ATENUACIN EN

MEDIOS CONDUCTORES

Prof. Ctedra: Mauricio Contreras

Figura: La ionosfera es una regin de partculas cargadas que se encuentra sobre la superficie de la Tierra entre los 50 y 400 km de altura. La ionosfera est dividida en tres capas denominadas D, la ms interna (entre los 50 a 95 km de altura), la capa intermedia E y la capa externa F (de 160 a 400 km de altura). La ionosfera se comporta como un placa conductora, de modo que las ondas de radio se reflejan sobre sta, como la luz sobre un espejo. Esto permite la comunicacin radial entre regiones muy apartadas.

Propagacin en medios conductores

Consideraremos ahora la propagacin de ondas electromagnticas en medios conductores. Un medio conductor est caracterizado por su conductividad , cuyo valor se da para algunos materiales, en la tabla inferior.

Si el medio conductor satisface la ley de Ohm, tendremos entonces que

de modo que las ecuaciones de Maxwell en el interior del conductor son

La ecuacin de continuidad

junto con la ley de Ohm, implican que

tE f

= r

y por la ley de Gauss

tff

=

cuya solucin es

de modo que la densidad de carga decae exponencialmente en el tiempo, con un tiempo caracterstico dado por

Para un conductor perfecto = y por tanto = 0, es decir la densidad de carga se anula instantneamente. Para un buen conductor es suficientemente grande de modo que el tiempo caracterstico sea menor que otros parmetros temporales caractersticos del sistema. De este modo, la densidad de carga es esencialmente cero, para todo tiempo t > . De manera que podemos escribir las ecuaciones de Maxwell para t > como

A partir de estas ecuaciones, encontramos que los campos elctricos y magnticos satisfacen las siguientes ecuaciones de onda

Busquemos soluciones del tipo onda plana monocromtica

reemplazando en las ecuaciones de onda anteriores, encontramos que el vector de onda satisface la relacin

(*)

y por tanto la velocidad de la onda v =k~

depende en este caso de la frecuencia. Este es un

ejemplo de relacin de dispersin, es decir, una relacin entre vector de onda y la frecuencia que no es lineal. As, en un medio dispersivo ondas de distinta frecuencia se propagan con distinta velocidad. Note que el vector de onda anterior es un nmero complejo, de modo que se puede escribir como

y al remplazar en (*) encontramos que su parte real e imaginaria estn dadas por

y por lo tanto los campos elctricos y magnticos en el interior del conductor estn dados por:

Vemos as que los campos se atenan a medida que penetran en el conductor. La longitud

se denomina profundidad de penetracin y corresponde a la distancia a lo largo del conductor para la cual la amplitud del campo elctrico se decae en un factor 1/e.

figura: onda electromagntica en un conductor, en que aprecia claramente la atenuacin de la amplitud a medida que la onda se propaga en el conductor.

Obviamente la profundidad de penetracin depende de la frecuencia de la onda que se propaga. De la relacin

vemos que =1/ depende especficamente del cuociente

lo que permite establecer tres regiones para el comportamiento del conductor, en funcin de la frecuencia de la onda que se propaga. Estas tres regiones son

En la primera regin, el conductor se comporta como un dielctrico. El vector de onda es esencialmente cero y =1/ se hace infinito de modo que casi no hay atenuacin.

En la segunda regin se dice que el conductor es un cuasiconductor y el vector de onda es esencialmente

En la tercera en la tercera regin, tenemos un verdadero comportamiento de conductor, de hecho en este caso el vector de onda viene dado por

y por tanto

como

se tiene que

Por ejemplo para el cobre

y = 58

lo que da

Por ejemplo

Si se quiere ser ms especfico, las tres regiones de conductividad anteriores pueden definirse de acuerdo a

El grfico de la pgina siguiente da la razn

como funcin de la frecuencia para algunos medios comunes.

GUIAS DE ONDA

Consideraremos ahora la propagacin de ondas en conductores huecos que tienen un eje de simetra, llamados guas de onda, como se aprecia en la figura de derecha. Se supone que las paredes de la gua de ondas son perfectamente conductoras, de modo que no puede haber propagacin de ondas a travs de la superficie conductora, de modo que

en el interior del material conductor. Las condiciones de continuidad implican que

sobre la superficie interior de la gua onda. Nos interesa encontrar ondas que se propaguen a lo largo de la gua, de la forma

Por otro lado los campos deben satisfacer las ecuaciones de Maxwell

en el interior de la gua. La forma ms general para las amplitudes de los campos es

lo que, al reemplazarlas en las ecuaciones de Maxwell (iii) y (iv) da

y que permite despejar

en trminos de

de acuerdo a

De este manera slo es necesario determinar la dinmica de las componentes de los campos a lo largo del eje z. Reemplazando estas ltimas ecuaciones en las restantes ecuaciones de Maxwell se obtiene

Si Ez = 0, la onda se denomina TE (transverse electric wave)

Si Bz = 0, la onda se denomina TM (transverse magnetic wave)

Si Ez = 0 y Bz = 0, la onda se denomina TEM (transverse electric and magnetic wave), pero esta ultima no puede ocurrir en una gua de onda, pues las ecuaciones de Maxwell implican que la solucin es cero para las amplitudes de los campos.

De hecho, si Ez = 0 la ley de Gauss implica

Si Bz = 0 la ley de Faraday, establece

esto es, la amplitud del campo elctrico tiene divergencia y rotor cero

Esta ltima ecuacin implica que

es decir, el campo elctrico es el gradiente de una funcin potencial, y como la divergencia de un rotor es el Laplaciano, obtenemos gracias a la primera ecuacin, que el potencial en el interior de la gua de onda satisface la ecuacin de Laplace:

Debido a que la superficie es conductora, esta debe estar a potencial constante. Como la nica solucin que satisface la ecuacin de Laplace y las condiciones de borde al mismo tiempo es la funcin constante

el campo elctrico en el interior es entonces

De modo que no hay modos TEM en una gua de onda.