CAPITULO 4

FILTRAJE ESPACIAL

4.1 Introduccin

En este captulo se discute como aplicar el concepto de frecuencias espaciales, en el

plano de Fraunhofer. Para as obtener un sistema ptico que sirva para realizar filtrado

espacial de imgenes. La discusin se ilustra con un ejemplo y se muestra el filtrado del

patrn de difraccin de la rejilla circular para obtener el nulo luminoso que finalmente

representa el axicn.

Con la ayuda de un procesador ptico de imgenes, como el que se muestra en la

figura 4.1, es posible realizar operaciones de filtraje espacial en una imagen. Como se

vio en el capitulo anterior, cualquier funcin peridica puede ser aproximada por medio

del calculo adecuado de los coeficientes en su serie de Fourier y cada coeficiente de esta

serie equivale a una frecuencia en el espacio de frecuencias o tambin llamado plano de

Fraunhofer. Por lo que si se elimina una frecuencia se elimina la parte espacial

correspondiente.

4.2 Transformacin de Fourier

Se expresa a la distribucin de amplitud compleja de una onda como la superposicin

lineal de ondas planas del tipo

)(),( MyLxikeyx += , ( 4.1)

41

En donde el vector de posicin en el plano z=0 es

kjyixr )0( ++=r . ( 4.2)

El vector de propagacin es

)( kNjMiLkk ++=r

. ( 4.3)

Las variables L, M y N son conocidas como los cosenos directores. Por lo que las

ondas planas en la ecuacin 4.1 se puede expresar tambin como

rkieyxrr=),(

)(2 yMxLie

+=

)(2 yxie += . ( 4.4)

En la ecuacin 4.4 se emplea la notacin

L= ,

M= . ( 4.5)

Las variables y son conocidas como las frecuencias espaciales.

Plano Objeto

Plano de FraunhoferLente

Convergente

Z

x

x

y

f

f

y

Figura 4.1. Dispositivo ptico para visualizar el patrn de difraccin de Fraunhofer

42

En el plano de Fraunhofer una onda plana con vector de propagacin como en la

ecuacin 4.3 se visualiza como una mancha luminosa centrada en las coordenadas

(x,y), como se indica en la figura 4.1, tal que

xLf = , yMf = . ( 4.6)

Por lo que

fxL

== , f

yM

== . ( 4.7)

Ahora bien, la integral de superposicin toma en cuenta pesos relativos a cada onda

plana, con frecuencias espaciales ),( . En trminos matemticos se tiene que

+= ddeyx yxi )(2),(~),( ( 4.8)

Plano Objeto

Plano de FraunhoferLente

Convergente

Figura 4.2. Computadora ptica coherente

y x

f

Z

x y

f

f

x

f

y

Es la integral de superposicin que se denota como a la transformada de Fourier

inversa; a la onda plana se le denota como el kernel de la transformacin; y al factor de

peso representa la amplitud compleja de la onda plana.

43

Es importante mencionar que si el sistema ptico mostrado en la figura 4.1 se le

complementa de forma simtrica, entonces se obtiene al sistema ptico que se muestra

en la figura 4.2

Fsicamente, la segunda mitad del sistema ptico de la figura 4.2 realiza la operacin

inversa a la realizada por la primera mitad de dicho sistema. Es decir, los puntos

luminosos que focalizan a la onda plana se reconvierten en la onda plana. En trminos

matemticos se tiene que

+ = ydxdeyxyx yyxxi )(2),(~),( . ( 4.9)

Si se coloca un objeto con transmitancia T(x,y) en el plano objeto y es iluminado con

una onda plana que viaja en direccin del eje z. Dado que el objeto es iluminado

uniformemente, la amplitud compleja en el plano del mismo debe ser proporcional a su

transmitancia, lo anterior es esquematizado en la figura 4.3.

xo

Periodo

x

Transmitancia 1

Figura 4.3 Tren de pulsos cuadrado y su amplitud

Por ejemplo, si se tiene una transmitancia formada por tren de pulsos cuadrados, como

se muestra en la figura 4.3 y representado por la funcin 4.10,

44

=

=

1

1 0

)()()()(n x

ndxrectayrect

axrectxT , ( 4.10)

Teniendo en cuenta lo anterior, es posible filtrar espacialmente una imagen que est

formada por diferentes periodos con ayuda de una computadora ptica coherente,

mostrada en la figura 4.2. Esto se debe a que cada serie de puntos que forman la imagen

es representada por una frecuencia especfica en el plano frecuencial o plano de

Fraunhofer.

4.3 Filtraje espacial

El filtraje espacial puede ser explicado en 3 simples pasos. Primeramente se obtiene el

patrn de difraccin de Fraunhofer de la imagen a filtrar usando la primer parte de la

computadora ptica coherente, figura 4.4.

tf tf

Patrn de Fraunhofer

Lente

Rejilla

Figura 4.4. Obtencin del patrn de Fraunhofer de la imagen

A continuacin se coloca un filtro espacial elegido de tal manera que solamente deje

pasar la frecuencia escogida y finalmente se reconstruye la imagen con una segunda

lente positiva, como se ve en la figura 4.5.

45

if ifFigura 4.5. Obtencin de la imagen una vez filtrada

Ejemplo 1 Filraje espacial de una imagen 2D

En la figura 4.6 se muestra la imagen a filtrar la cual fue impresa en escala de grises

con la finalidad de que la computadora le asigne una densidad de puntos diferente a

cada escala de gris, como se muestra en la imagen 4.7. Cabe notar que existe una

restriccin en campo visual de los resultados debido a que se utiliz una cmara CCD de

0.5cm2 para grabarlos.

Figura 4.6 Imagen a filtrar

Figura 4.7 Ampliacin de 60x de la imagen a filtrar

46

El patrn de Fraunhofer de esta imagen se muestra en la figura 4.8. Se denomina una

matriz de puntos cuyo centro es la coordenada (0,0).

Fig. 4.8 Patrn de Fraunhofer de la imagen a filtrar

La frecuencia espacial mas baja de la figura 4.6 es representada en patrn de

difraccin de Fraunhofer con en el centro del patrn denominado el orden cero, (0,0).

Las dems frecuencias espaciales por las que esta formada la figura 4.6 son

representadas por los puntos luminosos restantes. En donde su distancia al centro del

patrn es proporcional a su frecuencia. Por lo que las frecuencias altas se encuentran

lejos del centro del patrn de Fraunhofer y las frecuencias ms bajas (periodos mas

grandes) cerca de l.

Se define el ruido como los puntos en la imagen con periodo que tienda a infinito, por

lo que ste contribuye al orden cero en el patrn de difraccin. Sin embargo si se filtra

solamente el orden cero se puede observar que su naturaleza es la de una constante ya

que sta es de periodo infinito.

47

Fig. 4.10 Filtraje del orden (0,0)

Fig. 4.9 Imagen filtrada con el orden (0,0)

En la imagen anterior se puede observar como es que la imagen a filtrar esta formada

en su mayora por ruido, figura 4.9. Debido a que se sigue formando la imagen despus

de haber filtrado el orden (0,0) ms una pequea vecindad; sin dejar pasar el siguiente

orden, figura 4.10.

A continuacin se pueden apreciar las diferentes frecuencias por la que esta formada

la imagen. Dejando pasar los rdenes (1, 1):

Fig. 4.12 Filtraje de los rdenes (1, 1)

Fig. 4.11 Imagen filtrada con los rdenes (1, 1)

48

Y finalmente los rdenes (0, 2) y (2,0):

Fig. 4.14 Filtraje de los rdenes (0, 2) y (2,0)

Fig. 4.13 Imagen filtrada con los rdenes (0, 2) y (2,0)

Despus de haber visto que es factible el filtrado espacial de una imagen se puede

proseguir a una de las partes primordiales de esta tesis. El filtrado del patrn de

Fraunhofer que se forma al iluminar uniformemente una rejilla circular; se discute a

continuacin.

4.4 Filtraje espacial de la rejilla circular

Debido a las necesidades de evitar la mayor prdida de energa posible en el patrn de

difraccin de Fraunhofer y ahorrar espacio sobre la mesa ptica es necesaria la

implementacin del sistema ptico que se muestra en la figura 4.15.

Se tiene una rejilla circular binaria que est formada por un tren de pulsos cuadrados

de simetra radial colocada inmediatamente detrs de la lente, L1, y su patrn de

difraccin, figura 4.16, es formado en el plano donde se forma la imagen de la fuente

puntual.

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Rejilla circular Plano de Fraunhofer

2f1 f2

x

z

L1 L2 Haz objeto y y

x

Figura 4.15 Sistema ptico para estudiar el patrn de difraccin producido por una rejilla circular

Antes del filtraje espacial se realiza un barrido del perfil de intensidad del patrn de

difraccin con un sensor de luz (Pasco, M.R.), figura 4.17, para poder determinar el

radio de los nulos concntricos.

El radio del primer nulo o primer orden es de 2.1 x 10-3m y 4.2 x 10-3m para el

segundo nulo o tercer orden; ya que como se vio en captulos anteriores, el segundo

orden es suprimido.

x

Figura 4.16 Patrn de difraccin de Fraunhofer de la rejilla circular

r1r2

y

50

F igura 4.17 Perfil de irradiancia axial en x del patrn de difraccin de la

rejilla circular

Irrad

ianc

ia (%

)

Posicin (m)

r2 r1

Irrad

ianc

ia (%

)

Posicin (m)

r2 r1

El filtraje espacial de los diferentes ordenes y combinaciones entre estos se muestra en

la tabla 4.1. Colocando la tabla horizontalmente, la columna de la izquierda denota el

orden del patrn de Fraunhofer filtrado y en la siguiente columna se ve su imagen. En la

tercer columna se muestra la imagen es que formada el filtrado correspondiente y en la

siguiente el barrido de su perfil de irradiancia.

No es posible notar que la imagen formada por un nulo est formada por una funcin

Bessel de clase uno y orden cero como se esperaba. Debido a que la manera en que es

posible de medir el perfil de irradiancia de las imgenes es sobre su fotografa y el CCD

con el que fueron tomadas se encuentra saturado. Sin embargo, su geometra es

suficiente para mostrar que se logra la generacin de una rejilla no-binaria.

51

Perf

il de

irra

dian

cia

Imag

en fi

ltrad

a

Patr

n de

Fra

unho

fer

Ord

en

filtra

do

Cer

o,

uno,

tres

Cer

o

Uno

52

Perf

il de

irra

dian

cia

Imag

en fi

ltrad

a

Patr

n de

Fra

unho

fer

Ord

en

filtra

do

tres

Cer

o y

uno

Uno

y tr

es

Tabla 4.1 Filtraje espacial de la rejilla circular

53

Dados los resultados experimentales se muestra claramente que una imagen pierde

informacin al filtrarle cualquier orden de su patrn de difraccin de Fraunhofer.

En cuanto a las estructuras binarias, se puede observar que las frecuencias ms altas

son las que contribuyen a la formacin de los bordes del pulso cuadrado del que est

formada dicha estructura.

Tambin se puede observar que el perfil de irradiancia con la geometra deseada para

representar el CHG del axicn se obtiene al dejar pasar el orden uno. Debido a que se

genera una rejilla no binaria de crculos concntricos.

A continuacin se estudian 3 rejillas circulares con diferente periodo con el fin de

seleccionar la rejilla que produzca el patrn de difraccin adecuado para representar el

elemento ptico novedoso que ser grabado en pelcula hologrfica.

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Referencias

[1] J. Goodman, Introduction to Fourier optics, McGraw-Hill, San Francisco, 1968

[2] J. Dyson, Circular and spiral diffraction gratings, Royal Soc. of London, 93-106

(1958)

[3] E. Hecht, Optics, Addison-Wesley, EUA, 1989.

[4] O. Brygdahl, Radial and circular fringe interferogramas, J. Opt. Soc., 9, 1098-

1104, (1973)

[5] A. Burvall, Axicon imaging by scalar diffraction theory, Royal Institute of

Technology, Tesis Doctoral, Suecia, (2004)

[6] J. H. Mcleod, The axicn: a new type of optical element, J. Opt. Soc. Am. 44,

592 (1954)

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