MATEMÁTICAS 1º BACHILLERATO SOCIALES

EJERCICIOS ASÍNTOTAS

Halla las asíntotas de las siguientes funciones y sitúa la curva respecto a ellas:

1) 3+

=x

xy

2) 1

22 −

=x

xy

3) 63

2+

=x

y

4) 2)2(

2−

=x

y

MATEMÁTICAS 1º BACHILLERATO SOCIALES

SOLUCIONES

1) ⇒=+∞→

13x

xlimx

asíntota horizontal en y=1 , veamos ahora cómo se sitúa la curva respecto

de esta asíntota: 13x

xlimx

=++∞→

y para valores grandes de x, p.ej.

9997'01000310000

y10000x ==⇒= vemos que la curva se acerca “por debajo de la recta y=1”

13x

xlimx

=+−∞→

y para valores grandes de x, p.ej. 0003'1999710000

y10000x =−

−=⇒−=

vemos que la curva se acerca “por encima de la recta y=1”

También tiene una asíntota vertical en x = -3 (cuando se anula el denominador) ya que:

∞=−

=+−→ 0

33x

xlim

3x pero, veamos los signos, por la izquierda y por la derecha:

A la izquierda p. Ej: 01,301,03x −=−−= +=−

−=

−

−⇒

01,001,3

A la derecha p. Ej: 99,201,03x −=+−= −=+

−=

−⇒

01,099,2

Por lo tanto, tenemos una A.V. de ramas divergentes.

Gráficamente, tendremos por tanto, algo así

2) 01x

x2lim

2x=

−∞→⇒ asíntota horizontal el eje OX, veamos el comportamiento al acercarse

por ambos lados: 00002'099999999

20000y10000x

1xx2

lim2x

>==⇒=⇒−+∞→

(por encima del

eje) ; 00002'099999999

20000y10000x

1xx2

lim2x

<−=−

=⇒−=⇒−−∞→

(por debajo del eje)

Asíntota vertical cuando 1x01x 2 ±=⇒=− (tenemos, dos asíntotas verticales)

∞==−→ 0

21x

x2lim

21x, por la izquierda: 99,001,01 =− −=

−

+=

−=⇒

0199,098,1

y

por la derecha: 01,101,01 =+ +=+

+==⇒

0201,002,2

y

∞=−

=−−→ 0

21x

x2lim

21x, por la izquierda: 01,101,01 −=−− −=

+

−=

−=⇒

0201,002,2

y

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por la derecha:

01,101,01 =+ +=−

−=

−

−=⇒

0199,098,1

y

Luego, la gráfica será:

3) 06x3

2limx

=+∞→

Asíntota horizontal el eje OX

030006

2y10000x

6x32

limx

>=⇒=⇒++∞→

(por encima del eje) ;

029994

2y10000x

6x32

limx

<−

=⇒−=⇒+−∞→

(por debajo del eje)

Asíntota vertical: 2x06x3 −=⇒=+ ∞==+−→ 0

26x3

2lim

2x

por la izquierda: 01,201,02 −=−− −=−

+=⇒ y

por la derecha: 99,101,02 −=+− +=+

+=⇒ y

4) 2)2(

2−

=x

y Asíntota vertical en x = 2 ya que se verifica que +∞=−→ 22x )2x(

2lim

y es siempre positivo , por estar el denominador elevado al cuadrado. (Asíntota de ramas

convergentes, por arriba)y además 0)2x(

2lim

2x=

−∞→ Asíntota horizontal el eje OX

02

y10000x)2x(

2lim

2x>

+=⇒=⇒

−+∞→ (por encima del eje) ;

02

y10000x6x3

2limx

>+

=⇒−=⇒+−∞→

(por encima del eje)