INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA

UNIDAD PROFESIONAL AZCAPOTZALCO

CLASE DEL 29 DE SEPTIEMBRE 2014 ANALISIS DE CIRCUITOS DE CD Y CA

CIRCUITO 𝑹𝑹𝑹𝑹 y 𝑹𝑹𝑹𝑹 Las redes de circuitos RC y RL se emplean en amplificadores electrónicos, sistemas de control automático, amplificadores operacionales entre muchas otras aplicaciones. La familiarización con estos circuitos nos proporcionara predecir el cambio de la señal de salida con respecto al tiempo, por lo tanto podemos obtener cuan rápidamente cambiará la velocidad de un motor como respuesta a su cambio de en la corriente de campo, y esta manera sugerir modificaciones en el circuito de control para obtener una respuesta más estable.

CIRCUITO 𝑹𝑹𝑹𝑹 Los circuitos que se basan en combinaciones de resistencia-capacitor son más comunes que los resistencia-inductor, debido a que las pérdidas son menores, el costo es menor y el hecho de que el modelo matemático concuerda mejor con el comportamiento real del dispositivo. Un capacitor se carga cuando se conecta a una fuente de alimentación desde un voltaje inicial igual a 0V hasta un voltaje final igual al voltaje de la fuente. De la misma manera se descarga a través de una resistencia cuando la fuente de alimentación es retirada, su descarga va desde un voltaje inicial igual al voltaje de la fuente hasta un voltaje final igual a 0.

CIRCUITO RC SIN FUENTE (DESCARGA)

R C

i

v

+

-_

Cuando a un circuito RC se le retira la fuente de alimentación, el capacitor tiene una energía almacenada inicial 𝑣𝑣(0) = 𝑉𝑉0, la cual será aproximadamente igual al voltaje de la fuente antes de retirarse:

𝒗𝒗(𝟎𝟎) = 𝑽𝑽𝟎𝟎= 𝑽𝑽𝒔𝒔

Por lo tanto, la suma de las corrientes debe ser cero. 𝑖𝑖𝐶𝐶 + 𝑖𝑖𝑅𝑅 = 0

La corriente en un capacitor es igual a su valor capacitivo por la variación del voltaje respecto al tiempo. (Esto debido a que un capacitor es capaz de guardar energía, la cual se va decrementando después de desconectar la fuente de alimentación 𝑉𝑉𝑠𝑠).

𝑖𝑖𝐶𝐶 = 𝐶𝐶𝑑𝑑𝑣𝑣𝑑𝑑𝑑𝑑

Y la corriente en la resistencia será:

𝑖𝑖𝑅𝑅 =𝑣𝑣𝑅𝑅

Sustituyendo, tenemos:

𝐶𝐶𝑑𝑑𝑣𝑣𝑑𝑑𝑑𝑑

+𝑣𝑣𝑅𝑅

= 0

Dividiendo entre C, tenemos: 𝑑𝑑𝑣𝑣𝑑𝑑𝑑𝑑

+𝑣𝑣𝑅𝑅𝐶𝐶

= 0

Para obtener una ecuación diferencial homogénea, multiplicamos por 𝑑𝑑𝑑𝑑 y dividimos entre 𝑣𝑣:

𝑑𝑑𝑣𝑣𝑣𝑣

+𝑑𝑑𝑑𝑑𝑅𝑅𝐶𝐶

= 0

Reacomodando:

𝑑𝑑𝑣𝑣𝑣𝑣

= −𝑑𝑑𝑑𝑑𝑅𝑅𝐶𝐶

Ahora procedemos a integrar para obtener una ecuación respecto al tiempo. La cual va desde un tiempo inicial 0 hasta un tiempo determinado.

�𝑑𝑑𝑣𝑣𝑣𝑣

𝑣𝑣(𝑡𝑡)

𝑣𝑣(0)= −

1𝑅𝑅𝐶𝐶

� 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡

0

𝑙𝑙𝑙𝑙𝑣𝑣|𝑣𝑣(0)𝑣𝑣(𝑡𝑡) = −

𝑑𝑑𝑅𝑅𝐶𝐶�0

𝑡𝑡

𝑙𝑙𝑙𝑙𝑣𝑣(𝑑𝑑) − 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑣𝑣(0) = −𝑑𝑑𝑅𝑅𝐶𝐶

+0𝑅𝑅𝐶𝐶

Aplicando propiedades de los logaritmos:

𝑙𝑙𝑙𝑙𝑣𝑣(𝑑𝑑)𝑙𝑙𝑙𝑙𝑣𝑣(0) = −

𝑑𝑑𝑅𝑅𝐶𝐶

Multiplicando por su inverso (𝑒𝑒)

𝑣𝑣(𝑑𝑑)𝑣𝑣(0) = 𝑒𝑒−

𝑡𝑡𝑅𝑅𝐶𝐶

Por último, para obtener una ecuación con respecto al tiempo, despejamos 𝑣𝑣(𝑑𝑑):

𝑣𝑣(𝑑𝑑) = 𝑣𝑣(0)𝑒𝑒− 𝑡𝑡𝑅𝑅𝐶𝐶

𝒗𝒗(𝒕𝒕) = 𝑽𝑽𝟎𝟎𝒆𝒆− 𝒕𝒕𝑹𝑹𝑹𝑹 Ecuación para descarga

Por lo tanto analizando tenemos una ecuación general para determinar carga y descarga de un capacitor, la cual queda de la siguiente manera:

𝒗𝒗(𝒕𝒕) = 𝑽𝑽𝑭𝑭 + (𝑽𝑽𝑭𝑭 + 𝑽𝑽𝟎𝟎)𝒆𝒆− 𝒕𝒕𝑹𝑹𝑹𝑹 Ecuación general para carga y descarga. Para comprobar la equivalencia de esta fórmula, sustituimos su voltaje final, el cual es igual a cero para descarga.

𝑣𝑣(𝑑𝑑) = 0 + (0 + 𝑉𝑉0)𝑒𝑒− 𝑡𝑡𝑅𝑅𝐶𝐶 Y obtenemos la misma fórmula calculada anteriormente:

𝑣𝑣(𝑑𝑑) = 𝑉𝑉0𝑒𝑒− 𝑡𝑡𝑅𝑅𝐶𝐶

ANÁLISIS DE LA NATURALEZA FÍSICA EN RESPUESTA DE TENSIÓN Al desconectar la fuente de alimentación, tenemos un tiempo inicial t=0, obtenemos la condición inicial correcta, la cual a medida que t se incrementa, la tensión (voltaje) tiende a cero (Tiempo de descarga del capacitor). En consecuencia, se obtiene una tensión final nula.

CONSTANTE DE TIEMPO RC (𝝉𝝉) Las características de carga y descarga de un capacitor son consideradas junto con la resistencia, debido a que esta última, introduce el elemento de tiempo para el capacitor. Cuando un capacitor se carga o descarga través de una resistencia, necesita cierto tiempo para llevar a cabo su acción por completo. Por lo tanto la constante de tiempo de un circuito RC, determina la velocidad a la cual el capacitor se carga y descarga.

𝜏𝜏 = 𝑅𝑅𝐶𝐶 Ejemplo: Determine el voltaje en 𝒕𝒕 = 𝟐𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎𝝁𝝁𝒔𝒔 después de abrir el switch del siguiente circuito.

Nota: las resistencias están en omhs. Se trata de un análisis en RC para descarga. Al estar abierto el switch con respecto a la batería, el circuito queda de la siguiente manera:

Existiendo un voltaje entre las terminales del capacitor el cual inicialmente es de 9V. 𝑽𝑽𝟎𝟎= 9V

C210uF

R14

R22

BAT19V

C210uF

R14

R22

+

_

Las resistencias están dispuestas en serie, por lo tanto 𝑹𝑹𝑻𝑻 = 𝟔𝟔𝛀𝛀 Quedando un circuito de la siguiente manera:

Tomando la ecuación para la descarga del capacitor tenemos que:

𝑣𝑣(𝑑𝑑) = 𝑉𝑉0𝑒𝑒− 𝑡𝑡𝑅𝑅𝐶𝐶

Sustituyendo valores tenemos que:

𝑣𝑣(200𝜇𝜇𝑠𝑠) = 9𝑉𝑉𝑒𝑒− 200𝜇𝜇𝑠𝑠6Ω(10µF)

𝑣𝑣(200𝜇𝜇𝑠𝑠) = 321.1𝑚𝑚𝑉𝑉

Ejercicio para resolver en casa. Determine el voltaje de descarga en t=20t = 40µs, 80µs, 120µs y 160µs, posteriormente realice una gráfica de voltaje con respecto al tiempo con los valores obtenidos. (Voltaje en eje vertical y tiempo en eje horizontal.

C210uF

RT6