CAPÍTULO N° 3: NÚMEROS RACIONALES

Introducción a las fraccionesHabitualmente utilizamos expresiones como éstas: "Me queda la mitad", Son ...y cuarto (en referencia a la hora)", "Es la décima parte", "Caben tres cuartos de litro", " Son quince por ciento menos"En todas estas expresiones estamos utilizando fracciones

La fracción como parte de un todo

La fracción como cociente

La fracción como operador

La fracción como probabilidad

Curiosidades:A finales del siglo X Gerberto de Aurillac, quien se convertiría en papa bajo el nombre de Silvestre II, releía en un gran libro su proyecto de una máquina que mediría el tiempo, y que sustituiría la campana de los monjes. Las primeras líneas decían:

“Día y noche son las dos partes en las que se divide el día, más no son iguales, el primero de diciembre durante el día se han consumido 3 velas y durante la noche....

¿Qué fracción de día le asignarías al día y a la noche?¿Dónde crees que estaba Gerberto? ¿ por qué?¿ Si hiciéramos la experiencia hoy crees que pasaría algo similar?

Las fracciones son un forma de expresar un número racional. El denominador indica el número de

partes iguales en que se divide el entero yel numerador cuántas deesas partes se debenconsiderar.

ab

∈ ℚ y a∈ ℤ y b∈ ℤ con b≠ 0

Los números racionales pueden ser positivos o negativos

Las fracciones pueden ser:

Propias o menores que uno: El numerador es menor que el denominador y representan números menores que un entero.

Propias o menores que uno: El numerador es menor que el denominador y representan números menores que un entero.

Impropias o mayores que uno: El numerador es mayor queel denominador y representan números mayores que un entero.También se puede expresar como número mixto 7

6 = 1

16

Aparentes o enteras: el numerador es un múltiplo del denominador yrepresenta a un número entero

1) Repaso por todo lo que se de fracciones:

i) Escribir como fracción impropia o número mixto según corresponda:

a . 116

= b . 2 14= c . 11

2= d . 9

5= e . −5 3

10=

f. 40 días como parte de una semana g. 100 horas como parte de un día

Fracciones equivalentes

Son aquellas que representan la misma parte de un entero. Para obtener fracciones equivalentes se multiplica o divide al numerador y denominador de una fracción por un mismo número entero, distinto de cero. Para comprobar si dos fracciones son

equivalentes sus productos cruzados deben ser iguales.

12

= 24

porque 1.4 = 2.2 24

= 36

porque 2.6 = 3 .4

ii) Tachar las fracciones que no son equivalentes a la dada:

a35

➜1520

; 1830

; 1215

; 60100

; 2135

b.812

➜46

; 3250

; 2436

; 23

; 80100

iii). Completen los casilleros para que las fracciones resulten equivalentes.

a)37

= 42

b) 12

= 23

c)5624

= 21

iv). Federico comió 15

de sus chocolates y Facundo 13

de los suyos. ¿ Quién comió más?

Una fracción es irreducible cuando el numerador y el denominador no tienen divisores comunes distintos de uno. Simplificar una fracción es hallar su equivalente irreducible

v) Simplificar las siguientes fracciones:

a.2432

= b.4298

= c.6024

=

Para aplicar lo aprendido:

2) Indicar que fracciones cumplen con la siguiente condición:a. El numerador es múltiplo del denominadorb. El numerador y el denominador son coprimos

3) ¿Qué fracción de un siglo son 40 años?

4) ¿Qué fracción del día ha transcurrido cuando son las siete de la tarde?

5) ¿Cuántos octavos hay en 2 unidades?

6) Escribe en fracción los siguientes porcentajes:a) 15 % b) 90 % c) 120

7) Se tiran simultáneamente dos dados de distinto color y surgen algunas preguntas. ¿ Qué sumas se pueden obtener y con que combinaciones de los dados?, ¿ Cuál de las sumas es más fácil de obtener? ¿ Y cuáles las más difíciles?. Para resolver representa todas las posibilidades en un cuadro de doble entrada.

8) Si un curso está compuesto por 25 hombres y 15 mujeres, entonces, ¿cuál es la fracción que representa la cantidad de hombres del curso?

Conjunto de Números Racionales. Densidad y orden

9) Resolvemos juntos:

Hölm y Austin junto a Sotomayor son atletas muy reconocidos por las marcas alcanzadas en este deporte en los diferentes juegos en los que han participado como representantes de sus países.

a) En la recta se representa el salto de Sotomayor, ubica en la misma recta el salto de los demás competidores.

b) ¿Quién hizo el salto de mayor altura? c) ¿Quién hizo el salto de menor altura?

10) Ubica en la siguiente recta los números: 1 ; 1 12

; 12

a) En la misma recta ubica el 3. b) ¿Cómo supiste dónde va el 3?c) Con tu regla mide la distancia del 0 al 1. ¿Cuánto es? ¿Y la distancia de 1 a 2? ¿y la de 2 a 3? Verifica que estas tres distancias sean iguales, si no es así revisa en dónde está el error.

11) Considera ahora sólo la distancia de 2 a 3 de la recta

a) Ubica 213

(distancia que saltó Hölm).

b) Cómo lo localizastec) Hay muchas maneras de dividir un segmento en tres partes iguales; una de ellas es la siguiente:

Para aplicar lo aprendido:

12) En la recta A, localicen 53

Comparen sus respuestas con la de sus compañeros. Con su

regla midan la distancia de 0 a 53

. ¿Es la misma o es distinta? ¿Porqué creen que sea así?

13) En la recta B localicen 1 y 2 y no se olviden de considerar los puntos dados.

a) ¿En cuántas partes dividieron el segmento que va de 0 a 52

?

b) Localicen otra vez la fracción 53

, pero ahora háganlo en la recta B.

c) ¿Llegaron los dos al mismo resultado? Comenten cómo lo obtuvieron. Comparen sus respuestas y comenten:

d) ¿Cuántas maneras distintas encontraron para localizar 53

en la Recta A?

e) ¿Cuántas maneras distintas hay para localizar 53

en la Recta B?

Entre dos números racionales siempre hay otro número. A esta propiedad se le conoce como densidad de los racionales. .

Resolvemos juntos:

14) En las rondas eliminatorias para el Campeonato Mundial de 2005, un competidor tuvo mejores marcas que Hölm, pero no superó la marca de Austin. Los alumnos de otra escuela dijeron que no se puede resolver el problema anterior. Para ello convirtieron los resultados de Austin y de Hölm a quinceavos:

Charles Austin: 225

m = 26

15

Stefen Hölm: 213

m = 2515

Y dijeron que entre 2615

y 2515

no hay ningún número ¿están de acuerdo con su afirmación ?

Hallen las siguientes equivalencias y respondan:

2615

= 2 30

2515

= 2 30

a- ¿ En cuántas partes hay que dividir quinceavos para obtener treintavos?

b. Exactamente a la mitad de 2615

y 2515

hay otro número. ¿ Cuál es ?

c. ¿ Cuántos números hay entre 26

15 y 2

515

si el denominador es 45?

d. Si quisiera encontrar más de tres números entre 2615

y 2515

que debería hacer?

e. Encuentren tres posibles saltos más altos que los de Stefen Hölm, pero más bajos que los de Charles Austin.

El orden en los números racionales:Para comparar dos fracciones se buscan sus equivalentes conel mismo denominador y luego se comparan los numeradores:

a) 23

<34

porque 8

12<

912

por ser 8 < 9

otra forma es realizar el producto cruzado 2 . 4 y 3 . 3 como 8 < 9 entonces 23

<34

15) Colocar > o < según corresponda:

i)12

13

ii)67

89

iii).25

512

16) Ordenar en forma decreciente los siguientes números:

56

; −724

; 34

y −23

Extraído del “ Hombre que Calculaba”En el cual vamos a la calle de los mercaderes. Beremís y el turbante azul. El caso delos cuatro cuatros. El problema del mercader sirio. Beremís explica todo y esgenerosamente recompensado. Historia de la “prueba real” del rey de Yemen.

Los cuatro cuatros

Al ver a Beremís interesado en adquirir el turbante azul, objeté:

- Juzgo una locura el comprar ese lujo. Tenemos poco dinero y no hemos pagado aúnel hospedaje. - No es el turbante lo que me interesa –retrucó Beremís-; observo que la tienda de este mercader se llama “Los cuatro cuatros”. Hay en ello una gran coincidencia, digna de mi atención. - ¿Coincidencia? ¿Por qué? - En este momento, “bagdalí” –replicó Beremís- la leyenda que figura en ese letrero me recuerda una de las maravillas del cálculo. Podemos formar un número cualquiera, empleando solamente cuatro cuatros, ligadospor signos matemáticos. Y antes de que le interrogase sobre aquel enigma, Beremís explicó, dibujando en la fina arena que cubría elpiso: - Quiero formar el número cero. Nada hay más simple. Basta escribir:

44 - 44 = 0

Intenta escribir desde el 1 al 10 siguiendo las misas reglas que utilizó Beremís.

Operaciones con fracciones

Adición y Sustracción fracciones

Si las fracciones tienen el mismo denominador se suman o restan los numeradores y se coloca el mismo denominador. Ejemplo:

13

+ 43

= 1+4

3 =

53

Si las fracciones tienen distinto denominador, se busca el MCM (mínimo común múltiplo ) y se reducen las fracciones a común denominador, se suman o restan los numeradores y se coloca el denominador común. Para encontrar el MCM se pueden multiplicar todos los den denominadores entre si. Ejemplo:

13

+ 45

+ 12

= 1.1030

+ 4.630

+ 1.1530

= 4930

m.c.m (3, 5, 2) = 30

17) Realiza las siguientes operaciones algebraicas:

a) −72

+94

−58

= b) −5−(94

+3

16)= c) −

25

−(−34

)−1=

d) −94. (−

311

) .113

= e) 56

: (−103

) . (−17)=

18) Completa los espacios libres:

a) 37

−❑=−1

21 b)

37

+38

+❑=39

c) (−5) .❑=103

=

d) 37.

38.❑=

39

= e) 14

:15

: ❑=16

19) Coloca los paréntesis para que se cumpla la igualdad:

a) 9−14.

43

+16

=536

b) 9−14.

43

+16

=172

c) 9−14.

43

+16

=716

Resolvemos situaciones problemáticas que involucren sumas de fracciones:

20) En la escuela Técnica N° 3 les encargaron 100 pares de zapatos para la obra de Fin de año delTeatro Municipal. Les recomendaron que sigan estrictamente el modelo presentado. Pero se encontraron con un problema todas las plantillas tenían un espesor de 1 cm y en la escuela solo contaban con planchas de goma eva de medio cm y un tercio de cm. ¿ Si empalman las dos piezas será suficiente ?¿ Cuánto faltaría o sobraría ?Ayúdate con el siguiente gráfico

¿Qué alternativa le propondrían al profesor de teatro y cuál sería el argumento?

21) Pablo, Ignacio, Santiago y Julián se ganaron un set de viedeojuegos que sorteaban en el Club del barrio. Pablo se quedará con la cuarta parte, Ignacio con la mitad, Santiago con la sexta parte y Julián con el resto. ¿Cuál es el menor número de discos que debe tener el set para que cada uno se lleve lo que desea? ¿Quién de los cuatro resulta perjudicado?

22) Marta bebió los 35

de una lata de gaseosa y su hijo Pablo, los 27

.¿Se bebieron todo el

jugo ? En caso de no haberlo hecho ¿ qué parte queda?

23) Para hacer en la casa:

i. Si un automóvil consume 1225

de su tanque de combustible en un viaje, ¿le queda más o menos de medio

tanque de combustible?

ii. En una carrera14

de su recorrido se realiza corriendo 25

en bicicleta y 7

20 caballo.¿Con que medio se

realiza la mayor parte del recorrido?

Multiplicación y división de fracciones

Multiplicación

El producto de dos o más números racionales es otro número racional cuyo numerador seobtiene multiplicando los numeradores y denominadores entre si.

ab.cd

= a. cb .d

Ejemplo:

a. 34.(−

57) = −

3 .54 . 7

5 3

b. −2514.(−

215

) = −3 .52 .1

2 1

Recuerda:Siempre que puedas transforma las fracciones en irreduciblesSiempre que puedas simplifica antes de multiplicar

24) Resolver las siguientes multiplicaciones:

i. −2817.

3442

= ii. 3313.

13.

1511.

15

= iii. 3313.

13.

1511.

15

= iv. 80099.

9280

.22130

.26 =

Regla de signos + . + = + - . - = + + . - = - - . + = -

La multiplicación de números racionales cumple las mismas propiedades que la multiplicación de números enteros y además tiene inverso. Observa que :

79

. 97

= 1

Decimos que 79

y 97

son inversos para la multiplicación pues su producto es el elemento neutro

de la multiplicación.

División

El cociente entre dos números racionales se halla multiplicando el dividendo por el inverso del divisor.

1 1

a. 58

: 154

= −58.(−

415

) = −1 .12 .3

= 16

2 3

8

b. −165

: 2 = −165.(−

12) = −

8 .15 .1

= −85

1

Usemos lo que sabemos para realizar las: Operaciones combinadas

26)

a. 103

. [45−(

23+

76)] = b.

34

- 2(5−143

) + 15

.(−74) = c.

104

−32

:[65−

85

.(4−92)] =

d.

13−

15

29+

56

= e.

25+

32

192

.4 - (−

58) .

415

= f. 5

32+

23

+ 1−

54

72

.3

14

=

Situaciones problemáticas que involucran multiplicación y división de números fraccionarios en contextos distintos

27) Ayudamos con las cuentas del supermercado:

Producto Cantidad(Kg)

Precio (por Kg)

Total a pagar

cebollas 3 $ 6 $ 18

tomate 212

$ 9

carne 14

$ 64

frutillas 34

$ 24

Completa la tabla anterior. Y luego responde las siguientes preguntas:

Escribí el cálculo que hiciste para saber el total a pagar de los tomates.

Si en lugar de comprar 14

de carne hubiera comprado 34

. Cuánto sería el total a pagar y cómo lo

obtuviste?

28) Don José tiene un lote forma cuadrada:

a) Si aró 34

partes de su lote y sembró 45

partes de la parte arada. ¿ Qué

parte del lote sembró? b) En la parte del lote que está sin arar construyó un corral que ocupa la tercera parte de éste. Qué parte del loteocupa el corral?

c) Si el lote mide de largo23

de km. ¿ El lote mide más o menos de un kilómetro

cuadrado? ¿ Cuál es el área en kilómetros cuadrados del lote de don José?

29) Patricia quiere comprar una bicicleta. En un comercio la venden con las siguientes condiciones:Se paga la mitad del precio cuando se entrega la bicicletaAl cabo de tres meses se pagará un tercio de la mitad que quedaFinalmente a los seis meses se abonará el resto, un monto de $ 400.

Calculen el precio de la bicicleta.Ayudita: Puedes usar la recta numérica para resolver el problema:

12

del precioEl resto

Un tercio de la mitad de precio

13.12

30) Los planetas y los satélites atraen a los objetos con distinta intensidad. Por ejemplo, la fuerza de gravedad en la Tierra es 6 veces mayor que la de la Luna. Esto significa que en la Luna una persona saltaría 6 veces más alto de lo que salta en la Tierra. Si en la Tierra un competidor de salto de altura salta 2 m, ¿cuánto saltaría en la Luna? En Neptuno la fuerza de gravedad es más grande que en la Tierra. Si se pudiera realizar el salto de

altura en Neptuno, la altura que se alcanzaría sería 56

y de la que se alcanzaría en la Tierra.

Completen la siguiente tabla para encontrar las medidas de diferentes saltos.

Medida del salto en la Tierra ( m )

Medida del salto en la Luna ( m )

Medida del salto en la Neptuno ( m )

12

3

32

45

Realiza todos los cálculos auxiliares. a) ¿En dónde alcanzan mayor altura los saltos, en la Tierra o en Neptuno?b) ¿ Qué puedes decir de la medida de los saltos en la Luna y en la Tierra?

Hay tela de donde cortar

En un taller de costura se realizan cálculos con el fin de conocer cuánta tela es necesaria para confeccionar una o varias prendas. Si tienen un rollo de tela de 18 m de largo y quieren cortar retazos de 3 m de largo, ¿cuántos retazos pueden obtener?

31) En otro taller de costura tienen un rollo de tela de 3 m, y

necesitan cortar retazos de 34

m cada uno.

a) ¿Cuántos retazos se pueden obtener?

b) ¿Si el rollo tiene 312

m? ¿ Cuántos retazos se pueden obtener?

32) En una planta de refrescos y jugos se tienen distintas presentaciones de un mismo producto. Un tanque de jugo de manzana tiene 270 l, con los que se llenarán 108 botellas, sin que sobre jugo. ¿De qué capacidad deben ser las botellas? ¿Qué operación realizaron para encontrar la respuesta?

33) Se va a repartir 514

l de jugo de lima–limón entre 14 botellas. Se

quiere que en cada botella haya la misma cantidad de líquido y que no sobre.¿Qué cantidad de líquido quedará en cada botella? Algunos alumnos de 2do B plantearon las siguientes operaciones para resolver elproblema

a) ¿Con cuáles de éstas operaciones se puede resolver el problema? b) Efectúen los cálculos y comparen sus resultados.

Para resolver en casa:

34) En un edificio de departamento se sabe que la mitad de las ventanas tienen cortinas, la cuarta parte tienen maceteros y la sexta partes ambas cosas. Si hay 375 ventanas que no

tienen ni maceteros, ni cortinas¿ cuántas ventanas sólo tienen cortinas? ¿ Cuántas tienen sólo maceteros? ¿ cuántas ventanas tiene el edificio ?

35) Martín es un amante del deporte. El último verano compitió en el triatlón que se llevó a cabo en

la ciudad en la que veraneaba. Comenzaba con una caminata terrestre que cubría los 310

del total.

Los 59

del trayecto se cubrían en bicicleta. Luego los competidores nadaban 3 km y finalizaba con

una maratón de 115

finales. ¿ Cuántos kilómetros en total cubrían los deportistas?

36) Tres amigos ahorraron $2025. Franco ahorró el 30% de lo que ahorró Melina y ella ahorró el 20% de lo ahorrado por Tomás. ¿ Qué parte ahorró cada uno?

37) Intercalen paréntesis para que el resultado de la cuenta sea el esperado:

12

+ 25

. 103

+ 43

- 13

= 6730

32

. 32

- 43

: 49

= 316

38)

a. 25

- [13

- 46

+ ( - 53

+ 6)] = Rta. : - 185

b. 23

+ {−23

+ 16

- [43

- ( - 59

+ 2) - 13] -

59} = Rta. :

76

c. −2+11

10 - {−

13−

46+(−

53+6)} = Rta. :−

1273

39)

a. 412

- 525

. (−1513

) : 245

- 34

=

b. −7 : (−143

) + 173

: 272

. (−9

34) =

c. (12

+ 34) . (−

15

+ 2) - 35

:25

=