OPERADORES MATEMÁTICOS

1. Si: m#n=3n-5m,

Halle: (2#3)#(4#6)

A) 0 B) -1 C) 1 D) 11 E) -11

RESOLUCIÓN2#3=3(3) -5(2)=-14#6=3(6)-5(4)=-2(-1)#(-2)=3(-2)-5(-1)=-1

RPTA.: B

2. Si: p * q (p q) / ,= − 2 cuando p>q;p * q (q p) / ,= − 3 cuando p<q;Halle: (11*7) * (5*8)

A) 0,5 B) 1 C) -1,5 D) 1,5 E) 3

RESOLUCIÓN

11-711 7=2

∗ = 2

8-5=3

∗ =5 8 1

2-1= ,2

∗ = =12 1 0 5

2RPTA.:A

3. Si: a b=3a+2b+1,∗2 a#b=a ab b , − + 2

Halle: “n” en: #n n= ∗4 2

A) -3 B) 3 C) 6 D) 9 E) 4

RESOLUCIÓN4#n=2 * n

n n ( ) n− + = + +2 24 4 3 2 2 1

n n− + =2 6 9 0n -3n -3

n=3RPTA.: B

4. En la tabla:

Reducir:( )( )

( )a b c a

Ea b c∗ ∗ ∗

=∗ ∗

A) a B) 0 C) b D) c E) 1

RESOLUCIÓN

( )a b c aE

a (b c) ∗ ∗ ∗ =

∗ ∗

( )b c a cEa c c∗ ∗

= = =∗

1

RPTA.: E

5. Si na & n aa , n− =1 0 5

Halle: ( )E & 27 &16= 81

A) 16 B) 32 C) 25 D) 81 E) 12,5

RESOLUCIÓN

( )E & 27 &16= 81

( )4 3& 27=3 & 3 = =3181 4 32

2

( )5 4&16=2 & 2 ,= =2132 5 12 5

2RPTA.: E

6. En la tabla

∗ a

a a

a

a

b c

b

b b

c

cc c c

∗ 0 1 2 3

0 0 1 2 3

11 3 0 2

2

3

2

3

0

2

3

1

1

0

Hallar “n” en: ( ) ( ) ( )n∗ ∗ ∗ = ∗ ∗3 2 0 3 3 0

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

RESOLUCIÓN

( ) ( ) ( )n∗ ∗ ∗ = ∗ ∗3 2 0 3 3 0

( )n∗ ∗ =3 2 0

n∗ =3 1 n = 2

RPTA.: C

7. Si: m n m n∗ = −2 2

( )a b a b∇ = − 2

( ) 1p#q=(p+q) p-q −

Halle:

( ) ( )E#

− −

− − − −

∗=∇

1 1

1 1 1 1

2 3

2 3 2 3

A) 1 B) 0 C) 6 D) 1/6 E) 2

RESOLUCIÓN

E#

∗=

∇

1 12 3

1 1 1 12 3 2 3

E

− = = + − −

2 2

2

1 12 3

11 1

1 1 2 31 12 32 3

RPTA.: A

8. Si: x= −2 1

= x(x+2)

Halle: E=3 -2

A) 0 B) -1 C) 1 D) 2 E) -2

RESOLUCIÓN

= -1=x(x+2) =x + 1

= 4 + 1 = 5

= 6 + 1 = 7

∴ E = 3(5) – 2 (7) =1RPTA.: C

9. Si: =2x-6

=4x+4

Halle: E= -5

A) -2 B) 2 C) 1 D) 0 E) 4

RESOLUCIÓN

= 2 -6 = 4x + 4

=2x + 5

= =2 (6)+5 =17

= =2 (-1)+5=3

E ( )⇒ = − =17 5 3 2RPTA.: B

10. Si: =a(a 1)

2−

Halle: x en:

=21

A) 0,25 B) 0,5 C)1 D) 2 E) 4RESOLUCIÓNDe “afuera hacia adentro”:

( )a aa

+= ⇒ =

121 6

2 =6

×

×

4 6

x

8 1

a

2x+1

x + 2

× X2

X

4

6

X+2

X+2

8 6+2

1 -1+2

2x+1

x + 2

( )a aa

+= ⇒ =

16 3

2

=3

( )a aa

+= ⇒ =

13 2

2

x x ,+ = ⇒ = =12 1 2 0 5

2RPTA.: B

11. Si: = ( )n + +21 4

=4a

Halle: x=50#65

A) 30 B) 20 C) 14 D) 13 E) 15

RESOLUCIÓN

= ( )a#b a − + = 2

1 4 4

a # b = 4a 4 1− +

⇒ ( )x 50#65 4 50 4 1 15= = − + =RPTA.: E

12. 3 2a@b a b= −

Halle: ( ) ( )E 4@27 6 2@512=

A) 53 B) 45 C) 41 D) 14 E) 22

RESOLUCIÓN@27= 16@3 = − =3 24 16 3 7

3@512= 72@8 = − =26 2 72 8 8

⇒ 3E @8= 49@2= = − =27 49 2 45

RPTA.: B

13. Si: ( ) ( )f(n) n / n= + −1 1

Halle: E f(...f(f(f(n)))...)= 1 4 44 2 4 4 43

678 operadores

A) n B) 2nC) n2 D) ( )(n ) / n+ −1 1

E) ( )(n ) / n− +1 1

RESOLUCIÓNDe adentro hacia afuera:

1º Op→ (n)nfn

+=−11

2º Op→ (n)

nnnf(f ) n

nn

+ +−= = =+ −−

11 21

1 211

3º Op →f(f(f(n))) = f(n) = n 1n 1

+−

M

678 Op; como es par → E=n RPTA.: A

14. Si:

( )2 2a#b 2 b #a ab= −

Halle: / #x =

1 43 2

6

A) 1 B) 2 C) 3 D) 2 E) 0

RESOLUCIÓN

( )a#b a#b ba ab = − − 2 22 2

( )a#b a#b ba ab= − −2 24 2

( )a#b ab a#b ab= ⇒ =2 23 3

( )# #=2

4 3 2 3 2

de “x”: # = × =4 3 2 3 2 6

⇒ x = =61

6RPTA.: A

15. Si:

=x +3 1

n

a#b

x

2x+1

a#b

=x x+2 3

Halle el máximo valor de “n” en:

=-7

A) 0 B) 4 C) 2 D) -1 E) 20

RESOLUCIÓN =n n+2 3

= ( )n n+ + = −32 3 1 7

( )n n+ = −32 3 8

n n+ = −2 3 2 n n+ + =2 3 2 0 n +2 ⇒ n= -2

n +1 ⇒ n=-1→ máximo valor: n = −1

RPTA.: D

16. Si: =2(x-16)

=8x

Halle: E= -2

A)-4 B) 4 C) 0D)-2 E) 2

RESOLUCIÓN

= x x + − = 2 3 16 8

x x+ = +3 4 16

( )= + = + =4 1 3 4 1 16 20

( )= − + = − + =2 1 3 4 1 16 12

⇒ ( )E = − = −20 2 12 4RPTA.: A

17. Sabiendo que:

( )A@ B+1 A B= −2 3

Halle: “x”

Si: 5@x=x@(3@1)

A)32

5B)

19

5C)

28

5

D) 373

E) 12

RESOLUCIÓNDándole forma al problema:

( ) ( )@ x-1 x@ 3@ 0+1 + = 5 1

( ) ( ) ( ) ( )x x@ − − = − 2 5 3 1 2 3 3 0

x x@6− =13 3

( )x x@ 5+1− =13 3

( )x x− = −13 3 2 3 5

x x= → = 2828 5

5RPTA.: C

18. Si: ( ) ( )x 1 xF F 3x 2+ = + −

( )0F 1;= Halle ( )F 2

A) 2 B) 1 C) 0D) -1 E) 4

RESOLUCIÓN

( ) ( ) ( )F F F ( )+= = + −2 1 1 1 3 1 2

( ) ( ) ( )F F F .......(I)+= = +2 1 1 1 1

( ) ( ) ( )F F F ( )+= = + −1 0 1 0 3 0 2

( ) ( ) ( )F F F+= = −1 0 1 0 2

Cómo ( ) ( )F F= → = −0 11 1

Reemplazando en (I):

( )F = − + =2 1 1 0

RPTA.: C

19. Si se define:A&B= ( )AB A +2 2 Además: A=x+3 y B=x+kHalle:K>0, si el término independiente de A&B es 60.

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

RESOLUCIÓN

( ) ( ) ( )A& B= x+3 x+k x + + 2

3 2

( ) ( ) ( )2 2A& B= x+3 x +2kx+k x + 5

( ) ( )A& B= x x x kx k+ + + +2 2 28 15 2

k =215 60 k = 2

RPTA.: B20. Sabiendo que:

x

x

4 2

x

x + 3

n

n

x + 3

Halle: ( ) ( )∗ ∗ ∗6 7 3 5

A) 15 B) 17 C) 18D) 20 E) 16

RESOLUCIÓNDe tablas se obtiene:

( )1 2 2 1 2 1∗ = = + −

( )2 3 4 2 3 1∗ = = + −

( )4 3 6 4 3 1∗ = = + −

⇒ ( )6 7 6 7 1 12∗ = + − =

( )3 5 3 5 1 7∗ = + − =

∴ ( )12 7 12 7 1 18∗ = + − =RPTA.: C

21. Si ( )x x x ; x R∆ + = ∈2 3

Calcule: ( )∆ −1

A) -1 B) 0 C) 1

D)12

E)-12

RESOLUCIÓN

( )x x x∆ + =2 3 y ( ) ?∆ − =1

Igualamos los argumentos:x x+ = −2 1

( )x x + = −1 1

Multiplicando ambos miembros por ( )x − 1 :

( ) ( ) ( )x x x x+ − = − −1 1 1 1

( ) ( )x x x− = − −2 1 1

x x x− = − +3 1⇒ x =3 1

RPTA.: C

22. Se define en { }A= a,b,c,d , la siguiente operación:

Halle: ( )E d a b−−− − = ∗ ∗

111 1

A) a B) b C) cD) d E) e

RESOLUCIÓN* Cálculo del elemento neutro (e):

de la tabla: e=a

* Cálculo de elemento inverso ( )a−1 ; para cada letraa a− =1 c c− =1

b d− =1 d b− =1

→ ( )E d a d−− = ∗ ∗ 11

( )E d d b d− −− = ∗ = ∗ 1 11

E a a−= =1

RPTA.: A

23. Se define en { }A= a,b,c la siguiente operación:

¿Cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas?I. Si: (b*x) (b*c)=(c*a)*b

→ x = aII. Se cumple la propiedad de

clausura

∗ 1 2 3 4

1 1 2 3 4

22 3 4 5

3

4

3

4

4

5

5

6

6

7

∗ a b c d

a a b c d

bb c d ac

d

c

d

d

a

a

b

b

c

∗ a b c

a b c a

cb a bac b c

∗ a b c d

a a b c d

bb c d a

c

d

c

d

d

a

a

b

b

c

e

III. Se cumple la propiedad conmutativa

IV. El elemento neutro es “b”V. a−1 = b

A) I, II, IV B) II, III, IVC) II, III, V D) II, IV, VE) Todas

RESOLUCIÓNI. ( ) ( ) ( )b x b c c a b∗ ∗ ∗ = ∗ ∗

( )b x b a b∗ ∗ = ∗

( )b x b c∗ ∗ =b x a∗ =

x b= → FII. Sí se cumple la propiedad de clausura. → VIII. Sí se cumple la propiedad asociativa → VIV. El elemento neutro es “C” → FV. a b− =1 → V

RPTA.:C

24. Se define: a b a b∗ = + − 4Calcule: ( )− − −∗ ∗1 1 13 2 4

a−1es el elemento inverso de a

A) 4 B) 5 C) 6D) 7 E) 8

RESOLUCIÓN* Cálculo del elemento neutro “e”:

a ∗e=aa +e - 4 = a

e = 4* Cálculo del elemento inverso "a "−1 :

a a e−∗ =1

a a−+ − =1 4 4a a− = −1 8

− = − =13 8 3 5− = − =12 8 2 6− = − =14 8 4 4

⇒ ( ) ( )− − −∗ ∗ = ∗ ∗1 1 13 2 4 5 6 4

( ) ( )− − −∗ ∗ = + − ∗1 1 13 2 4 5 6 4 4

( )− − −∗ ∗ = ∗ = + − =1 1 13 2 4 7 4 7 4 4 7

RPTA.: D

25. Si: ( ) ( ) ( )P x / y P x P y= −

Calcule: ( )

( )

P

P4

2

A) 1 B) 2 C) 3

D) 4 E)12

RESOLUCIÓN

( )

( )

( )P P

P P

=4 4

2 4

2

( )

( )

( )

( ) ( )

P P

P P P=

−4 4

2 4 2

Invirtiendo:

( )

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

P P P P

P P P

−= = −2 4 2 2

4 4 4

1

( )

( )

P

P

=

2

4

2 1

⇒ ( )

( )

P

P=4

2

2

RPTA.: B

26. Se define:

( )a b a a b ;∗ = ∗ a b∗ > 0

Calcule: ∗16 2

A)2 B)4 C) 6 D) 8 E)2 2

RESOLUCIÓN

( )a b a b a∗ = ∗ ; ( )b a b a b∗ = ∗

( )a b a b a b ∗ = ∗

( ) ( )a b a b a b ∗ = ∗ 2

( ) ( )a b a b a b ∗ = ∗ 4 2

( )a b a b∗ =3 2

a b a b∗ = 3 2

⇒ x∗ = =3 216 2 16 2 8RPTA.: D

27. Si: x n; x Z; = ∀ ε n x n≤ < + 1

Halle: ( )F −3 en:

( )a , , ,

F aa , ,

+ + − + − = + − − −

2 3 2 2 8 8 01

0 95 3 4 1

A)-1 B) -2 C) +1 D) 0 E)Ind.

RESOLUCIÓN

De la definición, tenemos:

3,2 3 ; 3 3,2 4= ≤ <¬©« ®2,8 3 ; 3 2,8 2− = − − ≤ − < −¬©« ®8,01 9 ; 9 8,1 8− = − − ≤ − < −¬©« ®

0,95 0 ; 0 0,95 1= ≤ <¬©« ®3,4 4 ; 4 3,4 3− = − − ≤ − < −¬©« ®

⇒ ( )a

aFa

+ − −=+ + −

2 3 3 9

0 4 1

( )a

aFa

−=+

2 9

3

∴ ( )( )

F Ind−

− −= = =

− +

2

3

3 9 0

3 3 0RPTA.: E

28. = k −2 1

= k (k+2)

Halle:

+

A) 5 B) 7 C) 3D) 2 E) 4

RESOLUCIÓN

= - 1 = k (k + 2)

= ( )k k k+ + + = + 22 2 4 1 1

= k + 1

= 2 + 1 = 3

= − =21 1 0

= = 0 + 1 = 1

⇒ + =3 + 1 = 4

RPTA.: E

29. Si: = 3 x + 2

= 4 + 3

Calcule:

A) 3 B) -1 C) 0 D) 2 E) 1

RESOLUCIÓN

= 4 m+1 +3

Dándole la forma de la 1º operación

= ( )4 m 2 1 3+ − +

( ) ( )3 2 2 4 3 m 2 2 3 + + = + + +

3 +8 =4 3m+8 + 3

= 4m + 9

⇒ = ( )− + =4 2 9 1

∴ ( ) nE = =1 1 RPTA.: E

K

k

2 1

x-1

m +1 m+1

( ) 20E 2= −8

K

2

K

2

K

2

1

0

2 1

m +1

m( )+ −2 1

m

m

-2

m

K

1

30. Si: =x-x+x-x+……………..∞

Calcule el valor de:

A) Ind B) 2−8 C) 2−19

D) 202− E) 2−21

RESOLUCIÓNx x x x x ...= − − + − + ∞ x= −x2

=

1º Op. 22 1 2º2

= = =

2º Op. 1 11 22

−= =

3º Op. 22

11 12 22 2 2

−= = =

4º Op. 23

2 3

11 12 22 2 2

−= = =

M

21Op. 202−

RPTA.: D

×

2

21 operadores

×× ××