Upload
others
View
7
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
第2回 数学的準備物理学概説Ab or 力と運動 (力学)
以下の準備をお願いします
担当講師:桑畑和明
Zoom :
ホームページ :
マイクのミュート、ビデオの停止、 チャットを見れるようにしておいて下さい
http://www.ohno.ynu.ac.jp/kuwahata/index.html に授業のスライド、演習問題、提出フォーム、補助資料 を置いておきます
授業開始は12時50分から、少々お待ちください。
←ホームページには左のQRコードからもアクセス可能
(連絡先:[email protected])
成績評価方法配分: 授業レポート(50%) + 期末テスト(50%)合格ライン:70%レポートは毎回の授業で課す。締切は次の授業の開始時間まで。 ただし、遅れても減点はするが受け付けるので必ず提出すること。レポートには必ず式変形を書くこと。 ただし「式変形の記入は不要」と書かれている場合は除く
・
・
レポートになるかも
◎
◎(金曜日12時50分まで)
提出先: ホームページの各授業の「提出」のリンクから◎
ホームページを一部抜粋
クリック
レポートに関する質問
◎ レポートを複数回送ってしまった◎ レポートを修正したい
レポートは何回提出しても構いません
授業後10分程度はzoomに残ります。 質問がある場合は授業後にどうぞ
・
◎
評価は最新のレポートでおこなう・
問1. なぜ数学の知識が必要なのか?
答1. 数字を用いた方が正確で、簡潔に表現できるから
例)運動の第2法則物体に力が作用すると、力の方向に加速度を生じる 加速度はその物体が受ける力に比例し、物体の質量に逆比例する
or m a = F md2 rdt2
= F
日本語:
数学:
問2. 数学の何の知識が必要?
答2. ベクトル、微分・積分、三角関数
第2回 数学的準備
(偏微分、ベクトル解析)
数学でよく使う記号 結論を述べるときに使う。「よって」の意味∴
理由を述べるときに使う。「なぜなら」の意味∵
A = B, B = C ∴ A = C
A = C ( ∵ A = B, B = C)
両者が同値である⇔
x = |a | ⇔ x = ± a
Q.E.D. (□、■) 証明終了
ベクトル
ベクトル:大きさと向きをもつ量A
x
y
Ax
Ay A = (Ax, Ay)座標
例) 、 に対してA = (Ax, Ay) B = (Bx, By)
C = A + B
◎ ベクトルの演算(和・差)
A
B
成分
C
= (Ax + Bx, Ay + By)
ベクトルの和・差は成分ごとにおこなう
F
F ∥
F ⊥
F = F ∥ + F ⊥
ベクトルの分解
A
BC
物体
A
BC
物理では こっちよりも こっち の考えを使う
C ← A + B C → A + B数式上はどちらも
だが、C = A + B
直接物体に仕事をするのは F ∥
を分解するF
ex ⋅ ex = 1, ey ⋅ ey = 1ex ⋅ ey = 0, ey ⋅ ex = 0
単位ベクトル
A = Ax ex + Ay ey
A = A′�xe′ �x + A′ �y
e′�y
:長さ1のベクトル
ベクトルを表現する軸に利用できる
特に、
となるものを正規直交基底という(基本ベクトルともいう)
プライム
例) | ex | = 1, | ey | = 1
(ちなみにダッシュはこちら“ ”)−
A
x
y
Ax
Ay
ex
ey
ex
ey
Ay
A′�x
A′�y
e′�x
e′�y動いている座標系 に対してe′�x , e′�y
詳しくは「12回 並進座標系」で
ベクトルの演算(内積)内積:2つのベクトルの射影を表現する
a
a ⋅ b = axbx + ayby + azbzb
= | a | | b |cos θθ
| b |cos θ
| a |
、 に対しa = (ax, ay, az) b = (bx, by, bz)
成分を抜き取る
A
x
y
とおく、A = Ax ex + Ay ey
ex
ey
正規直交基底を利用
?Ax
?Ay
ex ⋅ A = ex ⋅ (Ax ex + Ay ey)
ex ⋅ ex = 1, ey ⋅ ey = 1ex ⋅ ey = 0, ey ⋅ ex = 0
= Ax( ex ⋅ ex) + Ay( ex ⋅ ey) , 同様に = Ax ey ⋅ A = AyA
x
y
A x
A y A x = Ax ex = ( ex ⋅ A ) ex
A y = Ay ey = ( ey ⋅ A ) ey = A − A x
ベクトルの演算(外積)外積:2つのベクトルが作る平面と直交するベクトル
c = a × b
a
b
c
a × b =aybz − byaz
azbx − bzax
axby − bxay
(右ねじの法則)
外積ベクトルの向きは 右ねじの法則に従う
a
b
c
S| c | =
a
b外積の大きさは 2つのベクトルの面積に等しい
外積の意味c = a × b
rv 物体の回転を表現するのによく使う
詳しくは「11回 角運動量とケプラーの法則」で
力学では外積をどこで使う?
同じ回転速度でも向きを考慮する
いらすとや(https://www.irasutoya.com)より
内積・外積のまとめ
内積
外積
a ⋅ b = axbx + ayby + azbz
a × b = (aybz − byaz, azbx − bzax, axby − bxay)
ベクトル , に対してa = (ax, ay, az) b = (bx, by, bz)
正射影したベクトルの大きさをかけた値
定義:
定義:
意味:
2つのベクトルが作る平面と直交するベクトル意味:
例) 距離 を時間で微分x
y = f(x)ydfdx
(x) = limΔx→0
f(x + Δx) − f(x)Δx
x x + Δx
傾き f′�(x) や などの表記もあるf′ � ·f
:速度dxdt
= v
:加速度d2xdt2
=dvdt
= a
積分:傾きを求める
定義:
Δx
f(x + Δx) − f(x)
微分の積の公式
ddx {f(x)g(x)} = lim
Δx→0
f(x + Δx)g(x + Δx) − f(x)g(x)Δx
= limΔx→0
f(x + Δx)g(x + Δx) −f(x)g(x + Δx) + f(x)g(x + Δx) −f(x)g(x)Δx
= limΔx→0 { f(x + Δx) − f(x)
Δxg(x + Δx) + f(x)
g(x + Δx) − g(x)Δx }
= f′�(x)g(x) + f(x)g′�(x)
◎ 微分の積の公式を導いてみよう
dfdx
(x) = limΔx→0
f(x + Δx) − f(x)Δx
ddx {f(x)g(x)} = f′�(x)g(x) + f(x)g′�(x)目標
定義
証明
微分の公式
,ddx
xa = axa−1 ,ddx
ex = ex ddx
log x =1x
,ddx
sin x = cos x ,ddx
cos x = − sin xddx
tan x =1
cos2 x
◎初等関数の微分
◎関数の積・商の微分(関数 、 に対して)f(x) g(x)
ddx { f(x)
g(x) } =f′�(x)g(x) − g′�(x)f(x)
g2(x)
,ddx {f(x)g(x)} = f′�(x)g(x) + f(x)g′�(x)
積分:
y = v(t)y
t0 tn
不定積分ti ti+1
r = v(t0)Δt + ⋯v(ti)Δt⋯ + v(tn)Δt
ri = v(ti)ΔtΔt
v(ti)
r = limn→∞
n
∑i=1
v(ti)Δt = ∫tn
t0
v(t)dt
F(x) + Cf(x)
ddx (F(x) + C)
∫ f (x)dx
面積を求める
t0 tn
y = v0 進んだ距離は面積で求められるr = v0(tn − t0)r
ri
tn − t0
v0
問)一定速度 で時刻 から まで進んだ距離 ?v0 t0 tn ry
問)速度 が時間変化する場合は?v(t)nで分割( )Δt = (tn − t0)/n
積分の公式
,∫ xadx =xa+1
a + 1+ C ,∫ exdx = ex + C ∫
1x
dx = log |x | + C
,∫ sin xdx = − cos x + C ,∫ cos xdx = sin x + C
◎ 初等関数の積分
◎ 部分積分
,∫ f(x)g′ �(x)dx = f(x)g(x) − ∫ f′�(x)g(x)dx
積分は微分の逆と覚える
微分・積分のまとめ
◎ 微分
◎ 積分
関数の傾き
定義:
定義:
意味:
関数の面積意味:
dfdx
(x) = limΔx→0
f(x + Δx) − f(x)Δx
∫xn
x0
f(x)dx = limn→∞
n
∑i=1
f(xi)Δx
ベクトルの微分
A (t)
A (t + Δt)
ddt
A (t) = limΔt→0
A (t + Δt) − A (t)Δt
A (t + Δt) − A (t)
= limΔt→0
1Δt (Ax(t + Δt) − Ax(t), ⋯, ⋯)
= limΔt→0 ( Ax(t + Δt) − Ax(t)
Δt, ⋯, ⋯)
= ( dAx
dt,
dAy
dt,
dAz
dt )v (t) =ddt
r(t)
a (t) =ddt
v (t) =d2
dt2r(t) ベクトルの微分は成分の微分を考えればよい
例)ベクトルの微分
ベクトルの微分の注意点ddt
A (t) =ddt (Ax ex + Ay ey + Az ez)
=ddt (Ax ex) + ⋯
この際に基底ベクトル がtに依存するかの議論が必要ex , ey , ez
=dAx
dtex + Ax
d ex
dt+ ⋯
も考慮する必要があるd ex
dt
詳しくは 「10回 極座標と万有引力」で説明する
単位と次元単位
長さ(m, cm)、時間(s, h)、質量(kg, pond)
面積(m2)、速さ(m/s)、加速度(m/s2)
基本単位:それ以上分割できない単位
組立単位:基本単位の組み合わせでできている
次元:物理量の単位にのみ注目L (長さ、Length)、T (時間、Time)、M (質量、Mass)
例)
[~] :~の次元
[m] = [cm] = [yard] = L[F] = [kg * m/s2] = ML/T2 = MLT-2
次元解析→単位の次元のみから物理量を調べる
例) 振り子の周期の公式を予想
T = 2πlg
[ lg ] = [ L
LT−2 ] = T
or 2πgl
[ gl ] = [ LT−2
L ] =1T
or
公式は?
次元解析
・
・