Capítulo 4 cd

Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.4 Medidas de dispersión, de Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones deformación y apuntamiento. Actualizado en diciembre de 2007

4 Medidas de dispersión,

de deformación y apuntamiento

Varianza y desviación típica o estándar

EJERCICIOS RESUELTOS

1. Solución:

xM == 04,31 26,42 =M (Media cuadrática)

nx

M i∑=2

2 ⇒ 1476,1826,42

2 == ∑nxi

22

2 xn

xiS −= ∑ ⇒ 22 04,31476,18 −=S

906,82 =S 906,82416,91476,182 =−=S

984,2906,82 ==+= SS


2

2. Solución:

nfX

X iiΣ= n

nyy ii∑=

400120 ii nyΣ

=

ii nyΣ=000.48 ii fXΣ=000.48

233245.44000.48 y+= 33367400 =−=n

233245.44000.48 y=−

78,11333755.3

2 == y 78,113=X

a)

245.44 ii nyΣ=245.44

367=n

140135105

78,113

120 se encuentra dentro del recorrido, por lo tanto si puede ser posible.

b)

iy in

105 - 110 37 115 90 120 95 125 85 130 60 135 - 140 - Σ 400

iX if

iy in ii ny

105 - - 110 37 4.070 115 90 10.350 120 95 11.400 125 85 10.625 130 60 7.800 135 - - 140 - -

− 400 48.000

iX if ii fX


3

nnZ iiS

22 Σ

= n

fdS ii

22 Σ

=

ii nZnS 22 Σ= ii fdnS 22 Σ=

( ) 000.1025400 ==

075.14000.10 < (No puede ser posible)

3. Solución:

[ ] [ ] [ ] [ ]88/188/1 VVVV XXy −⇒= −

[ ] [ ] ( ) 164648

641

641 2 ==== xy VV

12 =yS

4. Solución:

( ) ( )284/1 −= xy 424

5,0242

48

2 ==

=−=−=

x

x

S

S

xSiendoxxy

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]5,02;5,75,085,02 VVVyMM xyxy −===−=−=

[ ] [ ] ( ) ⇒=→= 16444 Xy VV ⇒= 162yS 4=yS

5. Solución:

( ) ( )5,121

10030125701202211 =+=

+=

nnxnx

x

( ) ( )n

nxxnxxn

nn SSS 2

221

212

221

212 −+−

++

=

iy in iZ ii nZ ii nZ 2 105 - -15 - - 110 37 -10 -370 3.700 115 90 -5 -450 2.250 120 95 0 0 0 125 85 5 425 2.125 130 60 10 600 6.000 135 - 15 - - 140 - 20 - -

Σ 400 - - 14.075

iX if id ii fd ii fd 2


4

( ) ( ) ( ) ( )

100305,121125705,121120

10030257036 22

2 −+−+

+=S

( ) ( )

95,3725,570,32100

3025,127025,2100270.32 =+=

++=S 16,695,37 ==S

6. Solución: Siendo: 400.142 =AS 120=AS 600.32 =BS 60=BS AB SS < 12060< Hubo mayor estabilidad en B, porque la varianza o la desviación estándar es menor que la de A. 7. Solución:

221 xx

x+

= ( ) ( )

2

22

212 xxxx

S−+−

=

212 xxx += ( ) ( )2

2

2

122 xxxxS −+−=

( ) 2182 xx += ( ) ( ) ( )2

22

1 8812 −+−= xx

2116 xx += 641664162 2221

21 +−++−= xxxx

21 16 xx −= 01261616 2221

21 =+−+− xxxx

Reemplazamos 21 16 xx −= en 1x : ( ) ( ) 012616161616 2

222

22 =+−+−−− xxxx

0126161625632256 2

222

222 =+−++−+− xxxxx

0126322 2

22 =+− xx

( ) 063162 2

22 =+− xx ⇒ 92 =x y 71 =x


5

8. Solución:

22

2 xnxiS −= ∑

2

1026025

−=

nn

−=2

10026025n

nn

nn 10026025 −=

10026025 2 −= nn

20525 2 −= nn

044,102 =+− nn ⇒ n será igual a 10, siendo:

aacbb

n2

42 −±−=

21616,1084,10 −±

=n 102

6,94,10 =±=n

9. Solución:

3=x 10=n 1002 =∑ ix

1910310100 22

22 =−=−=−= ∑

xn

xiS 12 =S 11 ==S


6

10. Solución:

6,4523

1 ==Σ

=n

xx i

( )

6,8543

54

2 ==+Σ

= ixx

21 xx ≠ 6,86,4 ≠

( )24,86,8

54114 22

2

222 =−=−

+Σ= x

n

xiS 24,86,45

147 221

212

1 =−=−Σ

= xnx

S

22

21 SS = 24,824,8 =

11. Solución:

?=S 2=n 9=x 2,7=gM

221 xx

x+

= → 1821 =+ xx

21 xxM g = → 212,7 xx= → 2184,51 xx= → 2

184,51

xx =

1884,51

22

=+ xx

→ 222 1884,51 xx =+ → 084,5118 2

22 =+− xx

4,141 =x y 6,32 =x

16,298116,110812

32,2209

26,34,14 2

222 ⇒−⇒−⇒−

+=S 4,5=S

ix 4+ix 2ix ( )24+ix

2 6 4 36 6 10 36 100 5 9 25 81 9 13 81 169 1 5 1 25

23 43 147 411


7

12. Solución:

( ) ( ) ( )70

158925783071 ++=x

35,7770415.5

70335.1950.1130.2

==++

=x

( ) ( ) ( )

321

32

322

212

1

321

3232

221

212

nnnnxxnxxnxx

nnnnnn SSS

S++

−+−+−+

++++

=

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )70

1535,77892535,77783035,777170

154925643081 2222 −+−+−+++=S

58,11451,4607,6870

96,255.370765.42 =+=+=S

58,1142 =S

70,10=S

Si se considera que todos los cursos tienen el mismo número de estudiantes, los estadígrafos serían:

33,793

897871 =++=x

( ) ( ) ( )3

33,798933,797833,79713

496481222

2 −+−+−+++=S

( ) ( ) ( )

+++=+−+−

+=3

50,9376,138,6966,64

367,933,133,8

3194

2222S

54,11988,5466,643

64,16466,642 =+=+=S

93,10=S


8

13. Solución:

''1 ii yy −− iy in ii ny ''

iZ ii nZ '' ii nZ 2'' 0 – 10 5 640 3.200 -4 -2.560 10.240 10,1 – 20 15 684 10.260 -3 -2.052 6.156 20,1 – 30 25 863 21.575 -2 -1.726 3.452 30,1 – 40 35 876 30.660 -1 -876 876 40,1 – 50 45 753 33.885 0 0 0 50,1 – 60 55 663 36.465 1 663 663 60,1 – 70 65 414 26.910 2 828 1.656 70,1 – 80 75 154 11.550 3 462 1.386 80,1 – 90 85 13 1.105 4 52 208

Σ - 5.060 175.610 - -5.209 24.637 ''

1 ii XX −− iX if ii fX 'id ii fd ' ii fd 2'

a) 70,34060.5610.175 ==y 70,34=X 3752 =S

{ } 37506,181,4100060.5209.5

060.5637.24100

22 =−=

−−=S 36,19=S

%79,555579,070,3436,19 ===CV

b) [ ] 70,491570,3415 =+=+=+ xM kx

[ ] [ ] [ ] 375037515 =+=+=+ VVV xkx

36,19=S

%95,383895,070,4936,19 ===CV

Dos distribuciones con diferentes medias aritméticas y con igual varianza o desviación típica, presentan coeficientes de variación diferentes.


9

c) SZY ± SZX ± c1) ( )36,195,170,34 ± c2) ( )36,195,270,34 ±

===±

i

S

LL

66,574,63

04,2970,34

=−==±

i

s

LL

70,1310,83

40,4870,34

14. Solución:

360.12 =Σ ix 222 xnxnS i −Σ=

40=Σ ix 2

40360.1280.1

−=

nn

280.12 =Sn n600.1360.1280.1 −=

22

2 xnxiS −

Σ= 600.1360.1280.1 −= nn

n80600.1 =

2080600.1 ==n

15. Solución:

170=x 4,72 =S cms2

[ ] 1619170 =−=−=− KxM KX cms [ ] [ ]24,7 cmsVV XKX ==−


10

16. Solución:

1,8,2,3:x nx

x iΣ= 5,3

4

14 ==x

22

2 xnxiS −

Σ= 25,725,125,195,3

478 22 =−=−=xS 25,72 =xS

52 += xy [ ] [ ] 52 += XY MM [ ] ( ) 1255,32 =+=YM 12=y

[ ] 4=YV [ ] 0+XV [ ] ( ) 2925,74 ==YV

( ) 2925,744 22 === XY SS 17. Solución: a) Cierto b) Falso c) Cierto 18. Solución: No es cierto, dado que el peso promedio está dado en kilos, mientras que su desviación típica se da en centímetros. 19. Solución: Como están dadas en las mismas unidades de medida, se pueden comparar sus varianzas o sus desviaciones típicas. En este caso ( )162522 >⇒> AB SS . 20. Solución: No se puede contestar en cuanto a la variabilidad absoluta. Se puede utilizar, en este caso,

el coeficiente de variación = 100xS


11

21. Solución:

[ ] ( ) ( ) 400.144600.3460222 ==⇒= XKX SKV minutos2

400.142 =S

22. Solución:

( ) ( )n

nxxnxxn

nn iSSS 2

22

212

221

212 −+−

++

=

( ) ( ) ( ) ( )50

302,109202,101250

306,14202,28 222 −+−++=S

( ) ( )

2,1050

30920122211 =+

=+

=n

nxnxx

2,2216,204,2050

10804,202 =+=+=S

71,42,22 ==S

23. Solución: No es posible. La variabilidad se está elevando al cuadrado, por lo tanto cualquier valor negativo, pasa a ser positivo. 24. Solución:

nnxnx

x 2211 +=

( ) ( )40

23050

4020302050

=+

=+

=x

10=S %2525,04010 ===CV


12

25. Solución:

iy in iH ih ''iZ ii nZ '' ii nZ 2''

10 6 0,12 0,12 -2 -12 24 20 10 0,32 0,20 -1 -10 10 30 18 0,68 0,36 0 0 0 40 10 0,88 0,20 1 10 10 50 6 1,00 0,12 2 12 24 Σ 50 - 1,00 - 0 68

iX if n

Fi nf i 'id ii fd '

ii fd 2'

==nn

h ii n

f i ==nn

h 11 n

f1 5012,06

1

1 ===hn

n

( ) ( ) 1020,05022 === hnn

nnZ

cOy iit

''Σ+=

Σ+=

nfd

iAX ii'

( ) 3001030 =+=y 30=Y

iy in iH

10 6 0,12 20 - 0,32 30 - - 40 - - 50 - - Σ - -

iX if n

Fi

iy in yyi −

2)( yyi −

ii nyy 2)( −

10 6 -20 400 2.400 20 10 -10 100 1.000 30 18 0 0 0 40 10 10 100 1.000 50 6 20 400 2.400 Σ 50 - - 6.800


13

Σ−

Σ=

2'2''22

nnZ

nnZ

c iiiiS

Σ−Σ=2'2'

22

nfd

nfd

iS iiii

( ) ( ) 13636,1100050

681002 ==

−=S

nnyy

S ii∑ −=2

2 )(136

50800.6 2 === S

66,11136 ==S

66,11=S

3886,03066,11 ===

yCV S %86,38=CV

26. Solución:

1021 =+ xx 52

21 =+

=xx

x 421 == xxM g

21 10 xx −= → 214 xx= → 2116 xx= →

21

16x

x = → 22

1016 xx

−= → 2221016 xx −= →

01610 2

22 =+− xx 81 =x 22 =x

92526825

2464

52

28 222

2 =−=−+

=−+

=S 92 =S 3=S

%606,053 ===CV

27. Solución:

( ) ( )5,121

1003012570120

=+

=x


14

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )100

305,121125705,121120100

3097036 222 −+−

++

=S

15,3325,590,27100525

100790.22 =+=+=S

15,332 =S

76,5=S

%74,40474,05,121

76,5 ===CV

28. Solución: Siendo: 10=x 3=XS 92 =XS

[ ] [ ] [ ]24 MMM XY += → [ ] ( )42

2104

=−+=YM

[ ] yM Y == 42

[ ] [ ] [ ]216 VVV XY += → [ ] ( ) 144916 ==YV 1442 =Ys 12=Ys

%57,282857,04212 ==== XX dCV

yCV YS

=

29. Solución:

iy in iN ''iZ ii nZ '' ii nZ 2'' iy in 2

iy in

30 4 4 -1 -4 4 120 3.600 50 16 20 0 0 0 800 40.000 70 25 45 1 25 25 1.750 122.500 90 5 50 2 10 20 450 40.500 Σ 50 - - 31 49 3.120 206.600

iX if iF 'id ii fd ' ii fd 2' iX if 2

iX if

Σ+=

nnZ

COy iit

''

n

fdiAX ii

'Σ+= 4,6250120.3 ==y


15

5031504,62 C+= n

ynnY iiS∑ −=

222

C62,0504,62 =− n

S2

2 )4,62(50600.206 −=

C62,04,12 = 24,2382 =S

44,15=S

2062,04,12 ==C 20=i

Σ−

Σ=

2''2''22

nnZ

nnZ

C iiiiS

Σ−Σ=2'2'

22

nfd

nfd

iS iiii

( ){ } 24,23862,098,04005031

504920 2

222 =−=

−=S

44,1524,238 ==S

%74,242474,04,62

44,15 ===CV CV = 24,74%

30. Solución: a) 000.96=AS 000.97=BS AB SS > 97.000 > 96.000

b) %32,101032,0000.930000.96 ====

A

AA x

CVS

%51,90951,000.020.1

000.97 ====B

BB x

CVS

%51,9%32,10 > BA CVCV > 31. Solución:

[ ] $753.1740.113 demillonesxKM xk =+=+=+ [ ] [ ]2$ de millones 100.8==+ xxk VV


16

90100.8 ==S %13,50513,0753.190 ====

xCV S

32. Solución:

[ ] [ ] 2,11444 === xMM Xx [ ]22

2 xMX

S −=

8,242,11 ==x 22 8,205,15 −=S

[ ] [ ] [ ] [ ] 25,304422 44

22 =++== +++ XXXXX MMMM 84,705,152 −=S

[ ] ( ) 25,3048,2405,1522 =++=+XM 21,72 =S

[ ] 05,152,11425,302 =−−=X

M 69,221,7 ==S

9607,080,269,2 ==CV

%07,96=CV

33. Solución: Como las dos variables están dadas en unidades diferentes (hectáreas y pesos), se debe usar el coeficiente de variación.

xCV S=

%60,545460,040,3533,19 ===ACV %90,70790,0

750.945708.74 ===BCV

BA CVCV > 34. Solución:

a) El tipo A tiene mayor variabilidad absoluta. 22BA SS > 400.5800.7 >


17

En cuanto a la variabilidad tenemos que:

%04,111104,0800

31,88 ====A

AA x

CVS

%30,111130,0650

48,73 ====B

BB x

CVS

AB CVCV > %04,11%30,11 >

b) 27,048,73

650630

13,131,88

800700

2

1

−=−=

−=−=

Z

Z

12 ZZ > -1,130,27- >

c) 21

2211

ww

wxwxx

++=

horasx 7252

650800 =+=

Suponiendo las mismas cantidades 1n y 2n

2

)725650()725800(

2

5400800.7 222 −+−++=s

57,110

225.12625.5600.62

==+=

s

s ; %25,15100

725

57,110 ==CV

35. Solución:

280.2333

1321

321 ==××=

ini

i

nnn yyyy π 6011

3

1332211 =Σ=++

=nynynyny

i

Como la distribución es Simétrica 1n = 3n


18

1315321 ++==++ nnn 5321 =++ fff

Además siendo: 12560 ==

Σ=

nny

y ii n

fXX iiΣ=

6036 31 =++ yy 6036 31 =++ XX 24366031 =−=+ yy 280.233321 =yyy ( ) 280.233728.1 31 =yy

135728.1280.233

31 ==yy 13531 =yy

iy in ii ny iniy

1 12 3 36 1.728 1

Σ 5 60 233.280

iX if ii fX ifiX

Se tienen dos ecuaciones con dos incógnitas

13531 =yy 2431 =+ yy

31

135y

y = 3

1135X

X =

241353

3

=+ yy

323 24135 yy =+

013524 3

23 =+− yy

iy in ii ny ii ny2

9 1 9 81 12 3 36 432 15 1 15 225 Σ 5 60 738

iX if ii fX ii fX 2


19

== 91y 1X

== 153y 3X

22

2 Xn

fXS ii −Σ=

6,3125

738 222

2 =−=−Σ

= yn

ny iiS

9,16,3 ==S

%83,151583,012

9,1 ====y

CV S

36. Solución: a) ( ) 000.30010,0000.000.3 = y le queda $ 2.700.000 (Cientos de $)

[ ] ==−22XKX SS no cambia, por lo tanto 2000.302 =S (Cientos de $)g

b) Utilidad = ingresos – gastos 000.550$000.450.2000.000.3 =−= (Cientos de pesos) [ ] ==−

22XKX SS no cambia, por lo tanto $000.30 decientosS =

%45,5000.550000.30100 ===

xCV S

37. Solución:

iy in ii ny ii ny2 JN ei My − iei nMy −

2 6 12 24 6 4 24 4 18 72 288 24 2 36 6 16 96 576 40 0 0 8 12 96 768 52 2 24

10 8 80 800 60 4 32 Σ 60 356 2.456 - 116


20

iX if ii fX ii fX 2 JF ei MX − iei fMX −

nny

y iiΣ=

nfX

X iiΣ=

93,560

356==y cuartos por habitación

nynny ii

S

222 −Σ

= n

XnfXS ii

222 −Σ=

( )7328,5

6093,560456.2 2

2 =−=S

3943,27328,5 ==S

302

60

2==n

241 =−JN 40=JN

241 =−JF 40=JF 6== Je yM

n

nMyD iei

e

−Σ=

n

fMXD iei

e

−Σ= 93,1

60

116 ==⇒ eD

La desviación mediana debe ser menor que la desviación típica

17,293,1 <⇒< SeD queda comprobado

%30,4010093,539,2100 ==⇒= CV

XSCV

38. Solución: [ ] [ ] [ ] [ ]750.1013,1750,1013,1 MMMM XXY i

+== +

a) [ ] ( ) 750.10000.12013,1750.1013,1 +=⇒+== yxyM Y


21

350.146$750.10600.135 =+=y Semanal

b) ( ) 600.45$38,0000.120000.120

38,0 ==⇒= SS

[ ] [ ] [ ] ( ) ==⇒=+

22

13,1750.1013,1600.4513,122 XXY VVV

( ) ( ) semanalespesosSY 528.51600.4513,1600.4513,1 22 ===

%21,35100350.146

528.51 ==CV

39. Solución:

15100500.1 ==y

( )175

10015100000.40 2

2 =−

=S a) 23,13175 ==S

b) %2,8810015

23,13 ==CV

c) 68,023,13

1524 =−=−=S

xXZ

40A. NOTA: Hay en el libro dos (2) ejercicios diferentes con el mismo consecutivo

[ ] kxM kx +=+ 41x 41536 ==+=x

[ ] [ ]Xkx VV =+ 642 =xs 8=xs

100xsVC =

)%(22%51,19 %51,19100418 cambia≠=


22

40B. Solución:

11,7964

1 ==x 13678

2 ==x

( )56,10

911,79550 2

21 =−=S

( )67,19

6136132.1 2

22 =

−=S

25,31 =S 44,42 =S

b) 27,025,3

11,781 =−=Z 45,0

44,4

13152 =

−=Z

12 ZZ > 27,045,0 >

c) ( ) ( )

47,915

786415

136911,7=

+=

+=x

( ) ( ) ( ) ( )

15647,913947,911,7

15667,19956,10 22

2 −+−++=S

53,223261,8204,142 =+=S 75,4=S

%16,5010047,975,4 ==CV

41. Solución:

''1 ii yy −− in iy ii ny

ii ny2 8,1 – 16 3 12 36 432

16,1 – 24 6 20 120 2.400 24,1 – 32 10 28 280 7.840 32,1 – 40 15 36 540 19.440 40,1 – 48 4 44 176 7.744 48,1 – 56 2 52 104 5.408

Σ 40 - 1.256 43.264 ''

1 ii XX −− if iX ii fX ii fX 2


23

b) 375,298

2352 ==x (Datos sin agrupar)

( )

48,4238

375,298291.10 222 =−=S 58,202 =S

a) 40,3140256.1

1 ==x (Datos agrupados)

( )

64,9540

4,3140264.43 221 =−=S 78,964,95 1

21 =⇒= SS

1) 22

21 SS < 2) %15,31100

40,3178,9

1 ==CV 3) 16,078,9

40,31331 =−=Z

48,42364,95 <

%06,70100375,2958,20

2 ==CV 18,058,20

38,29332 =−=Z

Hay una mayor

Variabilidad 21 CVCV < 12 ZZ > en la segunda %06,70%15,31 < 16,018,0 > 42. Solución:

a) ( ) ( )

14,857.29$70

000.3240000.2730 =+=x Salario diario promedio para los 70 primeros

b) 14,857.29

35,0 S= ⇒ ( ) 00,450.10$999,449.1014,857.2935,0 ===S

500.202.1092 =S 43. Solución:

22

2 xnxiS −

Σ=

51,167,510490 22 =−=S

06,4=S


24

%23,711007,506,4 ==CV es el coeficiente de variación.

EJERCICIOS DE PUNTAJE TÍPICO, COEFICIENTES DE DESVIA CIÓN MEDIA, DESVIACIÓN MEDIANA 44. Solución:

''1 ii yy −− iy in iN ii ny ii ny2

2,75 – 4,25 3,5 4 4 14,00 49,00 4,25 – 5,75 5,0 16 20 80,00 400,00 5,75 – 7,25 6,5 25 45 162,50 1.056,25 7,25 – 8,75 8,0 5 50 40,00 320,00

Σ - 50 - 296,50 1.825,25 ''

1 ii XX −− iX if iF ii fX ii fX 2

1'

21 yCyo =+ '

4' 4 yCyo =+

Reemplazando tenemos: 5,35,0' =+ Cyo 5,84' =+ Cyo Si eliminamos a '

oy se obtendrá el valor de C 75,84' =+ Cyo

50,321' −=−− Cyo 50,1

50,3

25,5 ==C

25,55,3 =C a) Coeficiente de variación

93,550

50,296 ==Σ

=n

nyy ii

nfX

X iiΣ=

22

2 yn

ny iiS −Σ

= 22

2 Xn

fXS ii −Σ=

35,116,3551,3693,550

25,825.1 22 =−=−=S 35,116,1 ==S


25

y

CV S= %56,191956,093,5

16,1 ===CV

b) Desviación media

iy ( )yyi − yyi − ii nyy − in

3,5 -2,43 2,43 9,72 4 5,0 -0,93 0,93 14,88 16 6,5 0,57 0,57 14,25 25 8,0 2,07 2,07 10,35 5

Σ - - 49,20 50

iX id id ii fd if

98,050

20,49 ==−Σ

=n

nyyD ii

a n

fdD ii

a

Σ=

c) Desviación mediana

n

nMyD iei

e

−Σ=

n

fMXD iei

e

−Σ=

87,050

5,43 ==eD

5,6== Je yM

21nN j <− 25

250

2==n

iy in iN ei My − iei nMy −

3,5 4 4 3,0 12,0 5,0 16 20 1−→ JN 1,5 24,0

6,5 25 45 jN→ 0 -

8,0 5 50 1,5 7,5 − 50 - - 43,5

iX if iF ei MX − iei fMX −


26

45. Solución:

6,2850

430.1 ==y

a) 32,7696,81728,89450430.1

50714.44

22 =−=

−=S ; 736,8=S

b) Desviación media

6,28=y

44,750372 ==

Σ=

n

nZD ii

a

n

fdD ii

a

Σ=

c) Desviación mediana

n

nMyD iei

e

−Σ=

n

fMXD iei

e

−Σ=

44,750372 ==eD

35;25;25250

2 1 ==== − JJ NNn

''1 ii yy −− iy iN in ii ny ii ny2

10,1 – 16 13 4 4 52 676 16,1 – 22 19 12 8 152 2.888 22,1 – 28 25 25 13 325 8.125 28,1 – 34 31 35 10 310 9.610 34,1 – 40 37 44 9 333 12.321 40,1 – 46 43 50 6 258 11.094

Σ - - 50 1.430 44.714 ''

1 ii XX −− iX iF if ii fX ii fX 2

iZ iZ in ii nZ iN

-15,6 15,6 4 62,4 4 -9,6 9,6 8 76,8 12 -3,6 3,6 13 46,8 25 2,4 2,4 10 24,0 35 8,4 8,4 9 75,6 44

14,4 14,4 6 86,4 50 Σ - 50 372,0 -

id id if ii fd iF

in ei My − ei My − iei nMy −

4 -15 15 60 8 -9 9 72

13 -3 3 39 10 3 3 30 9 9 9 81 6 15 15 90

50 - - 372

if ei MX − ei MX − iei fMX −


27

21 jj

e

yyM

+= −

28256

23125 ==+=eM 28'

1 == −je yM

(marcas de clase) (variable continua)

d) %5,30305,06,28

736,8 ====x

CV S

46. Solución:

ii hyy Σ== 4,29

Σ==nf

XX ii4,29

214,84,293322 =−=+ hyhy 4,84,5 0,3 ; 4,29

====∑

sumahy

hyhy

ii

iiii

68,032,0132 =−=+ hh 32 68,0 hh −= 213322 =+ hyhy

( ) 213568,025 33 =+− hh 21352517 33 =+− hh

410 3 =h 4,03 =h 28,02 =hnf2=

''1 ii yy −− ih iy ii hy

10 – 20 0,20 15 3,0 20 – 30 0,28 25 7,0 30 – 40 0,40 35 14,0 40 – 50 0,12 45 5,4

Σ 1,00 - 29,4

''1 ii XX −−

nf i / iX

nf

X ii


28

21nH j <−

n

nMyD iei

e

−Σ=

n

fMXD iei

e

−Σ=

35== Je yM

nfMX i

ei −Σ=eD ⇒ 8De =−Σ= iei hMy

47. Solución:

iy in iN ei My − iei nMy − iy ii ny ii ny2 130 3 3 90 270 260 780 202.800 148 6 9 72 432 296 1.776 525.696 160 5 14 60 300 320 1.600 512.000 220 3 17 0 0 440 1.320 580.800 280 2 19 60 120 560 1.120 627.200 320 4 23 100 400 640 2.560 1.638.400 400 7 70 180 1.260 800 5.600 4.480.000 Σ 30 - - 2.782 - 14.756 8.566.896


iX ii fX ii fX 2

a) 15230

2==n

141 =−JN ; 17=JN 220== Je yM

iy ih iH ei My − ei My − iei hMy −

15 0,20 0,20 -20 20 4,0 25 0,28 0,48 -10 10 2,8 35 0,40 0,88 0 0 0 45 0,12 1,00 10 10 1,2 Σ 1,00 - - - 8,0

iX nf i / n

Fi ei MX − ei MX −

−nf

MX iei


29

73,9230782.2 ==eD

b) %15,42100220

73,92100 ===

e

ee M

DCD

c) 87,49130756.14 ==y

( )

10,627.4330

87,49130896.566.8 22 =−=S

La nueva varianza es de 10,627.43 y la 87,208=S

El coeficiente de variación es: %46,4210087,49187,208 ==CV

48. Solución:

''1 ii yy −− in iy yyi − ii nyy −

8,1 – 16 3 12 19,4 58,2 16,1 – 24 6 20 11,4 68,4 24,1 – 32 10 28 3,4 34,0 32,1 – 40 15 36 4,6 69,0 40,1 – 48 4 44 12,6 50,4 48,1 – 56 2 52 20,6 41,2

Σ 40 321,2 ''

1 ii XX −− if iX XX i − ii fXX −

Nota: de acuerdo al ejercicio No. 41, se obtuvo:

=y 1X 40,31= 64,9521 =S 78,91 =S

2x 38,29= 48,42322 =S 58,202 =S

401 =n 82 =n

a) ( ) ( )

06,3148

838,294040,31 =+=x


30

( ) ( ) ( ) ( )

48806,3138,294006,314,31

48848,4234064,95 22

2 −+−+

+=S

85,15057,028,1502 =+=S 28,12=S

%54,3910006,3128,12 ==CV

b) 03,840

2,321 ==−Σ

=n

nyyD ii

a

iy in iN ei My − iei nMy −

12 3 3 24 72 20 6 9 16 96 28 10 19 8 80 36 15 34 0 0 44 4 38 8 32 52 2 40 16 32 Σ 40 - - 312


e) 20240

2==n 191 =−JN 34=JN 36== Je yM

n

fMXD iei

e

−Σ= 8,7

40312 ==

−Σ=

n

nMyD iei

e

d) 78,9=S 03,8=aD 8,7=eD 78,903,88,7 << Se cumple la relación: Sae DD <<


31

49. Solución:

4,9547 ==x

8=eM

28,55

4,26 ==−Σ

=n

xxD i

a

0,5525 ==

−Σ=

n

MxD ei

e

04,394,95

637 222

2 =−⇒−Σ

= xnxiS

25,604,39 ==S

6,25 > 5,28 > 5,0 ea DDS >> Se cumple la relación 50. Coeficiente de desviación media:

100x

DCD a

X=

Resultados con los datos de los ejercicios 47, 48, 49.

93,24530378.7)47( ==y

ix xxi − ei Mx −

2ix

2 7,4 6 4 5 4,4 3 25 8 1,4 0 64

12 2,6 4 144 20 10,6 12 400

47 26,4 25 637

iy in ii ny yyi − ii nyy −

130 3 390 115,93 347,79 148 6 888 97,93 587,59 160 5 800 85,93 429,65 220 3 660 25,93 77,79 280 2 560 34,07 68,14 320 4 1.280 74,07 296,28 400 7 2.800 154,07 1.078,49

Σ 30 7.378 - 2.885,73

iX if ii fX XX i − ii fXX −


32

191,9630

73,885.2 ==Da

%11,3910093,245

191,96 ==CDa

%57,2510040,3103,8

)48( ==CD

17,5610040,928,5)49( ==CD

51. Solución: Cálculo de los coeficientes de desviación mediana con los datos de los ejercicios 47, 48, 49.

%15,42100220

73,92)47( ==eCD

%67,2110036

8,7)48( ==eCD

%50,621000,80,5

)49( ==eCD

52. Solución: a) CIERTO: con estos datos se calcula la varianza y ésta deberá ser mayor o igual a 0. b) CIERTO: es fácil la justificación c) FALSO: no hay confirmación alguna respecto a esta relación d) CIERTO: [ ]

2222 8 XXKX SSKV ==

e) FALSO: Las mismas unidades pero elevadas al cuadrado.


33

53. Solución: a) FALSO: se expresa en términos relativos o porcentuales b) FALSO: debe ser dividida por la media aritmética (relativo) o el resultado multiplicado por 100 (porcentual). c) CIERTO: en una distribución normal, ocurre la aplicación del teorema d) FALSO: esa es la virtud de esta medida 54. Solución:

( ) ( )13,0

50,217.1672.9725.933

=−

=−

=S

MxA e

S Ligeramente asimétrica positiva

55. Solución: a)

iy in ii ny iN yyi − ( ) ii nyy 2− ( ) ii nyy 3−

5 3 15 3 -3,6 38,88 -139,968 7 39 273 42 -1,6 99,84 -159,744 9 10 90 52 0,4 1,60 0,640

11 8 88 60 2,4 46,08 110,592 13 7 91 67 4,4 135,52 596,288 15 3 45 70 6,4 122,88 786,432 Σ 70 602 - - 444,80 1.194,24

iX if ii fX iF id ii fd 2 ii fd3

=y X 6,870

602 ==


34

nnyy

m ii3

3

)( −Σ=

nfd

m ii3

3

Σ= (momento de orden tres)

06,1770

24,194.13 ==m

35,670

8,4442 ==S → 52,2=S

35270

2==n 31 =−JN 42=JN 7=dM 7=eM

(1) 07,152,2

06,1733

3 ===S

mAS

(2) 63,052,2

76,8 =−=SA

(3) ( )

90,152,2

76,83 =−=SA

Hay una asimetría positiva b)

iy in ii ny iN yyi − ( ) inyy 2− ( ) ii nyy 3−

5 3 15 3 -6,17 114,2067 -704,6553 7 7 49 10 -4,17 121,7223 -507,5820 9 8 72 18 -2,17 37,6712 -81,7465

11 9 99 27 -0,17 0,2601 -0,0442 13 30 390 57 1,83 100,4670 183,8546 15 3 45 60 3,83 44,0067 168,5457 Σ 60 670 - - 418,3340 -941,6277


=y X 17,1160

670 ==


35

69,1560

6277,9413 −=−=m (momento de orden tres)

97,660

334,4182 ==S → 64,2=S

13=dM 13=eM 30260

2==n 271 =−JN 57=JN

(1) 85,064,2

69,153

−=−=SA

(2) 69,064,2

1317,11 −=−=SA 13=dM

(3) ( )

07,264,2

1317,113 −=−=SA 13=eM

Asimetría negativa c)

=y X 1070

700 ==

03 =m

iy in ii ny iN yyi −

( ) ii nyy 2−

( ) ii nyy 3−

5 5 25 5 -5 125 -625 7 10 70 15 -3 90 -270 9 20 180 35 -1 20 -20

11 20 220 55 1 20 20 13 10 130 65 3 90 270 15 5 75 70 5 125 625 Σ 70 700 0 470 0



36

71,6704702 ==S

(1) 0=SA (simétrico) 11=dM 9=dM 102119 =+=eM

Promedio = 10 NOTA: Los histogramas se dejan para ser elaborados por usted.

35270

2==n 351 =−JN 55=JN

(2) 0=SA (3) 0=SA Es simétrica 56. Solución:

a) 20=n 9,4720958 ==x

( )

09,23720

9,4720630.50 22 =

−=S → 40,15=S

• Desviación típica → S = 15,40

• Coeficiente de variación → 15,3210090,4740,15

100 ===x

CV S

• Mediana:

25 28 28 32 34 36 38 40 40 4642 51 56 58 62 64 64 68 70 76

442

4642 =+=eM

• Desviación mediana: +++++++++=−Σ 44681012161619ei Mx


37

2723226242020181412722 =++++++++++

6,1320272 ==

−Σ=

n

MxDM ei

e

b) 512576 =−=Rango 9651 ≅==

mRango

C

=y X 3,4720

946 ==

( )20

3,4720379.49 22 −

=S

66,2312 =S

22,15=S

%18,3210030,4722,15 ==CV

57. Solución: a) 362

1 =S ; 66,23122 =S ⇒ 2

122 SS >

3666,231 > Mayor variabilidad en el segundo caso

b) %58,151005,38

61 ==CV

%18,322 =CV 12 CVCV >

''1 ii yy −− in iy ii ny

ii ny2 23,1 – 32 4 27,5 110,0 3.025,00 32,1 – 41 5 36,5 182,5 6.661,25 41,1 – 50 2 45,5 91,0 4.140,50 50,1 – 59 3 54,5 163,5 8.910,75 59,1 – 68 4 63,5 254,0 16.129,00 68,1 – 77 2 72,5 145,0 10.512,50

Σ 20 - 946,0 49.379,00 ''

1 ii XX −− if iX ii fX ii fX 2


38

%58,15%18,32 > Mayor variabilidad relativa en la

segunda distribución

c) 58,16

5,38481 =−=Z

18,022,15

3,47502 =−=Z 21 ZZ > ⇒ 18,058,1 >

58. Solución:

''1 ii yy −− iy in ii ny yyi − ( ) ii nyy 2− ( ) ii nyy 3− ( ) ii nyy 4−

23,1 – 32 27,5 4 110,0 -19,8 1.568,16 -31.049,568 614.781,4464 32,1 – 41 36,5 5 182,5 -10,8 583,20 -6.298,560 68.024,4480 41,1 – 50 45,5 2 91,0 -1,8 6,48 -11,664 20,9952 50,1 – 59 54,5 3 163,5 7,2 155,52 1.119,744 8.062,1568 59,1 – 68 63,5 4 254,0 16,2 1.049,76 17.006,112 275.499,1440 68,1 – 77 72,5 2 145,0 25,2 1.270,08 32.006,016 806.551,6032

Σ - 20 946,0 4.633,20 12.772,08 1.772.939,7936 ''

1 ii XX −− iX if ii fX XXi − ( ) ii fXX 2− ( ) ii fXX 3− ( ) ii fXX 4−

=y X 3,4720

946 ==

66,23120

20,633.42 ==S → 22,15=S

604,63820

08,772.123 ==m (momento de orden tres)

99,646.8820

7936,939.772.14 ==m (momento de orden cuatro)

a) Se trata de una distribución asimétrica positiva 18,022,15

604,6383

3

3===

S

mAS

Ligeramente asimétrica, casi normal.

b) 65,122,15

99,646.884

4

4===

S

mAp ⇒ 0,365,1 < Es achatada


39

59. Solución:

654321 nnnnnnn +++++=

( ) 1111 530305150 nnnn +++++++= 704150 1 +=⇒ n

84 1 =n ⇒ 201 =n ; 252 =n ; 303 =n ; 304 =n ; 255 =n ; 206 =n

Σ+=

nnZ

COy iit

''

Σ+=n

fdiAX ii

'

4115022550 =

−+= Cy

C5,15041 −=−

65,1

9 =−−=C

yyi −

( ) ii nyy 2−

( ) ii nyy 3−

( ) ii nyy 4−

ii nyy −

iei nMy −

iN

-15 4.500 -67.500 1.012.500 300 300 20 -9 2.025 -18.225 164.025 225 225 45 -3 270 -810 2.430 90 90 75 3 270 810 2.430 90 90 105 9 2.025 18.225 164.025 225 225 130

15 4.500 67.500 1.012.500 300 300 150 0 13.590 0 2.357.910 1.230 1.230 -

id ii fd2 ii fd3 ii fd4 ii fd iei fMX −

iF

iy in ''iZ ii nZ ''

26 20 -4 -80 32 25 -3 -75 38 30 -2 -60 44 30 -1 -30 50 25 0 0 56 20 1 20 Σ 150 -9 -225

iX if 'id ii fd '


40

a) =y x 41=

6,90150

590.132 ==S 52,9=S

6,902 =S S=52,9 %22,231004152,9 ==CV

b) 033 ==

S

mAS 41=eM

( )0

52,941413 =−=SA

052,9

4141 =−=−

=S

diS

MMA La distribución es simétrica

c) 4,719.15150

910.357.24 ==m 392,1

6,904,719.15

2<==pA Achatada

60. Solución: a)

24,2750362.1 ==y

a) varianza 0824,13050

12,504.6S 2 ==⇒

b) 41,110824,130 ==S

iy ii ny yyi − ii nyy − ei My − iei nMy − ii nyy 2−

9,0 27 18,24 54,72 19,75 59,25 998,0928 13,5 135 13,74 137,40 15,25 152,50 1.887,8760 17,5 105 9,74 58,44 11,25 67,50 569,2056 24,0 96 3,24 12,96 4,75 19,00 41,9904 32,0 256 4,76 38,08 3,25 26,00 181,2608 38,0 608 10,76 172,16 9,25 148,00 1.852,4416 45,0 135 17,76 53,28 16,25 48,75 946,2528

1.362 Σ 527,04 - 520,50 6.504,1200


41

c) %89,4110024,2741,11 ==CV

d) Desviación media 54,1050

04,527 ==aD

e) Desviación mediana 41,1050

5,520 ==eD

Mediana 25250

2==⇒ nM e 231 =−IN ; 31=IN

75,2875,0288

2325628 =+=

−+=eM

Sae DD <≤ 54,1041,10 ≤⇔ < 11,41 61. Solución: a) Asimetría

17,062,474.148,244

33 −=−==

S

mAs (Ligera asimetría negativa)

( )

48,24450

22,224.123

3 −=−=−= ∑n

nyym ii (Momento de orden tres)

( )

99,115.2650

88,799.305.14

4 ==−= ∑n

nyym ii (Momento de orden cuatro)

b) Apuntamiento

55,161,780.1699,115.26

)( 224

44 ====

SS

mmAp

Achatada (platicúrtica) 355,1 <⇒ 62. Solución: 1)

''1 ii yy −− in iy


42

6,9=Ay 1210120==x

64,322 =AS 99,442 =BS 71,5=AS 71,6=BS

a) AB SS > 22

AB SS > 71,571,6 > 62,3299,44 >

b) %48,591006,9

71,5 ==ACV ; %92,5510012

71,6 ==BCV AB CVCV <

%48,59%92,55 <

c) Puntaje típico: 47,171,7

6,918 =−=AZ 89,071,6

1218 =−=BZ BA ZZ >

2) 1210120 ==Bx

( )

99,4410

1210890.1 22 =−=BS

71,6=BS 63. Solución:

nnxnx

x 2211 +=

( ) ( )

94,970

1012606,9 =+=x

( ) ( ) ( ) ( )=+=−+−++= 7,040,34

701094,9126094,96,9

701099,446064,32 22

2S

92,510,352 =⇒= SS

2,1 – 6 22 4 6,1 – 10 14 8 10,1 – 14 10 12 14,1 – 18 8 16 18,1 – 22 4 20 22,1 – 26 2 24

Σ 60 - ''

1 ii XX −− if iX


43

%59,5910094,992,5

100 ===x

CV S

a) ( ) 486,95 ==x ( ) 81664,32522 ==S 57,28816 ==S

%52,5910048

57,28 ==CV

Anteriormente nos había dado 59,56% ahora nos da casi igual: 59,52%, diferencia sin importancia por los decimales. Se puede concluir que no cambia. b) 6,196,910 =+=x [ ]XKVS +=2

64,322 =S 71,5=S

%13,2910060,19

71,5 ==CV Cambia el resultado

64. Solución:

Asimetría:

98,071,5

46,91 =−=−

=S

dS

MMA

( ) ( )

69,071,5

29,86,933 1 =−=−

=S

eS

MMA

302

60 =

''1 ii yy −− iy in iN

2,1 – 6 4 22 22 6,1 – 10 8 14 36 10,1 – 14 12 10 46 14,1 – 18 16 8 54 18,1 – 22 20 4 58 22,1 – 26 24 2 60

Σ 60 - ''

1 ii XX −− iX if iF


44

29,829,2614

22304646,9 =+=

−+=== ed MMy

Hay una ligera asimetría positiva

34,14860

61,900.83 ==m

80,017,186

34,148

71,5

34,1483 ===sA

Asimétrico positivo

53,804.260

87,271.1684 ==m

63,237,065.1

53,084.2

64,32

53,804.22 ===pA

Como 00,363,2 < se dice que la curva es achatada. 65. Solución: a) 600.962600.851 < ⇒ Hay una mayor variabilidad absoluta en el turno II

b) %094,000094,0100000.97882,922

100100000.978600.851

1

1 =====x

CVS

I

%082,000082,0100500.203.112,981

100100500.203.1600.962

2

2 =====x

CVS

II

21 CVCV > Hay mayor variabilidad relativa en el primer turno.

( ) ii nyy3

− ( ) ii nyy4

− -3.863,55 21.635,89

57,34 91,75 138,24 331,78

2.097,15 13.421,77 4.499,46 46.794,34 5.971,97 85.996,34 8.900,61 168.271,87

3)( XX i − if 4)( XX i − if


45

c) 000.000.1$000.22000.9781 =+=+ Kx %092,0100000.000.1

82,9221 ==CV

745.287.1$245.84500.203.12 =+=+ Kx %076,0100745.287.112,981

2 ==CV

21 CVCV > %076,0%092,0 > 66. Solución:

''1 ii yy −− iy in ii ny yyi − ( )2yyi − ( ) ii nyy 2− ( ) ii nyy 3− ( ) ii nyy 4−

2,1 – 6 4 3 12 -8,87 78,6769 236,0307 -2.093,5923 18.570,1638 6,1 – 10 8 12 96 -4,87 23,7169 284,6028 -1386,0156 6.749,8961 10,1 – 14 12 25 300 -0,87 0,7569 18,9225 -16,4626 14,3224 14,1 – 18 16 11 176 3,13 9,7969 107,7669 337,3073 1.055,7717 18,1 – 22 20 7 140 7,13 50,8369 355,8583 2.537,2697 18.090,7328 22,1 – 26 24 2 48 11,13 123,8769 247,7538 2.757,4998 30.690,9727

Σ - 60 772 - - 1.250,9350 2.136,0063 75.171,8595 ''

1 ii XX −− iX if ii fX id 2

id ii fd 2 ii fd 3 ii fd 4

87,1260

772 ==y 85,2060

935,250.12 ==S 57,485,20 ==S

Asimetría: 37,057,4

60,3533

3 ===S

mAS 60,35

600063,136.23

3 === ∑n

nZm ii

Hay poca asimetría y es positiva

Apuntamiento: ( ) ( )88,2

85,20

86,252.1222

4 ===S

mAp 86,252.1

6086,171.754

4 === ∑n

nZm ii

388,2 < Luego se concluye que es ligeramente achatada

a) %51,3510087,1257,4

100 ===y

CV S

b) 12,057,4

87,1212 −=−=−

=S

yyZ i

c)


46

56,360

40,213 ==−

=∑

n

nyyD ii

a (Desviación media)

4,1225

1530410 =−+=Mediana

302

=n 151 =−JN 40=JN

Variable continua: 41,360

0,204 ==−

= ∑n

nMyD iei

e

67. Solución:

( ) 020.852000.8042,0000.810000.810)( =+×+=+ kxx aritméticamedianueva020.852$000.8020.34000.810 =++=x

( ) 2,727.306$36,0020.852020.852

36,0100 ==⇒=⇒= SSS

xCV

a) 22 2,727.306=S y su desviación será pesos2,727.306$ b) La varianza no cambia, cuando utilizamos la propiedad que dice:

iy in yyi − ii nyy − iN

4 3 8,87 26,61 3 8 12 4,87 58,44 15 1−← JN

12 25 0,87 21,75 40 JN←

16 11 3,13 34,43 51 20 7 7,13 49,91 58 24 2 11,13 22,26 60 Σ 60 - 213,40 -

iX if id ii fd iF

ei My − iei nMy −

8,4 25,20 4,4 52,80 0,4 10,00 3,6 39,60 7,6 53,20

11,6 23,20 - 204,00

- iei fMX −


47

[ ] [ ] [ ]

2XKXKX SVVV =+=+

68. Solución:

Mediana: 2 4 6 8 10 eM

a) 4,25

12 ==aD n

xxD i

a

∑ −=

b) 4,25

12 ==eD n

xD ei

e

∑ −=

M

c) 85402 ==S 83,28 ==S

d) SaDDe <≤ 83,24,24,2 <=

e) %17,471006

83,2 ==CV 6530==x

100xSCV =

69. Solución:

ix xxi − ( )2xxi − xxi − ei Mx −

6 0 0 0 0 4 -2 4 2 2 8 2 4 2 2 2 -4 16 4 4 10 4 16 4 4 Σ 0 40 12 12


48

[ ]

+

=896

896 YX MM ⇒ [ ] [ ]1212 += YX MM

1212 += yx

( ) 7212512 =+=x 72=x

[ ] 40,0==y

CV YY

S ⇒ ( ) 2540,0 == YS

[ ] [ ] [ ] ( ) 5764144144 2121212 ===== + YYYX SVVV

245765762 ==⇒= Xx SS

%33,331007224 ==XCV 100

xS

CV x=

70. Solución:

xy 106 −=

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]XXXY VVVVV 1000 10106 =+=−=

( ) 80081002 ==yS

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 80012816 2244 ==−=−=− y

Sx

SYXYXYX VVVVV

( ) 800128800816 −=−

[ ] [ ] 800128≠< YX VV

Podemos concluir que hay una diferencia entre las dos varianzas de 672. 71. Solución: Debido a que de MMM ==1 ; por lo tanto la diferencia entre dos de ellos es cero.


49

72. Solución: a) El más regular en el desarrollo de su trabajo es B dado que, tiene la menor dispersión; sería totalmente parejo si 02 =S b) El más rápido en terminar el trabajo es B, ya que tiene el mayor promedio. 73. Solución: a) Observemos de mayor a menor las calificaciones Derecho > Economía > Inglés > Matemáticas 3,36,30,42,4 >>> Se nota fortaleza en las dos primeras y debilidades especialmente en las matemáticas. b) Si calculamos los puntajes típicos observemos

5,06,0

3,44 −=−=EcoZ 67,075,0

8,23,3 =−=MatZ

4,08,0

2,36,3 =−=IngZ 67,06,0

6,42,4 −=−=DerZ

Matemáticas > Inglés > Economía > Derecho 67,05,04,067,0 −>−>>⇒Z La conclusión con respecto al grupo es todo lo contrario, al resultado obtenido en el punto a.


50

74. Solución:

a) =y X 57,160

94 ==

Casi en promedio dos reclamaciones en los últimos años.

b) ( )

47,360

57,160356 22 =−=S

86,147,3 ==S

c) %47,11810057,186,1

100 ===x

CV S

Estos resultados nos indican que el promedio de 1,57 es poco representativo, para aceptar la afirmación que en promedio 1,57 sea el número de reclamaciones por usuario.

iy in ii ny ii ny2 0 26 0 0 1 10 10 10 2 8 16 32 3 6 18 54 4 4 16 64 5 3 15 75 6 2 12 72 7 1 7 49 Σ 60 94 356

iX if ii fX ii fX 2

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Capítulo 4 cd