Campos vectoriales - Inicio · Capítulo 6 Campos vectoriales Durante este curso llevamos estudiados distintos tipos de funciones. Trabajamos con funciones vectoriales de una variable

Capítulo 6

Campos vectoriales

Durante este curso llevamos estudiados distintos tipos de funciones. Trabajamos con funcionesvectoriales de una variable Ær(t) : R! V

n

, asociadas con curvas paramétricas y que permiten porejemplo describir el movimiento de objetos. También usamos funciones vectoriales de dos variablesÆr(u, v) : R2 ! V3, asociadas con superficies paramétricas. Estudiamos funciones escalares devarias variables f : Rn ! R y las utilizamos para describir por ejemplo la temperatura en unaplaca o en un ambiente, o la densidad de la sustancia con que está hecho algún objeto; estasasocian un escalar a cada punto en el dominio.

Imaginemos ahora que pretendemos estudiar el movimiento de un fluido por una cañería. Noes para nada práctico estudiar cómo se mueve cada molécula que constituye el fluido; en cambiola descripción que se adopta consiste en indicar, en cada punto de la cañería, con qué velocidadpasa en elemento de fluido: Æv(x, y, z). Otra situación de interés es el estudio de la fuerza producidapor una carga eléctrica, que sentirá otra carga dependiendo de donde esté situada: ÆF

e

(x, y, z).Introducimos un tipo de función llamada campo vectorial ÆF : Rn ! V

n

, que es una función que acada punto del espacio de n dimensiones le asigna un vector de n componentes. En este capítuloestudiaremos el dominio y rango de un campo vectorial, su representación gráfica, continuidad ylímites, así como las derivadas e integrales que involucran campos vectoriales.

6.1 Definición de campo vectorial

Nos concentraremos en el estudio de campos vectoriales definidos en regiones sólidas enel espacio que para cada punto asignan un vector de V3, y en campos vectoriales definidos enrecintos planos que para cada punto del dominio tienen asociado un vector de V2. Veamos lascorrespondientes definiciones, algunos ejemplos y la forma de representarlos gráficamente.

Definición 6.1.1 — en R3. Un campo vectorial sobre E ⇢ R3 es una función ÆF : E ! V3 que a

cada punto (x, y, z) 2 E le asigna un (único) vector de tres componentes ÆF(x, y, z) 2 V3.Para cada terna ordenada (x, y, z) del dominio, se tiene asociado un vector tridimensional

ÆF(x, y, z); luego podemos escribirlo en términos de sus tres componentes, que son funcionesescalares de tres variables a las que llamaremos P(x, y, z), Q(x, y, z) y R(x, y, z). Escribimos ennotación vectorial:

ÆF(x, y, z) = ı̆P(x, y, z) + |̆Q(x, y, z) + k̆R(x, y, z)

o también como terna ordenada:

ÆF(x, y, z) = (P(x, y, z),Q(x, y, z), R(x, y, z)) .

2 Capítulo 6. Campos vectoriales

⌅ Ejemplo 6.1 El campo vectorial ÆF(x, y, z) = ı̆z + |̆exyz + k̆(x3 + z2) asigna al punto (x0, y0, z0)del espacio, el vector con primera componente z0, segunda componente ex0y0z0 , y terceracomponente x3

0 + z20 . Por ejemplo ÆF(⇡, 0, 2) = ı̆2+ |̆e⇡ 0 2 + k̆(⇡3 + 22) = ı̆2+ |̆+ k̆(⇡3 + 4) =

(2, 1, ⇡3 + 4), mientras que ÆF(� 12,�1, 2) = ı̆2 + |̆e + k̆(�1

8 + 4) = (1, e , 318 ).

Figura 6.1: Representación gráfica del campo vectorial ÆF(x, y, z) = ı̆z + |̆exyz + k̆(x3 + z2).

⌅

Definición 6.1.2 — en R2. Un campo vectorial sobre D ⇢ R2 es una función ÆF : D ! V2 que a

cada punto (x, y) 2 D le asigna un (único) vector de dos componentes ÆF(x, y) 2 V2.Para cada par ordenado (x, y) del dominio, se tiene asociado un vector bidimensional ÆF(x, y),

cuya primera componente llamamos P(x, y) y cuya segunda componente denominamos Q(x, y).Variando de punto, las componentes del campo vectorial varían en general; las componentes P yQ son funciones escalares de dos variables. Escribimos en notación vectorial:

ÆF(x, y) = ı̆ P(x, y) + |̆ Q(x, y)

o también como par ordenado:

ÆF(x, y) = (P(x, y),Q(x, y)) .

⌅ Ejemplo 6.2 El campo vectorial ÆF(x, y) = 14 ı̆(x

2� y2�1)+ |̆ xy2 asigna al punto (x0, y0) del plano,

el vector con primera componente 14 (x

20 � y2

0 �1) y segunda componente12

x0y0. Por ejemplo

ÆF(0, 1) = 14ı̆(02 � 12 � 1) + |̆ 0 = � 1

2 ı̆ = (� 12, 0), mientras que ÆF(1

2,35 ) = �ı̆111

400 + |̆320 =

(�111400,

320 ).

6.1 Definición de campo vectorial 3

Figura 6.2: Representación gráfica del campo vectorial ÆF(x, y) = ı̆12 (x2 � y2 � 1) + |̆ xy2 .

⌅

Definición 6.1.3 — Dominio e imagen. El dominio de un campo vectorial en el espacio es unsubconjunto de R3, y el de un campo vectorial en el plano es un subconjunto de R2. El “dominionatural” del campo está dado por la intersección de los dominios naturales de sus funcionescomponentes.La imagen de un campo vectorial en el espacio consisten en un conjunto de vectores de trescomponente, y la de un campo vectorial en el plano son vectores de 2 componentes. El “dominionatural” del campo está dado por la intersección de los dominios naturales de sus funcionescomponentes.

⌅ Ejemplo 6.3

ÆF(x, y) = ı̆ ln(xy) + |̆ cos(x + y) tiene como dominio natural todos los puntos delprimer y tercer cuadrante del plano, excepto los ejes coordenados. Justifique. ⌅

Representación gráfica de un campo vectorial

Una manera de representar gráficamente un campo vectorial en el expacio es mediante unconjunto de flechas donde cada una corresponde al vector ÆF(x, y, z), con su origen en el punto(x, y, z) del espacio; análogamente para un campo vectorial en el plano. Otras representacionesgráficas utilizan conjuntos de curvas o de superficies, como las llamadas líneas de flujo, y lasdenominadas superficies o curvas equipotenciales.

Pueden usar el siguiente recursos para visualizar campos vectoriales en R3 cam-biando las funciones correspondientes a las componentes. Explorar las vistas ycambiar la escala de los vectores para una mejor visualización.https://ggbm.at/Tn5epr9C

Pueden usar el siguiente recursos para visualizar campos vectoriales en R2 cam-biando las funciones correspondientes a las componentes. Explorar al cambiar laescala de los vectores, la densidad de vectorias y el dominio de visualización.https://ggbm.at/zDZHQhxv

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6.1.1 Continuidad de un campo vectorial

Un campo vectorial es continuo si y sólo si todas sus funciones componentes son continuas.

⌅ Ejemplo 6.4

ÆF(x, y, z) = ı̆ ln x + ln ypz

+ |̆ cos(x+ y)+ k̆1

(x � 1)2 + (y � 1)2 + (z � 1)2 es continuo

en todos los puntos del primer octante del espacio, excepto en los planos coordenados y enel punto (1, 1, 1). Justifique.

⌅

Veamos ejemplos de campos vectoriales:

⌅ Ejemplo 6.5 Describa el campo vectorial ÆF(x, y, z) = (x, 0, 0), trazando algunos de los vectores.

Observamos que el campo es siempre un múltiplo escalar del versor ı̆; efectivamenteÆF(x, y, z) = x (1, 0, 0) = ı̆x. Entonces, se representa mediante flechas paralelas al eje x, consentido alejándose del plano yz, de módulo creciente a medida que aumenta x en valorabsoluto.¿Cuándo se anula este campo vectorial? Siempre que la coordenada x del punto sea cero, osea ÆF = Æ0 para todos los puntos de la forma (0, y, z), esto es, para los puntos del plano yz.Esboce una representación gráfica de este campo. Ver Figura 6.3b.

⌅

⌅ Ejemplo 6.6 Describa el campo vectorial ÆF(x, y) = �ı̆y + |̆x, trazando algunos de los vectores.

El dominio natural de este campo vectorial es todo R2. Evaluemos el campo en algunospuntos del plano, por ejemplo ÆF(1, 0) = |̆, ÆF(0, 1) = �ı̆, ÆF(�1, 0) = � |̆, ÆF(0,�1) = ı̆. Estosvectores tienen módulo 1, y los puntos donde se aplican están a 1 unidad de distancia delorigen. Evalúe ÆF en (2, 0), (0, 2), (�2, 0), y (0,�2); ¿qué observa?

El módulo de ÆF para cualquier punto (x, y) es | ÆF(x, y)| =q(�y)2 + x2 = |Ær |, donde Ær

denota el vector posición del punto de coordenadas (x, y). Esto significa que, para todoslos puntos sobre una circunferencia dada centrada en el origen, el campo tiene el mismomódulo; a medida que aumenta el radio de la circunferencia, el módulo del campo es mayor.Por otro lado, en este ejemplo se tiene Ær · ÆF = (x, y) · (�y, x) = 0, lo que significa que encada punto del plano el campo es perpendicular al vector posición.Podemos analizar también los puntos del plano donde el campo da el vector nulo: estoocurre si y sólo si �y = 0 y x = 0, o sea solamente para el origen: ÆF(0, 0) = Æ0.Se muestra una representación gráfica de este campo en la Figura 6.3a.

⌅


(a) Campo vectorial en el espacio. Ejemplo 6.5. (b) Campo vectorial en el plano. Ejemplo 6.6.

Figura 6.3: Representación gráfica de campos campos vectoriales.

C

En algunos cálculos o aplicaciones puede resultar útil considerar un campo vectorialen el plano como caso particular de campo vectorial en el espacio para el cualla primera y segunda funciones componentes no dependen de la variable z, latercera componente es la función nula, y el dominio es un conjunto de puntos enel plano xy. Esto es, identificaremos a ÆF(x, y) = (P(x, y),Q(x, y)) en D ⇢ R2, conÆF(x, y, z) = (P(x, y),Q(x, y), 0) en E = {(x, y, z) : (x, y) 2 D, z = 0}.

6.1.2 Aplicaciones

Campo de velocidades

Cuando se pretende describir un fluido es conveniente indicar la velocidad con que pasa unelemento de fluido por un dado punto del espacio. En el caso de flujo estacionario (no depende deltiempo), se usa un campo vectorial de velocidades Æv(x, y, z).

Una línea de flujo de un campo de velocidades marcala trayectoria seguida por una partícula del fluido mo-viéndose en dicho campo, de forma que los vectores querepresentan el campo de velocidades son tangentes a laslíneas de flujo. La representación por medio de líneas deflujo es usada, por ejemplo, para mostrar el movimientode un fluido alrededor de un objeto (como el ala de unavión); las corrientes oceánicas también se representanmediante líneas de flujo, así como las térmicas que son columnas de aire ascendente que sonutilizadas por las aves para planear, y también para vuelos en aladeltas, parapentes y planeadoressin motor.


Con el siguiente recurso se pueden simular el movimiento de varias partículas enun fluido multicolor. Las figuras que se forman pueden ser muy atrayentes.

https://ggbm.at/xkqBVmr6

Campo de fuerzas

La fuerza de atracción gravitatoria entre dos objetos de masas M y m actúa a lo largo de la recta(imaginaria) que los une y está dada en módulo por

| ÆFg

| = GMmr2

donde r es la distancia entre los objetos, y G = 6, 67 ⇥ 10�11 N-m2/kg2 es la llamada constante degravitación, de acuerdo a la ley de gravitación universal de Newton.Supongamos que el objeto de masa M está ubicado en el origen y el objeto de masa m está en elpunto (x, y, z). La distancia entre ellos es entonces r =

qx2 + y2 + z2 y la recta de acción está

determinada por el vector (unitario) r̆ =ı̆x + |̆y + k̆ zpx2 + y2 + z2

. Podemos escribir el campo de fuerza

gravitatoria que sufre la masa m debido a la masa M, en términos de sus funciones componentescomo:

ÆFg

(x, y, z) = �ı̆GMmx

(x2 + y2 + z2)3/2� |̆GMm

y

(x2 + y2 + z2)3/2� k̆ GMm

z(x2 + y2 + z2)3/2

donde el signo � indica que la fuerza es atractiva (hacia el origen, que es donde está M).Este campo de fuerzas se representa gráficamente mediante flechas en dirección radial apuntandohacia el origen de coordenadas, de longitud cada vez menor a medida que el objeto m se ubica másalejado del objeto M .

Otro ejemplo es la fuerza peso (fuerza de atracción gravitatoria que sufre una masa m muycerca de la superficie terrestre), que da lugar a un campo vectorial constante:

ÆFp

= �k̆ mg

¿Cómo lo representa gráficamente?La fuerza eléctrica entre dos cargas puntuales Q (ubicada en el origen) y q

�ubicada en el punto

(x, y, z)�

puede ser atractiva (cuando ambas cargas tienen signos opuestos) o repulsiva (cuandotienen el mismo signo). Según la ley de Coulomb, la fuerza que sufre la carga q debido a la carga Qes el campo vectorial

ÆFe

(x, y, z) = "Qqr2 r̆ = "Qq

ı̆x + |̆y + k̆ z(x2 + y2 + z2)3/2

donde " es una constante. ¿Cuál es la diferencia con la representación gráfica de la fuerza gravitatoria?

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Campo gradiente

En el Capítulo 3, sin saberlo, ya hemos usado campos vectoriales: efectivamente dada unafunción escalar f , su gradiente está definido para cada punto dando como resultado un vector, Ær f .Recordemos que definimos el “operador diferencial vectorial” (nabla) como

Ær = ı̆ @@x+ |̆@

@y+ k̆@

@z

Si f (x, y, z) es una función escalar dada en E ⇢ R3, que admite derivadas parciales primeras,se define el vector gradiente en cada punto (x, y, z) 2 E como

Ær f (x, y, z) = ı̆ fx

(x, y, z) + |̆ fy

(x, y, z) + k̆ fz

(x, y, z)

Vemos que ÆFf

= Ær f es un campo vectorial en E ⇢ R3, que se denomina campo vectorial gradiente.Si f (x, y) es una función escalar definida en D ⇢ R2, entonces

Ær f (x, y) = ı̆ fx

(x, y) + |̆ fy

(x, y)

es un campo vectorial gradiente en D ⇢ R2.

Representación gráfica de un campo gradiente

Figura 6.4: Curvas de nivel dela función f (x, y) = �x2 � y2

y su campo gradiente asociadoÆF(x, y) = �ı̆2x � |̆2y.

Discuta el siguiente enunciado:La representación gráfica de un campo gradiente en el espacio(o en el plano) puede darse por medio de vectores que son per-pendiculares a las superficies (o curvas) de nivel de la funciónescalar f de la cual deriva el campo.La función f recibe el nombre de función potencial y sus super-ficies (o curvas) de nivel se llaman, precisamente, superficies(o curvas) equipotenciales, y brindan una representación gráficaalternativa para el campo vectorial. Si la función es diferencial,su campo vectorial gradiente posee la propiedad, ya vista, deque los vectores serán perpendiculares a las curvas de nivel. Elsentido de cada vector estará determinado por las direccionesde crecimiento/decrecimiento de la función f .

En la figura 6.4 se representa en forma simultánea variascurvas de nivel de la función escalar f (x, y) = �x2 � y2 ytambién varios vectores correspondientes a su campo vectorialgradiente ÆF(x, y) = �ı̆2x � |̆2y.

⌅ Ejemplo 6.7 Para cada una de las siguientes funciones escalares, obtenga el campo vectorialgradiente: a) f (x, y) = ln(x + 2y); b) g(x, y, z) = x cos

y

z

a) El dominio de la función f (y de sus derivadas parciales) es la región del planoD = {(x, y) : x + 2y > 0}, esto es, por encima de la recta y = �1

2x (grafique el dominio).

Calculando las derivadas parciales, se tiene el campo vectorial gradiente en D dado por

ÆF(x, y) = Ær f (x, y) = ı̆ 1x + 2y

+ |̆2

x + 2y


b) La función g está definida en la región E = {x 2 R, y 2 R, z , 0}, o sea, en todo elespacio excepto el plano xy. El campo vectorial gradiente que deriva de esta función escalares

ÆG(x, y, z) = Ærg(x, y, z) = ı̆ cosy

z� |̆ x

zsen

y

z+ k̆

xyz2 sen

y

z

para (x, y, z) 2 E .⌅

6.1.3 Campo vectorial conservativo y función potencial

Estudiaremos una clase particular de campos vectoriales, que tiene importancia en aplicacionesfísicas: los llamados campos vectoriales conservativos. Damos ahora su definición y más adelanteveremos un teorema que da una condición suficiente para determinar si un dado campo vectorial esconservativo o no.

Definición 6.1.4 Un campo vectorial ÆF se dice conservativo en E si es el gradiente de algunafunción escalar, es decir, si existe una función f tal que ÆF = Ær f para todo punto de E . En talcaso, f se llama función potencial de ÆF.

C

Observamos que si f (x, y) es una función potencial del campo vectorial conservativoÆF(x, y) = ı̆P(x, y) + |̆Q(x, y) en el plano, entonces:

P(x, y) = @ f (x, y)@x

, Q(x, y) = @ f (x, y)@y

Ejercicio 6.1 Escriba relaciones similares para el caso de un campo vectorial conservativo en elespacio. ⌅

Veremos más adelante un método para hallar una función potencial de un campo vectorialconservativo.

Un campo gradiente es conservativo por definición, y la función de la cual derivan es unafunción potencial (notar que ésta queda definida a menos de una constante, o sea que en realidad setiene una familia de funciones potenciales).Se puede probar que los campos de fuerza gravitatoria y eléctrica son ambos conservativos. Lafunción potencial en estos casos es de la forma f (x, y, z) = Kp

x2 + y2 + z2+ c, donde K es GMm

ó �"Qq de acuerdo al problema, y la constante c es arbitraria. En Física, para campos de fuerzaconservativos, se define una cantidad llamada energía potencial U de manera que ÆF = �ÆrU(entonces �U juega el papel de la función potencial f dada aquí).

⌅ Ejemplo 6.8 La fuerza de restitución elástica (en 1 dimensión) ÆF(x) = �k xı̆ es conservativa. En“lenguaje físico”, se dice que existe una función U(x) = 1

2k x2 (energía potencial elástica) tal

que ÆF = �ÆrU. Aquí usamos el “lenguaje matemático” y diremos que existe una funciónf (x) = �1

2k x2 (función potencial) tal que ÆF = Ær f . ⌅

6.2 Derivadas de un campo vectorial 9

⌅ Ejemplo 6.9 Determine si ÆF(x, y) = ı̆yexy + |̆xexy es un campo vectorial conservativo en R2.De acuerdo a la definición, deberíamos encontrar una función escalar f (x, y) tal que su

gradiente es el campo dado. Por simple inspección, notamos que las derivadas parcialesde la función exponencial exy dan las dos componentes del campo. Luego la familia defunciones potenciales es

f (x, y) = exy + k

pues, efectivamente, Ær f (x, y) = (yexy, xexy) = ÆF(x, y) para todo (x, y) 2 R2.⌅

Ejercicios

1. Describa el campo vectorial dado, y grafique trazando algunos vectores representativos en elplano:

a) ÆF(x, y) = ı̆x + |̆y b) ÆF(x, y) = ı̆y + |̆

c) ÆF(x, y) = �ı̆y + |̆xpx2 + y2

con (x, y) , (0, 0)

2. Describa el campo vectorial ÆF(x, y, z) = ı̆x + |̆z + k̆y en el espacio, y grafique trazandoalgunos vectores representativos.

3. Proporcione una expresión ÆF(x, y) = ı̆P(x, y) + |̆Q(x, y) para un campo vectorial en el planocon la propiedad de que ÆF apunte hacia el origen con una magnitud inversamente proporcionalal cuadrado de la distancia de (x, y) al (0, 0). El campo no está definido en el origen.

4. Encuentre el campo vectorial gradiente que se obtiene a partir de la función escalar dada encada caso:

a) f (x, y) = cosh(x + 2y) b) f (x, y, z) =q

x2 + y2 + z2

c) f (x, y, z) = xyz +12

z2 + ex cos y

6.2 Derivadas de un campo vectorial

Un campo vectorial ÆF(x, y, z) en el espacio posee tres funciones componentes, cada una de lascuales depende de tres variables: P(x, y, z), Q(x, y, z), y R(x, y, z). Si queremos estudiar cambiosdel campo vectorial, notamos que debemos evaluar la variación de cada una de las funcionescomponentes respecto de cada una de las variables. En total tenemos nueve derivadas parcialesprimeras:

Resulta conveniente combinar estas funciones en dos grupos: con tres de ellas se genera unamagnitud escalar llamada divergencia, mientras que con las otras s eis se genera un nuevo campovectorial llamado rotor.

Definición 6.2.1 Dado un campo vectorial en el espacio ÆF(x, y, z) = ı̆P(x, y, z) + |̆Q(x, y, z) +k̆R(x, y, z), se define la divergencia de ÆF como la función escalar de tres variables dada por

div( ÆF) = Px

+Qy

+ Rz

si las tres derivadas parciales existen.


C

Usando el operador diferencial vectorial (nabla), se puede escribir la divergencia deun campo vectorial como un “producto escalar entre el operador nabla y el campo”.Se denota la divergencia de ÆF como:

div( ÆF) = Ær · ÆF =✓ı̆@

@x+ |̆@

@y+ k̆@

@z

◆· (ı̆P + |̆Q + k̆R) = @P

@x+@Q@y+@R@z.

⌅ Ejemplo 6.10 Calcule la divergencia del campo vectorial ÆF(x, y, z) = ı̆exz sen y + |̆exz cos y +k̆ x2y2z2.

Se tiene que, para todo (x, y, z) 2 R3, la divergencia del campo es la siguiente funciónescalar:

div( ÆF) = Ær · ÆF = @(exz sen y)@x

+@(exz cos y)@y

+@(x2y2z2)@z

= exz sen y � exz sen y + 2x2y2z = 2x2y2z.

⌅

Definición 6.2.2 — Campo vectorial incompresible. Si div( ÆF) = 0 para todo (x, y, z) 2 E , se diceque ÆF es un campo vectorial incompresible en E .

Ejercicio 6.2 Dé un ejemplo de campo incompresible en R3. ⌅

Definición 6.2.3 — Rotor de un campo vectorial en R3. Dado un campo vectorial en el espacio

ÆF(x, y, z) = ı̆P(x, y, z) + |̆Q(x, y, z) + k̆R(x, y, z), se define el rotor (o rotacional) de ÆF como elnuevo campo vectorial en el espacio dado por

rot( ÆF) = ı̆(Ry

� Qz

) � |̆(Rx

� Pz

) + k̆(Qx

� Py

)

si las seis derivadas parciales existen.

C

Usando el operador diferencial vectorial (nabla), se puede escribir el rotor de uncampo vectorial como un “producto vectorial entre el operador nabla y el campo”. Sedenota el rotor de ÆF como:

rot( ÆF) = Ær⇥ ÆF =

��

ı̆ |̆ k̆@

@x@

@y

@

@zP Q R

��= ı̆

✓@R@y

� @Q@z

◆� |̆

✓@R@x

� @P@z

◆+k̆

✓@Q@x

� @P@y

◆.

⌅ Ejemplo 6.11 Calcule el rotor del campo vectorial ÆF(x, y, z) = ı̆exz sen y + |̆exz cos y + k̆ x2y2z2.

Se tiene que, para todo (x, y, z) 2 R3, el rotor del campo es el siguiente nuevo campo

6.2 Derivadas de un campo vectorial 11

vectorial:

rot( ÆF) = Ær ⇥ ÆF = ı̆

✓@(x2y2z2)@y

� @(exz cos y)@z

◆� |̆

✓@(x2y2z2)@x

� @(exz sen y)@z

◆

+k̆✓@(exz cos y)@x

� @(exz sen y)@y

◆

= ı̆(2x2yz2 � ex cos y) + |̆(�2xy2z2 + ex sen y) + k̆0

⌅

Definición 6.2.4 — Campo vectorial irrotacional. Si rot( ÆF) = Æ0 para todo (x, y, z) 2 E , se diceque ÆF es un campo vectorial irrotacional en E .

Ejercicio 6.3 Dé un ejemplo de campo irrotacional en R3. ⌅

En el caso de un campo vectorial ÆF(x, y) = ı̆P(x, y) + |̆Q(x, y) en el plano, la divergencia y elrotor se definen de manera similar, a partir de las cuatro derivadas parciales primeras:

Se define la divergencia de ÆF en el plano como la función escalar de dos variables dada por

div( ÆF) = Px

+Qy

y se define el rotor de ÆF en el plano como el nuevo campo vectorial en el espacio a lo largo del ejez dado por

rot( ÆF) = k̆(Qx

� Py

).

Ejercicio 6.4 Discuta estas definiciones teniendo en cuenta el comentario 6.1.1 de la sección6.1.1. ⌅

⌅ Ejemplo 6.12 Dado el campo vectorial ÆF(x, y) = ı̆ ln(x2 + y4) + |̆(12+ 8xy), definido para todo

(x, y) , (0, 0), resulta que div( ÆF) = 2xx2 + y4 + 8x, mientras que rot( ÆF) = k̆

✓8y � 4y3

x2 + y4

◆para todos los puntos del plano excepto el origen. ⌅

Ejercicio 6.5 Dé ejemplos de campos incompresibles y/o irrotacionales en R2. ⌅

Enunciamos a continuación algunas propiedades y teoremas que involucran la divergencia y elrotor de campos vectoriales:

Teorema 6.2.1 — Propiedades. Sea f (x, y, z) una función escalar de clase C2, entonces:1. la divergencia del campo gradiente de f da como resultado el laplaciano de f :

Ær · (Ær f ) = r2 f = fxx

+ fyy

+ fzz

;


2. el rotor del campo gradiente de f da como resultado el vector nulo:

Ær ⇥ (Ær f ) = Æ0.

Ejercicio 6.6 Pruebe ambos resultados. ¿Qué teorema utiliza para la demostración? ⌅

6.2.1 Campo vectorial conservativo y rotor

Teorema 6.2.2 — Condición necesaria. Sea ÆF = (P,Q, R) un campo vectorial en E ⇢ R3. Si ÆF esconservativo en E , entonces ÆF es irrotacional en E . Simbólicamente:

Si ÆF = Ær f , entonces Ær ⇥ ÆF = Æ0.

C

La contrarrecíproca de este teorema es muy útil para determinar cuándo un campovectorial no es conservativo. ¿Cómo?El teorema anterior afirma que una condición necesaria para que un campo vectorial seaconservativo es que sea irrotacional. El siguiente teorema da condiciones suficientes.

Teorema 6.2.3 — Condiciones suficientes. Sea ÆF = (P,Q, R) un campo vectorial en E ⇢ R3. SiÆF es irrotacional en E y además sus funciones componentes son de clase C1 en todo R3, entoncesÆF es conservativo en R3.

⌅ Ejemplo 6.13 Utilice alguna de estas propiedades para justificar que el campo ÆF = (xz, xyz,�y2)no es conservativo en R3. ⌅

Ejercicios

1. Halle la divergencia y el rotor de los siguientes campos vectoriales:a) ÆF(x, y, z) = 1

3(x ı̆ + y |̆ + z k̆)

b) ÆF(x, y, z) = xyz ı̆ � x2y k̆c) ÆF(x, y, z) = x

x2 + y2 + z2 ı̆ +y

x2 + y2 + z2 |̆ +z

x2 + y2 + z2 k̆

d) ÆF(x, y) = �12y ı̆ +

12

x |̆

2. Determine si el campo vectorial dado es o no conservativo en R3 o en R2, según sea el caso:a) ÆF(x, y, z) = yz ı̆ + xz |̆ + xy k̆b) ÆF(x, y, z) = 2xy ı̆ + (x2 + 2yz) |̆ + y2 k̆c) ÆF(x, y, z) = ex ı̆ + ez |̆ + ey k̆d) ÆF(x, y) = y ı̆ + x |̆

3. Muestre que cualquier campo vectorial de la formaÆF(x, y, z) = p(y, z) ı̆ + q(x, z) |̆ + r(x, y) k̆

donde p, q y r son funciones diferenciables, es incompresible.4. Muestre que cualquier campo vectorial de la forma

ÆF(x, y, z) = p(x) ı̆ + q(y) |̆ + r(z) k̆

donde p, q y r son funciones derivables, es irrotacional.

6.3 Integral de línea de un campo vectorial 13

6.3 Integral de línea de un campo vectorial

Un concepto muy utilizado en Fisica es el de trabajo de una fuerza al mover un objeto de unpunto a otro del espacio. Sabemos que, en el caso particular en que la fuerza ÆF es contante y elmovimiento es en linea recta con un desplazamiento Æd, el trabajo se calcula como el productoescalar ÆF · Æd. En esta seccion veremos como se define y calcula el trabajo en el caso general de uncampo de fuerzas variable, cuando el objeto se mueve siguiendo una trayectoria arbitraria. Paraello, introduciremos la nocion de integral de linea de un campo vectorial a lo largo de una curva.

Figura 6.5: Trabajo realizado por la fuerza ÆF para mover la partícula, a lo largo del subarco.

Consideremos una curva suave C (en el espacio), parametrizada por la funcion vectorial Ær(t)que es continua en [a, b] y tal que Ær 0(t) , Æ0 para todo t 2 [a, b]. Como hicimos para definir integralde línea de una función escalar, aproximaremos la curva C por una poligonal formada por pequeñossegmentos de longitud �s. Si �s es muy pequeño, entonces cuando el objeto se mueve de unextremo al otro del i-ésimo subarco, avanza aproximadamente en la dirección tangente a la curva,

dada porÆr 0(t

i

)|Ær 0(t

i

)| . ¿Cuál es el trabajo realizado por la fuerza ÆF para mover la partícula, a lo largodel subarco? Esto es el producto escalar de la fuerza por el vector desplazamiento:

ÆF(xi

, yi

, zi

) ·�s

Ær 0(ti

)|Ær 0(t

i

)|

�=

ÆF(x

i

, yi

, zi

) · Ær 0(ti

)|Ær 0(t

i

)|

��s

que puede interpretarse como el valor de la componente tangencial del campo, multiplicada por lalongitud del elemento de arco.

Figura 6.6: Cada elemento de arco aporta al trabajo una cantidad dada por el valor de la componentetangencial del campo multiplicada por la longitud del elemento de arco.

El trabajo total del campo para mover la partícula a lo largo de la curva puede aproximarsemediante la suma de Riemann sobre todos los subarcos. Luego, el trabajo W realizado por el campode fuerzas ÆF a lo largo de la curva C, se define como el límite de las sumas de Riemann. Escribimossimbolicamente:

W =πC

ÆF(x, y, z) · T̆(x, y, z) ds


donde ÆF(x, y, z) es el campo vectorial y T̆(x, y, z) es el vector tangente unitario en el punto (x, y, z)de C. Notemos que esta expresión indica que el trabajo es la integral de línea con respecto a lalongitud de arco, de la componente tangencial de la fuerza. Usando que �s = |Ær 0(t)| �t podemosescribir:

W =π

b

a

ÆF(Ær(t)) · Ær 0(t)

|Ær 0(t)|

�|Ær 0(t)|dt =

πb

a

ÆF(Ær(t)) · Ær 0(t) dt

Definición 6.3.1 Sea ÆF un campo vectorial continuo, y sea C una curva suave. Sea Ær(t) cont 2 [a, b], una parametrizacion de C. Se define la integral de línea de ÆF a lo largo de C comoπ

C

ÆF · dÆr =

=

πb

a

ÆF(Ær(t)) · Ær 0(t) dt

Notar que ÆF(Ær(t)) = ÆF(x(t), y(t), z(t)).

Los siguientes recursos permiten calcular la integral de línea de un campo vectoriala lo largo de una curva, en el plano y en el espacio. Además, muestran de manerainteresante, los vectores que representan al campo y los vectores tangentes a lacurva, punto a punto, y el angulo que forman.

https://ggbm.at/trPAcTjS https://ggbm.at/v7faA84Z

⌅ Ejemplo 6.14 EvalúeπC

ÆF · dÆr para el campo vectorial ÆF(x, y, z) = x ı̆ + z |̆ + y k̆, a lo largo

de la hélice C dada por Ær(t) = cos t ı̆ + sen t |̆ + t k̆, t 2 [0, ⇡/2].

Para aplicar la definición de integral de línea, calculamos

ÆF(Ær(t)) = cos t ı̆ + t |̆ + sen t k̆

Ær 0(t) = � sen t ı̆ + cos t |̆ + k̆

Luego tenemosπC

ÆF · dÆr =

π ⇡/2

0ÆF(Ær(t)) · Ær 0(t) dt

=

π ⇡/2

0[cos t (� sen t) + t cos t + sen t] dt

=

cos2 t

2+ t sen t

�⇡/20=⇡

2� 1

2

https://ggbm.at/trPAcTjS

https://ggbm.at/v7faA84Z

6.3 Integral de línea de un campo vectorial 15

⌅

⌅ Ejemplo 6.15 Encuentre el trabajo realizado por el campo de fuerzas ÆF(x, y, z) = (y � x2) ı̆ +(z � y2) |̆ + (x � z2) k̆, para mover una partícula desde (0, 0, 0) hasta (1, 1, 1) a lo largo de lacurva parametrica C definida por Ær(t) = t ı̆ + t2 |̆ + t3 k̆.

El trabajo de una fuerza ÆF a lo largo de una curva C está definido como

W =πC

ÆF · dÆr

para lo cual calculamos

ÆF(Ær(t)) = (t2 � t2) ı̆ + [t3 � (t2)2] |̆ + [t � (t3)2] k̆ = (t3 � t4) |̆ + (t � t6) k̆

Ær 0(t) = ı̆ + 2t |̆ + 3t2 k̆

Notamos que el punto inicial de la curva corresponde a t = 0 y el punto final a t = 1. Luegoresulta

W =πC

ÆF · dÆr =

π 1

0ÆF(Ær(t)) · Ær 0(t) dt

=

π 1

0

⇣2t4 � 2t5 + 3t3 � 3t8

⌘dt =

2960

J

expresado en Joules (1 J=1 N m) en el sistema MKS.⌅

NOTACION: Puede ocurrir que la curva C sea cerrada (por ejemplo, una curva en el plano quesea la frontera de una region plana). En estos casos, la integral recibe el nombre de circulacion delcampo vectorial, y es comun usar una notacion especial:

ºC

ÆF · dÆr

para indicar explicitamente que C es cerrada.

Con el siguiente recurso se puede calcular la integral de línea de cualquier campoen R2 a lo largo de cualquier segmento recto, semicircunferencia o circunferencia.

https://ggbm.at/bspB37mm



Teorema 6.3.1 La integral de linea de un campo vectorial depende del sentido de recorrido de lacurva. Simbolicamente π

�CÆF · dÆr = �

πC

ÆF · dÆr

Ejercicio 6.7 Justifique que la propiedad dada se cumple para cualquier campo.Proponga algunos ejemplos particulares y, usando el recurso https://ggbm.at/bspB37mm,observe como cambia el signo de la integral al invertir el sentido de recorrido de la curva.⌅

Ejercicios

1. Calcule la integral de línea de ÆF a lo largo de la curva C definida por la función vectorialindicada en cada caso:

a) ÆF(x, y, z) = xy ı̆ + y |̆ � yz k̆,Ær(t) = t ı̆ + t2 |̆ + t k̆, 0 t 1

b) ÆF(x, y, z) = 2y ı̆ + 3x |̆ + (x + y) k̆,Ær(t) = cos t ı̆ + sen t |̆ +

t6

k̆, 0 t 2⇡

2. EvalúeπC

ÆF · dÆr para el campo vectorial ÆF = y ı̆ � x |̆ a lo largo de la circunferencia

unitaria x2 + y2 = 1 desde (1, 0) hasta (0, 1), en el sentido contrario a las agujas del reloj.3. Encuentre el trabajo realizado por el campo de fuerzas ÆF(x, y, z) = 3y ı̆ + 2x |̆ + 4z k̆ desde

(0, 0, 0) hasta (1, 1, 1), a lo largo de cada una de las siguientes trayectorias y grafique cada unade ellas:

a) La trayectoria recta C1: Ær(t) = t ı̆ + t |̆ + t k̆, 0 t 1b) La trayectoria curva C2: Ær(t) = t ı̆ + t2 |̆ + t4 k̆, 0 t 1c) La trayectoria C3 [ C4, formada por el segmento de recta desde (0, 0, 0) hasta (1, 1, 0)

seguido por el segmento desde (1, 1, 0) hasta (1, 1, 1).4. Calcule la circulación

ºC

[x ı̆ + y |̆] · dÆr, donde C es la elipse parametrizada por Ær(t) =cos t ı̆ + 4 sen t |̆ con 0 t 2⇡.

6.4 Teorema fundamental para integrales de línea

El Teorema Fundamental del Cálculo estudiado en Análisis Matemático I, aplicado a unafunción de una variable g : [a, b] ! R, con derivada continua en el intervalo [a, b], se escribecomo: π

b

a

g0(x) dx = g(b) � g(a)

Este resultado afirma que el valor de la integral de g0(x) depende sólo del valor de g en los puntosextremos del intervalo de integracion, quedando completamente determinado por g(a) y g(b).

Pensemos ahora en una función f de dos o tres variables, de clase C1, y en su gradiente Ær fque reune las derivadas parciales primeras de la funcion. í %�ste es un campo vectorial, el campogradiente de f , que de alguna manera generaliza el concepto de derivada para el caso de funcionesde más de una variable. A partir de esto, uno se podría preguntar si el Teorema Fundamental delCálculo también se puede generalizar, esto es: ¿el valor de la integral de línea del campo Ær f a lolargo de una curva C, en el plano o en el espacio, está determinado sólo por el valor de f en lospuntos extremos de la curva C?

Expresemos más formalmente la situación para el caso de una funcion de tres variables. Sea Cuna curva determinada por la función vectorial Ær(t) : [a, b] ! R3, que desde Ær(a) hasta Ær(b). Sea


6.4 Teorema fundamental para integrales de línea 17

f (x, y, z) una función con gradiente continuo para todos los puntos de C. Entonces, ¿el valor de laintegral de línea

πC

Ær f · dÆr queda completamente determinada por f (Ær(a)) y f (Ær(b))?La respuesta está contenida en el siguiente teorema fundamental para integrales de línea:

Teorema 6.4.1 — Teorema Fundamental para integrales de Línea. Sea C una curva suave (a trozos)determinada por la función vectorial Ær(t), con a t b. Sea f una función diferenciable de doso de tres variables, cuyo vector gradiente Ær f es continuo en C. Entonces

πC

Ær f · dÆr = f (Ær(b)) � f (Ær(a))

Demostración Lo demostraremos para funciones de tres variables f (x, y, z) y curvas en elespacio Ær(t) = (x(t), y(t), z(t)), siendo similar la prueba para funciones de dos variables y curvasen el plano. Aplicando la definición de integral de línea para campos vectoriales, tenemos que:

πC

Ær f · dÆr =

πb

a

Ær f · Ær 0(t) dt

=

πb

a

✓@ f@x

dxdt+@ f@y

dydt+@ f@z

dzdt

◆dt

Recordando la regla de la cadena, notamos que la expresion entre parentesis es la derivadarespecto de t de la funcion compuesta f (x(t), y(t), z(t)). Luego, la integral puede escribirse

comoπ

b

a

ddt

[ f (Ær(t))] dt. Por lo tanto

πC

Ær f · dÆr =π

b

a

ddt

[ f (Ær(t))] dt = f (Ær(b)) � f (Ær(a)),

donde, en el último paso, aplicamos el Teorema Fundamental del Cálculo para una funcion deuna variable.

Figura 6.7: Curva con extremoinicial A y extremo final B

Entonces, si f : E ⇢ R3 ! R es C1 en E , y C = CAB

es una curva suave en E , que comienza en A dado por Ær(a) =(x

A

, yA

, zA

) y finaliza en B dado por Ær(b) = (xB

, yB

, zB

), elTeorema Fundamental senala que:

πC

AB

Ær f · dÆr = f (xB

, yB

, zB

) � f (xA

, yA

, zA

)

Similarmente, supongamos que C = CAB

es una curva suaveen D ⇢ R2, con extremo inicial A dado por Ær(a) = (x

A

, yA

) yextremo final B dado por Ær(b) = (x

B

, yB

), y que f : D ⇢ R2 !R es una función con campo gradiente continuo en C. Entonces,el Teorema Fundamental da el valor de la integral línea muy fácilmente:

πC

AB

Ær f · dÆr = f (xB

, yB

) � f (xA

, yA

)

Es importante resaltar que este Teorema Fundamental da un método práctico para obtener elvalor de la integral de línea de un campo vectorial –sin tener que calcular la integral por definicion–en el caso particular en que sepamos que el campo es conservativo, es decir cuando el campo es el


gradiente de alguna función potencial. Efectivamente, si un campo vectorial ÆF es conservativo y fes una funcion potencial de dicho campo, resulta

πC

ÆFconserv · dÆr =πC

Ær f · dÆr = f (B) � f (A),

donde aplicamos el Teorema Fundamental de las integrales de Linea para obtener la ultimaexpresion.Luego podemos afirmar que: el trabajo de un campo de fuerzas conservativo se obtiene –sinnecesidad de resolver la integral– conociendo solamente el valor de la función potencial f en lospuntos extremos de la curva C.En Fisica, veran que el trabajo sobre una particula cuando es influenciada solamente por fuerzasconservativas, resulta igual a la disminucion de energia potencial. Y que en estas situaciones laenergia mecanica total se conserva a lo largo de la trayectoria.

⌅ Ejemplo 6.16 Determinar el trabajo realizado por el siguiente campo conservativo:

ÆF = yz ı̆ + xz |̆ + xy k̆

a lo largo de una curva suave CAB

que une los puntos A(�1, 3, 9) y B(1, 6,�4), desde A haciaB.

El trabajo realizado por el campo de fuerzas ÆF está definido por la integral de líneaπC

AB

ÆF · dÆr . Como ya sabemos que el campo ÆF es conservativo, podemos aplicar el Teorema

Fundamental para integrales de línea y evaluar el trabajo mediante los valores de la funciónpotencial del campo ÆF en los extremos de la curva C

AB

. Tenemos que calcular primero lafunción potencial, esto es la función f tal que Ær f = ÆF. En este caso es fácil darse cuenta(casi sin hacer cálculos) que f (x, y, z) = xyz, ya que:

@ f@x= yz

@ f@y= xz

@ f@z= xy

que son justamente las funciones componentes del campo ÆF, con lo cual tenemos que Ær f = ÆF.Ya estamos en condiciones entonces de evaluar la integral de línea:π

C

AB

ÆF · dÆr =

πC

AB

Ær f · dÆr

= f (B) � f (A)= (1)(6)(�4) � (�1)(3)(9) = 3

⌅

6.4.1 Independencia de la trayectoria

Vimos que la integral de línea de un campo vectorial conservativo en una región D, a lo largo deuna curva C, depende sólo del punto inicial y del punto final de la curva, sin importar la trayectoriaque va desde el extremo inicial hasta el extremo final de la curva. Con respecto a estos temas,daremos algunas definiciones:


Definición 6.4.1 — Independencia de la trayectoria. Si ÆF es un campo vectorial continuo definidoen una región D, diremos que la integral de línea de ÆF es independiente de la trayectoria enD, si

πC1

F · dÆr =πC2

F · dÆr para cualquier par de trayectorias C1 y C2 en D, que tengan el

mismo punto inicial y el mismo punto final.

C

Si ÆF es un campo vectorial conservativo en una región D, entonces la integral delínea de ÆF es independiente de la trayectoria en D. Justificarlo.

Definición 6.4.2 — Curvas cerradas. Decimos que una curva C en D, parametrizada por lafunción vectorial Ær(t), con a t b, es cerrada si su punto final coincide con su punto inicial,esto es, si Ær(a) = Ær(b).

(a) Curva cerrada. (b) Dos caminos que comienzan en A y terminan en B.

Supongamos que ÆF sea un campo continuo en una región D y que la integral de línea de ÆF seaindependiente de la trayectoria en D, nos preguntamos ¿qué valor toma

ºC

ÆF · dÆr si C es unacurva cerrada en D?

Para analizar el valor de la integral de línea, elijamos dos puntos cualquiera A y B en la curvacerrada C y consideremos los dos trozos de curva en los que queda dividida C: la trayectoria C1 queva desde A hasta B, y a continuación la trayectoria C2 que va desde B hasta A. Teniendo en cuentaque C = C1 [ C2, se tiene:

Figura 6.9: La curva C puede divi-dirse en dos tramos complemen-tarios.

ºC

ÆF · dÆr =πC1

ÆF · dÆr +πC2

ÆF · dÆr =πC1

ÆF · dÆr �π�C2

ÆF · dÆr

Notemos que la trayectoria �C2 (o sea, C2 recorrida ensentido inverso) va desde A hasta B, es decir que tiene puntoinicial A y punto final B. Como el campo es independiente dela trayectoria,

π�C2

ÆF · dÆr =πC1

ÆF · dÆr . Tenemos entonces:

ºC

ÆF · dÆr =πC1

ÆF · dÆr �πC1

ÆF · dÆr = 0

O sea que si ÆF es independiente de la trayectoria en D, el valorde la integral de línea de ÆF sobre cualquier curva cerrada en D,es cero.


Ahora veamos la situación recíproca: supongamos queºC

ÆF · dÆr = 0 para cualquier curva

cerrada C ⇢ D, ¿será la integral de línea de ÆF independiente de la trayectoria en D? Tomemos dostrayectorias cualquiera, C1 y C2 en la región D, que vayan ambas desde A hasta B, y llamemos C a lacurva formada por C1 (desde A hasta B) seguida por �C2 (desde B hasta A). Como C = C1 [ �C2:

πC

ÆF · dÆr =πC1

ÆF · dÆr +π�C2

ÆF · dÆr =πC1

ÆF · dÆr �πC2

ÆF · dÆr

pero como C es una curva cerrada (el punto final coincide con el punto inicial) en D, se tieneºC

ÆF · dÆr = 0, por lo queπC1

ÆF · dÆr =πC2

ÆF · dÆr .

De esta forma hemos demostrado el siguiente teorema:

Teorema 6.4.3 Supongamos que ÆF es un campo vectorial continuo en una región D. La integralde línea de ÆF es independiente de la trayectoria en D si y sólo si

ºCÆF · dÆr = 0 para cualquier

curva cerrada C en D.

C

Si ÆF es un campo vectorial conservativo en una región D, entonces la integral de línea

de ÆF a lo largo de cualquier curva cerrada C en D se anula, es decir:ºCÆF · dÆr = 0.

Justificarlo.

Nos preguntamos ahora si existen otros campos vectoriales, distintos de los campos conservativos,tales que sus integrales de línea sean independientes de la trayectoria.

Enunciaremos el siguiente teorema, que afirma que los únicos campos vectoriales que sonindependientes de la trayectoria son los conservativos. En este teorema se supone que el campo ÆFestá definido en una región D abierta y conexa. Decimos que una región abierta D es conexa sicualquier par de puntos de D se puede unir mediante una curva suave que se encuentra en D.

Teorema 6.4.4 Supongamos que ÆF es un campo vectorial continuo en una región conexa abiertaD. Si la integral de línea de ÆF es independiente de la trayectoria en D, entonces ÆF es un campovectorial conservativo en D, es decir, existe una función potencial f tal que Ær f = ÆF.

Supongamos que ÆF es un campo vectorial continuo en una región abierta y conexa D, entoncesel siguiente diagrama resume los resultados de los dos últimos teoremas:π

C

ÆF · dÆr es independiente de la trayectoria en D ,ºC

ÆF · dÆr = 0 , ÆF = Ær f en D

C

Dada la importancia que tienen los campos conservativos y observando la convenienciay facilidad de evaluar integrales de línea de campos conservativos, nos formulamosdos preguntas:

1. En la práctica, ¿cómo podemos determinar si un campo ÆF es conservativo o no?2. Si ÆF es un campo conservativo, ¿cómo encontramos una función potencial, es

decir una función f tal que ÆF = Ær f ?


Supongamos que se sabe que ÆF(x, y) = P(x, y) ı̆+Q(x, y) |̆ es conservativo, donde P y Q tienenderivadas parciales continuas de primer orden. Entonces existe una función f , tal que ÆF = Ær f , esdecir:

P =@ f@x

y Q =@ f@y

Por lo tanto, aplicando el teorema de Clairaut,

@P@y=@2 f@y@x

=@2 f@x@y

=@Q@x

Tenemos entonces el siguiente teorema:

Teorema 6.4.5 Supongamos que ÆF(x, y) = P(x, y) ı̆ +Q(x, y) |̆ es un campo conservativo en unaregión abierta D ⇢ R2, donde sus funciones componentes P(x, y) y Q(x, y) tienen derivadasparciales de primer orden continuas, entonces se cumple que:

@P@y

(x, y) = @Q@x

(x, y)

para todo (x, y) 2 D.

Este resultado expresa una condición necesaria para que un campo sea conservativo y sirve parademostrar, por ejemplo, que un campo no es conservativo.

Buscamos ahora una condición suficiente, o sea un teorema recíproco del anterior. Para ellonecesitamos dos nuevos conceptos: curva simple y región simplemente conexa.

Definición 6.4.3 — Curvas simples y regiones simplemente conexas. Una curva simple es unacurva que no se corta a sí misma en ningún lugar entre sus puntos extremos. Una regiónsimplemente conexa del plano es una región D conexa tal que toda curva cerrada simple en Dpuede contraerse a un punto sin salir de D. Intuitivamente, las regiones simplemente conexasson regiones sin agujeros que puedan ser atrapados por una curva cerrada, y no puede estarformada por piezas separadas. Por ejemplo, todo el plano es una región simplemente conexa.

(a) Curvas. (b) Regiones.

Figura 6.10: Ejemplos de curvas simples y regiones simplemente conexas.

Enunciamos entonces un teorema para regiones D simplemente conexas, que da un métodoadecuado para comprobar si un vectorial en R2 es conservativo o no:

Teorema 6.4.6 Sea ÆF(x, y) = P(x, y) ı̆ +Q(x, y) |̆ un campo vectorial definido en una región Dabierta y simplemente conexa del plano. Sus funciones componentes P(x, y) y Q(x, y) tienenderivadas parciales de primer orden continuas en D que satisfacen:

@P@y

(x, y) = @Q@x

(x, y)


para todo (x, y) 2 D. Entonces ÆF es un campo conservativo en D.

⌅ Ejemplo 6.17 Determinar si el campo vectorial ÆF(x, y) = exy ı̆+ ex+y |̆ es un campo conservativoen su dominio D.

ÆF es un campo definido y continuo en todo el plano, por lo que su dominio es D = R2. Lasfunciones componentes de ÆF son: P(x, y) = exy y Q(x, y) = ex+y , con derivadas parcialescontinuas en D. En primer lugar calcularemos

@P@y

y@Q@x

, porque en el caso de que ambasderivadas parciales no coincidan en D, el campo no será conservativo (justificar!). En estecaso, tenemos:

@P@y= x exy,

@Q@x= ex+y

Si ÆF fuera conservativo, se debería cumplir:@P@y=@Q@x

en todo D. Por lo tanto, ÆF no esconservativo en D. ⌅

En el siguiente ejemplo, mostraremos un método para hallar una función potencial para uncampo conservativo en el plano.

⌅ Ejemplo 6.18 Consideremos el campo vectorial ÆF(x, y) = (2x cos y) ı̆ � (x2 sen y) |̆.a) Determinar si ÆF es un campo conservativo en su dominio D. b) Si ÆF es un campoconservativo en D, encontrar una función potencial para ÆF. c) Calcular

πC

ÆF · dÆr , donde C

es la curva definida por Ær(t) : [1, 2] ! R2 con Ær(t) = et�1 ı̆ + sen(⇡t) |̆.

a) Igual que en el ejemplo anterior, ÆF es un campo continuo en todo el plano, por loque su dominio es D = R2. Las funciones componentes de ÆF son: P(x, y) = 2x cos y yQ(x, y) = �x2 sen y, que tienen derivadas parciales continuas. En primer lugar calcularemos@P@y

y@Q@x

.Se tiene:

@P@y= �2x sen y,

@Q@x= �2x sen y

Al ser D = R2 una región abierta y simplemente conexa, se puede aplicar el teoremaestudiado y teniendo en cuenta que

@P@y=@Q@x

deducir que ÆF es un campo conservativo. O

sea que ÆF tiene función potencial f , de modo que ÆF = Ær f .

b) Para encontrar la función potencial partimos de la ecuación: Ær f = ÆF, es decir,

fx

(x, y) = 2x cos y fy

(x, y) = �x2 sen y


Integrando la primera de las expresiones con respecto a x, obtenemos:

f (x, y) = x2 cos y + h(y)

Notar que la constante de integración es constante con respecto a x, es decir es una funciónde y, que llamamos h(y). A continuación derivamos esta expresión con respecto a y (paracomparar con la expresión que ya tenemos de f

y

):

fy

(x, y) = �x2 sen y + h0(y)

Comparando tenemos que h0(y) = 0, y por lo tanto h(y) = c, donde c es un valor constante.Reemplazando en f (x, y) tenemos que, f (x, y) = x2 cos y + c es una función potencial de ÆF.

c) Como ÆF = Ær f es un campo continuo, podemos aplicar el teorema fundamental paraintegrales de línea. Es decir que,

πC

ÆF · dÆr = f (Ær(2)) � f (Ær(1))

donde hemos usado el hecho que la curva C comienza en Ær(1) y termina en Ær(2). Ahoracalculamos:

Ær(1) = (e1�1,⇡

1) = (1, 0) y Ær(2) = (e2�1,

⇡

2) = (e, 1)

Con lo cual: πC

ÆF · dÆr = f (e, 1) � f (1, 0) = e2 cos(1) � 1

ya que f (x, y) = x2 cos y es una función potencial para ÆF. Evidentemente, esta técnica esmás fácil que calcular directamente la integral de línea. ⌅

Supongamos que ÆF(x, y, z) = P(x, y, z) ı̆ + Q(x, y, z) |̆ + R(x, y, z) k̆ es un campo vectorialconservativo en una región de E ⇢ R3. ¿Cuál es el método para hallar una función potencial de ÆF?El siguiente ejemplo muestra que la técnica para encontrar la función potencial es muy semejante ala utilizada para campos vectoriales conservativos de R2.

⌅ Ejemplo 6.19 Determinar una función potencial para el campo conservativo

ÆF(x, y, z) = (ex cos y + yz) ı̆ + (xz � ex sen y) |̆ + (xy + z) k̆

Las funciones componentes de ÆF son:

P(x, y) = ex cos y + yz, Q(x, y) = xz � ex sen y R(x, y) = xy + z

Como ÆF es un campo conservativo, entonces existe una función potencial f que satisface:


Ær f = ÆF. Esto significa que:

fx

(x, y, z) = ex cos y + yz, fy

(x, y, z) = xz � ex sen y fz

(x, y, z) = xy + z

Integrando fx

con respecto a x, obtenemos

f (x, y, z) = ex cos y + yzx + g(y, z)

donde la constante de integración, es constante con respecto a x, pero es una función de lasvariables y y z, que hemos llamado g(y, z). Entonces derivando la última ecuación conrespecto a y obtenemos:

fy

(x, y, z) = �ex sen y + zx + gy

(y, z)

y una comparación con la fy

que ya tenemos, da:

gy

(y, z) = 0

Entonces g(y, z) = h(z), y podemos escribir:

f (x, y, z) = ex cos y + yzx + h(z)

Finalmente, derivando con respecto a z y comparando con la fz

, obtenemos h0(z) = z y por

lo tanto h(z) = z2

2+ c, donde c es un valor constante. Así una función potencial del ÆF es:

f (x, y, z) = ex cos y + yzx +z2

2+ c

Verificar que Ær f = ÆF.⌅

Ejercicios

1. En los siguientes casos, determine si ÆF es un campo vectorial conservativo en todo el plano:a) ÆF(x, y) = (x3 + 4xy) ı̆ + (4xy � y3) |̆ b) ÆF(x, y) = �y ı̆ + x |̆

c) ÆF(x, y) = (yex + sen y) ı̆ + (ex + x cos y) |̆

2. Determine si los siguientes campos vectoriales son conservativos, y en caso afirmativo hallaruna función potencial para ÆF:

a) ÆF(x, y) = (y, x) b) ÆF(x, y) = (y, 1)

c) ÆF(x, y) = (x � 2xy, y2 � x2) d) ÆF(x, y, z) = (4x � z, 3y + z, y � x)

3. Muestre que el campo vectorial ÆF(x, y) = (1 + xy)exy ı̆ + (ey + x2exy) |̆ es conservativo entodo el plano, y halle la familia de funciones potenciales para ÆF.

4. Encuentre la familia de funciones potenciales para los siguientes campos vectoriales y evalúeπC

ÆF · dÆr en cada caso:

a) ÆF(x, y) = y ı̆ + (x + 2y) |̆C es la semicircunferencia superior que comienza en (0, 1) y termina en (2, 1).

b) ÆF(x, y, z) = (2xy3z4) ı̆ + (3x2y2z4) |̆ + (4x2y3z3) k̆

6.5 Integral de superficie de un campo vectorial 25

C : x(t) = t, y(t) = t2, z(t) = t3; con 0 t 2

5. Demuestre que la integral de líneaπC

[2x sen ydx + (x2 cos y � 3y2)dy], es independiente dela trayectoria en D y evalúe la integral, donde C es una trayectoria arbitraria que va desde(�1, 0) hasta (5, 1).

6. Calcule el trabajo realizado por el campo de fuerzas ÆF(x, y) = ( y2

x2 ) ı̆ � (2yx) |̆ al mover un

objeto desde A(1, 1) hasta B(4,�2).7. Dado el campo vectorial ÆF(x, y, z) = z cos(xz) ı̆ + ey |̆ + x cos(xz) k̆:

a) Determine si ÆF es conservativo en todo R3.b) En caso afirmativo halle una función potencial para ÆF.c) Calcule la integral de línea de ÆF a lo largo de un tramo de hélice que va desde (1

2, 0, ⇡)

hasta (12, 0, 3⇡)

6.5 Integral de superficie de un campo vectorial

En la Sección 4 de el Capítulo 5 definimos la integral de superficie de una función escalar f

sobre una superficie paramétrica S en el espacio, denotada simbólicamente porππ

S

f dS, dondedS indica un elemento de superficie. Recordemos que formalmente se define como el límite delas sumas dobles de Riemann de la función f evaluada en puntos de la superficie S, multiplicadapor el área �S del elemento de superficie. A los fines prácticos, si Ær(u, v), con (u, v) 2 D

uv

, esuna parametrización de la superficie S, se calcula mediante la siguiente integral doble (en el planoparamétrico u, v):

ππD

uv

f (Ær(u, v)) |Æru

(u, v) ⇥ Ærv

(u, v)| du dv.

Por otro lado, en la Sección 6.3 de este capítulo hemos trabajado la integral de línea de un campo vectorial

ÆF a lo largo de una curva C del espacio, denotada simbólicamente porπC

ÆF · dÆr. En la práctica,

buscamos una parametrización de la curva C, por ejemplo Ær(t) con t 2 [a, b], luego la integral se

calcula mediante:π

b

a

ÆF (Ær(t)) · Ær 0(t) dt.Es el turno ahora de definir la integral de superficie de un campo vectorial, también conocida comoflujo del campo a través de la superficie.

Definición 6.5.1 Sea ÆF(x, y, z) un campo vectorial con dominio E ⇢ R3, y sea S ⇢ E unasuperficie paramétrica en el espacio. Sea S : Ær(u, v), con (u, v) 2 D

uv

, una parametrización de lasuperficie. La integral de superficie (o flujo) de ÆF a través de S está dada porππ

S

ÆF · d ÆS =

=

ππD

uv

ÆF�Ær(u, v)

�·�Æru

(u, v) ⇥ Ærv

(u, v)�

du dv.

En la definición, d ÆS = n̆ dS representa un vector de módulo dS (elemento de superficie) y condirección perpendicular al mismo dada por el vector normal inducido por la parametrización, Ær

u

⇥ Ærv

(repasar lo visto en la Sección 4.1 del Capítulo 5). Luego, dado que se tiene el producto escalarÆF · n̆, podemos interpretar la integral del campo vectorial a través de la superficie como el flujo de


la componente del campo que es normal a la superficie.1

Figura 6.11: La integral de superficie del campo vectorial ÆF a través de la superficie paramétrica Sorientada según n̆ acumula, para cada punto de la superficie, el valor de la componente normal delcampo multiplicado por el área del elemento de superficie.

En el siguiente recurso se modeliza el paso de un fluido a través de una superficieplana esquematizando el campo de velocidades.http://ggbm.at/smaREQkh

La integral de superficie de un campo vectorial da como resultado un número real (el resultadoes un escalar). Se pueden probar las siguientes propiedades:

Teorema 6.5.1 — Propiedades de las integrales de superficie. Tres propiedades para integrales desuperficies:

1. La integral de superficie de un campo vectorial no depende de la parametrización utilizadapara la superficie, siempre que ésta sea cubierta una sola vez.

2. La integral de superficie de un campo vectorial a través de una superficie formada por dostrozos, es igual a la suma de las integrales de superficie de dicho campo a través de cadatrozo. Simbólicamente,ππ

S1–

S2

ÆF · d ÆS =ππ

S1

ÆF · d ÆS +ππ

S2

ÆF · d ÆS

3. La integral de superficie de un campo vectorial depende de la orientación de la superficie,siendo ππ

�SÆF · d ÆS = �

ππS

ÆF · d ÆS

donde �S indica la superficie que tiene la misma representación gráfica que S pero conorientación opuesta (dicho de otro modo, S y �S representan las dos “caras” u orientacionesdel mismo conjunto de puntos en el espacio).

Ejercicio 6.8 Compare estas propiedades con las que corresponden a la integral de superficie deuna función escalar. ¿Qué similitudes y diferencias observa? ⌅

1Recordar, de la Sección 6.3, que en el caso de la integral de línea de un campo vectorial a lo largo de una curva,podemos interpretarla como la integral de la componente del campo que es tangencial a la curva, dado que allí se tiene elproducto escalar ÆF · T̆ , siendo T̆ un vector tangente a la curva.

http://ggbm.at/smaREQkh


⌅ Ejemplo 6.20 Calcularππ

S

ÆF · d ÆS, siendo ÆF(x, y, z) =⇣x, y, cosh3(xyz)

⌘y S la superficie

cilíndrica de eje z y radio 3, entre z = 0 y z = 5, con orientación alejándose del eje delcilindro.

Notar primeramente que, dado que cualquier elemento de superficie de un cilindrocircular recto de eje z tiene vector normal perpendicular a dicho eje, se tiene que la terceracomponente del vector d ÆS es nula. Una parametrización suave y que cubre S una sola vez,está dada mediante la función vectorial S : Ær(↵, z) = (3 cos↵, 3 sen↵, z) con ↵ 2 [0, 2⇡],z 2 [0, 5], y efectivamente el vector normal a esta superficie paramétrica resulta

Æn = Ær↵ ⇥ Ærz

=

��ı̆ |̆ k̆

�3 sen↵ 3 cos↵ 00 0 1

�� = (3 cos↵, 3 sen↵, 0)

con tercera componente nula, esto es, Æn es un vector horizontal en todo punto de la superficiecilíndrica dada.Es importante verificar, antes de calcular el flujo del campo vectorial, que la parametrizaciónutilizada asigne la orientación correcta de la superficie: variando ↵ de 0 a 2⇡ (y paracualquier parámetro z) se verifica que el vector Æn hallado apunta siempre alejándose del ejedel cilindro, luego es correcto (sino, era necesario tomar el vector opuesto).Al hacer el producto escalar entre el campo dado y Æn, sólo sobreviven los dos primerostérminos. La integral de superficie de ÆF a través de S se calcula reemplazando las variablesx, y, z de ÆF por el valor que toman sobre la superficie: 3 cos↵, 3 sen↵ y z, respectivamente.Entonces queda por resolver la siguiente integral doble en los parámetros ↵ y z:

ππS

ÆF · d ÆS

=

ππD↵z

⇣3 cos↵, 3 sen↵, cosh3(9z cos↵ sen↵)

⌘· (3 cos↵, 3 sen↵, 0) d↵ dz

=

ππ[0,2⇡]⇥[0,5]

⇣9 cos2(↵) + 9 sen2(↵) + 0

⌘d↵ dz

=

π 5

0

π 2⇡

09 d↵ dz = 9 ↵ |2⇡0 z |50 = 90 ⇡

⌅

⌅ Ejemplo 6.21 Calcular la integral de superficie del campo vectorial ÆF(x, y, z) = ı̆ x4+ |̆

y

4+ k̆

z4

através de la superficie S dada por la porción del paraboloide 4 � z = x2 + y2 con z � 0 ycon orientación “hacia arriba”.

En este caso la superficie S tiene una representación explícita de la forma S : z = g(x, y);dicho de otro modo, S es la parte en el semiespacio superior de la gráfica de la funcióng(x, y) = 4 � x2 � y2. Adoptaremos la parametrización trivial, dada por la función vectorial


S : Ær(x, y) = (x, y, 4 � x2 � y2), con los parámetros x e y en el círculo Dxy

= {(x, y) :x2 + y2 4}. Luego el vector normal a esta superficie paramétrica resulta:

Æn = Ærx

⇥ Æry

=

��ı̆ |̆ k̆1 0 �2x0 1 �2y

�� = (2x, 2y, 1)

con tercera componente +1, lo que asegura que es un vector que apunta “hacia arriba” entodo punto de la superficie dada, esto es, para cualquier par de parámetros (x, y). O sea quela parametrización utilizada asigna la orientación correcta de la superficie.Luego la integral de superficie de ÆF a través de S resulta en la siguiente integral doble sobreel dominio paramétrico D

xy

:ππS

ÆF · d ÆS =

=

ππD

xy

14

⇣x, y, 4 � x2 � y2

⌘· (2x, 2y, 1) dx dy =

14

ππD

xy

⇣x2 + y2 + 4

⌘dx dy

=14

π 2⇡

0

π 2

0(r2 + 4) r dr d✓ = 6⇡

En la última línea, resolvimos la integral doble por medio de coordenadas polares quefacilitan el cálculo en este caso.

⌅

⌅ Ejemplo 6.22 Hallar el flujo neto saliente de ÆF(x, y, z) = zı̆ + y |̆ + xk̆ a través de la superficiede la esfera unitaria centrada en el origen.

La superficie de la esfera de radio 1 centrada en O tiene una representación sencilla encoordenadas esféricas, siendo S : ⇢ = 1 para todo par de valores de las variables angulares� y ✓. Haciendo ⇢ = 1 en las ecuaciones de transformación de coordenadas esféricas acartesianas, obtenemos

x = 1 sen � cos ✓ y = 1 sen � sen ✓ z = 1 cos �

Luego tenemos x, y, z en términos de �, ✓, de modo que podemos tomar a los ángulos comoparámetros. Una función vectorial que parametriza la superficie es entonces S : Ær(�, ✓) =(sen � cos ✓, sen � sen ✓, cos �) con � 2 [0, ⇡] y ✓ 2 [0, 2⇡]. El vector normal a estasuperficie paramétrica resulta

Æn = Ær� ⇥ Ær✓ =

��ı̆ |̆ k̆

cos � cos ✓ cos � sen ✓ � sen �� sen � sen ✓ sen � cos ✓ 0

��

=⇣sen2(�) cos ✓, sen2(�) sen ✓, sen � cos �

⌘

que tiene orientación saliendo de la esfera, tal como se pide. Notar que en este ejemplo S esuna superficie cerrada (es la frontera de una región sólida); luego es orientable, y las dos


orientaciones posibles son “hacia afuera” y “hacia adentro” del sólido.El producto escalar entre el campo vectorial (evaluado sobre la superficie) y el vector normalen cada punto da:

ÆF(Ær(�, ✓))·Æn(�, ✓) = cos � sen2(�) cos ✓+sen � sen ✓ sen2(�) sen ✓+sen � cos ✓ sen � cos �.

Por lo tanto, el flujo neto saliente de ÆF a través de S es:ΩS

ÆF · d ÆS =

=

π 2⇡

0

π ⇡

0

⇣2 sen2(�) cos � cos ✓ + sen3(�) sen2(✓)

⌘d� d✓

= 2π ⇡

0sen2(�) cos � d�

π 2⇡

0cos ✓ d✓ +

π ⇡

0sen3(�) d�

π 2⇡

0sen2(✓) d✓ =

4⇡3

¿Cuánto vale el flujo neto entrante del mismo campo a través de la superficie esférica unidaden el origen?

⌅

Ejercicios

1. Calcule la integral de superficieππ

S

ÆF · d ÆS, para el campo vectorial ÆF(x, y, z) dado y lasuperficie orientada S:

a) ÆF(x, y, z) = xyı̆ + yz |̆ + zxk̆, y S es la parte del paraboloide z = 4 � x2 � y2 que seencuentra arriba del cuadrado 0 x 1, 0 y 1 con orientación “hacia arriba”.

b) ÆF(x, y, z) = xzey ı̆ � xzey |̆ + zk̆, S es la parte del plano x + y + z = 1 que está en elprimer octante, con orientación “hacia abajo”.

c) ÆF(x, y, z) = xı̆ � y |̆ + z4 k̆, S es la parte del cono z =q

x2 + y2 que está que está debajodel plano z = 1, con orientación alejándose del eje del cono.

2. Halle el flujo saliente del campo vectorial ÆF(x, y, z) dado, a través de la superficie S:a) ÆF(x, y, z) = y |̆ � zk̆ y la superficie S está formada por el paraboloide y = x2 + z2,

0 y 1, y el disco x2 + z2 1, con y = 1.b) ÆF(x, y, z) = xı̆ + 2y |̆ + 3zk̆ y S es el cubo de vértices (±1,±1,±1).c) ÆF(x, y, z) = xı̆+ y |̆+5k̆ y S es la frontera de la región limitada por el cilindro x2+ z2 = 1

y los planos y = 0 y x + y = 2.

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Campos vectoriales - Inicio · Capítulo 6 Campos vectoriales Durante este curso llevamos estudiados distintos tipos de funciones. Trabajamos con funciones vectoriales de una variable