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43Elementos básicos de cálculo integral y series
Módulos 1 al 4
En los ejercicios 1 a 8 se dan las funciones f y F. Compruebe, usando derivación, que ( )F x es la primitiva más general
de ( )f x . ¿Qué fórmula de integración puede deducirse en cada caso?
1.
2
3( ) = ;
1
xf x
x
31( ) = ln (1 ) .
3F x x C
2. ( ) ln ;f x x ( ) ln .F x x x x C
3. 3( ) ln ;f x x x4 41 1
( ) ln .4 16
F x x x x C
4. ( ) arctan ;f x x 2( ) arctan ln 1 .F x x x x C
5. 2
1( ) ;
4xf x
e
21 1( ) ln ( 4) .
4 8
xF x x e C
6. 2( ) ;xf x x e 2( ) ( 2 2) .xF x e x x C
7. 2( ) sen 2 ;f x x1 1
( ) sen 4 .2 8
F x x x C
8. 3 ( ) ( 3) ;xf x x e31
( ) (3 10) .9
xF x x e C
En los ejercicios 9 a 13 encuentre la primitiva más general para la función dada.
9. 2( ) 3 4 5.f x x x
10. 2 3
1 3( ) .f t
t t
11. 3 2( ) 1 .g x x x x
12. 2 2
2( ) .
( 1)
xh x
x
13. 1 2( ) ( 1) .f x x
Capítulo 1: Integral indefinida
14. Calcule las siguientes integrales indefinidas:
a.5 .x dx b.
2( ) .x x dx
c. 2
1 42 .dx
x x xd.
3
2
( 1) .
xdx
x
e.2 1 .x x dx f.
2
3.
1
t dt
t
g. 5 3 1 .w w dw h.
1 3 4
3 2
( 2) .
rdr
r
i.3 23 8 .x x dx j. 2( 1) ( 2 8) .x x x dx
k.
2
3 2
( 2) .
6 12 4
xdx
x x xl.
sen .xdx
x
m.2 2cos (cos ) sen .x x x dx n.
2sen (11 10) .x x dx
o. sen (4 2) .x xe e dx p.3 3cos .x xe e dx
q.4 tan
2.
cos
x dxe
xr. 24 sen sen cos .x x x dx
s.
2
2
sen 4 .
4
x xdx
xt.
2 3 8 3 9( 5) cos [( 5) ] .x x x dx
u. 2 2cos ( 4) sen ( 4) .x x x dx v. 1 .t t t dt
w.
2cos (ln 4 ) .
xdx
xx.
2 3
3 2
cos ( 2) .
[sen ( 2)]
t tdt
t
15. Encuentre la solución general de las siguientes ecuaciones diferenciales.
a.33 2 5.
dyx x
dxb.
2(2 3) .dy
xdx
c. .dy
x ydx
d.23 .
dyxy
dx
En los ejercicios 16 a 19 halle la solución particular de las ecuaciones diferenciales dadas teniendo en cuenta las condiciones
iniciales.
16.2
1, si 3 cuando 0.dy
x x y xdx
Ejercicios de los módulos 1 al 4
17.4
, si 2 cuando 4.dy dx
y xy x
18.
22
24(1 ) , si 2 y 1 cuando 1.
d yx y y x
dx
19.
22
21 , si 1 y 1 cuando 1.
d yx y y x
dx
20. ¿Puede existir una curva que satisface las siguientes condiciones: cuando 0,x entonces 0 y 1dy
ydx
y
2
20
d y
dx para todo x?
21. Encuentre la ecuación de la curva que pasa por el punto (1, 1) y cuya pendiente en el punto (x, y) es 23 2.x
22. Encuentre la ecuación de la curva que pasa por los puntos (0, 3) y (1, 5) y satisface la ecuación diferencial
22
23 .
d yx x
dx
23. Una pelota se lanza verticalmente hacia arriba desde el suelo con una velocidad de 10 m/s. ¿Cuánto tiempo le tomará
llegar al suelo y con qué velocidad caerá? ¿Durante cuánto tiempo estará subiendo y qué tan alto llegará? (utilice
como gravedad 210 m / s ).g
24. Un hombre en un globo deja caer un zapato cuando se encuentra a 100 m de altura y está subiendo a razón de 10 m/s.
¿Cuánto tiempo tardará el zapato en llegar al suelo y con qué rapidez llegará? ¿Cuál es la distancia recorrida por el
zapato antes de caer?
25. Si los frenos de un carro pueden darle una aceleración negativa constante de 30 m/s, ¿cuál es la velocidad máxima
a la que puede ir si es necesario parar el carro dentro de 90 m después de aplicados los frenos?
En los ejercicios 26 a 29 halle la ecuación de una partícula que se mueve en línea recta y en donde , , y a v s t son la
aceleración, velocidad, espacio y tiempo, respectivamente.
26. 2 3 , 1 y 1 cuando 0.a t s v t
27. 100, 1 y 1 cuando 0.a s v t
28. 2 1 y 2 cuando 1.a s v s
29. 23 , 1 y 2 cuando 1.a t t v s t
Capítulo 1: Integral indefinida
109Elementos básicos de cálculo integral y series
Módulos 5 al 11
I. Integración por sustitución
1. En los ejercicios a-i escriba la integral a la que se transforma la integral dada después del cambio de variable
sugerido (f es una función continua dada).
a. ( 2) ,f x dx haciendo 2.u x
b. (4 1) ,f x dx haciendo 4 1.t x
c. (3 1) ,xf x dx haciendo 3 1 .x t
d.1 3( ) ,f x x dx haciendo 1.t x
e. ( 1) ,f x dx haciendo 1.t x
f.3( 2 3) ,f x dx haciendo 3 2 3.u x
g. ( 1) ,xf e dx haciendo 1.xu e
h.2 2(1 ) ,x f x dx haciendo sen .x
i.2(4 + ) ,xf x dx haciendo 2senh .x
2. En los ejercicios a-d calcule la integral dada realizando la sustitución indicada.
a. 3 1 ,x x dx haciendo 2 3 1.u x
b.2 2 ,x x dx haciendo 2 2.t x
c.1
,1 2
dxx
haciendo21 .x t
d. 4
2 ,
( 3)
xdx
xhaciendo 3 .x u
II. Integración de potencias de funciones trigonométricas
1. En los ejercicios a-j calcule la integral indicada.
a.3sen cos .x x dx b.
3 2sen cos .x x dx
c.3 3sen 3 cos 3 .x x dx d.
3sen 4 cos 4 .x x dx
Capítulo 2: Métodos de integración
e.4cos 2 .x dx f.
5sen .x xe e dx
g.4 2cos sen .
2 2
w wdw h.
4cot 2 .x dx
i.4csc 3 .y dy j.
4sec 7 .x dx
III. Sustituciones trigonométricas
1. En los ejercicios a-p use la sustitución trigonométrica apropiada para calcular las integrales indicadas.
a. 2 .
1
xdx
xb.
2
2 .
1
xdx
xc.
3
2 .
1
xdx
x
d.
2
2 2 .
(4 )
xdx
xe.
3
2 .
1
xdx
xf.
3
2 .
1
xdx
x
g.
2
2
4 .
xdx
xh.
2 3 2
2
(4 ) .
xdx
xi.
2 3 2( 4) .x dx
j. 2
1 .
7dx
xk.
2 9 .
xdx
xl. 25 4 .x x dx
m. 2.
4
dx
x xn. 2
.16 6
dx
x xo. 2 2
du
u u
p. 2 22cos sen cos sen
d
2. Encuentre el valor de la integral
3
29
x dx
x mediante las sustituciones
29u x , 2 29u x , 2 2 .u du x dx
3. Encuentre
24 xdx
x mediante:
a. La sustitución 24 .u x
b. Una sustitución trigonométrica.
Compare después las respuestas.
Ejercicios de los módulos 5 al 11
IV. Integración por partes
1. Use integración por partes para calcular las integrales indicadas en los ejercicios a-t.
a.2(3 7 1) .xx x e dx b.
2( 5 1) .xx x e dx
c.3 2 .xx e dx d.
3 1 .xx e dx
e.3 1( 1) .xx e dx f. (4 3) cos3 .x x dx
g.2 cos 6 .x x dx h.
2 2sen .x x dx
i.2 2cos .x x dx j. ln 2 .x x dx
k.2(ln 2 ) .x dx l.
2 cos 4 .xe x dx
m. sen 3 .xe x dx n.2 cos 4 .x x dx
o. sen .axe bx dx p. cos .axe bx dx
q. sen .xxe x dx r. cos .xxe x dx
s.5sec .x dx t.
arctan
2 3 2 .
(1 )
xedx
x
2. Deduzca la fórmula de reducción:
12cos sen 1
cos cos .n
n nx x nx dx x dx
n n
3. Una función ( )g x satisface las siguientes condiciones:
i. ( )g x está definida en todo x.
ii. ( )g x es continua.
iii. (0) (2)g g .
iv. (2) 3g .
Demuestre que 2
0( ) 6.x g x dx
4. Deduzca las fórmulas de reducción de las preguntas básicas.
Capítulo 2: Métodos de integración
112
V. Integración de funciones racionales
1. En los ejercicios a-o use descomposición en fracciones simples antes de efectuar la integral indicada.
a. 2
4 10 .
6 8
xdx
x xb. 2
7 8 .
2 +5 2
xdx
x x
c. 3 2
1 .
3 2dx
x x xd.
2
3 2
2 3 1 .
6 5
x xdx
x x x
e.
2
2 2
5 6 5 .
( 1)
x xdx
xf.
2
2
3 1 .
( + 4)
x xdx
x x
g. 4 2
1 .
+ 3 + 2dx
x xh.
3
2 2
2 .
( 9)
xdx
x
i.
5 4
3
8 .
4
x xdx
x xj.
4
2.
( 1) ( 2)
x dx
x x
k.
2
2 2 2
(8 4) .
( 1) ( 1)
xdx
x xl.
4
3
3 .
1
xdx
x
m. 2
sen .
cos cos 2d n. 2
.3 + 2
t
t t
e dt
e e
o.1
.1 e
x
x
edx
VI. Diversas sustituciones
En las integrales a-l efectúe una sustitución apropiada para convertir el integrando en una función racional y de
esta manera poder calcular más fácilmente la integral:
a.
6
6 47 5
1xdx
x xb. 2
1
1
x dx
x xc. 4 3 1
xdx
x
d.
3
6 3
2
1
xdx
x x xe.
3 3
46
x xdx
xf.
1
1
x dx
x x
g.2 3
3
xdx
xh.
5 3 cos
dx
xi.
4 5 sen
dx
x
j. .1 sen
dx
xk. .
2 cos
dx
xl. sen 2 cos 3 .x x dx
Ejercicios de los módulos 5 al 11
113Elementos básicos de cálculo integral y series
VII. Integración de los binomios diferenciales
En los ejercicios a-j calcule la integral de los binomios diferenciales dados:
a.
3
3 2
1 .xdx
xb.
1 3 2 3 1 4(2 ) .x x dx
c. 2 2 3 2.
(1 )
dx
x xd. 1 2 34 (1 ) .x dx
e.
3
3
2 .
xdx
xf.
3
2 .
1
xdx
x
g3
.1
xdx
xh. 5 24 .x x dx
i. 4 3
1 .dx
x xj.
3
3 2 .
4
xdx
x
Capítulo 2: Métodos de integración
1 de 13
Taller 1 cálculo integral: Integral Indefinida. Pro fesor Jaime Andrés Jaramillo. [email protected]. UdeA. 2018-2
Manipulación del integrando para obtener integrales que coincidan con las fórmulas básicas
1. Calcule la integral manipulando el integrando para obtener una forma que corresponda con las fórmulas básicas
a) ∫−+−
dxx
xxx3
45
2
3634
b) ∫
+ dx
xx
4 5
3 2 4
c) ∫ + dxx )1(tan2 d) ∫ dx
senx
xsen2
e) ( )( )∫ +− dxxx 231 f) ∫ −dx
xsen
x21
cos g) ( )∫ + dxx
32 1 h) ∫ − dzzzz )sec(tansec
i) ( )( )∫ ++ dxxx 11 j) ∫ xdxxcotsec k) ∫ −
−dx
x
x
1
13
l) ∫
+ dxx
x54 3
m) ∫−
dxx
xx 3 45 3 n) ∫ −
−+dx
xx
xx
365
36323
22
o) ∫++
dxx
xx
3
544 2
p) ( )∫ − dxxx 1costan
q) ( )∫−−− dxxe x ]162[
2/12π r) ∫
++dx
senx
xsenxx 2costan
s) ∫ +dx
x 5
42 t) ∫
+dx
x
xex x
3
23
6
4 u) ∫
+++−dx
x
xxxx3
245
4
54268
v) ∫+−
dxx
xx3
2 52
2. Calcule la integral manipulando el integrando para obtener una forma que corresponda con las fórmulas básicas
a.
dxx
x∫
−
4 5
3 4
3
6
b. ∫ −−
dxxx
xx23
3
3
9 c. ∫
−+dx
x
xxx2/3
2/32
9532
2 de 13
d. dx
x
x∫ +1cot
csc2
3
e. dx
x
xx∫
+3
3
2
74 f.
( )dx
xsenx
xsenx∫ 2
2
sec
tan
g. dxx
xx∫ +
−+49
64213432
24
h. dxx
xxxx∫ +
+−+−25
5475501922
234
3. Encuentre f
a) ( ) 04,)(' == fxxf b)
( )3)1('
,51,745)('' 2
−==+−=
f
fxxxf
c) ( ) 11,2
3)('2
3 =+= fx
xxf
d)
2)4(;cos56)(' =−= fxexf x
e) ( ) 20,sec)(' 2 =+= fxxxf f)
( )( ) 0
,00,cos32)(''
==+=
πf
ftetf t
( ) xxexf x +−= cos45'' ; ( ) 50' =f y
( )0f =9
Aplicaciones de la integral indefinida
4. Un vivero de plantas verdes suele vender cierto arbusto después de 6 años de crecimiento y cuidado. La velocidad de crecimiento durante esos 6 años es,
aproximadamente, 55,1 += tdt
dh, donde t es el tiempo en años y h es la altura en
centímetros. Las plantas de semillero miden 12 centímetros de altura cuando se plantan (t=0) a) Determinar la altura después de t años. b) ¿Que altura tienen los arbustos cuando se venden?
5. La tasa de crecimiento dP/dt de una población de bacterias es proporcional a la raiz cuadrada de t, donde P es el tamaño de la población y t es el tiempo en días (0≤ t ≤ 10)
esto es, tkdt
dP = . El tamaño inicial de la población es igual a 500. Después de un día la
población ha crecido hasta 700.Estimar el tamaño de la población después de 7 días.
3 de 13
6. Al salir un pan del horno, su temperatura es de 140 °C, si la temperatura del ambiente es 24°C, la temperatura T del pastel satisface la ecuación:
)24( −= Tkdt
dT
Donde t representa el tiempo en minutos. Encuentre una expresión para la temperatura T del pan como función de t, si se sabe que la temperatura del pan a los 5 minutos de haberse sacado del horno es de 60°C.
Aplicaciones de la integral indefinida: Movimiento Uniformemente Acelerado (MUA)
7. Un conductor implicado en un accidente afirma que circulaba solamente a 50 km/h. Cuando la policía revisa su auto, determina que si los frenos se aplicaban a 50 km/h, el auto recorrería solamente 15m antes de detenerse. Las marcas de derrape del auto en la escena del accidente miden 72m. Suponga que la desaceleración es constante y calcule la velocidad con la que viajaba antes del accidente.
8. Los frenos de un automóvil se accionan cuando éste se mueve a 60 millas/hora (exactamente 88 pies/segundo). Los frenos proporcionan una desaceleración constante de 40 pies/segundo2. ¿Qué distancia recorre el auto antes de detenerse?
Movimiento Uniformemente Acelerado (MUA): Caída Lib re
9. La velocidad, en sm / , de un objeto que se ha dejado caer desde la parte más alta de un edificio puede expresarse por: tv 8,9−= . Donde t son los segundos transcurridos a partir del momento en que se deja caer. Determinar:
a) La función que representa la posición s teniendo en cuenta que ( ) 125,550 =s m es la altura del edificio.
b) Velocidad y posición del objeto a los 1,5s de haberse dejado caer.
c) Tiempo que tarda en llegar al suelo.
d) Velocidad que tenía al llegar al suelo.
10. Cuando se arroja una piedra hacia arriba, desde el suelo, con una cauchera, la piedra alcanza una altura máxima de 400 pies. ¿Cuál era la velocidad inicial de la piedra? (Aceleración de la gravedad: g=32pies/segundo)
11. Se arroja una pelota de béisbol hacia arriba, desde la parte superior de un edificio alto. La velocidad inicial de la pelota es 25 pies/segundo y golpea el suelo con una velocidad de 153 pies/segundo. ¿Qué altura tiene el edificio?
4 de 13
Sustitución o cambio de variable
12. Calcule la integral usando sustitución
a) ∫ + dyyy
5)ln1(1
b) ∫ dtt
e t
2
/1
c) ∫ + dxxx )3cos( 43 d) ∫ − dxx 4)23(
e) ∫ + dxee xx 1 f) ∫ xdxx 2csccot g) ∫ −
−
dxx
xsen2
1
1
h) ∫
dxx
xsen
2
π
i) ∫ +dt
e
et
t
4 j) ( )∫ +
dxx
x45
3 k) ∫ + xx
dx
)1( l) ∫ +dx
x
x
13
32
2
m) 2
6
4dx
x x−∫ n) 2
61
42 9dx
x x
−− −∫ o) dx
xx
xxx∫ +−
++−178
8683242
456
p) ∫ −+dx
e x211
q) ( )
∫ dxx
esene xx
Integración por partes
13. Calcule la integral usando integración por partes
a) ∫ dxxe x b) ∫ xdxxcos c) ∫ xsenxdx
d) ∫ xdxe x cos e) ∫− xdx4tan 1
f) ∫− xdxsen 1
g) ∫ xdxx 2csc h) ( )∫ +
dxx
ex x
22
3
1
2
i) ∫ dxex x23
j) ∫ − senxdxx)21( k) ( )∫ dxxx 2ln l) ∫
+dx
x
x
252
3
m) ( )∫ +− xdxxxx ln53 23
n) ∫ dxxx )3cos(5 o) ∫ dx
x
x2
2ln
p) ( )∫ dxx 22ln q) ( )∫ dxxsen ln r) ∫− xdxx 1tan
5 de 13
14. Calcule la integral usando integración de potencias de funciones trigonométricas
a) ∫ xdxx 2sec2tan 33 b) ∫ θ
θθ
dsen
cos
3
c) ∫ xdxxsectan3
d) ∫ dxx
x2
3
csc
cot
e) ∫ θθθ
dsec
tan3
f) ∫ xdxxsen 55cos 3
g) ∫ θθd2csc4
h) ∫
dx
xxsen
3cos
344
15. Calcule la integral usando sustitución trigonométrica
a) ∫−
dxx
x 2516 2
b) ∫ − 22 16 tt
dt c) ∫ −
dxx
x2
3
1 d) ∫ − 2/32)1( t
tdt
e) ∫−
dxx
x2819 f) ∫ −
dxx
x
362
2
g) ∫+
dxx
x 42
h) ∫ +dx
xx 14
12
i) j) k)
l)
m) ( )∫ − 2/329 x
dx n) ( )∫ + 2/32
5
49 x
dxx o) ( )∫ + 2/32
3
49 x
dxx p) ∫ ++ 4042 xx
dx
q) ( )∫ +
−
dxx
e x
2/32
tan
1
1
16. Calcule la integral usando fracciones parciales
a. ∫ + )1(tantan
sec2
xx
xdx b. ∫ −+
−dx
xx
x
12
452 c. ∫ +−
−dx
xx
xx
45
7424
3
d. ∫ −−+dx
xxx
x
1
423
2
e. ∫ +dx
e x1
1 f. ∫ dxxtan
g. ( ) ( )∫ +−
−dx
xx
x222
2
11
48 h. ∫ +−
dxxx
x
23 24
2
6 de 13
i. ∫ −+−+−+−
dxxxx
xxxx
44
13313323
234
j.
k.
l. ( ) ( )∫ −+
−−++dx
xx
xxxx
435
25489112101122
234
17. Cuando dos productos químicos A y B se combinan, se forma un compuesto C. La reacción de segundo orden resultante entre los dos productos químicos es modelada por la ecuación diferencial:
)40)(250( XXkdt
dX −−=
donde X(t) denota el número de gramos del compuesto C presente en el instante t.
a) Determine X(t) si se sabe que X(0) = 0 g y X(10) = 30 g.
b) ¿Qué cantidad del compuesto C hay a los 15 minutos?
(Zill & Wright, 2011)
18. Calcule la integral:
a. ∫ −−+−
dxxx
xx
6
1042
3
b. ∫ θθθ
d3csc
cot c. ∫ −+ 2
32 xx
dx d. ∫ − 2
2
3649 x
dxx
e. ∫ −+ 2
cos32 senxxsen
xdx f. ∫ −
dxxx 26
3
g. ∫ − dtee tt 21 h. ∫ + dtt1
i. ∫ θθθ
dsec
tan3
j. ∫ + θθdcos1 k. ∫ +
dxx
xsen
cos2
2 l. ∫ −
dxx
x41
m. ∫ +dx
xx )1(
1 n. ∫ ++
dxxx
x
842 o. ∫ +
+dx
xx
x
4
22 p. ∫ +
dtt
t2
3
1
9
7 de 13
q. ∫ −dx
x 2/32)25(
1 r. ∫ ++
−dy
yy
y
54
352
s. ∫− dyysen 1
t. ∫−+ dxex x)1( 2
u. dzzz )1ln(∫ ++
v. ∫ +dx
x
xe x
2
2
)12( w. ∫ dz
z
z
csc
cot2
x. ∫ −dy
y )1(sec3
2
19. Calcule la integral:
a. ∫ +dx
x
x
32 b. ∫ ++ 569 2 xx
dx
c. ∫ ++ 862 tt
dt
d. ∫ −− 21 tt
dt
e. ∫ −dr
r
r2cos1
cos f. ∫ dx
x
x 2)(ln g. ∫ + dxxx 135
h.
i. ∫− tdt2sec 1
, 2
1>t j. dxxx
xxx∫ +
−+−24
23 1235
k. ( )∫ + θθθθ dsen 2cos2cos l. ∫ ++
dxee
exx
x
232
2
m. ∫ −dx
xx
x23
n. ∫ +dx
x
x
1
33
4
o. dxx
∫−362
p. ∫ +−+
dxxx
x
10724
52
q. ∫+
dxx
x21 r.
( )∫
+++dx
xx
x
322 11
20. Encuentre f
a) ( ) ( ) 101,56)(' =+= fxxxf b)
( )3)1('
,51,10224)('' 2
−==++=
f
fxxxf
c) ( ) 11,23ln)(' =−= fxxsenxxf
8 de 13
d) ( ) 04,cos)(' 4 == − fxexf x
e) ( ) 217,
13
1)(' =
−= f
xxf
f) ( )
( ) 0
,00,cos32)(''
==+=
πf
ftetf t
g) ( ) 10,1
)(' =+
= fe
exf
x
x
h)
43
,22
,seccos2)(' 2
=
<<−
+=πππ
ft
ttxf
i) ( ) ( ) 60,10',)('' === ffsenxxf
21. Una partícula que se mueve en un sistema de referencia rectilíneo, tiene una velocidad
que está dada como función del tiempo, en unidades del SI como: ( ) ( )22
4.14
+=
t
ttv .
La posición inicial de la partícula es ( ) 30 =s . Determinar:
a. Función posición de la partícula
b. Distancia entre la posición de la partícula para t=7 y para t=3
22. Una partícula que se mueve en un sistema de referencia rectilíneo, tiene una velocidad
que está dada como función del tiempo, en unidades del SI como: ( ) ( )tsenttv 2cos12 −= .
La posición inicial de la partícula es ( ) 90 =s . Determinar:
a. Función posición de la partícula
b. Distancia entre la posición de la partícula para t=8 y para t=2
23. Un automóvil viaja por una carretera recta muy larga. Su aceleración es:
a) 22)(
s
mta = b) 2
1.03)(s
meta t−= c) ( )
22.0 03,0cos5)(
s
mteta t−=
Donde t se mide en segundos y 0=t es el instante en el que inicia su recorrido cuando su velocidad
v es sm /0 y su posición x es m0
I. Determine la función velocidad v del automovil II. Determine una función para la posición x del automóvil
III. Aceleración, velocidad y posición del automóvil para st 10=
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24. Una partícula entra a un campo magnético como se muestra en la figura con una
velocidad horizontal smvx /1= . El campo magnético afecta su movimiento,
proporcionándole una velocidad vertical
=4
cos4
ttvy (en m/s); t es el tiempo en
segundos. Determine a que distancia del borde inferior del campo magnético sale la partícula.
25. Una partícula en un experimento, tiene aceleración t
tea
22 −= ; ( )et <<0 . Si ( ) 0=ev
determinar la velocidad de la partícula como función de t.
(t representa el tiempo, todas las cantidades están en unidades del SI)
26. En cierto experimento, una partícula ubicada en un tubo de 5m se mueve de forma horizontal, manteniendo una velocidad en m/s: ( ) ttsentv 32= ,(t en segundos) durante 3
segundos.
Si la partícula al iniciar el experimento se encuentra a 2m del extremo izquierdo. Determine la posición de la partícula un segundo después.
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27. La aceleración de un objeto que se mueve en determinado sistema de referencia,
usando las unidades del sistema internacional, está dada por: ( ) tet
ta 4
1
3 −++
= , para
50 ≤≤ t . Considerando que su posición para t=1s es el origen (S(1)=0), y su velocidad
para t=0s es ( ) smv /00 = determinar:
a) función velocidad b) función posición c) aceleración, velocidad y posición para t=5s.
28. La aceleración de un objeto que se mueve a lo largo de una recta, en unidades del SI
está dada como función del tiempo por: ( )22 1
2
+−=
t
ta . Si la velocidad inicial del objeto es
1s
m ( )
=s
mv 10 y la posición inicial del objeto es 0 ( )( )00 =s , Determinar:
a) Función velocidad del objeto b) Función posición del objeto c) Aceleración, velocidad y posición a los 4 segundos.
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Referencias Bibliográficas
Zill, D., & Wright, W. (2011). Cálculo de una variable. Trascendentes tempranas (IV). México: McGraw-Hill.
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ALGUNAS RESPUESTAS
1. b. cxxdxx
x +−=
+ −
∫4/13/5
4 5
3 2 165
34 c. ∫ +=+ cxdxx tan)1(tan2
2. b. cxxdxxx
xx ++=−−
∫ ln33
923
3
10. b. ∫ +−= cedtt
e tt
/12
/1
c. cxsen
dxxx ++=+∫ 4
)3()3cos(
443
11. e. cxxxxdx ++−= −−∫ )161ln(
8
14tan4tan 211
f. cxxxsenxdxsen +−+= −−∫
211 1
12. b. cdxsen +−=∫
2/12/53
)(cos2)(cos5
2
cosθθ
θθ
c. cxxxdxx +−=∫ secsec3
1sectan 33
13. b. ct
t
tt
dt +−−=−∫ 16
16
16
2
22 c. cxxdx
x
x +−−−=−∫
22/32
2
3
1)1(3
1
1
o. ( )∫ ++
+=+
cx
x
x
dxx
948
92
49 2
2
2/32
3
p. cxxxxx
dx +++++=++∫ 4042ln
404
2
2
14. b. cxxdxxx
x +−−+=−+
−∫ 12ln
2
11ln3
12
452 c. cxxdx
xx
xx +−+−=+−
−∫ 1ln
2
14ln
2
3
45
74 2224
3
e. ( ) cexdxe
x
x++−=
+∫ 1ln1
1 h. c
x
x
x
xdx
xx
x ++−+
−+=
+−∫ 2
2ln
2
111
ln23 24
2
16 b. ∫ += csend θθθθ 3
3 3
1
csc
cot c. c
x
x
xx
dx ++−=
−+∫ 2
1ln
2
32 f. c
xsendx
xx+−=
−−
∫ 3
33
6
3 1
2
g. [ ]ttttt eeesendtee 212 12
11 −+=− −
∫ j. cd +−=+∫ θθθ cos12cos1
l. ( ) ( ) cxxx
xxdxxx
xxxx +++−−+
+−=−+
−−++∫ 5ln34ln
3
5
5
52
435
2548911210112 22
234
k. cxxdxx
xsen +++−=+∫ cos2ln4cos2
cos2
2
n. cxxxxxdxxx
x +++++−++=++∫ 284ln284
84
22
2 o. cxxdxxx
x ++=+
+∫ 4
4
2 2
2
v. cx
edx
x
xe xx
++
=+∫ )12(4)12(
2
2
2
w. czzzdzz
z ++−=∫ coscotcsclncsc
cot2
13 de 13
15. b. cx
xx
dx +
+=++
−∫ 2
13tan
6
1
5691
2 c. ct
t
tt
dt +++=
++∫ 4
2ln
2
1
862
f. cx
dxx
x +=∫ 3
)(ln)(ln 32
g. ( ) cxxxdxxx ++−+=+∫2/532/33335 )1(
45
41
9
21 i. ctttttdt +−+−= −−
∫ 142ln2
12sec2sec 211
j. cxxx
xdxxx
xxx +−+++=+
−+− −∫
1224
23
tan2)1ln(2
31ln2
1235
16. b. 3
59225
3
12)( 234 +−++= xxxxxf e. 2132)( −−= xxf h. 324tan2)( −++= tsenttf
19. r.
( )cxdx
xx
x +++=+++
∫2
322
112
11
