I

E UNA FUNCIÓN. Si/es una función, entonces se dice que

tu f(*)= A

valor de /(x) se aproxima arbitrariamente a a cuando x

Límites

se aproxima arbitrariamente a a. Por

a medida que r se aproxima a 3 tanto

La definición puede plantearse de forma más precisa de la siguiente manera: líry /(x) - A si y

¡ si, pLa cualquier número positivo seleccionado €, aunque sea pequeño, existe oii?i-"to positivoque siempre que 0 < lx - al < 6, entonces lflx) -Al < e.

,o fundar,rental de la definición se ilustra en la figura 7- 1. Después que se ha seleccionado e lesdespués de seleccionar el intervalo (ii)1, ó se puede hallar [es decir, ei intervalo (l) puede deter-

se], de manera que siempre que x + a esfá enel intervalo (l), por ejemplo en ro, entoncesflx) está

lo, lím xz =9 ya que x2 se aproxima arbitrariamente a 9x-J

se desee.

ervalo (ii), en/(x"). Es importante señalar que Lim f (x)=A sea o no verdad, no depende del

/(.r) cuando x = a. De hecho/(x) ni siquiera n.é"-íitu estar definid a en x = a.

f(xo)xo¡

a'6 ¿+6 A-e A* e

(ii)(i)

Fig.7-1

'2 - 4 x' - 4 no está definida cuando x = 2. Como.n, -, =4'aungue ¡-2

x'-4 _(x-2)(x+2) =x*Zx-2x" -4

a que j se aproxima a 4 cuando x se aproxima a 2.' _t-z ^

Se precisa la definición para demostrar que lím (4x - 5) = 3. Sea e > 0. Se debe producir un 6 >

siempre que 0 < lx - 2l < 6, entonces l(4x - 5) - 3l < e.

lugar se observa que l(4x - 5) - 3l = l4x - 8l = 4lx - 2l

ma ócomo e/4, entonces, siempre que 0 < lx-21 < 6, (4x- 5) - 3 = 4lx-21 <46=e.

60

LIMITES

PORLADERECI{AYPOR LAIZQUIERDA. Por lím f(x) =A se entiende que/está defini-

da en algún intervalo (c, a) y flx) se aproxima a a cuando -rr se acerca a a por valores menores que ¿2, es

decir, cuando x tiende haciaa por la iaquierda. De igual forma 4ff*>=A significa que/está

definidaen algúnintervalo (a, üyflx) tiende aa cuandoxtiende aaporladerecha. Si/estádefinidaen un intervalo hacia la izquierda de a y en un intervalo a la derecha de a, entonces la afirmaciónttmfQ) =A equivalealaconjuncióndelasdosafirmaciones lím /(x) =Ay lím f(x)=A.Laexis-flo xJdtencia del límite por la izquierda no implica la existencia del límite por la derecha, y recíprocamente.

Cuando una función está definida sólo en un lado de un punto d, entonces ltm f (x) es idéntico al

límite lateral, si existe. Por ejemplo, si/(x) = .,8, entonces/está definida ,¿to uilá"."cha de cero. por

1o tanto, líq r,G = lílq .,f = 0. Claro que lím ^,8 oo existe, ya que ^/i no está definida cuando x <.r+0 .r+0- ' -r+0-

0. Otro ejemplo considera BG) = n4l" , que está definida solo para x > 0. En este caso, lím = ^,,ltn noexiste ya que 1/x aumenta más y más sin límite cuando x tiende a cero por la derecha. pcti?Oüsisuiente.

g = 1El no existe.

EJEMPLO 3: La funciónf.r) = 19-r] tiene el intervalo -3 < xS 3 como dominio. Si a es cualquier númerodelintervalo abierto (-3,3), entonces

,1131 .,D-xt existe y es igual a ,tr-F.Ahorase considera a=3.Seax

que tiende a 3 por la izquierda; enronces ]lT !9=t = 0. para x > 3, 19 -i, no está definida. por lo ranto,

Ím ^¡Q -P - lím

^,9 - xl - 0.I+J ¡JJ-

De igual forma, ,lIT, ^p-F = .g!] vD--: = 0

TEOREMAS SOBRE LÍMITES. Los siguientes teoremas son intuitivamente claros. Las demostraciones dealgunos de ellos están dadas en el problema 11.

Teorema 7.1: Sifix) = c, una constante, entontes fu f {") = r.

Para los siguientes cinco teoremas, se asume que lím f (x)= Ay lím g(x)= B.

Teorema 7.2: límc. f(x)=clím.f(x)=cA.''-' r+'

Teorema 7.3: lím ["f(x) t g(;r)l = ligr f (x)t lím g(.r) = A* B.

Teorema 7 .4: lím t,f(¡)g(¡)l = lim f (x). lím g(x) = A. B.

/ r, -r\ ;;;.,

t-a

Teorema 7.5: lím f 114 I =1"|;''^' = 4. si B + 0., ." \ g(x) I lím g(x) B

Teorema 7.6: límllf6 =,W f (*) = V7, si xtT estátdefinida.

IIiFINITO. Sea

Lím f(x)=*oof+4

61

--*

62 LÍMITESICAPÍTULO 7

significa que' cuando:j:T: a ?,.f(x)pogo a Doco se vuelve +oo (y se mantiene de allí en adelante)mayor que cualquier número positivo pr"viam"nt" ¿""r-tr"á" por grande que sea. En dicho caso, sedice quef(x) tiende u -*.: "Todo r se aprox ima a a.Más exactamente, Jím f (x) =*oo si ! sólo si, para

;i;':W "úmero positivo M, existeurinúmero positivo ótar que, siem.iiá que 0 < r-r - ar < 6,enronces

De igual forma,

Jgg "f{r) = -".significa que' cuando-::::::

1a,.[(x)poco a poco se vuelve -o. (y se mantiene de ailí en adelante)fr"#::H#á:t;ie¡

número negativo-preuiu-int" u.ir""o". E" tal caso, se dice queJ(x)riende ¿ -ooSea

fif{*)= *lo cual significa que' cuando -r tiende a a,lf(x)lprogresivamente

se vuelve oo (y de a¡r en adelante semantiene) mayor que todo número positivopreviamente asignado. por lo tanto, rím f (x) =oo si y sóloti J11 l/(")l= +"". *)q

,rnrt?::t:" evidente que estas deñniciones se pueden extender a los límites por la derecha y por la

EJEMPLO 4I

(4) 15 ;r = *"" (b) ygu+=-"" (c)

EJEMPLQ 5I(o)

..u-T- ; = t oo' cuando -r tiende a 0 por la de¡echa (es deci¡ por medio de números positivos), 1/_r es positivot oo": a poco se vuelve mayor que cualquier número previamente asignado.(b) lím:=-oo,vac' ' x+0- I * 'lue cuando ¡ tiende a 0 por la izquierda (es decir, mediante los núme¡os negativos), l/x esnegativo y poco a poco se vuelve menor que cualquier número previamente asignado.

Los conceptos de límite ya mencionados pubden extenderse de forma obvia al caso en el cual lavariable tiende o +oo ó -oo. Éor ";"*pio,

-

"{* /(t) = ¿

significa quef(x) tiende a a cuando 'tr -+ +oo,.o' en términos más exactos, dado cualquier e, existe unnúmero Ntal que' siempre que r > N, entonces rrrl -o;;;i" p"¿"" á*;;il;;;li*il*", para rasafir¡naciones 'l:!-f(x)=A,"\T* fQ)=*oo,,{T- f@)=-;, ,1g f(x)=-o"v,1g J.@)=+*..

EJEMPLO6: .{A+=0 y lím (r*\)=r.f ¡+p\ X2/

urrfJluiJl"t""a:

cuando !1::, f @ = t * v lím s(x) = t oo, ros teoremas 7 .3 a:.5no tienen sentido y no pueden

Por ejemplo, lfm f I

,;o a2 = *"" Y iS - = *-, Ptto

1llII - = oor+0 f

LÍMITES

Problemas resueltos

Verificar ios siguientes cálculos sobre límites:

63

Notu: Se afirma que un límite, tal como ]í1x f

(x) o !;yf f*l, existe cuando el límite es un número real, pero

no cuando el límite es +oo, -oo. Por ejemplo, como ,Í$ #= 4, se dice que lry# existe. Sin embargo,

Iaunque lít! -. = +c,o, no se dice que lím I existe.' r-O X¿ ' ,-O a2

(") }y 5x -- 5límx: 5 .2 = 10

(r) :y(* - +x+ l) : 4 - 8 + I : -3

* -q 4-4(e),!!2¡+4=417:o

(b) úm Qx+3\:21ímx+lím 3:2'2*3:7x+2 x-? x*2

_ ,, tlttl1/ ^-. ¡+3lllü --------' :

-

tíry@-2)I

(d)

a

ru-u --------=' :;7------;---:- : -i*i .r * 2 lím (x +2) 5:+3

1ft¡¡ J25- rz : MTff - rr\: 6 :3x-4 V ¡-4 t

fNota: No se asume de estos problemas que lím /("r) siempre sea/(c).1

. ? -'ts@) fu.:--.=: lím- ft - 5) : -10r+-) .f -l- ) J+-5

Verificar los siguientes cálculos sobre límites:

@Ig"?-ñ:ls#::g*:+La división entrex-4 antes de pasar at Kmite es váüdaya que x*4cuatdo x-+ 4;porlanto,x-4

nunca es cero.

,,; ¡/ f-zl (x-3\(f*3x*9) .. f+zx+g 9('riST4:ls-1r-3¡rax :t* ,*t :,r^t t!- @+ h)z - *,t-,f *zhx+ h2 - f 1, zhx + h2(");g :1;4::::;--:-_--:I\T:l\Qx+h)=2x

Aquí, y de nuevo en los problemas 4 y 5, h es una variable, de manera que puede pensarse que se

está tratando con funciones de dos variables. Sin embargo, el hecho que r sea variable no desempeñaningún papel en estos problemas; por el momento, x puede considerarse una constante.

,, (4-/-)Q+"F+S)-ruu-x+2 4-x¿

4-; (4 - f)O + JV+ 5)(ü lím r -^ : llm' x+23-Jx2+5 x+2+ 5 ;;,e - J7-+ s)e + ^F + s)i/ /*,: luq (3 +'/xt * 5) : 6x+¿

(e) (m x'+x-.2:llm (x-lXx*2)-,' x*2x+2 (x- lx ¡+r (x- l), J3] i;:-', noexistelímite'

o4 LÍMITES ICAPÍTULO 7

lím como lím o lím , sin importar cu¡ilr+t- ,r-)+- JJ-óEn los siguientes problemas (aF(c), se puede interpretar

de los dos sea. Verificar los límites.

a. 3x-2 ,¿ 3-2/x 3-0 I(o),l'T* gr+j:,jH g +7 /.: 9 +o :

3

,. 6f+2x+l ,¿ 6*2/x+t/f 6+0+0 6\O) riiir ;-;---;---1- : rilir ;-----;----:----:

-

- -'-' ¡-*llo 5f -3x*4 ¡*im 5 -3lx*4/x2 5-0+0 5

.. f+x-z a/ t/x+t/f-2/f o ^(c) ,:TL 4r3 J : ,j'tL ---4 _tF-- : 4--

u

i, 2f ,¿ 2xld) lrm -;--l-: lrm -ú: -OO' .r+-oo x. + | .r+-oo I + l/x.

-/ 2f ./ 2xte\ Iim -;--r--; : hm :-- ü: ioo-' r-+oo X' + | ¡+*cc I + l/X'

A ,!+*G -tx4 -zx+s):,1b*"(t -:-3+1) : +* vaque

-W-ft -:-3*:) : (r -o-o+o) : t v,lT* I : *oox**€\ x f x'/

G) ,1ía 1f - tx4 - 2x +5) : ,1írL t (t - :- 3+:) : *oo va que

,g(t -:-3**) :(r -0-0+0) : I v,lísl I : -oo.$

Dado f(x) = x2 - 3x, hallar f(x+h)- f(x)lim- -

h¿0

Como/(x) =f -3x, se tiene quef(x + h) = (x + h)'-3(x + h)y

., f(x + h) - f(x) .¿Irm---- - llmá-0 h h-0

(f +zhx+hz -3x-3h)-(f -lx) zhx+h2 -3h: límh+0

:lim(2¡+h-3):2x-3h+O

t_- f(x+h\.-f(x) j, IDado /(x)="/5x+1, hallar lim!)::--:. L cuandox>-j.h+0 h

.. i(x + h't - f@) ., J*gl +T - ^FvTIlun--: r¡l-i-r

-

h+o h i;o h

Jjf + s;jETI - ,EfT Jff$f$ + '6x +1:llln-á+o h Jll+31+1+,6x+1

,, (5x*5h+l)-(5x+1)- i:o ¡1"6¡¡5¡11+ JjlTIl:ü.n4:--:-- i\ó

^6r.¡5¡+1+ ,/sx+ t- 2,6xT1

(a) En cada uno de los siguientes casos, desde (c) hasta (¿), determinar los puntos x = a para los cuales

cada denominador es cero. Luego observar que pasa con y cuando x + c, y cuando -r + a', Y verificarlas soluciones dadas.

(b) (CG) Verificar las respuestas en (a) con una calculadora graficadora.

LÍMITES

@)y=f(x)=2/x:Eldenominadorescerocuando.r=0.Cuandox-+0;)-+-ooi cuandox-+0*,y-)+oo.x-I

th\ | = f (x) =;- -

-:

El denominador es cero p¿rrar =-3 y x = 2. Cuandox -+ -3-,/, -coi cuando\"t. lX+J)\X_¿)

x -) -3*, y -+ +oo, cuando x ) 2-, ) -+ -ool cuando x -+ zt,y -+ +oo.

x-3y = J \x ) =

G + 2) (x _ I): El denominador es cero para r - -2 y x = 1. Cuando x + -2-,y -+ -ool cuando

x -) -2*, y -) +ool cuando x -) l-,y -+ +co; cuando x -) 7',) J -oo.(x+2)(x-1) _..y= f(x) --T; _*-: El denominadores cero parax= 3. Cuandox-->3-, y-i +ooi cuando x-+3*,

y -) +6.

(e)!=f(x)=

./ -9 --.

: El denominador es cero para r = 3. Cuando x -+ 3-, y -+ +ool cuando x -) 3' ,

o5

(c)

(ü

(x +2) (1- x)x-3

7, Par:a cada una de las funciones del problema 6, determinar qué pasa con y cuando r -) -oo / r -) +oo.

(a) Cuandor -)*oo, ! =2/x -+ 0. Cuandor < 0, y < 0. Portanto, cuandor -+-co, y -+ 0-.De igual forma,cuandox -)*oo. Y J 0*.

(r) Al dividir el numerador y el denominador de G# -entre ¡2 (la más alta potencia de x en el denomi-

nador), se obtiene

Ilx -llx2(l + 3/x) (I - Zlx)

Por tanto, cuando r -9 foo,

0-0 0 ^)-(1+o)(t-o)=t='

Cuando-r-J-oo;losfactores x-l,x*Z,y)-Zsonnegativos,yporconsiguiente,y-+&.Cuandox-)*oo,tales factores son positivos, por 1o cual, y -) 0*.

Similar a (b).

(x+2)(x-l) xz + x-2 I+llx-2/x2ffi=ffi=ffi,despuésdedividirelnumeradoryeldenominadorentrex?

(la potencia más alta de x en el denominador). Por tanro, como x -) 1oo, y - ilffi = i= t. El denomi-

nador(x-3)2siempreesnonegativo.Cuandor-á-co,tantor+2comox-lsonnegativosysuproductoespositivo; portanto,y-)l*.Cuandor-J*oo,tantor+2comor-lsonpositivos,aligualquesuproducto; por lo tanto, y -+ 1-.

(x+2)(l--x) --x2

_ x-+2 - -x.-l+.2/x,despuésdedividirelnumeradoryeldenominadorentre.r(lax-3 x-3 L-3lx

potenciamásaltadexeneldenominador).Cuandox-r*oo,2/xy3lxtiendea0,y-x-lseaproximaa+oo.Luegoeldenominadorseacercaalyelnumeradortiendea*ooCuandor-)-co,x+2y¡-3sonnegativosyl-xespositivo; entoncesy-++oo.CuandorJ*co,x+2y.r-3sonpositivosyl-xesnegativo, ) -) -oo.

(c)

(ü

(e)

LÍMITES ICAPÍTI]LO 766

10.

Analtzar la función del problema 4'en 'el capltulo 6 cuando x + (t- y cuando x -) a+ cuando a es

cualquier entero Posrtlvo'

Se considera, como caso típico, a = 2' Cuando x -+ 2-,flx) -+ 10; cuando r -) 2-,fr*) -+ 15. Entonces,

vrn ff ñ no existe. pn general, el límite no existe para todos los enteros positivos. (Sin embargo, se observa:-;'' " "x)=5,yaquef(x)noestádefinidaparax<0.)qú yS f$) =,TÍ- ¡t'

IJttbzatla definición precisa para demostrar que H@'+ 3'x) = 16'

Seae>0.Seobservaqu"(*-2Y=f^.:4x+4,.yentonces,.r3+3r-10=(x ^2)'+7x-14=(x-2)2+1(x-2).Por, _".1-,,j, ?r) - t1l =l@ ' 2)2 +7(x -2)l <^k -212 +'1k -21'. Si se selecciona ócomo el mínimo de 1 y e/8, er¡tonces

É". i r,;;;:ofiguiente, 0 < tx - 2l < ó implica l(x2 + 3x) - 101 < I + 7 6 3 6 + 7 6 =8ó < e.

Si lím g@) =B * 0, demostar que existe un número positivo átal que 0 < k - al <áimplica I s(r) | > ]41 .

. x'-)a

Siendo e =lBV2. Se obdene un ópositivo tal que 0 < Lr - al < 6, entonces lg(x) - Bl < lBl/z.Ahora, si lx - al < ó,

*r"#il¡' =tg(x) + @ - s@Dl3lg(x)l + lBll2 v, por consiguiente, lBl/2 <lg(x)l.

se asunre que (I) lyt f {xl= A y (II) tu sU) = B. Probar

to) Htf(x)+s(fl1=A+B @) wfu)s.i)=ta t") lT #=4, siB+0

(a) Sea.!0.Entonces 1r,O,Por(I)y@),existen6'Yó,positivostalesque0< k-al<6,implic-al{x) -al<el2

uo<lx-al<ermpricals@)-Bl<e/2.SeaóelmÍnimoaeó,fór.Entonces,para0<lx-al<6,Wx)-al<e/2iitirl - u^ . ¿i' pit consiguiente' para 0 < lx - al < 6'

l(f(x) + s(x) - (A + B)l : lV6) - A) + G(¡) - B)l

< tllx) - At + tg(r) - q .;+|: e

(D) Seae>0.Escogere*comoelmínimo deel3y 1y€/< (3lBl) (si B+0),y el(3lAl) (siA*0). Seobservaque

le*)2 1e* yaque e* I 1. Adernás lBlex I el3 y lAle* < d3. Por (I) y (tr), existe un ó, y 6rd que 0 < lx - al < 6r,

\^hl^,¡tr¡'-At."*y0<lx-al<6,implicalsf-)-Bl<e*.Sea6elmínimod"4yór.Ahora,para0<lx-al<Ó,

lf(x)s@ - ABI = l(f(x) - A)@(x) - 8) + B(f(x) - A) + A@(x) - B)l

stf@) - A)@(x) - B)t + IBU(x) _ A)l + lA@(x) _ B)l

= lf(x) - Alls@) - Bl + lBllf(x) - Al + lAlls(x) - Bl

. (e*)2 + tBte* + trte* < e* *i*i = i*i*i :.

(c) por la parte (b), es suficiente mostrar que lt* ,C) = f . s"u e > 0 seleccionado. Entonc es B2eJ2> 0, por lo cual,

existe un 6, positivo tal que 0 <k - al< ót' impüca ls(x) - '' t ry'

por el problema 10, existe,un órpositivo tal que 0 <lx-al < 6rimplica lg(x)l > lBl/2. Sea óel mínimo Oe 6, f;;, ;ñ"t"t o < lx -al < óimPlica que

LÍMITES Cl/

lB - g(¡)l lBl2e 2=l;lls(")t z la¡:e

Wobu gue' pala cualquier función polinómica

f(x) = anf, + o,,_r/i,,-, + ... + aLx + ao. |g1/(xl = f(a)

Esto viene de los teoremas 7 .1-7 .4 y el hecho obvio que Í,A* = o.

probar las siguientes generalizaciones de los resultados del problema 3. Sean flx) = a,f + an_rf-t + . ..

-'i¿ * a,y 8@) = bof + bo-rf-t + ... + brx + brdos polinomios.

f(x) a,lifn >= -

(A) r¿!* g\x) ok

@) )!y*P=o

<,¡ !*#=**@ !*#=t*

sin=k

sin<&

si n > k. (Es +"o si y sólo si a,,y botsenen el mismo signo.)

si n > k (El signo correcto es el signo de a,bo(I)"-k.)

I; (c) lím "1-= *o.-.probat rye (a) W ,. -"

- -oo;(x -)¡z

1

; (b) llrr\ x =I;r-+-¡al x++-¡-l

1

@) SeaM cualquier número negativo. Se selecciona ópositivo e igual al mÍnimo de I y 1r1.

Se asume qae x <2I

y 0.k -21< 6. Entonces, lx-213 < I < 6S ¡r,¡ .

por lo tanto, C*rlu:É - M .Perc (x -2)'< 0. Por consiguiente,, l=. = -J---- < u.(x-2)' lx-21'Sea e cualquier número positivo, y sea M i U". S" asume que x > M. Entonces

l" .l l,l 1 I I

l"- -tl=l;l= **t,';' u : €

SeaM>l cualquier número positivo. Se asume que.r > M. Entonces Lrt= r> M.x-T x

t,l lrl l"lEvaluar:to) *[#

n;(b),t1? ;]; (t) ÍS?

(a) Cuando¡ > 0, l¡l =x. Entoncet li1 T = .1i1.

t=1.

(á) Cuando x>O,lxl=-x.Entonc"t ,li$t- ?=,t+ -1=-1.

l.rl lxl ltl{cl l;$4 no existe, Ya que ,tT. ? * "[? ?

I r 1l

ls(,-tl

(b)

(c)

15.

68 LMITES

Problemas suplementarios

Evaluar los siguientes límites:

(r) :y(l -+x) ¿' ./(D .gt€ +* -3x-4)

tcapÍru¡-o r

1¡ - 1-¡(ü Im -;:;;=

,x+u 3't)'1-t f +zx+z(s) lím --------:----:-= ,'/-' ¡+-l x. +4x+ 5

.., ./ "tr=1U) jT] 7, _ 4 ./.'

Á4 ,#*Ql -2sf - r2x - r7)

G) ,14 1:x4 - zsl - s¡

.' (3x - 1)2llm

--=;r*r (r f l)'.. f -4bm -';"--;-1-; .¿rx+2xz- ).f +O',¿ x-2IIIII :x+2 J¡2 -4 "

,/ ¡- IllÍ1 --:--x+rJyz+3-2

/("\a(r)

(4

Respuesta:(a) -4;(á) 0; (c) l;(d) 0;(4 i;U) -a;@) l;Q) l; (¡) 0; ("¡) oo,noexisteellímite; (D 3*;(Dz

17, Evaluar los sisuientes límites:

7xe - 4f +2x - 13 ., t4y'- -5x*27*,-\b) ,yr* --7+ l0-! -ú +l

. (¿) lrm =--;'------¿ \ ' x-+a 5x¿ -3x-4A úm (¡l -2si -t2.¡-ri)¡+-€

/ (a) lÍm/ x++@ -3¡e +l - 5x2 +b

zf +tu+s,, (c) ,lr% --77 + 6

Respuesta: (o) -1; (ó) 0; (c) +oo; (d) -oo; (e) +oo; ("f) -m; G) *m

18. Evaluar los siguientes límites:

,/ 2x+3(al rm -;--= 7 (b)t' r++oo 4¡-) ,/. * +sx+s(d) rftn# -@)- ¡++€ .Ítf

.L+-#*-..(d.h*,,{g7{ft u),,#*t#

. 1x _1_*1¿

- tg,ltlLy*¡; ¡

Respuesta: (a) l;(b) -?;(c) 0; (d) *m; (e) 0;A 1;G) -l

19. Hallar lím f @+ h)- f(a) para las funciones/en los problemas 11, 12, 13, 15 y 16 (a, b, d, g) delcapítulo 6./¡+0 h

Respuesta'. (tl) 2a - a; Q2) *fur rt,4a(e Grlú

lnvestigar el comportamiento de

2a-r;(t, -#T;(16) (a) za,@ J#T@ G+T,

f(x):[]*' :i ;:Jcuando ¡ -+ 0. Dibujar urra gráfica y verificarla con.una calculadora graficadora.

Re spue sta: f* /(x) = 0; .fj3_ f @) = 1; lírq /(x) no existe.

LMITES

lJtiltzar el teorema 7 .4 y la i¡ducción matemática para probar que lE xn = an para todos los enteros positivos rz.

Paraflx) =5x-6,hallaró>0talque,siempreque0<lx-41<6,entonceslf(x)-141<e,cuando (a)e= |y(b) e = 0.001.

Respuesta: (a) #: (b) 0.0002.

69

'?1.

22.

23.

24.

Utilizar la definición precisa para probar: (a) f11

5x =I5:; (b)

Usar la definición exacta para probar:

@ l,íX1 = oo (b) hq *1= * (c) lím J-=t¡eFf-l

Km x2

26.

a,l

28.

\a)

(b)

29.

Seanf(x), Sk) y h(x) tales que (l)f(x) s CA) < h(x) paratodos los valores en ciertos intervalos a la izquierda y ala derecha de a, y (2) lim f(x) = lím h(x)= A. Probar lim g(x) = /.x+a xla

(Sugerencia:Pa¡ae>0,existe6>0talque,siempreque0<lx-al<ó,entonceslf(x)-Al<eylh(x)-Al <e,ypor consiguiente, A - e <f(x) S g(x) 3 h(x) < A + e.)

Probar; Si/(x)S Mparatodoxenunintervalo abierto quecontiene ay si lím f(x)=Á, entonces a<M.(sugerencia: Se asume que d > M. Escoger 6= |(a- I[ly llegar auna contradicción.)

(CG) Utilizar una calculadora graficadora para confirmar los límites encontrados en los problemas l(d, e,fl,2(a, b, d), 16 y 18.

(a) Mostrar que lírn (" - l!l)= g.' ¡+e\ ' I

(Sngerencia: Multiplicar y dividir entre r * 'f,u.1

: a la asíntota y = ! xcuando-r tiende a oo.-a'b"a

"l;+3-^LHallar lím v--'" "'¡+0 X

(Sugerencia: Multiplicar el numerador y el denominador por iE + 3 + nE .l

(CG) Utilizar una calculadora graficadora para confirmar el resultado de la parte (a).