armaduras

PROGRAMACIÓN APLICADA A LA INGENIERÍA CIVIL 1

Francisco D’Amico, UNIMET

C a p í t u l o V I

Armaduras

Las Fuerzas en las Barras

Las armaduras son estructuras constituidas por varias barras (de acero o de madera principalmente) conectadas entre sí en puntos llamados nodos, de modo que componen un conjunto indeformable, excluidas las deformaciones elásticas. Las diferentes barras concurrentes en un nodo pueden estar articuladas entre sí o unidas rígidamente, es decir empotradas. En el común de los casos las fuerzas externas están aplicadas sobre los nodos, mientras que las barras se encuentran sometidas a la acción de su peso propio únicamente. Bajo estas condiciones las barras, articuladas en los nodos, están casi exclusivamente afectadas por un esfuerzo axial, de tracción o de compresión, ya que los momentos flectores debidos a su peso propio son insignificantes. Por el contrario, si las barras se encuentran empotradas entre sí, se producirán también momentos flectores, sin embargo, si su número no es menor que el necesario para el caso de barras articuladas, la solicitac ión que prevalece es la constituida por los esfuerzos axiales. Cada parte de la armadura trabaja en la condición más favorable; lo que permite reducir al mínimo las secciones resistentes del material utilizado, por lo que las armaduras son particularmente adaptas para soportar las cargas externas, ayudadas también del hecho de que su peso propio es bajo, y que presentan poca superficie a la acción del viento. Por esto permiten realizar, a bajo costo, construcciones livianas y de grandes dimensiones. En principio estudiaremos armaduras planas, en las cuales todas las barras se encuentran ubicadas en un plano (XZ), que también contiene a las fuerzas externas.



Armaduras Estrictamente Indeformables Consideremos una armadura compuesta exclusivamente por triángulos y determinemos el número de barras b estrictamente necesario para unir entre sí, en modo invariable, n nodos en un mismo plano, suponiendo que las barras se encuentran articuladas en sus extremos. La armadura más simple que se puede construir en este caso es un triangulo (nodos 1, 2 y 3 figura 1) en la cual se tiene b = 3 y n = 3.

Figura 1 Armadura estrictamente ideformable.

Un nuevo nodo, 4, se agrega a los anteriores fijándolo por medio de dos barras no alineadas, si se continúa este proceso y se agregan cinco nodos más se puede formar una estructura similar a la mostrada en la figura 1. Por consiguiente, el número mínimo de barras necesarias para unir los restantes n-3 nodos a los primeros 3 es 2n-3 y entonces resulta b = 2n-3. Como ejemplo en la armadura de la figura 1 se tiene n = 9, b = 2·9-3 = 15. El tipo más simple y frecuente de éstas armaduras está compuesto por una sucesión de triángulos, cada uno de los cuales, excepto los dos extremos, posee un lado en común con el anterior y otro con el siguiente. Barras de contorno son las que pertenecen a un solo triángulo, barras de pared (diagonales si son inclinadas o montantes si son verticales) son aquellas comunes a dos triángulos. En cada nodo concurren tres barras, salvo en los dos nodos extremos, a los cuales sólo llegan dos barras. Para el caso de armaduras más complejas el número de barras estrictamente necesario también está dado por b = 2n-3. De hecho, cada nodo es un punto que puede cumplir dos movimientos en el plano (las componentes del desplazamiento); entonces para unir entre ellas n nodos y formar un sistema indeformable, pero libre en el plano, se necesitan 2n-3 vínculos simples, es decir 2n-3 barras articuladas. Si b < 2n-3 el sistema es inestable, si b > 2n-3 se tienen barras superabundantes. Sin embargo no es suficiente que b = 2n-3, se necesita además que las barras se encuentren adecuadamente distribuidas; es decir, que no resulten excesivas en una parte

de la estructura e insuficientes en otra. Ade más la condición anterior no suministra información acerca del grado de hiperestaticidad de la estructura, como ejemplo obsérvese la armadura mostrada en la figura 2: Para este caso n = 4, luego el número de barras necesarias para unir estos 4 nodos y formar un sistema indeformable (excluidas las deformaciones elásticas) es b = 2·4 – 3 = 5, y de hecho

1

3 4

2

Figura 2 Ejemplo de armadura hiperestática.



la estructura cuenta con 5 barras, pero se encuentra vinculada a tierra por medio de dos articulaciones que la convierten en un sistema hiperestático. Si las barras se encuentran empotradas entre sí en ves de articuladas, cada nodo es un elemento que puede tener tres movimientos en el plano (incluida la rotación); mientras que cada barra constituye un vínculo triple; por lo cual para conectar entre ellas n nodos y constituir un sistema indeformable, pero libre en su plano, se requieren 3(n-1) vínculos y n-1 barras.

Hipótesis Simplificativas

Las fuerzas en las barras de una armadura comúnmente se calculan suponiendo que las barras se encuentran articuladas en los nodos y que las fuerzas externas actúan únicamente sobre los nodos, es decir que las barras se encuentran libres de la acción de fuerza externa alguna. Estas dos hipótesis producen una gran simplificación en el cálculo de las armaduras. De hecho, mientras que la reacción de un vínculo de una barra empotrada posee tres parámetros desconocidos, una barra articulada y sin carga solo puede estar traccionada o comprimida según su eje, por lo que la única incógnita es su fuerza axial P. Por esto se tendrán tantas fuerzas P como barras posea la armadura. En la práctica, la primera de las hipótesis rara vez se cumple dado que en las armaduras de acero, por nombrar un tipo, cada nodo está formado por una plancha a la cual se sueldan o se fijan mediante pernos las barras que a ella concurren. No obstante, las fuerzas axiales que se obtienen suponiendo las barras articuladas difieren poco de las obtenidas en la condición real, mientras que los momentos flectores son generalmente limitados, sobre todo cuando las barras son esbeltas. Entonces para evitar el análisis de un sistema hiperestático, comúnmente se acepta que las barras están articuladas. La segunda hipótesis se cumple muy a menudo, por lo cual las barras están sometidas a su peso propio únicamente, el cual en el cálculo se aplica en partes iguales sobre los nodos de los extremos de la barra.

Armaduras Estáticamente Determinadas

Una vez configurada la armadura indeformable, es necesario fijarla en su plano, como cualquier otra estructura, con v vínculos externos suficientes para impedir cualquier movimiento (v=3). Si b = 2n – 3 y v = 3, la armadura es estáticamente determinada, es decir que cumple con la condición b + v = 2n. De hecho, cada nodo es un punto en equilibrio, sujeto a fuerzas externas y a los esfuerzos de las barras que en él concurren. Entonces para cada nodo se pueden escribir las dos ecuaciones SFx = 0 y SFy = 0, obteniéndose en total 2n



ecuaciones de equilibrio. Por otra parte, las incógnitas del problema son las fuerzas axiales P en las barras y las reacciones de los vínculos externos, teniéndose: b + v = 2n – 3 + 3 = 2n. Al aplicar las condiciones SFx = 0 y SFy = 0 a cada nodo se obtiene un sistema de 2n ecuaciones con 2n incógnitas, como ya se mencionó una de las incógnitas será la fuerza axial P de cada barra, que podrá actuar a tracción o a compresión. Una vez conocidas dichas fuerzas y tomando en cuenta las propiedades del material y la geometría de cada barra, es posible encontrar las componentes del desplazamiento de cada nodo. El proceso se muestra en detalle a continuación: La armadura mostrada en la figura 3 será analizada utilizando el clásico Método de los Nodos, el cual no es más que resolver una serie de ecuaciones de equilibrio. Para estos tipos de estructuras las fuerzas internas se pueden determinar directamente a partir de las ecuaciones de equilibrio del sistema. Un diagrama de las cargas nodales externas Rj y los desplazamientos nodales uj se muestra en la figura 4, las fuerzas axiales en las barras fi, y las deformaciones di, son positivas a tracción.

6.00 6.00

Figura 3 Armadura estáticamente determinada.

8.00

Figura 4 Diagrama de cargas, desplazamientos

fuerzas y deformaciones

R1,u1

f2, d2

R2,u2

R5,u5

R6,u6

R3,u3

R4,u4 R7,u7

f1, d1 f6, d6

f3, d3

f4, d4

f5, d5

f7, d7



Nótese que en el nodo en el cual se encuentra la articulación no se han marcado ni fuerzas externas ni desplazamientos, debido a que cualquier fuerza externa aplicada sobre él se convierte totalmente en reacción y cualquier posibilidad de desplazamiento es impedida por el vínculo. Igualmente en el nodo conectado al rodillo desaparecen la fuerza y el desplazamiento en la dirección en la cual se ha orientado el rodillo. Aplicando en cada nodo las condiciones de equilibrio para las fuerzas externas Rj, junto a la fuerza axial fi de cada barra concurrente en el nodo, se obtienen siete ecuaciones de equilibrio que se pueden escribir en forma matricial de la siguiente manera:

?????????

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?

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?

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????

???

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?

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?

7

6

5

4

3

2

1

7

6

5

4

3

2

1

0.100000000000.18.000000.106.00

00.18.000.100006.00000.1

000008.00000006.00.1

ff

fff

ff

RR

RRR

RR

O en forma general:

R = Af Donde A es la matriz transformada carga-fuerza que es función de la geometría de la estructura únicamente. Para esta armadura estáticamente determinada se tienen siete fuerzas axiales desconocidas y siete ecuaciones de equilibrio en los nodos, así que el sistema de ecuaciones antes obtenido puede ser resuelto directamente para cualquier número de casos de cargas nodales.

Matriz Transformada de Desplazamientos

Después de calcular las fuerzas axiales en cada barra, se dispone de diferentes métodos para calcular los desplazamientos nodales. Con el propósito de ilustrar el uso de las matrices, las deformaciones de las barras di serán expresadas en términos de los desplazamientos nodales uj. Consideremos una barra típica de una armadura como la mostrada en la figura 5. La deformación axial del elemento puede expresarse como la suma de las deformaciones axiales, debidas a los cuatro desplazamientos en los extremos del elemento. La deformación axial total, escrita en forma matricial es:

????

?

?

????

?

?

???

??? ???

4

3

2

1

vvvv

LLy

LLx

LLy

LLxd



Aplicando esta ecuación a todos los miembros de la armadura de la figura 3, se obtiene la siguiente ecuación matricial:

?????????

?

?

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?

?

?????????

?

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?????????

?

?

??

??

??

???

?

?????????

?

?

?????????

?

?

7

6

5

4

3

2

1

7

6

5

4

3

2

1

0.100000000000.1000008.06.000

000.1000000.100.1000

08.06.0008.06.000000.100.1

uu

uuu

uu

dd

ddd

dd

O en forma general:

d = Bu La matriz transformada deformación-desplazamiento B, es función de la geometría de la estructura. Un hecho de gran importancia es que la matriz B es la transpuesta de la matriz A definida por las ecuaciones de equilibrio de los nodos. De este modo, conocidas las deformaciones di, de cada barra, se puede resolver la ecuación matricial anterior para obtener los desplazamientos nodales uj.

Matriz de Flexibilidad y Matriz de Rigidez

Las fuerzas en una barra pueden expresarse en términos de su deformación por medio de las siguientes ecuaciones matriciales:

Figura 5 Deformac ión en una barra típica para una armadura

bidimensional

Y

X

v1 v2

v3 v4

Lx

L

Posición inicial

Posición deformada L



f = kd o d = k-1f La matriz de rigidez k para este tipo de armaduras es una matriz diagonal, sus términos en

la diagonal principal están dados por i

iiii L

EAk ? y el resto son cero.

La matriz de flexibilidad es la inversa de la matriz de rigidez y sus términos en la diagonal

son ii

i

EAL

; es importante notar que tanto la matriz de rigidez como la matriz de

flexibilidad son función únicamente de las propiedades mecánicas de las barras de la armadura. Para la armadura de la figura 3, la matriz de rigidez está definida por:

? ?

??????????????????

?

?

??????????????????

?

?

??

7

77

6

66

5

55

4

44

3

33

2

22

1

11

000000

000000

000000

000000

000000

000000

000000

LEA

LEA

LEA

LEA

LEA

LEA

LEA

kk ii

La relación f = kd se obtiene a partir de la aplicación de las fórmulas de resistencia de materiales según las cuales:

kdfL

EAkd

LEA

f

Af

LEd

E

Ld

?

??

?

??

?

si

?

??

?



Todos los métodos tradicionales de análisis estructural utilizan las ecuaciones básicas que anteriormente se han planteado. Sin embargo, debido a la disponibilidad de computadoras digitales de bajo costo, las cuales pueden resolver más de cien ecuaciones en menos de un segundo, se han desarrollado técnicas especiales para minimizar el número de cálculos y operaciones manuales. A este punto, podremos emplear un método diferente y menos laborioso para resolver armaduras utilizando SAP2000.

Algoritmo para el Análisis de Armaduras Estáticamente Determinadas

Las tres ecuaciones fundamentales para el análisis de una estructura son:

R = Af (equilibrio) d = Bu (compatibilidad) f = kd (fuerza-deformación)

Para cada caso de carga R, aplicando las ecuaciones fundamentales antes planteadas, se puede esquematizar la solución de una armadura estáticamente determinada de la siguiente manera: 1. Calcular la fuerza axial en cada barra utilizando la ecuación matricial R = Af. Donde

A representa la matriz transformada carga-fuerza que es función de la geometría de la estructura únicamente. R es el vector de cargas nodales externas y f es el vector de fuerzas axiales.

2. Calcular las deformaciones en cada barra utilizando la ecuación matricial f = kd.

Donde k representa la matriz de rigidez de la estructura que es función de las propiedades mecánicas de las barras únicamente, y d es el vector de deformaciones.

3. Calcular los desplazamientos nodales utilizando la ecuación matricial d = Bu. Donde

B es la matriz transformada deformación-desplazamiento que además es la transpuesta de la matriz A, y depende únicamente de la geometría de la estructura; u es el vector de desplazamientos.

Aplicación en SAP2000

El procedimiento anterior requiere la solución de varios sistemas de ecuaciones que, expresados en forma de matrices, pueden ser resueltos utilizando el álgebra matricial aplicada en Excel. Los pasos a seguir son un tanto laboriosos, más aún si la armadura posee muchos nodos, debido a que las matrices deben plantearse a mano antes de resolverlas en Excel. Como una alternativa a este proceso en la práctica profesional surge el uso de programas como el SAP2000, en los cuales el trabajo por parte del usuario está básicamente representado por la creación del modelo estructural. Sin embargo, a nivel estudiantil, la enseñanza y aplicación de las ecuaciones matriciales ayudan a entender en qué se basan los algoritmos utilizados por programas como el SAP2000 y brinda la



posibilidad de crear programas propios, por ejemplo en VBA, que se ajusten a necesidades especiales del usuario. En el uso de programas comerciales se debe prestar especial cuidado al hecho de que la mayoría de éstos consideran deformaciones por cortante y por axial además de la deformación por flexión, mientras que un método matricial como el antes desarrollado generalmente no toma en cuenta las dos primeras. Sin embargo, modificando las matrices involucradas en el proceso se puede lograr la inclusión de dichos efectos en la deformación, pero esto escapa a los alcances del curso. Más adelante, en los cursos superiores de Estructuras y Análisis Matricial se ilustrará el tema con mayor detalle. El hecho de considerar las deformaciones por axial y por cortante puede variar los resultados de las solicitaciones obtenidas sin tomar en cuenta tales efectos. Aunque las diferencias entre uno y otro valor, en la mayoría de los casos, no son muy notorias, si se desean comprobar los resultados obtenidos entre un proceso manual y otro por computadora, es necesario lograr que el proceso por computadora se asemeje lo más posible al manual para así realizar una comparación efectiva. La mayoría de los programas de cálculo estructural permiten al usuario escoger si se desean tomar en cuenta las deformaciones por axial y por cortante al momento de ejecutar el análisis, en el caso particular del SAP2000, el usuario puede variar los factores modificadores de las propiedades de la sección para indicar cuales son los efectos a considerar. Por ejemplo, para una armadura en la que se desean obtener valores de fuerza axial y cortante similares por medio de un análisis manual y otro por computadora, se debe indicar al programa SAP2000 que desprecie las deformaciones por axial y por cortante, para ello se modifican los valores de las áreas que se oponen al cortante y a la axial, para cada sección que posea el modelo estructural, como se indica a continuación: 1. En el menú Define seleccione la opción Frame Sections ..., esto activa el cuadro de

diálogo Define Frame Sections en el cual aparecen listadas todas las secciones definidas para el modelo estructural.

2. En el cuadro de diálogo anterior se selecciona una de las secciones listadas y se presiona el botón Modify/Show Section, esto activa el cuadro de diálogo para las propiedades de la sección. (Los pasos 2 a 4 se repeten para cada sección)

3. En el cuadro de diálogo anterior presionar el botón Modification Factors , esto activa el cuadro de diálogo Analysis Property Modification Factors . En este cuadro de diálogo, en la zona Property Factors se muestran 6 campos correspondientes a los multiplicadores para: Cross-section (axial) area, Torsional constant, Moment of inertia about 3 axis , Moment of inertia about 2 axis, Shear area in 2 directon y Shera area in 3 direction respectivamente. Inicialmente cada multiplicador tiene el valor de uno, es decir que cada una de las propiedades antes nombradas posee el valor derivado de la geometría de la sección multiplicado por su factor correspondiente, que al ser uno no se altera; pero si se cambian todos los multiplicadores por un valor igual a diez, por ejemplo, entonces cada propiedad tendrá un valor diez veces mayor sin que se hallan variado las dimensiones de la sección.

4. Si cambiamos el multiplicador para Cross-section (axial) area a un valor muy grande, por ejemplo 1000, el área que se opone a la deformación axial será mil veces



mayor que la original sin que hayamos alterado las dimensiones de la sección y por ende, sin que se alteren las demás propiedades (inercia, peso, etc). Al hacer esto, el programa realizará el análisis del modelo estructural sin tomar en cuenta la deformación por axial. De igual forma, si se cambian los multiplicadores para Shear area in 2 direction y Shear area in 3 direction a cero, el área a considerar será cero, y esto es interpretado por el programa como una condición para despreciar la deformación por cortante.

Con el proceso anterior el programa arrojará valores para la fuerza axial idénticos a los obtenidos a partir de un cálculo manual. Para cualquier estructura se pueden aplicar las condiciones anteriores y así lograr que los cálculos manuales de las solicitaciones coincidan con los suministrados por el programa.

? Atención: Cuando se modifican los factores para las propiedades de la sección también se alteran los valores para las rotaciones y los desplazamientos que dependen de dichas propiedades. Para obtener los valores reales se deben colocar los factores multiplicadores originales.

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