx y z
Definicioacuten- (Laplaciano) Si f es un campo escalar de clase C2 el Laplaciano de f se define como un campo escalar de la siguiente forma
2 2 2
2
2 2 2xx yy zz
f f ff f f f f
x y z
Ejemplos- Determine la divergencia de los siguientes campos escalares g1(x
y z) = xy2z
3 g2(x y z) = x
2 + y
2 + z
2
2 2 2
2 2 3 2 3 2 3 2 3 3 2 2
2 2 2( ) ( ) ( ) 2 3 f f xy z xy z xy z y z yz xy z
x y z
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2( ) ( ) ( ) 6f f x y z x y z x y z
x y z
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Tarea nuacutemero 3 Trayectorias
Objetivo- Que el alumno sea capaz de comprender los conceptos de movimiento de una partiacutecula a lo largo de una trayectoria y de la importancia del uso de vectores en este tema 1- Si la trayectoria σ(t) = t2i+t2j define la trayectoria seguida por una partiacutecula con respecto al tiempo determine 1a- iquestEl tipo de trayectoria que describe 1b- Realice una graacutefica de la distancia recorrida por la partiacutecula con respecto al tiempo en los primeros tres segundos 1c- Determine el tipo de movimiento de la partiacutecula 1d- iquestSe puede afirmar que es un movimiento uniformemente acelerado 1e- Determine la aceleracioacuten y velocidad a los cuatro segundos 1f- Realice una graacutefica de su rapidez con respecto al tiempo 1g- Realice una graacutefica de sus aceleracioacuten con respecto al tiempo 1h- En la graacutefica de la trayectoria agregue graacuteficamente los vectores aceleracioacuten y velocidad 2- Realice lo mismo que en ejercicio anterior pero ahora con la funcioacuten γ(t) = Cos(t) i+5Sen(t)j 3- Dadas las funciones f(t) = 3t2i-4t3j+e2tk y g(t) = 4t3i+4t2j+e-2tk 3a- Determine la funcioacuten producto punto h = fg 3b- Determine la derivada de h 3c- Usando la regla de diferenciacioacuten determine la derivada de h y compruebe el inciso anterior 4a- Determine la funcioacuten producto cruz k = ftimesg 4b- Determine la derivada de h 4c- Usando la regla de diferenciacioacuten determine la derivada de h y compruebe el inciso anterior 5- Determine el Rotacional y la Divergencia del siguiente campo vectorial G(x y z) = 2xy i + 3xz j - 5xy k 6- Determine el gradiente y el Laplaciano del siguiente campo escalar f(xyz) = 4x2-3yz2 7- Dado el campo vectorial F(x y z) = 2xy i + x2 j +3z2 k 7a- Determine si F puede representar el gradiente de un campo escalar f 7b- En caso de ser afirmativa la respuesta del inciso anterior determine el campo escalar f 8- Pruebe que la divergencia del rotacional de un campo vectorial F=Pi+Qj+Rk es igual a cero Es decir la div rot F =0 9- Usando las reglas de diferinciacioacuten pruebe que
gfgfgf
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100 -x
Capitulo 4 Maacuteximos y miacutenimos
Es indispensable determinar en distintos problemas las soluciones oacuteptimas que permitan establecer por ejemplo los valores maacuteximos de produccioacuten o ahorrar el material en la construccioacuten de cierto equipo
Como se recordaraacute el gradiente de una funcioacuten indica la direccioacuten de
maacuteximo crecimiento esto se refleja en que si se toma la direccioacuten sugerida por este vector el valor de la funcioacuten aumenta en una vecindad del mismo asiacute si en un diagrama de un campo gradiente aparecen un punto en donde convergen la direccioacuten de todos los gradientes se encontraraacute que dicho valor debe de ser un valor maacuteximo para la funcioacuten de estudio Un diagrama de esta tipo se ejemplifica a continuacioacuten
Un diagrama en donde todos los vectores apuntan hacia fuera de un
punto indicaraacute que este punto debe de ser un valor miacutenimo de la funcioacuten Citemos el siguiente ejemplo de una variable con la finalidad de
centrarnos en el tema Una persona desea bardear un terreno en forma rectaacutengular cuanto debe de medir cada lado de manera tal que el aacuterea cercada sea maacutexima si se cuenta con 200 metros de malla
La funcioacuten que representa dicho modelo es
A(x) = x(100-x) x
Como se puede observar el aacuterea es cero si x es igual a cero o a cien con lo cuaacutel el lado x debe de estar en en intervalo [0 100] siendo estas las restricciones del problema Derivando la funcioacuten para obtener los valores critiacutecos se tiene que Arsquo(x) = 100 ndash 2x
Al igual la derivada a cero se concluye que el valor critico es x es igual a 50 Al derivar por segunda ocasioacuten se concluye que
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34
Arsquorsquo(x) = -2 Como la segunda derivada es siempre negativa se concluye que la funcioacuten alcanza un valor maacuteximo en el valor critico en este caso en x = 50 al interpretar dicho resultado se concluye que el terreno que optimiza la solucioacuten es un cuadrado Ejercicio- Que aacuterea se genera si el terreno es de forma circular Al resolver el ejercioacute anterior y comparar las aacutereas del cuadrado y del circulo se puede apreciar que el aacuterea del circulo es mayor pero en la praacutectica es poco atractivo cercar terrenos circulares por diversas razones pero en la naturaleza es comuacuten observar que las gotas de lluvia sean esferas esto permite el optimizar recursos y maacuteximizar el volumen del liacutequido contenido en la misma Se iniciara el estudio formal de maacuteximos y miacutenimos de funciones de varias variables observando las siguientes graficas con la finalidad de tener la idea clara de que es un maacuteximo o miacutenimo o un punto silla
En la primera de ellas se observa que la funcioacuten tiene un valor miacutenimo en la segunda se observa que la funcioacuten tiene un valor maacuteximo y en la uacuteltima la funcioacuten tiene un punto silla este se identifica el dirigirnos en una direccioacuten la funcioacuten crece mientras que en la otra la funcioacuten decrece
Definicioacuten- Una funcioacuten mn RRf tiene un valor maacuteximo local en x0 si en
una vecindad de dicho valor se cumple que la funcioacuten evaluada en todos los vecinos ninguno de ellos supera a f(x0) Es decir f(x0) f(x) para todo x en una vecindad de x0 El punto es llamado un maacuteximo absoluto si la funcioacuten toma el valor maacuteximo en dicho punto para todo valor de su dominio
Esto es muy similar cuando uno observa a los alumnos de un saloacuten de clases existe un alumno que tiene la mayor estatura si ninguno de sus compantildeeros lo supera Asiacute en la escuela el alumno de mayor estatura absoluta es aquel que supera a todo el plantel
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La definicioacuten para el miacutenimo local (absoluto) es similar
f(x0) f(x) para todo en una vecindad de x0 Por ejemplo la funcioacuten f(xy) = x2+y2 tiene un valor miacutenimo en el origen dado que en este valor la funcioacuten vale cero mientras que fuera de ahiacute siempre es positiva dado que todo nuacutemero real elevado al cuadrado es siempre positivo Ademaacutes dicho valor es un miacutenimo absoluto Como se menciono al inicio de esta capitulo el diagrama del campo
gradiente de esta funcioacuten y
xyxf
2
2)( indica que la funcioacuten tiene un valor
miacutenimo siendo la grafica del mismo la siguiente Sin embargo se requiere un criterio maacutes general y sistemaacutetico que permita establecer los posibles valores maacuteximos miacutenimos o puntos silla) Definicioacuten- (Un valor extremo) Si la funcioacuten posee un valor maacuteximo o miacutenimo este es llamado un valor extremo Definicioacuten- (Un valor critico) Un punto en donde la derivada de la funcioacuten se anula es llamado un valor critico Teorema- Todo valor extremo es un valor critico Es decir si f posee un valor extremo en x0 que pertenece a su dominio entonces la derivada de la funcioacuten en el punto x0 se anula Es decir Df(x0) = 0 Demostracioacuten- Sea l(t) una trayectoria que pasa a traveacutes por el punto x0 defina la composicioacuten de funciones h(t) = f(l(t)) donde l(t) = x0 + tv de donde lrsquo(t) = v y ademaacutes
))(()())(()( VtlftDltlDftDh (1)
Por otra parte como f posee un valor extremo en x0 suponga que dicho
valor es un maacuteximo entonces x0 seraacute a la vez un maacuteximo para la funcioacuten h y como h es una funcioacuten real esto significa que la derivada de h en dicho punto
se anula es decir 0)()0())0(()0( 0 vxfDllDfDh ahora como los
vectores )( 0xf y v no son necesariamente perpendiculares y el vector v a la
vez tampoco se anula entonces esto implica que el gradiente de f en x0 es igual a cero y por lo tanto f posee un valor criacutetico en x0
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Este resultado permite establecer posibles valores criacuteticos de una funcioacuten asiacute se menciona el siguiente ejemplo Ejemplo- Determine los posibles valores criacuteticos de las siguientes funciones (1) f(x y) = x2 + y2 y (2) g(x y) = 4x3 -12x + y2
Solucioacuten-
(1) 0
0
2
2)(
y
xyxf de aquiacute se concluye que dicho valor soacutelo
existe un valor criacutetico siendo este el origen el cuaacutel ya se clasifico en estos apuntes y resulto ser un valor miacutenimo
(2) 0
0
2
1212)(
2
y
xyxg de aquiacute se obtienen dos valores criacuteticos
que son (-10) y 1l (10) Los cuales se pueden clasificar el realizar el graacutefico del campo gradiente En donde se aprecia que en el punto (-10) la funcioacuten posee un punto silla mientras que en el punto (10) la funcioacuten posee un valor miacutenimo
Aquiacute se utilizaraacute el criterio del hessiano para determinar si el valor criacutetico es un maacuteximo un miacutenimo o un punto silla Solo se enunciara el teorema sin demostracioacuten para ver la misma puede revisar en el libro de Marsden Tromba de Caacutelculo Vectorial
Definicioacuten- El Hessiano de una funcioacuten 22 RRH de clase C2 se define como una funcioacuten cuadraacutetica que se escribe como
2
1
2
22
2
2
2
21212
1)(
h
h
y
f
yx
f
xy
f
x
f
hhhhH
Evaluada la matriz de las segundas derivas parciales en el valor criacutetico
Teorema- Si el Hessiano de una funcioacuten 2 RRf es definitivamente
positivo entonces la funcioacuten tiene un valor miacutenimo en dicho punto
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37
Corolario- Si la matriz asociada A=cb
ba de una forma cuadraacutetica dos
por dos es definitivamente positiva si y soacutelo si se cumple que agt0 y det A gt0
Teorema de una valor para un valor extremo miacutenimo- Una funcioacuten
2 RRf de clase C2 posee un valor extremo miacutenimo local en x0 elemento
del dominio de la funcioacuten si y soacutelo si se satisfacen las siguientes condiciones
(i) 0)( 0xx
f y 0)( 0x
y
f
(ii) )( 02
2
xx
f gt 0
(iii) )( 02
2
xx
f)( 02
2
xy
f)(
2
2
oxx
f)( 02
2
xx
f gt 0
Para un valor maacuteximo las condiciones (i) y (iii) se mantienen la uacutenica que cambia en la segunda en donde esta debe ser negativa Para un punto silla se requiere que al menos no se cumplan las condiciones de valor maacuteximo ni miacutenimo y que la uacuteltima condicioacuten (iii) sea distinta de cero En caso contrario el criterio no permite clasificar dicho valor como se mostraraacute en un ejemplo maacutes adelante Ejemplo- Ahora continuando con los ejemplos anteriores
(1) Para f(xy) = x2+y2 el valor critico es el origen y el hessiano asociado es
2
1
212100
02
2
1)(
h
hhhhhH
Como se pude apreciar el primer valor es positivo 2 gt0 y el determinante de
la funcioacuten 20
02det es igual a 4 que a la vez es positivo de manera tal que la
funcioacuten posee un valor miacutenimo en el origen
(2) g(x y) = 4x3 -12x + y2 los puntos criticos son (-10) y (10) y el hessiano asociado a esta forma cuadraacutetica es
2
1
212120
024
2
1)(
h
hxhhhhHg
Ahora al evaluar en los puntos se tiene En el (-10)
2
1
212120
024
2
1)(
h
hhhhhHg
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38
En donde -24 lt 0 y det Hg = -48 lt0 con lo cuaacutel debe de ser un punto silla
En el (10)
2
1
212120
024
2
1)(
h
hhhhhHg
En donde 24 gt 0 y det Hg = 48 gt0 con lo cuaacutel debe de ser un punto miacutenimo
Tal como se habiacutea estimado en la graacutefica del campo gradiente de la
solucioacuten anterior A continuacioacuten se muestra un bosquejo de dicha graacutefica realizado en el derive
Ejemplos de cuando el criterio permite clasificar los
valores criacuteticos
Ejemplo- A continuacioacuten se mostrara un ejemplo de cuando el criterio no concluye asiacute si la funcioacuten es h(xy) = x4+y4 al calcular las derivas parciales mixtas fx=4x3 y fy=4y3 se encuentra un solo valor critico el origen miestras que la matriz asociada del hessiano es
2
2
120
012
y
x y al evaluar en el origen queda expresada como
00
00
)0(120
0)0(122
2
En donde se puede apreciar que fallan todos los criterios una inspeccioacuten de
la funcioacuten original permite ver que la funcioacuten tiene un valor miacutenimo en dicho punto pero no es una generalizacioacuten es decir no se puede decir que siempre que aparezca la matriz de ceros se tenga un valor miacutenimo dado que si se analiza ahora a las funciones k(xy) = -x4-y4 y p(xy) = x4-y4 ambas tienen como calor extremo al origen y la matriz hessiana asociada a la forma cuadraacutetica evaluada en el origen es la matriz de ceros
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Ejemplo- Otro ejemplo en donde el criterio no concluye es el siguiente en
donde el determinante de la matriz H es cero debido a que la segunda derivada de la funcioacuten f con respecto a la segunda variable se anula (fyy = 0) y no se puede asegurar que se tenga un punto maacuteximo miacutenimo o silla
Las funciones f1(xy) = x2 f2(xy) = -x2 y f3(xy) = x3 presentan este
problema a continuacioacuten se muestran las graficas de dichas funciones
En cada una de ellas los puntos criacuteticos son las parejas en el plano (0 y) Es decir el eje coordenado X
El Hessiano respectivo de cada uno es el siguiente
00
02)(1 yxH
00
02)(2 yxH
00
03)(3
xyxH
Note que el determinante de cada de estas matrices se hace cero y que fyy
se anula en cada caso
Ahora observando las graacuteficas se verifica visualmente que en la primera se tienen valores miacutenimos en la segunda maacuteximos y en la uacuteltima no es ni maacuteximo ni miacutenimo o punto silla
Ejemplo- Citemos otro ejemplo en donde el criterio de maacuteximos y miacutenimos
no concluye Determine los puntos criacuteticos de la funcioacuten h(xy) = x4 Se tiene que hx=4x3=0 y hy=0 de donde se deduce que la funcioacuten tiene
un nuacutemero infinito de puntos criacuteticos estos son las parejas ordenadas en el plano (0y)
La matriz del Hessiano asociado es
00
012)(
2
1
xyxH y evaluando en el punto
00
00)0(1 yH
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40
En donde no se puede clasificar a los valores criacuteticos sin embargo
realizando una inpeccioacuten de la funcioacuten se puede concluir que todos los puntos representan valores miacutenimos de la funcioacuten original a continuacioacuten se muestra la grafica de la misma
El Hessiano para n variables y el criterio de clasificacioacuten
Cuando la funcioacuten tiene maacutes de dos variables se genera una matriz asociada H en cada uno de los valores criacuteticos de la siguiente forma
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
H
21
22221
11211
De aquiacute se definen las siguientes matrices
111 aH 2221
1211
2aa
aaH hellip HH n
Los criterios para los valores criacuteticos de la funcioacuten RRf n son los
siguientes [Miacutenimo Local] La funcioacuten f posee un valor extremo local miacutenimo en x0 si todos los determinantes de las submatrices evaluados en x0 son positivos
0det 1H 0det 2H hellip 0det 2H (+ + hellip +)
En este caso la forma cuadraacutetica se puede probar que es definitivamente positiva [Maacuteximo Local] La funcioacuten f posee un valor extremo local miacutenimo en x0 si todos los determinantes de las submatrices evaluados en x0 se alternan en signo pero el primero de ellos debe ser negativo
0det 1H 0det 2H hellip 0det 2H (- + - + hellip )
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En este caso la forma cuadraacutetica se puede probar que es definitivamente negativa [Punto Silla] La funcioacuten f posee un punto silla si no se cumplen los criterios de valor miacutenimo o maacuteximo y al menos uno de los subdeterminantes es distinto de cero
Existe un i tal que 0det iH
Ejemplos- Determine los valores criacuteticos de las siguiente funcioacuten f(x y z w) = x3 - 3x + y3 ndash 3y + z2 + w2 y claacutesifiquelos Solucioacuten- Al resolver las siguientes ecuaciones
033 2 xxf x 033 2 yyf y 02zf z y 033 2 wwfw
Se obtienen cuatro puntos criacuteticos que son (-1-100) (-1100) (1-100) y (1100) ahora se genera la matriz del hessiano asociado siendo esta
2000
0200
0060
0006
y
x
H
Al evaluar en cada uno de los puntos se tienen las siguientes matrices
2000
0200
0060
0006
)0011(H
2000
0200
0060
0006
)0011(H
2000
0200
0060
0006
)0011(H y
2000
0200
0060
0006
)0011(H
Los sub determinantes para cada uno de los puntos son [(-1 -1 0 0)] -6 36 72 144 que clasifica como un punto silla [(-1100)] -6 -36 -72 -144 que clasifica como un punto silla [(1-100)] 6 -36 -72 -144 que clasifica como un punto silla [(1100)] 6 36 72 144 que clasifica como un valor miacutenimo De manera tal que la funcioacuten tiene tres puntos silla y un valor miacutenimo
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Ejercicios- Determine los puntos criacuteticos de las siguientes funciones y claacutesifiquelos utilizando el criterio del Hessiano
(1) f(x y) = x2 - y2 (Silla de montar)
(2) g(x y) = 22 yx (Cono)
(3) h(x y z) = x4 - 2x2 + 2y3 -3y2 + z3-3 Ejercicio- Se requiere construir una lata con tapa que contenga un litro de agua con el miacutenimo de material determine las condiciones que oacuteptimizan el problema Ejercicio- Determine el producto maacuteximo de tres nuacutemeros si la suma de ellos debe ser 40 Ejercicio- Determine la distancia miacutenima del origen a la graacutefica de la funcioacuten f(xy) = 4-x2+y Ejercicio- Estudie los ejemplos resueltos que trae el libro de Marden Tromba en el capitulo 4 en especial el referente a la ecuacioacuten de miacutenimos cuadrados Ejercicio- Determine la ecuacioacuten lineal que mejor se ajusta a los puntos (12) (2 32) (3 389) (4 488) (5 55) Utilize el criterio de miacutenimos cuadrados en caso de que el modelo sea lineal (justifique la linealidad del mismo realice una graacutefica de los puntos y de la liacutenea que ajusta a los puntos) Ejemplo- (Aplicacioacuten) En este ejemplo dermina la distancia miacutenima del punto (100) a la graacutefica de una funcioacuten f(x y) = x2+y2
Solucioacuten- Todos los puntos que se encuentran sobre la graacutefica de la funcioacuten satisfacen la siguiente terna de valores en donde se observa que la tercer componente es la variable dependiente (x y x2+y2)
La distancia del punto (1 0 0) a los puntos que estaacuten sobre la graacutefica (x y x2+y2) Se define por medio de la funcioacuten
2222222 )()1()()001()( yxyxyxyxdyxfd
Para determinar el valor miacutenimo o maacuteximo de esta funcioacuten basta con
analizar su argumento dado que es un funcioacuten creciente Es decir Si x1lt x2
entonces f(x1) lt f(x2) lo que es vaacutelido para la funcioacuten )( xxf (ver graacutefica)
2x
1x
x1 x2
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De este modo la funcioacuten a maximizar es
2222222
11 )()1()()001()( yxyxyxyxdyxfd
De aquiacute al las derivadas parciales son
)(4)1(2)( 22
1 yxxxyxfd x y )(42)( 22
1 yxyyyxfd y
Igualando ambas ecuaciones a cero se puede establecer la siguiente
ecuacioacuten
)(4
)(4
2
2222
22
yxy
yxx
y
x (3)
De aquiacute si )00()( yx y 0y se concluye que -1=0 lo cual es una
contradiccioacuten Por otra parte si (xy)=(00) en la primera ecuacioacuten se tiene que 1=0 que es tambieacuten una contradiccioacuten Finalmente si se considera el caso en
que y=0 se obtiene de la siguiente ecuacioacuten 012 3 xx
El polinomio 12)( 3 xxxP tiene una raiacutez entre el cero y el 1 dado
que P(0)=-1 y P(1)=2 Con el anaacutelisis de raiacuteces racionales dos posibles raiacuteces
son 2
1 y como
2
1 estaacute entre cero y uno al usando divisioacuten sinteacutetica se
obtiene que 4
1
2
1P Asiacute que la raiacutez debe de estar en el intervalo 1
2
1
Ahora usando el meacutetodo de Newton con semilla en 2
10x se obtiene
que 6010
6
2
54
1
2
1
)(
)(
0
0
01xf
xfxx
Ahora al evaluar la funcioacuten en dicho punto se tiene que 0320)60(P el
cual es aceptable como raiacutez del polinomio en una sola interaccioacuten De manera tal que el punto criacutetico de la funcioacuten es el (060) El Hessiano asociado es
24128
82412)(
22
22
xyxy
xyyxyxH
Como se puede apreciar el primer elemento de la matriz es positivo independientemente de los valores de x e y Falta evaluar el determinante de H este es igual a
)64)2412)(2412()(det 222222 yxxyyxyxH
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Ahora evaluando en (06 0) se tiene 7421)443)(326()060(det H
Que tambieacuten es positivo de manera tal que se tiene un valor miacutenimo Es
decir la se obtuvo la distancia miacutenima
Maacuteximos y Miacutenimos con restricciones
Los muacuteltiplicadores de Lagrange permite determinar valores maacuteximos o miacutenimos de funciones con restricciones De este tipo de problemas esta lleno nuestro contorno desde el panedero que desea producir la maacutexima cantidad de pan pero con la restriccioacuten del capital que tiene o la posible venta del diacutea para que no tenga sobrantes
Citemos el siguiente ejemplo la graacutefica de paraboloide z = x2+y2 esta
graacutefica soacutelo tiene un valor miacutenimo en el origen sin embargo si esta restringida
al cuadrado unitario 1111 la funcioacuten alcanza cuatro puntos maacuteximos en
los puntos (-11)(-1-1) (1 -1) y (11) a saber dicho valor es 2 Como se observa en la figura
Ahora si se trabaja con la silla de montar con la misma restriccioacuten esta
funcioacuten tiene originalmente un punto silla en el origen pero al analizar las restricciones se contiene dos valores maacuteximos y dos miacutenimos en los puntos (10) (-10) (0-1) y (01)
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Muacuteltiplicadores de Lagrange Teorema- Dadas dos funciones fg Rn a R diferenciables en X0 elemento del dominio de ambas funciones Si Lc es el conjunto de nivel de valor c de la funcioacuten g y si f posee un valor maacuteximo miacutenimo o silla en la restriccioacuten Lc
entonces existe un nuacutemero real λ tal que )()( 00 XgXf
Se puede ver parte de la demostracioacuten de este teorema en el libro de Marsden Tromba Para clasificar los puntos criacuteticos se utiliza el criterio del Hessiano limitado el cuaacutel se define a partir de la funcioacuten auxiliar H(x1 x2 hellip xn) = f(x1 x2 hellip xn) - λ g(x1 x2 hellip xn)
nnnn
n
n
xxxxx
xxxxx
xx
hhg
hhg
gg
H
1
1111
10
||
Ahora defina los siguientes determinantes
22122
21111
210
|| 1
xxxxx
xxxxx
xx
hhg
hhg
gg
H
3323131
3222121
3121111
3210
|| 2
xxxxxxx
xxxxxxx
xxxxxxx
xxx
hhhg
hhhg
hhhg
ggg
H ||det|| HHn
Criterios para maacuteximos y miacutenimos con restricciones (Hessiano liacutemitado) [Miacutenimo Local] Se tiene un miacutenimo local si y soacutelo si todos los determinantes son negativos |H1| lt0 |H2| lt0 hellip |Hn|lt0 ( - - - - - hellip)
[Maacuteximo Local] Se tiene un maximo local si y soacutelo se inicia con un determinante positivo y luego se alternan los signos |H1| gt 0 |H2| lt 0 hellip |Hn|lt0 (+ - + - hellip)
[Punto del tipo Silla] Se tiene un punto tipo silla sino se satisface los criterios de maacuteximos o miacutenimos y al menos uno de los determinantes es distinto de cero Ejemplo- Determine si la funcioacuten f(xy)= x2 ndash y2 tiene valores criacuteticos en la restriccioacuten x2+y2=1
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46
)(2
2
2
2)( 00 Xg
g
g
y
x
y
x
f
fXf
y
x
y
x
de aquiacute se obtienen las ecuaciones 2x = 2 λx -2y = 2 λy x2 + y2 =1 Las soluciones de este sistema de ecuaciones son (-101) (101) (0-1-1) y (0-11) El Hessiano liacutemitado es
2202
0222
220
||
y
x
yx
H
El determinante es igual a det|H| = 8x2(1+λ) ndash 8y2(1-λ) ahora evaluando
cada uno de los puntos se tiene que det|H|(-101) = 16 gt 0 det|H|(101) = 16 gt 0 det|H|(0-1-1) = -16 lt 0 det|H|(0-11) = -16 lt 0
De manera tal que la funcioacuten posee dos valores maacuteximos en los puntos (-10) y (10) y por otra parte tiene dos valores miacutenimos en los puntos (0-1) y (0-1) Ejemplo- Determine si la funcioacuten f(xy)= x2+y2 tiene valores criacuteticos en la restriccioacuten x2-y2 le 4 Al iniciar este estudio se trabaja con el interior es decir x2-y2 lt 4 dando como resultado el anaacutelisis de maacuteximos y miacutenimos de una funcioacuten en general de donde el gradiente de f se anula uacutenicamente en el origen siendo este valor un miacutenimo como se habiacutea visto en un ejercicio anterior para la funcioacuten del paraboloide Ahora al trabajar sobre la frontera se usa el criterio de muacuteltiplicadores de Lagrange
)(2
2
2
2)( 00 Xg
g
g
y
x
y
x
f
fXf
y
x
y
x
de aquiacute se obtienen las ecuaciones 2x = 2 λx 2y = -2 λy x2 - y2 = 4
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Las soluciones de este sistema de ecuaciones son (-201) y (201) El Hessiano liacutemitado es
2202
0222
220
||
y
x
yx
H
El determinante es igual a det|H| = -8x2(1+λ) + 8y2(1-λ) ahora
evaluando en cada uno de los puntos se tiene que det|H|(201) = -64 gt 0 y det|H|(-201) = -64 lt 0
De manera tal que la funcioacuten posee dos valores miacutenimos en los puntos (-20) y (20)
Una anaacutelisis de la graacutefica de esta funcioacuten permite visualizar que dichos
puntos no son miacutenimos maacutes bien son puntos tipos silla y no es que el criterio falle sino maacutes bien que los valores son miacutenimos pero sobre el complemento es decir bajo la restriccioacuten x2-y2 ge 4 Ejemplo- Determine los valores criacuteticos de la funcioacuten f(xyz) = 2x+y+3z sujeta a la restriccioacuten x2+y2+z2 le 36 Solucioacuten- Un anaacutelisis de las condiciones iniciales muestra que la graacutefica a maximizar en un hiperplano restringido en su dominio a una esfera de radio 6 de acuerdo a estas condiciones la funcioacuten en su interior no debe tener valor criacuteticos y en la frontera debe tener un valor miacutenimo y un valor maacuteximo En el interior- Al derivar la funcioacuten original se tiene lo siguiente
3
1
2
)( 0
z
y
x
f
f
f
Xf
De aquiacute se observa que la funcioacuten no posee valores criacuteticos en todo su dominio tal y como se esperaba Frontera- Al utilizar las condiciones del los Muacuteltiplicadores de Lagrange se tiene lo siguiente
)(
2
2
2
3
1
2
)( 00 Xg
z
y
x
f
f
f
Xf
z
y
x
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De aquiacute se genera el siguiente sistema de ecuaciones 2 = 2λx 1 = 2λy 3 = 2λz x2+y2+z2=36
Resolviendo el sistema se concluye que 2
1
1yx amp
2
3z Ahora
sustituyendo en la uacuteltima ecuacioacuten se deduce que la funcioacuten posee dos valores criacuteticos que son
18
14
14
1427
14
149
14
1418amp
18
14
14
1427
14
149
14
1418
La funcioacuten auxiliar es H(xyzλ) = 2x+y+3z-λ(x2+y2+z2) donde Hx=2-2λx Hy=1-2λy Hz=3-2λz El Hessiano Liacutemitado es
2002
0202
0022
2220
||
z
y
x
zyx
H
De aquiacute
0
0)(8
202
022
220
|| 22
1si
siyx
y
x
yx
H
0576)(16
2002
0202
0022
2220
|| 22222 zyx
z
y
x
zyx
H
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49
De aquiacute se desprende que la funcioacuten f(xyz) = 2x+y+3z posee un valor miacutenimo
en el punto 18
14
14
1427
14
149
14
1418 restringido a x2+y2+z2 = 36 y un
maacuteximo en el punto 18
14
14
1427
14
149
14
1418
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50
Tarea nuacutemero 4 Maacuteximos y Miacutenimos
Objetivo- Que el alumno sea capaz de aprender a resolver problemas asociados a la vida real haciendo uso del caacutelculo de varias variables Aquiacute se enuncian los siguientes ejercicios adicionales dado que muchos de los mismos se fueron exponiendo a lo largo del capiacutetulo y se sugiere que se revisen los problemas resueltos y propuestos en la libros de la bibliografiacutea dado que las aplicaciones son muchas 1- Determine los valores maacuteximos y miacutenimos de la funcioacuten f(xy) = x +y sujeta a la restriccioacuten x2+2y2le18 (Realice un bosquejo de la graacutefica y se restriccioacuten)
2- Determine los valores maacuteximos y miacutenimos de la funcioacuten f(xy) = x2 +y2 sujeta a la restriccioacuten x+2y le 4 (Realice un bosquejo de la graacutefica y se restriccioacuten)
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Bibliografiacutea
1 Caacutelculo Vectorial Marsden amp Tromba Addison-Wesley Iberoamericana
2 Caacutelculo Multivariable James Steward Thomson Editores
3 Caacutelculo con Geometriacutea Anaacutelitica Zill Grupo Editorial Iberoameacuterica
Apuntes de la Materia de Caacutelculo III Facultad de Ciencias Fiacutesico Matemaacuteticas de la UA de C Maestro Manuel Antonio Torres Gomar
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Caso particular de una trayectoria de los reales a plano En el caso de una trayectoria de los reales al plano se puede ilustrar con el siguiente diagrama
σ(a) σ(b) a b
2][ Rba ))()(()( tytxt
Una forma de ilustrar esto es pensar que la variable t es el tiempo y la imagen corresponde a la trayectoria de un objeto en el plano asiacute que el tiempo t=a la partiacutecula se encuentra en el punto σ(a) que es el inicio del recorrido de la misma mientras que tiempo final t=b se localiza al final de la trayectoria de estudio
Se puede observar una flecha indicativa del sentido de la partiacutecula a lo largo de la trayectoria
Ecuacioacuten Parametrica y Cartesiana de una curva
Ejemplo- Dada la trayectoria )()( 2ttt con 22t realice una
graacutefica de dicha trayectoria
t ))()(()( tytxt
-2 )42()(t
-1 )11()(t
0 )00()(t
1 )11()(t
2 )42()(t
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Como se puede apreciar la imagen de la trayectoria que recibe el
nombre de curva es una paraacutebola esto se puede ver si se realiza lo siguiente
Como x = t y = t2 entonces se puede deducir que y=x2 la ecuacioacuten correspondiente a la graacutefica de una paraacutebola esta ecuacioacuten corresponde a sus coordenadas cartesianas por otra parte si se rescribe en forma de trayectoria se dice que la ecuacioacuten es su ecuacioacuten cartesiana dado que depende de un solo paraacutemetro
Parametrizacioacuten de una funcioacuten real Si y es una variable dependiente de la variable x es decir existe
una regla de asignacioacuten f tal que y = f(x) con bxa En donde a
cada elemento x le asigna uno y soacutelo un valor y La graacutefica de esta funcioacuten se debe de ver como un trazo en el plano de la siguiente forma
La graacutefica no puede ser de la siguiente forma
y2
y3
y1 y4
X1 X2
Note que al valor de x2 le asigna tres valores de y lo cual no
cumple con las condiciones para que f sea una funcioacuten Ahora la graacutefica de una funcioacuten de esta tipo no es otra cosa que
la imagen de una trayectoria la cual se puede parametrizar de la siguiente forma
Como y = f(x) entonces defina x = t y por consiguiente y=f(t) en
donde bta
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-4 -2 2 4
-30
-20
-10
10
20
30
-2 -1 1 2
-2
-1
1
2
Asiacute en el caso de la paraacutebola la parametrizacioacuten adecuada es x
=t y = t2 tal como estaba planteada originalmente Ahora si la funcioacuten es y = 2x3-10x con 44 x entonces la
parametrizacioacuten adecuada es
)102()( 3 tttt 44 t
La graacutefica de esta curva asociada a la trayectoria es
Parametrizacioacuten de una circunferencia Elipse e Hipeacuterbola
La ecuacioacuten cartesiana de una circunferencia con centro en el origen y
radio dos estaacute dada por 422 yx Al intentar escribir esta ecuacioacuten en
funcioacuten de un solo paraacutemetro se requiere despejar a la variable y obteniendo
dos funciones que son 24 xy Con 22 x
La graacutefica de esta curva permite visualizar que no pertenece a una
funcioacuten sino maacutes bien a dos que son las enunciadas anteriormente y como se ve a continuacioacuten
24 xy
24 xy
Una forma de representar esta curva es por medio de dos trayectorias
)4()( 2
1 ttt y )4()( 2
2 ttt 22t
Una forma alternativa de representar esta curva es por medio del uso de coordenadas polares en donde x=rCos(t) y= rSen(t) como el radio es fijo y es igual a dos estas ecuaciones se pueden escribir en funcioacuten de un solo paraacutemetro ldquotrdquo x=2Cos(t) y=2Sen(t) note que al evaluar x2+y2=4Cos2(t)+4Sen2(t) = 4(Cos2(t)+Sen2(t))=4 con lo cual satisface la
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ecuacioacuten de la circunferencia quedando expresada la trayectoria de la siguiente forma
σ(y) = (2Cos(t) 2Sen(t) con 0letle2π En esta ecuacioacuten define por completo a la curva auacuten y cuando la
ecuacioacuten original no es una funcioacuten siendo esto una ventaja del estudio de la trayectorias
Ejemplo- La parametrizacioacuten de la elipse 12
2
2
2
b
y
a
x queda
expresada por x = aCos(t) y=bSen(t) se deja como ejercicio comprobar este resultado
Ejemplo- La parametrizacioacuten de la hiperbola 12
2
2
2
b
y
a
x queda
expresada por x = aCosh(t) y=bSenh(t) en donde se trabaja con las funciones de Seno y Coseno hiperboacutelicas se deja como ejercicio comprobar este resultado (aunque soacutelo permite representar el lado correspondiente a los cuadrantes I y IV en donde la x es no negativa
Derivada de una trayectoria La derivada de una trayectoria es un vector tangente a la curva esto se
deriva del siguiente anaacutelisis
Dada la trayectoria σ(t) se grafican la posicioacuten de la curva al tiempo t y t+h luego trace el vector asociado a la liacutenea secante que une los puntos de aquiacute al tomar valores cada vez maacutes pequentildeos de h el vector secante se convierte en un vector tangente a la curva como se muestra a continuacioacuten
Por otra parte el anaacutelisis vectorial de este cociente es
)()()(
0
tt
tht
h
Liacutem
Es decir la derivada de la trayectoria y el vector resultante es
tangente a la curva
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Asiacute para el caso de una curva en el plano la trayectoria se puede describir por medio de dos funciones x(t) y(t) de la siguiente forma
)(
)()(
ty
txt
En donde la derivada de esta funcioacuten es
)(
)()(
ty
txt
Vector tangente a la graacutefica de una circunferencia de radio R Ahora si se tiene la parametrizacioacuten de una circunferencia esta esta
dada por σ(t) = ( RCos(t) R Sen(t))
Y X
Un vector tangente tiene que cumplir que su producto punto tiene que
ser cero de aquiacute si V=(AB) al multiplicarlo por el vector σ su producto punto tiene que ser cero
De aquiacute que σ(t)V = ARCos(t) + BRSen(t) = 0 Existiendo muchas soluciones a este sistema de ecuaciones siendo una
de ellas cuando A = Cos(t) B=-Sen(t)
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Vector trasladado
Siendo este un vector tangente a la curva ahora al derivar las
componentes xrsquo(t) = -RSen(t) y(t) = RCos(t) que es un muacuteltiplo escalara del vector tangente mostrado anteriormente
Definicioacuten- (Rotacional) El rotacional de un campo vectorial
F=Pi+Qj+Rk de clase C1 de define como el vector
i j k
RotFx y z
P Q R
Ejemplos- Determine el rotacional de los siguientes campos vectoriales
F1=xi+yj+zk F2=x2yi-xy
2j-3zyk
Solucioacuten-
1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0
i j k
RotF z y i z x j y x kx y z y z x z x y
x y z
2 2 2 2
2
2 2
( 3 ) ( ) ( 3 ) ( ) ( ) ( )
3
i j k
RotF zy xy i zy x y j xy x y kx y z y z x z x y
x y xy zy
2 2
2
2 2
3 0
3
i j k
RotF z i j y x kx y z
x y xy zy
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Definicioacuten- (Divergencia) Si F es un campo vectorial de clase C1 la divergencia de F se define como un campo escalar de la siguiente forma
( )P Q R
divF div Pi Qj Rkx y z
Ejemplos- Determine la divergencia de los siguientes campos vectoriales F1=xi+yj+zk F2=x
2yi-xy
2j-3zyk
Solucioacuten-
1 ( ) ( ) ( ) ( ) 3divF div xi yj zk x y zx y z
2 2 2 2
2 ( 3 ) ( ) ( ) ( 3 ) 2 2 3 3divF div x yi xy j zyk x y xy zy xy xy y yx y z
Definicioacuten- (Laplaciano) Si f es un campo escalar de clase C2 el Laplaciano de f se define como un campo escalar de la siguiente forma
2 2 2
2
2 2 2xx yy zz
f f ff f f f f
x y z
Ejemplos- Determine la divergencia de los siguientes campos escalares g1(x
y z) = xy2z
3 g2(x y z) = x
2 + y
2 + z
2
2 2 2
2 2 3 2 3 2 3 2 3 3 2 2
2 2 2( ) ( ) ( ) 2 3 f f xy z xy z xy z y z yz xy z
x y z
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2( ) ( ) ( ) 6f f x y z x y z x y z
x y z
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Tarea nuacutemero 3 Trayectorias
Objetivo- Que el alumno sea capaz de comprender los conceptos de movimiento de una partiacutecula a lo largo de una trayectoria y de la importancia del uso de vectores en este tema 1- Si la trayectoria σ(t) = t2i+t2j define la trayectoria seguida por una partiacutecula con respecto al tiempo determine 1a- iquestEl tipo de trayectoria que describe 1b- Realice una graacutefica de la distancia recorrida por la partiacutecula con respecto al tiempo en los primeros tres segundos 1c- Determine el tipo de movimiento de la partiacutecula 1d- iquestSe puede afirmar que es un movimiento uniformemente acelerado 1e- Determine la aceleracioacuten y velocidad a los cuatro segundos 1f- Realice una graacutefica de su rapidez con respecto al tiempo 1g- Realice una graacutefica de sus aceleracioacuten con respecto al tiempo 1h- En la graacutefica de la trayectoria agregue graacuteficamente los vectores aceleracioacuten y velocidad 2- Realice lo mismo que en ejercicio anterior pero ahora con la funcioacuten γ(t) = Cos(t) i+5Sen(t)j 3- Dadas las funciones f(t) = 3t2i-4t3j+e2tk y g(t) = 4t3i+4t2j+e-2tk 3a- Determine la funcioacuten producto punto h = fg 3b- Determine la derivada de h 3c- Usando la regla de diferenciacioacuten determine la derivada de h y compruebe el inciso anterior 4a- Determine la funcioacuten producto cruz k = ftimesg 4b- Determine la derivada de h 4c- Usando la regla de diferenciacioacuten determine la derivada de h y compruebe el inciso anterior 5- Determine el Rotacional y la Divergencia del siguiente campo vectorial G(x y z) = 2xy i + 3xz j - 5xy k 6- Determine el gradiente y el Laplaciano del siguiente campo escalar f(xyz) = 4x2-3yz2 7- Dado el campo vectorial F(x y z) = 2xy i + x2 j +3z2 k 7a- Determine si F puede representar el gradiente de un campo escalar f 7b- En caso de ser afirmativa la respuesta del inciso anterior determine el campo escalar f 8- Pruebe que la divergencia del rotacional de un campo vectorial F=Pi+Qj+Rk es igual a cero Es decir la div rot F =0 9- Usando las reglas de diferinciacioacuten pruebe que
gfgfgf
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100 -x
Capitulo 4 Maacuteximos y miacutenimos
Es indispensable determinar en distintos problemas las soluciones oacuteptimas que permitan establecer por ejemplo los valores maacuteximos de produccioacuten o ahorrar el material en la construccioacuten de cierto equipo
Como se recordaraacute el gradiente de una funcioacuten indica la direccioacuten de
maacuteximo crecimiento esto se refleja en que si se toma la direccioacuten sugerida por este vector el valor de la funcioacuten aumenta en una vecindad del mismo asiacute si en un diagrama de un campo gradiente aparecen un punto en donde convergen la direccioacuten de todos los gradientes se encontraraacute que dicho valor debe de ser un valor maacuteximo para la funcioacuten de estudio Un diagrama de esta tipo se ejemplifica a continuacioacuten
Un diagrama en donde todos los vectores apuntan hacia fuera de un
punto indicaraacute que este punto debe de ser un valor miacutenimo de la funcioacuten Citemos el siguiente ejemplo de una variable con la finalidad de
centrarnos en el tema Una persona desea bardear un terreno en forma rectaacutengular cuanto debe de medir cada lado de manera tal que el aacuterea cercada sea maacutexima si se cuenta con 200 metros de malla
La funcioacuten que representa dicho modelo es
A(x) = x(100-x) x
Como se puede observar el aacuterea es cero si x es igual a cero o a cien con lo cuaacutel el lado x debe de estar en en intervalo [0 100] siendo estas las restricciones del problema Derivando la funcioacuten para obtener los valores critiacutecos se tiene que Arsquo(x) = 100 ndash 2x
Al igual la derivada a cero se concluye que el valor critico es x es igual a 50 Al derivar por segunda ocasioacuten se concluye que
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Arsquorsquo(x) = -2 Como la segunda derivada es siempre negativa se concluye que la funcioacuten alcanza un valor maacuteximo en el valor critico en este caso en x = 50 al interpretar dicho resultado se concluye que el terreno que optimiza la solucioacuten es un cuadrado Ejercicio- Que aacuterea se genera si el terreno es de forma circular Al resolver el ejercioacute anterior y comparar las aacutereas del cuadrado y del circulo se puede apreciar que el aacuterea del circulo es mayor pero en la praacutectica es poco atractivo cercar terrenos circulares por diversas razones pero en la naturaleza es comuacuten observar que las gotas de lluvia sean esferas esto permite el optimizar recursos y maacuteximizar el volumen del liacutequido contenido en la misma Se iniciara el estudio formal de maacuteximos y miacutenimos de funciones de varias variables observando las siguientes graficas con la finalidad de tener la idea clara de que es un maacuteximo o miacutenimo o un punto silla
En la primera de ellas se observa que la funcioacuten tiene un valor miacutenimo en la segunda se observa que la funcioacuten tiene un valor maacuteximo y en la uacuteltima la funcioacuten tiene un punto silla este se identifica el dirigirnos en una direccioacuten la funcioacuten crece mientras que en la otra la funcioacuten decrece
Definicioacuten- Una funcioacuten mn RRf tiene un valor maacuteximo local en x0 si en
una vecindad de dicho valor se cumple que la funcioacuten evaluada en todos los vecinos ninguno de ellos supera a f(x0) Es decir f(x0) f(x) para todo x en una vecindad de x0 El punto es llamado un maacuteximo absoluto si la funcioacuten toma el valor maacuteximo en dicho punto para todo valor de su dominio
Esto es muy similar cuando uno observa a los alumnos de un saloacuten de clases existe un alumno que tiene la mayor estatura si ninguno de sus compantildeeros lo supera Asiacute en la escuela el alumno de mayor estatura absoluta es aquel que supera a todo el plantel
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La definicioacuten para el miacutenimo local (absoluto) es similar
f(x0) f(x) para todo en una vecindad de x0 Por ejemplo la funcioacuten f(xy) = x2+y2 tiene un valor miacutenimo en el origen dado que en este valor la funcioacuten vale cero mientras que fuera de ahiacute siempre es positiva dado que todo nuacutemero real elevado al cuadrado es siempre positivo Ademaacutes dicho valor es un miacutenimo absoluto Como se menciono al inicio de esta capitulo el diagrama del campo
gradiente de esta funcioacuten y
xyxf
2
2)( indica que la funcioacuten tiene un valor
miacutenimo siendo la grafica del mismo la siguiente Sin embargo se requiere un criterio maacutes general y sistemaacutetico que permita establecer los posibles valores maacuteximos miacutenimos o puntos silla) Definicioacuten- (Un valor extremo) Si la funcioacuten posee un valor maacuteximo o miacutenimo este es llamado un valor extremo Definicioacuten- (Un valor critico) Un punto en donde la derivada de la funcioacuten se anula es llamado un valor critico Teorema- Todo valor extremo es un valor critico Es decir si f posee un valor extremo en x0 que pertenece a su dominio entonces la derivada de la funcioacuten en el punto x0 se anula Es decir Df(x0) = 0 Demostracioacuten- Sea l(t) una trayectoria que pasa a traveacutes por el punto x0 defina la composicioacuten de funciones h(t) = f(l(t)) donde l(t) = x0 + tv de donde lrsquo(t) = v y ademaacutes
))(()())(()( VtlftDltlDftDh (1)
Por otra parte como f posee un valor extremo en x0 suponga que dicho
valor es un maacuteximo entonces x0 seraacute a la vez un maacuteximo para la funcioacuten h y como h es una funcioacuten real esto significa que la derivada de h en dicho punto
se anula es decir 0)()0())0(()0( 0 vxfDllDfDh ahora como los
vectores )( 0xf y v no son necesariamente perpendiculares y el vector v a la
vez tampoco se anula entonces esto implica que el gradiente de f en x0 es igual a cero y por lo tanto f posee un valor criacutetico en x0
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Este resultado permite establecer posibles valores criacuteticos de una funcioacuten asiacute se menciona el siguiente ejemplo Ejemplo- Determine los posibles valores criacuteticos de las siguientes funciones (1) f(x y) = x2 + y2 y (2) g(x y) = 4x3 -12x + y2
Solucioacuten-
(1) 0
0
2
2)(
y
xyxf de aquiacute se concluye que dicho valor soacutelo
existe un valor criacutetico siendo este el origen el cuaacutel ya se clasifico en estos apuntes y resulto ser un valor miacutenimo
(2) 0
0
2
1212)(
2
y
xyxg de aquiacute se obtienen dos valores criacuteticos
que son (-10) y 1l (10) Los cuales se pueden clasificar el realizar el graacutefico del campo gradiente En donde se aprecia que en el punto (-10) la funcioacuten posee un punto silla mientras que en el punto (10) la funcioacuten posee un valor miacutenimo
Aquiacute se utilizaraacute el criterio del hessiano para determinar si el valor criacutetico es un maacuteximo un miacutenimo o un punto silla Solo se enunciara el teorema sin demostracioacuten para ver la misma puede revisar en el libro de Marsden Tromba de Caacutelculo Vectorial
Definicioacuten- El Hessiano de una funcioacuten 22 RRH de clase C2 se define como una funcioacuten cuadraacutetica que se escribe como
2
1
2
22
2
2
2
21212
1)(
h
h
y
f
yx
f
xy
f
x
f
hhhhH
Evaluada la matriz de las segundas derivas parciales en el valor criacutetico
Teorema- Si el Hessiano de una funcioacuten 2 RRf es definitivamente
positivo entonces la funcioacuten tiene un valor miacutenimo en dicho punto
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Corolario- Si la matriz asociada A=cb
ba de una forma cuadraacutetica dos
por dos es definitivamente positiva si y soacutelo si se cumple que agt0 y det A gt0
Teorema de una valor para un valor extremo miacutenimo- Una funcioacuten
2 RRf de clase C2 posee un valor extremo miacutenimo local en x0 elemento
del dominio de la funcioacuten si y soacutelo si se satisfacen las siguientes condiciones
(i) 0)( 0xx
f y 0)( 0x
y
f
(ii) )( 02
2
xx
f gt 0
(iii) )( 02
2
xx
f)( 02
2
xy
f)(
2
2
oxx
f)( 02
2
xx
f gt 0
Para un valor maacuteximo las condiciones (i) y (iii) se mantienen la uacutenica que cambia en la segunda en donde esta debe ser negativa Para un punto silla se requiere que al menos no se cumplan las condiciones de valor maacuteximo ni miacutenimo y que la uacuteltima condicioacuten (iii) sea distinta de cero En caso contrario el criterio no permite clasificar dicho valor como se mostraraacute en un ejemplo maacutes adelante Ejemplo- Ahora continuando con los ejemplos anteriores
(1) Para f(xy) = x2+y2 el valor critico es el origen y el hessiano asociado es
2
1
212100
02
2
1)(
h
hhhhhH
Como se pude apreciar el primer valor es positivo 2 gt0 y el determinante de
la funcioacuten 20
02det es igual a 4 que a la vez es positivo de manera tal que la
funcioacuten posee un valor miacutenimo en el origen
(2) g(x y) = 4x3 -12x + y2 los puntos criticos son (-10) y (10) y el hessiano asociado a esta forma cuadraacutetica es
2
1
212120
024
2
1)(
h
hxhhhhHg
Ahora al evaluar en los puntos se tiene En el (-10)
2
1
212120
024
2
1)(
h
hhhhhHg
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En donde -24 lt 0 y det Hg = -48 lt0 con lo cuaacutel debe de ser un punto silla
En el (10)
2
1
212120
024
2
1)(
h
hhhhhHg
En donde 24 gt 0 y det Hg = 48 gt0 con lo cuaacutel debe de ser un punto miacutenimo
Tal como se habiacutea estimado en la graacutefica del campo gradiente de la
solucioacuten anterior A continuacioacuten se muestra un bosquejo de dicha graacutefica realizado en el derive
Ejemplos de cuando el criterio permite clasificar los
valores criacuteticos
Ejemplo- A continuacioacuten se mostrara un ejemplo de cuando el criterio no concluye asiacute si la funcioacuten es h(xy) = x4+y4 al calcular las derivas parciales mixtas fx=4x3 y fy=4y3 se encuentra un solo valor critico el origen miestras que la matriz asociada del hessiano es
2
2
120
012
y
x y al evaluar en el origen queda expresada como
00
00
)0(120
0)0(122
2
En donde se puede apreciar que fallan todos los criterios una inspeccioacuten de
la funcioacuten original permite ver que la funcioacuten tiene un valor miacutenimo en dicho punto pero no es una generalizacioacuten es decir no se puede decir que siempre que aparezca la matriz de ceros se tenga un valor miacutenimo dado que si se analiza ahora a las funciones k(xy) = -x4-y4 y p(xy) = x4-y4 ambas tienen como calor extremo al origen y la matriz hessiana asociada a la forma cuadraacutetica evaluada en el origen es la matriz de ceros
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Ejemplo- Otro ejemplo en donde el criterio no concluye es el siguiente en
donde el determinante de la matriz H es cero debido a que la segunda derivada de la funcioacuten f con respecto a la segunda variable se anula (fyy = 0) y no se puede asegurar que se tenga un punto maacuteximo miacutenimo o silla
Las funciones f1(xy) = x2 f2(xy) = -x2 y f3(xy) = x3 presentan este
problema a continuacioacuten se muestran las graficas de dichas funciones
En cada una de ellas los puntos criacuteticos son las parejas en el plano (0 y) Es decir el eje coordenado X
El Hessiano respectivo de cada uno es el siguiente
00
02)(1 yxH
00
02)(2 yxH
00
03)(3
xyxH
Note que el determinante de cada de estas matrices se hace cero y que fyy
se anula en cada caso
Ahora observando las graacuteficas se verifica visualmente que en la primera se tienen valores miacutenimos en la segunda maacuteximos y en la uacuteltima no es ni maacuteximo ni miacutenimo o punto silla
Ejemplo- Citemos otro ejemplo en donde el criterio de maacuteximos y miacutenimos
no concluye Determine los puntos criacuteticos de la funcioacuten h(xy) = x4 Se tiene que hx=4x3=0 y hy=0 de donde se deduce que la funcioacuten tiene
un nuacutemero infinito de puntos criacuteticos estos son las parejas ordenadas en el plano (0y)
La matriz del Hessiano asociado es
00
012)(
2
1
xyxH y evaluando en el punto
00
00)0(1 yH
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En donde no se puede clasificar a los valores criacuteticos sin embargo
realizando una inpeccioacuten de la funcioacuten se puede concluir que todos los puntos representan valores miacutenimos de la funcioacuten original a continuacioacuten se muestra la grafica de la misma
El Hessiano para n variables y el criterio de clasificacioacuten
Cuando la funcioacuten tiene maacutes de dos variables se genera una matriz asociada H en cada uno de los valores criacuteticos de la siguiente forma
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
H
21
22221
11211
De aquiacute se definen las siguientes matrices
111 aH 2221
1211
2aa
aaH hellip HH n
Los criterios para los valores criacuteticos de la funcioacuten RRf n son los
siguientes [Miacutenimo Local] La funcioacuten f posee un valor extremo local miacutenimo en x0 si todos los determinantes de las submatrices evaluados en x0 son positivos
0det 1H 0det 2H hellip 0det 2H (+ + hellip +)
En este caso la forma cuadraacutetica se puede probar que es definitivamente positiva [Maacuteximo Local] La funcioacuten f posee un valor extremo local miacutenimo en x0 si todos los determinantes de las submatrices evaluados en x0 se alternan en signo pero el primero de ellos debe ser negativo
0det 1H 0det 2H hellip 0det 2H (- + - + hellip )
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En este caso la forma cuadraacutetica se puede probar que es definitivamente negativa [Punto Silla] La funcioacuten f posee un punto silla si no se cumplen los criterios de valor miacutenimo o maacuteximo y al menos uno de los subdeterminantes es distinto de cero
Existe un i tal que 0det iH
Ejemplos- Determine los valores criacuteticos de las siguiente funcioacuten f(x y z w) = x3 - 3x + y3 ndash 3y + z2 + w2 y claacutesifiquelos Solucioacuten- Al resolver las siguientes ecuaciones
033 2 xxf x 033 2 yyf y 02zf z y 033 2 wwfw
Se obtienen cuatro puntos criacuteticos que son (-1-100) (-1100) (1-100) y (1100) ahora se genera la matriz del hessiano asociado siendo esta
2000
0200
0060
0006
y
x
H
Al evaluar en cada uno de los puntos se tienen las siguientes matrices
2000
0200
0060
0006
)0011(H
2000
0200
0060
0006
)0011(H
2000
0200
0060
0006
)0011(H y
2000
0200
0060
0006
)0011(H
Los sub determinantes para cada uno de los puntos son [(-1 -1 0 0)] -6 36 72 144 que clasifica como un punto silla [(-1100)] -6 -36 -72 -144 que clasifica como un punto silla [(1-100)] 6 -36 -72 -144 que clasifica como un punto silla [(1100)] 6 36 72 144 que clasifica como un valor miacutenimo De manera tal que la funcioacuten tiene tres puntos silla y un valor miacutenimo
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42
Ejercicios- Determine los puntos criacuteticos de las siguientes funciones y claacutesifiquelos utilizando el criterio del Hessiano
(1) f(x y) = x2 - y2 (Silla de montar)
(2) g(x y) = 22 yx (Cono)
(3) h(x y z) = x4 - 2x2 + 2y3 -3y2 + z3-3 Ejercicio- Se requiere construir una lata con tapa que contenga un litro de agua con el miacutenimo de material determine las condiciones que oacuteptimizan el problema Ejercicio- Determine el producto maacuteximo de tres nuacutemeros si la suma de ellos debe ser 40 Ejercicio- Determine la distancia miacutenima del origen a la graacutefica de la funcioacuten f(xy) = 4-x2+y Ejercicio- Estudie los ejemplos resueltos que trae el libro de Marden Tromba en el capitulo 4 en especial el referente a la ecuacioacuten de miacutenimos cuadrados Ejercicio- Determine la ecuacioacuten lineal que mejor se ajusta a los puntos (12) (2 32) (3 389) (4 488) (5 55) Utilize el criterio de miacutenimos cuadrados en caso de que el modelo sea lineal (justifique la linealidad del mismo realice una graacutefica de los puntos y de la liacutenea que ajusta a los puntos) Ejemplo- (Aplicacioacuten) En este ejemplo dermina la distancia miacutenima del punto (100) a la graacutefica de una funcioacuten f(x y) = x2+y2
Solucioacuten- Todos los puntos que se encuentran sobre la graacutefica de la funcioacuten satisfacen la siguiente terna de valores en donde se observa que la tercer componente es la variable dependiente (x y x2+y2)
La distancia del punto (1 0 0) a los puntos que estaacuten sobre la graacutefica (x y x2+y2) Se define por medio de la funcioacuten
2222222 )()1()()001()( yxyxyxyxdyxfd
Para determinar el valor miacutenimo o maacuteximo de esta funcioacuten basta con
analizar su argumento dado que es un funcioacuten creciente Es decir Si x1lt x2
entonces f(x1) lt f(x2) lo que es vaacutelido para la funcioacuten )( xxf (ver graacutefica)
2x
1x
x1 x2
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43
De este modo la funcioacuten a maximizar es
2222222
11 )()1()()001()( yxyxyxyxdyxfd
De aquiacute al las derivadas parciales son
)(4)1(2)( 22
1 yxxxyxfd x y )(42)( 22
1 yxyyyxfd y
Igualando ambas ecuaciones a cero se puede establecer la siguiente
ecuacioacuten
)(4
)(4
2
2222
22
yxy
yxx
y
x (3)
De aquiacute si )00()( yx y 0y se concluye que -1=0 lo cual es una
contradiccioacuten Por otra parte si (xy)=(00) en la primera ecuacioacuten se tiene que 1=0 que es tambieacuten una contradiccioacuten Finalmente si se considera el caso en
que y=0 se obtiene de la siguiente ecuacioacuten 012 3 xx
El polinomio 12)( 3 xxxP tiene una raiacutez entre el cero y el 1 dado
que P(0)=-1 y P(1)=2 Con el anaacutelisis de raiacuteces racionales dos posibles raiacuteces
son 2
1 y como
2
1 estaacute entre cero y uno al usando divisioacuten sinteacutetica se
obtiene que 4
1
2
1P Asiacute que la raiacutez debe de estar en el intervalo 1
2
1
Ahora usando el meacutetodo de Newton con semilla en 2
10x se obtiene
que 6010
6
2
54
1
2
1
)(
)(
0
0
01xf
xfxx
Ahora al evaluar la funcioacuten en dicho punto se tiene que 0320)60(P el
cual es aceptable como raiacutez del polinomio en una sola interaccioacuten De manera tal que el punto criacutetico de la funcioacuten es el (060) El Hessiano asociado es
24128
82412)(
22
22
xyxy
xyyxyxH
Como se puede apreciar el primer elemento de la matriz es positivo independientemente de los valores de x e y Falta evaluar el determinante de H este es igual a
)64)2412)(2412()(det 222222 yxxyyxyxH
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44
Ahora evaluando en (06 0) se tiene 7421)443)(326()060(det H
Que tambieacuten es positivo de manera tal que se tiene un valor miacutenimo Es
decir la se obtuvo la distancia miacutenima
Maacuteximos y Miacutenimos con restricciones
Los muacuteltiplicadores de Lagrange permite determinar valores maacuteximos o miacutenimos de funciones con restricciones De este tipo de problemas esta lleno nuestro contorno desde el panedero que desea producir la maacutexima cantidad de pan pero con la restriccioacuten del capital que tiene o la posible venta del diacutea para que no tenga sobrantes
Citemos el siguiente ejemplo la graacutefica de paraboloide z = x2+y2 esta
graacutefica soacutelo tiene un valor miacutenimo en el origen sin embargo si esta restringida
al cuadrado unitario 1111 la funcioacuten alcanza cuatro puntos maacuteximos en
los puntos (-11)(-1-1) (1 -1) y (11) a saber dicho valor es 2 Como se observa en la figura
Ahora si se trabaja con la silla de montar con la misma restriccioacuten esta
funcioacuten tiene originalmente un punto silla en el origen pero al analizar las restricciones se contiene dos valores maacuteximos y dos miacutenimos en los puntos (10) (-10) (0-1) y (01)
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Muacuteltiplicadores de Lagrange Teorema- Dadas dos funciones fg Rn a R diferenciables en X0 elemento del dominio de ambas funciones Si Lc es el conjunto de nivel de valor c de la funcioacuten g y si f posee un valor maacuteximo miacutenimo o silla en la restriccioacuten Lc
entonces existe un nuacutemero real λ tal que )()( 00 XgXf
Se puede ver parte de la demostracioacuten de este teorema en el libro de Marsden Tromba Para clasificar los puntos criacuteticos se utiliza el criterio del Hessiano limitado el cuaacutel se define a partir de la funcioacuten auxiliar H(x1 x2 hellip xn) = f(x1 x2 hellip xn) - λ g(x1 x2 hellip xn)
nnnn
n
n
xxxxx
xxxxx
xx
hhg
hhg
gg
H
1
1111
10
||
Ahora defina los siguientes determinantes
22122
21111
210
|| 1
xxxxx
xxxxx
xx
hhg
hhg
gg
H
3323131
3222121
3121111
3210
|| 2
xxxxxxx
xxxxxxx
xxxxxxx
xxx
hhhg
hhhg
hhhg
ggg
H ||det|| HHn
Criterios para maacuteximos y miacutenimos con restricciones (Hessiano liacutemitado) [Miacutenimo Local] Se tiene un miacutenimo local si y soacutelo si todos los determinantes son negativos |H1| lt0 |H2| lt0 hellip |Hn|lt0 ( - - - - - hellip)
[Maacuteximo Local] Se tiene un maximo local si y soacutelo se inicia con un determinante positivo y luego se alternan los signos |H1| gt 0 |H2| lt 0 hellip |Hn|lt0 (+ - + - hellip)
[Punto del tipo Silla] Se tiene un punto tipo silla sino se satisface los criterios de maacuteximos o miacutenimos y al menos uno de los determinantes es distinto de cero Ejemplo- Determine si la funcioacuten f(xy)= x2 ndash y2 tiene valores criacuteticos en la restriccioacuten x2+y2=1
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)(2
2
2
2)( 00 Xg
g
g
y
x
y
x
f
fXf
y
x
y
x
de aquiacute se obtienen las ecuaciones 2x = 2 λx -2y = 2 λy x2 + y2 =1 Las soluciones de este sistema de ecuaciones son (-101) (101) (0-1-1) y (0-11) El Hessiano liacutemitado es
2202
0222
220
||
y
x
yx
H
El determinante es igual a det|H| = 8x2(1+λ) ndash 8y2(1-λ) ahora evaluando
cada uno de los puntos se tiene que det|H|(-101) = 16 gt 0 det|H|(101) = 16 gt 0 det|H|(0-1-1) = -16 lt 0 det|H|(0-11) = -16 lt 0
De manera tal que la funcioacuten posee dos valores maacuteximos en los puntos (-10) y (10) y por otra parte tiene dos valores miacutenimos en los puntos (0-1) y (0-1) Ejemplo- Determine si la funcioacuten f(xy)= x2+y2 tiene valores criacuteticos en la restriccioacuten x2-y2 le 4 Al iniciar este estudio se trabaja con el interior es decir x2-y2 lt 4 dando como resultado el anaacutelisis de maacuteximos y miacutenimos de una funcioacuten en general de donde el gradiente de f se anula uacutenicamente en el origen siendo este valor un miacutenimo como se habiacutea visto en un ejercicio anterior para la funcioacuten del paraboloide Ahora al trabajar sobre la frontera se usa el criterio de muacuteltiplicadores de Lagrange
)(2
2
2
2)( 00 Xg
g
g
y
x
y
x
f
fXf
y
x
y
x
de aquiacute se obtienen las ecuaciones 2x = 2 λx 2y = -2 λy x2 - y2 = 4
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Las soluciones de este sistema de ecuaciones son (-201) y (201) El Hessiano liacutemitado es
2202
0222
220
||
y
x
yx
H
El determinante es igual a det|H| = -8x2(1+λ) + 8y2(1-λ) ahora
evaluando en cada uno de los puntos se tiene que det|H|(201) = -64 gt 0 y det|H|(-201) = -64 lt 0
De manera tal que la funcioacuten posee dos valores miacutenimos en los puntos (-20) y (20)
Una anaacutelisis de la graacutefica de esta funcioacuten permite visualizar que dichos
puntos no son miacutenimos maacutes bien son puntos tipos silla y no es que el criterio falle sino maacutes bien que los valores son miacutenimos pero sobre el complemento es decir bajo la restriccioacuten x2-y2 ge 4 Ejemplo- Determine los valores criacuteticos de la funcioacuten f(xyz) = 2x+y+3z sujeta a la restriccioacuten x2+y2+z2 le 36 Solucioacuten- Un anaacutelisis de las condiciones iniciales muestra que la graacutefica a maximizar en un hiperplano restringido en su dominio a una esfera de radio 6 de acuerdo a estas condiciones la funcioacuten en su interior no debe tener valor criacuteticos y en la frontera debe tener un valor miacutenimo y un valor maacuteximo En el interior- Al derivar la funcioacuten original se tiene lo siguiente
3
1
2
)( 0
z
y
x
f
f
f
Xf
De aquiacute se observa que la funcioacuten no posee valores criacuteticos en todo su dominio tal y como se esperaba Frontera- Al utilizar las condiciones del los Muacuteltiplicadores de Lagrange se tiene lo siguiente
)(
2
2
2
3
1
2
)( 00 Xg
z
y
x
f
f
f
Xf
z
y
x
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De aquiacute se genera el siguiente sistema de ecuaciones 2 = 2λx 1 = 2λy 3 = 2λz x2+y2+z2=36
Resolviendo el sistema se concluye que 2
1
1yx amp
2
3z Ahora
sustituyendo en la uacuteltima ecuacioacuten se deduce que la funcioacuten posee dos valores criacuteticos que son
18
14
14
1427
14
149
14
1418amp
18
14
14
1427
14
149
14
1418
La funcioacuten auxiliar es H(xyzλ) = 2x+y+3z-λ(x2+y2+z2) donde Hx=2-2λx Hy=1-2λy Hz=3-2λz El Hessiano Liacutemitado es
2002
0202
0022
2220
||
z
y
x
zyx
H
De aquiacute
0
0)(8
202
022
220
|| 22
1si
siyx
y
x
yx
H
0576)(16
2002
0202
0022
2220
|| 22222 zyx
z
y
x
zyx
H
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De aquiacute se desprende que la funcioacuten f(xyz) = 2x+y+3z posee un valor miacutenimo
en el punto 18
14
14
1427
14
149
14
1418 restringido a x2+y2+z2 = 36 y un
maacuteximo en el punto 18
14
14
1427
14
149
14
1418
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Tarea nuacutemero 4 Maacuteximos y Miacutenimos
Objetivo- Que el alumno sea capaz de aprender a resolver problemas asociados a la vida real haciendo uso del caacutelculo de varias variables Aquiacute se enuncian los siguientes ejercicios adicionales dado que muchos de los mismos se fueron exponiendo a lo largo del capiacutetulo y se sugiere que se revisen los problemas resueltos y propuestos en la libros de la bibliografiacutea dado que las aplicaciones son muchas 1- Determine los valores maacuteximos y miacutenimos de la funcioacuten f(xy) = x +y sujeta a la restriccioacuten x2+2y2le18 (Realice un bosquejo de la graacutefica y se restriccioacuten)
2- Determine los valores maacuteximos y miacutenimos de la funcioacuten f(xy) = x2 +y2 sujeta a la restriccioacuten x+2y le 4 (Realice un bosquejo de la graacutefica y se restriccioacuten)
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Bibliografiacutea
1 Caacutelculo Vectorial Marsden amp Tromba Addison-Wesley Iberoamericana
2 Caacutelculo Multivariable James Steward Thomson Editores
3 Caacutelculo con Geometriacutea Anaacutelitica Zill Grupo Editorial Iberoameacuterica
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Como se puede apreciar la imagen de la trayectoria que recibe el
nombre de curva es una paraacutebola esto se puede ver si se realiza lo siguiente
Como x = t y = t2 entonces se puede deducir que y=x2 la ecuacioacuten correspondiente a la graacutefica de una paraacutebola esta ecuacioacuten corresponde a sus coordenadas cartesianas por otra parte si se rescribe en forma de trayectoria se dice que la ecuacioacuten es su ecuacioacuten cartesiana dado que depende de un solo paraacutemetro
Parametrizacioacuten de una funcioacuten real Si y es una variable dependiente de la variable x es decir existe
una regla de asignacioacuten f tal que y = f(x) con bxa En donde a
cada elemento x le asigna uno y soacutelo un valor y La graacutefica de esta funcioacuten se debe de ver como un trazo en el plano de la siguiente forma
La graacutefica no puede ser de la siguiente forma
y2
y3
y1 y4
X1 X2
Note que al valor de x2 le asigna tres valores de y lo cual no
cumple con las condiciones para que f sea una funcioacuten Ahora la graacutefica de una funcioacuten de esta tipo no es otra cosa que
la imagen de una trayectoria la cual se puede parametrizar de la siguiente forma
Como y = f(x) entonces defina x = t y por consiguiente y=f(t) en
donde bta
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27
-4 -2 2 4
-30
-20
-10
10
20
30
-2 -1 1 2
-2
-1
1
2
Asiacute en el caso de la paraacutebola la parametrizacioacuten adecuada es x
=t y = t2 tal como estaba planteada originalmente Ahora si la funcioacuten es y = 2x3-10x con 44 x entonces la
parametrizacioacuten adecuada es
)102()( 3 tttt 44 t
La graacutefica de esta curva asociada a la trayectoria es
Parametrizacioacuten de una circunferencia Elipse e Hipeacuterbola
La ecuacioacuten cartesiana de una circunferencia con centro en el origen y
radio dos estaacute dada por 422 yx Al intentar escribir esta ecuacioacuten en
funcioacuten de un solo paraacutemetro se requiere despejar a la variable y obteniendo
dos funciones que son 24 xy Con 22 x
La graacutefica de esta curva permite visualizar que no pertenece a una
funcioacuten sino maacutes bien a dos que son las enunciadas anteriormente y como se ve a continuacioacuten
24 xy
24 xy
Una forma de representar esta curva es por medio de dos trayectorias
)4()( 2
1 ttt y )4()( 2
2 ttt 22t
Una forma alternativa de representar esta curva es por medio del uso de coordenadas polares en donde x=rCos(t) y= rSen(t) como el radio es fijo y es igual a dos estas ecuaciones se pueden escribir en funcioacuten de un solo paraacutemetro ldquotrdquo x=2Cos(t) y=2Sen(t) note que al evaluar x2+y2=4Cos2(t)+4Sen2(t) = 4(Cos2(t)+Sen2(t))=4 con lo cual satisface la
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ecuacioacuten de la circunferencia quedando expresada la trayectoria de la siguiente forma
σ(y) = (2Cos(t) 2Sen(t) con 0letle2π En esta ecuacioacuten define por completo a la curva auacuten y cuando la
ecuacioacuten original no es una funcioacuten siendo esto una ventaja del estudio de la trayectorias
Ejemplo- La parametrizacioacuten de la elipse 12
2
2
2
b
y
a
x queda
expresada por x = aCos(t) y=bSen(t) se deja como ejercicio comprobar este resultado
Ejemplo- La parametrizacioacuten de la hiperbola 12
2
2
2
b
y
a
x queda
expresada por x = aCosh(t) y=bSenh(t) en donde se trabaja con las funciones de Seno y Coseno hiperboacutelicas se deja como ejercicio comprobar este resultado (aunque soacutelo permite representar el lado correspondiente a los cuadrantes I y IV en donde la x es no negativa
Derivada de una trayectoria La derivada de una trayectoria es un vector tangente a la curva esto se
deriva del siguiente anaacutelisis
Dada la trayectoria σ(t) se grafican la posicioacuten de la curva al tiempo t y t+h luego trace el vector asociado a la liacutenea secante que une los puntos de aquiacute al tomar valores cada vez maacutes pequentildeos de h el vector secante se convierte en un vector tangente a la curva como se muestra a continuacioacuten
Por otra parte el anaacutelisis vectorial de este cociente es
)()()(
0
tt
tht
h
Liacutem
Es decir la derivada de la trayectoria y el vector resultante es
tangente a la curva
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Asiacute para el caso de una curva en el plano la trayectoria se puede describir por medio de dos funciones x(t) y(t) de la siguiente forma
)(
)()(
ty
txt
En donde la derivada de esta funcioacuten es
)(
)()(
ty
txt
Vector tangente a la graacutefica de una circunferencia de radio R Ahora si se tiene la parametrizacioacuten de una circunferencia esta esta
dada por σ(t) = ( RCos(t) R Sen(t))
Y X
Un vector tangente tiene que cumplir que su producto punto tiene que
ser cero de aquiacute si V=(AB) al multiplicarlo por el vector σ su producto punto tiene que ser cero
De aquiacute que σ(t)V = ARCos(t) + BRSen(t) = 0 Existiendo muchas soluciones a este sistema de ecuaciones siendo una
de ellas cuando A = Cos(t) B=-Sen(t)
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Vector trasladado
Siendo este un vector tangente a la curva ahora al derivar las
componentes xrsquo(t) = -RSen(t) y(t) = RCos(t) que es un muacuteltiplo escalara del vector tangente mostrado anteriormente
Definicioacuten- (Rotacional) El rotacional de un campo vectorial
F=Pi+Qj+Rk de clase C1 de define como el vector
i j k
RotFx y z
P Q R
Ejemplos- Determine el rotacional de los siguientes campos vectoriales
F1=xi+yj+zk F2=x2yi-xy
2j-3zyk
Solucioacuten-
1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0
i j k
RotF z y i z x j y x kx y z y z x z x y
x y z
2 2 2 2
2
2 2
( 3 ) ( ) ( 3 ) ( ) ( ) ( )
3
i j k
RotF zy xy i zy x y j xy x y kx y z y z x z x y
x y xy zy
2 2
2
2 2
3 0
3
i j k
RotF z i j y x kx y z
x y xy zy
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Definicioacuten- (Divergencia) Si F es un campo vectorial de clase C1 la divergencia de F se define como un campo escalar de la siguiente forma
( )P Q R
divF div Pi Qj Rkx y z
Ejemplos- Determine la divergencia de los siguientes campos vectoriales F1=xi+yj+zk F2=x
2yi-xy
2j-3zyk
Solucioacuten-
1 ( ) ( ) ( ) ( ) 3divF div xi yj zk x y zx y z
2 2 2 2
2 ( 3 ) ( ) ( ) ( 3 ) 2 2 3 3divF div x yi xy j zyk x y xy zy xy xy y yx y z
Definicioacuten- (Laplaciano) Si f es un campo escalar de clase C2 el Laplaciano de f se define como un campo escalar de la siguiente forma
2 2 2
2
2 2 2xx yy zz
f f ff f f f f
x y z
Ejemplos- Determine la divergencia de los siguientes campos escalares g1(x
y z) = xy2z
3 g2(x y z) = x
2 + y
2 + z
2
2 2 2
2 2 3 2 3 2 3 2 3 3 2 2
2 2 2( ) ( ) ( ) 2 3 f f xy z xy z xy z y z yz xy z
x y z
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2( ) ( ) ( ) 6f f x y z x y z x y z
x y z
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Tarea nuacutemero 3 Trayectorias
Objetivo- Que el alumno sea capaz de comprender los conceptos de movimiento de una partiacutecula a lo largo de una trayectoria y de la importancia del uso de vectores en este tema 1- Si la trayectoria σ(t) = t2i+t2j define la trayectoria seguida por una partiacutecula con respecto al tiempo determine 1a- iquestEl tipo de trayectoria que describe 1b- Realice una graacutefica de la distancia recorrida por la partiacutecula con respecto al tiempo en los primeros tres segundos 1c- Determine el tipo de movimiento de la partiacutecula 1d- iquestSe puede afirmar que es un movimiento uniformemente acelerado 1e- Determine la aceleracioacuten y velocidad a los cuatro segundos 1f- Realice una graacutefica de su rapidez con respecto al tiempo 1g- Realice una graacutefica de sus aceleracioacuten con respecto al tiempo 1h- En la graacutefica de la trayectoria agregue graacuteficamente los vectores aceleracioacuten y velocidad 2- Realice lo mismo que en ejercicio anterior pero ahora con la funcioacuten γ(t) = Cos(t) i+5Sen(t)j 3- Dadas las funciones f(t) = 3t2i-4t3j+e2tk y g(t) = 4t3i+4t2j+e-2tk 3a- Determine la funcioacuten producto punto h = fg 3b- Determine la derivada de h 3c- Usando la regla de diferenciacioacuten determine la derivada de h y compruebe el inciso anterior 4a- Determine la funcioacuten producto cruz k = ftimesg 4b- Determine la derivada de h 4c- Usando la regla de diferenciacioacuten determine la derivada de h y compruebe el inciso anterior 5- Determine el Rotacional y la Divergencia del siguiente campo vectorial G(x y z) = 2xy i + 3xz j - 5xy k 6- Determine el gradiente y el Laplaciano del siguiente campo escalar f(xyz) = 4x2-3yz2 7- Dado el campo vectorial F(x y z) = 2xy i + x2 j +3z2 k 7a- Determine si F puede representar el gradiente de un campo escalar f 7b- En caso de ser afirmativa la respuesta del inciso anterior determine el campo escalar f 8- Pruebe que la divergencia del rotacional de un campo vectorial F=Pi+Qj+Rk es igual a cero Es decir la div rot F =0 9- Usando las reglas de diferinciacioacuten pruebe que
gfgfgf
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100 -x
Capitulo 4 Maacuteximos y miacutenimos
Es indispensable determinar en distintos problemas las soluciones oacuteptimas que permitan establecer por ejemplo los valores maacuteximos de produccioacuten o ahorrar el material en la construccioacuten de cierto equipo
Como se recordaraacute el gradiente de una funcioacuten indica la direccioacuten de
maacuteximo crecimiento esto se refleja en que si se toma la direccioacuten sugerida por este vector el valor de la funcioacuten aumenta en una vecindad del mismo asiacute si en un diagrama de un campo gradiente aparecen un punto en donde convergen la direccioacuten de todos los gradientes se encontraraacute que dicho valor debe de ser un valor maacuteximo para la funcioacuten de estudio Un diagrama de esta tipo se ejemplifica a continuacioacuten
Un diagrama en donde todos los vectores apuntan hacia fuera de un
punto indicaraacute que este punto debe de ser un valor miacutenimo de la funcioacuten Citemos el siguiente ejemplo de una variable con la finalidad de
centrarnos en el tema Una persona desea bardear un terreno en forma rectaacutengular cuanto debe de medir cada lado de manera tal que el aacuterea cercada sea maacutexima si se cuenta con 200 metros de malla
La funcioacuten que representa dicho modelo es
A(x) = x(100-x) x
Como se puede observar el aacuterea es cero si x es igual a cero o a cien con lo cuaacutel el lado x debe de estar en en intervalo [0 100] siendo estas las restricciones del problema Derivando la funcioacuten para obtener los valores critiacutecos se tiene que Arsquo(x) = 100 ndash 2x
Al igual la derivada a cero se concluye que el valor critico es x es igual a 50 Al derivar por segunda ocasioacuten se concluye que
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Arsquorsquo(x) = -2 Como la segunda derivada es siempre negativa se concluye que la funcioacuten alcanza un valor maacuteximo en el valor critico en este caso en x = 50 al interpretar dicho resultado se concluye que el terreno que optimiza la solucioacuten es un cuadrado Ejercicio- Que aacuterea se genera si el terreno es de forma circular Al resolver el ejercioacute anterior y comparar las aacutereas del cuadrado y del circulo se puede apreciar que el aacuterea del circulo es mayor pero en la praacutectica es poco atractivo cercar terrenos circulares por diversas razones pero en la naturaleza es comuacuten observar que las gotas de lluvia sean esferas esto permite el optimizar recursos y maacuteximizar el volumen del liacutequido contenido en la misma Se iniciara el estudio formal de maacuteximos y miacutenimos de funciones de varias variables observando las siguientes graficas con la finalidad de tener la idea clara de que es un maacuteximo o miacutenimo o un punto silla
En la primera de ellas se observa que la funcioacuten tiene un valor miacutenimo en la segunda se observa que la funcioacuten tiene un valor maacuteximo y en la uacuteltima la funcioacuten tiene un punto silla este se identifica el dirigirnos en una direccioacuten la funcioacuten crece mientras que en la otra la funcioacuten decrece
Definicioacuten- Una funcioacuten mn RRf tiene un valor maacuteximo local en x0 si en
una vecindad de dicho valor se cumple que la funcioacuten evaluada en todos los vecinos ninguno de ellos supera a f(x0) Es decir f(x0) f(x) para todo x en una vecindad de x0 El punto es llamado un maacuteximo absoluto si la funcioacuten toma el valor maacuteximo en dicho punto para todo valor de su dominio
Esto es muy similar cuando uno observa a los alumnos de un saloacuten de clases existe un alumno que tiene la mayor estatura si ninguno de sus compantildeeros lo supera Asiacute en la escuela el alumno de mayor estatura absoluta es aquel que supera a todo el plantel
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La definicioacuten para el miacutenimo local (absoluto) es similar
f(x0) f(x) para todo en una vecindad de x0 Por ejemplo la funcioacuten f(xy) = x2+y2 tiene un valor miacutenimo en el origen dado que en este valor la funcioacuten vale cero mientras que fuera de ahiacute siempre es positiva dado que todo nuacutemero real elevado al cuadrado es siempre positivo Ademaacutes dicho valor es un miacutenimo absoluto Como se menciono al inicio de esta capitulo el diagrama del campo
gradiente de esta funcioacuten y
xyxf
2
2)( indica que la funcioacuten tiene un valor
miacutenimo siendo la grafica del mismo la siguiente Sin embargo se requiere un criterio maacutes general y sistemaacutetico que permita establecer los posibles valores maacuteximos miacutenimos o puntos silla) Definicioacuten- (Un valor extremo) Si la funcioacuten posee un valor maacuteximo o miacutenimo este es llamado un valor extremo Definicioacuten- (Un valor critico) Un punto en donde la derivada de la funcioacuten se anula es llamado un valor critico Teorema- Todo valor extremo es un valor critico Es decir si f posee un valor extremo en x0 que pertenece a su dominio entonces la derivada de la funcioacuten en el punto x0 se anula Es decir Df(x0) = 0 Demostracioacuten- Sea l(t) una trayectoria que pasa a traveacutes por el punto x0 defina la composicioacuten de funciones h(t) = f(l(t)) donde l(t) = x0 + tv de donde lrsquo(t) = v y ademaacutes
))(()())(()( VtlftDltlDftDh (1)
Por otra parte como f posee un valor extremo en x0 suponga que dicho
valor es un maacuteximo entonces x0 seraacute a la vez un maacuteximo para la funcioacuten h y como h es una funcioacuten real esto significa que la derivada de h en dicho punto
se anula es decir 0)()0())0(()0( 0 vxfDllDfDh ahora como los
vectores )( 0xf y v no son necesariamente perpendiculares y el vector v a la
vez tampoco se anula entonces esto implica que el gradiente de f en x0 es igual a cero y por lo tanto f posee un valor criacutetico en x0
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Este resultado permite establecer posibles valores criacuteticos de una funcioacuten asiacute se menciona el siguiente ejemplo Ejemplo- Determine los posibles valores criacuteticos de las siguientes funciones (1) f(x y) = x2 + y2 y (2) g(x y) = 4x3 -12x + y2
Solucioacuten-
(1) 0
0
2
2)(
y
xyxf de aquiacute se concluye que dicho valor soacutelo
existe un valor criacutetico siendo este el origen el cuaacutel ya se clasifico en estos apuntes y resulto ser un valor miacutenimo
(2) 0
0
2
1212)(
2
y
xyxg de aquiacute se obtienen dos valores criacuteticos
que son (-10) y 1l (10) Los cuales se pueden clasificar el realizar el graacutefico del campo gradiente En donde se aprecia que en el punto (-10) la funcioacuten posee un punto silla mientras que en el punto (10) la funcioacuten posee un valor miacutenimo
Aquiacute se utilizaraacute el criterio del hessiano para determinar si el valor criacutetico es un maacuteximo un miacutenimo o un punto silla Solo se enunciara el teorema sin demostracioacuten para ver la misma puede revisar en el libro de Marsden Tromba de Caacutelculo Vectorial
Definicioacuten- El Hessiano de una funcioacuten 22 RRH de clase C2 se define como una funcioacuten cuadraacutetica que se escribe como
2
1
2
22
2
2
2
21212
1)(
h
h
y
f
yx
f
xy
f
x
f
hhhhH
Evaluada la matriz de las segundas derivas parciales en el valor criacutetico
Teorema- Si el Hessiano de una funcioacuten 2 RRf es definitivamente
positivo entonces la funcioacuten tiene un valor miacutenimo en dicho punto
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Corolario- Si la matriz asociada A=cb
ba de una forma cuadraacutetica dos
por dos es definitivamente positiva si y soacutelo si se cumple que agt0 y det A gt0
Teorema de una valor para un valor extremo miacutenimo- Una funcioacuten
2 RRf de clase C2 posee un valor extremo miacutenimo local en x0 elemento
del dominio de la funcioacuten si y soacutelo si se satisfacen las siguientes condiciones
(i) 0)( 0xx
f y 0)( 0x
y
f
(ii) )( 02
2
xx
f gt 0
(iii) )( 02
2
xx
f)( 02
2
xy
f)(
2
2
oxx
f)( 02
2
xx
f gt 0
Para un valor maacuteximo las condiciones (i) y (iii) se mantienen la uacutenica que cambia en la segunda en donde esta debe ser negativa Para un punto silla se requiere que al menos no se cumplan las condiciones de valor maacuteximo ni miacutenimo y que la uacuteltima condicioacuten (iii) sea distinta de cero En caso contrario el criterio no permite clasificar dicho valor como se mostraraacute en un ejemplo maacutes adelante Ejemplo- Ahora continuando con los ejemplos anteriores
(1) Para f(xy) = x2+y2 el valor critico es el origen y el hessiano asociado es
2
1
212100
02
2
1)(
h
hhhhhH
Como se pude apreciar el primer valor es positivo 2 gt0 y el determinante de
la funcioacuten 20
02det es igual a 4 que a la vez es positivo de manera tal que la
funcioacuten posee un valor miacutenimo en el origen
(2) g(x y) = 4x3 -12x + y2 los puntos criticos son (-10) y (10) y el hessiano asociado a esta forma cuadraacutetica es
2
1
212120
024
2
1)(
h
hxhhhhHg
Ahora al evaluar en los puntos se tiene En el (-10)
2
1
212120
024
2
1)(
h
hhhhhHg
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En donde -24 lt 0 y det Hg = -48 lt0 con lo cuaacutel debe de ser un punto silla
En el (10)
2
1
212120
024
2
1)(
h
hhhhhHg
En donde 24 gt 0 y det Hg = 48 gt0 con lo cuaacutel debe de ser un punto miacutenimo
Tal como se habiacutea estimado en la graacutefica del campo gradiente de la
solucioacuten anterior A continuacioacuten se muestra un bosquejo de dicha graacutefica realizado en el derive
Ejemplos de cuando el criterio permite clasificar los
valores criacuteticos
Ejemplo- A continuacioacuten se mostrara un ejemplo de cuando el criterio no concluye asiacute si la funcioacuten es h(xy) = x4+y4 al calcular las derivas parciales mixtas fx=4x3 y fy=4y3 se encuentra un solo valor critico el origen miestras que la matriz asociada del hessiano es
2
2
120
012
y
x y al evaluar en el origen queda expresada como
00
00
)0(120
0)0(122
2
En donde se puede apreciar que fallan todos los criterios una inspeccioacuten de
la funcioacuten original permite ver que la funcioacuten tiene un valor miacutenimo en dicho punto pero no es una generalizacioacuten es decir no se puede decir que siempre que aparezca la matriz de ceros se tenga un valor miacutenimo dado que si se analiza ahora a las funciones k(xy) = -x4-y4 y p(xy) = x4-y4 ambas tienen como calor extremo al origen y la matriz hessiana asociada a la forma cuadraacutetica evaluada en el origen es la matriz de ceros
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Ejemplo- Otro ejemplo en donde el criterio no concluye es el siguiente en
donde el determinante de la matriz H es cero debido a que la segunda derivada de la funcioacuten f con respecto a la segunda variable se anula (fyy = 0) y no se puede asegurar que se tenga un punto maacuteximo miacutenimo o silla
Las funciones f1(xy) = x2 f2(xy) = -x2 y f3(xy) = x3 presentan este
problema a continuacioacuten se muestran las graficas de dichas funciones
En cada una de ellas los puntos criacuteticos son las parejas en el plano (0 y) Es decir el eje coordenado X
El Hessiano respectivo de cada uno es el siguiente
00
02)(1 yxH
00
02)(2 yxH
00
03)(3
xyxH
Note que el determinante de cada de estas matrices se hace cero y que fyy
se anula en cada caso
Ahora observando las graacuteficas se verifica visualmente que en la primera se tienen valores miacutenimos en la segunda maacuteximos y en la uacuteltima no es ni maacuteximo ni miacutenimo o punto silla
Ejemplo- Citemos otro ejemplo en donde el criterio de maacuteximos y miacutenimos
no concluye Determine los puntos criacuteticos de la funcioacuten h(xy) = x4 Se tiene que hx=4x3=0 y hy=0 de donde se deduce que la funcioacuten tiene
un nuacutemero infinito de puntos criacuteticos estos son las parejas ordenadas en el plano (0y)
La matriz del Hessiano asociado es
00
012)(
2
1
xyxH y evaluando en el punto
00
00)0(1 yH
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En donde no se puede clasificar a los valores criacuteticos sin embargo
realizando una inpeccioacuten de la funcioacuten se puede concluir que todos los puntos representan valores miacutenimos de la funcioacuten original a continuacioacuten se muestra la grafica de la misma
El Hessiano para n variables y el criterio de clasificacioacuten
Cuando la funcioacuten tiene maacutes de dos variables se genera una matriz asociada H en cada uno de los valores criacuteticos de la siguiente forma
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
H
21
22221
11211
De aquiacute se definen las siguientes matrices
111 aH 2221
1211
2aa
aaH hellip HH n
Los criterios para los valores criacuteticos de la funcioacuten RRf n son los
siguientes [Miacutenimo Local] La funcioacuten f posee un valor extremo local miacutenimo en x0 si todos los determinantes de las submatrices evaluados en x0 son positivos
0det 1H 0det 2H hellip 0det 2H (+ + hellip +)
En este caso la forma cuadraacutetica se puede probar que es definitivamente positiva [Maacuteximo Local] La funcioacuten f posee un valor extremo local miacutenimo en x0 si todos los determinantes de las submatrices evaluados en x0 se alternan en signo pero el primero de ellos debe ser negativo
0det 1H 0det 2H hellip 0det 2H (- + - + hellip )
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En este caso la forma cuadraacutetica se puede probar que es definitivamente negativa [Punto Silla] La funcioacuten f posee un punto silla si no se cumplen los criterios de valor miacutenimo o maacuteximo y al menos uno de los subdeterminantes es distinto de cero
Existe un i tal que 0det iH
Ejemplos- Determine los valores criacuteticos de las siguiente funcioacuten f(x y z w) = x3 - 3x + y3 ndash 3y + z2 + w2 y claacutesifiquelos Solucioacuten- Al resolver las siguientes ecuaciones
033 2 xxf x 033 2 yyf y 02zf z y 033 2 wwfw
Se obtienen cuatro puntos criacuteticos que son (-1-100) (-1100) (1-100) y (1100) ahora se genera la matriz del hessiano asociado siendo esta
2000
0200
0060
0006
y
x
H
Al evaluar en cada uno de los puntos se tienen las siguientes matrices
2000
0200
0060
0006
)0011(H
2000
0200
0060
0006
)0011(H
2000
0200
0060
0006
)0011(H y
2000
0200
0060
0006
)0011(H
Los sub determinantes para cada uno de los puntos son [(-1 -1 0 0)] -6 36 72 144 que clasifica como un punto silla [(-1100)] -6 -36 -72 -144 que clasifica como un punto silla [(1-100)] 6 -36 -72 -144 que clasifica como un punto silla [(1100)] 6 36 72 144 que clasifica como un valor miacutenimo De manera tal que la funcioacuten tiene tres puntos silla y un valor miacutenimo
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Ejercicios- Determine los puntos criacuteticos de las siguientes funciones y claacutesifiquelos utilizando el criterio del Hessiano
(1) f(x y) = x2 - y2 (Silla de montar)
(2) g(x y) = 22 yx (Cono)
(3) h(x y z) = x4 - 2x2 + 2y3 -3y2 + z3-3 Ejercicio- Se requiere construir una lata con tapa que contenga un litro de agua con el miacutenimo de material determine las condiciones que oacuteptimizan el problema Ejercicio- Determine el producto maacuteximo de tres nuacutemeros si la suma de ellos debe ser 40 Ejercicio- Determine la distancia miacutenima del origen a la graacutefica de la funcioacuten f(xy) = 4-x2+y Ejercicio- Estudie los ejemplos resueltos que trae el libro de Marden Tromba en el capitulo 4 en especial el referente a la ecuacioacuten de miacutenimos cuadrados Ejercicio- Determine la ecuacioacuten lineal que mejor se ajusta a los puntos (12) (2 32) (3 389) (4 488) (5 55) Utilize el criterio de miacutenimos cuadrados en caso de que el modelo sea lineal (justifique la linealidad del mismo realice una graacutefica de los puntos y de la liacutenea que ajusta a los puntos) Ejemplo- (Aplicacioacuten) En este ejemplo dermina la distancia miacutenima del punto (100) a la graacutefica de una funcioacuten f(x y) = x2+y2
Solucioacuten- Todos los puntos que se encuentran sobre la graacutefica de la funcioacuten satisfacen la siguiente terna de valores en donde se observa que la tercer componente es la variable dependiente (x y x2+y2)
La distancia del punto (1 0 0) a los puntos que estaacuten sobre la graacutefica (x y x2+y2) Se define por medio de la funcioacuten
2222222 )()1()()001()( yxyxyxyxdyxfd
Para determinar el valor miacutenimo o maacuteximo de esta funcioacuten basta con
analizar su argumento dado que es un funcioacuten creciente Es decir Si x1lt x2
entonces f(x1) lt f(x2) lo que es vaacutelido para la funcioacuten )( xxf (ver graacutefica)
2x
1x
x1 x2
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De este modo la funcioacuten a maximizar es
2222222
11 )()1()()001()( yxyxyxyxdyxfd
De aquiacute al las derivadas parciales son
)(4)1(2)( 22
1 yxxxyxfd x y )(42)( 22
1 yxyyyxfd y
Igualando ambas ecuaciones a cero se puede establecer la siguiente
ecuacioacuten
)(4
)(4
2
2222
22
yxy
yxx
y
x (3)
De aquiacute si )00()( yx y 0y se concluye que -1=0 lo cual es una
contradiccioacuten Por otra parte si (xy)=(00) en la primera ecuacioacuten se tiene que 1=0 que es tambieacuten una contradiccioacuten Finalmente si se considera el caso en
que y=0 se obtiene de la siguiente ecuacioacuten 012 3 xx
El polinomio 12)( 3 xxxP tiene una raiacutez entre el cero y el 1 dado
que P(0)=-1 y P(1)=2 Con el anaacutelisis de raiacuteces racionales dos posibles raiacuteces
son 2
1 y como
2
1 estaacute entre cero y uno al usando divisioacuten sinteacutetica se
obtiene que 4
1
2
1P Asiacute que la raiacutez debe de estar en el intervalo 1
2
1
Ahora usando el meacutetodo de Newton con semilla en 2
10x se obtiene
que 6010
6
2
54
1
2
1
)(
)(
0
0
01xf
xfxx
Ahora al evaluar la funcioacuten en dicho punto se tiene que 0320)60(P el
cual es aceptable como raiacutez del polinomio en una sola interaccioacuten De manera tal que el punto criacutetico de la funcioacuten es el (060) El Hessiano asociado es
24128
82412)(
22
22
xyxy
xyyxyxH
Como se puede apreciar el primer elemento de la matriz es positivo independientemente de los valores de x e y Falta evaluar el determinante de H este es igual a
)64)2412)(2412()(det 222222 yxxyyxyxH
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Ahora evaluando en (06 0) se tiene 7421)443)(326()060(det H
Que tambieacuten es positivo de manera tal que se tiene un valor miacutenimo Es
decir la se obtuvo la distancia miacutenima
Maacuteximos y Miacutenimos con restricciones
Los muacuteltiplicadores de Lagrange permite determinar valores maacuteximos o miacutenimos de funciones con restricciones De este tipo de problemas esta lleno nuestro contorno desde el panedero que desea producir la maacutexima cantidad de pan pero con la restriccioacuten del capital que tiene o la posible venta del diacutea para que no tenga sobrantes
Citemos el siguiente ejemplo la graacutefica de paraboloide z = x2+y2 esta
graacutefica soacutelo tiene un valor miacutenimo en el origen sin embargo si esta restringida
al cuadrado unitario 1111 la funcioacuten alcanza cuatro puntos maacuteximos en
los puntos (-11)(-1-1) (1 -1) y (11) a saber dicho valor es 2 Como se observa en la figura
Ahora si se trabaja con la silla de montar con la misma restriccioacuten esta
funcioacuten tiene originalmente un punto silla en el origen pero al analizar las restricciones se contiene dos valores maacuteximos y dos miacutenimos en los puntos (10) (-10) (0-1) y (01)
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Muacuteltiplicadores de Lagrange Teorema- Dadas dos funciones fg Rn a R diferenciables en X0 elemento del dominio de ambas funciones Si Lc es el conjunto de nivel de valor c de la funcioacuten g y si f posee un valor maacuteximo miacutenimo o silla en la restriccioacuten Lc
entonces existe un nuacutemero real λ tal que )()( 00 XgXf
Se puede ver parte de la demostracioacuten de este teorema en el libro de Marsden Tromba Para clasificar los puntos criacuteticos se utiliza el criterio del Hessiano limitado el cuaacutel se define a partir de la funcioacuten auxiliar H(x1 x2 hellip xn) = f(x1 x2 hellip xn) - λ g(x1 x2 hellip xn)
nnnn
n
n
xxxxx
xxxxx
xx
hhg
hhg
gg
H
1
1111
10
||
Ahora defina los siguientes determinantes
22122
21111
210
|| 1
xxxxx
xxxxx
xx
hhg
hhg
gg
H
3323131
3222121
3121111
3210
|| 2
xxxxxxx
xxxxxxx
xxxxxxx
xxx
hhhg
hhhg
hhhg
ggg
H ||det|| HHn
Criterios para maacuteximos y miacutenimos con restricciones (Hessiano liacutemitado) [Miacutenimo Local] Se tiene un miacutenimo local si y soacutelo si todos los determinantes son negativos |H1| lt0 |H2| lt0 hellip |Hn|lt0 ( - - - - - hellip)
[Maacuteximo Local] Se tiene un maximo local si y soacutelo se inicia con un determinante positivo y luego se alternan los signos |H1| gt 0 |H2| lt 0 hellip |Hn|lt0 (+ - + - hellip)
[Punto del tipo Silla] Se tiene un punto tipo silla sino se satisface los criterios de maacuteximos o miacutenimos y al menos uno de los determinantes es distinto de cero Ejemplo- Determine si la funcioacuten f(xy)= x2 ndash y2 tiene valores criacuteticos en la restriccioacuten x2+y2=1
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)(2
2
2
2)( 00 Xg
g
g
y
x
y
x
f
fXf
y
x
y
x
de aquiacute se obtienen las ecuaciones 2x = 2 λx -2y = 2 λy x2 + y2 =1 Las soluciones de este sistema de ecuaciones son (-101) (101) (0-1-1) y (0-11) El Hessiano liacutemitado es
2202
0222
220
||
y
x
yx
H
El determinante es igual a det|H| = 8x2(1+λ) ndash 8y2(1-λ) ahora evaluando
cada uno de los puntos se tiene que det|H|(-101) = 16 gt 0 det|H|(101) = 16 gt 0 det|H|(0-1-1) = -16 lt 0 det|H|(0-11) = -16 lt 0
De manera tal que la funcioacuten posee dos valores maacuteximos en los puntos (-10) y (10) y por otra parte tiene dos valores miacutenimos en los puntos (0-1) y (0-1) Ejemplo- Determine si la funcioacuten f(xy)= x2+y2 tiene valores criacuteticos en la restriccioacuten x2-y2 le 4 Al iniciar este estudio se trabaja con el interior es decir x2-y2 lt 4 dando como resultado el anaacutelisis de maacuteximos y miacutenimos de una funcioacuten en general de donde el gradiente de f se anula uacutenicamente en el origen siendo este valor un miacutenimo como se habiacutea visto en un ejercicio anterior para la funcioacuten del paraboloide Ahora al trabajar sobre la frontera se usa el criterio de muacuteltiplicadores de Lagrange
)(2
2
2
2)( 00 Xg
g
g
y
x
y
x
f
fXf
y
x
y
x
de aquiacute se obtienen las ecuaciones 2x = 2 λx 2y = -2 λy x2 - y2 = 4
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Las soluciones de este sistema de ecuaciones son (-201) y (201) El Hessiano liacutemitado es
2202
0222
220
||
y
x
yx
H
El determinante es igual a det|H| = -8x2(1+λ) + 8y2(1-λ) ahora
evaluando en cada uno de los puntos se tiene que det|H|(201) = -64 gt 0 y det|H|(-201) = -64 lt 0
De manera tal que la funcioacuten posee dos valores miacutenimos en los puntos (-20) y (20)
Una anaacutelisis de la graacutefica de esta funcioacuten permite visualizar que dichos
puntos no son miacutenimos maacutes bien son puntos tipos silla y no es que el criterio falle sino maacutes bien que los valores son miacutenimos pero sobre el complemento es decir bajo la restriccioacuten x2-y2 ge 4 Ejemplo- Determine los valores criacuteticos de la funcioacuten f(xyz) = 2x+y+3z sujeta a la restriccioacuten x2+y2+z2 le 36 Solucioacuten- Un anaacutelisis de las condiciones iniciales muestra que la graacutefica a maximizar en un hiperplano restringido en su dominio a una esfera de radio 6 de acuerdo a estas condiciones la funcioacuten en su interior no debe tener valor criacuteticos y en la frontera debe tener un valor miacutenimo y un valor maacuteximo En el interior- Al derivar la funcioacuten original se tiene lo siguiente
3
1
2
)( 0
z
y
x
f
f
f
Xf
De aquiacute se observa que la funcioacuten no posee valores criacuteticos en todo su dominio tal y como se esperaba Frontera- Al utilizar las condiciones del los Muacuteltiplicadores de Lagrange se tiene lo siguiente
)(
2
2
2
3
1
2
)( 00 Xg
z
y
x
f
f
f
Xf
z
y
x
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48
De aquiacute se genera el siguiente sistema de ecuaciones 2 = 2λx 1 = 2λy 3 = 2λz x2+y2+z2=36
Resolviendo el sistema se concluye que 2
1
1yx amp
2
3z Ahora
sustituyendo en la uacuteltima ecuacioacuten se deduce que la funcioacuten posee dos valores criacuteticos que son
18
14
14
1427
14
149
14
1418amp
18
14
14
1427
14
149
14
1418
La funcioacuten auxiliar es H(xyzλ) = 2x+y+3z-λ(x2+y2+z2) donde Hx=2-2λx Hy=1-2λy Hz=3-2λz El Hessiano Liacutemitado es
2002
0202
0022
2220
||
z
y
x
zyx
H
De aquiacute
0
0)(8
202
022
220
|| 22
1si
siyx
y
x
yx
H
0576)(16
2002
0202
0022
2220
|| 22222 zyx
z
y
x
zyx
H
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49
De aquiacute se desprende que la funcioacuten f(xyz) = 2x+y+3z posee un valor miacutenimo
en el punto 18
14
14
1427
14
149
14
1418 restringido a x2+y2+z2 = 36 y un
maacuteximo en el punto 18
14
14
1427
14
149
14
1418
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50
Tarea nuacutemero 4 Maacuteximos y Miacutenimos
Objetivo- Que el alumno sea capaz de aprender a resolver problemas asociados a la vida real haciendo uso del caacutelculo de varias variables Aquiacute se enuncian los siguientes ejercicios adicionales dado que muchos de los mismos se fueron exponiendo a lo largo del capiacutetulo y se sugiere que se revisen los problemas resueltos y propuestos en la libros de la bibliografiacutea dado que las aplicaciones son muchas 1- Determine los valores maacuteximos y miacutenimos de la funcioacuten f(xy) = x +y sujeta a la restriccioacuten x2+2y2le18 (Realice un bosquejo de la graacutefica y se restriccioacuten)
2- Determine los valores maacuteximos y miacutenimos de la funcioacuten f(xy) = x2 +y2 sujeta a la restriccioacuten x+2y le 4 (Realice un bosquejo de la graacutefica y se restriccioacuten)
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Bibliografiacutea
1 Caacutelculo Vectorial Marsden amp Tromba Addison-Wesley Iberoamericana
2 Caacutelculo Multivariable James Steward Thomson Editores
3 Caacutelculo con Geometriacutea Anaacutelitica Zill Grupo Editorial Iberoameacuterica
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27
-4 -2 2 4
-30
-20
-10
10
20
30
-2 -1 1 2
-2
-1
1
2
Asiacute en el caso de la paraacutebola la parametrizacioacuten adecuada es x
=t y = t2 tal como estaba planteada originalmente Ahora si la funcioacuten es y = 2x3-10x con 44 x entonces la
parametrizacioacuten adecuada es
)102()( 3 tttt 44 t
La graacutefica de esta curva asociada a la trayectoria es
Parametrizacioacuten de una circunferencia Elipse e Hipeacuterbola
La ecuacioacuten cartesiana de una circunferencia con centro en el origen y
radio dos estaacute dada por 422 yx Al intentar escribir esta ecuacioacuten en
funcioacuten de un solo paraacutemetro se requiere despejar a la variable y obteniendo
dos funciones que son 24 xy Con 22 x
La graacutefica de esta curva permite visualizar que no pertenece a una
funcioacuten sino maacutes bien a dos que son las enunciadas anteriormente y como se ve a continuacioacuten
24 xy
24 xy
Una forma de representar esta curva es por medio de dos trayectorias
)4()( 2
1 ttt y )4()( 2
2 ttt 22t
Una forma alternativa de representar esta curva es por medio del uso de coordenadas polares en donde x=rCos(t) y= rSen(t) como el radio es fijo y es igual a dos estas ecuaciones se pueden escribir en funcioacuten de un solo paraacutemetro ldquotrdquo x=2Cos(t) y=2Sen(t) note que al evaluar x2+y2=4Cos2(t)+4Sen2(t) = 4(Cos2(t)+Sen2(t))=4 con lo cual satisface la
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ecuacioacuten de la circunferencia quedando expresada la trayectoria de la siguiente forma
σ(y) = (2Cos(t) 2Sen(t) con 0letle2π En esta ecuacioacuten define por completo a la curva auacuten y cuando la
ecuacioacuten original no es una funcioacuten siendo esto una ventaja del estudio de la trayectorias
Ejemplo- La parametrizacioacuten de la elipse 12
2
2
2
b
y
a
x queda
expresada por x = aCos(t) y=bSen(t) se deja como ejercicio comprobar este resultado
Ejemplo- La parametrizacioacuten de la hiperbola 12
2
2
2
b
y
a
x queda
expresada por x = aCosh(t) y=bSenh(t) en donde se trabaja con las funciones de Seno y Coseno hiperboacutelicas se deja como ejercicio comprobar este resultado (aunque soacutelo permite representar el lado correspondiente a los cuadrantes I y IV en donde la x es no negativa
Derivada de una trayectoria La derivada de una trayectoria es un vector tangente a la curva esto se
deriva del siguiente anaacutelisis
Dada la trayectoria σ(t) se grafican la posicioacuten de la curva al tiempo t y t+h luego trace el vector asociado a la liacutenea secante que une los puntos de aquiacute al tomar valores cada vez maacutes pequentildeos de h el vector secante se convierte en un vector tangente a la curva como se muestra a continuacioacuten
Por otra parte el anaacutelisis vectorial de este cociente es
)()()(
0
tt
tht
h
Liacutem
Es decir la derivada de la trayectoria y el vector resultante es
tangente a la curva
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29
Asiacute para el caso de una curva en el plano la trayectoria se puede describir por medio de dos funciones x(t) y(t) de la siguiente forma
)(
)()(
ty
txt
En donde la derivada de esta funcioacuten es
)(
)()(
ty
txt
Vector tangente a la graacutefica de una circunferencia de radio R Ahora si se tiene la parametrizacioacuten de una circunferencia esta esta
dada por σ(t) = ( RCos(t) R Sen(t))
Y X
Un vector tangente tiene que cumplir que su producto punto tiene que
ser cero de aquiacute si V=(AB) al multiplicarlo por el vector σ su producto punto tiene que ser cero
De aquiacute que σ(t)V = ARCos(t) + BRSen(t) = 0 Existiendo muchas soluciones a este sistema de ecuaciones siendo una
de ellas cuando A = Cos(t) B=-Sen(t)
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30
Vector trasladado
Siendo este un vector tangente a la curva ahora al derivar las
componentes xrsquo(t) = -RSen(t) y(t) = RCos(t) que es un muacuteltiplo escalara del vector tangente mostrado anteriormente
Definicioacuten- (Rotacional) El rotacional de un campo vectorial
F=Pi+Qj+Rk de clase C1 de define como el vector
i j k
RotFx y z
P Q R
Ejemplos- Determine el rotacional de los siguientes campos vectoriales
F1=xi+yj+zk F2=x2yi-xy
2j-3zyk
Solucioacuten-
1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0
i j k
RotF z y i z x j y x kx y z y z x z x y
x y z
2 2 2 2
2
2 2
( 3 ) ( ) ( 3 ) ( ) ( ) ( )
3
i j k
RotF zy xy i zy x y j xy x y kx y z y z x z x y
x y xy zy
2 2
2
2 2
3 0
3
i j k
RotF z i j y x kx y z
x y xy zy
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Definicioacuten- (Divergencia) Si F es un campo vectorial de clase C1 la divergencia de F se define como un campo escalar de la siguiente forma
( )P Q R
divF div Pi Qj Rkx y z
Ejemplos- Determine la divergencia de los siguientes campos vectoriales F1=xi+yj+zk F2=x
2yi-xy
2j-3zyk
Solucioacuten-
1 ( ) ( ) ( ) ( ) 3divF div xi yj zk x y zx y z
2 2 2 2
2 ( 3 ) ( ) ( ) ( 3 ) 2 2 3 3divF div x yi xy j zyk x y xy zy xy xy y yx y z
Definicioacuten- (Laplaciano) Si f es un campo escalar de clase C2 el Laplaciano de f se define como un campo escalar de la siguiente forma
2 2 2
2
2 2 2xx yy zz
f f ff f f f f
x y z
Ejemplos- Determine la divergencia de los siguientes campos escalares g1(x
y z) = xy2z
3 g2(x y z) = x
2 + y
2 + z
2
2 2 2
2 2 3 2 3 2 3 2 3 3 2 2
2 2 2( ) ( ) ( ) 2 3 f f xy z xy z xy z y z yz xy z
x y z
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2( ) ( ) ( ) 6f f x y z x y z x y z
x y z
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Tarea nuacutemero 3 Trayectorias
Objetivo- Que el alumno sea capaz de comprender los conceptos de movimiento de una partiacutecula a lo largo de una trayectoria y de la importancia del uso de vectores en este tema 1- Si la trayectoria σ(t) = t2i+t2j define la trayectoria seguida por una partiacutecula con respecto al tiempo determine 1a- iquestEl tipo de trayectoria que describe 1b- Realice una graacutefica de la distancia recorrida por la partiacutecula con respecto al tiempo en los primeros tres segundos 1c- Determine el tipo de movimiento de la partiacutecula 1d- iquestSe puede afirmar que es un movimiento uniformemente acelerado 1e- Determine la aceleracioacuten y velocidad a los cuatro segundos 1f- Realice una graacutefica de su rapidez con respecto al tiempo 1g- Realice una graacutefica de sus aceleracioacuten con respecto al tiempo 1h- En la graacutefica de la trayectoria agregue graacuteficamente los vectores aceleracioacuten y velocidad 2- Realice lo mismo que en ejercicio anterior pero ahora con la funcioacuten γ(t) = Cos(t) i+5Sen(t)j 3- Dadas las funciones f(t) = 3t2i-4t3j+e2tk y g(t) = 4t3i+4t2j+e-2tk 3a- Determine la funcioacuten producto punto h = fg 3b- Determine la derivada de h 3c- Usando la regla de diferenciacioacuten determine la derivada de h y compruebe el inciso anterior 4a- Determine la funcioacuten producto cruz k = ftimesg 4b- Determine la derivada de h 4c- Usando la regla de diferenciacioacuten determine la derivada de h y compruebe el inciso anterior 5- Determine el Rotacional y la Divergencia del siguiente campo vectorial G(x y z) = 2xy i + 3xz j - 5xy k 6- Determine el gradiente y el Laplaciano del siguiente campo escalar f(xyz) = 4x2-3yz2 7- Dado el campo vectorial F(x y z) = 2xy i + x2 j +3z2 k 7a- Determine si F puede representar el gradiente de un campo escalar f 7b- En caso de ser afirmativa la respuesta del inciso anterior determine el campo escalar f 8- Pruebe que la divergencia del rotacional de un campo vectorial F=Pi+Qj+Rk es igual a cero Es decir la div rot F =0 9- Usando las reglas de diferinciacioacuten pruebe que
gfgfgf
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100 -x
Capitulo 4 Maacuteximos y miacutenimos
Es indispensable determinar en distintos problemas las soluciones oacuteptimas que permitan establecer por ejemplo los valores maacuteximos de produccioacuten o ahorrar el material en la construccioacuten de cierto equipo
Como se recordaraacute el gradiente de una funcioacuten indica la direccioacuten de
maacuteximo crecimiento esto se refleja en que si se toma la direccioacuten sugerida por este vector el valor de la funcioacuten aumenta en una vecindad del mismo asiacute si en un diagrama de un campo gradiente aparecen un punto en donde convergen la direccioacuten de todos los gradientes se encontraraacute que dicho valor debe de ser un valor maacuteximo para la funcioacuten de estudio Un diagrama de esta tipo se ejemplifica a continuacioacuten
Un diagrama en donde todos los vectores apuntan hacia fuera de un
punto indicaraacute que este punto debe de ser un valor miacutenimo de la funcioacuten Citemos el siguiente ejemplo de una variable con la finalidad de
centrarnos en el tema Una persona desea bardear un terreno en forma rectaacutengular cuanto debe de medir cada lado de manera tal que el aacuterea cercada sea maacutexima si se cuenta con 200 metros de malla
La funcioacuten que representa dicho modelo es
A(x) = x(100-x) x
Como se puede observar el aacuterea es cero si x es igual a cero o a cien con lo cuaacutel el lado x debe de estar en en intervalo [0 100] siendo estas las restricciones del problema Derivando la funcioacuten para obtener los valores critiacutecos se tiene que Arsquo(x) = 100 ndash 2x
Al igual la derivada a cero se concluye que el valor critico es x es igual a 50 Al derivar por segunda ocasioacuten se concluye que
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Arsquorsquo(x) = -2 Como la segunda derivada es siempre negativa se concluye que la funcioacuten alcanza un valor maacuteximo en el valor critico en este caso en x = 50 al interpretar dicho resultado se concluye que el terreno que optimiza la solucioacuten es un cuadrado Ejercicio- Que aacuterea se genera si el terreno es de forma circular Al resolver el ejercioacute anterior y comparar las aacutereas del cuadrado y del circulo se puede apreciar que el aacuterea del circulo es mayor pero en la praacutectica es poco atractivo cercar terrenos circulares por diversas razones pero en la naturaleza es comuacuten observar que las gotas de lluvia sean esferas esto permite el optimizar recursos y maacuteximizar el volumen del liacutequido contenido en la misma Se iniciara el estudio formal de maacuteximos y miacutenimos de funciones de varias variables observando las siguientes graficas con la finalidad de tener la idea clara de que es un maacuteximo o miacutenimo o un punto silla
En la primera de ellas se observa que la funcioacuten tiene un valor miacutenimo en la segunda se observa que la funcioacuten tiene un valor maacuteximo y en la uacuteltima la funcioacuten tiene un punto silla este se identifica el dirigirnos en una direccioacuten la funcioacuten crece mientras que en la otra la funcioacuten decrece
Definicioacuten- Una funcioacuten mn RRf tiene un valor maacuteximo local en x0 si en
una vecindad de dicho valor se cumple que la funcioacuten evaluada en todos los vecinos ninguno de ellos supera a f(x0) Es decir f(x0) f(x) para todo x en una vecindad de x0 El punto es llamado un maacuteximo absoluto si la funcioacuten toma el valor maacuteximo en dicho punto para todo valor de su dominio
Esto es muy similar cuando uno observa a los alumnos de un saloacuten de clases existe un alumno que tiene la mayor estatura si ninguno de sus compantildeeros lo supera Asiacute en la escuela el alumno de mayor estatura absoluta es aquel que supera a todo el plantel
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La definicioacuten para el miacutenimo local (absoluto) es similar
f(x0) f(x) para todo en una vecindad de x0 Por ejemplo la funcioacuten f(xy) = x2+y2 tiene un valor miacutenimo en el origen dado que en este valor la funcioacuten vale cero mientras que fuera de ahiacute siempre es positiva dado que todo nuacutemero real elevado al cuadrado es siempre positivo Ademaacutes dicho valor es un miacutenimo absoluto Como se menciono al inicio de esta capitulo el diagrama del campo
gradiente de esta funcioacuten y
xyxf
2
2)( indica que la funcioacuten tiene un valor
miacutenimo siendo la grafica del mismo la siguiente Sin embargo se requiere un criterio maacutes general y sistemaacutetico que permita establecer los posibles valores maacuteximos miacutenimos o puntos silla) Definicioacuten- (Un valor extremo) Si la funcioacuten posee un valor maacuteximo o miacutenimo este es llamado un valor extremo Definicioacuten- (Un valor critico) Un punto en donde la derivada de la funcioacuten se anula es llamado un valor critico Teorema- Todo valor extremo es un valor critico Es decir si f posee un valor extremo en x0 que pertenece a su dominio entonces la derivada de la funcioacuten en el punto x0 se anula Es decir Df(x0) = 0 Demostracioacuten- Sea l(t) una trayectoria que pasa a traveacutes por el punto x0 defina la composicioacuten de funciones h(t) = f(l(t)) donde l(t) = x0 + tv de donde lrsquo(t) = v y ademaacutes
))(()())(()( VtlftDltlDftDh (1)
Por otra parte como f posee un valor extremo en x0 suponga que dicho
valor es un maacuteximo entonces x0 seraacute a la vez un maacuteximo para la funcioacuten h y como h es una funcioacuten real esto significa que la derivada de h en dicho punto
se anula es decir 0)()0())0(()0( 0 vxfDllDfDh ahora como los
vectores )( 0xf y v no son necesariamente perpendiculares y el vector v a la
vez tampoco se anula entonces esto implica que el gradiente de f en x0 es igual a cero y por lo tanto f posee un valor criacutetico en x0
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Este resultado permite establecer posibles valores criacuteticos de una funcioacuten asiacute se menciona el siguiente ejemplo Ejemplo- Determine los posibles valores criacuteticos de las siguientes funciones (1) f(x y) = x2 + y2 y (2) g(x y) = 4x3 -12x + y2
Solucioacuten-
(1) 0
0
2
2)(
y
xyxf de aquiacute se concluye que dicho valor soacutelo
existe un valor criacutetico siendo este el origen el cuaacutel ya se clasifico en estos apuntes y resulto ser un valor miacutenimo
(2) 0
0
2
1212)(
2
y
xyxg de aquiacute se obtienen dos valores criacuteticos
que son (-10) y 1l (10) Los cuales se pueden clasificar el realizar el graacutefico del campo gradiente En donde se aprecia que en el punto (-10) la funcioacuten posee un punto silla mientras que en el punto (10) la funcioacuten posee un valor miacutenimo
Aquiacute se utilizaraacute el criterio del hessiano para determinar si el valor criacutetico es un maacuteximo un miacutenimo o un punto silla Solo se enunciara el teorema sin demostracioacuten para ver la misma puede revisar en el libro de Marsden Tromba de Caacutelculo Vectorial
Definicioacuten- El Hessiano de una funcioacuten 22 RRH de clase C2 se define como una funcioacuten cuadraacutetica que se escribe como
2
1
2
22
2
2
2
21212
1)(
h
h
y
f
yx
f
xy
f
x
f
hhhhH
Evaluada la matriz de las segundas derivas parciales en el valor criacutetico
Teorema- Si el Hessiano de una funcioacuten 2 RRf es definitivamente
positivo entonces la funcioacuten tiene un valor miacutenimo en dicho punto
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Corolario- Si la matriz asociada A=cb
ba de una forma cuadraacutetica dos
por dos es definitivamente positiva si y soacutelo si se cumple que agt0 y det A gt0
Teorema de una valor para un valor extremo miacutenimo- Una funcioacuten
2 RRf de clase C2 posee un valor extremo miacutenimo local en x0 elemento
del dominio de la funcioacuten si y soacutelo si se satisfacen las siguientes condiciones
(i) 0)( 0xx
f y 0)( 0x
y
f
(ii) )( 02
2
xx
f gt 0
(iii) )( 02
2
xx
f)( 02
2
xy
f)(
2
2
oxx
f)( 02
2
xx
f gt 0
Para un valor maacuteximo las condiciones (i) y (iii) se mantienen la uacutenica que cambia en la segunda en donde esta debe ser negativa Para un punto silla se requiere que al menos no se cumplan las condiciones de valor maacuteximo ni miacutenimo y que la uacuteltima condicioacuten (iii) sea distinta de cero En caso contrario el criterio no permite clasificar dicho valor como se mostraraacute en un ejemplo maacutes adelante Ejemplo- Ahora continuando con los ejemplos anteriores
(1) Para f(xy) = x2+y2 el valor critico es el origen y el hessiano asociado es
2
1
212100
02
2
1)(
h
hhhhhH
Como se pude apreciar el primer valor es positivo 2 gt0 y el determinante de
la funcioacuten 20
02det es igual a 4 que a la vez es positivo de manera tal que la
funcioacuten posee un valor miacutenimo en el origen
(2) g(x y) = 4x3 -12x + y2 los puntos criticos son (-10) y (10) y el hessiano asociado a esta forma cuadraacutetica es
2
1
212120
024
2
1)(
h
hxhhhhHg
Ahora al evaluar en los puntos se tiene En el (-10)
2
1
212120
024
2
1)(
h
hhhhhHg
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38
En donde -24 lt 0 y det Hg = -48 lt0 con lo cuaacutel debe de ser un punto silla
En el (10)
2
1
212120
024
2
1)(
h
hhhhhHg
En donde 24 gt 0 y det Hg = 48 gt0 con lo cuaacutel debe de ser un punto miacutenimo
Tal como se habiacutea estimado en la graacutefica del campo gradiente de la
solucioacuten anterior A continuacioacuten se muestra un bosquejo de dicha graacutefica realizado en el derive
Ejemplos de cuando el criterio permite clasificar los
valores criacuteticos
Ejemplo- A continuacioacuten se mostrara un ejemplo de cuando el criterio no concluye asiacute si la funcioacuten es h(xy) = x4+y4 al calcular las derivas parciales mixtas fx=4x3 y fy=4y3 se encuentra un solo valor critico el origen miestras que la matriz asociada del hessiano es
2
2
120
012
y
x y al evaluar en el origen queda expresada como
00
00
)0(120
0)0(122
2
En donde se puede apreciar que fallan todos los criterios una inspeccioacuten de
la funcioacuten original permite ver que la funcioacuten tiene un valor miacutenimo en dicho punto pero no es una generalizacioacuten es decir no se puede decir que siempre que aparezca la matriz de ceros se tenga un valor miacutenimo dado que si se analiza ahora a las funciones k(xy) = -x4-y4 y p(xy) = x4-y4 ambas tienen como calor extremo al origen y la matriz hessiana asociada a la forma cuadraacutetica evaluada en el origen es la matriz de ceros
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39
Ejemplo- Otro ejemplo en donde el criterio no concluye es el siguiente en
donde el determinante de la matriz H es cero debido a que la segunda derivada de la funcioacuten f con respecto a la segunda variable se anula (fyy = 0) y no se puede asegurar que se tenga un punto maacuteximo miacutenimo o silla
Las funciones f1(xy) = x2 f2(xy) = -x2 y f3(xy) = x3 presentan este
problema a continuacioacuten se muestran las graficas de dichas funciones
En cada una de ellas los puntos criacuteticos son las parejas en el plano (0 y) Es decir el eje coordenado X
El Hessiano respectivo de cada uno es el siguiente
00
02)(1 yxH
00
02)(2 yxH
00
03)(3
xyxH
Note que el determinante de cada de estas matrices se hace cero y que fyy
se anula en cada caso
Ahora observando las graacuteficas se verifica visualmente que en la primera se tienen valores miacutenimos en la segunda maacuteximos y en la uacuteltima no es ni maacuteximo ni miacutenimo o punto silla
Ejemplo- Citemos otro ejemplo en donde el criterio de maacuteximos y miacutenimos
no concluye Determine los puntos criacuteticos de la funcioacuten h(xy) = x4 Se tiene que hx=4x3=0 y hy=0 de donde se deduce que la funcioacuten tiene
un nuacutemero infinito de puntos criacuteticos estos son las parejas ordenadas en el plano (0y)
La matriz del Hessiano asociado es
00
012)(
2
1
xyxH y evaluando en el punto
00
00)0(1 yH
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40
En donde no se puede clasificar a los valores criacuteticos sin embargo
realizando una inpeccioacuten de la funcioacuten se puede concluir que todos los puntos representan valores miacutenimos de la funcioacuten original a continuacioacuten se muestra la grafica de la misma
El Hessiano para n variables y el criterio de clasificacioacuten
Cuando la funcioacuten tiene maacutes de dos variables se genera una matriz asociada H en cada uno de los valores criacuteticos de la siguiente forma
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
H
21
22221
11211
De aquiacute se definen las siguientes matrices
111 aH 2221
1211
2aa
aaH hellip HH n
Los criterios para los valores criacuteticos de la funcioacuten RRf n son los
siguientes [Miacutenimo Local] La funcioacuten f posee un valor extremo local miacutenimo en x0 si todos los determinantes de las submatrices evaluados en x0 son positivos
0det 1H 0det 2H hellip 0det 2H (+ + hellip +)
En este caso la forma cuadraacutetica se puede probar que es definitivamente positiva [Maacuteximo Local] La funcioacuten f posee un valor extremo local miacutenimo en x0 si todos los determinantes de las submatrices evaluados en x0 se alternan en signo pero el primero de ellos debe ser negativo
0det 1H 0det 2H hellip 0det 2H (- + - + hellip )
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En este caso la forma cuadraacutetica se puede probar que es definitivamente negativa [Punto Silla] La funcioacuten f posee un punto silla si no se cumplen los criterios de valor miacutenimo o maacuteximo y al menos uno de los subdeterminantes es distinto de cero
Existe un i tal que 0det iH
Ejemplos- Determine los valores criacuteticos de las siguiente funcioacuten f(x y z w) = x3 - 3x + y3 ndash 3y + z2 + w2 y claacutesifiquelos Solucioacuten- Al resolver las siguientes ecuaciones
033 2 xxf x 033 2 yyf y 02zf z y 033 2 wwfw
Se obtienen cuatro puntos criacuteticos que son (-1-100) (-1100) (1-100) y (1100) ahora se genera la matriz del hessiano asociado siendo esta
2000
0200
0060
0006
y
x
H
Al evaluar en cada uno de los puntos se tienen las siguientes matrices
2000
0200
0060
0006
)0011(H
2000
0200
0060
0006
)0011(H
2000
0200
0060
0006
)0011(H y
2000
0200
0060
0006
)0011(H
Los sub determinantes para cada uno de los puntos son [(-1 -1 0 0)] -6 36 72 144 que clasifica como un punto silla [(-1100)] -6 -36 -72 -144 que clasifica como un punto silla [(1-100)] 6 -36 -72 -144 que clasifica como un punto silla [(1100)] 6 36 72 144 que clasifica como un valor miacutenimo De manera tal que la funcioacuten tiene tres puntos silla y un valor miacutenimo
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Ejercicios- Determine los puntos criacuteticos de las siguientes funciones y claacutesifiquelos utilizando el criterio del Hessiano
(1) f(x y) = x2 - y2 (Silla de montar)
(2) g(x y) = 22 yx (Cono)
(3) h(x y z) = x4 - 2x2 + 2y3 -3y2 + z3-3 Ejercicio- Se requiere construir una lata con tapa que contenga un litro de agua con el miacutenimo de material determine las condiciones que oacuteptimizan el problema Ejercicio- Determine el producto maacuteximo de tres nuacutemeros si la suma de ellos debe ser 40 Ejercicio- Determine la distancia miacutenima del origen a la graacutefica de la funcioacuten f(xy) = 4-x2+y Ejercicio- Estudie los ejemplos resueltos que trae el libro de Marden Tromba en el capitulo 4 en especial el referente a la ecuacioacuten de miacutenimos cuadrados Ejercicio- Determine la ecuacioacuten lineal que mejor se ajusta a los puntos (12) (2 32) (3 389) (4 488) (5 55) Utilize el criterio de miacutenimos cuadrados en caso de que el modelo sea lineal (justifique la linealidad del mismo realice una graacutefica de los puntos y de la liacutenea que ajusta a los puntos) Ejemplo- (Aplicacioacuten) En este ejemplo dermina la distancia miacutenima del punto (100) a la graacutefica de una funcioacuten f(x y) = x2+y2
Solucioacuten- Todos los puntos que se encuentran sobre la graacutefica de la funcioacuten satisfacen la siguiente terna de valores en donde se observa que la tercer componente es la variable dependiente (x y x2+y2)
La distancia del punto (1 0 0) a los puntos que estaacuten sobre la graacutefica (x y x2+y2) Se define por medio de la funcioacuten
2222222 )()1()()001()( yxyxyxyxdyxfd
Para determinar el valor miacutenimo o maacuteximo de esta funcioacuten basta con
analizar su argumento dado que es un funcioacuten creciente Es decir Si x1lt x2
entonces f(x1) lt f(x2) lo que es vaacutelido para la funcioacuten )( xxf (ver graacutefica)
2x
1x
x1 x2
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De este modo la funcioacuten a maximizar es
2222222
11 )()1()()001()( yxyxyxyxdyxfd
De aquiacute al las derivadas parciales son
)(4)1(2)( 22
1 yxxxyxfd x y )(42)( 22
1 yxyyyxfd y
Igualando ambas ecuaciones a cero se puede establecer la siguiente
ecuacioacuten
)(4
)(4
2
2222
22
yxy
yxx
y
x (3)
De aquiacute si )00()( yx y 0y se concluye que -1=0 lo cual es una
contradiccioacuten Por otra parte si (xy)=(00) en la primera ecuacioacuten se tiene que 1=0 que es tambieacuten una contradiccioacuten Finalmente si se considera el caso en
que y=0 se obtiene de la siguiente ecuacioacuten 012 3 xx
El polinomio 12)( 3 xxxP tiene una raiacutez entre el cero y el 1 dado
que P(0)=-1 y P(1)=2 Con el anaacutelisis de raiacuteces racionales dos posibles raiacuteces
son 2
1 y como
2
1 estaacute entre cero y uno al usando divisioacuten sinteacutetica se
obtiene que 4
1
2
1P Asiacute que la raiacutez debe de estar en el intervalo 1
2
1
Ahora usando el meacutetodo de Newton con semilla en 2
10x se obtiene
que 6010
6
2
54
1
2
1
)(
)(
0
0
01xf
xfxx
Ahora al evaluar la funcioacuten en dicho punto se tiene que 0320)60(P el
cual es aceptable como raiacutez del polinomio en una sola interaccioacuten De manera tal que el punto criacutetico de la funcioacuten es el (060) El Hessiano asociado es
24128
82412)(
22
22
xyxy
xyyxyxH
Como se puede apreciar el primer elemento de la matriz es positivo independientemente de los valores de x e y Falta evaluar el determinante de H este es igual a
)64)2412)(2412()(det 222222 yxxyyxyxH
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Ahora evaluando en (06 0) se tiene 7421)443)(326()060(det H
Que tambieacuten es positivo de manera tal que se tiene un valor miacutenimo Es
decir la se obtuvo la distancia miacutenima
Maacuteximos y Miacutenimos con restricciones
Los muacuteltiplicadores de Lagrange permite determinar valores maacuteximos o miacutenimos de funciones con restricciones De este tipo de problemas esta lleno nuestro contorno desde el panedero que desea producir la maacutexima cantidad de pan pero con la restriccioacuten del capital que tiene o la posible venta del diacutea para que no tenga sobrantes
Citemos el siguiente ejemplo la graacutefica de paraboloide z = x2+y2 esta
graacutefica soacutelo tiene un valor miacutenimo en el origen sin embargo si esta restringida
al cuadrado unitario 1111 la funcioacuten alcanza cuatro puntos maacuteximos en
los puntos (-11)(-1-1) (1 -1) y (11) a saber dicho valor es 2 Como se observa en la figura
Ahora si se trabaja con la silla de montar con la misma restriccioacuten esta
funcioacuten tiene originalmente un punto silla en el origen pero al analizar las restricciones se contiene dos valores maacuteximos y dos miacutenimos en los puntos (10) (-10) (0-1) y (01)
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Muacuteltiplicadores de Lagrange Teorema- Dadas dos funciones fg Rn a R diferenciables en X0 elemento del dominio de ambas funciones Si Lc es el conjunto de nivel de valor c de la funcioacuten g y si f posee un valor maacuteximo miacutenimo o silla en la restriccioacuten Lc
entonces existe un nuacutemero real λ tal que )()( 00 XgXf
Se puede ver parte de la demostracioacuten de este teorema en el libro de Marsden Tromba Para clasificar los puntos criacuteticos se utiliza el criterio del Hessiano limitado el cuaacutel se define a partir de la funcioacuten auxiliar H(x1 x2 hellip xn) = f(x1 x2 hellip xn) - λ g(x1 x2 hellip xn)
nnnn
n
n
xxxxx
xxxxx
xx
hhg
hhg
gg
H
1
1111
10
||
Ahora defina los siguientes determinantes
22122
21111
210
|| 1
xxxxx
xxxxx
xx
hhg
hhg
gg
H
3323131
3222121
3121111
3210
|| 2
xxxxxxx
xxxxxxx
xxxxxxx
xxx
hhhg
hhhg
hhhg
ggg
H ||det|| HHn
Criterios para maacuteximos y miacutenimos con restricciones (Hessiano liacutemitado) [Miacutenimo Local] Se tiene un miacutenimo local si y soacutelo si todos los determinantes son negativos |H1| lt0 |H2| lt0 hellip |Hn|lt0 ( - - - - - hellip)
[Maacuteximo Local] Se tiene un maximo local si y soacutelo se inicia con un determinante positivo y luego se alternan los signos |H1| gt 0 |H2| lt 0 hellip |Hn|lt0 (+ - + - hellip)
[Punto del tipo Silla] Se tiene un punto tipo silla sino se satisface los criterios de maacuteximos o miacutenimos y al menos uno de los determinantes es distinto de cero Ejemplo- Determine si la funcioacuten f(xy)= x2 ndash y2 tiene valores criacuteticos en la restriccioacuten x2+y2=1
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)(2
2
2
2)( 00 Xg
g
g
y
x
y
x
f
fXf
y
x
y
x
de aquiacute se obtienen las ecuaciones 2x = 2 λx -2y = 2 λy x2 + y2 =1 Las soluciones de este sistema de ecuaciones son (-101) (101) (0-1-1) y (0-11) El Hessiano liacutemitado es
2202
0222
220
||
y
x
yx
H
El determinante es igual a det|H| = 8x2(1+λ) ndash 8y2(1-λ) ahora evaluando
cada uno de los puntos se tiene que det|H|(-101) = 16 gt 0 det|H|(101) = 16 gt 0 det|H|(0-1-1) = -16 lt 0 det|H|(0-11) = -16 lt 0
De manera tal que la funcioacuten posee dos valores maacuteximos en los puntos (-10) y (10) y por otra parte tiene dos valores miacutenimos en los puntos (0-1) y (0-1) Ejemplo- Determine si la funcioacuten f(xy)= x2+y2 tiene valores criacuteticos en la restriccioacuten x2-y2 le 4 Al iniciar este estudio se trabaja con el interior es decir x2-y2 lt 4 dando como resultado el anaacutelisis de maacuteximos y miacutenimos de una funcioacuten en general de donde el gradiente de f se anula uacutenicamente en el origen siendo este valor un miacutenimo como se habiacutea visto en un ejercicio anterior para la funcioacuten del paraboloide Ahora al trabajar sobre la frontera se usa el criterio de muacuteltiplicadores de Lagrange
)(2
2
2
2)( 00 Xg
g
g
y
x
y
x
f
fXf
y
x
y
x
de aquiacute se obtienen las ecuaciones 2x = 2 λx 2y = -2 λy x2 - y2 = 4
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Las soluciones de este sistema de ecuaciones son (-201) y (201) El Hessiano liacutemitado es
2202
0222
220
||
y
x
yx
H
El determinante es igual a det|H| = -8x2(1+λ) + 8y2(1-λ) ahora
evaluando en cada uno de los puntos se tiene que det|H|(201) = -64 gt 0 y det|H|(-201) = -64 lt 0
De manera tal que la funcioacuten posee dos valores miacutenimos en los puntos (-20) y (20)
Una anaacutelisis de la graacutefica de esta funcioacuten permite visualizar que dichos
puntos no son miacutenimos maacutes bien son puntos tipos silla y no es que el criterio falle sino maacutes bien que los valores son miacutenimos pero sobre el complemento es decir bajo la restriccioacuten x2-y2 ge 4 Ejemplo- Determine los valores criacuteticos de la funcioacuten f(xyz) = 2x+y+3z sujeta a la restriccioacuten x2+y2+z2 le 36 Solucioacuten- Un anaacutelisis de las condiciones iniciales muestra que la graacutefica a maximizar en un hiperplano restringido en su dominio a una esfera de radio 6 de acuerdo a estas condiciones la funcioacuten en su interior no debe tener valor criacuteticos y en la frontera debe tener un valor miacutenimo y un valor maacuteximo En el interior- Al derivar la funcioacuten original se tiene lo siguiente
3
1
2
)( 0
z
y
x
f
f
f
Xf
De aquiacute se observa que la funcioacuten no posee valores criacuteticos en todo su dominio tal y como se esperaba Frontera- Al utilizar las condiciones del los Muacuteltiplicadores de Lagrange se tiene lo siguiente
)(
2
2
2
3
1
2
)( 00 Xg
z
y
x
f
f
f
Xf
z
y
x
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De aquiacute se genera el siguiente sistema de ecuaciones 2 = 2λx 1 = 2λy 3 = 2λz x2+y2+z2=36
Resolviendo el sistema se concluye que 2
1
1yx amp
2
3z Ahora
sustituyendo en la uacuteltima ecuacioacuten se deduce que la funcioacuten posee dos valores criacuteticos que son
18
14
14
1427
14
149
14
1418amp
18
14
14
1427
14
149
14
1418
La funcioacuten auxiliar es H(xyzλ) = 2x+y+3z-λ(x2+y2+z2) donde Hx=2-2λx Hy=1-2λy Hz=3-2λz El Hessiano Liacutemitado es
2002
0202
0022
2220
||
z
y
x
zyx
H
De aquiacute
0
0)(8
202
022
220
|| 22
1si
siyx
y
x
yx
H
0576)(16
2002
0202
0022
2220
|| 22222 zyx
z
y
x
zyx
H
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De aquiacute se desprende que la funcioacuten f(xyz) = 2x+y+3z posee un valor miacutenimo
en el punto 18
14
14
1427
14
149
14
1418 restringido a x2+y2+z2 = 36 y un
maacuteximo en el punto 18
14
14
1427
14
149
14
1418
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Tarea nuacutemero 4 Maacuteximos y Miacutenimos
Objetivo- Que el alumno sea capaz de aprender a resolver problemas asociados a la vida real haciendo uso del caacutelculo de varias variables Aquiacute se enuncian los siguientes ejercicios adicionales dado que muchos de los mismos se fueron exponiendo a lo largo del capiacutetulo y se sugiere que se revisen los problemas resueltos y propuestos en la libros de la bibliografiacutea dado que las aplicaciones son muchas 1- Determine los valores maacuteximos y miacutenimos de la funcioacuten f(xy) = x +y sujeta a la restriccioacuten x2+2y2le18 (Realice un bosquejo de la graacutefica y se restriccioacuten)
2- Determine los valores maacuteximos y miacutenimos de la funcioacuten f(xy) = x2 +y2 sujeta a la restriccioacuten x+2y le 4 (Realice un bosquejo de la graacutefica y se restriccioacuten)
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Bibliografiacutea
1 Caacutelculo Vectorial Marsden amp Tromba Addison-Wesley Iberoamericana
2 Caacutelculo Multivariable James Steward Thomson Editores
3 Caacutelculo con Geometriacutea Anaacutelitica Zill Grupo Editorial Iberoameacuterica
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ecuacioacuten de la circunferencia quedando expresada la trayectoria de la siguiente forma
σ(y) = (2Cos(t) 2Sen(t) con 0letle2π En esta ecuacioacuten define por completo a la curva auacuten y cuando la
ecuacioacuten original no es una funcioacuten siendo esto una ventaja del estudio de la trayectorias
Ejemplo- La parametrizacioacuten de la elipse 12
2
2
2
b
y
a
x queda
expresada por x = aCos(t) y=bSen(t) se deja como ejercicio comprobar este resultado
Ejemplo- La parametrizacioacuten de la hiperbola 12
2
2
2
b
y
a
x queda
expresada por x = aCosh(t) y=bSenh(t) en donde se trabaja con las funciones de Seno y Coseno hiperboacutelicas se deja como ejercicio comprobar este resultado (aunque soacutelo permite representar el lado correspondiente a los cuadrantes I y IV en donde la x es no negativa
Derivada de una trayectoria La derivada de una trayectoria es un vector tangente a la curva esto se
deriva del siguiente anaacutelisis
Dada la trayectoria σ(t) se grafican la posicioacuten de la curva al tiempo t y t+h luego trace el vector asociado a la liacutenea secante que une los puntos de aquiacute al tomar valores cada vez maacutes pequentildeos de h el vector secante se convierte en un vector tangente a la curva como se muestra a continuacioacuten
Por otra parte el anaacutelisis vectorial de este cociente es
)()()(
0
tt
tht
h
Liacutem
Es decir la derivada de la trayectoria y el vector resultante es
tangente a la curva
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Asiacute para el caso de una curva en el plano la trayectoria se puede describir por medio de dos funciones x(t) y(t) de la siguiente forma
)(
)()(
ty
txt
En donde la derivada de esta funcioacuten es
)(
)()(
ty
txt
Vector tangente a la graacutefica de una circunferencia de radio R Ahora si se tiene la parametrizacioacuten de una circunferencia esta esta
dada por σ(t) = ( RCos(t) R Sen(t))
Y X
Un vector tangente tiene que cumplir que su producto punto tiene que
ser cero de aquiacute si V=(AB) al multiplicarlo por el vector σ su producto punto tiene que ser cero
De aquiacute que σ(t)V = ARCos(t) + BRSen(t) = 0 Existiendo muchas soluciones a este sistema de ecuaciones siendo una
de ellas cuando A = Cos(t) B=-Sen(t)
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Vector trasladado
Siendo este un vector tangente a la curva ahora al derivar las
componentes xrsquo(t) = -RSen(t) y(t) = RCos(t) que es un muacuteltiplo escalara del vector tangente mostrado anteriormente
Definicioacuten- (Rotacional) El rotacional de un campo vectorial
F=Pi+Qj+Rk de clase C1 de define como el vector
i j k
RotFx y z
P Q R
Ejemplos- Determine el rotacional de los siguientes campos vectoriales
F1=xi+yj+zk F2=x2yi-xy
2j-3zyk
Solucioacuten-
1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0
i j k
RotF z y i z x j y x kx y z y z x z x y
x y z
2 2 2 2
2
2 2
( 3 ) ( ) ( 3 ) ( ) ( ) ( )
3
i j k
RotF zy xy i zy x y j xy x y kx y z y z x z x y
x y xy zy
2 2
2
2 2
3 0
3
i j k
RotF z i j y x kx y z
x y xy zy
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Definicioacuten- (Divergencia) Si F es un campo vectorial de clase C1 la divergencia de F se define como un campo escalar de la siguiente forma
( )P Q R
divF div Pi Qj Rkx y z
Ejemplos- Determine la divergencia de los siguientes campos vectoriales F1=xi+yj+zk F2=x
2yi-xy
2j-3zyk
Solucioacuten-
1 ( ) ( ) ( ) ( ) 3divF div xi yj zk x y zx y z
2 2 2 2
2 ( 3 ) ( ) ( ) ( 3 ) 2 2 3 3divF div x yi xy j zyk x y xy zy xy xy y yx y z
Definicioacuten- (Laplaciano) Si f es un campo escalar de clase C2 el Laplaciano de f se define como un campo escalar de la siguiente forma
2 2 2
2
2 2 2xx yy zz
f f ff f f f f
x y z
Ejemplos- Determine la divergencia de los siguientes campos escalares g1(x
y z) = xy2z
3 g2(x y z) = x
2 + y
2 + z
2
2 2 2
2 2 3 2 3 2 3 2 3 3 2 2
2 2 2( ) ( ) ( ) 2 3 f f xy z xy z xy z y z yz xy z
x y z
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2( ) ( ) ( ) 6f f x y z x y z x y z
x y z
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Tarea nuacutemero 3 Trayectorias
Objetivo- Que el alumno sea capaz de comprender los conceptos de movimiento de una partiacutecula a lo largo de una trayectoria y de la importancia del uso de vectores en este tema 1- Si la trayectoria σ(t) = t2i+t2j define la trayectoria seguida por una partiacutecula con respecto al tiempo determine 1a- iquestEl tipo de trayectoria que describe 1b- Realice una graacutefica de la distancia recorrida por la partiacutecula con respecto al tiempo en los primeros tres segundos 1c- Determine el tipo de movimiento de la partiacutecula 1d- iquestSe puede afirmar que es un movimiento uniformemente acelerado 1e- Determine la aceleracioacuten y velocidad a los cuatro segundos 1f- Realice una graacutefica de su rapidez con respecto al tiempo 1g- Realice una graacutefica de sus aceleracioacuten con respecto al tiempo 1h- En la graacutefica de la trayectoria agregue graacuteficamente los vectores aceleracioacuten y velocidad 2- Realice lo mismo que en ejercicio anterior pero ahora con la funcioacuten γ(t) = Cos(t) i+5Sen(t)j 3- Dadas las funciones f(t) = 3t2i-4t3j+e2tk y g(t) = 4t3i+4t2j+e-2tk 3a- Determine la funcioacuten producto punto h = fg 3b- Determine la derivada de h 3c- Usando la regla de diferenciacioacuten determine la derivada de h y compruebe el inciso anterior 4a- Determine la funcioacuten producto cruz k = ftimesg 4b- Determine la derivada de h 4c- Usando la regla de diferenciacioacuten determine la derivada de h y compruebe el inciso anterior 5- Determine el Rotacional y la Divergencia del siguiente campo vectorial G(x y z) = 2xy i + 3xz j - 5xy k 6- Determine el gradiente y el Laplaciano del siguiente campo escalar f(xyz) = 4x2-3yz2 7- Dado el campo vectorial F(x y z) = 2xy i + x2 j +3z2 k 7a- Determine si F puede representar el gradiente de un campo escalar f 7b- En caso de ser afirmativa la respuesta del inciso anterior determine el campo escalar f 8- Pruebe que la divergencia del rotacional de un campo vectorial F=Pi+Qj+Rk es igual a cero Es decir la div rot F =0 9- Usando las reglas de diferinciacioacuten pruebe que
gfgfgf
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100 -x
Capitulo 4 Maacuteximos y miacutenimos
Es indispensable determinar en distintos problemas las soluciones oacuteptimas que permitan establecer por ejemplo los valores maacuteximos de produccioacuten o ahorrar el material en la construccioacuten de cierto equipo
Como se recordaraacute el gradiente de una funcioacuten indica la direccioacuten de
maacuteximo crecimiento esto se refleja en que si se toma la direccioacuten sugerida por este vector el valor de la funcioacuten aumenta en una vecindad del mismo asiacute si en un diagrama de un campo gradiente aparecen un punto en donde convergen la direccioacuten de todos los gradientes se encontraraacute que dicho valor debe de ser un valor maacuteximo para la funcioacuten de estudio Un diagrama de esta tipo se ejemplifica a continuacioacuten
Un diagrama en donde todos los vectores apuntan hacia fuera de un
punto indicaraacute que este punto debe de ser un valor miacutenimo de la funcioacuten Citemos el siguiente ejemplo de una variable con la finalidad de
centrarnos en el tema Una persona desea bardear un terreno en forma rectaacutengular cuanto debe de medir cada lado de manera tal que el aacuterea cercada sea maacutexima si se cuenta con 200 metros de malla
La funcioacuten que representa dicho modelo es
A(x) = x(100-x) x
Como se puede observar el aacuterea es cero si x es igual a cero o a cien con lo cuaacutel el lado x debe de estar en en intervalo [0 100] siendo estas las restricciones del problema Derivando la funcioacuten para obtener los valores critiacutecos se tiene que Arsquo(x) = 100 ndash 2x
Al igual la derivada a cero se concluye que el valor critico es x es igual a 50 Al derivar por segunda ocasioacuten se concluye que
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Arsquorsquo(x) = -2 Como la segunda derivada es siempre negativa se concluye que la funcioacuten alcanza un valor maacuteximo en el valor critico en este caso en x = 50 al interpretar dicho resultado se concluye que el terreno que optimiza la solucioacuten es un cuadrado Ejercicio- Que aacuterea se genera si el terreno es de forma circular Al resolver el ejercioacute anterior y comparar las aacutereas del cuadrado y del circulo se puede apreciar que el aacuterea del circulo es mayor pero en la praacutectica es poco atractivo cercar terrenos circulares por diversas razones pero en la naturaleza es comuacuten observar que las gotas de lluvia sean esferas esto permite el optimizar recursos y maacuteximizar el volumen del liacutequido contenido en la misma Se iniciara el estudio formal de maacuteximos y miacutenimos de funciones de varias variables observando las siguientes graficas con la finalidad de tener la idea clara de que es un maacuteximo o miacutenimo o un punto silla
En la primera de ellas se observa que la funcioacuten tiene un valor miacutenimo en la segunda se observa que la funcioacuten tiene un valor maacuteximo y en la uacuteltima la funcioacuten tiene un punto silla este se identifica el dirigirnos en una direccioacuten la funcioacuten crece mientras que en la otra la funcioacuten decrece
Definicioacuten- Una funcioacuten mn RRf tiene un valor maacuteximo local en x0 si en
una vecindad de dicho valor se cumple que la funcioacuten evaluada en todos los vecinos ninguno de ellos supera a f(x0) Es decir f(x0) f(x) para todo x en una vecindad de x0 El punto es llamado un maacuteximo absoluto si la funcioacuten toma el valor maacuteximo en dicho punto para todo valor de su dominio
Esto es muy similar cuando uno observa a los alumnos de un saloacuten de clases existe un alumno que tiene la mayor estatura si ninguno de sus compantildeeros lo supera Asiacute en la escuela el alumno de mayor estatura absoluta es aquel que supera a todo el plantel
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La definicioacuten para el miacutenimo local (absoluto) es similar
f(x0) f(x) para todo en una vecindad de x0 Por ejemplo la funcioacuten f(xy) = x2+y2 tiene un valor miacutenimo en el origen dado que en este valor la funcioacuten vale cero mientras que fuera de ahiacute siempre es positiva dado que todo nuacutemero real elevado al cuadrado es siempre positivo Ademaacutes dicho valor es un miacutenimo absoluto Como se menciono al inicio de esta capitulo el diagrama del campo
gradiente de esta funcioacuten y
xyxf
2
2)( indica que la funcioacuten tiene un valor
miacutenimo siendo la grafica del mismo la siguiente Sin embargo se requiere un criterio maacutes general y sistemaacutetico que permita establecer los posibles valores maacuteximos miacutenimos o puntos silla) Definicioacuten- (Un valor extremo) Si la funcioacuten posee un valor maacuteximo o miacutenimo este es llamado un valor extremo Definicioacuten- (Un valor critico) Un punto en donde la derivada de la funcioacuten se anula es llamado un valor critico Teorema- Todo valor extremo es un valor critico Es decir si f posee un valor extremo en x0 que pertenece a su dominio entonces la derivada de la funcioacuten en el punto x0 se anula Es decir Df(x0) = 0 Demostracioacuten- Sea l(t) una trayectoria que pasa a traveacutes por el punto x0 defina la composicioacuten de funciones h(t) = f(l(t)) donde l(t) = x0 + tv de donde lrsquo(t) = v y ademaacutes
))(()())(()( VtlftDltlDftDh (1)
Por otra parte como f posee un valor extremo en x0 suponga que dicho
valor es un maacuteximo entonces x0 seraacute a la vez un maacuteximo para la funcioacuten h y como h es una funcioacuten real esto significa que la derivada de h en dicho punto
se anula es decir 0)()0())0(()0( 0 vxfDllDfDh ahora como los
vectores )( 0xf y v no son necesariamente perpendiculares y el vector v a la
vez tampoco se anula entonces esto implica que el gradiente de f en x0 es igual a cero y por lo tanto f posee un valor criacutetico en x0
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Este resultado permite establecer posibles valores criacuteticos de una funcioacuten asiacute se menciona el siguiente ejemplo Ejemplo- Determine los posibles valores criacuteticos de las siguientes funciones (1) f(x y) = x2 + y2 y (2) g(x y) = 4x3 -12x + y2
Solucioacuten-
(1) 0
0
2
2)(
y
xyxf de aquiacute se concluye que dicho valor soacutelo
existe un valor criacutetico siendo este el origen el cuaacutel ya se clasifico en estos apuntes y resulto ser un valor miacutenimo
(2) 0
0
2
1212)(
2
y
xyxg de aquiacute se obtienen dos valores criacuteticos
que son (-10) y 1l (10) Los cuales se pueden clasificar el realizar el graacutefico del campo gradiente En donde se aprecia que en el punto (-10) la funcioacuten posee un punto silla mientras que en el punto (10) la funcioacuten posee un valor miacutenimo
Aquiacute se utilizaraacute el criterio del hessiano para determinar si el valor criacutetico es un maacuteximo un miacutenimo o un punto silla Solo se enunciara el teorema sin demostracioacuten para ver la misma puede revisar en el libro de Marsden Tromba de Caacutelculo Vectorial
Definicioacuten- El Hessiano de una funcioacuten 22 RRH de clase C2 se define como una funcioacuten cuadraacutetica que se escribe como
2
1
2
22
2
2
2
21212
1)(
h
h
y
f
yx
f
xy
f
x
f
hhhhH
Evaluada la matriz de las segundas derivas parciales en el valor criacutetico
Teorema- Si el Hessiano de una funcioacuten 2 RRf es definitivamente
positivo entonces la funcioacuten tiene un valor miacutenimo en dicho punto
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Corolario- Si la matriz asociada A=cb
ba de una forma cuadraacutetica dos
por dos es definitivamente positiva si y soacutelo si se cumple que agt0 y det A gt0
Teorema de una valor para un valor extremo miacutenimo- Una funcioacuten
2 RRf de clase C2 posee un valor extremo miacutenimo local en x0 elemento
del dominio de la funcioacuten si y soacutelo si se satisfacen las siguientes condiciones
(i) 0)( 0xx
f y 0)( 0x
y
f
(ii) )( 02
2
xx
f gt 0
(iii) )( 02
2
xx
f)( 02
2
xy
f)(
2
2
oxx
f)( 02
2
xx
f gt 0
Para un valor maacuteximo las condiciones (i) y (iii) se mantienen la uacutenica que cambia en la segunda en donde esta debe ser negativa Para un punto silla se requiere que al menos no se cumplan las condiciones de valor maacuteximo ni miacutenimo y que la uacuteltima condicioacuten (iii) sea distinta de cero En caso contrario el criterio no permite clasificar dicho valor como se mostraraacute en un ejemplo maacutes adelante Ejemplo- Ahora continuando con los ejemplos anteriores
(1) Para f(xy) = x2+y2 el valor critico es el origen y el hessiano asociado es
2
1
212100
02
2
1)(
h
hhhhhH
Como se pude apreciar el primer valor es positivo 2 gt0 y el determinante de
la funcioacuten 20
02det es igual a 4 que a la vez es positivo de manera tal que la
funcioacuten posee un valor miacutenimo en el origen
(2) g(x y) = 4x3 -12x + y2 los puntos criticos son (-10) y (10) y el hessiano asociado a esta forma cuadraacutetica es
2
1
212120
024
2
1)(
h
hxhhhhHg
Ahora al evaluar en los puntos se tiene En el (-10)
2
1
212120
024
2
1)(
h
hhhhhHg
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En donde -24 lt 0 y det Hg = -48 lt0 con lo cuaacutel debe de ser un punto silla
En el (10)
2
1
212120
024
2
1)(
h
hhhhhHg
En donde 24 gt 0 y det Hg = 48 gt0 con lo cuaacutel debe de ser un punto miacutenimo
Tal como se habiacutea estimado en la graacutefica del campo gradiente de la
solucioacuten anterior A continuacioacuten se muestra un bosquejo de dicha graacutefica realizado en el derive
Ejemplos de cuando el criterio permite clasificar los
valores criacuteticos
Ejemplo- A continuacioacuten se mostrara un ejemplo de cuando el criterio no concluye asiacute si la funcioacuten es h(xy) = x4+y4 al calcular las derivas parciales mixtas fx=4x3 y fy=4y3 se encuentra un solo valor critico el origen miestras que la matriz asociada del hessiano es
2
2
120
012
y
x y al evaluar en el origen queda expresada como
00
00
)0(120
0)0(122
2
En donde se puede apreciar que fallan todos los criterios una inspeccioacuten de
la funcioacuten original permite ver que la funcioacuten tiene un valor miacutenimo en dicho punto pero no es una generalizacioacuten es decir no se puede decir que siempre que aparezca la matriz de ceros se tenga un valor miacutenimo dado que si se analiza ahora a las funciones k(xy) = -x4-y4 y p(xy) = x4-y4 ambas tienen como calor extremo al origen y la matriz hessiana asociada a la forma cuadraacutetica evaluada en el origen es la matriz de ceros
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Ejemplo- Otro ejemplo en donde el criterio no concluye es el siguiente en
donde el determinante de la matriz H es cero debido a que la segunda derivada de la funcioacuten f con respecto a la segunda variable se anula (fyy = 0) y no se puede asegurar que se tenga un punto maacuteximo miacutenimo o silla
Las funciones f1(xy) = x2 f2(xy) = -x2 y f3(xy) = x3 presentan este
problema a continuacioacuten se muestran las graficas de dichas funciones
En cada una de ellas los puntos criacuteticos son las parejas en el plano (0 y) Es decir el eje coordenado X
El Hessiano respectivo de cada uno es el siguiente
00
02)(1 yxH
00
02)(2 yxH
00
03)(3
xyxH
Note que el determinante de cada de estas matrices se hace cero y que fyy
se anula en cada caso
Ahora observando las graacuteficas se verifica visualmente que en la primera se tienen valores miacutenimos en la segunda maacuteximos y en la uacuteltima no es ni maacuteximo ni miacutenimo o punto silla
Ejemplo- Citemos otro ejemplo en donde el criterio de maacuteximos y miacutenimos
no concluye Determine los puntos criacuteticos de la funcioacuten h(xy) = x4 Se tiene que hx=4x3=0 y hy=0 de donde se deduce que la funcioacuten tiene
un nuacutemero infinito de puntos criacuteticos estos son las parejas ordenadas en el plano (0y)
La matriz del Hessiano asociado es
00
012)(
2
1
xyxH y evaluando en el punto
00
00)0(1 yH
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En donde no se puede clasificar a los valores criacuteticos sin embargo
realizando una inpeccioacuten de la funcioacuten se puede concluir que todos los puntos representan valores miacutenimos de la funcioacuten original a continuacioacuten se muestra la grafica de la misma
El Hessiano para n variables y el criterio de clasificacioacuten
Cuando la funcioacuten tiene maacutes de dos variables se genera una matriz asociada H en cada uno de los valores criacuteticos de la siguiente forma
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
H
21
22221
11211
De aquiacute se definen las siguientes matrices
111 aH 2221
1211
2aa
aaH hellip HH n
Los criterios para los valores criacuteticos de la funcioacuten RRf n son los
siguientes [Miacutenimo Local] La funcioacuten f posee un valor extremo local miacutenimo en x0 si todos los determinantes de las submatrices evaluados en x0 son positivos
0det 1H 0det 2H hellip 0det 2H (+ + hellip +)
En este caso la forma cuadraacutetica se puede probar que es definitivamente positiva [Maacuteximo Local] La funcioacuten f posee un valor extremo local miacutenimo en x0 si todos los determinantes de las submatrices evaluados en x0 se alternan en signo pero el primero de ellos debe ser negativo
0det 1H 0det 2H hellip 0det 2H (- + - + hellip )
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En este caso la forma cuadraacutetica se puede probar que es definitivamente negativa [Punto Silla] La funcioacuten f posee un punto silla si no se cumplen los criterios de valor miacutenimo o maacuteximo y al menos uno de los subdeterminantes es distinto de cero
Existe un i tal que 0det iH
Ejemplos- Determine los valores criacuteticos de las siguiente funcioacuten f(x y z w) = x3 - 3x + y3 ndash 3y + z2 + w2 y claacutesifiquelos Solucioacuten- Al resolver las siguientes ecuaciones
033 2 xxf x 033 2 yyf y 02zf z y 033 2 wwfw
Se obtienen cuatro puntos criacuteticos que son (-1-100) (-1100) (1-100) y (1100) ahora se genera la matriz del hessiano asociado siendo esta
2000
0200
0060
0006
y
x
H
Al evaluar en cada uno de los puntos se tienen las siguientes matrices
2000
0200
0060
0006
)0011(H
2000
0200
0060
0006
)0011(H
2000
0200
0060
0006
)0011(H y
2000
0200
0060
0006
)0011(H
Los sub determinantes para cada uno de los puntos son [(-1 -1 0 0)] -6 36 72 144 que clasifica como un punto silla [(-1100)] -6 -36 -72 -144 que clasifica como un punto silla [(1-100)] 6 -36 -72 -144 que clasifica como un punto silla [(1100)] 6 36 72 144 que clasifica como un valor miacutenimo De manera tal que la funcioacuten tiene tres puntos silla y un valor miacutenimo
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Ejercicios- Determine los puntos criacuteticos de las siguientes funciones y claacutesifiquelos utilizando el criterio del Hessiano
(1) f(x y) = x2 - y2 (Silla de montar)
(2) g(x y) = 22 yx (Cono)
(3) h(x y z) = x4 - 2x2 + 2y3 -3y2 + z3-3 Ejercicio- Se requiere construir una lata con tapa que contenga un litro de agua con el miacutenimo de material determine las condiciones que oacuteptimizan el problema Ejercicio- Determine el producto maacuteximo de tres nuacutemeros si la suma de ellos debe ser 40 Ejercicio- Determine la distancia miacutenima del origen a la graacutefica de la funcioacuten f(xy) = 4-x2+y Ejercicio- Estudie los ejemplos resueltos que trae el libro de Marden Tromba en el capitulo 4 en especial el referente a la ecuacioacuten de miacutenimos cuadrados Ejercicio- Determine la ecuacioacuten lineal que mejor se ajusta a los puntos (12) (2 32) (3 389) (4 488) (5 55) Utilize el criterio de miacutenimos cuadrados en caso de que el modelo sea lineal (justifique la linealidad del mismo realice una graacutefica de los puntos y de la liacutenea que ajusta a los puntos) Ejemplo- (Aplicacioacuten) En este ejemplo dermina la distancia miacutenima del punto (100) a la graacutefica de una funcioacuten f(x y) = x2+y2
Solucioacuten- Todos los puntos que se encuentran sobre la graacutefica de la funcioacuten satisfacen la siguiente terna de valores en donde se observa que la tercer componente es la variable dependiente (x y x2+y2)
La distancia del punto (1 0 0) a los puntos que estaacuten sobre la graacutefica (x y x2+y2) Se define por medio de la funcioacuten
2222222 )()1()()001()( yxyxyxyxdyxfd
Para determinar el valor miacutenimo o maacuteximo de esta funcioacuten basta con
analizar su argumento dado que es un funcioacuten creciente Es decir Si x1lt x2
entonces f(x1) lt f(x2) lo que es vaacutelido para la funcioacuten )( xxf (ver graacutefica)
2x
1x
x1 x2
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De este modo la funcioacuten a maximizar es
2222222
11 )()1()()001()( yxyxyxyxdyxfd
De aquiacute al las derivadas parciales son
)(4)1(2)( 22
1 yxxxyxfd x y )(42)( 22
1 yxyyyxfd y
Igualando ambas ecuaciones a cero se puede establecer la siguiente
ecuacioacuten
)(4
)(4
2
2222
22
yxy
yxx
y
x (3)
De aquiacute si )00()( yx y 0y se concluye que -1=0 lo cual es una
contradiccioacuten Por otra parte si (xy)=(00) en la primera ecuacioacuten se tiene que 1=0 que es tambieacuten una contradiccioacuten Finalmente si se considera el caso en
que y=0 se obtiene de la siguiente ecuacioacuten 012 3 xx
El polinomio 12)( 3 xxxP tiene una raiacutez entre el cero y el 1 dado
que P(0)=-1 y P(1)=2 Con el anaacutelisis de raiacuteces racionales dos posibles raiacuteces
son 2
1 y como
2
1 estaacute entre cero y uno al usando divisioacuten sinteacutetica se
obtiene que 4
1
2
1P Asiacute que la raiacutez debe de estar en el intervalo 1
2
1
Ahora usando el meacutetodo de Newton con semilla en 2
10x se obtiene
que 6010
6
2
54
1
2
1
)(
)(
0
0
01xf
xfxx
Ahora al evaluar la funcioacuten en dicho punto se tiene que 0320)60(P el
cual es aceptable como raiacutez del polinomio en una sola interaccioacuten De manera tal que el punto criacutetico de la funcioacuten es el (060) El Hessiano asociado es
24128
82412)(
22
22
xyxy
xyyxyxH
Como se puede apreciar el primer elemento de la matriz es positivo independientemente de los valores de x e y Falta evaluar el determinante de H este es igual a
)64)2412)(2412()(det 222222 yxxyyxyxH
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Ahora evaluando en (06 0) se tiene 7421)443)(326()060(det H
Que tambieacuten es positivo de manera tal que se tiene un valor miacutenimo Es
decir la se obtuvo la distancia miacutenima
Maacuteximos y Miacutenimos con restricciones
Los muacuteltiplicadores de Lagrange permite determinar valores maacuteximos o miacutenimos de funciones con restricciones De este tipo de problemas esta lleno nuestro contorno desde el panedero que desea producir la maacutexima cantidad de pan pero con la restriccioacuten del capital que tiene o la posible venta del diacutea para que no tenga sobrantes
Citemos el siguiente ejemplo la graacutefica de paraboloide z = x2+y2 esta
graacutefica soacutelo tiene un valor miacutenimo en el origen sin embargo si esta restringida
al cuadrado unitario 1111 la funcioacuten alcanza cuatro puntos maacuteximos en
los puntos (-11)(-1-1) (1 -1) y (11) a saber dicho valor es 2 Como se observa en la figura
Ahora si se trabaja con la silla de montar con la misma restriccioacuten esta
funcioacuten tiene originalmente un punto silla en el origen pero al analizar las restricciones se contiene dos valores maacuteximos y dos miacutenimos en los puntos (10) (-10) (0-1) y (01)
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Muacuteltiplicadores de Lagrange Teorema- Dadas dos funciones fg Rn a R diferenciables en X0 elemento del dominio de ambas funciones Si Lc es el conjunto de nivel de valor c de la funcioacuten g y si f posee un valor maacuteximo miacutenimo o silla en la restriccioacuten Lc
entonces existe un nuacutemero real λ tal que )()( 00 XgXf
Se puede ver parte de la demostracioacuten de este teorema en el libro de Marsden Tromba Para clasificar los puntos criacuteticos se utiliza el criterio del Hessiano limitado el cuaacutel se define a partir de la funcioacuten auxiliar H(x1 x2 hellip xn) = f(x1 x2 hellip xn) - λ g(x1 x2 hellip xn)
nnnn
n
n
xxxxx
xxxxx
xx
hhg
hhg
gg
H
1
1111
10
||
Ahora defina los siguientes determinantes
22122
21111
210
|| 1
xxxxx
xxxxx
xx
hhg
hhg
gg
H
3323131
3222121
3121111
3210
|| 2
xxxxxxx
xxxxxxx
xxxxxxx
xxx
hhhg
hhhg
hhhg
ggg
H ||det|| HHn
Criterios para maacuteximos y miacutenimos con restricciones (Hessiano liacutemitado) [Miacutenimo Local] Se tiene un miacutenimo local si y soacutelo si todos los determinantes son negativos |H1| lt0 |H2| lt0 hellip |Hn|lt0 ( - - - - - hellip)
[Maacuteximo Local] Se tiene un maximo local si y soacutelo se inicia con un determinante positivo y luego se alternan los signos |H1| gt 0 |H2| lt 0 hellip |Hn|lt0 (+ - + - hellip)
[Punto del tipo Silla] Se tiene un punto tipo silla sino se satisface los criterios de maacuteximos o miacutenimos y al menos uno de los determinantes es distinto de cero Ejemplo- Determine si la funcioacuten f(xy)= x2 ndash y2 tiene valores criacuteticos en la restriccioacuten x2+y2=1
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)(2
2
2
2)( 00 Xg
g
g
y
x
y
x
f
fXf
y
x
y
x
de aquiacute se obtienen las ecuaciones 2x = 2 λx -2y = 2 λy x2 + y2 =1 Las soluciones de este sistema de ecuaciones son (-101) (101) (0-1-1) y (0-11) El Hessiano liacutemitado es
2202
0222
220
||
y
x
yx
H
El determinante es igual a det|H| = 8x2(1+λ) ndash 8y2(1-λ) ahora evaluando
cada uno de los puntos se tiene que det|H|(-101) = 16 gt 0 det|H|(101) = 16 gt 0 det|H|(0-1-1) = -16 lt 0 det|H|(0-11) = -16 lt 0
De manera tal que la funcioacuten posee dos valores maacuteximos en los puntos (-10) y (10) y por otra parte tiene dos valores miacutenimos en los puntos (0-1) y (0-1) Ejemplo- Determine si la funcioacuten f(xy)= x2+y2 tiene valores criacuteticos en la restriccioacuten x2-y2 le 4 Al iniciar este estudio se trabaja con el interior es decir x2-y2 lt 4 dando como resultado el anaacutelisis de maacuteximos y miacutenimos de una funcioacuten en general de donde el gradiente de f se anula uacutenicamente en el origen siendo este valor un miacutenimo como se habiacutea visto en un ejercicio anterior para la funcioacuten del paraboloide Ahora al trabajar sobre la frontera se usa el criterio de muacuteltiplicadores de Lagrange
)(2
2
2
2)( 00 Xg
g
g
y
x
y
x
f
fXf
y
x
y
x
de aquiacute se obtienen las ecuaciones 2x = 2 λx 2y = -2 λy x2 - y2 = 4
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Las soluciones de este sistema de ecuaciones son (-201) y (201) El Hessiano liacutemitado es
2202
0222
220
||
y
x
yx
H
El determinante es igual a det|H| = -8x2(1+λ) + 8y2(1-λ) ahora
evaluando en cada uno de los puntos se tiene que det|H|(201) = -64 gt 0 y det|H|(-201) = -64 lt 0
De manera tal que la funcioacuten posee dos valores miacutenimos en los puntos (-20) y (20)
Una anaacutelisis de la graacutefica de esta funcioacuten permite visualizar que dichos
puntos no son miacutenimos maacutes bien son puntos tipos silla y no es que el criterio falle sino maacutes bien que los valores son miacutenimos pero sobre el complemento es decir bajo la restriccioacuten x2-y2 ge 4 Ejemplo- Determine los valores criacuteticos de la funcioacuten f(xyz) = 2x+y+3z sujeta a la restriccioacuten x2+y2+z2 le 36 Solucioacuten- Un anaacutelisis de las condiciones iniciales muestra que la graacutefica a maximizar en un hiperplano restringido en su dominio a una esfera de radio 6 de acuerdo a estas condiciones la funcioacuten en su interior no debe tener valor criacuteticos y en la frontera debe tener un valor miacutenimo y un valor maacuteximo En el interior- Al derivar la funcioacuten original se tiene lo siguiente
3
1
2
)( 0
z
y
x
f
f
f
Xf
De aquiacute se observa que la funcioacuten no posee valores criacuteticos en todo su dominio tal y como se esperaba Frontera- Al utilizar las condiciones del los Muacuteltiplicadores de Lagrange se tiene lo siguiente
)(
2
2
2
3
1
2
)( 00 Xg
z
y
x
f
f
f
Xf
z
y
x
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De aquiacute se genera el siguiente sistema de ecuaciones 2 = 2λx 1 = 2λy 3 = 2λz x2+y2+z2=36
Resolviendo el sistema se concluye que 2
1
1yx amp
2
3z Ahora
sustituyendo en la uacuteltima ecuacioacuten se deduce que la funcioacuten posee dos valores criacuteticos que son
18
14
14
1427
14
149
14
1418amp
18
14
14
1427
14
149
14
1418
La funcioacuten auxiliar es H(xyzλ) = 2x+y+3z-λ(x2+y2+z2) donde Hx=2-2λx Hy=1-2λy Hz=3-2λz El Hessiano Liacutemitado es
2002
0202
0022
2220
||
z
y
x
zyx
H
De aquiacute
0
0)(8
202
022
220
|| 22
1si
siyx
y
x
yx
H
0576)(16
2002
0202
0022
2220
|| 22222 zyx
z
y
x
zyx
H
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49
De aquiacute se desprende que la funcioacuten f(xyz) = 2x+y+3z posee un valor miacutenimo
en el punto 18
14
14
1427
14
149
14
1418 restringido a x2+y2+z2 = 36 y un
maacuteximo en el punto 18
14
14
1427
14
149
14
1418
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Tarea nuacutemero 4 Maacuteximos y Miacutenimos
Objetivo- Que el alumno sea capaz de aprender a resolver problemas asociados a la vida real haciendo uso del caacutelculo de varias variables Aquiacute se enuncian los siguientes ejercicios adicionales dado que muchos de los mismos se fueron exponiendo a lo largo del capiacutetulo y se sugiere que se revisen los problemas resueltos y propuestos en la libros de la bibliografiacutea dado que las aplicaciones son muchas 1- Determine los valores maacuteximos y miacutenimos de la funcioacuten f(xy) = x +y sujeta a la restriccioacuten x2+2y2le18 (Realice un bosquejo de la graacutefica y se restriccioacuten)
2- Determine los valores maacuteximos y miacutenimos de la funcioacuten f(xy) = x2 +y2 sujeta a la restriccioacuten x+2y le 4 (Realice un bosquejo de la graacutefica y se restriccioacuten)
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Bibliografiacutea
1 Caacutelculo Vectorial Marsden amp Tromba Addison-Wesley Iberoamericana
2 Caacutelculo Multivariable James Steward Thomson Editores
3 Caacutelculo con Geometriacutea Anaacutelitica Zill Grupo Editorial Iberoameacuterica
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Asiacute para el caso de una curva en el plano la trayectoria se puede describir por medio de dos funciones x(t) y(t) de la siguiente forma
)(
)()(
ty
txt
En donde la derivada de esta funcioacuten es
)(
)()(
ty
txt
Vector tangente a la graacutefica de una circunferencia de radio R Ahora si se tiene la parametrizacioacuten de una circunferencia esta esta
dada por σ(t) = ( RCos(t) R Sen(t))
Y X
Un vector tangente tiene que cumplir que su producto punto tiene que
ser cero de aquiacute si V=(AB) al multiplicarlo por el vector σ su producto punto tiene que ser cero
De aquiacute que σ(t)V = ARCos(t) + BRSen(t) = 0 Existiendo muchas soluciones a este sistema de ecuaciones siendo una
de ellas cuando A = Cos(t) B=-Sen(t)
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Vector trasladado
Siendo este un vector tangente a la curva ahora al derivar las
componentes xrsquo(t) = -RSen(t) y(t) = RCos(t) que es un muacuteltiplo escalara del vector tangente mostrado anteriormente
Definicioacuten- (Rotacional) El rotacional de un campo vectorial
F=Pi+Qj+Rk de clase C1 de define como el vector
i j k
RotFx y z
P Q R
Ejemplos- Determine el rotacional de los siguientes campos vectoriales
F1=xi+yj+zk F2=x2yi-xy
2j-3zyk
Solucioacuten-
1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0
i j k
RotF z y i z x j y x kx y z y z x z x y
x y z
2 2 2 2
2
2 2
( 3 ) ( ) ( 3 ) ( ) ( ) ( )
3
i j k
RotF zy xy i zy x y j xy x y kx y z y z x z x y
x y xy zy
2 2
2
2 2
3 0
3
i j k
RotF z i j y x kx y z
x y xy zy
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Definicioacuten- (Divergencia) Si F es un campo vectorial de clase C1 la divergencia de F se define como un campo escalar de la siguiente forma
( )P Q R
divF div Pi Qj Rkx y z
Ejemplos- Determine la divergencia de los siguientes campos vectoriales F1=xi+yj+zk F2=x
2yi-xy
2j-3zyk
Solucioacuten-
1 ( ) ( ) ( ) ( ) 3divF div xi yj zk x y zx y z
2 2 2 2
2 ( 3 ) ( ) ( ) ( 3 ) 2 2 3 3divF div x yi xy j zyk x y xy zy xy xy y yx y z
Definicioacuten- (Laplaciano) Si f es un campo escalar de clase C2 el Laplaciano de f se define como un campo escalar de la siguiente forma
2 2 2
2
2 2 2xx yy zz
f f ff f f f f
x y z
Ejemplos- Determine la divergencia de los siguientes campos escalares g1(x
y z) = xy2z
3 g2(x y z) = x
2 + y
2 + z
2
2 2 2
2 2 3 2 3 2 3 2 3 3 2 2
2 2 2( ) ( ) ( ) 2 3 f f xy z xy z xy z y z yz xy z
x y z
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2( ) ( ) ( ) 6f f x y z x y z x y z
x y z
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Tarea nuacutemero 3 Trayectorias
Objetivo- Que el alumno sea capaz de comprender los conceptos de movimiento de una partiacutecula a lo largo de una trayectoria y de la importancia del uso de vectores en este tema 1- Si la trayectoria σ(t) = t2i+t2j define la trayectoria seguida por una partiacutecula con respecto al tiempo determine 1a- iquestEl tipo de trayectoria que describe 1b- Realice una graacutefica de la distancia recorrida por la partiacutecula con respecto al tiempo en los primeros tres segundos 1c- Determine el tipo de movimiento de la partiacutecula 1d- iquestSe puede afirmar que es un movimiento uniformemente acelerado 1e- Determine la aceleracioacuten y velocidad a los cuatro segundos 1f- Realice una graacutefica de su rapidez con respecto al tiempo 1g- Realice una graacutefica de sus aceleracioacuten con respecto al tiempo 1h- En la graacutefica de la trayectoria agregue graacuteficamente los vectores aceleracioacuten y velocidad 2- Realice lo mismo que en ejercicio anterior pero ahora con la funcioacuten γ(t) = Cos(t) i+5Sen(t)j 3- Dadas las funciones f(t) = 3t2i-4t3j+e2tk y g(t) = 4t3i+4t2j+e-2tk 3a- Determine la funcioacuten producto punto h = fg 3b- Determine la derivada de h 3c- Usando la regla de diferenciacioacuten determine la derivada de h y compruebe el inciso anterior 4a- Determine la funcioacuten producto cruz k = ftimesg 4b- Determine la derivada de h 4c- Usando la regla de diferenciacioacuten determine la derivada de h y compruebe el inciso anterior 5- Determine el Rotacional y la Divergencia del siguiente campo vectorial G(x y z) = 2xy i + 3xz j - 5xy k 6- Determine el gradiente y el Laplaciano del siguiente campo escalar f(xyz) = 4x2-3yz2 7- Dado el campo vectorial F(x y z) = 2xy i + x2 j +3z2 k 7a- Determine si F puede representar el gradiente de un campo escalar f 7b- En caso de ser afirmativa la respuesta del inciso anterior determine el campo escalar f 8- Pruebe que la divergencia del rotacional de un campo vectorial F=Pi+Qj+Rk es igual a cero Es decir la div rot F =0 9- Usando las reglas de diferinciacioacuten pruebe que
gfgfgf
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100 -x
Capitulo 4 Maacuteximos y miacutenimos
Es indispensable determinar en distintos problemas las soluciones oacuteptimas que permitan establecer por ejemplo los valores maacuteximos de produccioacuten o ahorrar el material en la construccioacuten de cierto equipo
Como se recordaraacute el gradiente de una funcioacuten indica la direccioacuten de
maacuteximo crecimiento esto se refleja en que si se toma la direccioacuten sugerida por este vector el valor de la funcioacuten aumenta en una vecindad del mismo asiacute si en un diagrama de un campo gradiente aparecen un punto en donde convergen la direccioacuten de todos los gradientes se encontraraacute que dicho valor debe de ser un valor maacuteximo para la funcioacuten de estudio Un diagrama de esta tipo se ejemplifica a continuacioacuten
Un diagrama en donde todos los vectores apuntan hacia fuera de un
punto indicaraacute que este punto debe de ser un valor miacutenimo de la funcioacuten Citemos el siguiente ejemplo de una variable con la finalidad de
centrarnos en el tema Una persona desea bardear un terreno en forma rectaacutengular cuanto debe de medir cada lado de manera tal que el aacuterea cercada sea maacutexima si se cuenta con 200 metros de malla
La funcioacuten que representa dicho modelo es
A(x) = x(100-x) x
Como se puede observar el aacuterea es cero si x es igual a cero o a cien con lo cuaacutel el lado x debe de estar en en intervalo [0 100] siendo estas las restricciones del problema Derivando la funcioacuten para obtener los valores critiacutecos se tiene que Arsquo(x) = 100 ndash 2x
Al igual la derivada a cero se concluye que el valor critico es x es igual a 50 Al derivar por segunda ocasioacuten se concluye que
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Arsquorsquo(x) = -2 Como la segunda derivada es siempre negativa se concluye que la funcioacuten alcanza un valor maacuteximo en el valor critico en este caso en x = 50 al interpretar dicho resultado se concluye que el terreno que optimiza la solucioacuten es un cuadrado Ejercicio- Que aacuterea se genera si el terreno es de forma circular Al resolver el ejercioacute anterior y comparar las aacutereas del cuadrado y del circulo se puede apreciar que el aacuterea del circulo es mayor pero en la praacutectica es poco atractivo cercar terrenos circulares por diversas razones pero en la naturaleza es comuacuten observar que las gotas de lluvia sean esferas esto permite el optimizar recursos y maacuteximizar el volumen del liacutequido contenido en la misma Se iniciara el estudio formal de maacuteximos y miacutenimos de funciones de varias variables observando las siguientes graficas con la finalidad de tener la idea clara de que es un maacuteximo o miacutenimo o un punto silla
En la primera de ellas se observa que la funcioacuten tiene un valor miacutenimo en la segunda se observa que la funcioacuten tiene un valor maacuteximo y en la uacuteltima la funcioacuten tiene un punto silla este se identifica el dirigirnos en una direccioacuten la funcioacuten crece mientras que en la otra la funcioacuten decrece
Definicioacuten- Una funcioacuten mn RRf tiene un valor maacuteximo local en x0 si en
una vecindad de dicho valor se cumple que la funcioacuten evaluada en todos los vecinos ninguno de ellos supera a f(x0) Es decir f(x0) f(x) para todo x en una vecindad de x0 El punto es llamado un maacuteximo absoluto si la funcioacuten toma el valor maacuteximo en dicho punto para todo valor de su dominio
Esto es muy similar cuando uno observa a los alumnos de un saloacuten de clases existe un alumno que tiene la mayor estatura si ninguno de sus compantildeeros lo supera Asiacute en la escuela el alumno de mayor estatura absoluta es aquel que supera a todo el plantel
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La definicioacuten para el miacutenimo local (absoluto) es similar
f(x0) f(x) para todo en una vecindad de x0 Por ejemplo la funcioacuten f(xy) = x2+y2 tiene un valor miacutenimo en el origen dado que en este valor la funcioacuten vale cero mientras que fuera de ahiacute siempre es positiva dado que todo nuacutemero real elevado al cuadrado es siempre positivo Ademaacutes dicho valor es un miacutenimo absoluto Como se menciono al inicio de esta capitulo el diagrama del campo
gradiente de esta funcioacuten y
xyxf
2
2)( indica que la funcioacuten tiene un valor
miacutenimo siendo la grafica del mismo la siguiente Sin embargo se requiere un criterio maacutes general y sistemaacutetico que permita establecer los posibles valores maacuteximos miacutenimos o puntos silla) Definicioacuten- (Un valor extremo) Si la funcioacuten posee un valor maacuteximo o miacutenimo este es llamado un valor extremo Definicioacuten- (Un valor critico) Un punto en donde la derivada de la funcioacuten se anula es llamado un valor critico Teorema- Todo valor extremo es un valor critico Es decir si f posee un valor extremo en x0 que pertenece a su dominio entonces la derivada de la funcioacuten en el punto x0 se anula Es decir Df(x0) = 0 Demostracioacuten- Sea l(t) una trayectoria que pasa a traveacutes por el punto x0 defina la composicioacuten de funciones h(t) = f(l(t)) donde l(t) = x0 + tv de donde lrsquo(t) = v y ademaacutes
))(()())(()( VtlftDltlDftDh (1)
Por otra parte como f posee un valor extremo en x0 suponga que dicho
valor es un maacuteximo entonces x0 seraacute a la vez un maacuteximo para la funcioacuten h y como h es una funcioacuten real esto significa que la derivada de h en dicho punto
se anula es decir 0)()0())0(()0( 0 vxfDllDfDh ahora como los
vectores )( 0xf y v no son necesariamente perpendiculares y el vector v a la
vez tampoco se anula entonces esto implica que el gradiente de f en x0 es igual a cero y por lo tanto f posee un valor criacutetico en x0
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Este resultado permite establecer posibles valores criacuteticos de una funcioacuten asiacute se menciona el siguiente ejemplo Ejemplo- Determine los posibles valores criacuteticos de las siguientes funciones (1) f(x y) = x2 + y2 y (2) g(x y) = 4x3 -12x + y2
Solucioacuten-
(1) 0
0
2
2)(
y
xyxf de aquiacute se concluye que dicho valor soacutelo
existe un valor criacutetico siendo este el origen el cuaacutel ya se clasifico en estos apuntes y resulto ser un valor miacutenimo
(2) 0
0
2
1212)(
2
y
xyxg de aquiacute se obtienen dos valores criacuteticos
que son (-10) y 1l (10) Los cuales se pueden clasificar el realizar el graacutefico del campo gradiente En donde se aprecia que en el punto (-10) la funcioacuten posee un punto silla mientras que en el punto (10) la funcioacuten posee un valor miacutenimo
Aquiacute se utilizaraacute el criterio del hessiano para determinar si el valor criacutetico es un maacuteximo un miacutenimo o un punto silla Solo se enunciara el teorema sin demostracioacuten para ver la misma puede revisar en el libro de Marsden Tromba de Caacutelculo Vectorial
Definicioacuten- El Hessiano de una funcioacuten 22 RRH de clase C2 se define como una funcioacuten cuadraacutetica que se escribe como
2
1
2
22
2
2
2
21212
1)(
h
h
y
f
yx
f
xy
f
x
f
hhhhH
Evaluada la matriz de las segundas derivas parciales en el valor criacutetico
Teorema- Si el Hessiano de una funcioacuten 2 RRf es definitivamente
positivo entonces la funcioacuten tiene un valor miacutenimo en dicho punto
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Corolario- Si la matriz asociada A=cb
ba de una forma cuadraacutetica dos
por dos es definitivamente positiva si y soacutelo si se cumple que agt0 y det A gt0
Teorema de una valor para un valor extremo miacutenimo- Una funcioacuten
2 RRf de clase C2 posee un valor extremo miacutenimo local en x0 elemento
del dominio de la funcioacuten si y soacutelo si se satisfacen las siguientes condiciones
(i) 0)( 0xx
f y 0)( 0x
y
f
(ii) )( 02
2
xx
f gt 0
(iii) )( 02
2
xx
f)( 02
2
xy
f)(
2
2
oxx
f)( 02
2
xx
f gt 0
Para un valor maacuteximo las condiciones (i) y (iii) se mantienen la uacutenica que cambia en la segunda en donde esta debe ser negativa Para un punto silla se requiere que al menos no se cumplan las condiciones de valor maacuteximo ni miacutenimo y que la uacuteltima condicioacuten (iii) sea distinta de cero En caso contrario el criterio no permite clasificar dicho valor como se mostraraacute en un ejemplo maacutes adelante Ejemplo- Ahora continuando con los ejemplos anteriores
(1) Para f(xy) = x2+y2 el valor critico es el origen y el hessiano asociado es
2
1
212100
02
2
1)(
h
hhhhhH
Como se pude apreciar el primer valor es positivo 2 gt0 y el determinante de
la funcioacuten 20
02det es igual a 4 que a la vez es positivo de manera tal que la
funcioacuten posee un valor miacutenimo en el origen
(2) g(x y) = 4x3 -12x + y2 los puntos criticos son (-10) y (10) y el hessiano asociado a esta forma cuadraacutetica es
2
1
212120
024
2
1)(
h
hxhhhhHg
Ahora al evaluar en los puntos se tiene En el (-10)
2
1
212120
024
2
1)(
h
hhhhhHg
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En donde -24 lt 0 y det Hg = -48 lt0 con lo cuaacutel debe de ser un punto silla
En el (10)
2
1
212120
024
2
1)(
h
hhhhhHg
En donde 24 gt 0 y det Hg = 48 gt0 con lo cuaacutel debe de ser un punto miacutenimo
Tal como se habiacutea estimado en la graacutefica del campo gradiente de la
solucioacuten anterior A continuacioacuten se muestra un bosquejo de dicha graacutefica realizado en el derive
Ejemplos de cuando el criterio permite clasificar los
valores criacuteticos
Ejemplo- A continuacioacuten se mostrara un ejemplo de cuando el criterio no concluye asiacute si la funcioacuten es h(xy) = x4+y4 al calcular las derivas parciales mixtas fx=4x3 y fy=4y3 se encuentra un solo valor critico el origen miestras que la matriz asociada del hessiano es
2
2
120
012
y
x y al evaluar en el origen queda expresada como
00
00
)0(120
0)0(122
2
En donde se puede apreciar que fallan todos los criterios una inspeccioacuten de
la funcioacuten original permite ver que la funcioacuten tiene un valor miacutenimo en dicho punto pero no es una generalizacioacuten es decir no se puede decir que siempre que aparezca la matriz de ceros se tenga un valor miacutenimo dado que si se analiza ahora a las funciones k(xy) = -x4-y4 y p(xy) = x4-y4 ambas tienen como calor extremo al origen y la matriz hessiana asociada a la forma cuadraacutetica evaluada en el origen es la matriz de ceros
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Ejemplo- Otro ejemplo en donde el criterio no concluye es el siguiente en
donde el determinante de la matriz H es cero debido a que la segunda derivada de la funcioacuten f con respecto a la segunda variable se anula (fyy = 0) y no se puede asegurar que se tenga un punto maacuteximo miacutenimo o silla
Las funciones f1(xy) = x2 f2(xy) = -x2 y f3(xy) = x3 presentan este
problema a continuacioacuten se muestran las graficas de dichas funciones
En cada una de ellas los puntos criacuteticos son las parejas en el plano (0 y) Es decir el eje coordenado X
El Hessiano respectivo de cada uno es el siguiente
00
02)(1 yxH
00
02)(2 yxH
00
03)(3
xyxH
Note que el determinante de cada de estas matrices se hace cero y que fyy
se anula en cada caso
Ahora observando las graacuteficas se verifica visualmente que en la primera se tienen valores miacutenimos en la segunda maacuteximos y en la uacuteltima no es ni maacuteximo ni miacutenimo o punto silla
Ejemplo- Citemos otro ejemplo en donde el criterio de maacuteximos y miacutenimos
no concluye Determine los puntos criacuteticos de la funcioacuten h(xy) = x4 Se tiene que hx=4x3=0 y hy=0 de donde se deduce que la funcioacuten tiene
un nuacutemero infinito de puntos criacuteticos estos son las parejas ordenadas en el plano (0y)
La matriz del Hessiano asociado es
00
012)(
2
1
xyxH y evaluando en el punto
00
00)0(1 yH
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40
En donde no se puede clasificar a los valores criacuteticos sin embargo
realizando una inpeccioacuten de la funcioacuten se puede concluir que todos los puntos representan valores miacutenimos de la funcioacuten original a continuacioacuten se muestra la grafica de la misma
El Hessiano para n variables y el criterio de clasificacioacuten
Cuando la funcioacuten tiene maacutes de dos variables se genera una matriz asociada H en cada uno de los valores criacuteticos de la siguiente forma
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
H
21
22221
11211
De aquiacute se definen las siguientes matrices
111 aH 2221
1211
2aa
aaH hellip HH n
Los criterios para los valores criacuteticos de la funcioacuten RRf n son los
siguientes [Miacutenimo Local] La funcioacuten f posee un valor extremo local miacutenimo en x0 si todos los determinantes de las submatrices evaluados en x0 son positivos
0det 1H 0det 2H hellip 0det 2H (+ + hellip +)
En este caso la forma cuadraacutetica se puede probar que es definitivamente positiva [Maacuteximo Local] La funcioacuten f posee un valor extremo local miacutenimo en x0 si todos los determinantes de las submatrices evaluados en x0 se alternan en signo pero el primero de ellos debe ser negativo
0det 1H 0det 2H hellip 0det 2H (- + - + hellip )
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En este caso la forma cuadraacutetica se puede probar que es definitivamente negativa [Punto Silla] La funcioacuten f posee un punto silla si no se cumplen los criterios de valor miacutenimo o maacuteximo y al menos uno de los subdeterminantes es distinto de cero
Existe un i tal que 0det iH
Ejemplos- Determine los valores criacuteticos de las siguiente funcioacuten f(x y z w) = x3 - 3x + y3 ndash 3y + z2 + w2 y claacutesifiquelos Solucioacuten- Al resolver las siguientes ecuaciones
033 2 xxf x 033 2 yyf y 02zf z y 033 2 wwfw
Se obtienen cuatro puntos criacuteticos que son (-1-100) (-1100) (1-100) y (1100) ahora se genera la matriz del hessiano asociado siendo esta
2000
0200
0060
0006
y
x
H
Al evaluar en cada uno de los puntos se tienen las siguientes matrices
2000
0200
0060
0006
)0011(H
2000
0200
0060
0006
)0011(H
2000
0200
0060
0006
)0011(H y
2000
0200
0060
0006
)0011(H
Los sub determinantes para cada uno de los puntos son [(-1 -1 0 0)] -6 36 72 144 que clasifica como un punto silla [(-1100)] -6 -36 -72 -144 que clasifica como un punto silla [(1-100)] 6 -36 -72 -144 que clasifica como un punto silla [(1100)] 6 36 72 144 que clasifica como un valor miacutenimo De manera tal que la funcioacuten tiene tres puntos silla y un valor miacutenimo
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Ejercicios- Determine los puntos criacuteticos de las siguientes funciones y claacutesifiquelos utilizando el criterio del Hessiano
(1) f(x y) = x2 - y2 (Silla de montar)
(2) g(x y) = 22 yx (Cono)
(3) h(x y z) = x4 - 2x2 + 2y3 -3y2 + z3-3 Ejercicio- Se requiere construir una lata con tapa que contenga un litro de agua con el miacutenimo de material determine las condiciones que oacuteptimizan el problema Ejercicio- Determine el producto maacuteximo de tres nuacutemeros si la suma de ellos debe ser 40 Ejercicio- Determine la distancia miacutenima del origen a la graacutefica de la funcioacuten f(xy) = 4-x2+y Ejercicio- Estudie los ejemplos resueltos que trae el libro de Marden Tromba en el capitulo 4 en especial el referente a la ecuacioacuten de miacutenimos cuadrados Ejercicio- Determine la ecuacioacuten lineal que mejor se ajusta a los puntos (12) (2 32) (3 389) (4 488) (5 55) Utilize el criterio de miacutenimos cuadrados en caso de que el modelo sea lineal (justifique la linealidad del mismo realice una graacutefica de los puntos y de la liacutenea que ajusta a los puntos) Ejemplo- (Aplicacioacuten) En este ejemplo dermina la distancia miacutenima del punto (100) a la graacutefica de una funcioacuten f(x y) = x2+y2
Solucioacuten- Todos los puntos que se encuentran sobre la graacutefica de la funcioacuten satisfacen la siguiente terna de valores en donde se observa que la tercer componente es la variable dependiente (x y x2+y2)
La distancia del punto (1 0 0) a los puntos que estaacuten sobre la graacutefica (x y x2+y2) Se define por medio de la funcioacuten
2222222 )()1()()001()( yxyxyxyxdyxfd
Para determinar el valor miacutenimo o maacuteximo de esta funcioacuten basta con
analizar su argumento dado que es un funcioacuten creciente Es decir Si x1lt x2
entonces f(x1) lt f(x2) lo que es vaacutelido para la funcioacuten )( xxf (ver graacutefica)
2x
1x
x1 x2
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43
De este modo la funcioacuten a maximizar es
2222222
11 )()1()()001()( yxyxyxyxdyxfd
De aquiacute al las derivadas parciales son
)(4)1(2)( 22
1 yxxxyxfd x y )(42)( 22
1 yxyyyxfd y
Igualando ambas ecuaciones a cero se puede establecer la siguiente
ecuacioacuten
)(4
)(4
2
2222
22
yxy
yxx
y
x (3)
De aquiacute si )00()( yx y 0y se concluye que -1=0 lo cual es una
contradiccioacuten Por otra parte si (xy)=(00) en la primera ecuacioacuten se tiene que 1=0 que es tambieacuten una contradiccioacuten Finalmente si se considera el caso en
que y=0 se obtiene de la siguiente ecuacioacuten 012 3 xx
El polinomio 12)( 3 xxxP tiene una raiacutez entre el cero y el 1 dado
que P(0)=-1 y P(1)=2 Con el anaacutelisis de raiacuteces racionales dos posibles raiacuteces
son 2
1 y como
2
1 estaacute entre cero y uno al usando divisioacuten sinteacutetica se
obtiene que 4
1
2
1P Asiacute que la raiacutez debe de estar en el intervalo 1
2
1
Ahora usando el meacutetodo de Newton con semilla en 2
10x se obtiene
que 6010
6
2
54
1
2
1
)(
)(
0
0
01xf
xfxx
Ahora al evaluar la funcioacuten en dicho punto se tiene que 0320)60(P el
cual es aceptable como raiacutez del polinomio en una sola interaccioacuten De manera tal que el punto criacutetico de la funcioacuten es el (060) El Hessiano asociado es
24128
82412)(
22
22
xyxy
xyyxyxH
Como se puede apreciar el primer elemento de la matriz es positivo independientemente de los valores de x e y Falta evaluar el determinante de H este es igual a
)64)2412)(2412()(det 222222 yxxyyxyxH
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44
Ahora evaluando en (06 0) se tiene 7421)443)(326()060(det H
Que tambieacuten es positivo de manera tal que se tiene un valor miacutenimo Es
decir la se obtuvo la distancia miacutenima
Maacuteximos y Miacutenimos con restricciones
Los muacuteltiplicadores de Lagrange permite determinar valores maacuteximos o miacutenimos de funciones con restricciones De este tipo de problemas esta lleno nuestro contorno desde el panedero que desea producir la maacutexima cantidad de pan pero con la restriccioacuten del capital que tiene o la posible venta del diacutea para que no tenga sobrantes
Citemos el siguiente ejemplo la graacutefica de paraboloide z = x2+y2 esta
graacutefica soacutelo tiene un valor miacutenimo en el origen sin embargo si esta restringida
al cuadrado unitario 1111 la funcioacuten alcanza cuatro puntos maacuteximos en
los puntos (-11)(-1-1) (1 -1) y (11) a saber dicho valor es 2 Como se observa en la figura
Ahora si se trabaja con la silla de montar con la misma restriccioacuten esta
funcioacuten tiene originalmente un punto silla en el origen pero al analizar las restricciones se contiene dos valores maacuteximos y dos miacutenimos en los puntos (10) (-10) (0-1) y (01)
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45
Muacuteltiplicadores de Lagrange Teorema- Dadas dos funciones fg Rn a R diferenciables en X0 elemento del dominio de ambas funciones Si Lc es el conjunto de nivel de valor c de la funcioacuten g y si f posee un valor maacuteximo miacutenimo o silla en la restriccioacuten Lc
entonces existe un nuacutemero real λ tal que )()( 00 XgXf
Se puede ver parte de la demostracioacuten de este teorema en el libro de Marsden Tromba Para clasificar los puntos criacuteticos se utiliza el criterio del Hessiano limitado el cuaacutel se define a partir de la funcioacuten auxiliar H(x1 x2 hellip xn) = f(x1 x2 hellip xn) - λ g(x1 x2 hellip xn)
nnnn
n
n
xxxxx
xxxxx
xx
hhg
hhg
gg
H
1
1111
10
||
Ahora defina los siguientes determinantes
22122
21111
210
|| 1
xxxxx
xxxxx
xx
hhg
hhg
gg
H
3323131
3222121
3121111
3210
|| 2
xxxxxxx
xxxxxxx
xxxxxxx
xxx
hhhg
hhhg
hhhg
ggg
H ||det|| HHn
Criterios para maacuteximos y miacutenimos con restricciones (Hessiano liacutemitado) [Miacutenimo Local] Se tiene un miacutenimo local si y soacutelo si todos los determinantes son negativos |H1| lt0 |H2| lt0 hellip |Hn|lt0 ( - - - - - hellip)
[Maacuteximo Local] Se tiene un maximo local si y soacutelo se inicia con un determinante positivo y luego se alternan los signos |H1| gt 0 |H2| lt 0 hellip |Hn|lt0 (+ - + - hellip)
[Punto del tipo Silla] Se tiene un punto tipo silla sino se satisface los criterios de maacuteximos o miacutenimos y al menos uno de los determinantes es distinto de cero Ejemplo- Determine si la funcioacuten f(xy)= x2 ndash y2 tiene valores criacuteticos en la restriccioacuten x2+y2=1
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46
)(2
2
2
2)( 00 Xg
g
g
y
x
y
x
f
fXf
y
x
y
x
de aquiacute se obtienen las ecuaciones 2x = 2 λx -2y = 2 λy x2 + y2 =1 Las soluciones de este sistema de ecuaciones son (-101) (101) (0-1-1) y (0-11) El Hessiano liacutemitado es
2202
0222
220
||
y
x
yx
H
El determinante es igual a det|H| = 8x2(1+λ) ndash 8y2(1-λ) ahora evaluando
cada uno de los puntos se tiene que det|H|(-101) = 16 gt 0 det|H|(101) = 16 gt 0 det|H|(0-1-1) = -16 lt 0 det|H|(0-11) = -16 lt 0
De manera tal que la funcioacuten posee dos valores maacuteximos en los puntos (-10) y (10) y por otra parte tiene dos valores miacutenimos en los puntos (0-1) y (0-1) Ejemplo- Determine si la funcioacuten f(xy)= x2+y2 tiene valores criacuteticos en la restriccioacuten x2-y2 le 4 Al iniciar este estudio se trabaja con el interior es decir x2-y2 lt 4 dando como resultado el anaacutelisis de maacuteximos y miacutenimos de una funcioacuten en general de donde el gradiente de f se anula uacutenicamente en el origen siendo este valor un miacutenimo como se habiacutea visto en un ejercicio anterior para la funcioacuten del paraboloide Ahora al trabajar sobre la frontera se usa el criterio de muacuteltiplicadores de Lagrange
)(2
2
2
2)( 00 Xg
g
g
y
x
y
x
f
fXf
y
x
y
x
de aquiacute se obtienen las ecuaciones 2x = 2 λx 2y = -2 λy x2 - y2 = 4
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Las soluciones de este sistema de ecuaciones son (-201) y (201) El Hessiano liacutemitado es
2202
0222
220
||
y
x
yx
H
El determinante es igual a det|H| = -8x2(1+λ) + 8y2(1-λ) ahora
evaluando en cada uno de los puntos se tiene que det|H|(201) = -64 gt 0 y det|H|(-201) = -64 lt 0
De manera tal que la funcioacuten posee dos valores miacutenimos en los puntos (-20) y (20)
Una anaacutelisis de la graacutefica de esta funcioacuten permite visualizar que dichos
puntos no son miacutenimos maacutes bien son puntos tipos silla y no es que el criterio falle sino maacutes bien que los valores son miacutenimos pero sobre el complemento es decir bajo la restriccioacuten x2-y2 ge 4 Ejemplo- Determine los valores criacuteticos de la funcioacuten f(xyz) = 2x+y+3z sujeta a la restriccioacuten x2+y2+z2 le 36 Solucioacuten- Un anaacutelisis de las condiciones iniciales muestra que la graacutefica a maximizar en un hiperplano restringido en su dominio a una esfera de radio 6 de acuerdo a estas condiciones la funcioacuten en su interior no debe tener valor criacuteticos y en la frontera debe tener un valor miacutenimo y un valor maacuteximo En el interior- Al derivar la funcioacuten original se tiene lo siguiente
3
1
2
)( 0
z
y
x
f
f
f
Xf
De aquiacute se observa que la funcioacuten no posee valores criacuteticos en todo su dominio tal y como se esperaba Frontera- Al utilizar las condiciones del los Muacuteltiplicadores de Lagrange se tiene lo siguiente
)(
2
2
2
3
1
2
)( 00 Xg
z
y
x
f
f
f
Xf
z
y
x
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De aquiacute se genera el siguiente sistema de ecuaciones 2 = 2λx 1 = 2λy 3 = 2λz x2+y2+z2=36
Resolviendo el sistema se concluye que 2
1
1yx amp
2
3z Ahora
sustituyendo en la uacuteltima ecuacioacuten se deduce que la funcioacuten posee dos valores criacuteticos que son
18
14
14
1427
14
149
14
1418amp
18
14
14
1427
14
149
14
1418
La funcioacuten auxiliar es H(xyzλ) = 2x+y+3z-λ(x2+y2+z2) donde Hx=2-2λx Hy=1-2λy Hz=3-2λz El Hessiano Liacutemitado es
2002
0202
0022
2220
||
z
y
x
zyx
H
De aquiacute
0
0)(8
202
022
220
|| 22
1si
siyx
y
x
yx
H
0576)(16
2002
0202
0022
2220
|| 22222 zyx
z
y
x
zyx
H
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49
De aquiacute se desprende que la funcioacuten f(xyz) = 2x+y+3z posee un valor miacutenimo
en el punto 18
14
14
1427
14
149
14
1418 restringido a x2+y2+z2 = 36 y un
maacuteximo en el punto 18
14
14
1427
14
149
14
1418
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50
Tarea nuacutemero 4 Maacuteximos y Miacutenimos
Objetivo- Que el alumno sea capaz de aprender a resolver problemas asociados a la vida real haciendo uso del caacutelculo de varias variables Aquiacute se enuncian los siguientes ejercicios adicionales dado que muchos de los mismos se fueron exponiendo a lo largo del capiacutetulo y se sugiere que se revisen los problemas resueltos y propuestos en la libros de la bibliografiacutea dado que las aplicaciones son muchas 1- Determine los valores maacuteximos y miacutenimos de la funcioacuten f(xy) = x +y sujeta a la restriccioacuten x2+2y2le18 (Realice un bosquejo de la graacutefica y se restriccioacuten)
2- Determine los valores maacuteximos y miacutenimos de la funcioacuten f(xy) = x2 +y2 sujeta a la restriccioacuten x+2y le 4 (Realice un bosquejo de la graacutefica y se restriccioacuten)
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51
Bibliografiacutea
1 Caacutelculo Vectorial Marsden amp Tromba Addison-Wesley Iberoamericana
2 Caacutelculo Multivariable James Steward Thomson Editores
3 Caacutelculo con Geometriacutea Anaacutelitica Zill Grupo Editorial Iberoameacuterica
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30
Vector trasladado
Siendo este un vector tangente a la curva ahora al derivar las
componentes xrsquo(t) = -RSen(t) y(t) = RCos(t) que es un muacuteltiplo escalara del vector tangente mostrado anteriormente
Definicioacuten- (Rotacional) El rotacional de un campo vectorial
F=Pi+Qj+Rk de clase C1 de define como el vector
i j k
RotFx y z
P Q R
Ejemplos- Determine el rotacional de los siguientes campos vectoriales
F1=xi+yj+zk F2=x2yi-xy
2j-3zyk
Solucioacuten-
1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0
i j k
RotF z y i z x j y x kx y z y z x z x y
x y z
2 2 2 2
2
2 2
( 3 ) ( ) ( 3 ) ( ) ( ) ( )
3
i j k
RotF zy xy i zy x y j xy x y kx y z y z x z x y
x y xy zy
2 2
2
2 2
3 0
3
i j k
RotF z i j y x kx y z
x y xy zy
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Definicioacuten- (Divergencia) Si F es un campo vectorial de clase C1 la divergencia de F se define como un campo escalar de la siguiente forma
( )P Q R
divF div Pi Qj Rkx y z
Ejemplos- Determine la divergencia de los siguientes campos vectoriales F1=xi+yj+zk F2=x
2yi-xy
2j-3zyk
Solucioacuten-
1 ( ) ( ) ( ) ( ) 3divF div xi yj zk x y zx y z
2 2 2 2
2 ( 3 ) ( ) ( ) ( 3 ) 2 2 3 3divF div x yi xy j zyk x y xy zy xy xy y yx y z
Definicioacuten- (Laplaciano) Si f es un campo escalar de clase C2 el Laplaciano de f se define como un campo escalar de la siguiente forma
2 2 2
2
2 2 2xx yy zz
f f ff f f f f
x y z
Ejemplos- Determine la divergencia de los siguientes campos escalares g1(x
y z) = xy2z
3 g2(x y z) = x
2 + y
2 + z
2
2 2 2
2 2 3 2 3 2 3 2 3 3 2 2
2 2 2( ) ( ) ( ) 2 3 f f xy z xy z xy z y z yz xy z
x y z
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2( ) ( ) ( ) 6f f x y z x y z x y z
x y z
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Tarea nuacutemero 3 Trayectorias
Objetivo- Que el alumno sea capaz de comprender los conceptos de movimiento de una partiacutecula a lo largo de una trayectoria y de la importancia del uso de vectores en este tema 1- Si la trayectoria σ(t) = t2i+t2j define la trayectoria seguida por una partiacutecula con respecto al tiempo determine 1a- iquestEl tipo de trayectoria que describe 1b- Realice una graacutefica de la distancia recorrida por la partiacutecula con respecto al tiempo en los primeros tres segundos 1c- Determine el tipo de movimiento de la partiacutecula 1d- iquestSe puede afirmar que es un movimiento uniformemente acelerado 1e- Determine la aceleracioacuten y velocidad a los cuatro segundos 1f- Realice una graacutefica de su rapidez con respecto al tiempo 1g- Realice una graacutefica de sus aceleracioacuten con respecto al tiempo 1h- En la graacutefica de la trayectoria agregue graacuteficamente los vectores aceleracioacuten y velocidad 2- Realice lo mismo que en ejercicio anterior pero ahora con la funcioacuten γ(t) = Cos(t) i+5Sen(t)j 3- Dadas las funciones f(t) = 3t2i-4t3j+e2tk y g(t) = 4t3i+4t2j+e-2tk 3a- Determine la funcioacuten producto punto h = fg 3b- Determine la derivada de h 3c- Usando la regla de diferenciacioacuten determine la derivada de h y compruebe el inciso anterior 4a- Determine la funcioacuten producto cruz k = ftimesg 4b- Determine la derivada de h 4c- Usando la regla de diferenciacioacuten determine la derivada de h y compruebe el inciso anterior 5- Determine el Rotacional y la Divergencia del siguiente campo vectorial G(x y z) = 2xy i + 3xz j - 5xy k 6- Determine el gradiente y el Laplaciano del siguiente campo escalar f(xyz) = 4x2-3yz2 7- Dado el campo vectorial F(x y z) = 2xy i + x2 j +3z2 k 7a- Determine si F puede representar el gradiente de un campo escalar f 7b- En caso de ser afirmativa la respuesta del inciso anterior determine el campo escalar f 8- Pruebe que la divergencia del rotacional de un campo vectorial F=Pi+Qj+Rk es igual a cero Es decir la div rot F =0 9- Usando las reglas de diferinciacioacuten pruebe que
gfgfgf
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100 -x
Capitulo 4 Maacuteximos y miacutenimos
Es indispensable determinar en distintos problemas las soluciones oacuteptimas que permitan establecer por ejemplo los valores maacuteximos de produccioacuten o ahorrar el material en la construccioacuten de cierto equipo
Como se recordaraacute el gradiente de una funcioacuten indica la direccioacuten de
maacuteximo crecimiento esto se refleja en que si se toma la direccioacuten sugerida por este vector el valor de la funcioacuten aumenta en una vecindad del mismo asiacute si en un diagrama de un campo gradiente aparecen un punto en donde convergen la direccioacuten de todos los gradientes se encontraraacute que dicho valor debe de ser un valor maacuteximo para la funcioacuten de estudio Un diagrama de esta tipo se ejemplifica a continuacioacuten
Un diagrama en donde todos los vectores apuntan hacia fuera de un
punto indicaraacute que este punto debe de ser un valor miacutenimo de la funcioacuten Citemos el siguiente ejemplo de una variable con la finalidad de
centrarnos en el tema Una persona desea bardear un terreno en forma rectaacutengular cuanto debe de medir cada lado de manera tal que el aacuterea cercada sea maacutexima si se cuenta con 200 metros de malla
La funcioacuten que representa dicho modelo es
A(x) = x(100-x) x
Como se puede observar el aacuterea es cero si x es igual a cero o a cien con lo cuaacutel el lado x debe de estar en en intervalo [0 100] siendo estas las restricciones del problema Derivando la funcioacuten para obtener los valores critiacutecos se tiene que Arsquo(x) = 100 ndash 2x
Al igual la derivada a cero se concluye que el valor critico es x es igual a 50 Al derivar por segunda ocasioacuten se concluye que
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Arsquorsquo(x) = -2 Como la segunda derivada es siempre negativa se concluye que la funcioacuten alcanza un valor maacuteximo en el valor critico en este caso en x = 50 al interpretar dicho resultado se concluye que el terreno que optimiza la solucioacuten es un cuadrado Ejercicio- Que aacuterea se genera si el terreno es de forma circular Al resolver el ejercioacute anterior y comparar las aacutereas del cuadrado y del circulo se puede apreciar que el aacuterea del circulo es mayor pero en la praacutectica es poco atractivo cercar terrenos circulares por diversas razones pero en la naturaleza es comuacuten observar que las gotas de lluvia sean esferas esto permite el optimizar recursos y maacuteximizar el volumen del liacutequido contenido en la misma Se iniciara el estudio formal de maacuteximos y miacutenimos de funciones de varias variables observando las siguientes graficas con la finalidad de tener la idea clara de que es un maacuteximo o miacutenimo o un punto silla
En la primera de ellas se observa que la funcioacuten tiene un valor miacutenimo en la segunda se observa que la funcioacuten tiene un valor maacuteximo y en la uacuteltima la funcioacuten tiene un punto silla este se identifica el dirigirnos en una direccioacuten la funcioacuten crece mientras que en la otra la funcioacuten decrece
Definicioacuten- Una funcioacuten mn RRf tiene un valor maacuteximo local en x0 si en
una vecindad de dicho valor se cumple que la funcioacuten evaluada en todos los vecinos ninguno de ellos supera a f(x0) Es decir f(x0) f(x) para todo x en una vecindad de x0 El punto es llamado un maacuteximo absoluto si la funcioacuten toma el valor maacuteximo en dicho punto para todo valor de su dominio
Esto es muy similar cuando uno observa a los alumnos de un saloacuten de clases existe un alumno que tiene la mayor estatura si ninguno de sus compantildeeros lo supera Asiacute en la escuela el alumno de mayor estatura absoluta es aquel que supera a todo el plantel
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La definicioacuten para el miacutenimo local (absoluto) es similar
f(x0) f(x) para todo en una vecindad de x0 Por ejemplo la funcioacuten f(xy) = x2+y2 tiene un valor miacutenimo en el origen dado que en este valor la funcioacuten vale cero mientras que fuera de ahiacute siempre es positiva dado que todo nuacutemero real elevado al cuadrado es siempre positivo Ademaacutes dicho valor es un miacutenimo absoluto Como se menciono al inicio de esta capitulo el diagrama del campo
gradiente de esta funcioacuten y
xyxf
2
2)( indica que la funcioacuten tiene un valor
miacutenimo siendo la grafica del mismo la siguiente Sin embargo se requiere un criterio maacutes general y sistemaacutetico que permita establecer los posibles valores maacuteximos miacutenimos o puntos silla) Definicioacuten- (Un valor extremo) Si la funcioacuten posee un valor maacuteximo o miacutenimo este es llamado un valor extremo Definicioacuten- (Un valor critico) Un punto en donde la derivada de la funcioacuten se anula es llamado un valor critico Teorema- Todo valor extremo es un valor critico Es decir si f posee un valor extremo en x0 que pertenece a su dominio entonces la derivada de la funcioacuten en el punto x0 se anula Es decir Df(x0) = 0 Demostracioacuten- Sea l(t) una trayectoria que pasa a traveacutes por el punto x0 defina la composicioacuten de funciones h(t) = f(l(t)) donde l(t) = x0 + tv de donde lrsquo(t) = v y ademaacutes
))(()())(()( VtlftDltlDftDh (1)
Por otra parte como f posee un valor extremo en x0 suponga que dicho
valor es un maacuteximo entonces x0 seraacute a la vez un maacuteximo para la funcioacuten h y como h es una funcioacuten real esto significa que la derivada de h en dicho punto
se anula es decir 0)()0())0(()0( 0 vxfDllDfDh ahora como los
vectores )( 0xf y v no son necesariamente perpendiculares y el vector v a la
vez tampoco se anula entonces esto implica que el gradiente de f en x0 es igual a cero y por lo tanto f posee un valor criacutetico en x0
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Este resultado permite establecer posibles valores criacuteticos de una funcioacuten asiacute se menciona el siguiente ejemplo Ejemplo- Determine los posibles valores criacuteticos de las siguientes funciones (1) f(x y) = x2 + y2 y (2) g(x y) = 4x3 -12x + y2
Solucioacuten-
(1) 0
0
2
2)(
y
xyxf de aquiacute se concluye que dicho valor soacutelo
existe un valor criacutetico siendo este el origen el cuaacutel ya se clasifico en estos apuntes y resulto ser un valor miacutenimo
(2) 0
0
2
1212)(
2
y
xyxg de aquiacute se obtienen dos valores criacuteticos
que son (-10) y 1l (10) Los cuales se pueden clasificar el realizar el graacutefico del campo gradiente En donde se aprecia que en el punto (-10) la funcioacuten posee un punto silla mientras que en el punto (10) la funcioacuten posee un valor miacutenimo
Aquiacute se utilizaraacute el criterio del hessiano para determinar si el valor criacutetico es un maacuteximo un miacutenimo o un punto silla Solo se enunciara el teorema sin demostracioacuten para ver la misma puede revisar en el libro de Marsden Tromba de Caacutelculo Vectorial
Definicioacuten- El Hessiano de una funcioacuten 22 RRH de clase C2 se define como una funcioacuten cuadraacutetica que se escribe como
2
1
2
22
2
2
2
21212
1)(
h
h
y
f
yx
f
xy
f
x
f
hhhhH
Evaluada la matriz de las segundas derivas parciales en el valor criacutetico
Teorema- Si el Hessiano de una funcioacuten 2 RRf es definitivamente
positivo entonces la funcioacuten tiene un valor miacutenimo en dicho punto
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37
Corolario- Si la matriz asociada A=cb
ba de una forma cuadraacutetica dos
por dos es definitivamente positiva si y soacutelo si se cumple que agt0 y det A gt0
Teorema de una valor para un valor extremo miacutenimo- Una funcioacuten
2 RRf de clase C2 posee un valor extremo miacutenimo local en x0 elemento
del dominio de la funcioacuten si y soacutelo si se satisfacen las siguientes condiciones
(i) 0)( 0xx
f y 0)( 0x
y
f
(ii) )( 02
2
xx
f gt 0
(iii) )( 02
2
xx
f)( 02
2
xy
f)(
2
2
oxx
f)( 02
2
xx
f gt 0
Para un valor maacuteximo las condiciones (i) y (iii) se mantienen la uacutenica que cambia en la segunda en donde esta debe ser negativa Para un punto silla se requiere que al menos no se cumplan las condiciones de valor maacuteximo ni miacutenimo y que la uacuteltima condicioacuten (iii) sea distinta de cero En caso contrario el criterio no permite clasificar dicho valor como se mostraraacute en un ejemplo maacutes adelante Ejemplo- Ahora continuando con los ejemplos anteriores
(1) Para f(xy) = x2+y2 el valor critico es el origen y el hessiano asociado es
2
1
212100
02
2
1)(
h
hhhhhH
Como se pude apreciar el primer valor es positivo 2 gt0 y el determinante de
la funcioacuten 20
02det es igual a 4 que a la vez es positivo de manera tal que la
funcioacuten posee un valor miacutenimo en el origen
(2) g(x y) = 4x3 -12x + y2 los puntos criticos son (-10) y (10) y el hessiano asociado a esta forma cuadraacutetica es
2
1
212120
024
2
1)(
h
hxhhhhHg
Ahora al evaluar en los puntos se tiene En el (-10)
2
1
212120
024
2
1)(
h
hhhhhHg
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38
En donde -24 lt 0 y det Hg = -48 lt0 con lo cuaacutel debe de ser un punto silla
En el (10)
2
1
212120
024
2
1)(
h
hhhhhHg
En donde 24 gt 0 y det Hg = 48 gt0 con lo cuaacutel debe de ser un punto miacutenimo
Tal como se habiacutea estimado en la graacutefica del campo gradiente de la
solucioacuten anterior A continuacioacuten se muestra un bosquejo de dicha graacutefica realizado en el derive
Ejemplos de cuando el criterio permite clasificar los
valores criacuteticos
Ejemplo- A continuacioacuten se mostrara un ejemplo de cuando el criterio no concluye asiacute si la funcioacuten es h(xy) = x4+y4 al calcular las derivas parciales mixtas fx=4x3 y fy=4y3 se encuentra un solo valor critico el origen miestras que la matriz asociada del hessiano es
2
2
120
012
y
x y al evaluar en el origen queda expresada como
00
00
)0(120
0)0(122
2
En donde se puede apreciar que fallan todos los criterios una inspeccioacuten de
la funcioacuten original permite ver que la funcioacuten tiene un valor miacutenimo en dicho punto pero no es una generalizacioacuten es decir no se puede decir que siempre que aparezca la matriz de ceros se tenga un valor miacutenimo dado que si se analiza ahora a las funciones k(xy) = -x4-y4 y p(xy) = x4-y4 ambas tienen como calor extremo al origen y la matriz hessiana asociada a la forma cuadraacutetica evaluada en el origen es la matriz de ceros
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39
Ejemplo- Otro ejemplo en donde el criterio no concluye es el siguiente en
donde el determinante de la matriz H es cero debido a que la segunda derivada de la funcioacuten f con respecto a la segunda variable se anula (fyy = 0) y no se puede asegurar que se tenga un punto maacuteximo miacutenimo o silla
Las funciones f1(xy) = x2 f2(xy) = -x2 y f3(xy) = x3 presentan este
problema a continuacioacuten se muestran las graficas de dichas funciones
En cada una de ellas los puntos criacuteticos son las parejas en el plano (0 y) Es decir el eje coordenado X
El Hessiano respectivo de cada uno es el siguiente
00
02)(1 yxH
00
02)(2 yxH
00
03)(3
xyxH
Note que el determinante de cada de estas matrices se hace cero y que fyy
se anula en cada caso
Ahora observando las graacuteficas se verifica visualmente que en la primera se tienen valores miacutenimos en la segunda maacuteximos y en la uacuteltima no es ni maacuteximo ni miacutenimo o punto silla
Ejemplo- Citemos otro ejemplo en donde el criterio de maacuteximos y miacutenimos
no concluye Determine los puntos criacuteticos de la funcioacuten h(xy) = x4 Se tiene que hx=4x3=0 y hy=0 de donde se deduce que la funcioacuten tiene
un nuacutemero infinito de puntos criacuteticos estos son las parejas ordenadas en el plano (0y)
La matriz del Hessiano asociado es
00
012)(
2
1
xyxH y evaluando en el punto
00
00)0(1 yH
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40
En donde no se puede clasificar a los valores criacuteticos sin embargo
realizando una inpeccioacuten de la funcioacuten se puede concluir que todos los puntos representan valores miacutenimos de la funcioacuten original a continuacioacuten se muestra la grafica de la misma
El Hessiano para n variables y el criterio de clasificacioacuten
Cuando la funcioacuten tiene maacutes de dos variables se genera una matriz asociada H en cada uno de los valores criacuteticos de la siguiente forma
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
H
21
22221
11211
De aquiacute se definen las siguientes matrices
111 aH 2221
1211
2aa
aaH hellip HH n
Los criterios para los valores criacuteticos de la funcioacuten RRf n son los
siguientes [Miacutenimo Local] La funcioacuten f posee un valor extremo local miacutenimo en x0 si todos los determinantes de las submatrices evaluados en x0 son positivos
0det 1H 0det 2H hellip 0det 2H (+ + hellip +)
En este caso la forma cuadraacutetica se puede probar que es definitivamente positiva [Maacuteximo Local] La funcioacuten f posee un valor extremo local miacutenimo en x0 si todos los determinantes de las submatrices evaluados en x0 se alternan en signo pero el primero de ellos debe ser negativo
0det 1H 0det 2H hellip 0det 2H (- + - + hellip )
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41
En este caso la forma cuadraacutetica se puede probar que es definitivamente negativa [Punto Silla] La funcioacuten f posee un punto silla si no se cumplen los criterios de valor miacutenimo o maacuteximo y al menos uno de los subdeterminantes es distinto de cero
Existe un i tal que 0det iH
Ejemplos- Determine los valores criacuteticos de las siguiente funcioacuten f(x y z w) = x3 - 3x + y3 ndash 3y + z2 + w2 y claacutesifiquelos Solucioacuten- Al resolver las siguientes ecuaciones
033 2 xxf x 033 2 yyf y 02zf z y 033 2 wwfw
Se obtienen cuatro puntos criacuteticos que son (-1-100) (-1100) (1-100) y (1100) ahora se genera la matriz del hessiano asociado siendo esta
2000
0200
0060
0006
y
x
H
Al evaluar en cada uno de los puntos se tienen las siguientes matrices
2000
0200
0060
0006
)0011(H
2000
0200
0060
0006
)0011(H
2000
0200
0060
0006
)0011(H y
2000
0200
0060
0006
)0011(H
Los sub determinantes para cada uno de los puntos son [(-1 -1 0 0)] -6 36 72 144 que clasifica como un punto silla [(-1100)] -6 -36 -72 -144 que clasifica como un punto silla [(1-100)] 6 -36 -72 -144 que clasifica como un punto silla [(1100)] 6 36 72 144 que clasifica como un valor miacutenimo De manera tal que la funcioacuten tiene tres puntos silla y un valor miacutenimo
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Ejercicios- Determine los puntos criacuteticos de las siguientes funciones y claacutesifiquelos utilizando el criterio del Hessiano
(1) f(x y) = x2 - y2 (Silla de montar)
(2) g(x y) = 22 yx (Cono)
(3) h(x y z) = x4 - 2x2 + 2y3 -3y2 + z3-3 Ejercicio- Se requiere construir una lata con tapa que contenga un litro de agua con el miacutenimo de material determine las condiciones que oacuteptimizan el problema Ejercicio- Determine el producto maacuteximo de tres nuacutemeros si la suma de ellos debe ser 40 Ejercicio- Determine la distancia miacutenima del origen a la graacutefica de la funcioacuten f(xy) = 4-x2+y Ejercicio- Estudie los ejemplos resueltos que trae el libro de Marden Tromba en el capitulo 4 en especial el referente a la ecuacioacuten de miacutenimos cuadrados Ejercicio- Determine la ecuacioacuten lineal que mejor se ajusta a los puntos (12) (2 32) (3 389) (4 488) (5 55) Utilize el criterio de miacutenimos cuadrados en caso de que el modelo sea lineal (justifique la linealidad del mismo realice una graacutefica de los puntos y de la liacutenea que ajusta a los puntos) Ejemplo- (Aplicacioacuten) En este ejemplo dermina la distancia miacutenima del punto (100) a la graacutefica de una funcioacuten f(x y) = x2+y2
Solucioacuten- Todos los puntos que se encuentran sobre la graacutefica de la funcioacuten satisfacen la siguiente terna de valores en donde se observa que la tercer componente es la variable dependiente (x y x2+y2)
La distancia del punto (1 0 0) a los puntos que estaacuten sobre la graacutefica (x y x2+y2) Se define por medio de la funcioacuten
2222222 )()1()()001()( yxyxyxyxdyxfd
Para determinar el valor miacutenimo o maacuteximo de esta funcioacuten basta con
analizar su argumento dado que es un funcioacuten creciente Es decir Si x1lt x2
entonces f(x1) lt f(x2) lo que es vaacutelido para la funcioacuten )( xxf (ver graacutefica)
2x
1x
x1 x2
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43
De este modo la funcioacuten a maximizar es
2222222
11 )()1()()001()( yxyxyxyxdyxfd
De aquiacute al las derivadas parciales son
)(4)1(2)( 22
1 yxxxyxfd x y )(42)( 22
1 yxyyyxfd y
Igualando ambas ecuaciones a cero se puede establecer la siguiente
ecuacioacuten
)(4
)(4
2
2222
22
yxy
yxx
y
x (3)
De aquiacute si )00()( yx y 0y se concluye que -1=0 lo cual es una
contradiccioacuten Por otra parte si (xy)=(00) en la primera ecuacioacuten se tiene que 1=0 que es tambieacuten una contradiccioacuten Finalmente si se considera el caso en
que y=0 se obtiene de la siguiente ecuacioacuten 012 3 xx
El polinomio 12)( 3 xxxP tiene una raiacutez entre el cero y el 1 dado
que P(0)=-1 y P(1)=2 Con el anaacutelisis de raiacuteces racionales dos posibles raiacuteces
son 2
1 y como
2
1 estaacute entre cero y uno al usando divisioacuten sinteacutetica se
obtiene que 4
1
2
1P Asiacute que la raiacutez debe de estar en el intervalo 1
2
1
Ahora usando el meacutetodo de Newton con semilla en 2
10x se obtiene
que 6010
6
2
54
1
2
1
)(
)(
0
0
01xf
xfxx
Ahora al evaluar la funcioacuten en dicho punto se tiene que 0320)60(P el
cual es aceptable como raiacutez del polinomio en una sola interaccioacuten De manera tal que el punto criacutetico de la funcioacuten es el (060) El Hessiano asociado es
24128
82412)(
22
22
xyxy
xyyxyxH
Como se puede apreciar el primer elemento de la matriz es positivo independientemente de los valores de x e y Falta evaluar el determinante de H este es igual a
)64)2412)(2412()(det 222222 yxxyyxyxH
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44
Ahora evaluando en (06 0) se tiene 7421)443)(326()060(det H
Que tambieacuten es positivo de manera tal que se tiene un valor miacutenimo Es
decir la se obtuvo la distancia miacutenima
Maacuteximos y Miacutenimos con restricciones
Los muacuteltiplicadores de Lagrange permite determinar valores maacuteximos o miacutenimos de funciones con restricciones De este tipo de problemas esta lleno nuestro contorno desde el panedero que desea producir la maacutexima cantidad de pan pero con la restriccioacuten del capital que tiene o la posible venta del diacutea para que no tenga sobrantes
Citemos el siguiente ejemplo la graacutefica de paraboloide z = x2+y2 esta
graacutefica soacutelo tiene un valor miacutenimo en el origen sin embargo si esta restringida
al cuadrado unitario 1111 la funcioacuten alcanza cuatro puntos maacuteximos en
los puntos (-11)(-1-1) (1 -1) y (11) a saber dicho valor es 2 Como se observa en la figura
Ahora si se trabaja con la silla de montar con la misma restriccioacuten esta
funcioacuten tiene originalmente un punto silla en el origen pero al analizar las restricciones se contiene dos valores maacuteximos y dos miacutenimos en los puntos (10) (-10) (0-1) y (01)
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45
Muacuteltiplicadores de Lagrange Teorema- Dadas dos funciones fg Rn a R diferenciables en X0 elemento del dominio de ambas funciones Si Lc es el conjunto de nivel de valor c de la funcioacuten g y si f posee un valor maacuteximo miacutenimo o silla en la restriccioacuten Lc
entonces existe un nuacutemero real λ tal que )()( 00 XgXf
Se puede ver parte de la demostracioacuten de este teorema en el libro de Marsden Tromba Para clasificar los puntos criacuteticos se utiliza el criterio del Hessiano limitado el cuaacutel se define a partir de la funcioacuten auxiliar H(x1 x2 hellip xn) = f(x1 x2 hellip xn) - λ g(x1 x2 hellip xn)
nnnn
n
n
xxxxx
xxxxx
xx
hhg
hhg
gg
H
1
1111
10
||
Ahora defina los siguientes determinantes
22122
21111
210
|| 1
xxxxx
xxxxx
xx
hhg
hhg
gg
H
3323131
3222121
3121111
3210
|| 2
xxxxxxx
xxxxxxx
xxxxxxx
xxx
hhhg
hhhg
hhhg
ggg
H ||det|| HHn
Criterios para maacuteximos y miacutenimos con restricciones (Hessiano liacutemitado) [Miacutenimo Local] Se tiene un miacutenimo local si y soacutelo si todos los determinantes son negativos |H1| lt0 |H2| lt0 hellip |Hn|lt0 ( - - - - - hellip)
[Maacuteximo Local] Se tiene un maximo local si y soacutelo se inicia con un determinante positivo y luego se alternan los signos |H1| gt 0 |H2| lt 0 hellip |Hn|lt0 (+ - + - hellip)
[Punto del tipo Silla] Se tiene un punto tipo silla sino se satisface los criterios de maacuteximos o miacutenimos y al menos uno de los determinantes es distinto de cero Ejemplo- Determine si la funcioacuten f(xy)= x2 ndash y2 tiene valores criacuteticos en la restriccioacuten x2+y2=1
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)(2
2
2
2)( 00 Xg
g
g
y
x
y
x
f
fXf
y
x
y
x
de aquiacute se obtienen las ecuaciones 2x = 2 λx -2y = 2 λy x2 + y2 =1 Las soluciones de este sistema de ecuaciones son (-101) (101) (0-1-1) y (0-11) El Hessiano liacutemitado es
2202
0222
220
||
y
x
yx
H
El determinante es igual a det|H| = 8x2(1+λ) ndash 8y2(1-λ) ahora evaluando
cada uno de los puntos se tiene que det|H|(-101) = 16 gt 0 det|H|(101) = 16 gt 0 det|H|(0-1-1) = -16 lt 0 det|H|(0-11) = -16 lt 0
De manera tal que la funcioacuten posee dos valores maacuteximos en los puntos (-10) y (10) y por otra parte tiene dos valores miacutenimos en los puntos (0-1) y (0-1) Ejemplo- Determine si la funcioacuten f(xy)= x2+y2 tiene valores criacuteticos en la restriccioacuten x2-y2 le 4 Al iniciar este estudio se trabaja con el interior es decir x2-y2 lt 4 dando como resultado el anaacutelisis de maacuteximos y miacutenimos de una funcioacuten en general de donde el gradiente de f se anula uacutenicamente en el origen siendo este valor un miacutenimo como se habiacutea visto en un ejercicio anterior para la funcioacuten del paraboloide Ahora al trabajar sobre la frontera se usa el criterio de muacuteltiplicadores de Lagrange
)(2
2
2
2)( 00 Xg
g
g
y
x
y
x
f
fXf
y
x
y
x
de aquiacute se obtienen las ecuaciones 2x = 2 λx 2y = -2 λy x2 - y2 = 4
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47
Las soluciones de este sistema de ecuaciones son (-201) y (201) El Hessiano liacutemitado es
2202
0222
220
||
y
x
yx
H
El determinante es igual a det|H| = -8x2(1+λ) + 8y2(1-λ) ahora
evaluando en cada uno de los puntos se tiene que det|H|(201) = -64 gt 0 y det|H|(-201) = -64 lt 0
De manera tal que la funcioacuten posee dos valores miacutenimos en los puntos (-20) y (20)
Una anaacutelisis de la graacutefica de esta funcioacuten permite visualizar que dichos
puntos no son miacutenimos maacutes bien son puntos tipos silla y no es que el criterio falle sino maacutes bien que los valores son miacutenimos pero sobre el complemento es decir bajo la restriccioacuten x2-y2 ge 4 Ejemplo- Determine los valores criacuteticos de la funcioacuten f(xyz) = 2x+y+3z sujeta a la restriccioacuten x2+y2+z2 le 36 Solucioacuten- Un anaacutelisis de las condiciones iniciales muestra que la graacutefica a maximizar en un hiperplano restringido en su dominio a una esfera de radio 6 de acuerdo a estas condiciones la funcioacuten en su interior no debe tener valor criacuteticos y en la frontera debe tener un valor miacutenimo y un valor maacuteximo En el interior- Al derivar la funcioacuten original se tiene lo siguiente
3
1
2
)( 0
z
y
x
f
f
f
Xf
De aquiacute se observa que la funcioacuten no posee valores criacuteticos en todo su dominio tal y como se esperaba Frontera- Al utilizar las condiciones del los Muacuteltiplicadores de Lagrange se tiene lo siguiente
)(
2
2
2
3
1
2
)( 00 Xg
z
y
x
f
f
f
Xf
z
y
x
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48
De aquiacute se genera el siguiente sistema de ecuaciones 2 = 2λx 1 = 2λy 3 = 2λz x2+y2+z2=36
Resolviendo el sistema se concluye que 2
1
1yx amp
2
3z Ahora
sustituyendo en la uacuteltima ecuacioacuten se deduce que la funcioacuten posee dos valores criacuteticos que son
18
14
14
1427
14
149
14
1418amp
18
14
14
1427
14
149
14
1418
La funcioacuten auxiliar es H(xyzλ) = 2x+y+3z-λ(x2+y2+z2) donde Hx=2-2λx Hy=1-2λy Hz=3-2λz El Hessiano Liacutemitado es
2002
0202
0022
2220
||
z
y
x
zyx
H
De aquiacute
0
0)(8
202
022
220
|| 22
1si
siyx
y
x
yx
H
0576)(16
2002
0202
0022
2220
|| 22222 zyx
z
y
x
zyx
H
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49
De aquiacute se desprende que la funcioacuten f(xyz) = 2x+y+3z posee un valor miacutenimo
en el punto 18
14
14
1427
14
149
14
1418 restringido a x2+y2+z2 = 36 y un
maacuteximo en el punto 18
14
14
1427
14
149
14
1418
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50
Tarea nuacutemero 4 Maacuteximos y Miacutenimos
Objetivo- Que el alumno sea capaz de aprender a resolver problemas asociados a la vida real haciendo uso del caacutelculo de varias variables Aquiacute se enuncian los siguientes ejercicios adicionales dado que muchos de los mismos se fueron exponiendo a lo largo del capiacutetulo y se sugiere que se revisen los problemas resueltos y propuestos en la libros de la bibliografiacutea dado que las aplicaciones son muchas 1- Determine los valores maacuteximos y miacutenimos de la funcioacuten f(xy) = x +y sujeta a la restriccioacuten x2+2y2le18 (Realice un bosquejo de la graacutefica y se restriccioacuten)
2- Determine los valores maacuteximos y miacutenimos de la funcioacuten f(xy) = x2 +y2 sujeta a la restriccioacuten x+2y le 4 (Realice un bosquejo de la graacutefica y se restriccioacuten)
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51
Bibliografiacutea
1 Caacutelculo Vectorial Marsden amp Tromba Addison-Wesley Iberoamericana
2 Caacutelculo Multivariable James Steward Thomson Editores
3 Caacutelculo con Geometriacutea Anaacutelitica Zill Grupo Editorial Iberoameacuterica
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31
Definicioacuten- (Divergencia) Si F es un campo vectorial de clase C1 la divergencia de F se define como un campo escalar de la siguiente forma
( )P Q R
divF div Pi Qj Rkx y z
Ejemplos- Determine la divergencia de los siguientes campos vectoriales F1=xi+yj+zk F2=x
2yi-xy
2j-3zyk
Solucioacuten-
1 ( ) ( ) ( ) ( ) 3divF div xi yj zk x y zx y z
2 2 2 2
2 ( 3 ) ( ) ( ) ( 3 ) 2 2 3 3divF div x yi xy j zyk x y xy zy xy xy y yx y z
Definicioacuten- (Laplaciano) Si f es un campo escalar de clase C2 el Laplaciano de f se define como un campo escalar de la siguiente forma
2 2 2
2
2 2 2xx yy zz
f f ff f f f f
x y z
Ejemplos- Determine la divergencia de los siguientes campos escalares g1(x
y z) = xy2z
3 g2(x y z) = x
2 + y
2 + z
2
2 2 2
2 2 3 2 3 2 3 2 3 3 2 2
2 2 2( ) ( ) ( ) 2 3 f f xy z xy z xy z y z yz xy z
x y z
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2( ) ( ) ( ) 6f f x y z x y z x y z
x y z
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32
Tarea nuacutemero 3 Trayectorias
Objetivo- Que el alumno sea capaz de comprender los conceptos de movimiento de una partiacutecula a lo largo de una trayectoria y de la importancia del uso de vectores en este tema 1- Si la trayectoria σ(t) = t2i+t2j define la trayectoria seguida por una partiacutecula con respecto al tiempo determine 1a- iquestEl tipo de trayectoria que describe 1b- Realice una graacutefica de la distancia recorrida por la partiacutecula con respecto al tiempo en los primeros tres segundos 1c- Determine el tipo de movimiento de la partiacutecula 1d- iquestSe puede afirmar que es un movimiento uniformemente acelerado 1e- Determine la aceleracioacuten y velocidad a los cuatro segundos 1f- Realice una graacutefica de su rapidez con respecto al tiempo 1g- Realice una graacutefica de sus aceleracioacuten con respecto al tiempo 1h- En la graacutefica de la trayectoria agregue graacuteficamente los vectores aceleracioacuten y velocidad 2- Realice lo mismo que en ejercicio anterior pero ahora con la funcioacuten γ(t) = Cos(t) i+5Sen(t)j 3- Dadas las funciones f(t) = 3t2i-4t3j+e2tk y g(t) = 4t3i+4t2j+e-2tk 3a- Determine la funcioacuten producto punto h = fg 3b- Determine la derivada de h 3c- Usando la regla de diferenciacioacuten determine la derivada de h y compruebe el inciso anterior 4a- Determine la funcioacuten producto cruz k = ftimesg 4b- Determine la derivada de h 4c- Usando la regla de diferenciacioacuten determine la derivada de h y compruebe el inciso anterior 5- Determine el Rotacional y la Divergencia del siguiente campo vectorial G(x y z) = 2xy i + 3xz j - 5xy k 6- Determine el gradiente y el Laplaciano del siguiente campo escalar f(xyz) = 4x2-3yz2 7- Dado el campo vectorial F(x y z) = 2xy i + x2 j +3z2 k 7a- Determine si F puede representar el gradiente de un campo escalar f 7b- En caso de ser afirmativa la respuesta del inciso anterior determine el campo escalar f 8- Pruebe que la divergencia del rotacional de un campo vectorial F=Pi+Qj+Rk es igual a cero Es decir la div rot F =0 9- Usando las reglas de diferinciacioacuten pruebe que
gfgfgf
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33
100 -x
Capitulo 4 Maacuteximos y miacutenimos
Es indispensable determinar en distintos problemas las soluciones oacuteptimas que permitan establecer por ejemplo los valores maacuteximos de produccioacuten o ahorrar el material en la construccioacuten de cierto equipo
Como se recordaraacute el gradiente de una funcioacuten indica la direccioacuten de
maacuteximo crecimiento esto se refleja en que si se toma la direccioacuten sugerida por este vector el valor de la funcioacuten aumenta en una vecindad del mismo asiacute si en un diagrama de un campo gradiente aparecen un punto en donde convergen la direccioacuten de todos los gradientes se encontraraacute que dicho valor debe de ser un valor maacuteximo para la funcioacuten de estudio Un diagrama de esta tipo se ejemplifica a continuacioacuten
Un diagrama en donde todos los vectores apuntan hacia fuera de un
punto indicaraacute que este punto debe de ser un valor miacutenimo de la funcioacuten Citemos el siguiente ejemplo de una variable con la finalidad de
centrarnos en el tema Una persona desea bardear un terreno en forma rectaacutengular cuanto debe de medir cada lado de manera tal que el aacuterea cercada sea maacutexima si se cuenta con 200 metros de malla
La funcioacuten que representa dicho modelo es
A(x) = x(100-x) x
Como se puede observar el aacuterea es cero si x es igual a cero o a cien con lo cuaacutel el lado x debe de estar en en intervalo [0 100] siendo estas las restricciones del problema Derivando la funcioacuten para obtener los valores critiacutecos se tiene que Arsquo(x) = 100 ndash 2x
Al igual la derivada a cero se concluye que el valor critico es x es igual a 50 Al derivar por segunda ocasioacuten se concluye que
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Arsquorsquo(x) = -2 Como la segunda derivada es siempre negativa se concluye que la funcioacuten alcanza un valor maacuteximo en el valor critico en este caso en x = 50 al interpretar dicho resultado se concluye que el terreno que optimiza la solucioacuten es un cuadrado Ejercicio- Que aacuterea se genera si el terreno es de forma circular Al resolver el ejercioacute anterior y comparar las aacutereas del cuadrado y del circulo se puede apreciar que el aacuterea del circulo es mayor pero en la praacutectica es poco atractivo cercar terrenos circulares por diversas razones pero en la naturaleza es comuacuten observar que las gotas de lluvia sean esferas esto permite el optimizar recursos y maacuteximizar el volumen del liacutequido contenido en la misma Se iniciara el estudio formal de maacuteximos y miacutenimos de funciones de varias variables observando las siguientes graficas con la finalidad de tener la idea clara de que es un maacuteximo o miacutenimo o un punto silla
En la primera de ellas se observa que la funcioacuten tiene un valor miacutenimo en la segunda se observa que la funcioacuten tiene un valor maacuteximo y en la uacuteltima la funcioacuten tiene un punto silla este se identifica el dirigirnos en una direccioacuten la funcioacuten crece mientras que en la otra la funcioacuten decrece
Definicioacuten- Una funcioacuten mn RRf tiene un valor maacuteximo local en x0 si en
una vecindad de dicho valor se cumple que la funcioacuten evaluada en todos los vecinos ninguno de ellos supera a f(x0) Es decir f(x0) f(x) para todo x en una vecindad de x0 El punto es llamado un maacuteximo absoluto si la funcioacuten toma el valor maacuteximo en dicho punto para todo valor de su dominio
Esto es muy similar cuando uno observa a los alumnos de un saloacuten de clases existe un alumno que tiene la mayor estatura si ninguno de sus compantildeeros lo supera Asiacute en la escuela el alumno de mayor estatura absoluta es aquel que supera a todo el plantel
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La definicioacuten para el miacutenimo local (absoluto) es similar
f(x0) f(x) para todo en una vecindad de x0 Por ejemplo la funcioacuten f(xy) = x2+y2 tiene un valor miacutenimo en el origen dado que en este valor la funcioacuten vale cero mientras que fuera de ahiacute siempre es positiva dado que todo nuacutemero real elevado al cuadrado es siempre positivo Ademaacutes dicho valor es un miacutenimo absoluto Como se menciono al inicio de esta capitulo el diagrama del campo
gradiente de esta funcioacuten y
xyxf
2
2)( indica que la funcioacuten tiene un valor
miacutenimo siendo la grafica del mismo la siguiente Sin embargo se requiere un criterio maacutes general y sistemaacutetico que permita establecer los posibles valores maacuteximos miacutenimos o puntos silla) Definicioacuten- (Un valor extremo) Si la funcioacuten posee un valor maacuteximo o miacutenimo este es llamado un valor extremo Definicioacuten- (Un valor critico) Un punto en donde la derivada de la funcioacuten se anula es llamado un valor critico Teorema- Todo valor extremo es un valor critico Es decir si f posee un valor extremo en x0 que pertenece a su dominio entonces la derivada de la funcioacuten en el punto x0 se anula Es decir Df(x0) = 0 Demostracioacuten- Sea l(t) una trayectoria que pasa a traveacutes por el punto x0 defina la composicioacuten de funciones h(t) = f(l(t)) donde l(t) = x0 + tv de donde lrsquo(t) = v y ademaacutes
))(()())(()( VtlftDltlDftDh (1)
Por otra parte como f posee un valor extremo en x0 suponga que dicho
valor es un maacuteximo entonces x0 seraacute a la vez un maacuteximo para la funcioacuten h y como h es una funcioacuten real esto significa que la derivada de h en dicho punto
se anula es decir 0)()0())0(()0( 0 vxfDllDfDh ahora como los
vectores )( 0xf y v no son necesariamente perpendiculares y el vector v a la
vez tampoco se anula entonces esto implica que el gradiente de f en x0 es igual a cero y por lo tanto f posee un valor criacutetico en x0
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Este resultado permite establecer posibles valores criacuteticos de una funcioacuten asiacute se menciona el siguiente ejemplo Ejemplo- Determine los posibles valores criacuteticos de las siguientes funciones (1) f(x y) = x2 + y2 y (2) g(x y) = 4x3 -12x + y2
Solucioacuten-
(1) 0
0
2
2)(
y
xyxf de aquiacute se concluye que dicho valor soacutelo
existe un valor criacutetico siendo este el origen el cuaacutel ya se clasifico en estos apuntes y resulto ser un valor miacutenimo
(2) 0
0
2
1212)(
2
y
xyxg de aquiacute se obtienen dos valores criacuteticos
que son (-10) y 1l (10) Los cuales se pueden clasificar el realizar el graacutefico del campo gradiente En donde se aprecia que en el punto (-10) la funcioacuten posee un punto silla mientras que en el punto (10) la funcioacuten posee un valor miacutenimo
Aquiacute se utilizaraacute el criterio del hessiano para determinar si el valor criacutetico es un maacuteximo un miacutenimo o un punto silla Solo se enunciara el teorema sin demostracioacuten para ver la misma puede revisar en el libro de Marsden Tromba de Caacutelculo Vectorial
Definicioacuten- El Hessiano de una funcioacuten 22 RRH de clase C2 se define como una funcioacuten cuadraacutetica que se escribe como
2
1
2
22
2
2
2
21212
1)(
h
h
y
f
yx
f
xy
f
x
f
hhhhH
Evaluada la matriz de las segundas derivas parciales en el valor criacutetico
Teorema- Si el Hessiano de una funcioacuten 2 RRf es definitivamente
positivo entonces la funcioacuten tiene un valor miacutenimo en dicho punto
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Corolario- Si la matriz asociada A=cb
ba de una forma cuadraacutetica dos
por dos es definitivamente positiva si y soacutelo si se cumple que agt0 y det A gt0
Teorema de una valor para un valor extremo miacutenimo- Una funcioacuten
2 RRf de clase C2 posee un valor extremo miacutenimo local en x0 elemento
del dominio de la funcioacuten si y soacutelo si se satisfacen las siguientes condiciones
(i) 0)( 0xx
f y 0)( 0x
y
f
(ii) )( 02
2
xx
f gt 0
(iii) )( 02
2
xx
f)( 02
2
xy
f)(
2
2
oxx
f)( 02
2
xx
f gt 0
Para un valor maacuteximo las condiciones (i) y (iii) se mantienen la uacutenica que cambia en la segunda en donde esta debe ser negativa Para un punto silla se requiere que al menos no se cumplan las condiciones de valor maacuteximo ni miacutenimo y que la uacuteltima condicioacuten (iii) sea distinta de cero En caso contrario el criterio no permite clasificar dicho valor como se mostraraacute en un ejemplo maacutes adelante Ejemplo- Ahora continuando con los ejemplos anteriores
(1) Para f(xy) = x2+y2 el valor critico es el origen y el hessiano asociado es
2
1
212100
02
2
1)(
h
hhhhhH
Como se pude apreciar el primer valor es positivo 2 gt0 y el determinante de
la funcioacuten 20
02det es igual a 4 que a la vez es positivo de manera tal que la
funcioacuten posee un valor miacutenimo en el origen
(2) g(x y) = 4x3 -12x + y2 los puntos criticos son (-10) y (10) y el hessiano asociado a esta forma cuadraacutetica es
2
1
212120
024
2
1)(
h
hxhhhhHg
Ahora al evaluar en los puntos se tiene En el (-10)
2
1
212120
024
2
1)(
h
hhhhhHg
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En donde -24 lt 0 y det Hg = -48 lt0 con lo cuaacutel debe de ser un punto silla
En el (10)
2
1
212120
024
2
1)(
h
hhhhhHg
En donde 24 gt 0 y det Hg = 48 gt0 con lo cuaacutel debe de ser un punto miacutenimo
Tal como se habiacutea estimado en la graacutefica del campo gradiente de la
solucioacuten anterior A continuacioacuten se muestra un bosquejo de dicha graacutefica realizado en el derive
Ejemplos de cuando el criterio permite clasificar los
valores criacuteticos
Ejemplo- A continuacioacuten se mostrara un ejemplo de cuando el criterio no concluye asiacute si la funcioacuten es h(xy) = x4+y4 al calcular las derivas parciales mixtas fx=4x3 y fy=4y3 se encuentra un solo valor critico el origen miestras que la matriz asociada del hessiano es
2
2
120
012
y
x y al evaluar en el origen queda expresada como
00
00
)0(120
0)0(122
2
En donde se puede apreciar que fallan todos los criterios una inspeccioacuten de
la funcioacuten original permite ver que la funcioacuten tiene un valor miacutenimo en dicho punto pero no es una generalizacioacuten es decir no se puede decir que siempre que aparezca la matriz de ceros se tenga un valor miacutenimo dado que si se analiza ahora a las funciones k(xy) = -x4-y4 y p(xy) = x4-y4 ambas tienen como calor extremo al origen y la matriz hessiana asociada a la forma cuadraacutetica evaluada en el origen es la matriz de ceros
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Ejemplo- Otro ejemplo en donde el criterio no concluye es el siguiente en
donde el determinante de la matriz H es cero debido a que la segunda derivada de la funcioacuten f con respecto a la segunda variable se anula (fyy = 0) y no se puede asegurar que se tenga un punto maacuteximo miacutenimo o silla
Las funciones f1(xy) = x2 f2(xy) = -x2 y f3(xy) = x3 presentan este
problema a continuacioacuten se muestran las graficas de dichas funciones
En cada una de ellas los puntos criacuteticos son las parejas en el plano (0 y) Es decir el eje coordenado X
El Hessiano respectivo de cada uno es el siguiente
00
02)(1 yxH
00
02)(2 yxH
00
03)(3
xyxH
Note que el determinante de cada de estas matrices se hace cero y que fyy
se anula en cada caso
Ahora observando las graacuteficas se verifica visualmente que en la primera se tienen valores miacutenimos en la segunda maacuteximos y en la uacuteltima no es ni maacuteximo ni miacutenimo o punto silla
Ejemplo- Citemos otro ejemplo en donde el criterio de maacuteximos y miacutenimos
no concluye Determine los puntos criacuteticos de la funcioacuten h(xy) = x4 Se tiene que hx=4x3=0 y hy=0 de donde se deduce que la funcioacuten tiene
un nuacutemero infinito de puntos criacuteticos estos son las parejas ordenadas en el plano (0y)
La matriz del Hessiano asociado es
00
012)(
2
1
xyxH y evaluando en el punto
00
00)0(1 yH
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En donde no se puede clasificar a los valores criacuteticos sin embargo
realizando una inpeccioacuten de la funcioacuten se puede concluir que todos los puntos representan valores miacutenimos de la funcioacuten original a continuacioacuten se muestra la grafica de la misma
El Hessiano para n variables y el criterio de clasificacioacuten
Cuando la funcioacuten tiene maacutes de dos variables se genera una matriz asociada H en cada uno de los valores criacuteticos de la siguiente forma
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
H
21
22221
11211
De aquiacute se definen las siguientes matrices
111 aH 2221
1211
2aa
aaH hellip HH n
Los criterios para los valores criacuteticos de la funcioacuten RRf n son los
siguientes [Miacutenimo Local] La funcioacuten f posee un valor extremo local miacutenimo en x0 si todos los determinantes de las submatrices evaluados en x0 son positivos
0det 1H 0det 2H hellip 0det 2H (+ + hellip +)
En este caso la forma cuadraacutetica se puede probar que es definitivamente positiva [Maacuteximo Local] La funcioacuten f posee un valor extremo local miacutenimo en x0 si todos los determinantes de las submatrices evaluados en x0 se alternan en signo pero el primero de ellos debe ser negativo
0det 1H 0det 2H hellip 0det 2H (- + - + hellip )
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En este caso la forma cuadraacutetica se puede probar que es definitivamente negativa [Punto Silla] La funcioacuten f posee un punto silla si no se cumplen los criterios de valor miacutenimo o maacuteximo y al menos uno de los subdeterminantes es distinto de cero
Existe un i tal que 0det iH
Ejemplos- Determine los valores criacuteticos de las siguiente funcioacuten f(x y z w) = x3 - 3x + y3 ndash 3y + z2 + w2 y claacutesifiquelos Solucioacuten- Al resolver las siguientes ecuaciones
033 2 xxf x 033 2 yyf y 02zf z y 033 2 wwfw
Se obtienen cuatro puntos criacuteticos que son (-1-100) (-1100) (1-100) y (1100) ahora se genera la matriz del hessiano asociado siendo esta
2000
0200
0060
0006
y
x
H
Al evaluar en cada uno de los puntos se tienen las siguientes matrices
2000
0200
0060
0006
)0011(H
2000
0200
0060
0006
)0011(H
2000
0200
0060
0006
)0011(H y
2000
0200
0060
0006
)0011(H
Los sub determinantes para cada uno de los puntos son [(-1 -1 0 0)] -6 36 72 144 que clasifica como un punto silla [(-1100)] -6 -36 -72 -144 que clasifica como un punto silla [(1-100)] 6 -36 -72 -144 que clasifica como un punto silla [(1100)] 6 36 72 144 que clasifica como un valor miacutenimo De manera tal que la funcioacuten tiene tres puntos silla y un valor miacutenimo
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Ejercicios- Determine los puntos criacuteticos de las siguientes funciones y claacutesifiquelos utilizando el criterio del Hessiano
(1) f(x y) = x2 - y2 (Silla de montar)
(2) g(x y) = 22 yx (Cono)
(3) h(x y z) = x4 - 2x2 + 2y3 -3y2 + z3-3 Ejercicio- Se requiere construir una lata con tapa que contenga un litro de agua con el miacutenimo de material determine las condiciones que oacuteptimizan el problema Ejercicio- Determine el producto maacuteximo de tres nuacutemeros si la suma de ellos debe ser 40 Ejercicio- Determine la distancia miacutenima del origen a la graacutefica de la funcioacuten f(xy) = 4-x2+y Ejercicio- Estudie los ejemplos resueltos que trae el libro de Marden Tromba en el capitulo 4 en especial el referente a la ecuacioacuten de miacutenimos cuadrados Ejercicio- Determine la ecuacioacuten lineal que mejor se ajusta a los puntos (12) (2 32) (3 389) (4 488) (5 55) Utilize el criterio de miacutenimos cuadrados en caso de que el modelo sea lineal (justifique la linealidad del mismo realice una graacutefica de los puntos y de la liacutenea que ajusta a los puntos) Ejemplo- (Aplicacioacuten) En este ejemplo dermina la distancia miacutenima del punto (100) a la graacutefica de una funcioacuten f(x y) = x2+y2
Solucioacuten- Todos los puntos que se encuentran sobre la graacutefica de la funcioacuten satisfacen la siguiente terna de valores en donde se observa que la tercer componente es la variable dependiente (x y x2+y2)
La distancia del punto (1 0 0) a los puntos que estaacuten sobre la graacutefica (x y x2+y2) Se define por medio de la funcioacuten
2222222 )()1()()001()( yxyxyxyxdyxfd
Para determinar el valor miacutenimo o maacuteximo de esta funcioacuten basta con
analizar su argumento dado que es un funcioacuten creciente Es decir Si x1lt x2
entonces f(x1) lt f(x2) lo que es vaacutelido para la funcioacuten )( xxf (ver graacutefica)
2x
1x
x1 x2
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De este modo la funcioacuten a maximizar es
2222222
11 )()1()()001()( yxyxyxyxdyxfd
De aquiacute al las derivadas parciales son
)(4)1(2)( 22
1 yxxxyxfd x y )(42)( 22
1 yxyyyxfd y
Igualando ambas ecuaciones a cero se puede establecer la siguiente
ecuacioacuten
)(4
)(4
2
2222
22
yxy
yxx
y
x (3)
De aquiacute si )00()( yx y 0y se concluye que -1=0 lo cual es una
contradiccioacuten Por otra parte si (xy)=(00) en la primera ecuacioacuten se tiene que 1=0 que es tambieacuten una contradiccioacuten Finalmente si se considera el caso en
que y=0 se obtiene de la siguiente ecuacioacuten 012 3 xx
El polinomio 12)( 3 xxxP tiene una raiacutez entre el cero y el 1 dado
que P(0)=-1 y P(1)=2 Con el anaacutelisis de raiacuteces racionales dos posibles raiacuteces
son 2
1 y como
2
1 estaacute entre cero y uno al usando divisioacuten sinteacutetica se
obtiene que 4
1
2
1P Asiacute que la raiacutez debe de estar en el intervalo 1
2
1
Ahora usando el meacutetodo de Newton con semilla en 2
10x se obtiene
que 6010
6
2
54
1
2
1
)(
)(
0
0
01xf
xfxx
Ahora al evaluar la funcioacuten en dicho punto se tiene que 0320)60(P el
cual es aceptable como raiacutez del polinomio en una sola interaccioacuten De manera tal que el punto criacutetico de la funcioacuten es el (060) El Hessiano asociado es
24128
82412)(
22
22
xyxy
xyyxyxH
Como se puede apreciar el primer elemento de la matriz es positivo independientemente de los valores de x e y Falta evaluar el determinante de H este es igual a
)64)2412)(2412()(det 222222 yxxyyxyxH
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Ahora evaluando en (06 0) se tiene 7421)443)(326()060(det H
Que tambieacuten es positivo de manera tal que se tiene un valor miacutenimo Es
decir la se obtuvo la distancia miacutenima
Maacuteximos y Miacutenimos con restricciones
Los muacuteltiplicadores de Lagrange permite determinar valores maacuteximos o miacutenimos de funciones con restricciones De este tipo de problemas esta lleno nuestro contorno desde el panedero que desea producir la maacutexima cantidad de pan pero con la restriccioacuten del capital que tiene o la posible venta del diacutea para que no tenga sobrantes
Citemos el siguiente ejemplo la graacutefica de paraboloide z = x2+y2 esta
graacutefica soacutelo tiene un valor miacutenimo en el origen sin embargo si esta restringida
al cuadrado unitario 1111 la funcioacuten alcanza cuatro puntos maacuteximos en
los puntos (-11)(-1-1) (1 -1) y (11) a saber dicho valor es 2 Como se observa en la figura
Ahora si se trabaja con la silla de montar con la misma restriccioacuten esta
funcioacuten tiene originalmente un punto silla en el origen pero al analizar las restricciones se contiene dos valores maacuteximos y dos miacutenimos en los puntos (10) (-10) (0-1) y (01)
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Muacuteltiplicadores de Lagrange Teorema- Dadas dos funciones fg Rn a R diferenciables en X0 elemento del dominio de ambas funciones Si Lc es el conjunto de nivel de valor c de la funcioacuten g y si f posee un valor maacuteximo miacutenimo o silla en la restriccioacuten Lc
entonces existe un nuacutemero real λ tal que )()( 00 XgXf
Se puede ver parte de la demostracioacuten de este teorema en el libro de Marsden Tromba Para clasificar los puntos criacuteticos se utiliza el criterio del Hessiano limitado el cuaacutel se define a partir de la funcioacuten auxiliar H(x1 x2 hellip xn) = f(x1 x2 hellip xn) - λ g(x1 x2 hellip xn)
nnnn
n
n
xxxxx
xxxxx
xx
hhg
hhg
gg
H
1
1111
10
||
Ahora defina los siguientes determinantes
22122
21111
210
|| 1
xxxxx
xxxxx
xx
hhg
hhg
gg
H
3323131
3222121
3121111
3210
|| 2
xxxxxxx
xxxxxxx
xxxxxxx
xxx
hhhg
hhhg
hhhg
ggg
H ||det|| HHn
Criterios para maacuteximos y miacutenimos con restricciones (Hessiano liacutemitado) [Miacutenimo Local] Se tiene un miacutenimo local si y soacutelo si todos los determinantes son negativos |H1| lt0 |H2| lt0 hellip |Hn|lt0 ( - - - - - hellip)
[Maacuteximo Local] Se tiene un maximo local si y soacutelo se inicia con un determinante positivo y luego se alternan los signos |H1| gt 0 |H2| lt 0 hellip |Hn|lt0 (+ - + - hellip)
[Punto del tipo Silla] Se tiene un punto tipo silla sino se satisface los criterios de maacuteximos o miacutenimos y al menos uno de los determinantes es distinto de cero Ejemplo- Determine si la funcioacuten f(xy)= x2 ndash y2 tiene valores criacuteticos en la restriccioacuten x2+y2=1
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)(2
2
2
2)( 00 Xg
g
g
y
x
y
x
f
fXf
y
x
y
x
de aquiacute se obtienen las ecuaciones 2x = 2 λx -2y = 2 λy x2 + y2 =1 Las soluciones de este sistema de ecuaciones son (-101) (101) (0-1-1) y (0-11) El Hessiano liacutemitado es
2202
0222
220
||
y
x
yx
H
El determinante es igual a det|H| = 8x2(1+λ) ndash 8y2(1-λ) ahora evaluando
cada uno de los puntos se tiene que det|H|(-101) = 16 gt 0 det|H|(101) = 16 gt 0 det|H|(0-1-1) = -16 lt 0 det|H|(0-11) = -16 lt 0
De manera tal que la funcioacuten posee dos valores maacuteximos en los puntos (-10) y (10) y por otra parte tiene dos valores miacutenimos en los puntos (0-1) y (0-1) Ejemplo- Determine si la funcioacuten f(xy)= x2+y2 tiene valores criacuteticos en la restriccioacuten x2-y2 le 4 Al iniciar este estudio se trabaja con el interior es decir x2-y2 lt 4 dando como resultado el anaacutelisis de maacuteximos y miacutenimos de una funcioacuten en general de donde el gradiente de f se anula uacutenicamente en el origen siendo este valor un miacutenimo como se habiacutea visto en un ejercicio anterior para la funcioacuten del paraboloide Ahora al trabajar sobre la frontera se usa el criterio de muacuteltiplicadores de Lagrange
)(2
2
2
2)( 00 Xg
g
g
y
x
y
x
f
fXf
y
x
y
x
de aquiacute se obtienen las ecuaciones 2x = 2 λx 2y = -2 λy x2 - y2 = 4
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Las soluciones de este sistema de ecuaciones son (-201) y (201) El Hessiano liacutemitado es
2202
0222
220
||
y
x
yx
H
El determinante es igual a det|H| = -8x2(1+λ) + 8y2(1-λ) ahora
evaluando en cada uno de los puntos se tiene que det|H|(201) = -64 gt 0 y det|H|(-201) = -64 lt 0
De manera tal que la funcioacuten posee dos valores miacutenimos en los puntos (-20) y (20)
Una anaacutelisis de la graacutefica de esta funcioacuten permite visualizar que dichos
puntos no son miacutenimos maacutes bien son puntos tipos silla y no es que el criterio falle sino maacutes bien que los valores son miacutenimos pero sobre el complemento es decir bajo la restriccioacuten x2-y2 ge 4 Ejemplo- Determine los valores criacuteticos de la funcioacuten f(xyz) = 2x+y+3z sujeta a la restriccioacuten x2+y2+z2 le 36 Solucioacuten- Un anaacutelisis de las condiciones iniciales muestra que la graacutefica a maximizar en un hiperplano restringido en su dominio a una esfera de radio 6 de acuerdo a estas condiciones la funcioacuten en su interior no debe tener valor criacuteticos y en la frontera debe tener un valor miacutenimo y un valor maacuteximo En el interior- Al derivar la funcioacuten original se tiene lo siguiente
3
1
2
)( 0
z
y
x
f
f
f
Xf
De aquiacute se observa que la funcioacuten no posee valores criacuteticos en todo su dominio tal y como se esperaba Frontera- Al utilizar las condiciones del los Muacuteltiplicadores de Lagrange se tiene lo siguiente
)(
2
2
2
3
1
2
)( 00 Xg
z
y
x
f
f
f
Xf
z
y
x
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De aquiacute se genera el siguiente sistema de ecuaciones 2 = 2λx 1 = 2λy 3 = 2λz x2+y2+z2=36
Resolviendo el sistema se concluye que 2
1
1yx amp
2
3z Ahora
sustituyendo en la uacuteltima ecuacioacuten se deduce que la funcioacuten posee dos valores criacuteticos que son
18
14
14
1427
14
149
14
1418amp
18
14
14
1427
14
149
14
1418
La funcioacuten auxiliar es H(xyzλ) = 2x+y+3z-λ(x2+y2+z2) donde Hx=2-2λx Hy=1-2λy Hz=3-2λz El Hessiano Liacutemitado es
2002
0202
0022
2220
||
z
y
x
zyx
H
De aquiacute
0
0)(8
202
022
220
|| 22
1si
siyx
y
x
yx
H
0576)(16
2002
0202
0022
2220
|| 22222 zyx
z
y
x
zyx
H
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De aquiacute se desprende que la funcioacuten f(xyz) = 2x+y+3z posee un valor miacutenimo
en el punto 18
14
14
1427
14
149
14
1418 restringido a x2+y2+z2 = 36 y un
maacuteximo en el punto 18
14
14
1427
14
149
14
1418
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Tarea nuacutemero 4 Maacuteximos y Miacutenimos
Objetivo- Que el alumno sea capaz de aprender a resolver problemas asociados a la vida real haciendo uso del caacutelculo de varias variables Aquiacute se enuncian los siguientes ejercicios adicionales dado que muchos de los mismos se fueron exponiendo a lo largo del capiacutetulo y se sugiere que se revisen los problemas resueltos y propuestos en la libros de la bibliografiacutea dado que las aplicaciones son muchas 1- Determine los valores maacuteximos y miacutenimos de la funcioacuten f(xy) = x +y sujeta a la restriccioacuten x2+2y2le18 (Realice un bosquejo de la graacutefica y se restriccioacuten)
2- Determine los valores maacuteximos y miacutenimos de la funcioacuten f(xy) = x2 +y2 sujeta a la restriccioacuten x+2y le 4 (Realice un bosquejo de la graacutefica y se restriccioacuten)
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Bibliografiacutea
1 Caacutelculo Vectorial Marsden amp Tromba Addison-Wesley Iberoamericana
2 Caacutelculo Multivariable James Steward Thomson Editores
3 Caacutelculo con Geometriacutea Anaacutelitica Zill Grupo Editorial Iberoameacuterica
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Tarea nuacutemero 3 Trayectorias
Objetivo- Que el alumno sea capaz de comprender los conceptos de movimiento de una partiacutecula a lo largo de una trayectoria y de la importancia del uso de vectores en este tema 1- Si la trayectoria σ(t) = t2i+t2j define la trayectoria seguida por una partiacutecula con respecto al tiempo determine 1a- iquestEl tipo de trayectoria que describe 1b- Realice una graacutefica de la distancia recorrida por la partiacutecula con respecto al tiempo en los primeros tres segundos 1c- Determine el tipo de movimiento de la partiacutecula 1d- iquestSe puede afirmar que es un movimiento uniformemente acelerado 1e- Determine la aceleracioacuten y velocidad a los cuatro segundos 1f- Realice una graacutefica de su rapidez con respecto al tiempo 1g- Realice una graacutefica de sus aceleracioacuten con respecto al tiempo 1h- En la graacutefica de la trayectoria agregue graacuteficamente los vectores aceleracioacuten y velocidad 2- Realice lo mismo que en ejercicio anterior pero ahora con la funcioacuten γ(t) = Cos(t) i+5Sen(t)j 3- Dadas las funciones f(t) = 3t2i-4t3j+e2tk y g(t) = 4t3i+4t2j+e-2tk 3a- Determine la funcioacuten producto punto h = fg 3b- Determine la derivada de h 3c- Usando la regla de diferenciacioacuten determine la derivada de h y compruebe el inciso anterior 4a- Determine la funcioacuten producto cruz k = ftimesg 4b- Determine la derivada de h 4c- Usando la regla de diferenciacioacuten determine la derivada de h y compruebe el inciso anterior 5- Determine el Rotacional y la Divergencia del siguiente campo vectorial G(x y z) = 2xy i + 3xz j - 5xy k 6- Determine el gradiente y el Laplaciano del siguiente campo escalar f(xyz) = 4x2-3yz2 7- Dado el campo vectorial F(x y z) = 2xy i + x2 j +3z2 k 7a- Determine si F puede representar el gradiente de un campo escalar f 7b- En caso de ser afirmativa la respuesta del inciso anterior determine el campo escalar f 8- Pruebe que la divergencia del rotacional de un campo vectorial F=Pi+Qj+Rk es igual a cero Es decir la div rot F =0 9- Usando las reglas de diferinciacioacuten pruebe que
gfgfgf
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100 -x
Capitulo 4 Maacuteximos y miacutenimos
Es indispensable determinar en distintos problemas las soluciones oacuteptimas que permitan establecer por ejemplo los valores maacuteximos de produccioacuten o ahorrar el material en la construccioacuten de cierto equipo
Como se recordaraacute el gradiente de una funcioacuten indica la direccioacuten de
maacuteximo crecimiento esto se refleja en que si se toma la direccioacuten sugerida por este vector el valor de la funcioacuten aumenta en una vecindad del mismo asiacute si en un diagrama de un campo gradiente aparecen un punto en donde convergen la direccioacuten de todos los gradientes se encontraraacute que dicho valor debe de ser un valor maacuteximo para la funcioacuten de estudio Un diagrama de esta tipo se ejemplifica a continuacioacuten
Un diagrama en donde todos los vectores apuntan hacia fuera de un
punto indicaraacute que este punto debe de ser un valor miacutenimo de la funcioacuten Citemos el siguiente ejemplo de una variable con la finalidad de
centrarnos en el tema Una persona desea bardear un terreno en forma rectaacutengular cuanto debe de medir cada lado de manera tal que el aacuterea cercada sea maacutexima si se cuenta con 200 metros de malla
La funcioacuten que representa dicho modelo es
A(x) = x(100-x) x
Como se puede observar el aacuterea es cero si x es igual a cero o a cien con lo cuaacutel el lado x debe de estar en en intervalo [0 100] siendo estas las restricciones del problema Derivando la funcioacuten para obtener los valores critiacutecos se tiene que Arsquo(x) = 100 ndash 2x
Al igual la derivada a cero se concluye que el valor critico es x es igual a 50 Al derivar por segunda ocasioacuten se concluye que
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Arsquorsquo(x) = -2 Como la segunda derivada es siempre negativa se concluye que la funcioacuten alcanza un valor maacuteximo en el valor critico en este caso en x = 50 al interpretar dicho resultado se concluye que el terreno que optimiza la solucioacuten es un cuadrado Ejercicio- Que aacuterea se genera si el terreno es de forma circular Al resolver el ejercioacute anterior y comparar las aacutereas del cuadrado y del circulo se puede apreciar que el aacuterea del circulo es mayor pero en la praacutectica es poco atractivo cercar terrenos circulares por diversas razones pero en la naturaleza es comuacuten observar que las gotas de lluvia sean esferas esto permite el optimizar recursos y maacuteximizar el volumen del liacutequido contenido en la misma Se iniciara el estudio formal de maacuteximos y miacutenimos de funciones de varias variables observando las siguientes graficas con la finalidad de tener la idea clara de que es un maacuteximo o miacutenimo o un punto silla
En la primera de ellas se observa que la funcioacuten tiene un valor miacutenimo en la segunda se observa que la funcioacuten tiene un valor maacuteximo y en la uacuteltima la funcioacuten tiene un punto silla este se identifica el dirigirnos en una direccioacuten la funcioacuten crece mientras que en la otra la funcioacuten decrece
Definicioacuten- Una funcioacuten mn RRf tiene un valor maacuteximo local en x0 si en
una vecindad de dicho valor se cumple que la funcioacuten evaluada en todos los vecinos ninguno de ellos supera a f(x0) Es decir f(x0) f(x) para todo x en una vecindad de x0 El punto es llamado un maacuteximo absoluto si la funcioacuten toma el valor maacuteximo en dicho punto para todo valor de su dominio
Esto es muy similar cuando uno observa a los alumnos de un saloacuten de clases existe un alumno que tiene la mayor estatura si ninguno de sus compantildeeros lo supera Asiacute en la escuela el alumno de mayor estatura absoluta es aquel que supera a todo el plantel
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La definicioacuten para el miacutenimo local (absoluto) es similar
f(x0) f(x) para todo en una vecindad de x0 Por ejemplo la funcioacuten f(xy) = x2+y2 tiene un valor miacutenimo en el origen dado que en este valor la funcioacuten vale cero mientras que fuera de ahiacute siempre es positiva dado que todo nuacutemero real elevado al cuadrado es siempre positivo Ademaacutes dicho valor es un miacutenimo absoluto Como se menciono al inicio de esta capitulo el diagrama del campo
gradiente de esta funcioacuten y
xyxf
2
2)( indica que la funcioacuten tiene un valor
miacutenimo siendo la grafica del mismo la siguiente Sin embargo se requiere un criterio maacutes general y sistemaacutetico que permita establecer los posibles valores maacuteximos miacutenimos o puntos silla) Definicioacuten- (Un valor extremo) Si la funcioacuten posee un valor maacuteximo o miacutenimo este es llamado un valor extremo Definicioacuten- (Un valor critico) Un punto en donde la derivada de la funcioacuten se anula es llamado un valor critico Teorema- Todo valor extremo es un valor critico Es decir si f posee un valor extremo en x0 que pertenece a su dominio entonces la derivada de la funcioacuten en el punto x0 se anula Es decir Df(x0) = 0 Demostracioacuten- Sea l(t) una trayectoria que pasa a traveacutes por el punto x0 defina la composicioacuten de funciones h(t) = f(l(t)) donde l(t) = x0 + tv de donde lrsquo(t) = v y ademaacutes
))(()())(()( VtlftDltlDftDh (1)
Por otra parte como f posee un valor extremo en x0 suponga que dicho
valor es un maacuteximo entonces x0 seraacute a la vez un maacuteximo para la funcioacuten h y como h es una funcioacuten real esto significa que la derivada de h en dicho punto
se anula es decir 0)()0())0(()0( 0 vxfDllDfDh ahora como los
vectores )( 0xf y v no son necesariamente perpendiculares y el vector v a la
vez tampoco se anula entonces esto implica que el gradiente de f en x0 es igual a cero y por lo tanto f posee un valor criacutetico en x0
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Este resultado permite establecer posibles valores criacuteticos de una funcioacuten asiacute se menciona el siguiente ejemplo Ejemplo- Determine los posibles valores criacuteticos de las siguientes funciones (1) f(x y) = x2 + y2 y (2) g(x y) = 4x3 -12x + y2
Solucioacuten-
(1) 0
0
2
2)(
y
xyxf de aquiacute se concluye que dicho valor soacutelo
existe un valor criacutetico siendo este el origen el cuaacutel ya se clasifico en estos apuntes y resulto ser un valor miacutenimo
(2) 0
0
2
1212)(
2
y
xyxg de aquiacute se obtienen dos valores criacuteticos
que son (-10) y 1l (10) Los cuales se pueden clasificar el realizar el graacutefico del campo gradiente En donde se aprecia que en el punto (-10) la funcioacuten posee un punto silla mientras que en el punto (10) la funcioacuten posee un valor miacutenimo
Aquiacute se utilizaraacute el criterio del hessiano para determinar si el valor criacutetico es un maacuteximo un miacutenimo o un punto silla Solo se enunciara el teorema sin demostracioacuten para ver la misma puede revisar en el libro de Marsden Tromba de Caacutelculo Vectorial
Definicioacuten- El Hessiano de una funcioacuten 22 RRH de clase C2 se define como una funcioacuten cuadraacutetica que se escribe como
2
1
2
22
2
2
2
21212
1)(
h
h
y
f
yx
f
xy
f
x
f
hhhhH
Evaluada la matriz de las segundas derivas parciales en el valor criacutetico
Teorema- Si el Hessiano de una funcioacuten 2 RRf es definitivamente
positivo entonces la funcioacuten tiene un valor miacutenimo en dicho punto
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Corolario- Si la matriz asociada A=cb
ba de una forma cuadraacutetica dos
por dos es definitivamente positiva si y soacutelo si se cumple que agt0 y det A gt0
Teorema de una valor para un valor extremo miacutenimo- Una funcioacuten
2 RRf de clase C2 posee un valor extremo miacutenimo local en x0 elemento
del dominio de la funcioacuten si y soacutelo si se satisfacen las siguientes condiciones
(i) 0)( 0xx
f y 0)( 0x
y
f
(ii) )( 02
2
xx
f gt 0
(iii) )( 02
2
xx
f)( 02
2
xy
f)(
2
2
oxx
f)( 02
2
xx
f gt 0
Para un valor maacuteximo las condiciones (i) y (iii) se mantienen la uacutenica que cambia en la segunda en donde esta debe ser negativa Para un punto silla se requiere que al menos no se cumplan las condiciones de valor maacuteximo ni miacutenimo y que la uacuteltima condicioacuten (iii) sea distinta de cero En caso contrario el criterio no permite clasificar dicho valor como se mostraraacute en un ejemplo maacutes adelante Ejemplo- Ahora continuando con los ejemplos anteriores
(1) Para f(xy) = x2+y2 el valor critico es el origen y el hessiano asociado es
2
1
212100
02
2
1)(
h
hhhhhH
Como se pude apreciar el primer valor es positivo 2 gt0 y el determinante de
la funcioacuten 20
02det es igual a 4 que a la vez es positivo de manera tal que la
funcioacuten posee un valor miacutenimo en el origen
(2) g(x y) = 4x3 -12x + y2 los puntos criticos son (-10) y (10) y el hessiano asociado a esta forma cuadraacutetica es
2
1
212120
024
2
1)(
h
hxhhhhHg
Ahora al evaluar en los puntos se tiene En el (-10)
2
1
212120
024
2
1)(
h
hhhhhHg
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En donde -24 lt 0 y det Hg = -48 lt0 con lo cuaacutel debe de ser un punto silla
En el (10)
2
1
212120
024
2
1)(
h
hhhhhHg
En donde 24 gt 0 y det Hg = 48 gt0 con lo cuaacutel debe de ser un punto miacutenimo
Tal como se habiacutea estimado en la graacutefica del campo gradiente de la
solucioacuten anterior A continuacioacuten se muestra un bosquejo de dicha graacutefica realizado en el derive
Ejemplos de cuando el criterio permite clasificar los
valores criacuteticos
Ejemplo- A continuacioacuten se mostrara un ejemplo de cuando el criterio no concluye asiacute si la funcioacuten es h(xy) = x4+y4 al calcular las derivas parciales mixtas fx=4x3 y fy=4y3 se encuentra un solo valor critico el origen miestras que la matriz asociada del hessiano es
2
2
120
012
y
x y al evaluar en el origen queda expresada como
00
00
)0(120
0)0(122
2
En donde se puede apreciar que fallan todos los criterios una inspeccioacuten de
la funcioacuten original permite ver que la funcioacuten tiene un valor miacutenimo en dicho punto pero no es una generalizacioacuten es decir no se puede decir que siempre que aparezca la matriz de ceros se tenga un valor miacutenimo dado que si se analiza ahora a las funciones k(xy) = -x4-y4 y p(xy) = x4-y4 ambas tienen como calor extremo al origen y la matriz hessiana asociada a la forma cuadraacutetica evaluada en el origen es la matriz de ceros
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Ejemplo- Otro ejemplo en donde el criterio no concluye es el siguiente en
donde el determinante de la matriz H es cero debido a que la segunda derivada de la funcioacuten f con respecto a la segunda variable se anula (fyy = 0) y no se puede asegurar que se tenga un punto maacuteximo miacutenimo o silla
Las funciones f1(xy) = x2 f2(xy) = -x2 y f3(xy) = x3 presentan este
problema a continuacioacuten se muestran las graficas de dichas funciones
En cada una de ellas los puntos criacuteticos son las parejas en el plano (0 y) Es decir el eje coordenado X
El Hessiano respectivo de cada uno es el siguiente
00
02)(1 yxH
00
02)(2 yxH
00
03)(3
xyxH
Note que el determinante de cada de estas matrices se hace cero y que fyy
se anula en cada caso
Ahora observando las graacuteficas se verifica visualmente que en la primera se tienen valores miacutenimos en la segunda maacuteximos y en la uacuteltima no es ni maacuteximo ni miacutenimo o punto silla
Ejemplo- Citemos otro ejemplo en donde el criterio de maacuteximos y miacutenimos
no concluye Determine los puntos criacuteticos de la funcioacuten h(xy) = x4 Se tiene que hx=4x3=0 y hy=0 de donde se deduce que la funcioacuten tiene
un nuacutemero infinito de puntos criacuteticos estos son las parejas ordenadas en el plano (0y)
La matriz del Hessiano asociado es
00
012)(
2
1
xyxH y evaluando en el punto
00
00)0(1 yH
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40
En donde no se puede clasificar a los valores criacuteticos sin embargo
realizando una inpeccioacuten de la funcioacuten se puede concluir que todos los puntos representan valores miacutenimos de la funcioacuten original a continuacioacuten se muestra la grafica de la misma
El Hessiano para n variables y el criterio de clasificacioacuten
Cuando la funcioacuten tiene maacutes de dos variables se genera una matriz asociada H en cada uno de los valores criacuteticos de la siguiente forma
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
H
21
22221
11211
De aquiacute se definen las siguientes matrices
111 aH 2221
1211
2aa
aaH hellip HH n
Los criterios para los valores criacuteticos de la funcioacuten RRf n son los
siguientes [Miacutenimo Local] La funcioacuten f posee un valor extremo local miacutenimo en x0 si todos los determinantes de las submatrices evaluados en x0 son positivos
0det 1H 0det 2H hellip 0det 2H (+ + hellip +)
En este caso la forma cuadraacutetica se puede probar que es definitivamente positiva [Maacuteximo Local] La funcioacuten f posee un valor extremo local miacutenimo en x0 si todos los determinantes de las submatrices evaluados en x0 se alternan en signo pero el primero de ellos debe ser negativo
0det 1H 0det 2H hellip 0det 2H (- + - + hellip )
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En este caso la forma cuadraacutetica se puede probar que es definitivamente negativa [Punto Silla] La funcioacuten f posee un punto silla si no se cumplen los criterios de valor miacutenimo o maacuteximo y al menos uno de los subdeterminantes es distinto de cero
Existe un i tal que 0det iH
Ejemplos- Determine los valores criacuteticos de las siguiente funcioacuten f(x y z w) = x3 - 3x + y3 ndash 3y + z2 + w2 y claacutesifiquelos Solucioacuten- Al resolver las siguientes ecuaciones
033 2 xxf x 033 2 yyf y 02zf z y 033 2 wwfw
Se obtienen cuatro puntos criacuteticos que son (-1-100) (-1100) (1-100) y (1100) ahora se genera la matriz del hessiano asociado siendo esta
2000
0200
0060
0006
y
x
H
Al evaluar en cada uno de los puntos se tienen las siguientes matrices
2000
0200
0060
0006
)0011(H
2000
0200
0060
0006
)0011(H
2000
0200
0060
0006
)0011(H y
2000
0200
0060
0006
)0011(H
Los sub determinantes para cada uno de los puntos son [(-1 -1 0 0)] -6 36 72 144 que clasifica como un punto silla [(-1100)] -6 -36 -72 -144 que clasifica como un punto silla [(1-100)] 6 -36 -72 -144 que clasifica como un punto silla [(1100)] 6 36 72 144 que clasifica como un valor miacutenimo De manera tal que la funcioacuten tiene tres puntos silla y un valor miacutenimo
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Ejercicios- Determine los puntos criacuteticos de las siguientes funciones y claacutesifiquelos utilizando el criterio del Hessiano
(1) f(x y) = x2 - y2 (Silla de montar)
(2) g(x y) = 22 yx (Cono)
(3) h(x y z) = x4 - 2x2 + 2y3 -3y2 + z3-3 Ejercicio- Se requiere construir una lata con tapa que contenga un litro de agua con el miacutenimo de material determine las condiciones que oacuteptimizan el problema Ejercicio- Determine el producto maacuteximo de tres nuacutemeros si la suma de ellos debe ser 40 Ejercicio- Determine la distancia miacutenima del origen a la graacutefica de la funcioacuten f(xy) = 4-x2+y Ejercicio- Estudie los ejemplos resueltos que trae el libro de Marden Tromba en el capitulo 4 en especial el referente a la ecuacioacuten de miacutenimos cuadrados Ejercicio- Determine la ecuacioacuten lineal que mejor se ajusta a los puntos (12) (2 32) (3 389) (4 488) (5 55) Utilize el criterio de miacutenimos cuadrados en caso de que el modelo sea lineal (justifique la linealidad del mismo realice una graacutefica de los puntos y de la liacutenea que ajusta a los puntos) Ejemplo- (Aplicacioacuten) En este ejemplo dermina la distancia miacutenima del punto (100) a la graacutefica de una funcioacuten f(x y) = x2+y2
Solucioacuten- Todos los puntos que se encuentran sobre la graacutefica de la funcioacuten satisfacen la siguiente terna de valores en donde se observa que la tercer componente es la variable dependiente (x y x2+y2)
La distancia del punto (1 0 0) a los puntos que estaacuten sobre la graacutefica (x y x2+y2) Se define por medio de la funcioacuten
2222222 )()1()()001()( yxyxyxyxdyxfd
Para determinar el valor miacutenimo o maacuteximo de esta funcioacuten basta con
analizar su argumento dado que es un funcioacuten creciente Es decir Si x1lt x2
entonces f(x1) lt f(x2) lo que es vaacutelido para la funcioacuten )( xxf (ver graacutefica)
2x
1x
x1 x2
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De este modo la funcioacuten a maximizar es
2222222
11 )()1()()001()( yxyxyxyxdyxfd
De aquiacute al las derivadas parciales son
)(4)1(2)( 22
1 yxxxyxfd x y )(42)( 22
1 yxyyyxfd y
Igualando ambas ecuaciones a cero se puede establecer la siguiente
ecuacioacuten
)(4
)(4
2
2222
22
yxy
yxx
y
x (3)
De aquiacute si )00()( yx y 0y se concluye que -1=0 lo cual es una
contradiccioacuten Por otra parte si (xy)=(00) en la primera ecuacioacuten se tiene que 1=0 que es tambieacuten una contradiccioacuten Finalmente si se considera el caso en
que y=0 se obtiene de la siguiente ecuacioacuten 012 3 xx
El polinomio 12)( 3 xxxP tiene una raiacutez entre el cero y el 1 dado
que P(0)=-1 y P(1)=2 Con el anaacutelisis de raiacuteces racionales dos posibles raiacuteces
son 2
1 y como
2
1 estaacute entre cero y uno al usando divisioacuten sinteacutetica se
obtiene que 4
1
2
1P Asiacute que la raiacutez debe de estar en el intervalo 1
2
1
Ahora usando el meacutetodo de Newton con semilla en 2
10x se obtiene
que 6010
6
2
54
1
2
1
)(
)(
0
0
01xf
xfxx
Ahora al evaluar la funcioacuten en dicho punto se tiene que 0320)60(P el
cual es aceptable como raiacutez del polinomio en una sola interaccioacuten De manera tal que el punto criacutetico de la funcioacuten es el (060) El Hessiano asociado es
24128
82412)(
22
22
xyxy
xyyxyxH
Como se puede apreciar el primer elemento de la matriz es positivo independientemente de los valores de x e y Falta evaluar el determinante de H este es igual a
)64)2412)(2412()(det 222222 yxxyyxyxH
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Ahora evaluando en (06 0) se tiene 7421)443)(326()060(det H
Que tambieacuten es positivo de manera tal que se tiene un valor miacutenimo Es
decir la se obtuvo la distancia miacutenima
Maacuteximos y Miacutenimos con restricciones
Los muacuteltiplicadores de Lagrange permite determinar valores maacuteximos o miacutenimos de funciones con restricciones De este tipo de problemas esta lleno nuestro contorno desde el panedero que desea producir la maacutexima cantidad de pan pero con la restriccioacuten del capital que tiene o la posible venta del diacutea para que no tenga sobrantes
Citemos el siguiente ejemplo la graacutefica de paraboloide z = x2+y2 esta
graacutefica soacutelo tiene un valor miacutenimo en el origen sin embargo si esta restringida
al cuadrado unitario 1111 la funcioacuten alcanza cuatro puntos maacuteximos en
los puntos (-11)(-1-1) (1 -1) y (11) a saber dicho valor es 2 Como se observa en la figura
Ahora si se trabaja con la silla de montar con la misma restriccioacuten esta
funcioacuten tiene originalmente un punto silla en el origen pero al analizar las restricciones se contiene dos valores maacuteximos y dos miacutenimos en los puntos (10) (-10) (0-1) y (01)
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Muacuteltiplicadores de Lagrange Teorema- Dadas dos funciones fg Rn a R diferenciables en X0 elemento del dominio de ambas funciones Si Lc es el conjunto de nivel de valor c de la funcioacuten g y si f posee un valor maacuteximo miacutenimo o silla en la restriccioacuten Lc
entonces existe un nuacutemero real λ tal que )()( 00 XgXf
Se puede ver parte de la demostracioacuten de este teorema en el libro de Marsden Tromba Para clasificar los puntos criacuteticos se utiliza el criterio del Hessiano limitado el cuaacutel se define a partir de la funcioacuten auxiliar H(x1 x2 hellip xn) = f(x1 x2 hellip xn) - λ g(x1 x2 hellip xn)
nnnn
n
n
xxxxx
xxxxx
xx
hhg
hhg
gg
H
1
1111
10
||
Ahora defina los siguientes determinantes
22122
21111
210
|| 1
xxxxx
xxxxx
xx
hhg
hhg
gg
H
3323131
3222121
3121111
3210
|| 2
xxxxxxx
xxxxxxx
xxxxxxx
xxx
hhhg
hhhg
hhhg
ggg
H ||det|| HHn
Criterios para maacuteximos y miacutenimos con restricciones (Hessiano liacutemitado) [Miacutenimo Local] Se tiene un miacutenimo local si y soacutelo si todos los determinantes son negativos |H1| lt0 |H2| lt0 hellip |Hn|lt0 ( - - - - - hellip)
[Maacuteximo Local] Se tiene un maximo local si y soacutelo se inicia con un determinante positivo y luego se alternan los signos |H1| gt 0 |H2| lt 0 hellip |Hn|lt0 (+ - + - hellip)
[Punto del tipo Silla] Se tiene un punto tipo silla sino se satisface los criterios de maacuteximos o miacutenimos y al menos uno de los determinantes es distinto de cero Ejemplo- Determine si la funcioacuten f(xy)= x2 ndash y2 tiene valores criacuteticos en la restriccioacuten x2+y2=1
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)(2
2
2
2)( 00 Xg
g
g
y
x
y
x
f
fXf
y
x
y
x
de aquiacute se obtienen las ecuaciones 2x = 2 λx -2y = 2 λy x2 + y2 =1 Las soluciones de este sistema de ecuaciones son (-101) (101) (0-1-1) y (0-11) El Hessiano liacutemitado es
2202
0222
220
||
y
x
yx
H
El determinante es igual a det|H| = 8x2(1+λ) ndash 8y2(1-λ) ahora evaluando
cada uno de los puntos se tiene que det|H|(-101) = 16 gt 0 det|H|(101) = 16 gt 0 det|H|(0-1-1) = -16 lt 0 det|H|(0-11) = -16 lt 0
De manera tal que la funcioacuten posee dos valores maacuteximos en los puntos (-10) y (10) y por otra parte tiene dos valores miacutenimos en los puntos (0-1) y (0-1) Ejemplo- Determine si la funcioacuten f(xy)= x2+y2 tiene valores criacuteticos en la restriccioacuten x2-y2 le 4 Al iniciar este estudio se trabaja con el interior es decir x2-y2 lt 4 dando como resultado el anaacutelisis de maacuteximos y miacutenimos de una funcioacuten en general de donde el gradiente de f se anula uacutenicamente en el origen siendo este valor un miacutenimo como se habiacutea visto en un ejercicio anterior para la funcioacuten del paraboloide Ahora al trabajar sobre la frontera se usa el criterio de muacuteltiplicadores de Lagrange
)(2
2
2
2)( 00 Xg
g
g
y
x
y
x
f
fXf
y
x
y
x
de aquiacute se obtienen las ecuaciones 2x = 2 λx 2y = -2 λy x2 - y2 = 4
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Las soluciones de este sistema de ecuaciones son (-201) y (201) El Hessiano liacutemitado es
2202
0222
220
||
y
x
yx
H
El determinante es igual a det|H| = -8x2(1+λ) + 8y2(1-λ) ahora
evaluando en cada uno de los puntos se tiene que det|H|(201) = -64 gt 0 y det|H|(-201) = -64 lt 0
De manera tal que la funcioacuten posee dos valores miacutenimos en los puntos (-20) y (20)
Una anaacutelisis de la graacutefica de esta funcioacuten permite visualizar que dichos
puntos no son miacutenimos maacutes bien son puntos tipos silla y no es que el criterio falle sino maacutes bien que los valores son miacutenimos pero sobre el complemento es decir bajo la restriccioacuten x2-y2 ge 4 Ejemplo- Determine los valores criacuteticos de la funcioacuten f(xyz) = 2x+y+3z sujeta a la restriccioacuten x2+y2+z2 le 36 Solucioacuten- Un anaacutelisis de las condiciones iniciales muestra que la graacutefica a maximizar en un hiperplano restringido en su dominio a una esfera de radio 6 de acuerdo a estas condiciones la funcioacuten en su interior no debe tener valor criacuteticos y en la frontera debe tener un valor miacutenimo y un valor maacuteximo En el interior- Al derivar la funcioacuten original se tiene lo siguiente
3
1
2
)( 0
z
y
x
f
f
f
Xf
De aquiacute se observa que la funcioacuten no posee valores criacuteticos en todo su dominio tal y como se esperaba Frontera- Al utilizar las condiciones del los Muacuteltiplicadores de Lagrange se tiene lo siguiente
)(
2
2
2
3
1
2
)( 00 Xg
z
y
x
f
f
f
Xf
z
y
x
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De aquiacute se genera el siguiente sistema de ecuaciones 2 = 2λx 1 = 2λy 3 = 2λz x2+y2+z2=36
Resolviendo el sistema se concluye que 2
1
1yx amp
2
3z Ahora
sustituyendo en la uacuteltima ecuacioacuten se deduce que la funcioacuten posee dos valores criacuteticos que son
18
14
14
1427
14
149
14
1418amp
18
14
14
1427
14
149
14
1418
La funcioacuten auxiliar es H(xyzλ) = 2x+y+3z-λ(x2+y2+z2) donde Hx=2-2λx Hy=1-2λy Hz=3-2λz El Hessiano Liacutemitado es
2002
0202
0022
2220
||
z
y
x
zyx
H
De aquiacute
0
0)(8
202
022
220
|| 22
1si
siyx
y
x
yx
H
0576)(16
2002
0202
0022
2220
|| 22222 zyx
z
y
x
zyx
H
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De aquiacute se desprende que la funcioacuten f(xyz) = 2x+y+3z posee un valor miacutenimo
en el punto 18
14
14
1427
14
149
14
1418 restringido a x2+y2+z2 = 36 y un
maacuteximo en el punto 18
14
14
1427
14
149
14
1418
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Tarea nuacutemero 4 Maacuteximos y Miacutenimos
Objetivo- Que el alumno sea capaz de aprender a resolver problemas asociados a la vida real haciendo uso del caacutelculo de varias variables Aquiacute se enuncian los siguientes ejercicios adicionales dado que muchos de los mismos se fueron exponiendo a lo largo del capiacutetulo y se sugiere que se revisen los problemas resueltos y propuestos en la libros de la bibliografiacutea dado que las aplicaciones son muchas 1- Determine los valores maacuteximos y miacutenimos de la funcioacuten f(xy) = x +y sujeta a la restriccioacuten x2+2y2le18 (Realice un bosquejo de la graacutefica y se restriccioacuten)
2- Determine los valores maacuteximos y miacutenimos de la funcioacuten f(xy) = x2 +y2 sujeta a la restriccioacuten x+2y le 4 (Realice un bosquejo de la graacutefica y se restriccioacuten)
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Bibliografiacutea
1 Caacutelculo Vectorial Marsden amp Tromba Addison-Wesley Iberoamericana
2 Caacutelculo Multivariable James Steward Thomson Editores
3 Caacutelculo con Geometriacutea Anaacutelitica Zill Grupo Editorial Iberoameacuterica
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100 -x
Capitulo 4 Maacuteximos y miacutenimos
Es indispensable determinar en distintos problemas las soluciones oacuteptimas que permitan establecer por ejemplo los valores maacuteximos de produccioacuten o ahorrar el material en la construccioacuten de cierto equipo
Como se recordaraacute el gradiente de una funcioacuten indica la direccioacuten de
maacuteximo crecimiento esto se refleja en que si se toma la direccioacuten sugerida por este vector el valor de la funcioacuten aumenta en una vecindad del mismo asiacute si en un diagrama de un campo gradiente aparecen un punto en donde convergen la direccioacuten de todos los gradientes se encontraraacute que dicho valor debe de ser un valor maacuteximo para la funcioacuten de estudio Un diagrama de esta tipo se ejemplifica a continuacioacuten
Un diagrama en donde todos los vectores apuntan hacia fuera de un
punto indicaraacute que este punto debe de ser un valor miacutenimo de la funcioacuten Citemos el siguiente ejemplo de una variable con la finalidad de
centrarnos en el tema Una persona desea bardear un terreno en forma rectaacutengular cuanto debe de medir cada lado de manera tal que el aacuterea cercada sea maacutexima si se cuenta con 200 metros de malla
La funcioacuten que representa dicho modelo es
A(x) = x(100-x) x
Como se puede observar el aacuterea es cero si x es igual a cero o a cien con lo cuaacutel el lado x debe de estar en en intervalo [0 100] siendo estas las restricciones del problema Derivando la funcioacuten para obtener los valores critiacutecos se tiene que Arsquo(x) = 100 ndash 2x
Al igual la derivada a cero se concluye que el valor critico es x es igual a 50 Al derivar por segunda ocasioacuten se concluye que
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Arsquorsquo(x) = -2 Como la segunda derivada es siempre negativa se concluye que la funcioacuten alcanza un valor maacuteximo en el valor critico en este caso en x = 50 al interpretar dicho resultado se concluye que el terreno que optimiza la solucioacuten es un cuadrado Ejercicio- Que aacuterea se genera si el terreno es de forma circular Al resolver el ejercioacute anterior y comparar las aacutereas del cuadrado y del circulo se puede apreciar que el aacuterea del circulo es mayor pero en la praacutectica es poco atractivo cercar terrenos circulares por diversas razones pero en la naturaleza es comuacuten observar que las gotas de lluvia sean esferas esto permite el optimizar recursos y maacuteximizar el volumen del liacutequido contenido en la misma Se iniciara el estudio formal de maacuteximos y miacutenimos de funciones de varias variables observando las siguientes graficas con la finalidad de tener la idea clara de que es un maacuteximo o miacutenimo o un punto silla
En la primera de ellas se observa que la funcioacuten tiene un valor miacutenimo en la segunda se observa que la funcioacuten tiene un valor maacuteximo y en la uacuteltima la funcioacuten tiene un punto silla este se identifica el dirigirnos en una direccioacuten la funcioacuten crece mientras que en la otra la funcioacuten decrece
Definicioacuten- Una funcioacuten mn RRf tiene un valor maacuteximo local en x0 si en
una vecindad de dicho valor se cumple que la funcioacuten evaluada en todos los vecinos ninguno de ellos supera a f(x0) Es decir f(x0) f(x) para todo x en una vecindad de x0 El punto es llamado un maacuteximo absoluto si la funcioacuten toma el valor maacuteximo en dicho punto para todo valor de su dominio
Esto es muy similar cuando uno observa a los alumnos de un saloacuten de clases existe un alumno que tiene la mayor estatura si ninguno de sus compantildeeros lo supera Asiacute en la escuela el alumno de mayor estatura absoluta es aquel que supera a todo el plantel
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La definicioacuten para el miacutenimo local (absoluto) es similar
f(x0) f(x) para todo en una vecindad de x0 Por ejemplo la funcioacuten f(xy) = x2+y2 tiene un valor miacutenimo en el origen dado que en este valor la funcioacuten vale cero mientras que fuera de ahiacute siempre es positiva dado que todo nuacutemero real elevado al cuadrado es siempre positivo Ademaacutes dicho valor es un miacutenimo absoluto Como se menciono al inicio de esta capitulo el diagrama del campo
gradiente de esta funcioacuten y
xyxf
2
2)( indica que la funcioacuten tiene un valor
miacutenimo siendo la grafica del mismo la siguiente Sin embargo se requiere un criterio maacutes general y sistemaacutetico que permita establecer los posibles valores maacuteximos miacutenimos o puntos silla) Definicioacuten- (Un valor extremo) Si la funcioacuten posee un valor maacuteximo o miacutenimo este es llamado un valor extremo Definicioacuten- (Un valor critico) Un punto en donde la derivada de la funcioacuten se anula es llamado un valor critico Teorema- Todo valor extremo es un valor critico Es decir si f posee un valor extremo en x0 que pertenece a su dominio entonces la derivada de la funcioacuten en el punto x0 se anula Es decir Df(x0) = 0 Demostracioacuten- Sea l(t) una trayectoria que pasa a traveacutes por el punto x0 defina la composicioacuten de funciones h(t) = f(l(t)) donde l(t) = x0 + tv de donde lrsquo(t) = v y ademaacutes
))(()())(()( VtlftDltlDftDh (1)
Por otra parte como f posee un valor extremo en x0 suponga que dicho
valor es un maacuteximo entonces x0 seraacute a la vez un maacuteximo para la funcioacuten h y como h es una funcioacuten real esto significa que la derivada de h en dicho punto
se anula es decir 0)()0())0(()0( 0 vxfDllDfDh ahora como los
vectores )( 0xf y v no son necesariamente perpendiculares y el vector v a la
vez tampoco se anula entonces esto implica que el gradiente de f en x0 es igual a cero y por lo tanto f posee un valor criacutetico en x0
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Este resultado permite establecer posibles valores criacuteticos de una funcioacuten asiacute se menciona el siguiente ejemplo Ejemplo- Determine los posibles valores criacuteticos de las siguientes funciones (1) f(x y) = x2 + y2 y (2) g(x y) = 4x3 -12x + y2
Solucioacuten-
(1) 0
0
2
2)(
y
xyxf de aquiacute se concluye que dicho valor soacutelo
existe un valor criacutetico siendo este el origen el cuaacutel ya se clasifico en estos apuntes y resulto ser un valor miacutenimo
(2) 0
0
2
1212)(
2
y
xyxg de aquiacute se obtienen dos valores criacuteticos
que son (-10) y 1l (10) Los cuales se pueden clasificar el realizar el graacutefico del campo gradiente En donde se aprecia que en el punto (-10) la funcioacuten posee un punto silla mientras que en el punto (10) la funcioacuten posee un valor miacutenimo
Aquiacute se utilizaraacute el criterio del hessiano para determinar si el valor criacutetico es un maacuteximo un miacutenimo o un punto silla Solo se enunciara el teorema sin demostracioacuten para ver la misma puede revisar en el libro de Marsden Tromba de Caacutelculo Vectorial
Definicioacuten- El Hessiano de una funcioacuten 22 RRH de clase C2 se define como una funcioacuten cuadraacutetica que se escribe como
2
1
2
22
2
2
2
21212
1)(
h
h
y
f
yx
f
xy
f
x
f
hhhhH
Evaluada la matriz de las segundas derivas parciales en el valor criacutetico
Teorema- Si el Hessiano de una funcioacuten 2 RRf es definitivamente
positivo entonces la funcioacuten tiene un valor miacutenimo en dicho punto
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Corolario- Si la matriz asociada A=cb
ba de una forma cuadraacutetica dos
por dos es definitivamente positiva si y soacutelo si se cumple que agt0 y det A gt0
Teorema de una valor para un valor extremo miacutenimo- Una funcioacuten
2 RRf de clase C2 posee un valor extremo miacutenimo local en x0 elemento
del dominio de la funcioacuten si y soacutelo si se satisfacen las siguientes condiciones
(i) 0)( 0xx
f y 0)( 0x
y
f
(ii) )( 02
2
xx
f gt 0
(iii) )( 02
2
xx
f)( 02
2
xy
f)(
2
2
oxx
f)( 02
2
xx
f gt 0
Para un valor maacuteximo las condiciones (i) y (iii) se mantienen la uacutenica que cambia en la segunda en donde esta debe ser negativa Para un punto silla se requiere que al menos no se cumplan las condiciones de valor maacuteximo ni miacutenimo y que la uacuteltima condicioacuten (iii) sea distinta de cero En caso contrario el criterio no permite clasificar dicho valor como se mostraraacute en un ejemplo maacutes adelante Ejemplo- Ahora continuando con los ejemplos anteriores
(1) Para f(xy) = x2+y2 el valor critico es el origen y el hessiano asociado es
2
1
212100
02
2
1)(
h
hhhhhH
Como se pude apreciar el primer valor es positivo 2 gt0 y el determinante de
la funcioacuten 20
02det es igual a 4 que a la vez es positivo de manera tal que la
funcioacuten posee un valor miacutenimo en el origen
(2) g(x y) = 4x3 -12x + y2 los puntos criticos son (-10) y (10) y el hessiano asociado a esta forma cuadraacutetica es
2
1
212120
024
2
1)(
h
hxhhhhHg
Ahora al evaluar en los puntos se tiene En el (-10)
2
1
212120
024
2
1)(
h
hhhhhHg
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En donde -24 lt 0 y det Hg = -48 lt0 con lo cuaacutel debe de ser un punto silla
En el (10)
2
1
212120
024
2
1)(
h
hhhhhHg
En donde 24 gt 0 y det Hg = 48 gt0 con lo cuaacutel debe de ser un punto miacutenimo
Tal como se habiacutea estimado en la graacutefica del campo gradiente de la
solucioacuten anterior A continuacioacuten se muestra un bosquejo de dicha graacutefica realizado en el derive
Ejemplos de cuando el criterio permite clasificar los
valores criacuteticos
Ejemplo- A continuacioacuten se mostrara un ejemplo de cuando el criterio no concluye asiacute si la funcioacuten es h(xy) = x4+y4 al calcular las derivas parciales mixtas fx=4x3 y fy=4y3 se encuentra un solo valor critico el origen miestras que la matriz asociada del hessiano es
2
2
120
012
y
x y al evaluar en el origen queda expresada como
00
00
)0(120
0)0(122
2
En donde se puede apreciar que fallan todos los criterios una inspeccioacuten de
la funcioacuten original permite ver que la funcioacuten tiene un valor miacutenimo en dicho punto pero no es una generalizacioacuten es decir no se puede decir que siempre que aparezca la matriz de ceros se tenga un valor miacutenimo dado que si se analiza ahora a las funciones k(xy) = -x4-y4 y p(xy) = x4-y4 ambas tienen como calor extremo al origen y la matriz hessiana asociada a la forma cuadraacutetica evaluada en el origen es la matriz de ceros
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Ejemplo- Otro ejemplo en donde el criterio no concluye es el siguiente en
donde el determinante de la matriz H es cero debido a que la segunda derivada de la funcioacuten f con respecto a la segunda variable se anula (fyy = 0) y no se puede asegurar que se tenga un punto maacuteximo miacutenimo o silla
Las funciones f1(xy) = x2 f2(xy) = -x2 y f3(xy) = x3 presentan este
problema a continuacioacuten se muestran las graficas de dichas funciones
En cada una de ellas los puntos criacuteticos son las parejas en el plano (0 y) Es decir el eje coordenado X
El Hessiano respectivo de cada uno es el siguiente
00
02)(1 yxH
00
02)(2 yxH
00
03)(3
xyxH
Note que el determinante de cada de estas matrices se hace cero y que fyy
se anula en cada caso
Ahora observando las graacuteficas se verifica visualmente que en la primera se tienen valores miacutenimos en la segunda maacuteximos y en la uacuteltima no es ni maacuteximo ni miacutenimo o punto silla
Ejemplo- Citemos otro ejemplo en donde el criterio de maacuteximos y miacutenimos
no concluye Determine los puntos criacuteticos de la funcioacuten h(xy) = x4 Se tiene que hx=4x3=0 y hy=0 de donde se deduce que la funcioacuten tiene
un nuacutemero infinito de puntos criacuteticos estos son las parejas ordenadas en el plano (0y)
La matriz del Hessiano asociado es
00
012)(
2
1
xyxH y evaluando en el punto
00
00)0(1 yH
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En donde no se puede clasificar a los valores criacuteticos sin embargo
realizando una inpeccioacuten de la funcioacuten se puede concluir que todos los puntos representan valores miacutenimos de la funcioacuten original a continuacioacuten se muestra la grafica de la misma
El Hessiano para n variables y el criterio de clasificacioacuten
Cuando la funcioacuten tiene maacutes de dos variables se genera una matriz asociada H en cada uno de los valores criacuteticos de la siguiente forma
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
H
21
22221
11211
De aquiacute se definen las siguientes matrices
111 aH 2221
1211
2aa
aaH hellip HH n
Los criterios para los valores criacuteticos de la funcioacuten RRf n son los
siguientes [Miacutenimo Local] La funcioacuten f posee un valor extremo local miacutenimo en x0 si todos los determinantes de las submatrices evaluados en x0 son positivos
0det 1H 0det 2H hellip 0det 2H (+ + hellip +)
En este caso la forma cuadraacutetica se puede probar que es definitivamente positiva [Maacuteximo Local] La funcioacuten f posee un valor extremo local miacutenimo en x0 si todos los determinantes de las submatrices evaluados en x0 se alternan en signo pero el primero de ellos debe ser negativo
0det 1H 0det 2H hellip 0det 2H (- + - + hellip )
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En este caso la forma cuadraacutetica se puede probar que es definitivamente negativa [Punto Silla] La funcioacuten f posee un punto silla si no se cumplen los criterios de valor miacutenimo o maacuteximo y al menos uno de los subdeterminantes es distinto de cero
Existe un i tal que 0det iH
Ejemplos- Determine los valores criacuteticos de las siguiente funcioacuten f(x y z w) = x3 - 3x + y3 ndash 3y + z2 + w2 y claacutesifiquelos Solucioacuten- Al resolver las siguientes ecuaciones
033 2 xxf x 033 2 yyf y 02zf z y 033 2 wwfw
Se obtienen cuatro puntos criacuteticos que son (-1-100) (-1100) (1-100) y (1100) ahora se genera la matriz del hessiano asociado siendo esta
2000
0200
0060
0006
y
x
H
Al evaluar en cada uno de los puntos se tienen las siguientes matrices
2000
0200
0060
0006
)0011(H
2000
0200
0060
0006
)0011(H
2000
0200
0060
0006
)0011(H y
2000
0200
0060
0006
)0011(H
Los sub determinantes para cada uno de los puntos son [(-1 -1 0 0)] -6 36 72 144 que clasifica como un punto silla [(-1100)] -6 -36 -72 -144 que clasifica como un punto silla [(1-100)] 6 -36 -72 -144 que clasifica como un punto silla [(1100)] 6 36 72 144 que clasifica como un valor miacutenimo De manera tal que la funcioacuten tiene tres puntos silla y un valor miacutenimo
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Ejercicios- Determine los puntos criacuteticos de las siguientes funciones y claacutesifiquelos utilizando el criterio del Hessiano
(1) f(x y) = x2 - y2 (Silla de montar)
(2) g(x y) = 22 yx (Cono)
(3) h(x y z) = x4 - 2x2 + 2y3 -3y2 + z3-3 Ejercicio- Se requiere construir una lata con tapa que contenga un litro de agua con el miacutenimo de material determine las condiciones que oacuteptimizan el problema Ejercicio- Determine el producto maacuteximo de tres nuacutemeros si la suma de ellos debe ser 40 Ejercicio- Determine la distancia miacutenima del origen a la graacutefica de la funcioacuten f(xy) = 4-x2+y Ejercicio- Estudie los ejemplos resueltos que trae el libro de Marden Tromba en el capitulo 4 en especial el referente a la ecuacioacuten de miacutenimos cuadrados Ejercicio- Determine la ecuacioacuten lineal que mejor se ajusta a los puntos (12) (2 32) (3 389) (4 488) (5 55) Utilize el criterio de miacutenimos cuadrados en caso de que el modelo sea lineal (justifique la linealidad del mismo realice una graacutefica de los puntos y de la liacutenea que ajusta a los puntos) Ejemplo- (Aplicacioacuten) En este ejemplo dermina la distancia miacutenima del punto (100) a la graacutefica de una funcioacuten f(x y) = x2+y2
Solucioacuten- Todos los puntos que se encuentran sobre la graacutefica de la funcioacuten satisfacen la siguiente terna de valores en donde se observa que la tercer componente es la variable dependiente (x y x2+y2)
La distancia del punto (1 0 0) a los puntos que estaacuten sobre la graacutefica (x y x2+y2) Se define por medio de la funcioacuten
2222222 )()1()()001()( yxyxyxyxdyxfd
Para determinar el valor miacutenimo o maacuteximo de esta funcioacuten basta con
analizar su argumento dado que es un funcioacuten creciente Es decir Si x1lt x2
entonces f(x1) lt f(x2) lo que es vaacutelido para la funcioacuten )( xxf (ver graacutefica)
2x
1x
x1 x2
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43
De este modo la funcioacuten a maximizar es
2222222
11 )()1()()001()( yxyxyxyxdyxfd
De aquiacute al las derivadas parciales son
)(4)1(2)( 22
1 yxxxyxfd x y )(42)( 22
1 yxyyyxfd y
Igualando ambas ecuaciones a cero se puede establecer la siguiente
ecuacioacuten
)(4
)(4
2
2222
22
yxy
yxx
y
x (3)
De aquiacute si )00()( yx y 0y se concluye que -1=0 lo cual es una
contradiccioacuten Por otra parte si (xy)=(00) en la primera ecuacioacuten se tiene que 1=0 que es tambieacuten una contradiccioacuten Finalmente si se considera el caso en
que y=0 se obtiene de la siguiente ecuacioacuten 012 3 xx
El polinomio 12)( 3 xxxP tiene una raiacutez entre el cero y el 1 dado
que P(0)=-1 y P(1)=2 Con el anaacutelisis de raiacuteces racionales dos posibles raiacuteces
son 2
1 y como
2
1 estaacute entre cero y uno al usando divisioacuten sinteacutetica se
obtiene que 4
1
2
1P Asiacute que la raiacutez debe de estar en el intervalo 1
2
1
Ahora usando el meacutetodo de Newton con semilla en 2
10x se obtiene
que 6010
6
2
54
1
2
1
)(
)(
0
0
01xf
xfxx
Ahora al evaluar la funcioacuten en dicho punto se tiene que 0320)60(P el
cual es aceptable como raiacutez del polinomio en una sola interaccioacuten De manera tal que el punto criacutetico de la funcioacuten es el (060) El Hessiano asociado es
24128
82412)(
22
22
xyxy
xyyxyxH
Como se puede apreciar el primer elemento de la matriz es positivo independientemente de los valores de x e y Falta evaluar el determinante de H este es igual a
)64)2412)(2412()(det 222222 yxxyyxyxH
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44
Ahora evaluando en (06 0) se tiene 7421)443)(326()060(det H
Que tambieacuten es positivo de manera tal que se tiene un valor miacutenimo Es
decir la se obtuvo la distancia miacutenima
Maacuteximos y Miacutenimos con restricciones
Los muacuteltiplicadores de Lagrange permite determinar valores maacuteximos o miacutenimos de funciones con restricciones De este tipo de problemas esta lleno nuestro contorno desde el panedero que desea producir la maacutexima cantidad de pan pero con la restriccioacuten del capital que tiene o la posible venta del diacutea para que no tenga sobrantes
Citemos el siguiente ejemplo la graacutefica de paraboloide z = x2+y2 esta
graacutefica soacutelo tiene un valor miacutenimo en el origen sin embargo si esta restringida
al cuadrado unitario 1111 la funcioacuten alcanza cuatro puntos maacuteximos en
los puntos (-11)(-1-1) (1 -1) y (11) a saber dicho valor es 2 Como se observa en la figura
Ahora si se trabaja con la silla de montar con la misma restriccioacuten esta
funcioacuten tiene originalmente un punto silla en el origen pero al analizar las restricciones se contiene dos valores maacuteximos y dos miacutenimos en los puntos (10) (-10) (0-1) y (01)
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Muacuteltiplicadores de Lagrange Teorema- Dadas dos funciones fg Rn a R diferenciables en X0 elemento del dominio de ambas funciones Si Lc es el conjunto de nivel de valor c de la funcioacuten g y si f posee un valor maacuteximo miacutenimo o silla en la restriccioacuten Lc
entonces existe un nuacutemero real λ tal que )()( 00 XgXf
Se puede ver parte de la demostracioacuten de este teorema en el libro de Marsden Tromba Para clasificar los puntos criacuteticos se utiliza el criterio del Hessiano limitado el cuaacutel se define a partir de la funcioacuten auxiliar H(x1 x2 hellip xn) = f(x1 x2 hellip xn) - λ g(x1 x2 hellip xn)
nnnn
n
n
xxxxx
xxxxx
xx
hhg
hhg
gg
H
1
1111
10
||
Ahora defina los siguientes determinantes
22122
21111
210
|| 1
xxxxx
xxxxx
xx
hhg
hhg
gg
H
3323131
3222121
3121111
3210
|| 2
xxxxxxx
xxxxxxx
xxxxxxx
xxx
hhhg
hhhg
hhhg
ggg
H ||det|| HHn
Criterios para maacuteximos y miacutenimos con restricciones (Hessiano liacutemitado) [Miacutenimo Local] Se tiene un miacutenimo local si y soacutelo si todos los determinantes son negativos |H1| lt0 |H2| lt0 hellip |Hn|lt0 ( - - - - - hellip)
[Maacuteximo Local] Se tiene un maximo local si y soacutelo se inicia con un determinante positivo y luego se alternan los signos |H1| gt 0 |H2| lt 0 hellip |Hn|lt0 (+ - + - hellip)
[Punto del tipo Silla] Se tiene un punto tipo silla sino se satisface los criterios de maacuteximos o miacutenimos y al menos uno de los determinantes es distinto de cero Ejemplo- Determine si la funcioacuten f(xy)= x2 ndash y2 tiene valores criacuteticos en la restriccioacuten x2+y2=1
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)(2
2
2
2)( 00 Xg
g
g
y
x
y
x
f
fXf
y
x
y
x
de aquiacute se obtienen las ecuaciones 2x = 2 λx -2y = 2 λy x2 + y2 =1 Las soluciones de este sistema de ecuaciones son (-101) (101) (0-1-1) y (0-11) El Hessiano liacutemitado es
2202
0222
220
||
y
x
yx
H
El determinante es igual a det|H| = 8x2(1+λ) ndash 8y2(1-λ) ahora evaluando
cada uno de los puntos se tiene que det|H|(-101) = 16 gt 0 det|H|(101) = 16 gt 0 det|H|(0-1-1) = -16 lt 0 det|H|(0-11) = -16 lt 0
De manera tal que la funcioacuten posee dos valores maacuteximos en los puntos (-10) y (10) y por otra parte tiene dos valores miacutenimos en los puntos (0-1) y (0-1) Ejemplo- Determine si la funcioacuten f(xy)= x2+y2 tiene valores criacuteticos en la restriccioacuten x2-y2 le 4 Al iniciar este estudio se trabaja con el interior es decir x2-y2 lt 4 dando como resultado el anaacutelisis de maacuteximos y miacutenimos de una funcioacuten en general de donde el gradiente de f se anula uacutenicamente en el origen siendo este valor un miacutenimo como se habiacutea visto en un ejercicio anterior para la funcioacuten del paraboloide Ahora al trabajar sobre la frontera se usa el criterio de muacuteltiplicadores de Lagrange
)(2
2
2
2)( 00 Xg
g
g
y
x
y
x
f
fXf
y
x
y
x
de aquiacute se obtienen las ecuaciones 2x = 2 λx 2y = -2 λy x2 - y2 = 4
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Las soluciones de este sistema de ecuaciones son (-201) y (201) El Hessiano liacutemitado es
2202
0222
220
||
y
x
yx
H
El determinante es igual a det|H| = -8x2(1+λ) + 8y2(1-λ) ahora
evaluando en cada uno de los puntos se tiene que det|H|(201) = -64 gt 0 y det|H|(-201) = -64 lt 0
De manera tal que la funcioacuten posee dos valores miacutenimos en los puntos (-20) y (20)
Una anaacutelisis de la graacutefica de esta funcioacuten permite visualizar que dichos
puntos no son miacutenimos maacutes bien son puntos tipos silla y no es que el criterio falle sino maacutes bien que los valores son miacutenimos pero sobre el complemento es decir bajo la restriccioacuten x2-y2 ge 4 Ejemplo- Determine los valores criacuteticos de la funcioacuten f(xyz) = 2x+y+3z sujeta a la restriccioacuten x2+y2+z2 le 36 Solucioacuten- Un anaacutelisis de las condiciones iniciales muestra que la graacutefica a maximizar en un hiperplano restringido en su dominio a una esfera de radio 6 de acuerdo a estas condiciones la funcioacuten en su interior no debe tener valor criacuteticos y en la frontera debe tener un valor miacutenimo y un valor maacuteximo En el interior- Al derivar la funcioacuten original se tiene lo siguiente
3
1
2
)( 0
z
y
x
f
f
f
Xf
De aquiacute se observa que la funcioacuten no posee valores criacuteticos en todo su dominio tal y como se esperaba Frontera- Al utilizar las condiciones del los Muacuteltiplicadores de Lagrange se tiene lo siguiente
)(
2
2
2
3
1
2
)( 00 Xg
z
y
x
f
f
f
Xf
z
y
x
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De aquiacute se genera el siguiente sistema de ecuaciones 2 = 2λx 1 = 2λy 3 = 2λz x2+y2+z2=36
Resolviendo el sistema se concluye que 2
1
1yx amp
2
3z Ahora
sustituyendo en la uacuteltima ecuacioacuten se deduce que la funcioacuten posee dos valores criacuteticos que son
18
14
14
1427
14
149
14
1418amp
18
14
14
1427
14
149
14
1418
La funcioacuten auxiliar es H(xyzλ) = 2x+y+3z-λ(x2+y2+z2) donde Hx=2-2λx Hy=1-2λy Hz=3-2λz El Hessiano Liacutemitado es
2002
0202
0022
2220
||
z
y
x
zyx
H
De aquiacute
0
0)(8
202
022
220
|| 22
1si
siyx
y
x
yx
H
0576)(16
2002
0202
0022
2220
|| 22222 zyx
z
y
x
zyx
H
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49
De aquiacute se desprende que la funcioacuten f(xyz) = 2x+y+3z posee un valor miacutenimo
en el punto 18
14
14
1427
14
149
14
1418 restringido a x2+y2+z2 = 36 y un
maacuteximo en el punto 18
14
14
1427
14
149
14
1418
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Tarea nuacutemero 4 Maacuteximos y Miacutenimos
Objetivo- Que el alumno sea capaz de aprender a resolver problemas asociados a la vida real haciendo uso del caacutelculo de varias variables Aquiacute se enuncian los siguientes ejercicios adicionales dado que muchos de los mismos se fueron exponiendo a lo largo del capiacutetulo y se sugiere que se revisen los problemas resueltos y propuestos en la libros de la bibliografiacutea dado que las aplicaciones son muchas 1- Determine los valores maacuteximos y miacutenimos de la funcioacuten f(xy) = x +y sujeta a la restriccioacuten x2+2y2le18 (Realice un bosquejo de la graacutefica y se restriccioacuten)
2- Determine los valores maacuteximos y miacutenimos de la funcioacuten f(xy) = x2 +y2 sujeta a la restriccioacuten x+2y le 4 (Realice un bosquejo de la graacutefica y se restriccioacuten)
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Bibliografiacutea
1 Caacutelculo Vectorial Marsden amp Tromba Addison-Wesley Iberoamericana
2 Caacutelculo Multivariable James Steward Thomson Editores
3 Caacutelculo con Geometriacutea Anaacutelitica Zill Grupo Editorial Iberoameacuterica
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34
Arsquorsquo(x) = -2 Como la segunda derivada es siempre negativa se concluye que la funcioacuten alcanza un valor maacuteximo en el valor critico en este caso en x = 50 al interpretar dicho resultado se concluye que el terreno que optimiza la solucioacuten es un cuadrado Ejercicio- Que aacuterea se genera si el terreno es de forma circular Al resolver el ejercioacute anterior y comparar las aacutereas del cuadrado y del circulo se puede apreciar que el aacuterea del circulo es mayor pero en la praacutectica es poco atractivo cercar terrenos circulares por diversas razones pero en la naturaleza es comuacuten observar que las gotas de lluvia sean esferas esto permite el optimizar recursos y maacuteximizar el volumen del liacutequido contenido en la misma Se iniciara el estudio formal de maacuteximos y miacutenimos de funciones de varias variables observando las siguientes graficas con la finalidad de tener la idea clara de que es un maacuteximo o miacutenimo o un punto silla
En la primera de ellas se observa que la funcioacuten tiene un valor miacutenimo en la segunda se observa que la funcioacuten tiene un valor maacuteximo y en la uacuteltima la funcioacuten tiene un punto silla este se identifica el dirigirnos en una direccioacuten la funcioacuten crece mientras que en la otra la funcioacuten decrece
Definicioacuten- Una funcioacuten mn RRf tiene un valor maacuteximo local en x0 si en
una vecindad de dicho valor se cumple que la funcioacuten evaluada en todos los vecinos ninguno de ellos supera a f(x0) Es decir f(x0) f(x) para todo x en una vecindad de x0 El punto es llamado un maacuteximo absoluto si la funcioacuten toma el valor maacuteximo en dicho punto para todo valor de su dominio
Esto es muy similar cuando uno observa a los alumnos de un saloacuten de clases existe un alumno que tiene la mayor estatura si ninguno de sus compantildeeros lo supera Asiacute en la escuela el alumno de mayor estatura absoluta es aquel que supera a todo el plantel
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La definicioacuten para el miacutenimo local (absoluto) es similar
f(x0) f(x) para todo en una vecindad de x0 Por ejemplo la funcioacuten f(xy) = x2+y2 tiene un valor miacutenimo en el origen dado que en este valor la funcioacuten vale cero mientras que fuera de ahiacute siempre es positiva dado que todo nuacutemero real elevado al cuadrado es siempre positivo Ademaacutes dicho valor es un miacutenimo absoluto Como se menciono al inicio de esta capitulo el diagrama del campo
gradiente de esta funcioacuten y
xyxf
2
2)( indica que la funcioacuten tiene un valor
miacutenimo siendo la grafica del mismo la siguiente Sin embargo se requiere un criterio maacutes general y sistemaacutetico que permita establecer los posibles valores maacuteximos miacutenimos o puntos silla) Definicioacuten- (Un valor extremo) Si la funcioacuten posee un valor maacuteximo o miacutenimo este es llamado un valor extremo Definicioacuten- (Un valor critico) Un punto en donde la derivada de la funcioacuten se anula es llamado un valor critico Teorema- Todo valor extremo es un valor critico Es decir si f posee un valor extremo en x0 que pertenece a su dominio entonces la derivada de la funcioacuten en el punto x0 se anula Es decir Df(x0) = 0 Demostracioacuten- Sea l(t) una trayectoria que pasa a traveacutes por el punto x0 defina la composicioacuten de funciones h(t) = f(l(t)) donde l(t) = x0 + tv de donde lrsquo(t) = v y ademaacutes
))(()())(()( VtlftDltlDftDh (1)
Por otra parte como f posee un valor extremo en x0 suponga que dicho
valor es un maacuteximo entonces x0 seraacute a la vez un maacuteximo para la funcioacuten h y como h es una funcioacuten real esto significa que la derivada de h en dicho punto
se anula es decir 0)()0())0(()0( 0 vxfDllDfDh ahora como los
vectores )( 0xf y v no son necesariamente perpendiculares y el vector v a la
vez tampoco se anula entonces esto implica que el gradiente de f en x0 es igual a cero y por lo tanto f posee un valor criacutetico en x0
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Este resultado permite establecer posibles valores criacuteticos de una funcioacuten asiacute se menciona el siguiente ejemplo Ejemplo- Determine los posibles valores criacuteticos de las siguientes funciones (1) f(x y) = x2 + y2 y (2) g(x y) = 4x3 -12x + y2
Solucioacuten-
(1) 0
0
2
2)(
y
xyxf de aquiacute se concluye que dicho valor soacutelo
existe un valor criacutetico siendo este el origen el cuaacutel ya se clasifico en estos apuntes y resulto ser un valor miacutenimo
(2) 0
0
2
1212)(
2
y
xyxg de aquiacute se obtienen dos valores criacuteticos
que son (-10) y 1l (10) Los cuales se pueden clasificar el realizar el graacutefico del campo gradiente En donde se aprecia que en el punto (-10) la funcioacuten posee un punto silla mientras que en el punto (10) la funcioacuten posee un valor miacutenimo
Aquiacute se utilizaraacute el criterio del hessiano para determinar si el valor criacutetico es un maacuteximo un miacutenimo o un punto silla Solo se enunciara el teorema sin demostracioacuten para ver la misma puede revisar en el libro de Marsden Tromba de Caacutelculo Vectorial
Definicioacuten- El Hessiano de una funcioacuten 22 RRH de clase C2 se define como una funcioacuten cuadraacutetica que se escribe como
2
1
2
22
2
2
2
21212
1)(
h
h
y
f
yx
f
xy
f
x
f
hhhhH
Evaluada la matriz de las segundas derivas parciales en el valor criacutetico
Teorema- Si el Hessiano de una funcioacuten 2 RRf es definitivamente
positivo entonces la funcioacuten tiene un valor miacutenimo en dicho punto
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Corolario- Si la matriz asociada A=cb
ba de una forma cuadraacutetica dos
por dos es definitivamente positiva si y soacutelo si se cumple que agt0 y det A gt0
Teorema de una valor para un valor extremo miacutenimo- Una funcioacuten
2 RRf de clase C2 posee un valor extremo miacutenimo local en x0 elemento
del dominio de la funcioacuten si y soacutelo si se satisfacen las siguientes condiciones
(i) 0)( 0xx
f y 0)( 0x
y
f
(ii) )( 02
2
xx
f gt 0
(iii) )( 02
2
xx
f)( 02
2
xy
f)(
2
2
oxx
f)( 02
2
xx
f gt 0
Para un valor maacuteximo las condiciones (i) y (iii) se mantienen la uacutenica que cambia en la segunda en donde esta debe ser negativa Para un punto silla se requiere que al menos no se cumplan las condiciones de valor maacuteximo ni miacutenimo y que la uacuteltima condicioacuten (iii) sea distinta de cero En caso contrario el criterio no permite clasificar dicho valor como se mostraraacute en un ejemplo maacutes adelante Ejemplo- Ahora continuando con los ejemplos anteriores
(1) Para f(xy) = x2+y2 el valor critico es el origen y el hessiano asociado es
2
1
212100
02
2
1)(
h
hhhhhH
Como se pude apreciar el primer valor es positivo 2 gt0 y el determinante de
la funcioacuten 20
02det es igual a 4 que a la vez es positivo de manera tal que la
funcioacuten posee un valor miacutenimo en el origen
(2) g(x y) = 4x3 -12x + y2 los puntos criticos son (-10) y (10) y el hessiano asociado a esta forma cuadraacutetica es
2
1
212120
024
2
1)(
h
hxhhhhHg
Ahora al evaluar en los puntos se tiene En el (-10)
2
1
212120
024
2
1)(
h
hhhhhHg
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En donde -24 lt 0 y det Hg = -48 lt0 con lo cuaacutel debe de ser un punto silla
En el (10)
2
1
212120
024
2
1)(
h
hhhhhHg
En donde 24 gt 0 y det Hg = 48 gt0 con lo cuaacutel debe de ser un punto miacutenimo
Tal como se habiacutea estimado en la graacutefica del campo gradiente de la
solucioacuten anterior A continuacioacuten se muestra un bosquejo de dicha graacutefica realizado en el derive
Ejemplos de cuando el criterio permite clasificar los
valores criacuteticos
Ejemplo- A continuacioacuten se mostrara un ejemplo de cuando el criterio no concluye asiacute si la funcioacuten es h(xy) = x4+y4 al calcular las derivas parciales mixtas fx=4x3 y fy=4y3 se encuentra un solo valor critico el origen miestras que la matriz asociada del hessiano es
2
2
120
012
y
x y al evaluar en el origen queda expresada como
00
00
)0(120
0)0(122
2
En donde se puede apreciar que fallan todos los criterios una inspeccioacuten de
la funcioacuten original permite ver que la funcioacuten tiene un valor miacutenimo en dicho punto pero no es una generalizacioacuten es decir no se puede decir que siempre que aparezca la matriz de ceros se tenga un valor miacutenimo dado que si se analiza ahora a las funciones k(xy) = -x4-y4 y p(xy) = x4-y4 ambas tienen como calor extremo al origen y la matriz hessiana asociada a la forma cuadraacutetica evaluada en el origen es la matriz de ceros
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Ejemplo- Otro ejemplo en donde el criterio no concluye es el siguiente en
donde el determinante de la matriz H es cero debido a que la segunda derivada de la funcioacuten f con respecto a la segunda variable se anula (fyy = 0) y no se puede asegurar que se tenga un punto maacuteximo miacutenimo o silla
Las funciones f1(xy) = x2 f2(xy) = -x2 y f3(xy) = x3 presentan este
problema a continuacioacuten se muestran las graficas de dichas funciones
En cada una de ellas los puntos criacuteticos son las parejas en el plano (0 y) Es decir el eje coordenado X
El Hessiano respectivo de cada uno es el siguiente
00
02)(1 yxH
00
02)(2 yxH
00
03)(3
xyxH
Note que el determinante de cada de estas matrices se hace cero y que fyy
se anula en cada caso
Ahora observando las graacuteficas se verifica visualmente que en la primera se tienen valores miacutenimos en la segunda maacuteximos y en la uacuteltima no es ni maacuteximo ni miacutenimo o punto silla
Ejemplo- Citemos otro ejemplo en donde el criterio de maacuteximos y miacutenimos
no concluye Determine los puntos criacuteticos de la funcioacuten h(xy) = x4 Se tiene que hx=4x3=0 y hy=0 de donde se deduce que la funcioacuten tiene
un nuacutemero infinito de puntos criacuteticos estos son las parejas ordenadas en el plano (0y)
La matriz del Hessiano asociado es
00
012)(
2
1
xyxH y evaluando en el punto
00
00)0(1 yH
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40
En donde no se puede clasificar a los valores criacuteticos sin embargo
realizando una inpeccioacuten de la funcioacuten se puede concluir que todos los puntos representan valores miacutenimos de la funcioacuten original a continuacioacuten se muestra la grafica de la misma
El Hessiano para n variables y el criterio de clasificacioacuten
Cuando la funcioacuten tiene maacutes de dos variables se genera una matriz asociada H en cada uno de los valores criacuteticos de la siguiente forma
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
H
21
22221
11211
De aquiacute se definen las siguientes matrices
111 aH 2221
1211
2aa
aaH hellip HH n
Los criterios para los valores criacuteticos de la funcioacuten RRf n son los
siguientes [Miacutenimo Local] La funcioacuten f posee un valor extremo local miacutenimo en x0 si todos los determinantes de las submatrices evaluados en x0 son positivos
0det 1H 0det 2H hellip 0det 2H (+ + hellip +)
En este caso la forma cuadraacutetica se puede probar que es definitivamente positiva [Maacuteximo Local] La funcioacuten f posee un valor extremo local miacutenimo en x0 si todos los determinantes de las submatrices evaluados en x0 se alternan en signo pero el primero de ellos debe ser negativo
0det 1H 0det 2H hellip 0det 2H (- + - + hellip )
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En este caso la forma cuadraacutetica se puede probar que es definitivamente negativa [Punto Silla] La funcioacuten f posee un punto silla si no se cumplen los criterios de valor miacutenimo o maacuteximo y al menos uno de los subdeterminantes es distinto de cero
Existe un i tal que 0det iH
Ejemplos- Determine los valores criacuteticos de las siguiente funcioacuten f(x y z w) = x3 - 3x + y3 ndash 3y + z2 + w2 y claacutesifiquelos Solucioacuten- Al resolver las siguientes ecuaciones
033 2 xxf x 033 2 yyf y 02zf z y 033 2 wwfw
Se obtienen cuatro puntos criacuteticos que son (-1-100) (-1100) (1-100) y (1100) ahora se genera la matriz del hessiano asociado siendo esta
2000
0200
0060
0006
y
x
H
Al evaluar en cada uno de los puntos se tienen las siguientes matrices
2000
0200
0060
0006
)0011(H
2000
0200
0060
0006
)0011(H
2000
0200
0060
0006
)0011(H y
2000
0200
0060
0006
)0011(H
Los sub determinantes para cada uno de los puntos son [(-1 -1 0 0)] -6 36 72 144 que clasifica como un punto silla [(-1100)] -6 -36 -72 -144 que clasifica como un punto silla [(1-100)] 6 -36 -72 -144 que clasifica como un punto silla [(1100)] 6 36 72 144 que clasifica como un valor miacutenimo De manera tal que la funcioacuten tiene tres puntos silla y un valor miacutenimo
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Ejercicios- Determine los puntos criacuteticos de las siguientes funciones y claacutesifiquelos utilizando el criterio del Hessiano
(1) f(x y) = x2 - y2 (Silla de montar)
(2) g(x y) = 22 yx (Cono)
(3) h(x y z) = x4 - 2x2 + 2y3 -3y2 + z3-3 Ejercicio- Se requiere construir una lata con tapa que contenga un litro de agua con el miacutenimo de material determine las condiciones que oacuteptimizan el problema Ejercicio- Determine el producto maacuteximo de tres nuacutemeros si la suma de ellos debe ser 40 Ejercicio- Determine la distancia miacutenima del origen a la graacutefica de la funcioacuten f(xy) = 4-x2+y Ejercicio- Estudie los ejemplos resueltos que trae el libro de Marden Tromba en el capitulo 4 en especial el referente a la ecuacioacuten de miacutenimos cuadrados Ejercicio- Determine la ecuacioacuten lineal que mejor se ajusta a los puntos (12) (2 32) (3 389) (4 488) (5 55) Utilize el criterio de miacutenimos cuadrados en caso de que el modelo sea lineal (justifique la linealidad del mismo realice una graacutefica de los puntos y de la liacutenea que ajusta a los puntos) Ejemplo- (Aplicacioacuten) En este ejemplo dermina la distancia miacutenima del punto (100) a la graacutefica de una funcioacuten f(x y) = x2+y2
Solucioacuten- Todos los puntos que se encuentran sobre la graacutefica de la funcioacuten satisfacen la siguiente terna de valores en donde se observa que la tercer componente es la variable dependiente (x y x2+y2)
La distancia del punto (1 0 0) a los puntos que estaacuten sobre la graacutefica (x y x2+y2) Se define por medio de la funcioacuten
2222222 )()1()()001()( yxyxyxyxdyxfd
Para determinar el valor miacutenimo o maacuteximo de esta funcioacuten basta con
analizar su argumento dado que es un funcioacuten creciente Es decir Si x1lt x2
entonces f(x1) lt f(x2) lo que es vaacutelido para la funcioacuten )( xxf (ver graacutefica)
2x
1x
x1 x2
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De este modo la funcioacuten a maximizar es
2222222
11 )()1()()001()( yxyxyxyxdyxfd
De aquiacute al las derivadas parciales son
)(4)1(2)( 22
1 yxxxyxfd x y )(42)( 22
1 yxyyyxfd y
Igualando ambas ecuaciones a cero se puede establecer la siguiente
ecuacioacuten
)(4
)(4
2
2222
22
yxy
yxx
y
x (3)
De aquiacute si )00()( yx y 0y se concluye que -1=0 lo cual es una
contradiccioacuten Por otra parte si (xy)=(00) en la primera ecuacioacuten se tiene que 1=0 que es tambieacuten una contradiccioacuten Finalmente si se considera el caso en
que y=0 se obtiene de la siguiente ecuacioacuten 012 3 xx
El polinomio 12)( 3 xxxP tiene una raiacutez entre el cero y el 1 dado
que P(0)=-1 y P(1)=2 Con el anaacutelisis de raiacuteces racionales dos posibles raiacuteces
son 2
1 y como
2
1 estaacute entre cero y uno al usando divisioacuten sinteacutetica se
obtiene que 4
1
2
1P Asiacute que la raiacutez debe de estar en el intervalo 1
2
1
Ahora usando el meacutetodo de Newton con semilla en 2
10x se obtiene
que 6010
6
2
54
1
2
1
)(
)(
0
0
01xf
xfxx
Ahora al evaluar la funcioacuten en dicho punto se tiene que 0320)60(P el
cual es aceptable como raiacutez del polinomio en una sola interaccioacuten De manera tal que el punto criacutetico de la funcioacuten es el (060) El Hessiano asociado es
24128
82412)(
22
22
xyxy
xyyxyxH
Como se puede apreciar el primer elemento de la matriz es positivo independientemente de los valores de x e y Falta evaluar el determinante de H este es igual a
)64)2412)(2412()(det 222222 yxxyyxyxH
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Ahora evaluando en (06 0) se tiene 7421)443)(326()060(det H
Que tambieacuten es positivo de manera tal que se tiene un valor miacutenimo Es
decir la se obtuvo la distancia miacutenima
Maacuteximos y Miacutenimos con restricciones
Los muacuteltiplicadores de Lagrange permite determinar valores maacuteximos o miacutenimos de funciones con restricciones De este tipo de problemas esta lleno nuestro contorno desde el panedero que desea producir la maacutexima cantidad de pan pero con la restriccioacuten del capital que tiene o la posible venta del diacutea para que no tenga sobrantes
Citemos el siguiente ejemplo la graacutefica de paraboloide z = x2+y2 esta
graacutefica soacutelo tiene un valor miacutenimo en el origen sin embargo si esta restringida
al cuadrado unitario 1111 la funcioacuten alcanza cuatro puntos maacuteximos en
los puntos (-11)(-1-1) (1 -1) y (11) a saber dicho valor es 2 Como se observa en la figura
Ahora si se trabaja con la silla de montar con la misma restriccioacuten esta
funcioacuten tiene originalmente un punto silla en el origen pero al analizar las restricciones se contiene dos valores maacuteximos y dos miacutenimos en los puntos (10) (-10) (0-1) y (01)
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Muacuteltiplicadores de Lagrange Teorema- Dadas dos funciones fg Rn a R diferenciables en X0 elemento del dominio de ambas funciones Si Lc es el conjunto de nivel de valor c de la funcioacuten g y si f posee un valor maacuteximo miacutenimo o silla en la restriccioacuten Lc
entonces existe un nuacutemero real λ tal que )()( 00 XgXf
Se puede ver parte de la demostracioacuten de este teorema en el libro de Marsden Tromba Para clasificar los puntos criacuteticos se utiliza el criterio del Hessiano limitado el cuaacutel se define a partir de la funcioacuten auxiliar H(x1 x2 hellip xn) = f(x1 x2 hellip xn) - λ g(x1 x2 hellip xn)
nnnn
n
n
xxxxx
xxxxx
xx
hhg
hhg
gg
H
1
1111
10
||
Ahora defina los siguientes determinantes
22122
21111
210
|| 1
xxxxx
xxxxx
xx
hhg
hhg
gg
H
3323131
3222121
3121111
3210
|| 2
xxxxxxx
xxxxxxx
xxxxxxx
xxx
hhhg
hhhg
hhhg
ggg
H ||det|| HHn
Criterios para maacuteximos y miacutenimos con restricciones (Hessiano liacutemitado) [Miacutenimo Local] Se tiene un miacutenimo local si y soacutelo si todos los determinantes son negativos |H1| lt0 |H2| lt0 hellip |Hn|lt0 ( - - - - - hellip)
[Maacuteximo Local] Se tiene un maximo local si y soacutelo se inicia con un determinante positivo y luego se alternan los signos |H1| gt 0 |H2| lt 0 hellip |Hn|lt0 (+ - + - hellip)
[Punto del tipo Silla] Se tiene un punto tipo silla sino se satisface los criterios de maacuteximos o miacutenimos y al menos uno de los determinantes es distinto de cero Ejemplo- Determine si la funcioacuten f(xy)= x2 ndash y2 tiene valores criacuteticos en la restriccioacuten x2+y2=1
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)(2
2
2
2)( 00 Xg
g
g
y
x
y
x
f
fXf
y
x
y
x
de aquiacute se obtienen las ecuaciones 2x = 2 λx -2y = 2 λy x2 + y2 =1 Las soluciones de este sistema de ecuaciones son (-101) (101) (0-1-1) y (0-11) El Hessiano liacutemitado es
2202
0222
220
||
y
x
yx
H
El determinante es igual a det|H| = 8x2(1+λ) ndash 8y2(1-λ) ahora evaluando
cada uno de los puntos se tiene que det|H|(-101) = 16 gt 0 det|H|(101) = 16 gt 0 det|H|(0-1-1) = -16 lt 0 det|H|(0-11) = -16 lt 0
De manera tal que la funcioacuten posee dos valores maacuteximos en los puntos (-10) y (10) y por otra parte tiene dos valores miacutenimos en los puntos (0-1) y (0-1) Ejemplo- Determine si la funcioacuten f(xy)= x2+y2 tiene valores criacuteticos en la restriccioacuten x2-y2 le 4 Al iniciar este estudio se trabaja con el interior es decir x2-y2 lt 4 dando como resultado el anaacutelisis de maacuteximos y miacutenimos de una funcioacuten en general de donde el gradiente de f se anula uacutenicamente en el origen siendo este valor un miacutenimo como se habiacutea visto en un ejercicio anterior para la funcioacuten del paraboloide Ahora al trabajar sobre la frontera se usa el criterio de muacuteltiplicadores de Lagrange
)(2
2
2
2)( 00 Xg
g
g
y
x
y
x
f
fXf
y
x
y
x
de aquiacute se obtienen las ecuaciones 2x = 2 λx 2y = -2 λy x2 - y2 = 4
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Las soluciones de este sistema de ecuaciones son (-201) y (201) El Hessiano liacutemitado es
2202
0222
220
||
y
x
yx
H
El determinante es igual a det|H| = -8x2(1+λ) + 8y2(1-λ) ahora
evaluando en cada uno de los puntos se tiene que det|H|(201) = -64 gt 0 y det|H|(-201) = -64 lt 0
De manera tal que la funcioacuten posee dos valores miacutenimos en los puntos (-20) y (20)
Una anaacutelisis de la graacutefica de esta funcioacuten permite visualizar que dichos
puntos no son miacutenimos maacutes bien son puntos tipos silla y no es que el criterio falle sino maacutes bien que los valores son miacutenimos pero sobre el complemento es decir bajo la restriccioacuten x2-y2 ge 4 Ejemplo- Determine los valores criacuteticos de la funcioacuten f(xyz) = 2x+y+3z sujeta a la restriccioacuten x2+y2+z2 le 36 Solucioacuten- Un anaacutelisis de las condiciones iniciales muestra que la graacutefica a maximizar en un hiperplano restringido en su dominio a una esfera de radio 6 de acuerdo a estas condiciones la funcioacuten en su interior no debe tener valor criacuteticos y en la frontera debe tener un valor miacutenimo y un valor maacuteximo En el interior- Al derivar la funcioacuten original se tiene lo siguiente
3
1
2
)( 0
z
y
x
f
f
f
Xf
De aquiacute se observa que la funcioacuten no posee valores criacuteticos en todo su dominio tal y como se esperaba Frontera- Al utilizar las condiciones del los Muacuteltiplicadores de Lagrange se tiene lo siguiente
)(
2
2
2
3
1
2
)( 00 Xg
z
y
x
f
f
f
Xf
z
y
x
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De aquiacute se genera el siguiente sistema de ecuaciones 2 = 2λx 1 = 2λy 3 = 2λz x2+y2+z2=36
Resolviendo el sistema se concluye que 2
1
1yx amp
2
3z Ahora
sustituyendo en la uacuteltima ecuacioacuten se deduce que la funcioacuten posee dos valores criacuteticos que son
18
14
14
1427
14
149
14
1418amp
18
14
14
1427
14
149
14
1418
La funcioacuten auxiliar es H(xyzλ) = 2x+y+3z-λ(x2+y2+z2) donde Hx=2-2λx Hy=1-2λy Hz=3-2λz El Hessiano Liacutemitado es
2002
0202
0022
2220
||
z
y
x
zyx
H
De aquiacute
0
0)(8
202
022
220
|| 22
1si
siyx
y
x
yx
H
0576)(16
2002
0202
0022
2220
|| 22222 zyx
z
y
x
zyx
H
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De aquiacute se desprende que la funcioacuten f(xyz) = 2x+y+3z posee un valor miacutenimo
en el punto 18
14
14
1427
14
149
14
1418 restringido a x2+y2+z2 = 36 y un
maacuteximo en el punto 18
14
14
1427
14
149
14
1418
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Tarea nuacutemero 4 Maacuteximos y Miacutenimos
Objetivo- Que el alumno sea capaz de aprender a resolver problemas asociados a la vida real haciendo uso del caacutelculo de varias variables Aquiacute se enuncian los siguientes ejercicios adicionales dado que muchos de los mismos se fueron exponiendo a lo largo del capiacutetulo y se sugiere que se revisen los problemas resueltos y propuestos en la libros de la bibliografiacutea dado que las aplicaciones son muchas 1- Determine los valores maacuteximos y miacutenimos de la funcioacuten f(xy) = x +y sujeta a la restriccioacuten x2+2y2le18 (Realice un bosquejo de la graacutefica y se restriccioacuten)
2- Determine los valores maacuteximos y miacutenimos de la funcioacuten f(xy) = x2 +y2 sujeta a la restriccioacuten x+2y le 4 (Realice un bosquejo de la graacutefica y se restriccioacuten)
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Bibliografiacutea
1 Caacutelculo Vectorial Marsden amp Tromba Addison-Wesley Iberoamericana
2 Caacutelculo Multivariable James Steward Thomson Editores
3 Caacutelculo con Geometriacutea Anaacutelitica Zill Grupo Editorial Iberoameacuterica
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La definicioacuten para el miacutenimo local (absoluto) es similar
f(x0) f(x) para todo en una vecindad de x0 Por ejemplo la funcioacuten f(xy) = x2+y2 tiene un valor miacutenimo en el origen dado que en este valor la funcioacuten vale cero mientras que fuera de ahiacute siempre es positiva dado que todo nuacutemero real elevado al cuadrado es siempre positivo Ademaacutes dicho valor es un miacutenimo absoluto Como se menciono al inicio de esta capitulo el diagrama del campo
gradiente de esta funcioacuten y
xyxf
2
2)( indica que la funcioacuten tiene un valor
miacutenimo siendo la grafica del mismo la siguiente Sin embargo se requiere un criterio maacutes general y sistemaacutetico que permita establecer los posibles valores maacuteximos miacutenimos o puntos silla) Definicioacuten- (Un valor extremo) Si la funcioacuten posee un valor maacuteximo o miacutenimo este es llamado un valor extremo Definicioacuten- (Un valor critico) Un punto en donde la derivada de la funcioacuten se anula es llamado un valor critico Teorema- Todo valor extremo es un valor critico Es decir si f posee un valor extremo en x0 que pertenece a su dominio entonces la derivada de la funcioacuten en el punto x0 se anula Es decir Df(x0) = 0 Demostracioacuten- Sea l(t) una trayectoria que pasa a traveacutes por el punto x0 defina la composicioacuten de funciones h(t) = f(l(t)) donde l(t) = x0 + tv de donde lrsquo(t) = v y ademaacutes
))(()())(()( VtlftDltlDftDh (1)
Por otra parte como f posee un valor extremo en x0 suponga que dicho
valor es un maacuteximo entonces x0 seraacute a la vez un maacuteximo para la funcioacuten h y como h es una funcioacuten real esto significa que la derivada de h en dicho punto
se anula es decir 0)()0())0(()0( 0 vxfDllDfDh ahora como los
vectores )( 0xf y v no son necesariamente perpendiculares y el vector v a la
vez tampoco se anula entonces esto implica que el gradiente de f en x0 es igual a cero y por lo tanto f posee un valor criacutetico en x0
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Este resultado permite establecer posibles valores criacuteticos de una funcioacuten asiacute se menciona el siguiente ejemplo Ejemplo- Determine los posibles valores criacuteticos de las siguientes funciones (1) f(x y) = x2 + y2 y (2) g(x y) = 4x3 -12x + y2
Solucioacuten-
(1) 0
0
2
2)(
y
xyxf de aquiacute se concluye que dicho valor soacutelo
existe un valor criacutetico siendo este el origen el cuaacutel ya se clasifico en estos apuntes y resulto ser un valor miacutenimo
(2) 0
0
2
1212)(
2
y
xyxg de aquiacute se obtienen dos valores criacuteticos
que son (-10) y 1l (10) Los cuales se pueden clasificar el realizar el graacutefico del campo gradiente En donde se aprecia que en el punto (-10) la funcioacuten posee un punto silla mientras que en el punto (10) la funcioacuten posee un valor miacutenimo
Aquiacute se utilizaraacute el criterio del hessiano para determinar si el valor criacutetico es un maacuteximo un miacutenimo o un punto silla Solo se enunciara el teorema sin demostracioacuten para ver la misma puede revisar en el libro de Marsden Tromba de Caacutelculo Vectorial
Definicioacuten- El Hessiano de una funcioacuten 22 RRH de clase C2 se define como una funcioacuten cuadraacutetica que se escribe como
2
1
2
22
2
2
2
21212
1)(
h
h
y
f
yx
f
xy
f
x
f
hhhhH
Evaluada la matriz de las segundas derivas parciales en el valor criacutetico
Teorema- Si el Hessiano de una funcioacuten 2 RRf es definitivamente
positivo entonces la funcioacuten tiene un valor miacutenimo en dicho punto
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37
Corolario- Si la matriz asociada A=cb
ba de una forma cuadraacutetica dos
por dos es definitivamente positiva si y soacutelo si se cumple que agt0 y det A gt0
Teorema de una valor para un valor extremo miacutenimo- Una funcioacuten
2 RRf de clase C2 posee un valor extremo miacutenimo local en x0 elemento
del dominio de la funcioacuten si y soacutelo si se satisfacen las siguientes condiciones
(i) 0)( 0xx
f y 0)( 0x
y
f
(ii) )( 02
2
xx
f gt 0
(iii) )( 02
2
xx
f)( 02
2
xy
f)(
2
2
oxx
f)( 02
2
xx
f gt 0
Para un valor maacuteximo las condiciones (i) y (iii) se mantienen la uacutenica que cambia en la segunda en donde esta debe ser negativa Para un punto silla se requiere que al menos no se cumplan las condiciones de valor maacuteximo ni miacutenimo y que la uacuteltima condicioacuten (iii) sea distinta de cero En caso contrario el criterio no permite clasificar dicho valor como se mostraraacute en un ejemplo maacutes adelante Ejemplo- Ahora continuando con los ejemplos anteriores
(1) Para f(xy) = x2+y2 el valor critico es el origen y el hessiano asociado es
2
1
212100
02
2
1)(
h
hhhhhH
Como se pude apreciar el primer valor es positivo 2 gt0 y el determinante de
la funcioacuten 20
02det es igual a 4 que a la vez es positivo de manera tal que la
funcioacuten posee un valor miacutenimo en el origen
(2) g(x y) = 4x3 -12x + y2 los puntos criticos son (-10) y (10) y el hessiano asociado a esta forma cuadraacutetica es
2
1
212120
024
2
1)(
h
hxhhhhHg
Ahora al evaluar en los puntos se tiene En el (-10)
2
1
212120
024
2
1)(
h
hhhhhHg
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En donde -24 lt 0 y det Hg = -48 lt0 con lo cuaacutel debe de ser un punto silla
En el (10)
2
1
212120
024
2
1)(
h
hhhhhHg
En donde 24 gt 0 y det Hg = 48 gt0 con lo cuaacutel debe de ser un punto miacutenimo
Tal como se habiacutea estimado en la graacutefica del campo gradiente de la
solucioacuten anterior A continuacioacuten se muestra un bosquejo de dicha graacutefica realizado en el derive
Ejemplos de cuando el criterio permite clasificar los
valores criacuteticos
Ejemplo- A continuacioacuten se mostrara un ejemplo de cuando el criterio no concluye asiacute si la funcioacuten es h(xy) = x4+y4 al calcular las derivas parciales mixtas fx=4x3 y fy=4y3 se encuentra un solo valor critico el origen miestras que la matriz asociada del hessiano es
2
2
120
012
y
x y al evaluar en el origen queda expresada como
00
00
)0(120
0)0(122
2
En donde se puede apreciar que fallan todos los criterios una inspeccioacuten de
la funcioacuten original permite ver que la funcioacuten tiene un valor miacutenimo en dicho punto pero no es una generalizacioacuten es decir no se puede decir que siempre que aparezca la matriz de ceros se tenga un valor miacutenimo dado que si se analiza ahora a las funciones k(xy) = -x4-y4 y p(xy) = x4-y4 ambas tienen como calor extremo al origen y la matriz hessiana asociada a la forma cuadraacutetica evaluada en el origen es la matriz de ceros
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Ejemplo- Otro ejemplo en donde el criterio no concluye es el siguiente en
donde el determinante de la matriz H es cero debido a que la segunda derivada de la funcioacuten f con respecto a la segunda variable se anula (fyy = 0) y no se puede asegurar que se tenga un punto maacuteximo miacutenimo o silla
Las funciones f1(xy) = x2 f2(xy) = -x2 y f3(xy) = x3 presentan este
problema a continuacioacuten se muestran las graficas de dichas funciones
En cada una de ellas los puntos criacuteticos son las parejas en el plano (0 y) Es decir el eje coordenado X
El Hessiano respectivo de cada uno es el siguiente
00
02)(1 yxH
00
02)(2 yxH
00
03)(3
xyxH
Note que el determinante de cada de estas matrices se hace cero y que fyy
se anula en cada caso
Ahora observando las graacuteficas se verifica visualmente que en la primera se tienen valores miacutenimos en la segunda maacuteximos y en la uacuteltima no es ni maacuteximo ni miacutenimo o punto silla
Ejemplo- Citemos otro ejemplo en donde el criterio de maacuteximos y miacutenimos
no concluye Determine los puntos criacuteticos de la funcioacuten h(xy) = x4 Se tiene que hx=4x3=0 y hy=0 de donde se deduce que la funcioacuten tiene
un nuacutemero infinito de puntos criacuteticos estos son las parejas ordenadas en el plano (0y)
La matriz del Hessiano asociado es
00
012)(
2
1
xyxH y evaluando en el punto
00
00)0(1 yH
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40
En donde no se puede clasificar a los valores criacuteticos sin embargo
realizando una inpeccioacuten de la funcioacuten se puede concluir que todos los puntos representan valores miacutenimos de la funcioacuten original a continuacioacuten se muestra la grafica de la misma
El Hessiano para n variables y el criterio de clasificacioacuten
Cuando la funcioacuten tiene maacutes de dos variables se genera una matriz asociada H en cada uno de los valores criacuteticos de la siguiente forma
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
H
21
22221
11211
De aquiacute se definen las siguientes matrices
111 aH 2221
1211
2aa
aaH hellip HH n
Los criterios para los valores criacuteticos de la funcioacuten RRf n son los
siguientes [Miacutenimo Local] La funcioacuten f posee un valor extremo local miacutenimo en x0 si todos los determinantes de las submatrices evaluados en x0 son positivos
0det 1H 0det 2H hellip 0det 2H (+ + hellip +)
En este caso la forma cuadraacutetica se puede probar que es definitivamente positiva [Maacuteximo Local] La funcioacuten f posee un valor extremo local miacutenimo en x0 si todos los determinantes de las submatrices evaluados en x0 se alternan en signo pero el primero de ellos debe ser negativo
0det 1H 0det 2H hellip 0det 2H (- + - + hellip )
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En este caso la forma cuadraacutetica se puede probar que es definitivamente negativa [Punto Silla] La funcioacuten f posee un punto silla si no se cumplen los criterios de valor miacutenimo o maacuteximo y al menos uno de los subdeterminantes es distinto de cero
Existe un i tal que 0det iH
Ejemplos- Determine los valores criacuteticos de las siguiente funcioacuten f(x y z w) = x3 - 3x + y3 ndash 3y + z2 + w2 y claacutesifiquelos Solucioacuten- Al resolver las siguientes ecuaciones
033 2 xxf x 033 2 yyf y 02zf z y 033 2 wwfw
Se obtienen cuatro puntos criacuteticos que son (-1-100) (-1100) (1-100) y (1100) ahora se genera la matriz del hessiano asociado siendo esta
2000
0200
0060
0006
y
x
H
Al evaluar en cada uno de los puntos se tienen las siguientes matrices
2000
0200
0060
0006
)0011(H
2000
0200
0060
0006
)0011(H
2000
0200
0060
0006
)0011(H y
2000
0200
0060
0006
)0011(H
Los sub determinantes para cada uno de los puntos son [(-1 -1 0 0)] -6 36 72 144 que clasifica como un punto silla [(-1100)] -6 -36 -72 -144 que clasifica como un punto silla [(1-100)] 6 -36 -72 -144 que clasifica como un punto silla [(1100)] 6 36 72 144 que clasifica como un valor miacutenimo De manera tal que la funcioacuten tiene tres puntos silla y un valor miacutenimo
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Ejercicios- Determine los puntos criacuteticos de las siguientes funciones y claacutesifiquelos utilizando el criterio del Hessiano
(1) f(x y) = x2 - y2 (Silla de montar)
(2) g(x y) = 22 yx (Cono)
(3) h(x y z) = x4 - 2x2 + 2y3 -3y2 + z3-3 Ejercicio- Se requiere construir una lata con tapa que contenga un litro de agua con el miacutenimo de material determine las condiciones que oacuteptimizan el problema Ejercicio- Determine el producto maacuteximo de tres nuacutemeros si la suma de ellos debe ser 40 Ejercicio- Determine la distancia miacutenima del origen a la graacutefica de la funcioacuten f(xy) = 4-x2+y Ejercicio- Estudie los ejemplos resueltos que trae el libro de Marden Tromba en el capitulo 4 en especial el referente a la ecuacioacuten de miacutenimos cuadrados Ejercicio- Determine la ecuacioacuten lineal que mejor se ajusta a los puntos (12) (2 32) (3 389) (4 488) (5 55) Utilize el criterio de miacutenimos cuadrados en caso de que el modelo sea lineal (justifique la linealidad del mismo realice una graacutefica de los puntos y de la liacutenea que ajusta a los puntos) Ejemplo- (Aplicacioacuten) En este ejemplo dermina la distancia miacutenima del punto (100) a la graacutefica de una funcioacuten f(x y) = x2+y2
Solucioacuten- Todos los puntos que se encuentran sobre la graacutefica de la funcioacuten satisfacen la siguiente terna de valores en donde se observa que la tercer componente es la variable dependiente (x y x2+y2)
La distancia del punto (1 0 0) a los puntos que estaacuten sobre la graacutefica (x y x2+y2) Se define por medio de la funcioacuten
2222222 )()1()()001()( yxyxyxyxdyxfd
Para determinar el valor miacutenimo o maacuteximo de esta funcioacuten basta con
analizar su argumento dado que es un funcioacuten creciente Es decir Si x1lt x2
entonces f(x1) lt f(x2) lo que es vaacutelido para la funcioacuten )( xxf (ver graacutefica)
2x
1x
x1 x2
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43
De este modo la funcioacuten a maximizar es
2222222
11 )()1()()001()( yxyxyxyxdyxfd
De aquiacute al las derivadas parciales son
)(4)1(2)( 22
1 yxxxyxfd x y )(42)( 22
1 yxyyyxfd y
Igualando ambas ecuaciones a cero se puede establecer la siguiente
ecuacioacuten
)(4
)(4
2
2222
22
yxy
yxx
y
x (3)
De aquiacute si )00()( yx y 0y se concluye que -1=0 lo cual es una
contradiccioacuten Por otra parte si (xy)=(00) en la primera ecuacioacuten se tiene que 1=0 que es tambieacuten una contradiccioacuten Finalmente si se considera el caso en
que y=0 se obtiene de la siguiente ecuacioacuten 012 3 xx
El polinomio 12)( 3 xxxP tiene una raiacutez entre el cero y el 1 dado
que P(0)=-1 y P(1)=2 Con el anaacutelisis de raiacuteces racionales dos posibles raiacuteces
son 2
1 y como
2
1 estaacute entre cero y uno al usando divisioacuten sinteacutetica se
obtiene que 4
1
2
1P Asiacute que la raiacutez debe de estar en el intervalo 1
2
1
Ahora usando el meacutetodo de Newton con semilla en 2
10x se obtiene
que 6010
6
2
54
1
2
1
)(
)(
0
0
01xf
xfxx
Ahora al evaluar la funcioacuten en dicho punto se tiene que 0320)60(P el
cual es aceptable como raiacutez del polinomio en una sola interaccioacuten De manera tal que el punto criacutetico de la funcioacuten es el (060) El Hessiano asociado es
24128
82412)(
22
22
xyxy
xyyxyxH
Como se puede apreciar el primer elemento de la matriz es positivo independientemente de los valores de x e y Falta evaluar el determinante de H este es igual a
)64)2412)(2412()(det 222222 yxxyyxyxH
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Ahora evaluando en (06 0) se tiene 7421)443)(326()060(det H
Que tambieacuten es positivo de manera tal que se tiene un valor miacutenimo Es
decir la se obtuvo la distancia miacutenima
Maacuteximos y Miacutenimos con restricciones
Los muacuteltiplicadores de Lagrange permite determinar valores maacuteximos o miacutenimos de funciones con restricciones De este tipo de problemas esta lleno nuestro contorno desde el panedero que desea producir la maacutexima cantidad de pan pero con la restriccioacuten del capital que tiene o la posible venta del diacutea para que no tenga sobrantes
Citemos el siguiente ejemplo la graacutefica de paraboloide z = x2+y2 esta
graacutefica soacutelo tiene un valor miacutenimo en el origen sin embargo si esta restringida
al cuadrado unitario 1111 la funcioacuten alcanza cuatro puntos maacuteximos en
los puntos (-11)(-1-1) (1 -1) y (11) a saber dicho valor es 2 Como se observa en la figura
Ahora si se trabaja con la silla de montar con la misma restriccioacuten esta
funcioacuten tiene originalmente un punto silla en el origen pero al analizar las restricciones se contiene dos valores maacuteximos y dos miacutenimos en los puntos (10) (-10) (0-1) y (01)
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Muacuteltiplicadores de Lagrange Teorema- Dadas dos funciones fg Rn a R diferenciables en X0 elemento del dominio de ambas funciones Si Lc es el conjunto de nivel de valor c de la funcioacuten g y si f posee un valor maacuteximo miacutenimo o silla en la restriccioacuten Lc
entonces existe un nuacutemero real λ tal que )()( 00 XgXf
Se puede ver parte de la demostracioacuten de este teorema en el libro de Marsden Tromba Para clasificar los puntos criacuteticos se utiliza el criterio del Hessiano limitado el cuaacutel se define a partir de la funcioacuten auxiliar H(x1 x2 hellip xn) = f(x1 x2 hellip xn) - λ g(x1 x2 hellip xn)
nnnn
n
n
xxxxx
xxxxx
xx
hhg
hhg
gg
H
1
1111
10
||
Ahora defina los siguientes determinantes
22122
21111
210
|| 1
xxxxx
xxxxx
xx
hhg
hhg
gg
H
3323131
3222121
3121111
3210
|| 2
xxxxxxx
xxxxxxx
xxxxxxx
xxx
hhhg
hhhg
hhhg
ggg
H ||det|| HHn
Criterios para maacuteximos y miacutenimos con restricciones (Hessiano liacutemitado) [Miacutenimo Local] Se tiene un miacutenimo local si y soacutelo si todos los determinantes son negativos |H1| lt0 |H2| lt0 hellip |Hn|lt0 ( - - - - - hellip)
[Maacuteximo Local] Se tiene un maximo local si y soacutelo se inicia con un determinante positivo y luego se alternan los signos |H1| gt 0 |H2| lt 0 hellip |Hn|lt0 (+ - + - hellip)
[Punto del tipo Silla] Se tiene un punto tipo silla sino se satisface los criterios de maacuteximos o miacutenimos y al menos uno de los determinantes es distinto de cero Ejemplo- Determine si la funcioacuten f(xy)= x2 ndash y2 tiene valores criacuteticos en la restriccioacuten x2+y2=1
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)(2
2
2
2)( 00 Xg
g
g
y
x
y
x
f
fXf
y
x
y
x
de aquiacute se obtienen las ecuaciones 2x = 2 λx -2y = 2 λy x2 + y2 =1 Las soluciones de este sistema de ecuaciones son (-101) (101) (0-1-1) y (0-11) El Hessiano liacutemitado es
2202
0222
220
||
y
x
yx
H
El determinante es igual a det|H| = 8x2(1+λ) ndash 8y2(1-λ) ahora evaluando
cada uno de los puntos se tiene que det|H|(-101) = 16 gt 0 det|H|(101) = 16 gt 0 det|H|(0-1-1) = -16 lt 0 det|H|(0-11) = -16 lt 0
De manera tal que la funcioacuten posee dos valores maacuteximos en los puntos (-10) y (10) y por otra parte tiene dos valores miacutenimos en los puntos (0-1) y (0-1) Ejemplo- Determine si la funcioacuten f(xy)= x2+y2 tiene valores criacuteticos en la restriccioacuten x2-y2 le 4 Al iniciar este estudio se trabaja con el interior es decir x2-y2 lt 4 dando como resultado el anaacutelisis de maacuteximos y miacutenimos de una funcioacuten en general de donde el gradiente de f se anula uacutenicamente en el origen siendo este valor un miacutenimo como se habiacutea visto en un ejercicio anterior para la funcioacuten del paraboloide Ahora al trabajar sobre la frontera se usa el criterio de muacuteltiplicadores de Lagrange
)(2
2
2
2)( 00 Xg
g
g
y
x
y
x
f
fXf
y
x
y
x
de aquiacute se obtienen las ecuaciones 2x = 2 λx 2y = -2 λy x2 - y2 = 4
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Las soluciones de este sistema de ecuaciones son (-201) y (201) El Hessiano liacutemitado es
2202
0222
220
||
y
x
yx
H
El determinante es igual a det|H| = -8x2(1+λ) + 8y2(1-λ) ahora
evaluando en cada uno de los puntos se tiene que det|H|(201) = -64 gt 0 y det|H|(-201) = -64 lt 0
De manera tal que la funcioacuten posee dos valores miacutenimos en los puntos (-20) y (20)
Una anaacutelisis de la graacutefica de esta funcioacuten permite visualizar que dichos
puntos no son miacutenimos maacutes bien son puntos tipos silla y no es que el criterio falle sino maacutes bien que los valores son miacutenimos pero sobre el complemento es decir bajo la restriccioacuten x2-y2 ge 4 Ejemplo- Determine los valores criacuteticos de la funcioacuten f(xyz) = 2x+y+3z sujeta a la restriccioacuten x2+y2+z2 le 36 Solucioacuten- Un anaacutelisis de las condiciones iniciales muestra que la graacutefica a maximizar en un hiperplano restringido en su dominio a una esfera de radio 6 de acuerdo a estas condiciones la funcioacuten en su interior no debe tener valor criacuteticos y en la frontera debe tener un valor miacutenimo y un valor maacuteximo En el interior- Al derivar la funcioacuten original se tiene lo siguiente
3
1
2
)( 0
z
y
x
f
f
f
Xf
De aquiacute se observa que la funcioacuten no posee valores criacuteticos en todo su dominio tal y como se esperaba Frontera- Al utilizar las condiciones del los Muacuteltiplicadores de Lagrange se tiene lo siguiente
)(
2
2
2
3
1
2
)( 00 Xg
z
y
x
f
f
f
Xf
z
y
x
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De aquiacute se genera el siguiente sistema de ecuaciones 2 = 2λx 1 = 2λy 3 = 2λz x2+y2+z2=36
Resolviendo el sistema se concluye que 2
1
1yx amp
2
3z Ahora
sustituyendo en la uacuteltima ecuacioacuten se deduce que la funcioacuten posee dos valores criacuteticos que son
18
14
14
1427
14
149
14
1418amp
18
14
14
1427
14
149
14
1418
La funcioacuten auxiliar es H(xyzλ) = 2x+y+3z-λ(x2+y2+z2) donde Hx=2-2λx Hy=1-2λy Hz=3-2λz El Hessiano Liacutemitado es
2002
0202
0022
2220
||
z
y
x
zyx
H
De aquiacute
0
0)(8
202
022
220
|| 22
1si
siyx
y
x
yx
H
0576)(16
2002
0202
0022
2220
|| 22222 zyx
z
y
x
zyx
H
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De aquiacute se desprende que la funcioacuten f(xyz) = 2x+y+3z posee un valor miacutenimo
en el punto 18
14
14
1427
14
149
14
1418 restringido a x2+y2+z2 = 36 y un
maacuteximo en el punto 18
14
14
1427
14
149
14
1418
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Tarea nuacutemero 4 Maacuteximos y Miacutenimos
Objetivo- Que el alumno sea capaz de aprender a resolver problemas asociados a la vida real haciendo uso del caacutelculo de varias variables Aquiacute se enuncian los siguientes ejercicios adicionales dado que muchos de los mismos se fueron exponiendo a lo largo del capiacutetulo y se sugiere que se revisen los problemas resueltos y propuestos en la libros de la bibliografiacutea dado que las aplicaciones son muchas 1- Determine los valores maacuteximos y miacutenimos de la funcioacuten f(xy) = x +y sujeta a la restriccioacuten x2+2y2le18 (Realice un bosquejo de la graacutefica y se restriccioacuten)
2- Determine los valores maacuteximos y miacutenimos de la funcioacuten f(xy) = x2 +y2 sujeta a la restriccioacuten x+2y le 4 (Realice un bosquejo de la graacutefica y se restriccioacuten)
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Bibliografiacutea
1 Caacutelculo Vectorial Marsden amp Tromba Addison-Wesley Iberoamericana
2 Caacutelculo Multivariable James Steward Thomson Editores
3 Caacutelculo con Geometriacutea Anaacutelitica Zill Grupo Editorial Iberoameacuterica
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36
Este resultado permite establecer posibles valores criacuteticos de una funcioacuten asiacute se menciona el siguiente ejemplo Ejemplo- Determine los posibles valores criacuteticos de las siguientes funciones (1) f(x y) = x2 + y2 y (2) g(x y) = 4x3 -12x + y2
Solucioacuten-
(1) 0
0
2
2)(
y
xyxf de aquiacute se concluye que dicho valor soacutelo
existe un valor criacutetico siendo este el origen el cuaacutel ya se clasifico en estos apuntes y resulto ser un valor miacutenimo
(2) 0
0
2
1212)(
2
y
xyxg de aquiacute se obtienen dos valores criacuteticos
que son (-10) y 1l (10) Los cuales se pueden clasificar el realizar el graacutefico del campo gradiente En donde se aprecia que en el punto (-10) la funcioacuten posee un punto silla mientras que en el punto (10) la funcioacuten posee un valor miacutenimo
Aquiacute se utilizaraacute el criterio del hessiano para determinar si el valor criacutetico es un maacuteximo un miacutenimo o un punto silla Solo se enunciara el teorema sin demostracioacuten para ver la misma puede revisar en el libro de Marsden Tromba de Caacutelculo Vectorial
Definicioacuten- El Hessiano de una funcioacuten 22 RRH de clase C2 se define como una funcioacuten cuadraacutetica que se escribe como
2
1
2
22
2
2
2
21212
1)(
h
h
y
f
yx
f
xy
f
x
f
hhhhH
Evaluada la matriz de las segundas derivas parciales en el valor criacutetico
Teorema- Si el Hessiano de una funcioacuten 2 RRf es definitivamente
positivo entonces la funcioacuten tiene un valor miacutenimo en dicho punto
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37
Corolario- Si la matriz asociada A=cb
ba de una forma cuadraacutetica dos
por dos es definitivamente positiva si y soacutelo si se cumple que agt0 y det A gt0
Teorema de una valor para un valor extremo miacutenimo- Una funcioacuten
2 RRf de clase C2 posee un valor extremo miacutenimo local en x0 elemento
del dominio de la funcioacuten si y soacutelo si se satisfacen las siguientes condiciones
(i) 0)( 0xx
f y 0)( 0x
y
f
(ii) )( 02
2
xx
f gt 0
(iii) )( 02
2
xx
f)( 02
2
xy
f)(
2
2
oxx
f)( 02
2
xx
f gt 0
Para un valor maacuteximo las condiciones (i) y (iii) se mantienen la uacutenica que cambia en la segunda en donde esta debe ser negativa Para un punto silla se requiere que al menos no se cumplan las condiciones de valor maacuteximo ni miacutenimo y que la uacuteltima condicioacuten (iii) sea distinta de cero En caso contrario el criterio no permite clasificar dicho valor como se mostraraacute en un ejemplo maacutes adelante Ejemplo- Ahora continuando con los ejemplos anteriores
(1) Para f(xy) = x2+y2 el valor critico es el origen y el hessiano asociado es
2
1
212100
02
2
1)(
h
hhhhhH
Como se pude apreciar el primer valor es positivo 2 gt0 y el determinante de
la funcioacuten 20
02det es igual a 4 que a la vez es positivo de manera tal que la
funcioacuten posee un valor miacutenimo en el origen
(2) g(x y) = 4x3 -12x + y2 los puntos criticos son (-10) y (10) y el hessiano asociado a esta forma cuadraacutetica es
2
1
212120
024
2
1)(
h
hxhhhhHg
Ahora al evaluar en los puntos se tiene En el (-10)
2
1
212120
024
2
1)(
h
hhhhhHg
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38
En donde -24 lt 0 y det Hg = -48 lt0 con lo cuaacutel debe de ser un punto silla
En el (10)
2
1
212120
024
2
1)(
h
hhhhhHg
En donde 24 gt 0 y det Hg = 48 gt0 con lo cuaacutel debe de ser un punto miacutenimo
Tal como se habiacutea estimado en la graacutefica del campo gradiente de la
solucioacuten anterior A continuacioacuten se muestra un bosquejo de dicha graacutefica realizado en el derive
Ejemplos de cuando el criterio permite clasificar los
valores criacuteticos
Ejemplo- A continuacioacuten se mostrara un ejemplo de cuando el criterio no concluye asiacute si la funcioacuten es h(xy) = x4+y4 al calcular las derivas parciales mixtas fx=4x3 y fy=4y3 se encuentra un solo valor critico el origen miestras que la matriz asociada del hessiano es
2
2
120
012
y
x y al evaluar en el origen queda expresada como
00
00
)0(120
0)0(122
2
En donde se puede apreciar que fallan todos los criterios una inspeccioacuten de
la funcioacuten original permite ver que la funcioacuten tiene un valor miacutenimo en dicho punto pero no es una generalizacioacuten es decir no se puede decir que siempre que aparezca la matriz de ceros se tenga un valor miacutenimo dado que si se analiza ahora a las funciones k(xy) = -x4-y4 y p(xy) = x4-y4 ambas tienen como calor extremo al origen y la matriz hessiana asociada a la forma cuadraacutetica evaluada en el origen es la matriz de ceros
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Ejemplo- Otro ejemplo en donde el criterio no concluye es el siguiente en
donde el determinante de la matriz H es cero debido a que la segunda derivada de la funcioacuten f con respecto a la segunda variable se anula (fyy = 0) y no se puede asegurar que se tenga un punto maacuteximo miacutenimo o silla
Las funciones f1(xy) = x2 f2(xy) = -x2 y f3(xy) = x3 presentan este
problema a continuacioacuten se muestran las graficas de dichas funciones
En cada una de ellas los puntos criacuteticos son las parejas en el plano (0 y) Es decir el eje coordenado X
El Hessiano respectivo de cada uno es el siguiente
00
02)(1 yxH
00
02)(2 yxH
00
03)(3
xyxH
Note que el determinante de cada de estas matrices se hace cero y que fyy
se anula en cada caso
Ahora observando las graacuteficas se verifica visualmente que en la primera se tienen valores miacutenimos en la segunda maacuteximos y en la uacuteltima no es ni maacuteximo ni miacutenimo o punto silla
Ejemplo- Citemos otro ejemplo en donde el criterio de maacuteximos y miacutenimos
no concluye Determine los puntos criacuteticos de la funcioacuten h(xy) = x4 Se tiene que hx=4x3=0 y hy=0 de donde se deduce que la funcioacuten tiene
un nuacutemero infinito de puntos criacuteticos estos son las parejas ordenadas en el plano (0y)
La matriz del Hessiano asociado es
00
012)(
2
1
xyxH y evaluando en el punto
00
00)0(1 yH
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40
En donde no se puede clasificar a los valores criacuteticos sin embargo
realizando una inpeccioacuten de la funcioacuten se puede concluir que todos los puntos representan valores miacutenimos de la funcioacuten original a continuacioacuten se muestra la grafica de la misma
El Hessiano para n variables y el criterio de clasificacioacuten
Cuando la funcioacuten tiene maacutes de dos variables se genera una matriz asociada H en cada uno de los valores criacuteticos de la siguiente forma
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
H
21
22221
11211
De aquiacute se definen las siguientes matrices
111 aH 2221
1211
2aa
aaH hellip HH n
Los criterios para los valores criacuteticos de la funcioacuten RRf n son los
siguientes [Miacutenimo Local] La funcioacuten f posee un valor extremo local miacutenimo en x0 si todos los determinantes de las submatrices evaluados en x0 son positivos
0det 1H 0det 2H hellip 0det 2H (+ + hellip +)
En este caso la forma cuadraacutetica se puede probar que es definitivamente positiva [Maacuteximo Local] La funcioacuten f posee un valor extremo local miacutenimo en x0 si todos los determinantes de las submatrices evaluados en x0 se alternan en signo pero el primero de ellos debe ser negativo
0det 1H 0det 2H hellip 0det 2H (- + - + hellip )
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En este caso la forma cuadraacutetica se puede probar que es definitivamente negativa [Punto Silla] La funcioacuten f posee un punto silla si no se cumplen los criterios de valor miacutenimo o maacuteximo y al menos uno de los subdeterminantes es distinto de cero
Existe un i tal que 0det iH
Ejemplos- Determine los valores criacuteticos de las siguiente funcioacuten f(x y z w) = x3 - 3x + y3 ndash 3y + z2 + w2 y claacutesifiquelos Solucioacuten- Al resolver las siguientes ecuaciones
033 2 xxf x 033 2 yyf y 02zf z y 033 2 wwfw
Se obtienen cuatro puntos criacuteticos que son (-1-100) (-1100) (1-100) y (1100) ahora se genera la matriz del hessiano asociado siendo esta
2000
0200
0060
0006
y
x
H
Al evaluar en cada uno de los puntos se tienen las siguientes matrices
2000
0200
0060
0006
)0011(H
2000
0200
0060
0006
)0011(H
2000
0200
0060
0006
)0011(H y
2000
0200
0060
0006
)0011(H
Los sub determinantes para cada uno de los puntos son [(-1 -1 0 0)] -6 36 72 144 que clasifica como un punto silla [(-1100)] -6 -36 -72 -144 que clasifica como un punto silla [(1-100)] 6 -36 -72 -144 que clasifica como un punto silla [(1100)] 6 36 72 144 que clasifica como un valor miacutenimo De manera tal que la funcioacuten tiene tres puntos silla y un valor miacutenimo
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Ejercicios- Determine los puntos criacuteticos de las siguientes funciones y claacutesifiquelos utilizando el criterio del Hessiano
(1) f(x y) = x2 - y2 (Silla de montar)
(2) g(x y) = 22 yx (Cono)
(3) h(x y z) = x4 - 2x2 + 2y3 -3y2 + z3-3 Ejercicio- Se requiere construir una lata con tapa que contenga un litro de agua con el miacutenimo de material determine las condiciones que oacuteptimizan el problema Ejercicio- Determine el producto maacuteximo de tres nuacutemeros si la suma de ellos debe ser 40 Ejercicio- Determine la distancia miacutenima del origen a la graacutefica de la funcioacuten f(xy) = 4-x2+y Ejercicio- Estudie los ejemplos resueltos que trae el libro de Marden Tromba en el capitulo 4 en especial el referente a la ecuacioacuten de miacutenimos cuadrados Ejercicio- Determine la ecuacioacuten lineal que mejor se ajusta a los puntos (12) (2 32) (3 389) (4 488) (5 55) Utilize el criterio de miacutenimos cuadrados en caso de que el modelo sea lineal (justifique la linealidad del mismo realice una graacutefica de los puntos y de la liacutenea que ajusta a los puntos) Ejemplo- (Aplicacioacuten) En este ejemplo dermina la distancia miacutenima del punto (100) a la graacutefica de una funcioacuten f(x y) = x2+y2
Solucioacuten- Todos los puntos que se encuentran sobre la graacutefica de la funcioacuten satisfacen la siguiente terna de valores en donde se observa que la tercer componente es la variable dependiente (x y x2+y2)
La distancia del punto (1 0 0) a los puntos que estaacuten sobre la graacutefica (x y x2+y2) Se define por medio de la funcioacuten
2222222 )()1()()001()( yxyxyxyxdyxfd
Para determinar el valor miacutenimo o maacuteximo de esta funcioacuten basta con
analizar su argumento dado que es un funcioacuten creciente Es decir Si x1lt x2
entonces f(x1) lt f(x2) lo que es vaacutelido para la funcioacuten )( xxf (ver graacutefica)
2x
1x
x1 x2
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De este modo la funcioacuten a maximizar es
2222222
11 )()1()()001()( yxyxyxyxdyxfd
De aquiacute al las derivadas parciales son
)(4)1(2)( 22
1 yxxxyxfd x y )(42)( 22
1 yxyyyxfd y
Igualando ambas ecuaciones a cero se puede establecer la siguiente
ecuacioacuten
)(4
)(4
2
2222
22
yxy
yxx
y
x (3)
De aquiacute si )00()( yx y 0y se concluye que -1=0 lo cual es una
contradiccioacuten Por otra parte si (xy)=(00) en la primera ecuacioacuten se tiene que 1=0 que es tambieacuten una contradiccioacuten Finalmente si se considera el caso en
que y=0 se obtiene de la siguiente ecuacioacuten 012 3 xx
El polinomio 12)( 3 xxxP tiene una raiacutez entre el cero y el 1 dado
que P(0)=-1 y P(1)=2 Con el anaacutelisis de raiacuteces racionales dos posibles raiacuteces
son 2
1 y como
2
1 estaacute entre cero y uno al usando divisioacuten sinteacutetica se
obtiene que 4
1
2
1P Asiacute que la raiacutez debe de estar en el intervalo 1
2
1
Ahora usando el meacutetodo de Newton con semilla en 2
10x se obtiene
que 6010
6
2
54
1
2
1
)(
)(
0
0
01xf
xfxx
Ahora al evaluar la funcioacuten en dicho punto se tiene que 0320)60(P el
cual es aceptable como raiacutez del polinomio en una sola interaccioacuten De manera tal que el punto criacutetico de la funcioacuten es el (060) El Hessiano asociado es
24128
82412)(
22
22
xyxy
xyyxyxH
Como se puede apreciar el primer elemento de la matriz es positivo independientemente de los valores de x e y Falta evaluar el determinante de H este es igual a
)64)2412)(2412()(det 222222 yxxyyxyxH
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Ahora evaluando en (06 0) se tiene 7421)443)(326()060(det H
Que tambieacuten es positivo de manera tal que se tiene un valor miacutenimo Es
decir la se obtuvo la distancia miacutenima
Maacuteximos y Miacutenimos con restricciones
Los muacuteltiplicadores de Lagrange permite determinar valores maacuteximos o miacutenimos de funciones con restricciones De este tipo de problemas esta lleno nuestro contorno desde el panedero que desea producir la maacutexima cantidad de pan pero con la restriccioacuten del capital que tiene o la posible venta del diacutea para que no tenga sobrantes
Citemos el siguiente ejemplo la graacutefica de paraboloide z = x2+y2 esta
graacutefica soacutelo tiene un valor miacutenimo en el origen sin embargo si esta restringida
al cuadrado unitario 1111 la funcioacuten alcanza cuatro puntos maacuteximos en
los puntos (-11)(-1-1) (1 -1) y (11) a saber dicho valor es 2 Como se observa en la figura
Ahora si se trabaja con la silla de montar con la misma restriccioacuten esta
funcioacuten tiene originalmente un punto silla en el origen pero al analizar las restricciones se contiene dos valores maacuteximos y dos miacutenimos en los puntos (10) (-10) (0-1) y (01)
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Muacuteltiplicadores de Lagrange Teorema- Dadas dos funciones fg Rn a R diferenciables en X0 elemento del dominio de ambas funciones Si Lc es el conjunto de nivel de valor c de la funcioacuten g y si f posee un valor maacuteximo miacutenimo o silla en la restriccioacuten Lc
entonces existe un nuacutemero real λ tal que )()( 00 XgXf
Se puede ver parte de la demostracioacuten de este teorema en el libro de Marsden Tromba Para clasificar los puntos criacuteticos se utiliza el criterio del Hessiano limitado el cuaacutel se define a partir de la funcioacuten auxiliar H(x1 x2 hellip xn) = f(x1 x2 hellip xn) - λ g(x1 x2 hellip xn)
nnnn
n
n
xxxxx
xxxxx
xx
hhg
hhg
gg
H
1
1111
10
||
Ahora defina los siguientes determinantes
22122
21111
210
|| 1
xxxxx
xxxxx
xx
hhg
hhg
gg
H
3323131
3222121
3121111
3210
|| 2
xxxxxxx
xxxxxxx
xxxxxxx
xxx
hhhg
hhhg
hhhg
ggg
H ||det|| HHn
Criterios para maacuteximos y miacutenimos con restricciones (Hessiano liacutemitado) [Miacutenimo Local] Se tiene un miacutenimo local si y soacutelo si todos los determinantes son negativos |H1| lt0 |H2| lt0 hellip |Hn|lt0 ( - - - - - hellip)
[Maacuteximo Local] Se tiene un maximo local si y soacutelo se inicia con un determinante positivo y luego se alternan los signos |H1| gt 0 |H2| lt 0 hellip |Hn|lt0 (+ - + - hellip)
[Punto del tipo Silla] Se tiene un punto tipo silla sino se satisface los criterios de maacuteximos o miacutenimos y al menos uno de los determinantes es distinto de cero Ejemplo- Determine si la funcioacuten f(xy)= x2 ndash y2 tiene valores criacuteticos en la restriccioacuten x2+y2=1
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)(2
2
2
2)( 00 Xg
g
g
y
x
y
x
f
fXf
y
x
y
x
de aquiacute se obtienen las ecuaciones 2x = 2 λx -2y = 2 λy x2 + y2 =1 Las soluciones de este sistema de ecuaciones son (-101) (101) (0-1-1) y (0-11) El Hessiano liacutemitado es
2202
0222
220
||
y
x
yx
H
El determinante es igual a det|H| = 8x2(1+λ) ndash 8y2(1-λ) ahora evaluando
cada uno de los puntos se tiene que det|H|(-101) = 16 gt 0 det|H|(101) = 16 gt 0 det|H|(0-1-1) = -16 lt 0 det|H|(0-11) = -16 lt 0
De manera tal que la funcioacuten posee dos valores maacuteximos en los puntos (-10) y (10) y por otra parte tiene dos valores miacutenimos en los puntos (0-1) y (0-1) Ejemplo- Determine si la funcioacuten f(xy)= x2+y2 tiene valores criacuteticos en la restriccioacuten x2-y2 le 4 Al iniciar este estudio se trabaja con el interior es decir x2-y2 lt 4 dando como resultado el anaacutelisis de maacuteximos y miacutenimos de una funcioacuten en general de donde el gradiente de f se anula uacutenicamente en el origen siendo este valor un miacutenimo como se habiacutea visto en un ejercicio anterior para la funcioacuten del paraboloide Ahora al trabajar sobre la frontera se usa el criterio de muacuteltiplicadores de Lagrange
)(2
2
2
2)( 00 Xg
g
g
y
x
y
x
f
fXf
y
x
y
x
de aquiacute se obtienen las ecuaciones 2x = 2 λx 2y = -2 λy x2 - y2 = 4
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Las soluciones de este sistema de ecuaciones son (-201) y (201) El Hessiano liacutemitado es
2202
0222
220
||
y
x
yx
H
El determinante es igual a det|H| = -8x2(1+λ) + 8y2(1-λ) ahora
evaluando en cada uno de los puntos se tiene que det|H|(201) = -64 gt 0 y det|H|(-201) = -64 lt 0
De manera tal que la funcioacuten posee dos valores miacutenimos en los puntos (-20) y (20)
Una anaacutelisis de la graacutefica de esta funcioacuten permite visualizar que dichos
puntos no son miacutenimos maacutes bien son puntos tipos silla y no es que el criterio falle sino maacutes bien que los valores son miacutenimos pero sobre el complemento es decir bajo la restriccioacuten x2-y2 ge 4 Ejemplo- Determine los valores criacuteticos de la funcioacuten f(xyz) = 2x+y+3z sujeta a la restriccioacuten x2+y2+z2 le 36 Solucioacuten- Un anaacutelisis de las condiciones iniciales muestra que la graacutefica a maximizar en un hiperplano restringido en su dominio a una esfera de radio 6 de acuerdo a estas condiciones la funcioacuten en su interior no debe tener valor criacuteticos y en la frontera debe tener un valor miacutenimo y un valor maacuteximo En el interior- Al derivar la funcioacuten original se tiene lo siguiente
3
1
2
)( 0
z
y
x
f
f
f
Xf
De aquiacute se observa que la funcioacuten no posee valores criacuteticos en todo su dominio tal y como se esperaba Frontera- Al utilizar las condiciones del los Muacuteltiplicadores de Lagrange se tiene lo siguiente
)(
2
2
2
3
1
2
)( 00 Xg
z
y
x
f
f
f
Xf
z
y
x
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De aquiacute se genera el siguiente sistema de ecuaciones 2 = 2λx 1 = 2λy 3 = 2λz x2+y2+z2=36
Resolviendo el sistema se concluye que 2
1
1yx amp
2
3z Ahora
sustituyendo en la uacuteltima ecuacioacuten se deduce que la funcioacuten posee dos valores criacuteticos que son
18
14
14
1427
14
149
14
1418amp
18
14
14
1427
14
149
14
1418
La funcioacuten auxiliar es H(xyzλ) = 2x+y+3z-λ(x2+y2+z2) donde Hx=2-2λx Hy=1-2λy Hz=3-2λz El Hessiano Liacutemitado es
2002
0202
0022
2220
||
z
y
x
zyx
H
De aquiacute
0
0)(8
202
022
220
|| 22
1si
siyx
y
x
yx
H
0576)(16
2002
0202
0022
2220
|| 22222 zyx
z
y
x
zyx
H
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De aquiacute se desprende que la funcioacuten f(xyz) = 2x+y+3z posee un valor miacutenimo
en el punto 18
14
14
1427
14
149
14
1418 restringido a x2+y2+z2 = 36 y un
maacuteximo en el punto 18
14
14
1427
14
149
14
1418
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Tarea nuacutemero 4 Maacuteximos y Miacutenimos
Objetivo- Que el alumno sea capaz de aprender a resolver problemas asociados a la vida real haciendo uso del caacutelculo de varias variables Aquiacute se enuncian los siguientes ejercicios adicionales dado que muchos de los mismos se fueron exponiendo a lo largo del capiacutetulo y se sugiere que se revisen los problemas resueltos y propuestos en la libros de la bibliografiacutea dado que las aplicaciones son muchas 1- Determine los valores maacuteximos y miacutenimos de la funcioacuten f(xy) = x +y sujeta a la restriccioacuten x2+2y2le18 (Realice un bosquejo de la graacutefica y se restriccioacuten)
2- Determine los valores maacuteximos y miacutenimos de la funcioacuten f(xy) = x2 +y2 sujeta a la restriccioacuten x+2y le 4 (Realice un bosquejo de la graacutefica y se restriccioacuten)
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Bibliografiacutea
1 Caacutelculo Vectorial Marsden amp Tromba Addison-Wesley Iberoamericana
2 Caacutelculo Multivariable James Steward Thomson Editores
3 Caacutelculo con Geometriacutea Anaacutelitica Zill Grupo Editorial Iberoameacuterica
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Corolario- Si la matriz asociada A=cb
ba de una forma cuadraacutetica dos
por dos es definitivamente positiva si y soacutelo si se cumple que agt0 y det A gt0
Teorema de una valor para un valor extremo miacutenimo- Una funcioacuten
2 RRf de clase C2 posee un valor extremo miacutenimo local en x0 elemento
del dominio de la funcioacuten si y soacutelo si se satisfacen las siguientes condiciones
(i) 0)( 0xx
f y 0)( 0x
y
f
(ii) )( 02
2
xx
f gt 0
(iii) )( 02
2
xx
f)( 02
2
xy
f)(
2
2
oxx
f)( 02
2
xx
f gt 0
Para un valor maacuteximo las condiciones (i) y (iii) se mantienen la uacutenica que cambia en la segunda en donde esta debe ser negativa Para un punto silla se requiere que al menos no se cumplan las condiciones de valor maacuteximo ni miacutenimo y que la uacuteltima condicioacuten (iii) sea distinta de cero En caso contrario el criterio no permite clasificar dicho valor como se mostraraacute en un ejemplo maacutes adelante Ejemplo- Ahora continuando con los ejemplos anteriores
(1) Para f(xy) = x2+y2 el valor critico es el origen y el hessiano asociado es
2
1
212100
02
2
1)(
h
hhhhhH
Como se pude apreciar el primer valor es positivo 2 gt0 y el determinante de
la funcioacuten 20
02det es igual a 4 que a la vez es positivo de manera tal que la
funcioacuten posee un valor miacutenimo en el origen
(2) g(x y) = 4x3 -12x + y2 los puntos criticos son (-10) y (10) y el hessiano asociado a esta forma cuadraacutetica es
2
1
212120
024
2
1)(
h
hxhhhhHg
Ahora al evaluar en los puntos se tiene En el (-10)
2
1
212120
024
2
1)(
h
hhhhhHg
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En donde -24 lt 0 y det Hg = -48 lt0 con lo cuaacutel debe de ser un punto silla
En el (10)
2
1
212120
024
2
1)(
h
hhhhhHg
En donde 24 gt 0 y det Hg = 48 gt0 con lo cuaacutel debe de ser un punto miacutenimo
Tal como se habiacutea estimado en la graacutefica del campo gradiente de la
solucioacuten anterior A continuacioacuten se muestra un bosquejo de dicha graacutefica realizado en el derive
Ejemplos de cuando el criterio permite clasificar los
valores criacuteticos
Ejemplo- A continuacioacuten se mostrara un ejemplo de cuando el criterio no concluye asiacute si la funcioacuten es h(xy) = x4+y4 al calcular las derivas parciales mixtas fx=4x3 y fy=4y3 se encuentra un solo valor critico el origen miestras que la matriz asociada del hessiano es
2
2
120
012
y
x y al evaluar en el origen queda expresada como
00
00
)0(120
0)0(122
2
En donde se puede apreciar que fallan todos los criterios una inspeccioacuten de
la funcioacuten original permite ver que la funcioacuten tiene un valor miacutenimo en dicho punto pero no es una generalizacioacuten es decir no se puede decir que siempre que aparezca la matriz de ceros se tenga un valor miacutenimo dado que si se analiza ahora a las funciones k(xy) = -x4-y4 y p(xy) = x4-y4 ambas tienen como calor extremo al origen y la matriz hessiana asociada a la forma cuadraacutetica evaluada en el origen es la matriz de ceros
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Ejemplo- Otro ejemplo en donde el criterio no concluye es el siguiente en
donde el determinante de la matriz H es cero debido a que la segunda derivada de la funcioacuten f con respecto a la segunda variable se anula (fyy = 0) y no se puede asegurar que se tenga un punto maacuteximo miacutenimo o silla
Las funciones f1(xy) = x2 f2(xy) = -x2 y f3(xy) = x3 presentan este
problema a continuacioacuten se muestran las graficas de dichas funciones
En cada una de ellas los puntos criacuteticos son las parejas en el plano (0 y) Es decir el eje coordenado X
El Hessiano respectivo de cada uno es el siguiente
00
02)(1 yxH
00
02)(2 yxH
00
03)(3
xyxH
Note que el determinante de cada de estas matrices se hace cero y que fyy
se anula en cada caso
Ahora observando las graacuteficas se verifica visualmente que en la primera se tienen valores miacutenimos en la segunda maacuteximos y en la uacuteltima no es ni maacuteximo ni miacutenimo o punto silla
Ejemplo- Citemos otro ejemplo en donde el criterio de maacuteximos y miacutenimos
no concluye Determine los puntos criacuteticos de la funcioacuten h(xy) = x4 Se tiene que hx=4x3=0 y hy=0 de donde se deduce que la funcioacuten tiene
un nuacutemero infinito de puntos criacuteticos estos son las parejas ordenadas en el plano (0y)
La matriz del Hessiano asociado es
00
012)(
2
1
xyxH y evaluando en el punto
00
00)0(1 yH
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40
En donde no se puede clasificar a los valores criacuteticos sin embargo
realizando una inpeccioacuten de la funcioacuten se puede concluir que todos los puntos representan valores miacutenimos de la funcioacuten original a continuacioacuten se muestra la grafica de la misma
El Hessiano para n variables y el criterio de clasificacioacuten
Cuando la funcioacuten tiene maacutes de dos variables se genera una matriz asociada H en cada uno de los valores criacuteticos de la siguiente forma
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
H
21
22221
11211
De aquiacute se definen las siguientes matrices
111 aH 2221
1211
2aa
aaH hellip HH n
Los criterios para los valores criacuteticos de la funcioacuten RRf n son los
siguientes [Miacutenimo Local] La funcioacuten f posee un valor extremo local miacutenimo en x0 si todos los determinantes de las submatrices evaluados en x0 son positivos
0det 1H 0det 2H hellip 0det 2H (+ + hellip +)
En este caso la forma cuadraacutetica se puede probar que es definitivamente positiva [Maacuteximo Local] La funcioacuten f posee un valor extremo local miacutenimo en x0 si todos los determinantes de las submatrices evaluados en x0 se alternan en signo pero el primero de ellos debe ser negativo
0det 1H 0det 2H hellip 0det 2H (- + - + hellip )
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En este caso la forma cuadraacutetica se puede probar que es definitivamente negativa [Punto Silla] La funcioacuten f posee un punto silla si no se cumplen los criterios de valor miacutenimo o maacuteximo y al menos uno de los subdeterminantes es distinto de cero
Existe un i tal que 0det iH
Ejemplos- Determine los valores criacuteticos de las siguiente funcioacuten f(x y z w) = x3 - 3x + y3 ndash 3y + z2 + w2 y claacutesifiquelos Solucioacuten- Al resolver las siguientes ecuaciones
033 2 xxf x 033 2 yyf y 02zf z y 033 2 wwfw
Se obtienen cuatro puntos criacuteticos que son (-1-100) (-1100) (1-100) y (1100) ahora se genera la matriz del hessiano asociado siendo esta
2000
0200
0060
0006
y
x
H
Al evaluar en cada uno de los puntos se tienen las siguientes matrices
2000
0200
0060
0006
)0011(H
2000
0200
0060
0006
)0011(H
2000
0200
0060
0006
)0011(H y
2000
0200
0060
0006
)0011(H
Los sub determinantes para cada uno de los puntos son [(-1 -1 0 0)] -6 36 72 144 que clasifica como un punto silla [(-1100)] -6 -36 -72 -144 que clasifica como un punto silla [(1-100)] 6 -36 -72 -144 que clasifica como un punto silla [(1100)] 6 36 72 144 que clasifica como un valor miacutenimo De manera tal que la funcioacuten tiene tres puntos silla y un valor miacutenimo
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Ejercicios- Determine los puntos criacuteticos de las siguientes funciones y claacutesifiquelos utilizando el criterio del Hessiano
(1) f(x y) = x2 - y2 (Silla de montar)
(2) g(x y) = 22 yx (Cono)
(3) h(x y z) = x4 - 2x2 + 2y3 -3y2 + z3-3 Ejercicio- Se requiere construir una lata con tapa que contenga un litro de agua con el miacutenimo de material determine las condiciones que oacuteptimizan el problema Ejercicio- Determine el producto maacuteximo de tres nuacutemeros si la suma de ellos debe ser 40 Ejercicio- Determine la distancia miacutenima del origen a la graacutefica de la funcioacuten f(xy) = 4-x2+y Ejercicio- Estudie los ejemplos resueltos que trae el libro de Marden Tromba en el capitulo 4 en especial el referente a la ecuacioacuten de miacutenimos cuadrados Ejercicio- Determine la ecuacioacuten lineal que mejor se ajusta a los puntos (12) (2 32) (3 389) (4 488) (5 55) Utilize el criterio de miacutenimos cuadrados en caso de que el modelo sea lineal (justifique la linealidad del mismo realice una graacutefica de los puntos y de la liacutenea que ajusta a los puntos) Ejemplo- (Aplicacioacuten) En este ejemplo dermina la distancia miacutenima del punto (100) a la graacutefica de una funcioacuten f(x y) = x2+y2
Solucioacuten- Todos los puntos que se encuentran sobre la graacutefica de la funcioacuten satisfacen la siguiente terna de valores en donde se observa que la tercer componente es la variable dependiente (x y x2+y2)
La distancia del punto (1 0 0) a los puntos que estaacuten sobre la graacutefica (x y x2+y2) Se define por medio de la funcioacuten
2222222 )()1()()001()( yxyxyxyxdyxfd
Para determinar el valor miacutenimo o maacuteximo de esta funcioacuten basta con
analizar su argumento dado que es un funcioacuten creciente Es decir Si x1lt x2
entonces f(x1) lt f(x2) lo que es vaacutelido para la funcioacuten )( xxf (ver graacutefica)
2x
1x
x1 x2
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43
De este modo la funcioacuten a maximizar es
2222222
11 )()1()()001()( yxyxyxyxdyxfd
De aquiacute al las derivadas parciales son
)(4)1(2)( 22
1 yxxxyxfd x y )(42)( 22
1 yxyyyxfd y
Igualando ambas ecuaciones a cero se puede establecer la siguiente
ecuacioacuten
)(4
)(4
2
2222
22
yxy
yxx
y
x (3)
De aquiacute si )00()( yx y 0y se concluye que -1=0 lo cual es una
contradiccioacuten Por otra parte si (xy)=(00) en la primera ecuacioacuten se tiene que 1=0 que es tambieacuten una contradiccioacuten Finalmente si se considera el caso en
que y=0 se obtiene de la siguiente ecuacioacuten 012 3 xx
El polinomio 12)( 3 xxxP tiene una raiacutez entre el cero y el 1 dado
que P(0)=-1 y P(1)=2 Con el anaacutelisis de raiacuteces racionales dos posibles raiacuteces
son 2
1 y como
2
1 estaacute entre cero y uno al usando divisioacuten sinteacutetica se
obtiene que 4
1
2
1P Asiacute que la raiacutez debe de estar en el intervalo 1
2
1
Ahora usando el meacutetodo de Newton con semilla en 2
10x se obtiene
que 6010
6
2
54
1
2
1
)(
)(
0
0
01xf
xfxx
Ahora al evaluar la funcioacuten en dicho punto se tiene que 0320)60(P el
cual es aceptable como raiacutez del polinomio en una sola interaccioacuten De manera tal que el punto criacutetico de la funcioacuten es el (060) El Hessiano asociado es
24128
82412)(
22
22
xyxy
xyyxyxH
Como se puede apreciar el primer elemento de la matriz es positivo independientemente de los valores de x e y Falta evaluar el determinante de H este es igual a
)64)2412)(2412()(det 222222 yxxyyxyxH
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44
Ahora evaluando en (06 0) se tiene 7421)443)(326()060(det H
Que tambieacuten es positivo de manera tal que se tiene un valor miacutenimo Es
decir la se obtuvo la distancia miacutenima
Maacuteximos y Miacutenimos con restricciones
Los muacuteltiplicadores de Lagrange permite determinar valores maacuteximos o miacutenimos de funciones con restricciones De este tipo de problemas esta lleno nuestro contorno desde el panedero que desea producir la maacutexima cantidad de pan pero con la restriccioacuten del capital que tiene o la posible venta del diacutea para que no tenga sobrantes
Citemos el siguiente ejemplo la graacutefica de paraboloide z = x2+y2 esta
graacutefica soacutelo tiene un valor miacutenimo en el origen sin embargo si esta restringida
al cuadrado unitario 1111 la funcioacuten alcanza cuatro puntos maacuteximos en
los puntos (-11)(-1-1) (1 -1) y (11) a saber dicho valor es 2 Como se observa en la figura
Ahora si se trabaja con la silla de montar con la misma restriccioacuten esta
funcioacuten tiene originalmente un punto silla en el origen pero al analizar las restricciones se contiene dos valores maacuteximos y dos miacutenimos en los puntos (10) (-10) (0-1) y (01)
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45
Muacuteltiplicadores de Lagrange Teorema- Dadas dos funciones fg Rn a R diferenciables en X0 elemento del dominio de ambas funciones Si Lc es el conjunto de nivel de valor c de la funcioacuten g y si f posee un valor maacuteximo miacutenimo o silla en la restriccioacuten Lc
entonces existe un nuacutemero real λ tal que )()( 00 XgXf
Se puede ver parte de la demostracioacuten de este teorema en el libro de Marsden Tromba Para clasificar los puntos criacuteticos se utiliza el criterio del Hessiano limitado el cuaacutel se define a partir de la funcioacuten auxiliar H(x1 x2 hellip xn) = f(x1 x2 hellip xn) - λ g(x1 x2 hellip xn)
nnnn
n
n
xxxxx
xxxxx
xx
hhg
hhg
gg
H
1
1111
10
||
Ahora defina los siguientes determinantes
22122
21111
210
|| 1
xxxxx
xxxxx
xx
hhg
hhg
gg
H
3323131
3222121
3121111
3210
|| 2
xxxxxxx
xxxxxxx
xxxxxxx
xxx
hhhg
hhhg
hhhg
ggg
H ||det|| HHn
Criterios para maacuteximos y miacutenimos con restricciones (Hessiano liacutemitado) [Miacutenimo Local] Se tiene un miacutenimo local si y soacutelo si todos los determinantes son negativos |H1| lt0 |H2| lt0 hellip |Hn|lt0 ( - - - - - hellip)
[Maacuteximo Local] Se tiene un maximo local si y soacutelo se inicia con un determinante positivo y luego se alternan los signos |H1| gt 0 |H2| lt 0 hellip |Hn|lt0 (+ - + - hellip)
[Punto del tipo Silla] Se tiene un punto tipo silla sino se satisface los criterios de maacuteximos o miacutenimos y al menos uno de los determinantes es distinto de cero Ejemplo- Determine si la funcioacuten f(xy)= x2 ndash y2 tiene valores criacuteticos en la restriccioacuten x2+y2=1
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46
)(2
2
2
2)( 00 Xg
g
g
y
x
y
x
f
fXf
y
x
y
x
de aquiacute se obtienen las ecuaciones 2x = 2 λx -2y = 2 λy x2 + y2 =1 Las soluciones de este sistema de ecuaciones son (-101) (101) (0-1-1) y (0-11) El Hessiano liacutemitado es
2202
0222
220
||
y
x
yx
H
El determinante es igual a det|H| = 8x2(1+λ) ndash 8y2(1-λ) ahora evaluando
cada uno de los puntos se tiene que det|H|(-101) = 16 gt 0 det|H|(101) = 16 gt 0 det|H|(0-1-1) = -16 lt 0 det|H|(0-11) = -16 lt 0
De manera tal que la funcioacuten posee dos valores maacuteximos en los puntos (-10) y (10) y por otra parte tiene dos valores miacutenimos en los puntos (0-1) y (0-1) Ejemplo- Determine si la funcioacuten f(xy)= x2+y2 tiene valores criacuteticos en la restriccioacuten x2-y2 le 4 Al iniciar este estudio se trabaja con el interior es decir x2-y2 lt 4 dando como resultado el anaacutelisis de maacuteximos y miacutenimos de una funcioacuten en general de donde el gradiente de f se anula uacutenicamente en el origen siendo este valor un miacutenimo como se habiacutea visto en un ejercicio anterior para la funcioacuten del paraboloide Ahora al trabajar sobre la frontera se usa el criterio de muacuteltiplicadores de Lagrange
)(2
2
2
2)( 00 Xg
g
g
y
x
y
x
f
fXf
y
x
y
x
de aquiacute se obtienen las ecuaciones 2x = 2 λx 2y = -2 λy x2 - y2 = 4
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47
Las soluciones de este sistema de ecuaciones son (-201) y (201) El Hessiano liacutemitado es
2202
0222
220
||
y
x
yx
H
El determinante es igual a det|H| = -8x2(1+λ) + 8y2(1-λ) ahora
evaluando en cada uno de los puntos se tiene que det|H|(201) = -64 gt 0 y det|H|(-201) = -64 lt 0
De manera tal que la funcioacuten posee dos valores miacutenimos en los puntos (-20) y (20)
Una anaacutelisis de la graacutefica de esta funcioacuten permite visualizar que dichos
puntos no son miacutenimos maacutes bien son puntos tipos silla y no es que el criterio falle sino maacutes bien que los valores son miacutenimos pero sobre el complemento es decir bajo la restriccioacuten x2-y2 ge 4 Ejemplo- Determine los valores criacuteticos de la funcioacuten f(xyz) = 2x+y+3z sujeta a la restriccioacuten x2+y2+z2 le 36 Solucioacuten- Un anaacutelisis de las condiciones iniciales muestra que la graacutefica a maximizar en un hiperplano restringido en su dominio a una esfera de radio 6 de acuerdo a estas condiciones la funcioacuten en su interior no debe tener valor criacuteticos y en la frontera debe tener un valor miacutenimo y un valor maacuteximo En el interior- Al derivar la funcioacuten original se tiene lo siguiente
3
1
2
)( 0
z
y
x
f
f
f
Xf
De aquiacute se observa que la funcioacuten no posee valores criacuteticos en todo su dominio tal y como se esperaba Frontera- Al utilizar las condiciones del los Muacuteltiplicadores de Lagrange se tiene lo siguiente
)(
2
2
2
3
1
2
)( 00 Xg
z
y
x
f
f
f
Xf
z
y
x
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48
De aquiacute se genera el siguiente sistema de ecuaciones 2 = 2λx 1 = 2λy 3 = 2λz x2+y2+z2=36
Resolviendo el sistema se concluye que 2
1
1yx amp
2
3z Ahora
sustituyendo en la uacuteltima ecuacioacuten se deduce que la funcioacuten posee dos valores criacuteticos que son
18
14
14
1427
14
149
14
1418amp
18
14
14
1427
14
149
14
1418
La funcioacuten auxiliar es H(xyzλ) = 2x+y+3z-λ(x2+y2+z2) donde Hx=2-2λx Hy=1-2λy Hz=3-2λz El Hessiano Liacutemitado es
2002
0202
0022
2220
||
z
y
x
zyx
H
De aquiacute
0
0)(8
202
022
220
|| 22
1si
siyx
y
x
yx
H
0576)(16
2002
0202
0022
2220
|| 22222 zyx
z
y
x
zyx
H
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49
De aquiacute se desprende que la funcioacuten f(xyz) = 2x+y+3z posee un valor miacutenimo
en el punto 18
14
14
1427
14
149
14
1418 restringido a x2+y2+z2 = 36 y un
maacuteximo en el punto 18
14
14
1427
14
149
14
1418
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50
Tarea nuacutemero 4 Maacuteximos y Miacutenimos
Objetivo- Que el alumno sea capaz de aprender a resolver problemas asociados a la vida real haciendo uso del caacutelculo de varias variables Aquiacute se enuncian los siguientes ejercicios adicionales dado que muchos de los mismos se fueron exponiendo a lo largo del capiacutetulo y se sugiere que se revisen los problemas resueltos y propuestos en la libros de la bibliografiacutea dado que las aplicaciones son muchas 1- Determine los valores maacuteximos y miacutenimos de la funcioacuten f(xy) = x +y sujeta a la restriccioacuten x2+2y2le18 (Realice un bosquejo de la graacutefica y se restriccioacuten)
2- Determine los valores maacuteximos y miacutenimos de la funcioacuten f(xy) = x2 +y2 sujeta a la restriccioacuten x+2y le 4 (Realice un bosquejo de la graacutefica y se restriccioacuten)
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51
Bibliografiacutea
1 Caacutelculo Vectorial Marsden amp Tromba Addison-Wesley Iberoamericana
2 Caacutelculo Multivariable James Steward Thomson Editores
3 Caacutelculo con Geometriacutea Anaacutelitica Zill Grupo Editorial Iberoameacuterica
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38
En donde -24 lt 0 y det Hg = -48 lt0 con lo cuaacutel debe de ser un punto silla
En el (10)
2
1
212120
024
2
1)(
h
hhhhhHg
En donde 24 gt 0 y det Hg = 48 gt0 con lo cuaacutel debe de ser un punto miacutenimo
Tal como se habiacutea estimado en la graacutefica del campo gradiente de la
solucioacuten anterior A continuacioacuten se muestra un bosquejo de dicha graacutefica realizado en el derive
Ejemplos de cuando el criterio permite clasificar los
valores criacuteticos
Ejemplo- A continuacioacuten se mostrara un ejemplo de cuando el criterio no concluye asiacute si la funcioacuten es h(xy) = x4+y4 al calcular las derivas parciales mixtas fx=4x3 y fy=4y3 se encuentra un solo valor critico el origen miestras que la matriz asociada del hessiano es
2
2
120
012
y
x y al evaluar en el origen queda expresada como
00
00
)0(120
0)0(122
2
En donde se puede apreciar que fallan todos los criterios una inspeccioacuten de
la funcioacuten original permite ver que la funcioacuten tiene un valor miacutenimo en dicho punto pero no es una generalizacioacuten es decir no se puede decir que siempre que aparezca la matriz de ceros se tenga un valor miacutenimo dado que si se analiza ahora a las funciones k(xy) = -x4-y4 y p(xy) = x4-y4 ambas tienen como calor extremo al origen y la matriz hessiana asociada a la forma cuadraacutetica evaluada en el origen es la matriz de ceros
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39
Ejemplo- Otro ejemplo en donde el criterio no concluye es el siguiente en
donde el determinante de la matriz H es cero debido a que la segunda derivada de la funcioacuten f con respecto a la segunda variable se anula (fyy = 0) y no se puede asegurar que se tenga un punto maacuteximo miacutenimo o silla
Las funciones f1(xy) = x2 f2(xy) = -x2 y f3(xy) = x3 presentan este
problema a continuacioacuten se muestran las graficas de dichas funciones
En cada una de ellas los puntos criacuteticos son las parejas en el plano (0 y) Es decir el eje coordenado X
El Hessiano respectivo de cada uno es el siguiente
00
02)(1 yxH
00
02)(2 yxH
00
03)(3
xyxH
Note que el determinante de cada de estas matrices se hace cero y que fyy
se anula en cada caso
Ahora observando las graacuteficas se verifica visualmente que en la primera se tienen valores miacutenimos en la segunda maacuteximos y en la uacuteltima no es ni maacuteximo ni miacutenimo o punto silla
Ejemplo- Citemos otro ejemplo en donde el criterio de maacuteximos y miacutenimos
no concluye Determine los puntos criacuteticos de la funcioacuten h(xy) = x4 Se tiene que hx=4x3=0 y hy=0 de donde se deduce que la funcioacuten tiene
un nuacutemero infinito de puntos criacuteticos estos son las parejas ordenadas en el plano (0y)
La matriz del Hessiano asociado es
00
012)(
2
1
xyxH y evaluando en el punto
00
00)0(1 yH
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40
En donde no se puede clasificar a los valores criacuteticos sin embargo
realizando una inpeccioacuten de la funcioacuten se puede concluir que todos los puntos representan valores miacutenimos de la funcioacuten original a continuacioacuten se muestra la grafica de la misma
El Hessiano para n variables y el criterio de clasificacioacuten
Cuando la funcioacuten tiene maacutes de dos variables se genera una matriz asociada H en cada uno de los valores criacuteticos de la siguiente forma
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
H
21
22221
11211
De aquiacute se definen las siguientes matrices
111 aH 2221
1211
2aa
aaH hellip HH n
Los criterios para los valores criacuteticos de la funcioacuten RRf n son los
siguientes [Miacutenimo Local] La funcioacuten f posee un valor extremo local miacutenimo en x0 si todos los determinantes de las submatrices evaluados en x0 son positivos
0det 1H 0det 2H hellip 0det 2H (+ + hellip +)
En este caso la forma cuadraacutetica se puede probar que es definitivamente positiva [Maacuteximo Local] La funcioacuten f posee un valor extremo local miacutenimo en x0 si todos los determinantes de las submatrices evaluados en x0 se alternan en signo pero el primero de ellos debe ser negativo
0det 1H 0det 2H hellip 0det 2H (- + - + hellip )
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41
En este caso la forma cuadraacutetica se puede probar que es definitivamente negativa [Punto Silla] La funcioacuten f posee un punto silla si no se cumplen los criterios de valor miacutenimo o maacuteximo y al menos uno de los subdeterminantes es distinto de cero
Existe un i tal que 0det iH
Ejemplos- Determine los valores criacuteticos de las siguiente funcioacuten f(x y z w) = x3 - 3x + y3 ndash 3y + z2 + w2 y claacutesifiquelos Solucioacuten- Al resolver las siguientes ecuaciones
033 2 xxf x 033 2 yyf y 02zf z y 033 2 wwfw
Se obtienen cuatro puntos criacuteticos que son (-1-100) (-1100) (1-100) y (1100) ahora se genera la matriz del hessiano asociado siendo esta
2000
0200
0060
0006
y
x
H
Al evaluar en cada uno de los puntos se tienen las siguientes matrices
2000
0200
0060
0006
)0011(H
2000
0200
0060
0006
)0011(H
2000
0200
0060
0006
)0011(H y
2000
0200
0060
0006
)0011(H
Los sub determinantes para cada uno de los puntos son [(-1 -1 0 0)] -6 36 72 144 que clasifica como un punto silla [(-1100)] -6 -36 -72 -144 que clasifica como un punto silla [(1-100)] 6 -36 -72 -144 que clasifica como un punto silla [(1100)] 6 36 72 144 que clasifica como un valor miacutenimo De manera tal que la funcioacuten tiene tres puntos silla y un valor miacutenimo
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Ejercicios- Determine los puntos criacuteticos de las siguientes funciones y claacutesifiquelos utilizando el criterio del Hessiano
(1) f(x y) = x2 - y2 (Silla de montar)
(2) g(x y) = 22 yx (Cono)
(3) h(x y z) = x4 - 2x2 + 2y3 -3y2 + z3-3 Ejercicio- Se requiere construir una lata con tapa que contenga un litro de agua con el miacutenimo de material determine las condiciones que oacuteptimizan el problema Ejercicio- Determine el producto maacuteximo de tres nuacutemeros si la suma de ellos debe ser 40 Ejercicio- Determine la distancia miacutenima del origen a la graacutefica de la funcioacuten f(xy) = 4-x2+y Ejercicio- Estudie los ejemplos resueltos que trae el libro de Marden Tromba en el capitulo 4 en especial el referente a la ecuacioacuten de miacutenimos cuadrados Ejercicio- Determine la ecuacioacuten lineal que mejor se ajusta a los puntos (12) (2 32) (3 389) (4 488) (5 55) Utilize el criterio de miacutenimos cuadrados en caso de que el modelo sea lineal (justifique la linealidad del mismo realice una graacutefica de los puntos y de la liacutenea que ajusta a los puntos) Ejemplo- (Aplicacioacuten) En este ejemplo dermina la distancia miacutenima del punto (100) a la graacutefica de una funcioacuten f(x y) = x2+y2
Solucioacuten- Todos los puntos que se encuentran sobre la graacutefica de la funcioacuten satisfacen la siguiente terna de valores en donde se observa que la tercer componente es la variable dependiente (x y x2+y2)
La distancia del punto (1 0 0) a los puntos que estaacuten sobre la graacutefica (x y x2+y2) Se define por medio de la funcioacuten
2222222 )()1()()001()( yxyxyxyxdyxfd
Para determinar el valor miacutenimo o maacuteximo de esta funcioacuten basta con
analizar su argumento dado que es un funcioacuten creciente Es decir Si x1lt x2
entonces f(x1) lt f(x2) lo que es vaacutelido para la funcioacuten )( xxf (ver graacutefica)
2x
1x
x1 x2
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De este modo la funcioacuten a maximizar es
2222222
11 )()1()()001()( yxyxyxyxdyxfd
De aquiacute al las derivadas parciales son
)(4)1(2)( 22
1 yxxxyxfd x y )(42)( 22
1 yxyyyxfd y
Igualando ambas ecuaciones a cero se puede establecer la siguiente
ecuacioacuten
)(4
)(4
2
2222
22
yxy
yxx
y
x (3)
De aquiacute si )00()( yx y 0y se concluye que -1=0 lo cual es una
contradiccioacuten Por otra parte si (xy)=(00) en la primera ecuacioacuten se tiene que 1=0 que es tambieacuten una contradiccioacuten Finalmente si se considera el caso en
que y=0 se obtiene de la siguiente ecuacioacuten 012 3 xx
El polinomio 12)( 3 xxxP tiene una raiacutez entre el cero y el 1 dado
que P(0)=-1 y P(1)=2 Con el anaacutelisis de raiacuteces racionales dos posibles raiacuteces
son 2
1 y como
2
1 estaacute entre cero y uno al usando divisioacuten sinteacutetica se
obtiene que 4
1
2
1P Asiacute que la raiacutez debe de estar en el intervalo 1
2
1
Ahora usando el meacutetodo de Newton con semilla en 2
10x se obtiene
que 6010
6
2
54
1
2
1
)(
)(
0
0
01xf
xfxx
Ahora al evaluar la funcioacuten en dicho punto se tiene que 0320)60(P el
cual es aceptable como raiacutez del polinomio en una sola interaccioacuten De manera tal que el punto criacutetico de la funcioacuten es el (060) El Hessiano asociado es
24128
82412)(
22
22
xyxy
xyyxyxH
Como se puede apreciar el primer elemento de la matriz es positivo independientemente de los valores de x e y Falta evaluar el determinante de H este es igual a
)64)2412)(2412()(det 222222 yxxyyxyxH
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44
Ahora evaluando en (06 0) se tiene 7421)443)(326()060(det H
Que tambieacuten es positivo de manera tal que se tiene un valor miacutenimo Es
decir la se obtuvo la distancia miacutenima
Maacuteximos y Miacutenimos con restricciones
Los muacuteltiplicadores de Lagrange permite determinar valores maacuteximos o miacutenimos de funciones con restricciones De este tipo de problemas esta lleno nuestro contorno desde el panedero que desea producir la maacutexima cantidad de pan pero con la restriccioacuten del capital que tiene o la posible venta del diacutea para que no tenga sobrantes
Citemos el siguiente ejemplo la graacutefica de paraboloide z = x2+y2 esta
graacutefica soacutelo tiene un valor miacutenimo en el origen sin embargo si esta restringida
al cuadrado unitario 1111 la funcioacuten alcanza cuatro puntos maacuteximos en
los puntos (-11)(-1-1) (1 -1) y (11) a saber dicho valor es 2 Como se observa en la figura
Ahora si se trabaja con la silla de montar con la misma restriccioacuten esta
funcioacuten tiene originalmente un punto silla en el origen pero al analizar las restricciones se contiene dos valores maacuteximos y dos miacutenimos en los puntos (10) (-10) (0-1) y (01)
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Muacuteltiplicadores de Lagrange Teorema- Dadas dos funciones fg Rn a R diferenciables en X0 elemento del dominio de ambas funciones Si Lc es el conjunto de nivel de valor c de la funcioacuten g y si f posee un valor maacuteximo miacutenimo o silla en la restriccioacuten Lc
entonces existe un nuacutemero real λ tal que )()( 00 XgXf
Se puede ver parte de la demostracioacuten de este teorema en el libro de Marsden Tromba Para clasificar los puntos criacuteticos se utiliza el criterio del Hessiano limitado el cuaacutel se define a partir de la funcioacuten auxiliar H(x1 x2 hellip xn) = f(x1 x2 hellip xn) - λ g(x1 x2 hellip xn)
nnnn
n
n
xxxxx
xxxxx
xx
hhg
hhg
gg
H
1
1111
10
||
Ahora defina los siguientes determinantes
22122
21111
210
|| 1
xxxxx
xxxxx
xx
hhg
hhg
gg
H
3323131
3222121
3121111
3210
|| 2
xxxxxxx
xxxxxxx
xxxxxxx
xxx
hhhg
hhhg
hhhg
ggg
H ||det|| HHn
Criterios para maacuteximos y miacutenimos con restricciones (Hessiano liacutemitado) [Miacutenimo Local] Se tiene un miacutenimo local si y soacutelo si todos los determinantes son negativos |H1| lt0 |H2| lt0 hellip |Hn|lt0 ( - - - - - hellip)
[Maacuteximo Local] Se tiene un maximo local si y soacutelo se inicia con un determinante positivo y luego se alternan los signos |H1| gt 0 |H2| lt 0 hellip |Hn|lt0 (+ - + - hellip)
[Punto del tipo Silla] Se tiene un punto tipo silla sino se satisface los criterios de maacuteximos o miacutenimos y al menos uno de los determinantes es distinto de cero Ejemplo- Determine si la funcioacuten f(xy)= x2 ndash y2 tiene valores criacuteticos en la restriccioacuten x2+y2=1
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)(2
2
2
2)( 00 Xg
g
g
y
x
y
x
f
fXf
y
x
y
x
de aquiacute se obtienen las ecuaciones 2x = 2 λx -2y = 2 λy x2 + y2 =1 Las soluciones de este sistema de ecuaciones son (-101) (101) (0-1-1) y (0-11) El Hessiano liacutemitado es
2202
0222
220
||
y
x
yx
H
El determinante es igual a det|H| = 8x2(1+λ) ndash 8y2(1-λ) ahora evaluando
cada uno de los puntos se tiene que det|H|(-101) = 16 gt 0 det|H|(101) = 16 gt 0 det|H|(0-1-1) = -16 lt 0 det|H|(0-11) = -16 lt 0
De manera tal que la funcioacuten posee dos valores maacuteximos en los puntos (-10) y (10) y por otra parte tiene dos valores miacutenimos en los puntos (0-1) y (0-1) Ejemplo- Determine si la funcioacuten f(xy)= x2+y2 tiene valores criacuteticos en la restriccioacuten x2-y2 le 4 Al iniciar este estudio se trabaja con el interior es decir x2-y2 lt 4 dando como resultado el anaacutelisis de maacuteximos y miacutenimos de una funcioacuten en general de donde el gradiente de f se anula uacutenicamente en el origen siendo este valor un miacutenimo como se habiacutea visto en un ejercicio anterior para la funcioacuten del paraboloide Ahora al trabajar sobre la frontera se usa el criterio de muacuteltiplicadores de Lagrange
)(2
2
2
2)( 00 Xg
g
g
y
x
y
x
f
fXf
y
x
y
x
de aquiacute se obtienen las ecuaciones 2x = 2 λx 2y = -2 λy x2 - y2 = 4
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47
Las soluciones de este sistema de ecuaciones son (-201) y (201) El Hessiano liacutemitado es
2202
0222
220
||
y
x
yx
H
El determinante es igual a det|H| = -8x2(1+λ) + 8y2(1-λ) ahora
evaluando en cada uno de los puntos se tiene que det|H|(201) = -64 gt 0 y det|H|(-201) = -64 lt 0
De manera tal que la funcioacuten posee dos valores miacutenimos en los puntos (-20) y (20)
Una anaacutelisis de la graacutefica de esta funcioacuten permite visualizar que dichos
puntos no son miacutenimos maacutes bien son puntos tipos silla y no es que el criterio falle sino maacutes bien que los valores son miacutenimos pero sobre el complemento es decir bajo la restriccioacuten x2-y2 ge 4 Ejemplo- Determine los valores criacuteticos de la funcioacuten f(xyz) = 2x+y+3z sujeta a la restriccioacuten x2+y2+z2 le 36 Solucioacuten- Un anaacutelisis de las condiciones iniciales muestra que la graacutefica a maximizar en un hiperplano restringido en su dominio a una esfera de radio 6 de acuerdo a estas condiciones la funcioacuten en su interior no debe tener valor criacuteticos y en la frontera debe tener un valor miacutenimo y un valor maacuteximo En el interior- Al derivar la funcioacuten original se tiene lo siguiente
3
1
2
)( 0
z
y
x
f
f
f
Xf
De aquiacute se observa que la funcioacuten no posee valores criacuteticos en todo su dominio tal y como se esperaba Frontera- Al utilizar las condiciones del los Muacuteltiplicadores de Lagrange se tiene lo siguiente
)(
2
2
2
3
1
2
)( 00 Xg
z
y
x
f
f
f
Xf
z
y
x
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De aquiacute se genera el siguiente sistema de ecuaciones 2 = 2λx 1 = 2λy 3 = 2λz x2+y2+z2=36
Resolviendo el sistema se concluye que 2
1
1yx amp
2
3z Ahora
sustituyendo en la uacuteltima ecuacioacuten se deduce que la funcioacuten posee dos valores criacuteticos que son
18
14
14
1427
14
149
14
1418amp
18
14
14
1427
14
149
14
1418
La funcioacuten auxiliar es H(xyzλ) = 2x+y+3z-λ(x2+y2+z2) donde Hx=2-2λx Hy=1-2λy Hz=3-2λz El Hessiano Liacutemitado es
2002
0202
0022
2220
||
z
y
x
zyx
H
De aquiacute
0
0)(8
202
022
220
|| 22
1si
siyx
y
x
yx
H
0576)(16
2002
0202
0022
2220
|| 22222 zyx
z
y
x
zyx
H
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49
De aquiacute se desprende que la funcioacuten f(xyz) = 2x+y+3z posee un valor miacutenimo
en el punto 18
14
14
1427
14
149
14
1418 restringido a x2+y2+z2 = 36 y un
maacuteximo en el punto 18
14
14
1427
14
149
14
1418
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Tarea nuacutemero 4 Maacuteximos y Miacutenimos
Objetivo- Que el alumno sea capaz de aprender a resolver problemas asociados a la vida real haciendo uso del caacutelculo de varias variables Aquiacute se enuncian los siguientes ejercicios adicionales dado que muchos de los mismos se fueron exponiendo a lo largo del capiacutetulo y se sugiere que se revisen los problemas resueltos y propuestos en la libros de la bibliografiacutea dado que las aplicaciones son muchas 1- Determine los valores maacuteximos y miacutenimos de la funcioacuten f(xy) = x +y sujeta a la restriccioacuten x2+2y2le18 (Realice un bosquejo de la graacutefica y se restriccioacuten)
2- Determine los valores maacuteximos y miacutenimos de la funcioacuten f(xy) = x2 +y2 sujeta a la restriccioacuten x+2y le 4 (Realice un bosquejo de la graacutefica y se restriccioacuten)
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Bibliografiacutea
1 Caacutelculo Vectorial Marsden amp Tromba Addison-Wesley Iberoamericana
2 Caacutelculo Multivariable James Steward Thomson Editores
3 Caacutelculo con Geometriacutea Anaacutelitica Zill Grupo Editorial Iberoameacuterica
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39
Ejemplo- Otro ejemplo en donde el criterio no concluye es el siguiente en
donde el determinante de la matriz H es cero debido a que la segunda derivada de la funcioacuten f con respecto a la segunda variable se anula (fyy = 0) y no se puede asegurar que se tenga un punto maacuteximo miacutenimo o silla
Las funciones f1(xy) = x2 f2(xy) = -x2 y f3(xy) = x3 presentan este
problema a continuacioacuten se muestran las graficas de dichas funciones
En cada una de ellas los puntos criacuteticos son las parejas en el plano (0 y) Es decir el eje coordenado X
El Hessiano respectivo de cada uno es el siguiente
00
02)(1 yxH
00
02)(2 yxH
00
03)(3
xyxH
Note que el determinante de cada de estas matrices se hace cero y que fyy
se anula en cada caso
Ahora observando las graacuteficas se verifica visualmente que en la primera se tienen valores miacutenimos en la segunda maacuteximos y en la uacuteltima no es ni maacuteximo ni miacutenimo o punto silla
Ejemplo- Citemos otro ejemplo en donde el criterio de maacuteximos y miacutenimos
no concluye Determine los puntos criacuteticos de la funcioacuten h(xy) = x4 Se tiene que hx=4x3=0 y hy=0 de donde se deduce que la funcioacuten tiene
un nuacutemero infinito de puntos criacuteticos estos son las parejas ordenadas en el plano (0y)
La matriz del Hessiano asociado es
00
012)(
2
1
xyxH y evaluando en el punto
00
00)0(1 yH
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40
En donde no se puede clasificar a los valores criacuteticos sin embargo
realizando una inpeccioacuten de la funcioacuten se puede concluir que todos los puntos representan valores miacutenimos de la funcioacuten original a continuacioacuten se muestra la grafica de la misma
El Hessiano para n variables y el criterio de clasificacioacuten
Cuando la funcioacuten tiene maacutes de dos variables se genera una matriz asociada H en cada uno de los valores criacuteticos de la siguiente forma
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
H
21
22221
11211
De aquiacute se definen las siguientes matrices
111 aH 2221
1211
2aa
aaH hellip HH n
Los criterios para los valores criacuteticos de la funcioacuten RRf n son los
siguientes [Miacutenimo Local] La funcioacuten f posee un valor extremo local miacutenimo en x0 si todos los determinantes de las submatrices evaluados en x0 son positivos
0det 1H 0det 2H hellip 0det 2H (+ + hellip +)
En este caso la forma cuadraacutetica se puede probar que es definitivamente positiva [Maacuteximo Local] La funcioacuten f posee un valor extremo local miacutenimo en x0 si todos los determinantes de las submatrices evaluados en x0 se alternan en signo pero el primero de ellos debe ser negativo
0det 1H 0det 2H hellip 0det 2H (- + - + hellip )
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En este caso la forma cuadraacutetica se puede probar que es definitivamente negativa [Punto Silla] La funcioacuten f posee un punto silla si no se cumplen los criterios de valor miacutenimo o maacuteximo y al menos uno de los subdeterminantes es distinto de cero
Existe un i tal que 0det iH
Ejemplos- Determine los valores criacuteticos de las siguiente funcioacuten f(x y z w) = x3 - 3x + y3 ndash 3y + z2 + w2 y claacutesifiquelos Solucioacuten- Al resolver las siguientes ecuaciones
033 2 xxf x 033 2 yyf y 02zf z y 033 2 wwfw
Se obtienen cuatro puntos criacuteticos que son (-1-100) (-1100) (1-100) y (1100) ahora se genera la matriz del hessiano asociado siendo esta
2000
0200
0060
0006
y
x
H
Al evaluar en cada uno de los puntos se tienen las siguientes matrices
2000
0200
0060
0006
)0011(H
2000
0200
0060
0006
)0011(H
2000
0200
0060
0006
)0011(H y
2000
0200
0060
0006
)0011(H
Los sub determinantes para cada uno de los puntos son [(-1 -1 0 0)] -6 36 72 144 que clasifica como un punto silla [(-1100)] -6 -36 -72 -144 que clasifica como un punto silla [(1-100)] 6 -36 -72 -144 que clasifica como un punto silla [(1100)] 6 36 72 144 que clasifica como un valor miacutenimo De manera tal que la funcioacuten tiene tres puntos silla y un valor miacutenimo
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Ejercicios- Determine los puntos criacuteticos de las siguientes funciones y claacutesifiquelos utilizando el criterio del Hessiano
(1) f(x y) = x2 - y2 (Silla de montar)
(2) g(x y) = 22 yx (Cono)
(3) h(x y z) = x4 - 2x2 + 2y3 -3y2 + z3-3 Ejercicio- Se requiere construir una lata con tapa que contenga un litro de agua con el miacutenimo de material determine las condiciones que oacuteptimizan el problema Ejercicio- Determine el producto maacuteximo de tres nuacutemeros si la suma de ellos debe ser 40 Ejercicio- Determine la distancia miacutenima del origen a la graacutefica de la funcioacuten f(xy) = 4-x2+y Ejercicio- Estudie los ejemplos resueltos que trae el libro de Marden Tromba en el capitulo 4 en especial el referente a la ecuacioacuten de miacutenimos cuadrados Ejercicio- Determine la ecuacioacuten lineal que mejor se ajusta a los puntos (12) (2 32) (3 389) (4 488) (5 55) Utilize el criterio de miacutenimos cuadrados en caso de que el modelo sea lineal (justifique la linealidad del mismo realice una graacutefica de los puntos y de la liacutenea que ajusta a los puntos) Ejemplo- (Aplicacioacuten) En este ejemplo dermina la distancia miacutenima del punto (100) a la graacutefica de una funcioacuten f(x y) = x2+y2
Solucioacuten- Todos los puntos que se encuentran sobre la graacutefica de la funcioacuten satisfacen la siguiente terna de valores en donde se observa que la tercer componente es la variable dependiente (x y x2+y2)
La distancia del punto (1 0 0) a los puntos que estaacuten sobre la graacutefica (x y x2+y2) Se define por medio de la funcioacuten
2222222 )()1()()001()( yxyxyxyxdyxfd
Para determinar el valor miacutenimo o maacuteximo de esta funcioacuten basta con
analizar su argumento dado que es un funcioacuten creciente Es decir Si x1lt x2
entonces f(x1) lt f(x2) lo que es vaacutelido para la funcioacuten )( xxf (ver graacutefica)
2x
1x
x1 x2
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De este modo la funcioacuten a maximizar es
2222222
11 )()1()()001()( yxyxyxyxdyxfd
De aquiacute al las derivadas parciales son
)(4)1(2)( 22
1 yxxxyxfd x y )(42)( 22
1 yxyyyxfd y
Igualando ambas ecuaciones a cero se puede establecer la siguiente
ecuacioacuten
)(4
)(4
2
2222
22
yxy
yxx
y
x (3)
De aquiacute si )00()( yx y 0y se concluye que -1=0 lo cual es una
contradiccioacuten Por otra parte si (xy)=(00) en la primera ecuacioacuten se tiene que 1=0 que es tambieacuten una contradiccioacuten Finalmente si se considera el caso en
que y=0 se obtiene de la siguiente ecuacioacuten 012 3 xx
El polinomio 12)( 3 xxxP tiene una raiacutez entre el cero y el 1 dado
que P(0)=-1 y P(1)=2 Con el anaacutelisis de raiacuteces racionales dos posibles raiacuteces
son 2
1 y como
2
1 estaacute entre cero y uno al usando divisioacuten sinteacutetica se
obtiene que 4
1
2
1P Asiacute que la raiacutez debe de estar en el intervalo 1
2
1
Ahora usando el meacutetodo de Newton con semilla en 2
10x se obtiene
que 6010
6
2
54
1
2
1
)(
)(
0
0
01xf
xfxx
Ahora al evaluar la funcioacuten en dicho punto se tiene que 0320)60(P el
cual es aceptable como raiacutez del polinomio en una sola interaccioacuten De manera tal que el punto criacutetico de la funcioacuten es el (060) El Hessiano asociado es
24128
82412)(
22
22
xyxy
xyyxyxH
Como se puede apreciar el primer elemento de la matriz es positivo independientemente de los valores de x e y Falta evaluar el determinante de H este es igual a
)64)2412)(2412()(det 222222 yxxyyxyxH
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Ahora evaluando en (06 0) se tiene 7421)443)(326()060(det H
Que tambieacuten es positivo de manera tal que se tiene un valor miacutenimo Es
decir la se obtuvo la distancia miacutenima
Maacuteximos y Miacutenimos con restricciones
Los muacuteltiplicadores de Lagrange permite determinar valores maacuteximos o miacutenimos de funciones con restricciones De este tipo de problemas esta lleno nuestro contorno desde el panedero que desea producir la maacutexima cantidad de pan pero con la restriccioacuten del capital que tiene o la posible venta del diacutea para que no tenga sobrantes
Citemos el siguiente ejemplo la graacutefica de paraboloide z = x2+y2 esta
graacutefica soacutelo tiene un valor miacutenimo en el origen sin embargo si esta restringida
al cuadrado unitario 1111 la funcioacuten alcanza cuatro puntos maacuteximos en
los puntos (-11)(-1-1) (1 -1) y (11) a saber dicho valor es 2 Como se observa en la figura
Ahora si se trabaja con la silla de montar con la misma restriccioacuten esta
funcioacuten tiene originalmente un punto silla en el origen pero al analizar las restricciones se contiene dos valores maacuteximos y dos miacutenimos en los puntos (10) (-10) (0-1) y (01)
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Muacuteltiplicadores de Lagrange Teorema- Dadas dos funciones fg Rn a R diferenciables en X0 elemento del dominio de ambas funciones Si Lc es el conjunto de nivel de valor c de la funcioacuten g y si f posee un valor maacuteximo miacutenimo o silla en la restriccioacuten Lc
entonces existe un nuacutemero real λ tal que )()( 00 XgXf
Se puede ver parte de la demostracioacuten de este teorema en el libro de Marsden Tromba Para clasificar los puntos criacuteticos se utiliza el criterio del Hessiano limitado el cuaacutel se define a partir de la funcioacuten auxiliar H(x1 x2 hellip xn) = f(x1 x2 hellip xn) - λ g(x1 x2 hellip xn)
nnnn
n
n
xxxxx
xxxxx
xx
hhg
hhg
gg
H
1
1111
10
||
Ahora defina los siguientes determinantes
22122
21111
210
|| 1
xxxxx
xxxxx
xx
hhg
hhg
gg
H
3323131
3222121
3121111
3210
|| 2
xxxxxxx
xxxxxxx
xxxxxxx
xxx
hhhg
hhhg
hhhg
ggg
H ||det|| HHn
Criterios para maacuteximos y miacutenimos con restricciones (Hessiano liacutemitado) [Miacutenimo Local] Se tiene un miacutenimo local si y soacutelo si todos los determinantes son negativos |H1| lt0 |H2| lt0 hellip |Hn|lt0 ( - - - - - hellip)
[Maacuteximo Local] Se tiene un maximo local si y soacutelo se inicia con un determinante positivo y luego se alternan los signos |H1| gt 0 |H2| lt 0 hellip |Hn|lt0 (+ - + - hellip)
[Punto del tipo Silla] Se tiene un punto tipo silla sino se satisface los criterios de maacuteximos o miacutenimos y al menos uno de los determinantes es distinto de cero Ejemplo- Determine si la funcioacuten f(xy)= x2 ndash y2 tiene valores criacuteticos en la restriccioacuten x2+y2=1
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)(2
2
2
2)( 00 Xg
g
g
y
x
y
x
f
fXf
y
x
y
x
de aquiacute se obtienen las ecuaciones 2x = 2 λx -2y = 2 λy x2 + y2 =1 Las soluciones de este sistema de ecuaciones son (-101) (101) (0-1-1) y (0-11) El Hessiano liacutemitado es
2202
0222
220
||
y
x
yx
H
El determinante es igual a det|H| = 8x2(1+λ) ndash 8y2(1-λ) ahora evaluando
cada uno de los puntos se tiene que det|H|(-101) = 16 gt 0 det|H|(101) = 16 gt 0 det|H|(0-1-1) = -16 lt 0 det|H|(0-11) = -16 lt 0
De manera tal que la funcioacuten posee dos valores maacuteximos en los puntos (-10) y (10) y por otra parte tiene dos valores miacutenimos en los puntos (0-1) y (0-1) Ejemplo- Determine si la funcioacuten f(xy)= x2+y2 tiene valores criacuteticos en la restriccioacuten x2-y2 le 4 Al iniciar este estudio se trabaja con el interior es decir x2-y2 lt 4 dando como resultado el anaacutelisis de maacuteximos y miacutenimos de una funcioacuten en general de donde el gradiente de f se anula uacutenicamente en el origen siendo este valor un miacutenimo como se habiacutea visto en un ejercicio anterior para la funcioacuten del paraboloide Ahora al trabajar sobre la frontera se usa el criterio de muacuteltiplicadores de Lagrange
)(2
2
2
2)( 00 Xg
g
g
y
x
y
x
f
fXf
y
x
y
x
de aquiacute se obtienen las ecuaciones 2x = 2 λx 2y = -2 λy x2 - y2 = 4
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Las soluciones de este sistema de ecuaciones son (-201) y (201) El Hessiano liacutemitado es
2202
0222
220
||
y
x
yx
H
El determinante es igual a det|H| = -8x2(1+λ) + 8y2(1-λ) ahora
evaluando en cada uno de los puntos se tiene que det|H|(201) = -64 gt 0 y det|H|(-201) = -64 lt 0
De manera tal que la funcioacuten posee dos valores miacutenimos en los puntos (-20) y (20)
Una anaacutelisis de la graacutefica de esta funcioacuten permite visualizar que dichos
puntos no son miacutenimos maacutes bien son puntos tipos silla y no es que el criterio falle sino maacutes bien que los valores son miacutenimos pero sobre el complemento es decir bajo la restriccioacuten x2-y2 ge 4 Ejemplo- Determine los valores criacuteticos de la funcioacuten f(xyz) = 2x+y+3z sujeta a la restriccioacuten x2+y2+z2 le 36 Solucioacuten- Un anaacutelisis de las condiciones iniciales muestra que la graacutefica a maximizar en un hiperplano restringido en su dominio a una esfera de radio 6 de acuerdo a estas condiciones la funcioacuten en su interior no debe tener valor criacuteticos y en la frontera debe tener un valor miacutenimo y un valor maacuteximo En el interior- Al derivar la funcioacuten original se tiene lo siguiente
3
1
2
)( 0
z
y
x
f
f
f
Xf
De aquiacute se observa que la funcioacuten no posee valores criacuteticos en todo su dominio tal y como se esperaba Frontera- Al utilizar las condiciones del los Muacuteltiplicadores de Lagrange se tiene lo siguiente
)(
2
2
2
3
1
2
)( 00 Xg
z
y
x
f
f
f
Xf
z
y
x
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De aquiacute se genera el siguiente sistema de ecuaciones 2 = 2λx 1 = 2λy 3 = 2λz x2+y2+z2=36
Resolviendo el sistema se concluye que 2
1
1yx amp
2
3z Ahora
sustituyendo en la uacuteltima ecuacioacuten se deduce que la funcioacuten posee dos valores criacuteticos que son
18
14
14
1427
14
149
14
1418amp
18
14
14
1427
14
149
14
1418
La funcioacuten auxiliar es H(xyzλ) = 2x+y+3z-λ(x2+y2+z2) donde Hx=2-2λx Hy=1-2λy Hz=3-2λz El Hessiano Liacutemitado es
2002
0202
0022
2220
||
z
y
x
zyx
H
De aquiacute
0
0)(8
202
022
220
|| 22
1si
siyx
y
x
yx
H
0576)(16
2002
0202
0022
2220
|| 22222 zyx
z
y
x
zyx
H
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49
De aquiacute se desprende que la funcioacuten f(xyz) = 2x+y+3z posee un valor miacutenimo
en el punto 18
14
14
1427
14
149
14
1418 restringido a x2+y2+z2 = 36 y un
maacuteximo en el punto 18
14
14
1427
14
149
14
1418
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50
Tarea nuacutemero 4 Maacuteximos y Miacutenimos
Objetivo- Que el alumno sea capaz de aprender a resolver problemas asociados a la vida real haciendo uso del caacutelculo de varias variables Aquiacute se enuncian los siguientes ejercicios adicionales dado que muchos de los mismos se fueron exponiendo a lo largo del capiacutetulo y se sugiere que se revisen los problemas resueltos y propuestos en la libros de la bibliografiacutea dado que las aplicaciones son muchas 1- Determine los valores maacuteximos y miacutenimos de la funcioacuten f(xy) = x +y sujeta a la restriccioacuten x2+2y2le18 (Realice un bosquejo de la graacutefica y se restriccioacuten)
2- Determine los valores maacuteximos y miacutenimos de la funcioacuten f(xy) = x2 +y2 sujeta a la restriccioacuten x+2y le 4 (Realice un bosquejo de la graacutefica y se restriccioacuten)
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51
Bibliografiacutea
1 Caacutelculo Vectorial Marsden amp Tromba Addison-Wesley Iberoamericana
2 Caacutelculo Multivariable James Steward Thomson Editores
3 Caacutelculo con Geometriacutea Anaacutelitica Zill Grupo Editorial Iberoameacuterica
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40
En donde no se puede clasificar a los valores criacuteticos sin embargo
realizando una inpeccioacuten de la funcioacuten se puede concluir que todos los puntos representan valores miacutenimos de la funcioacuten original a continuacioacuten se muestra la grafica de la misma
El Hessiano para n variables y el criterio de clasificacioacuten
Cuando la funcioacuten tiene maacutes de dos variables se genera una matriz asociada H en cada uno de los valores criacuteticos de la siguiente forma
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
H
21
22221
11211
De aquiacute se definen las siguientes matrices
111 aH 2221
1211
2aa
aaH hellip HH n
Los criterios para los valores criacuteticos de la funcioacuten RRf n son los
siguientes [Miacutenimo Local] La funcioacuten f posee un valor extremo local miacutenimo en x0 si todos los determinantes de las submatrices evaluados en x0 son positivos
0det 1H 0det 2H hellip 0det 2H (+ + hellip +)
En este caso la forma cuadraacutetica se puede probar que es definitivamente positiva [Maacuteximo Local] La funcioacuten f posee un valor extremo local miacutenimo en x0 si todos los determinantes de las submatrices evaluados en x0 se alternan en signo pero el primero de ellos debe ser negativo
0det 1H 0det 2H hellip 0det 2H (- + - + hellip )
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41
En este caso la forma cuadraacutetica se puede probar que es definitivamente negativa [Punto Silla] La funcioacuten f posee un punto silla si no se cumplen los criterios de valor miacutenimo o maacuteximo y al menos uno de los subdeterminantes es distinto de cero
Existe un i tal que 0det iH
Ejemplos- Determine los valores criacuteticos de las siguiente funcioacuten f(x y z w) = x3 - 3x + y3 ndash 3y + z2 + w2 y claacutesifiquelos Solucioacuten- Al resolver las siguientes ecuaciones
033 2 xxf x 033 2 yyf y 02zf z y 033 2 wwfw
Se obtienen cuatro puntos criacuteticos que son (-1-100) (-1100) (1-100) y (1100) ahora se genera la matriz del hessiano asociado siendo esta
2000
0200
0060
0006
y
x
H
Al evaluar en cada uno de los puntos se tienen las siguientes matrices
2000
0200
0060
0006
)0011(H
2000
0200
0060
0006
)0011(H
2000
0200
0060
0006
)0011(H y
2000
0200
0060
0006
)0011(H
Los sub determinantes para cada uno de los puntos son [(-1 -1 0 0)] -6 36 72 144 que clasifica como un punto silla [(-1100)] -6 -36 -72 -144 que clasifica como un punto silla [(1-100)] 6 -36 -72 -144 que clasifica como un punto silla [(1100)] 6 36 72 144 que clasifica como un valor miacutenimo De manera tal que la funcioacuten tiene tres puntos silla y un valor miacutenimo
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42
Ejercicios- Determine los puntos criacuteticos de las siguientes funciones y claacutesifiquelos utilizando el criterio del Hessiano
(1) f(x y) = x2 - y2 (Silla de montar)
(2) g(x y) = 22 yx (Cono)
(3) h(x y z) = x4 - 2x2 + 2y3 -3y2 + z3-3 Ejercicio- Se requiere construir una lata con tapa que contenga un litro de agua con el miacutenimo de material determine las condiciones que oacuteptimizan el problema Ejercicio- Determine el producto maacuteximo de tres nuacutemeros si la suma de ellos debe ser 40 Ejercicio- Determine la distancia miacutenima del origen a la graacutefica de la funcioacuten f(xy) = 4-x2+y Ejercicio- Estudie los ejemplos resueltos que trae el libro de Marden Tromba en el capitulo 4 en especial el referente a la ecuacioacuten de miacutenimos cuadrados Ejercicio- Determine la ecuacioacuten lineal que mejor se ajusta a los puntos (12) (2 32) (3 389) (4 488) (5 55) Utilize el criterio de miacutenimos cuadrados en caso de que el modelo sea lineal (justifique la linealidad del mismo realice una graacutefica de los puntos y de la liacutenea que ajusta a los puntos) Ejemplo- (Aplicacioacuten) En este ejemplo dermina la distancia miacutenima del punto (100) a la graacutefica de una funcioacuten f(x y) = x2+y2
Solucioacuten- Todos los puntos que se encuentran sobre la graacutefica de la funcioacuten satisfacen la siguiente terna de valores en donde se observa que la tercer componente es la variable dependiente (x y x2+y2)
La distancia del punto (1 0 0) a los puntos que estaacuten sobre la graacutefica (x y x2+y2) Se define por medio de la funcioacuten
2222222 )()1()()001()( yxyxyxyxdyxfd
Para determinar el valor miacutenimo o maacuteximo de esta funcioacuten basta con
analizar su argumento dado que es un funcioacuten creciente Es decir Si x1lt x2
entonces f(x1) lt f(x2) lo que es vaacutelido para la funcioacuten )( xxf (ver graacutefica)
2x
1x
x1 x2
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43
De este modo la funcioacuten a maximizar es
2222222
11 )()1()()001()( yxyxyxyxdyxfd
De aquiacute al las derivadas parciales son
)(4)1(2)( 22
1 yxxxyxfd x y )(42)( 22
1 yxyyyxfd y
Igualando ambas ecuaciones a cero se puede establecer la siguiente
ecuacioacuten
)(4
)(4
2
2222
22
yxy
yxx
y
x (3)
De aquiacute si )00()( yx y 0y se concluye que -1=0 lo cual es una
contradiccioacuten Por otra parte si (xy)=(00) en la primera ecuacioacuten se tiene que 1=0 que es tambieacuten una contradiccioacuten Finalmente si se considera el caso en
que y=0 se obtiene de la siguiente ecuacioacuten 012 3 xx
El polinomio 12)( 3 xxxP tiene una raiacutez entre el cero y el 1 dado
que P(0)=-1 y P(1)=2 Con el anaacutelisis de raiacuteces racionales dos posibles raiacuteces
son 2
1 y como
2
1 estaacute entre cero y uno al usando divisioacuten sinteacutetica se
obtiene que 4
1
2
1P Asiacute que la raiacutez debe de estar en el intervalo 1
2
1
Ahora usando el meacutetodo de Newton con semilla en 2
10x se obtiene
que 6010
6
2
54
1
2
1
)(
)(
0
0
01xf
xfxx
Ahora al evaluar la funcioacuten en dicho punto se tiene que 0320)60(P el
cual es aceptable como raiacutez del polinomio en una sola interaccioacuten De manera tal que el punto criacutetico de la funcioacuten es el (060) El Hessiano asociado es
24128
82412)(
22
22
xyxy
xyyxyxH
Como se puede apreciar el primer elemento de la matriz es positivo independientemente de los valores de x e y Falta evaluar el determinante de H este es igual a
)64)2412)(2412()(det 222222 yxxyyxyxH
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44
Ahora evaluando en (06 0) se tiene 7421)443)(326()060(det H
Que tambieacuten es positivo de manera tal que se tiene un valor miacutenimo Es
decir la se obtuvo la distancia miacutenima
Maacuteximos y Miacutenimos con restricciones
Los muacuteltiplicadores de Lagrange permite determinar valores maacuteximos o miacutenimos de funciones con restricciones De este tipo de problemas esta lleno nuestro contorno desde el panedero que desea producir la maacutexima cantidad de pan pero con la restriccioacuten del capital que tiene o la posible venta del diacutea para que no tenga sobrantes
Citemos el siguiente ejemplo la graacutefica de paraboloide z = x2+y2 esta
graacutefica soacutelo tiene un valor miacutenimo en el origen sin embargo si esta restringida
al cuadrado unitario 1111 la funcioacuten alcanza cuatro puntos maacuteximos en
los puntos (-11)(-1-1) (1 -1) y (11) a saber dicho valor es 2 Como se observa en la figura
Ahora si se trabaja con la silla de montar con la misma restriccioacuten esta
funcioacuten tiene originalmente un punto silla en el origen pero al analizar las restricciones se contiene dos valores maacuteximos y dos miacutenimos en los puntos (10) (-10) (0-1) y (01)
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45
Muacuteltiplicadores de Lagrange Teorema- Dadas dos funciones fg Rn a R diferenciables en X0 elemento del dominio de ambas funciones Si Lc es el conjunto de nivel de valor c de la funcioacuten g y si f posee un valor maacuteximo miacutenimo o silla en la restriccioacuten Lc
entonces existe un nuacutemero real λ tal que )()( 00 XgXf
Se puede ver parte de la demostracioacuten de este teorema en el libro de Marsden Tromba Para clasificar los puntos criacuteticos se utiliza el criterio del Hessiano limitado el cuaacutel se define a partir de la funcioacuten auxiliar H(x1 x2 hellip xn) = f(x1 x2 hellip xn) - λ g(x1 x2 hellip xn)
nnnn
n
n
xxxxx
xxxxx
xx
hhg
hhg
gg
H
1
1111
10
||
Ahora defina los siguientes determinantes
22122
21111
210
|| 1
xxxxx
xxxxx
xx
hhg
hhg
gg
H
3323131
3222121
3121111
3210
|| 2
xxxxxxx
xxxxxxx
xxxxxxx
xxx
hhhg
hhhg
hhhg
ggg
H ||det|| HHn
Criterios para maacuteximos y miacutenimos con restricciones (Hessiano liacutemitado) [Miacutenimo Local] Se tiene un miacutenimo local si y soacutelo si todos los determinantes son negativos |H1| lt0 |H2| lt0 hellip |Hn|lt0 ( - - - - - hellip)
[Maacuteximo Local] Se tiene un maximo local si y soacutelo se inicia con un determinante positivo y luego se alternan los signos |H1| gt 0 |H2| lt 0 hellip |Hn|lt0 (+ - + - hellip)
[Punto del tipo Silla] Se tiene un punto tipo silla sino se satisface los criterios de maacuteximos o miacutenimos y al menos uno de los determinantes es distinto de cero Ejemplo- Determine si la funcioacuten f(xy)= x2 ndash y2 tiene valores criacuteticos en la restriccioacuten x2+y2=1
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)(2
2
2
2)( 00 Xg
g
g
y
x
y
x
f
fXf
y
x
y
x
de aquiacute se obtienen las ecuaciones 2x = 2 λx -2y = 2 λy x2 + y2 =1 Las soluciones de este sistema de ecuaciones son (-101) (101) (0-1-1) y (0-11) El Hessiano liacutemitado es
2202
0222
220
||
y
x
yx
H
El determinante es igual a det|H| = 8x2(1+λ) ndash 8y2(1-λ) ahora evaluando
cada uno de los puntos se tiene que det|H|(-101) = 16 gt 0 det|H|(101) = 16 gt 0 det|H|(0-1-1) = -16 lt 0 det|H|(0-11) = -16 lt 0
De manera tal que la funcioacuten posee dos valores maacuteximos en los puntos (-10) y (10) y por otra parte tiene dos valores miacutenimos en los puntos (0-1) y (0-1) Ejemplo- Determine si la funcioacuten f(xy)= x2+y2 tiene valores criacuteticos en la restriccioacuten x2-y2 le 4 Al iniciar este estudio se trabaja con el interior es decir x2-y2 lt 4 dando como resultado el anaacutelisis de maacuteximos y miacutenimos de una funcioacuten en general de donde el gradiente de f se anula uacutenicamente en el origen siendo este valor un miacutenimo como se habiacutea visto en un ejercicio anterior para la funcioacuten del paraboloide Ahora al trabajar sobre la frontera se usa el criterio de muacuteltiplicadores de Lagrange
)(2
2
2
2)( 00 Xg
g
g
y
x
y
x
f
fXf
y
x
y
x
de aquiacute se obtienen las ecuaciones 2x = 2 λx 2y = -2 λy x2 - y2 = 4
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Las soluciones de este sistema de ecuaciones son (-201) y (201) El Hessiano liacutemitado es
2202
0222
220
||
y
x
yx
H
El determinante es igual a det|H| = -8x2(1+λ) + 8y2(1-λ) ahora
evaluando en cada uno de los puntos se tiene que det|H|(201) = -64 gt 0 y det|H|(-201) = -64 lt 0
De manera tal que la funcioacuten posee dos valores miacutenimos en los puntos (-20) y (20)
Una anaacutelisis de la graacutefica de esta funcioacuten permite visualizar que dichos
puntos no son miacutenimos maacutes bien son puntos tipos silla y no es que el criterio falle sino maacutes bien que los valores son miacutenimos pero sobre el complemento es decir bajo la restriccioacuten x2-y2 ge 4 Ejemplo- Determine los valores criacuteticos de la funcioacuten f(xyz) = 2x+y+3z sujeta a la restriccioacuten x2+y2+z2 le 36 Solucioacuten- Un anaacutelisis de las condiciones iniciales muestra que la graacutefica a maximizar en un hiperplano restringido en su dominio a una esfera de radio 6 de acuerdo a estas condiciones la funcioacuten en su interior no debe tener valor criacuteticos y en la frontera debe tener un valor miacutenimo y un valor maacuteximo En el interior- Al derivar la funcioacuten original se tiene lo siguiente
3
1
2
)( 0
z
y
x
f
f
f
Xf
De aquiacute se observa que la funcioacuten no posee valores criacuteticos en todo su dominio tal y como se esperaba Frontera- Al utilizar las condiciones del los Muacuteltiplicadores de Lagrange se tiene lo siguiente
)(
2
2
2
3
1
2
)( 00 Xg
z
y
x
f
f
f
Xf
z
y
x
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De aquiacute se genera el siguiente sistema de ecuaciones 2 = 2λx 1 = 2λy 3 = 2λz x2+y2+z2=36
Resolviendo el sistema se concluye que 2
1
1yx amp
2
3z Ahora
sustituyendo en la uacuteltima ecuacioacuten se deduce que la funcioacuten posee dos valores criacuteticos que son
18
14
14
1427
14
149
14
1418amp
18
14
14
1427
14
149
14
1418
La funcioacuten auxiliar es H(xyzλ) = 2x+y+3z-λ(x2+y2+z2) donde Hx=2-2λx Hy=1-2λy Hz=3-2λz El Hessiano Liacutemitado es
2002
0202
0022
2220
||
z
y
x
zyx
H
De aquiacute
0
0)(8
202
022
220
|| 22
1si
siyx
y
x
yx
H
0576)(16
2002
0202
0022
2220
|| 22222 zyx
z
y
x
zyx
H
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De aquiacute se desprende que la funcioacuten f(xyz) = 2x+y+3z posee un valor miacutenimo
en el punto 18
14
14
1427
14
149
14
1418 restringido a x2+y2+z2 = 36 y un
maacuteximo en el punto 18
14
14
1427
14
149
14
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Tarea nuacutemero 4 Maacuteximos y Miacutenimos
Objetivo- Que el alumno sea capaz de aprender a resolver problemas asociados a la vida real haciendo uso del caacutelculo de varias variables Aquiacute se enuncian los siguientes ejercicios adicionales dado que muchos de los mismos se fueron exponiendo a lo largo del capiacutetulo y se sugiere que se revisen los problemas resueltos y propuestos en la libros de la bibliografiacutea dado que las aplicaciones son muchas 1- Determine los valores maacuteximos y miacutenimos de la funcioacuten f(xy) = x +y sujeta a la restriccioacuten x2+2y2le18 (Realice un bosquejo de la graacutefica y se restriccioacuten)
2- Determine los valores maacuteximos y miacutenimos de la funcioacuten f(xy) = x2 +y2 sujeta a la restriccioacuten x+2y le 4 (Realice un bosquejo de la graacutefica y se restriccioacuten)
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Bibliografiacutea
1 Caacutelculo Vectorial Marsden amp Tromba Addison-Wesley Iberoamericana
2 Caacutelculo Multivariable James Steward Thomson Editores
3 Caacutelculo con Geometriacutea Anaacutelitica Zill Grupo Editorial Iberoameacuterica
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En este caso la forma cuadraacutetica se puede probar que es definitivamente negativa [Punto Silla] La funcioacuten f posee un punto silla si no se cumplen los criterios de valor miacutenimo o maacuteximo y al menos uno de los subdeterminantes es distinto de cero
Existe un i tal que 0det iH
Ejemplos- Determine los valores criacuteticos de las siguiente funcioacuten f(x y z w) = x3 - 3x + y3 ndash 3y + z2 + w2 y claacutesifiquelos Solucioacuten- Al resolver las siguientes ecuaciones
033 2 xxf x 033 2 yyf y 02zf z y 033 2 wwfw
Se obtienen cuatro puntos criacuteticos que son (-1-100) (-1100) (1-100) y (1100) ahora se genera la matriz del hessiano asociado siendo esta
2000
0200
0060
0006
y
x
H
Al evaluar en cada uno de los puntos se tienen las siguientes matrices
2000
0200
0060
0006
)0011(H
2000
0200
0060
0006
)0011(H
2000
0200
0060
0006
)0011(H y
2000
0200
0060
0006
)0011(H
Los sub determinantes para cada uno de los puntos son [(-1 -1 0 0)] -6 36 72 144 que clasifica como un punto silla [(-1100)] -6 -36 -72 -144 que clasifica como un punto silla [(1-100)] 6 -36 -72 -144 que clasifica como un punto silla [(1100)] 6 36 72 144 que clasifica como un valor miacutenimo De manera tal que la funcioacuten tiene tres puntos silla y un valor miacutenimo
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Ejercicios- Determine los puntos criacuteticos de las siguientes funciones y claacutesifiquelos utilizando el criterio del Hessiano
(1) f(x y) = x2 - y2 (Silla de montar)
(2) g(x y) = 22 yx (Cono)
(3) h(x y z) = x4 - 2x2 + 2y3 -3y2 + z3-3 Ejercicio- Se requiere construir una lata con tapa que contenga un litro de agua con el miacutenimo de material determine las condiciones que oacuteptimizan el problema Ejercicio- Determine el producto maacuteximo de tres nuacutemeros si la suma de ellos debe ser 40 Ejercicio- Determine la distancia miacutenima del origen a la graacutefica de la funcioacuten f(xy) = 4-x2+y Ejercicio- Estudie los ejemplos resueltos que trae el libro de Marden Tromba en el capitulo 4 en especial el referente a la ecuacioacuten de miacutenimos cuadrados Ejercicio- Determine la ecuacioacuten lineal que mejor se ajusta a los puntos (12) (2 32) (3 389) (4 488) (5 55) Utilize el criterio de miacutenimos cuadrados en caso de que el modelo sea lineal (justifique la linealidad del mismo realice una graacutefica de los puntos y de la liacutenea que ajusta a los puntos) Ejemplo- (Aplicacioacuten) En este ejemplo dermina la distancia miacutenima del punto (100) a la graacutefica de una funcioacuten f(x y) = x2+y2
Solucioacuten- Todos los puntos que se encuentran sobre la graacutefica de la funcioacuten satisfacen la siguiente terna de valores en donde se observa que la tercer componente es la variable dependiente (x y x2+y2)
La distancia del punto (1 0 0) a los puntos que estaacuten sobre la graacutefica (x y x2+y2) Se define por medio de la funcioacuten
2222222 )()1()()001()( yxyxyxyxdyxfd
Para determinar el valor miacutenimo o maacuteximo de esta funcioacuten basta con
analizar su argumento dado que es un funcioacuten creciente Es decir Si x1lt x2
entonces f(x1) lt f(x2) lo que es vaacutelido para la funcioacuten )( xxf (ver graacutefica)
2x
1x
x1 x2
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43
De este modo la funcioacuten a maximizar es
2222222
11 )()1()()001()( yxyxyxyxdyxfd
De aquiacute al las derivadas parciales son
)(4)1(2)( 22
1 yxxxyxfd x y )(42)( 22
1 yxyyyxfd y
Igualando ambas ecuaciones a cero se puede establecer la siguiente
ecuacioacuten
)(4
)(4
2
2222
22
yxy
yxx
y
x (3)
De aquiacute si )00()( yx y 0y se concluye que -1=0 lo cual es una
contradiccioacuten Por otra parte si (xy)=(00) en la primera ecuacioacuten se tiene que 1=0 que es tambieacuten una contradiccioacuten Finalmente si se considera el caso en
que y=0 se obtiene de la siguiente ecuacioacuten 012 3 xx
El polinomio 12)( 3 xxxP tiene una raiacutez entre el cero y el 1 dado
que P(0)=-1 y P(1)=2 Con el anaacutelisis de raiacuteces racionales dos posibles raiacuteces
son 2
1 y como
2
1 estaacute entre cero y uno al usando divisioacuten sinteacutetica se
obtiene que 4
1
2
1P Asiacute que la raiacutez debe de estar en el intervalo 1
2
1
Ahora usando el meacutetodo de Newton con semilla en 2
10x se obtiene
que 6010
6
2
54
1
2
1
)(
)(
0
0
01xf
xfxx
Ahora al evaluar la funcioacuten en dicho punto se tiene que 0320)60(P el
cual es aceptable como raiacutez del polinomio en una sola interaccioacuten De manera tal que el punto criacutetico de la funcioacuten es el (060) El Hessiano asociado es
24128
82412)(
22
22
xyxy
xyyxyxH
Como se puede apreciar el primer elemento de la matriz es positivo independientemente de los valores de x e y Falta evaluar el determinante de H este es igual a
)64)2412)(2412()(det 222222 yxxyyxyxH
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44
Ahora evaluando en (06 0) se tiene 7421)443)(326()060(det H
Que tambieacuten es positivo de manera tal que se tiene un valor miacutenimo Es
decir la se obtuvo la distancia miacutenima
Maacuteximos y Miacutenimos con restricciones
Los muacuteltiplicadores de Lagrange permite determinar valores maacuteximos o miacutenimos de funciones con restricciones De este tipo de problemas esta lleno nuestro contorno desde el panedero que desea producir la maacutexima cantidad de pan pero con la restriccioacuten del capital que tiene o la posible venta del diacutea para que no tenga sobrantes
Citemos el siguiente ejemplo la graacutefica de paraboloide z = x2+y2 esta
graacutefica soacutelo tiene un valor miacutenimo en el origen sin embargo si esta restringida
al cuadrado unitario 1111 la funcioacuten alcanza cuatro puntos maacuteximos en
los puntos (-11)(-1-1) (1 -1) y (11) a saber dicho valor es 2 Como se observa en la figura
Ahora si se trabaja con la silla de montar con la misma restriccioacuten esta
funcioacuten tiene originalmente un punto silla en el origen pero al analizar las restricciones se contiene dos valores maacuteximos y dos miacutenimos en los puntos (10) (-10) (0-1) y (01)
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45
Muacuteltiplicadores de Lagrange Teorema- Dadas dos funciones fg Rn a R diferenciables en X0 elemento del dominio de ambas funciones Si Lc es el conjunto de nivel de valor c de la funcioacuten g y si f posee un valor maacuteximo miacutenimo o silla en la restriccioacuten Lc
entonces existe un nuacutemero real λ tal que )()( 00 XgXf
Se puede ver parte de la demostracioacuten de este teorema en el libro de Marsden Tromba Para clasificar los puntos criacuteticos se utiliza el criterio del Hessiano limitado el cuaacutel se define a partir de la funcioacuten auxiliar H(x1 x2 hellip xn) = f(x1 x2 hellip xn) - λ g(x1 x2 hellip xn)
nnnn
n
n
xxxxx
xxxxx
xx
hhg
hhg
gg
H
1
1111
10
||
Ahora defina los siguientes determinantes
22122
21111
210
|| 1
xxxxx
xxxxx
xx
hhg
hhg
gg
H
3323131
3222121
3121111
3210
|| 2
xxxxxxx
xxxxxxx
xxxxxxx
xxx
hhhg
hhhg
hhhg
ggg
H ||det|| HHn
Criterios para maacuteximos y miacutenimos con restricciones (Hessiano liacutemitado) [Miacutenimo Local] Se tiene un miacutenimo local si y soacutelo si todos los determinantes son negativos |H1| lt0 |H2| lt0 hellip |Hn|lt0 ( - - - - - hellip)
[Maacuteximo Local] Se tiene un maximo local si y soacutelo se inicia con un determinante positivo y luego se alternan los signos |H1| gt 0 |H2| lt 0 hellip |Hn|lt0 (+ - + - hellip)
[Punto del tipo Silla] Se tiene un punto tipo silla sino se satisface los criterios de maacuteximos o miacutenimos y al menos uno de los determinantes es distinto de cero Ejemplo- Determine si la funcioacuten f(xy)= x2 ndash y2 tiene valores criacuteticos en la restriccioacuten x2+y2=1
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46
)(2
2
2
2)( 00 Xg
g
g
y
x
y
x
f
fXf
y
x
y
x
de aquiacute se obtienen las ecuaciones 2x = 2 λx -2y = 2 λy x2 + y2 =1 Las soluciones de este sistema de ecuaciones son (-101) (101) (0-1-1) y (0-11) El Hessiano liacutemitado es
2202
0222
220
||
y
x
yx
H
El determinante es igual a det|H| = 8x2(1+λ) ndash 8y2(1-λ) ahora evaluando
cada uno de los puntos se tiene que det|H|(-101) = 16 gt 0 det|H|(101) = 16 gt 0 det|H|(0-1-1) = -16 lt 0 det|H|(0-11) = -16 lt 0
De manera tal que la funcioacuten posee dos valores maacuteximos en los puntos (-10) y (10) y por otra parte tiene dos valores miacutenimos en los puntos (0-1) y (0-1) Ejemplo- Determine si la funcioacuten f(xy)= x2+y2 tiene valores criacuteticos en la restriccioacuten x2-y2 le 4 Al iniciar este estudio se trabaja con el interior es decir x2-y2 lt 4 dando como resultado el anaacutelisis de maacuteximos y miacutenimos de una funcioacuten en general de donde el gradiente de f se anula uacutenicamente en el origen siendo este valor un miacutenimo como se habiacutea visto en un ejercicio anterior para la funcioacuten del paraboloide Ahora al trabajar sobre la frontera se usa el criterio de muacuteltiplicadores de Lagrange
)(2
2
2
2)( 00 Xg
g
g
y
x
y
x
f
fXf
y
x
y
x
de aquiacute se obtienen las ecuaciones 2x = 2 λx 2y = -2 λy x2 - y2 = 4
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47
Las soluciones de este sistema de ecuaciones son (-201) y (201) El Hessiano liacutemitado es
2202
0222
220
||
y
x
yx
H
El determinante es igual a det|H| = -8x2(1+λ) + 8y2(1-λ) ahora
evaluando en cada uno de los puntos se tiene que det|H|(201) = -64 gt 0 y det|H|(-201) = -64 lt 0
De manera tal que la funcioacuten posee dos valores miacutenimos en los puntos (-20) y (20)
Una anaacutelisis de la graacutefica de esta funcioacuten permite visualizar que dichos
puntos no son miacutenimos maacutes bien son puntos tipos silla y no es que el criterio falle sino maacutes bien que los valores son miacutenimos pero sobre el complemento es decir bajo la restriccioacuten x2-y2 ge 4 Ejemplo- Determine los valores criacuteticos de la funcioacuten f(xyz) = 2x+y+3z sujeta a la restriccioacuten x2+y2+z2 le 36 Solucioacuten- Un anaacutelisis de las condiciones iniciales muestra que la graacutefica a maximizar en un hiperplano restringido en su dominio a una esfera de radio 6 de acuerdo a estas condiciones la funcioacuten en su interior no debe tener valor criacuteticos y en la frontera debe tener un valor miacutenimo y un valor maacuteximo En el interior- Al derivar la funcioacuten original se tiene lo siguiente
3
1
2
)( 0
z
y
x
f
f
f
Xf
De aquiacute se observa que la funcioacuten no posee valores criacuteticos en todo su dominio tal y como se esperaba Frontera- Al utilizar las condiciones del los Muacuteltiplicadores de Lagrange se tiene lo siguiente
)(
2
2
2
3
1
2
)( 00 Xg
z
y
x
f
f
f
Xf
z
y
x
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48
De aquiacute se genera el siguiente sistema de ecuaciones 2 = 2λx 1 = 2λy 3 = 2λz x2+y2+z2=36
Resolviendo el sistema se concluye que 2
1
1yx amp
2
3z Ahora
sustituyendo en la uacuteltima ecuacioacuten se deduce que la funcioacuten posee dos valores criacuteticos que son
18
14
14
1427
14
149
14
1418amp
18
14
14
1427
14
149
14
1418
La funcioacuten auxiliar es H(xyzλ) = 2x+y+3z-λ(x2+y2+z2) donde Hx=2-2λx Hy=1-2λy Hz=3-2λz El Hessiano Liacutemitado es
2002
0202
0022
2220
||
z
y
x
zyx
H
De aquiacute
0
0)(8
202
022
220
|| 22
1si
siyx
y
x
yx
H
0576)(16
2002
0202
0022
2220
|| 22222 zyx
z
y
x
zyx
H
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49
De aquiacute se desprende que la funcioacuten f(xyz) = 2x+y+3z posee un valor miacutenimo
en el punto 18
14
14
1427
14
149
14
1418 restringido a x2+y2+z2 = 36 y un
maacuteximo en el punto 18
14
14
1427
14
149
14
1418
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50
Tarea nuacutemero 4 Maacuteximos y Miacutenimos
Objetivo- Que el alumno sea capaz de aprender a resolver problemas asociados a la vida real haciendo uso del caacutelculo de varias variables Aquiacute se enuncian los siguientes ejercicios adicionales dado que muchos de los mismos se fueron exponiendo a lo largo del capiacutetulo y se sugiere que se revisen los problemas resueltos y propuestos en la libros de la bibliografiacutea dado que las aplicaciones son muchas 1- Determine los valores maacuteximos y miacutenimos de la funcioacuten f(xy) = x +y sujeta a la restriccioacuten x2+2y2le18 (Realice un bosquejo de la graacutefica y se restriccioacuten)
2- Determine los valores maacuteximos y miacutenimos de la funcioacuten f(xy) = x2 +y2 sujeta a la restriccioacuten x+2y le 4 (Realice un bosquejo de la graacutefica y se restriccioacuten)
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Bibliografiacutea
1 Caacutelculo Vectorial Marsden amp Tromba Addison-Wesley Iberoamericana
2 Caacutelculo Multivariable James Steward Thomson Editores
3 Caacutelculo con Geometriacutea Anaacutelitica Zill Grupo Editorial Iberoameacuterica
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42
Ejercicios- Determine los puntos criacuteticos de las siguientes funciones y claacutesifiquelos utilizando el criterio del Hessiano
(1) f(x y) = x2 - y2 (Silla de montar)
(2) g(x y) = 22 yx (Cono)
(3) h(x y z) = x4 - 2x2 + 2y3 -3y2 + z3-3 Ejercicio- Se requiere construir una lata con tapa que contenga un litro de agua con el miacutenimo de material determine las condiciones que oacuteptimizan el problema Ejercicio- Determine el producto maacuteximo de tres nuacutemeros si la suma de ellos debe ser 40 Ejercicio- Determine la distancia miacutenima del origen a la graacutefica de la funcioacuten f(xy) = 4-x2+y Ejercicio- Estudie los ejemplos resueltos que trae el libro de Marden Tromba en el capitulo 4 en especial el referente a la ecuacioacuten de miacutenimos cuadrados Ejercicio- Determine la ecuacioacuten lineal que mejor se ajusta a los puntos (12) (2 32) (3 389) (4 488) (5 55) Utilize el criterio de miacutenimos cuadrados en caso de que el modelo sea lineal (justifique la linealidad del mismo realice una graacutefica de los puntos y de la liacutenea que ajusta a los puntos) Ejemplo- (Aplicacioacuten) En este ejemplo dermina la distancia miacutenima del punto (100) a la graacutefica de una funcioacuten f(x y) = x2+y2
Solucioacuten- Todos los puntos que se encuentran sobre la graacutefica de la funcioacuten satisfacen la siguiente terna de valores en donde se observa que la tercer componente es la variable dependiente (x y x2+y2)
La distancia del punto (1 0 0) a los puntos que estaacuten sobre la graacutefica (x y x2+y2) Se define por medio de la funcioacuten
2222222 )()1()()001()( yxyxyxyxdyxfd
Para determinar el valor miacutenimo o maacuteximo de esta funcioacuten basta con
analizar su argumento dado que es un funcioacuten creciente Es decir Si x1lt x2
entonces f(x1) lt f(x2) lo que es vaacutelido para la funcioacuten )( xxf (ver graacutefica)
2x
1x
x1 x2
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43
De este modo la funcioacuten a maximizar es
2222222
11 )()1()()001()( yxyxyxyxdyxfd
De aquiacute al las derivadas parciales son
)(4)1(2)( 22
1 yxxxyxfd x y )(42)( 22
1 yxyyyxfd y
Igualando ambas ecuaciones a cero se puede establecer la siguiente
ecuacioacuten
)(4
)(4
2
2222
22
yxy
yxx
y
x (3)
De aquiacute si )00()( yx y 0y se concluye que -1=0 lo cual es una
contradiccioacuten Por otra parte si (xy)=(00) en la primera ecuacioacuten se tiene que 1=0 que es tambieacuten una contradiccioacuten Finalmente si se considera el caso en
que y=0 se obtiene de la siguiente ecuacioacuten 012 3 xx
El polinomio 12)( 3 xxxP tiene una raiacutez entre el cero y el 1 dado
que P(0)=-1 y P(1)=2 Con el anaacutelisis de raiacuteces racionales dos posibles raiacuteces
son 2
1 y como
2
1 estaacute entre cero y uno al usando divisioacuten sinteacutetica se
obtiene que 4
1
2
1P Asiacute que la raiacutez debe de estar en el intervalo 1
2
1
Ahora usando el meacutetodo de Newton con semilla en 2
10x se obtiene
que 6010
6
2
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1
2
1
)(
)(
0
0
01xf
xfxx
Ahora al evaluar la funcioacuten en dicho punto se tiene que 0320)60(P el
cual es aceptable como raiacutez del polinomio en una sola interaccioacuten De manera tal que el punto criacutetico de la funcioacuten es el (060) El Hessiano asociado es
24128
82412)(
22
22
xyxy
xyyxyxH
Como se puede apreciar el primer elemento de la matriz es positivo independientemente de los valores de x e y Falta evaluar el determinante de H este es igual a
)64)2412)(2412()(det 222222 yxxyyxyxH
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Ahora evaluando en (06 0) se tiene 7421)443)(326()060(det H
Que tambieacuten es positivo de manera tal que se tiene un valor miacutenimo Es
decir la se obtuvo la distancia miacutenima
Maacuteximos y Miacutenimos con restricciones
Los muacuteltiplicadores de Lagrange permite determinar valores maacuteximos o miacutenimos de funciones con restricciones De este tipo de problemas esta lleno nuestro contorno desde el panedero que desea producir la maacutexima cantidad de pan pero con la restriccioacuten del capital que tiene o la posible venta del diacutea para que no tenga sobrantes
Citemos el siguiente ejemplo la graacutefica de paraboloide z = x2+y2 esta
graacutefica soacutelo tiene un valor miacutenimo en el origen sin embargo si esta restringida
al cuadrado unitario 1111 la funcioacuten alcanza cuatro puntos maacuteximos en
los puntos (-11)(-1-1) (1 -1) y (11) a saber dicho valor es 2 Como se observa en la figura
Ahora si se trabaja con la silla de montar con la misma restriccioacuten esta
funcioacuten tiene originalmente un punto silla en el origen pero al analizar las restricciones se contiene dos valores maacuteximos y dos miacutenimos en los puntos (10) (-10) (0-1) y (01)
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Muacuteltiplicadores de Lagrange Teorema- Dadas dos funciones fg Rn a R diferenciables en X0 elemento del dominio de ambas funciones Si Lc es el conjunto de nivel de valor c de la funcioacuten g y si f posee un valor maacuteximo miacutenimo o silla en la restriccioacuten Lc
entonces existe un nuacutemero real λ tal que )()( 00 XgXf
Se puede ver parte de la demostracioacuten de este teorema en el libro de Marsden Tromba Para clasificar los puntos criacuteticos se utiliza el criterio del Hessiano limitado el cuaacutel se define a partir de la funcioacuten auxiliar H(x1 x2 hellip xn) = f(x1 x2 hellip xn) - λ g(x1 x2 hellip xn)
nnnn
n
n
xxxxx
xxxxx
xx
hhg
hhg
gg
H
1
1111
10
||
Ahora defina los siguientes determinantes
22122
21111
210
|| 1
xxxxx
xxxxx
xx
hhg
hhg
gg
H
3323131
3222121
3121111
3210
|| 2
xxxxxxx
xxxxxxx
xxxxxxx
xxx
hhhg
hhhg
hhhg
ggg
H ||det|| HHn
Criterios para maacuteximos y miacutenimos con restricciones (Hessiano liacutemitado) [Miacutenimo Local] Se tiene un miacutenimo local si y soacutelo si todos los determinantes son negativos |H1| lt0 |H2| lt0 hellip |Hn|lt0 ( - - - - - hellip)
[Maacuteximo Local] Se tiene un maximo local si y soacutelo se inicia con un determinante positivo y luego se alternan los signos |H1| gt 0 |H2| lt 0 hellip |Hn|lt0 (+ - + - hellip)
[Punto del tipo Silla] Se tiene un punto tipo silla sino se satisface los criterios de maacuteximos o miacutenimos y al menos uno de los determinantes es distinto de cero Ejemplo- Determine si la funcioacuten f(xy)= x2 ndash y2 tiene valores criacuteticos en la restriccioacuten x2+y2=1
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)(2
2
2
2)( 00 Xg
g
g
y
x
y
x
f
fXf
y
x
y
x
de aquiacute se obtienen las ecuaciones 2x = 2 λx -2y = 2 λy x2 + y2 =1 Las soluciones de este sistema de ecuaciones son (-101) (101) (0-1-1) y (0-11) El Hessiano liacutemitado es
2202
0222
220
||
y
x
yx
H
El determinante es igual a det|H| = 8x2(1+λ) ndash 8y2(1-λ) ahora evaluando
cada uno de los puntos se tiene que det|H|(-101) = 16 gt 0 det|H|(101) = 16 gt 0 det|H|(0-1-1) = -16 lt 0 det|H|(0-11) = -16 lt 0
De manera tal que la funcioacuten posee dos valores maacuteximos en los puntos (-10) y (10) y por otra parte tiene dos valores miacutenimos en los puntos (0-1) y (0-1) Ejemplo- Determine si la funcioacuten f(xy)= x2+y2 tiene valores criacuteticos en la restriccioacuten x2-y2 le 4 Al iniciar este estudio se trabaja con el interior es decir x2-y2 lt 4 dando como resultado el anaacutelisis de maacuteximos y miacutenimos de una funcioacuten en general de donde el gradiente de f se anula uacutenicamente en el origen siendo este valor un miacutenimo como se habiacutea visto en un ejercicio anterior para la funcioacuten del paraboloide Ahora al trabajar sobre la frontera se usa el criterio de muacuteltiplicadores de Lagrange
)(2
2
2
2)( 00 Xg
g
g
y
x
y
x
f
fXf
y
x
y
x
de aquiacute se obtienen las ecuaciones 2x = 2 λx 2y = -2 λy x2 - y2 = 4
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Las soluciones de este sistema de ecuaciones son (-201) y (201) El Hessiano liacutemitado es
2202
0222
220
||
y
x
yx
H
El determinante es igual a det|H| = -8x2(1+λ) + 8y2(1-λ) ahora
evaluando en cada uno de los puntos se tiene que det|H|(201) = -64 gt 0 y det|H|(-201) = -64 lt 0
De manera tal que la funcioacuten posee dos valores miacutenimos en los puntos (-20) y (20)
Una anaacutelisis de la graacutefica de esta funcioacuten permite visualizar que dichos
puntos no son miacutenimos maacutes bien son puntos tipos silla y no es que el criterio falle sino maacutes bien que los valores son miacutenimos pero sobre el complemento es decir bajo la restriccioacuten x2-y2 ge 4 Ejemplo- Determine los valores criacuteticos de la funcioacuten f(xyz) = 2x+y+3z sujeta a la restriccioacuten x2+y2+z2 le 36 Solucioacuten- Un anaacutelisis de las condiciones iniciales muestra que la graacutefica a maximizar en un hiperplano restringido en su dominio a una esfera de radio 6 de acuerdo a estas condiciones la funcioacuten en su interior no debe tener valor criacuteticos y en la frontera debe tener un valor miacutenimo y un valor maacuteximo En el interior- Al derivar la funcioacuten original se tiene lo siguiente
3
1
2
)( 0
z
y
x
f
f
f
Xf
De aquiacute se observa que la funcioacuten no posee valores criacuteticos en todo su dominio tal y como se esperaba Frontera- Al utilizar las condiciones del los Muacuteltiplicadores de Lagrange se tiene lo siguiente
)(
2
2
2
3
1
2
)( 00 Xg
z
y
x
f
f
f
Xf
z
y
x
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De aquiacute se genera el siguiente sistema de ecuaciones 2 = 2λx 1 = 2λy 3 = 2λz x2+y2+z2=36
Resolviendo el sistema se concluye que 2
1
1yx amp
2
3z Ahora
sustituyendo en la uacuteltima ecuacioacuten se deduce que la funcioacuten posee dos valores criacuteticos que son
18
14
14
1427
14
149
14
1418amp
18
14
14
1427
14
149
14
1418
La funcioacuten auxiliar es H(xyzλ) = 2x+y+3z-λ(x2+y2+z2) donde Hx=2-2λx Hy=1-2λy Hz=3-2λz El Hessiano Liacutemitado es
2002
0202
0022
2220
||
z
y
x
zyx
H
De aquiacute
0
0)(8
202
022
220
|| 22
1si
siyx
y
x
yx
H
0576)(16
2002
0202
0022
2220
|| 22222 zyx
z
y
x
zyx
H
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De aquiacute se desprende que la funcioacuten f(xyz) = 2x+y+3z posee un valor miacutenimo
en el punto 18
14
14
1427
14
149
14
1418 restringido a x2+y2+z2 = 36 y un
maacuteximo en el punto 18
14
14
1427
14
149
14
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Tarea nuacutemero 4 Maacuteximos y Miacutenimos
Objetivo- Que el alumno sea capaz de aprender a resolver problemas asociados a la vida real haciendo uso del caacutelculo de varias variables Aquiacute se enuncian los siguientes ejercicios adicionales dado que muchos de los mismos se fueron exponiendo a lo largo del capiacutetulo y se sugiere que se revisen los problemas resueltos y propuestos en la libros de la bibliografiacutea dado que las aplicaciones son muchas 1- Determine los valores maacuteximos y miacutenimos de la funcioacuten f(xy) = x +y sujeta a la restriccioacuten x2+2y2le18 (Realice un bosquejo de la graacutefica y se restriccioacuten)
2- Determine los valores maacuteximos y miacutenimos de la funcioacuten f(xy) = x2 +y2 sujeta a la restriccioacuten x+2y le 4 (Realice un bosquejo de la graacutefica y se restriccioacuten)
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Bibliografiacutea
1 Caacutelculo Vectorial Marsden amp Tromba Addison-Wesley Iberoamericana
2 Caacutelculo Multivariable James Steward Thomson Editores
3 Caacutelculo con Geometriacutea Anaacutelitica Zill Grupo Editorial Iberoameacuterica
Apuntes de la Materia de Caacutelculo III Facultad de Ciencias Fiacutesico Matemaacuteticas de la UA de C Maestro Manuel Antonio Torres Gomar
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De este modo la funcioacuten a maximizar es
2222222
11 )()1()()001()( yxyxyxyxdyxfd
De aquiacute al las derivadas parciales son
)(4)1(2)( 22
1 yxxxyxfd x y )(42)( 22
1 yxyyyxfd y
Igualando ambas ecuaciones a cero se puede establecer la siguiente
ecuacioacuten
)(4
)(4
2
2222
22
yxy
yxx
y
x (3)
De aquiacute si )00()( yx y 0y se concluye que -1=0 lo cual es una
contradiccioacuten Por otra parte si (xy)=(00) en la primera ecuacioacuten se tiene que 1=0 que es tambieacuten una contradiccioacuten Finalmente si se considera el caso en
que y=0 se obtiene de la siguiente ecuacioacuten 012 3 xx
El polinomio 12)( 3 xxxP tiene una raiacutez entre el cero y el 1 dado
que P(0)=-1 y P(1)=2 Con el anaacutelisis de raiacuteces racionales dos posibles raiacuteces
son 2
1 y como
2
1 estaacute entre cero y uno al usando divisioacuten sinteacutetica se
obtiene que 4
1
2
1P Asiacute que la raiacutez debe de estar en el intervalo 1
2
1
Ahora usando el meacutetodo de Newton con semilla en 2
10x se obtiene
que 6010
6
2
54
1
2
1
)(
)(
0
0
01xf
xfxx
Ahora al evaluar la funcioacuten en dicho punto se tiene que 0320)60(P el
cual es aceptable como raiacutez del polinomio en una sola interaccioacuten De manera tal que el punto criacutetico de la funcioacuten es el (060) El Hessiano asociado es
24128
82412)(
22
22
xyxy
xyyxyxH
Como se puede apreciar el primer elemento de la matriz es positivo independientemente de los valores de x e y Falta evaluar el determinante de H este es igual a
)64)2412)(2412()(det 222222 yxxyyxyxH
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Ahora evaluando en (06 0) se tiene 7421)443)(326()060(det H
Que tambieacuten es positivo de manera tal que se tiene un valor miacutenimo Es
decir la se obtuvo la distancia miacutenima
Maacuteximos y Miacutenimos con restricciones
Los muacuteltiplicadores de Lagrange permite determinar valores maacuteximos o miacutenimos de funciones con restricciones De este tipo de problemas esta lleno nuestro contorno desde el panedero que desea producir la maacutexima cantidad de pan pero con la restriccioacuten del capital que tiene o la posible venta del diacutea para que no tenga sobrantes
Citemos el siguiente ejemplo la graacutefica de paraboloide z = x2+y2 esta
graacutefica soacutelo tiene un valor miacutenimo en el origen sin embargo si esta restringida
al cuadrado unitario 1111 la funcioacuten alcanza cuatro puntos maacuteximos en
los puntos (-11)(-1-1) (1 -1) y (11) a saber dicho valor es 2 Como se observa en la figura
Ahora si se trabaja con la silla de montar con la misma restriccioacuten esta
funcioacuten tiene originalmente un punto silla en el origen pero al analizar las restricciones se contiene dos valores maacuteximos y dos miacutenimos en los puntos (10) (-10) (0-1) y (01)
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Muacuteltiplicadores de Lagrange Teorema- Dadas dos funciones fg Rn a R diferenciables en X0 elemento del dominio de ambas funciones Si Lc es el conjunto de nivel de valor c de la funcioacuten g y si f posee un valor maacuteximo miacutenimo o silla en la restriccioacuten Lc
entonces existe un nuacutemero real λ tal que )()( 00 XgXf
Se puede ver parte de la demostracioacuten de este teorema en el libro de Marsden Tromba Para clasificar los puntos criacuteticos se utiliza el criterio del Hessiano limitado el cuaacutel se define a partir de la funcioacuten auxiliar H(x1 x2 hellip xn) = f(x1 x2 hellip xn) - λ g(x1 x2 hellip xn)
nnnn
n
n
xxxxx
xxxxx
xx
hhg
hhg
gg
H
1
1111
10
||
Ahora defina los siguientes determinantes
22122
21111
210
|| 1
xxxxx
xxxxx
xx
hhg
hhg
gg
H
3323131
3222121
3121111
3210
|| 2
xxxxxxx
xxxxxxx
xxxxxxx
xxx
hhhg
hhhg
hhhg
ggg
H ||det|| HHn
Criterios para maacuteximos y miacutenimos con restricciones (Hessiano liacutemitado) [Miacutenimo Local] Se tiene un miacutenimo local si y soacutelo si todos los determinantes son negativos |H1| lt0 |H2| lt0 hellip |Hn|lt0 ( - - - - - hellip)
[Maacuteximo Local] Se tiene un maximo local si y soacutelo se inicia con un determinante positivo y luego se alternan los signos |H1| gt 0 |H2| lt 0 hellip |Hn|lt0 (+ - + - hellip)
[Punto del tipo Silla] Se tiene un punto tipo silla sino se satisface los criterios de maacuteximos o miacutenimos y al menos uno de los determinantes es distinto de cero Ejemplo- Determine si la funcioacuten f(xy)= x2 ndash y2 tiene valores criacuteticos en la restriccioacuten x2+y2=1
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)(2
2
2
2)( 00 Xg
g
g
y
x
y
x
f
fXf
y
x
y
x
de aquiacute se obtienen las ecuaciones 2x = 2 λx -2y = 2 λy x2 + y2 =1 Las soluciones de este sistema de ecuaciones son (-101) (101) (0-1-1) y (0-11) El Hessiano liacutemitado es
2202
0222
220
||
y
x
yx
H
El determinante es igual a det|H| = 8x2(1+λ) ndash 8y2(1-λ) ahora evaluando
cada uno de los puntos se tiene que det|H|(-101) = 16 gt 0 det|H|(101) = 16 gt 0 det|H|(0-1-1) = -16 lt 0 det|H|(0-11) = -16 lt 0
De manera tal que la funcioacuten posee dos valores maacuteximos en los puntos (-10) y (10) y por otra parte tiene dos valores miacutenimos en los puntos (0-1) y (0-1) Ejemplo- Determine si la funcioacuten f(xy)= x2+y2 tiene valores criacuteticos en la restriccioacuten x2-y2 le 4 Al iniciar este estudio se trabaja con el interior es decir x2-y2 lt 4 dando como resultado el anaacutelisis de maacuteximos y miacutenimos de una funcioacuten en general de donde el gradiente de f se anula uacutenicamente en el origen siendo este valor un miacutenimo como se habiacutea visto en un ejercicio anterior para la funcioacuten del paraboloide Ahora al trabajar sobre la frontera se usa el criterio de muacuteltiplicadores de Lagrange
)(2
2
2
2)( 00 Xg
g
g
y
x
y
x
f
fXf
y
x
y
x
de aquiacute se obtienen las ecuaciones 2x = 2 λx 2y = -2 λy x2 - y2 = 4
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Las soluciones de este sistema de ecuaciones son (-201) y (201) El Hessiano liacutemitado es
2202
0222
220
||
y
x
yx
H
El determinante es igual a det|H| = -8x2(1+λ) + 8y2(1-λ) ahora
evaluando en cada uno de los puntos se tiene que det|H|(201) = -64 gt 0 y det|H|(-201) = -64 lt 0
De manera tal que la funcioacuten posee dos valores miacutenimos en los puntos (-20) y (20)
Una anaacutelisis de la graacutefica de esta funcioacuten permite visualizar que dichos
puntos no son miacutenimos maacutes bien son puntos tipos silla y no es que el criterio falle sino maacutes bien que los valores son miacutenimos pero sobre el complemento es decir bajo la restriccioacuten x2-y2 ge 4 Ejemplo- Determine los valores criacuteticos de la funcioacuten f(xyz) = 2x+y+3z sujeta a la restriccioacuten x2+y2+z2 le 36 Solucioacuten- Un anaacutelisis de las condiciones iniciales muestra que la graacutefica a maximizar en un hiperplano restringido en su dominio a una esfera de radio 6 de acuerdo a estas condiciones la funcioacuten en su interior no debe tener valor criacuteticos y en la frontera debe tener un valor miacutenimo y un valor maacuteximo En el interior- Al derivar la funcioacuten original se tiene lo siguiente
3
1
2
)( 0
z
y
x
f
f
f
Xf
De aquiacute se observa que la funcioacuten no posee valores criacuteticos en todo su dominio tal y como se esperaba Frontera- Al utilizar las condiciones del los Muacuteltiplicadores de Lagrange se tiene lo siguiente
)(
2
2
2
3
1
2
)( 00 Xg
z
y
x
f
f
f
Xf
z
y
x
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De aquiacute se genera el siguiente sistema de ecuaciones 2 = 2λx 1 = 2λy 3 = 2λz x2+y2+z2=36
Resolviendo el sistema se concluye que 2
1
1yx amp
2
3z Ahora
sustituyendo en la uacuteltima ecuacioacuten se deduce que la funcioacuten posee dos valores criacuteticos que son
18
14
14
1427
14
149
14
1418amp
18
14
14
1427
14
149
14
1418
La funcioacuten auxiliar es H(xyzλ) = 2x+y+3z-λ(x2+y2+z2) donde Hx=2-2λx Hy=1-2λy Hz=3-2λz El Hessiano Liacutemitado es
2002
0202
0022
2220
||
z
y
x
zyx
H
De aquiacute
0
0)(8
202
022
220
|| 22
1si
siyx
y
x
yx
H
0576)(16
2002
0202
0022
2220
|| 22222 zyx
z
y
x
zyx
H
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De aquiacute se desprende que la funcioacuten f(xyz) = 2x+y+3z posee un valor miacutenimo
en el punto 18
14
14
1427
14
149
14
1418 restringido a x2+y2+z2 = 36 y un
maacuteximo en el punto 18
14
14
1427
14
149
14
1418
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Tarea nuacutemero 4 Maacuteximos y Miacutenimos
Objetivo- Que el alumno sea capaz de aprender a resolver problemas asociados a la vida real haciendo uso del caacutelculo de varias variables Aquiacute se enuncian los siguientes ejercicios adicionales dado que muchos de los mismos se fueron exponiendo a lo largo del capiacutetulo y se sugiere que se revisen los problemas resueltos y propuestos en la libros de la bibliografiacutea dado que las aplicaciones son muchas 1- Determine los valores maacuteximos y miacutenimos de la funcioacuten f(xy) = x +y sujeta a la restriccioacuten x2+2y2le18 (Realice un bosquejo de la graacutefica y se restriccioacuten)
2- Determine los valores maacuteximos y miacutenimos de la funcioacuten f(xy) = x2 +y2 sujeta a la restriccioacuten x+2y le 4 (Realice un bosquejo de la graacutefica y se restriccioacuten)
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Bibliografiacutea
1 Caacutelculo Vectorial Marsden amp Tromba Addison-Wesley Iberoamericana
2 Caacutelculo Multivariable James Steward Thomson Editores
3 Caacutelculo con Geometriacutea Anaacutelitica Zill Grupo Editorial Iberoameacuterica
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Ahora evaluando en (06 0) se tiene 7421)443)(326()060(det H
Que tambieacuten es positivo de manera tal que se tiene un valor miacutenimo Es
decir la se obtuvo la distancia miacutenima
Maacuteximos y Miacutenimos con restricciones
Los muacuteltiplicadores de Lagrange permite determinar valores maacuteximos o miacutenimos de funciones con restricciones De este tipo de problemas esta lleno nuestro contorno desde el panedero que desea producir la maacutexima cantidad de pan pero con la restriccioacuten del capital que tiene o la posible venta del diacutea para que no tenga sobrantes
Citemos el siguiente ejemplo la graacutefica de paraboloide z = x2+y2 esta
graacutefica soacutelo tiene un valor miacutenimo en el origen sin embargo si esta restringida
al cuadrado unitario 1111 la funcioacuten alcanza cuatro puntos maacuteximos en
los puntos (-11)(-1-1) (1 -1) y (11) a saber dicho valor es 2 Como se observa en la figura
Ahora si se trabaja con la silla de montar con la misma restriccioacuten esta
funcioacuten tiene originalmente un punto silla en el origen pero al analizar las restricciones se contiene dos valores maacuteximos y dos miacutenimos en los puntos (10) (-10) (0-1) y (01)
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Muacuteltiplicadores de Lagrange Teorema- Dadas dos funciones fg Rn a R diferenciables en X0 elemento del dominio de ambas funciones Si Lc es el conjunto de nivel de valor c de la funcioacuten g y si f posee un valor maacuteximo miacutenimo o silla en la restriccioacuten Lc
entonces existe un nuacutemero real λ tal que )()( 00 XgXf
Se puede ver parte de la demostracioacuten de este teorema en el libro de Marsden Tromba Para clasificar los puntos criacuteticos se utiliza el criterio del Hessiano limitado el cuaacutel se define a partir de la funcioacuten auxiliar H(x1 x2 hellip xn) = f(x1 x2 hellip xn) - λ g(x1 x2 hellip xn)
nnnn
n
n
xxxxx
xxxxx
xx
hhg
hhg
gg
H
1
1111
10
||
Ahora defina los siguientes determinantes
22122
21111
210
|| 1
xxxxx
xxxxx
xx
hhg
hhg
gg
H
3323131
3222121
3121111
3210
|| 2
xxxxxxx
xxxxxxx
xxxxxxx
xxx
hhhg
hhhg
hhhg
ggg
H ||det|| HHn
Criterios para maacuteximos y miacutenimos con restricciones (Hessiano liacutemitado) [Miacutenimo Local] Se tiene un miacutenimo local si y soacutelo si todos los determinantes son negativos |H1| lt0 |H2| lt0 hellip |Hn|lt0 ( - - - - - hellip)
[Maacuteximo Local] Se tiene un maximo local si y soacutelo se inicia con un determinante positivo y luego se alternan los signos |H1| gt 0 |H2| lt 0 hellip |Hn|lt0 (+ - + - hellip)
[Punto del tipo Silla] Se tiene un punto tipo silla sino se satisface los criterios de maacuteximos o miacutenimos y al menos uno de los determinantes es distinto de cero Ejemplo- Determine si la funcioacuten f(xy)= x2 ndash y2 tiene valores criacuteticos en la restriccioacuten x2+y2=1
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)(2
2
2
2)( 00 Xg
g
g
y
x
y
x
f
fXf
y
x
y
x
de aquiacute se obtienen las ecuaciones 2x = 2 λx -2y = 2 λy x2 + y2 =1 Las soluciones de este sistema de ecuaciones son (-101) (101) (0-1-1) y (0-11) El Hessiano liacutemitado es
2202
0222
220
||
y
x
yx
H
El determinante es igual a det|H| = 8x2(1+λ) ndash 8y2(1-λ) ahora evaluando
cada uno de los puntos se tiene que det|H|(-101) = 16 gt 0 det|H|(101) = 16 gt 0 det|H|(0-1-1) = -16 lt 0 det|H|(0-11) = -16 lt 0
De manera tal que la funcioacuten posee dos valores maacuteximos en los puntos (-10) y (10) y por otra parte tiene dos valores miacutenimos en los puntos (0-1) y (0-1) Ejemplo- Determine si la funcioacuten f(xy)= x2+y2 tiene valores criacuteticos en la restriccioacuten x2-y2 le 4 Al iniciar este estudio se trabaja con el interior es decir x2-y2 lt 4 dando como resultado el anaacutelisis de maacuteximos y miacutenimos de una funcioacuten en general de donde el gradiente de f se anula uacutenicamente en el origen siendo este valor un miacutenimo como se habiacutea visto en un ejercicio anterior para la funcioacuten del paraboloide Ahora al trabajar sobre la frontera se usa el criterio de muacuteltiplicadores de Lagrange
)(2
2
2
2)( 00 Xg
g
g
y
x
y
x
f
fXf
y
x
y
x
de aquiacute se obtienen las ecuaciones 2x = 2 λx 2y = -2 λy x2 - y2 = 4
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Las soluciones de este sistema de ecuaciones son (-201) y (201) El Hessiano liacutemitado es
2202
0222
220
||
y
x
yx
H
El determinante es igual a det|H| = -8x2(1+λ) + 8y2(1-λ) ahora
evaluando en cada uno de los puntos se tiene que det|H|(201) = -64 gt 0 y det|H|(-201) = -64 lt 0
De manera tal que la funcioacuten posee dos valores miacutenimos en los puntos (-20) y (20)
Una anaacutelisis de la graacutefica de esta funcioacuten permite visualizar que dichos
puntos no son miacutenimos maacutes bien son puntos tipos silla y no es que el criterio falle sino maacutes bien que los valores son miacutenimos pero sobre el complemento es decir bajo la restriccioacuten x2-y2 ge 4 Ejemplo- Determine los valores criacuteticos de la funcioacuten f(xyz) = 2x+y+3z sujeta a la restriccioacuten x2+y2+z2 le 36 Solucioacuten- Un anaacutelisis de las condiciones iniciales muestra que la graacutefica a maximizar en un hiperplano restringido en su dominio a una esfera de radio 6 de acuerdo a estas condiciones la funcioacuten en su interior no debe tener valor criacuteticos y en la frontera debe tener un valor miacutenimo y un valor maacuteximo En el interior- Al derivar la funcioacuten original se tiene lo siguiente
3
1
2
)( 0
z
y
x
f
f
f
Xf
De aquiacute se observa que la funcioacuten no posee valores criacuteticos en todo su dominio tal y como se esperaba Frontera- Al utilizar las condiciones del los Muacuteltiplicadores de Lagrange se tiene lo siguiente
)(
2
2
2
3
1
2
)( 00 Xg
z
y
x
f
f
f
Xf
z
y
x
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De aquiacute se genera el siguiente sistema de ecuaciones 2 = 2λx 1 = 2λy 3 = 2λz x2+y2+z2=36
Resolviendo el sistema se concluye que 2
1
1yx amp
2
3z Ahora
sustituyendo en la uacuteltima ecuacioacuten se deduce que la funcioacuten posee dos valores criacuteticos que son
18
14
14
1427
14
149
14
1418amp
18
14
14
1427
14
149
14
1418
La funcioacuten auxiliar es H(xyzλ) = 2x+y+3z-λ(x2+y2+z2) donde Hx=2-2λx Hy=1-2λy Hz=3-2λz El Hessiano Liacutemitado es
2002
0202
0022
2220
||
z
y
x
zyx
H
De aquiacute
0
0)(8
202
022
220
|| 22
1si
siyx
y
x
yx
H
0576)(16
2002
0202
0022
2220
|| 22222 zyx
z
y
x
zyx
H
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De aquiacute se desprende que la funcioacuten f(xyz) = 2x+y+3z posee un valor miacutenimo
en el punto 18
14
14
1427
14
149
14
1418 restringido a x2+y2+z2 = 36 y un
maacuteximo en el punto 18
14
14
1427
14
149
14
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Tarea nuacutemero 4 Maacuteximos y Miacutenimos
Objetivo- Que el alumno sea capaz de aprender a resolver problemas asociados a la vida real haciendo uso del caacutelculo de varias variables Aquiacute se enuncian los siguientes ejercicios adicionales dado que muchos de los mismos se fueron exponiendo a lo largo del capiacutetulo y se sugiere que se revisen los problemas resueltos y propuestos en la libros de la bibliografiacutea dado que las aplicaciones son muchas 1- Determine los valores maacuteximos y miacutenimos de la funcioacuten f(xy) = x +y sujeta a la restriccioacuten x2+2y2le18 (Realice un bosquejo de la graacutefica y se restriccioacuten)
2- Determine los valores maacuteximos y miacutenimos de la funcioacuten f(xy) = x2 +y2 sujeta a la restriccioacuten x+2y le 4 (Realice un bosquejo de la graacutefica y se restriccioacuten)
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51
Bibliografiacutea
1 Caacutelculo Vectorial Marsden amp Tromba Addison-Wesley Iberoamericana
2 Caacutelculo Multivariable James Steward Thomson Editores
3 Caacutelculo con Geometriacutea Anaacutelitica Zill Grupo Editorial Iberoameacuterica
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45
Muacuteltiplicadores de Lagrange Teorema- Dadas dos funciones fg Rn a R diferenciables en X0 elemento del dominio de ambas funciones Si Lc es el conjunto de nivel de valor c de la funcioacuten g y si f posee un valor maacuteximo miacutenimo o silla en la restriccioacuten Lc
entonces existe un nuacutemero real λ tal que )()( 00 XgXf
Se puede ver parte de la demostracioacuten de este teorema en el libro de Marsden Tromba Para clasificar los puntos criacuteticos se utiliza el criterio del Hessiano limitado el cuaacutel se define a partir de la funcioacuten auxiliar H(x1 x2 hellip xn) = f(x1 x2 hellip xn) - λ g(x1 x2 hellip xn)
nnnn
n
n
xxxxx
xxxxx
xx
hhg
hhg
gg
H
1
1111
10
||
Ahora defina los siguientes determinantes
22122
21111
210
|| 1
xxxxx
xxxxx
xx
hhg
hhg
gg
H
3323131
3222121
3121111
3210
|| 2
xxxxxxx
xxxxxxx
xxxxxxx
xxx
hhhg
hhhg
hhhg
ggg
H ||det|| HHn
Criterios para maacuteximos y miacutenimos con restricciones (Hessiano liacutemitado) [Miacutenimo Local] Se tiene un miacutenimo local si y soacutelo si todos los determinantes son negativos |H1| lt0 |H2| lt0 hellip |Hn|lt0 ( - - - - - hellip)
[Maacuteximo Local] Se tiene un maximo local si y soacutelo se inicia con un determinante positivo y luego se alternan los signos |H1| gt 0 |H2| lt 0 hellip |Hn|lt0 (+ - + - hellip)
[Punto del tipo Silla] Se tiene un punto tipo silla sino se satisface los criterios de maacuteximos o miacutenimos y al menos uno de los determinantes es distinto de cero Ejemplo- Determine si la funcioacuten f(xy)= x2 ndash y2 tiene valores criacuteticos en la restriccioacuten x2+y2=1
Apuntes de la Materia de Caacutelculo III Facultad de Ciencias Fiacutesico Matemaacuteticas de la UA de C Maestro Manuel Antonio Torres Gomar
46
)(2
2
2
2)( 00 Xg
g
g
y
x
y
x
f
fXf
y
x
y
x
de aquiacute se obtienen las ecuaciones 2x = 2 λx -2y = 2 λy x2 + y2 =1 Las soluciones de este sistema de ecuaciones son (-101) (101) (0-1-1) y (0-11) El Hessiano liacutemitado es
2202
0222
220
||
y
x
yx
H
El determinante es igual a det|H| = 8x2(1+λ) ndash 8y2(1-λ) ahora evaluando
cada uno de los puntos se tiene que det|H|(-101) = 16 gt 0 det|H|(101) = 16 gt 0 det|H|(0-1-1) = -16 lt 0 det|H|(0-11) = -16 lt 0
De manera tal que la funcioacuten posee dos valores maacuteximos en los puntos (-10) y (10) y por otra parte tiene dos valores miacutenimos en los puntos (0-1) y (0-1) Ejemplo- Determine si la funcioacuten f(xy)= x2+y2 tiene valores criacuteticos en la restriccioacuten x2-y2 le 4 Al iniciar este estudio se trabaja con el interior es decir x2-y2 lt 4 dando como resultado el anaacutelisis de maacuteximos y miacutenimos de una funcioacuten en general de donde el gradiente de f se anula uacutenicamente en el origen siendo este valor un miacutenimo como se habiacutea visto en un ejercicio anterior para la funcioacuten del paraboloide Ahora al trabajar sobre la frontera se usa el criterio de muacuteltiplicadores de Lagrange
)(2
2
2
2)( 00 Xg
g
g
y
x
y
x
f
fXf
y
x
y
x
de aquiacute se obtienen las ecuaciones 2x = 2 λx 2y = -2 λy x2 - y2 = 4
Apuntes de la Materia de Caacutelculo III Facultad de Ciencias Fiacutesico Matemaacuteticas de la UA de C Maestro Manuel Antonio Torres Gomar
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Las soluciones de este sistema de ecuaciones son (-201) y (201) El Hessiano liacutemitado es
2202
0222
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||
y
x
yx
H
El determinante es igual a det|H| = -8x2(1+λ) + 8y2(1-λ) ahora
evaluando en cada uno de los puntos se tiene que det|H|(201) = -64 gt 0 y det|H|(-201) = -64 lt 0
De manera tal que la funcioacuten posee dos valores miacutenimos en los puntos (-20) y (20)
Una anaacutelisis de la graacutefica de esta funcioacuten permite visualizar que dichos
puntos no son miacutenimos maacutes bien son puntos tipos silla y no es que el criterio falle sino maacutes bien que los valores son miacutenimos pero sobre el complemento es decir bajo la restriccioacuten x2-y2 ge 4 Ejemplo- Determine los valores criacuteticos de la funcioacuten f(xyz) = 2x+y+3z sujeta a la restriccioacuten x2+y2+z2 le 36 Solucioacuten- Un anaacutelisis de las condiciones iniciales muestra que la graacutefica a maximizar en un hiperplano restringido en su dominio a una esfera de radio 6 de acuerdo a estas condiciones la funcioacuten en su interior no debe tener valor criacuteticos y en la frontera debe tener un valor miacutenimo y un valor maacuteximo En el interior- Al derivar la funcioacuten original se tiene lo siguiente
3
1
2
)( 0
z
y
x
f
f
f
Xf
De aquiacute se observa que la funcioacuten no posee valores criacuteticos en todo su dominio tal y como se esperaba Frontera- Al utilizar las condiciones del los Muacuteltiplicadores de Lagrange se tiene lo siguiente
)(
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De aquiacute se genera el siguiente sistema de ecuaciones 2 = 2λx 1 = 2λy 3 = 2λz x2+y2+z2=36
Resolviendo el sistema se concluye que 2
1
1yx amp
2
3z Ahora
sustituyendo en la uacuteltima ecuacioacuten se deduce que la funcioacuten posee dos valores criacuteticos que son
18
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La funcioacuten auxiliar es H(xyzλ) = 2x+y+3z-λ(x2+y2+z2) donde Hx=2-2λx Hy=1-2λy Hz=3-2λz El Hessiano Liacutemitado es
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De aquiacute
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De aquiacute se desprende que la funcioacuten f(xyz) = 2x+y+3z posee un valor miacutenimo
en el punto 18
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Tarea nuacutemero 4 Maacuteximos y Miacutenimos
Objetivo- Que el alumno sea capaz de aprender a resolver problemas asociados a la vida real haciendo uso del caacutelculo de varias variables Aquiacute se enuncian los siguientes ejercicios adicionales dado que muchos de los mismos se fueron exponiendo a lo largo del capiacutetulo y se sugiere que se revisen los problemas resueltos y propuestos en la libros de la bibliografiacutea dado que las aplicaciones son muchas 1- Determine los valores maacuteximos y miacutenimos de la funcioacuten f(xy) = x +y sujeta a la restriccioacuten x2+2y2le18 (Realice un bosquejo de la graacutefica y se restriccioacuten)
2- Determine los valores maacuteximos y miacutenimos de la funcioacuten f(xy) = x2 +y2 sujeta a la restriccioacuten x+2y le 4 (Realice un bosquejo de la graacutefica y se restriccioacuten)
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51
Bibliografiacutea
1 Caacutelculo Vectorial Marsden amp Tromba Addison-Wesley Iberoamericana
2 Caacutelculo Multivariable James Steward Thomson Editores
3 Caacutelculo con Geometriacutea Anaacutelitica Zill Grupo Editorial Iberoameacuterica
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de aquiacute se obtienen las ecuaciones 2x = 2 λx -2y = 2 λy x2 + y2 =1 Las soluciones de este sistema de ecuaciones son (-101) (101) (0-1-1) y (0-11) El Hessiano liacutemitado es
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El determinante es igual a det|H| = 8x2(1+λ) ndash 8y2(1-λ) ahora evaluando
cada uno de los puntos se tiene que det|H|(-101) = 16 gt 0 det|H|(101) = 16 gt 0 det|H|(0-1-1) = -16 lt 0 det|H|(0-11) = -16 lt 0
De manera tal que la funcioacuten posee dos valores maacuteximos en los puntos (-10) y (10) y por otra parte tiene dos valores miacutenimos en los puntos (0-1) y (0-1) Ejemplo- Determine si la funcioacuten f(xy)= x2+y2 tiene valores criacuteticos en la restriccioacuten x2-y2 le 4 Al iniciar este estudio se trabaja con el interior es decir x2-y2 lt 4 dando como resultado el anaacutelisis de maacuteximos y miacutenimos de una funcioacuten en general de donde el gradiente de f se anula uacutenicamente en el origen siendo este valor un miacutenimo como se habiacutea visto en un ejercicio anterior para la funcioacuten del paraboloide Ahora al trabajar sobre la frontera se usa el criterio de muacuteltiplicadores de Lagrange
)(2
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g
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y
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de aquiacute se obtienen las ecuaciones 2x = 2 λx 2y = -2 λy x2 - y2 = 4
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Las soluciones de este sistema de ecuaciones son (-201) y (201) El Hessiano liacutemitado es
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El determinante es igual a det|H| = -8x2(1+λ) + 8y2(1-λ) ahora
evaluando en cada uno de los puntos se tiene que det|H|(201) = -64 gt 0 y det|H|(-201) = -64 lt 0
De manera tal que la funcioacuten posee dos valores miacutenimos en los puntos (-20) y (20)
Una anaacutelisis de la graacutefica de esta funcioacuten permite visualizar que dichos
puntos no son miacutenimos maacutes bien son puntos tipos silla y no es que el criterio falle sino maacutes bien que los valores son miacutenimos pero sobre el complemento es decir bajo la restriccioacuten x2-y2 ge 4 Ejemplo- Determine los valores criacuteticos de la funcioacuten f(xyz) = 2x+y+3z sujeta a la restriccioacuten x2+y2+z2 le 36 Solucioacuten- Un anaacutelisis de las condiciones iniciales muestra que la graacutefica a maximizar en un hiperplano restringido en su dominio a una esfera de radio 6 de acuerdo a estas condiciones la funcioacuten en su interior no debe tener valor criacuteticos y en la frontera debe tener un valor miacutenimo y un valor maacuteximo En el interior- Al derivar la funcioacuten original se tiene lo siguiente
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De aquiacute se observa que la funcioacuten no posee valores criacuteticos en todo su dominio tal y como se esperaba Frontera- Al utilizar las condiciones del los Muacuteltiplicadores de Lagrange se tiene lo siguiente
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De aquiacute se genera el siguiente sistema de ecuaciones 2 = 2λx 1 = 2λy 3 = 2λz x2+y2+z2=36
Resolviendo el sistema se concluye que 2
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sustituyendo en la uacuteltima ecuacioacuten se deduce que la funcioacuten posee dos valores criacuteticos que son
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La funcioacuten auxiliar es H(xyzλ) = 2x+y+3z-λ(x2+y2+z2) donde Hx=2-2λx Hy=1-2λy Hz=3-2λz El Hessiano Liacutemitado es
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Tarea nuacutemero 4 Maacuteximos y Miacutenimos
Objetivo- Que el alumno sea capaz de aprender a resolver problemas asociados a la vida real haciendo uso del caacutelculo de varias variables Aquiacute se enuncian los siguientes ejercicios adicionales dado que muchos de los mismos se fueron exponiendo a lo largo del capiacutetulo y se sugiere que se revisen los problemas resueltos y propuestos en la libros de la bibliografiacutea dado que las aplicaciones son muchas 1- Determine los valores maacuteximos y miacutenimos de la funcioacuten f(xy) = x +y sujeta a la restriccioacuten x2+2y2le18 (Realice un bosquejo de la graacutefica y se restriccioacuten)
2- Determine los valores maacuteximos y miacutenimos de la funcioacuten f(xy) = x2 +y2 sujeta a la restriccioacuten x+2y le 4 (Realice un bosquejo de la graacutefica y se restriccioacuten)
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51
Bibliografiacutea
1 Caacutelculo Vectorial Marsden amp Tromba Addison-Wesley Iberoamericana
2 Caacutelculo Multivariable James Steward Thomson Editores
3 Caacutelculo con Geometriacutea Anaacutelitica Zill Grupo Editorial Iberoameacuterica
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47
Las soluciones de este sistema de ecuaciones son (-201) y (201) El Hessiano liacutemitado es
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El determinante es igual a det|H| = -8x2(1+λ) + 8y2(1-λ) ahora
evaluando en cada uno de los puntos se tiene que det|H|(201) = -64 gt 0 y det|H|(-201) = -64 lt 0
De manera tal que la funcioacuten posee dos valores miacutenimos en los puntos (-20) y (20)
Una anaacutelisis de la graacutefica de esta funcioacuten permite visualizar que dichos
puntos no son miacutenimos maacutes bien son puntos tipos silla y no es que el criterio falle sino maacutes bien que los valores son miacutenimos pero sobre el complemento es decir bajo la restriccioacuten x2-y2 ge 4 Ejemplo- Determine los valores criacuteticos de la funcioacuten f(xyz) = 2x+y+3z sujeta a la restriccioacuten x2+y2+z2 le 36 Solucioacuten- Un anaacutelisis de las condiciones iniciales muestra que la graacutefica a maximizar en un hiperplano restringido en su dominio a una esfera de radio 6 de acuerdo a estas condiciones la funcioacuten en su interior no debe tener valor criacuteticos y en la frontera debe tener un valor miacutenimo y un valor maacuteximo En el interior- Al derivar la funcioacuten original se tiene lo siguiente
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De aquiacute se observa que la funcioacuten no posee valores criacuteticos en todo su dominio tal y como se esperaba Frontera- Al utilizar las condiciones del los Muacuteltiplicadores de Lagrange se tiene lo siguiente
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De aquiacute se genera el siguiente sistema de ecuaciones 2 = 2λx 1 = 2λy 3 = 2λz x2+y2+z2=36
Resolviendo el sistema se concluye que 2
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1yx amp
2
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sustituyendo en la uacuteltima ecuacioacuten se deduce que la funcioacuten posee dos valores criacuteticos que son
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La funcioacuten auxiliar es H(xyzλ) = 2x+y+3z-λ(x2+y2+z2) donde Hx=2-2λx Hy=1-2λy Hz=3-2λz El Hessiano Liacutemitado es
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maacuteximo en el punto 18
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Tarea nuacutemero 4 Maacuteximos y Miacutenimos
Objetivo- Que el alumno sea capaz de aprender a resolver problemas asociados a la vida real haciendo uso del caacutelculo de varias variables Aquiacute se enuncian los siguientes ejercicios adicionales dado que muchos de los mismos se fueron exponiendo a lo largo del capiacutetulo y se sugiere que se revisen los problemas resueltos y propuestos en la libros de la bibliografiacutea dado que las aplicaciones son muchas 1- Determine los valores maacuteximos y miacutenimos de la funcioacuten f(xy) = x +y sujeta a la restriccioacuten x2+2y2le18 (Realice un bosquejo de la graacutefica y se restriccioacuten)
2- Determine los valores maacuteximos y miacutenimos de la funcioacuten f(xy) = x2 +y2 sujeta a la restriccioacuten x+2y le 4 (Realice un bosquejo de la graacutefica y se restriccioacuten)
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2 Caacutelculo Multivariable James Steward Thomson Editores
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De aquiacute se genera el siguiente sistema de ecuaciones 2 = 2λx 1 = 2λy 3 = 2λz x2+y2+z2=36
Resolviendo el sistema se concluye que 2
1
1yx amp
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sustituyendo en la uacuteltima ecuacioacuten se deduce que la funcioacuten posee dos valores criacuteticos que son
18
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La funcioacuten auxiliar es H(xyzλ) = 2x+y+3z-λ(x2+y2+z2) donde Hx=2-2λx Hy=1-2λy Hz=3-2λz El Hessiano Liacutemitado es
2002
0202
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Tarea nuacutemero 4 Maacuteximos y Miacutenimos
Objetivo- Que el alumno sea capaz de aprender a resolver problemas asociados a la vida real haciendo uso del caacutelculo de varias variables Aquiacute se enuncian los siguientes ejercicios adicionales dado que muchos de los mismos se fueron exponiendo a lo largo del capiacutetulo y se sugiere que se revisen los problemas resueltos y propuestos en la libros de la bibliografiacutea dado que las aplicaciones son muchas 1- Determine los valores maacuteximos y miacutenimos de la funcioacuten f(xy) = x +y sujeta a la restriccioacuten x2+2y2le18 (Realice un bosquejo de la graacutefica y se restriccioacuten)
2- Determine los valores maacuteximos y miacutenimos de la funcioacuten f(xy) = x2 +y2 sujeta a la restriccioacuten x+2y le 4 (Realice un bosquejo de la graacutefica y se restriccioacuten)
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Bibliografiacutea
1 Caacutelculo Vectorial Marsden amp Tromba Addison-Wesley Iberoamericana
2 Caacutelculo Multivariable James Steward Thomson Editores
3 Caacutelculo con Geometriacutea Anaacutelitica Zill Grupo Editorial Iberoameacuterica
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maacuteximo en el punto 18
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Tarea nuacutemero 4 Maacuteximos y Miacutenimos
Objetivo- Que el alumno sea capaz de aprender a resolver problemas asociados a la vida real haciendo uso del caacutelculo de varias variables Aquiacute se enuncian los siguientes ejercicios adicionales dado que muchos de los mismos se fueron exponiendo a lo largo del capiacutetulo y se sugiere que se revisen los problemas resueltos y propuestos en la libros de la bibliografiacutea dado que las aplicaciones son muchas 1- Determine los valores maacuteximos y miacutenimos de la funcioacuten f(xy) = x +y sujeta a la restriccioacuten x2+2y2le18 (Realice un bosquejo de la graacutefica y se restriccioacuten)
2- Determine los valores maacuteximos y miacutenimos de la funcioacuten f(xy) = x2 +y2 sujeta a la restriccioacuten x+2y le 4 (Realice un bosquejo de la graacutefica y se restriccioacuten)
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2 Caacutelculo Multivariable James Steward Thomson Editores
3 Caacutelculo con Geometriacutea Anaacutelitica Zill Grupo Editorial Iberoameacuterica
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Tarea nuacutemero 4 Maacuteximos y Miacutenimos
Objetivo- Que el alumno sea capaz de aprender a resolver problemas asociados a la vida real haciendo uso del caacutelculo de varias variables Aquiacute se enuncian los siguientes ejercicios adicionales dado que muchos de los mismos se fueron exponiendo a lo largo del capiacutetulo y se sugiere que se revisen los problemas resueltos y propuestos en la libros de la bibliografiacutea dado que las aplicaciones son muchas 1- Determine los valores maacuteximos y miacutenimos de la funcioacuten f(xy) = x +y sujeta a la restriccioacuten x2+2y2le18 (Realice un bosquejo de la graacutefica y se restriccioacuten)
2- Determine los valores maacuteximos y miacutenimos de la funcioacuten f(xy) = x2 +y2 sujeta a la restriccioacuten x+2y le 4 (Realice un bosquejo de la graacutefica y se restriccioacuten)
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1 Caacutelculo Vectorial Marsden amp Tromba Addison-Wesley Iberoamericana
2 Caacutelculo Multivariable James Steward Thomson Editores
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1 Caacutelculo Vectorial Marsden amp Tromba Addison-Wesley Iberoamericana
2 Caacutelculo Multivariable James Steward Thomson Editores
3 Caacutelculo con Geometriacutea Anaacutelitica Zill Grupo Editorial Iberoameacuterica