Calculo Integral-VI EMSAD

Cuadernillo de actividades de aprendizaje

Cálculo IntegralEDUCACIÓN MEDIA SUPERIOR A DISTANCIA

ASIGNATURA Cuadernillo de Actividades de Aprendizaje ©Secretaría de Educación Pública. México, julio de 2012.

Subsecretaría de Educación Media Superior.Dirección General del Bachillerato DCA, DSA

ISBN: 978-607-8229-55-0 Derechos Reservados

Dentro del marco de la Reforma Educativa en la Educación

Básica y Media Superior, la Dirección General del Bachillerato incorporó en su plan de estudios los principios básicos de la Reforma Integral de la Educación Media Superior (RIEMS), cuyos propósitos son consolidar la identidad de este nivel educativo en todas sus modalidades y subsistemas, además de brindar una educación pertinente que posibilite establecer una relación entre la escuela, contexto social, histórico, cultural y globalizado en el que actualmente vivimos.

A continuación te presentamos el Cuadernillo de Actividades de Aprendizaje de la asignatura de CÁLCULO INTEGRAL que pertenece al campo disciplinar de Matemáticas, este tiene la finalidad de propiciar el desarrollo de la creatividad, el pensamiento lógico y crítico entre el estudiantado, mediante procesos de razonamiento, argumentación y estructuración de ideas que conlleven al despliegue de distintos conocimientos, habilidades, actitudes y valores, en la resolución de problemas matemáticos que en sus aplicaciones trasciendan el ámbito escolar, tal como se establece en las competencias disciplinares extendidas del campo de las matemáticas.

La asignatura de CÁLCULO INTEGRAL te permite contar con una cultura matemática sólida, mediante la cual puedes analizar cualitativa y cuantitativamente los diferentes fenómenos que se te presenten en tu entorno cotidiano y profesional; por ejemplo: determinar el punto de equilibrio del costo de un artículo y el flujo de inversión neta de una empresa; aplicar las leyes de crecimiento poblacional en la biología; determinar variables cinemáticas, dinámicas y eléctricas en física. Además, proporciona herramientas para el desarrollo individual y social del individuo.

En el Cálculo Integral la aplicación de los teoremas esenciales propicia una evolución en tus capacidades de abstracción y razonamiento que conlleva a una madurez matemática, misma que le será de utilidad en tus estudios superiores.

En el Bachillerato General, se busca consolidar y diversificar los aprendizajes y desempeños, ampliando y profundizando el desarrollo de competencias relacionadas con el campo disciplinar de Matemáticas, el cual promueve la asignatura de Cálculo Integral.

Presentación

Cálculo Integral es una asignatura que requiere el manejo de los conocimientos de: Aritmética, Álgebra, Geometría,

Trigonometría, Geometría Analítica y Cálculo Diferencial; debes comprender que el estudio del Cálculo Integral

permite modelar el mundo real e interpretar diversos fenómenos relacionados con el área bajo la curva. El uso de las

TIC’s permite que software como GeoGebra, mathgv y graph, faciliten el planteamiento de modelos y el estudio de

sus variaciones de una forma dinámica, para el planteamiento, resolución, análisis y toma de decisiones.

Desde el punto de vista curricular, cada materia del plan de estudios mantiene una relación vertical y horizontal

con el resto, el enfoque por competencias reitera la importancia de establecer este tipo de relaciones al promover el

trabajo interdisciplinario, en similitud a la forma como se presentan los hechos reales en la vida cotidiana.

A continuación se enlistan las asignaturas que se relacionan con la asignatura de Cálculo Integral:

Matemáticas I, II, III, IV, brindan herramientas para los procesos algorítmicos, en el estudio de las representaciones

gráficas y en los comportamientos gráficos.

En Informática I y II el uso del software facilita la obtención de áreas bajo la curva y de sólidos de revolución.

Introducción a las Ciencias Sociales se apoya para calcular datos estadísticos sobre la demografía y el crecimiento

poblacional.

En Química I y II y Temas Selectos de Química I y II apoya para determinar los ritmos de las reacciones y el

decaimiento reactivo.

Física I y II y Temas Selectos de Física I y II apoya en las leyes de Newton, variables cinemáticas dinámicas, tales como:

centro de masa, trabajo realizado por una fuerza y movimiento de partículas, velocidad instantánea y aceleración.

Con Biología I y II para encontrar el ángulo de ramificación óptimo de vasos sanguíneos para maximizar flujos.

En Geografía, cuando el planímetro es usado para calcular el área de una superficie plana de un dibujo y actualmente,

en el sistema GPS, en el cálculo de áreas y volúmenes.

Ecología y Medio Ambiente se apoya para el conteo de organismos y cálculo de crecimiento exponencial de bacterias

y especies; así como, en modelos ecológicos tales como: el cálculo de crecimiento poblacional, Ley de enfriamiento

y calentamiento global del planeta.

En Cálculo Diferencial para calcular la estimación de errores en el proceso de medición, estudiar el comportamiento

de la velocidad y la aceleración.

En las capacitaciones para el trabajo, en Informática se genera un Software y la creación de sistemas que coadyuven

al mejoramiento de la comunicación entre empresas e instituciones, en Contabilidad en el proceso de la elasticidad

de la oferta y la demanda de un bien o servicio; y Administración, en la obtención de ingresos totales a partir de

ingresos marginales, obtención de la función de la demanda.

A partir del análisis del concepto de diferencial, en el Bloque I podrás calcular, interpretar y estimar errores y así,

podrás aproximarte a distintos parámetros físicos y/ o geométricos.

En el Bloque II serás capaz de construir el concepto de primitiva de una función, identificando a la antiderivada

como la herramienta que te permitirá obtenerla. Relacionarás este proceso con la obtención de la integral indefinida

e integrarás funciones algebraicas y trascendentes para utilizarlas como herramientas en situaciones cotidianas del

campo de las ciencias exactas, sociales, naturales y administrativas.

En el Bloque III calcularás e interpretarás el área bajo la curva mediante las sumas de Riehman y el cálculo de

integrales definidas, relacionando ambos métodos. Asimismo, podrás integrar de forma definida funciones algebraicas

y trascendentes.

El Bloque IV podrás aplicar la integral definida en diversas situaciones, tales como: sólidos de revolución, problemas

de leyes de Newton, crecimiento poblacional, elasticidad, oferta- demanda, entre otras.

Finalmente, encontrarás una sección titulada ANEXOS, la cual contiene ejemplos de instrumentos de evaluación y

recolección que te servirán como guía para que desarrolles los propios a lo largo del curso.

A lo largo del Cuadernillo podrás encontrar señaladas, a través de viñetas, estrategias de organización del trabajo o de evaluación como los siguientes:

Para facilitar su manejo, todos los Cuadernillos de Actividades de Aprendiza je están estructurados a partir de cuatro secciones en cada bloque de aprendizaje:

¿Qué voy a aprender? Se describe el nombre y número de bloque, los desempeños del estudiantado al concluir el bloque, así como una breve explicación acerca de lo que aprenderás en cada uno.

Desarrollando competencias. En esta sección se describen las actividades de aprendizaje para desarrollar las competencias señaladas en el programa de estudios, para lo cual es necesario tu compromiso y esfuerzo constante por aprender, ya que se implementan acciones que llevarás a cabo a lo largo del curso: en forma individual, en parejas, en equipos o en forma grupal. Dichas actividades van enfocadas a despertar en ti el interés por investigar en diferentes fuentes de consulta, para que desarrolles competencias genéricas y disciplinares básicas.

¿Qué he aprendido? En esta sección te presentamos actividades de consolidación o integración del bloque que te permitirán verificar cuál es el nivel de desarrollo de las competencias que posees en cada bloque de aprendizaje.

Quiero aprender más. En esta sección la consulta de diversas fuentes actualizadas ocupa el papel principal para complementar y consolidar lo aprendido. Es por ello que encontrarás varias sugerencias de estos materiales, los cuales serán el medio a través del cual podrás investigar y descubrir otros asuntos y tópicos por aprender.

Acabamos de presentar un panorama general de la asig natura y las características de los Cuadernillos de Actividades de Aprendizaje. Ahora sólo falta que tú ini-cies el estudio formal de Cálculo Integral, para lo cual te deseamos:

¡ Mucho Éxito !

Trabajo en pareja

Trabajo en equipo

Trabajo en grupo

Ideas o sugerencias

Coevaluación

Autoevaluación

Portafolios de evidencia

Bloque I Aplicas la diferencial en estimación de errores y aproximaciones de variables en las ciencias exactas, sociales, naturales y administrativas

Bloque II Determinas la primitiva de una función e integras funciones algebraicas y trascendentes como una herramienta a utilizar en las ciencias exactas, sociales, naturales y administrativas

Bloque III Calculas e interpretas el área bajo la curva en el contexto de las ciencias exactas, sociales, naturales y administrativas

Bloque IV Resuelves problemas de aplicación de la integral definida en situaciones reales en el campo de las ciencias exactas, sociales, naturales y administrativas

Índice

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8 Cuadernillo de actividades de aprendizaje

Cálculo integral

Al final de este bloque podrás interpretar gráficamente el modelo matemático de algún fenómeno de tu entorno y aproximarás el comportamiento de la derivada a partir del cálculo de la diferencial. Asimismo, analizarás el error obtenido mediante la aplicación de la diferencial para determinar la precisión en la medición de una magnitud y como afecta la confiabilidad de ésta en situaciones reales de su contexto.

Ten en cuenta que enfrentarás dificultades para lo cual, tendrás que ser consciente de tus fortalezas y debilidades al trabajar con aproximaciones y estimación de errores.

EL CONCEPTO DE DIFERENCIAL

Existen muchas situaciones, dentro y fuera de las matemáticas, en que necesitamos estimar una diferencia, como por ejemplo en las aproximaciones de valores de funciones, en el cálculo de errores al efectuar mediciones (Valor real menos valor aproximado) o simplemente al calcular variaciones de la variable dependiente cuando la variable independiente varía “un poco”, etc. Utilizando a la recta tangente como la mejor aproximación lineal a la función en las cercanías del punto de tangencia, aproximaremos esta DIFERENCIA con la diferencia sobre la recta tangente, a la que llamaremos EL DIFERENCIAL de la función en el punto.

¿ Qué voy a aprender ?

Bloque I Aplicas la diferencial en estimación de errores y aproximaciones de variables en las ciencias exactas, sociales, naturales y administrativas

Calcula e interpreta aproximaciones de la derivada de modelos matemáticos relativos a diversas disciplinas, a partir de su representación gráfica y la determinación de su diferencial.

Aplica la diferencial para determinar el error presente en el resultado de la medición de una magnitud en diferentes situaciones.

Desempeños

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Bloque I


Cálculo integral

DEFINICION Y EJEMPLOSConsideremos la siguiente ilustración en donde aproximamos a la función f por su recta tangente.

Considerando que la recta tangente es la mejor aproximación lineal a la gráfica de f en las cercanías del punto de tangencia P

T, si

le llamamos a la variación de f cuando x varía de xo a x

o + h y a la variación de la

recta tangente en el mismo rango de variación en x, podemos afirmar que para valores de h “cercanos” a 0, estas dos variaciones son muy parecidas, es decir, Δ D f @ Δ R

T .

Podemos expresar a Δ RT en términos de h y el ángulo θ que forma la recta tangente con el eje de las abscisas. En

el triángulo de la figura, que extraemos a continuación, se observa lo siguiente:

En virtud de que Δ RT es un aproximador de la DIFERENCIA Δ f, lo definiremos como EL DIFERENCIAL DE f en el punto x

o, con

respecto al incremento h y lo denotaremos por df, es decir,

df = f ‘(xo)h

Observación: El diferencial, en general depende de h y del punto xo. Por ejemplo el diferencial de f(x) = x2 es:

df = f ‘ (xo)h = (2x

o)h

que también lo podemos expresar como:d(x2) = (2x

o)h

Si especificamos el punto xo, el diferencial dependerá únicamente de h, como se aprecia en los siguientes ejemplos:

a) El diferencial de f(x) = x2 en x

o =3 es d(x2) = 6h

b) El diferencial de f(x) = x2 en xo =7 es d(x2) = 14h

c) El diferencial de f(x) = x3 en xo =2 es d(x3) = 12h

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Bloque I


Cálculo integral

En el caso de la función identidad f(x) = x, como f ‘(xo) = 1 para todo x

o, su diferencial nos queda como df = f ‘(x

o)

h = h o bien dx = h

Como h es el diferencial de la función identidad, podemos re-escribir el diferencial de una función f derivable en xo, como:

df = f ‘(xo)dx

Esta expresión nos dice que la variación de una función f es aproximadamente proporcional a la variación de su variable independiente,

donde la constante de proporcionalidad es la derivada en el punto en cuestión.

http://www.mat.uson.mx/eduardo/calculo2/soldifer/soldiferHTML/diferencial.htm(Consultado: 09/07/2012)

Para iniciar este primer bloque de Cálculo Integral, te solicitamos que formen equipos y realicen una búsqueda en diversas fuentes de acerca de el cálculos de la diferencial y su relación con la derivada, presenten ante el grupo sus hallazgos. En plenaria analicen el contenido de las presentaciones e identifiquen los elementos los elementos operacionales involucrados en el cálculo de la diferencial y su relación con la derivada. De manera grupal emitan conclusiones y desarrollen un organizador gráfico. Elaboren una rúbrica para evaluar el organizador gráfico.

Formen equipos mixtos y plasmen en hojas de rotafolio la gráfica de una función; analícenla para identificar entre la relación entre la derivada y la diferencial mediante una matriz comparativa. Comenten sus observaciones en plenaria. Con una lista de cotejo evalúen el trabajo en equipo y la información presentada.

Para esta actividad, el grupo se dividirá en dos equipos: uno de aproximaciones y otro de estimación de errores y realizar la práctica y verificar resultados. Posteriormente se integrarán en parejas (especialista de aproximación y un especialista de estimación de errores) e intercambiarán información para unificar definiciones, al finalizar presenten por escrito los resultados obtenidos y elaboraren una conclusión. En esta ocasión utilizaran una rúbrica para evaluar el escrito.

Procura formar equipo con quienes no hayas trabajado anteriormente, esto enriquecerá tus puntos de vista y podrás desarrollar habilidades referentes a la tolerancia y el respeto a la diversidad, entre otros.

Nuevamente en equipos investiguen en diversas fuentes sobre la aplicación de las diferenciales en aproximaciones y estimaciones de errores relacionadas a problemas de física, matemáticas, geografía y química, por ejemplo (aproximar el aumento del volumen de un cubo si su arista varía de 1, 3, 5 7 cm y Estimar errores al medir figuras planas o en cálculo de área y volúmenes) deberán destacar la importancia del cálculo integral en el trabajo interdisciplinar. Evalúen con una lista de cotejo el reporte de la investigación (es importante que también incluyan aspectos actitudinales, así como la entrega en tiempo y forma).

Desarrollando competencias

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Bloque I


Cálculo integral

Ahora te proporcionamos las fuentes de consulta relacionadas con lo revisado hasta este punto:

BÁSICA: Leithold, L., (2009). El Cálculo. México: Oxford University Press.Martínez de G. et. al., (2009). Cálculo diferencial e integral. México: Santillana.Mora V., Emiliano y del Río, F. M., (2009). Cálculo diferencial e integral. Ciencias sociales y económicas administrativas. México: Santillana.Ortiz, F. J., (2007). Cálculo Integral. México: Grupo Editorial Patria.Stewart, J. (2007). Cálculo Diferencial e Integral. México: CENGAGE Learning. Salazar, Bahena y Vega. (2007). Cálculo Integral. México: Grupo Editorial Patria.

COMPLEMENTARIA:Albaladejo, P. (2009). Problemas de Cálculo para la economía y la empresa. México: Tebar. Anfossi, A. (2009). Cálculo Diferencial e Integral Preparatoria. México: Progreso.Anton, H., (2009). Cálculo de una Variable Trascendentes Tempranas. México: Limusa.Caballero C. (2009). Iniciación al Cálculo Diferencial e Integral. México: Esfinge.Granville y Smith., (2010). Cálculo Diferencial e Integral. México: Limusa.Stewart, J. (2010). Cálculo Conceptos y Contextos. México: CENGAGE Learning.

ELECTRÓNICA: http://bibliotecavirtualeive.files.wordpress.com/2008/09/becerril_espinosa_jose_ventura__probcalcdifint.pdfhttp://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/index.htm

Observa el siguiente ejemplo:

APLICACIONES DEL DIFERENCIAL

PROBLEMAS DEL TIPO I.

A continuación desarrollaremos algunos ejemplos de aplicación práctica en los que, por medio del diferencial, estimaremos un aumento ó una disminución en alguna función.

Ejemplo 1. Al calentar una placa cuadrada metálica de 15 cm de longitud, su lado aumenta 0.04 cm. ¿Cuánto aumentó aproximadamente su área?

Solución: Con el fin de ilustrar una situación que se presentará en todos los demás problemas y por la simplicidad de éste en particular, sólo en este caso calcularemos la diferencia de áreas D A y la compararemos con dA.

Fuentesde consulta

¿Qué he aprendido?

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Bloque I


Cálculo integral

Nótese que originalmente teníamos una placa de 15 x 15, después de calentarla tenemos la placa de 15.04 x 15.04, como se muestra en la figura.

.

En este caso la función es A (L) = L2 y por lo tanto D A en L = 15 y h = 0.04 es:

A (15.004) – A (15) = 226.2016 - 225 = 1.2016

Si ahora calculamos el diferencial de área para A (L) = L2 en L = 15 y dL = 0.04, obtenemos:

dA = A’ (L)dL = (2L)dL =(2L|L=15

)(0.004) = (30)(0.004) = 1.2

En consecuencia, cuando el lado se incrementa en 0.4 cm, el área aumenta aproximadamente 1.2 cm2. (El valor exacto del incremento es 1.2016)

Generalmente este tipo de variaciones se miden en porcentajes, es decir, como 0.04 es el 0.2666% de 15 y 1.2 es el 0.5333% de 225 = (15)2, decimos que si el lado de la placa se incrementa en un 0.266%, el área se incrementará aproximadamente en un 0.5333%.

Observación: Si el problema es de una placa metálica del mismo tamaño que se enfría 0.04 cm, entonces h = -0.04 y el diferencial resultaría el mismo sólo que con signo contrario, es decir dA = -1.2. Como estamos usando la recta tangente para

estimar la diferencia, la linealidad hace que el cateto opuesto en ambos triángulos de la figura, sean iguales

Resolvamos ahora el mismo problema con otros datos expresados porcentualmente

Ejemplo 2. Al enfriar una placa cuadrada metálica de 20 cm de longitud, su lado disminuye un 0.03%. ¿Cuánto disminuirá porcentualmente su área?

Solución: El 0.03% de 20 es , por lo que en este caso:

A(L) = L2 , Lo = 20 y dL = -0.006

D A dA = 2LdL = 2(20) (-0.006) = (40) (-0.006) = -0.24

Podemos calcular que 0.24 representa el 0.06% de (20)2, por lo que, cuando el lado disminuye un 0.03%, el área

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Bloque I


Cálculo integral

disminuye aproximadamente un 0.06%, es decir se duplica porcentualmente.

Este último resultado lo podemos obtener directamente de la siguiente manera:

D A dA = 2LdL = 2(20) [ ] =

que representa el 0.06% del área original (20)2.

http://www.mat.uson.mx/eduardo/calculo2/soldifer/soldiferHTML/diferencial.htm (Consultado 12/07/2012)

Como ves en el ejemplo, la aplicación del diferencial nos ayuda a establecer diferencias en el estimado de aumento y disminución de las funciones, esto es muy importante de calcular en el ámbito de la construcción, ya que los ingenieros deben de tomar en cuenta la forma en que los materiales se contraen o expanden en diferentes lugares y épocas del año, para que sus edificaciones sean más seguras.

Como última actividad, será necesario que formen equipos mixtos de 6 personas y con base en lo aprendido durante el bloque, identifiquen su aplicación. Propongan 2 ejemplos en tres áreas diferentes aplicando fórmulas y sus resultados, así como la importancia del uso del cálculo; finalmente presenten su trabajo frente al grupo y evalúen con una rúbrica de exposición.

Te recomendamos algunos sitios electrónicos en los cuales podrás continuar con el aprendizaje de estos tópicos:

http://docencia.udea.edu.co/ingenieria/calculo/pdf/3_9.pdf(Consultado: 09/07/2012)

http://dieumsnh.qfb.umich.mx/DIFERENCIAL/definicion_de_diferencial.htm(Consultado: 09/07/2012)

http://www.edutecne.utn.edu.ar/geptecne/04-GEPTECNE.pdf(Consultado: 09/07/2012)

http://www.eueti.uvigo.es/files/curso_cero/material/2_datos.pdf(Consultado: 09/07/2012)

Quiero aprender más


Cálculo integral

Durante este bloque podrás resolver problemas que involucren la obtención de la primitiva de una función y la interpretarás en situaciones reales de su entorno.

Desarrollarás la habilidad en el manejo de técnicas de integración en un contexto teórico, podrás valorar el trabajo en equipo como una alternativa para mejorar sus habilidades operacionales en el cálculo de integrales indefinidas.

Con el siguiente ejemplo podrás ver que la llamada primitiva de una función es el proceso inverso al del cálculo de su derivada, veamos el siguiente desarrollo:

Dadas dos funciones f(x) y F(x), definidas en un intervalo = [a,b], diremos que F(x) es una función primitiva de f(x) en si la derivada de F(x) es la función f(x) en el intervalo .

F(x) es primitiva de f(x) en <=> (F’ (x) = f(x), x ϵ )

Calcular la primitiva de una función es el proceso inverso al de calcular su derivada.


Bloque IIDeterminas la primitiva de una función e integras funciones algebraicas y trascendentes como una herramienta a utilizar en las ciencias exactas, sociales, naturales y administrativas

Determina la primitiva de una función, como antecedente de la integral en el campo de las Ciencias Exactas, Naturales, Sociales y Administrativas.

Aplica el cálculo de las primitivas a problemas de su entorno referentes al ámbito de las ciencias.

Obtiene integrales indefinidas de funciones algebraicas y trascendentes de manera inmediata y mediante el uso de técnicas de integración, en un contexto teórico como herramienta en la resolución de problemas reales.

Desempeños


Cálculo integral Bloque II

Ejemplo

Consideremos la función f(x) = x2 y denotemos por g la derivada de f , es decir:

g (x) = f’ (x) = 2 x

Entonces una primitiva de g (x) es f (x) .

¿Cuántas primitivas puede tener una función?Una función cualquiera admite infinitas primitivas, de hecho

Dos funciones son primitivas de una misma función si y solo si se diferencian solo en una constante aditiva

Es decir, si F y G son primitivas de f , entonces existe un número real C , tal que F (x) = G (x) + C

Recíprocamente, si a una primitiva de una función f le añadimos una constante C , entonces obtenemos otra primitiva de f .

Ejemplo

F (x) = x2 y G (x) = x2 + 7 son dos funciones primitivas de f (x) = 2 x , ya que

F’ (x) = G’ (x) = f (x)

Obsérvese que la diferencia G (x) - F (x) es una constante (= 7).

http://www.educared.org/wikiEducared/Primitiva_de_una_funci%C3%B3n.html(Consultado:09/07/2012)

Para iniciar este bloque II, formen equipos y realicen una investigación en diversas fuentes de La integral indefinida-FUNCIÓN PRIMITIVA. Posteriormente, en plenaria construyan el concepto de función primitiva. Mediante una guía de observación evalúen la participación.

Nuevamente formen equipos, para buscar en diversas fuentes ejercicios de funciones derivadas para encontrar su primitiva, realicen los ejercicios en equipos y analicen e interpreten la función primitiva como la antiderivada de una función, su notación y al Cálculo Integral como el proceso inverso del Cálculo Diferencial en problemas de ciencias exactas (área bajo una curva), naturales (crecimientos exponenciales) y sociales (oferta y demanda), plasmen de manera escrita sus conclusiones. Con una rúbrica evalúen el escrito.




A continuación formen parejas, para investigar y analizar problemas resueltos de primitivas en diversas fuentes. Seleccionen un problema, elaboren un diagrama de flujo y expliquen el procedimiento. Comenten con el grupo las dificultades que tuvieron para resolver el problema. Evalúen el diagrama de flujo con una rúbrica.

Para finalizar este bloque, resuelve ejercicios de manera individual sobre integrales inmediatas y técnicas de integración (integración por partes, por substitución trigonométrica, descomposición en facciones parciales). Comenta con el grupo los obstáculos que encontraste al integrar funciones y sugerencias para identificar correctamente el tipo de técnica a aplicar de acuerdo a la forma de la función. Al finalizar elaboren de manera grupal una conclusión que destaque la importancia de las diferentes funciones que tiene el Cálculo. Evalúen los desempeños de esta actividad con una rúbrica.

Con el fin de que continúes aprendiendo sobre los tópicos revisados en el bloque, te proporcionamos las siguientes fuentes de consulta:

BÁSICA:

Leithold, L., (2009). El Cálculo. México: Oxford University Press.

Martínez de G. et. al., (2009). Cálculo diferencial e integral. México: Santillana.

Mora V., Emiliano y del Río, F. M., (2009). Cálculo diferencial e integral.Ciencias sociales y económicas administrativas. México: Santillana.

Ortiz, F. J., (2007). Cálculo Integral. México: Grupo Editorial Patria.

Stewart, J. (2007). Cálculo Diferencial e Integral. México: CENGAGE Learning.

Salazar, Bahena y Vega. (2007). Cálculo Integral. México: Grupo Editorial Patria.

COMPLEMENTARIA:

Albaladejo, P. (2009). Problemas de Cálculo para la economía y la empresa. México: Tebar.

Anfossi, A. (2009). Cálculo Diferencial e Integral Preparatoria. México: Progreso.

Anton, H., (2009). Cálculo de una Variable Trascendentes Tempranas. México: Limusa.

Caballero C. (2009). Iniciación al Cálculo Diferencial e Integral. México: Esfinge.

Granville y Smith., (2010). Cálculo Diferencial e Integral. México: Limusa.

Stewart, J. (2010). Cálculo Conceptos y Contextos. México: CENGAGE Learning.

ELECTRÓNICA:

http://www.dma.fi.upm.es/java/calculo/integracion/

http://www.matematicasbachiller.com/temario/

http://www.bibliotecavirtualeive.files.wordpress.com/2008/09/becerril_espinosa_jose_ventura__probcalcdifint.pdf

http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/index.htm

http://www.amolasmates.es/pdf/Temas/2BachCT/Integral%20definida.pdf

http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/curso-elsie/aplicacionesintegral/html/aplicaciones-integral.pdf

Fuentesde consulta




A continuación te presentamos una serie de ejercicios que te ayudarán a consolidar tus aprendizajes sobre las primitivas de una función o antiderivadas.

Supongamos que se nos pidió encontrar una función (distancia) cuya derivada (velocidad instantánea) es

. De lo estudiado en la primera unidad sobre derivadas, podemos deducir que:

, debido a que , es decir, .

Decimos que la función es una antiderivada de .

Determinación de antiderivadas. Para cada una de las siguientes derivadas , escribe la función original .

a) b)

c)

d)

e)

¿Cuál fue la estrategia que se utilizó para encontrar a la función ?

Recuerda consultar las respuestas correctas en la parte de Anexos.

Te recomendamos algunos sitios electrónicos en los cuales podrás continuar con el aprendizaje de estos tópicos:http://www.itpuebla.edu.mx/alumnos/cursos_tutoriales/carlos_garcia_franchini/calculo/Teor%C3%ADa/TeoriaCI2100.htm (Consultado: 9/07/12)http://www.emp.uva.es/inf_acad/hermer/mate2/material/m2_prevt_integracion.pdf (Consultado: 9/07/12)

http://www.youtube.com/watch?v=b4T9-ucX-2I (Consultado: 9/07/12)




Cálculo integral

En este bloque podrás resolver problemas de áreas mediante la sumas de Riemann en cualquier disciplina que tenga relación con tu entorno, así como problemas de áreas mediante la integral definida. Es importante que puedas asumir una actitud constructiva y congruente con las competencias con las que cuentas en el uso de las TIC´s como herramientas para el modelado y la simulación de problemas de áreas bajo la curva en el contexto de la física, la geometría y la química.

Una de estas herramientas es la utilización de software matemático interactivo. A continuación te mostramos una pequeña introducción sobre uno de estos programas educativos.


Bloque IIICalculas, interpretas y analizas razones de cambio en fenómenos naturales, sociales, económicos y administrativos

Calcula e interpreta áreas bajo la curva mediante las Sumas de Riemann en la resolución de problemas en un entorno teórico.

Compara el método de las Sumas de Riemann con las áreas obtenidas mediante la integral definida y determina las fortalezas y debilidades de ambos métodos, comprobándolo mediante software gráficador (GeoGebra, mathgv, graph).

Obtiene integrales definidas de funciones algebraicas y trascendentes en un contexto teórico y las visualiza como herramientas en la resolución de problemas reales.

Desempeños


Cálculo integral Bloque III

¿Qué es GeoGebra?

GeoGebra es un software de matemáticas desarrollado por Markus Hohenwarter de la Universidad de Salzburgo que engloba geometría, álgebra y cálculo. Por un lado, es un sistema de geometría dinámica. Permite realizar construcciones tanto con puntos, vectores, segmentos, rectas, secciones cónicas como con funciones que posteriormente pueden modificarse dinámicamente. Por otra parte, se pueden introducir ecuaciones y coordenadas directamente, permite hallar derivadas e integrales de funciones y ofrece un repertorio de comandos propios del análisis matemático. La interfaz del programa consta de dos ventanas, una algebraica y otra geométrica. Una expresión en la ventana algebraica se corresponde con un objeto en la ventana geométrica y viceversa.http://www.gobiernodecanarias.org/educacion/3/Usrn/matematicas/geogebra/index.htm(Consultado 14/07/2012)

También puedes consultar estos instructivos o tutoriales de software matemático interactivohttp://www.geogebra.org/help/docues.pdf (Consultado 14/07/2012)http://www.aulademate.com/foro/download.php?id=367&sid=e6f757bbdca31d35d5976512c2295170(Consultado 14/07/2012)

http://www.padowan.dk/bin/Graph-Spanish.pdf(Consultado 14/07/2012)

Para comenzar este tercer bloque, de manera grupal organicen una discusión sobre las nociones que tiene sobre el cálculo del área bajo la curva. Elaboren un organizador gráfico que sintetice lo expuesto. Mediante una lista de cotejo evalúen el organizador gráfico.

En parejas busquen en diversas fuentes lecturas sobre el cálculo de áreas bajo la curva y comenten los aprendizajes logrados. Seleccionen al azar cinco parejas, las cuales expondrán ante el grupo sus conclusiones. De manera individual elabora un diagrama de flujo que sintetice el proceso del cálculo del área bajo la curva. El diagrama de flujo se evaluará con una lista de cotejo.

Organícense en triadas para resolver problemas que involucren áreas bajo la curva de rectas de la forma y = mx+ b, calculadas desde la perspectiva geométrica y mediante la integral definida. Comenten en grupo el proceso que realizaron para su solución. Con una escala de clasificación evalúen los ejercicios.

Formen equipos mixtos y preparen una presentación de cuatro diapositivas que indiquen las propiedades de la integral definida, su aplicación en el cálculo de áreas bajo la curva y la delimitada por la intersección de dos funciones, deberán de presentarla en clase para analizarla grupalmente. Utilicen una rúbrica para evaluar la presentación.





Nuevamente en equipos investiguen en fuentes bibliográficas o páginas electrónicas sobre las sumas de Riemann, su relación con la integral definida y su aplicabilidad e la vida cotidiana por ejemplo: el cálculo de áreas de terrenos cuadrados de su comunidad. Elaboren dos fichas de trabajo, las cuales se evaluarán con una de rúbrica.

Para continuar con este tópico, resuelvan problemas aplicando sumas de Riemann, y establezcan su relación con la integral definida y aplicación en el cálculo de áreas de monumentos históricos que representen a tu comunidad. Utilicen una lista de cotejo para evaluar los resultados de los problemas planteados.

Para finalizar este bloque, continúen trabajando en equipo y representen de manera gráfica, el área delimitada en cierto intervalo del dominio de una función, mediante el software Geogebra, calculen su área con el mismo software y compárenla con la obtenida mediante la aplicación de las sumas de Riemann. Elaboren por escrito una reflexión sobre las ventajas y limitaciones del uso de la tecnología y la importancia de contar con una base cognoscitiva sólida previa. Utilizarán una escala de clasificación para evaluar el trabajo escrito.

Fuentes de consulta:

BÁSICA: Leithold, L., (2009). El Cálculo.México: Oxford UniversityPress.Martínez de G. et. al., (2009). Cálculo diferencial e integral. México: Santillana.Mora V., Emiliano y del Río, F. M., (2009). Cálculo diferencial e integral. Ciencias sociales y económicas administrativas. México: Santillana.Ortiz, F. J., (2007). Cálculo Integral. México: Grupo Editorial Patria.Stewart, J. (2007). Cálculo Diferencial e Integral. México: CENGAGE Learning. Salazar, Bahena y Vega. (2007). Cálculo Integral. México: Grupo Editorial Patria.

COMPLEMENTARIA:Albaladejo, P. (2009). Problemas de Cálculo para la economía y la empresa. México: Tebar. Anfossi, A. (2009). Cálculo Diferencial e Integral Preparatoria. México: Progreso.Anton, H., (2009). Cálculo de una Variable Trascendentes Tempranas. México: Limusa.Caballero C. (2009). Iniciación al Cálculo Diferencial e Integral. México: Esfinge.Granville y Smith., (2010). Cálculo Diferencial e Integral. México: Limusa.Stewart, J. (2010). Cálculo Conceptos y Contextos. México: CENGAGE Learning.

ELECTRÓNICA: http://www.matematicasbachiller.com/temario/http://www.bibliotecavirtualeive.files.wordpress.com/2008/09/becerril_espinosa_jose_ventura__probcalcdifint.pdfhttp://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/index.htm

Fuentesde consulta



Al modelar fenómenos naturales y procesos sociales tratamos con funciones que representan matemáticamente la situación o problema real, la población de México (en millones de habitantes) se puede aproximar mediante la

función lineal , donde son los años transcurridos después de 1970.

De acuerdo con este modelo lineal, responde las siguientes preguntas:

¿Cuál fue el número de habitantes en México al comienzo del siglo xxi? , ¿Coincide el resultado anterior con los obtenidos a partir del censo de población realizado en el año 2000 por el INEGI? Justifica tu respuesta. ¿Cuál fue el número de habitantes en el año 2010? ¿Coincide con los resultados del censo de población de 2010 del INEGI? ¿Cuál es el número de habitantes de México que el modelo predice para el año 2030?Podemos ver como el modelo lineal predice con un error discreto a partir de los datos encontrados.

Comparación de datos del modelo lineal con los datos del Censo de Población en México

(Fuente: http://www.inegi.org.mx/sistemas/sisept/Default.aspx?t=mdemo148&s=est&c=29192) Consultado: 14/07/12

AñoINEGI - Población Total (millones

de habitantes)Modelo Lineal P(t) - Población Total (millones

de habitantes)2000 97 483 4122010 112 336 5382030 No aplica

Recuerda consultar las respuestas correctas en la parte de Anexos.

En las siguientes páginas puedes encontrar información así como ejercicios relacionados con aprendido:

http://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/IntegralDefinida.htm (Consultado: 14/07/12)

http://sumaderiemann.blogspot.mx/2011/08/suma-de-rieman.html (Consultado: 14/07/12)

http://www.dma.fi.upm.es/java/calculo/integracion/teoria_integral.htm (Consultado: 14/07/12)

http://www.ithua.edu.mx/paginas/matematicas/unidad3.pdf (Consultado: 14/07/12)




Cálculo integral

Te damos la bienvenida al último bloque del Cuadernillos de Actividades de Aprendizaje de la asignatura de Cálculo Integral, al final de éste podrás identificar los casos factibles de aplicación de la integral definida en el ámbito de las ciencias exactas, naturales y sociales.

De la misma forma, podrás aplicar la integral definida para resolver problemas en el campo disciplinar de las matemáticas, física, biología y economía, administración y finanzas. Así como, valorar el uso de las TIC´s como herramientas para el modelado y la simulación de problemas de aplicación de integrales definidas en cualquier contexto disciplinar.

Así, en este punto es importante que puedas identificar y aplicar correctamente los elementos de una integral definida. A continuación te mostramos gráficamente sus elementos básicos:


Bloque IVResuelves problemas de aplicación de la integral definida en situaciones reales en el campo de las ciencias exactas, sociales, naturales y administrativas

Aplica el concepto de sólido de revolución en el diseño de: envases, depósitos y contenedores en general, de formas homogéneas y heterogéneas.

Aplica las integrales definidas en la solución de problemas de leyes de Newton (centro de masa, trabajo realizado por una fuerza, movimiento de partículas) y/o crecimientos exponenciales, resolviéndolos de manera autónoma utilizando los procesos aprendidos.

Aplica las integrales definidas para resolver problemas de oferta y demanda de un bien (producto) o un servicio.

Desempeños


Cálculo integral Bloque IV

Dada una función f(x) y un intervalo [a, b], la integral definida es igual al área limitada entre la gráfica de f(x), el eje de abscisas, y las rectas verticales x = a y x = b.

La integral definida se representa por .

∫ es el signo de integración.a límite inferior de la integración.b límite superior de la integración.f(x) es el integrando o función a integrar.dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra.http://www.vitutor.com/integrales/definidas/integral_definida.html (Consultado: 14/07/12)

Para iniciar con este último bloque, formen equipos para realizar una investigación en diversas fuentes bibliográficas y electrónicas sobre los volúmenes, superficies de sólidos de revolución y su cálculo mediante integrales definidas. Al finalizar elaboren un resumen con la información obtenida y mencionen su aplicación e importancia. El resumen se evaluará con una rúbrica.

Nuevamente en equipos, investiguen diferentes fuentes bibliográficas o electrónicas sobre el centro de masa, trabajo realizado por una fuerza, movimiento de partículas y su cálculo mediante integrales definidas. Al finalizar, elaboren un resumen con información obtenida. Con una escala de clasificación evalúen el resumen.

En parejas investiguen en diferentes fuentes bibliográficas y/o electrónicas acerca de la oferta y la demanda de un bien y/o servicio y su cálculo mediante integrales definidas. Elaboren un ensayo de la información obtenida y destaquen su aplicación e importancia. Por medio de una escala de clasificación evalúen esta actividad.

Finalmente resuelvan en equipos mixtos diversos problemas reales multidisciplinarios, elegirán uno de acuerdo a su criterio y formularán un proyecto de aplicación en su entorno inmediato. Al finalizar, presenten ente el grupo su proyecto, haciendo uso de las TIC´s, describan cada una de sus fases, documenten y registren sus evidencias en una bitácora. El proyecto se evaluará con de rúbrica.




Te invitamos a retroalimentar a los demás integrantes del grupo, recordando que es importante mencionar los aspectos positivos y de mejora. Recuerda que es elemental escuchar a los demás, así como esperar tu turno para hablar y respetar las opiniones.

BÁSICA:

Leithold, L., (2009). El Cálculo.México: Oxford UniversityPress.

Martínez de G. et. al., (2009). Cálculo diferencial e integral. México: Santillana.

Mora V., Emiliano y del Río, F. M., (2009). Cálculo diferencial e integral. Ciencias sociales y económicas administrativas. México: Santillana.

Ortiz, F. J., (2007). Cálculo Integral. México: Grupo Editorial Patria.

Stewart, J. (2007). Cálculo Diferencial e Integral. México: CENGAGE Learning.

Salazar, Bahena y Vega. (2007). Cálculo Integral. México: Grupo Editorial Patria.

COMPLEMENTARIA:

Albaladejo, P. (2009). Problemas de Cálculo para la economía y la empresa.México: Tebar.

Anfossi, A. (2009). Cálculo Diferencial e Integral Preparatoria. México: Progreso.

Anton, H., (2009). Cálculo de una Variable Trascendentes Tempranas. México: Limusa.

Caballero C. (2009). Iniciación al Cálculo Diferencial e Integral. México: Esfinge.

Granville y Smith., (2010). Cálculo Diferencial e Integral. México: Limusa.

Stewart, J. (2010). Cálculo Conceptos y Contextos. México: CENGAGE Learning.

ELECTRÓNICA:

http://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Texto.htm#Animaci

http://www.imposible.cl/crisol2/wp-content/uploads/2010/11/SOLIDOSDEREVOLUCION1.pdf

http://www.amolasmates.es/pdf/Temas/2BachCT/Integral%20definida.pdf

http://www.matematicasbachiller.com/temario/

http://bibliotecavirtualeive.files.wordpress.com/2008/09/becerril_espinosa_jose_ventura__probcalcdifint.pdfhttp://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/index.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Texto.htm#Animacihttp://maple-8.softonic.com/

http://www.aulafacil.com/matematicas-integrales/curso/Temario.htm

http://portales.educared.net/wikillerato/Matematicas

Fuentesde consulta



Para finalizar este bloque te pedimos que leas las siguientes propiedades de la integral definida. Formen equipos mixtos de 6 personas y propongan un ejemplo de cada una de las propiedades de la integral definida. Discutan sus resultados en plenaria.

Propiedades de la integral definida1.- El valor de la integral definida cambia de signo si se permutan los límites de integración.

2.- Si los límites que integración coinciden, la integral definida vale cero.

3.- Si c es un punto interior del intervalo [a, b], la integral definida se descompone como una suma de dos integrales extendidas a los intervalos [a, c] y [c, b].

4.- La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de integrales.

5.- La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función.

http://www.vitutor.com/integrales/definidas/integral_definida.html (Consultado: 14/07/2012)

En las siguientes ligas encontrarás más elementos sobre los tópicos revisados en este y en los anteriores bloques:http://www.ing.unlp.edu.ar/fismat/imapec/Soft/matb_maple/html/talleres/02_solido_rev.html (Consultado: 14/07/2012)http://leoberrios.files.wordpress.com/2011/10/leyes-de-newton.pdf (Consultado: 14/07/2012)http://recursostic.educacion.es/secundaria/edad/4esomatematicasB/funciones3/impresos/quincena10.pdf(Consultado: 14/07/2012)http://www.eumed.net/ce/2012/ivcg.html(Consultado: 14/07/2012)




Cálculo integral

Respuestas de la sección ¿Qué he aprendido? Bloque II

a)

b)

c)

d)

e)

¿Cuál fue la estrategia que se utilizó para encontrar a la función ?

Respuesta: Establecer una función de tal forma que al derivar se obtenga la función dada en cada inciso,

es decir, . Es muy importante considerar las leyes de los exponentes y las principales reglas de derivación.

Respuestas de la sección ¿Qué he aprendido? Bloque III

Año INEGI - Población Total (millones de habitantes)

Modelo Lineal P(t) - Población Total (millones de habitantes)

2000 97 483 412 97.7

2010 112 336 538 114.19

2030 No aplica 147.19

A continuación se muestran instrumentos que pueden servir de ejemplos para que ustedes elaboren sus propios instrumentos para evaluar las actividades propuestas en el Cuadernillo de Actividades de Aprendizaje de Cálculo Integral.

Lista de cotejo

“En comparación con otros instrumentos, las listas de cotejo presentan menos complejidad. Su objetivo es determinar la presencia o ausencia de un desempeño y para ello se requiere identificar las categorías a evaluar y los elementos que conforman a cada una de ellas. Para valorar la presencia es suficiente colocar una columna para cada desempeño y otra en la cual se indique su presencia.”1

1 Lineamientos de evaluación del aprendizaje, p. 58. En http://www.dgb.sep.gob.mx/portada/lineamientos_evaluacion_aprendizaje_082009.pdf (Consultado el 09/07/2012)

Anexos


Cálculo integral Anexos

A continuación te presentamos una serie de ejemplos con distintos diseños y tópicos a evaluar que te ayudarán como muestra para desarrollar tus propias listas.

Ejemplo de lista de cotejo para evaluar la participación

INDICADOR Marca con una X si el indicador se encuentra presente en la descripción

1.- Participa activamente en las sesiones2.- Expresa sus puntos de vista con respecto a lo s tópicos 3.- Cuando está en desacuerdo, lo manifiesta con respeto 4.- Escucha las opiniones de los demás

5.- Espera su turno para hablar6.- Llega a concusiones 7.- Establece relaciones entre su participación y otros tópicos del bloque o asignatura

8.- Sus participaciones son pertinentes con respecto al tópico9.- Manifiesta sus comentarios con coherencia10.- Fomenta el diálogo con sus compañeras y compañerosTotal

En este ejemplo, se tomaron en cuenta 10 de desempeños a evaluar. Cuando se presenta uno de los indicadores se

le asigna el valor de 1 punto, mientras que las ausencias no tienen valor. De esta manera puede obtener un total

máximo de 10 y un mínimo de cero. El resultado del desempeño puede obtenerse por puntaje o porcentaje. En

este caso se decidió presentar cuatro niveles de desempeño (deficiente, regular, bueno y excelente). La forma de

obtener el desempeño final es dividiendo el número de indicadores entre el número de rangos, en este ejemplo

10/4= 2.5, es decir si la suma de indicadores está entre 0 y 2.5 el desempeño deberá tomarse como deficiente, de

2.5 a 5 se tomará como un desempeño regular, de 5 a 7.5 el desempeño será bueno, y de 7.5 a 10 el desempeño será

valorado como excelente. Cabe resaltar que en nuestro caso sólo podemos obtener números enteros en nuestra suma

de indicadores, por lo que tendrán que acordar un criterio de redondeo. En un ejemplo hipotético, una pareja de

alumnos presentó 8 de los 10 indicadores, por lo cual su desempeño se clasificó como excelente.



A continuación te presentamos una serie de ejemplos con distintos diseños y tópicos a evaluar que te ayudarán como muestra para desarrollar tus propias listas.

Ejemplo de lista de cotejo para evaluar una investigación

Indicadores Hecho No realizado

Contiene la información más importante del tópico tratado

Establece el tipo de investigación del cual se trata

Contiene la información solicitada

Contiene nombre

Contiene un pequeño resumen

Contiene una introducción

Contiene tratamiento del problema

Contiene conclusiones

Las fuentes de consulta son actualizadas y diversas

Utiliza adecuadamente tecnicismos

Utiliza una redacción clara y sencilla, y en sus propias palabras

Lista de cotejo para evaluar un ensayo

Instrucciones: Marcar con una X, en cada espacio en donde se presente el atributo.

INDICADORES

MARCA CON UNA X SI EL CUESTIONARIO TIENE LOS SIGUIENTES ELEMENTOS

1.- Cuenta con introducción, desarrollo y cierre

2.- Relaciona la información con hechos relevantes y pertinentes

3.- Expone y argumenta ideas propias

4.- Realiza un análisis comparativo sobre la información de distintas fuentes

6.- Presenta las ideas o líneas argumentales de manera coherente

7.- Utiliza adecuadamente tecnicismos

8.- Utiliza una redacción clara y sencilla, así como sus propias palabras

9.- Menciona autores relacionados con el tópico, así como las fuentes de consulta



Rúbrica2

“Las rúbricas son instrumentos que permiten describir el grado de desempeño que muestra una persona en el desarrollo de una actividad o problema. Una rúbrica se presenta como una matriz de doble entrada que contiene indicadores de desempeño y sus correspondientes niveles de logro. A primera vista podríamos decir que es una lista de cotejo, sin embargo, la diferencia radica en que se describen los niveles de desempeños. Los niveles de desempeño son un continuo; desde el principiante hasta el experto son contemplados en esta forma de evaluación. Asimismo, el número de niveles de desempeño (columnas) pueden cambiar dependiendo de tu criterio y de los demás, existen rúbricas de 3, 4, 5, o más niveles de desempeños”.

A continuación te mostramos algunos ejemplos de rúbrica:

Rúbrica para evaluar un folleto3

Novato (1) En desarrollo(2) Experto (3)

Contenido

El folleto muestra algunos aspectos

relacionados con los contenidos.

El folleto expresa los contenidos propios de lo

expuesto.

En el folleto muestra con claridad el dominio de los contenidos propios de lo

expuesto.

Argumentación

En el folleto se presentan argumentos

retomados de otros autores, sólo como una

cita.

En el folleto contiene argumentos relacionados

con el tópico.

En el folleto se expresan argumentos propios que

demuestran un dominio de los contenidos.

Presentación del material gráfico

El folleto es poco creativo, la propuesta

representa gráficamente la intención o mensaje.

El folleto representa gráficamente la intención

o mensaje de manera clara.

El folleto se presenta de manera creativa, innovadora, y representa con claridad la

intención o mensaje.

2 Lineamientos de evaluación del aprendizaje, p. 62. En http://www.dgb.sep.gob.mx/portada/lineamientos_evaluacion_aprendi-

zaje_082009.pdf (Consultado el 09/07/2012) (Cursivas nuestras).3 Basado en el original. RÚBRICAS DE LOS PRODUCTOS: (ACTIVIDAD 7) “ME ORGANIZO, COMUNICO E INFORMO”.http://www.cneq.unam.mx/programas/actuales/especial_maest/1_uas/portafolio/04_herbolaria/documents/RUBRICASDELAACTIV7.pdf (Consultado el 09/07/2012)



Rúbrica de exposición oral4

Aspectos que se evalúan Correcto (1) Bien (2) Excelente (3)

Preparación Tiene que hacer algunas rectificaciones, de tanto en tanto parece dudar

Exposición fluida, domina el tema,

aunque en ocasiones duda y comete errores

Se nota un buen dominio del tema, no

comete errores, no duda

Interés Le cuesta conseguir o

mantener el interés del público

Interesa bastante en principio pero se hace

un poco monótono

Atrae la atención del público y mantiene el interés durante toda la

exposición

La vozCuesta entender algunos

fragmentosVoz clara, buena

vocalización

Voz clara, buena vocalización,

entonación adecuada, matizada

Tiempo

Excesivamente largo o insuficiente para

desarrollar correctamente el tema

Tiempo ajustado al previsto, pero con un

final precipitado o alargado por falta de control del tiempo

Tiempo ajustado al previsto, con un final que retoma las ideas

principales y redondea la exposición

SoporteSoporte visual adecuado

(murales, carteles,...)

Soportes visuales adecuados e

interesantes (murales, carteles,...)

La exposición se acompaña de soportes visuales especialmente atractivos y de mucha

calidad (murales, carteles,...)

Trabajo colaborativo

Sólo participan algunos miembros del equipo

Cada uno de los miembros del equipo participa, aunque las intervenciones son de

distinta relevancia

Cada integrante mantiene el mismo

nivel de participación, y muestran comunicación

La forma de obtener un valor numérico del desempeño final para una rúbrica sigue la misma lógica que para la lista de cotejo. Tomando como ejemplo la rúbrica de exposición oral, el valor máximo que puede obtener una presentación es 13, ya que son seis categorías y en cada una el máximo valor ese de tres. De la misma forma el mínimo es de cinco. Por lo tanto, alumnas y alumnos que sean evaluados con esta rúbrica obtendrán valores entre cinco y quince.

4 Basado en el original. RÚBRICAS DE LOS PRODUCTOS: (ACTIVIDAD 7) “ME ORGANIZO, COMUNICO E INFORMO”.http://www.cneq.unam.mx/programas/actuales/especial_maest/1_uas/portafolio/04_herbolaria/documents/RUBRICASDELAACTIV7.pdf (Consultado el 09/07/2012)



Rúbrica de exposición

NIVEL IINSUFICIENTE

(0-4)

NIVEL IISUFICIENTE

(5-6)

NIVEL IIISATISFACTORIO

(7-8)

NIVEL IVSOBRESALIENTE

(9-10)

Intr

odu

cció

n

Plantea algunas ideas en relación con el objetivo y la organización

del trabajo

Plantea brevemente el objetivo y la

organización del trabajo

Capta la atención del lector

Expone claramente el objetivo y la

organización del trabajo

Capta la atención inmediatamente del

lector

Expone claramente el objetivo y la organización

del trabajo

Capta la atención inmediatamente del

lector con una narrativa que no deja duda de sus

argumentos

Des

arro

llo Menciona

tópicos a tratar sin

argumentación

Realiza un procesoargumentativo de

susideas

Realiza un procesoargumentativo de sus

ideasFundamenta la idea

principal del documento

Realiza un proceso argumentativo de sus ideas

Fundamenta la idea principal del documento

Existe congruencia y coherencia en todos sus argumentos con base en información y no sólo

opiniones

Con

clu

sión Efectúa cierre

sin comentario final

Efectúa cierre con un comentario

final breve.

Realiza el cierre y unaconclusión sobre la

importancia de tomardecisiones ante

situacionesproblema sustentadas

Realiza el cierre y una conclusión lógica de

todos sus argumentos que demuestra una opinión

articulada y sólida con base en evidencias



Rúbrica para evaluar la resolución de los problemas

Escala de valoración ( estimación ): Nulo = 0% Deficiente = 60% Aceptable = 80% Satisfactorio = 100%

No.

INDICADOR

ESTI

MAC

IÓN

EJECUCIÓN

OBS

ERVA

CIÓ

N

PONDERACIÓN CALIFICACIÓN

1. Comprende el problema y lo transforma en un proceso que involucra los elementos a tratar.

2. Identifica correctamente la relación entre el contexto y el concepto.

3. Emplea adecuadamente las fórmulas.

4. Muestra las operaciones realizadas, y éstas tienen coherencia con el problema

5. Resuelve correctamente el problema planteado proporcionando la respuesta al problema y contextualizándola a la situación presentada más allá del proceso matemático.

CALIFICACIÓN DE ESTA EVALUACIÓN:

REGISTRO ANECDÓTICO

Es una descripción acumulativa de ejemplos observados por los profesores. Proporciona un conjunto de hechos evidentes relacionados con hábitos, ideas y personalidad de las alumnas y los alumnos.

REGISTRO ANECDÓTICO

ALUMNO (A): FECHA: LUGAR OBSERVADO: ACONTECIMIENTO: EXPLICACIÓN: OBSERVACIÓN:



Guía de observación

La guía de observación es un instrumento que recolecta información, y es muy parecido a la lista de cotejo, sin embargo la guía da mayor información sobre el proceso de la actividad y no sólo de los desempeños finales.

GUÍA DE OBSERVACIÓNPARTICIPACIÓN

GRADO _____________________ LUGAR _______________________ FECHA____________ OBSERVADOR(A) ________________________ DURACIÓN_______

Marque si se presentan los siguientes indicadores SI NOEl desarrollo de la clase sigue los contenidos revisadosTodos los alumnos hacen la misma tarea Varios alumnos y/o alumnas se quedan sin participar en las actividades de la clase Los participantes tienen contacto cara a caraLa clase es continuamente interrumpida por motivos ajenos al tema La clase termina sin asignación de tareas a los participantes El grupo tiene materiales suficientes para llevar a cabo las actividades

El grupo propone reglas para la participación comportamiento en clase

Los participantes se mantienen motivados

La clase, en general, es pasiva La clase finaliza sin hacer una evaluación de lo aprendido

PORTAFOLIOS DE EVIDENCIAS

El portafolios de evidencias es un instrumento de evaluación que permite recolectar productos elaborados por ti durante todo el bloque. Incluye todas las actividades solicitadas que desarrolles en el salón de clase o fuera de él y que arrojen una evidencia; es decir, a lo largo del bloque deberás guardar los trabajos escritos, cuadros, gráficas, cuestionarios, notas, glosarios, entre otros.

Secretaría de Educación PúblicaSubsecretaría de Educación Media Superior

Dirección General del Bachillerato

Documents

Calculo Integral-VI EMSAD