Aspectos matemáticos de las ondas esféricas

Cualquier niño que haya arrojado una piedra a un estanque de agua está familiarizado yaintuitivamente con el concepto de las ondas esféricas al ver los rizos de anillos concéntricos sobrela superficie del agua que se van ampliando y se van alejando del punto en donde cayó la piedra:

Extendiendo este concepto de las ondas esféricas hacia un espacio verdaderamentetridimensional, aunque resulta más difícil representar este clase de ondas en tres dimensionespodemos hacer una esquematización como la siguiente en donde el centro generador de las ondasesféricas está representado como una pequeña cruz roja (se puede apreciaren Wikipedia una demostración dinámica en tres dimensiones de estas ondas esféricas conformense van expandiendo hacia el exterior):

La Mecánica Cuántica

Puesto que la esfera, simétricamente hablando, es el cuerpo más perfecto que existe en laNaturaleza, parecería a primera vista que la representación matemática de las ondas esféricasdebería ser algo realmente sencillo. Sin embargo, a diferencia de las ondas senoidalesunidimensionales, no lo es, y los matemáticos de antaño fueron los primeros en darse cuenta deello. Esta es la razón por la cual nos vemos casi obligados a elevar el grado de complejidad encualquier análisis que involucre este tipo de fenómenos.

En la entrada previa abarcamos algunos tópicos de naturaleza puramente matemática sin entraren mayor detalle sobre los mismos. Aquí exploraremos un poco más a fondo tales detalles, con lafinalidad de darle alguna justificación a las bases que estamos cimentando. Mantendremos, por lopronto y al igual que como se hizo en la entrada previa, el análisis clásico de este tipo defenómenos en la forma en que se lleva a cabo en el campo de la electrodinámica clásica.

Empezaremos por repasar la ecuación differencial de Bessel. Decimos que cualquier ecuacióndiferencial que pueda ser escrita en la forma:

es una ecuación diferencial de Bessel. Observando que esta ecuación diferencial es singular en elpunto u.=.0, en la búsqueda de una solución a dicha ecuación diferencial el camino más expeditoconsiste en buscar una solución con una expansión en una serie de términos de R(u) con respectoa este punto, escribiendo lo siguiente:

Tomando diferenciales de esta expansión, se tiene entonces:

Substituyendo estas expresiones en la ecuación diferencial de Bessel, vemos que:

Puesto que las distintas potencias de u son linearmente independientes, el coeficiente de cada

potencia se debe desvanecer separadamente. Por lo tanto, igualando a cero el coeficiente de uk+b,encontramos que:

[(k + b)(k + b - 1) + (k + b) - n2] ak + ak-2 = 0

o lo que es lo mismo:

[(k + b)2 - n2]ak + ak-2 = 0

Para el caso en el quel k.=.0 (obsérvese que a-2.=.0) obtenemos la ecuación indicial:

b2 - n2 = 0

la cual tiene dos raíces sencillas:

b1 = n (siendo n ≥ 0 )

b2 = - n

Para el caso en el cual k.=.1, se tiene:

[(b + 1)2 - n2]a1 = 0

De esto se deduce que a1 es igual a cero para ambas de las raíces b1 y b2.

Si usamos b1 = n en la expresión:

[(k + b)2 - n2]ak + ak-2 = 0

entonces se produce la relación:

Esta es precisamente la relación recursiva para la ecuación de Bessel. Puesto que ya encontramosque a1.=.0 , esta última expresión requiere que todos los ak para los cuales k sea impar también se

desvanezcan. Por lo tanto, k está restringido a tomar valores pares. Si hacemos la substitución de2λ por k en la expresión, entonces podemos permitir que λ tome los valores 0, 1, 2, etcétera:

Por lo tanto, para λ = 1:

y para λ = 2, haciendo uso de la recursividad para meter el resultado obtenido arriba:

De este modo, llegamos a la siguiente relación general:

De este modo, para el caso b1 = n, la solución es:

Excepto para algunos valores especiales de n, esta no es una función elemental. Se acostumbra

definir a a0 como 1/(2nn!). Cuando esto se hace, entonces R1(u) se convierte en una función de

Bessel de orden n:

Históricamente, aunque fue Friedrich Bessel el primero que dió en 1824 un tratamientosistemático a la ecuación diferencial que lleva su nombre y a este tipo de soluciones, estas

funciones fueron estudiadas por vez primera por Leonhard Euler en 1764 en sus estudios sobre lavibración de las membranas circulares.

Si recurrimos a la definición matemática de la función gamma Γ, podemos darle a lo anterior unaforma un poco más compacta:

En cualesquier caso, la expansión de la función de Bessel como una serie infinita de términos estádada por la siguiente relación general:

De acuerdo a esta relación, las primeras dos funciones de Bessel J0(u) y J1(u) se pueden escribir

de la siguiente manera:

A estas alturas, resulta instructivo graficar estas funciones de Bessel para los órdenes 0 y 1 juntocon las funciones de Bessel para otros órdenes superiores:

Si tomamos la función de Bessel de orden cero, y la hacemos girar en torno al eje vertical, lagráfica tridimensional resultante revela nítidamente la manera en la que estas funciones sonprecisamente la clave para la representación de ondas esféricas:

Los puntos en los cuales una función de Bessel cruza del eje vertical positivo al eje verticalnegativo (o viceversa) son conocidos como los ceros o las raíces de la función de Bessel. Laprimera raíz de la función de Bessel de orden cero J0(u) es igual 2.4048, como podemos verlo

arriba. La siguiente tabla nos da los valores de varias raíces para las primeras cuatro funciones deBessel:

Un resultado obtenido por George Stokes en 1850 indica que conforme el orden n de la función deBessel se vuelve muy grande, el valor de la ν-raíz está dado aproximadamente por la relación:

νπ + [n - (½ )](π/2)

Comparando (con la ayuda de una calculadora de bolsillo) los valores obtenidos mediante lafórmula de Stokes con los valores dados en la tabla de arriba revela que la aproximación de Stokeses precisa con un margen de error inferior al 10% inclusive para n.=.2.

Las funciones de Bessel, extendiéndose en ambas direcciones del argumento ( tanto en ladirección positiva hacia la derecha como en la dirección negativa hacia la izquierda), pueden sersimétricas o antisimétricas, como puede apreciarse en la siguiente gráfica:

Pero si las funciones de Bessel van a ser utilizadas para representar ondas de materia esféricas,¿cómo podemos adecuar a un sentido físico real los valores negativos de tales funciones de onda?Esto no ofrece problema alguno, porque al igual que como ocurre en la Mecánica Cuántica en

donde no es la función de onda Ψ sino el cuadrado de la función de onda, o sea Ψ2, lo que dá una

medida de la densidad de probabilidad para encontrar una partícula en cierta región del espacio(el criterio probabilista de Born), en la electrodinámica clásica lo que proporciona la intensidad dela magnitud (energética) de una onda electromagnética no es la magnitud de la ondaelectromagnética sino el cuadrado de la amplitud de la onda electromagnética, lo cual se deshacedel signo negativo. La siguiente gráfica nos muestra los cuadrados de algunas funciones de Bessel:

Todas las funciones de Bessel son de carácter oscilatorio con una amplitud decreciente conformeva aumentando el orden de la función. La siguiente gráfica en donde abarcamos más “ciclos” delas funciones de Bessel resalta el carácter oscilatorio de las mismas:

En la gráfica anterior podemos observar que en el extremo izquierdo de la misma las funciones deBessel parecen comportarse como ondas senoidales puras. Este es precisamenteel comportamiento asintótico de una función de Bessel, y no se requieren valores extremadamentegrandes de r (la condición r→∞) para que pueda usarse dicha aproximación, esto llega después deuna cantidad moderada de ciclos, y es lo que permite que a distancias relativamente grandes lasondas esféricas representadas mediante funciones de Bessel puedan ser consideradas(aproximadamente) como ondas planares. Esto lo podemos destacar con mayor claridad mediantela gráfica extendida de una sola de ellas (J0):

La solución para la raíz b2.=.- n viene siendo:

Hasta aquí hemos hablado de funciones de Bessel de orden integral. Pero como lo vimos en laentrada previa, no sólo hay funciones de Bessel de orden integral, también hay funciones de Besselde medio orden integral. Si n no es un entero, entonces Jn(u) y J-n(u) son soluciones linearmente

independientes. Sin embargo, si n es un entero, las soluciones son linearmente dependientes comolo demostraremos a continuación.

PROBLEMA: Demuéstrese que:

J-m(u) = (-1)mJm(u)

Para resolver este problema, podemos empezar con la definición de una función deBessel Jn(u) mediante la serie infinita:

Haciendo la substitución n.→.-m, se tiene:

Ahora bien, la función gamma Γ es divergente para:

λ - m + 1 ≤ 0

 λ ≤ m - 1

Por lo tanto, el primer término de la sumación que sobrevive es λ.=.m. Substituyendo (en lasumatoria) un nuevo sub-índice:

μ = λ - m

la sumatoria se vuelve entonces:

Usando la serie para Jn(u) y el hecho de que  Γ(k+1).=.k! por las propiedades de la función

Gamma, todo lo anterior se reduce al resultado deseado:

PROBLEMA: Si Zn(u) simboliza ya sea una función de Bessel Jn(u) o una función de

Neumann Nn(u), demuéstrese que:

La expresión proporcionada expresa la derivada de una función de Bessel o de Neumann en laforma de una relación recursiva. Para resolver este problema en lo que toca a las funciones deBessel, recurrimos a la siguiente expansión en series:

Diferenciando el producto unu2 se tiene entonces:

El primer término puede ser factorizado de la siguiente manera:

En lo que toca al segundo término, podemos redefinir de la siguiente manera el índice de lasumatoria:

λ - 1 → μ

Con esto, el segundo término se convierte en lo siguiente:

El término μ = -1 en la primera sumatoria es cero en virtud de que 0/0! = 0/1 = 0. Por lo tanto:

La metodología para demostrar la validez de la relación recursiva general en el caso de lasfunciones de Neumann es exactamente la misma, y no es necesario repetirla aquí.

Las funciones de Bessel que hemos visto hasta este punto son funciones de Bessel del primergénero. Para el caso en el cual n sea un entero (e inclusive para el caso en el cual n no sea unentero), la solución general de la ecuación diferencial de Bessel usualmente se escribe en funciónde las funciones linearmente independientes Jn(u) y Nn(u), en donde las Nn(u) son las funciones

de Neumann. Las funciones de Neumann también son llamadas frecuentemente funciones de

Bessel del segundo género, de modo tal que la solución general de la ecuación diferencial deBessel está dada por una combinación linear de funciones de Bessel del primer género y delsegundo género. (Advertencia: las funciones de Bessel del segundo género frecuentemente serepresentan como Yn(u), pero nos abstendremos aquí de hacer tal cosa porque esto se presta a

confusiones con la notación que hemos estado utilizando para simbolizar a las armónicas esféricasque aunque son un concepto similar no se trata de la misma cosa). Las funciones de Neumann sedefinen formalmente mediante la siguiente relación:

De este modo, la solución general Rn(u) = Rn(kr) de la ecuación diferencial de Bessel se puede

expresar en forma sencilla de la siguiente manera:

Las funciones de Bessel Jn(kr) son regulares en el origen, y para valores pequeños de kr (esto

es, kr«1), éstas varían de acuerdo a la relación:

Por el otro lado, las formas asintóticas para valores relativamente grandes de kr (esto es, kr»1)están dadas por (la expresión asintótica para J0 fue obtenida en 1817 por Poisson, mientras que el

resultado general para cualquier n fue obtenido por Jacobi):

Las funciones de Bessel, por lo tanto, exhiben una variación asintótica senoidal a medida queaumenta kr, pero con una disminución en la amplitud al ir creciendo kr. La región de transiciónentre la aproximación para valores pequeños de kr y la aproximación para valores grandesde kr es cercana al punto kr.≈.n.

A estas alturas, resulta instructivo echarle un vistazo a las gráficas de varias funciones deNeumann para varios órdenes:

Lo primero que resalta es que todas las funciones de Neumann son irregulares en el origen, endonde su valor se va hacia el infinito (negativo). Es por ello que debemos usar mucha precauciónen los usos que le demos a estas funciones en problemas de la física, y es por ello que en virtud deesta irregularidad de las funciones Nn(kr) escogemos únicamente a las funciones Jn(kr) en

problemas en los que el origen esté involucrado.

Para valores pequeños de kr (esto es, kr«1) y para n.=.0, la función de Neumann varía de lasiguiente manera:

Para valores pequeños de kr (esto es, kr«1) y para cualquier otro valor de n difefente de n.=.0, lafunción de Neumann varía de la siguiente manera:

Las expresiones asintóticas de las funciones de Neumann para valores relativamente grandesde kr (esto es, kr»1) son:

Conforme nos alejamos de la singularidad en el origen, todas las funciones de Neumann son decarácter oscilatorio con una amplitud decreciente conforme va aumentando el argumento de lafunción. La siguiente gráfica en donde abarcamos más “ciclos” de las funciones de Neumannresalta el carácter oscilatorio de las mismas:

Compárese la forma asintótica algebraica de las funciones de Neumann con la forma asintótica delas funciones de Bessel del primer género. Son casi la misma cosa, ambas con la misma amplitud,excepto que una forma es senoidal y la otra cosenoidal.

Se ha afirmado que es posible llevar a cabo la representación de una onda plana mediante unasuma (infinita) de ondas esféricas. De la quintaesencia del análisis de Fourier, sabemos ya quepara que esto se pueda llevar a cabo las funciones que representan cada onda esféricanecesariamente tienen que ser ortogonales entre sí. Afortunadamente, esto está garantizado,porque se puede demostrar que las funciones de Bessel Jn(kr) son ortogonales. Si kmρ es la m-

raíz de Jn(kr), esto es, Jn(kmρ).=.0, entonces la condición de ortogonalidad sobre las funciones de

Bessel dentro de cierto intervalo 0.≤.r.≤.ρ afirma que:

Es un hecho que las funciones de Bessel forman un conjunto ortogonal completo de funcionespara la expansión de una función f(r) en el intervalo 0.≤.r.≤.ρ:

PROBLEMA: Obténganse los “coeficientes Fourier” Dmn para la expansión de una función de r

en términos de una serie (infinita) de funciones de Bessel.

Si multiplicamos ambos miembros de la expansión anterior por:

y llevamos a cabo la integración en el intervalo 0.≤.r.≤.ρ, se tiene entonces:

El lado derecho puede ser evaluado usando la condición de ortogonalidad dada arriba:

Por lo tanto:

Obviamente, las series que son generadas de esta manera son conocidas como series Fourier-Bessel.

Aunque la evaluación numérica de las funciones de Bessel usando una expansión en series puedaparecer algo sencillo y directo recurriendo un programa de computación para el cálculo numéricode dichas series, la lentitud en la convergencia hacia una respuesta con un grado aceptable deprecisión (digamos cuatro o cinco cifras significativas) hace que tal procedimiento sea de valorescaso para argumentos que sean muy superiores a la unidad. No entraremos a fondo en losdetalles de las dificultades enfrentadas en una situación de este tipo ya que, afortunadamente,tales detalles en la evaluación de cómputos numéricos pueden ser solventados recurriendo a loque se conoce como las representaciones integrales de las funciones de Bessel:

PROBLEMA: Demuéstrese que:

es equivalente a la relación recursiva:

Llevando a cabo la diferenciación indicada y usando la relación recursiva, se tiene:

PROBLEMA: Usando el resultado del problema previo junto con la representación integralpara la función de Bessel J0(u), obténgase la representación integral para la función de

Bessel J1(u). Generalícese el procedimiento para obtener la representación integral de cualquier

función de Bessel demostrando que, en general:

Usando el resultado previo haciendo n.=.0, y recurriendo a la representación integral para lafunción de Bessel J0(u), se tiene que:

Podemos diferenciar bajo el signo de la integral para obtener lo siguiente (los colores son pararesaltar las partes con las cuales se llevará a cabo una substitución de variables con la finalidad defacilitar el proceso de integración por partes):

Es evidente que las variables “monigote” son tales que lo siguiente debe ser cierto:

Llevando a cabo la integración por partes, se tiene entonces:

El término “uv” se desvanece en ambos límites. Procediendo de modo similar repitiendo la técnicade integración por partes, obtenemos:

Cada subsecuente integración por partes va recogiendo los factores adicionales sen2(ξ), u, y uncoeficiente en la progresión 1/3, 1/5, 1/7, etc. Por lo tanto, la generalización deseada es:

La representación integral de J0(u) se puede demostrar llevando a cabo la expansión del

integrando en una serie de potencias, llevando a cabo la integración término por término, yefectuando la comparación con la expansión en series para J0(u).

PROBLEMA: Utilícense los resultados vistos previamente para demostrar las siguientesrelaciones:

De lo que se ha visto con anterioridad, se tiene que:

Para n.=.1/2, se vuelve necesario recurrir a las propiedades de la función Gamma en la forma en laque se aplica para argumentos de medio orden integral. En este caso, consultando la bibliografíamatemática, se tiene que:

De este modo, la serie toma el siguiente aspecto:

De modo semejante, para n.=.-1/2:

Entonces para este caso la serie toma el siguiente aspecto:

Un procedimiento alterno de solución consiste en recurrir a la siguiente substitución:

tomando n.=.±1/2 en la ecuación diferencial de Bessel, lo cual reduce la ecuación a la formafamiliar:

PROBLEMA: Obténganse expresiones para las siguientes funciones de Bessel y de Neumann demedio orden integral:

Las funciones de Bessel J+1/2 y J-1/2 pueden ser obtenidas directamente de la expansión en seriesdada arriba:

Puesto que ya se obtuvieron J+1/2 y J-1/2 en el problema anterior, no será necesario repetir aquí lasolución de los mismos.

En lo que respecta a la función de Bessel J+3/2, esta puede ser obtenida con la ayuda de larelación recursiva:

Usando los resultados obtenidos arriba,

Por otra parte, para J-3/2, se tiene:

Para valores medios integrales de n, la relación:

nos conduce a:

Por lo tanto:

Del mismo modo:

Usando los factores de normalización e indexación que corresponden propiamente a lasfunciones esféricas de Bessel, tenemos primero que:

Del mismo modo:

En lo que toca a las funciones esféricas de Neumann, se tiene primero que:

Del mismo modo:

PROBLEMA: Usando la relación:

demuéstrese lo siguiente:

Usando la expresión así obtenida, demuéstrese que:

Finalmente, utilícese la expresión anterior para demostrar que:

Obténganse de esta última relación las primeras tres funciones esféricas de Bessel, ycompruébese que se obtiene lo mismo que lo que había sido dado previamente.

Utilizaremos el muy conocido procedimiento de inducción matemática para demostrar lo primero.Para m.=.0, la relación a ser demostrada se reduce al siguiente resultado que es trivialmentecierto:

Suponemos ahora que la relación es válida para cualquier valor de m. Tenemos que demostrarque ello implica que será válida también para m+1. Si el teorema a ser demostrado es válidopara m, entonces para m+1 se tiene:

Esto se reduce a la forma:

al llevar a cabo el reemplazo n→n+m. Puesto que hemos demostrado la validez de la hipótesispara m.=.0 y para m+1, será válida para cualquier valor entero de m, con lo cual se dá porconcluida la demostración.

Ahora bien, hágase n.=.1/2 y m→l. La relación demostrada se vuelve entonces:

Pero:

y se tiene también que:

Entonces, para la función de Bessel de medio orden integral:

Y en lo que respecta a la función esférica de Bessel correspondiente:

Para l = 0, 1 y 2, esta última relación que acabamos de obtener nos produce las primeras tresfunciones esféricas de Bessel que resultan ser idénticas a lo dado previamente:

PROBLEMA: Verifíquese por integración directa que la expresión:

produce las primeras tres funciones esféricas de Bessel.

La ecuación proporcionada es una forma integral de las funciones esféricas de Bessel, que con unligero cambio en la notación toma el siguiente aspecto:

Usando los polinomios de Legendre:

se tiene entonces por principio de cuentas:

Del mismo modo, y llevando a cabo una integración por partes:

Finalmente:

PROBLEMA: Las funciones generadoras para las funciones esféricas de Bessel y Neumann sonlas siguientes:

en donde, por ejemplo, operacionalmente hablando:

y así sucesivamente para valores crecientes de l. Utilícense estas funciones generadoras paraobtener las primeras tres funciones esféricas de Bessel y de Neumann.

Las funciones jl para l.=.0, 1, y 2 fueron obtenidas en uno de los problemas resueltos arriba

precisamente por este procedimiento. Podemos escribir la función generadora de la siguientemanera:

Por lo tanto:

Las funciones esféricas nl pueden ser obtenidas de las funciones esféricas de Bessel jl mediante la

substitución (el signo negativo viene del signo negativo extra en la función generadora):

sen(u) → - cos(u)

y la substitución (el signo es invertido por el signo negativo adicional en la diferenciación hacia elcoseno):

cos(u) → + sen(u)

Así, por ejemplo:

Sin entrar en tanto detalle en torno a las funciones esféricas de Bessel y Neumann, resulta posibleentender cómo siempre debe ser posible representar una onda plana (escrita ya sea como unafunción senoidal o cosenoidal multiplicada por un factor que representa la amplitud de la onda)mediante una combinación en serie (infinita) de funciones de Bessel, en virtud de las siguientesrelaciones matemáticas cuya demostración puede ser encontrada en Internet y en muchos textosde matemáticas propias de la física:

Si es posible representar una onda plana en función de una combinación de un número infinito deondas esféricas, puede surgir entonces la pregunta: ¿será posible hacer lo opuesto, esto es,representar una onda esférica utilizando ondas planas? La respuesta, como pudiera sospecharse,es afirmativa. En efecto, y utilizando como referencia la definición para una transformada deFourier en una dimensión:

pero extendida a tres dimensiones, se encuentra que una onda esférica definida como Ylm.j(kr)

puede ser expandida en términos de ondas esféricas mediante el cálculo de los coeficientes A(k)de la siguiente relación:

Lo que se lleva a cabo, en efecto, es una transformada de Fourier en el sentido inverso. Aunque ellector posiblemente ya sospechaba desde un principio que esta era la forma de llevarlo a cabo.