COORDINACIÓN DE MATEMÁTICAS

B O L E T Í N

MATEMÁTICAS MATEMÁTICAS

LA FORMACIÓN DE CONCEPTOS MATEMÁTICOS

En el quehacer cotidiano del profesor, particularmente el que imparte clases de matemáticas, se enfrenta a diversas situaciones en el aula, en lo que se refiere a lograr la formación “o apropiación” (*) de diversos conceptos matemáticos por parte de sus alumnos. Algunos de ellos lo logran, con mayor o menor dificultad, permitiéndoles acceder a nuevos conceptos y aprendizajes; pero también es una realidad que otros no; de esta forma se mantiene el calificativo de la matemática como una ciencia tradicionalmente compleja y difícil. Los resultados en el aprendizaje de la matemática y las dificultades que experimentan los docentes y estudiantes en el proceso enseñanza - aprendizaje, en los diferentes niveles educativos, constituyen un fenómeno alarmante para la comunidad educativa, conformada por estudiantes, docentes, administradores de la educación y la comunidad en general. Por estas razones, se ha originado la búsqueda de explicaciones a este fenómeno. Se han identificado varios factores que dan origen a las dificultades en el aprendizaje de la matemática, entre los que se puede mencionar: la actitud negativa generalizada de la población hacia la matemática, la enseñanza inadecuada, carencia de materiales y recursos didácticos para el proceso enseñanza-aprendizaje de la matemática y la formación didáctico-metodológica insuficiente de los docentes, entre otros. Estas dificultades se han constituido en un tema de estudio de diversos especialistas: matemáticos educativos, psicólogos escolares, psicólogos educativos, pedagogos, neurólogos, docentes de matemáticas de los diferentes niveles educativos y quienes conforman los sistemas educativos. Naturalmente, como parte inherente a las dificultades en el aprendizaje de la matemática, están las dificultades para aprender determinados conceptos matemáticos. El objetivo de este artículo no es ahondar sobre estas dificultades que son una realidad, simplemente pretende explicar de manera muy sucinta qué es un concepto matemático, desde la perspectiva de la Psicología; lo que tal vez contribuya a generar inquietudes orientadas a conocer más sobre la diversidad de elementos psicológicos, pedagógicos y sociales, entre otros, que pueden obstaculizar tanto la formación como el aprendizaje de conceptos matemáticos específicos por parte de nuestros estudiantes.

(*) Si se me permite el término.

MATEMÁTICAS Y CULTURA

23.09.2013 No. 292

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De esta forma, podríamos contribuir en la búsqueda de alternativas para mejorar el aprendizaje de los alumnos, particularmente los que cursan asignaturas de matemáticas. Si vamos a ocuparnos de conceptos matemáticos, debemos comenzar por analizar el término de concepto. Para referirnos a él, resulta interesante y necesario considerar inicialmente el significado de la palabra percepción. Cuando los estímulos visuales, sonoros, táctiles y olfativos del mundo externo llegan por la vía del sistema nervioso central al órgano sensorial adecuado, son sometidos a un proceso de filtración. Los factores que determinan la selección parecen ser la naturaleza de los propios estímulos, la probabilidad de que aparezcan y ciertas condiciones relativas al sujeto, tal como el grado de intensidad con que se espera su recepción y sus necesidades. Después de que ha tenido lugar esta selección, los estímulos llegan a la corteza cerebral y a las áreas conexas del cerebro medio. En este momento se experimentan determinadas sensaciones. La interpretación que damos a esas señales -es decir, nuestra percepción del mundo externo- no depende solamente de las sensaciones que llegan a la corteza cerebral y al cerebro medio. La percepción resulta del refuerzo de esas sensaciones con experiencias anteriores, ideas, imágenes, expectación y actitud. No admitimos que la entrada de sensaciones y la actividad perceptiva sean dos procesos separados. Sin embargo, es de notar que el aprendizaje juega un papel importante en la interpretación que damos a esas sensaciones. Por consiguiente, la percepción es susceptible de verse afectada, por nuestro modo de pensar, por nuestras actitudes, estados emocionales, apetencias o deseos en un momento dado, de tal manera que muchas veces percibimos, muy equivocadamente “aquello que estamos esperando percibir”. Por otra parte, debe recordarse que la percepción, a diferencia de la imagen, resulta de un contacto inmediato con el sector más destacado de la realidad ambiental. Ahora, es posible examinar los caminos por los que tiene lugar la formación del concepto; si bien debe señalarse que no puede afirmarse con certeza, pues es complejo determinar cómo se forma en cada individuo. Cuando oímos pronunciar la palabra “ave” o la vemos impresa, no pensamos en todas las especies de aves existentes. Para la persona común esa palabra significa una clase de animales que tienen plumas y dos patas y la mayor parte de ellos puede volar, ha seleccionado algunas propiedades comunes a ciertos animales, y a aquellos que tienen esas propiedades les ha dado el nombre de aves. Al generalizar, los conceptos proporcionan palabras para representar toda clase de objetos, cualidades o acontecimientos y nos son de enorme ayuda para nuestro pensamiento. Consideremos ahora examinar el punto de vista tradicional sobre la formación de conceptos. Cuando una persona (niño, joven) forma un concepto, ha de ser capaz de discriminar o diferenciar las propiedades de los objetos o de los acontecimientos que están frente a él y de generalizar sus descubrimientos respecto de cualquier rasgo común que haya encontrado. La discriminación exige que la persona pueda reconocer y apreciar cualidades comunes y distinguir éstas de otras propiedades diferentes. Es esta una acción fundamental a realizar cuando se ha formado un concepto y que modifica las estructuras mentales del pensamiento en el individuo.

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3 Formación de conceptos y las matemáticas En los párrafos anteriores se ha hecho referencia al término concepto desde una visión general; a continuación se particularizará hacia los conceptos matemáticos, los cuales entran en una clasificación especial: son generalizaciones sobre relaciones entre cierto tipo de datos. Por ejemplo, al hacer referencia al concepto de números naturales, en la etapa de la niñez, el actor (niño), pasa de los perceptos (procedentes del medio ambiente que le rodea), y de las acciones al concepto. Los métodos empleados por los docentes para que se “apropie” (*) de ese concepto, pueden favorecer el proceso en mayor o menor grado. En todo caso, si el niño no logra alcanzar plenamente el concepto de los números naturales, si no llega a existir en su mente, independientemente de las cosas, aparatos, acciones o circunstancias, serán muy limitados los cálculos y operaciones mentales que pueda realizar con ellos. El aprendizaje de los conceptos matemáticos, no importa si es en el nivel elemental o en el nivel superior, requerirá que el sujeto (alumno) tenga la capacidad de generalizar a partir de la noción básica o elemental. En matemáticas, no sólo los conceptos son más abstractos que los de la vida diaria, sino que la dirección del aprendizaje va en su mayor parte en la de una abstracción todavía mayor. La comunicación de los conceptos matemáticos es, por tanto, mucho más difícil, tanto para el que comunica como para el que recibe la comunicación. La experiencia nos muestra que gran parte de nuestro conocimiento cotidiano se aprende directamente a partir de nuestro entorno, y los conceptos que se emplean no son muy abstractos. El problema particular (pero también el poder) de las matemáticas radica en su gran abstracción y generalidad, lograda por generaciones sucesivas de individuos particularmente inteligentes, cada uno de los cuales ha abstraído o generalizado, desde conceptos de anteriores generaciones previas. El sujeto que aprende hoy día tiene que procesar no datos brutos, sino sistemas de procesos de matemáticas existentes. Esto no sólo constituye una ventaja fundamental, en tanto que un estudiante apto puede adquirir en años, conceptos que necesitaron siglos de esfuerzo anterior para desarrollarse, sino que también expone al que aprende a un riesgo particular. Las matemáticas no pueden aprenderse directamente del entorno cotidiano, sino que sólo de manera indirecta desde otros matemáticos. En el mejor de los casos, esto le hace dependiente, en alto grado, de sus profesores (incluyendo tos aquellos que escriben libros de texto de matemáticas); y en el peor, le expone a la posibilidad de adquirir un temor duradero y disgusto en relación a las matemáticas. Aunque los primeros principios del aprendizaje de las matemáticas son objetivos, el comunicador de las ideas matemáticas, y no el receptor, es quien más necesita conocerlos y aunque son bastante simples en sí mismos, sus aplicaciones matemáticas implican una gran reflexión. Estos principios son:

Los conceptos de un orden más elevado que aquellos que una persona ya tiene, no le pueden ser comunicados mediante una definición, sino solamente preparándola para enfrentarse a una colección adecuada de ejemplos. (*) De nuevo si se permite el término.

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Puesto que en matemáticas estos ejemplos son invariablemente otros conceptos, es necesario en principio asegurarse de que éstos se encuentran ya formados en la mente del que aprende.

Para precisar que se entiende por conceptos de orden más elevado consideremos: si el concepto A es un ejemplo del concepto B, entonces diremos que B es de un orden superior a A. Claramente, si A es un ejemplo de B, y B de C, entonces C también es de orden más elevado que B y A. Un concepto puede ser definido como una generalización a partir de datos relacionados, y posibilita responder a estímulos específicos de una manera determinada. Por esto, un concepto equivale a un juicio y se utiliza como un criterio. Los conceptos parecen proceder de las percepciones, del contacto real con objetos y situaciones vitales, de experiencias y de distintas clases de acciones realizadas. En este sentido, el lenguaje y los símbolos matemáticos intervienen en la conceptualización, porque capacitan al individuo para captar y aclarar los conceptos o actúan como un marco de referencia. De ahí la trascendencia de favorecer la formación de conceptos matemáticos en los estudiantes. Los principios señalados en párrafos anteriores, enfatizan la importancia que representa para el profesor de matemáticas, conocer acerca de lo complejo del proceso de formación de los conceptos matemáticos. Cuestiones que a veces catalogamos como “normales”, cuando afirmamos que un alumno no comprende un concepto “porque no estudia”, en realidad, desde mi particular punto de vista, son sujetas de reflexión por parte de todos los que participamos en la enseñanza de la matemática. Hay mucho más que decir acerca de la formación de los conceptos matemáticos, y mucho que aprender al respecto. Reitero, en este breve artículo, únicamente se ha buscado generar alguna inquietud en el lector que lo acerque a conocer más acerca de los diversos factores (entre ellos los psicológicos), que influyen en la formación de los conceptos matemáticos.

MARGARITA RAMÍREZ GALINDO PROFESORA DE LA FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM

REFERENCIAS:http://books.google.com.mx/books?id=E4_v90KsTyEC&printsec=frontcover&hl=es#v=onepage&q&f=false. Consultado el 9 de septiembre de 2013

Psicología del Aprendizaje de las Matemáticas. Richard Skemp. Editorial Morata, España. Dificultades de Aprendizaje en Matemática XIII CIAEM-IACME, Recife, Brasil, 2011. 2

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5 CULTURA CULTURA

ESCALA DE MERCALLI MODIFICADA

Giuseppe Mercalli nace en el año 1850 en Milán Italia y fallece en Nápoles Italia en1914. Sus actividades eran: sacerdote, vulcanólogo y sismólogo. La escala de Mercalli mide la intensidad de un temblor de tierra y describe con sobrada exactitud, la sensación y los efectos que un terremoto produce sobre un lugar determinado de la superficie de la corteza terrestre. En cambio la escala de Richter es de magnitudes y mide el total de energía liberada en el hipocentro del desplazamiento tectónico. Por tanto dos temblores de la misma magnitud, tendrán efectos diferentes, según su duración y el sitio en que se aprecie. Los niveles menores de la escala de Mercalli están relacionados por la forma en que las personas sienten el movimiento telúrico, mientras que los grados mayores se relacionan con los daños materiales observados. El siguiente cuadro, es una descripción aproximada de los grados de la escala de Mercalli modificada.

I. Muy débil. Imperceptible para la mayoría de las personas.

II. Débil. Perceptible por algunas personas en reposo. Los objetos colgantes oscilan.

III. Leve. Es sentido por algunas personas dentro de los edificios en pisos altos, sensación semejante al paso de un camión.

IV. Moderado. Es sentido por la mayoría de personas dentro de los edificios y por pocas en el exterior. Algunas pueden despertarse. Vibran enseres, puertas y ventanas. Los automóviles detenidos se mueven. Sensación semejante al paso de un camión grande.

V. Relativamente fuerte. Sacudida sentida por casi todo la región, algunos casos de grietas en aplanados, caen objetos inestables, se observa movimiento en árboles, postes y otros objetos altos.

VI. Fuerte. Sacudida por todo el país o región. Algunos muebles se deslizan, daños leves en viviendas de material ligero.

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VII. Muy fuerte. Es difícil ponerse de pie, daños menores en estructuras de buen diseño y construcción, daños considerables en estructuras pobremente construidas, mampostería cuarteada, perceptible por personas en vehículos en movimiento.

VIII. Destructivo. Daños leves en estructuras bien construidas, posibles derrumbes, muebles desplazados de su lugar.

IX. Muy destructivo. Pánico generalizado, daños notables en estructuras bien construidas,

derrumbes parciales, edificios desplazados.

X. Desastre. Algunas estructuras de madera bien construidas se colapsan, estructuras de mampostería destruidas, vías de ferrocarril deformadas.

XI. Muy desastroso. Pocas estructuras de mampostería permanecen de pie, puentes destruidos, vías de ferrocarril retorcidas en gran medida.

XII. Catastrófico. Destrucción casi total, con pocos sobrevivientes, los objetos saltan al aire, el nivel del suelo se deforma, imposibilidad de mantenerse de pie.

GUSTAVO BALMORI NEGRETE PROFESOR DE LA FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM.

Referencias: M. Perello. (26 de junio 2013). Escala de Mercalli. Excélsior, sección Comunidad página 10. Escala sismológica de Mercalli. Wikipedia. ___________________________________________________________________________ http://dcb.fi-c.unam.mx erik2306@unam.mx Por razones de austeridad, el tiraje del Boletín se sigue manteniendo a la mitad de lo que se acostumbraba.

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