Universidad Fermín Toro

Departamento de formación general

Escuela de ingeniería

Cabudare

Estructuras Discretas-Unidad 1

Nombre:

Camilo Pérez

CI: 23.495.986

1)Definir, previa revisión Bibliográfica una proposición.

Una proposición es un enunciado cuyo contenido está sujeto a ser calificado como "verdadero" o "falso", pero no ambas cosas a la vez.

Toda proposición tiene una y solamente una alternativa.

1:

Verdadero

0:

Falso

Falso llamaremos valor logico de una proposición, el cual denotaremos por VL, al valor 1, si la proposición es verdadera; y 0 si es falsa. Como ejemplo de las proposiciones anteriores, podemos decir que VL(P)=1, VL(q)=0.

2. Identificar los conectivos lógicos de una proposición

La Negación

 

La Conjunción La disyunción inclusiva

La disyunción exclusiva

El condicional

Bicondicional

3) Identificar las distintas formas proposicionales.

Tautologica o tautologia

Definición:

Es aquella proposición molecular que es verdadera (es decir, todos losvalores de verdad que aparecen en su tabla de verdad son 1) independientemente delos valores de sus variables.

Ejemplo:

Probar que P Ú ~ P es una tautología

P Ú ~ P

1 1 0

0 1 1

Contradicción

Definición:

Es aquella proposición molecular que siempre es falsa (es decir cuando losvalores de verdad que aparecen en su tabla de verdad son todos 0)independientemente de los valores de sus variables proposicionales que la forman. Porejemplo, la proposición molecular del ejemplo siguiente es una contradicción, p Ù ~ p,para chequearlo recurrimos al método de las tablas de verdad.

Ejemplo:

Probar que p Ù ~ p es una contradicción

P Ú ~ P

1 0 0

0 0 1

4) Conoce las leyes del algebra proposicional

Ley de Idempotencia

Ley de identidad.

P V 1 1

P V 0 P

P Λ 1 P

P Λ 0 0

Ley conmutativa.

P Λ Q Q Λ P

P V Q Q V P

Ley Asociativa

P Λ (Q Λ R) (P Λ Q) Λ R

P V (Q V R) (P V Q) V R

Ley Distributiva

P Λ (Q V R) (P Λ Q) V (P Λ R)

P V (Q Λ R) (P V Q) Λ (P V R)

Ley de doble negación

¬ (¬P) P

Ley del tercero excluido

P V ¬P 1

Ley de la contradicción

P Λ ¬P 0

Ley de D’ Morgan

¬ (P Λ Q) ¬ P V ¬ Q

¬ (P V Q) ¬ P V ¬ Q

Ley de absorción

P Λ (P V Q) P

P V (P Λ Q) P

Otras Equivalencias Notables

a. p® q º~ p Ú q (Ley del condicional)

b. p« q º (p® q) Ù (q® p) (Ley del bicondicional)

c. p Ú q º( pÙ~ q ) Ú ( q Ù~ p ) (Ley de disyunción exclusiva)

d. p® q º~q®~ p (Ley del contrarrecíproco)

e. p Ù q º~( ~ p Ú~ q )

f. ( (p Ú q ) ® r ) º ( p ® r ) Ù (q ® r ) (Ley de demostración por casos)

g. (p® q) º (p Ù~ q® F) (Ley de reducción al absurdo)

5) Aplicar algunos métodos de demostración en Matemática e Ingeniería.

Método directo

En matemática

Si n es un par entero. Demostrar, en forma directa el siguiente teorema

Si n es par, entonces n2 es par

n es par→ n2 es par

Demostración

1. n es par R: hipótesis

2. n = 2k, para algún entero k R: Definición de numero par

3. n2 = (2k2) R:: de 2 elevado al cuadrado

4. n2= 4k2 R: : de 3 potencia de producto

5. n2= 2(4k2 ) R: de 4, por descomposición de factores

6. n2 = 2k1 R: de 5, haciendo k1 = 2k2

7. n2 es par R: de 6, definición de numero par

Método indirecto

Este se basa en 2 métodos, método del contrarreciproco y método de reducción al absurdo

Método del contrarreciproco

Sea un numero entero. Demostrar, mediante el método del contrarreciproco, el siguiente teorema:

Si n2 es par, entonces n es par.

Si n2 es par ® n es par

Solución

El contrarreciproco del teorema es:

n no es par ® n2 no es par

n es impar ® n2 es impar

Probemos esto último

1. n es impar R: hipótesis

2. n = 2k + 1, para algún entero k R: definición de un numero entero impar.

3. n = (2k+1)2 R: de 2, elevado al cuadrado

4. n2 = 4k2 + 2(2k)(1) + 1 R: de 3, cuadrado de un binomio

5. n2 = 2 (2k2 + 2k) +1 R: de 4, factorizando

6. n2 = 2k1 +1 R: de 4, haciendo k1 = 2k2 + 2k

7. n2 es impar R: de 6, pero definición de entero impar

Método de reducción al absurdo

Debemos probar la validez del razonamiento

Raíz de 2 es real Ù raiz de 2 no es irracional → 0 (contradicción)

Demostración

1. raíz de 2 es real R: hipótesis

2. raíz de 2 no es irracional R: hipótesis

3. raíz de 2 es racional R: de 1 y 2

4. raíz de 2 = n/m, donde a y b son enteros i y m es diferente de (cero) R:definición de racional

5. n y m son primos entre si R: simplificaion de la fracción n/m

6. raíz de 2 m = n R : de 5 pasando b a multiplicar

7. 2m2 = n2 R: de 6 elevado al cuadrado

8. N2 es par R: de 7 por definición de par

9. n es par R: por el ejemplo 3

10.n= 2k, para algún entero k R: por definición de par

11.m2= 4k2 R: de 10 elevado al cuadrado

12.m2= 2(2k2) R. de 11 factorizando

13.m2 es numero par R: de 12 por definición de par

14.m es numero par R: de 13 por el ejemplo

15.n y m no son primos entre si R: de 9 y 14, 2 es factor común

16.n y m son y no son primos (contradicción) R: de 5 y 15 por la ley de conjunción

17. raíz de 2 es irracional R: Ley de reducción del absurdo

6) Construir una red de circuitos lógicos de una forma proposicional.