Funciones de BesselDr. H ector Ren e Vega-Carrillo12Indice1. Introducci on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32. Soluci on de la Ecuaci on diferencial de Bessel . . . . . . . . . . . 52.1. Caso n entero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2. Caso n no entero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.3. Caso n = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93. Funciones hiperb olicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114. Funciones esf ericas de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 Introducci on 31. Introducci onLa ecuaci on diferencial de Bessel tiene la siguiente forma, [1]d2Rd r2+1rd Rd r

k2n2r2

R=0 (1)donde n es un n umero real y positivo, entero o fracci on. La condici on de queR(r) sea uni valuado requiere que n sea un entero. Esta ecuaci on es una ecuaci ondiferencial ordinaria con coecientes variables [2] [3].Haciendo un cambio de variable x = kr, la ecuaci on 1 toma la forma,d2Rd x2+1xd Rd x

1 n2x2

R=0 (2)La ecuaci on 2 tiene dos soluciones que son linealmente independientes, Jn(x)y Yn(x), que son, respectivamente, las funciones de Bessel de primera y segundaespecie (tipo o clase), donde n y k son reales y representa el orden. Las funcionesde Bessel son parte de un conjunto de funciones denominadas especiales. [1]Otras dos soluciones linealmente independientes de la ecuaci on 1, cuando k esimaginario, son las funciones In(x) y Kn(x), estas son las funciones hiperb olicasde Bessel de primera y segunda especie de orden n.Existen funciones de Bessel de tercera especie, que tambi en se conocen comofunciones de Hankel.Estas, est an dadas por,H(1)n=Jn(x) +i Yn(x) (3)1 Introducci on 4H(2)n=Jn(x) i Yn(x). (4)2 Soluci on de la Ecuaci on diferencial de Bessel 52. Soluci on de la Ecuaci on diferencial de Bessel2.1. Caso n enteroLa ecuaci on 2 tiene un punto singular regular en x=0, por lo tanto la solu-ci on por el m etodo de series de potencia requiere de proponer una soluci on cuyaexpresi on es,R(x) =xmj= 0ajxj(5)Utilizandolaecuaci on5comosoluci on, calculamossuprimeraysegundaderivadas, Ry R, y las sustituimos en la ecuaci on 2. Aglutinando el resultado entorno a los valores de x obtenemos un conjunto de coecientes, que se muestranen la ecuaci on 6aj 2= aj[(m+j +n)(m+jn)] (6)La ecuaci on 6 es una relaci on de recurrencia que relaciona los coecientes,que aparecen en forma alternada, de la expansi on de la serie.Si hacemos j= 0, obtenemos, de la ecuaci on 7,a2= a0[(m+n)(m n)]. (7)Como el coeciente de x2es cero (ya que de otra forma la serie, ecuaci on 5,tiende a innito) en el origen, obtenemos la ecuaci on indicial,0 = a0[(m+n)(m n)], (8)2 Soluci on de la Ecuaci on diferencial de Bessel 6de donde concluimos que, sia0 =0 (lo cual no ocurre sia2, a4, ..., a2 jsondiferentes de cero),m= n. (9)Si, en la expresi on de la serie, ecuaci on 5, hacemos que m = 0, ya que n = 0,en la ecuaci on 6, debemos concluir que a0, ..., a2 j son todas iguales a cero.Haciendo m = +n in la relaci on de recurrencia se obtiene,aj 2= ajj(2 n+j), (10)dando como resultado que la soluci on es,R(x) =1n!

x2

n

1 1n + 1

x2

2+1(n + 1)(n + 2)12!

x2

4

. (11)La ecuaci on 11 se convierte as en la funci on de Bessel dada en la ecuaci on12,Jn(x) =j=0(1)jj(n + j)!

x2

n+2j(12)Desafortunadamente, para valores enteros de n una segunda soluci on, lineal-mente independiente, a la ecuaci on de Bessel no se obtiene mediante Jn(x); yaque,Jn(x) =(1)nJn(x). La segunda soluci on independiente se debe de en-contrar en forma separada proponiendo otra serie de potencia, que da lugar a lafunci on de Bessel de segunda especie Yn(x), tambi en llamada funci on de Webero de Neumann Nn(x) [4] y que se dene como,2 Soluci on de la Ecuaci on diferencial de Bessel 7Yn(x) =Jn(x) cos(n) Jn(x)sin(n), (13)donde el valor lmite de la ecuaci on 13 es tomado si n es cero o un entero.El primer conjunto de soluciones independientes, est a formado por las funcionesJ0(x), Y0(x). Las funciones de BesselJ0(x) yJ1(x) se muestran en la gura 1,mientras que las funciones de Bessel Y0(x) y Y1(x) se muestran en la gura 2.Fig. 1: Funciones ordinarias de Bessel, de orden 0 y 1, de primera especie.Se puede observar que las funciones de segunda especie no est an denidasen el origen y tampoco tienen valores para argumentos negativos; mientras quelas funciones de primera especie son nitas en el origen y su rango vara de a+. Estas funciones de Bessel tienen raices a intervalos no regulares del argu-mento.2 Soluci on de la Ecuaci on diferencial de Bessel 8Fig. 2: Funciones ordinarias de Bessel, de orden 0 y 1, de segunda especie.2.2. Caso n no enteroEn el caso de que el orden no sea entero, la soluci on de la ecuaci on de Bessel seexpresa en t erminos de la funci on gamma, (x), como se puede ver en la ecuaci on14.R(x) =j=0(1)jj! (n+j + 1)

x2

n + 2 j. (14)En este caso las funciones de BesselJn, Jn, donden no es entero, nos dasoluciones linealmente independientes. Veamos el caso cuando n = +13 aparecenlos exponentes13,73,133 , ...,; mientras que cuando n = 13 aparecen los exponentes13,53,113 , ...,. Lo que da lugar a dos funciones diferentes y la soluci on general dela ecuaci on diferencial de Bessel para valores no enteros de n es R(x)=AJn +BJn. En la gura 3 se muestran estas dos funciones.Las funciones hiperb olicas de Bessel de primear y segunda especie, In(x), Kn(x),algunasvecesdenominadasfuncionesdeKelvin[4],sepuedensepararensus2 Soluci on de la Ecuaci on diferencial de Bessel 9Fig. 3: Funciones de Bessel, de orden13 y -13.componentes real e imaginaria. As, In(x) se puede escribir, a partir de la ecuaci on11, utilizando valores enteros o cero para n; esto se muestra en la ecuaci on 15.In(x) =Jn(i x)in.(15)2.3. Caso n = 0Para n = 0, la ecuaci on 11 se expresa como,I0(x) =

1 +

x2

2+12 2 !

x2

4+

. (16)De la misma forma se determina la funci on Kn(x), que se expresa mediantela ecuaci on 17. Trazos de las funci on In(x) y Kn(x) se muestran en la gura 4.Kn(x) =i2inH(1)n(i x). (17)La funci on Jn(x ii) se separa en su parte real e imaginaria, como se muestraen la ecuaci on 18.2 Soluci on de la Ecuaci on diferencial de Bessel 10Fig. 4: Funciones de Bessel I0(x), K0(x), I1(x) y K1(x).(bern(x) +i bein(x)) =ei n2In

x ei4

.(18)3 Funciones hiperb olicas 113. Funciones hiperb olicasLas funciones hiperb olicas de segunda especie Kn(x), se pueden expresar me-diante la ecuaci on 19.(kern(x) +i kein(x)) =ei n2Kn

x ei4

.(19)Una ecuaci on diferencial, la cual aparece con frecuencia en la soluci on radi-al de sistemas con simetra esf erica, se muestra en la ecuaci on 20. Si hacemoslasiguientetransformaci on(r) =r12R(r), laecuaci on20seconvierteenlaecuaci on 21.d2Rdr2+2rdRdr+

k2l(l + 1)r2

R=0 (20)d2dr2+1rddr+

k2(l +12)2r2

=0 (21)Ahora, sustituyendo x=kr en la ecuaci on 21, obtenemos la ecuaci on difer-encial de Bessel de orden semientero, como se muestra en la ecuaci on 22.d2dx2+1xddr+

1 (l +12)2x2

= 0 (22)Del an alisis hecho previamente podemos establecer que la ecuaci on 22 tienedos soluciones linealmente independientes, por lo tanto su soluci on general est a da-da por la ecuaci on 23.(x) =A Jl+12(x) +BJ(l+12)(x)(23)4 Funciones esf ericas de Bessel 124. Funciones esf ericas de BesselSi se expanden las funciones de Bessel de orden semi entero en la forma deseries obtenemos las funciones jn(x) y yn(x), como se muestra en la ecuaci on 24,a estas funciones se le conoce como funciones esf ericas de Bessel de primera ysegunda especie respectivamente.jn(x) =

2x

Jn+12(x)yn(x) =

2x

Yn+12(x)(24)Estas expresiones dan lugar a las ecuaciones 25.j0(x) =sinxxy0(x) = cos xxj1(x) =sinxx2cos xxy1(x) = cos xx2sinxx(25)Las funciones esf ericas de Hankel o funciones esf ericas de Bessel de tercerespecie se muestran en la ecuaci on 26. Los pares de funcionesjn(x), yn(x) sonsoluciones linealmente independientes para cada n.h(1)n(x) =jn(x) +i yn(x)h(2)n(x) =jn(x) i yn(x)(26)Para valores semi enteros de n se tienen tambi en soluciones linealmente inde-pendientes, jn(x) y jn(x). Ver ecuaci on 27.4 Funciones esf ericas de Bessel 13y(1)n(x) =( 1)njn(x)(27)5 Propiedades 145. PropiedadesLas funciones de Bessel tiene ciertas similaridades con las funciones trigonom etri-cas. As podemos establecer similitudes entre la funci on cos x y J0(x) y la fun-ci onsinx conJ1(x); la primer semejanza se da en que tienen muchos ceros (oraces) y que la derivada de una de ellas conduce a la otra, por ejemploddx sinx =cos x.En el siguiente conjunto de ecuaciones se muestran algunas de las propiedades.Jn1(x) + Jn+1(x) =2nxJn(x)Jn1(x) Jn+1(x) = 2ddxJn(x)Jn1(x) =nxJn(x) +ddxJn(x)Jn+1(x) =nxJn(x) ddxJn(x)(28)Como J1(x) = J1(x), de este conjunto 28 se obtiene la ecuaci on 29.ddxJ0(x) = J1(x).(29)Una variedad de propiedades se puede obtener de relaciones como las mostradas.Una relaci on integral importante se obtiene mediante la tercera ecuaci on delconjunto de ecuaciones 28, donde se puede observar que el lado derecho es laderviada exacta del lado izquierdo, esto conduce a la ecuaci on 30.xnJn1(x) = nxn1Jn(x) + xnddxJn(x)(30)5 Propiedades 15

xnJn1(x)dx = xnJn(x). (31)Las propiedades relacionadas con la derivada de las funciones de Bessel semuestran en la ecuaciones 32 a 51.ddxJn(x) =12 (J1+n(x) J1+n(x)) (32)ddxJn(ax) =12a (J1+n(ax) J1+n(ax)) (33)ddxJn(ax2) = ax

J1+n(ax2) J1+n(ax2)

(34)ddxJn(ax3) =32ax2

J1+n(ax3) J1+n(ax3)

(35)ddxJn(axb) =12abx1+b

J1+n(axb) J1+n(axb)

(36)ddxYn(x) =12 (Y1+n(x) Y1+n(x)) (37)ddxYn(ax) =12a (Y1+n(ax) Y1+n(ax)) (38)ddxYn(ax2) = ax

Y1+n(ax2) Y1+n(ax2)

(39)ddxYn(ax3) =32ax2

Y1+n(ax3) Y1+n(ax3)

(40)5 Propiedades 16ddxYn(axb) =12abx1+b

Y1+n(axb) Y1+n(axb)

(41)ddxIn(x) =12 (I1+n(x) + I1+n(x)) (42)ddxIn(ax) =12a (I1+n(ax) + I1+n(ax)) (43)ddxIn(ax2) = ax

I1+n(ax2) + I1+n(ax2)

(44)ddxIn(ax3) =32ax2

I1+n(ax3) + I1+n(ax3)

(45)ddxIn(axb) =12abx1+b

I1+n(axb) + I1+n(axb)

(46)ddxKn(x) =12 (K1+n(x) K1+n(x)) (47)ddxKn(ax) =12a (K1+n(ax) K1+n(ax)) (48)ddxKn(ax2) = ax

K1+n(ax2) K1+n(ax2)

(49)ddxKn(ax3) =32ax2

K1+n(ax3) K1+n(ax3)

(50)5 Propiedades 17ddxKn(axb) =12abx1+b

K1+n(axb) K1+n(axb)

(51)Algunas propiedades relacionadas con la integraci on de las funciones de Besselse muestran en las ecuaciones 52 a 60

xJ0(x)dx = xJ1(x) (52)

x2J0(x)dx = x2J1(x) + xJ0(x) +

J0(x)dx (53)

xmJ0(x)dx = xmJ1(x)+(m1)xm1J0(x)(m1)2

xm2J0(x)dx(54)

J1(x)dx = J0(x) (55)

xJ1(x)dx = xJ0(x) +

J0(x)dx (56)

xmJ1(x)dx = xmJ0(x) + m

xm1J0(x)dx (57)

xnJn1(x)dx = xnJn(x) (58)5 Propiedades 18

xnJn+1(x)dx = xnJn(x) (59)

xmJn(x)dx = xmJn1(x) + (m + n 1)

xm1Jn1(x)dx (60)Otra propiedad importante de las ecuaciones de Bessel es la ortogonalidad,esta caracterstica permite expresar los coecientes en una expansi on de Fourier.5 Propiedades 19Referencias[1] Ayant, Y. y Borg, M., Funciones Especiales. Editorial Alhambra (1974).[2] Vega-Carrillo, H.R., Fen omenos Fsicos, Modelos Matem aticos yEcua-ciones Diferenciales, Rev. Mex. Fs 34(1), (1988): 98106.[3] Vega-Carrillo, H.R., Las Ecuaciones Diferenciales. Educ. Matem. 1(2),(1989): 1827.[4] Croxton, C., IntroductoryEigenphysics: AnapproachtotheTheoryofFields, John Wiley & Sons (1974).