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Análisis de Sistemas Lineales
“Series de Fourier I”
Ing. Rafael A. Díaz Chacón
ASL/RAD/2001
Introducción a Señales
Definición:
“Una señal es una función que representa las variaciones en el tiempo
de una variable física”
ASL/RAD/2001
Clasificación:
1) En términos de la forma de variación del tiempo.
2) En términos del contenido de energía o potencia.
3) En términos de la periodicidad o no de la señal.
Introducción a Señales
ASL/RAD/2001
Clasificación:
1) En términos de la forma de variación del tiempo.
1-A) Señales en tiempo continuo.
1-B) Señales en tiempo discreto.
2) En términos del contenido de energía o potencia.
2-A) Señales de Energía.
2-B) Señales de Potencia.
3) En términos de la periodicidad de la señal.
3-A) Señales periódicas.
3-B) Señales aperiódicas.
Introducción a Señales
Señales en tiempo continuo:
“Aquellas en las cuales la variable tiempo se representa como una variable real”
{x(t), - < t < }
ASL/RAD/2001
Señales en tiempo discreto:
“Aquellas en las cuales la variable tiempo se representa como una variable entera”
{x[n], n = 0, ±1, ±2,…}
Introducción a SeñalesSeñales de Energía:
“Aquellas que tienen energía finita”
ASL/RAD/2001
E lim x t dt
( )2
Señales de Potencia:
“Aquellas que tienen potencia finita”
P lim x t dt
1
22
( )
Introducción a Señales
Señales Periódicas:
“Aquellas que para un T0 > 0 dado, cumplen con
x(t + T0) = x(t)”
“T0 se conocerá como el periodo de la señal”
ASL/RAD/2001
Señales no Periódicas:
“Aquellas que no cumplen la característica de periodicidad”
Señales PeriódicasEjemplos:
ASL/RAD/2001
-2,5
-2
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
2,5
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
-2,5
-2
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
2,5
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
-0,2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
Series de Fourier“Toda señal periódica se puede expresar en términos de
una serie de senos y cosenos”
La forma general que tiene esa serie es
x(t) = a0 + [an cos(n0t) + bn sen(n0t)]
“A esta serie se le conoce como
Serie Trigonométrica de Fourier”
“A los coeficientes a0, an y bn se les conoce como Coeficientes Trigonométricos de Fourier mientras que a 0 se le conoce como frecuencia fundamental de la señal”
ASL/RAD/2001
n = 1
Series de FourierLos coeficientes trigonométricos de Fourier
se definen como:
ASL/RAD/2001
periodo.un de largo lo a integral una es
y 2
donde
)sen()(2
)cos()(2
)(1
0
0
0
0
00
00
00
00
T
Tn
Tn
T
T
dttntxT
b
dttntxT
a
dttxT
a
Series de FourierEn el cálculo de los coeficientes trigonométricos de
Fourier se utilizan comúnmente las siguientes integrales:
ASL/RAD/2001
kndttktnI
knT
kndttktnI
knT
kndttktnI
T
T
T
, todopara ,0)cos()sen(
0 ,2
,0)cos()cos(
0 ,2
,0)sen()sen(
0
0
0
003
0002
0001
Series de FourierEjemplo
ASL/RAD/2001
)sen())cos(1()cos()sen()(
que tienese 2 que recordando
))cos(1(2
)sen(2
)sen()(2
)sen(2
)cos(2
)cos()(2
1)(
1
entonces x(t),periódica señal la de periodoun si ,0
0 si ,)( Sea
01
001
00
00
0000
00
00
0000
00
00
00000
01
0
0
0
tnnnA
tnnnA
TA
tx
nnT
nnTA
dttnAT
dttntxT
b
nnTA
dttnAT
dttntxT
a
TA
AdtT
dttxT
a
Tt
tAtx
nn
Tn
Tn
T
Series de FourierAproximación con un número finito de sumandos
ASL/RAD/2001
-0,5
0
0,5
1
1,5
0 5 10 15
)sen())cos(1()cos()sen()( 01
001
00
tnnnA
tnnnA
TA
txM
n
M
nM
x(t) x10(t) x3(t)
Series de FourierOtro Ejemplo
ASL/RAD/2001
)3cos(1)sen()cos(1)(
definitivaen
todopara 0)sen())3cos(1(3
)sen()(2
1 si ,0
1 si ,1)cos())3cos(1(
3)cos()(
2
1))3cos(1(23
)(1
entonces ,3
2 periodocon periódica señal una )3cos(1)( Sea
01
01
3
2
0
000
3
2
0
000
3
2
000
0
0
0
0
ttnbtnatx
ndttntdttntxT
b
n
ndttntdttntx
Ta
dttdttxT
a
Tttx
nn
nn
Tn
Tn
T
Series de Fourier“Toda señal periódica se puede expresar en términos de
una serie de exponenciales complejos”
La forma general que tiene esa serie es
x(t) = Xn exp(jn0t)
“A esta serie se le conoce como
Serie Exponencial de Fourier”
“A los coeficientes Xn se les conoce como Coeficientes Exponenciales de Fourier mientras que a 0 se le conoce
como frecuencia fundamental de la señal”ASL/RAD/2001
n = -
Series de FourierLos coeficientes exponenciales de Fourier se
definen como:
ASL/RAD/2001
periodo.un de largo lo a integral una es y 2
donde
)(1
0
0
0
00
0
T
T
tjnn
T
dtetxT
X
En el cálculo de los coeficientes exponenciales de Fourier se utiliza comúnmente la siguiente integral:
knT
kndteeI
T
tjktjn
si ,
si ,0
04
0
00
Series de FourierEjemplo
ASL/RAD/2001
tjn
n
jntjn
n
jn
jnjnjn
jn
n
jntjn
T
tjnn
enSaeTA
enenA
tx
nnT
nnT
Aeee
njTAe
X
enjTA
dtAeT
dtetxT
X
Tt
tAtx
00
00
0
00
0
00
0
0
22sen)(
que tienese 2 que recordando
2sen
2
11
)(1
entonces x(t),periódica señal la de periodoun si ,0
0 si ,)( Sea
02
00
2
00
000
222
00
2
00000
01
Series de FourierOtro Ejemplo
ASL/RAD/2001
)3cos(21
21
)(
definitivaen
1 si 0
1 si /21
21
21
21
)3cos(1
)(1
entonces ,3
2 periodocon periódica señal una )3cos()( Sea
33)1()1(
0
3
00
3
0
0
33
0000
0
000
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
teeeeeXtx
n
ndtee
Tdtee
TX
dteeeT
dtetT
dtetxT
X
Tttx
tjtjtjtjtjn
nn
Ttjnjt
Ttjnjt
n
Ttjnjtjt
Ttjn
T
tjnn
Series de Fourier
ASL/RAD/2001
Relación entre coeficientes trigonométricos y exponenciales de una serie de Fourier
0 si
0 si ))(2/1(
0 si ))(2/1(
que lopor ,y bien ahora ,))(2/1(
que tienese en evaluamos si ),)(2/1(
0 de valorespara )Im(2y )Re(2
))(2/1())sen()(1
)cos()(1
))sen())(cos((1
)(1
0
00
00
0000
00
00
0
na
njba
njba
X
bbaajbaX
mnjbaX
nXbXa
jbadttntxT
jdttntxT
X
dttnjtntxT
dtetxT
X
nn
nn
n
nmnmmmm
nnn
nnnn
nn
TT
n
TT
tjnn
Series de FourierEjemplo
ASL/RAD/2001
))cos(1(2
2sen
2sen
4)Im(2
sen2
2cos
2sen
4)Re(2
que lopor ))(2/1(2
sen2
entonces x(t),periódica señal la de periodoun si ,0
0 si ,)( Sea
000
0000
000
0000
000
2
01
0
nnTA
nnnTA
Xb
nnTA
nnnTA
Xa
jbannT
AeX
Tt
tAtx
nn
nn
nn
jn
n
Series de FourierCaracterísticas de Simetría de las Señales Periódicas
ASL/RAD/2001
0)sen()(2
)cos()(4
)cos()(2
)(2
)(1
entonces , simetría tieneque periodocon periódica señal una )( Sea 1)
0
0
0
0
0
00
2/
0
00
00
2/
0000
0
Tn
T
Tn
T
T
dttntxT
b
dttntxT
dttntxT
a
dttxT
dttxT
a
parTtx
“La serie trigonométrica de Fourier de un señal periódica par contiene sólo términos en coseno
y posiblemente una constante”
Series de FourierCaracterísticas de Simetría de las Señales Periódicas
ASL/RAD/2001
2/
0
00
00
000
0
0
0
0
00
)sen()(4
)sen()(2
0)cos()(2
y 0)(1
entonces , simetría tieneque periodocon periódica señal una )( Sea 2)
T
Tn
TnT
dttntxT
dttntxT
b
dttntxT
adttxT
a
imparTtx
“La serie trigonométrica de Fourier de un señal periódica impar contiene sólo términos en seno”
Series de FourierCaracterísticas de Simetría de las Señales Periódicas
ASL/RAD/2001
impar es si ,)sen()(4
par es si ,0
)sen()(2
manera igual de
impar es si ,)cos()(4
par es si ,0
)cos()())1(1(2
)cos()(2
)cos()(2
)cos()(2
0)/2)((1
)(1
)(1
)(1
)(1
entonces ),(/2))(( decir, es
, tieneque periodocon periódica señal una )( Sea 3)
2/
0
00
00
2/
0
00
2/
0
00
2/
00
2/
0
00
00
2/
0
00
2/
002/0
2/
0000
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
000
0
0
0
ndttntxT
n
dttntxT
b
ndttntxT
n
dttntxT
a
dttntxT
dttntxT
dttntxT
a
dTxT
dttxT
dttxT
dttxT
dttxT
a
txTtx
dae media onsimetría dTtx
T
Tn
TT
nn
T
T
T
Tn
TTT
T
T
T
Series de FourierCaracterísticas de Simetría de las Señales Periódicas
ASL/RAD/2001
“La serie trigonométrica de Fourier de un señal periódica con simetría de media onda contiene sólo armónicas impares (a0 = a2n = 0, b2n = 0)”
“La serie trigonométrica de Fourier de un señal periódica par que, además, tiene simetría de
media onda contiene sólo armónicas impares en coseno (a0 = a2n = 0, bn = 0)”
“La serie trigonométrica de Fourier de un señal periódica impar que, además, tiene simetría de media onda contiene sólo armónicas impares en
seno (a0 = an = 0, b2n = 0)”
Series de FourierEjemplo del Uso de Simetrías de las Señales Periódicas
ASL/RAD/2001
5 10-5-10
20T0 = 10
x(t)
t
x(t) es par pero no tiene simetría de media onda
y(t)
5
10
-5
-10
10 T0 = 10
t
-10
2.5-2.5
y(t) es par y tiene simetría de media onda
y(t) = x(t) - 10 2212 )12(80
n
a n
Series de FourierOtro Ejemplo del Uso de Simetrías
ASL/RAD/2001
000
0
2
2
00
00
0
2
00
2
2
000
1
001
que siempre 2
)(
2
)(
)cos()cos(2
)cos()(2
2sen
2)cos(
2)cos(
1)(
1
0 que tienese par, es )( que Ya
entonces ,)( periódica señal una de periodoun
22y
22 0,
22 ),cos(
)(
0
0
nn
San
SaT
Aa
dttntAT
dttntxT
a
T
AdttA
TdttA
Tdttx
Ta
btx
txT
ttT
ttAtx
ccc
n
c
T
n
c
ccc
T
n
c
