UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA P.A. 2009II FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA Ma. 15/12/2009

EXAMEN FINAL CALCULO VECTORIAL

PROBLEMA 1

Use un cambio de variables para evaluar la siguiente integral

∫∫ −+D

xy dAeyx 2)( , en donde D es el paralelogramo de vértices (-1,1),

(0, 0), (2,1), y (1,2).

Solución

3,3,

3,0,2

==+=

==−=

vvyxv

uuxyu

31

),(),(,3

),(),(

−=∂∂

−=∂∂

vuyx

yxvu

( )123

31)( 3

3

0

3

0

2 −=−=+ ∫ ∫∫∫ − edvduevdAeyx u

D

xy

PROBLEMA 2

Evalúe la integral ( )dyyxdxxy

C

221 lntan ++

∫ − , donde C es la frontera de

la región definida por las desigualdades en coordenadas polares 1≤ r ≤ 4; 0≤ θ ≤ π/2.

Solución

( )221 ln),(,tan),( yxyxQxyyxP +=

= −

− = +

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( ) dAyx

xdyyxdxxy

RC∫∫∫ +

=++

−

22221 lntan

( ) ∫ ∫∫ =++

−

2/

0

4

1

221 coslntanπ

θθ ddrdyyxdxxy

C

( ) 3lntan 221 =++

∫ − dyyxdx

xy

C

PROBLEMA 3

Calcule el trabajo realizado por el campo de fuerzas

kjiF )()()(),,( yzxyzxzyx −+−+−=

al mover una partícula a lo largo de la curva C descrita por.

( ) 21;,,)( 2 ≤≤−= tttttr

Solución

rot F = (-1, -1, -1); F es un campo vectorial no conservativo.

F(r(t)) = (0, - t2 - t, t + t2 )

( )dttttdttt ++=′⋅ 23 32)())(( rrF

( )∫∫∫ ++=′⋅=⋅=2

1

232

1

32)())(( dttttdtttdWC

rrFrF

W = 16.

PROBLEMA 4

Evalúe la integral ( )∫ ++−C

dzxdyzdxy 2 donde C es el triángulo con

vértices (1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 3).

Solución

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rot F = (-1, -1, 2y); F es un campo vectorial no conservativo, y la curva C es cerrada.

usamos el Teorema de Stokes

( ) ∫∫∫ =++−SC

dSrotdzxdyzdxy NF .2

donde S es el plano 3x + 3y + z – 3 = 0 que pasa por los vértices del triángulo.

( ) ∫∫ ∫∫∫ −==++−S RC

dAydSrotdzxdyzdxy )62(.2 NF

( )38)62(

1

0

1

0

2 −=−=++− ∫ ∫∫− y

C

dydxydzxdyzdxy

PROBLEMA 5

Calcular el flujo del campo vectorial

kjiF )(tan)cos())((),,( 2 yxzxxzysenzyx ++++−+=

sobre la superficie S que es la frontera del sólido Q acotado por el elipsoide

( )1

16941 222

=++− zyx

Solución

Teorema de la divergencia

div F = -2x

Coordenadas esféricas modificadas

φρθφρθφρ

cos43

cos21

===−

zsenseny

senx

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dVdivdSQS

FNF ∫∫∫∫∫ =⋅

dVxdSQS∫∫∫∫∫ −=⋅ )2(NF

( ) θφρφρθφρπ π

dddsensendSS

22

0 0

1

0

cos2148 ∫ ∫ ∫∫∫ +−=⋅ NF

π64−=⋅∫∫S

dSNF

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