PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEÑALES - actiweb.es · ancho de banda, filtraje digital, espectro de frecuencias, compresión, etc. Es también considerada un área de la ingeniería que

1

PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEÑALES

Profesor:

Mg. Ing. Rafael Bustamante Alvarez

Introducción:

• El procesamiento digital de señales tiene su origen en losaños 60 con el empleo de las primeras computadorasdigitales.

• El desarrollo de la FFT (Fast Fourier Transform) data de1967.

• La guerra fría y la carrera espacial.

• 1980 aparece el primer DSP

Mg.Ing Rafael Bustamante Alvarez

2

Procesamiento Digital de Señales

• CONCEPTO.- Es el conjunto de algoritmos lógico matemáticos que se aplican a un conjunto de números (muestras) para obtener ciertos parámetros de una señal digitalizada; ejm, frecuencia, ancho de banda, filtraje digital, espectro de frecuencias, compresión, etc. Es también considerada un área de la ingeniería

que se dedica al análisis y procesamiento de señales.

• Tipos de Procesamiento Digital de señales:

• PDS de TIEMPO REAL

• PDS de TIEMPO DIFERIDO.


• CAMPOS DE ESTUDIO DEL PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEÑALES.

PDS VOZ : Síntesis (Conversión de texto a voz), codificación,

Reconocimiento de voz,

Compresión, Filtraje digital, Encriptación.

PDS AUDIO: Sintetizadores digitales, Filtros digitales, Compresión,

Formatos.

PDS IMÁGENES: Reconocimiento de Imágenes, Detección de

Bordes,Formatos

Digitales, Filtraje Digital, Visión Artificial.

PDS OTROS: Radares, Sonares, Telecomunicaciones, Electrónica de

consumo, BIOMEDICA.


3

PDS de Audio

Las freuencias audibles de los seres humanos que está entre los 20 y los 20.000 hercios (Hz), aproximadamente


Señales Bioléctricas

• Son aquellas señales eléctricas producidas en un organismo vivo en este caso en el ser humano.

• Principalmente:

• ECG provenientes del corazón.

• EMG provenientes de los músculos.

• EEG provenientes del cerebro.


4

Onda ECGMg.Ing Rafael Bustamante Alvarez


Procesamiento de Imágenes

5


Procesamiento de Imágenes

• COMPARACIÓN ENTRE EL PROCESADO DIGITAL Y PROCESADO ANALÓGICO.

PROCESADO ANALOGICO:

1.- La reconfiguración en un sistema analógico implica el rediseño de Hardware.

2.- Las tolerancia de los componentes hacen del diseño extremadamente difícil de controlar la precisión.

3.- Es muy difícil hacer operaciones matemáticas sobre señales analógicas.

4.- Mayor costo.

PROCESADO DIGIGITAL

1.- Flexibilidad a la hora de efectuar las operaciones de reconfiguración.

2.- permite mejor control de precisión.

3.- Es muy rutinario.

4.- Bajo costo.


6


Redes Neuronales


• PDS en TIEMPO REAL.- Es el proceso mediante elcual el sistema obtiene parámetros, o modifica la señal ala salida del sistema casi en forma simultanea a la entradade la señal del sistema. Utiliza poca capacidad dememoria.

• PDS en TIEMPO DIFERIDO.- Es el proceso medianteel cual el sistema obtiene los parámetros de la señalanalizada, luego de un tiempo considerado largo conrespecto a la entrada del sistema.


7


Señales Analógicas y Señales Digitales

• SEÑALES DE TIEMPO CONTINUO.- Esta definido para todoslos valores y pueden tomar cualquier valor continuo en el tiempoen un intervalo.

• SEÑALES DE TIEMPO DISCRETO.- Esta definido paraciertos valores en el tiempo.

• SEÑALES DE VALOR CONTINUO.- Son señales que tomantodos los valores dentro de un intervalo finito como infinito.

• SEÑALES DE VALOR DISCRETO.- Si toma valores de unconjunto finito de valores.


Señales Analógicas

0 20 40 60 80 100-1

-0.5

0

0.5

1sin(2*pi*f*n), f=40Hz

0 20 40 60 80 100-1

-0.5

0

0.5

1cos(2*pi*f*n), f=40Hz

8


Señales Digitales

0 5 10 15 20 25 30-1

-0.5

0

0.5

1sin(2*pi*(f/fs)*n), f=40Hz fs=1000

0 5 10 15 20 25 30-1

-0.5

0

0.5

1cos(2*pi*(f/fs)*n), f=40Hz fs=1000

Sistema de Procesamiento Digital de Señales• Es un sistema que transforma la señal analógica a digital convirtiendo la señal analógica en datos numéricos conocidos como muestras; a estas muestras se le aplican una serie de algoritmos con fines de filtraje digital, análisis en frecuencia, monitoreo, de las señales.


9

Sistemas de Procesamiento Digital de Señales

• Señal continua Señal Cont.

A/D Procesador D/A FiltroFiltro

fc = fs /2

FPL

Res= #bits

Vel= # bps

Tiempo de Pr.

Algoritmos

Res= #bits

Vel= # bps

fc = fs /2

FPL


Sistemas de Procesamiento Digital de Señales Bioeléctricas

• Aplicaciones: Ejm. en Biomédica

• Monitoreo y registro de las señales del corazón.

Ejemplo monitores cardiacos.

• Monitoreo y registro de las señales del cerebro.

Ejemplo Electroencefalógrafos computarizados.

• Monitoreo y registro de las señales de los músculos

Ejemplo Electromiógrafos y Potenciales Evocados.


10

Sistemas de Procesamiento Digital de Señales Bioléctricas

• Etapa de Amplificación y Aislamiento

• Señales a procesar:

• ECG Vin= 0 a 1mv Banda = 0 a 100Hz.

• EEG Vin= -10uv a 100uv Banda= 10Hz a 100Hz

• Vin= 50uv a 1mv Banda= 10- 3000 Hz.

• Amplificadores de instrumentación

• Opto acoplamiento.


Sistema de Procesamiento Digital

• Filtro PasaBajo (Entrada).- Es un filtro que tiene la finalidad de:

• Limitar en banda la señal a ser digitalizada a una fc= fs/2 fc= frec. Corte

fs= frec. Muestreo.

• Filtrar el ruido de la señal.


11

Sistema de Procesamiento Digital de Señales Bioeléctricas•Conversión A/D.- Esta etapa se encarga de convertir una señal analógica en digital.

Características:• Velocidad de muestreo (muestras/seg)

• Resolución: Nº de bits por muestra

• Proceso muestreo, cuantificacion, codificación.



Conversión A/D

Comprende tres procesos:

* Muestreo* Cuantificación• Codificación

MUESTREO.- Toma de muestras en instantes de tiempo.Conversión de una señal de tiempo discreto a tiempo continuo.

TEOREMA DE MUESTREO

Si la frecuencia más alta contenida en una señal

analógica Xa(t) es Fmax=B y la señal se muestrea a una

velocidad fs≥≥≥≥ 2fmax=2B entonces Xa(t) se puede

recuperar totalmente a partir de sus muestras.

fs ≥≥≥≥ 2fmax

12

Sistema de Procesamiento Digital de Señales Bioelectricas• Teorema de muestreo.-

fs>= 2fm (Teoría)

fs>= 2.5fm (Práctica)

fs= 250Hz ECG,EEG 8 bits (muestra)

7500Hz EMG ó 16 bits


Teorrema de muestreo


13


TEOREMA DE MUESTREO

-fs f

fs/2 fs f

• ESPECTRO DE UNA SEÑAL PERIODICA

• Aliasing

-fs/2 fs-fs/2


CUANTIFICACIÓN

• Es la conversión de una señal de tiempo discreto con valores continuos, a una señal de tiempo discreto con valores discretos. El valor de cada muestra de la señal se representa mediante un valor seleccionado ce un conjunto finito de valores posibles.

L= Niveles de Cuantificación.∆= Escalón de Cuantificación.Xmax-Xmin= Rango Dinámico∆= Rango Dinámico/(L-1)Cuantificador por Redondeo.- Asigna a cada muestra el nivel de cuantificación mas cercano.Cuantificador por Truncamiento.- Asigna a cada muestra el nivel inmediatamente por debajo de la muestra.

Relación de Señal a Ruido de Cuantificación.-SNRQ(dB)=1.76+6.02 bb= resolución del Conversor.

14


Cuantificación

3∆4∆

5∆

∆

2∆

0 1 2 3 4 5 6 7Nº de Muestras

Niveles


CODIFICACIÓN

• Es el proceso mediante el cual cada valor discreto se representa

mediante una secuencia binaria de bits.

0100 0101

0110

0010

0011

0 1 2 3 4 5 6 7

Código Binario

Nº de Muestras

15

Sistema de Procesamiento Digital de Señales

• Procesador Digital de Señales: Se ejecutan algoritmos de filtraje digital, analisis en frecuencia (FFT), sobre las muestras provenientes de la etapa de conversión A/D.

• Procesos en tiempo real. (Basados en DSPs).

• Procesos en tiempo diferido.


Sistema de Procesamiento Digital de Señales

• Procesadores

- Computadoras

- DSP (Texas Instruments, Freescale, Analog Device)

- FPGA (Altera, Xilinx)

- Microcontroladores de gama alta

(TI, DSPIC, Freescale, Atmega).

- ARM (32, 64 bit)


16

Aplicaciones


Sistema de Procesamiento de Señales

A/D D/A

Algoritmo de PDS

1001010100 010111010

FLP FLP


17

Aplicaciones


Multiplier(int, float)

ALU(int, float)

R0-R7 (40-bits)

AddressGeneratorARAU0

AddressGeneratorARAU1

ProgramCache

RAMBlock 0

RAMBlock 1

ROM(boot)

Serial Port 0

Serial Port 1

Timer 0

Timer 1

Internal Buses

CPU

DMA

Expansion BusPrimary

Bus

Peripheral BusAR0-AR712 Control Registers

6

6

1

1


18

• Producto de dos vectores:

Repeticion de un bloque de inst.

Instrucciones en paralelo



19

Sistema de Procesamiento de Señales Digitales Bioléctricas

• Etapa de conversión Digital Análogo.-Convierte las muestras procesadas en senalescontinuas en el tiempo.

• Componentes:

- Conversor D/A,

- Muestreo y retención (circuito retensor de orden cero que

mantiene fijo el voltaje correspondiente a una muestra hasta que

venga otra y evita el glitch (sobrepico).

• D/A Mg.Ing Rafael Bustamante Alvarez

GLITCH


20

Características de un D/A


Resolución: Es el mínimo cambio incremental de la salida analógica. Su valor es FS/2N, donde N es el número de bits del convertidor. Así, por ejemplo, si se trata de un convertidor unipolar de 8 bits y el fondo de escala es 5V, la resolución sería 5/28=19.5 mV. Es frecuente referirse a la resolución con el número de bits.

Tiempo de conversión o establecimiento (settling time): Es el tiempo que transcurre desde que a la entrada del DAC se presenta una combinación binaria hasta que la señal analógica de salida adquiere el valor que le corresponde,

Conversión unipolar/bipolar: Esta característica indica la posibilidad deque los CDA acepten códigos de entrada unipolares y/o bipolares

Salida analógica: Puede ser en corriente o en tensión.Margen dinámico de la señal de salida: Es el rango de variación de la corriente o la tensión de salida.

Sistema de Procesamiento de Señales Digitales Bioléctricas

• Filtro Pasabajo de Salida (Reconstructor).- Es encargado de suavizar la señal proveniente de la etapa de conversión Digital Análoga. Mantiene las mismas características del filtro Pasabajo de entrada.

• fc=fs/2


21

Muestreo


Muestreo


22

Muestreo


Muestreo


23


Secuencias de Tiempo Discreto

• 1) Impulso Unitario.-

• 2)Escalón Unitario.-

• 3)Rampa Unitaria.-

• 4)Señal Exponencial.-


PROPIEDADES DE LOS SITEMAS DE PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEÑALES

1.-Sistema con Memoria.- Cuando su salida depende de entradas anteriores.

2.-Sistema sin Memoria.- Cuando su salida depende solo de la entrada presente para cada valor de la variable independiente.

X[n] Y[n]=x[n-1]+x[n-2]

x[n]Y[n]=2x[n]

24



3.-Causalidad.- Un sistema es causal si en cualquier instante de tiempo depende solo de los valores presente y pasados. Ejm

y(n)=x(n-1) es un sistema causal

y(n)=x(n)-x(n+1) sistema no causal

4.-Estabilidad.- Intuitivamente, un sistema estable es aquel en el que las entradas pequeñas conducen a respuestas que no

divergen ejm.

estable es sistema El Bmax y[n]

Bmax x[n]Si

k]x[n12M

1y[n]

M

Mk

∴=⇒

=

−+

= ∑+

−=



5.- Invarianza en el Tiempo.- Un sistema es invariante en el tiempo, si un desplazamiento de la señal de entrada causa un desplazamiento en el tiempo en la señal de salida.

TIEMPO. EL EN INVARIANTE es sistema el Entonces

(3) -- k)-y(n k)y(n, :quedemostrar debemos k)],-T[x(n k)y(n,

:como salida laescribir podemos general,En

-(2)--- )kn(y )kn(x

-(1)----- )n(y )n(x

==

−→−

→Τ

Τ

25



6.- Linealidad.- Es aquel que posee la importante propiedad de superposición que dice: Si una entrada consiste en la suma ponderada de varias señales, entonces la salida es solo la superposición, esto es la suma ponderada de las respuestas del

sistema a cada una de las señales.

)]n(x[Ta)]n(x[Ta)]n(xa)n(xa[T 22112211 +=+


Representación de Sistemas Discretos Mediante Diagramas de Bloques

• A) Sumador:

• B)Multiplicador por una constante

26



C)Multiplicador de señal

D)Retardo de un elemento

Z-1X[n] Y[n]=X[n-1]



E) Adelanto de un elemento:

Ejemplo:Y[n]=1/4Y[n-1]+1/2X[n]+1/2X[n-1]

ZX[n] Y[n]=X[n+1]

27


Profesor:



1.-Sistema con Memoria.- Cuando su salida depende de entradas anteriores.

2.-Sistema sin Memoria.- Cuando su salida depende solo de la entrada presente para cada valor de la variable independiente.

X[n] Y[n]=x[n-1]+x[n-2]

x[n]Y[n]=2x[n]


28


3.-Causalidad.- Un sistema es causal si en cualquier instante de tiempo depende solo de los valores presente y pasados. Ejm

y(n)=x(n-1) es un sistema causal

y(n)=x(n)-x(n+1) sistema no causal

4.-Estabilidad.- Intuitivamente, un sistema estable es aquel en el que las entradas pequeñas conducen a respuestas que no

divergen ejm.

estable es sistema El Bmax y[n]

Bmax x[n]Si

k]x[n12M

1y[n]

M

Mk

∴=⇒

=

−+

= ∑+

−=



5.- Invarianza en el Tiempo.- Un sistema es invariante en el tiempo, si un desplazamiento de la señal de entrada causa un desplazamiento en el tiempo en la señal de salida.

TIEMPO. EL EN INVARIANTE es sistema el Entonces

(3) -- k)-y(n k)y(n, :quedemostrar debemos k)],-T[x(n k)y(n,

:como salida laescribir podemos general,En

-(2)--- )kn(y )kn(x

-(1)----- )n(y )n(x

==

−→−

→Τ

Τ


29


6.- Linealidad.- Es aquel que posee la importante propiedad de superposición que dice: Si una entrada consiste en la suma ponderada de varias señales, entonces la salida es solo la superposición, esto es la suma ponderada de las respuestas del

sistema a cada una de las señales.

)]n(x[Ta)]n(x[Ta)]n(xa)n(xa[T 22112211 +=+



• A) Sumador:

• B)Multiplicador por una constante


30


C)Multiplicador de señal

D)Retardo de un elemento

Z-1X[n] Y[n]=X[n-1]



E) Adelanto de un elemento:

Ejemplo:Y[n]=1/4Y[n-1]+1/2X[n]+1/2X[n-1]

ZX[n] Y[n]=X[n+1]


31

Secuencias fundamentales

Impulso

Escalon Unitario


Secuencias fundamentales

Propiedades:

1) δ(n)=x(0) δ(n) 3)

2) δ(n)=u(n)-u(n-1) 4)

Exponenciala>1 Potencial crecientea=1 Secuencia constante1>a>0 Potencial decreciente0>a>-1 Pot. dec. con signo alternoa=-1 secuencia alterna de 1 y -1a<-1 Potenc. decrec. sig. alternos


32

Secuencias fundamentalesResolver:


Secuencias fundamentalesResolver:


33


Profesor:


SISTEMAS DE PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEÑALES

Son sistemas LTI.

TEOREMA.- Cada sistema LTI puede ser completamente caracterizado por su respuesta al impulso, esto es la respuesta (salida) de un sistema lineal, frente a una señal de impulso.

Si:

[ ] ( ) ( )∑∞

−∞=

−δ=k

knkxnx

( )[ ] ( ) ( ) ( )knhnh -- nhkn kk −=>=−δΤ

[ ] ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )[ ]∑∑∞

−∞=

∞

−∞=

−δΤ=

−δ=Τ=

kk

knkxknkxTnxny

( ) ( ) ( )∑∞

−∞=

=k

k nhkxny


34

CONVOLUCIÓN

Corolario: Si el sistema es LTI de modo que h[n] es la respuesta al sistema aδ[n] entonces h[n-k] es la respuesta a δ[n-k], luego la secuencia de salidaresulta:

Propiedades:

1)x[n]* δ[n]=x[n]

2)x[n]* δ[n-k]=x[n-k]

3)x[n]*y[n]=y[n]*x[n]

4)x[n]*(y[n]*z[n])=(x[n]*y[n])*z[n]

5)x[n]*(y[n]+z[n])=x[n]*y[n]+x[ n]*z[n]

( ) ( ) ( ) ( ) ( )nh*nxknhkx nyk

=−= ∑∞

−∞=


La Transformada Z

Sea: [f(k)]= f(0), f(1), f(2), f(3),........

Cada muestra está asociada a:

Z-k f(k)

Ejm.f(-1) � Zf(-1)f(1) --> Z-1f(1)

-3T -2T -T 0T 1T 2T 3T ..... K

f(k)


35

Definición de la Transformada Z

Se puede agrupar [f(k)] como una sumatoria, donde:

[f(k)]=

[f(k)] � F(z)

F(z) es la transformada Z de f(k) y queda definida como:

F(z)= ∑∞

−∞=

−

k

kZ)k(f

∑∞

−∞=

−

k

kZ)k(f


Transformada Z de Algunas Funciones Conocidas

Secuencia Discreta Transformada ROC1 Todo Z[ ]nδ

[ ] 1Z Z-1

1 n

1-<µ

[ ] 0)(m

0)m (si 0 excepto Z Z m-n -m

<∞

>∀δ

[ ] Z Z-1

1 n

1-n α>

αµα

( ) α>α

αµα Z

)Z-(1

Z nn

21-

-1n

α<α

−−µα− Z Z-1

1 )1n(

1-n


36

PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA Z

Secuencia Transformada

[ ] X(Z) nx

[ ] X1(Z) n1x

[ ][ ] [ ]

[ ][ ] [ ]

[ ]dZ

dX(Z)Z- nnx

)X1(Z).X2(Z 2*1

)( Z

)(2aX1(Z) 2 nax1

X2(Z) 2

no-

nxnx

ZXnonx

ZbXnbx

nx

−

++


LA TRANSFORMADA Z INVERSA

Se trata de hallar la secuencia x(k) a partir de X(z).

Métodos:

1)Por división

Tras dividir:

21

-1

Z2Z31

10Z)Z(X

−− +−=

.............Z150Z7030ZZ10)Z(X 43-21 ++++= −−−

Por inspección se obtiene:X(0)= 0;X(1)=10;X(2)=30;X(3)=70;X(4)=150;.


37

2) Por Fracciones parciales:

X(Z)=

X(Z)=

X[k]=

X[k]=

2Z

10

1Z

10

Z

X(Z)

)2Z)(1Z(

Z10

−+

−−

===>−−

−+

−−

−− 11 Z21

110

Z1

110

[ ][ ] [ ][ ]kk k µµ 21010 +−

[ ] .......1,2,3,4,..k k)210(-1 =+ µk

X(0)=0;X(1)=10;X(2)=30;X(3)=70;X(4)=150;


3)Método de Matlab

[ ] [ ]

[ ] [ ]1,-3,2A ; 0,10B

datos 20 Ejm

.....,01,0,0,0,0,kX

==

=

[ ] X)A,filter(B,kY =


38

Filtro DigitalEs un conjunto de operaciones lógico matemáticos que permiten el paso que permiten el pasode una señal a través de un sistema dentro de un rango de frecuencias.

Si se tiene:

[ ] [ ] [ ] [ ]nkxa.....kxamkbmy....kyb n00 −++=−++

.convenciónpor 1b donde o = Zada transformla defunción En

( ) ( )ZxZa......)Z(xa)Z(yZb......zyb nn0

mm0

−− ++=++

( )

=

+ ∑∑ −−

N

n

nn

M

m

mm ZaZxZb1)Z(y

( )

∑

∑

−

−

+

=M

m

mm

N

n

nn

Zb1

Za

)Z(x

Zy

∑

∑

−

−

+

=M

m

mm

N

n

nn

Zb1

Za

)Z(H


Considerando los coeficientes deldenominador

Clasificación :

1) Filtros IIR (bm≠0)

2) Filtros FIR (bm=0)


39

FILTROS IIR

La salida depende tanto de las entradas presentes y previas así como las salidas previas.

bm≠0

Z-1

Z-1

Y(k)X(K)

∑

∑

−

−

+

=M

m

mm

N

n

nn

Zb1

Za

)Z(H

Z=esT � Relación de Z con la ST= periodo de muestreo.


1

1

1

12−

−

+−

=z

z

Ts

Transformador bilineal

Respuesta en frecuencia de un filtro

Haciendo el respectivo reemplazo en las funciones de transferencia de los filtros Analógicos: Butterworth, Chebyshev, Elliptic, se obtienen sus correspondientes funciones de transferencia digital.


WWc Ws

|H(w)|

40

FILTRO FIR La salida es la suma de las muestras de la señal de entrada previas y presentes

bm=0.

( ) ∑ −=N

n

nn ZaZH

Z-1

x(k) y(k)

[ ] ( ) ( )∑ −=N

k

knxkhny

( ) ( )[ ]( ) TWk

TW-kTsen Wkh

c

cc

Γ−π

Γ=

Ejm: Si 0=Γ

8

W W s

c =sf

1 =Τ

( )

π

π

=k

4

k4

sen

4

1 kh


Para diferentes tipos de filtros.A)PASA ALTO

B)PASA BANDA

C)PASA BANDA

METODO DE PARKS –Mc CLELLAN

m=[1 1 1 0 0 0];

f= [0 0.1 0.3 0.7 0.8 1];

[ ] ( ) [ ]LPkHP kh1kh −=

[ ] ( )[ ] [ ]LPoBP khTkW2coskh =

co1 W-WW =

[ ] [ ]BPBS 0h-10h =

[ ] [ ]BPBS k-hkh =


41

Optimizando la respuesta del filtro firmétodo de ventanas

( ) ( ) ( )kw.khKh =

( )

>

≤=

NK,0

NK 1kW R

( ) ( )

>

≤π

α−+α=

NK ,0

NK ),N

kcos(1

kW H

Hanning de Ventana 56.0

Hamming de Ventana 54.0

=α

=α



Autor:

Ing.Rafael Bustamante Alvarez

42

REPRESENTACIÓN EN EL DOMINIO DE LA

FRECUENCIA• Objetivos:

• Introducir los conceptos del dominio en la frecuencia

(Espectros).

• Obtener una representación grafica.

• DTFT, DFS, DTF, FFT,


DTFT• Es la Transformada de Fourier de una Secuencia Discreta.

• x[n] <−−−> X(w)

• Una condición suficiente para la convergencia de la transformada

• Discreta de Fourier de Tiempo Discreto es que x(n) sea absolutamente

• Sumable:

•

•

• Propiedades:

• 1.-Linealidad. ax1(n)+bx2(n) → aX1(w)+bX2(w)

• 2.-Desplazamiento. x(n-k) → e-jwkX(w)

• 3.-Convolución. x1(n)*x2(n)→X1(w).X2(w)

∞⟨≤≤= ∑∑∑∞

−∞=

∞

−∞=

−∞

−∞=

− )n(xe)n(xe)n(x)w(Xnn

jwn

n

jwn


43

DFS

• La representación en el dominio de la frecuencia de una secuencia periódica es denominada Series Discretas de Fourier.

•

•

• Es su transformada

N. periodocon peridodica es )Nn(x)n(x~~

+=

knN

jN

k

~~

enxkX

−−

=∑=

π21

0

).()(

knN

2j1N

0k

~~e).k(X

N

1)n(x

π−

=∑=


DFT

• Una secuencia x(n) con 0≤ n≤ N-1 muestras no cero, se puede repetir para formar

una versión periódica .

•

≤≤

==caso otro 0

1-Nn0 ,1)n(R donde )n(R).k(X)k(X NN

~

knN

jN

n

enkX

−−

=∑=

π21

0

).(x)(

knN

jN

k

ekXN

nx

−

=∑=

π21

0

).(1

)(

� (DFT)

�(IDFT)


44

Propiedades de la DFT

• Periodicidad

X(k+N)=X(k) para todo k

• Linealidad

a1x (n)+ a2 x(n) DFT a1X (k)+a2 X(k)

• Simetría

(k)XoI j) (kX

eI j(k) X

oR(k) X

eRX(k)

nnnnnx xxxxo

I

e

I

o

R

e

R

+++=

+++=

b

bb

)(j )(j )( )()( e=par

o=impar

(simetria) par 1-Nn1 nxnNx

)(asimetria impar 1-Nn1 nxnNx

≤≤=−

≤≤−=−

)()(

)()(Mg.Ing Rafael Bustamante Alvarez

EjemploMediante la DFT, determine la convolución de las dos secuencias siguientes: x1={2,1,2,1} y

Solución: x2={1,2,3,4}

jj

nxk

nxk

kXnxkXnx

nxnxnx

eee

e

eee

e

kjkj

kj

n

nkj

kjkj

kj

n

nkj

NDFTNDFT

22)3(X 2)2(X 22)1(X 10)0(X

3 21

0,1,2,3k )()(X

0)3(X 2)2(X 0)1(X 6)0(X

2 2

0,1,2,3k )()(X

4N donde )()(y )()(

)()()(

2222

23

22

3

0

42

22

1111

23

22

3

0

42

11

2,

21,

1

213

4−−=−=+−==

+++=

==

====

+++=

==

= →← →←

⊗=

−−−

=

−

−−−

=

−

∑

∑

πππ

π

πππ

π


45

Ejemplo

16(3)x 14(2)x 16(1)x 14(0)x

)

0,1,2,3,n kXnx

ekXN

nx es X de IDFT La

X X X X

kXkXkXnxnx

3333

nj

k

nkj

3

knN

jN

k

3

NDFT

e

e

====

−=

==

=→

=−===

= →←⊗

∑

∑

=

−

=

π

π

π

460(4

1

)(4

1)(

).(1

)(

0)3(4)2(0)1(60)0(

)().()()()(

3

0

42

3

21

0

3333

213,

21


Transformada Rápida de Fourier (FFT)

Enfoque: “Divide y vencerás”Mg.Ing Rafael Bustamante Alvarez

46

Transformada Rápida de Fourier (FFT)-Base 2

x(0)

x(2)

x(1)

x(3)

X(0)

X(1)

X(2)

X(0)-1 -1

-1

-1


Transformada Rápida de Fourier (FFT) N=8x(0)

x(4)

x(2)

x(6)

X(0)

X(1)

X(2)

X(3)-1 -1

-1

-1

x(1)

x(5)

x(3)

x(7)

X(4)

X(5)

X(6)

X(7)-1 -1

-1

-1

-1

-1

-1

-1


47

• Generalización

• Ejercicio: Determinar la FFT de x={2,1,2,1}

Transformada Rápida de Fourier


Filtros Adaptativos

• Los filtros adaptativos son sistemas variantes en el tiempo de forma que se adaptan a cambios a su entorno , optimizando su funcionamiento de acuerdo a una serie de algoritmos conocidos como algoritmos adaptativos.

+

Sistema adaptativo

Algoritmo adaptativo

+-

e(n)

y(n)x(n)

d(n)


48

Estructura Directa

e(n)

d(n)

Sistema adaptativo

Sistema Desconocido

+-

y(n)x(n)

Aplicación:

Identificar sistemas


Estructura Inversa

Sistema adaptativo

Sistema Desconocido

+-

e(n)

y(n)x(n)

d(n)

Aplicación:

Ecualización de canales de comunicación


49

Estructura Predictor

Sistema adaptativo

Retardo+

-

e(n)

y(n)x(n)

d(n)

Aplicación:

Sistemas de control –Control Adaptativo y neuronal

x(n-p)


Cancelador activo de ruidoAplicación:

Eliminar ruido solapado a la señal espectralmente

e(n)

Sistema adaptativo

+-

y(n)

d(n)= s(n)+ro(n)

x(n)=r1(n)

21

22)))(()()(())()(()( nrfnrnsnyndn oe −+=−=


50

Algoritmo Least means square (LMS)222

)))(1()()(())()(()( nrfnrnsnyndn oe −+=−=

vectorial)(notación .)(

.)](),.....1(),0([

)()()(

))()((

)(

1

0

2

2

1

n

T

n

n

T

nnnn

L

k

n

n

nn

xwny

xTLwwww

knxkwny

nyndJ

neJ

a

Jaa

=

−=

−=

−=

=

∂∂

−=

∑−

=

+ µ

)()(2)(

))}({(

)(

)()(

))}()()({(

)(

)(

)(

)()(2

)(

))}({(

)(

}))()()({((}.)({)}({

2

1

0

2

1

21

0

2

knxnekw

neE

kw

J

knxkw

knxkwndE

kw

ne

kw

nene

kw

neE

kw

J

w

Jww

knxkwndExwndEneEJ

nn

n

L

k

n

n

nnn

n

nn

L

k

nn

T

n

−=∂

∂=

∂∂

−−=∂

−−∂=

∂∂

∂∂

=∂

∂=

∂∂

∂∂

−=

−−=−==

∑

∑

−

=

+

−

=

µ

x(n)=r1(n)


Algoritmo Least means square (LMS)

xneww

nyndne

xw

xneww

knxnewkw

Se

nn

n

T

n

nnn

nnn

)(2

filtros los de escoeficient los deación 4)Actualiz

)()()(

sistema delerror delion Determinac)3

.y(n)

filtro del salida la deación 2)Determin

adaptativo filtro del ecoeficient los deción Inicializa 1)

:entofuncionami de etapas siguientes las tendríaLMS elen basado

adaptativo FIR Filtroun de entofuncionami de etapas Las

)(2

ectorialnotación v utilizando Ahora

1-Lk0 )()(2)(

:que concluye

1

1

1

µ

µ

µ

+=

−=

=

+=

≤≤−+=

+

+

+


Documents

PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEÑALES - actiweb.es · ancho de banda, filtraje digital, espectro de frecuencias, compresión, etc. Es también considerada un área de la ingeniería que