Unidad 2.- Evidencia de Aprendizaje

La evidencia de aprendizaje no está correctamente planteada si su objetivo es el de introducir el concepto de volumen mediante su aproximación por esferas (debiera hacerlo mediante cubos). El uso de esferas no es útil pues las esferas no llenan el espacio que delimitan y, sin importar el tamaño de estas, siempre existirán huecos entre ellas (y la disposición de estos huecos no es única) de modo tal que nunca se podrá afirmar que el volumen del espacio que llenan es equivalente al volumen de las esferas utilizadas, aun considerando esferas infinitesimales. De hecho este es un problema matemático fuerte, conocido como empaquetamiento de esferas, que a continuación describo:

¿Cómo colocar un conjunto de esferas para que se pierda el menor espacio posible? Los fruteros lo saben cuando apilan las naranjas, pero ¿es esta la mejor solución? Kepler conjeturó en 1661 que la mayor densidad media sería del 74 % (veremos después que en uso práctico es alrededor de 64%), Gauss trabajó sobre ello en el siglo XIX y Thomas Hales lo demostró en 1998, ¡400 años después! Generalizando estas ideas a 8 y hasta 24 dimensiones, se han desarrollado códigos para detección de errores en telecomunicaciones. Como tantas veces lo que en Matemáticas empieza como desafío, curiosidad o juego termina desarrollando grandes teorías con muchas aplicaciones prácticas.

Para ejemplificar lo anterior tomemos el vidrio común, hecho de arena de sílice. El vidrio tiene una densidad de 2.7, mientras que si lo encontramos en forma de arena, su densidad es de aproximadamente 2.1; que es casi el 78% de la densidad real. ¿Por qué es mayor al límite teórico de Kepler y Gauss? Simple, porque la arena común tiene partículas de distintos tamaños y las pequeñas llenan los huecos dejadas por las mayores; saliéndose del esquema teórico de esferas del mismo tamaño. Sin embargo, si tamizamos la arena para que se tengan partículas de tamaños similares, tendremos una densidad de alrededor de 1.73, que equivale al 64.07%; casi concordando con el límite práctico de empaquetamiento aleatorio (se describe más adelante).

Nota: a pesar de que no tiene sentido aproximar el volumen de un sólido irregular como el volumen de las esferas que caben en el. Si se puede obtener mediante la comparación del volumen ocupado por las mismas esferas en un cuerpo regular (como lo sugiere la última parte de la evidencia de aprendizaje); o mediante la corrección del volumen de las esferas al dividirlo por la densidad asintótica de empaquetamiento.

El problema de empaquetamiento de esferas

Un problema típico de empaquetamiento es encontrar la disposición en que las esferas rellenen la mayor proporción posible del espacio. La proporción del espacio

rellenado por las esferas es llamada densidad del empaquetamiento. Como la densidad de empaquetamiento puede depender del volumen en que se mida, el problema trata normalmente de la densidad media mayor o asintótica, medida en un volumen lo suficientemente amplio.

Un empaquetamiento habitual también llamado periódico o reticular es aquel en que las esferas forman un patrón muy simétrico llamado retículo, los empaquetamientos en los que las esferas no están dispuestas en patrones simétricos se llaman irregulares o aperiódicos. Las disposiciones periódicas son más sencillas de analizar, clasificar y de medir su densidad que las aperiódicas.

Carl Friedrich Gauss demostró que, en espacio euclideo de dos dimensiones, la disposición regular de círculos con mayor densidad es el empaquetamiento hexagonal, en el cual los centros de los círculos se disponen en una celda hexagonal (dispuestas como en un panal de colmena) y en la que cada círculo está rodeado de otros seis. La densidad de este empaquetamiento es:

En 1940 el matemático húngaro László Fejes Tóth demostró que la celda hexagonal es el más denso de todos los empaquetamientos de círculos, tanto regulares como irregulares.

La rama de las matemáticas conocida como "empaquetamiento de círculos" no se refiere, sin embargo, al cálculo de la densidad en empaquetamiento de círculos iguales, sino a problemas de geometría y combinatoria de círculos de tamaño arbitrario, dando lugar a análogos discretos de la cartografía conforme, las superficies de Riemann y similares.

Empaquetamiento Periódico o Compacto

Estudiemos en un espacio tridimensional un plano con una disposición compacta de esferas sobre el mismo. Si consideramos tres esferas vecinas, podremos colocar una cuarta en el hueco que dejan las tres esferas de abajo. Si repetimos esto "en todas partes" en un segundo nivel por encima del primero, habremos creado una nueva disposición compacta. La tercera capa se puede superponer a la primera, o las esferas pueden estar encima de los huecos de la primera capa. Por lo tanto, existen tres tipos de niveles, llamados A, B y C.

Gauss demostró que estas disposiciones poseen la densidad más alta entre todas las disposiciones regulares.

Las dos disposiciones más comunes son llamadas empaquetamiento cúbico centrado en caras – alternancia ABCABC...- y empaquetamiento hexagonal – alternancia

ABAB...-. Pero todas las combinaciones son posibles (ABAC, ABCBA, ABCBAC, etc.) En todas estas disposiciones cada esfera está rodeada por otras 12, y ambas disposiciones tienen una densidad media de

En 1611 Johannes Kepler había conjeturado que esta es la densidad máxima de las disposiciones tanto regular como irregular – esto fue conocido como la conjetura de Kepler. En 1998 Thomas Hales, siguiendo el enfoque que había propuesto László Fejes Tóth en 1953, anunció la confirmación de la conjetura de Kepler. La confirmación de Hales es una Prueba por exhaución ensayando muchos casos individuales y usando complejos cálculos de ordenador. Los árbitros han confirmado la exactitud de la prueba de Hales con un margen del "99% de seguridad", por lo que la conjetura de Kepler ha sido demostrada casi con absoluta certeza.

Empaquetamiento aperiódico o aleatorio

Si intentamos construir un grupo densamente empaquetado de esferas, siempre caeremos en la tentación de colocar la siguiente esfera en un hueco formado entre tres esferas en contacto. Si cinco esferas se han reunido en este modo, estará en consonancia con uno de los envasados de disposición regular descritos con anterioridad. Sin embargo, la sexta esfera colocada de esta manera, hace que la estructura sea incompatible con cualquier disposición regular. (Chaikin, 2007). Esto se traduce en la posibilidad de un empaquetamiento aleatorio de las esferas que se torna estable contra la compactación.

Cuando se arrojan esferas al azar en un contenedor y luego se compactan, generalmente forman lo que se conoce como empaquetamiento "irregular" o "atascado", cuando no se puede comprimir más. Este empaquetamiento irregular tendrá normalmente una densidad de aproximadamente el 64% de la densidad de las esferas. Esta situación es diferente al caso de una o dos dimensiones, donde la compactación de un grupo de esferas unidimensionales o bidimensionales (es decir segmentos de línea o discos) producirá un empaquetamiento regular.