tr--

Continuidad

función se define como continua en r0 si se cumplen las tres condiciones siguientes.

flx) está definida;

fi1, f Q) existe;

pg,fQ)= f(x)..t

jemplo,/(.r) = f + 1 es continua en Z,ya que !y; f(x) = 5 = f(2).La condición (i) implica que

unción puede ser continua sólo en los puntos de su dominio. Entonces f(x)=aE:} no es

ua en 3 porque/(3) no está definida./una función definida en un intervaLo (a, x) ala izquierda de xoy/o, un intervalo (xn b) aIade xo. Se dice que/es discontinua en xn si/no es continua en x^] es decir, si fallan uria o más

entre (i) y (iii).

1

) =;Z es discontinua en 2 porque fl2) no está definida y también porque !4 f @ no exisre (dado

!1;f {xl - m). Ver figura 8-1.

Fig. 8-r

CAPÍTULO 8] CONTINUIDAD 7I

t2 -4(D f G) = : es discontinua en 2 porque fl2) no está definida. Sin embargo,

rryA i z>1 o, o"manera que la condición (ii) se cumple.

!9fG)=lim

Se dice que la discontinuidad en 2 del ejemplo 1 (b) es removible porque, si se redefiniera lafunción/en x = 2 como 4, entonces la función redefinida g sería continua en 2. Se observa que g("x) =

"'-4x+2paratodo.r.Las griáficasde /(x) == y g@)=x+ 2 sonidénticas salvoen x=2,endondela

primera tiene un "hueco" (ver figura S-Z;. Efúninar Ia discontinuidad consiste simplemente en llena¡esg "hueco".

Fig. 8-2

La discontinuidad en 2 en el ejemplo 1(a) no es removible. A1 redefinir el valor de /en 2 no cambia

el h"echo de que liq -f no existe.' x+2 y-/

También se dice que la discontinuidad de una función/en xnes removibte caandof(x^) está definiday al cambiar el valor de la función en.r0 produce una función que es continua en.ro.

EJEMPLO 2: Definir una función/de la siguiente manera:

f (x).: {; :: :::

e9ui ]rgi f @) = a, perc fl2) = 0. Por tanto, la condición (iii) no se cumple, de manera que/tiene una discontinui-

dad en 2. Perc, si se cambia el valor de/en 2 por 4, entonces se obtiene una función ft tal que h (x) = f para todox,y h es conti¡ua en 2. Luego la discontinuidad de/en 2 es removible.

EJEMPLO3:Sea/lafuncióntalque.f(tl=l"lparatodo x+0.Lagriíficade/semuestraenlafiguraS-3./es

discontinua en 0 porquefi0) no está definida. Á¿"-¿r,

-t ,. x .llm /(.r): llm -: I.r-0+ - ¡-.' 0+ X ,r$ .r{") :,tjT- --7: -1

Luego lím f (x) t lím /(x). Por tanto, la discontinuidad de/en 0 no es removible.¡-+0- xiu

La clase de discontinuidad que aparece en el ejemplo 3 se denomina discontinuidad de salto.En

general, una función/tiene una discontinuidad de salto en xo si tanto lím_ /(x) como Iftn. f(x)existen y lím- f (x) + lim- f (x). Tal discontinuidad no es removible.

x)xo r-¡rjxlxo J+rn

(x+2)(x -2)x-Z

F

72 CONTINUIDAD ICAPÍTULO 8

Fig. 8-3

EJEMPLO 4: La función del problem a 4 enel capírulo 6 tiene una discontinuidad de salto en cada enteropositivo.

Las propiedades de los límites implican las propiedades correspondientes de continuidad.

Teorema 8.L: Se asume que.f y g son continuas en r^. Entonces:(a) La función constante h(x) = 6 para todo x es coniinua en todo xo.(b) c/es continua en,r0, para cualquier constante c. (Vale la pena rec"ordar que c/tiene el valor c .flx) para cada

argumento x.)(c) /+ g es continua enxn.

\q f"- g es continua en xo.-

\e) Ig es contlnua en ¡n.A /g es conrinua en io si g(x") * 0.

k) tf es continua en.x' si dflro) está definida.

Estos resultados provienen de los teoremas 7.1 - 7.6.Por ejemplo, (c) se cumple porque

,rg, tff*¡+s(x))=,l$. f(x)+,r*r. s(x) = f(xJ+g(r0)

Teorema 8.2: Lafunción identidad I(x) = a", "on,i*u

en todo.ro.Esto viene del hecho que

,1$" x = xo.

Se dice que una función/es continua en un conjunto A sif escontinua en todo punto de A. Además,si tan sólo se dice que/es continua, significa que¡es continua en todo número réal.

La idea intuitiva original tras la noción de ioniinuidad suponía que la grá,ftcade una función con-tinua era en realidad "continua" en el sentido intuitivo de queie podia dibuJar Ia gráficasin levantar ellápiz delpapel. Luego, la gráfica no podía contener ningún "hueco" o "salto". Silembargo, parece queia definición precisa de continuidad va más allá de dicha noción intuitiva original; algunas funcionescontinuas muy complicadas no podrían dibujarse en una hoja de papel.

Teorema 8.3: Toda función polinómica

f(x) = a,,f + e,-rxn-'+ ... + aLx + ao

es continua.

Esta es una consecuencia del teorema 8.2 v del teorema g.L h_e\.

cAPlrvLo 81 CONTINUIDAD 73

EJEMPLO 5: Un caso del teorema 8.3 considera la función x2 - 2x + 3. Se observa que, por el teorema 8.2, lafunciónidentidad¡escontinuay,portanto,porelteoremaS.l(e),¡2escontinua,ypoieltéorema8.i(á), -2xescontinua. Por el teorema 8.1(a) la función constante 3 es continua. Finalmente, por el ieor"ma 8.1(c), f -2x + 3 escontinua.

Teorema 8.4:Todafunción racional H{x¡=ffi, Oond.t x) y g(x)son funciones polinómicas, es conrinua en

el conjunto de todos los puntos en los cuales g(x) * 0.

Esto viene de los teoremas 8.3 y 8.1 (/). Como ejemplos, la función H(x) = +- es continua en todosx *L

y -1, y la función G(x) = + es continua en todos los puntos (ya que ¡2 + 1 nunca--L t1L al

[a, b). En

lím /("r)x ¿a'

rry_ f Q>

es 0).Se debe

primer lugar,

los puntos excepto 1

utilizar una noción especial de continuidad respecto a un intervalo cerradose dice que una función/es continua a la derecha en a sifla) está definida,

existe, y g" f (x)="f(a). Sediceque/es continuaalaizquierdaenbsif(b)estádefinida,

existe y

Definición:/es continua en[a, b) si/es continua en cada punto de un intervalo abierto (a, b),f escontinua a laderecha en a, y f es continua a la izquierda en b.

Se observa que si/es continua enfa, bl no depende de ningún valor de/, fuera de la, b).Tambíénse observa que cada función continua (es decir, una función coniinua en todos los números reales) debeser continua en cualquier intervalo cenado. En especial, toda función polinómica es conti.nua en todointervalo cerrado.

Se pretende discutir en profundidad ciertas propiedades sobre las funciones continuas que se utili-zarán, pero esas demostraciones van más allá del alcance de este libro.

Teorema 8.5: (Teorema del valor interrrleüo) Si/es continua en la, bl y f@) * f(b), entonces, para todonúmero c entre fla) yflá), existe por lo menos un número xo en el intervalo abió¡to (a, b) para el cualflxn) = c.

La figura 8-4(a) es una ilustración del teorema 8.5. La figura 8-5 muestra que la continuidad através del intervalo es esencial para Ia validez del teorema. El siguiente resultado es un caso especialdel teorema del valor intermedio.

(b) f(x) = 0 tiene tres raíces entre r = a f x = b.

Fig.8-4

?F=:

74 CONTINUIDAD

Fig. 8-5

tcAPÍTrrLo 8

Corolario 8.6. Si/es continua en [a, bl y fl.a), y flb) tiene signos opuestos, entonces la écuación/(-r) = 0 tieneal menos wa raíz en el intervalo abierto (a, b) y, por consiguiente, la griífica de f cruzael eje x por lo menos unavez entre a y b. (Yer figura 8-4(b).)

Teorema 8.7: (Teorema del valor extremo) Si/es contin aa en [a, á], entonces/toma un valor mínimo m y vnvalor máximo M en el intervalo.

Como iiustración del Teorema del valor extremo, se observa la figura 8-6(a),donde el valor míni-mo ocure enr = cyelvalormáximo M ocune enr = d. Eneste caso, tanto ccomo b están dentro delintervalo. for gtra parte,_en la figura 8-6(b), el vaior mínirno * orro'.'"n; Ñ;;;emo r = ay elvalor miiximo M ocune dentro del intervalo. Para comprobar que la continuiáad es necesaria para que

(b) f(x) = 0 no tiene raíz entre x = a y x = b.

:l T99tTl del valor extremo sea verdadero, se considera la función cuya gráfrcase indica en la figura8-6(c)' Existe discontinuidad en c dentro del intervalo; la función tiené un valor mínimo en el puntoextremo izquierdo x = a pero la función no tiene valor máximo.

L.

Fig.8-6

I CONTINUIDAD .7\

Otra propiedad útil de las funciones de continuidad está dada por el siguiente resultado.

Teorema-8.8:Si/escontinuaencyf(c)>0,entoncesexisteunnúmeropositivodtalque,cuandoc-ó< x < c + 6, entonces/(x) > 0.

Este teorema se ilustra en la figura 8-7. Para ver una demostración, remitirse al problema 3.

L.

/(c + 6)

f(cl

/(c - 6)

ac-6 c c*6

Fig.8-7

Problemas resueltos

Hailar las discontinuidades de las siguientes funciones. Determinar si son removibles o no. Si no sonremgvibles, establecer si son discontinuidades de salto. (CG) Verificar sus respuestas mostrando lagráfica de la función en una calculadora graficadora.

)(a) J\x):-x Discontinuidad no removible en x = 0.

Discontinuidades no removibles er x = -3 y x = 2

Discontinuidad no removible en ¡ = 3.

Tiene una discontinuidad removible en ir = 3. (Ob-servar que :i - 27 = (x - 3) (x' + 3x + 9).) Tambiéntiene una discontinuidad no removible en x = -3.

Tiene una discontinuidad removible en x = t 2. (Se

r-zl(a f @):

4-*(e) f(x):

^11.,5-\/x'+Jobserva que 4- *' ¡+'u[tns -..3-.,t'.; l+f''+5 -"

a f@)

@) "f(*)(h) f(*)(¡) f(x)(i) f(,)

(k) f(x)

*+x-z(x - l)'

: [¡] - el ¡n¿

-x-lxl.:3X- - tX- +

Io si x:12 si xlíx sil'¡:Ír sl

[2-x si

yor entero

4x-2.00

¡<0.0<x<x> l.

Tiene una discontinuidad no removible en r = 1.

Tiene una discontinuidad de salto en cada entero.Tiene una discontinuidad no removible en cada entero.Un polinomio no tiene discontinuidades.

Discontinuidad removible en x = 0.

Discontinuidad de salto eD x = 1.

x2 +5.)

I :F-giÉ,

i:

"::'.

:

I:

to

)

CONTINUIDAD ICAPÍTULO S

Demostrar que la existencia de lím f(a+ h)- f(a) implica que/es continua en x = a.

|ry¿{f a + D - f@)) = yn(tu#e r)=

,. f(a+ h) - f(a) .Hmh=o^ f@+ h) - f(a).0=0ñ+0 h tr+O ¿+0 h

Pero

fy¿ f f f' + h) - f (a)) = F* f r" + D - F!, f (a) =

Í, \ f O + h) - f (a)

Porlotanto, ItXf@+h)= f(a).Seobservaque FS f@+h)=lim f(x).También, IlIr"f(x)= f(a).

3. Probar el teorema 8.8.

Por la continuidad de/en ,, yy f (x) = "f(c). Si se toma ¿ = flcl2 > 0, existe un ópositivo tal que 0 < lx - cl < 6

implica que lflx) - f(c)l < flc)/2. La últdLma desigualdad también se mantiene cuando r = c. Luego,lx - cl < 6implica Wx) -f(c)l <flc)/2. La última implica -flcY2 <flx) -frc) <flc)/2. Sumando/(c) a la desigualdad de laizquierda, se obtiene /(c)/Z < f(x).

Problemas suplementarios

4. Determinar las discontinuidades de las siguientes funciones y establecer porqué la función no es continua entales puntos.'{CG) Verificar las respuestas representando la función en una calculadora graficadora.

l-3x-lolal llxl:

-

v*)

(c) f(x) = lxl-:ra, lx -Ile) J\x):-----x--l

@) f(x):f -7xf +zx+zltl llx)i-x¿ *4x*3

lx+3 si x>2(b)l(x)=l ¡ .[l+1si ¡<2íq-, si ¡<3

(d)f(x):lt-2 si 0<x<3lx- I si x<0t-

f+f-lzx-rt5U) J\x):-rTb_t5

? -4(h)f(x):-#' x'- )x+O( /) l{x}:

-x¿ -4-r_ I(kll(xl:-

Jxz +3 -2Respuesta: (a) Discontinuidadremovible enx=-2. (Se observaquex2- 3x-I0=(x+2)(x-5).){b, c, g)

Ninguna.(ü Discontinuidad de salto en x = 0. (e) Discontinuidades removibles en x = * 1.

A Discontinuidades removibles enx =3,x=-5. (Se observaquex2 + 2x-5 = (x+ 5) (¡-3) yx3 + f - 71x + 15 = (¡ + 5X¡- 3) (x- 1).)

(h) Discontinuidad removible an x = 2 y discontinuidad no removible eD x = 3.(t) Discontinuidad removible en .tr = - 1 y discontinuidad no removible en x = -3.(D Discontinuidad removible et x = 2 y discontinuidad no removible et x = -2.(,t) Discontinuidad removible en x = 1 v discontinuidad no removible en x = -1.

Demostrar que/(x) = lxl es continua.

t*

"F

CAPÍTULO 8l CONTINUIDAD

Si la figura 8-5(a) es la gráfica de /(x) - x' - 4x - 21,

demostrar que existe una discontinuidad removible enx- lx=Tyquealfc=10.

Probar: Si/es continua en el intervalo [a, b]y c es un número en (a, b) tal queflc) < 0, entonces existe un númeropositivo 6tal que, siempre que c - ó< x < c + ó, entoncesfix) < 0.(Sugerencia: Aplicar el teorema g.g a -/.)

Trazar las gráficas de las siguientes funciones y determinar si son continuas en el intervalo cerrado [0, l]:

7'7

6.

8.

[-t si x<o(a) f(x): | 0 si 0<x< It-

I I si x>la1

(c) f(x): I -{ si ¡ < oI r si x>0

Ix si x<0(e) "f(x): | 0 si 0<;r< I

Ix si xZl

Ir(b)f(x)=I; ""'

I I si ¡<0

@f(x)=lsi0<rSl

Respuesta: (a) Sí. (b)'No. No es continua a la derecha en 0. (c) Sí. (d) No. No está definida en 0. (e) No. No es

continua a fa izquierda en 1.