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Créditos

Presentación

Ing. Jorge Luis Paredes Estacio

UNIVERSIDAD PRIVADA ANTENOR ORREGOFACULTA DE INGENIERIA

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL

Para describir una fuerza que actúa sobre un

elemento estructural, se debe especificar la

magnitud de la fuerza, el sentido y su dirección.

Para describir la posición de una avión

respecto a un aeropuerto, se debe especificar

la distancia, el sentido y la dirección del

aeropuerto al avión. En ingeniería tratamos con

muchas cantidades que tienen tanto magnitud,

sentido como dirección y se pueden expresar

como vectores. En este capítulo estudiaremos

operaciones con vectores en sus

componentes, y daremos ejemplos de

aplicaciones sencillas de los vectores a laingeniería.

Presentación

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ESCALARES Y VECTORESESCALAR:

Es cualquier cantidad física positiva o negativa que se puede especificar por ejemplo mediante su magnitud. La longitud, la masa , el tiempo y el volúmen son ejemplos de cantidades escalares.

ESCALARES Y VECTORES

VECTOR: Cualquier cantidad física que requiere tanto de magnitud como de

dirección para su descripción completa. En estática, algunas cantidades vectoriales encontradas con frecuencia son fuerza, posición y momento.

Un vector se representa mediante una flecha. La longitud de la flecha representa la magnitud. El ángulo entre el vector y un eje fijo define la dirección de su línea de acción. La cabeza o punta de la flecha indica el sentido de dirección del vector.

OPERACIONES VECTORIALESAsí como existen reglas para operar números reales, como las de la suma, etc., existen también reglas para operar con vectores. Esas reglas proporcionan una poderosa herramienta para el análisis de la ingeniería

SUMA VECTORIAL

PRODUCTO DE UN ESCALAR Y UN VECTOR

RESTA VECTORIAL

VECTORES UNITARIOS

COMPONENTES VECTORIALES

SUMA VECTORIAL Si desplazamos un libro de un lugar de la mesa a otro y

luego a otro decimos que el desplazamiento W se define como la suma de los desplazamientos U y V.

SUMA VECTORIAL Consideremos los vectores U y V de la figura 2.4(a), si los colocamos

cabeza con cola (Fig. 2.4b), su suma se define como el vector que va dela cola de U a la cabeza de V (Figura 2.4c). Esto se llama regla deltriángulo en la suma vectorial. La Figura 2.4(d) demuestra que la sumaes independiente del orden en que los vectores se colocan cabeza concola. Así, surge la regla de paralelogramo de la suma vectorial (Fig.2.4e).

SUMA VECTORIAL La definición de la suma vectorial implica que

U + V = V + U La Suma vectorial es conmutativa

(U + V) + W = U + (V + W) La suma vectorial es asociativa

Si la suma es igual a cero, los vectores forman un Polígono cerradocuando se colocan cabeza con cola.

Producto de un Escalar y un Vector

Producto de un Escalar y un Vector Las definiciones de la suma vectorial y del producto de un escalar y un

vector implican que

a(bU) = (ab)U. El producto es asociativo con respecto a lamultiplicación escalar.

(a + b)U= aU + bU, El producto es distributivo con respecto a lasuma escalar.

a(U + V) = aU + aV El producto es distributivo con respecto a lasuma vectorial

Resta Vectorial La diferencia de dos vectores U y V se obtiene sumando al vector

(-1)V:

U - V = U + (-1)V

Consideramos los vectores U y V de la figura 2.8(a). El vector (-1)V tiene la misma magnitud que el vector V pero dirección opuesta (Fig. 2.8b). En la figura 2.8(c) sumamos el vector U al vector (-1)V para obtener U - V

Vectores Unitarios

Componentes Vectoriales Al expresar un vector U como la suma de un conjunto de

vectores, cada vector se denomina componente vectorialde U. Supongamos que el vector U de la figura 2.10(a) esparalelo al plano definido por las dos líneas que seintersectan. Expresamos U como la suma de lascomponentes vectoriales V y W paralelas a las dos líneas(Fig. 2.10b). Y decimos que el vector U esta descompuestoen las componentes vectoriales V y W

A tener en cuenta…

Algunos problemas se pueden resolver dibujandodiagramas vectoriales a escala y midiendo losresultados, o aplicando la trigonometría a losdiagramas. En los ejemplos siguientes demostraremosambos procedimientos.

En la siguiente sección mostraremos que expresarvectores en términos de componentes vectorialesmutuamente perpendiculares constituye una maneramucho más sencilla de resolver problemas convectores.

Formulas Trigonométricas a emplearMediante la regla del triangulo,la magnitud de la fuerzaresultante se puede determinarcon la ley de los cosenos, y sudirección mediante la ley de lossenos. Las magnitudes de losdos componentes de fuerza sedeterminan a partir de la ley delos senos.

Ejemplo 1.

Ejemplo 2.

Practica Dirigida PROBLEMA 01: Se requiere una resultante que actúa sobre la armella

roscada de la figura mostrada esté dirigida a lo largo del eje positivo x yque F2 tenga una magnitud mínima. Determine esta magnitud, elángulo θ y la fuerza resultante correspondiente.

PRACTICA DIRIGIDA PROBLEMA N° 02: Un motor de cohete ejerce una fuerza hacia arriba

de magnitud 4MN (meganewtons) sobre la plataforma de pruebas. Si lafuerza se descompone en componentes vectoriales paralelas a las barrasAB y CD. ¿Cuáles con las magnitudes de las componentes?

PRACTICA DIRIGIDA PROBLEMA N° 03: Dos tractores remolcan una unidad habitacional

hacia una nueva localidad en la base McMurdo de la Antártica (semuestra una vista aérea. Los cables son horizontales). La suma de lasfuerzas FA y FB ejercidas sobre la unidad es paralela a la línea L, y|FA|=1000lb. Determine |FB| y |FA + FB| usando la trigonometría.