Validación de los métodos aproximados comúnmente utilizados en análisis estructural

D.R. Salinas & J.C. Reyes Universidad de los Andes, Bogotá, Colombia

RESUMEN: Los métodos aproximados de análisis estructural han adquirido mucha importancia en los últi-mos años debido a que sirven como estimativos preliminares en etapas de análisis y diseño. Estos métodos son una herramienta práctica para la obtención de un orden de magnitud de las fuerzas internas y los despla-zamientos en estructuras sometidas a cargas verticales y horizontales. La presente investigación busca validar los métodos aproximados más usados normalmente en Colombia tomando como base de comparación los métodos matriciales. Se analizaron cerca de 400 modelos estáticos lineales para los métodos: Portal, Rótulas, Coeficientes del ACI, Wilbur y McLeod. Aunque la mayoría de estos métodos fueron desarrollados para el análisis de estructuras de acero se modificaron para usarse en estructuras de concreto, obteniendosen algunas consideraciones más apropiadas que disminuyen considerablemente el error de algunos de ellos.

ABSTRACT: The approximate methods of structural analysis have acquired much importance in recent years due to serving as approximate preliminary in phases of analysis and design. They are a practical tool for ob-taining an order of approximate magnitude of internal forces and displacements of structures under vertical and horizontal loads. This research intends to validate the most frequently used approximate methods in Co-lombia, taking as a basis of comparison the matrix methods. Near 400 lineal static models were analyzed for the following methods: Portal, hinge, coefficients ACI, Wilbur and McLeod. Although the majority of these methods were developed for steel structure analysis, they were modified to be used in concrete structures, ob-taining some more appropriate considerations that considerably decrease some of their errors.

1 INTRODUCCIÓN

1.1 Generalidades Una estructura consiste en una serie de parte conec-tadas entre sí, con la misión de soportar cargas. En la práctica el análisis estructural requiere un proceso de aproximación y simplificación basado en la expe-riencia y criterio del diseñador. Por ejemplo, se debe entender que los apoyos no son una condición fija sino que se dan por la magnitud de la carga. El em-potramiento perfecto en teoría no existe pues siem-pre habrá una magnitud de carga que pueda generar una tendencia al giro, incluso una articulación puede tener características de empotramiento para niveles bajos de carga. Debido a lo anterior, cobra gran im-portancia la utilización de métodos aproximados efectivos y prácticos que tengan buena similitud con la respuesta analítica de manera que sirvan de esti-

mativos preliminares a la utilización de una herra-mienta de análisis más sofisticada. La presente in-vestigación busca validar los métodos aproximados comúnmente usados en Colombia tomando como base de comparación los métodos matriciales. Se analizan modelos de diferentes características enca-minados a obtener un diagnóstico y calibración.

1.2 Importancia La importancia de los métodos aproximados dentro del esquema general de proyectos estructurales (Fig. 1) es significante pues en cada etapa tienen una mi-sión específica e importante asociada a la cantidad y calidad de información que se tiene. En la etapa de factibilidad están orientados a predimensionar, en la etapa de análisis y diseño se usan para verificar re-sultados y en la etapa de construcción tienen un en-foque de control en obra y revisión final.

Figura 1. Esquema general de proyectos estructurales.

Los métodos aproximados permiten verificar de manera rápida los resultados obtenidos con los pro-gramas de análisis estructural, teniendo en cuenta el reciente incremento del uso de software.

2 MÉTODOS PARA EL CÁLCULO DE FUERZAS INTERNAS Y DESPLAZAMIENTOS

2.1 Método del portal Este método es utilizado para evaluar fuerzas inter-nas generadas en un pórtico ocasionadas por cargas horizontales. Se asume que el cortante en todos los pisos que se genera en las columnas intermedias es igual al doble del cortante de las columnas externas. Por tanto en la Ecuación 1 Kv=2.0 [Hibbeler, 1997].

iViextV

iKV

(int)

)(= (1)

donde: KVi =Coeficiente de cortante para columnas intermedias en el nivel de análisis i; V(ext)i = cor-tante de piso exterior en el piso de análisis i; V(int)i = cortante de piso interior en el piso de análisis.

En la Figura 2, se observan las consideraciones del método del portal tradicional. Los puntos de in-flexión tanto en vigas como en columnas se encuen-tran localizados a la mitad de los elementos.

2.2 Método de las rótulas Este método se utiliza para evaluar las fuerzas inter-nas generadas en los elementos de un edificio some-tido a carga vertical. El diagrama de momentos de vigas de múltiples luces con carga vertical se caracteriza por la presencia de dos puntos de inflexión por luz. Por lo tanto es factible idealizar este tipo de elementos tal y como se aprecia en la Figura 3.

Figura 2. Método del portal.

En una viga doblemente empotrada los puntos de inflexión se localizan a 0.21L del apoyo y en una viga simplemente apoyada no se generan puntos de inflexión. Por lo anterior, la localización promedio de los puntos de inflexión es 0.10L. [Hibbeler, 1997].

Una vez definidos de manera aproximada los puntos de inflexión de la viga se puede calcular las fuerzas internas ya que la viga se vuelve estática-mente determinada.

Figura 3. Método de las rotulas

2.3 Método de los coeficientes del ACI Este método es utilizado para evaluar las fuerzas in-ternas generadas en un pórtico o una viga continua. Para este método en especial no se plantea una com-paración directa entre el método tradicional y el pro-puesto debido a que el método tradicional considera la carga muerta como fija y la carga viva variando en su posición en los tramos de las luces.

Figura 4. Método de los coeficientes del ACI.

En este análisis solo se considerará la carga uni-formemente distribuida. Por lo anterior en esta sec-ción se analizará el error que se incurriría al usar el método de los coeficientes del ACI para cargas de diseño uniformemente distribuidas. Según este aná-lisis se propone un método acorde a este manejo de cargas. El método plantea utilizar unos coeficientes en función de la carga y la luz para encontrar los va-lores máximos de momentos y cortantes. En la Figu-ra 4, se observan estos coeficientes para pórticos con viga de borde o columna y para vigas con extremo discontinuo no restringido.

Las recomendaciones para el uso de este método son que la variación de las luces larga y corta adya-centes sea igual o menor al 20%, la carga viva unita-ria no debe exceder tres veces la carga muerta unita-ria, los elementos son prismáticos y las cargas son uniformemente distribuidas.

2.4 Método de Wilbur Este método es utilizado para calcular desplaza-mientos en pórticos sometidos a caga lateral. El mé-todo se basa en la definición de rigidez de piso, la cual es la relación entre la fuerza cortante absorbida por un pórtico o muro, en un entrepiso y el despla-zamiento horizontal relativo entre los dos niveles que lo limitan. El método plantea unas ecuaciones para determinar la rigidez de piso en función a las dimensiones de los elementos que conforman el pór-tico [Bazan & Meli, 1985].

Las ecuaciones 2, 3 y 4. Son las utilizadas para calcular la rigidez de piso. Para el primer piso:

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∑∑∑

+

++

=

121

1

21

1

14

1

481

KcKt

hh

Kc

hh

ER (2)

Para el segundo piso:

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∑∑

∑∑

++

+

++

=

2

32

121

1

21

2

24

2

482

Kt

hh

KcKt

hh

Kc

hh

ER (3)

Para pisos intermedios:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

∑∑∑

++

++

=

nKtohnh

mKtnhmh

nKcnh

nh

En

R4

48 (4)

donde: R1 = rigidez lateral del piso 1; E = módulo de elasticidad del material; hn = altura del piso n; Ktn = rigidez relativa de las vigas del nivel sobre el entre-piso n (Ii/Li); m, n, o = identifican los tres niveles consecutivos de abajo hacia arriba; y Kcn = rigidez relativa de la columnas del piso n (Ic/hi).

Para el último piso de puede utilizar la ecuación 4 colocando 2hm en vez de hm y ho = 0. Dado que es aceptable tomar en el penúltimo piso el doble del cortante del último.

Una vez calculadas las rigideces se calculan las derivas por piso i con la ecuación 5.

iRiV

iDeriva = (5)

donde: Vi = cortante de piso en el piso de análisis; Ri = rigidez en el piso de análisis i.

2.5 Método de McLeod Este método permite estimar la fuerza cortante y el desplazamiento lateral máximo de sistemas duales (pórticos + muros), así como el momento de volca-miento en la base de los muros de estructuras de edi-ficios sometidas a una carga lateral. [Bazan & Meli, 1985].

El método supone que todos los muros están co-nectados al pórtico sólo en su extremo superior por un elemento articulado en sus bordes. En la Figura 5 se aprecia la idealización del método.

Figura 5. Método de Mcleod.

El método divide en dos sistemas la estructura:

Uno lo conforma el pórtico y el otro los muros. Es-tos dos sistemas se unen en su parte superior por un elemento rígido axialmente y articulado en sus bor-des. Las ecuaciones 6, 7, 8 y 9 resumen las principa-les consideraciones del método.

∑∑∑+

=KmKf

KfWP

2011 (6)

RnRRKf1

.....2

11

11+++= (7)

AsGH

EIH

Km+

=

3

13 (8)

KfP

máx =∆ (9)

donde: P = fuerza que une el sistema del pórtico con el muro; W = sumatoria del perfil de fuerza triangu-lar; H =altura del muro; Ri = rigidez de piso; Kf = ri-gidez lateral del pórtico; Km = es la rigidez del mu-ro; As = área efectiva de cortante; E = módulo de elasticidad y G = al módulo de cortante, se puede tomar como 0.4E.

Las rigideces de piso Ri se pueden calcular con el método de Wilbur. El desplazamiento máximo de la estructura ocurre en el último piso; este se calcula con la ecuación 9.

3 CARACTERÍSTICAS DE LOS MODELOS ANALIZADOS

3.1 Método del portal Con el fin de validar los resultados del método del portal se elaboran y analizan 130 modelos estáticos lineales. Estos modelos se analizan bajo el efecto de fuerzas laterales en cada nivel. Cada modelo tiene las siguientes características: - Número de pisos variando entre 1 y 4. - Número de luces variando entre 2 y 4. - La variación máxima de la luz larga respecto a la

luz corta es máximo del 20%. - La suma de las rigideces de las columnas con re-

lación a la suma de rigideces de las vigas es máximo 10.

- Los elementos son prismáticos. - Las secciones de las columnas son constantes en

toda su altura.

3.2 Método de las rótulas Se analizan pórticos planos de una a tres luces bajo la acción de una carga uniformemente distribuida. Los modelos estáticos lineales tienen las siguientes características: - La variación máxima de la luz larga respecto a la

luz corta es máximo del 20%. - La suma de las rigideces de las columnas con re-

lación a la suma de rigideces de las vigas es máximo 10.

- No se consideran todos los puntos de inflexión a la misma distancia.

- Los elementos son prismáticos. Se analizan 42 modelos generando 240 puntos de

comparación para análisis de la distancia X, 396 pa-ra la distancia Y, 84 para MEXT, 108 para MCENT y 132 para MINT. (Fig. 3).

3.3 Método de los coeficientes del ACI Para verificar y cuantificar el margen de error al uti-lizar una carga de diseño uniformemente distribuida y no variar la posición de la carga viva unitaria, se tienen en cuenta diferentes consideraciones de rigi-deces. Se elaboran y analizan modelos estáticos li-neales con las siguientes características: - La variación máxima de la luz larga respecto a la

luz corta es del 20%. - La suma de las rigideces de las columnas con re-

lación a la suma de rigideces de las vigas es máximo de 10.

- Los elementos son prismáticos.

Se analiza el método para vigas con extremo dis-continuo no restringido y para pórticos con viga de borde o columna. Para el análisis de vigas se crean 72 modelos que generan 144 puntos de comparación para el coeficiente M1, 139 para M2, 108 para M3, y 41 para M4. Para cortante se analizan 144 puntos de comparación tanto para V1 como para V2 y 216 puntos para V3. (Fig. 4).

Para el análisis de pórticos se analizan 96 mode-los generando 210 puntos de comparación para M1 y M2, 195 para M3 y M4; y 90 para M5. Para el análi-sis de cortante se generaron 72 puntos de compara-ción para V1 y V2, y 60 para V3. (Fig. 4).

3.4 Método de Wilbur Para efectuar el diagnostico y aproximación del mé-todo de Wilbur se analizan 32 modelos estático li-neales de pórticos planos. Los modelos analizados tienen las siguientes características: - La sección de las columnas es constante a lo lar-

go de su altura. - Las columnas y vigas tienen igual módulo de

elasticidad. - Las vigas tienen sección 0.3 m x 0.30 m. - Las columnas tienen sección 0.4 m x 0.40 m. - La altura típica de pisos es igual a 3.0 metros.

Los 32 modelos analizados varían desde los dos

pisos dos luces a los 5 pisos 4 luces.

3.5 Método de McLeod Para efectuar el diagnostico y aproximación del mé-todo de Mcleod se analizan 27 estático lineales. Los modelos tienen las siguientes características: - La sección de las columnas es constante a lo lar-

go de su altura. - Las columnas y vigas tienen igual módulo de

elasticidad. - La carga tiene una distribución triangular. - Las vigas tienen sección 0.3 m x 0.30 m. - Las columnas tienen sección 0.4 m x 0.40 m. - El espesor del muro varía entre 0.12 m y 0.40 m

y su longitud de varía entre 3.0 m. y 3.5 m. - La altura típica de pisos es igual a 3.0 metros.

4 DIAGNÓSTICO Y CALIBRACIÓN

4.1 Método del portal En la Tabla 1 se presenta el análisis de la variación del coeficiente de cortante KV1, KV2 y KV3, definido en la ecuación 1, para los pisos uno, intermedio y

superior respectivamente. (Fig. 2). Se aprecia que los datos analizados guardan una buena desviación estándar y están alejados del coeficiente de 2.0 utili-zado en el método tradicional salvo el piso superior.

Tabla 1. Resultados de coeficiente de cortante por niveles.______________________________________________

Datos Coeficiente de cortante ______________________________ KV1 KV2 KV3______________________________________________ Máximo 1.298 1.903 3.365 Mínimo 1.101 1.513 1.879 Promedio 1.204 1.685 2.413 Desv. Estándar 0.052 0.084 0.376 ______________________________________________

En la Figura 6, se observa la gráfica de los datos del último piso para el coeficiente KV3.

Figura 6. Variación coeficiente de cortante en el nivel superior (KV3). En la Figura 7 se presentan las consideraciones del método del portal propuesto. De acuerdo con los re-sultados de la Tabla 1, se proponen los coeficientes de cortante KV1 = 1.2, KV2 = 1.7 y KV3 = 2.0. Para determinar la localización de los puntos de inflexión para las columnas y las vigas se analizan los valores en función al error generado en las fuerzas internas al utilizar sucesivos análisis en hojas electrónicas.

Figura 7. Método del portal propuesto.

En la Tabla 2 se muestra el análisis de la varia-ción del error del coeficiente de cortante KV en los diferentes niveles.

Tabla 2. Comparación error % KV. _______________________________________________ Piso Error en K1 Error en K2 Error en K3 ______________________________________ Trad. Prop. Trad. Prop. Trad&Prop _______________________________________________ Máximo 33.70 5.28 37.13 13.83 37.12 Mínimo 17.63 0.04 3.24 0.07 3.24 Promedio 26.31 1.88 13.52 3.30 14.19 Desv. Estándar 5.15 1.35 8.68 7.17 8.83 _______________________________________________ Donde Trad= Método portal tradicional. Prop= Método portal propuesto.

Por ejemplo para el primer piso el método del

portal tradicional “Trad” presenta un error promedio de 26.31% contra el 1.88% del método propuesto.

En la Tabla 3 se muestra el análisis de la varia-ción del error de la fuerza axial y momentos en la base de las columnas externas. En la Figura 8 se aprecia la comparación del error entre el método del portal tradicional y el método propuesto en térmi-nos de fuerza axial en las columnas externas en la base. El error es tolerable en la mayoría de los casos.

Tabla 3. Comparación error % fuerza axial y momentos. ______________________________________________ Datos Externos Axial Momentos ______________________________ Trad. Prop. Trad. Prop. ______________________________________________ Máximo 78.57 37.19 27.48 18.55 Mínimo 7.96 0.045 1.45 1.36 Promedio 32.65 14.90 15.63 7.75 Desv. Estándar 18.63 10.01 7.19 4.29 ______________________________________________ Donde Trad= Método portal tradicional. Prop= Método portal propuesto.

Figura 8. Análisis error % reacciones en fuerza axial columnas externas.

Al proponer el nuevo método se enfoca en buscar valores prácticos tanto para coeficientes de cortante y para localización de puntos de inflexión. En la Fi-gura 9 se aprecia que el método propuesto presenta errores bajos respecto a la fuerza cortante en la co-lumna externa calculada por el método tradicional.

Figura 9. Análisis error % fuerza cortante columnas externas.

4.2 Método de las rótulas Al analizar los datos obtenidos de la modelación analítica se obtiene la ubicación de los puntos de in-flexión. En la Tabla 4, se aprecia el análisis de los datos de los puntos de inflexión X y Y (Fig. 3).

. Tabla 4. Resultados análisis ubicación puntos de inflexión______________________________________________

Punto de inflexión ______________________________ Exterior X Interior Y ______________________________________________ Máximo 0.192 Li 0.234 LiMínimo 0.176 Li 0.204 LiPromedio 0.184 Li 0.216 Li Desv. Estándar 0.003 L i 0.005 Li______________________________________________

En las Figuras 10 y 11, se aprecia la variación de los puntos de inflexión X y Y en los modelos pro-puestos. Se aprecia claramente que está alejado del valor de 0.10L en ambos casos.

Figura 10. Variación puntos de inflexión exterior X.

Figura 11. Variación puntos de inflexión interior.

Analizando los datos obtenidos en la Tabla 4 y de las Figuras 10 y 11, se recomienda colocar los pun-tos de inflexión externos X= 0.18Li y para los puntos de inflexión internos Y = 0.22 Li, tal como lo mues-tra la Figura 12.

Figura 12. Método de las rótulas propuesto.

En la Tabla 5 se muestra el análisis comparativo

de los datos obtenidos con el método tradicional y propuesto contra la respuesta analítica. Se aprecia una disminución apreciable del error con el método propuesto.

Tabla 5. Comparación error % coeficiente momentos exterior._______________________________________________

Métodos Tradicional Propuesto ______________________________________ Ext Cent Int Ext Cent Int _______________________________________________ Máximo 41.47 109.42 53.13 10.36 7.52 7.19 Mínimo 32.98 61.40 44.00 0.08 0.13 0.04 Promedio 37.28 82.59 48.00 3.81 3.35 2.38 Desv. Estándar 1.90 11.02 1.91 2.25 1.67 1.79 _______________________________________________

En la Figura 13, se aprecia la variación porcen-tual del error en los momentos externos MEXT.(Fig. 12). Se observa que el método propuesto se ajusta mejor a la respuesta analítica. Es bueno precisar que el método propuesto es más consistente a la luz de efectos reales y prácticos, debido a la relación de capacidades de las uniones viga columna recomen-dadas para evitar la formación de mecanismos de co-lapso que permiten que esta unión genere puntos de inflexión que varían en un rango cuyo límite inferior es 0.17Li.

Figura 13. Error % momentos externos.

4.3 Método de los coeficientes del ACI Al analizar los datos obtenidos de la modelación pa-ra vigas con borde discontinuo no restringido y para pórticos con viga de borde o columna se obtienen los coeficientes que más se aproximan a los resulta-dos de las modelaciones realizadas. En la Tabla 6 se presenta el análisis de los datos para vigas. Se apre-cia que los datos guardan una razonable desviación estándar exceptuando el coeficiente de momento M3. Para este valor se evidencia claramente el efec-to de no considerar en el análisis la carga viva.

Al analizar la Tabla 6 se propone cambiar los co-eficientes anteriormente mencionados (Fig. 4), por los siguientes:

- M1 = 12. - M2 = 10. - M3 = 20. - M4 = 15.

Tabla 6. Análisis coeficientes de momentos para vigas. ______________________________________________ Coeficiente de momento _____________________________ M1 M2 M3 M4 ______________________________________________ Máximo 17.18 12.07 49.79 37.24 Mínimo 11.76 6.05 20.49 13.51 Promedio 13.01 9.13 30.15 21.07 Desv. Estándar 0.77 1.08 6.29 5.36 ______________________________________________

En la Tabla 7 se muestra el análisis de los coefi-cientes de cortante para vigas con extremo disconti-nuo no restringido (Fig. 4). Los datos tienen una buena desviación. Los coeficientes de cortante pro-puestos son:

- V1 = 2.5. - V2 = 1.5. - V3 = 2.0

Tabla 7. Análisis coeficiente de cortante para vigas. ______________________________________________ Datos Coeficiente de cortante ______________________________ V1 V2 V3 ______________________________________________ Máximo 2.90 1.90 2.37 Mínimo 2.43 1.43 1.50 Promedio 2.54 1.54 2.01 Desv. Estándar 0.07 0.07 0.16 ______________________________________________

En la Figura 14 se presenta el método del ACI para ser utilizado en vigas.

Figura 14. Método ACI propuesto para con borde discontinuo no restringido.

Para el caso de pórticos con viga de borde o co-

lumna. En la Tabla 8 se presenta el análisis de los coeficientes de momento. De este análisis se propo-nen modificar los coeficientes por los siguientes:

- M1 = 14. - M2 = 20. - M5 = 21.

Tabla 8. Análisis coeficientes de momentos para pórticos.______________________________________________

Coeficiente de momento _____________________________________ M1 M2 M3 M4 M5 ______________________________________________ Máximo 14.89 23.02 11.71 12.44 26.18 Mínimo 13.52 21.82 10.47 10.59 23.59 Promedio 13.95 22.27 11.34 11.81 24.76 Desv. Estándar 0.27 0.26 0.26 0.38 0.74 ______________________________________________

En la Tabla 9, se aprecia que no hay necesidad de

modificar los coeficientes de cortante. Tabla 9. Análisis coeficiente de cortante para pórticos. ____________________________________________ Datos Coeficiente de cortante ____________________________ V1 V2 V3 ____________________________________________ Máximo 0.98 1.12 1.03 Mínimo 0.94 1.05 0.98 Promedio 0.97 1.07 1.00 Desv. Estándar 0.01 0.02 0.01 ____________________________________________

En la Figura 15, se presenta el método propuesto para columnas con viga de borde o columna.

Figura 15. Método ACI propuesto para pórticos con viga de borde o columna.

En la Tabla 10 se presenta el efecto de utilizar los

coeficientes recomendados para vigas.

Tabla 10. Comparación error % coeficientes de momentos pa-ra vigas. ________________________________________________ ACI Método Propuesto _______________________________________ M1 M2 M3 M4 M1 M2 M3 M4 ________________________________________________ Máximo 56.2 24.1 499.8 54.4 43.2 21.1 401.8 33.8 Mínimo 7.0 0.4 28.1 10.2 0.1 0.1 2.4 0.6 Promedio 18.2 9.4 111.9 29.0 8.4 6.3 69.8 12.3 Desv. Est 6.9 4.8 85.9 9.6 6.2 4.2 70.0 8.0 ________________________________________________

En la Figura 16, se observa la variación del error

del coeficiente M1; el coeficiente propuesto brinda errores 10% menores al utilizado usualmente.

Figura 16. Error % M1.

En la Tabla 11 se presenta el análisis comparativo del error en cortante V1 y V2. Además se cuantifica el error para V3 dado que no se modificó del método tradicionalmente usado.

Tabla 11. Comparación error % coeficientes de cortante para vigas. __________________________________________________ Coeficiente ACI Propuesto ACI&Prop _________________________________________ V1 V2 V1 V2 V3 __________________________________________________ Máximo 44.76 12.16 15.81 8.34 25.09 Mínimo 21.26 1.15 0.00 0.00 0.00 Promedio 27.23 5.17 2.33 1.45 6.72 Desv. Estándar 3.50 1.62 2.37 1.35 4.04 __________________________________________________ Donde Prop= Coeficiente propuesto.

En la Tabla 12 se presenta en análisis comparati-vo del error generado por los coeficientes de los co-eficientes M1, M2, y M5. Se aprecia que para el co-eficiente M5 se genera un alto pero se prefiere sacrificar en este coeficiente precisión y gradar un alto nivel de conservatismo.

Tabla 12. Comparación error % coeficientes de momentos pa-ra pórticos. ________________________________________________ Actual Propuesto _______________________________________ M1 M2 M5 M1 M2 M5 ________________________________________________ Máximo 14.25 63.53 63.61 6.38 9.02 30.89 Mínimo 6.92 55.84 47.44 0.02 3.90 17.96 Promedio 12.03 58.27 55.14 1.41 5.51 24.11 Desv. Est 1.78 1.84 4.90 1.37 1.23 3.92 ________________________________________________

En la Figura 17, se observa la variación porcen-

tual del error para el coeficiente M5. Se aprecia una notable disminución del error.

Figura 17. Error % M5.

En la Tabla 13 se presenta el análisis del error

porcentual que tienen los coeficientes de cortante V1, V2 y V3. Se aprecia que el coeficiente V2 pre-senta el mayor porcentaje de error (11.10%) prome-dio. Los coeficientes V1 y V3 en la mayoría de los casos el error es inferior al 5%.

Tabla 13. Comparación % coeficientes de cortante para pórti-cos. ______________________________________________ Cortante ACI _____________________________________ V1 V2 V3 ______________________________________________ Máximo 6.05 12.20 1.58 Mínimo 2.56 8.79 0.00 Promedio 3.65 11.10 0.63 Desv. Estándar 0.82 0.81 0.44 ______________________________________________

Vale la pena anotar que las propuestas realizadas solamente se pueden utilizar cundo se use este mé-todo en la solución de vigas y pórticos con carga uniformemente distribuida en todas las luces simul-táneamente.

4.4 Método de Wilbur El método de Wilbur está concebido para encontrar la rigidez de piso de pórticos de mínimo cuatro pi-sos. En la Tabla 14 se aprecia el error en la rigidez lateral cuando se tienen en cuenta todos los modelos y cuando solo se tienen en cuenta los modelos de más de 4 pisos.

ur. Tabla 14. Variación error % rigidez lateral método de Wilb_______________________________________________

Error (%) ______________________________________ Todos los modelos > 4 pisos _______________________________________________ Máximo 60.40 23.52 Mínimo 0.32 0.32 Promedio 16.56 10.19 Desv. Estándar 15.95 7.03 _______________________________________________

Los altos errores se deben a la utilización en es-tructuras alejadas de se alcance.

En la Figura 18, se aprecia la comparación de los

resultados del método del Wilbur contra el análisis matricial. Se observa que la variación es tolerable.

Figura 18. Comparativo resultados método de Wilbur.

En la Figura 19, se muestra el error porcentual de

cada modelo. Se aprecia que para pórticos de dos y tres pisos ambos con dos luces el error es considera-ble. Al aumentar el número de luces el error tiende a disminuir dado que la sumatoria de la rigidez relati-va de las vigas tiende a mejorar los resultados.

Figura 19. Error % Método de Wilbur.

4.5 Método de McLeod En la Tabla 15 se aprecia el análisis de la variación del desplazamiento en el último piso. Para el cálculo de las rigideces se utilizo el método de Wilbur.

cLeod. Tabla 15. Variación error % método de M________________________________

Error (%) _______________________ ∆ último piso ________________________________ Máximo 28.18 Mínimo 9.93 Promedio 22.04 Desv. Estándar 5.23 ________________________________

De la Figura 20, se concluye que en la compara-

ción de los resultados de desplazamiento, en todos los casos el método de McLeod brinda resultados más conservadores.

Figura 20. Comparativo resultados método McLeod.

En la Figura 21, se observa que el margen de

error del método es aceptable teniendo en cuenta que se requiere como dato de entrada la rigidez de piso del pórtico en todos sus niveles y está es calcu-lada con las ecuaciones de Wilbur. A pesar de esto se induce un pequeño error independiente de la for-mulación matemática del método propuesto por Mcleod.

Figura 21. Error % método de Mcleod.

5 CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

El método del portal propuesto brinda valores más cercanos a la respuesta analítica. Al utilizarlo se tie-ne un error inferior al 15% en el cálculo de las fuer-zas internas. Además el método propuesto está más acorde con las actuales metodologías de diseño, donde se busca que las columnas tengan mayor ca-pacidad que las vigas para efectos seguros de disipa-ción de energía.

El método de las rótulas propuesto es más consis-tente a la luz de los efectos reales y prácticos, debido a la relación de capacidades de las uniones viga co-lumna recomendadas para evitar la formación de mecanismos de colapso.

Al utilizar el método de los coeficientes del ACI arroja resultados más conservadores para efectos de diseño. El método propuesto realiza algunas modifi-caciones en los coeficientes de momento validas so-lamente cuando se tienen vigas o pórticos con carga vertical distribuida simultánea en todas las luces.

Se comprobó que los métodos aproximados de Wilbur y McLeod guardan una buena aproximación y en la mayoría de los casos brinda valores conser-vadores.

En general se demostró que los métodos aproxi-mados propuestos y los validados guardan un buen nivel de precisión y se recomiendan se usen confia-damente en toda ocasión que se requieran.

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