Proyecto Final de Cálculo II

Pedro José Martínez y Luis Sebastián Espíndola.

Profesor: Eduardo Alba. II Semestre 2014-2015.

26 de abril de 2015

Volumen de un sólido construido a

partir de secciones transversales

triangulares

Sólido 1

Ejercicio 1

Imagina que el grosor de cada prisma triangular es tal que no exis-te espacio entre dos de ellos. Encuentra el volumen de cada prismatriangular por un método geométrico y úsalo para estimar el volumentotal de tu sólido.

Obtuvimos el volumen aproximado de nuestro sólido, tras sumar el volumenexacto de cada uno de los 8 prismas que formamos. Para obtener dicho volmense empleó la siguiente fórmula

Vprisma =1

2(b× h)× 12

9(1)

donde b es la medida de la base, h es la altura. Como se puede notar se estámultiplicando del área del triángulo por su espesor ( 12

9 ). Recordemos además,que la altura de cada triángulo es equivalente a la mitad de la base, por tantopodemos reescribir la ecuación1 de la siguiente manera

Vprisma =1

2b(b

2)(

12

9)

Vprisma =b2

4(12

9) (2)

1

Ahora haciendo uso de los valores para la base, descritos en la cuadro 1 y laecuación 2, se obtuvo el valor del volumen (este valor también se describe en lacuadro 1) de cada uno de los 8 prismas.

Cuadro 1: Valores usados para el cálculo del volumen aproximadoPrisma Base (cm) Altura (cm) Ancho (cm) Volumen (cm3)

1 7.54 3.77 1.33 18.952 9.98 4.99 1.33 33.203 11.31 5.66 1.33 42.644 11.93 5.97 1.33 47.445 11.93 5.97 1.33 47.446 11.31 5.66 1.33 42.647 9.98 4.99 1.33 33.208 7.54 3.77 1.33 18.95

Fuente: Elaboración propia

El volumen total resultante fue de 284.46 cm3

Ejercicio 2

1.- ¾Es tu sólido un cono? ¾Por qué sí o por qué no?

No lo es, pues una de las propiedades del cono, es que es un sólido de revolu-ción formado a partir de rotar un triángulo rectángulo alrededor de uno de suscatetos (Toledo, 2009) y evidentemente no se construyó nuestro sólido de estamanera.

2

2.- Ahora, imagina que en vez de 9 sub-intervalos (8 triángulos) tienesn sub-intervalos. Considera un sistema de coordenadas planas (x, y)ubicadas en el centro del disco y con el eje de x paralelo a las basesde los triángulos. Haz una grá�ca en el plano (x, y) de la base delprisma y la base de uno de sus triángulos.

Figura 1: Círculo de radio 6, con centro en el origen y cuerda que representa labase de un triángulo.

Ejercicio 3

Encuentra el grosor y de cada sección (triángulo) como función de n.

Considerando que la circunferencia corta con el eje x y con en el eje y enlos puntos (±6, 0) y (0,±6), respectivamente, tenemos que nuestro disco poseeun diámetro de 12 cm y considerando que ∆y es la variación del ancho de losprismas triangulares que vamos a utilizar para calcular el volumen de nuestrosólido, obtenemos la siguiente expresión:

∆y =12

n(3)

donde n representa el número de intervalos que deseemos usar, evidente-mente con el aumento de n el valor de ∆y disminuirá, haciendo que nuestraaproximación sea cada vez más exacta, a medida que n se vaya aproximando a∞.

3

Ejercicio 4

Supongamos que la base de un triángulo está a una distancia yi delpunto (0, 0). Encuentra el volumen del prisma triangular correspon-diente en función de yi y de n.

A partir de la ecuación 2 y reemplazando el número de intervalos, de 9 a n,queda,

Vprisma =b2

4(12

n) (4)

Ahora bien, dado que la base donde se asientan los prismas es un círculode 6 cm de radio y con centro en el origen de coordenadas, su ecuación es lasiguiente

x2 + y2 = 36 (5)

Sabemos que en este caso la medida de la base, está en función de yi, comose ve en la �gura 2. Para obrener el valor de la base en función de yi, se extraeun triángulo rectángulo como el de la �gura 3, el cual establece la relación entrela base y la distancia del origen de coordenas hasta cualquier punto (yi). Luegodespejando la ecuación 5 para x y, tomando en cuenta que x = b

2 (véase la �g.3), tenemos que

b

2=√

36− y2i

b = 2√

36− y2i (6)

Entonces para calcular el volumen de un prisma, cuya base pase por y = yi,la cual esté delimitada por x y −x, se sustituye 6 en 4 de la siguiente manera

Vprisma =1

4(2√

36− y2i )2(12

n)

Vprisma =1

4(4)(36− y2i )(

12

n)

Vprisma = (36− y2i )(12

n)

4

Figura 2: Dependecia de la base con respecto a yi

Figura 3: Triángulo de relación entre la medida de la base y yi

5

Ejercicio 5

Escribe una suma de Riemann que sea una estimación del volumende tu sólido. Usa la notación sigma.

n∑i=1

(36− y2i )(12

n)

Ejercicio 6

Escribe la integral que corresponde al volumen exacto de tu sólido.

6ˆ

−6

(36− y2) dy

Ejercicio 7

Escribe la integral que corresponde al volumen exacto de tu sólido.

6ˆ

−6

(36− y2) dy =

Sacamos laantiderivadade ambostérminos yevaluamos en6 y -6, queda,

=

[36y − y3

3

]6−6

= 36(6)− (6)3

3− 36(−6) +

(−6)3

3

= 288

El volumen exacto de nuestro primer sólido es de 288 cm3, que al compararlocon el volumen aproximado obtenido en el ejercicio 1 (el cual fue de 284,36 cm3),obtenemos un margen de error1 sumamente bajo2, por lo que el resultado obte-nido en este ejercicio es lógico.

1El% de error se calculó con la fórmula % de error=|V olumenexacto−V olumenaprox.|

V olumenexacto×100

2El% de error fue de 1.26%

6

Cuadro 2: Valores usados para el cálculo del volumen aproximado del segundosólidoPrisma Base (cm) Altura (cm) Ancho (cm) Volumen (cm3)

1 7.99 3.99 1.11 17.692 7.91 3.96 1.11 17.383 7.70 3.85 1.11 16.454 7.30 3.65 1.11 14.785 6.63 3.32 1.11 12.226 5.64 2.82 1.11 8.927 4.25 2.13 1.11 5.028 2.40 1.20 1.11 1.60

Fuente: Elaboración propia

Sólido 2

En esta sección se pide realizar los mismos ejercios que en la sección anterior,aplicando las condiciones del nuevo sólido. Por tanto solo se enuncia el númerodel ejercicio.

Ejercicio 1

El volumen aproximado de nuestro segundo sólido se obtiene de la mismamanera que en el ejercicio 1 de la sección aterior, pero se utilizaron los datosdel cuadro 2

El volumen total resultante fue de 94.06 cm3

Ejercicio 2

Inciso 1

El sólido 2, tampoco es un cono, debido a que no estamos girando un trián-gulo en torno a uno de sus catetos (Toledo, 2009).

7

Figura 4: Base del Sólido 2, conformada por las rectas x = 0, y = 0, x = 8 &y = 5 3

√x

Inciso 2

Ejercicio 3

Considerando los límites que tiene la �gura, que vienen dados por las rectasx = 0, y = 0, x = 8 & y = 5 3

√x. Y al observar la �gura 4, se determina mediante

un sistema de ecuacione, que las curvas se cortan en la intersección de las rectasx = 8, e y = 10, es decir, el punto (8, 10) encontrado resolviendo el sistema deecuaciones

y = 5 3√x

x = 8

y = 53√

8

y = 5(2)

y = 10

Por tanto, el grosor delta y de cada sección del triángulo paralelo al eje x, yen función de n está dada por el ancho de la base, dividido para n subintervalos,asi:

∆y =10

n

8

Ejercicio 4

Primero se halla el área de uno de los triángulos que fueron pegados a labase

A(x) =b× h

2

si,

h =b

2

entonces,

A(x) =b× b

2

2

A(x) =b2

4

Luego, tomando en cuenta el grosor de cada prisma, se obtiene que el volu-men de los mismos, es

Vprisma =b2

4(10

n)

Para obtener los valores de b en función de n, consideramos el grosor total,que es igual a 8, y le restamos los valores de x despejados de la función

y = 5 3√x

x = (y

5)3

Entonces,para calcular el volumen de un prisma delimitado por las funcionesantes nombradas, se tiene que:

Vprisma = (1

4)(8− (

yi5

)3)(10

n)

Ejercicio 5

La suma de Riemman es la sumatoria de todos los volúmenes de los prismasdelimitados por la base

n∑i=1

(1

4)(8− (

yi5

)3)2(10

n)

9

Ejercicio 6

lı́mn→∞

n∑i=1

(1

4)(8− (

yi5

)3)2(10

n)

10ˆ

0

(1

4)(8− (

y

5)3)2 dy

10ˆ

0

(1

4)(8− (

y

5)3)2 dy

Ejercicio 7

10ˆ

0

(1

4)(8− (

y

5)3)2 dy =

= (1

4)

10ˆ

0

(64− 16y3

125+

y6

15625dy

= (1

4)

[64y − 16y4

500+

y7

109375

]100

= 102,86

El volumen exacto de nuestro segundo sólido es de 102,86 cm3, que al com-pararlo con el volumen aproximado obtenido en el ejercicio 1 (el cual fue de94,06 cm3), obtenemos un margen de error3 sumamente bajo4, por lo que el re-sultado obtenido en este ejercicio es lógico.

3El% de error se calculó con la fórmula % de error=|V olumenexacto−V olumenaprox.|

V olumenexacto×100

4El% de error fue de 8.56%

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Referencias

[1] Toledo, R. (6 de noviembre de 2009). Sólidos de revolución. Disponible ensolidos-de-revolucion.blogspot.com/2009/11/blog-post.html

[2] Stewart, James. Cálculo de una variable Trascendentes tempranas, 7th Edi-tion. Cengage Learning Editores, 01/2013. VitalBook �le.

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