Capitulo 9 funciones vectoriales

CHAPTER 9 – VECTOR FUNCTIONS

1. Curvas planas: 1.1. Defina curva plana

Si f y g son funciones continuas de t en un intervalo I, entonces a las ecuaciones � � � �� se les llama ecuaciones parametricas; y puntos (x, y) que se obtiene cuando t varia sobre el intervalo I, se le llama la grafica de las

ecuaciones parametricas. A las ecuaciones parametricas y a la grafica, juntas, es lo que se llama

una curva plana, que se denota con C.

1.2. ¿Qué significa que una curva sea suave?Una curva C representada por � �son continuas en I y no son simultáneamente 0, excepto posiblemente en los puntos terminales

la curva C se dice que es suave a trozos si es suave en todo sub

1.3. ¿Cuándo una curva es cerrada? ¿Cuándo una curva es simple?

Una curva C dada por r(t) para � las integrales de línea, se puede concluir que si

entonces la integral de línea sobre toda curva cerrada es 0.

Una curva C dada por �� es decir �� para todo c y d en el intervalo abierto (a, b) 1.4. ¿Cómo queda parametrizada un curva plana en el espacio?.

paramétricas y vectoriales.

Una curva en el espacio C es un conjunto de todas las ternas ordenadas

las ecuaciones parametricas � � ��de t en un intervalo I.

��

1.5. Describa la curva definida por

Las ecuaciones parametricas son

� � � � � � � � � �

1) Pasa por el punto (1, 2, -1) 2) Es paralela al vector <1, 5, 6>3) � � ��

1.6. Trace la curva cuya ecuación vectorial es )(tr = cost i + sent j + t k

Solución

Las ecuaciones parametricas son

� � �� 1) Como ��

circunscripta en ��

MATMATMATMATHEMATICSHEMATICSHEMATICSHEMATICS

FUNCTIONS – BY GERARDO

Si f y g son funciones continuas de t en un intervalo I, entonces a las ecuaciones

se les llama ecuaciones parametricas; y a t se le llama el parámetro. Al conjunto de

puntos (x, y) que se obtiene cuando t varia sobre el intervalo I, se le llama la grafica de las


enota con C.

¿Qué significa que una curva sea suave? �� en un intervalo I se dice que es suave si f’ y g’ son continuas en I y no son simultáneamente 0, excepto posiblemente en los puntos terminales

a curva C se dice que es suave a trozos si es suave en todo sub-intervalo de alguna partición de I.

¿Cuándo una curva es cerrada? ¿Cuándo una curva es simple? � es cerrada si r(a)=r(b). Por el teorema fundamental de las integrales de línea, se puede concluir que si !� es continuo y conservativo en una región abierta R, entonces la integral de línea sobre toda curva cerrada es 0. � �"# � ��$# , donde � � , es simple si no se corta a si

para todo c y d en el intervalo abierto (a, b)

Cómo queda parametrizada un curva plana en el espacio?. Escriba

Una curva en el espacio C es un conjunto de todas las ternas ordenadas �� % � �� donde f, g y h son funciones continuas �� "# � ��$# � ��&' (�)��*+,��(��+*�-�� % � �� (�)��*+,(.�/��0(�*��.

Describa la curva definida por )(tr ttt 61,52,1 +−++=

�� % � �� 1� Es paralela al vector <1, 5, 6> � �� 1�

Trace la curva cuya ecuación vectorial es

�23 � % � � � �23� � � � la curva estara � Page 1

Si f y g son funciones continuas de t en un intervalo I, entonces a las ecuaciones � � �� llama el parámetro. Al conjunto de

puntos (x, y) que se obtiene cuando t varia sobre el intervalo I, se le llama la grafica de las


en un intervalo I se dice que es suave si f’ y g’

son continuas en I y no son simultáneamente 0, excepto posiblemente en los puntos terminales de I.

intervalo de alguna partición de I.

es cerrada si r(a)=r(b). Por el teorema fundamental de

es continuo y conservativo en una región abierta R,

, es simple si no se corta a si misma,

Escriba las ecuaciones

�� , junto con donde f, g y h son funciones continuas

�(��+*�-


2) Como z=t (positivo) la curva se mueve hacia arriba3) El movimiento es anti-horario a partir del plano XY4) La curva es llama hélix (helicoide)1.7. Utilice una computadora para trazar las siguientes curvas:

( )ztytxe

yxd

yxc

yxb

ysenxa

)

1

3)

cot2)

3cos2)

)

2

3

===

=+

=

==

==

=−=

θ

θ

θ

θ

θθ



z=t (positivo) la curva se mueve hacia arriba horario a partir del plano XY

La curva es llama hélix (helicoide) Utilice una computadora para trazar las siguientes curvas:

( )eadacúbicaalabtt

cartesfoliodeDes

esibrujadeAgnsen

dehipocicloisen

cicloide

22

1

3

)(2

)(3

)(cos1

3

3

2

2

3

≤≤−=

+=

=

=

−=

θ

θ

θ

θ

θ

Page 2


2. Funciones vectoriales 2.1. ¿Qué es una función vectorial?

Definición:

Una función de la forma ��

Es una función Vectorial, donde las funciones componentes f, g y h son funciones del parámetro t.

Algunas veces, las funciones vectoriales se denotan como

�� Ejemplos

2.2. ¿Cuál es la relación entre funciones vectoriales y curvas espaciales?Hay una relación muy cercana entre funciones vectoriales continuas y curvas espaciales, las

funciones componentes de las funciones vectoriales f, g y h en un intervalo I,

conjunto de puntos C en el espacio (x, y, z) donde las funciones

hacer variar t a través del intervalo I, componen la curva espacial.

2.3. Defina Ltfat

=→

)(lim en términos

El 425678 �9�� :; significa que el vector En términos de < y =



¿Qué es una función vectorial?. Dé ejemplos.

��"# � ��$# (,��(-�/-�,+��"# � ��$# � ��&' (,�(-�(./��*+ Es una función Vectorial, donde las funciones componentes f, g y h son funciones del parámetro t.

Algunas veces, las funciones vectoriales se denotan como

� � �� (,��(-�/-�,+� � �� (,�(-�(./��*+

la relación entre funciones vectoriales y curvas espaciales? Hay una relación muy cercana entre funciones vectoriales continuas y curvas espaciales, las

funciones componentes de las funciones vectoriales f, g y h en un intervalo I, están compuesto por el

conjunto de puntos C en el espacio (x, y, z) donde las funciones � � �� hacer variar t a través del intervalo I, componen la curva espacial.

en términos δε , . ¿qué representa gráficamente?

significa que el vector �9�� tiende al vector :; cuando t tiende a a.Page 3

Es una función Vectorial, donde las funciones componentes f, g y h son funciones del parámetro t.

Hay una relación muy cercana entre funciones vectoriales continuas y curvas espaciales, las

están compuesto por el �� al

cuando t tiende a a.


Sii >�< ? @� A�= ? @�B�C�D�� :DC E < Siempre que @ E B� � �B ESi @ E B� � �B E = 7 C�D�� El 425678 �9�� :; esta definición equivale a decir que la longitud y la dirección del vector

longitud y la dirección del vector L

2.4. Calcule el )(lim0

trt→

, donde r

42567� 9�� F42567��

2.5. ¿Cómo determina si una función vectorial es continua en De acuerdo con la definición de continuidad para las funciones vectoriales que dice que una función

vectorial �9�� existe cuando � 7 � y y solo si cada una de sus funciones componentes es continua en t=a.

Es decir que satisface las 3 condiciones siguientes

1) A�9�� 2) A425678 �9�� 3) A425678 �9�� 9��

2.6. Defina derivada de una función vectorial y dé su interpretación

La derivada de una función vectorial se define como

�G�� 425H�7@�� H��H�

Para todo t para el cual existe el límite. Si

para todo c en un intervalo abierto I, entonces

derivable en el intervalo I. La derivabilidad de funciones

vectoriales puede extenderse a intervalos cerrados

considerando límites unilaterales.

Como interpretación geométrica, tenemos que la derivada

de la función vectorial ��G�� es un vector tangencurva dada por f(t) y que apunta en la dirección de

valores crecientes de t

2.7. ¿Qué es una curva suave?¿Cómo se encuentra el vector tangente a una curva suave en un

punto? ¿Cómo se encuentra la recta tangente? ¿Y el vector tangente unitario?Curva suave:

La parametrización de la curva representada por la función vectorial



425678 �9�� :;

= CD�� :DC E <

esta definición equivale a decir que la

longitud y la dirección del vector �9��se aproxima a la

( ) kt

sentjetittr t +⋅++= −31)(

� � �I�J "# � F42567��(K6�J $# � L42567��23 �� M &' � "# � &'

¿Cómo determina si una función vectorial es continua en t=a? De acuerdo con la definición de continuidad para las funciones vectoriales que dice que una función

y 425678 �9�� 9��; una función vectorial es continua en t=a si y solo si cada una de sus funciones componentes es continua en t=a.

Es decir que satisface las 3 condiciones siguientes

Defina derivada de una función vectorial y dé su interpretación geométrica.

La derivada de una función vectorial se define como � � ��

el límite. Si �G�� existe para todo c en un intervalo abierto I, entonces � es derivable en el intervalo I. La derivabilidad de funciones

vectoriales puede extenderse a intervalos cerrados

Como interpretación geométrica, tenemos que la derivada

es un vector tangente a la

curva dada por f(t) y que apunta en la dirección de

¿Qué es una curva suave?¿Cómo se encuentra el vector tangente a una curva suave en un punto? ¿Cómo se encuentra la recta tangente? ¿Y el vector tangente unitario?

La parametrización de la curva representada por la función vectorial �� "# � ��$# � ��&' Page 4

&'

De acuerdo con la definición de continuidad para las funciones vectoriales que dice que una función

es continua en t=a si

geométrica.

¿Qué es una curva suave?¿Cómo se encuentra el vector tangente a una curva suave en un punto? ¿Cómo se encuentra la recta tangente? ¿Y el vector tangente unitario?


Es suave o regular en un intervalo abierto I, si f’, g’ y h’ son continuas en I y

el intervalo I (excepto quizás en cualquier punto e

Para hallar los vectores velocidad y aceleración en un instante dado t, considérese un punto NO�� H��P� �� H�� que se aproxima al punto �� "# � ��$# , a medida que aproxima a la dirección del movimiento en el instante t.

425H Si este límite existe, se define como el vector velocidad o el vector tangente a la curva en el punto P

Sea C una curva suave en el intervalo abierto I, representada por

en t, se define como

QR

La recta tangente a una curva (trayectoria)

punto y es paralela al vector tangente unitario. Usando la forma punto

una recta (usando los números directores y las coordenadas del pu

paramétrica de la recta tangente.

2.8. Si )(tu y )(tv son funciones vectoriales que se pueden derivar,

función de valor real, escriba las reglas para derivar las siguientes funciones vectoriales.

)()())()()

)())()()

tvtuetvtud

tucbtvtua

×⋅

⋅+



Es suave o regular en un intervalo abierto I, si f’, g’ y h’ son continuas en I y ��S��el intervalo I (excepto quizás en cualquier punto extremo de I.

Para hallar los vectores velocidad y aceleración en un instante dado t, considérese un punto

que se aproxima al punto TO�� Pa lo largo de la curva C dada por , a medida que H� 7 @ , la dirección del vector TNRRRRR� (denotado por

aproxima a la dirección del movimiento en el instante t. HR� � R�� H�� R��HR�H� � R�� H�� R��H�425H�7@

HR�H� � 425H�7@R�� H�� R��H�

existe, se define como el vector velocidad o el vector tangente a la curva en el punto P

Sea C una curva suave en el intervalo abierto I, representada por � . El vector unitario tangente T(t) QR�� S��U�S��U � �S�� @

ta tangente a una curva (trayectoria) a una curva en un punto es la recta que pasa por ese

punto y es paralela al vector tangente unitario. Usando la forma punto-dirección de la ecuación de

usando los números directores y las coordenadas del punto), obtenemos la ecuación

son funciones vectoriales que se pueden derivar, c es un escalar, y


( ))())

)()()

tfuf

tutfc ⋅

Page 5

� @ para todo t en Para hallar los vectores velocidad y aceleración en un instante dado t, considérese un punto

a lo largo de la curva C dada por

(denotado por H�) se

existe, se define como el vector velocidad o el vector tangente a la curva en el punto P

. El vector unitario tangente T(t)

a una curva en un punto es la recta que pasa por ese

dirección de la ecuación de

, obtenemos la ecuación

es un escalar, y f es una



�� V)R�� V�W )�� V�� V)R�� V)R�� V)R��

2.9. ¿Qué relación existe entre f

Si �� es una función vectorial diferenciable en un intervalo I, y intervalo, entonces los vectores ��

3. Aplicaciones físicas 3.1. ¿Cómo encuentre la velocidad, la rapidez, y la aceleración de una partícula que se desplaza a

lo largo de una curva espacial?T+.*�*+, � �� X(-+�*�� Y�(-(��*+, � �Z�/*�(% � U��

3.2. El vector posición de un objeto que se desplaza en un plano está dado por

0)( 23 ≥+= tjtittr .Encuentre su velocidad, su rapidez y su aceleración cuando

ilustre geométricamente La velocidad, la aceleración y la rapidez

X(-+�*�� Y�(-(��*+, Z�/*�(% � U�� Para t = 1



V �� [ � )R�S�� S��V )R��[ � �W )R�S��V ��W )R��[ � �G��W )R�� W )R�S��V ��W ��[ � )R�G��W �� )R��W ��S��V �� \ ��[ � )R�G�� \ �� )R�� \ ��S��V ��[ � �G��W )R�S��

)(tf y )(' tf ?

es una función vectorial diferenciable en un intervalo I, y C��C es constante para todo t del � y ��S�� son ortogonales. ¿Cómo encuentre la velocidad, la rapidez, y la aceleración de una partícula que se desplaza a

lo largo de una curva espacial? � �� "# � �$# � %&'�� G�� G��"# � �G��$# � �G��&'�� GS�� GG��"# � �GS��$# � �GS��&'��U � U�G��U � ]V�G��[� � V�G��[� � V%G��[�

El vector posición de un objeto que se desplaza en un plano está dado por

.Encuentre su velocidad, su rapidez y su aceleración cuando

y la rapidez en un tiempo t son:

+�*�� G�� ^��"# � ��$# Y�(-(��*+, � �� GS�� 1��"# � ��$#

��U � U�G��U � ]V^��[� � V��[� � ]_�` � a��

Page 6

es constante para todo t del

¿Cómo encuentre la velocidad, la rapidez, y la aceleración de una partícula que se desplaza a

El vector posición de un objeto que se desplaza en un plano está dado por

.Encuentre su velocidad, su rapidez y su aceleración cuando t=1 e


�� G�� ^�"# � ��$# ��

3.3. ¿Cómo se conoce la posición se deben conocer para calcular la posición de la partícula?

Las integrales vectoriales se utilizan para encontrar el vector posición cuando se conocen los

vectores velocidad o aceleración

3.4. Una partícula inicia en )0(r

ktjtita ++= 64)( . Determine su velocidad y posición en el tiempo

Como la aceleración proviene de la derivada primera de la velocidad,

�� b�� Para encontrar el valor de la constante del vector C, usamos el valor de la velocidad inicial que esta

definida como ��@� � � "# � � $# � &', como �� "# � ^��$# � Como la velocidad es igual a la derivada primera de la posición, tenemos entonces que

�� b�� bc�� "# � �^ Para t=0, tenemos que d � �@� �

�� e

3.5. Si una curva en R3 tiene aceleración cero, ¿podría decirse que la curva es una línea recta?

4. Aplicaciones geométricas 4.1. Defina vector tangente unitario, vector normal unitario y vector Binormal

Sea C una curva suave representada por

se define como

El vector tangente unitario T (t) indica la dirección de la curva

El vector normal principal o Unitario se define con lo siguiente:



� � �GS�� 1��"# � ��$# U��U � U�G��U � ]_��`¿Cómo se conoce la posición de una partícula si conocemos la aceleración? ¿Qué condiciones

se deben conocer para calcular la posición de la partícula?


0,0,1) = con velocidad inicial kjiv +−=)0( . Su aceleración es

. Determine su velocidad y posición en el tiempo t.

Como la aceleración proviene de la derivada primera de la velocidad, tenemos entonces que

� bOa��"# � 1��$# � &'P �� "# � ^��$# � �&' � f Para encontrar el valor de la constante del vector C, usamos el valor de la velocidad inicial que esta

como ��@� � f; entonces f �� "# �� $# � &' � �&' � "# � � $# � &' � �� "# � �^�� $# � �� Como la velocidad es igual a la derivada primera de la posición, tenemos entonces que

�^�� $# � �� &'g �� e� � �̂ �Ih "# � ��I � ��* e� � � � �̂ �Ih "# � ��I � ��$# � i�� j &'

tiene aceleración cero, ¿podría decirse que la curva es una línea recta?

Defina vector tangente unitario, vector normal unitario y vector Binormal.

Sea C una curva suave representada por � en un intervalo abierto I. El vector tangente unitario T (t) QR� � �G��U�G��U�� .*��G�� @�

El vector tangente unitario T (t) indica la dirección de la curva

itario se define con lo siguiente:

Page 7

� a�� k�^ de una partícula si conocemos la aceleración? ¿Qué condiciones


. Su aceleración es

tenemos entonces que

Para encontrar el valor de la constante del vector C, usamos el valor de la velocidad inicial que esta

��&' Como la velocidad es igual a la derivada primera de la posición, tenemos entonces que

��$# � i�� j &' � d

tiene aceleración cero, ¿podría decirse que la curva es una línea recta?

en un intervalo abierto I. El vector tangente unitario T (t)


CHAPTER 9 – VECTOR FUNCTIONS – BY GERARDO Page 8

Sea C una curva suave representada por �� en un intervalo abierto I. Si QR�G�� @� el vector normal principal en t se define como

lRR� � QR�G��CQR�G��C En cualquier punto de la curva, un vector normal unitario es ortogonal al vector tangente unitario.

Existe un tercer vector unitario que es perpendicular tanto a QR� como a lRR� es el vector Binormal mR� que se define como mR� � QR� \ lRR� Tanto QR� como lRR� y el vector Binormal mR�, son perpendiculares entre si, siguen la regla de la mano derecha y se mueven a lo largo de la trayectoria. Juntos forman el triedo de Frenet.

4.2. Longitud de arco

4.2.a. Sea C la curva suave definida por la función vectorial continua )(),()( tgtftr = con

bta ≤≤ . Considere además que la curva C es recorrida exactamente una vez cuando t va del extremo a al extremo b. Deduzca la fórmula de la longitud de arco.

Como la longitud de arco de una curva dada por � � �� en el intervalo V�� n[ es o � b ]� � V�G��[�

��@

�� b p� � L��M��

�@��

Entonces podemos escribir

b p� � L��M��

�@�� b p� � L��q��q��M

��@

�� bpL��q�� q��q�� M� �

��q��

Sacamos raíz cuadrada y

o � bpL��M� � L��M

� �

�� b]V�G��[� � V�G��[� �

�� Definición:

Si C es una curva suave dada por �� "# � ��$# � %��&' en un intervalo [a, b], entonces la longitud de arco de C en el intervalo es

o � b]V�G��[� � V�G��[� � V%G��[� �

�� bUR�S��U��

4.2.b. Hallar la longitud de arco de la hélice circular con ecuación vectorial

tksentjtitr ++= cos)( desde el punto (1,0,0) hasta (1,0,2π)

La derivada primera de �� es igual a: �S�� .(,��*# � �+.��r# ��&' U�S��U � ]��.(,�� +.�� k� El arco desde (1, 0, 0) hasta (1, 0, 2π) se describe para el intervalo del parámetro @ � �s


CHAPTER 9 – VECTOR FUNCTIONS – BY GERARDO Page 9

o � bUR�S��U��

� b ]��s@

� �]�s

4.2.c. Defina función longitud de arco Sea C una curva suave dada por �� definida en el intervalo cerrado [a, b]. Para � � , la función longitud de arco está dada por

o � bUR�S�)�U�)��

� b]V�G�)�[� � V�G�)�[� � V%G�)�[��

��) A la longitud de arco S se le llama parámetro longitud de arco

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