Integrantes: Tatiana Balcazar & Angie CamachoAREA BAJO UNA
CURVA
Para poder hablar del rea bajo la curva, primero veamos que es
rea; el rea es la cantidad de superficie de una figura plana, es
decir el tamao de la regin interna de la figura, existen diferentes
formas de hallar el rea de una figura plana, ya que cada una tiene
una frmula establecida, sin embrago cuando el rea que queremos
hallar es irregular no existe una forma definida para
determinarla.En Grecia utilizaron el mtodo de exhaucin que es el
mtodo de aproximacin a un resultado, consiste en dividir el rea en
partes iguales los cuales llamaremos sobre estas partes creamos
rectngulos, los cuales pueden ser inscritos (dentro o bajo la
curva) o circunscritos (fuera o encima de la curva), la distancia
recorrida por un objeto se puede calcular aproximadamente por medio
de sumas o bien exactamente como el lmite de una suma
Circunscritos f(b)
Inscritos f(a)
Figura 1 Si tomamos rectngulos inscritos obtenemos el rea por
defecto, aproximando el rea real mediante el valor del rectngulo de
altura f(a) y la base dada por (b-a) Los inscritos los
identificaremos como A- (rea menor) y al tomar los rectngulos
circunscritos hallamos el rea por exceso A+ (rea mayor) que tambin
hallamos de la misma forma que los inscritos pero tomando la altura
f(b). Comparndolas con el rea real bajo la curva tenemos que el rea
por defecto es menor o igual al rea real y el rea por exceso es
menor o igual que el rea real.Podemos mejorar la aproximacin del
rea real tomando cada vez rectngulos con valores ms pequeos dentro
del rea, sin embargo cuando tenemos un nmero de rectngulos que
tienden a infinito tiende a igualarse a 0, de esta manera
hallaremos el rea real bajo la curva y la identificamos por la
integral definida:
Figura 2
Cuando las dos reas se igualan se vuelve rea real (A- = AR =
A+). La integral definida de dx desde a hasta b.Existen dos mtodos
para calcular el rea bajo la curva, la suma de Riemann que es un
teorema ms largo y el teorema fundamental del calculo que es ms
abreviado, independientemente del mtodo que utilicemos debemos
llegar al mismo resultado. SUMA DE RIEMANNPara dar el valor de la
integral definida utilizaremos la suma de Riemann que consiste,
como lo habamos explicado anteriormente en trazar varios rectngulos
dentro de un rea irregular y luego sumarlos. Estas sumas toman el
nombre del matemtico Alemn Riemann
En esta ecuacin identificamos a que equivale al smbolo sigma de
sumatorio, en la parte superior se encuentra el nmero de trminos n
y en la parte inferior encontramos el ndice de la suma. es la
funcin en donde hallamos los intervalos a y b, para hallar restamos
b a y lo dividimos en n, para hallar multiplicamos i que equivale a
1 por con eso completamos la funcin y al final la multiplicamos por
. Tener en cuenta que la sumatoria tiene formulas preestablecidas
dependiendo del nmero de la sumatoria, cuando resolvemos la suma de
riemman en determinado punto del ejercicio llegamos al mtodo de la
notacin sigma entonces dependiendo de cmo este el ndice ( i, i2, i3
) utilizamos las siguientes formulasCuando esta i usamos la formula
en donde reemplazamos n (nmero de trminos) y lo multiplicamos por
la suma de n+1 y lo dividimos en 2
Cuando esta i2 multiplicamos n(n+1)(2n+1) y el resultado lo
dividimos en 6 y cuando esta i3 se resuelve similar al caso uno,
solo que toda la ecuacin se eleva al cuadrado. Con esto
identificamos n que se remplaza con el nmero de trminos y
continuamos resolviendo el ejercicio.
TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CLCULO
Es un mtodo abreviado para calcular integrales definidas, sin
necesidad de tener que calcular los lmites por sumas Rimann, este
teorema consiste en la afirmacin de que la derivacin e integracin
de una funcin son operaciones inversas, se basa en resolver la
integral por medio de la siguiente formula:
Primero resolvemos la integral y luego la incgnita por ejemplo x
la reemplazamos con el lmite superior (b) e inferior (a). Al
obtener el resultado de cada limite restamos (b-a) y obtenemos como
resultado final el rea real.
