Cap 1 Soria

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DANIEL CASTILLO QUINTO ELECTRÓNICA

MATERIA: PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEÑALES

TEMA: EJERCICIOS DEL LIBRO DE SORIA

CAPITULO 1.

EJERCICIOS PROPUESTOS

1.46

Calcule la salida de un sistema con respuesta impulsional nu5.0nh n

ante una entrada

3nunun x . Repita el procedimiento para nu5.0nh n

.

2nu5.01nu5.0nu5.0n y

nu5.02nnu5.01nnu5.0nn y

nu5.02n1nnn y

2n1nnn xnhn xn y

2n1nn

nnn

n

2nu5.01nu5.0nu5.0n y

nu5.02nnu5.01nnu5.0nn y

nu5.02n1nnn y

2n1nnn x

nhn xn y

2n1nn

nnn

n

1.47

Dadas las secuencias siguientes:

,1 ,2 ,3 ,5nw;2.0 ,5 ,3 ,1n y;6 ,4 ,2 ,0 ,1 ,2 ,3n x

{,,,,,,}; {,,,.}; {,, ,} Calcule y represente las siguientes secuencias:

. .

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3 3 2 2 1 2 1 4 2 6 3 2 3 1 5 0.2 1 3 3 2 2 1 5 1.8 1 4 2 6 3

3 3 2 2 1 2 1 4 2 6 3 2

3 1 5 0.2 1

2 2 3 1 0.4 1

3 3 2 2 1 2 1 4 2 6 3

2 3 1 5 0.2 1 5 3 3 1 5 0.2 1

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2 3 4 2 4 1.8 1 4 2 6 3

. 0.723 3 2 2 1 2 1 4 2 6 3 2.16 3 1.44 2 0.72 1 1.44 1 2.88 2

4.32 3

∗ {5 3 3 1 5 0.2 1} ∗ { 2 3 1 5

0.2 1}

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3 ∗ 2 15 3 ∗ 1 25 3 ∗ 1 3 2 ∗ 2 9 2 ∗ 1 15 2 ∗ 0.6 2∗ 1 2 1 ∗ 2 6 1 ∗ 1 10 1 ∗ 0.4 1 ∗ 1 ∗ 2 3 ∗ 1 5 ∗ 0.2 ∗ 1

5 12 4 14 3 23 2 12.4 1 4.60.2 1

∗ { 2 3 1 5 0.2 1}

∗ { 2 1 3 2 5 3} { 2 ∗ 2 2 ∗ 1 3 2 ∗ 2 5 2 ∗ 3

3 1 ∗ 6 1 ∗ 1 9 1 ∗ 2 15 1∗ 3 5 ∗ 10 ∗ 1 15 ∗ 2 25∗ 3 0.2 1 ∗ 0.4 1 ∗ 1 0.6 1 ∗ 2

1 ∗ 3}

2 5 1 14 13.8 1 0.4 2 25.6 3 4

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1.48 Calcule la autocorrelación de la respuesta del sistema L.I.T., causal definido por el diagrama de

bloques de la Figura 1.31. ¿Para qué desplazamiento (‘lag’) será máxima la auto correlación?

++

-b1-a1

z-1

-ba y(n)x(n)

( ) ( )

( ) ( ) ( )k

f n y n

y n y n n k

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1

2

1

2

1

2

( 3) ( ) ( 3) (1)(0) 3(0) 5(0) ( 0.2)0 04

( 2) ( ) ( 2) (1)(1) 3(0) 5(0) ( 0.2)(0) 1

( 1) ( ) ( 1) (1)(2) 3(1) 5(0) ( 0.2)(0) 5

(0) ( ) ( ) (1)3 3(2) 5(1) ( 0.2)0 14

n

n

n

n

y y n n

y y n n

y y n n

y y n n

1

2

1

2

(1) ( ) ( 1) (1)( 5) 3(3) 5(2) ( 0.2)(1) 13.8

( ) 0,1,5,14,13.8

n

y y n n

f n

0 1-1

-2-3 n

4

1.82

-1

2 3

5

6

a(n)

0 1-1-2-3 2 3

b(n)

-0.4

-3

-2

0 1-1-2-3 2 3

c(n)6

-3

-2

22

4

1.8

4

0 1

-1-2-3

2 3

d(n)4.32

-0.72

-1.44

1.44

2.88

-2.16

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0 -0.2

-1-2-3

e(n)

n

12.4

23

-14

4.6

1

1.49

Para que valores , de la señal n jen x

es periódica. ¿Cuál es el periodo para 6

?

xn ej ej ej+ ejej

θN 2π θ 2πN

ej

→ ∞ ; ej

π0

w 2πT T 2πw

2ππ6 12

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Como la función seno y coseno son periódicos cada múltiplo de 2π, entonces la señal x(n) es periódica

para cualquier valor deθ

.

12T

1.50

Calcule la correlación de las secuencias y.

∑

=

∗ ∑

=

∗ ∑

=

∗ ∑

=

∗

∑ 2−

=

∑ 2−

=

∑ 2−

=

1.51

Un sistema de procesado digital tiene un diagrama de bloques mostrado en la Figura 1.32.

Suponiendo que los convertidores A/D y D/A son ideales y que la frecuencia de muestreo es de 300

Hz., determinar la salida y(t) si la entrada al sistema viene dada por la siguiente expresión:

t 150 sent 500 sen2t 1100cos3t y

Hz 550 F 110011

Hz 250 F 50022

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Hz 75 F 15033

Hz 150 f tenemos Hz 300 f Nyquist s

Por lo tanto el primero y el segundo término no cumplen con el Teorema de muestreo, produciendo

aliasing.

n2 senn3 sen2n6

7 cos3n y

n2

senn3

5 sen2n

3

11cos3n y

n300

150 senn

300

500 sen2n

300

1100cos3n y

4

1 f y

6

1 f ,

12

7 f 321

t 150 sent 100 sen2t 175cos3t yr

Si como etapa previa al conversor A/D se hubiese colocado con un filtro antialiasing que eliminase todas

las frecuencias por encima de 100 Hz. ¿Qué se tendría a la salida? ¿Y si el filtro antialiasing se coloca

después de A/D? Justifique su respuesta.

1.52

Considere el esquema de la Figura 1.33. Calcule la ecuación en diferencias del sistema y

determine si el sistema es causal. ¿Se trata de un sistema L.I.T.?

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a) La ecuación en diferencias del sistema es:

yn xn 1 xn 1 nxn b) Es causal o no.

n=0yn Xn 1 xn 1 n(xn)

y0 X1 x1 0(x0) y0 X1 x1

Para el valor n=0, con x(-1) y n=-1 si cumple n ≤ n , si cumple 1 ≤ 0.

Para el valor n=0, y (0) depende de x1 con n 1, por lo que no es casual. Porque para sercausal n ≤ n y vemos que, NO CUMPLE 1 ≤ 0 . EL SISTEMA NO ES CAUSAL

b) Es L.I.T.

NO L.I.T porque no es causal

1.53

La señal analógica se muestrea con un periodo de muestreo de 2ms. Su salida se hacepasar por un conversor D/A ideal. Determine la señal obtenida.

1050 cos50 2cos950 t 950cos2t 50cost 1050 sent x

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Ω 1050, 525 Ω 50, 25

Ω 950, 475 1

12 500 , 250

El primero y el tercer término no cumplen con el Teorema de muestreo, produciendo aliasing.

1050500 cos50500 2cos

950500

2110 cos 10 2c os 1910

10 cos 10 2cos

75

120 , 120

710

50 cos50 2cos350

1.54

Evaluando directamente la suma de convolución, determinar la respuesta al escalón de un

sistema L.I.T., cuya respuesta al impulso es nuanh n

con1a

.

k

k nuk hn y

nunhn y

Como la función escalón u(n – k) será distinto de cero para n k y, por tanto,

n

k

k

n

k

k uan y

k hn y

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1.55

Determine cual es la salida y(n) de un sistema L.I.T., ante una entrada del tipo jwn Aen x

con n .Comente la importancia de este resultado.

∞ ∞ ∗ ℎ

∑ ℎ

=−

∑

=−

∑

=−

∑

=−

1 −1

11

1

1.56 Un sistema causal, con condiciones iniciales nulas viene definido por la siguiente ecuación en

diferencias n x1nnyn y .

a)

Calcule la respuesta impulsional del sistema y proporcione una expresión general parala misma.

b) ¿Es invariante temporal?

1

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1 0 01 0 1

1 10 1 2 21 2 3 32 6

4 43 24 5 54 120

1 2 2 6 3 24 4 120 5

1.58

Un periodo de la señal analógica t 52cos2t x (t en segundos) se muestrea con unafrecuencia de 250 Hz.

a)

Determine los valores de x(n) obtenidos si se emplea un conversor A/D bipolar de 8 bits de

cuantización por redondeo cuyo rango de entrada es el doble de la amplitud pico a pico de

x(t).

b)

¿Cuál es el rango de entrada mínimo que debe tener el conversor para que no se produzcaruido de sobrecarga con esta señal de entrada?

a)

2 cos52 250

4

2cos 26125 b)

Re=8

R=

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R=31.25*10^-3

1.59 Comente cada uno de los siguientes párrafos indicando si son ciertos o falsos:

“Una de las principales aplicaciones de los filtros digitales es su utilización en las etapas de

conversión A/D y D/A. estos se utilizan para evitar que se produzca solapamiento frecuencial

cuando no se verifica el Teorema de muestreo, y también para eliminar las imágenes del

espectro de conversión D/A como consecuencia de no utilizar un reconstructor ideal”.

La conversión D/A se realiza normalmente combinando un conversor D/A con un circuito de muestreo

seguido de un filtro pasa bajo ya que el reconstructor ideal es no causal y de duración infinita

“Para un sistema lineal invariante temporal causal, podemos calcular su salida en régimen

permanente ante una entrada tipo nuwncos An x , a partir de su respuesta de frecuencia,y ésta coincidirá con la salida del sistema sólo si el sistema es estable”.

Un sistema es causal si Ɏ, el valor de y()es función únicamente de valores de la secuencia de entraday salida para n≤, a diferencia de un sistema no causal que también depende de las muestras futuras.

“Para un sistema lineal invariante temporal, podemos calcular su salida en régimen permanente

ante una entrada tipo nuwncos An x , a partir de su respuesta en frecuencia, y ésta

coincidirá con la salida del sistema, independientemente de que el sistema sea estable o no. La

única condición necesaria es que el sistema sea L.I.T.”.

Se puede definir el sistema en tiempo discreto como toda transformación que realiza un mapeado entre

la secuencia de entrada x(n) en otra de salida y(n): y(n)=T{x(n)}

1.61

Calcule la expresión general de la auto correlación de la señal nu2n x n

. A partir de ella

determine el valor de la energía de dicha señal.

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2− . ∗

0 ∑ .

=−

0 ∑ 14

=−

0 ∑1

4

=

11 14 14 14

43

PRACTICAS DE MATLAB

1.62.- Se desea generar 2 periodos de una onda sinusoide analógica de amplitud 1 y frecuencia 200 Hz,

muestreada a 1 kHz.

Sabemos que una sinusoide continua de frecuencia queda definida por la siguiente expresión: cos2 donde y son, respectivamente, la amplitud y fase del sistema. Si muestreamos a una frecuencia obtenemos:

cos2 cos 2

Sustituyendo, en nuestro caso tendríamos:

1 cos 2 2001000 cos0.4 De forma inmediata se comprueba que el periodo de la señal discreta es de 5 muestras, como nos pide

dos periodos el numero de muestras al generar es 10.

Las instrucciones de Matlab para generar y dibujar la señal son:

%Ejercicio 1.62

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n=0:9;

Fm=1000;Fa=200;

x=cos(2*pi*Fa*n/Fm);

stem(n,x)

xlabel('n')

ylabel('x(n)')

Con estas instrucciones se obtiene la Figura 1.34:

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1.63 Realice la misa operación, pro ahora la sinusoide a muestrear es de 1,2 Khz

1.64.- Superponga sobre la grafica obtenida en el Apartado 1.63 los puntos obtenidos en el 1.62. ¿Qué

ocurre?, ¿qué consecuencia se puede sacar de las graficas?

Con el siguiente código podemos superponer ambas graficas, donde, en lugar de emplear la instrucción

hold on hemos utilizado la opción de plot para superponer múltiples gráficas (Figura 1.36).

plot(n,x,'o',n,xx,'+')

legend('Fa=200hz','Fa=1200Hz')

xlabel('n')

ylabel('x(n)')

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Figura 1.36 Superposición de las muestras de las Figuras 1034 y 1.35.

Se observa que los puntos de las dos señales coinciden. La razón es que la señal (la componente de 1.2

kHz ) no cumple el teorema de muestro. Mediante la relación siguiente podemos determinar la frecuencia

aparente obtenida tras el muestreo

± Siendo una frecuencia en un intervalo {/2,/2} y la frecuencia original. Si consideramosnuestros valores 200 ′ 1200 con frecuencias de muestreos igual a 1 kHz, la primeraseñal no produce sopla miento y la segunda se aparecería con una frecuencia de 200 Hz (considerando

k=1).

Podemos ver el efecto del soplamiento en el dominio temporal si superponemos las dos señales

continuas. La manera de simular estas señales es considerar un periodo de muestreo "muy pequeño". Esuna aproximación pero, a nivel grafico, es bastante ilustrativa.

El siguiente programa muestra el proceso.

n=0:9;

t=0:0.01:9;

Fa1=200;

Fa2=1200;

Fs=1000;

xt1=cos(2*pi*Fa1*t/Fs);

xt2=cos(2*pi*Fa2*t/Fs);

x1=cos(2*pi*Fa1*n/Fs);x2=cos(2*pi*Fa2*n/Fs);

plot(t,xt1,'k-',t,xt2,'k:',n,x1,'ko',n,x2,'k+')

xlabel('n')

La gráfica obtenida se muestra en la Figura 1.37, en la que se aprecia claramente que para que la señal

de 1200 kHz no llegamos a tener al menos dos puntos por periodo produciéndose aliasing.

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1.65 En este apartado vamos a estudiar el efecto del muestreo sobre el espectro de la señal. Genere la

serie obtenida al muestrear una sinusoide de 100 Hz y amplitud unidad con un periodo de muestreo de

1 ms durante un segundo. Represente el espectro de la señal usando la instrucción abs(fft(y)).

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1.66.- Repita el apartado anterior pero ahora la señal a muestrear es la suma de 4 sinusoides de

amplitud uno y frecuencias 100, 200 y 600 y 2100 Hz . Utilice la señal de tipo coseno. Comente losresultados.

El siguiente código me permite calcular las secuencias y representar el espectro de suma En lugar de

utilizar un bucle para calcular cada una de las secuencias hemos utilizado las propiedades de MATLAB para

trabajar con matrices de datos y la función sum que al ser aplicada sobre una matriz suma sus elementos

por columna.

%Ejercicio 1.66

N=1000;

n=0:N-1;

Fa=[100,200,600,2100]'; %Ternemos un vector de frecuenciaFm=1000;

x=cos(2*pi*Fa*n/Fm); %Calculamos todas las sinusoides

x=sum(x); %Sumamos las sinusoides

plot(-N/2:N/2-1,abs(fftshift(fft(x))));

xlabel('Frecuencia')

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1.67 Repita el ejercicio anterior pero sustituyendo la frecuencia de 2100 Hz por una de 1900 Hz.

¿Obtendríamos el mismo resultado si hubiésemos generado las señales con las funciones seno?

1.68.- Genere una señal cuadrada de 1000 puntos con frecuencia de 150 Hz y muestreada a 1000 Hz .

Represente el espectro de la señal y explique el resultado.

Sabemos que una señal cuadrada analógica está formada por una suma infinita de armónicos impares dela frecuencia fundamental. La amplitud de dichos armónicos decrece a medida que aumenta la frecuencia

del mismo.

Nuestra señal contendrá armónicos a los frecuencias: 150 Hz, 450 Hz, 750 Hz, 1050 Hz, 1350 HZ, 1650 Hz,

1950 Hz,... Como las frecuencias de muestreo es de 1 kHz para que no se produzca aliasing, las frecuencias

analógicas deberán estar comprendidas en el intervalo [-500 Hz,...,500 Hz]. En nuestra señal cuadrada

esto no se verifica a partir de la frecuencia de 750 Hz . Veamos cuales serán las frecuencias aparentes

obtenidas por cada uno de estos armónicos, para ello utilizamos la expresión (1.7). En la práctica,

podemos obtener las frecuencias aparentes sin más que restar a la señal múltiplos de las frecuencias de

muestreo hasta que nos encontremos en el intervalo de frecuencias determinado por la frecuencia de

muestreo (Tabla 1.8).

Frecuencia original Frecuencia aparente

150 Hz 150 Hz, No produce aliasing

450 Hz 450 Hz, No produce aliasing

750 Hz -250 Hz

1050 Hz 50 Hz

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1350 Hz 350 Hz

1650 Hz -450 Hz1950 Hz -50 Hz

El siguiente código nos permite ilustrar gráficamente estos resultados:

N=1000;

n=0:N-1;

F=150; %Ternemos un vector de frecuencia

Fm=1000;

x=square(2*pi*F*n/Fm);

subplot(211)

stem(n(1:50),x(1:50))xlabel('n')

ylabel('x(n)')

title('(a)')

subplot(212)

plot(-N/2:N/2-1,abs(fftshift(fft(x))));

xlabel('Frecuencia')

title('(b)')

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1.69 Escriba una función que acepte como parámetros un vector de muestras, el número de bits del

cuantificador y el rango de entrada y devuelva la señal cuantificada por redondeo y considere que elintervalo de entrada es bipolar

function y=cuanti(x,bits,m)

Resol=2*m/(2^bits-1);

nivel=x/Resol;

nivel=round(nivel);

y=nivel*Resol;

1.70.- La siguiente ecuación en diferencia recursiva Permite calcular el valor de la raíz cuadrada de A,

tomando como condición inicial x(-1) una aproximación burda de dicha raíz. Para valores de A>1, x(-

1)=1 es una aproximación adecuada.

12 [ 1 1] a) Escribir un programa que permita calcular el valor de la raíz cuadrada de 2. Compruebe que a

partir de un pequeño número de iteraciones el valor almacenado en x(n) coincide con √ 2.b) Repita el proceso anterior cuantificando el resultado de cada iteración antes de realimentar

de nuevo al sistema. Muestre la s graficas obtenidas para un cuantificador de 4, 5, 6, 8 y 12

bits, si el intervalo de entrada al cuantificador es ±5. a)

El siguiente programa muestra la implementación recursiva de la ecuación de diferencias del

sistema, mediante un bucle. El bucle finalizara cuando la diferencia entre el valor calculado

con esta expresión y el valor sea menor que 1/10000.%Ejercicio 1.70

clc

clear

A=2;

valor_exacto=sqrt(2);

n=1;

x(n)=1; %Condicion inicial

error=1/10000;

while(abs(x(n)-valor_exacto)>=error)

n=n+1;x(n)=0.5*(A/x(n-1)+x(n-1));

end

%Si ejecutamos disp(x), MATLAB no devuelve por pantella

disp(x)

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a)

Veamos cómo se modifican los resultados al cuantificar las operaciones tras cada iteración. En

este caso vamos a fijar el número de iteraciones en 15, independiente del número de bits

considerado, y mostraremos en un grafico los resultados. El programa utilizado es el siguiente:

clear

A=2;

m=5;

valor_exacto=sqrt(A);n=1;

N=10; %Numero de iteraciones

x(:,n)=[1,1,1,1,1]'; %Condicion inicial

j=1;

for bits=[4,5,6,8,12]

for n=2:N

x(j,n)=cuanti(0.5*(A/x(j,n-1)+x(j,n-1)),bits,m);

end

j=j+1;

endn=1:N;

plot(n,x(1,:),'k-',n,x(2,:),'b:',n,x(3,:),'g.-',n,x(4,:),'r--',n,x(5,:),'c-')

legend(['b=4 valor=' num2str(x(1,N))],['b=5 valor=' num2str(x(2,N))],['b=6 valor=' num2str(x(3,N))],['b=8

valor=' num2str(x(4,N))],['b=12 valor=' num2str(x(5,N))])

xlabel('Iteracion')

ylabel('VAlor aproximado de la raiz')

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1.71 En esta práctica se estudiarán los conceptos de estabilidad y linealidad básicos a la hora de analizar

sistemas discretos. Determine si los sistemas definidos por las ecuaciones en diferencias siguientes

verifican las propiedades de linealidad, invarianza temporal y estabilidad

, . 1.72.- La primera aplicación de la autocorrelación de una señal es determinar las posibles repeticiones

de patrones en la señal. Para comprobar este punto se va a generar una sinusoide de frecuencia igual a

100 Hz con amplitud 1 y muestreada a 1 kHz (consideremos una señal de 100 puntos). Determinar la

autocorrelación de esta señal normalizada a uno y represéntela junto a la secuencia, ¿qué conclusiones

se pueden sacar?

El programa en MATLAB que implementa lo que nos pide es:

%Generación de la señal

n=0:99;x=cos(2*pi*n*0.1);

%Cálculos de autocorrelación

y=xcorr(x,'coeff');

%Representación de las dos señales

subplot(211),stem(x,'k'),title('(a)')

subplot(212),stem(y,'k'),title('(b)')

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xlabel('Muestras')

1.73 Una segunda aplicación relacionada con la anterior es la determinación del desfase entre dos

señales. Se pide generar dos sinusiodes de frecuencia 50Hz (Fm=1KHz), amplitud unoy desfasadas 90° y

determinar la correlación cruzada de ellas . ¿Cómo se podría determinar el desfase entre estas señales?.

Realice una grafica donde aparezcan las matrices del autocorrelación y correlación cruzada

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