MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS

Para la solución de los problemas de ingeniería y de la física matemática

Para los problemas de geometrías complicadas, cargas, y propiedades de los materiales, en general, no es posible obtener soluciones matemática analítica.

Proceso de modelización un cuerpo para dividirlo en un sistema equivalente de pequeños cuerpos o unidades (elementos finitos) interconectados en los puntos comunes a dos o más elementos (puntos nodales o nodos)se formulan las ecuaciones para cada elemento finito y combinarlos para obtener la solución del conjunto

1. BREVE RESEÑA HISTÓRICA

Década de 1940 en el campo de la ingeniería estructural, se utilizaba una red de línea (unidimensional) elementos (barras y vigas) para la solución de las tensiones en sólidos.

En 1947 desarrolló la flexibilidad o el método de la fuerza, y en 1953 sugiere otro método (el método de desplazamiento o rigidez) podría ser una alternativa prometedora para su uso en el análisis de estructuras aeronaves

En 1954 se desarrolló métodos matriciales de análisis estructural utilizando los principios de la energía.

La frase elementos finitos fue presentado por Clough en 1960, cuando ambos elementos triangulares y rectangulares Se utilizaron para el análisis de tensiones en el plano.

En 1961Extensión del método de elementos finitos en tres dimensiones los problemas con el desarrollo de una matriz de rigidez tetraédrica

Mientras que los problemas de pandeo fueron tratados en 1963. Y se extendió el método a problemas visco-elasticidad en 1968

2. LA INTRODUCCIÓN A LA ANOTACIÓN DE LA MATRIZ

El caso más general de una matriz rectangular conocida se indicará por el uso de la anotación de los corchetes [ ].

Por eemplo, el elemento y rigidez de la estructura global matrices k y K, respectivamente, desarrollado a lo largo del texto para el elemento de varios tipos se representan por matrices cuadradas dado como.

En caso de que, en teoría estructural, los elementos kij y Kij son a menudo se denomina coeficientes influencia de rigidez.

El nodal global las fuerzas y el nodal global desplazamientos están relacionados a través del uso de la matriz de rigidez por:

3. PASOS GENERALES DEL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOSNormalmente para el problema de análisis de esfuerzos estructural, el ingeniero procura determinar desplazamientos y esfuerzos en toda la estructura, que está en el equilibrio y es sujetada a cargas aplicadas. Para muchas estructuras, es difícil de determinar la distribución de deformación que usa métodos convencionales, y así el método de elemento finito necesariamente es usado

Hay dos enfoques generales directas tradicionalmente asociadas con el método de elementos finitos y su aplicación a los problemas de la mecánica estructural

Un enfoque, denominado la fuerza, o flexibilidad, método, utiliza fuerzas internas como las incógnitas del problema.

El segundo acercamiento, llamado el desplazamiento, o la rigidez, el método, asumen los desplazamientos de los nodos como la incógnita del problema

Otro principio variacional utiliza a menudo para derivar las ecuaciones aplicables es el principio del trabajo virtual. Este principio se aplica más generalmente a los materiales que se comportan de una manera lineal-elástica, así como aquellos que se comportan de una manera no lineal

PASO 01DISCRETIZAR Y SELECCIONAR LOS TIPOS DE ELEMENTOS

Consiste en dividir el cuerpo en un sistema equivalente de elementos finitos con nodos asociados y elección del tipo más adecuado de elemento de modelo más estrechamente el comportamiento físico real.

Los elementos deben ser lo suficientemente pequeño para dar resultados utilizables y todavía lo suficientemente grande como para reducir esfuerzo computacional

La elección de los elementos que se utilizan en un análisis de elementos finitos depende de la estructura física del cuerpo en las actuales condiciones de carga y de que tan cerca de el comportamiento real del analista quiere los resultados a ser.

El método de elementos finitos implica el modelado de la estructura utilizando pequeños elementos interconectados llamados elementos finitos. Una función de desplazamiento está asociado con cada elemento finito. Cada elemento de interconexión está vinculada, directa o indirectamente.

Por presión/esfuerzo las propiedades de los materiales de la estructura, se puede determinar el comportamiento de un nodo dado en términos de las propiedades de cada elemento en la estructura. El conjunto total de ecuaciones que describen el comportamiento de cada nodo resultados en una serie de ecuaciones algebraicas mejor expresada en notación matricial.

LOS ELEMENTOS QUE SE EMPLEAN DE FORMA HABITUAL EN LA PRÁCTICA DE LA MAYORÍA DE LOS CUALES SON CONSIDERADOS SON:

Elementos simples bidimensionales con nodos de esquina (normalmente se utiliza

para representar tensión plana / tensión) y de orden superior de dos dimensiones elementos con nodos intermedios a lo largo de los lados.

Elementos tridimensionales simples (normalmente utilizados para representar el estado de tensión tridimensional) y elementos tridimensionales de orden superior con nodos intermedios a lo largo de los bordes

PASO 02ELEGIR UNA FUNCIÓN DE DESPLAZAMIENTO

Elegir una función de desplazamiento dentro de cada elemento. La función se define dentro del elemento utilizando los valores nodales del elemento.

Polinomios lineales, cuadráticas y cúbicas son funciones de uso frecuente debido a que son fáciles de trabajar en la formulación de elementos finitos. Sin embargo, las series trigonométricas también se puede utilizar.

Las funciones se expresan en términos de las incógnitas nodales (en el problema de dos dimensiones, en tema de una componente x y para y). La misma función general de desplazamiento puede ser utilizado repetidamente para cada elemento.

PASO 03DEFINIR LAS RELACIONES TENSIÓN / DESPLAZAMIENTO Y LA TENSIÓN / DEFORMACIÓN

Tensión / desplazamiento y de esfuerzo / deformación relaciones son necesarias para derivar las ecuaciones para cada elemento finitoAdemás, las tensiones deben estar relacionadas con las tensiones a través de la tensión / deformación de la ley generalmente se llama la ley constitutiva.La capacidad de definir el material comportamiento con precisión es más importante para obtener resultados aceptables. El más simple de tensión / deformación de las leyes, la ley de Hooke, que se utiliza a menudo en el análisis de tensión, está dada por:

PASO 04MÉTODOS DE TRABAJO O ENERGÍA

Para desarrollar la matriz de rigidez y las ecuaciones para elementos de dos, y tres dimensiones, es mucho más fácil de aplicar un método de trabajo o energía. El principio de trabajo virtual (mediante desplazamientos virtuales), el principio de mínima energía potencial, y el teorema de Castigliano son métodos utilizados frecuentemente para el propósito de derivación de las ecuaciones de los elementos.

El principio del trabajo virtual se aplica a cualquier comportamiento del material, mientras que el principio de mínima energía potencial y el teorema de Castigliano son aplicables únicamente a los materiales elásticos

PASO 05ENSAMBLAR LAS ECUACIONES ELEMENTO PARA OBTENER LAS ECUACIONES GLOBALES O TOTAL E INTRODUCIR CONDICIONES DE CONTORNO

En este paso los elementos ecuaciones individuales de equilibrio nodales generadas en el paso 4 se ensamblan en las ecuaciones de equilibrio globales nodales.

Otro método más directo de superposición (llamado el método de la rigidez directa), cuya base es nodal equilibrio de fuerzas, se puede utilizar para obtener las ecuaciones globales para toda la estructura

PASO 06RESUELVE PARA LOS GRADOS DESCONOCIDOS DE LA LIBERTAD (O DESPLAZAMIENTOS GENERALIZADOS)

La ecuación (1.4.6) modificada para tener en cuenta las condiciones de contorno:

Donde “n” = número total de grados de libertad nodales desconocidos de una estructura.

Estas ecuaciones se pueden resolver para los ds mediante el uso dos

Método de eliminación Método iterativo

ds = son las incógnitas primarias, ya que son las primeras cantidades determinadas utilizando la rigidez (o desplazamiento) del método de elementos finitos.

PASO 07RESOLVER PARA ELEMENTOS DE TENSIÓN Y ESFUERZOS

Para el problema del análisis estructural de tensión, con importantes cantidades secundarias de tensión y el esfuerzos se puede obtener debido a:

Puede ser expresado directamente en términos de los desplazamientos determinados

en el paso 6. Relaciones típicas entre la tensión y el desplazamiento.

Entre el esfuerzo y la tensión, tales como las ecuaciones. (1.4.1) y (1.4.1) puede ser utilizado para tensión unidimensional dada en el paso 3.

PASO 08INTERPRETAR LOS RESULTADOS

4. APLICACIONES DEL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS

El método de elementos finitos puede ser utilizado para analizar tanto los problemas estructurales y no estructurales:

PROBLEMAS ESTRUCTURALES

PROBLEMAS NO ESTRUCTURALES

Incluyen típicamente el análisis de la columna vertebral humana, cráneo, articulaciones de la cadera, la mandíbula / goma de implantes de dientes, el corazón y los ojos.

Incluyen típicamente el análisis de la columna vertebral humana, cráneo, articulaciones de la cadera, la mandíbula / goma de implantes de dientes, el corazón y los ojos.

Discretización de una torre de control del ferrocarril (con 28 nodos , 48 elementos de viga) con 6 grados de libertad típicos mostrados en el nodo).

El propósito de este análisis fue para localizar áreas de alta concentración de tensiones en el extremo del vástago.

Debido a las condiciones de carga a las que se somete la estructura de la torre, se ha utilizado un modelo tridimensional.

El método de los elementos finitos utilizado para esta estructura permite que diseñador/analista rápidamente obtenga desplazamientos y tensiones en la torre para los casos típicos de carga, como es requerido por los códigos de diseño.

Muestra el modelo discretizado para la determinación de los desplazamientos y las tensiones en una alcantarilla subterránea sometida a una carga de tierra de

choque de una explosión de una bomba (incluye un total de 369 nodos, 40 barras unidimensional o elementos barra utilizados para modelar el refuerzo de acero en la alcantarilla, y 333 deformación plana bidimensional elementos triangulares y rectangular utilizados para modelar el suelo circundante y alcantarilla de hormigón

Muestra una sección de chimenea que es de cuatro alturas forman alto (o un total de 32 pies de altura). En esta ilustración, los 584 elementos de viga se utiliza para modelar los refuerzos verticales y horizontales que forman el encofrado, y 252

elementos de placa plana se utiliza para modelar el interior de madera y la placa de hormigón.

Debido al patrón de carga irregular sobre la estructura, un modelo tridimensional era necesario.Los desplazamientos y las tensiones en el hormigón eran la principal preocupación en este problema.

Modelo de una matriz de acero de alta resistencia (240 elementos axisimétricas) que se utiliza la industria de película de plástico.

La geometría irregular y asociados con concentraciones de tensión potencial necesarias utilizan el método de elementos finitos para obtener una solución razonable. Aquí se utilizaron 240 elementos axisimétricos de modelo tridimensional.

Ilustra un Método de elementos finitos para una distribución bidimensional de temperatura en la tierra es decir la transferencia de calor, usado para determinar la distribución de la temperatura en la tierra sometida a una fuente de temperatura de calor a una tubería enterrada de transporte de un gas caliente.

Modelo de elementos finitos de un cubo 710G con 169.595 elementos y 185.026 nodos empleados (78.566 elementos cuadriláteros lineales incluyendo de la cáscara fina para el cubo y el acoplador, 83.104 elementos lineares sólidos del ladrillo para modelar los patrones y 212 elementos de la viga para modelar los cilindros del brazo de la elevación, y la guía de enlace.

5. VENTAJAS DEL MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS

1. Modelar una forma irregular con bastante facilidad.2. Manejar las condiciones generales de carga sin dificultad3. Modelo cuerpos compuestos por varios materiales diferentes porque los

elementos iguales son evaluados individualmente4. Maneje un número ilimitado y tipos de condiciones de contorno5. Variar el tamaño de los elementos para hacer posible el uso de elementos

pequeños donde sea necesario6. Modifica los elementos finitos relativamente fácil y barato7. Incluye efectos dinámicos8. Maneja el comportamiento no lineal existente con grandes deformaciones y

materiales no lineales

CALCULO DE LA RIGIDEZ EN COLUMNAS

En ingeniería, la rigidez es la capacidad de un elemento estructural para soportar esfuerzos sin adquirir grandes deformaciones. Los coeficientes de rigidez son magnitudes físicas que cuantifican la rigidez de un elemento resistente bajo diversas configuraciones de carga. Normalmente las rigideces se calculan como la razón entre una fuerza aplicada y el desplazamiento obtenido por la aplicación de esa fuerza. Estos confincitos dependen de tres cosas. La sección transversal, cundo más gruesa sea la sección más fuerza será necesaria para deformarla. El material del que está fabricado el elemento, por lo tanto el módulo de Young. La longitud del elemento. La expresión general de rigidez es:

Hay varias componentes de rigidez (axial, flexional y etc.), todas estas rigideces intervienen en una matriz de rigidez elemental que representa el

comportamiento elástico dentro de una estructura. Existen varios métodos para calcular la matriz de la rigidez, uno de estos es el MEF, y para calcular la matriz de rigidez por MEF, los instrumentos principales son las funciones de forma. Después de calcular las funcionas de formas (que hemos explicado en capítulos anteriores), el siguiente paso será de determinación de matriz B. Esta matriz B relaciona las deformaciones de los nodos del elemento e con las deformaciones unitarias en un punto interior cualquiera del elemento. Por lo tanto B representa el campo de deformaciones unitarias que se supone existe en el interior del elemento finito, como consecuencia de la hipótesis de interpolación de deformaciones efectuada.Esta expresión representa de siguiente manera:

Por lo tanto, las deformaciones unitarias son matriz B por el vector de deformaciones de nodos.

La matriz B de un elemento tridimensional será de siguiente manera:

Una vez que han quedado establecidas las expresiones que relacionan losdesplazamientos y las deformaciones unitarias, en función de los desplazamientos delos nodos, se está ya en condiciones de calcular las ecuaciones de equilibrio de un elemento finito. Si se considera un elemento finito cualquiera, las fuerzas que actúansobre él, en el caso más general, son las siguientes:Fuerzas exteriores de volumen aplicadas en el interior del elemento qv (Figura 10), queson en general variables dentro del elemento, y tienen tantas componentes comodesplazamientos haya en cada punto.Fuerzas exteriores de superficie aplicadas en el contorno libre del elemento qs (Figura10), que son en general variables a lo largo del contorno, y tienen tantas componentescomo desplazamientos tenga cada punto del contorno. Al contorno sobre el que actúanlas fuerzas de superficie se le denomina s.Fuerzas interiores qc (Figura 10), aplicadas en la superficie del contorno de unión delelemento con los elementos vecinos, que son desconocidas. A dicho contorno de uniónse le denomina c.Fuerzas exteriores puntuales aplicadas sobre los nodos del elemento PN (Figura 10).

El trabajo virtual que producen estas fuerzas es:

Donde δu es una variación virtual del campo de deformaciones u y δδe es la variacióncorrespondiente a los grados de libertad de los nodos. Durante estas variaciones, lasfuerzas exteriores se mantienen constantes. Aplicando el principio de los trabajosvirtuales se obtiene que para que haya equilibrio, el trabajo virtual de las fuerzas debeser igual a la variación de la energía elástica U acumulada en el elemento, para cualquierδu:

Sustituyendo en la Ecuación 5.6 tenemos siguiente expresión:

De esta de hipótesis de interpolación sabemos que la variación del campo de deformación es:

Y la variación de las deformaciones unitarias se relaciona con la variación de lasdeformaciones nodales a través de la matriz B:

Sustituyendo las variaciones δu y δδe en la expresión (2.18) se obtiene la Ecuación de equilibrio aproximada mediante la hipótesis de interpolación de deformaciones:

De la matriz elástica, que para un material elástico lineal es constante y depende de sólo dos parámetros: el módulo de elasticidad E y el módulo de Poisson. Ahora que sabemos todos los conceptos que hacen falta, podemos calcular la matriz de rigidez de la columna sometido a carga axial, como habíamos dicho antes que para resolver el caso de una columna con carga axial aplicaremos principio de superposición. El elemento viga y barra junta forman el caso viga con carga axial. Por lo tanto, calcularemos la matriz de rigidez del elemento barra y del elemento viga. Empezamos con elemento barra.