1. 1. Estadstica y muestreo, 12.ed. (Segunda reimpresin) CD Cap.8 Pruebas de hiptesis y lmites Ciro Martnez Bencardino Ecoe Ediciones de confianza Actualizado en diciembre de 2007 32 69. Solucin: 501 =n 74,0 50 37 1 ==p 05,0= 502 =n 46,0 50 23 2 ==p 1) 210 : PPH = 2) 05,0= 3) 111 qpsp = 21: PPHa > 222 qpsp = ( ) 65,164,14500,0 =A 4) ( ) ( ) 98,2 50 54,046,0 50 26,074,0 46,074,0 = + =Z S influye utilizar una modelo al nivel del 5%. Unilateral derecha. 70. Solucin: 1201 =n 10,0 120 12 1 ==p 05,0= 1202 =n 13,0 120 16 2 ==p 1) 210 : PPH = 2) 05,0= 3) 111 qpsp = 21: PPHa < 222 qpsp = 4) ( ) ( ) 73,0 120 87,013,0 120 9,010,0 13,010,0 = + =Z Al nivel del 5%, no hay razn para hacer dicha afirmacin, no es mayor. Unilateral izquierda.
2. 2. Estadstica y muestreo, 12.ed. (Segunda reimpresin) CD Cap.8 Pruebas de hiptesis y lmites Ciro Martnez Bencardino Ecoe Ediciones de confianza Actualizado en diciembre de 2007 33 71. Solucin: 1201 =n 25,01 =p 05,0= 1502 =n 15,02 =p 1) 210 : PPH = 2) 05,0= 3) 111 qpsp = 21: PPHa 222 qpsp = 4) ( ) ( ) 04,2 150 85,015,0 120 75,025,0 15,025,0 = + =Z Al nivel del 5%, se puede aceptar dicha afirmacin. Si es diferente. DISTRIBUCIN t DE STUDENT DISTRIBUCIN DE MEDIAS MUESTRALES (muestras pequeas) 72. Solucin: 29=n 000.808=x 000.16 =s 1) 000.800:0 =H 2) %5= 3) 000.16 =s 000.800: aH 4) 64,2 000.16 28000.8 28000.16 000.800000.808 == =t Se rechaza la hiptesis de que 000.500= , por lo tanto aceptamos que el verdadero ingreso medio por familias en la ciudad es diferente de $800.000, al nivel del 5%. NOTA: Observe que se toma el nivel del 5%, a lado y lado de la RC.
3. 3. Estadstica y muestreo, 12.ed. (Segunda reimpresin) CD Cap.8 Pruebas de hiptesis y lmites Ciro Martnez Bencardino Ecoe Ediciones de confianza Actualizado en diciembre de 2007 34 73. Solucin: 10= 16=n 4,10=x 5,0 =s 05,0= 15116 ==v 15= 7530,1=t 1) 10:0 =H 2) %5= 3) 5,0 =s 10: >aH 4) ( ) 10,3 5,0 87,34,0 5,0 154,0 15 5,0 104,10 === =t Al nivel del 5%, se puede concluir que el sedal de la marca G, ofrece garanta de resistencia superior a 10 libras. Unilateral a la derecha. NOTA: Por ser unilateral se toma el doble del nivel de significacin en la RC. 74. Solucin: 1= 05,0= 5=n 2,21 = = n x x ( ) 64,1 1 2 1 = = n xx s 1318,2=t 4= 1) 1:0 =H 2) 05,0= 3) 64,1=s 1: >aH (corregida) 4) 64,1 5 64,1 12,2 = =t Se acepta la hiptesis nula, se puede contratar a la aspirante, al nivel del 5%. * En las pruebas unilaterales, en la regin crtica, se toma el doble del nivel de significacin.
4. 4. Estadstica y muestreo, 12.ed. (Segunda reimpresin) CD Cap.8 Pruebas de hiptesis y lmites Ciro Martnez Bencardino Ecoe Ediciones de confianza Actualizado en diciembre de 2007 35 75. Solucin: 5,0= 12=n 05,0= 11112 == 2010,2=t 1= = n x x ( ) 95,0 1 2 = = n xx s 1) 5,0:0 =H 2) 05,0= 3) 95,0=s 5,0: aH 4) 82,1 12 95,0 5,01 = = = n s x t Se acepta la hiptesis nula; puede considerarse que el promedio de nacimiento de mellizos por mes, es de 0,5 al nivel del 5%. 76. Solucin: 5=n 05,0= 2= 4= 1318,2=t 2,1 5 6 == = n x x i ( ) 84,0 1 2 = = n xx s i 1) 2:0 =H 2) 05,0= 3) 84,0=s 2: aH
5. 6. Estadstica y muestreo, 12.ed. (Segunda reimpresin) CD Cap.8 Pruebas de hiptesis y lmites Ciro Martnez Bencardino Ecoe Ediciones de confianza Actualizado en diciembre de 2007 37 5) 93,0 2421 7882 = =t No se puede afirmar al nivel del 1% , que el carro sea superior. Unilateral derecha. 80. Solucin: 380= 25=n 360=x 40 =s %1= 1) 380:0 =H 2) 01,0= 3) 40 =s 4) 241 == n 380: aH 5) 24,2 29000.3 250.18500.19 = =t Se observa que 2,24 cae en la regin crtica. Al nivel del 5%, se acepta la afirmacin de la asociacin, ya que el sindicato subestima el salario medio por da. Unilateral derecha.
6. 7. Estadstica y muestreo, 12.ed. (Segunda reimpresin) CD Cap.8 Pruebas de hiptesis y lmites Ciro Martnez Bencardino Ecoe Ediciones de confianza Actualizado en diciembre de 2007 38 82. Solucin: meses10,8= 25=n mesesx 5,7= 54,35,122 == ss 1) 10,8:0 =H 2) 05,0= 3) 54,3 =s 4) 241 == n 10,8: aH 4) 141 == n 5) 40,3 1411 200210 = =t Es una prueba suficiente para concluir que el tiempo medio aumenta, al nivel del 1%. Unilateral derecha.
7. 8. Estadstica y muestreo, 12.ed. (Segunda reimpresin) CD Cap.8 Pruebas de hiptesis y lmites Ciro Martnez Bencardino Ecoe Ediciones de confianza Actualizado en diciembre de 2007 39 84. Solucin: 12=n 160= 92,161 12 943.1 ==x 75,28 112 12 943.1 12699.323 2 = =s 1) 160:0 =H 2) 01,0= 3) ( )corregidas 75,28= 4) 11= 160: >aH 5) 23,0 1275,28 16092,161 = =t Estos datos no nos permiten concluir que la media poblacional sea superior a 160, al nivel del 1%. Unilateral derecha. 85. Solucin: 12= 9=n 39,39 9 5,354 ==x 23,4 19 9 5,354 925,106.14 2 = =s 1) 42:0 =H 2) 01,0= 3) ( )corregidos 23,4= 4) 81 == n 42: PHa 19120 == 1 = n pq Pp t ( ) 89,0 120 6,04,0 30,040,0 = =t Al nivel de 5% no se justifica afirmar que el procentaje de ahorradores, tienen un saldo superior al sealado por el gerente. Unilateral derecha.
8. 10. Estadstica y muestreo, 12.ed. (Segunda reimpresin) CD Cap.8 Pruebas de hiptesis y lmites Ciro Martnez Bencardino Ecoe Ediciones de confianza Actualizado en diciembre de 2007 41 88. Solucin: %3=P 28=n 07,0 28 2 ==p 05,0= 1) 03,0:0 =PH 2) 05,0= 3) pqsp = 4) 27128 == 03,0: PHa 5) ( ) 81,0 128 93,007,0 03,007,0 = =t Al nivel del 5%, se justifica afirmar que el fabricante cumple con lo prometido. Prueba bilateral. 89. Solucin: 70,0=P 30=n 63,0 30 19 ==p 05,0= 1) 70,0:0 =PH 2) 05,0= 3) pqsp = 4) 29130 == 70,0:
9. 11. Estadstica y muestreo, 12.ed. (Segunda reimpresin) CD Cap.8 Pruebas de hiptesis y lmites Ciro Martnez Bencardino Ecoe Ediciones de confianza Actualizado en diciembre de 2007 42 90. Solucin: 86,0=P 18=n 89,0 18 16 ==p %1= 1) 86,0:0 =PH 2) 01,0= 3) pqsp = 17118 == 86,0: >PHa ( ) 40,0 118 11,089,0 86,089,0 = =t El equipo no es mucho ms efectivo que el sealado por el fabricante, al nivel del 1%. Unilateral derecha. 91. Solucin: 30,0=P 25=n 28,0 25 7 ==p 05,0= 1) 30,0:0 =PH 2) 05,0= 3) pqsP = 4) 24125 == 30,0: PHa 5) ( ) 22,0 125 72,028,0 30,028,0 = =t Se puede justificar sta crtica, al nivel del 5%. Prueba bilateral.
10. 12. Estadstica y muestreo, 12.ed. (Segunda reimpresin) CD Cap.8 Pruebas de hiptesis y lmites Ciro Martnez Bencardino Ecoe Ediciones de confianza Actualizado en diciembre de 2007 43 92. Solucin: %70=P 30=n 60,0 30 18 ==p 05,0= 1) 70,0:0 =PH 2) 05,0= 3) pqsP = 29130 == 70,0: PHa ( ) 31,1 120 55,045,0 30,045,0 = =t El porcentaje no es superior al sealado por la oficina, al nivel del 10%. Unilateral derecha.
11. 13. Estadstica y muestreo, 12.ed. (Segunda reimpresin) CD Cap.8 Pruebas de hiptesis y lmites Ciro Martnez Bencardino Ecoe Ediciones de confianza Actualizado en diciembre de 2007 44 94. Solucin: %25=P 25=n 32,0 25 8 ==p %1= 1) 25,0:0 =PH 2) 01,0= 3) pqsP = 24125 == 25,0: >PHa ( ) 74,0 125 68,032,0 25,032,0 = =t La nueva tcnica no constituye un progreso en la reduccin de la mortalidad post-operatoria, al nivel del 1%. Unilateral derecha. DISTRIBUCIN DE DIFERENCIAS ENTRE DOS MEDIAS MUESTRALES 95. Solucin: 581 =x 52 1 =s 151 =n 05,0= 211 210 : : = H H 632 =x 82 2 =s 152 =n 1) yxH =:0 2) 05,0= 2821515 =+= 0484,2=t yxaH : 3) ( ) ( ) 93,0 15 1 15 1 21515 81155115 =+ + + = yxs 4) 38,5 93,0 5 93,0 6358 = = =t Se ubica en la regin de rechazo, por tanto aceptamos que yx , o sea que existe diferencia entre los coeficientes de digestibilidad de los ovinos y bovinos, al nivel del 5%.
12. 14. Estadstica y muestreo, 12.ed. (Segunda reimpresin) CD Cap.8 Pruebas de hiptesis y lmites Ciro Martnez Bencardino Ecoe Ediciones de confianza Actualizado en diciembre de 2007 45 96. Solucin: 5,2 4 10 ==x 0,3 6 18 ==y 64 21 == nn ( ) ( ) 221 22 2 + + = nn yyxx s ii 56,0 264 50,222 = + + =s 2 2 1 2 n s n s s yx += 48,0 6 56,0 4 56,0 =+= yxs 1) yxH =:0 2) 10,0= 3) 48,0= yxs yxaH : 4) 04,1 48,0 0,35,2 = =t Se ubica en la regin de aceptacin. Se puede concluir que los procesos no dan resultados diferentes, al nivel del 5%. Prueba bilateral ix iy xxi ( )2 xxi yyi ( )2 yyi 1,5 2,5 -1,0 1 -0,5 0,25 2,5 3,0 0 0 0 0 3,5 3,0 1,0 1 0 0 2,5 4,0 0 0 1,0 1,00 3,5 0,5 0,25 2,0 -1,0 1,00 10,0 18,0 0 2 0 2,50
13. 15. Estadstica y muestreo, 12.ed. (Segunda reimpresin) CD Cap.8 Pruebas de hiptesis y lmites Ciro Martnez Bencardino Ecoe Ediciones de confianza Actualizado en diciembre de 2007 46 97. Solucin: 143 5 715 ==x 138 5 690 ==y 101 8 808 255 5342742 == + + =s 36,64,40 5 202 5 101 5 101 ===+= yxs 1) yxH =:0 2) 05,0= 3) 36,6= yxs yxaH >: 4) 79,0 36,6 5 36,6 138143 == =t Se puede concluir que el nuevo mtodo no ha aumentado la resistencia a la comprensin, al nivel del 5%. Unilateral a la derecha. 98. Solucin: 121 =n 72 =n 120=x 101=y 45,457 112 032.52 = =xs 33,425 17 552.22 = =ys ( ) ( ) 48,12 7 1 12 1 2712 33,4251745,457112 =+ + + =yxs 17= 1098,2=t 1) yxH =:0 2) 05,0= 3) 48,12=yxs yxaH : 4) 52,1 48,12 19 48,12 101120 == =t ix iy xxi ( )2 xxi yyi ( )2 yyi 154 144 11 121 6 36 143 131 0 0 -7 49 132 155 -11 121 17 289 147 126 4 16 -12 144 139 134 -4 16 -4 16 715 690 0 274 0 534
14. 16. Estadstica y muestreo, 12.ed. (Segunda reimpresin) CD Cap.8 Pruebas de hiptesis y lmites Ciro Martnez Bencardino Ecoe Ediciones de confianza Actualizado en diciembre de 2007 47 Estos datos no nos indican que exista una diferencia significativa entre las ganancias medias en peso, al nivel del 5%. Bilateral 99. Solucin: iy : $ 338 393 416 363 375 420 447 412 510 436 476 380 miles ( )miles n y y i 833,413 12 966.4 == = ( )milesx 428= ( ) ( )2 2 2 22 2 25,382.2 112 83,41312268.081.2 1 pesosdemiles n yny s i y = = = ( )milessx 80= ( ) ( ) 90,23 12 1 17 1 21217 8011225,382.2117 2 =+ + + = yxs 27= 052,2=t 05,0= 1) yxH =:0 2) 05,0= 3) 90,23= yxs yxaH : 4) 59,0 90,23 833,413428 = =t Se ubica en la regin de aceptacin. Se puede concluir que no existe diferencia en los salarios de los empleados de las dos empresas, al nivel del 5%.
15. 17. Estadstica y muestreo, 12.ed. (Segunda reimpresin) CD Cap.8 Pruebas de hiptesis y lmites Ciro Martnez Bencardino Ecoe Ediciones de confianza Actualizado en diciembre de 2007 48 100. Solucin: 74,12 5 7,63 ==x 02,13 7 2,91 ==y 22,0 10 2268,2 10 9948,02320,12 == + =s 27,0 7 22,0 5 22,0 =+= yxs 10= 2281,2=t 1) yxH =:0 2) 05,0= 3) 27,0= yxs yxaH : 4) 04,1 27,0 28,0 27,0 02,1374,12 = = =t La diferencia no es significativa, al nivel del 5%. Prueba bilateral. 101. Solucin: 151 =n 152 =n 131=x 136=y 25,6=xs 65,4=ys 2821515 =+= 10,0= 7011,1=t 211 210 : : = H H 1) yxH =:0 2) 05,0= yxaH : 4) 79,0 94,261.1 000.25000.26 = = = yxs yx t
16. 19. Estadstica y muestreo, 12.ed. (Segunda reimpresin) CD Cap.8 Pruebas de hiptesis y lmites Ciro Martnez Bencardino Ecoe Ediciones de confianza Actualizado en diciembre de 2007 50 3021616 =+= 6973,1=t No existe evidencia, al nivel del 5%, de que la marca A sea superior a B. Prueba unilateral derecha. 104. Solucin: 05,030,024,04,75,71220 21 ======= yx ssyxnn 1) yxH =:0 2) 05,0= yxaH : 30= 3) ( ) ( ) 2121 2 2 2 1 11 2 11 nnnn snsn s yx yx + + + = 4) ( ) ( ) 04,1 12 1 20 1 21220 09,0110576,019 4,75,7 = + + + = = yxs yx t Se acepta la hiptesis nula; la diferencia no es significativa, al nivel del 5%. Bilateral 105. Solucin: 613367.3473,5511 638286.375805,011 2 2 2 1 ==== ===== ii ii yyyn xxxn 1) yxH =:0 2) 05,0= yxaH >: ( ) ( ) 21 22 2 nn yyxx s i + + = 3) ( )[ ] ( )[ ] 24,24 21111 73,5511367.345811286.37 22 2 = + + =s 4) 20221 =+= nn
17. 20. Estadstica y muestreo, 12.ed. (Segunda reimpresin) CD Cap.8 Pruebas de hiptesis y lmites Ciro Martnez Bencardino Ecoe Ediciones de confianza Actualizado en diciembre de 2007 51 2 2 1 2 n s n s yx t + = 08,1 11 24,24 11 24,24 73,5558 = + =t Al nivel del 5%, no se puede concluir que la protena de man tostado tiene un menor efecto que el crudo, al nivel del 5%. Unilateral derecha. 106. Solucin: 1001010714 05,06411216 2 2 2 1 ==== ==== yy x ssyn sxn 1) yxH =:0 2) 05,0= yxaH : 28221 =+= nn 4) ( ) ( ) 52,1 14 1 16 1 21416 10011464116 107112 = + + + =t No existe una diferencia que se considere significativa entre el coeficiente de inteligencia segn la jornada, al nivel del 5%. Prueba bilateral. 107. Solucin: 000.784825025 500.44%54025 2 212 2 1 ==+=== ==== i i ynnyn xxn [ ] [ ] 221 2 2 22 1 2 2 + + = nn ynyxnx s ii 1) yxH =:0 2) 05,0= yxaH 3) 11 2 22 1 11 21 + = n qp n qp s pp 3) 11 2 22 1 11 21 + = n qp n qp s pp
18. 26. Estadstica y muestreo, 12.ed. (Segunda reimpresin) CD Cap.8 Pruebas de hiptesis y lmites Ciro Martnez Bencardino Ecoe Ediciones de confianza Actualizado en diciembre de 2007 57 4) ( ) ( ) 90,1 124 58,042,0 120 3,07,0 42,070,0 = + =t Al nivel del 5% es valida la afirmacin. Unilateral derecha. 116. Solucin: 251 =n 8,0 25 20 1 ==p 63,0 16 10 2 ==p 162 =n 05,0= 39221 =+= nn 1) 210 : PPH = 2) 05,0= 21: PPHa 3) 2 22 1 11 21 n qp n qp s pp += 4) ( ) ( ) 14,1 116 37,063,0 125 2,08,0 63,080,0 = + =t Hay igualdad en las preferencias, conclusin que se llega con los datos obtenidos, al nivel de significacin del 5%. Prueba bilateral. 117. Solucin: 161 =n 38,0 16 6 1 ==p 05,0= 102 =n 30,0 10 3 2 ==p 24221 =+= nn 1) 210 : PPH = 2) 05,0= 21: PPHa 3) 11 2 2 1 11 2 21 + = n qp n qp s pp
19. 27. Estadstica y muestreo, 12.ed. (Segunda reimpresin) CD Cap.8 Pruebas de hiptesis y lmites Ciro Martnez Bencardino Ecoe Ediciones de confianza Actualizado en diciembre de 2007 58 4) ( ) ( ) 40,0 110 7,03,0 116 62,038,0 30,038,0 = + =t La preferencia no depende de los niveles de grasa, de acuerdo a los resultados obtenidos y al nivel del 5%. Prueba bilateral. LIMITES DE CONFIANZA PRUEBAS CON DISTRIBUCIONES DE MEDIAS MUESTRALES 118. Solucin: 25=n 20= 4= ( ) 65,14500,0 = ZA n zx = = 25 4 65,120x == 68,18 32,21 5 60,6 20x 119. Solucin: 48,2= 100=n 52,168=x %99=P 57,24950,0 2 9900,0 == Z ( ) === 88,167 16,169 248,057,252,168 100 48,2 57,252,168is 120. Solucin: 60=n 35=x 2,4=s %95=P 4750,0 2 9500,0 =
20. 28. Estadstica y muestreo, 12.ed. (Segunda reimpresin) CD Cap.8 Pruebas de hiptesis y lmites Ciro Martnez Bencardino Ecoe Ediciones de confianza Actualizado en diciembre de 2007 59 60 2,4 96,135 = ( ) 96,14750,0 = ZA == = 938,33 062,36 062,135 75,7 23,8 35 I S 121. Solucin: 36=n 40=x 1,2=s %95=P = 36 1,2 96,140 I S == = 31,39 69,40 69,040 6 12,4 40 I S 122. Solucin: 80=n 82,4=x 1,0=s %90=P ( ) 65,14500,0 = ZA === 802,4 838,4 018,082,4 80 1,0 65,182,4 I S 123. Solucin: 1 10 10 == = n x x i ( ) 0008,0 9 1100074,10 1 222 2 = = = n xnx s i x 028,00008,0 ==xs 10 028,0 8331,11= I S
21. 29. Estadstica y muestreo, 12.ed. (Segunda reimpresin) CD Cap.8 Pruebas de hiptesis y lmites Ciro Martnez Bencardino Ecoe Ediciones de confianza Actualizado en diciembre de 2007 60 === 984,0 016,1 016,01 16,3 051,0 1 I S 91101 === n 124. Solucin: 20,301.1 15 518.19 == = n x x i ( ) 17,610.343 14 20,301.115364.207.30 1 222 2 = = = n xnx s i x 18,58617,610.343 ==xs 14115 == n s tx I S = 15 18,586 14,220,301.1 = I S == 31,977 09,625.1 89,32320,301.1 I S 125. Solucin: 2,38=x % 15=n 2,5 =s % %99=P 14115 == 1 = n s tx I S 14 2,5 2,38 t I S = == = %06,34 %34,42 14,42,38 74,3 2,5 9768,22,38 I S
22. 30. Estadstica y muestreo, 12.ed. (Segunda reimpresin) CD Cap.8 Pruebas de hiptesis y lmites Ciro Martnez Bencardino Ecoe Ediciones de confianza Actualizado en diciembre de 2007 61 126. Solucin: 14=n 86,34=x 23,4 =s %95=P 131== n 05,0= = = 60,3 23,4 1604,286,34 13 23,4 86,34 t I S == 32,32 40,37 54,286,34 I S 127. Solucin: 23=n 3,26=x 9,1 =s %99=P = = 69,4 9,1 8188,23,26 22 9,1 8188,23,26 I S == 16,25 44,27 14,13,26 I S 128. Solucin: a) = 6 83,3 zx I S == = 31,14 48,19 58,29,16 45,2 83,3 65,19,16 I S Nota: cuando se conoce se le emplea de preferencia en vez de s; aunque se puede aplicar como en este caso.
23. 31. Estadstica y muestreo, 12.ed. (Segunda reimpresin) CD Cap.8 Pruebas de hiptesis y lmites Ciro Martnez Bencardino Ecoe Ediciones de confianza Actualizado en diciembre de 2007 62 b) 9,16 6 4,101 ==x 93,9 5 65,492 ==s 15,393,9 ==s = 6 15,3 9,16 t I s == = 31,14 49,19 59,29,16 6 15,3 0150,29,16 I s Nota: si se da deber trabajarse directamente y no como aparece anteriormente con s 129. Solucin: 5=n %95=P ? =s 11,17=sx 39,12=ix 1 = n s x t = x n s t 1 = 11,17 4 7764,2 s 5,292 = = = 25,290 39,12 4 7764,2 s 75,14 2 5,29 == 75,1411,17 2 7764,2 = s ( )36,227764,2 =s 7,1 75,14 = = s 7,1 7764,2 72,4 ==s ix xxi ( )2 xxi 18,5 1,6 2,65 20,6 3,7 13,69 12,9 -4,0 16,00 14,6 -2,3 5,29 19,8 2,9 8,41 15,0 -1,9 3,61 101,4 0 49,65
24. 32. Estadstica y muestreo, 12.ed. (Segunda reimpresin) CD Cap.8 Pruebas de hiptesis y lmites Ciro Martnez Bencardino Ecoe Ediciones de confianza Actualizado en diciembre de 2007 63 130. Solucin: 15,12 8 2,97 ==x 04,0 7 28,02 ==xs 2,0=xs a) ( ) ==== 90,11 40,12 25,015,12 83,2 2,04995,3 15,12 8 2,0 15,12 t I s b) 35,12:0 =H 35,12: aH 131. Solucin: == 160.366 840.381 400 000.80 96,1000.374 I s 320.10 400 000.80 58,2 === xZsE E = 10.320 ix xxi ( )2 xxi 12,1 -0,05 0,0025 11,9 -0,25 0,0625 12,4 0,25 0,0625 12,3 0,15 0,0225 11,9 -0,25 0,0625 12,1 -0,05 0,0025 12,4 0,25 0,0625 12,1 -0,05 0,0025 97,2 0 0,2800 S se mantiene la produccin de 12,35 onzas en promedio por tarro al nivel del 1%, la respuesta anterior se justifica diciendo que = 12,35 se encuentra dentro de los lmites calculados, es decir entre 11,90 y 12,40.
25. 33. Estadstica y muestreo, 12.ed. (Segunda reimpresin) CD Cap.8 Pruebas de hiptesis y lmites Ciro Martnez Bencardino Ecoe Ediciones de confianza Actualizado en diciembre de 2007 64 132. Solucin: 2,5x n zx 9900,0%99: ==psiendo 2,5= n z 2,5 10 57,2 = 57,24950,0 2 9900,0 == z ( ) = 2,516,357,2 ( ) 39,6 57,2 16,32,5 == 39,6= 133. Solucin: a) 100=n 26=x 8= %99=P 57,2=Z n zx I s = 100 857,226 = I s === 94,23 06,28 06,226 10 55,20 26 I s b) 1) 30:0 =H 2) 01,0= 3) 8= 30: aH Como = 30 no se ubica dentro de los lmites de confianza (28,06 y 23,94) hay razn para rechazar la hiptesis nula y aceptar la alternativa, es decir, que el trmino medio de la nicotina es diferente de 30, al nivel del 1%. 134. Solucin: 30=n 000.612=x 000.9352 =s 95,966=s 05,0= 1 = n s tx == = 8,632.611 2,367.612 20,367000.612 130 95,966 045,2000.612 045,2291 === tn 05,0= 8,632.611 2,367.612 = = I S
26. 34. Estadstica y muestreo, 12.ed. (Segunda reimpresin) CD Cap.8 Pruebas de hiptesis y lmites Ciro Martnez Bencardino Ecoe Ediciones de confianza Actualizado en diciembre de 2007 65 135. Solucin: 8=n 63,20=x ( )corregidos 50,3= 01,0= 718 == a) == = 30,16 96,24 33,463,20 8 50,3 499,363,20 b) 1) 22:0 =H 2) 01,0= 3) 53,3=s 22: aH Observamos que 22:0 =H cae dentro de los lmites 16,30 y 24,96, cuando esto ocurre se acepta la hiptesis nula, en caso contrario se rechaza. Al nivel del 1% no se puede afirmar que estos resultados sean diferentes al sealado por la empresa. 136. Solucin: 18=n semanalx 000.150 18 000.700.2 == 51,470.79 118 000.351.12 = =s 91,28151,470.79 ==s a) === 80,859.149 20,140.150 20,140000.150 18 91,281 110,2000.150 05,0 171 = == n 110,2=t b) 1) 000.152:0 =H 2) 05,0= 3) 20,140.150 =S 000.152: aH 80,859.149 =I Al nivel del 5%, no se puede afirmar que el salario promedio por semana es diferente a $152.000, ya que este valor cae por fuera de los lmites de confianza al nivel del 5%. c) El error cometido es de tipo II 137. Solucin: 9=n 22,281 9 531.2 ==x ( ) 94,894,79 19 22,2819413.712 2 2 == = ss
27. 35. Estadstica y muestreo, 12.ed. (Segunda reimpresin) CD Cap.8 Pruebas de hiptesis y lmites Ciro Martnez Bencardino Ecoe Ediciones de confianza Actualizado en diciembre de 2007 66 a) == == 35,274 09,288 87,622,281 9 94,8 306,222,281x n s tx 306,2 05,0 81 = = == t nv b) 1) 280:0 =H 2) 05,0= 3) 09,288=S 280: aH 35,274=I Observemos que 280 cae dentro de los lmites de confianza, al nivel del 5%, por tal razn se puede aceptar la afirmacin. 138. Solucin: 100=n 120=x 25=s %2= 33,2=Z %98=P a) 120 == x b) ==== 18,114 82,125 82,5120 100 2533,2120 n sZx c) 1) 100:0 =H 2) 02,0= 3) 82,125 =S 100: aH 18,114 =I Como 100= cae por fuera de los lmites, al nivel del 2%, se puede concluir que la velocidad promedio es diferente a los 100 kilmetros por hora. DISTRIBUCIONES DE UNA PROPORCIN 139. Solucin: 0376,0 000.5 188 ==p 9624,00376,01 ==q
28. 36. Estadstica y muestreo, 12.ed. (Segunda reimpresin) CD Cap.8 Pruebas de hiptesis y lmites Ciro Martnez Bencardino Ecoe Ediciones de confianza Actualizado en diciembre de 2007 67 ( )( ) 002683,00000072,0 000.5 0362,0 000.5 0376,09624,0 ====ps a) ( ) === 0332,0 0420,0 0044,00376,0002683,065,10376,0 I SP b) ( ) === 0323,0 0429,0 0053,00376,0002683,096,10376,0 I SP c) ( ) === 0307,0 0445,0 0069,00376,0002683,057,20376,0 I SP 140. Solucin: 11,0 826 95 ==q 89,0=p %90=P n qp zpP IS = ( ) 0108,00001185,0 826 0979,0 826 11,089,0 ====ps ( ) === 872,0 908,0 018,089,00108,065,189,0 I S P 141. Solucin: 100=n 60,0=p %1= 57,2=Z %99=P a) n pq zpP = ( ) === 47,0 73,0 13,06,0 100 4,06,0 57,260,0P
29. 37. Estadstica y muestreo, 12.ed. (Segunda reimpresin) CD Cap.8 Pruebas de hiptesis y lmites Ciro Martnez Bencardino Ecoe Ediciones de confianza Actualizado en diciembre de 2007 68 b) 1) 62,0:0 =PH 2) 01,0= 3) pqsp = 62,0: PHa Nota: cuando la prueba es bilateral podemos utilizar los lmites de confianza. Como P = 0,62 cae dentro de los lmites 0,47 y 0,73, por lo tanto se acepta 0H . El fabricante tiene razn, al nivel del 1%. c) Se est cometiendo un error de Tipo II, ya que estamos aceptando algo falso. Aceptar 0,60 cuando en realidad es 0,65. 142. Solucin: 8,0 800 640 ==p 800=n %1= 57,2=Z %99=P a) n pq zpP = ( ) === 76,0 84,0 04,080,0 800 2,08,0 57,280,0P b) 1) 85,0:0 =PH 2) %1= 3) pqsP = 85,0: PHa Nota: cuando la prueba es bilateral utilizamos los lmites de confianza. Observamos que 0,85 cae por fuera, por lo tanto aceptamos la hiptesis alternativa 85,0: PHa , de ah que al nivel del 1% no aceptamos la aseveracin. c) ( ) 800 2,08,0 03,0 83,0 77,0 80,0 ZEEP == = ( ) ( ) 60,9624830,012,2 800 2,08,0 03,0 === AZ %60,96=P
30. 38. Estadstica y muestreo, 12.ed. (Segunda reimpresin) CD Cap.8 Pruebas de hiptesis y lmites Ciro Martnez Bencardino Ecoe Ediciones de confianza Actualizado en diciembre de 2007 69 143. Solucin: 100=n 85,0 100 85 ==p %90=P 65,164,1 Z = a) n pq zpP = ( ) === 79,0 91,0 06,085,0 100 85,015,0 64,185,0P b) 1) 80,0:0 =PH 2) 10,0= 3) pqsp = 80,0: PHa Nota: la prueba es bilateral, por lo tanto si P = 0,80 cae dentro de los lmites, aceptamos 80,0:0 =PH , es decir, que el gerente tiene razn al afirmar que el 80% incluyen leche en la compra, al nivel del 10%. 144. Solucin: 80=n 65,0 80 52 ==p 96,1%95 == ZP a) n pq zpP = ( ) == 55,0 75,0 10,065,0 80 35,065,0 96,165,0P b) 1) 56,0:0 =PH 2) 05,0= 56,0: PHa 0,56 cae por dentro de los lmites, si hay razn para aceptar la afirmacin hecha por la Cmara de Comercio, al nivel del 5%. DISTRIBUCIONES DE DIFERENCIAS ENTRE DOS MEDIAS MUESTRALES 145. Solucin: 32,5 110 1,4492 110 10 21 1092 1 2 1 22 2 = = = = n xnx s i x
31. 39. Estadstica y muestreo, 12.ed. (Segunda reimpresin) CD Cap.8 Pruebas de hiptesis y lmites Ciro Martnez Bencardino Ecoe Ediciones de confianza Actualizado en diciembre de 2007 70 80,4 116 64136 116 16 32 16136 1 2 2 22 2 = = = = n yny s i y 1,2 10 21 1 == = n x x i 2 16 32 2 == = n y y i ==+= 24226221 nn 0639,2=t ( ) ( ) ( ) 16 1 10 1 21610 8,411632,5110 + + + = tyx I syx ( ) ( ) ( )403,02349,20639,210,01625,0 24 88,119 0639,221,2 == I syx == 76,1 96,1 86,110,0 I syx El valor de yxs se podr calcular as: ( )[ ] ( )[ ] 59958,4 21610 2161361,21092 22 2 = + + =s ; siendo: 9,0 16 5 10 5 =+= yxs ( ) ( )9,00639,221,2 += yx == 76,1 96,1 86,11,0yx 146. Solucin: 16,41 36 482.12 ==xs 59,28 64 830.12 ==ys 26,159,1 64 59,28 36 16,41 ==+= yxs ( ) ( )yxyx sZyx I S =
32. 40. Estadstica y muestreo, 12.ed. (Segunda reimpresin) CD Cap.8 Pruebas de hiptesis y lmites Ciro Martnez Bencardino Ecoe Ediciones de confianza Actualizado en diciembre de 2007 71 ( ) ( ) === 06,12 94,17 94,21526,133,26075 I Syx 147. Solucin: Primera parte: ( ) ( ) ( ) 2121 2 2 2 1 11 2 11 nnnn snsn tyx yx yx + + + = ( ) ( ) ( ) ==+ + + = 07,0 07,5 57,25,2 9 1 9 1 299 15,5801,88 12,25,75yx ( )1199,205,0162: 21 ===+= tquetieneseynnSiendo Segunda parte: 1) yxH =:0 2) 05,0= 3) 21,1= yxs yxaH : 4) 07,2 21,1 5,75 = = = yxs yx t 16= 05,0= 1199,2=t La diferencia no es significativa, al nivel del 5%. Prueba bilateral. Tambin se pueden utilizar los lmites de confianza (de la primera parte), como 0= yx Observemos que el cero, al nivel del 5%, cae dentro de ellos, por lo tanto la diferencia no es significativa. 148. Solucin: 91 =n 40 9 360 ==x 6=xs %99=P 01,0= 202 =n 48 20 960 ==y 101002 == yy ss 27229 == 771,2=t
33. 41. Estadstica y muestreo, 12.ed. (Segunda reimpresin) CD Cap.8 Pruebas de hiptesis y lmites Ciro Martnez Bencardino Ecoe Ediciones de confianza Actualizado en diciembre de 2007 72 a) ( ) ( ) ( ) 2121 2 2 2 1 11 2 11 nnnn snsn tyx yx yx + + + = ( ) ( ) ( ) 20 1 9 1 2209 1001203619 771,24840 + + + = yx ( )( ) === 01,18 01,2 01,10840,000,9771,28yx b) 1) yxH =:0 2) 01,0= 3) 01,2=sL yxaH : 01,18=iL Sabiendo 0= yx , observamos que queda incluida dentro del intervalo, por lo tanto se acepta la hiptesis nula 0H , es decir, la diferencia entre las medias muestrales no es significativa, al nivel del 1%. 149. Solucin: 71 =n 4,177= ix 34,25=x 2,573.42 = ix 10212 == 52 =n 7,125= iy 14,25=y 15,181.32 = iy 05,0= 228,2=t [ ] [ ]= + + = 221 2 2 22 1 2 2 nn ynyxnx S ii ( )[ ] ( )[ ]= + + 257 14,25515,181.334,2572,573.4 22 94,92 =s a) ( ) 2 2 1 2 n s n s tyxyx += ( ) ==+= 91,3 31,4 11,420,0 5 94,9 7 94,9 228,214,2534,25yx b) 1) yxH =:0 2) 05,0=
34. 42. Estadstica y muestreo, 12.ed. (Segunda reimpresin) CD Cap.8 Pruebas de hiptesis y lmites Ciro Martnez Bencardino Ecoe Ediciones de confianza Actualizado en diciembre de 2007 73 yxaH : 3) = = = 05,0 10 228,2 parat Como 0= yx , observamos que se ubica dentro de los lmites -3,91 y 4,31, estaremos aceptando 0H . Al nivel del 5%, no podemos afirmar que hay desacuerdo entre ellos. 150. Solucin: a) ( ) ( ) ( ) 10 1 10 1 21010 892.1110636.1110 101,2335272 + + + = yx == 46,102 54,23 46,3963yx b) 1) yxH =:0 2) 05,0= yxaH : 3) = = = 05,0 18 01,2 parat Siendo 0= yx , no cae dentro de los lmites -102,46 y -23,54 de ah que no aceptamos 0H . Al nivel del 5%, si hay diferencias entre la resistencia media de esta fibras. 151. Solucin: a) = = 42,745 58,854 58,54800 41 150 33,2800s I Saldo promedio en cuentas corrientes b) 1) 000.1: =oH 2) %1= 000.1: >aH
35. 43. Estadstica y muestreo, 12.ed. (Segunda reimpresin) CD Cap.8 Pruebas de hiptesis y lmites Ciro Martnez Bencardino Ecoe Ediciones de confianza Actualizado en diciembre de 2007 74 3) 92,5 35 200 000.1200.1 = =Z Al nivel del 1%, se puede concluir que s es superior a los $1.200.000, las cuentas de ahorro. d) 1) yxoH =: 2) %05.0= yxaH : 3) 73,9 35 200 41 150 200.1800 22 = + =Z Se observa que -9,73 cae en la regin crtica, por lo tanto al nivel del 5%, hay una diferencia significativa en los saldos. e) 1) yxoH =: 2) %05.0= yxaH : 3) 29,5 50 64,6 50 2,8 8,877,95 22 = + =Z 5,29 cae en la regin crtica. Al nivel del 1%, se acepta la afirmacin del fabricante, que el promedio a la tensin de los tornillos A excede a los de B. 167. Solucin: 32,0100 11 == pn 24,080 22 == pn 1) 210 : PPH = 2) 02,0= 21: PPHa > 3) ( ) ( ) 26,1 100 76,024,0 100 68,032,0 24,032,0 = + =Z 1,26 cae en la zona de aceptacin. Al nivel del 2%, se puede concluir que la segunda planta no presenta niveles menores de contaminacin, al estar alimentadas con combustibles diferentes. 168. Solucin: 40,0=P 35,0 600 210 ==p
36. 52. Estadstica y muestreo, 12.ed. (Segunda reimpresin) CD Cap.8 Pruebas de hiptesis y lmites Ciro Martnez Bencardino Ecoe Ediciones de confianza Actualizado en diciembre de 2007 83 1) 40,0:0 =PH 2) 05,0= 40,0: PHa 3) ( ) 57,2 600 65,035,0 40,035,0 = =Z Z = -2,57 cae en la zona de rechazo, podemos concluir al nivel del 5%, que la proporcin de fumadores es diferente al 40%. 169. Solucin: 37,014,12812 ==== sxn 1) 12:0 =H 2) 05,0= 12: aH 365,2 05,0 7 = = = t 3) 07,1 8 37,0 1214,12 = =t t = 1,07 cae en la zona de aceptacin. Al nivel del 5%, el personal no requiere de un promedio diferente a los 12 minutos. 170. Solucin:
37. 53. Estadstica y muestreo, 12.ed. (Segunda reimpresin) CD Cap.8 Pruebas de hiptesis y lmites Ciro Martnez Bencardino Ecoe Ediciones de confianza Actualizado en diciembre de 2007 84 Se puede plantear con medias o proporciones muestrales. Supongamos que se realiza aplicando este ltimo. El primer mtodo produce un incremento del 12%, mientras que en el segundo es del 10%. Establecemos que el nivel es del 5% y los tamaos muestrales fueron 36 y 50 respectivamente. Los resultados permiten concluir que el primer mtodo presenta un mayor incremento. 1) 210 : PPH = 2) 05,0= 21: PPHa > 3) ( ) ( ) 29,0 50 9,010,0 36 88,012,0 10,012,0 = + =Z Como Z = 0,29 cae en la zona de aceptacin, al nivel el 5%, se podr concluir que el primer mtodo no produce mayor incremento con respecto al segundo mtodo. 171. Solucin: 05,005,0 250 1307,0 250 18250250 2121 ======= ppnn 1) 210 : PPH = 2) 05,0= 21: PPHa > 3) ( ) ( ) 94,0 250 95,005,0 250 93,007,0 05,007,0 = + =Z Z = 0,94 cae en la zona de aceptacin. Al nivel del 5% no se puede afirmar que la tasa de desempleo en la segunda ciudad sea inferior al la primera. 172. Solucin: a) Corresponde a las pruebas de normalidad para un conjunto de observaciones al comprobar si las mismas pueden haber resultado del muestreo aleatorio de una poblacin supuestamente normal. Se puede decir que ser objeto es evaluar o probar una afirmacin con respecto a un valor estadstico de la poblacin.
38. 54. Estadstica y muestreo, 12.ed. (Segunda reimpresin) CD Cap.8 Pruebas de hiptesis y lmites Ciro Martnez Bencardino Ecoe Ediciones de confianza Actualizado en diciembre de 2007 85 b) La distribucin t de Student se utiliza en muestras pequeas, generalmente 30n , cuando no conoce la varianza poblacional y se deba sustituir por el de la muestra. c) El error de tipo I se comete cuando rechazamos la hiptesis verdadera, cuando ella es falsa. d) La inferencia corresponde a la realizacin de investigaciones utilizando una parte de los elementos de la poblacin (muestras) con la cual se obtiene unos resultados, denominadores estimadores, considerndolos representativos de los valores estadsticos de la poblacin (parmetros). 173. Solucin: 3261024 ==== sxn 1) 24:0 =H 2) 01,0= 24: >aH 821,2 02,0 9 = = = t 2 110 3 2426 = =t t = 2 cae en la zona de aceptacin. Al nivel del 2%, el tiempo promedio no es mayor de los 24 minutos. 174. Solucin: Se deja al alumno la contestacin de este punto, con el cual se le facilita recordar conceptos que aprendi en clase y en la lectura de ste u otros textos.
39. 55. Estadstica y muestreo, 12.ed. (Segunda reimpresin) CD Cap.8 Pruebas de hiptesis y lmites Ciro Martnez Bencardino Ecoe Ediciones de confianza Actualizado en diciembre de 2007 86 175. Solucin: 07,0 191 1419105,0 ==== pnP 1) 05,0: 10 =PH 2) 05,0= 05,0: 1 >PHa 3) ( ) 08,1 191 93,007,0 05,007,0 = =Z Z = 1,08 cae en la zona de aceptacin. Al nivel del 5%, no se justifica suponer que el requisito no se est cumpliendo. Unilateral derecha.