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Elaboro: Efrén Sánchez Meza,ESIME-ZAC, ICE academia de física Página 1
Capacitares y Dieléctricos
Un capacitor es un dispositivo que almacena energía en un campo eléctrico, también se
utiliza para producir campos eléctricos. Llamamos capacitor a dos conductores (placas)
aislados del entorno; y decimos que están cargados si sus placas contienen cargas +q, -q
iguales y opuestas. Al cargar un capacitor conectando una batería, la diferencia de
potencial aparecerá en las placas ( V ). Experimentalmente se encuentra que la carga
almacenada en un capacitor es linealmente proporcional a V . VCQ o CVQ
Donde C es la capacitancia del capacitor y
depende de la forma y posición relativa de las
placas, además depende del material entre las
placas.
0netaq
Donde C capacitancia. Físicamente es una medida de la capacidad de almacenar carga eléctrica
para una diferencia de potencial dada.
Unidades
1F=1 farad =1 Coulomb/Volt=1C/V
1 farad=1 Coulomb/volt
Capacitancia
Suponiendo que existe una carga q en las placas y utilizando la ley de Gauss para
encontrar E relacionando la carga en las placas qdAE
0 considerando E=cte y
paralelo a dA tenemos qEA0 , la diferencia de potencial f
iif SdEVV
y como E
y Sd
estan en la misma dirección entonces 0if VV entonces VVV if además E
entre las placas es la suma EEE
y como qEE , qEE , qEE entonces
qVV directamente proporcional, entonces la razon cteVq / definida como la
capacitancia C que no depende de q.
Capacitor de placas paralelas
De la ley de Gauss EAdAEq 00
entonces
A
qE
0
donde A es el area entre las
placas, luego A
qddS
A
qEdSSdEV
00
enonces q
A
dV
0
comparando con
VC
q1
tenemos que A
d
C 0
1 por lo tanto
d
AC 0 capacitancia de un capacitor de
placas paralelas.
Elaboro: Efrén Sánchez Meza,ESIME-ZAC, ICE academia de física Página 2
Capacitor Cilindrico
Considere dos cilindros concéntricos de radio a y b con a<b. Considerando además una
superficie gaussiana con esta simetría; cilindro de radio r con tapas, entonces
rLEAEdAEq 2000
donde A es el area de la parte curva del cilindro
(interna) entonces Lr
qE
02 luego
a
b
L
qab
L
q
r
dr
L
qSdEV
b
aln
2lnln
22 000
por lo tanto tendremos
a
b
LC
ln
2 0
Capacitor esferico
Como superficie gaussiana trazamos una esfera de radio r.
2000 4 rEEAdAEq
entonces
204
1
r
qE luego
ab
abq
ba
q
r
q
r
drqSdEV
b
a
b
a 0002
0 4
11
4
1
44
entonces
ab
ab
C 04
11 por lo tanto
ab
abC 04
Capacitores en Serie y Paralelo
En circuitos electricos es deseable conocer la capacitancia equivalente entre dos o mas
capacitares conectados de un cierto modo, la capacitancia equivalente significa la
capacitancia de un capacitor individual que puede sustituirse por una combinación sin
que cambie la operación del resto del circuito.
Capacitores conectados en Serie
Tres propiedades caracterizan a una conexión en paralelo de lo elemento del circuito.
1. Al viajar de las terminales a-b podemos tomar cualquier trayectoria paralela que pase
por algun elemento.
2. La diferrencia de potencial V de una bateria conectada a las terminales a, b aparecera
la misma (V) en cada elemento en paralelo.
3. Los elementos comparte la carga total que la bateria proporciona e la combinación.
Con esta condiciones de 2. VCq 11 y VCq 22 como comparten la misma carga de 3.
21 qqq
Almacenamiento de energía en un capacitor
Un capacitor puede ser utilizado para almacenar energía eléctrica. La cantidad de
energía almacena es igual al trabajo realizado para cárgalo.
Elaboro: Efrén Sánchez Meza,ESIME-ZAC, ICE academia de física Página 3
Sea un capacitor inicialmente descargado. En cada placa hay carga positiva y negativa
las cuales están balanceadas; asi la carga neta es cero y por lo tanto E es cero.
La placa superior se carga en dq ; sin embargo la placa inferior se carga en dq , de
esta forma cargamos el capacitor y creamos un campo eléctrico. Ahora supongamos que
la placa superior esta cargada a cierto instante con dq y la diferencia de potencial
entre las placas es C
qV de esta forma el trabajo necesario para colocar mas carga y
superar la repulsión eléctrica es dqVdW Si al final del proceso la carga final en la
placa superior es +Q, entonces la cantidad de trabajo es:
C
Qdq
C
qdqVW
QQ 2
002
1
Esta es igual a la energía potencial eléctrica UE del sistema.
22
2
1
2
1
2
1VCVQ
C
QUE
*
Densidad de energía de un campo eléctrico.
Pensamos en la energía almacena en un capacitor como almacenada en el campo
eléctrico. En el caso de un capacitor de placas paralelas con d
AC 0 y EdV
AdEEdd
AVCU E
2
0
202
2
1
2
1
2
1
Definimos la densidad de energía eléctrica como:
2
02
1
.E
Vol
Uu E
E *
______________________________________________________________________
Alternativamente analizando desde el punto de vista del trabajo. Ya que las placas son
de carga opuesta debemos aplicar una fuerza para separar las cargas, un pedazo de carga
Aq experimenta una fuerza atractiva 0
2 2AF ; si las placas son de
área A, 0
2 2AFext es la fuerza que empuja las cargas. Además como el campo
eléctrico entre las placas es 0E entonces AEFext
20
2
Entonces el trabajo total realizado por la fuerza es dAE
dFsdFW extextext2
2
0
Ya que U=W tenemos en ocasiones interpretada como presión
electrostática P.
______________________________________________________________________
Ejemplos:
1 Densidad de energía del aire seco.
El rompimiento del campo al cual el aire seco pierde su habilidad aislante y al cual una
descarga pasa atraviesa es Eb=3x106V/m. a este campo, la densidad de energía eléctrica:
2 Energía almacenada en una cáscara esfera.
Elaboro: Efrén Sánchez Meza,ESIME-ZAC, ICE academia de física Página 4
Encuentre la energía almacenada en una cáscara esférica de radio a y carga Q.
El campo eléctrico de la cáscara es
Entonces la densidad de energía fuera de la esfera es
y cero dentro ya que (el campo eléctrico no se anula fuera de la cáscara) para encontrar
la energía integramos r=a a r= y utilizando coordenadas esféricas con
Donde y
Podemos verificar que esta energía es igual al trabajo realizado en carga la esfera.
Suponiendo que la esfera tiene carga q y esta a un potencial el trabajo
requerido para adicionar una carga dq al sistema es dW=Vdq, así
Dieléctricos
En muchos capacitares hay un material aislante entre las placas. Tal material llamado
dieléctrico puede usarse para mantener una separación física entre las placas. Como el
dieléctrico rompe menos que el aire, la fuga de carga puede ser minimizada,
especialmente cuando un alto voltaje se aplica.
Experimentalmente se encontró que la capacitancia C incrementa cuando el espacio
entre los conductores se coloca un dieléctrico. Para ver esto supongamos que un
capacitor que tiene C0 cuando no hay material entre las placas y después se coloca un
dieléctrico en el espacio entre placas, la capacitancia incrementa a
Donde se conoce como la constante dieléctrica.
Desde el punto de vista molécula mostraremos que es una medida de la respuesta
dieléctrica a un campo eléctrico externo. Considerando dos tipos de dieléctricos; el
primero es dieléctrico polar, (son aquellos que tienen momento dipolar eléctrico
permanente, un ejemplo de ellos es el agua).
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Orientación del momento polar cuando a) E0=0 b) E0≠0.
Primero la orientación del momento polar es aleatoria en la ausencia de un campo
externo. Cuando el campo externo es aplicado E0, una torca aparece y causa a la
molécula un alineamiento con la línea de E0. Sin embargo el alineamiento no es
completo debido al movimiento térmico aleatorio. Las moléculas alineadas generan un
campo eléctrico que se opone al campo aplicado pero es pequeño en magnitud.
El segundo tipo de dieléctrico es el dieléctrico no-polar, caracterizados por no poseer
momento dipolar eléctrico permanente. Momentos dipolares eléctricos pueden ser
inducidos colocando el material en un campo eléctrico aplicado externo.
Orientaciones de moléculas no polares cuando a) E0=0. y b) E0≠0.
Las figuras ilustran la orientación de moléculas no-polares con y sin un campo externo
E0. La cargas superficiales inducidas en la cara produce un campo eléctrico Ep en
dirección opuesta a E0, llevando E= E0+ Ep ,con | E|<| E0|.
Polarización
Hemos visto que los materiales dieléctricos consisten de dipolos eléctricos permanentes
o inducidos. Explicaremos el concepto importante de para entender los materiales
dieléctricos el cual es el campo eléctrico promedio producido por muchos dipolos
eléctricos pequeños que están alineados. Supongamos que tenemos un material en
forma de cilindro con área A y altura h, como en la fig. y que consiste de N dipolos
eléctricos, cada uno con momento dipolar eléctrico P que se extiende uniformemente
atraves del volumen del cilindro.
Cilindro con dipolo uniformemente distribuido
Asumimos que todos los momentos dipolares eléctricos P están alineados con el eje del
cilindro. Ya cada dipolo eléctrico tiene su propio campo eléctrico asociado, en la
ausencia de algún campo eléctrico externo, si promediamos sobre todos los campos
individuales producidos por el dipolo, Cual es el campo eléctrico promedio debido a la
presencia de dipolos alineados?. Para ello definimos el vector de polarización P como el
vector de momento dipolar eléctrico neto por unidad de volumen. N
i
ipvol
P1
1
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En el caso del cilindro, donde todos los dipolos están perfectamente alineados, la
magnitud de P es igual a Ah
NpP la dirección de P es paralela al dipolo alineado.
Ahora cual es el campo eléctrico promedio de este dipolo producido? Considerando la
situación equivalente de la figura, donde todas las cargas pequeñas asociadas con el
dipolo eléctrico en el interior del cilindro son reemplazadas por 2 cargas equivalentes
±Qp, en la parte superior e inferior del cilindro
A cilindro con distribución dipolar uniforme b) distribución de carga equivalente. En promedio
el cilindro en el interior parece no cargado ya que esas cargas de dipolos adyacentes se anulan;
mientras que en la superficie una carga neta aparece.
Para hallar una expresión de la carga equivalente PQ en el material; requerimos que el
momento dipolar eléctrico producido hQP sea igual al momento dipolar eléctrico total
de todos lo pequeños dipolos, esto es NphQP entonces la carga de polarización es:
h
NpQP
De aquí tenemos PAh
Np
A
QPP
Unidades (S.I)
[P]=Coul/m2 las cuales son las mismas que densidad de carga superficial.
En general, la densidad de carga superficial será:
PconnPP ˆ
Donde n̂ es el vector normal saliente de la superficie.
Así, el sistema de carga equivalente producirá un campo eléctrico promedio de
magnitud 0
PEP . Ya que la dirección de este campo eléctrico es opuesto a la de P
,
tendremos 0
PEP
este es el campo promedio debido a todos los dipolos.
Pero si los dipolos tienen alguna tendencia hacia una orientación preferencial, entonces
0
P , permitiendo que el campo promedio PE
no se anule.
Ahora si introducimos un material dieléctrico en el sistema. Asumiremos que todos los
átomos o moléculas incluidos en el dieléctrico tienen un momento dipolar eléctrico
permanente. Estos dipolos permanentes en el material dieléctrico nunca se alinean
espontáneamente, así en la ausencia de cualquier campo eléctrico externo 0
P debido
al alineamiento aleatorio de dipolos, y 0PE
. Sin embargo, cuando colocamos el
material dieléctrico en un campo eléctrico 0E
, los dipolos experimentan una torca
Elaboro: Efrén Sánchez Meza,ESIME-ZAC, ICE academia de física Página 7
0EP
que tiende a alinear los vectores dipolar P
con 0E
. El efecto es una
polarización neta P
paralela a 0E
, y por lo tanto un campo eléctrico promedio de los
dipolos PE
anti-paralelo a 0E
(se tiende a reducir el 0E
). Entonces el campo total es
000
PEEEE P
Observación
En muchos casos P
no es solo en la dirección de 0E
, si no también linealmente
proporcional a 0E
. Esto es razonable ya que sin campo externo 0E
no habrá
alineamiento de dipolos y no existirá polarización P
. Entonces
EP e
0
Donde e es la susceptibilidad eléctrica. Materiales que obedecen esta relación son
linealmente dieléctricos.
EEPEE e
0
00 de aquí tendremos EEE ee
10
Donde ee 1 es la constante dieléctrica.
Observación.
1e ya que 0e esto implica 0
0 EE
Ee
.
El efecto del material dieléctrico es siempre a disminuir el campo eléctrico.
En el caso de un material dieléctrico donde no hay dipolos eléctricos permanentes, un
efecto similar se observa; ya que la presencia de un campo externo 0E
induce induce
momentos dipolar elect. en átomos o moléculas. Este dipolo eléctrico inducido es
paralelo a 0E
nuevamente llevando a la dolarización P
paralela a 0E
y a una reducción
de el campo eléctrico total.
Ley de Gauss para dieléctricos
Considere un capacitor de placas paralelas como en la fig. Cuando no hay dieléctrico
presente, el campo eléctrico 0E
en la región entre las placas puede encontrarse por la
ley de Gauss.
s
QAEAdE
0
0
Entonces 0
0E
Sup gausiana en la ausencia de un dielectrico
Cuando un dieléctrico es insertado, hay una carga inducida PQ de signo opuesto en la
superficie, y la carga neta encerrada por la superficie gausiana es PQQ .
Elaboro: Efrén Sánchez Meza,ESIME-ZAC, ICE academia de física Página 8
0
P
s
QQEAAdE
Entonces A
QQE P
0
Sup gausiana en presencia de dieléctrico
Sin embargo, puesto que el efecto del dieléctrico es debilitar el campo eléctrico original
0E
en e tendremos A
A
QEE P
ee 00
0
e
P QQ1
1 en términos de la densidad de carga superficial e
P
11
En el limite 1e y 0PQ (caso donde no hay dieléctrico)
Reescribiendo la ley de Gauss QQ
AdEeS 0
donde 0e es la permitividad dieléctrica. Alternativamente podemos escribir
QAdDs
Donde ED
0 es el vector de desplazamiento eléctrico.
