Retículos isomorfos

Definición:

Sea (L ,≼) y (L ,≼ ) dos retículos y f : A⟶ A una función biyectiva y f :L⟶ L es un isomorfo si:

f (a∨b )=f (a)∨ f (b) ∀a ,b∈L

f (a∧b )=f (a)∧ f (b)

Definición: si dos retículos son isomorfos como conjuntos parcialmente ordenados son llamados retículos isomorfos.

Ejemplos:

Sea L=D c= {1,2,3,6 } la retícula de los divisores de 6 con diagrama de hasse:

Y sea L=P (S ) donde S= {a ,b }

(P (s ) ,⊆) P (s )= {{a } , {b } , {a ,b } ,∅ }

6

32

1

{a ,b }

{b }{a }

∅

D6 y P(s) son isomorfos como conjuntos parcialmente ordenados, pues sus diagramas de hasse son iguales.

Luego, debido a que los retículos son isomorfos como conjuntos parcialmente ordenados, se tiene que son retículos isomorfos.

Observación:

1) a≼ a∨ba≼ a∨b

2) a≼c∧b≼ c⟹a∨b≼ c

1) a∧b≼aa∧b≼b

2) c≼a∧c≼b⟹c≼ a∧b

Teorema 2:

Si L es un reticulo entonces:

i. a∨b=b⇔a≼bii. a∧b=a⇔a≼b ∀a ,b∈ L

iii. a∧b=a⇔a∨b=b

Demostración:

i.1) ⟹⊐a∨b=b⟹a≼b

En efecto:

a≼ a∨b………… (Definición de a y b)

Por hipótesis: a∨b=b

Luego

a≼ a∨b=b

a∨b Es cota superior de a y de b

a∨b Es la menor cota superior de a y de b

a∧b Es cota inferior de a y b

a∧b Es la mayor cota inferior de a y b

a≼b

2) ⟸⊐a≼b⟹a∨b=b

En efecto:

Supongamos que

a≼b

Además se tiene que b≼b (b es cota superior de a y b)

Luego: a∨b≼b

De la observación se tiene que

b≼a∨b

Luego de a a∨b≼b∧b≼ a∨b se tiene que a∨b=b

ii.1. ⟹⊐a∧b=a⟹a≼ b

En efecto

a∧b≼b (Definición de ínfimo de a y b)

Por hipótesis:

a=a∧b≼b

∴a≼ b

2. ⟸⊐a≼b⟹a∧b=a

En efecto:

Supongamos que

a≼b

Además se tiene que a≼b

Luego: a≼ a∧b

De la observación se tiene que

a∧b≼a

Luego de a a≼ a∧b∧a∧b≼a se concluye que a∧b=a

iii. De ii. Se tiene que:a∧b=a⇔a≼b⇔a∨b=b

∴a∧b=a⇔a∨b=b

Ejemplo:

Sea L un conjunto linealmente ordenado (totalmente ordenado). Por definición, si L es totalmente ordenado entonces:

a≼b∨b≼a ∀a ,b∈L

Por el teorema 2 se tiene que L es una retícula, pues ∀a ,b∈L

a≼b b≼a

a∧b=a b∧a=b

a∨b=b a∨b=a

∴L es una retícula.

Es decir toda pareja de elementos tiene supremo e ínfimo, en consecuencia, Les una retícula.

Teorema 3

Sea L una retícula

1) a∨a=aa∧a=a

2) a∨b=b∨aa∧b=b∧a

3) a∨ (b∨c )=(a∨b)∨ ca∧ (b∧c )=(a∧b)∧ c

4) a∨ (a∧b )=aa∧(a∧b)=a

(Idempotencia)

(Conmutatividad)

(Asociativa)

(Absorción)

Tipos especiales de retículos

Retícula acotada

Definición:

Una retícula L es acotada si tiene un elemento máximo I y un elemento mínimo O.

Ejemplo:

Ejemplo:

¿

¿ Es una retícula no acotada pues no tiene elemento máximo.

Ejemplo:

La retícula (P(S) ,⊆) Es acotada pues su elemento mínimo ∅ y su elemento máximo es S.

Observación:

I

ba

O

Retícula

1

Sea L una retícula acotada para todo a∈ L,0≤a≤ I se cumple:

a⋁O=a a∧O=O

a⋁ I=I a∧ I=a

Teorema 4.

Si L= {a1 , a2 , a3 ,………………,an } es una retícula finita

Entonces L es acotada.

Retícula distributiva:

Definición:

Una retícula L es si para toda a ,b , c∈L

i. a∧ (b∨c )=(a∧b )∨(a∧ c)

ii. a∨ (b∧c )=(a∨b )∧(a∨ c)

Ejemplo 1:

La retícula ( p (s ) ,⊆) es distributiva pues para todo A ,B ,C∈ P (S ) se tiene que

A∧ (B∨C )=A∩ (B∪C )= (A∩B )∪ ( A∩C )=( A∧B )∨ ( A∧C )

A∨ (B∧C )=A∪ (B∩C )= (A∪B )∩ ( A∪C )=( A∨B )∧ ( A∨C )

Ejemplo 2:

La retícula

I

db

a c

O

a∧ (b∨c )=(a∧b )∨ (a∧ c )

a∧ I=a∨O

a=a

a∨ (b∧c )=(a∨b )∧(a∨ c)

a∨O=b∧d

a=a

Definición:

Sea L una retícula acotada con elemento máximo I y elemento mínimo O el elemento a ∈ L es un complemento de a∈ L si a⋁ a y a⋁ a =O

I

c

a

b

O

AI

ba

O

B

1) a∨ (b∧c )=(a∨b )∧(a∨ c)

a∨O=a∧ I

a=a

2) a∧ (b∨c )=(a∧b )∨ (a∧ c )

a∧ I=b∨O

a≠b

No es distributiva debido que 1 y 2 son diferentes.

1) a∧ (b∨c )=(a∧b )∨ (a∧ c )

a∧ I=O∨O

a=O

No es retícula distributiva

Teorema 5.

Una retícula L es ni distributiva ⇔ contiene una subretícula isomorfa a la retícula A o a la retícula B

Ejemplo:

Ejemplo:

Definición:

Sea L una retícula acotada con elemento máximo I y elemento mínimo O.

ca

O

g

fe

b

d

Esta retícula no es distributiva pues contiene una subretícula isomorfa a la retícula B

D

EC

B

O

F

C∧ (B∨E )=(C∧B )∨ (C∧E )

A∧O=B∨ A

A≠B

Esta retícula no es distributiva, pues posee una retícula isomorfa a la retícula A

El elemento a ´∈ L es un complemento de a∈ L si:

a∨a ´=I

a∧a ´=O

Nota: el complemento de O∈L es I∈ L pues:

O∨ I=I

O∧ I=O

∴O´=I

el complemento de I∈ L es O∈L pues:

I∨O=I

I∧O=O

∴ I ´=O

Ejemplo:

La retícula (P (S ) ,⊆) es tal que cada elemento A∈P (S ) tiene su complemento ya que

A∈P (S )⇒ Su complemento es A´ pues:

A∨ A ´=A∪A ´=S

A∧ A ´=A∩ A´=∅

Ejemplo:

Cada una de las retículas

I

c

a

b

O

ca

O

b

d

Retícula A Retícula B

Tiene la propiedad de que todo elemento tiene complemento.

En la (retícula A)

C tiene dos complementos los, cuales son a y b pues:

c∨b=I

c∧b=O

c∨a=I

c∧a=O

En la (retícula B)

C tiene dos complementos los cuales son a y b pues:

c∨a=I

c∧a=O

c∨b=I

c∧b=O

Ejemplo:

D20= {1 ,2 ,4 ,10 ,20 }

a∨ c=I

a∧ c=I a ´=c

20

104

2 5

1

El elemento 10 no tiene complemento

El elemento 2 no tiene complemento

Observación:

De los ejemplos anteriores se observa que una retícula puede tener elementos que no tiene complemento o tiene más de un complemento. (Es decir, no hay unidad del complemento de un elemento.)

Teorema 6.

Si L es una retícula distributiva acotada entonces si un elemento tiene complemento dicho complemento es único.

Demostración:

Supongamos que a ´ y a ´ ´ son complementos de a∈ L entonces:

a∨a ´=I a∨a ´ ´=I

a∧a ´=Oa∧a´ ´=O

a ´=a´∨O=a´∨ (a∧a ´ ´ )= (a ´∨a )∧ (a∨a ´ ´ )=I∧ (a ´∨a ´ ´ )=a´∨a´ ´

a ´ ´=a ´ ´∨O=a ´ ´∨ (a∧a ´ )= (a ´ ´∨a )∧ (a´ ´∨a´ )…… (α )

I∧ (a ´ ´∨a ´ )=a´ ´∨a´ ….(β)

De α y β se tiene que a ´=a´ ´

Por lo tanto el complemento es único.

Retículas complementadas

Definición:

Una retícula L es complementada si es acotada y si cada elemento tiene un complemento.

Ejemplo:

La retícula (P (S ) ,⊆) es un complementada del teorema 6 se tiene que cada elemento de P (S ) tiene complemento único.