ESTRUCTURAS AERONAUTICASCAPTULO 1 ELASTICIDAD BSICA - TENSIONES 1 CAPTULO 1 ELASTICIDAD BSICA - TENSIONES 1.1- Tensin: Definicin, notacin, y convencin de signos Considere una forma arbitraria como el cuerpo tridimensional mostrado en la Figura 1.1. El cuerpo se encuentra en equilibrio bajo la accin de las fuerzas externas aplicadas P1, P2 ... y se asume que comprende un material continuo y deformable, por lo que las fuerzas son transmitidas a travs de su volumen. Por lo tanto, en cada punto interno O hay una resultante de fuerza P. La partcula de material en el punto O sometida a la fuerza P se encuentra en equilibrio por lo que debe existir unafuerzaigualyopuestaP(mostradaentrazos)actuandoenlapartculaenelmismo momento. Figura 1.1 Sisedivideelcuerpoporunplanon-nquecontieneelpuntoO,entonceslasdosfuerzasP pueden ser consideradas como uniformemente distribuidas sobre una pequea rea A en cada lado del cuerpo dividido por el plano en el correspondiente punto O, como se muestra en la Figura 1.2. La tensin en el punto O, se define entonces por la siguiente ecuacin: APlim Tensin0 A =(1.1) Figura 1.2 CAPTULO 1 ELASTICIDAD BSICA - TENSIONES ESTRUCTURAS AERONAUTICAS 2 LasdireccionesdelafuerzasPenlaFigura1.2seencuentranaplicadasdeformatalque producentensionesdetraccinenlascarasdelplanon-n.Debenotarsequemientrasquela direccin de la resultante P es absoluta, la eleccin del plano es arbitraria, por lo tanto aunque la direccin de la tensin en O se encuentra siempre en la direccin de P, su magnitud depende de la direccin del plano elegido, ya que un plano diferente tendr una inclinacin diferente, y por lo tanto un valor diferente de A. Esto puede entenderse mejor en el ejemplo de una barra solicitada a una carga de traccin axial, como se muestra en la Figura 1.3. En la seccin transversal m-m, la tensin uniforme est dada por P/A, mientras que en un plano inclinado m-m la tensin tiene una magnitud P/A, aunque en ambos casos las tensiones son paralelas a la direccin de P. Figura 1.3 Generalmente la direccin deP no es normal al reaA, por lo que, en tal caso, se divide al vector P en dos componentes: una normal al plano, Pn, y otra actuando en el plano mismo, Ps, como se muestra en la Figura 1.2. Las tensiones asociadas con estas componente son la tensin normal, definida por: APlimn0 A = (1.2) y la tensin de corte, definida por: APlims0 A = (1.3) La tensin resultante se calcula mediante la regla normal de adicin de vectores, es decir: 2 2te tan sul Re Tensin + = Noobstante,paraserestrictamenteprecisos,latensinnoesunacantidadvectorialyaque, adems de la magnitud y direccin, se debe especificar el plano en el cual la misma acta. La tensin es por lo tanto un tensor, pues, su completa descripcin depende de los dos vectores de fuerza (normal y tangente al plano) y la superficie de accin. ESTRUCTURAS AERONAUTICASCAPTULO 1 ELASTICIDAD BSICA - TENSIONES 3 En relacin a la notacin, usualmente es conveniente referir el estado de tensiones en un punto del cuerpo a un sistema de ejes ortogonales Oxyz. En ste caso, el punto O es cortado mediante planos paralelos a la direccin de dichos ejes. De esta forma, la fuerza resultante P que acta en el punto O puede ser dividida en tres componentes, una componente normal a un plano elegido, que acta como tensin de traccin o compresin, y las otras dos componentes actuando en el mismo plano, siendo las mismas tensiones de corte, como se muestra en la Figura 1.4. Como se vio anteriormente, la tensin normal es identificada con la letra griega , y el subndice x, y o z, segn el plano normal en el cual est actuando. Y las tensiones de corte se denotan con la letra griega , y posee dos subndices, el primero especifica el plano en el cual acta, y el segundo la direccinenqueestactuando.Entonces,enlaFigura1.4,lascomponentesde corte zxyzy estnactuandoenelplanozyenlasdireccionesxeyrespectivamente,mientrasquela componente normal es z. Figura 1.4 SepuedeahoradescribircompletamenteelestadodetensionesenunpuntoOdeuncuerpo especificando las componentes normales y de corte en cada cara de un elemento de lados x, y, z, como se muestra en la Figura 1.5. Los lados del elemento son infinitamente pequeos, por lo que se asume que las tensiones se encuentran uniformemente distribuidas sobre la superficie de cadacara.Esdecir,encadaunadelascarasopuestasexistirn,comoprimeraproximacin, tensiones iguales pero opuestas. CAPTULO 1 ELASTICIDAD BSICA - TENSIONES ESTRUCTURAS AERONAUTICAS 4 Figura 1.5 Como puede apreciarse, el estado de tensiones en las caras del paraleleppedo que pasan por el puntoOestdefinidoporuntotaldenuevecomponentesdetensiones.Lasmismaspueden expresarse en forma matricial en lo que se conoce como tensor de tensiones: =z zy zxyz y yxxz xy xij (1.4) Finalmente,enrelacinalaconvencindesignos,enlaFigura1.5lasdireccionesdelas tensiones actuando sobre el punto O se adoptan como positivas. Es decir, las tensiones normales hacia fuera del elemento son tensiones de traccin, y se consideran positivas, mientras que si las mismas actuasen en sentido opuesto, seran de compresin y negativas. Las tensiones de corte son positivas cuando actan en la direccin positiva del eje relevante en un plano cuya normal se encuentraenladireccinpositiva deleje.Porejemplo,enelplanoxpositivo,lastensionesde corte xy y xz son positivas porque actan en direccin positiva de y y z respectivamente. En un cuerpo, pueden actuar dos tipos de fuerzas externas que generen un estado de tensiones como el visto anteriormente: Fuerzasenlasuperficie, y fuerzasenelcuerpo. Las fuerzas en la superficie son las fuerzas ajenas aplicadas arbitrariamente al cuerpo y que se distribuyen sobre la superficie del mismo, como la presin hidrosttica, o las fuerzas P1, P2, ..., como se muestran en alFigura1.1.Lasfuerzasenlasuperficieporunidaddereapuedendescomponerseenel sistema de ejes x-y-z, y las mismas generalmente se denotan como fx, fy, y fz. Las fuerzas en el cuerpo,porotrolado,sonaquellasprovenientesdeefectosgravitacionalesodeinercia.Las mismas se distribuyen sobre todo el volumen del cuerpo, y las componentes de las fuerzas en el cuerpo por unidad de volumen se denotan como Fx, Fy, y Fz. ESTRUCTURAS AERONAUTICASCAPTULO 1 ELASTICIDAD BSICA - TENSIONES 5 1.2- Ecuaciones de equilibrio El cuerpo de la Figura 1.1 y cada porcin del mismo debe estar en equilibrio bajo la accin de las fuerzasenlasuperficieyfuerzasenelcuerpoaplicadas.Enestaseccinseconsiderarnlas relaciones que deben satisfacer estas fuerzas en un punto dentro del cuerpo y sobre su superficie para que exista equilibrio. Generalmente,exceptoenelcasodetensionesuniformes,lastensionesnormalydecorteen caras opuesta de un elemento no son iguales, a diferencia de lo que se indic en la Figura 1.5, pero difieren en valores pequeos. Entonces, por ejemplo, si la tensin normal que acta en el planozesz,latensinnormalactuandoenelplanoz+zes( ) z zz z + ,segnlosdos primerostrminosdelaseriedeTaylor.Aplicandoelmismoanlisisparatodaslascarasdel elemento, se obtiene el estado de tensiones representado en la Figura 1.6. Figura 1.6 EnlaFigura1.6,elelementoestenequilibriointernobajolasfuerzascorrespondientesalas tensiones mostradas y las componentes de las fuerzas en el cuerpo (no mostradas). Las fuerzas enlasuperficieactuandoenlafronteradelcuerpo,aunquecontribuyenalageneracindel sistema de tensiones internas, no aparecen directamente en las ecuaciones de equilibrio interno. Elequilibrioenlafronteradelelementotambindebesatisfacerse,perosteseanalizar posteriormente. Como el cuerpo est en equilibrio, la suma de fuerzas y momentos que actan sobre el mismo es igual a cero. Tomando momento alrededor de un eje que pasa por el centro del elemento y es paralelo a z, se obtiene: 02yz x yy 2yz x2xz y xx 2xz yyxyx yxxyxy xy=+ + + CAPTULO 1 ELASTICIDAD BSICA - TENSIONES ESTRUCTURAS AERONAUTICAS 6 Lo cual puede simplificarse a: ( ) ( )02yz xyy z x2xz yxx z y2yxyx2xyxy= + Dividiendo por xyz y tomando el lmite de x y y cuando se aproximan a cero, se obtiene: yx xy =(1.5a) De la misma manera, tomando momento alrededor de ejes que pasa por el centro del elemento, pero que son paralelos a x e y, se obtiene respectivamente: zy yz =(1.5b) xz zx =(1.5c) Entonces,pudenotarsequedebidoalasrelaciones(1.5),sloexistenseiscomponentesde tensiones independientes en el punto O, a diferencia de las nueve indicadas en la ecuacin (1.4). Ahora, si se considera el equilibrio de fuerzas en la direccin de x, se obtiene: 0 z y x F y x y x zzz x z x yyz y z y xxx zxzxzxyxyxyx xxx= + + ++ + + Simplificando esta ecuacin, y utilizando las ecuaciones (1.5), se obtiene: 0 Fz y xxxzxyx= +++ (1.6a) De forma similar, sumando las fuerzas paralelas a los ejes y y z, se obtiene: 0 Fz y xyyz y yx= +++ (1.6b) 0 Fz y xzzzyzx= +++ (1.6c) Las ecuaciones (1.5) y (1.6) son las ecuaciones de equilibrio interno, que debe ser satisfechas en todos los puntos interiores de un cuerpo deformable bajo un sistema de fuerzas tridimensional. Como se anunci anteriormente, el equilibrio tambin debe satisfacerse en todos los puntos de la fronteradelelementodondelascomponentesdelasfuerzasdesuperficiesonfx,fy,yfz.Sise considera un elemento diferencial en la superficie del cuerpo, como se muestra en la Figura 1.7, lasfuerzasinternasdebenestarenequilibrioconlasfuerzasaplicadasenlasuperficieylas fuerzas en el cuerpo. ESTRUCTURAS AERONAUTICASCAPTULO 1 ELASTICIDAD BSICA - TENSIONES 7 Figura 1.7 Si se designa al rea del elemento diferencial en la superficie como A, el rea de las otras caras del tetraedro Ax, Ay, y Az,perpendiculares a los ejes x, y, y z, respectivamente, son: l . A Ax = m . A Ay = n . A Az = (1.7) donde l, m, y n son los cosenos directores de los ngulos que el vector normal al plano A forma con los ejes x, y, y z, respectivamente. Sumando fuerzas en la direccin de x, se obtiene: 0 x A F21A A A A fx x z zx y yx x x x= + Utilizando las ecuaciones (1.5) y (1.7), y tomando el lmite cuando x se aproxima a cero, resulta: n . m . l . fxz xy x x + + =(1.8a) De manera similar, sumando las fuerzas paralelas a los ejes y y z, se tiene: n . m . l . fyz y yx y + + =(1.8b) n . m . l . fz zy zx z + + =(1.8c) Lasecuaciones(1.8)sonlasecuacionesdeequilibrioenlafrontera,lascualesdebenser satisfechas sobre toda la superficie del cuerpo, bajo el sistema de fuerzas fx, fy, y fz. En resumen, las ecuaciones (1.5), (1.6), y (1.8) son las condiciones de equilibrio para el estado de tensiones tridimensionales ms general que puede existir en un cuerpo. CAPTULO 1 ELASTICIDAD BSICA - TENSIONES ESTRUCTURAS AERONAUTICAS 8 1.3- Ecuaciones de transformacin para un estado de tensiones En esta seccin se demostrar que el estado de tensiones en un punto puede ser completamente definido por seis componentes de tensin, tres de tensin normal y tres de tensin de corte, para cualquier direccin que posean los planos mutuamente perpendiculares donde las mismas acten, oloqueeslomismo,paraunsistemadereferenciax-y-zrotadorespectoalsistemade referencia ya utilizado x-y-z. Nuevamente se toman tres planos que pasan a travs de O y que son perpendiculares a los ejes x, y, y z. Ahora se toma como elemento del cuerpo un tetraedro formado por los tres planos que pasan a travs de O y por un cuarto plano con direccin arbitraria, como se muestra en la Figura 1.8. Figura 1.8 Se considera un segundo sistema de ejes ortogonales x-y-z que posee el mismo origen que el sistema x-y-z pero con el eje x perpendicular al plano con direccin arbitraria del tetraedro. La direccin del eje x est especificada por los cosenos directores l1, m1, n1 de los ngulos que ste eje forma con los ejes x, y, y z respectivamente. Los ejes y y z se encuentran sobre el plano normal al eje x, y poseen direccin especificada por los cosenos directores l2, m2, n2, y l3, m3, n3 de los ngulos que estos ejes forman con los ejes x, y, y z respectivamente. Se asume que las tensiones actuando en los planos perpendiculares a los ejes x, y, y z son conocidas, y lo que se desea obtener es la tensin normal en la direccin arbitrariax. Sabiendo que las reas de los lados del tetraedro que son normales a los ejes x, y, y z son Ax, Ay, y Az, respectivamente, y que el rea del lado perpendicular al eje x es A, y luego sumando las fuerzas paralelas al eje x, se obtiene: ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) x A n F m F l F21n A m A l An A m A l An A m A l A Ax 1 z 1 y 1 x1 z z 1 z zy 1 z zx1 y yz 1 y y 1 y yx1 x xz 1 x xy 1 x x x + + + + ++ + ++ + = ESTRUCTURAS AERONAUTICASCAPTULO 1 ELASTICIDAD BSICA - TENSIONES 9 Usando la ecuacin (1.7), pero con el subndice 1 agregado a los cosenos directores, y tomando el lmite cuando x se aproxima a cero, resulta: 1 1 zx 1 1 yz 1 1 xy21 z21 y21 x xl n 2 n m 2 m l 2 n m l + + + + + = (1.9a) Por lo tanto, se determin que la tensin normal en la direccin arbitraria x puede ser expresada en trminos de las componentes de tensin relativas al sistema de referencia x-y-z. Ahoraseconsideralatensindecortexyenelplanonormalalejexyparalelaalejey. Recordando que los cosenos directores del eje y respecto al sistema de referencia x-y-z son l2, m2, y n2, y realizando la sumatoria de fuerzas paralelas a dicho eje se tiene: ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) x A n F m F l F21n A m A l An A m A l An A m A l A dAx 2 z 2 y 2 x2 z z 2 z zy 2 z zx2 y yz 2 y y 2 y yx2 x xz 2 x xy 2 x x y x + + + + ++ + ++ + = Procediendo como en el anlisis anterior, se obtiene: ( ) ( ) ( )2 1 2 1 zx 2 1 2 1 yz 2 1 2 1 xy 2 1 z 2 1 y 2 1 x y xn l l n m n n m l m m l n n m m l l + + + + + + + + = (1.9b) De forma similar, para la tensin de corte en direccin z, se obtiene: ( ) ( ) ( )3 1 3 1 zx 3 1 3 1 yz 3 1 3 1 xy 3 1 z 3 1 y 3 1 x z xn l l n m n n m l m m l n n m m l l + + + + + + + + = (1.9c) Siendol3,m3,n3 loscosenosdirectoresdelosngulosqueelejezformaconlosejesx, y,z respectivamente. Yaquelaorientacin delsistemadeejesx-y-zseeligienforma arbitraria,seprobqueel estado de tensiones en un punto puede ser determinado completamente si son conocidas las seis componentes de tensiones referidas al sistema de ejes x-y-z. 1.4- Estado plano de tensiones Gran parte de los componentes estructurales en aviones estn construidos a partir de chapas de metal delgadas, y las tensiones en la direccin del espesor de las mismas puede ser despreciadas en comparacin a las tensiones en las otras dos direcciones. Si se asume, por ejemplo, que la direccin z es la direccin del espesor, las tensiones z, zx, y zy son despreciables comparadas conlasdemstensiones,yelelementoquedasometidoaunestadodetensionescomoel mostrado en la Figura 1.9. CAPTULO 1 ELASTICIDAD BSICA - TENSIONES ESTRUCTURAS AERONAUTICAS 10 Figura 1.9 De esta forma, las ecuaciones de equilibrio interno (1.5) y (1.6) se reducen a: yx xy = (1.10) 0 Fy xxxyx= ++(1.11a) 0 Fy xyy yx= ++ (1.11b) Mientras que las ecuaciones de equilibrio en la frontera o superficie (1.8) se transforman a: m . l . fxy x x + =(1.12a) m . l . fy yx y + =(1.12b) Esta condicin se conoce como estado plano de tensiones. Paraunestadoplanodetensiones,lasecuacionesdetransformacinsereducen considerablemente. Sien el elemento de la Figura 1.8 las componentes de tensiones en z son despreciadas, resulta un elemento como el mostrado en la Figura 1.10. Figura 1.10 ESTRUCTURAS AERONAUTICASCAPTULO 1 ELASTICIDAD BSICA - TENSIONES 11 En tal caso, los cosenos directores de los ejes x e y son, respectivamente: cos m sen lsen m cos l2 21 1= == = (1.13) Simplificando las componentes en z y haciendo uso de las ecuaciones (1.13), la ecuacin (1.9a) se transforma a: cos sen 2 sen cosxy2y2x x+ + =(1.14a) Y la ecuacin (1.9b) se vuelve: ( ) ( ) 2 2xy y x y xsen cos cos sen + =(1.14b) Usando las identidades trigonomtricas: 22 cos 1sen2= 22 cos 1cos2+= 2 sen cos sen 2 = Las ecuaciones (1.14) pueden rescribirse como: 2 sen 2 cos2 2xyy x y x x+++= (1.15a) ( ) 2 cos 2 sen2xyy x y x+ =(1.15b) Deestaforma,conocidoelestadoplanodetensionesrespectoaunsistemadeejesx-y,es posible conocer el estado plano de tensiones para un sistema de ejes x-y rotado un ngulo arbitrario, mediante las ecuaciones (1.15). 1.5- Tensiones principales y mxima tensin de corte En la Seccin 1.3 se mostr que las tensiones normales y de corte en un punto depende de la orientacin del plano sobre el cual actan dichas tensiones. Es natural preguntarse cules seran las orientaciones del plano de forma que las tensiones tomen sus mximos valores, y qu valores son stos. Para simplificar la discusin, se restringe el anlisis para el caso de un estado plano de tensiones como el mostrado en la Figura 1.10. Como se dijo, para valores dados de x, y, y xy, el valor de x vara con el ngulo , y tendr el mximo o mnimo valor cuando0 = d d x. Entonces, derivando la ecuacin (1.15a) respecto de , e igualando a cero se obtiene: CAPTULO 1 ELASTICIDAD BSICA - TENSIONES ESTRUCTURAS AERONAUTICAS 12 ( ) 0 2 cos 2 2 senddxy y x x= + = O lo que es lo mismo: ( )y xxy22 tan = (1.16) La ecuacin (1.16) posee dos soluciones, y +/2, por lo que existen dos planos mutuamente perpendiculares,actuandoenunodeelloslatensinnormalmxima,yenelotrolatensin normal mnima. Las tensiones normales en stos planos son llamadas tensiones principales, y los planos en si, planos principales. Es importante destacar que, comparando las ecuaciones (1.15b) y (1.16), en los planos donde se presentan las mximas tensiones normales, la tensin de corte es nula. A partir de la ecuacin (1.16) se puede inducir a la creacin del tringulo mostrado en la Figura 1.11. Figura 1.11 Por lo tanto: 2xy2y xxy22 sen + =y 2xy2y xy x222 cos + = Sustituyendo las relaciones anteriores en la ecuacin (1.15a), se obtiene: 2xy2y x y xII , I2 2 + +=(1.17) Donde I es la tensin principal mxima, y II la tensin principal mnima. Debe notarse que I es latensinnormalalgebraicamentemayorenelpunto,mientrasqueII eslaalgebraicamente menor. Por lo tanto, en caso que II sea negativa (compresin), puede pasar que numricamente II sea mayor a I, lo cual no quiere decir que algebraicamente sea mayor. ESTRUCTURAS AERONAUTICASCAPTULO 1 ELASTICIDAD BSICA - TENSIONES 13 La mxima tensin de corte en el punto puede ser determinada de manera idntica, pero esta vez derivando la ecuacin (1.15b) e igualndola a cero: ( ) 0 2 sen 2 2 cosddxy y x y x= = O bien: ( )xyy x22 tan =(1.18) Nuevamente se presentan dos soluciones, y +/2, por lo que existen dos planos mutuamente perpendiculares en los cuales acta la mxima tensin de corte. A su vez, la expresin (1.18) es el recproco negativo de la ecuacin (1.16), por lo que los ngulos 2 entre estas dos ecuaciones difieren90,oloqueeslomismo,elnguloentrelosplanosdemximatensinnormalylos planos de mxima tensin de corte es igual a 45. A partir de la ecuacin (1.18) puede crearse el tringulo mostrado en la Figura 1.12. Figura 1.12 Por lo tanto: 2xy2y xy x222 sen + = y 2xy2y xxy22 cos + = Sustituyendo estos valores en la ecuacin (1.15b), se obtiene: 2xy2y xmin , mx2 + =(1.19) Donde mx es la mximatensindecorte. Es importante destacar que el signo de la tensin de corte slo indica la direccin de la misma, por lo tanto la mxima tensin de corte puede tomar el signo positivo o negativo dependiendo nicamente de la direccin que posea, entonces en uno de los planos ser positiva y actuar en una cierta direccin, y en el otro ser negativa y actuara en direccin opuesta, convergiendo ambas tensiones al mismo vrtice. Comparando las ecuaciones (1.17) y (1.19) puede verse que: CAPTULO 1 ELASTICIDAD BSICA - TENSIONES ESTRUCTURAS AERONAUTICAS 14 2II Imx = (1.20) Finalmente,mediantelasecuaciones(1.19)y(1.20)puededeterminarselatensindecorte mxima en un punto de un cuerpo bajo un estado plano de tensiones. 1.6- Crculo de tensiones de Mohr El estado de tensiones en un punto de un cuerpo deformable puede determinarse grficamente mediante el crculodetensionesdeMohr, que es una representacin grfica de las ecuaciones (1.15). En la Seccin 1.4 se determin que para un estado plano de tensiones, la tensin normal y de corte en un plano inclinado un ngulo , estn dadas por las expresiones: 2 sen 2 cos2 2xyy x y x x+++= (1.15a) ( ) 2 cos 2 sen2xyy x y x+ =(1.15b) La ecuacin (1.15a) puede ser rescrita de la forma: 2 sen 2 cos2 2xyy x y x x+=+ Elevandoestaecuacinalcuadrado,ysumndolaalaecuacin(1.15b),tambinelevadaal cuadrado, se obtiene: 2xy2y x 2 y x2y x x2 2 + = + + Querepresentalaecuacindeuncrculoderadio 2xy2y x2 + ,concentroenelpunto +0 ,2y x . El crculo se construye localizando los puntos Q1(x,xy) y Q2(y,-xy), referido al sistema de ejes -,comosemuestraenlaFigura1.13b.ElcentrodelcrculocaesobreelpuntoC,queesla interseccin entre la lnea Q1Q2 y el eje . Claramente C es el punto( ) ( ) 0 , 2y x + , y el radio del crculo es( ) ( )2xy2y x2 + . La lnea CQ est localizada a un ngulo 2 (positivo en sentido horario) respecto a la lnea CQ1. Q es entonces el punto (x,xy).ESTRUCTURAS AERONAUTICASCAPTULO 1 ELASTICIDAD BSICA - TENSIONES 15 Figura 1.13 De la Figura 1.13b puede verse que: CN OC ON + = Sabiendo que( ) 2 OCy x + = ,( ) 2 cos CQ CN = , y1CQ CQ = , se tiene: ( ) 2 sen sen 2 cos cos CQ21y x x+ ++= Pero: cosCPCQ11 = y 2CPy x1 = Entonces: 2 sen tan CP 2 cos2 21y x y x x+++= Adems: 1xyCPtan = Finalmente, la ecuacin para el clculo de la tensin normal en un plano inclinado un ngulo es: 2 sen 2 cos2 2xyy x y x x+++= Que es idntica a la ecuacin (1.15a), pero obtenida grficamente. Por otro lado, la tensin de corte xy en el punto Q est representada por la lnea NQ, entonces, de forma similar puede demostrarse que: CAPTULO 1 ELASTICIDAD BSICA - TENSIONES ESTRUCTURAS AERONAUTICAS 16 ( ) y x xyy x2 cos 2 sen2 NQ = + = Que es como la ecuacin (1.15b). Porotrolado,losvaloresmximoymnimodetensionesnormales,esdecir,lastensiones principales I y II, ocurren cuando N (y Q) coinciden con B y A respectivamente. Por lo tanto: ( )21 121y xIQ P CP2crculo del radio OC + ++= + = O lo que es lo mismo: 2xy2y x y xI2 2 + ++= De la misma manera, para la tensin principal mnima, se obtiene: 2xy2y x y xII2 2 + += Los planos principales sern, entonces, 2=, para I, y 2=+, para II. Tambin los valores mximo y mnimo de la tensin de corte ocurren cuando Q coincide con D y E en los extremos superior e inferior del crculo. En estos puntos NQ es igual al radio del crculo, el cual est dado por: ,min mx2xy2y x12CQ = + = Como se demostr en la seccin anterior. Los planos de mxima y mnima tensin de corte estn dados por 2=-/2, para mx, y 2=+/2, para min. Debeprestarseespecialatencin aquemientrasenelelementoanalizado,representadoenla Figura 1.13a, el ngulo es positivo cuando el giro del plano se produce en sentido antihorario, en el crculo de Mohr el giro 2 correspondiente debe realizarse en sentido horario, siempre tomando como origen la lnea CQ1. 1.7- Referencias [1]Theory and Analysis of Flight Structures. Robert M. Rivello. McGraw-Hill. 1969. [2] AircraftStructuresforEngineeringStudents.T.H.G.Megson.Butterworth-Heinemann. 1999. [3]AnalysisandDesignofFlightVehicleStructures.E.F.Bruhn.J acobsPublishing,Inc. 1973. [4]Analysis of Aircraft Structures: An Introduction. Bruce K. Donaldson. McGraw-Hill. 1993. ESTRUCTURAS AERONAUTICASCAPTULO 1 ELASTICIDAD BSICA - TENSIONES 17 1.8- Problemas del captulo Problema 1.1 ConsidreselapiezarectangulardechapamostradaenlaFiguraP.1.1,lacualposee dimensiones 2a2b2c, donde el tamao relativo de 2c se encuentra exagerado por cuestiones de claridadenlavisualizacin.Paraelsistemadecoordenadascartesianomostradoenlafigura, determinar los cosenos directores de las normales a las tres superficies visibles, es decir, x=-a, y=+b, y z=+c, con respecto a cada coordenada cartesiana. Figura P.1.1 Problema 1.2 Si la pieza de chapa del Problema 1.1 se encuentra en estado plano de tensiones, las fuerzas en el cuerpo son cero, 0 es un valor constante de tensin, y si: 0x = 02yaxyC =02xyax3 = a)DeterminarelvalordelaconstanteCenlaexpresinparay,deformaqueexistaun estado de equilibrio interno del sistema. b)Determinarelvalordelatraccinenlascarasx=a,paraqueexistaequilibrioenla frontera. c)Determinarelvalordelatraccinenlascarasy=b,paraqueexistaequilibrioenla frontera. d)Determinarelvalordelatraccinenlascarasz=c,paraqueexistaequilibrioenla frontera. Problema 1.3 SilaplacadefibradecarbonoquesemuestraenlaFiguraP.1.3estenestadoplanode tensiones, donde todas las fuerzas en el cuerpo son cero, y las expresiones analticas para las tensiones en la placa son: Byx 2 Axx = Cxy 2y = 2 2xyDy Cx Ay 1 + = CAPTULO 1 ELASTICIDAD BSICA - TENSIONES ESTRUCTURAS AERONAUTICAS 18 Figura P.1.3 a)Determinar cul debe ser la relacin entre las constantes A, B, C, y D para que el interior del cuerpo se encuentre en estado de equilibrio. b)Determinar todas las tracciones que deben existir en el borde x=0 para que esa porcin de frontera se encuentre en estado de equilibrio. Problema 1.4 Lateoraelementaldevigasdelaresistenciadematerialesdaparaunavigadeseccin rectangular como la mostrada en la Figura P.1.4 las siguientes tensiones: Iy . Mx = 0y = I . bV . Qxy = Donde: =22y2h2bV Figura P.1.4 Determinar si las expresiones para x , y , y xy satisfacen las ecuaciones de equilibrio, para: a)Una fuerza de corte P aplicada en x=0. b)Una presin uniforme p0 aplicada en la superficie superior. c)La viga bajo la accin de su propio peso. ESTRUCTURAS AERONAUTICASCAPTULO 1 ELASTICIDAD BSICA - TENSIONES 19 Problema 1.5 Una placa rectangular delgada est sometida a una tensin de traccin de 25 N/mm2 y de corte de 10 N/mm2 en los bordes x=a, y a una tensin de compresin de 15 N/mm2 y la tensin de corte complementariaenlosbordesy=b,comosemuestraenlaFiguraP.1.5.Determinary esquematizar: a)El estado de tensiones de un elemento de la placa orientado un ngulo =0. b)El estado de tensiones de un elemento de la placa orientado un ngulo =30. c)El estado de tensiones de un elemento de la placa orientado un ngulo =45. d)El estado de tensiones de un elemento de la placa orientado un ngulo =60. e)El estado de tensiones de un elemento de la placa orientado un ngulo =90. Figura P.1.5 Problema 1.6 Enunpuntodeunmaterialelsticohaydosplanosmutuamenteperpendiculares,unodelos cuales soporta una tensin axial de traccin de 50 N/mm2 y una tensin de corte de 40 N/mm2, mientras que el otro plano est sometido a una tensin axial de compresin de 35 N/mm2 y una tensin de corte complementaria de 40 N/mm2. Determinar las tensiones principales en el punto, la posicin de los planos en los cuales actan, y la posicin de los planos en los cuales no existe tensin normal. Problema 1.7 La superficie del ala de un avin est sometida a un estado plano de tensiones con las tensiones normalesxyyylatensindecortexycomosemuestraenlaFiguraP.1.7.Enunngulo antihorario de =30 desde el eje x, el esfuerzo normal es de 35 MPa a traccin, y a un ngulo =50 es de 10 MPa a compresin. Si la tensin x es de 100 MPa a traccin. Determinar: a)La tensin mxima y mnima en el elemento estructural y sus respectivas direcciones, y la tensin de corte mxima y su direccin.b)Esquematizar el punto a) en elementos infinitesimales correctamente orientados. CAPTULO 1 ELASTICIDAD BSICA - TENSIONES ESTRUCTURAS AERONAUTICAS 20 Figura P.1.7 Problema 1.8 En el listado que se presenta a continuacin hay varias combinaciones de tensiones actuando en unpuntoyreferidasalosejesxeyenunmaterialelstico.UsandoelcrculodeMohrde tensionesdeterminarlastensionesprincipalesenelpuntoylasdireccionesparacada combinacin. a)x =+54 N/mm2; y =+30 N/mm2; xy =+5 N/mm2 b)x =+30 N/mm2; y =+54 N/mm2; xy =-5 N/mm2 c)x =-60 N/mm2; y =-36 N/mm2; xy =+5 N/mm2 d)x =+30 N/mm2; y =-50 N/mm2; xy =+30 N/mm2 Problema 1.9 Elejedelrotordeunhelicpteroimpulsalasaspasdelrotorqueproporcionanlafuerzade sustentacin que sostiene al helicptero en el aire. En consecuencia, el eje est sometido a una combinacindetorsinycargaaxial,comosemuestraenlaFiguraP.1.9.Determinarlas tensiones mxima y mnima y la tensin de corte mxima en el eje si el mismo posee un dimetro de50mmytransmiteunpardetorsinT=2.4kN.myunafuerzadetraccinP=125kN. Esquematizarlosresultadosenelementosinfinitesimalesindicandolasdireccionesparacada caso. Figura P.1.9 ESTRUCTURAS AERONAUTICASCAPTULO 1 ELASTICIDAD BSICA - TENSIONES 21 Problema 1.10 UnabarraempotradaseencuentrasometidaaunpartorsorT=1250lb.pulgaplicadoenel extremo libre y una carga transversal P =620 lb aplicada en el mismo punto, segn se muestra en la Figura P.1.10. Sabiendo que el dimetro de la barra es d =2.4 pulg, y que los puntos A y B estn a una distancia b =8 pulg desde el extremo libre, determinar: a)LastensionesprincipalesytensindecortemximaenelpuntoA.Esquematizarlos resultados en elementos infinitesimales indicando las direcciones para cada caso. b)LastensionesprincipalesytensindecortemximaenelpuntoB.Esquematizarlos resultados en elementos infinitesimales indicando las direcciones para cada caso. Figura P.1.10 Problema 1.11 TresfuerzassonaplicadasalabarramostradaenlaFiguraP.1.11.Determinarlastensiones principalesylamximatensindecorte,yesquematizarlosresultadosenelementos infinitesimales indicando las direcciones, en: a)El elemento a.b)El elemento b.c)El elemento c. Figura P.1.11 CAPTULO 1 ELASTICIDAD BSICA - TENSIONES ESTRUCTURAS AERONAUTICAS 22 Problema 1.12 Unafuerzade1000lbesaplicadaenelpuntoAdelabarradeaceromostradaenlaFigura P.1.12. Sabiendo que el dimetro de la barra es D =1.8 pulg, determinar: a)LastensionesprincipalesytensindecortemximaenelpuntoH.Esquematizarlos resultados en elementos infinitesimales indicando las direcciones para cada caso. b)LastensionesprincipalesytensindecortemximaenelpuntoK.Esquematizarlos resultados en elementos infinitesimales indicando las direcciones para cada caso. Figura P.1.12