REA: ACSTICA MUSICAL.TTULO: CAMPANAS TUBULARES.SUBTTULO: UN EJEMPLO DE OBJETOS VIBRANTES NO CARACTERIZADOS POR LA ECUACIN CLSICA DE ONDAS.AUTOR: MARTN MONTEIRO. DEPARTAMENTO DE FSICA. INSTITUTO TECNOLGICO SUPERIOR. (UTU-CETP)CONTACTO: fisica@adinet.com.uy(www.fisica-its.co.cc)CONTENIDO: RESUMEN. BREVE INTRODUCCIN HISTRICA. INSTRUMENTOS ARMNICOS E INARMNICOS. LAS CAMPANAS EN LA MSICA. CMO ABORDAR EL ANLISIS DE UNA CAMPANA TUBULAR? ANLISIS DE LA CAMPANA TUBULAR COMO BARRA OSCILANDO TRANSVERSALMENTE. LA BARRA COMO MEDIO DISPERSIVO PARA LAS ONDAS TRANSVERSALES. SOLUCIONES A LA ECUACIN DE MOVIMIENTO. CONDICIONES DE BORDE Y MODOS NORMALES ASOCIADOS. CLCULOS Y MEDIDAS PARA CAMPANAS TUBULARES DE ALUMINIO. CONCLUSIONES. BIBLIOGRAFA.RESUMEN.Enestetrabajoseanalizanlosmodosnormalesdevibracindeuna campana tubular, instrumento musical de la familia de los metalfonos (como elxilfono,eltringulo,elgong,etc.)consistente en untubo metlicovertical librequesehacesonarporpercusin. Apartirde cierto modelo fsico que se discute, se llega a la ecuacin de movimiento del objeto y finalmente se obtienen las frecuencias propias resolviendo el problemasdelascondiciones deborde. Se interpretan estos resultados ypor ltimosecontrasta el modelotericocon medidas realizadas en tubos de aluminio reales. A modo de introduccin contextualizadoraseofreceunavisinhistricaymusical sobrelas campanas tubulares y sus antecesores. Se ver que a diferencia de lo que ocurre con las cuerdas o con las columnas de aire, donde aparecen frecuencias enseriesdenmerosenteros, las campanas presentan sobretonosno armnicos. Como complemento,ypara quienesestn interesados en escuchar los ejemplos musicales que aquse citan, as como las campanas analizadas, se puede acceder al sitio del departamento de fsica del ITS: www.fisica-its.co.cc1Unnuevoestudianteseaproximal maestroZenyle pregunt como poda prepararse para su aprendizaje. "Piensa que soy una campana", explic el maestro. "Dame ungolpesuaveytendrsunpequeosonido. Golpame duro y recibirs un repique fuerte y resonante".BREVE INTRODUCCIN HISTRICA.De oriente a occidente.Lascampanassonobjetosmilenarios, decuya existencia se tiene registro en las ms diversas culturas. Lascampanashansidoutilizadascon fines rituales yreligiosos, comoinstrumentos musicales, y hasta con funciones sociales y domsticas. Los ejemplares ms antiguos se encuentran en el oriente, en India, Egipto, China, etc., con ms de tres milaos de edad. Del siglo V A.C. (aunque se conocen anteriores) datan los juegos ms impresionantes de campanas chinas bitonales. De forma oval en su base, sus constructores lograron instrumentos degranbelleza, degrantamaoyconuna cualidad no imitada:eran capaces de sonar con dos tonos diferentes segn el lugar donde se golpearan.Siglos despus estos diseos van siendo reemplazados gradualmente por formas ms simtricas, similares al panal o al barril, abiertas por debajo y cerradas por arriba, de donde eran sostenidas. Su sonido se obtena golpendolas desde afuera con mazas de madera. Estas variedades todava se construyen hoy en da. Son estosmodelos"monotonales" losprimeros enllegar aEuropa desde el oriente, antes de la edad media. Inicialmente conservan su forma oriental (de barril) y lentamente se van transformando, ensanchndose por debajo, adquiriendo la tradicional forma de las campanas de iglesia. Desde unprincipio,sufinalidad, comoenoriente,esprincipalmenteritual. La Iglesia la adopta y le va a dar su nombre definitivo, y es que segn la leyenda, las primeras campanas se comenzaron a utilizar en la regin de Campana, enItalia. Por aquella pocala institucin catlica utiliza la campana como sistema, ya sea para llamar a sus fieles, para marcar los momentos de oracin, o sealar determinados eventos importantes para suscongregaciones. Al tiemposeleempiezaaprestaratencincomo instrumento musical.Su sonoridad es incorporada en primer lugar a los templos -como ocurri con los rganos de tubos- y es as que todava se conservan iglesias con antiguos juegos de campanas llamados carrillones. 2Estos sonenormes conjuntos accionados por unejecutanteatravs deintrincados mecanismos de cuerdasypalancas. As escomoenoccidenteseejecutanlasprimeraspiezasmusicalesencampanas, aunque no se trata de composiciones destinadas especialmente a estas. En realidad es muy poca la msica quelos compositores lehandedicado aesteinstrumento. Sefrecuentamuypoco-sobretodoen occidente- y esto tiene una explicacin: las campanas poseen frecuencias que no son mltiplos enteros de lafundamental, esdecir, el timbreocualidadsonoraintrnsecadelacampananoesconsonanteenel sentido de la msica occidental.En relacin a la historia de la fsica,es recin en elsiglo XIX que fsicos destacados, comoLordRayleigh, leempezaranadedicar suatencinal problemadel sonidodelas campanas.3INSTRUMENTOS ARMNICOS E INARMNICOS.De las cuerdas a las campanas.Podemos situar en Pitgoras la referencia ms arcaica conocida de lo que hoy denominamos acstica musical, pues segn la tradicin son ly sus discpulos quienes por primera vez vinculan elementos tan dismiles como msica, matemticas, geometra, fsica y hasta psicoacstica. Desde antes de aquella antigedad milenaria, se conoca la propiedad por la cual una misma cuerda es capaz de producir diferentes notas musicales con solo modificar su longitud. Este es el principio rector de instrumentos como la guitarra, el violn, etc., donde elejecutante, con ayuda de trastes o sin ellos, modifica con sus dedos la longitud de la cuerda. Lo que Pitgoras descubri fue que los sonidos agradables producidosporunacuerdaestnenrelacindirecta conlasencillezdelaraznentresuslongitudes. En trminos modernos, cuanto ms simple la relacin entre sus frecuencias, ms agradable al odo resulta el intervalomusical. Sedenominaas alaraznentrefrecuencias. Unadeterminadasucesindestos constituyeunaescalamusical. Heaqu, amododeejemplo, algunosdelosintervalosconsonantesms importantes: octava (2:1), quinta (3:2), cuarta (4:3), tercera mayor (5:4), etc.Las cuerdas, adems, son el paradigma de los denominados "instrumentos con caractersticas musicales" o con timbre compatible con la armona pues poseen una distribucin espectral en la que los sobretonos son mltiplos enteros de la frecuencia fundamental del instrumento, es decir, los sobretonos son armnicos.4Para entender esta ntima conexin entre armona musicaly timbre, la Humanidad tuvo que esperar un largo parntesis de ms de 20 siglos -de Pitgoras a Helmholtz-, para descubrir que esta idea pitagrica de armona musical, no solo explica el agrado por determinados intervalos, sino que explica tambin el agrado por determinados timbres. El fsico alemn Hermann von Helmholtz, uno de los principales impulsores de la acstica musical en el siglo XIX, en su libro "On the sensation of tone as a physiological basis for the theory of music", destacaqueparaqueunsonidoresultenotoriamentemusical, debeposeer unaseriede sobretonos armnicos, o sea, mltiplos enteros de la fundamental.Porsupuestoquelacaractersticasonoraotmbricadeuninstrumentodependenosolodecmose distribuyen sus armnicos, sino tambin de cmo evolucionan stos en el tiempo. Traducido a un lenguaje usual entre compositores, las caractersticas mencionadas son las que hacen al "color" de cada instrumento, y su variedad conforma la "paleta" a disposicin del compositor.Lascampanas, comocasi todoslosidifonos(instrumentosdepercusin), -adiferenciadelascuerdas- poseen frecuencias que no se encuentran en razones de mltiplos enteros. Esto les da una peculiaridad que los sita a medio camino entre los instrumentos de tono definido y los instrumentos de tono indefinido. Si bien las campanas se clasifican como idifonos metlicos (metalfonos) afinados, estrictamente no lo son, pues poseen sobretonos en relacin no simple con su fundamental.Esto produce en el odo sensaciones que pueden ser confusas desde el punto de vista musical. Muchas veces su sonido se separa perceptivamente produciendo sensaciones ambiguas. Esto se debe a la interaccin entre percepcin y algo que va inseparablemente de la mano con todo hecho subjetivo: la cultura. Nosotros estamos formados en una cultura tonal en la que la escala tiene una determinada estructura (relaciones entre intervalos). A esta se asocian determinados timbres que tienen una consonancia interna con esa estructura de escala. As es como la campana, el instrumento que nos ocupa, se sita entre los de afinacin definida y los no afinables. Como ejemplo informativo, entre los instrumentos de tono indefinido, parientes de las campanas, encontramoslosplatillos(extensamenteutilizadosenlamurga, enlabateraderock, enel Jazz, enla orquesta, etc.), el tringulo, el tam-tam, el gong, etc., caracterizados por una riqueza tmbrica tan alta, es decir, con una produccin espectral de tal cantidad de frecuencias que el odo es incapaz de discernir una como su fundamental (semejante al ruido blanco o rosado).En sntesis, las campanas se encuentran fuera del cuadro de instrumentos considerados clsicamente como "musicales", debido a que la mayora de los sobretonos que generan no son armnicos.LAS CAMPANAS EN LA MSICA.De las grandes campanas a las campanas tubulares.Enoccidente, es recin llegandoal siglo XIXque surgecierto inters por eluso de las campanas como instrumento musical.El repertorio musical se ampla, las orquestas se hacen ms grandes, se buscan nuevos sonidos y entre ellos la posibilidad de emular a las grandes campanas sin caer en los carillones fijos y voluminosos. Se busca algo ms prctico, factible para una orquesta y ms simple de transportar. Es as como surgen las campanas tubulares, como unanecesidaddesimularel sonidodelasgrandescampanasde iglesia.Lo queel compositor buscacon las campanas es agregar "color" a sus composiciones, un "color" caracterizado por un poderoso ataque (el momento del golpe) y una gran resonancia (en sentido musical significa una gran evolucin tmbrica a lo largo del tiempo). O simplemente puede querer utilizarlas como recurso para referir a eventos asociados con las campanas religiosas.Mencionamos a continuacin algunos ejemplos: Laobertura"1812", deTchaicovsky, -quecelebrael triunfodelaresistenciarusasobreel ejrcito napolenico-. Sobre el final de esta obra se escuchan, entre grandes golpes de orquesta y sonidos de caones, un"retumbar" decampanasquesimulanel sonidodelasiglesiasdeMoscfestejandola victoria.5 Berlioz recurre a las campanas en su Sinfona Fantstica, en el quinto movimiento "Sueo de una noche de sabbat". Aunque aqu muchas veces se utilizan "campanas" que son placas metlicas rectangulares. Wagner, con un aire ms sublime y con su detallismo caracterstico, incorpora campanas en su ltima pera "Prsifal", con motivo de la entrada de los caballeros al templo del Santo Grial. Se cuentan varias ancdotas en torno a esta bsqueda de campanas. Se dice que Wagner quera reproducir dentro del teatro el sonido de las grandes campanas de iglesia pero sonando a lo lejos y sin opacar el sonido de la orquesta, asunto que resultaba obviamente imposible con las verdaderas campanas en el interior del teatro.Los sustitutos fueron desde tam-tams modificados (que no le conformaron), hasta un piano modificado convarias cuerdas graves sonandoal unsono(quetampocollega conformarle lo suficiente). Hoy en da, aparte de las campanas tubulares, algunos directores recurren directamente a grabaciones en las que se puede controlar la intensidad del sonido sin perjuicio del equilibrio musical. Hacia principios del siglo XX, podemos mencionar la obra "Ionization, para 13 instrumentos de percusin", de Edgar Varese. Y a la msica popular tambin llegaron las campanas. El ejemplo ms destacado, sin lugar a dudas, es el de "TUBULAR BELLS" de Mike Oldfield. Un disco instrumental, del gnero Rock Progresivo, extremadamente exitoso e influyente, editado en el ao 1973. Baste como dato, para tener una idea de su popularidad, que lleg a vender ms de 17 millones de copias.CMO ABORDAR EL ANLISIS DE UNA CAMPANA TUBULAR?De los objetos flexibles tensos a los objetos rgidos.Qu es lo que le da a las campanas su sonido caracterstico?.Para entenderlo mejor, establezcamos un comparativo entre, por una parte, cuerdas y membranas, y por otra parte, barras y placas metlicas. En el caso de la cuerda tensa (presente en violines, violas, bajos, guitarras, arpas, pianos, etc.) es bien sabido que aparecen sobretonos armnicos (es decir, frecuencias que son mltiplos enteros de la fundamental) debido a las condiciones de borde y al hecho de que la cuerda cumple con la ecuacin de onda clsica:derivada segunda respecto de la posicin es proporcionala la derivada segunda respecto deltiempo.Esto es as porque, consideradaenprimeraaproximacin, la fuerzarestauradoraquedalugar alas vibraciones proviene de la tensin. Lo misma ecuacin cumplen las membranas (presentes en los timbales y todo tipo de tambores), aunque en este caso la geometra (1 dimensin en el caso de la cuerda y 2 en el caso de la membrana) nos lleva a una doble derivada segunda o laplaciano bidimensional.Pues bien, la diferencia fundamentalentre cuerdas y barras (o entre membranas y placas),radica en el origen de la fuerza restauradora. Para las barras y placas, la fuerza restauradora no se debe a una tensin aplicada sino a la propia rigidez del material. Esto da como consecuencia (como veremos ms adelante) una ecuacindeondaatpica, dondeahoraladerivadasegundarespectodel tiempoesproporcional ala derivada cuarta respecto de la posicin, que ya no es la ecuacin clsica de onda.flexibles rgidos1-D : cuerda(violn, guitarra, piano, etc.)1-D : barra(campana tubular, xilfono, tringulo, etc.)2-D : membrana(timbal, tambor, etc.)2-D : placa(campana, platillo, gong, etc.)222tzz 222 2tzz Veamos, pues, cmollegamosalaecuacindemovimientoparalacampanatubular. Previamentees pertinente la pregunta cmo analizar este objeto? Una posibilidad sera considerar a la campana tubular como una placa metlica plegada. En esta lnea de pensamiento nos acercamos a la campana como objeto extendido, tal como las campanas de iglesia, o los platillos, cada uno caracterizado por sus condiciones de bordeparticulares. Porotraparte, podemosusufructuarel hechodequeel dimetrodelascampanas tubularesesmuchomenorquesulongitudyenconsecuenciaconsideraralascampanascomobarras 6oscilando transversalmente. Y en este caso, por ltimo por qu solo considerar los modos transversales de oscilacin?Quocurreconlasoscilacioneslongitudinales?Yconlosmodosdetorsin?Sobreestas cuestiones tenemos algunos argumentos que postergamos para la conclusin de este trabajo.Por ahora, nuestro anlisis se limitar nicamente a los modos normales transversales.ANLISIS DE LA CAMPANA TUBULAR COMO BARRA OSCILANDO TRANSVERSALMENTE.De la ecuacin de movimiento a las frecuencias propias.1- Ecuacin de Newton:Consideramos una barra homognea de densidad y seccin S, simtrica respecto deleje longitudinal x. Y elegimos el ejeyen la direccin de las perturbaciones.Paracadatramodelabarra, delongituddx, se cumple la ecuacin de Newton, en particular, para la componente transversal y tenemos:y y NETAa m F _1)Como la masa del tramo es dx S m , la ecuacin de Newton para cada tramo infinitesimal de la barra tiene la forma:dxtyS Fy N 22_ [Newton] (2)Para llegar a la ecuacin de movimiento, nuestra siguiente tarea ser encontrar la componente transversal de la fuerza neta.2- Relacin entre fuerza neta transversal y torque:Para flexionar una barra es necesario aplicar un momento en cada extremo (del tramo que estamos considerando). El momento neto es entonces la suma de ambos:( ) ( ) x M dx x M MN + (3)Diferencia que permite un desarrollo de Taylor de primer orden:( ) ( ) dxxMx M dxxMx M Mx xN

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.|+ (4)Por otra parte, este momento se traduce en una fuerza transversal queactasobrelabarra. Si localculamos respecto del extremo izquierdo del tramo, obtenemos:0 ) ( ) ( + + x F dx dx x F My y N(5)7Igualando el momento neto calculado de ambas formas, llegamos a que en la barra flexada, la fuerza de corte transversal restauradora es igual a la derivada espacial del momento flexor,xMFy[Fuerza cortante] (6)Estamos en condiciones de calcular la fuerza neta transversal sobre el tramo de barra (desarrollo de Taylor de primer orden -mediante- en la fuerza transversal):( ) ( ) ( ) ( ) dxxMdxxFx F dxxFx F x F dx x F Fxyyxyy y y y N22_

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.|+ + (7)As tenemos,dxxMFy N 22_[Fuerza neta transversal como derivada segunda del Momento Restaurador] (8)El siguientepasoennuestroanlisisserencontrar el origendinmicodeestetorqueM, quecomo veremos, est asociado a las fuerzas longitudinales de estiramiento y compresin dentro de la barra.3- Torque o momento de flexin restaurador realizado por la barra:a) Geometra de la barra flexionada:Consideremos el ngulo de torsin, que es aqul ngulo formado entre las secciones extremas, es decir:) ( ) ( x dx x d + (9)En aproximacin de ngulos pequeos ) tg( , que es la derivada primera de la elongacin respecto de x.( ) ( )x dx xxyxyx dx x d + +) ( tg ) ( tg (10)Tomando a la derivada como funcin de x, podemos aproximarla en primer orden por Taylor:dxxyxyxyxx dx x22++(11)con lo que elngulo de flexin de la barra quedaexpresado en trminosdela segundaderivadade la elongacin (lo mismo ocurre al analizar las vibraciones en una cuerda tensa):8dxxyd22 [Curvatura de la Barra] (12)Este resultado no es extrao si se recuerda que la derivada segunda es una medida de la concavidad.b) Momento restaurador:La flexin de la barra implica estiramiento de las lminas exteriores ycompresin de las interiores (con respecto al centro de curvatura). Definimos una coordenada z para designar laposicinrelativadecada lmina respecto de la lnea central. Esta lnea central se corresponde, por definicin, conlalminadelabarra quenoestestiradani comprimida. Cada lmina se estira (ocomprime) una cantidad d z dl . Teniendo en cuenta la ecuacin anterior para la curvatura delabarra,la variacin de longitud de cada lmina es,dxxyz dl22 (13)Cada lmina realiza una fuerza dF. Suponiendo que el material se comporta linealmente -pues estamos bajo hiptesis de pequeas perturbaciones-, se cumple que la fuerza por unidad de superficie realizada por cada lmina es igual al mdulo de Young (Y) por el estiramiento unitario, es decir:ldlYdSz dFx ) ((14)Dado que consideramos pequeas perturbaciones, podemos asumir quedx l . Por su parte, la seccin de cada lmina depende de la forma de la barra, en particular, del ancho de cada lmina: dz z a dS ) (.De este modo, la fuerza realizada por cada lmina es,dz z a zxyY z dFx ) ( ) (22(15)Y el momento realizado por cada lmina es zdF, con lo que integrando en toda la seccin obtenemos el momento neto: dz z a zxyY dz z axyz Y z dF M ) ( ) (222222(16)Es usual definir una constante , asociada a la seccin de la barra,9( )( )dz z adz z a z22(17)Obsrvese que el denominador es el rea de la seccin de la barra (S). Con esta definicin, finalmente, el momento restaurador realizado por la barra es,222xyS Y M [Momento Restaurador] (18)4- Ecuacin de Movimiento:Recapitulando. La ecuacin de Newton nos dice que la fuerza transversal es igual a la masa de cada tramo por su aceleracin transversal:dxtyS Fy N22_ (19)Ya hemos calculado que para la barra flexada, esta fuerza transversales la derivada segunda deltorque respecto de la posicin:dxxMFy N22_ (20)Sustituyendo esta en la anterior se tiene,2222tySxM(21)Por ltimo vimos que este torque restaurador realizado por la barra es proporcional a su curvatura, y que la curvatura es esencialmente la derivada segunda de la elongacin respecto de x:222xyS Y M (22)Derivando dos veces esta expresin y sustituyendo en la anterior, llegamos finalmente a la ecuacin de movimiento que estabamos buscando para las vibraciones transversales de una barra:22442tyxyY (23)O de modo ms claro,442 222xycty [Ecuacin de Movimiento] (24)10Donde Yces la velocidad de las ondas longitudinales pero atencin:no es la velocidad de las ondas transversales. Esta ecuacin nos dice que ante pequeas perturbaciones el comportamiento de la barra es lineal, no obstante lo cual, las ondas transversales son dispersivas, es decir, la velocidad de propagacin de las ondas tansversales en una barra depende de la frecuencia.Observemos que la constante c resume las caractersticas fsicas del material (pues depende de la rigidez y la densidad), mientras que la constante resume las caractersticas geomtricas de la campana (pues depende de la forma de la seccin).LA BARRA COMO MEDIO DISPERSIVO PARA LAS ONDAS TRANSVERSALES.En la ecuacin de onda clsica (lineal y no dispersiva) cualquier funcin de la forma( ) ( ) ct x f t x f t ,es solucin(solucindeD'Alembert), loquesignificaqueel perfil deunaondaopulsosepropagasin deformarse, cualquieraseasuforma. EntrminosdeunanlisisdeFourier, estosedebeaquecada componente monocromtica delpulso se propaga con la misma velocidad c.Es lo que ocurre, (como se sabe, en primer orden de aproximacin) con las ondas transversales en una cuerda e incluso con las ondas longitudinales en una barra. Pero no es esto lo que sucede con las ondas transversales en la barra. Veamos que ocurre si proponemos una solucin de este tipo en la ecuacin de movimiento:( )( )( )( )IV IVIVf f f c f cct x fxt x fct x f ctt x f2 2 2 244222' ' ' ',' ', 't t (25)Y como es obvio, no cualquier funcin es solucin de esta ecuacin diferencial.Demos un paso ms y supongamos una onda monocromtica,( )( ) t kx iAe t x f , ,( )( )( )( ) ' 4 2 2 2444222,,,,K ct x f Kxt x ft x ftt x f 2) ( K c K t [Relacin de Dispersin] (26)La ltima ecuacin es lo que se conoce como relacin de dispersin, que nos brinda informacin importante sobrelapropagacindelas ondastransversalesenlabarra. Enparticular nospermitedeterminar la velocidad de fase y la velocidad de grupo, c K cKvf [Velocidad de fase] (27) c K cKvg2 2 [Velocidad de grupo] (28)Esto deja suficientemente claro, entonces, que la velocidad de propagacin de las ondas depende de la frecuencia, confirmando que las ondas transversales en una barra son dispersivas.SOLUCIONES A LA ECUACIN DE MOVIMIENTO.Nos disponemos a encontrar los modos normales por el mtodo de separacin de variables, asumiendo que la componente temporal es peridica (la parte real de una exponencial compleja), es decir:11( ) ( ) ( )te x t x t x f ) ( ,(29)Ahora derivamos y sustituimos en la ecuacin de movimiento (que es una PDE o ecuacin diferencialen derivadas parciales),IV IVIVxxxxttc cff 2 2 2 2 2 22 ' (30)ConloquehemosreducidolaPDEaunaecuacindiferencial ordinaria(ODE), quenoesotraqueuna versin modificada de laecuacin deHelmholtz oecuacin deondaindependiente deltiempo. Lanica salvedad es que esta es de cuarto orden, sin embargo la tcnica de solucin es idntica. Por simplicidad de notacin definimos una constante2 2240c , y buscamos soluciones exponenciales de la forma: ( )xe x , con lo que reducimos la ODE a una ecuacin algebraica (polinomio de cuarto grado con cuatro races diferentes):( )( )' '0 40 30 20 1404 4 2 2 24 iice c ee x e xx xx IVx(31)As obtenemoscuatrofuncioneslinealmenteindependientesyquepor lotantoformanunabasede soluciones para la ODE, dado que esta es de cuarto orden. Explcitamente el conjunto base es,{ '' xci xci xcxcx x x xe e e e e e e e , , , , , ,3 2 1 0(32)Equivalentemente, una combinacin linealde exponenciales reales genera el mismo espacio de funciones que una combinacin lineal de las funciones seno hiperblico y coseno hiperblico. Y una C.L. de exponencialesimaginariasgenera(enlosreales) el mismoespacioqueunaC.L. delasfuncionessenoy coseno. De modo quecon otra base,msadecuada anuestrospropsitos,tenemos que laforma ms general para( ) x es la siguiente,( )

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.| xvD xvC xvB xvA xf f f f cos sen cosh senh(33)donde hemos expresado los argumentos en trminos de la velocidad de fase.(Observar que de acuerdo con la ec. 27: c vf). La solucin general para la ecuacin de movimiento es, entonces,( )t if f f fe xvD xvC xvB xvA t x f

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.| cos sen cosh senh ,(34)12Las cuatro constantes (A, B, C y D) requieren cuatro condiciones de borde (dos por cada extremo) que analizamos seguidamente.CONDICIONES DE BORDE Y MODOS NORMALES ASOCIADOS.Enformaideal -yamododeejemplo-, lassituacionesmselementalesenlasquepuedenestarcada extremo de la barra son tres:Extremo libre: Desplazamiento del extremo =libre.Pendiente del extremo = libre.Torque aplicado en el extremo = 0 (ver ec.18) 022extrermoxy(35)Fuerza cortante en el extremo = 0 (ver ecs. 6 y 18 033extremoxy(36)Extremo fijo:Desplazamiento del extremo =00 extremoy(37)Pendiente del extremo = libre.Torque aplicado en el extremo = 0 (ver ec.18) 022extrermoxy(38)Fuerza cortante en el extremo = libre.Extremo empotrado: Desplazamiento del extremo =00 extremoy(39)Pendiente del extremo = 00 extrermoxy(40)Torque aplicado en el extremo = libre.Fuerza cortante en el extremo = libre.Estas son solo algunas de las condiciones de borde, las ms simples.A nuestros fines solo nos vamos a ocupar de las soluciones que surgen cuando ambos extremos estn libres.Las 4 condiciones de borde para Ambos Extremos libres:En x=0.13Torque nulo (ec. 35): ( )( ) 00 cos sen cosh senh0 0 0220220220220

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.| D BvxvD xvC xvB xvAvxtxfMxf f f fxxx D B (41)Fuerza cortante nula (ec. 36): ( )( ) 00 sen cos senh cosh0 0 0220330330330

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.| C AvxvD xvC xvB xvAvxtxfFxf f f fx xxy C A (42)En x=L.Torque nulo (ec. 35): ( )0 cos sen cosh senh0 0 0222222

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.| L xf f f fL xL xL xxvD xvC xvB xvAvxtxfM 0 cos sen cosh senh

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.| LvD LvC LvB LvAf f f f (43)14Fuerza cortante nula (ec. 36): ( )'

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.| 0 sen cos senh cosh0 0 0333333L xf f f fL x L xL xyxvD xvC xvB xvAvxtxfF 0 sen cos senh cosh

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.| LvD LvC LvB LvAf f f f (44)Llegamosas aunsistemadel quedebemosobtener lascuatroconstantes. Sinembargo, loquenos interesa, ms que encontrar las constantes, es encontrar las frecuencias propias, es decir, las frecuencias de los modos normales. Para esto sustituimos las igualdades de las dos primeras ecuaciones (A=C y B=D) en las dos ltimas y expresamos el sistema (ahora reducido a 2x2) en forma matricial:0sen senh cos coshcos cosh sen senh]]]

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.|BALvLvLvLvLvLvLvLvf f f ff f f f (45)Sistema que, como es homogneo, va a tener soluciones no triviales s y solo s el determinante es nulo, (para abreviar definimos fvLz), esto es,( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] 0 cos cosh cos cosh sen senh sen senh + z z z z z z z z (46)o,( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 cos cosh 2 cos cosh sen senh2 2 2 2 + z z z z z z (47)Teniendo en cuenta las identidades fundamentales (sen2+cos2=1 y cosh2-senh2=1), tenemos que,( ) ( ) 1 cos cosh z z(48)15Estaecuacintrascendental lapodemosresolvernumricamentecomolainterseccindelasfunciones cos(z) y cosh-1(z), tal como se muestra en la grfica,Las primeras races de esta ecuacin (representadas por las intersecciones de las dos grficas, sin contar z=0) son:{ { , 11 , 9 , 7 , 5 , 3 , 279 . 17 , 137 . 14 , 996 . 10 , 853 . 7 , 730 . 42 z(49)As tenemos,( ) ( ) ... 3 , 2 , 1 1 22 + n n Lvf (50)Sustituyendolavelocidaddefaseysimplificandollegamos finalmentealafrecuenciadelos modos normales para la barra vibrando transversalmente,( ) 1 22+ n Lc ( ) ... 3 , 2 , 1 n (51)( ) 1 22+ nLc (52)( ) 2221 24+ nLc (53)( )221 28+ nLcf (54)16En trminos de la frecuencia fundamental (la correspondiente a n=1), los sobretonos superiores aparecen en la siguiente sucesin aproximada:( ){ ... , 34 . 13 , 93 . 8 , 40 . 5 , 76 . 2 , 107 . 91 221+nffn(55)He aqula demostracin terica de que los sobretonos producidos por una campana tubular (o barra, en general) no son armnicos desde el punto de vista musical.CLCULOS Y MEDIDAS PARA CAMPANAS TUBULARES DE ALUMINIO.De la teora a la prctica.Conmotivo decontrastarlosresultadosobtenidos hastaaqu,nos proponemoscalcularlas frecuencias normalesparadoscampanastubularesdealuminioyluegomedirlasfrecuenciasqueverdaderamente resultan al hacerlas sonar.Primeramente determinamos las constantes c y .La dos campanas construidas consisten en tubos de aluminio extruido, suspendidos por hilos.Longitud (mm) Dimetro exterior (mm)Espesor (mm)1000 25,4 1,0340 9,5 0,8*La menor incertidumbre en el dimetro y el espesor se deben a que sondatos del fabricante, que brinda tolerancias en las dcimas de milmetro.Determinacin de la constante c:Material: ALUMINO, aleacin 6063 (Caractersticas fsicas segn "Online Material Data Sheet").s mYcm KgPa YAlAl/ 10 05 , 5/ 10 70 , 210 89 , 633 310 ' Esta constante es la misma para ambas campanas, pues solo depende del material.Determinacin de la constante :Debemos calcular ahora la constante asociada a la forma de la seccin de la barra (ecuacin 17).Evidentemente, en el caso de las campanas tubulares se trata de una seccin anular, y debemos determinar a(z), que es el ancho efectivo de cada lmina de la barra.Con un poco de geometra se puede concluir que esta es,17( )( ) ( )( )'