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Dirección de contenidos y servicios educativosElisa Bonilla Rius

PublisherLauren Robbins

AutoresApolo Castañeda AlonsoRosa Isela González Polo

Coordinación editorialErnesto Manuel Espinosa Asuar

EdiciónMacbeth Baruch Rangel Orduña

Revisión técnicaJosé Cruz García Zagal

Coordinación de correcciónAbdel López Cruz

CorrecciónMónica Nelly Terán MéndezLaura Martínez GarcíaEduardo Jiménez Zurita

Dirección de arte y diseñoQuetzatl León Calixto

Diseño de portadaJosé Manuel Calvillo

Diseño de la serieClaudia Adriana García Villaseñor

Coordinación de diagramaciónJesús Arana y César Leyva

DiagramaciónMaricarmen Martínez Muñoz

Coordinación de iconografía e imagenRicardo Tapia

IconografíaPenélope Graciela Ubaldo Jurado

Fotografía© 2011, Carlos A. Vargas© 2011, Iván Meza© Thinkstock 2011Archivo SM

Digitalización e imagenCarlos A. López,Uriel Flores MorenoDonovan Popoca JiménezEliana Castro Fernández

Revisión técnica de evaluacionesInstituto de Evaluación y Asesoramiento Educativo (IDEA)

ProducciónCarlos Olvera, Teresa Amaya

Retos matemáticos 1Secundaria primer gradoPrimera edición, 2012D. R. © U.D. Publishing, S. A. de C. V., 2012Magdalena 211, Colonia del Valle,03100, México, D. F.Tel.: (55) 1087 8400www.udaytonpublishing.com

La marca University of Dayton Publishinges propiedad de University of Dayton.Prohibida su reproducción total o parcial.

University of Dayton300 College ParkDayton, OH 45469

ISBN 978-607-493-236-2

Miembro de la Cámara Nacional de la IndustriaEditorial MexicanaRegistro número 2830

No está permitida la reproducción total o parcial de este libro ni su tratamiento informático ni la transmisión de ninguna forma o por cualquier medio, ya sea electrónico, mecánico, por fotocopia, por registro u otros métodos, sin el permiso previo y por escrito de los titulares del copyright.

Impreso en México/Printed in Mexico

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Retos Matemáticos 1 se creó para apoyar y acompañar al estudiante en su trabajo escolar mediante planteamientos didácticos cercanos a su vida cotidiana, en los que se relacionan de manera dosificada los conocimientos previos con los nuevos, conforme al grado de complejidad matemática. Su propósito es generar reflexiones y argumentos para que el alumno desarrolle competencias matemáticas, habilidades de comunicación y una actitud crítica ante su entorno.

Para ello, el libro se organiza en cinco bloques y cada uno de ellos en varias leccio-nes. Estas, a su vez, se dividen en tres apartados: situación problemática, “Un paso adelante” y “Profundiza", que están diseñados para analizar, discutir, reflexionar y establecer de forma colectiva conclusiones relativas a los contenidos tratados. En algunos casos, las lecciones comprenden más de un tema, por lo que “Un paso adelante” aparece más de una vez. Al término de cada lección se encuentra un recuadro de tecnologías de la información y comunicación (TIC), donde se sugieren sitios de Internet para que el estudiante practique al interactuar con animaciones, juegos, videos y modelos matemáticos. Además, en la mayoría se presentan activi-dades fuera del salón de clase para que el alumno consolide los conocimientos y habilidades de la lección.

Cada bloque concluye con cuatro anexos cuyo objetivo es sistematizar, resumir y ampliar los temas vistos. En la “Bitácora” hay planteamientos que permiten consolidar el conocimiento al resaltar las ideas relevantes de cada lección, así como verificar el nivel de adquisición de este y detectar dificultades. Por otra parte, en el “Laboratorio de matemáticas” se presentan retos, actividades y experimentos relacionados con el contenido de las lecciones; en ellos es necesario aplicar lo aprendido para resolver los diversos planteamientos.

En cuanto al anexo “En el tintero”, incluye un problema que representa la posibilidad de explorar nuevos escenarios, técnicas y procedimientos con el fin de afianzar lo estudiado. Por otro lado, en la “Evaluación” se reúnen preguntas con el formato de opción múltiple de tipo ENLACE para determinar los avances del alumno y acercarlo al estilo de esta prueba. Al final se ofrece un glosario y bibliografía tanto para el estudiante como para el profesor: en el primero se definen ciertos términos que podrían generar confusión, mientras que en la segunda se recomiendan documentos impresos y digitales para ampliar los conocimientos.

Por último, esta obra se diseñó como una guía para los profesores y padres de familia, pues el índice se adecuó para mostrar cada bloque con un color específico e identificar el eje, tema y contenido correspondientes, así como la lección y semana de estudio, además de una columna para indicar el avance del trabajo escolar.

Los autores

Presentación general

Para el alumno

Las matemáticas han contribuido al desarrollo del conocimiento científico y al avance de la tecnología, pero también han influido en otros ámbitos de la actividad humana, como el arte, la arquitectura y la música. Sin embargo, otra de sus funciones es ayudar a tomar buenas decisiones; por ejemplo, al comparar el precio de un producto en el supermercado, elegir el procedimiento para resolver un problema y opinar sobre los datos vertidos en una gráfica, entre otras situaciones.

Esto significa que las matemáticas son útiles en la vida cotidiana; estudiarlas requiere emplear nuestras habilidades de razonamiento para solucionar problemáticas en diversas situaciones. Pero, así como el ejercicio físico frecuente nos sirve para man-tener una buena salud, practicar y dedicarse a resolver actividades de matemáticas nos ayuda a afianzar nuestro pensamiento.

Por estas razones, en tu libro encontrarás problemas con diferente grado de complejidad en los que podrás aplicar conocimientos y repasar conceptos. Asimismo, hallarás actividades en las que necesitarás reflexionar lo ya aprendido y explorar procedimientos o métodos de solución nuevos. Además de profundizar en los contenidos, de manera individual y grupal, indagarás otras rutas para resolver proble-mas en los retos matemáticos, formularás estrategias y desarrollarás habilidades.

Tu libro está estructurado en lecciones que se inician con un planteamiento; este relaciona el conocimiento matemático que se explicará con situaciones de la vida cotidiana. Deberás poner en práctica tu experiencia y tus conocimientos para responder las preguntas. Conforme avances, te darás cuenta de que hay varias maneras de resolver los problemas. Al terminar cada lección, encontrarás referencias en Internet para profundizar en los contenidos que estudiaste, así como para explorar y resolver otros retos matemáticos.

En las lecciones encontrarás actividades para trabajar en equipo o parejas; están diseñadas con la intención de que experimentes los beneficios del trabajo colectivo, por ejemplo, al compartir ideas, llegar a acuerdos, etc., pero también con el fin de que desarrolles habilidades para comunicar información matemática.

El libro fue creado para que fortalezcas tus habilidades de pensamiento matemático y tu autoconfianza al superar los retos matemáticos que se presentan y aprovechar este amplio campo de saber. Esperamos que lo disfrutes.

Los autores

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Presentación

Para el profesor

En este libro se asume que la construcción de conocimiento es un proceso en que la repetición y memorización son útiles mas no suficientes para desarrollar y fortalecer las competencias matemáticas de los alumnos. Por esta razón, el contenido se basa en situaciones que integran una secuencia para contextualizar el conocimiento y darle sentido, lo cual ocasiona que las matemáticas sean más cercanas a la realidad de los estudiantes y que se propicie un medio para facilitar el tránsito del lenguaje cotidiano al matemático. De este modo, no solo ampliarán sus conocimientos, sino que comprenderán y usarán con eficiencia los procedimientos y argumentos mate-máticos al resolver problemas en diversas situaciones.

El libro se escribió con la intención de apoyarlo en la construcción del conocimiento matemático de sus estudiantes. Su característica principal es presentar los conte-nidos mediante secuencias didácticas con las que se profundiza en el manejo de los conceptos a medida que se avanza en cada lección. Las situaciones propuestas también se han diseñado con esta perspectiva: involucran planteamientos que es posible usar en la vida cotidiana y refieren a actividades laborales y profesionales más cercanas a la realidad de los estudiantes.

Además, el enfoque de las lecciones se basa, por un lado, en el carácter funcional del conocimiento matemático, en el desarrollo y perfeccionamiento de técnicas y procedi-mientos, así como en el manejo y comunicación de la información matemática. Y por el otro, se apoya en el fortalecimiento del pensamiento matemático que conduce a la buena toma de decisiones y al razonamiento a partir de la interpretación de datos.

Las lecciones están conformadas por una actividad inicial con la que se introduce el contenido, se plantean cuestionamientos iniciales y se lleva a los estudiantes a reflexiones intuitivas; en el apartado Un paso adelante se aplican los conocimientos con mayor profundidad, enfatizando los conceptos clave; la sección Profundiza, en la que se plantean problemas más complejos, pero sin dejar de acompañar a los alumnos en el proceso resolutivo; la cápsula Oriéntate, en la que se agregan datos útiles para apoyar la solución de problemas; y finalmente, el recuadro de TIC, que integra enlaces a diversas páginas de Internet para que efectúen más ejercicios y obtengan información adicional sobre los conceptos abordados.

Se agregó un recuadro de orientaciones relativas al contenido, al contexto del problema o sobre algún tecnicismo que pudieran representar un obstáculo para los estudiantes, con el propósito de que tengan los conocimientos necesarios para desarrollar las actividades y no se distraigan en buscar información. Algunas de ellas se diseñaron para trabajar en equipo con el fin de que los alumnos desarrollen y fortalezcan habilidades del pensamiento mediante el trabajo colaborativo. Por otra parte, el lenguaje que se maneja es simple y conciso; de esta manera, ellos pueden reconocer las variables involucradas en cada problema de forma directa.

Esperamos que encuentre en el libro un apoyo para el óptimo desarrollo de sus clases.

Los autores

5

Presentación

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Para calcular el perímetro: ecuaciones de la forma ax = b

Observa la secuencia de figuras.

1. Completa la tabla a partir de la secuencia anterior.

Figura Perímetro (cm)1 423

165

2. Responde las preguntas.

a) ¿Qué perímetro tendrá la figura 5 si se considera que la sucesión guarda un mismo comportamiento?

b) ¿Qué perímetro tendrá la figura 18?

c) ¿Qué operación efectuaste para responder la pregunta anterior?

3. Reúnete con un compañero y hagan, en su cuaderno, lo que se indica con base en la sucesión anterior.

a) Construyan una expresión general o fórmula que permita determinar el valor del perímetro para cualquier figura. Usen la x para representar el número de la figura.

b) En la sucesión anterior, una figura tiene un perímetro de 120 cm; planteen una ecuación en la que representen con x el número de la figura y resuélvanla para hallar dicha cantidad.

4. Observa el ejemplo y completa la tabla. Comparen sus resultados con los de su grupo, registren dudas y comenten cómo resolverlas.

a b a + b a · b a – b

8 5 13 40 3

2.4 1.356

47

Eje: sentido numérico y pensamiento algebraicoTema: patrones y ecuaciones

Contenido

Resolución de problemas que impli-quen el planteamiento y resolución de ecuaciones de primer grado de la forma x + a = b; ax = b; ax + b = c, utilizando las propiedades de la igual-dad, con a, b y c números naturales, decimales o fraccionarios.

1 cm

1 cm

2 cm

2 cm3 cm

Figura 4Figura 3Figura 2Figura 1

3 cm

Oriéntate

Un ecuación que tiene la forma ax = b expresa un producto entre el coeficiente a y la incógnita x, lo que da como resultado un número b.

Glosario

Coeficiente. Número que multiplica a la incógnita. Por ejemplo, en la ecuación 4x = 30, el coeficiente de x es 4.

142 Bloque 3 Lección 28

Lección 28 Ecuaciones de primer grado de la forma ax = b

76 77

Bloque 27776

En el mundo hay objetos, situaciones y eventos

que, a menudo, debemos medir; para hacerlo,

necesitamos los números. Al conocer la estatura

o edad de una persona, compartir el número de

celular a un amigo, determinar el consumo eléctrico

en la casa, comprender la economía del país o

desarrollar una investigación científica —por

mencionar algunos casos— los utilizamos. Incluso

en áreas como la música, es posible expresar el

ritmo con números enteros o fracciones. Por eso,

es importante reconocerlos y saber usarlos; si

deseamos precisar cuándo un número es divisible

entre otro, por ejemplo, requerimos no solo dividir,

sino también distinguir con cuáles se relaciona,

es decir, obtener su familia de números primos

para hallar la respuesta. En el estudio de la

naturaleza, los números y la geometría nos ayudan

a interpretar las formas y figuras; por ejemplo en

una estrella de mar de cinco picos observamos una

forma pentagonal y los ángulos que se forman

entre las líneas que unen los extremos de sus

brazos y centro es de 72º aproximadamente.

Aprendizajes esperados

1. Resuelve problemas utilizando el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo.

2. Resuelve problemas geométricos que impliquen el uso de las propiedades de las alturas, medianas, mediatrices y bisectrices en triángulos y cuadriláteros.

Retos matemáticos 1 consta de cinco bloques que contienen lecciones de cuatro páginas en que desarrollarás los contenidos de esta asignatura. En tu libro encontrarás las siguientes secciones.

Aprendizajes esperados. Conocimientos y habilidades que debes alcanzar como resultado del estudio de los contenidos.

Situa ción. Título de la primera situación problemática en que aparece un nombre lúdico y después la denominación formal del tema que estudiarás.

Guía de uso

Número de bloque

Introducción. Breve texto en que se mencio-nan situaciones cotidianas relacionadas con las ideas principales que se estudiarán con el fin de contextualizarlas y de activar tus conocimientos previos.

Lección. Número y título de la lección estudiada.

Eje, tema y contenido.

Situación

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Para la bitácora

GlosarioUn paso adelante

Pareja Equipo Grupo

ProfundizaProf undiza. Sección que contiene problemas matemáticos más complejos que puedes resolver porque ya desarrollaste los conocimientos y las habi-lidades necesarias para ello.

TIC. Recomendación de actividades relacionadas con las TIC; principalmente se te invita a profundizar en el contenido de las lecciones con algunos ejercicios en la web.

Un paso adelante. La lección es una secuencia que inicia con una situación cotidiana relacionada con las matemáticas. Una vez que la resuelves, das un paso adelante al aplicar nuevos conocimientos y habilidades para solucionar problemas matemáticos.

Glosario. Definición de algunos términos matemáticos.

Para la bitácora. Referencia a ejercicios de autoevaluación de los temas vistos en el bloque.

Oriéntate

Oriéntate. Pistas o información de apoyo para recordar algunos datos importantes que pueden servirte para resolver problemas matemáticos.

TIC

Guía de uso

TIC

8. Observa el ejemplo y completa la tabla.

Ecuación Operación para encontrar el valor de x Valor de x

3 + x = 17 x = 17 – 3 x = 14

x – 16

= 712

x + 3.5 – 2 = 14

x + 18

= 1

Para resolver una ecuación

La ecuación se transforma en otras ecuaciones equivalentes más sencillas hasta encontrar el valor de la incógnita.

Resolver la ecuación

Al resolver una ecuación, es necesario simplificar términos semejantes; por ejemplo, 12

x + 14

x se simplifican porque son términos similares.12

x + 14

x + 15

= 1920

34

x + 15

= 1920

Después, se debe despejar la incógnita, es decir, efectuar operaciones para encontrar su valor. Por ejemplo, en la ecuación 12 + x = 20, se despeja el valor de x como se indica en la tabla.

Pasos Caso 1 Caso 2Ecuación inicial 12 + x = 20 x – 8 = 10

Operación para despejar a x 12 – 12 + x = 20 – 12 x – 8 + 8 = 10 + 8Valor de x x = 8 x = 18

Para verificar la solución En la ecuación inicial se remplaza la incógnita por el valor encontrado. Si se cumple la igualdad, entonces es el correcto.

Comprobar el valor hallado

12 + x = 20 Comprobación: 12 + x = 20 x = 20 – 12 12 + 8 = 20 x = 8 20 = 20

9. Organiza con tu grupo un debate acerca de la incógnita en problemas de una cantidad desconocida. Propongan dos casos y escriban en su cuaderno una breve conclusión.

Para la bitácora

Resuelve las actividades correspondientes a la lección 27 en la bitácora de la página 178.

Explora www.e-sm.com.mx/matret1-141a, donde se encuentran actividades de resolución de ecuaciones.

Explora www.e-sm.com.mx/matret1-141b, donde hay una guía para resolver ecuaciones.

Consulta el video www.e-sm.com.mx/matret1-141c, donde se explica cómo solucionar ecuaciones.

Oriéntate

Oriéntate

Un término semejante es aquel que tiene la misma parte literal (incógnita y exponente), pero el coeficiente igual o diferente.

Cuando incorporas una operación a un miembro de la igualdad debes hacerlo en ambos miembros para conservar la igualdad.

Para que un juego de mesa (serpientes y escaleras, Turista, etc.) sea más interesante, consigue unos dados y marca tres de los seis números con un signo negativo. Apunta tus tiradas en una hoja de papel y resuelve la operación.

12

10

7 6

7

141Lección 27 Bloque 3

Lección 27

Lección. Recordatorio del número de la lección.

Recuadro de información. Información relevante que te guiará para desarrollar los conocimientos y habilidades matemáticas necesarias.

Actividad integradora. Actividad que se puede llevar a cabo fuera del salón de clases. Su función es ayudarte a consolidar tus conocimientos, habilidades, actitudes y valores.

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Bitácora Bitácora

Lecciones 14 y 15

a) Analiza la tabla y contesta las preguntas en tu cuaderno.

i. Escribe los números primos que se encuentran entre 500 y 550.

ii. ¿Cuáles son los primeros diez números compuestos que se encuentran entre 500 y 550?

iii. Anota cuatro divisores de 501.

b) Efectúa lo que se pide con base en los números de la tabla anterior.

i. Escribe cinco números divisibles entre 2.

ii. Escribe cinco números divisibles entre 3.

iii. Escribe cinco números divisibles entre 5.

iv. Escribe cinco números divisibles entre 7.

Lección 16

Juan tiene tres sapitos de juguete. Al darles cuerda, los tres saltan al mismo tiempo, pero recorren diferentes distancias en cada salto: el primero avanza 3 cm; el segundo, 5 cm; y el tercero, 4 cm.

a) Si se colocan en el mismo lugar después del punto de salida, ¿a qué distancia coincidirán de nuevo por un mismo punto?

b) ¿Cuántos saltos da cada uno?

Sergio tiene 24 monedas de $10.00, treinta de $5.00 y cincuenta de $1.00, y desea acomo-darlas en montones con igual cantidad de monedas de cada denominación.

a) ¿Cuál es el máximo número de montones que puede formar con igual cantidad de monedas de cada denominación?

b) ¿Cuál es el mayor número de monedas que puede colocar en cada montón?

Lección 17 María fue al mercado y compró 1

2 kg de jitomate, 1 __ 4 kg de chile, 800 g de cebolla, 700 g de tomate, 3 3

4 kg de naranja y 1.250 kg de manzana. Si metió lo que compró en su bolsa, ¿cuánto pesó?

501 502 503 504 505 506 507 508 509 510511 512 513 514 515 516 517 518 519 520521 522 523 524 525 526 527 528 529 530531 532 533 534 535 536 537 538 539 540541 542 543 544 545 546 547 548 549 550

Lección 18

Sandra ganó un premio de $50 000.00, pero debe pagar 16100 de impuestos. Repartirá el

resto entre sus hijos de esta manera: 12 para el que está estudiando Medicina, 1

3 para el que ya se casó y lo demás para el que acaba de ser padre.

a) ¿Qué cantidad pagó de impuestos?

b) ¿Cuánto le dio a cada hijo?

Lección 19

Ocho obreros construyen 17 35 m de una obra en 1 h.

a) ¿Cuántos metros construye cada uno en 1 h?

b) A ese ritmo de trabajo, ¿cuánto construirá un obrero en 2 34 h?

Lección 20

a) Traza la mediatriz de cada segmento marcado en un círculo.

i. ¿Dónde se unen las mediatrices?

b) Tres amigos cooperaron para comprar una pizza y se la dividieron en partes iguales.

i. Traza una rebanada de pizza y divídela en dos pedazos iguales.

Lección 21

Copia el pentágono en una hoja, recórtalo y pégalo como creas conveniente para justificar la fórmula de su área.

A = pa2

Lección 22

Marcela estudia Arquitectura; le han pedido de tarea una maqueta de un edificio cilíndrico que mide 30 m de diámetro y 60 m de altura. Cada metro real es igual a 1 cm en la maqueta.

a) ¿Qué diámetro tendrá el edificio en la maqueta?

b) ¿Cuál es la razón de proporcionalidad?

114 115Bloque 2 Bloque 2

Laboratorio de matemáticas En el tintero

180 181

Cálculo de porcentajes

Para transformar un número decimal en porcentaje, solo se multiplica la cantidad por 100 y se escribe al final el símbolo %. Por ejemplo: 0.3 × 100 = 30, así, 0.3 representa 30%.

Para convertir una fracción en porcentaje, primero se transforma la fracción en decimal y, posteriormente, en porcentaje. Por ejemplo: 2 __

5 = 2 ÷ 5, 2 __

5 = 0.4 y 0.4 × 100 = 40, así 2 __

5 representa 40%.

Para transformar porcentajes en decimales, se quita el símbolo % y se divide entre 100. Por ejemplo: 30% = 30 ÷ 100 = 0.3; así, 30% representado como decimal es 0.3.

Para transformar porcentajes en fracciones, se elimina el símbolo %, luego se escribe una fracción con el número del porcentaje como numerador y 100 como denominador, y, finalmente, se reduce la fracción obtenida. Por ejemplo: 82% = 82

100 = 4150 ; así, 82% equivale en fracción a 41

50 .

1. Completa la tabla.

¿Cuánto es 20% de 120? Para calcularlo, solo se multiplica el porcentaje por la cantidad y se divide el resultado entre 100. Es decir, 20 × 120 = 2 400 y 2 400 ÷ 100 = 24; por lo tanto, 24 es 20% de 120.

¿Qué porcentaje de 70 es 28? Para determinarlo, se divide la parte entre el todo y se multiplica por 100. Es decir, 28 ÷ 70 = 0.4 y 0.4 × 100 = 40; por lo tanto, 28 es 40% de 70.

¿De qué número 15 representa 25%? Para saberlo, se divide la cantidad entre el porcentaje y el resultado se multiplica por 100. Esto es, 15 ÷ 25 = 0.6 y 0.6 × 100 = 60; por lo tanto, 15 es 25% de 60.

2. Completa la tabla.

3. Discute grupalmente el uso de porcentajes en la vida cotidiana. Redacten dos ejemplos en su cuaderno. Discutan y acuerden de los beneficios de su uso.

Trazo de polígonos regulares con tiras de papel

1. Construye tres polígonos regulares mediante los procedimientos que se indican. Responde las preguntas en tu cuaderno.

a) ¿Qué polígono obtuviste?, ¿cuánto miden sus lados?, ¿cuánto mide cada ángulo interno?

b) Dobla el polígono y traza sus mediatrices; el punto donde estas se cortan es el centro.

c) Traza una apotema y mídela. Calcula el área del polígono.

d) ¿Qué polígono obtuviste?, ¿cuánto miden sus lados?, ¿cuál es su perímetro?, ¿cuánto mide cada ángulo interno?

e) Traza una apotema y mídela. Calcula el área del polígono.

f) ¿Qué polígono obtuviste?, ¿cuánto miden sus lados?, ¿cuánto miden los ángulos internos formados por los lados?

ProcedimientoConsigue una hoja de tamaño

carta y recorta una tira de 3 cm de ancho.

Toma los extremos de la tira y anúdalos.

Aprieta suavemente el nudo y aplánalo.

Recorta los pedazos sobrantes.

Ilustración

ProcedimientoRecorta dos tiras de 3 cm

de ancho.Toma los extremos de las tiras

y anúdalos.Aprieta suavemente el nudo

y aplánalo.Recorta los pedazos

sobrantes.

Ilustración

Procedimiento Utiliza el papel sobrante y dóblalo como se muestra en la ilustración. Aplana la figura por el doblez. Recorta los pedazos sobrantes.

Ilustración

Fracción Decimal Porcentaje

1 __ 8

0.32

67%

Cantidad total Porcentaje Cantidad parcial

80 30%

48% 48

300 36

75% 90

256 128

1 154 49%

Bloque 3Bloque 3

Bitácora. Sección de dos páginas en la que practicarás lo aprendido a lo largo del bloque y repasarás las ideas más importantes de las lecciones.

También funciona como una autoevaluación en la que aplicarás los aprendizajes desarrollados en el bloque.

Laboratorio de matemáticas.Anexo de actividades propuestas para que lleves a cabo experimen-tos. Con los retos seguirás cono-ciendo y disfrutando la naturaleza de las matemáticas.

En el tintero. Aquí podrás conocer temas cuyo propósito es introducirte a la cultura de las matemáticas mediante la propuesta de nuevos retos matemáticos.

Guía de uso

9

9. ¿Con qué expresión se calcula el área de una parte del círculo?

A) �d B) �d C) �r2 D) �r2

8

10. Una familia de cuatro personas gasta diariamente 1 000 L de agua para satisfacer sus ne-cesidades. ¿Cuántos litros se requieren para satisfacer a una familia de cinco integrantes?

A) 200 L B) 250 L C) 1 250 L D) 2 000 L

11. Una empresa tiene dos vacantes: recepcionista y edecán. Si cuatro personas se presentan a pedir empleo, ¿cuántas posibilidades hay de ocupar los puestos?

A) 12 B) 8 C) 6 D) 4

12. Analiza la tabla y contesta la pregunta.

Fruta Frecuencia absoluta Porcentaje

Plátano 6 30%

Manzana 4 20%

Pera 2 10%

Uva 3 15%

Kiwi 5 25%

¿Qué gráficas representan la información de la tabla?

Lee los planteamientos, elige la respuesta correcta y márcala en la sección de respuestas.

Algunas de las fosas marinas más profundas son el abismo Emden (en Filipinas) de aproximadamente 10 793 m y el abismo Planet (en las islas Salomón) con alrededor de 9 148 m. En cambio, entre los puntos más altos del mundo se encuentran las montañas Cho Oyu, cuya altura mide 8 201 m sobre el nivel del mar, y Annapurna I de 8 091 m sobre el nivel del mar (ambas se sitúan en Nepal, China).

1. ¿Qué distancia hay entre el punto más bajo del abismo Emden y el punto más alto de la montaña Cho Oyu?

A) 18 994 m B) 2 592 m C) –2 592 m D) –18 994 m

2. ¿Qué distancia hay entre el punto más alto de la montaña Annapurna I y el punto más bajo del abismo Planet?

A) –1057 m B) 17 239 m C) 1 057 m D) –17 239 m

3. ¿Cuál es el segmento que une dos puntos cualesquiera de la circunferencia?

A) Diámetro. B) Radio. C) Cuerda. D) Segmento.

4. ¿A partir de qué elementos es posible construir una circunferencia?

A) Medida del radio. B) Una cuerda. C) Medida del diámetro. D) Cualquiera de las anteriores.

5. La medida de � se obtiene de la proporción entre

A) el radio y el área. B) el diámetro y la circunferencia.

C) el radio y la circunferencia. D) el diámetro y el área.

6. ¿Cuál es la longitud del segmento rojo?

A) 8.18 cm B) 4.09 cm C) 2.045 cm D) 16.36 cm

7. El radio de la rueda de una bicicleta mide 8 pulgadas; después de haber dado seis vueltas, ¿qué distancia recorrió?

A) 150.79 pulgadas. B) 301.59 pulgadas. C) 25.13 pulgadas. D) 50.26 pulgadas.

8. ¿Cuál es la medida de la circunferencia inscrita en un pentágono de 5 cm de apotema?

A) 31.41 cm B) 15.70 cm C) 78.53 cm D) 314.15 cm

Respuestas de la evaluación correspondiente al bloque 4

1. A B C D 4. A B C D 7. A B C D 9. A B C D 11. A B C D


3. A B C D 6. A B C D

Plátano Plátano Plátano Plátano

Plátano20%

Plátano20%

Manzana20%

Manzana20%

Pera20%

Pera20%

Uva20%

Uva20%

Kiwi20%

Kiwi20%

0 0 0 01 1 1 12 2 2 23 3 3 34 4 4 45 5 5 56 6 6 67 7 7 7

Manzana Manzana Manzana ManzanaPera Pera Pera PeraUva Uva Uva UvaKiwi Kiwi Kiwi Kiwi

Plátano30%

Plátano30%

Manzana20%

Manzana20%

Pera10%

Pera10%

Uva15%

Uva15%

Kiwi25%

Kiwi25%

A) B) C) D)

8.18 cm

230 231Evaluación Bloque 4Bloque 4 Evaluación

Bloque 4 EvaluaciónBloque 4 Evaluación

Adición. Término asociado a varias ideas, entre ellas la de agrupar o reunir. Sin embargo, cuando se suman números negativos estas nociones son contradictorias, pues una adición puede implicar una sustracción.

Área. Medida de una superficie geométrica. El valor se puede asociar a comparar una superficie con una unidad de medida. También implica una tarea de medición, lo que conduce al manejo de técnicas y procedimientos correspondientes.

Conteo. Procedimiento y estrategias utilizadas para contar.

Ecuación. Procedimiento o técnica de solución que se relaciona con los conceptos de igualdad e incógnita.

Multiplicación. Operación que se asocia a un resultado mayor que los factores; sin embargo, con cantida-des menores que 1 no es así, por lo que el modelo no siempre funciona.

Número fraccionario. Cifra que representa diversas situaciones: división, reparto, proporción o secciones de una unidad. Se define en función de las relaciones que se establezcan entres estos conceptos.

Número con signo. Cifra que epresenta varias situaciones o se asocia a ellas. Estas tienen el riesgo de entrar en contradicción o de forzar su relación con los números negativos.

Potencia. Multiplicación simplificada; aunque, cuando los exponentes son negativos, no es así.

Regla de tres. Relación entre dos cantidades cuyo comportamiento es lineal. Cuando se aplica a otras situaciones que no son lineales, hay muchos problemas, por lo que conviene acotar el tipo de planteamientos.

Solución. Respuesta a un planteamiento. Se necesita darle sentido en términos del cuestionamiento inicial para cerrar el ciclo entre ambos.

Sucesión numérica. Mediante el análisis de su comportamiento se permite establecer expresiones algebrai-cas e introducir la idea de variación como una característica de diversos fenómenos.

Trazar. Actividad asociada con el uso de instrumentos para efectuar el trazo. Con el desarrollo de las tecnologías informáticas, esas herramientas pueden ser entendidas como comandos que ejecutan acciones específicas.

269

Glosario para el profesor

Bibliografía para el alumno

Andradas, C. (2006). Póngame un kilo de matemáticas. Madrid: Ediciones SM.

Ball. J. (2005). Piensa un número. Una mirada fascinante al mundo de los números (2a ed.). México: Ediciones SM.

Blatner, D. (2003). El encanto de Pi. México: Aguilar.

De la Peña, J. A. (2002). Geometría y el mundo. Biblioteca Juvenil Ilustrada. México: Santillana.

Enzensberger, H. (1997). El diablo de los números. Madrid: Siruela.

Juring, Y. (1985). ¿Qué son las matemáticas? México: Ediciones de Cultura Popular.

Paenza, A (2005). Matemática… ¿Estás ahí? Sobre números, personajes, problemas y curiosidades. Ciencia que ladra… Buenos Aires: Siglo XXI Editores.

_________ (2007). Matemática… ¿Estás ahí? Episodio 2. Ciencia que ladra... Buenos Aires: Siglo XXI Editores.

_________ (2008). Matemática… ¿Estás ahí? Episodio 100. Ciencia que ladra... Buenos Aires: Siglo XXI Editores.

_________ (2010). Matemática… ¿Estás ahí? La vuelta al mundo en 34 problemas y 8 historias. Ciencia que ladra... Buenos Aires: Siglo XXI Editores.

Tahan, M. (1994). El hombre que calculaba. México: Noriega Editores.

Vorderman, C. (2011). Ayuda a tus hijos con las matemáticas. México: Altea.

Wells, D. (2000). El curioso mundo de las matemáticas. Barcelona: Gedisa.

Bibliografía electrónica para el alumno (fecha de consulta: enero de 2012)

Abreu. J.L. Proyecto Arquímedes. Recursos educativos de Matemáticas y Física para todos los nivelesarquimedes.matem.unam.mx Instituto de Tecnologías Educativas, Ministerio de Educación, España. Curso de Geometría. Recursos educativos de Matemáticas para pimero y segundo ciclos de la Educación Secundaria Obligatoria de España concurso.cnice.mec.es/cnice2006/material098/geometria/geoweb/indice.htm

Ministerio de Educación, España. Descartes. Materiales didácticos para el aprendizaje de las matemáticas de la enseñanza secundaria recursostic.educacion.es/descartes/web/index.html

Proyecto Gauss. Recursos didácticos y applets de GeoGebra que cubren los contenidos de matemáticas de la Educación Secundaria Obligatoria de España recursostic.educacion.es/gauss/web/index.htm

Matemáticas para la E.S.O. Enseñanza Digital a Distancia. Recursos de matemáticas para Educación Secundaria Obligatoria de España recursostic.educacion.es/secundaria/edad/index_mat.htm

270

Bibliografía

Glosario. Definiciones de algunos términos matemáti-cos que se proporcionan con el fin de que te apoyes en ellos cuando necesites conocer su significado.

Evalua ción. Serie de preguntas al final de cada bloque. Te servi-rá a ti y al profesor para evaluar tu desempeño en cuanto a los conocimientos y habilidades matemáticas adquiridas.

Utiliza los círculos para colocar tus respuestas.

Bibliografía. Referencias de libros, revistas o páginas de Internet que se sugieren para apoyarte en caso de que desees o necesites profundizar en algunos temas del libro.

Guía de uso

Bloque Eje Tema Contenido Lección Semana Fecha

1

Sentido numérico y pensamiento algebraico

Números y sistemas de numeración

Conversión de fracciones decimales y no decimales a su escritura decimal y viceversa. 1 y 2 1

Representación de números fraccionarios y decimales en la recta numérica a partir de distintas informaciones, analizando las convenciones de esta representación.

3 y 4 2

Problemas aditivosResolución y planteamiento de problemas que impliquen más de una operación de suma y resta de fracciones.

5 3

Patrones y ecuaciones

Construcción de sucesiones de números o de figuras a partir de una regla dada en lenguaje común. Formulación en lenguaje común de expresiones generales que definen las reglas de sucesiones con progresión aritmética o geométrica, de números y de figuras.

6 4

Explicación del significado de fórmulas geométricas, al considerar a las literales como números generales con los que es posible operar.

7 5

Forma, espacio y medida Figuras y cuerpos

Trazo de triángulos y cuadriláteros mediante el uso del juego de geometría. 8 y 9 6

Trazo y análisis de las propiedades de las alturas, medianas, mediatrices y bisectrices en un triángulo. 10 y 11 7

Manejo de la información

Proporcionalidad y funciones Resolución de problemas de reparto proporcional. 12

8Nociones de probabilidad

Identificación y práctica de juegos de azar sencillos y registro de los resultados. Elección de estrategias en función del análisis de resultados posibles.

13

Bitácora

9Laboratorio de matemáticas

En el tintero

Evaluación


2



Formulación de los criterios de divisibilidad entre 2, 3, 5 y 7. Distinción entre números primos y compuestos. 14 y 15 10

Resolución de problemas que impliquen el cálculo del máximo común divisor y el mínimo común múltiplo. 16 11

Problemas aditivos

Resolución de problemas aditivos en los que se combinan números fraccionarios y decimales en distintos contextos, empleando los algoritmos convencionales.

17 12

Problemas multiplicativos

Resolución de problemas que impliquen la multiplicación y división con números fraccionarios en distintos contextos, utilizando los algoritmos usuales.

18 y 19 13

Forma, espacio y medida Figuras y cuerpos

Resolución de problemas geométricos que impliquen el uso de las propiedades de la mediatriz de un segmento y la bisectriz de un ángulo.

20 14

10

Dosificación


3



Resolución de problemas que impliquen la multiplicación de números decimales en distintos contextos, utilizando el algoritmo convencional.

23 y 24 18

Resolución de problemas que impliquen la división de números decimales en distintos contextos, utilizando el algoritmo convencional.

25 y 26 19

Patrones y ecuaciones

Resolución de problemas que impliquen el planteamiento y resolución de ecuaciones de primer grado de la forma x + a = b; ax = b; ax + b = c, utilizando las propiedades de la igualdad, con a, b y c números naturales, decimales o fraccionarios.

27, 28 y 29 20 y 21

Forma, espacio y medida

Figuras y cuerpos

Construcción de polígonos regulares a partir de distintas informaciones (medida de un lado, del ángulo interno, ángulo central). Análisis de la relación entre los elementos de la circunferencia y el polígono inscrito en ella.

30 y 31 22

Medida Resolución de problemas que impliquen calcular el perímetro y el área de polígonos regulares. 32 23


Proporcionalidad y funciones

Formulación de explicaciones sobre el efecto de la aplicación sucesiva de factores constantes de proporcionalidad en situaciones dadas.

33 24

Nociones de probabilidad

Anticipación de resultados de una experiencia aleatoria, su verificación al realizar el experimento y su registro en una tabla de frecuencias.

34 25

Análisis y representación de datos

Lectura y comunicación de información mediante el uso de tablas de frecuencia absoluta y relativa. 35 y 36 26

Bitácora


En el tintero

Evaluación

Forma, espacio y medida Medida

Justificación de las fórmulas de perímetro y área de polígonos regulares, con apoyo de la construcción y transformación de figuras.

21 15



Identificación y resolución de situaciones de proporcionalidad directa del tipo “valor faltante” en diversos contextos, con factores constantes fraccionarios.

22 16

Bitácora


En el tintero

Evaluación

11

Dosificación


5


Problemas aditivos Resolución de problemas que implican el uso de sumas y restas de números enteros. 47 y 48 35


Resolución de problemas que impliquen el cálculo de la raíz cuadrada (diferentes métodos) y la potencia de exponente natural de números naturales y decimales.

4936

Uso de la notación científica para realizar cálculos en los que intervienen cantidades muy grandes o muy pequeñas. 50

Patrones y ecuaciones Obtención de la regla general (en lenguaje algebraico) de una sucesión con progresión aritmética. 51 37

Forma, espacio y medida Medida Uso de las fórmulas para calcular el perímetro y

el área del círculo en la resolución de problemas. 52 38



Resolución de problemas de proporcionalidad múltiple. 53 39

Bitácora


En el tintero

Evaluación


4



Planteamiento y resolución de problemas que impliquen la utilización de números enteros, fraccionarios o decimales positivos y negativos.

37 y 38 28

Forma, espacio y medida

Figuras y cuerposConstrucción de círculos a partir de diferentes datos (el radio, una cuerda, tres puntos no alineados, etc.) o que cumplan condiciones dadas.

39 29

Medida

Justificación de la fórmula para calcular la longitud de la circunferencia y el área del círculo (gráfica y algebraicamente). Explicitación del número π (Pi) como la razón entre la longitud de la circunferencia y el diámetro.

40 y 41 30



Análisis de la regla de tres, empleando valores enteros o fraccionarios. 42

31Análisis de los efectos del factor inverso en una relación de proporcionalidad, en particular en una reproducción a escala.

43

Nociones de probabilidad

Resolución de problemas de conteo mediante diversos procedimientos. Búsqueda de recursos para verificar los resultados.

44 32

Análisis y representación de datos

Lectura de información representada en gráficas de barras y circulares, provenientes de diarios o revistas y de otras fuentes. Comunicación de información proveniente de estudios sencillos, eligiendo la representación gráfica más adecuada.

45 y 46 33

Bitácora


En el tintero

Evaluación

12

Dosificación

Bloque 1Lección Título Contenido Página

Lección 1 Números fraccionarios y decimales I Conversión de fracciones decimales y no decimales a su escritura decimal y viceversa.

18

Lección 2 Números fraccionarios y decimales II 22

Lección 3 Números fraccionarios y decimales III Representación de números fraccionarios y decimales en la recta numérica a partir de distintas informaciones, analizando las convenciones de esta representación.

26

Lección 4 Números fraccionarios y decimales IV 30

Lección 5 Problemas aditivosResolución y planteamiento de problemas que impliquen más de una operación de suma y resta de fracciones 34

Lección 6 Sucesiones numéricas y fi gurativas

Construcción de sucesiones de números o de fi guras a partir de una regla dada en lenguaje común. Formulación en lenguaje común de expresiones generales que defi nen las reglas de sucesiones con progresión aritmética o geométrica, de números y de fi guras.

38

Lección 7 Signifi cado de algunas fórmulas geométricas

Explicación del signifi cado de fórmulas geométricas, al considerar a las literales como números generales con los que es posible operar. 42

Lección 8 Trazo de triángulos Trazo de triángulos y cuadriláteros mediante el uso del juego de geometría.

46

Lección 9 Trazo de cuadriláteros 50

Lección 10 Trazos y análisis I Trazo y análisis de las propiedades de las alturas, medianas, mediatrices y bisectrices en un triángulo.

54

Lección 11 Trazos y análisis II 58

Lección 12 Reparto proporcional Resolución de problemas de reparto proporcional. 62

Lección 13 Nociones de probabilidad Identifi cación y práctica de juegos de azar sencillos y registro de los resultados. Elección de estrategias en función del análisis de resultados posibles. 66

Bitácora 70

Laboratorio de matemáticas 72

En el tintero 73

Evaluación 74


Lección 14 Criterios de divisibilidad I Formulación de los criterios de divisibilidad entre 2, 3, 5 y 7. Distinción entre números primos y compuestos.

78

Lección 15 Criterios de divisibilidad II 82

Lección 16 MCD y mcm Resolución de problemas que impliquen el cálculo del máximo común divisor y el mínimo común múltiplo. 86

Lección 17 Adición de números fraccionarios y decimales

Resolución de problemas aditivos en los que se combinan números fraccionarios y decimales en distintos contextos, empleando los algoritmos convencionales. 90

13

Índice

Lección 18 Multiplicación y división con números fraccionarios I Resolución de problemas que impliquen la multiplicación y división con

números fraccionarios en distintos contextos, utilizando los algoritmos usuales.

94

Lección 19 Multiplicación y división con números fraccionarios II 98

Lección 20 Mediatriz y bisectriz Resolución de problemas geométricos que impliquen el uso de las propiedades de la mediatriz de un segmento y la bisectriz de un ángulo. 102

Lección 21 Perímetro y área de polígonos regulares

Justifi cación de las fórmulas de perímetro y área de polígonos regulares, con apoyo de la construcción y transformación de fi guras. 106

Lección 22 Proporcionalidad directa del tipo “valor faltante”

Identifi cación y resolución de situaciones de proporcionalidad directa del tipo “valor faltante” en diversos contextos, con factores constantes fraccionarios. 110

Bitácora 114


En el tintero 117

Evaluación 118

Bloque 3

Lección Título Contenido Página

Lección 23 Multiplicación de números decimales IResolución de problemas que impliquen la multiplicación de números decimales en distintos contextos, utilizando el algoritmo convencional.

122

Lección 24 Multiplicación de números decimales II 126

Lección 25 División de números decimales IResolución de problemas que impliquen la división de números decimales en distintos contextos, utilizando el algoritmo convencional.

130

Lección 26 División de números decimales II 134

Lección 27 Ecuaciones de primer grado de la forma x + a = b Resolución de problemas que impliquen el planteamiento y resolución de

ecuaciones de primer grado de la forma x + a = b; ax = b; ax + b = c, utilizando las propiedades de la igualdad, con a, b y c números naturales, decimales o fraccionarios.

138

Lección 28 Ecuaciones de primer grado de la forma ax = b 142

Lección 29 Ecuaciones de primer grado de la forma ax + b = c 146

Lección 30 Polígonos regulares I Construcción de polígonos regulares a partir de distintas informaciones (medida de un lado, del ángulo interno, ángulo central). Análisis de la relación entre los elementos de la circunferencia y el polígono inscrito en ella.

150

Lección 31 Polígonos regulares II 154

Lección 32 Perímetro y área de polígonos regulares

Resolución de problemas que impliquen calcular el perímetro y el área de polígonos regulares. 158

Lección 33 Proporcionalidad Formulación de explicaciones sobre el efecto de la aplicación sucesiva de factores constantes de proporcionalidad en situaciones dadas. 162

Lección 34 Anticipación de resultados Anticipación de resultados de una experiencia aleatoria, su verifi cación al realizar el experimento y su registro en una tabla de frecuencias. 166

Lección 35 Frecuencia absoluta y relativa ILectura y comunicación de información mediante el uso de tablas de frecuencia absoluta y relativa.

170

Lección 36 Frecuencia absoluta y relativa II 174

Bitácora 178


En el tintero 181

Evaluación 182

14

Índice

Bloque 4

Lección Título Contenido Página

Lección 37 Números con signo I Planteamiento y resolución de problemas que impliquen la utilización de números enteros, fraccionarios o decimales positivos y negativos.

186

Lección 38 Números con signo II 190

Lección 39 Construcción de círculos Construcción de círculos a partir de diferentes datos (el radio, una cuerda, tres puntos no alineados, etc.) o que cumplan condiciones dadas. 194

Lección 40 Perímetro y área del círculo Justifi cación de la fórmula para calcular la longitud de la circunferencia y el área del círculo (gráfi ca y algebraicamente). Explicitación del número π (Pi) como la razón entre la longitud de la circunferencia y el diámetro.

198

Lección 41 Área del círculo 202

Lección 42 La regla de tres Análisis de la regla de tres, empleando valores enteros o fraccionarios. 206

Lección 43 Factor inverso de proporcionalidad Análisis de los efectos del factor inverso en una relación de proporcionalidad, en particular en una reproducción a escala. 210

Lección 44 Conteo Resolución de problemas de conteo mediante diversos procedimientos. Búsqueda de recursos para verifi car los resultados. 214

Lección 45 Gráfi cas de barras y circulares I Lectura de información representada en gráfi cas de barras y circulares, provenientes de diarios o revistas y de otras fuentes. Comunicación de información proveniente de estudios sencillos, eligiendo la representación gráfi ca más adecuada.

218

Lección 46 Gráfi cas de barras y circulares II 222

Bitácora 226


En el tintero 229

Evaluación 230


Lección 47 Adición y sustracción de números con signo I Resolución de problemas que implican el uso de sumas y restas de números enteros.

234

Lección 48 Adición y sustracción de números con signo II 238

Lección 49 Raíz cuadrada y potencia de exponente natural

Resolución de problemas que impliquen el cálculo de la raíz cuadrada (diferentes métodos) y la potencia de exponente natural de números naturales y decimales.

242

Lección 50 Notación científi ca Uso de la notación científi ca para realizar cálculos en los que intervienen cantidades muy grandes o muy pequeñas.

246

Lección 51 Regla general de una progresión aritmética Obtención de la regla general (en lenguaje algebraico) de una sucesión con progresión aritmética.

250

Lección 52 Área y perímetro del círculo Uso de las fórmulas para calcular el perímetro y el área del círculo en la resolución de problemas.

254

Lección 53 Proporcionalidad múltiple Resolución de problemas de proporcionalidad múltiple. 258

Bitácora 262


En el tintero 265

Evaluación 266

Glosario alumno 268

Glosario profesor 269

Bibliografía 270

15

Índice

Bloque 1

La matemática es una ciencia con mucho dinamismo:

todos los días se amplía gracias a descubrimientos

y nuevas teorías que ayudan a resolver problemas

en diversos ámbitos, como la medicina, la tecnología

o la química, por mencionar algunos. Asimismo, las

matemáticas permiten solucionar problemas muy

concretos del lugar en que nos desenvolvemos.

Por ejemplo, al pintar una pared, determinamos

mediante operaciones cuánto mide, cuántos litros

o fracciones de litro de pintura ocuparemos, qué

proporción habrá entre esta y el sellador, cuánto

medirán las cenefas, a qué distancia pintaremos,

etcétera. En el mismo ejemplo, podemos precisar si

seguiremos una sucesión de formas, lo haremos al

azar o elegiremos motivos geométricos.

1616

1717

Aprendizajes esperados

1. Convierte números fraccionarios a decimales y viceversa.

2. Conoce y utiliza las convenciones para representar números fraccionarios y decimales en la recta numérica.

3. Representa sucesiones de números o figuras a partir de una regla dada y viceversa.


Recuerda que una fracción es todo número escrito de la forma a __

b donde a es el

numerador y b (diferente a 0), el denominador.

Toda fracción se puede interpretar como una división, donde a __

b

indica a ÷ b.

Oriéntate

Los números decimales se denominan de acuerdo con su valor posicional.

Las calificaciones: conversión de fracciones a números decimales

A los estudiantes de la escuela secundaria “Benito Juárez” se les aplicó un examen diagnóstico en cada asignatura, el cual vale 1 punto en su escala de calificaciones.

Orlando desea saber qué calificación obtuvo en cada asignatura. Para conocer esa información, debe completar la tabla.

1. Analiza la tabla y complétala.

2. Reúnete con un compañero y efectúen, en sus cuadernos, lo que se pide.

a) Describan el procedimiento que Orlando utilizó para obtener su calificación.

b) En el caso de las asignaturas Historia y Español, ¿con qué otro procedimiento se podría obtener la calificación?

3. Lee el texto y haz en tu cuaderno lo que se indica.

La profesora de Matemáticas comentó a sus alumnos lo siguiente: “Solo un décimo del grupo aprobó el examen diagnóstico”, mientras escribía la expresión en el pizarrón.

a) Explica con tus palabras qué representa la expresión escrita por la profesora.

b) Explica por qué 1 __ 10

= 0.1.

c) Escribe, de acuerdo con la equivalencia anterior, las fracciones 3 __ 10

y 7 __ 10

como números decimales.

d) Describe los pasos que seguiste para llegar a los resultados anteriores.

e) Compara tus resultados con los de tus compañeros. Registren dudas y, con ayuda de su profesor, comenten cómo resolverlas.

Oriéntate

Números fraccionarios y decimales ILección 1

Asignatura Aciertos obtenidos

Total de reactivos

Operación para obtener la califi cación

Califi cación obtenidaen la escala

Español 86 100 86100

o 86 ÷ 100

Matemáticas 32 65

Biología 25 30

Historia 65 100

Geografía 92 95

Parte entera

Punt

o de

cimal

Parte decimal

Cent

enas

de

mill

arDe

cena

s de

mill

arUn

idad

es d

e m

illar

Cent

enas

Dece

nas

Unid

ades

Décim

asCe

ntés

imas

Milé

simas

Diez

milé

simas

Cien

milé

simas

Mill

onés

imas

6º O

rden

5º O

rden

4º O

rden

3er O

rden

2º O

rden

1er O

rden

1er O

rden

2º O

rden

3er O

rden

4º O

rden

5º O

rden

6º O

rden

Órdenes enteros Órdenes decimales

Eje: sentido numérico y pensamiento algebraicoTema: números y sistemas de numeración

Contenido

Conversión de fracciones decimales y no decimales a su escritura decimal y viceversa.

32

___

65

25

___

30

65

___

100

92

___

95

0.86

0.49

0.83

0.65

0.96

R. T. Dividir el número de aciertos entre reactivos del examen.

R. T. Recorrer el punto decimal dos lugares a la izquierda.

R. T. Uno de diez, un décimo, la décima parte.

R. T. Cuando divides uno entre diez obtienes de resultado 0.1

0.3 y 0.7

R. P.

R. P.


Oriéntate

Se denomina igualdad a la equivalencia de dos cantidades o expresiones.

Cantidad con letra Fracción Decimal

Doce veinteavos

Dieciocho centésimos

Un quinto

Trescientos once milésimos

Cantidad Cantidad con letra Número decimal

3 2 __ 5

2 1 __ 4

Seis enteros tres quintos

Lección 1

Un paso adelante

4. Escribe, en la tabla, la fracción correspondiente y conviértela en número decimal.

Para transformar una fracción en su expresión equivalente como número decimal hay que dividir el numerador entre el denominador.

5. Reúnete con un compañero. Analicen la igualdad y contesten las preguntas.

3 1 _ 5 = 16 _

5

a) ¿Cómo se lee la fracción que está a la izquierda de la igualdad?

b) ¿Cuántos quintos hay en tres enteros?

c) ¿Cuántos enteros se forman con 16 __ 5 ?

d) ¿Por qué 3 1 __ 5 es equivalente a 16 __

5 ?

Un número mixto se compone de un entero y una fracción. Por ejemplo: 6 3 __ 4 .

En una fracción impropia, el numerador es mayor que el denominador, por consiguiente,es mayor que la unidad. Por ejemplo: 8 __

3 .

e) Escriban, en sus cuadernos, cómo convertir un número mixto en una fracción impropia.

6. Reúnete con dos compañeros. Completen la tabla y efectúen lo que se pide.

a) Escriban, en sus cuadernos, el procedimiento que siguieron para transformar un número mixto en uno decimal.

b) Compartan su procedimiento con sus compañeros.

c) Elijan, de forma grupal, el procedimiento mejor descrito.

12

___

20

18

___

100

1

__

5

311

_____

1 000

Tres enteros dos quintos

Dos enteros un cuarto

6 3

__

5

0.6

0.18

0.2

0.311

3.4

2.25

6.6

Tres enteros un quinto.

Quince.

Tres. Al dividir 16 entre 5, se obtiene como

cociente 3 y sobra 1.

Por que en tres enteros hay quince quintos, más un quinto, en total se

tienen 16

__

5

R. T. Transformar el entero a denominador común de la parte fraccionaria, sumar los numeradores y el

denominador es el común.


Profundiza

Los números fraccionarios también se representan como regiones que componen una figura. La de la izquierda está dividida en cinco partes iguales; cuatro de ellas están sombreadas, lo que representa 4 __

5

del total. La parte no sombreada representa 1 __ 5 de la figura.

7. Reúnete con un compañero. Lean el problema y contesten lo que se pide.

Hay treinta canicas dentro de una bolsa: de ellas, cinco son amarillas; diez, verdes; y el resto, azules.

a) ¿Qué fracción representan las canicas verdes?

b) ¿Qué fracción y decimal representan las canicas amarillas?

c) ¿Qué decimal representa las canicas azules?

8. Reúnete en equipo y resuelvan los planteamientos.

a) ¿Qué fracción representan 15 min de 1 h?

b) ¿Qué número decimal representa media hora?

c) ¿Qué fracción y número decimal representan 6 h y 30 min de un día?

d) ¿Qué fracción representa cuatro días de una semana?

e) ¿Qué número decimal representa 12 h de un día?

f) ¿Qué fracción y número decimal representan dos días con 6 h de una semana?

9. Completa la tabla con base en las equivalencias.

1 m = 10 dm 1 m = 100 cm 1 m = 1 000 mm

Debido a que el metro es la unidad básica de longitud del Sistema Internacional, 3 mm se representan como 30 ____

1 000 m y 63 cm, como 63 ___

100 m.

Oriéntate

Una fracción decimal tiene por denominador un múltiplo de 10. Por ejemplo: 9 __

10 ,

28 ___ 100

y 9 72 ____ 1 000

son fraccionesdecimales.

Oriéntate

El denominador de una fracción indica en cuántas partes está dividido el entero; mientras que el numerador permite conocer las partes que se toman de la unidad.

Números fraccionarios y decimales ILección 1

Cantidad con letra Fracción (m) Número decimal (m)

87 mm

73 dm

137 cm

19 cm

9 dm

10

___

30 =

1

__

3

5

___

30 =

1

__

6 , 0.16

0.5

15

___

60 =

1

__

4

30

___

60 = 0.5

390

____

1 440 =

13

___

48 0.27

4

__

7

12

___

24 =

1

__

2 = 0.5

54

___

168 =

9

___

28 = 0.32

87

_____

1 000

73

___

10

137

___

100

19

___

100

9

__

10

0.087

7.3

1.37

0.19

0.9


Para la bi†ácora

10. Observa la imagen y contesta las preguntas.

a) ¿En cuántos triángulos pequeños se dividió el triángulo?

b) ¿Qué fracción del triángulo representan los triángulos color naranja?

c) ¿Qué fracción y decimal representan los triángulos azules?

d) ¿Qué número decimal representan los triángulos verdes?

11. Reúnete con tres compañeros. Lean el planteamiento y contesten las preguntas.

Una jarra contiene la misma cantidad que cuatro vasos grandes o cinco pequeños.

a) ¿Qué fracción y decimal representan un vaso grande en relación con la jarra?

b) ¿Qué fracción y decimal representan un vaso chico en relación con la jarra?

c) Si se llena un vaso grande y uno chico, ¿qué fracción de agua quedará en la jarra?

d) ¿El contenido total de la jarra alcanza para llenar dos vasos grandes y tres chicos? Argumenten su respuesta y escriban conclusiones en sus cuadernos.

12. Analicen, en grupo, la importancia de la división en la conversión de fracciones en números decimales. Escriban, en sus cuadernos, una conclusión general.

Explora www.e-sm.com.mx/matret1-023a, donde se encuentran ejercicios interactivos para convertir

números fraccionarios en decimales.

Explora www.e-sm.com.mx/matret1-023b, donde hay una actividad de conversión de fracciones en

decimales.

Consulta el video www.e-sm.com.mx/matret1-023c, donde se expone el uso de las fracciones en la

vida cotidiana.


TIC

Lección 1

En las recetas de cocina se expresan las cantidades en números fraccionarios y decimales. Busca algunas recetas, identifica las porciones indicadas y escríbelas, en tu cuaderno, en números decimales.

16

4

__

16

5

__

16 y 0.3125

3

__

16 = 0.1875

1

__

4 y 0.25

1

__

5 = 0.2

11

___

20

R. T. No, porque para llenar 2 vasos grandes y 3 vasos

chicos se necesitan 22

___

20 o

11

__

10 que es más que la unidad.


Lección 2 Números fraccionarios y decimales II

De regreso: conversión de números decimales en fracciones

Teniendo en cuenta los malos resultados del examen diagnóstico, la profesora de Matemáticas aplicó otro examen de 40 reactivos. Si Orlando sacó 0.6 en su escala, ¿cuántos aciertos obtuvo?

1. Describe un procedimiento para responder la pregunta anterior y compáralo con el de tus compañeros.

2. Reúnete con un compañero y completen la tabla.

3. Reúnete con tres compañeros y efectúen lo que se indica.

a) Comenten por qué es posible afirmar que 0.45 es igual a 920

.

b) Escriban la conclusión en su cuaderno y arguméntenla.

c) Deduzcan, a partir de los datos de la tabla, el número de aciertos que obtuvo cada alumno.

d) Describan, en su cuaderno, el procedimiento que usaron.

4. Analiza, en grupo, los datos de la tabla de la actividad 2 y escribe en tu cuaderno un procedimiento para transformar un número decimal en fracción.

5. Analiza las situaciones y contesta en tu cuaderno.

a) ¿Por qué 0.7 y 0.700 representan la misma cantidad? Explica tu respuesta.

b) ¿Por qué 0.700 equivale a 710 ? Explica tu respuesta.

c) ¿Cómo se determina si 710 es igual a 700

1 000? Explica tu respuesta.

6. Comparte, con ayuda del profesor, tus respuestas del ejercicio 5 con el grupo. Comuniquen sus dudas y comenten ideas para resolverlas.

Alumno Calificación en decimal Calificación con letra Calificación en

fracción Fracción reducida

Orlando 0.6

Nancy 0.7

Edna 0.45 Cuarenta y cinco centésimos 45 ___ 100

45 ÷ 5 _____ 100 ÷ 5

= 9 __ 20

Pedro 0.575

Pablo 0.8


Contenido

Conversión de fracciones decimales y no decimales a su escritura decimal y viceversa.

R. T. Ahora tenemos calificación y reactivos y la operación

inversa a la división es la multiplicación, entonces ahora solo basta multiplicar

calificación por reactivos y obtenemos número de aciertos.

Por que 0.45 es igual a 45

___

100 y al reducir la fracción se obtiene

9

___

20 .

Calificación por 40: Orlando 24, Nancy 28, Edna 18, Pedro 23 y Pablo 32.

R. T. Porque 0.7 es

igual a 7

__

10 y 0.700 es igual a

700

____

1000 al simplificar se obtiene

700

_____

1 000 =

70

___

100 =

7

__

10 = 0.7, llegando

a la conclusión de que 0.7 = 0.700

Seis décimos

Siete décimos

Quinientos setenta y

6

__

10

7

__

10

575

_____

1 000

8

__

10

3

__

5

7

__

10

23

___

40

4

__

5

cinco milésimos

Ocho décimos


Lección 2

Un paso adelante

7. Observa que 2.25 tiene una parte entera y otra decimal. Explica en tu cuaderno un procedimiento para convertir esta cantidad en una fracción.

8. Reúnete con un compañero. Compartan sus procedimientos del punto anterior y úsenlos para transformar los siguientes números decimales en fracciones.

9. Colorea la parte que representa 0.20 de cada figura considerando que cada una corres-ponde a una unidad de área.

10. Comparte con tus compañeros el procedimiento que seguiste para encontrar las res-puestas del ejercicio 9. Formulen una conclusión sobre el procedimiento más eficaz para resolverlo y escríbanlo en su cuaderno.

Profundiza

11. Analiza los planteamientos y contesta las preguntas.

a) Irene tiene 1.5 kg de azúcar. ¿Cómo se expresa la cantidad en fracción?

b) Samanta necesita 2.750 m de tela. ¿Cómo se expresa la cantidad en fracción?

c) Gerardo tiene 0.45 h para comer. ¿Cómo se expresa la cantidad en fracción?

d) Beatriz debe tomar 0.800 L de agua. ¿Cómo se expresa la cantidad en fracción?

Decimal 3.12 4.232 5.980 10.1 4.002

Fracción

Para transformar un decimal no periódico en fracción, se escribe el decimal sin punto en el numerador; el denominador estará formado por un 1, seguido de un 0 o más según las cifras decimales que tenga el número inicial. Por último, se reduce a su mínima expresión. Por ejemplo, 0.625 se escribiría 625

1 000;

finalmente se obtiene 6251 000

= 125200

= 2540

= 58

al reducirlo.

Cuando el número decimal tiene parte entera diferente de cero, se escribe el entero, y la parte decimal se transforma en fracción y se coloca a su derecha. Por ejemplo, 7.12 es igual a 7 12

100, pero equivale a 7 3

25 al reducir la parte fraccionaria.

De manera inversa, para convertir una fracción mixta en decimal, se escribe la parte entera seguida de un punto decimal; después, se suma el resultado de dividir el numerador entre el denominador. Por ejemplo,4 3

5 es igual a 4 + (3 ÷ 5), y se obtiene 4.6 donde el decimal es el resultado de la división.

Oriéntate

Un número periódico es el decimal que tiene un periodo (cifras que se repiten indefinidamente) en su representación.

1 1

__

2

2 750

_____

1 000 = 2

3

__

4

3

__

4

800

_____

1 000 =

8

__

10 =

4

__

5

3 12

___

100

= 3 3

___

25

4 232

_____

1 000

= 4 29

___

125

5 980

_____

1 000

= 5 49

___

50

10 1

__

10

4 2

_____

1 000

= 4 1

____

500

Para transformar un número decimal periódico mixto en fracción

1. Multiplicar por 10×10×10×… etc., n veces, con n igual a las cifras decimales que anteceden a la cifra periódica más las cifras que componen el periodo (cifras que se repiten)

2. Multiplicar por 10×10×10×… etc., n veces, donde n sea igual al número de cifras que con-forman el periodo

3. Restar el resultado del punto 2 al resultado del punto 1


Números fraccionarios y decimales IILección 2

12. Reúnete con un compañero y resuelvan los problemas.

a) La mamá de Carlos desea repartir 1 kg de chocolates entre sus tres hijos de manera equitativa.

i. ¿Qué cantidad de chocolates le corresponderá a cada uno? Escriban la respuesta

en número decimal y en fracción.

ii. En la respuesta anterior, ¿cuántas cifras decimales se necesitan para que la cantidad sea pre-cisa? Consideren que con un número decimal de expansión infinita nunca es posible escribir la última cifra. Expliquen su respuesta en su cuaderno y compártanla con el grupo.

b) Enrique tiene $200.00 y desea repartir el dinero equitativamente entre sus seis sobrinos.

i. ¿Qué cantidad le corresponde a cada uno?

ii. Expliquen, en su cuaderno, el procedimiento que emplearon para resolver el problema.

13. Convierte las fracciones 1 __ 3 y 3 __

10 en número decimal y contesta.

a) ¿Se obtiene la misma cantidad en ambas? Explica la respuesta en tu cuaderno.

b) Comparte, con ayuda del profesor, tu respuesta con el grupo. Registren en su cuaderno sus dudas y comenten alternativas para resolverlas.

14. Analiza la tabla.

Fracción Decimal Tipo de decimal Característica de la parte decimal

0.25 Exacto Tiene un número limitado de cifras decimales.

0.3333… Periódico puro Las cifras decimales después del punto se repiten indefinidamente.

1.8333… Periódico mixtoLas cifras decimales que se repiten de manera indefinida no empiezan inmediatamente después del punto decimal.

14

13

116

15. Reúnete con un compañero y analicen los siguientes procedimientos.

Para transformar un número decimal periódico puro en fracción

1. Observar cuántas cifras decimales se repiten. En el ejemplo, el número 3 se repite indefini-damente después del punto decimal.

Fracción desconocida = 0.3333…

Para simplificar la igualdad anterior, denominar la “fracción desconocida” con la letra x

x = 0.3333…

0.3 y 1

__

3

R. P. Es

mejor dejarla en fracción porque en decimal jamás se logrará terminar la división.

200

____

6 =

100

___

3

No, uno es infinito y el otro finito.

Para la bitácora


Lección 2

Explora www.e-sm.com.mx/matret1-025a, donde hay una actividad de conversión de fracción en

decimal y viceversa.

Consulta el video www.e-sm.com.mx/matret1-025b, donde se explica un procedimiento para convertir

fracciones en decimales y viceversa.

Explora el video www.e-sm.com.mx/matret1-025c, donde se muestra la conversión de decimales en

fracciones en un planteamiento de la vida cotidiana.

TIC

Oriéntate

Es usual que no se escriba el 1 junto a la x, ya que1 × x = x.

La agrimensura es una disciplina dedicada a la delimitación de superficies y usa instrumentos, como las cintas métricas. Mide las dimensiones de tu habitación y exprésalas en números decimales y fraccionarios.Resuelve las actividades correspondientes a la lección 2 en la bitácora de la página 70.

16. Transforma, en tu cuaderno, los decimales en fracción.

a) 0.6666… b) 0.111… c) 0.090909…

d) 0.2222… e) 0.181818…

17. Planteen en su cuaderno, de forma grupal, un caso donde se pueda convertir un número decimal en uno fraccionario mediante división.

a) Analicen el uso de la división en la conversión de números decimales en fracciones.

b) Escriban en su cuaderno una breve conclusión del inciso anterior.

2. Multiplicar ambos lados de la igualdad por 10, ya que la cifra que se repite es de un dígito; si dos cifras se repitieran, se multiplicarían por 100, y así sucesivamente

10 × x = 3.3333… (multiplicar ambos lados

de la igualdad por 10) 3. Restar las igualdades

10 × x = 3.3333… – x = 0.3333…

9 × x = 3

4. Dividir ambos lados de la igualdad entre el número que acompaña a x (en este caso se divide entre 9)

99 x = 3

9 1 × x = 3

9 x = 1

3

5. Con el procedimiento anterior, concluir que 0.3333… es igual a 1

3

4. Dividir ambos lados de la igualdad entre el número que acompaña a la x. Ejemplo:

a) En 1.833333 …, se repite una cifra, el 3, y la cifra decimal que le antecede es una, el 8, por tanto se multiplicará por 10 × 10 = 102 = 100.

100 × x = 183.333…

b) El periodo se conforma por una cifra, por tanto se multiplica por 10 × 1 = 10.

10 × x = 18.333…

c) Restar 100 × x = 183.333… – 10 × x = 18.333…

90 × x = 165

d) Dividir ambos lados entre 90 y reducir la fracciónx = 11 __

6

2

_

3

2

_

9

1 _

9

2 _

11

1 _

11


Números fraccionarios y decimales IIILección 3

Oriéntate

En la recta numérica, los números positivos se encuentran a la derecha del 0.

Las pizzas: fracciones en la recta numérica

Los alumnos de 1° A están organizando un convivio para el Día del Estudiante. Para ello, formaron cinco equipos: el primero con seis integrantes, el segundo con ocho, el tercero con diez, el cuarto con siete y el quinto con nueve.

Cada equipo comprará una pizza del mismo tamaño y tipo, y deberá repartirla en porciones iguales según el número de integrantes.

1. Responde las preguntas y haz, en tu cuaderno, lo que se pide.

a) Si las pizzas son iguales, ¿en la de qué equipo habrá rebanadas más grandes?

b) Explica el procedimiento que seguiste para encontrar la respuesta.

2. Reúnete con un compañero. Comparen su procedimiento del ejercicio anterior y discutan las diferencias y semejanzas que encontraron.

3. Contesta y efectúa lo que se solicita con base en el dibujo que representa una pizza dividida en rebanadas.

a) ¿Entre cuántas personas se repartirá si se distribuye en partes iguales?

b) Redacta, en tu cuaderno, cómo encontraste la respuesta anterior.

4. Dibuja, en tu cuaderno, las pizzas divididas en rebanadas iguales de cada equipo del grupo 1° A. Comparte tu procedimiento con el grupo. Con ayuda del profesor redacten uno en su cuaderno.

5. Contesta las preguntas y haz lo que se pide. Considera que en la recta numérica se re-presenta la pizza como unidad.

a) Si cada división indica una rebanada, ¿en cuántas rebanadas se repartió la pizza?

b) ¿Cómo son entre sí las rebanadas?

c) Redacta, en tu cuaderno, el razonamiento que seguiste para encontrar la respuesta.

6. Compara tus respuestas del ejercicio anterior con las de tus compañeros. Lleguen a un acuerdo sobre cómo interpretar las rectas numéricas.

− +

0


Contenido

Representación de números fracciona-rios y decimales en la recta numérica a partir de distintas informaciones, analizando las convenciones de esta representación.

0 1

En la del primer equipo, el de seis integrantes.

R. T. Entre menos partes tiene la pizza, cada parte tiene más masa.

12, 6, 4, 3 o 2 personas.

R. P.

En siete partes.

Iguales.

R. P.


Lección 3

Un paso adelante

7. Relaciona cada recta numérica con el dibujo correspondiente. Considera el número de partes en que está dividida cada unidad.

8. Ubica, en la recta numérica, la parte sombreada de la figura y contesta en tu cuaderno.

0 1

a) ¿Qué fracción representa la parte sombreada?

b) ¿En cuántas partes dividiste la recta? ¿Por qué?

9. Comenta con tu grupo las estrategias que seguiste en las actividades 5 y 6.

10. Reúnete con tres compañeros. Analicen el problema y contesten lo que se pide.En el grupo 1° B compraron pizzas divididas en ocho rebanadas iguales; cada una será para un equipo y los integrantes deberán recibir una rebanada igual (del tamaño en que viene cortada).

a) Si un equipo está conformado por once integrantes, ¿alcanzará una pizza para dar una rebanada

igual a cada uno? ¿Cuántas pizzas divididas en ocho rebanadas necesitan?

b) Expliquen las respuestas en sus cuadernos y representen, en una recta, las rebanadas que se necesitan.

c) Si todas las pizzas están divididas en ocho rebanadas iguales, ¿qué fracción representan las

rebanadas que se requieren para el equipo?

d) Comparen sus respuestas con las de sus compañeros y redacten, en sus cuadernos, una breve conclusión respecto al tipo de fracciones obtenidas.

Oriéntate

Cuando una fracción es impropia se utiliza más de un entero para representarla.

0 1

0 1

0 1

0 1

3 _

16 .

Se dividió la recta en 16 partes. R. T. Por

que el denominador de una fracción indica en cuántas partes se divide el entero.

No. Once.

88

_

11

3 _

16


Números fraccionarios y decimales IIILección 3

Profundiza

11. Reúnete con un compañero y hagan, en sus cuadernos, lo que se indica.

Recta 1 Recta 2

a) Discutan y redacten las diferencias y similitudes entre las dos rectas numéricas.

b) Si la fracción que se desea ubicar en ambas rectas es 3 __ 4 , ¿qué diferencia hay entre ellas?

c) Compartan sus respuestas con el grupo.

12. Lean la siguiente afirmación con su grupo, reflexionen sobre ella y redacten una conclusión.

Es posible colocar el cero en la recta numérica donde mejor convenga, sin olvidar que los números positivos están a su derecha de manera creciente y que el espacio entre cada división debe ser el mismo.

13. Algunas pizzas se han dividido de maneras diferentes. Contesta y haz lo que se pide.

Pizza 1 Pizza 2 Pizza 3 Pizza 4 Pizza 5

a) ¿Qué fracción representa una rebanada de cada pizza?

Pizza 1 Pizza 2 Pizza 3 Pizza 4 Pizza 5

b) Ubica, en la recta, las fracciones anteriores.

0 1 14. Contesta con tu grupo las preguntas siguiendo las respuestas del ejercicio anterior,y

redacta las explicaciones en tu cuaderno.

a) ¿Una recta numérica sirve para ordenar cantidades?

b) ¿Qué fracción ubicaron en el extremo derecho de la recta numérica?

c) ¿Qué representa esa fracción en dicho lugar de la recta?

d) ¿De qué pizza las rebanadas son más grandes?

-1 0- 3 __ 4 - 2 __ 4 - 1 __ 4 1 __ 4 2 __ 4 1 1 __ 4 2 __ 4 3 __ 4 3 __ 4 0 1

1

__

6

1

__

8

1

__

10

1

__

7

1

__

9

Sí.

1

__

6

Es la mayor, es la que más se acerca al 1, es la que tiene mayor masa.

Pizza 1.

1

__

6

1

__

7

1

__

8

1

__

9

1

__

10


Lección 3

15. Lee con tu grupo la siguiente afirmación, analícenla, den algunos ejemplos y redacten una conclusión.

Entre los diversos recursos que hay para comparar fracciones, se encuentra la recta numérica. En ella, las cantidades ubicadas a la izquierda siempre serán menores que las situadas a la derecha.

16. Ubica, en tu cuaderno, las fracciones 3 __ 5 , 7 __ 3 , 3 __ 4 , 8 __ 5 y 5 __

8 en una recta numérica y ordénalas de

menor a mayor según su valor.

17. Reúnete con un compañero y efectúen, en su cuaderno, lo que se indica.

14

35

a) Escriban dos fracciones ubicadas entre 1 __ 4 y 3 __

5 , y expliquen el procedimiento que usaron para

encontrarlas.

b) ¿Cuántas fracciones es posible localizar entre 1 __ 4 y 3 __

5 ? Escriban algunas que hayan encontrado y

comparen sus respuestas con el grupo.

c) ¿Quién encontró más fracciones? Es posible situar un número indeterminado de fracciones. ¿Pueden explicar por qué? Básense en el ejercicio anterior.

d) Expliquen qué pueden hacer para que las fracciones 1 __ 4 y 3 __

5 tengan un común denominador.

Consideren que, si ambas comparten el mismo denominador, es más fácil compararlas en la recta y encontrar otras fracciones entre ellas.

e) Conviertan 1 __ 4 y 3 __

5 en fracciones equivalentes con denominador común y mencionen cinco fracciones

que se ubiquen entre ellas.

18. Compartan sus respuestas del ejercicio anterior con el grupo, lean la siguiente afirmación y discútanla. Luego analicen las características de la recta numérica y sus ventajas para ubicar números.

Entre dos números fraccionarios hay siempre otro situado en la recta numérica; a esta propiedad se le denomina densidad.

Oriéntate

Al multiplicar el numerador y el denominador de una fracción por un mismo número (excepto el cero), se obtiene una fracción equivalente.

Para la bitácora


Explora www.e-sm.com.mx/matret1-029a, donde se encuentran actividades para ubicar fracciones

en la recta numérica.

Explora www.e-sm.com.mx/matret1-029b, donde hay una actividad de comparación de fracciones

Consulta el video www.e-sm.com.mx/matret1-029c, donde se explica un procedimiento para situar

fracciones en la recta numérica.

TIC

3

__

5 ,

5

__

8 ,

3

__

4 ,

8

__

5 ,

7

__

3

R.T. 2

__

5 y

2

__

4

infinidad

R. P.

R. P.

R. T. 5

___

20 y

12

___

20 .

6

___

20 ,

7

___

20 ,

8

___

20 ,

9

___

20 ,

10

___

20

La receta: decimales en la recta numérica

En la exposición final del taller de cocina, Angélica preparó una tarta de queso con estos ingredientes.

1. Ordena las cantidades anteriores de menor a mayor valor.

2. Explica el procedimiento que seguiste para ordenar los números decimales.

3. Ubícalos en la recta numérica.

4. De acuerdo con la receta, ¿qué ingrediente fue el más usado?

¿Por qué?

5. Reúnete con un compañero. Transformen las fracciones en números decimales, localícenlos en la recta numérica y contesten en su cuaderno.

810

, 4

10 , 1

10 , 6

10 , 3

10

a) ¿En cuántas partes se debe dividir la recta numérica para situar las fracciones si se considera su denomidador común? Argumenten su respuesta.

b) Si ubicaran la fracción 32 ___ 100

o su equivalente decimal (0.32), ¿en cuántas partes dividirían la unidad en la recta numérica? Argumenten su respuesta.

c) Comenten, en grupo y con ayuda de su profesor, sus respuestas de los incisos anteriores. Concluyan cuáles son viables y lleguen a un acuerdo.

• 0.150 kg de azúcar• 0.250 kg de galletas• 0.200 kg de mantequilla• 0.050 kg de mermelada• 0.100 kg de nata • 0.300 kg de queso fresco


Lección 4 Números fraccionarios y decimales IV


Contenido

Representación de números fracciona-rios y decimales en la recta numérica a partir de distintas informaciones, analizando las convenciones de esta representación.

0 1

0 1

Oriéntate

Recuerda que un 0 o más a la derecha de un número decimal no afecta su valor. Por ejemplo, 1.700 es igual a 1.7, aunque haya más de un 0 a la derecha.

0.050, 0.100, 0.150, 0.200, 0.250, 0.300

R. T. Observando el valor de los décimos y posteriormente de los centésimos.

0.100 0.200 0.300

0.050 0.150 0.250

Queso

porque es el que está ubicado más a la derecha de todos.

0.8 0.4 0.1 0.6 0.3

0.1 0.3 0.4 0.6 0.8

10, por que el denominador indica

en cuántas partes se divide el entero o la unidad

100, por que el denominador

indica en cuántas partes se divide el entero o la unidad

R. P.

Un paso adelante

6. Reúnete con tres compañeros. Analicen el planteamiento y efectúen lo que se pide.

a) Para ubicar 0.3 y 0.7 en la recta numérica necesitamos dividir la unidad en diez partes iguales.

Ahora para localizar 0.32 (treinta y dos centésimos) no es necesario dividir la unidad en cien partes, basta partir en diez el espacio comprendido entre 0.3 y 0.4.

Observen que en la primera recta numérica dividimos la unidad en diez partes, y en la segunda tomamos una décima parte de la primera y la volvimos a segmentar en diez.

i. Tracen, en su cuaderno, otra recta numérica y dividan el segmento comprendido entre 0.32 y 0.33 en diez partes para ubicar el decimal 0.322.

ii. ¿Es posible repetir este proceso indefinidamente? Discutan su respuesta con el profesor y sus compañeros.

iii. Consideren marcar las divisiones que hay entre 0 y 1 en una sola recta. ¿Cuántos números

decimales podrían encontrar?

iv. Ubiquen en la recta tres números decimales comprendidos entre 0.9 y 1. Recuerden que pueden asignar el valor que les convenga en los extremos; no es necesario que la recta inicie en 0, aunque sí es importante que la distancia entre las divisiones sea la misma.

b) Localicen en la recta los números decimales 0.132 y 0.139.

c) Compartan sus respuestas con el grupo y el profesor. Comenten las dificultades que tuvieron para ubicar las cantidades anteriores en la recta numérica. Aporten posibles soluciones ante las dificultades presentadas.

0 1

0 1

0.30

0.30

0.3

0.3

0.32

0.32

0.7

0.7

0.34

0.34

0.36

0.36

0.38

0.38

0.40

0.40


Lección 4

R.P.

infi nidad

R. T. 0.95, 0.98, 0.99

0.9 0.95 0.98 0.99 1

0.130 0.132 0.139 0.140

0.32 0.322 0.33

Profundiza

Siempre hay más de un número decimal situado entre otros dos (como sucede también con los números fraccionarios). A esta propiedad se le denomina densidad.

7. Resuelve los problemas.

a) Identifica cinco números decimales diferentes en la recta numérica.

b) Escribe un número decimal que sea mayor que 0.311, pero menor que 0.312.

c) Ubica 45 , 0.9, 0.6, 1.1 y

116 en la recta numérica.

d) Ordena los números del inciso anterior de mayor a menor valor.

8. Reúnete con un compañero y efectúen lo que se indica.

a) ¿Qué número es mayor: 0.5 o 35 ?

b) Describan el procedimiento que emplearon para encontrar la respuesta anterior.

c) Ubiquen, en la recta numérica, 0.5 y 35 .

d) Escriban tres decimales y tres fracciones que se encuentren entre 0.5 y 3 __ 5 .

e) Ubiquen, en la recta numérica, los números que escribieron en el inciso anterior.

f) Elaboren en su cuaderno y de manera grupal una conclusión sobre cómo determinar qué numero es mayor que otro utilizando la recta numérica.

1.410 1.420


Lección 4 Números fraccionarios y decimales IV

R. P.

R. P.

0.6, 4

__

5 , 0.9, 1, 1.1,

11

__

6

3

__

5

R. T. Dividiendo tres entre cinco para encontrar el decimal equivalente y com-

parar con 0.5

0 0.6 4

__

5 0.9 1 1.1

11

__

6 2

0 0.5 3

__

5 1

R. P.

R. P.

9. Reúnete con tres compañeros. Analicen el planteamiento y contesten las preguntas basándose en la recta numérica.

a) En la escuela secundaria "Horacio Zúñiga" se desea cercar el huerto escolar que tiene forma rectangular. Se colocará un poste en cada esquina y otros a lo largo y ancho del terreno.

i. El ancho del huerto es de 3 m y se desean colocar cinco postes (incluyendo los de las esqui-nas) separados a la misma distancia entre ellos. ¿A cuántos metros se encontrarán entre sí?

Escriban la respuesta en fracción y número decimal.

ii. Ubiquen los postes en la recta numérica.

iii. El largo del terreno es de 4 m, pero solo se desean colocar cuatro postes (contando los de las esquinas). Si este lado se ha dividido en partes iguales, ¿qué distancia habrá entre ellos?

10. Compara los números fraccionarios y decimales; utiliza los símbolos > (mayor que), < (menor que) o = (igual a), según corresponde.

a) b) c)

d) e) f)

11. Escribe con tu grupo los pasos necesarios para comparar dos números fraccio-narios o decimales.

12. Registra en el cuaderno tus dudas y, con ayuda de su profesor, comenta cómo resolverlas.

12

16

13

0.42

3.7 4.7

0.56 0.70.4

3.701 4.7100.3

Para la bitácora

Explora www.e-sm.com.mx/matret1-033a, donde hay actividades para ubicar decimales en la recta

numérica.

Explora www.e-sm.com.mx/matret1-033b, donde se encuentran actividades para ordenar decimales

de mayor a menor cantidad.

Explora el video www.e-sm.com.mx/matret1-033c, donde se aplica el uso de la recta numérica

en un planteamiento de la vida cotidiana.

TIC


La cinta métrica es un instrumento de medida graduado en centímetros. Consigue una cinta métrica y mide la estatura de diez compañeros. Escribe en tu cuaderno las medidas en decimales y fracciones.

33

Lección 4

Lección 4 Bloque 1

3

__

5 y 0.6 m

> > <

> < =

1 m

Eje: sentido numérico y pensamiento algebraicoTema: problemas aditivos

Contenido

Resolución y planteamiento de proble-mas que impliquen más de una ope-ración de suma y resta de fracciones.

Las albercas: suma y resta de fracciones

En una alberca vacía se vertió agua hasta cubrir 47 de su capacidad y, posteriormente, se añadió

el equivalente a 29

de su totalidad.

1. Contesta la pregunta y haz lo que se indica.

a) ¿Qué fracción representa la parte de agua que falta para llenar la alberca?

b) Explica la estrategia que usaste para responder la pregunta.

2. Otra alberca infantil estaba llena. Para evitar que se enfriara el agua se vació 35 del total

y se vertió agua caliente hasta cubrir 910

de su capacidad.

a) ¿Qué fracción representa la cantidad de agua caliente que se vertió?

b) ¿Qué fracción representa la cantidad que falta para llenar la alberca?

c) Expresa el planteamiento anterior en la recta numérica (el 0 representa que la alberca está vacía; el 1, que está llena).

3. En esta semana le están dando mantenimiento al chapoteadero: ayer pintaron 12

de su superficie y hoy solo alcanzaron a cubrir 16 más, pero ya se terminó la pintura.

a) ¿Qué superficie del chapoteadero falta pintar?

b) ¿Qué fracción representa la superficie pintada?

4. Una escalera tiene 19

de su longitud sumergida en el fondo de un estanque y 211 fuera

del agua.

a) ¿Qué fracción representa la parte cubierta de agua?

b) Para responder el inciso anterior, tal vez usaste dibujos, recta numérica o sumas y restas. ¿Qué procedimiento empleaste? ¿Utilizaste uno diferente? Explica en tu cuaderno.

c) Comparte con un compañero el procedimiento que empleaste.

d) Anota en el cuaderno tus dudas. Con ayuda del profesor, coméntalas con el grupo y entre todos encuentren maneras de resolverlas.


Lección 5 Problemas aditivos

0 1

13

___

63

R. T. Sumar las fracciones

dadas y restar el resultado a la unidad

1

__

2

1

__

10

4

__

10

9

__

10

2

__

6 =

1

__

3

4

__

6 =

2

__

3

70

___

99

R. P.

Un paso adelante

5. Reúnete con un compañero. Analicen el planteamiento y contesten.

a) Un carpintero cubre un piso con madera en 6 h; en cambio, su ayudante lo hace en 10 h.

i. Si trabajaran juntos, ¿qué parte de la superficie del piso cubrirían en 1 h?

ii. Expliquen la estrategia que usaron para responder la pregunta.

iii. ¿Qué fracción representa el área que cubre el carpintero en 1 h?

iv. ¿Cuál representa la superficie que cubre el ayudante en 1 h?

v. ¿Qué fracción representa el área que les falta cubrir después de trabajar juntos durante 1 h?

6. Resuelve el problema.

a) Federico es pescador; hoy vendió 16

del total que pescó, entregó 13

en el mercado, guardó 14

para su familia y donó el resto a un albergue. ¿Qué fracción de su pesca donó?

7. Redacta, en tu cuaderno, dos problemas que se resuelvan con estas operaciones.

a) 1 − 47

+ 314

=

b) 115

+ 35

– 210

=

8. Observa los gráficos y escribe una expresión con fracciones (suma o resta) que exprese su comportamiento.

9. Reúnete con un compañero. Discutan sus respuestas y redacten una conclusión.

Oriéntate

Recuerda que en la suma se aplica la propiedad conmutativa, según la cual el orden de los sumandos no altera el resultado. Por ejemplo:

5 + 3 = 3 + 5.

Pero en la resta el orden sí afecta el resultado.

35

Lección 5

Lección 5 Bloque 1

Gráfi co 1 Gráfi co 2 Gráfi co 3 Gráfi co 4

4

__

15

R. P.

1

__

6

1

__

10

11

__

15

1

__

4

R. P.

8

__

16 +

8

__

16 =

16

__

16 = 1

16

__

16 -

2

__

16 =

14

__

16 =

7

__

8

16

__

16 -

6

__

16 =

10

__

16 =

5

__

8

16

__

16 -

8

__

16 =

8

__

16 =

1

__

2

R. P.

Profundiza

10. Reúnete con un compañero y resuelvan mentalmente los problemas.

a) El lunes un jardinero podó 12 del césped de un campo de futbol; el martes,

14 ; el miércoles no

trabajó; y el jueves solo cortó 18

. ¿Qué fracción del césped le faltó podar?

b) En la escuela de Carlos promocionaron la actividad “El kilómetro del libro”. El objetivo era formar 1 km de libros alineados sobre el piso. Durante tres días sus compañeros lo construyeron: el primer día avanzaron 2

3 km; el segundo, 1

6 km; y el tercero, 11

2 km. ¿Qué fracción representa la parte que

les faltó para completar el kilómetro?

c) Enriqueta preparó una gelatina y la repartió de esta manera: dio 18 a su esposo,

116 a su bebé y

12

a su vecina. Si guardó el resto en el refrigerador, ¿cuánto sobró?

11. Completa la tabla efectuando la operación que se indica.


a) Jesús compró 3 12 kg de manzana, 1

14 kg de peras y 2

34 kg de carne.

i. Si mete todo en una bolsa, ¿cuánto pesará en total?

ii. Si le recomendaron cargar solo 6 kg en la bolsa porque esta se puede romper con más peso, ¿le convendrá meter todo lo que compró? Argumenta tu respuesta.

b) Pilar salió de su trabajo y caminó durante 34 h, comió en

12 h y regresó en un autobús que tardó

16 h.

i. Si en su trabajo le dan 1 12 h para comer, ¿le faltó tiempo o le sobró? Explica tu respuesta.

ii. ¿Cuánto tiempo le faltó o le sobró?

Fracción Fracción –

15 Fracción +

23

143729

Oriéntate

Recuerda que, para sumar o restar fracciones mixtas, primero debes transformarlas en fracciones impropias y, posteriormente, aplicar el método que más te convenga.


Lección 5 Problemas aditivos

1

__

8

1

__

12

5

__

16

7 1

__

2

No

porque todo junto pesa más de 6 kg

Sobró, sumar los tiempos 3

__

4 +

1

__

2 +

1

__

6 =

17

__

12 ó 1

5

__

12

Sobra 1

__

12 de hora o 5 minutos

1

___

20

8

___

35

1

___

45

11

__

12

23

___

21

8

__

9

13. Analiza los gráficos y contesta lo que se pide.

a) El entero está representado por la figura . Observa esta división:

¿Qué fracción representa cada triángulo?

b) Expresa, con fracciones, la operación de los gráficos.

c) Expresa los gráficos con fracciones.

14. Completa la tabla de manera que al sumar cada fila o columna el resultado sea 1.

15. Construye, en tu cuaderno, dos modelos de gráficos donde utilices sumas y restas de fracciones.

a) Compara tus modelos con los de tus compañeros y analicen las diferencias.

b) Discute con tu grupo las diferencias entre la suma de enteros y la suma de fracciones.

14

35

12

27

Para la bitácora

Explora www.e-sm.com.mx/matret1-037a, donde hay actividades para sumar y restar fracciones.

Explora www.e-sm.com.mx/matret1-037b, donde se encuentra una actividad de suma y resta de

fracciones.

Consulta el video www.e-sm.com.mx/matret1-037c, donde se explica cómo sumar fracciones

con diferente denominador.

TIC


Consigue una manzana y divídela en octavos (lo más exacto posible). Describe en tu cuaderno el procedimiento que seguiste.

37

Lección 5

Lección 5 Bloque 1

--

+

+

=

=((

))

1

__

12

2 2

__

12

6

__

12

16

__

12

42

___

12 =

7

__

2

18

__

12 =

3

__

2

27

___

70

51

___

140

4

___

35

3

___

20

7

___

20

Las tarjetas: sucesiones numéricas

El encargado de Recursos Humanos de la tienda departamental Todo Barato debe llevar el control de asistencia y puntualidad de los empleados: cada semana, recoge las tarjetas en que ellos registran sus horas de entrada y salida. En el departamento de Abarrotes, las tarjetas están foliadas como se indica en la tabla. Observa que el número de folio sigue una secuencia.

1. Reúnete con un compañero y hagan lo que se pide.

a) En este mes, tres personas entraron a trabajar en el departamento de Abarrotes. ¿Qué folio les corresponderá si son los empleados 13, 14 y 15, respectivamente?

b) Describan, en su cuaderno, el procedimiento que siguieron para encontrar las respuestas de la pregunta anterior.

c) ¿Qué folio corresponderá al empleado 20?

d) Redacten, en su cuaderno, el procedimiento para encontrar el folio del empleado 100.

Un paso adelante

En el departamento de Juguetería, se manejan los folios que se muestran en la tabla.

2. Describe, en tu cuaderno, el procedimiento para encontrar el folio de cada empleado.

3. ¿Qué folio le corresponderá al empleado 53?

4. Observa la sucesión y responde las preguntas.

4, 7, 10, 13, 16…

a) ¿Qué número ocupará la décima posición?

b) ¿Cuál es la regla que sigue la sucesión?

c) La sucesión tiene un orden dado por una regla. Inventa, en tu cuaderno, una sucesión de diez términos y escribe la regla que sigue. Compártela con tus compañeros.

d) Elige, grupalmente, una sucesión y verifiquen entre todos la regla propuesta.


Contenido

Construcción de sucesiones de números o de figuras a partir de una regla dada en lenguaje común. Formulación en lenguaje común de expresiones generales que definen las reglas de sucesiones con progresión aritmética o geométrica, de números y de figuras.

Empleado 1 2 3 4 5 6 7 8

Folio 706 707 708 709 710 711 712 713


Lección 6 Sucesiones numéricas y fi gurativas

Glosario

La sucesión es un conjunto ordenado de términos que cumplen una ley determinada.

En este caso, la palabra término se refi ere a cada número que la integra.

Empleado 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Folio 418 421 424 427 430 433 436 439 442 445 448 451

454 457 460

475

705 + número de empleado

758

31

sumar 3 al anterior

Las formaciones: sucesiones figurativas

Para fin de curso, los alumnos de primer grado de la escuela "Horacio Zúñiga" presentarán una tabla gimnástica. Ellos se irán incorporando a la presentación para formarse en “V”: en el primer momento solo estará un estudiante, pero en los siguientes se integrarán los demás de dos en dos.

5. Observa la tabla que representa la formación de los alumnos y contesta las preguntas.

a) ¿Cuántos alumnos se incorporarán en los momentos 6 y 7?

b) ¿En qué momento de la presentación se integrarán quince estudiantes?

c) ¿Cuántos alumnos se incorporarán en el momento 10?

d) Describe, en tu cuaderno, el procedimiento que seguiste para encontrar las respuestas anteriores.

e) Comparte con el grupo tu procedimiento, comenten dudas y con apoyo de su profesor intercambien ideas para aclararlas.

Un paso adelante

6. Reúnete con tres compañeros, observen la sucesión y respondan las preguntas en su cuaderno.

a) ¿Cuántos puntos habrá en las figuras de los lugares 5, 6 y 7?

b) ¿Cuántos puntos habrá en la figura que ocupe el lugar 20?

c) ¿Cuántos puntos hay en la base de cada figura?

d) ¿Qué operación deben efectuar para obtener el número de puntos de cada figura si consideran como referencia la cantidad que hay en la base?

e) Compartan sus respuestas con el grupo y elaboren una conclusión.

Momento 1 2 3 4 5

Formación

Número de alumnos 1 3 5 7 9

...

1 2 3 4 5


Lección 6

11, 13

8

19

25, 36, 49

400

1, 2, 3, 4, 5, 6

Multiplicar por sí mismo, 1 x 1, 2 x 2, 3 x 3, 4 x 4, 5 x 5, 6 x 6

Profundiza

La sucesión o progresión aritmética es una secuencia de números donde cada uno se diferencia del anterior (excepto el primer término) por una cantidad constante denominada diferencia común.Por ejemplo: 7, 11, 15, 19… es una sucesión o progresión aritmética porque la constante entre un término y el anterior es 4.

7. Analiza el procedimiento para obtener la regla de la sucesión aritmética y completa la tabla.

a) Obtener la diferencia común de la sucesión: restar a un término el anterior

b) Restar al primer término de la secuencia dicha diferencia común.

c) Regla: multiplicar el lugar del término por la diferencia común y sumarle el resultado anterior

La sucesión o progresión geométrica es una secuencia de números donde cada término (excepto el primero) se obtiene al multiplicar el anterior por uno fijo. A esta relación constante se le denomina razón común.Por ejemplo: 6, 36, 216, 1 296… es una sucesión o progresión geométrica porque al multiplicar un término por una cantidad fija (6) se obtiene el siguiente.

8. Analiza el procedimiento para obtener la regla de la sucesión geométrica y completa la tabla.

a) Obtener la razón común de la sucesión: dividir un término entre el anterior

b) Regla: multiplicar la razón común por sí misma tantas veces como el lugar del término

En una sucesión figurativa se debe analizar el acomodo de las figuras y obtener una secuencia numérica a partir de los elementos utilizados.

c) Comenta con el grupo tu respuesta y las dificultades presentadas durante la actividad; compartan ideas para superarlas.

Sucesión Diferencia común (a) Diferencia (b) Regla (c) Término en el lugar 15

6, 8, 10, 12, 14… 2 6 – 2 = 4 multiplicar el lugar del término por 2 y sumar al resultado 4 15 × 2 + 4 = 34

8, 13, 18, 23…

5, 6, 7, 8…

Sucesión Razón común (a) Regla (b) Término en el lugar 6

4, 16, 64, 256… 4 multiplicar 4 por sí mismo tantas veces como lo indica el lugar del término 4 × 4 × 4 × 4 × 4 × 4 = 4 096

2, 4, 8, 16… 2 multiplicar 2 por sí mismo tantas veces como lo indica el lugar del término 2 × 2 × 2 × 2 × 2 2 = 64

3, 9, 27, 81…


Lección 6 Sucesiones numéricas y figurativas

5

1

8 - 5 = 3

5 - 1 = 4

15 x 5 + 3 = 78

15 x 1 + 4 = 19

36 = 7293 3 elevado a la potencia del lugar donde se ubique el término

Lugar del término por 5 más 3


9. Reúnete con tres compañeros, observen la sucesión y respondan las preguntas en su cuaderno.

a) ¿Qué sucesión se forma con el número de elementos de cada figura?

b) ¿La sucesión formada es aritmética o geométrica?

c) Redacten la regla que sigue la sucesión anterior.

10. Completa las tablas (solo escribe los primeros tres términos de la sucesión).

Sucesión Diferencia o razón común Regla

multiplicar el lugar del término por 8 y restarle al resultado 2

razón común: 5

11, 16, 21…

11. Organiza un debate de manera grupal relacionado con las características de una sucesión y los procedimientos para encontrar la regla que las define. Redacten, en su cuaderno, una breve conclusión.

Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4 Figura 5

Para la bitácora

Explora www.e-sm.com.mx/matret1-041a, donde se encuentra una actividad con geometría dinámica

y sucesiones geométricas.

Explora www.e-sm.com.mx/matret1-041b, donde hay una actividad sobre sucesiones de figuras.

Consulta el video www.e-sm.com.mx/matret1-041c, donde se muestran algunos ejemplos de suce-

siones numéricas.

TIC


Sucesión figurativa Sucesión numérica Diferencia o razón común Regla

En la naturaleza es posible identificar sucesiones numéricas. Por ejemplo, la piña de los pinos tiene espirales que van en sentido de las manecillas del reloj y otras en sentido contrario. ¿En qué plantas del jardín puedes observar un caso similar?


Lección 6

3, 6, 9, 12, 15, …

aritmética

3 por el lugar del término

6, 14, 22, …

5, 25, 125, …

5, 9, 13, …

2, 4, 8, …

Diferencia común = 4

Razón común = 2


2 elevado a la potencia del lugar donde

se ubique el término.



5 elevado a la potencia del lugar donde se ubique el término.


La tarea: enunciado del procedimiento para calcular el perímetro de una figura

Carmen se enfermó y no pudo asistir a la escuela durante una semana. Quería enterarse de qué habían visto en la clase de Matemáticas, así que llamó a su amiga Susana para preguntarle. Ella le explicó que el último tema fue cálculo de perímetros.

1. Ayuda a Susana a redactar una breve explicación de cómo se calcula el perímetro de un polígono regular y de uno irregular.

2. El perímetro de la figura que se muestra es de 16 cm. Ayuda a Carmen a determinar el valor de los lados que no tienen medida.

3. Reúnete con un compañero y expliquen el procedimiento que siguieron para responder la pregunta anterior.

4. Resuelve los problemas en tu cuaderno.

a) Pedro quiere cercar un terreno rectangular. ¿Qué debe hacer para calcular la medida del contorno?

b) Paco tiene una hortaliza cuadrangular de 12 m de lado y desea saber cuántos metros de alambre debe comprar para cercarla. ¿Cómo puede determinar la cantidad de material que necesita?

c) ¿Qué procedimiento seguirías para calcular el perímetro de un papalote en forma de rombo, cuadrado o rectángulo? Compara tu respuesta con la de tus compañeros, registren sus dudas y coméntenlas para resolverlas con apoyo de su profesor.

5. Reúnete con tres compañeros, analicen la figura de la izquierda y contesten las preguntas.

a) Si un cuadro mide 1 cm de lado, ¿qué perímetro tendrá?

b) ¿Qué perímetro tiene la figura completa?

c) ¿Cuántos cuadros tiene la figura?

5 cm


Contenido

Explicación del significado de fórmulas geométricas, al considerar a las literales como números generales con los que es posible operar.

Oriéntate

Recuerda que un polígono regular tiene todos sus lados y ángulos iguales, mientras que los irregulares NO tienen todos sus lados y ángulos iguales.


Lección 7 Significado de algunas fórmulas geométricas

R. P.

6

__

2 cm = 3 cm

R. P.

Sumar los cuatro lados.

Sumar los cuatro lados o multiplicar la medida de un lado por 4.

Cuadrado, porque un rombo tiene los cuatro lados iguales.

4 cm

22 cm

28

d) ¿Cómo calcularían el área de la figura?

e) Si cada cuadro mide 1 cm de lado, ¿cuál será el área de la figura?

f) ¿Qué relación tiene el número de cuadros con el área de la figura? Argumenten su respuesta en el cuaderno.

g) Compartan el argumento con sus compañeros. Compárenlos y elaboren una conclusión.

Un paso adelante

6. Reúnete con un compañero. Analicen la figura, completen la tabla y contesten las preguntas.

a) ¿Cuál es la fórmula para obtener el área del cuadrilátero?

b) ¿Cuántos triángulos se obtienen al trazar la diagonal del cuadrilátero?

c) ¿Cuál es la fórmula para obtener el área del triángulo?

d) Justifiquen la relación que hay entre la fórmula para obtener el área del cuadrilátero y la del triángulo.

e) ¿Cómo se calcula el perímetro de cualquier polígono, sea regular o irregular?

f) Analiza, de manera grupal, qué son el área y el perímetro; escriban sus conclusiones en el cuaderno.

Figura completa Figura sombreada Figura no sombreada

Nombre de la fi gura

Procedimiento paraobtener el perímetro

Número de cuadros

Oriéntate

Recuerda que el cuadrilátero es un polígono de cuatro lados y su diagonal, un segmento de línea recta que une dos vértices no consecutivos.

43

Lección 7

Lección 7 Bloque 1

Glosario

El área es la superfi cie comprendida dentro de un perímetro. No tiene espesor ni grosor.

R. T. Sumando las áreas de los cuadritos.

28 cm2

El número de cuadritos corresponde a las unidades cuadradas

dentro del rectángulo.

Base por altura

Dos

Base por altura entre 2.

En un cuadrilátero hay dos triángulos por eso hay que dividir entre dos el

área de un cuadrilátero para obtener el área de un triángulo.

Sumando la

medida de todos sus lados.

Cuadrado

4 por lado

16

Triángulo

Lado mas lado mas lado

8

Triángulo

Lado mas lado mas lado

8

Polígono ¿Cómo calcular perímetro? ¿Cómo calcular área?

triángulo

cuadrado

rectángulo

Polígono Perímetro Área

a

ab

x y

z

m

ab

Profundiza

El profesor Lorenzo es el encargado del huerto escolar cuya superficie se modifica anualmente según el número de alumnos o las necesidades de la escuela. El año pasado, el huerto medía 10 m × 7 m y este año solo medirá 8 m × 6 m.

7. Contesta las preguntas en tu cuaderno.

a) ¿Qué procedimiento usarías para obtener el perímetro del huerto?

b) ¿Qué perímetro tenía el año pasado y cuál tiene este año?

c) Sin importar las medidas del huerto, explica el procedimiento para calcular su perímetro.

d) Si el largo del huerto fuera b y el ancho, h, ¿cuál sería la fórmula para obtener su área?

8. Reúnete con un compañero y completen las tablas.

c


Lección 7 Signifi cado de algunas fórmulas geométricas

Glosario

Una literal (a, b, c… x, y, z) es una letra que expresa cantidades desconocidas y puede ser sustituida por valores numéricos.

Lado más lado más lado

Cuatro por la medida del lado

2 veces el ancho más dos

veces el largo

Base por altura entre 2

Lado por lado

Base por altura

x + y + z

4m

2a + 2b

2a +2b

za

_

2

m2

ab

bh

Sumar la medida de los lados.

34 m 28 m

R. T. Dos veces el largo más dos veces el ancho.

2b + 2h

9. Evalúa el perímetro de las figuras y redacta, en tu cuaderno, el procedimiento que desa-rrollaste para encontrarlo.

a

b

c

d

e

f

3 cm

3 cm

10 c

m

1 cm

2 cm

1 cm

4 cm

6 cm

11 cm

12 cm

11 c

m

5 cm

a)

Perímetro =

c)

Perímetro =

b)

Perímetro =

e)

Perímetro =

10. Compara tus procedimientos con los de tus compañeros, registren dudas y soluciónenlas con ayuda de su profesor.

11. Organiza con tu grupo un debate para analizar las ventajas o desventajas del uso de literales en el cálculo de perímetros y áreas de algunas fi guras geométricas.

Para la bitácora

Explora www.e-sm.com.mx/matret1-045a, donde se encuentra una actividad para calcular áreas con

geometría dinámica.

Explora www.e-sm.com.mx/matret1-045b, donde hay una autoevaluación sobre cálculo de áreas.

TIC


Diversas construcciones tienen formas geométricas. En tu escuela elige alguna cancha o un jardín y calcula su perímetro y área. Presenta tus datos ante el grupo.

d)

Perímetro =

f)

Perímetro =

3 cm4 cm 5 cm

6 cm

6 cm6 cm

4 cm2 cm

6 cm 3 cm

3 cm

5 cm


Lección 7

69 cm a + b + c + d + e + f

20 cm 19 cm

18 cm 21 cm

La tarea: trazo de triángulos

Como parte de su tarea, Teresa debe construir triángulos con las medidas indicadas por su profesora.

En el primer ejercicio trazará un triángulo con tres lados de 2 cm cada uno.

1. Responde y haz lo que se pide en tu cuaderno.

a) ¿Cuántos triángulos diferentes se pueden formar con estas medidas? Explica tu respuesta.

b) Construye un triángulo con las medidas anteriores. Usa tu juego de geometría.

c) Describe el procedimiento que seguiste para trazar el triángulo solicitado.

2. Reúnete con un compañero, discutan sus procedimientos y redacten uno para construir triángulos con el juego de geometría.

En el segundo ejercicio Teresa deberá construir un triángulo con las siguientes medidas.

3. ¿Cuántos triángulos diferentes es posible formar con estas medidas? Explica la respuesta en tu cuaderno.

4. Reúnete con tu compañero, sigan el procedimiento que redactaron en la actividad 2 y construyan un triángulo cuyos lados midan 2 cm, 3 cm y 4 cm.

En el último ejercicio le pidieron a Teresa que formara un triángulo con estas medidas.

5. ¿Podrá trazar un triángulo con esas dimensiones? Explica la respuesta en tu cuaderno.

6. Comparte las respuestas con el grupo, discutan las características de las tres construcciones anteriores y lleguen a una conclusión.

Eje: forma, espacio y medidaTema: figuras y cuerpos

Contenido

Trazo de triángulos y cuadriláteros me-diante el uso del juego de geometría.

2 cm

2 cm

2 cm

3 cm

4 cm

2 cm

2 cm

4 cm

6 cm


Lección 8 Trazo de triángulos

Uno.

Uno.

No.

R. P.

Un paso adelante

7. Analiza la construcción y reprodúcela en tu cuaderno. Luego, haz lo que se pide.

7 cm

7 cm7 cm

5 cm 5 cm 5 cm

3 cm3 cm 3 cm

a) Redacta los pasos para trazar un triángulo si se conocen los tres lados; indica los instrumentos del juego de geometría que utilizaste.

8. Compara y comenta con tu grupo los procedimientos que redactaron en las actividades 2 y 7.

9. Reúnete con un compañero. Hagan y contesten lo que se indica en su cuaderno. Usen su juego de geometría.

a) Construyan un triángulo cuyos lados midan 8 cm, 6 cm y 4 cm.

b) Construyan un triángulo cuyos lados midan 10 cm, 4 cm y 2 cm.

c) Construyan un triángulo cuyos lados midan 8 cm, 6 cm y 2 cm.

d) ¿Pudieron formar los triángulos indicados? ¿En qué casos tuvieron dificultades para trazarlos? ¿Cuál fue el problema?

10. Comenta con el grupo las respuestas de la actividad anterior, registren dudas y, junto con el profesor, resuélvanlas.

11. Reúnete con dos compañeros. Hagan y contesten lo que se indica en su cuaderno.

a) Sumen la medida de dos lados del triángulo del inciso 9 a). ¿Cómo es el resultado respecto al tercer lado? Repitan el procedimiento con los demás lados para obtener las sumas posibles.

b) Sumen la medida de dos lados del triángulo del inciso 9 b). ¿Cómo es el resultado respecto al tercer lado? Repitan el procedimiento con los demás lados para obtener las sumas posibles.

c) Sumen la medida de dos lados del triángulo del inciso 9 c). ¿Cómo es el resultado respecto al tercer lado? Repitan con los demás lados para obtener las sumas posibles.

12. Discute con el grupo las respuestas anteriores y redacten, en su cuaderno, una breve conclusión acerca del dato necesario para construir un triángulo si se conocen los tres lados. Compárenlo con el que se menciona en el siguiente recuadro.

Para construir cualquier triángulo, la medida de uno de sus lados siempre debe ser menor que la suma de los otros dos.

47

Lección 8

Lección 8 Bloque 1

No. b) y c).

R. P.

8 + 6 = 14 > 4, 6 + 4 = 10 > 8, 8 + 4 = 12 > 6.

10 + 4 = 14 < 2, 4 + 2 = 6 < 10, 10 + 2 = 12 > 4.

8 + 6 = 14 > 2, 6 + 2 = 8 = 8, 8 + 2 = 10 > 6.

Profundiza

13. Analiza las construcciones, reprodúcelas con tu juego de geometría en el cuaderno y haz lo que se solicita.

a) ¿Qué elementos se conocían antes de iniciar el trazo?

b) Describe el procedimiento para la construcción del triángulo anterior; menciona que se conocen dos lados y el ángulo comprendido entre ellos e indica los instrumentos del juego de geometría que usaste.

57°

57° 57°4 cm

4 cm3 cm

3 cm

4 cm

4 cm 3 cm

3 cm

c) ¿Qué elementos se conocían antes de iniciar el trazo?

d) Describe el procedimiento para la construcción del triángulo anterior; menciona que se conocen dos ángulos y el lado comprendido entre ellos e indica los instrumentos del juego de geometría que usaste.

60°

60° 60°30°

30° 30°

5 cm

5 cm 5 cm

e) Lee la información del recuadro y contesta: ¿Es verdadera o falsa? Argumenta tu respuesta.

Para construir un triángulo cuando se conoce un lado y dos ángulos contiguos, la suma de estos deberá ser menor de 180°.

14. Comparte con el grupo la respuesta del inciso 13 e), coméntenla y redacten una breve conclusión.

15. ¿Qué datos se necesitan para trazar un triángulo? Argumenta la respuesta en tu cuaderno.

16. Reúnete con un compañero y respondan los planteamientos.

a) ¿Cuánto mide el tercer lado de un triángulo cuyos lados son de 3 cm y 5 cm, y su ángulo compren-

dido es de 30°?

i. Construyan, en su cuaderno, el triángulo indicado para comprobar la respuesta.

b) ¿Es posible trazar un triángulo si se conoce la medida de sus tres ángulos?

Oriéntate

Los ángulos contiguos son aquellos que están en los extremos de un segmento.


Lección 8 Trazo de triángulos

Dos lados y el ángulo entre ellos.

Dos ángulos y el lado común.

verdadera.

Tres lados, dos lados y el ángulo comprendido entre ellos, y dos ángulos y el

lado común.

2.83 cm

No

c) ¿Se puede trazar un triángulo cuyos ángulos midan 40° 60° y 80°? Inténtenlo en su cuaderno.

i. Comparen su triángulo con el de sus compañeros. ¿Es el mismo?

ii. ¿Esto se debe a que se conocían las medidas de los tres ángulos? Expliquen la respuesta en su cuaderno.

d) ¿Cuánto miden los ángulos de un triángulo cuyos lados son de 3 cm, 4 cm y 5 cm? Trácenlo en

su cuaderno.

i. Comparen sus respuestas con las de sus compañeros. ¿Todos obtuvieron las mismas? Arguméntenlas en su cuaderno.

17. Reúnete con un compañero. Hagan lo que se indica en su cuaderno y contesten las preguntas.

a) Tracen un triángulo isósceles que tenga un lado de 3 cm y otro de 5 cm.

i. ¿Cuántos triángulos diferentes se pueden formar con estas medidas?

ii. Justifiquen su respuesta.

b) Tracen un triángulo rectángulo que mida 7 cm de un lado y 9 cm de otro.

i. ¿Cuántos triángulos distintos es posible construir con estas medidas?

ii. Justifiquen su respuesta.

c) ¿Qué datos necesitan como mínimo para trazar el triángulo de la derecha?

d) Compartan su respuesta con el grupo.

e) Redacten una breve conclusión sobre los tipos de triángulos que se pueden construir según el número de lados y ángulos conocidos.

Para la bitácora

Explora www.e-sm.com.mx/matret1-049a, donde se encuentra una guía para construir diversos

triángulos.

Explora www.e-sm.com.mx/matret1-049b, donde se muestra una actividad para trazar triángulos

con geometría dinámica.

Consulta el video www.e-sm.com.mx/matret1-049c, donde se explica el procedimiento para construir

triángulos.

TIC


La entrada al Museo del Louvre en París tiene una estructura piramidal con paredes triangulares de 35 m de base y 27 m de altura. Busca en la escuela o comunidad estructuras con partes triangulares y anota sus medidas en tu cuaderno.

49

Lección 8

Lección 8 Bloque 1

Sí

R. P.

Sí. 36.87º, 53.13º y 90º.

Sí

Dos.

La medida de uno de los dos lados iguales y el ángulo 90º entre ellos.

Las figuras geométricas: trazo de cuadriláteros

El papá de Erasmo es vidriero; le han pedido que construya un vitral con este modelo.

1. ¿Qué figuras geométricas conforman el vitral? Identifícalas y escribe sus nombres en tu cuaderno. Compara la respuesta con la de tus compañeros.

2. Reúnete con un compañero. Relacionen cada descripción con la figura que le corresponde. No debe haber más de una figura por línea.

3. Completa la tabla, compara y comenta las respuestas con tus compañeros de grupo.

Nombre Figura Características (lados y ángulos)

Lados iguales, ángulos iguales

Rectángulo

Trapezoide

Romboide

Trapecio isósceles

Trapecio escaleno

Trapecio rectángulo

Rombo


Contenido

Trazo de triángulos y cuadriláteros mediante el uso del juego de geometría.

Paralelogramo cuyos lados tienen la misma longitud y cuyos ángulos son iguales

Cuadrilátero que tiene solo un par de lados opuestos paralelos y dos lados no paralelos de la misma longitud

Paralelogramo que tiene dos pares de lados iguales y dos pares de ángulos semejantes

Cuadrilátero cuyos lados no son paralelos

Paralelogramo cuyos lados tienen la misma longitud y cuyos pares de ángulos son iguales

Cuadrilátero que tiene solo dos lados opuestos paralelos y dos ángulos rectos (90°)

Paralelogramo con dos pares de lados iguales y ángulos iguales

Cuadrilátero que tiene solo dos lados opuestos paralelos y ángulos diferentes

Oriéntate

Oriéntate

El cuadrilátero es un polígono de cuatro lados.

El paralelogramo es un cuadrilátero cuyos lados opuestos son paralelos.

Dos líneas son paralelas cuando se mantienen siempre a la misma distancia una de la otra, y, por más que se prolonguen, nunca se encuentran.


Lección 9 Trazo de cuadriláteros

R.P.

Cuadrado, rectángulo, rombo, romboide, trapecios y trapezoide.

Un paso adelante

4. Analiza las construcciones, contesta las preguntas y haz lo que se pide en tu cuaderno.

a) ¿ A qué figura conduce este proceso de construcción? ¿Cuáles son los elementos iniciales? Escribe los instrumentos del juego de geometría que se utilizaron para efectuar el trazo.

b) Redacta el procedimiento para trazar la figura anterior y el proceso de construcción de un cuadrado si solo se conocen las medidas de sus lados.

c) Redacta la similitud de características (lados y ángulos) y trazado entre un rectángulo y un cuadrado.

d) ¿A qué figura conduce este proceso de construcción? ¿Cuáles son los elementos de los que parte

el proceso? Escribe los instrumentos del juego de geometría que se utilizaron para el trazo.

e) Redacta un procedimiento para trazar la figura anterior y otro para trazar un rombo si se conocen las medidas de sus lados y un ángulo.

f) Redacta la similitud de características (lados y ángulos) y trazado de un romboide y un rombo.

5. Reúnete con dos compañeros y contesten las preguntas en su cuaderno.

a) ¿Qué datos se necesitan como mínimo para trazar un trapecio isósceles?

b) ¿Qué datos se requieren como mínimo para construir un trapecio rectángulo?

c) ¿Qué datos se necesitan como mínimo para trazar un trapecio escaleno?

d) ¿Qué datos se requieren como mínimo para construir un trapezoide?

e) Compartan sus respuestas con el grupo y elaboren una tabla que integre la información de los incisos anteriores.

7 cm

4 cm

Paso 1 Paso 2 Paso 3

Paso 2 Paso 3Paso 1

6 cm

2 cm

45°

51

Lección 9

Lección 9 Bloque 1

Rectángulo. Dos lados. Escuadra

Ambos tienen 4 ángulos rectos, lados paralelos dos a dos.

Romboide. Dos lados y un ángulo comprendido entre ellos. Regla y transportador.

Lados paralelos dos a dos y ángulos opuestos iguales dos a dos.

Medida de dos lados y ángulos contiguos.

Medida de tres lados que formen los dos ángulos rectos.

Tres lados y dos ángulos comprendidos entre ellos.

Cuatro lados y 3 ángulo * Puede variar de acuerdo al razonamiento del alumno.

Profundiza

6. Traza un cuadrilátero cuyos lados midan 3 cm, 5 cm, 2 cm y 4 cm.

7. Compara tu trazo con el de tus compañeros y responde las preguntas.

a) ¿Qué tipo de cuadrilátero resultó?

b) ¿Todos obtuvieron el mismo trazo? Explica la respuesta en tu cuaderno.

8. Continúa el trazo del cuadrilátero, cómparalo con los demás y contesta las preguntas.

a) ¿Qué tipo de cuadrilátero resultó?

b) ¿Todos tus compañeros obtuvieron el mismo trazo? Explica la respuesta

en tu cuaderno.

c) ¿Es posible construir cualquier cuadrilátero si solo se conoce la medida de dos lados? Explica la respuesta en tu cuaderno.

9. Analiza las construcciones y contesta las preguntas en tu cuaderno.

a) ¿A qué figura conduce este proceso de construcción?

b) Redacta el procedimiento para trazar la figura anterior si se conocen tres lados y la medida de dos de sus ángulos. Compártelo con tu grupo.

8 cm

3 cm

5 cm


Lección 9 Trazo de cuadriláteros

Puede variar de acuerdo al orden de los lados y los

ángulos que se decidan.

Trapezoide.

No.

R. P.

No.

No.

Trapecio rectángulo.

c) ¿A qué figura conduce este proceso de construcción?

d) Redacta el procedimiento para trazar la figura anterior si se conocen dos de sus lados y el ángulo comprendido entre ellos.

e) ¿A qué figura conduce este proceso de construcción?

f) Con los elementos dados, ¿es el único trapecio que se puede construir? Explica tu respuesta.

g) Redacta los pasos para trazar un trapecio escaleno si se conocen tres lados y el ángulo comprendido entre dos de ellos.

10. Reúnete con un compañero y tracen en su cuaderno los cuadriláteros que se indican.

11. Organiza con tu grupo un debate acerca de los procedimientos e informaciones que se necesitan para la construcción de los cuadriláteros trabajados en la lección. Registren sus conclusiones en su cuaderno.

Para la bitácora

TIC


6 cm

5 cm

4 cm

80° 80° 80° 80°

60° 60° 60°60° 60° 60°

60°

3 cm

8 cm

a) Un cuadrado de 3 cm de lado

d) Un romboide de 6 cm y 4 cm de lado, y un ángulo comprendido entre ellos de 35º

b) Un rombo de 3 cm de lado y un ángulo de 40°

e) Un trapezoide con medidas de 4 cm, 8 cm, 7 cm y 5 cm

c) Un rectángulo de 6 cm y 4 cm de lado

f) Un trapecio rectángulo con lados parale-los de 10 cm y 6 cm cada uno, y el lado comprendido entre ellos de 5 cm

Explora www.e-sm.com.mx/matret1-053a, donde se encuentran actividades para construir un cuadrado

al conocer uno de sus lados.

Explora www.e-sm.com.mx/matret1-053b, donde hay una actividad para trazar un cuadrado con algunas

herramientas del juego de geometría.

Consulta el video www.e-sm.com.mx/matret1-053c, donde se muestra el proceso de construcción

de un romboide.

El tempo de Kukulcán, en Chichén Itzá, tiene una base cuadrada de 55 m y, en su cúspide, una construcción con base cuadrada de 9 m. Traza dos cuadrados que compartan el mismo centro: uno debe medir 5.5 cm de base y el otro, 0.9 cm.


Lección 9

Trapecio isósceles.

Trapecio escaleno

No, porque puede variar el orden de los lados y el ángulo puede estar comprendido en lados diferentes.

Triángulos: rectas y puntos

1. ¿Cuál es la fórmula para calcular el área de cualquier triángulo?

2. Reúnete con un compañero. Analicen las figuras, efectúen lo que se pide y contesten las preguntas.

a) Remarquen con rojo las bases de los triángulos y con azul las alturas.

b) Ahora midan la base y la altura de cada triángulo.

Triángulo 1 Triángulo 2 Triángulo 3

c) Obtengan el área de los triángulos.


d) Además del número de lados y ángulos, ¿qué característica comparten los triángulos anteriores?

e) Definan, en su cuaderno, qué es la altura de un triángulo. Comparen su definición con la de sus

compañeros de grupo.

f) ¿Cuántas alturas puede tener un triángulo? ¿Podrías trazar una altura desde cada

lado? ¿Por qué? Expliquen la respuesta en su cuaderno.

g) ¿La altura de un triángulo siempre se indica o traza al interior de la figura?

¿Por qué? Explíquenlo en su cuaderno y comparen sus respuestas con las de sus compañeros.

Un paso adelante

Un triángulo tiene tres alturas que son segmentos perpendiculares a cada lado y que pasan por el vértice opuesto. Al punto donde se cortan ellas o sus prolongaciones se le denomina ortocentro.


Contenido

Trazo y análisis de las propiedades de las alturas, medianas, mediatrices y bisectrices en un triángulo.



Lección 10 Trazos y análisis I

bh

__

2

R. P.

R. P.

R. P.

Tienen áreas iguales.

Tres.

Si. Por que todos los

lados pueden ser bases.

No, porque

es perpendicular a la base y debe ir hasta el vértice opuesto.

3. Localiza el ortocentro del triángulo.

4. Completa con las palabras acutángulo, obtusángulo o rectángulo, según corresponde.

a) El ortocentro de un triángulo es el vértice correspondiente al ángulo recto.

b) El ortocentro de un triángulo está en su interior.

c) El ortocentro de un triángulo está en su exterior.

5. Observa la secuencia de trazos y contesta las preguntas en tu cuaderno.

a) ¿Cuál es el área de los triángulos de la etapa 4? Usa tu regla para tomar las medidas necesarias.

b) Si los triángulos son diferentes, ¿por qué tienen la misma área? Explica tu respuesta.

c) Observa el triángulo de la etapa 3. Al segmento de color anaranjado se le denomina mediana. Define este termino. Luego, con ayuda de tu profesor, comparte tu definición con el grupo. Entre todos comenten y elaboren una definición de mediana.

d) Organiza con tu grupo un debate relativo al siguiente cuestionamiento: ¿Las medianas de un triángulo siempre aparecerán trazadas o indicadas dentro de la misma figura?

Un triángulo tiene tres medianas que son segmentos que van del punto medio de un lado al vértice opuesto. Al punto donde se cortan las tres medianas se le denomina baricentro.

6. Localiza el baricentro del triángulo.

Etapa 1 Etapa 2 Etapa 3 Etapa 4

Oriéntate

Oriéntate

El vértice es el punto donde coinciden dos lados que conforman un ángulo.

El triángulo rectángulo tiene un ángulo recto; el triángulo acutángulo tiene todos sus ángulos agudos (menores de 90°); y el triángulo obtusángulo tiene un ángulo obtuso (mayor de 90°).

a a aa a a

55

Lección 10

Lección 10 Bloque 1

rectángulo

acutángulo

obtusángulo

Profundiza

7. Reúnete con un compañero y efectúen lo que se pide.

a) Tracen un triángulo cuyos lados midan 3 cm, 4 cm y 6 cm.

b) De acuerdo con las medidas de sus ángulos, ¿qué tipo de triángulo trazaron?

c) ¿El ortocentro estará dentro del triángulo, fuera de él o encima?

d) ¿Cuántas alturas requieren trazar para encontrar el ortocentro?

e) Localiza el ortocentro en el triángulo trazado.

8. Reúnete con dos compañeros y hagan las actividades propuestas.

a) Tracen en un trozo de cartón un triángulo cuyos lados midan 10 cm, 4 cm y 8 cm.

b) Recorten el triángulo.

c) Localicen su baricentro.

d) Perforen el triángulo por el baricentro.

e) Coloquen el extremo de un estambre de 20 cm en el baricentro del triángulo y tomen el estambre por el otro extremo. ¿El triángulo guarda equilibrio?

El baricentro es el centro de gravedad de un triángulo.

9. Traza el centro de gravedad y el ortocentro del triángulo.

a) Discute con tu grupo las diferencias y posibles semejanzas entre el ortocentro de un triángulo y su centro de gravedad. Redacten, en su cuaderno, una breve conclusión.


Lección 10 Trazos y análisis I

obtusángulo

fuera

2

6 cm

4 cm3 cm

10. Resuelve los planteamientos y construye el triángulo correspondiente que te ayude a solucionarlos.

a) San Juan, San Pedro y San Nicolás son tres pueblos ubicados en forma de triángulo equilátero. El gobierno desea construir un hospital que se encuentre a la misma distancia de los tres lugares.

i. Traza un triángulo que satisfaga las características del problema.

ii. ¿Qué punto debes trazar en el triángulo para localizar el lugar donde se construirá

el hospital?

iii. Localiza con color rojo el lugar donde se debe construir el hospital.

iv. Compara el trazo con el de tus compañeros.

v. ¿Todos desarrollaron el mismo procedimiento?

b) En la figura de la derecha, compara las áreas de los triángulos pequeños que integran el triángulo mayor.

i. Reproduce el triángulo mayor en tu cuaderno.

ii. Localiza los puntos medios de los lados del triángulo más grande y únelos.

iii. Obtén el área de los triángulos que conforman al mayor. ¿Cómo son entre sí? Responde en tu cuaderno.

11. Registra las dudas que tuviste al resolver la actividad 10 y coméntalas con el grupo

para darles solución. Luego, analicen el uso del baricentro y ortocentro, y escriban en su cuaderno las conclusiones.

Para la bitácora

Explora www.e-sm.com.mx/matret1-057a, donde se encuentran construcciones dinámicas que

permiten visualizar las propiedades del triángulo y sus puntos.

Explora www.e-sm.com.mx/matret1-057b, donde hay actividades relativas al trazo de medianas y

baricentro con geometría dinámica.

Explora el video www.e-sm.com.mx/matret1-057c, donde se explican las propiedades del triángulo y su uso

en la vida cotidiana.

TIC


8 cm

8 cm

Toma tus escuadras y localiza el centro de gravedad de cada una.

57

Lección 10


baricentro

R. P.

Alturas de un triángulo y su ortocentro

Medianas de un triángulo y su baricentro

Triángulos: rectas y puntos II

Para anticiparse a la Navidad, Jesús le compró a su jefe un botellero triangular. En la tienda donde lo encontró también había cajas circulares para regalo.

1. Si cada lado del botellero mide 35 cm, ¿de qué medida deberá comprar la caja para

que el regalo entre exactamente?

2. Reúnete con un compañero y escriban, en su cuaderno, una explicación para calcular el diámetro adecuado de la caja.

3. Analicen la construcción y contesten las preguntas en su cuaderno. Se ha trazado el segmento verde a partir de un lado del triángulo.

a) El segmento verde no corresponde a la definición de altura o mediana. ¿Por qué? Comparen su respuesta con la de sus compañeros.

b) El segmento verde es la mediatriz. Básense en el dibujo para explicar, en su cuaderno, el proceso para construir la mediatriz con una escuadra.

c) ¿Cuántas mediatrices tiene un triángulo?

4. Analiza la construcción y contesta las preguntas en tu cuaderno.

Se ha trazado el segmento rojo a partir de un ángulo del triángulo; este quedó dividido en dos partes iguales.

a) El segmento rojo no corresponde a la definición de altura o mediana. ¿Por qué?Compara tu respuesta con las de tus compañeros.

b) El segmento rojo se denomina bisectriz. Con base en el dibujo explica, en tu cuaderno, el proceso para construir la bisectriz con transportador.

c) ¿Cuántas bisectrices puedes trazar en un triángulo?

d) Compara tus respuestas con las de tus compañeros. Elaboren una definición de bisectriz.


Contenido

Trazo y análisis de las propiedades de las alturas, medianas, mediatrices y bisectrices en un triángulo.

Oriéntate

a a


Lección 11 Trazos y análisis II

R. P.

R. T. No es punto medio y no va al vértice opuesto.

Tres.

R. T. No parte de un lado.

Tres.

Un paso adelante

Recuerda que un triángulo tiene en cada uno de sus lados tres mediatrices o segmentos perpendi-culares que parten del punto medio, y al punto donde se cortan estos o sus prolongaciones se le denomina circuncentro.

5. Localiza el circuncentro del triángulo rectángulo.

6. Completa, con base en las imágenes anteriores, los enunciados con las palabras acutángulo, obtusángulo o rectángulo, según el tipo de triángulo y el lugar del circuncentro.

a) El circuncentro de un triángulo es el punto medio de la hipotenusa.

b) El circuncentro de un triángulo está en su interior.

c) El circuncentro de un triángulo está en su exterior.

d) Comparte tus repuestas con tus compañeros y analicen por qué la medida de un ángulo influye en la ubicación del circuncentro. Escriban una breve conclusión en su cuaderno.

Un triángulo tiene tres bisectrices o segmentos que dividen por la mitad a cada uno de sus ángulos.Al punto donde estas se cortan se le denomina incentro.

El punto medio de un segmento es el lugar que lo divide en dos partes iguales.

La hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto y de mayor longitud de un triángulo rectángulo.

Oriéntate

Oriéntate

59

Lección 11


rectángulo

acutángulo

obtusángulo

Profundiza

7. Localiza el incentro del triángulo rectángulo.

8. Reúnete con un compañero. Efectúen lo que se pide y contesten las preguntas en su cuaderno.

a) Tracen un triángulo cuyos lados midan 3 cm, 4 cm y 2 cm.

b) Ubiquen su circuncentro mediante trazos.

c) Tracen un segmento del circuncentro a cualquiera de los vértices del triángulo.

d) Tracen una circunferencia cuyo radio sea el segmento anterior y cuyo centro sea el circuncentro del triángulo.

e) ¿Qué puntos del triángulo tocó la circunferencia trazada?

9. Haz lo que se pide y contesta en tu cuaderno.

a) Traza un triángulo cuyos lados midan 6 cm, 8 cm y 5 cm.

b) Ubica el incentro mediante trazos.

c) Traza un segmento perpendicular a la base que toque el incentro.

d) Traza una circunferencia cuyo radio sea el segmento anterior y cuyo centro sea el incentro del triángulo.

e) ¿Qué puntos del triángulo tocó la circunferencia trazada?

La circunferencia circunscrita es aquella que toca los tres vértices del triángulo.La circunferencia inscrita es aquella que toca en un punto cada lado del triángulo.

10. Escribe qué tipo de circunferencia hay en cada figura.

a) Analiza, de manera grupal, el siguiente planteamiento: ¿es posible que el incentro de un triángulo coincida con uno de sus lados? Escriban en su cuaderno las conclusiones a las que lleguen.

El vértice es el punto donde se unen dos lados de un polígono.

Oriéntate

60

Bloque 1 Lección 11

Lección 11 Trazos y análisis II

Circunscrita Inscrita Circunscrita

11. Lee los planteamientos, efectúa lo que se pide y contesta las preguntas en tu cuaderno.

a) El botellero que compró Jesús mide 35 cm de lado y tiene la forma de un triángulo equilátero.

i. Traza un triángulo equilátero cuyos lados midan 3.5 cm.

ii. ¿El triángulo debe estar inscrito o circunscrito a una circunferencia para simular la caja redonda?

iii. Traza la circunferencia.

iv. Mide su radio y multiplícalo por 10; esta operación ayudará a determinar el radio de la caja.

v. ¿Qué radio debe tener la caja?

b) En el centro de un fraccionamiento triangular, como el que muestra la imagen, cuyos lados miden 60 m, 40 m y 70 m, se desea colocar una fuente.

i. Reproduce, en tu cuaderno, la fuente a escala;cada metro debe equivaler a 10 cm.

ii. Localiza el centro de la plaza.

iii. ¿Cómo se denomina el punto que corresponde al centro?

12. Elabora, grupalmente, una tabla donde se concentren nombres, definiciones y características de las rectas y los puntos notables de un triángulo.

Para la bitácora

Explora www.e-sm.com.mx/matret1-061a, donde se encuentran actividades interactivas acerca del trazo

de rectas notables del triángulo.

Explora www.e-sm.com.mx/matret1-061b, donde se presenta una guía didáctica interactiva sobre la

rectas notables del triángulo.

Consulta el video www.e-sm.com.mx/matret1-061c, donde se muestra una aplicación de la mediatriz

en el trazo de circunferencias.

TIC


En una fotografía satelital de una región cercana a Phoenix, Arizona, se muestra un triángulo dibujado sobre el desierto. Ubica el ortocentro de ambos triángulos (exterior e interior).

61

Lección 11


circunscrita

20.2 cm

incentro

Las ganancias: reparto proporcional o en partes iguales

Luis, Toño y Julieta juntaron sus ahorros y abrieron una tienda de abarrotes. Cuando iniciaron el negocio acordaron que repartirían las ganancias en tres partes iguales, ya que todos cooperaron.

1. Lee los planteamientos y responde.

a) El primer día obtuvieron una ganancia de $600.00. ¿Cuánto le corresponde a cada uno? Describe el procedimiento que usaste para responder.

b) Después de varios días los tres no decidían cómo repartirse las ganancias, pues no trabajaban el mismo número de horas, así que se reunieron y acordaron distribuirse el dinero de acuerdo con la cantidad de horas que laboraran. Al día siguiente, solo Luis y Toño trabajaron 8 h cada uno. Ese día hubo una ganancia de $370.00.

i. ¿Cuánto le corresponde a cada uno? Julieta: Luis: Toño:

ii. ¿Por qué no sería justo repartir las ganancias como al principio?

iii. Comparte las respuestas con tus compañeros y redacten una conclusión.

c) Al otro día, el negocio permaneció abierto durante 12 h: Toño trabajó 5 h; Luis,3 h: y Julieta, 4 h. La ganancia total que obtuvieron ese día fue de $720.00.

i. De acuerdo con las horas trabajadas, ¿quién debe ganar más?

ii. ¿Y quién menos?

d) El viernes Toño trabajó 4 h; Luis, 5 h: y Julieta, 6 h. La ganancia que obtuvieron fue de $900.00.

i. En promedio, ¿cuál fue la ganancia obtenida por hora?

ii. ¿Cuánto debe recibir cada uno para que el reparto sea proporcional al número de horas trabajadas?

Julieta: Luis: Toño:

2. Reúnete con un compañero. Construyan un procedimiento basado en el número de horas trabajadas para repartir las ganancias y escríbanlo en su cuaderno.

Eje: manejo de la informaciónTema: proporcionalidad y funciones

Contenido

Resolución de problemas de reparto proporcional.

Repartir es distribuir algo dividiéndolo en partes.

Oriéntate


Lección 12 Reparto proporcional

$200.00.

0 $185.00 $185.00

R. T. Porque Julieta no trabajó.

Toño

Luis

60 pesos.

$360.00 $300.00 $240.00

Un paso adelante

3. Lee el planteamiento y responde.

a) El fin de semana, los tres asistieron al negocio: Luis trabajó 8 h; Toño, 5 h; y Julieta, 7 h.

¿Cuántas horas trabajaron entre los tres?

b) Las ganancias fueron de $2 400.00 ese fin de semana. Si reparten en cantidades iguales sin importar

las horas de trabajo, ¿cuánto recibirá cada uno?

c) Si se dividieran las ganancias en proporción al tiempo trabajado, ¿cuánto le correspondería a cada uno?

Julieta: Luis: Toño:

d) ¿Qué ganancia se obtuvo por cada hora de trabajo?

e) Completa la tabla.

Horas de trabajo 1 2 6 7 10 14 15 17 18 19 20

Ganancia 2 400

f) Compara tus resultados con los de tus compañeros. Escriban una conclusión.

La proporción es una comparación de cada parte de un objeto o cantidad respecto al total y entre las mismas partes, por tanto, indica cuántas veces una parte es mayor o menor que otra.El reparto proporcional consiste en distribuir una cantidad de manera que los resultados sean proporcionales a cantidades determinadas.

4. Lee los planteamientos y responde en tu cuaderno.

a) Considera el ejemplo de la tienda de abarrotes de Julieta, Luis y Toño.

i. ¿El reparto proporcional permite distribuir las ganancias según el tiempo trabajado?

ii. ¿El dinero que debe recibir cada uno se obtiene al multiplicar la ganancia total por el número de horas que trabajaron? ¿Por qué?

b) En un fin de semana, ganaron $3 600.00. Luis trabajó 7 h; Julieta, 6 h; y Toño, 5 h.

i. Luis trabajó 7 h de 18 h, así que la proporción se representa como 718 que, en este contexto,

se lee “siete de dieciocho horas”. ¿Cuánto tiempo trabajaron los demás?

ii. De los $3 600.00, a Luis le corresponden $3 600.00 × 718 = 3 600 × 0.38 = 1 368.00

¿Cuánto recibirán los otros dos?

iii. Discute, con tu grupo, por qué la ganancia se ha repartido proporcionalmente al número de horas trabajadas por Julieta, Luis y Toño. Escriban sus conclusiones.

63

Lección 12


20

$800.00

$840.00 $960.00 $600.00

Sí.

Sí.

Julieta 6

__

18 y Toño

5

__

18

Julieta $1200.00 y Toño $1000.00

$120 $240 $720 $840 $1200 $1680 $1800 $2040 $2160 $2280

Profundiza

5. Contesta las preguntas conforme al planteamiento.

a) La señora Gómez repartirá $720.00 entre sus tres empleadas de acuerdo con el número de blusas confeccionadas en la semana.

i. Si todas entregaran el mismo número de blusas, ¿qué pago recibiría cada una?

ii. Cecilia entregó tres blusas; Guadalupe, seis; y Azucena, tres. ¿Qué cantidad recibirá cada una?

Cecilia: Guadalupe: Azucena:

6. Completa la tabla con base en el planteamiento.

a) Pedro y Alberto se propusieron reunir latas de aluminio para venderlas y obtener dinero. El primero juntó 6 kg y el segundo, 4 kg. De acuerdo con estas cantidades, ¿cuánto dinero le corresponde a cada uno? En el centro de reciclaje les pagaron $820.00 por las latas que recolectaron ambos.

Pedro: Alberto:

b) ¿Cuánto recibió Pedro por cada kilogramo que aportó? Completa la tabla.

Botes (kg) 1 2 3 4 5 6

Costo ($) 246.00

c) ¿Cuál es el costo por kilogramo de botes de aluminio?

d) Compara tus resultados con el grupo. Registren sus dudas y comenten cómo resolverlas.


a) El señor Ramírez quiere distribuir las ganancias de su negocio de venta de animales domésticos. Repartirá $16 200.00 entre sus tres nietos de acuerdo con el número de animales que le ayudaron a criar (9, 12 y 15, respectivamente).

¿Cuánto le corresponderá a cada uno?

b) La escuela "Francisco I. Madero" destinó un presupuesto de $13 776.00 para la limpieza del pequeño bosque que está junto a sus instalaciones, la cual se efectuó por dos brigadas. En la primera trabajaron doce personas durante ocho días y en la segunda, quince en diez días.

¿Cuánto le corresponde a cada brigada?


Lección 12 Reparto proporcional

$80 $164 $328 $410 $492

$240.00

$180.00 $360.00 $180.00

$492.00 $328.00

$82.00

Al que crió 9, $4050.00. Al que crió 12,

$5400.00. Al que crió 15, $6750.00.

Brigada 1, $6122.67. Brigada 2, $7653.33.

c) La cooperativa Dulces Maravilla logró una utilidad de $23 540.00, que se repartirá entre sus 22 trabajadores, según su antigüedad en la empresa.

i. Si tuvieran el mismo tiempo trabajando, ¿cuánto le correspondería a cada uno? Carlos, María, Enrique, Sebastian y Juan llevan catorce meses en la empresa; Ernesto y otros

siete empleados, once meses; y los demás, seis.

ii. ¿Cuánto le corresponderá a cada uno?

iii. ¿Qué cantidad le corresponderá a Ernesto?

iv. ¿Cuánto les corresponderá a los empleados que tienen seis meses?

d) Una modista pagó $1 350.00 por 30 m de tela. Debe confeccionar los uniformes de doce alumnas, pero no sabe cuánto cobrar por la tela de cada una. Calcula el costo conforme a la estatura de las jóvenes.

Cinco alumnas miden 1.60 m; seis, 1.50 m; y una, 1.70 m.

i. ¿Cuánto pagará por la tela cada alumna de 1.60 m?

ii. ¿Cuánto pagará cada alumna de 1.50 m?

iii. ¿Cuánto pagará la alumna de 1.70 m?

8. Discute con tu grupo las ventajas y desventajas del reparto equitativo y del reparto proporcional. Anoten sus conclusiones.

Para la bitácora

Explora www.e-sm.com.mx/matret1-065a, donde hay problemas de reparto proporcional.

Consulta el video www.e-sm.com.mx/matret1-065b, donde se muestra un ejemplo de reparto

proporcional.

Consulta el video www.e-sm.com.mx/matret1-065c, donde se explica un procedimiento para resolver

problemas de reparto proporcional.

TIC


Usualmente un pastel se reparte en rebanadas del mismo tamaño de acuerdo con un criterio de reparto equitativo. ¿Qué podrías considerar para repartirlo proporcionalmente?


Lección 12

$1 070.00

Los de 14 meses, $1554.53. Los de 11

meses, $1221.41. Los de 6 meses $666.23

$1 221.41

$5996.07

$72.00

$67.50

$76.70

R. P.

Piedra, papel o tijeras: juegos de azar

Roberto juega con su amigo Tomás a piedra, papel o tijeras. ¿Conoces el juego?

Cada jugador debe decir al mismo tiempo la frase “Piedra, papel o tijeras” e inmediatamente mostrar su mano con una de las tres opciones. La tabla indica quién gana y quién pierde.

1. ¿Cuántos resultados posibles se presentan en este juego? Completa la tabla sin olvidar que tijeras contra piedra es igual que piedra contra tijeras.

2. Reúnete con un compañero y responde las preguntas.

a) Francisco y Daniel jugarán tres veces a piedra, papel o tijeras. ¿Saben quién ganará?

¿Por qué?

b) ¿El resultado del juego depende de la habilidad de los jugadores o de la suerte? Expliquen la respuesta en su cuaderno.

c) De acuerdo con la tabla anterior, si en varios juegos Daniel siempre elige tijeras, ¿ganará todas

las veces? ¿Por qué?

d) Con base en la misma tabla, ¿hay una estrategia para que Francisco gane sin hacer ningún tipo

de trampa? ¿Por qué? Expliquen la respuesta en su cuaderno.

e) Comparen sus respuestas con las de sus compañeros.

3. ¿Conoces juegos en que las posibilidades de ganar o perder no dependan de la habilidad del jugador sino del azar? Escribe en tu cuaderno tres de ellos.

4. Comparte tus respuestas de la actividad anterior con tus compañeros. Discutan por qué son juegos que dependen del azar y enlisten los juegos propuestos.

Eje: manejo de la informaciónTema: nociones de probabilidad

Contenido

Identificación y práctica de juegos de azar sencillos y registro de los resultados. Elección de estrategias en función del análisis de resultados posibles.

Vence a… Es vencido por…Piedra tijeras papelPapel piedra tijerasTijeras papel piedra

¿Quién gana?Tijeras contra papel tijerasTijeras contra tijeras

Oriéntate

Todo juego siempre recrea una situación conflictiva o de colaboración entre los participantes.

Glosario

Azar. Combinación de circunstancias que no se pueden prever.


Lección 13 Nociones de probabilidad

No.

No se puede saber que opción elegirá el contrincante.

No, porque no en todos los casos gana la tijera, gana

con el papel pero pierde con la piedra.

No,

porque no se puede saber quién va a ganar. Es cuestión de azar.

Papel vs piedra

Tijera vs piedra

Papel vs papel

Piedra vs piedra

Nadie

Papel

Piedra

Nadie

Nadie

Un paso adelante

5. Reúnete con un compañero. Lean la situación y efectúen lo que se pide.

a) Antonio y su hermana Julieta juegan serpientes y escaleras con dos dados de seis caras. Al lanzarlos, la cantidad que obtienen es el resultado de sumar los puntos que aparecen en la cara superior de ambos.

i. Completen la tabla.

ii. ¿De cuántas formas puedes sumar los puntos de los dados?

iii. ¿Cuántos resultados diferentes se pueden obtener al lanzar dos dados?

iv. Sabiendo las sumas posibles de los puntos de dos dados antes de lanzarlos, ¿pueden

predecir el resultado de su lanzamiento? Expliquen su respuesta.

b) Si se lanzan dos dados con forma de tetraedro (cuatro caras triangulares), donde cada cara tiene en su base un valor de 1 a 4, ¿cuántos resultados pueden obtenerse? Elaboren una tabla en su cuaderno y compárenla con las de sus compañeros.

Un juego de azar es aquel donde las posibilidades de ganar o perder no dependen de la habilidad del jugador, sino del azar.

6. Lee los planteamientos y contesta las preguntas en tu cuaderno.

a) Patricio e Irene juegan a los volados. Este juego es muy simple: mientras la moneda gira en el aire, uno de los jugadores debe gritar “águila” o “sol”.

i. ¿Cuántos resultados diferentes se pueden obtener al lanzar una moneda?

ii. ¿Quién tiene ventaja para ganar? ¿Por qué?

iii. ¿Es posible que haya empate? ¿Por qué?

b) ¿Cómo organizarías un juego de volados con tres participantes? Describe el procedimiento del juego.

c) Comparte tu procedimiento con tus compañeros y reúnete con otros dos para ponerlo en práctica. Redacten en su cuaderno una breve conclusión.

+ 1 2 3 4 5 61 2 32 33456

Oriéntate

En un juego, cada participante puede definir de antemano las opciones.


Lección 13

1+1, 1+2, 1+3, 1+4, 1+5, 1+6, 2+2,2+3, 2+4,

2+5, 2+6, 3+3, 3+4, 3+5, 3+6, 4+4, 4+5, 4+6, 5+5, 5+6, 6+6.

6

No. El máximo

número en los dados es 6, y 6+6 = 12.

10

2

Ninguno, los dos tienen la posibilidad de ganar o perder, solo hay dos opciones en el juego.

No, porque solo uno de ellos puede elegir águila o sol, no pueden elegir lo mismo ambos.

4

5

6

7

4

5

6

7

8

4

5

6

7

8

9

5

6

7

8

9

10

6

7

8

9

10

11

7

8

9

10

11

12

Profundiza

7. Reúnete con un compañero y resuelvan los problemas.

a) Porfirio juega con su hermano Rodrigo a la perinola. Una perinola tiene seis caras con las leyendas "Pon 1", "Pon 2", "Toma 1", "Toma 2", "Toma todo" y "Todos ponen".

i. ¿Cuántos resultados son posibles?

ii. Los resultados de siete veces que se ha girado la perinola son "Todos ponen", "Todos ponen", "Todos ponen", "Toma 1", "Toma 2", "Toma 2" y "Todos ponen". Porfirio dice que el resultado

siguiente será "Todos ponen".¿Están de acuerdo con él?

¿Por qué?

b) Durante las vacaciones pasadas, Fátima fue a una feria en el pueblo de sus abuelos. Ahí jugó en una ruleta donde todos los colores tenían premio. Ella sabía que siempre ganaría.

i. Planteen una ruleta en que ella no pueda saber si ganará. Dibújenla en su cuaderno.

ii. Expliquen, en su cuaderno, las reglas que debe tener el nuevo juego.

Un suceso seguro en un experimento o evento es aquel que siempre ocurre o se produce. Por ejemplo, al tirar un dado, es seguro que salga un número de 1 a 6.

Un suceso es imposible cuando no hay posibilidad de que ocurra. Por ejemplo, al tirar un dado clásico, nunca sale el número 7.

8. Escribe si en cada situación hay un suceso seguro o uno imposible.

a) Al tirar dos dados, el valor en una de las caras es 1.

b) Al meter la mano en una bolsa que contiene pelotas amarillas, azules y rojas, se saca una pelota verde.

9. Lee las situaciones y contesta.

a) Gonzalo fue a la feria de su pueblo y jugó a las canicas. Le dieron seis canicas que debía lanzar sobre el tablero para que cayeran en los hoyos numerados de 1 a 6 (había una hilera de seis hoyos por cada número). Los premios eran entregados de acuerdo con la puntuación; se obtenía el mejor regalo con la más alta.

i. ¿Cuál es la puntuación más alta que podía alcanzar con las seis canicas?

ii. ¿Cuál es la puntuación más baja que podía obtener?


Lección 13 Nociones de probabilidad

6

R. P.

seguro

imposible

36

6

iii. ¿Cuál es la puntuación más alta que podía obtener con ocho canicas?

iv. ¿Era posible que obtuviera 5 puntos con las seis canicas en una jugada?

¿Por qué?

v. Gonzalo se dio cuenta de que con 24 puntos podía conseguir un balón. ¿Puedes ayudarlo a

encontrar tres formas diferentes de obtenerlo? Escríbelas.

b) Emilio está en la feria y jugará a los dardos. Para llevarse un oso de peluche necesita 10 puntos. Por cada juego solo dan tres dardos.

i. ¿Qué estrategia deberá seguir para obtener ese puntaje?

ii. Al tirar el primer dardo, rompió un globo de 2 puntos. ¿Puede ganar el premio todavía?

¿Cuál debería ser su nueva estrategia?

iii. Al tirar el segundo dardo, rompió un globo de 1 punto. ¿Puede ganar el premio todavía?

¿Por qué?

c) Mariana jugará en los pececitos; deberá pescar solamente un pez para obtener un regalo.

i. ¿Este juego es de azar? ¿Por qué?

10. Analiza, en una discusión grupal, las características y diferencias de los juegos de azar y de estrategia. Propongan ejemplos de ambos tipos y escriban en su cuaderno una conclusión.

Para la bitácora

Explora www.e-sm.com.mx/matret1-069a, donde se encuentra una simulación de la ruleta.

Explora www.e-sm.com.mx/matret1-069b, donde hay una simulación de los volados.

Consulta el video www.e-sm.com.mx/matret1-069c, donde se explica la relación entre los juegos de azar

y las matemáticas.

TIC


69

Lección 13


46

No.

El valor mínimo de los hoyos es 1 y 6x1=6.

4+4+4+4+4+4

6+5+4+3+2+4 5+5+5+5+2+2, hay varias opciones

R. P.

Si. Reventar 2 globos de 5, o un

globo de 5 y uno de 3.

No. Le faltan 7 puntos y no hay globos con ese puntaje y

solo le queda un dardo.

No. De cualquier manera Mariana va a ga-

nar puesto que solo debe pescar un pececito no hay más condiciones en el juego.

Bitácora

Lecciones 1 y 2

Completa la tabla.

Lecciones 3 y 4

a) Ubica en la recta los números 14 , 0.28, 1

5 , 0.3 y 13 .

b) Escribe los números anteriores en orden ascendente.

Lección 5

Inés compró 12 kg de queso canasto y

14 kg de crema para preparar unas enchiladas. Si en la

receta solo se pedían 0.250 kg de crema y 0.200 kg de queso, ¿qué cantidad le sobró de cada ingrediente? Transforma las cantidades en fracciones y opera con ellas.

Crema: Queso:

Lección 6

a) Un atleta principiante se ha sometido a un estricto entrenamiento para competir en una carrera. Su entrenador le indicó que debía correr 3 000 m el primer día y aumentar 500 m cada día.

i. Escribe los primeros cinco términos de la sucesión que se define en el problema.

ii. ¿Cuántos metros correrá el décimo día?

iii. Escribe la regla de la sucesión.

b) Anselmo le dio empleo a su hijo y le dijo: “Si trabajas bien y respetas las reglas del taller, te daré $2.00 el primer día y diario te duplicaré la cantidad anterior”.

i. Escribe los primeros cinco términos de la sucesión que se define en el problema.

ii. ¿Cuánto ganará el décimo quinto día?

iii. Escribe la regla de la sucesión.

Número decimal Lectura Número fraccionario1.3

Cinco enteros treinta y dos milésimos

70 Bloque 1

1

__

5 ,

1

__

4 , 0.28, 0.3,

1

__

3

1

__

4

1

___

20

3000, 3500, 4000, 4500, 5000, …

7500 m

El lugar del término por 500 + 2500

2, 4, 8, 16, 32,

32768

2 elevado a la potencia del lugar que ocupa

el término.

0 1

__

5

1

__

4 0.28 0.3

1

__

3

5.032

1 1 __ 3

5 4 ___

125

Un entero tres décimo periódico

Bitácora

Lección 7

La fórmula para calcular el área de cualquier trapecio es A = (B + b) × h _______ 2 . De acuerdo con las

características y la forma de la figura, explica por qué se suman las bases y se dividen entre 2.

Lección 8

Construye un triángulo con los datos indicados.

Lección 9

Dibuja, en tu cuaderno, los cuadriláteros que cumplan con las condiciones.

a) Dos lados de 6 cm y dos de 10 cm

b) Todos los lados de 7 cm

c) Dos ángulos de 45°, un lado de 6 cm y otro de 3 cm

Lección 10

Retoma el triángulo trazado en la actividad correspondiente a la lección 8, traza el ortocentro y el baricentro, y escribe el nombre de cada uno.

Lección 11

En el triángulo de la actividad correspondiente a la lección 8 traza el incentro, el circuncentro y las circunferencias respectivas. Escribe el nombre de cada punto.

Lección 12

Felipe, Tomás, Héctor y Marco cooperaron con $7.00, $3.00, $4.00 y $6.00, respectiva-mente, para comprar un billete de lotería instantánea que costaba $20.00. Al raspar el boleto ganaron un premio de $3 000.00. ¿Cuánto le corresponde a Marco?

Lección 13

¿Cuántos números de tres cifras diferentes se pueden formar con los dígitos 3, 6 y 8? Escríbelos en tu cuaderno.

15 cm

B

b90°

90°h

5 cm

50º

71Bloque 1

Si pones un trapecio de cabeza haciendo coincidir los lados diagonales se obtiene un

rectángulo con base igual a B+b, la altura se conserva, al sacar el área del rectángulo

se obtiene (B+b)h, pero como en un principio se utilizaron dos trapecios para formar

el rectángulo, al final se divide entre 2.

Rectángulo o romboide

Rombo o cuadrado

Romboide, trapecio o trapezoide

$900

6

15 cm

5 cm

50°

ortocentro

baricentro

circuncentro

incentro

Laboratorio de matemáticas

Localización del baricentro a partir de dobleces de papel

a) Traza un triángulo en una hoja de papel y recórtalo.

b) Haz coincidir dos vértices para localizar la mitad del lado comprendido entre ellos y márcalo.

c) Ahora dobla el triángulo desde el vértice opuesto hasta la marca que hiciste.

d) Repite los pasos de los incisos b) y c) con los otros dos lados del triángulo.

e) Remarca las tres líneas resultantes de los dobleces y localiza el punto donde se cortan; este es el baricentro. Toma un lapicero y colócalo como se muestra en la ilustración.

f) Escribe las conclusiones al respecto en tu cuaderno.

72 Bloque 1

En el tintero

Más curiosidades de un triángulo

Al unir los puntos medios de los lados de un triángulo se obtienen otros cuatro con la misma área.

1. Observa cómo el triángulo equilátero está dividido en otros cuatro de igual tamaño.

a) Discute con tus compañeros a qué se debe esta propiedad de los triángulos. Redacten una breve conclusión en su cuaderno.

En el triángulo anterior, es fácil observar la igualdad entre los cuatro triángulos pequeños.

2. Comprueba si en el siguiente triángulo se cumple la propiedad mencionada.

4.62 cm

4.62 cm

4.62 cm

4.62 cm4.62 cm

4.62 cm

4.62 cm

4 cm

4 cm

4 cm

4 cm

73Bloque 1

Lee los planteamientos, elige la respuesta correcta y márcala en la sección de respuestas.

1. ¿Qué número decimal es equivalente a 118?

A) 0.5 B) 0.05 C) 0.05 D) 0.5

2. ¿Qué debes hacer para transformar una fracción en un número decimal?

A) Dividir el numerador entre el denominador.B) Dividir el denominador entre el numerador.C) Multiplicar el denominador por el numerador.D) Sumar el numerador al denominador.

3. ¿Qué fracción es equivalente a 0.5?

A) 510

B) 12

C) 24

D) Todas las anteriores.

4. ¿Qué fracciones se encuentran entre 0.6 y 0.9?

A) 610

y 710

B) 710

y 910

C) 710

y 810

D) 810

y 910

5. ¿Qué pareja de números decimales se encuentran entre 29 y 3

9 ?

A) 0.23 y 0.32 B) 0.3 y 0.33 C) 0.22 y 0.33 D) 0.25 y 0.26

6. Andrés corrió 12 km el lunes, 1 14 km el martes y 2 1

2 km el miércoles. ¿Cuánto le falta para completar 5 km?

A) 34

km B) 14

km C) 12

km D) 1 km

7. ¿Cuál es la regla que define la sucesión: 8, 11, 14, 17, 20…?

A) Multiplicar el lugar del término por 3. B) Multiplicar 3 por sí mismo tantas veces como el lugar donde se ubique el término. C) Multiplicar el lugar del término por 3 y sumarle al resultado 5. D) Multiplicar 8 por sí mismo tantas veces como el lugar donde se ubique el término.

8. Un terreno rectangular mide 6 m de largo y 5 m de ancho; si se desea cercar, ¿cuántos metros de material se necesitarán?

A) 11 m B) 30 m C) 24 m D) 22 m

9. ¿Qué elementos se necesitan para trazar un triángulo único?

A) La medida de los tres lados. B) La medida de dos lados y el ángulo comprendido entre ellos. C) La medida de un lado y sus dos ángulos contiguos. D) Cualquiera de las anteriores.

10. ¿Cuál es el paralelogramo cuyos lados tienen la misma longitud y cuyos ángulos son iguales?

A) Rombo. B) Rectángulo. C) Cuadrado. D) Romboide.

74 Bloque 1 Evaluación

Bloque 1 Evaluación

11. ¿Con qué datos NO es posible construir un cuadrilátero único?

A) La medida de todos sus lados. B) Su nombre, la medida de dos de sus lados y el ángulo comprendido entre ellos. C) Su nombre y la medida de tres de sus lados. D) Su nombre y la medida de un lado.

12. ¿Cómo se denomina el segmento perpendicular a la base que toca el vértice opuesto en un triángulo?

A) Mediana. B) Altura. C) Bisectriz. D) Mediatriz.

13. ¿Cuál es el nombre del punto donde se intersecan las medianas?

A) Ortocentro. B) Circuncentro. C) Baricentro. D) Incentro.

14. ¿Cómo se denomina el segmento perpendicular a la base que no forzosamente pasa por el vértice opuesto en un triángulo?

A) Mediana. B) Altura. B) Bisectriz. D) Mediatriz.

15. ¿Cuál es el nombre del punto donde se intersecan las bisectrices?

A) Ortocentro. B) Circuncentro. C) Baricentro. D) Incentro.

16. Arturo y Federico compraron un terreno en $120 000.00 y, posteriormente, lo vendieron en $180 000.00. Si Arturo cooperó con $90 000.00 cuando lo adquirieron, ¿qué cantidad de dinero le corresponderá después de venderlo?

A) $100 000.00 B) $90 000.00 C) $120 000.00 D) $135 000.00

17. ¿Cuál es un juego de azar?

A) Dados. B) Lotería. C) Volados. D) Todos los anteriores.

18. ¿Qué se obtiene al unir los puntos medios de los lados de cualquier triángulo?

A) Dos triángulos iguales. B) Tres triángulos iguales.

C) Cuatro triángulos iguales. D) Cinco triángulos iguales.

Respuestas de la evaluación correspondiente al bloque 1



3. A B C D 7. A B C D 11. A B C D 15. A B C D

4. A B C D 8. A B C D 12. A B C D 16. A B C D

75Evaluación Bloque 1

Bloque 1 Evaluación

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